n. 6 – Equivalências Lógicas

A equivalência lógica trata de evidenciar que é possível

expressar a mesma sentença de maneiras distintas,

preservando, o significado lógico original.

Def.: Diz-se que uma proposição 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é

logicamente equivalente a uma proposição 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), se as

tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.

Se as proposições 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) e 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) são ambas

tautologias, ou ambas contradições, então são equivalentes.

Notação para indicar equivalência lógica, símbolo: ⟺

𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

Ou 𝑃 ≡ 𝑄

De maneira menos formal também encontramos a

representação simbólica de uma equivalência por: 𝑃 = 𝑄.

A relação de equivalência nos permite verificar quando

duas proposições (simples ou compostas) são equivalentes, ou

seja, quando estas proposições têm sempre valor lógico igual.

Exemplos de contradições:

𝑝 ~𝑝 𝑝 ˄ ~𝑝 V F F F V F

𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 ~(𝑝 ˅ 𝑞) 𝑝 ˄ 𝑞 ~(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (𝑝 ˄ 𝑞) V V V F V F V F V F F F F V V F F F F F F V F F

Tautologia e equivalência Lógica

Teorema: A proposição 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é equivalente a

proposição 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), ou seja:

𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

se e somente se a bicondicional:

𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ↔ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

for tautológica.

Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma

bicondicional tautológica, e vice-versa.

Para verificarmos se as equivalências são válidas,

trocamos o símbolo de equivalência () pela bicondicional

(), se resultar em uma tautologia é porque a equivalência é

válida.

Propriedades da Equivalência Lógica

a) Reflexiva (R): 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

b) Simétrica (S): Se 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) então

𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

c) Transitiva (T): Se 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) e

𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑅 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) então

𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑅 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )

Exemplos:

1. As proposições "~~𝑝" e "𝑝" são equivalentes, isto é,

simbolicamente: ~~𝑝 ⟺ 𝑝 (Regra da dupla negação).

Portanto, a dupla negação equivale à afirmação.

𝑝 ~𝑝 ~~𝑝 ~~𝑝 ⟺ 𝑝 V F V V F V F V

2. As proposições "~𝑝 → 𝑝" e "𝑝" são equivalentes, isto é,

simbolicamente: ~𝑝 → 𝑝 ⟺ 𝑝 (Regra de Clavius)

𝑝 ~𝑝 ~𝑝 → 𝑝 ~𝑝 → 𝑝 ⟺ 𝑝 V F V V F V F V

3. As condicionais "𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞" e "𝑝 → 𝑞" são equivalentes,

isto é, simbolicamente: 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞 (Regra de

absorção)

𝑝 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞 V V V V V V V F F F F V F V F V V V F F F V V V

4. A condicional p→ q e a disjunção "~𝑝 ˅ 𝑞" são

equivalentes, isto é, simbolicamente: 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞

𝑝 𝑞 ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞 V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V

5. A bicondicional "𝑝 ↔ 𝑞" e a conjunção "(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)"

são equivalentes, isto é, simbolicamente:

𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)

𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝) 𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)

V V V V V V V V F F F V F V F V F V F F V F F V V V V V

6. A bicondicional "𝑝 ↔ 𝑞" e a disjunção "(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)"

são equivalentes, isto é, simbolicamente:

𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ~𝑝 ˄ ~𝑞 (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞) 𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)

V V F F V V F V V V F F V F F F F V F V V F F F F F V F F V V V F V V V

Exemplos de bicondicionais tautológicas:

1. (𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐) ↔ (𝑝 → 𝑞)

Corresponde a: 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 ⟺ 𝑝 → 𝑞

Portanto: 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 é equivalente a 𝑝 → 𝑞

Nesta equivalência consiste o “método de demonstração por

absurdo”.

2. (𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟) ↔ (𝑝 → (𝑞 → 𝑟))

Corresponde a: 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟)

Portanto: 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 é equivalente a 𝑝 → (𝑞 → 𝑟)

Equivalência Lógica denominada “Regra de exportação-

Importação”

Exemplo de bicondicional não tautológica:

1. "𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3" e "~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)"

Corresponde a: (𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3) ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)

Entretanto, pela tabela-verdade observamos que o bicondicional

não é tautológico.

