sembolik mantık kitap

7/29/2019 sembolik mantk kitap

1/60

A. K DEERL MANTIK

1. NERMELER MANTII

a. nerme Eklemleri ve Doruluk izelgeleri

b. Mantk Deiflmezleri, Geerlilik, Tutarllk, Denklik (Efl deerlik)

c. zmleyici izelge

2. NCELEME MANTIIa. Niceleyiciler ve Ak nermeler

b. Yorumlama, Geerlilik ve Tutarllk

c. zmleyici izelge

B. OK DEERL MANTIK

C. KPLK MANTII

D. ZDEfiLK MANTII

E. VARLIK MANTII

"Mantn yasalar, nesnel gerekliin, insann

znel bilincinde yansmasnn yasalardr."

Orhan Hanerliolu

3. BLM

MODERN

(SEMBOLK) MANTIK


2/60

MANTIK 2

64

HAZIRLIK ALIfiMALARI

1. Sembol ne anlama gelir? Gndelik yaflamda ne tr semboller kullanrz ve busemboller ne ifle yaramaktadr?

2. Klsik mantn neden sembollefltirilmesine ihtiya duyulduunu arafltrnz.

3. Bir szlkten "tutarllk" ve "geerlilik" kavramlarnn anlamlarna baknz.

BU BLMN AMALARI

NASIL ALIfiMALIYIZ?

Konu iindeki sorular yantlayn.

Konu iinde verilen devleri mutlaka yapn.

Her konuda verilen rnekleri dikkatle inceleyerek, ayn konulara kendiniz deiflikrnekler bulun.

Verilmifl olan rnekleri tekrarlayn.

Bu niteyi bitirdiiniz zaman,

Sembolik mantn temel konularn kavrayacak,

nermeler mantn tanmlayacak,

Sembollefltirme ve yorumlama bilgisini renecek,

Farkl mantk trleri hakknda bilgi sahibi olacak,

Tutarllk, geerlilik ve efl deerliin ne anlama geldiini kavrayacaksnz.


3/60

MANTIK 2

65

MODERN (SEMBOLK) MANTIK

Modern mantk, mantk unsurlarn sembollerle ifade eden ve bu sembollerle

ifllemler yaparak salam karmlara ulaflmay amalayan bir disiplindir.

Klsik mantk gibi modern mantn da amac geerli karmlara

ulaflmaktr. Geerli karmlar geersiz karmlardan ayrt etme ifllemi karmlarn

denetlenmesi ile olur. Denetleme, karmlarn geerliliini belirleme ifllemidir.

Mantksal geerlilik ieriksel deil biimsel doruluktur. Modern mantk, gnlk

dildeki karmlar, matematik diline benzeyen, ok anlamlla ve belirsizlie hi

yer vermeyen sembolik bir dile evirip kesin bir denetlemeyi salar. Bu yeni mantk,klasik Aristoteles mantnn alann aflmfl ve onu gelifltirip geniflletmifltir. Modern

mantkta denetleme, neredeyse matematiin ispatlarnda grlen bir kesinlikle

yaplabilmektedir. Modern mantn klasik mantktan en nemli fark, tamamen

sembolik olduu iin ieriin etkisinden kurtulmufl olmasdr. Buna ramen klasik

mantk gnlk dili kulland iin ksmen ieriin etkisindedir.

Modern mantk gnmzde pek ok alanda uygulanmaktadr. rnein

bilgisayar teknolojisindeki geliflmelerde (bilgisayar devrelerinin programlanmas),

elektrik devrelerinin zmlenmesinde ve matematiksel ispatlamalarda sembolikmantktan yararlanlmaktadr. Gnlk yaflamda ise salam akl yrtmeler yapma,

baflkalarnn dflnce biimlerini analiz edip elefltirebilme, ana dili daha doru

kullanlabilme konularnda sembolik mantk yol gstericidir. Modern mantk,

gnmzn zellikle bilgi ve dil felsefesi dallarna da yeni almlar salamfltr.

Modern mantk, iki deerli mantk, ok deerli mantk, kiplik mant,

zdefllik mant ve varlk mant olmak zere befle ayrlr.

A. K DEERL MANTIK

ki deerli mantkta bir nermenin doru ve yanlfl olmak zere iki deeri

vardr ve baflka bir nc olaslk kabul edilmez. ki deerli mantk nermeler ve

niceleme mant olmak zere iki blmde incelenir.


4/60

MANTIK 2

66

1. nermeler Mant

nermeler mant, birden fazla nerme ve bu nermeleri birlefltireneklemlerin sembollefltirilmesidir. Daha nce, bir yarg belirten ve doru ya da yanlflolan cmlelere nerme dendiini grmfltk. nermeler basit ve bileflik nermeolmak zere ikiye ayrlyordu. Bileflik nermeler birden fazla basit nermenin "ve","veya", "ise", "ancak", "ancak ve ancak" ve "deil" gibi eklerle birbirine balanr.Bunlara nerme eklemleri denir.

rnek:

"Ahmet avukat veya savcdr."