𝑥 = 1 𝑥 ≮ 3 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 𝑥 < 3 𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1 ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) (𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3) ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)

V V V F F V V V F V V V F F F V V F F V V F F F V F V F

Proposições associadas a uma condicional

Def.: Dada a condicional 𝑝 → 𝑞, chamam-se proposições

associadas a 𝑝 → 𝑞 as três proposições condicionais que

contém 𝑝 e 𝑞:

a. Proposição recíproca de 𝑝 → 𝑞 é 𝑞 → 𝑝

b. Proposição contrária de 𝑝 → 𝑞 é ~𝑝 → ~𝑞

Também denominada de inversa de 𝑝 → 𝑞

c. Proposição contrapositiva de 𝑝 → 𝑞 é ~𝑞 → ~𝑝

𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝

A equivalência entre 𝑝 → 𝑞 é ~𝑞 → ~𝑝 estabelece um

procedimento para demonstrar teoremas condicionais como,

“se a + b = c então a = c – b” , onde

a + b = c é a hipótese e a = c – b é a tese.

Para provar a propriedade podemos usar a contrapositiva

ou a negação da tese. Se a negação da tese levar a concluir a

negação da hipótese então a propriedade estará demonstrada.

Negando a tese, 𝑎 ≠ 𝑐 − 𝑏. Somando b a ambos os

membros, a desigualdade permanece.

Assim, 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐 − 𝑏 + 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐

O que contraria a hipótese.

Portanto a propriedade é verdadeira.

Tabela-verdade das proposições associadas:

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑞 → ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝 𝑞 → 𝑝 ⟺ ~𝑝 → ~𝑞 V V F F V V V V V V V F F V F V V F V V F V V F V F F V V V F F V V V V V V V V

Logo,

A condicional 𝑝 → 𝑞 e a contrapositiva ~𝑞 → ~𝑝 são

equivalentes:

𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝

A recíproca 𝑞 → 𝑝 e a contrária ~𝑝 → ~𝑞 da

condicional 𝑝 → 𝑞 são equivalentes:

𝑞 → 𝑝 ⟺ ~𝑝 → ~𝑞

Entretanto, pela tabela-verdade ainda podemos observar

que:

𝑝 → 𝑞 e a sua recíproca 𝑞 → 𝑝: não são equivalentes

𝑝 → 𝑞 e a sua contrária ~𝑝 → ~𝑞: não são equivalentes

Negação conjunta de duas proposições

Def.: Chama-se negação conjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞

a proposição "𝑛ã𝑜 𝑝 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑞", isto é, ~p ˄ ~q.

A negação conjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞 também

se indica pela notação " 𝑝 ↓ 𝑞 " . Assim,

𝑝 ↓ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑞

Tabela-verdade:

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ˄ ~𝑞 𝑝 ↓ 𝑞 𝑝 ↓ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑞 V V F F F F V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V

Negação disjunta de duas proposições

Def.: Chama-se negação disjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞

a proposição "𝑛ã𝑜 𝑝 𝑜𝑢 𝑛ã𝑜 𝑞", isto é, ~p ˅ ~q.

A negação disjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞 também

se indica pela notação " 𝑝 ↑ 𝑞 " . Assim,

𝑝 ↑ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑞

Tabela-verdade:

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ˅ ~𝑞 𝑝 ↑ 𝑞 𝑝 ↑ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑞

V V F F F F V V F F V V V V F V V F V V V F F V V V V V

Os símbolos ↓ e ↑ são chamados de conectivos de SCHEFFER.

Exercícios:

1. Demonstre as seguintes equivalências:

a. 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝

b. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞

c. 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞

2. Mostre que as proposições “𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3” e "~(𝑥 <

3 ˄ 𝑥 = 1) " não são equivalentes.

3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições:

“Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem,

compra”, provando sua resposta.

4. Determine:

a. A contrapositiva da recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1

b. A contrapositiva da contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3

5. Sabendo que as proposições 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras e que a

proposição r é falsa, determine o valor lógico (V) ou (F) das

seguintes proposições:

a. (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)

b. [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝)

c. (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [(𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝]

6. Demonstre: [(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝

Resoluções:

1. Demonstre as seguintes equivalências:

𝑎. 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝

𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝

V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V

𝑏. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞

𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 ~𝑟 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 𝑝 ˄ ~𝑟 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ↔ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞

V V V F F V V F V V V V F F V V F V F V V F V V F F V F V V V F F V V F V V V V F V V F F V V F V V F V F F V V F F V F

F F V V F V V F V V F F F V V V F F V F

𝑐. 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞

𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞

V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F F V V V

2. Mostre que as proposições

𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 e ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) não são equivalentes.

𝑥 = 1 𝑥 < 3 𝑥 ≮ 3 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1 ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)

V V F V V F F V F V V F V V F V F F F V F F F V V F V V

Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das

proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é

uma tautologia.

3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem

tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem, compra”,

provando sua resposta.

Proposições:

p: quem tem dinheiro

q: compra fiado

Premissas:

Quem tem dinheiro, não compra fiado: p ~ q

Quem não tem, compra: ~p q

Para serem equivalentes: p ~ q ~ p q

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 p ~ q ~p q p ~ q ~ p q

V V F F F V F V F F V V V V F V V F V V V F F V V V F F

Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das

proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é

tautológica.

4. Determine:

a. A contrapositiva da recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1

𝑥 = 0 → 𝑥 < 1

𝑥 < 1 → 𝑥 = 0 (recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1)

~(𝑥 = 0) → ~(𝑥 < 1) (contrapositiva de 𝑥 < 1 → 𝑥 = 0)

𝑥 ≠ 0 → 𝑥 ≮ 1 (resposta)

b. A contrapositiva da contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3

𝑥 < 1 → 𝑥 < 3

~(𝑥 < 1) → ~(𝑥 < 3) (contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3)

𝑥 ≮ 1 → 𝑥 ≮ 3 (contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3) ~(𝑥 ≮ 3) → ~(𝑥 ≮ 1) (contrapositiva da contrária de 𝑥 ≮ 1 → 𝑥 ≮ 3)

𝑥 < 3 → 𝑥 < 1 (resposta)

5. Sabendo que as proposições 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras e que a

proposição r é falsa, determine o valor lógico (V) ou (F) das

seguintes proposições:

a. (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)

(~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟) ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)

𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 𝑝 ˄ ~𝑞 ~𝑞 ˅ 𝑟 (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)

V V V F F V F V V F F F F F V F V V V V V V F F V V V V F V V F F V F F V F F F F F F F V V F V F F F F V F V F

Outra forma de resolução:

(~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟) ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)

(𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)

(𝑉 ˄ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹)

( 𝐹) ˄ (𝐹)

𝐹

b. [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝)

Seja: 𝑝 = 𝑉 , 𝑞 = 𝑉 e 𝑟 = 𝐹

Então: [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝) ⟺ [(~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (~𝑞 ˄ ~𝑟)] ˅ ( ~𝑟 ˄ ~ 𝑝)

[(~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (~𝑞 ˄ ~𝑟)] ˅ ( ~𝑟 ˄ ~ 𝑝)

[(𝐹 ˅ 𝐹) ˅ (𝐹 ˄ 𝑉)] ˅ ( 𝑉 ˄ 𝐹) [𝐹 ˅ 𝐹] ˅ (𝐹)

𝐹 ˅ 𝐹 𝐹

c. (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [(𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝]

Seja: 𝑝 = 𝑉 , 𝑞 = 𝑉 e 𝑟 = 𝐹

Então: (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [ (𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝] ⟺ ~(~𝑝 ˅ ~𝑞) ↔ [ ~(~𝑞 ˄ ~𝑟) ˄ ~ 𝑝]

~(~𝑝 ˅ ~𝑞) ↔ [ ~(~𝑞 ˄ ~𝑟) ˄ ~ 𝑝]

~(𝐹 ˅ 𝐹) ↔ [ ~(𝐹 ˄ 𝑉) ˄ 𝐹]

~(𝐹) ↔ [ ~(𝐹) ˄ 𝐹]

𝑉 ↔ [ 𝑉 ˄ 𝐹]

𝑉 ↔ 𝐹

𝐹

6. Demonstre: [(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝

Seja: 𝑝 = 𝑉 e ~𝑝 = 𝐹

Então:

[(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝

[~(~ 𝑝 ˅ 𝑝) ˅ ~ (~𝑝 ˅ 𝑝)] ↔ 𝑝 ˄ ~𝑝

[~(𝑉) ˅ ~ (𝑉)] ↔ 𝐹

[𝐹 ˅ 𝐹] ↔ 𝐹

𝐹 ↔ 𝐹

𝑉

Exercícios:

1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 119) Numa proposição

composta s, aparecem às proposições simples 𝑝, 𝑞 e 𝑟. Sua

tabela verdade é:

Usando a conjunça o (˄) , a disjunça o (˅) e a negaça o ( ˥ ), pode-

se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é:

2. Julgue os itens (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 121):

a. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria

no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro,

então meu cliente não é culpado.” É uma tautologia.

b. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria

no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma

do crime estaria no carro.” Não é uma tautologia.

3. Verifique as equivalências (CASTRUCCI, 1982, p. 34):

a. ~(𝑝 ˄ ~𝑝) ⟺ (𝑝 ˅ ~𝑝)

b. 𝑝 ˄ (~𝑝 ˅ 𝑞 ) ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞)

c. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑞 → (𝑝 → 𝑟)

d. ~(𝑝 → 𝑞) ⟺ ~(~𝑞 → ~𝑝)

𝑝 𝑞 𝑟 𝑠

L1 V V V V

L 2 V V F V

L3 V F V F

L4 V F F V

L5 F V V V

L6 F V F V

L7 F F V F

L8 F F F V

a. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟) ˅ (~𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ 𝑟)

b. (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟) ˄ (~𝑝 ˅ ~𝑞 ˅ 𝑟)

c. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ ~𝑟) ˅ (𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ ~𝑟)

d. (~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

e. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ ~𝑟) ˅ (~𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ 𝑟)

e. ~(𝑝 ˅ ~ 𝑞 ) ⟺ ~𝑝 ˄ 𝑞

4. Verifique se são equivalentes as proposições:

a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é

retângulo. E O triângulo é retângulo ou o triângulo

não é retângulo.

b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz.

c. A: se o céu está escuro, choverá;

B: o céu não está escuro ou não choverá.