Yukardaki nerme bir bileflik nermedir. Bu bileflik nerme "Ahmetavukattr." ve "Ahmet savcdr." basit nermelerinin "veya" eklemiyle balanmassonucu oluflmufltur.

nermeler mantnda basit nermeler p, q, r, s, t, v, z..... gibi nermesembolleriyle gsterilir. yleyse bundan sonra "zge snfn geti." nermesiyerine "p" semboln (ya da bir baflkasn) kullanabiliriz.

nermelerin ald doru ya da yanlfl deere doruluk deeri denir ve "D"ve "Y" harfleriyle gsterilir.

rnek:

stanbul Trkiyenin en byk kentidir. (D)

3 kere 3, 27 eder. (Y)

nermeler mant, nerme eklemleri ile oluflmufl nermeleri vekarmlar ele alr. karmn verilen ncllerden sonu olarak yeni bir nermekarma ifllemi olduunu hatrlayacaksnz.

Srekli kitap okuyan retmen baflarl olur. ncl (p)

Canan srekli kitap okur. ncl (q)

O hlde; Canan baflarl retmen olur. sonu (r)

Birinci ve ikinci ncller sonu nermesine "o hlde" szc ilebalanmfltr. Bundan sonra "o hlde", "yleyse", "demek ki" gibi zckler " "iflaretiyle gsterilecektir.


5/60

MANTIK 2

67

Sembolik mantkta "fiermin gazetecidir." gibi bir nerme basit birnermedir. nk herhangi bir nerme eklemi almamfltr. Ne var ki, "fiermingazeteci deildir." gibi bir nerme bileflik nermedir. nk, "deil" szc birnerme eklemidir. O hlde sembolik mantkta iinde nerme eklemi geen herhangibir nerme, bileflik nerme olarak ele alnacaktr. Eer nerme eklemi bulunmuyor-sa basit nermedir. Dolaysyla, klasik manta gre "fiermin gazeteci deildir."nermesi tek bir yarg bildirdii iin basit nerme iken sembolik manta gre,nerme eklemi ald iin bileflik nermedir.

Klasik mantkta basit bir nerme birad, biryklem ve birbadan oluflur.nermelerde birden fazla ad olabilir. rnein, "Felsefe ve bilim birbirini tamamlar."

nermesinde "felsefe" ve "bilim" olmak zere iki ad vardr. Bu nedenle bu nermeikili yklemli bir nermedir. Herhangi bir nermede yklem sadece tek bir "ad"ayklenirse birli yklem, "iki ad"a yklenirse ikili yklem, " ad"a yklenirse lyklem, "n sayda ad"a yklenirse nli yklem ad verilir.

rnek :

Hegel filozoftur.Birli yklem

2 > 3

kili yklem

Ali ile Ayfle kardefltir.kili yklem

Ankara, Eskiflehir ile Krkkale arasndadr.l yklem

a. nerme Eklemleri ve Doruluk izelgeleri

nerme eklemleri, basit nermeleri bileflik hle getiren mantk deiflmezleridir.

Bu eklemler "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" ve "deil" szckleriyle ifadeedilir.

nerme eklemlerinin birinci ifllevi bileflik nermeler oluflturmak; ikinciifllevi nermelerin tutarllk, geerlilik ve efl deerliliinin ve karmlarngeerliliinin denetlenmesini salamaktr.

nerme eklemlerinin sembolik mantkta kullanlfl biimleri afladakitabloda gsterilmifltir.


6/60

MANTIK 2

68

nerme Sembol Kullanm rnek nerme SembolikEklemi Mantkta

Kullanm

Deilleme ~ "deil" Tekin yaramaz ~peklemi deildir.

Tmel "ve, ne..ne de, Tekin ve Mehmet p qevetleme hem..hem de" alflkandr.eklemi

Tikel evetleme v "veya, ya da" "fiiirlerinde veyaeklemi yklerinde yeni bir pvq

anlatm yoktur."

Koflul eklemi "ise" alflkansa baflarr. pq

Karfllkl koflul "ancak ve Glflah ancak veeklemi ancak" ancak alflrsa baflarr. pq

Bir bileflik nermede birden fazla nerme eklemi bulunabilir. rnein,"retim artarsa fiyatlar azalr ve enflasyon dfler." nermesinde "ise" ve "ve" olmak

zere iki nerme eklemi vardr.Bileflik nermelerde, bilefliklii oluflturan yarglara bileflen ad verilir. Bir

bileflik nermede nce gelen bileflene n bileflen, sonra gelen bileflene art bileflen adverilir. "Yamur yaarsa rn bol olur." nermesinde "Yamur yaar." nermesi nbileflen, "rn bol olur." nermesi art bileflendir.

"nsan zgrlne kavuflursa hem mutlu hem de huzurlu olur ve kendiyeteneklerini gelifltirebilir." nermesinde ka nerme eklemi kullanldn ve ka

bileflen kullanldn bulunuz.

Bir bileflik nermede, nermenin tmn etkileyen ekleme ana eklem,birbirine balanan nermelere ise ana bileflenler denir. Afladaki rnekler anaeklem ve ana bileflenleri gstermektedir.


7/60

MANTIK 2

69

~p ~ pana eklem ana bileflen

pq p qana bileflen ana eklem ana bileflen

~pvq ~p v qana bileflen ana eklem ana bileflen

~ (pvq) ~ pvqana eklem ana bileflen

[(pq)p]r [(pq)p] r

ana bileflen ana eklem ana bileflen~ [(pvq)(pq)] ~ [(pvq)(pq)]

ana eklem ana bileflen

[~(pv~q)(pvq)] ~(pv~q) (pvq)ana bileflen ana eklem ana bileflen

Bileflik nermeler ana eklemlerine gre tanmlanr. Afladaki izelge butanmlamalar gstermektedir.

Bileflik nerme Tanmlama

~p Deilleme nermesi

pvq Tmel evetleme nermesi

pq Tikel evetleme nermesi

pq Koflul nermesi

pq Karfllkl koflul nermesi

Bileflik nermelerin doruluk deeri doruluk tablosu ile denetlenir.Sembolik mantkta nermeleri dorudan ifade etmeyip semboller kullandmziin, bir nermenin doru ya da yanlfl olup olmadn bilemeyiz. Bu nedenle, birnermenin doru ve yanlfl olmak zere iki deeri vardr. Doru deer "D" ile,yanlfl deer "Y" ile gsterilir.

fiimdi, kullandmz nerme eklemlerinin doruluk tablosunda aldklardeerleri grebiliriz.


8/60

MANTIK 2

70

Deilleme Eklemi

Olumlu bir ifadeyi olumsuz, olumsuz bir ifadeyi olumlu yapan deyimleredeilleme denir. Deilleme eklemi "~" sembol ile gsterilir. rnein, "nsanzgrdr." (p) nermesinin deillemesi "nsan zgr deildir." (~p) nermesi olur.Bir nerme doru ise deillemesi yanlfl, bir nerme yanlfl ise deillemesi doruolur.

p ~p

D Y

Y D

Deillenen nerme tekrar deillendiinde ilk nermenin doruluk deerinialr ve buna ifte deilleme kural denir.

p ~p ~~p

D Y D

Y D Y

Tmel Evetleme Eklemi ()

Gnlk dilde konuflurken "ve", "hem...hem de", "da...da" gibi szcklerleifade ettiimiz eklemdir. Ksaca, iki basit nermenin "ve" () eklemiyle birlefltirilmesinden

oluflmufl bileflik nermeye tmel evetleme nermesi ad verilir.

Tmel evetleme nermesinde bileflik nermenin doruluu, bu bilefliknermeyi oluflturan btn bileflenlerin ayn anda doru olmasna baldr. Bunun

nedeni olduka basittir. rnein, "Ahmet ve Mehmet snfn geti." nermesinde,"Ahmet snfn geti." ve "Mehmet snfn geti." olmak zere iki bileflen vardr.Bu nermelerin doru deer almas her ikisinin de snfn getii, yanlfl deer

almas her ikisinin de snfn geemedii anlamna gelir. Yukardaki "Ahmet veMehmet snfn geti." nermesinin doru olabilmesi iin her ikisinin de snfngemifl olmas, yani her iki nermenin de doru deer almfl olmas gerekir. Bir

nerme yanlflsa bu bileflik nerme de yanlfl olur. nk, "Ahmet ve Mehmetsnfn geti." nermesinde, aradaki eklem "ve" olduuna gre her ikisinin desnfn getii evetlenmektedir. Bu nedenle hepsinin evetlenmesi anlamnda "tmel

evetleme" adn veriyoruz.


9/60

MANTIK 2

71

Tmel evetleme ekleminin zmleme kural afladaki gibi olur.

p q p

qD D D

D Y Y

Y D Y

Y Y Y

Tek bir nermenin (p) alaca doruluk deeri doru ya da yanlfl olmakzere iki tanedir. Ancak, iki nermenin (p ve q gibi) bir arada alabilecekleridoruluk deerlerini bir arada dflnrsek drt olaslk ortaya kar: kisi de doru,birincisi doru ikincisi yanlfl, birincisi yanlfl ikincisi doru ve her ikisi de yanlfl.Eer nermenin bir arada doruluk deerine baklrsa o zaman da sekiz farkldeer ortaya kar. Yukardaki tabloda iki nerme olduu iin drt farkl deerortaya kmfltr.

Tikel Evetleme Eklemi (v)

Gnlk dilde "veya", "ya da", "ya...ya" gibi szcklerle ifade ettiimizeklemdir. Ksaca, iki basit nermenin "veya" (v) eklemiyle birlefltirilmesinden

oluflmufl bileflik nermeye tikel evetleme nermesi ad verilir. Tikel evetlemeekleminin doru olmas iin bileflenlerinden birinin doru olmas gerekli veyeterlidir.

p q pvq

D D D

D Y D

Y D D

Y Y Y

rnein, "nsanlar iyi yaflamay veya uzun yaflamay hak eder." ner-mesinin doru deer almas iin,"nsanlar iyi yaflamay hak eder." ya da "nsanlaruzun yaflamay hak eder." nermelerinden bir tanesinin doru deer almas gereklidir.nk, aradaki eklem "veya" olduuna gre, sadece bir tanesinin evetlenmifl olmasyeterlidir. Nitekim, bundan dolay nermelerden en az birinin evetlenmesianlamnda "tikel evetleme" diyoruz.


10/60

MANTIK 2

72

(pq)v(~p~q) nermesinde, p nermesi "doru", q nermesi "yanlfl" ise,

bu nermenin sonucu nedir? p nermesinin yerine "D", q nermesinin yerine "

Y" koyarak bulunuz.

Koflul eklemi ()

Gnlk dilde "ise", "se", "sa", "ancak" gibi szcklerle ifade edileneklemdir. ki basit nerme "ise" eklemiyle birlefltirilmiflse bunakoflul nermesi adverilir. Koflul nermesinde n bileflen doru, art bileflen yanlfl deer almflsa bilefliknerme yanlfl deer alr. Dier durumlarda nerme doru deer alr.

p q pq

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

rnein, "Drst davranrsan insanlar seni sever." nermesinde birincip q

nerme (p) doru fakat ikinci nerme (q) yanlflsa koflul yerine gelmemifl demektir.Yani drst davranmfl olmasna ramen insanlarn onu sevdii doru deildir.Bu durumda, nermenin btn yanlfl deer alr.