1. Construir as tabelas-verdade

Resolução:

1. Correta letra (d): (~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

Conferência utilizando as linhas da tabela-verdade:

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 1: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 1 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 2: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 2 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 3: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝐹

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹)

( 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝐹 ) ˄ (𝑉 )

𝐹

Linha 3 resulta em 𝐹, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 4: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉)

( 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 4 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 5: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 5 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 6: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 6 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 7: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝐹

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹)

( 𝑉 ) ˄ (𝐹 )

𝐹

Linha 7 resulta em 𝐹, logo corresponde a tabela-verdade.

𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 8: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉

(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)

(𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉)

( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )

𝑉

Linha 8 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.

Caso em alguma das alternativas tivesse dado algum valor

lógico diferente daquele da coluna do s, não seria uma

equivalência.

2. Julgue os itens (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 121):

a. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria

no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro,

então meu cliente não é culpado.” É uma tautologia.

Inocente: 𝑝 Culpado: ~𝑝

Arma está no carro: 𝑞 Arma não está no carro o: ~𝑞

(P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime

estaria no carro. ~𝑝 → 𝑞

(P2): Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então

meu cliente não é culpado. ~𝑞 → 𝑝

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~p q ~𝑞 → 𝑝 (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝)

V V F F V V V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F F V

Sim, (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) é uma tautologia.

b. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria

no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma

do crime estaria no carro.” Não é uma tautologia.

Inocente: 𝑝 Culpado: ~𝑝

Arma está no carro: 𝑞 Arma não está no carro o: ~𝑞

(P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime

estaria no carro. ~𝑝 → 𝑞

(P2): Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime

estaria no carro. ( 𝑝 ˅ 𝑞)

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~p q 𝑝 ˅ 𝑞 (~𝑝 → 𝑞) (𝑝 ˅ 𝑞 )

V V F F V V V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F F V

Como, (~𝑝 → 𝑞) → (𝑝 ˅ 𝑞 ) é uma tautologia e a questão

afirma que não é uma tautologia, então esta questão está

errada, ou seja, é falsa.

3. Resolução: Construir as tabelas-verdade.

4. Verifique se são equivalentes as proposições:

a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é retângulo.

E O triângulo é retângulo ou o triângulo não é retângulo.

Proposições:

O triângulo é retângulo: 𝑝

O triângulo não é retângulo: ~𝑝

Premissas:

(P1): Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é

retângulo: ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝)

(P1): O triângulo é retângulo ou o triângulo não é

retângulo: (𝑝 ˅ ~𝑝)

𝑝 ~𝑝 𝑝 ˄ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) 𝑝 ˅ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ↔ 𝑝 ˅ ~𝑝

V F F V V V F V F V V V

Logo,

˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ↔ 𝑝 ˅ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ⟺ 𝑝 ˅ ~𝑝

V V V V

Portanto, é uma equivalência.

b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz.

Proposições:

É bonito: 𝑝 Não é bonito: ~𝑝

É feliz: 𝑞

Premissas:

(P1): Se é bonito, é feliz: 𝑝 → 𝑞

(P1): Não é bonito ou feliz: ~𝑝 ˅ 𝑞

𝑝 𝑞 ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ 𝑞) (𝑝 → 𝑞) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞)

V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V V V V V

Portanto, é uma equivalência.

c. A: se o céu está escuro, choverá;

B: o céu não está escuro ou não choverá.

Proposições:

Céu está escuro: 𝑝 Não está escuro: ~𝑝

Choverá: 𝑞 Não choverá: ~𝑞

Premissas:

(P1): Se o céu está escuro, choverá: 𝑝 → 𝑞

(P1): O céu não está escuro ou não choverá: ~𝑝 ˅ ~𝑞

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ ~𝑞) V V F F V F F V F F V F V F F V V F V V V F F V V V V V

Logo,

(𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ ~𝑞) (𝑝 → 𝑞) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞)

F F V F V V V V

Portanto, NÃO é uma equivalência.

Referências Bibliográficas

ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002. CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier. 2010

CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 5 ed. São Paulo: Nobel, 1982. DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional. 3 ed. Curitiba: C. M. C. Dias, 2011. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemáti5ca, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008.