Karfllkl Koflul Eklemi ()

Gnlk dilde "ancak ve ancak.........ise" szckleriyle ifade edilir. ki basit

nerme "ancak ve ancak.....ise" ile birlefltirilmiflse, ortaya kan bileflik nermeye

karfllkl koflul nermesi ad verilir. Bu nerme trnde, bileflenlerin hepsi de ayn

deeri almflsa nerme doru, dier hllerde yanlfltr. Dolaysyla, karfllkl koflul

ekleminin doru olabilmesi iin, bileflenlerden ikisi de doru ya da ikisi de yanlfl

olmaldr.

?


11/60

MANTIK 2

73

p q pq

D D DD Y Y

Y D Y

Y Y D

rnein, "Namk ancak ve ancak avukat olursa baflarl olur." nermesindeNamkn avukat olmad taktirde baflarl olamayaca anlafllmaktadr. Bunermenin doru olmas, Namkn avukat olup baflarl olmasna ya da Namkn

avukat olmayp baflarl olamamasna baldr.

"p" nermesi doru, q nermesi yanlfl olarak dflnldnde,

~[(p~q)(~pq)] bileflik nermesinin alaca deer ne olur?

Modern mantkta kullanlan befl eklemin alacaklar doruluk deerlerininneler olduunu grdk. Bu kurallar sk sk tekrar etmeniz renmenizikolaylafltracaktr. fiimdi, bu befl nerme eklemine iliflkin olarak anlatlanlar tek birtabloya toplayarak gsterelim:

p q ~p ~q pq pvq pq pq

D D Y Y D D D D

D Y Y D Y D Y Y

Y D D Y Y D D Y

Y Y D D Y Y D D

Bir doruluk tablosunda yukardan afla doru sralamaya stun,soldan saa doru sralamaya satr ad verilir.

Yukarda grdmz eklemlerin kurallar yardmyla, herhangi bir bilefliknermenin doruluk deerini bulabiliriz. Btn ifllemleri eklemlerin kurallarna

?

\


12/60

MANTIK 2

74

gre yapacamz iin bu kurallar srekli aklmzda tutmamz gerekecek.

rnek 1: p:Y, q:D deer aldnda (pq)v(pq) nermesinin dorulukdeerini bulalm. Yaplacak ilk fley, verilen deerleri nermede yerine koymak venerme eklemlerinin kurallarna gre ifllemi tamamlamaktr.

(pq) v (pq)

(YD) v (YD)

Y D

Y v D D deer alr.

rnek 2: p:D, q:Y olduunda ~[(~pq) (p~q)] nermesinin alddoruluk deerini bulalm.

~[(~pq) (p~q)] ~[(~DY) (D~Y)]

~[(YY) (DD)]

~ (D D) ~ D Y deer alr.

p ve q nermelerine farkl deerler vererek (~p~q) (pvq) nermesinin

alaca deerleri bulunuz.

b. Mantk Deiflmezleri, Tutarllk, Geerlilik, Denklik (Efl Deerlik)

Sembolik mantk, gnlk dilde kullandmz nerme ve karmlarsembolik dile dnfltrr. Bunu yaparken de deiflmezlerden yararlanr.

Kendi iinde anlaml olan ve daha kk anlaml birimlereayrlamayan deyimlere deiflmez denir.

Deiflmezler, mantk deiflmezi ve zel deiflmezler olmak zere ikiyeayrlr.

\


13/60

MANTIK 2

75

Deiflmezler

Mantk Deiflmezleri zel Deiflmezler

nerme Eklemleri Niceleyiciler Kiplik, zdefllik Ad Yklem

deil, ve her, baz, varlk mant Deiflmezleri Deiflmezleri

veya, ise tm, hibir, deiflmezleri

ancak ve ancak birka, kimi zorunlu,

mmkn

zdefl

Mantksal deiflkenler: x, y, z gibi bilinmeyen ve deiflik deerlere sahipolabilen sembollerdir. Deiflmezler ve deiflkenlerin birlikte oluflturduu szckdizilerine deyim ad verilir.

Sembollefltirme: nerme sembolleri ve mantk deiflmezleriyle, gnlkdildeki nermelerin ve karmlarn sembolik dile evrilmesidir. Tek bir basitnerme p, q, r, s, t, v..... gibi kk harflerle sembollefltirilir. Bileflik nermelerde isence ana eklem bulunur ve bileflenler paranteze alnarak sembollerle gsterilir.

Basit ve bileflik nermelerin nasl sembollefltirileceini deiflik rneklerlegsterelim:

rnek 1: "Yamur yayor." nermesi, tek bir yarg ieren basit birnerme olduu iin "p" harfi ile sembollefltirilir.

rnek 2: "Yamur yaar ise rn bol olur."

p q

nermesi ana eklemi "ise" olan bir bileflik nermedir. Yamur yaar." nermesi "p","rn bol olur." nermesi "q" ile sembollefltirilirse, nermenin btn "pq"

biiminde sembollefltirilir.

rnek 3: "Yamur yaar ve rn bol olursa insanlar mutlu olur."

p q r

nermesi bileflenli bir bileflik nermedir. Bu nermede insanlarn mutlu olmasyamur yamasna ve rnn bol olmasna balanmfltr. Bu durumda ana eklemkoflul eklemidir. Bu durumda bu nerme (pq)r biiminde sembollefltirilir.


14/60

MANTIK 2

76

Sadece nermeler deil, karmlar da ayn yntemle sembollefltirilebilir.Hatrlayacanz gibi, bir karm en az iki nclden ve bir sonu nermesindenoluflur. ncl nermeler ayr ayr sembollefltirilir ve sonu nermesine "o hlde"anlamna gelen " " sembol ile balanr.

rnek 1:

Tm insanlar sevmek gerekir.

Zenciler insandr.

O hlde, zencileri sevmek gerekir.

Yukardaki karmda, "Tm insanlar sevmek gerekir." nermesini "p" ile,

"Zenciler insandr." nermesini "q"ile, "Zencileri sevmek gerekir." nermesini"r" ile sembollefltirirsek, p, q r karmn elde ederiz.

rnek 2:

Bir sporcu zeki ve evik ise baflarl olur.

Seren zeki ve eviktir.

O hlde, Seren baflarl olur.

Yukardaki karm sembollefltirmek iin nce birinci nclden bafllayarakadm adm gidelim.

Birinci ncl Bir sporcu zeki ve evik ise baflarl olur.

p q r

kinci ncl Seren zeki ve eviktir.

p q

Sonu O hlde, Seren baflarl olur.

r

Grld gibi, yukardaki karmn sonu olarak sembollefltirilmiflbiimi (pq)r, (pq) r biiminde olur.

Yorumlama: Sembolik dile evrilmifl karmlarn ve bu karmlaroluflturan nermelerin geerliliklerini denetleyebilmek iin yorumlama gereklidir.

Sembollefltirilmifl nermelere doru ya da yanlfl bir doruluk deeriverilmesine yorumlama denir.\


15/60

MANTIK 2

77

"p" gibi tek bir basit nermenin doru ve yanlfl olmak zere iki, "p" ve "q"nermelerinden oluflmufl bir bileflik nermenin drt, "p", "q" ve "r" gibi nermedenoluflmufl bir bileflik nermenin sekiz yorumlamas olur. Satr says 2n formlylebulunur. Burada "n" bileflen saysn gsterir.

nermelerin alabilecekleri yorumlar afladaki gibidir.

p p q p q r

D D D D D D

Y D Y D D Y

Y D D Y D

Y Y D Y Y

Y D D

Y D Y

Y Y D

Y Y Y

nermelerin doruluk deerlerinin verilerek yorumlanmasnn yapldizelgelere yorumlama izelgesi ya da doruluk izelgesi (tablosu) ad verilir. Bu

bilgiler flnda, herhangi bir nermenin nasl yorumlandn flu flekildegsterebiliriz.

p(qp) nermesinin doruluk tablosu afladaki gibi olur.

p q qp p (qp)

D D D D

D Y Y Y

Y D Y D

Y Y Y Dlk nce p ve q nermelerinin alabilecekleri doruluk deerleri yazlr.

nermenin bileflenlerinin tek tek deerleri bulunduktan sonra, en sonundanermenin btnnn doruluk deerleri karlr. Btn bu ifllemlerin daha ncegrdmz nerme eklemlerinin kurallarna gre yapldn unutmaynz.

Bu yntem ile, nermelerin tutarllk, geerlilik ve efl deerliklerinidenetlememiz olanakl olur.


16/60

MANTIK 2

78

nermenin Tutarllnn Denetlenmesi

Bir nermenin tutarll demek, o nermenin btn yorumlamalarndan enaz birinin doru deeri almfl olmas demektir. Bir nermenin tm yorumlamalardoruysa buna totoloji denir. Bir nermenin doruluk tablosunda almfl olduudeerlerin tm yanlflsa o nerme tutarsz demektir. nermenin tutarl olmasdemek ise, o nermenin iinde eliflik ifadelerin olmad anlamna gelir.

P p p p p

D D D Y Y

Y D Y

tutarl tutarszfiimdi, birka rnek vererek nermenin tutarllnn nasl denetlendiini

grelim.

rnek 1: (pvq)p nermesinin tutarlln denetleyelim.

p q pvq (pvq)p

D D D D

D Y D D

Y D D YY Y Y Y

Tutarl

Hatrlayacanz gibi, bir nermenin tutarl olabilmesi iin yorumlarndanen az birinin doru olmas yeterliydi. Yukardaki nermenin drt yorumundan ikisidoru olduu iin bu nerme tutarldr.

rnek 2: (p~p)q nermesinin tutarlln denetleyelim.

p q ~p p~p (p~p)q

D D Y Y Y

D Y Y Y Y

Y D D Y Y

Y Y D Y Y

Yukardaki nermenin hibir dorulayc yorumu bulunmad iintutarszdr.

Tutarsz


17/60

MANTIK 2

79

rnek 3: (pq)(pr)

p q r pq pr (pq)(pr)

D D D D D D

D D Y D Y Y

D Y D Y D Y

D Y Y Y Y D

Y D D D D D

Y D Y D D D

Y Y D D D D

Y Y Y D D D Tutarl

Yukardaki nermenin sekiz yorumundan alts doru olduu iinbu nerme tutarldr.

(~pq)(p~q) nermesinin tutarlln doruluk tablosuyladenetleyiniz.

Birden Fazla nermenin Tutarllnn Denetlenmesiki ya da daha fazla nermenin bir arada tutarl olup olmadklarn

denetlemek iin, bunlarn ayr ayr doruluk deerleri bulunur ve birbirleriylekarfllafltrlr. Eer bu nermeler ayn satrda en az bir defa doru deeri almflsa bunermeler tutarldr.

rnek 1: pvq, pq, ~pq nermelerinin bir arada tutarl olupolmadklarn denetleyelim

p q ~p pvq pq ~pq

D D Y D D YD Y Y D Y D

Y D D D D D

Y Y D Y D Y Tutarl

Yukardaki rnekte, nc satrda her nerme doru deer almfltr.Bu nedenle bu nermeler bir arada tutarldr.


18/60

MANTIK 2

80

rnek 2: pq, p~q nermelerinin tutarl olup olmadn denetleyelim.

p q ~q pq p~qD D Y D Y

D Y D Y D

Y D Y D Y

Y Y D D Y Tutarsz

Yukardaki rnekte, iki nermenin ayn satrda bir arada aldklar dorudeeri olmadndan bu nermeler tutarszdr. Bu durumda bu nermelerbirbirleriyle elifliktir.

1. (~pv~q)p ve p(q~p) nermelerinin tutarlln doruluk tablosuyaparak denetleyiniz.

2. (pq)~q, (~pvq)p ve (pq) nermelerinin tutarlln doruluktablosu yaparak denetleyiniz.

nermenin Geerliliinin Denetlenmesi

Tm yorumlamalar doru olan nermeye geerli nerme denir.Yorumlamalardan en az birisi yanlfl deer almflsa bu nerme geersizdir.

p p p p p

D D D Y Y

D Y Y

geerli geersiz

rnek 1: (pvq)v(pq) nermesinin geerli olup olmadn doruluktablosu ile denetleyelim:

p q pvq pq (pvq)v(pq)D D D D D

D Y D Y D

Y D D D D

Y Y Y D D Geerli

Yukardaki nermenin tm yorumlamalar doru olduundan nermegeerlidir.


19/60

MANTIK 2

81

rnek 2: (pvq)p nermesinin geerli olup olmadn denetleyelim:

p q pvq (pvq)p

D D D D

D Y D D

Y D D Y

Y Y Y Y Geersiz

Yukardaki nermenin nc ve drdnc satrlardaki iki yorumu yanlflolduundan bu nerme geersizdir.

Her tutarsz nerme ayn zamanda geersizdir. Ancak, her tutarl nermenin geerli

olacan syleyemeyiz. Geerli de olabilir, geersiz de olabilir.

Neden her tutarl nerme ayn zamanda geerli ya da geersizdir

diyemeyiz? Yantlayamadysanz tutarllk ve geerlilik konusunu yeniden gzden

geirin.

karmlarn Geerliliinin Denetlenmesi

karmlarn geerlilii iki yolla denetlenebilir.Birinci yol: karmn iki ncl tmel evetleme eklemiyle () birbirine

balanr. Elde edilen tmel evetleme nermesi koflul eklemiyle () sonu nermesinebalanr. Elde edilen koflul nermesinin doruluk tablosuyla geerli olup olmaddenetlenir. Koflul nermesi geerliyse karm da geerli demektir.

rnek 1: pvq, ~q p karmnn geerli olup olmadn denetleyelim.nce, nclleri tmel evetleme eklemiyle birbirine balayalm. Bylece, (pvq)~qnermesini elde ederiz. Bu nermeyi koflul eklemiyle sonu nermesinebaladmzda [(pvq)~q]p nermesini elde ederiz. fiimdi bu nermeningeerliliini denetleyebiliriz:

p q ~q pvq (pvq)~q [(pvq)~q]p

D D Y D Y DD Y D D D DY D Y D Y DY Y D Y Y D Geerli

Tm deerleri doru ktna gre bu nerme geerli, dolaysyla karmgeerlidir.

?


20/60

MANTIK 2

82

rnek 2: ~p~q, pq p

[(~p~q)(pq)]pp q ~p ~q ~p~q pq (~p~q)(pq) (~p~q)(pq)p

D D Y Y Y D Y D

D Y Y D Y Y Y D

Y D D Y Y Y Y D

Y Y D D D D D Y

Yukardaki nerme son satrnda yanlfl deer ald iin karm geersizdir.

kinci yol: ncller ayns gibi alnp sadece sonu nermesinin

deillemesi alnarak nermelerin tutarl olup olmadna baklr.rnek 1: pq, p q karmnn geerli olup olmadn denetleyelim.

Bunun iin, "o hlde" () iflaretini atp sonu nermesinin deilini alrz. Bylece farkl nerme ortaya kar: pq, p, ~q. fiimdi, bu nermenin bir arada tutarlolup olmadna bakalm.:

p q ~q pq

D D Y D Tutarsz

D Y D Y

Y D Y D karmY Y D D geerli

Yukardaki nermenin ayn satrda beraberce aldklar doru deeriolmad iin bu nemeler tutarszdr. Ancak karm geerlidir.

Sonucu deilllenmifl bir karmn nermeleri tutarl ise karmn kendisi geersiz,

sonucu deilllenmifl bir karmn nermeleri tutarsz ise karmn kendisi geerlidir.

rnek 2: pq, ~pvq q karmnn geerliliini denetleyelim:

pq, ~pvq, ~q

p q ~p ~q pq ~pvqD D Y Y D DD Y Y D Y YY D D Y D DY Y D D D D Geersiz

Yukardaki nermeler bir arada tutarl olduundan karm geersizdir.


21/60

MANTIK 2

83

p q

D D

D D

p q

D D

Y Y

p q

Y Y

Y Y

p q

D D

Y D

p q

D Y

D Y

1. pv~q, pq p~q2. ~(pq), ~p ~q karmlarnn geerliliini birinci ve ikinci yollar

kullanarak denetleyiniz.

nermelerin Denkliinin (Efl Deerlii) Denetlenmesi

ki nermenin birbirine denk (efl deer) olmas, ayn satrda ayn dorulukdeerlerini almfl olmalarn gerektirir.

denk denk deil

ki nermenin denk olup olmadn anlamak iin iki deiflik yolkullanlabilir.

Birinci yol: nermeler doruluk tablosuyla ayr ayr denetlenir vedoruluk deerleri birbiriyle karfllafltrlr. Ayn deerleri almfllarsa nermelerdenktir.

rnek 1: ~pq, pvq nermelerinin denkliini denetleyelim.p q ~p ~pq pvq

D D Y D DD Y Y D DY D D D DY Y D Y Y nermeler denktir.

Bu iki nerme doruluk tablosunun btn satrlarnda ayn deeri aldklariin denktir.

rnek 2: pq, ~pv~q nermelerinin denkliini denetleyelim:p q ~p ~q pq ~pv~qD D Y Y D YD Y Y D Y DY D D Y Y DY Y D D D D nermeler denk deil.

nermeler ayn satrlarda ayn deerleri almadklar iin denk deildir.


22/60

MANTIK 2

84

kinci yol: Denklii denetlemenin ikinci yolu, verilen iki nermeyikarfllkl koflul () eklemiyle birbirine balamaktr. Elde edilen nermeningeerlilii denetlenir. Eer geerliyse bu nermeyi oluflturan iki nerme birbirinedenktir. fiimdi, yukardaki rnekleri ikinci yolla denetlemesini yapalm.

rnek 1: ~pq, pvq nermelerinin denkliini denetleyelim:

(~pq)(pvq) (karfllkl koflul nermesi)

p q ~p ~pq pvq (~pq)pvq)

D D Y D D D

D Y Y D D D

Y D D D D D

Y Y D Y Y D nermeler denktir.

rnekteki karfllkl koflul nermesi geerli olduuna gre, iki nermebirbirine denktir.

rnek 2: pq, ~pv~q nermelerinin denkliini denetleyelim.

(pq)(~pv~q) (karfllkl koflul nermesi)

p q ~p ~q pq ~pv~q (pq)(~pv~q)

D D Y Y D Y Y

D Y Y D Y D Y

Y D D Y Y D Y

Y Y D D D D D

nermeler denk deildir.

Yukardaki karfllkl koflul nermesi geersiz olduundan iki nermebirbirine denk deildir.

Bir karfllkl koflul nermesi geerli ise bu nermeyi oluflturan iki nerme birbirine denktir.

1. ~(pv~q), ~pq

2. ~(p~q), pq nermelerinin denkliini birinci ve ikinci yolukullanarak denetleyiniz.


23/60

MANTIK 2

85

c. zmleyici izelge

Doruluk tablosunda denetleme yaplrken, nermelerin says arttkaifllem yapmak zorlaflr. Daha nce belirttiimiz gibi, tek bir nermenin doru veyanlfl olmak zere iki, iki nermenin drt, nermenin sekiz, drt nermeninon alt farkl deeri vardr. Bu zorluu ortadan kaldrmak iin zmleyici izelgekullanlr.

zmleyici izelge, bir ya da birden fazla nermenin dorulayc veyanlfllayc yorumlarn bir izelge zerinde belirtmeye yarar. nermeler admadm bileflenlerine ayrlr.

zmleyici izelgenin bir takm temel kurallar vardr.

zmleme Kurallar

zmleyici izelgede denetleme yaplrken, btn nermeler tmelevetleme ve tikel evetlemenin kuralna indirgenerek zmlenir.

Tmel Evetleme nermesinin zmleme Kural

pq gibi bir tmel evetleme nermesi zmlenirken doruluk tablosundakullanlan kurallardan yararlanlr. Bu nermenin doru olabilmesi iin p ve q ner-melerinin doru olmas gerektiini daha nce grmfltk. zmleyici izelgedeher iki nermenin de doru olduunu belirtmek iin alt alta yazlarak zmlemesiyaplr. Yanna zmleme srasn belirtmek iin numara verilir. Ayn numara,geldii nermenin nne kaynak numaras olarak yazlr. Buradaki engel iflareti( ] ) "ve" eklemini sembolize eder.

1. pq

p

q Tmel evetleme nermesinin zmleme kural

kiden fazla bilefleni varsa zmlemesi afladaki gibi yaplr.1. pqr

p

q

r

(1)

(1)


24/60

MANTIK 2

86

rnek:

1. (p

q)

(q

p)2. (p q)

3. (q p)

p

q

q

p

Tikel Evetleme nermesinin zmleme Kuralpvq gibi bir tikel evetleme nermesinin doru olabilmesi p ya da q

nermelerinden en az birinin doru olmas ile mmkndr. Dolaysyla, tikelevetleme nermesinin doru deer almas iin ya pnin ya da qnun doru olmasgerekir. Bu durumu gstermek iin atal ama kural uygulanr.

atal ama kuralnda birinci bileflen ataln sol tarafna, ikinci bileflenataln sa tarafna yazlr. zmlemeye bafllarken zmlenecek nermeninbaflna adm numaras yazlr. Ayn numara ataln ortasna kaynak numaras olarakyazlr.

1. pvq

(1)p q

ana bilefleni olan tikel nermenin zmlenmesi flyledir:

1. pvqvr

(1)p q r

rnek :1. pv(pvq)

(1)p 2. pvq

(2)p q

(1)

(2)

(3)

Tikel evetleme nermesinin zmleme kural.


25/60

MANTIK 2

87

Tretilmifl zmleme Kurallar

Tmel evetleme ve tikel evetleme biiminde olmayan nermeler iintretilmifl zmleme kurallar uygulanr. Bu nermeler nce kendisine denk olantmel evetlemeye ya da tikel evetlemeye dnfltrlr. zmleme, yukardagrdmz tmel evetleme ve tikel evetlemenin kurallarna gre yaplr. Afladakitabloda, De Morgan Kurallar ad verilen bafllca denklikler (efl deerlikler)verilmifltir.

nerme Efl deeri

~(pq) ~pv~q

~(pvq) ~p~q

pq ~pvq

~(pq) p~q

pq (pq)v(~p~q)

~(pq) (p~q)v(~pq)

Tmel Evetleme Deillemesinin zmleme Kural

p

q nermesini yanlfl yapan durum, ayn nermenin deillemesini doruyapan durumdur. Deillenmifl tmel evetleme nermesini yanlfl yapan iki seenekolduundan atal ama kural uygulanr.

1. ~(pq)

(1)

~p ~q

rnek: 1. ~[(p q) p]

(1)2. ~(pq) ~p

(2)

~p ~q

(pq)pvq denkliinden tretilmitmel

evetlem e nermesinin zmlem e kural.evetleme deillemesinin zmleme kural.


26/60

MANTIK 2

88

Tikel Evetleme Deillemesinin zmleme Kural

pvq nermesini yanlfl yapan durum, her iki bileflenin de yanlfl olduudurumdur. Dolaysyla, ~(pvq) nermesinin doru deer almas ~p ve ~qnermelerinin doru olmasna baldr. Bu nedenle alt alta yazma kural uygulanr.

1. ~(p v q)

~p

~q

rnek: 1. ~[(pvq)vq]

2. ~(pvq)

~q

~p

~q

Koflul nermesinin zmleme Kural

Koflul nermesini yanlfl yapan tek bir durum olduunu daha ncegrmfltk (n bileflen doru, art bileflen yanlflsa koflul nermesi yanlfl, dier

durumlarda doru). Bu durumda koflul nermesini doru yapan iki seenek vardr.

Ya n bileflen yanlfl olmal ya da art bileflen doru olmaldr. Dolaysyla, n bileflen

yanlflsa koflul nermesi mutlaka doru, art bileflen doruysa koflul nermesi yine

mutlaka dorudur. Bu nedenle koflul nermesinde atal ama kural uygulanr.

1. pq

(1)~p q

(pq)(pvq) denkliinden tretilmi

nermesinin zmlem e kural.

(1)(pvq)pq denkliinden tretilmi,tikel

evetlem e nermesinin zmleme kural.

(1)

(2)

evetleme deillemesinin zmleme kural.

koflul nermesinin zmleme kural.


27/60

MANTIK 2

89

rnek: 1. p(pvq)

(1)

~p 2. (pvq)

(2)

p q

Koflullu Deillemesinin zmleme Kural

~(pq) nermesinin doru olmas pq nermesinin yanlfl olmasnabaldr. pq nermesini yanlfl yapan tek bir durum olduuna gre (p doru,q yanlfl ise yanlfl), bu durum koflul nermesinin deillemesini doru yapandurumdur. Koflul nermesinin deillemesini doru yapan tek bir durum olduunagre, alt alta yazma kural uygulanr.

1. ~(pq)

p

~q

rnek: 1. ~[p(pvq)]

p

2. ~(pvq)

~p

~q

Karfllkl Koflul nermesinin zmleme Kural

Karfllkl koflul nermesinin doru olmas iin her iki bileflenin de ayndeeri almfl olmas gerekir. Bu durumda iki seenekle karfl karflya kalmfloluyoruz. Bu nedenle atal ama kural uygulanmaldr.

(1)(pq)pq edeerliinden tretilmi, koullu

deillemesininzmleme kural.

(1)

(2)


28/60

MANTIK 2

90

1. pq

(1)

p ~p

q ~q

rnek: 1. (pvq)q

(1)

2. (pvq) 3. ~(pvq)

q ~q

(2) ~p

p q ~q

Karfllkl Koflul Deillemesinin zmleme Kural

Karfllkl koflul nermesini yanlfl yapan durum (bileflenlerin farkl deeralmas), karfllkl koflul nermesini doru yapar. Yani, pD ve qY ya da pYve qD ise karfllkl koflul deillemesi doru olur. ki seenek olduuna gre atalama kuralnn uygulanmas gerekir.

1. ~(p q)

(1)p ~p

~q q

(pq)(pq)v(pq) edeerliinden

tretilmi, karlklkoul nermesinin

zmleme kural.

(3)

(p

q)

(p

q)v(

p

q)denkliindentretilmikarlklkoul deillemesi zmleme kural.karfllkl koflul deillemesinin zmleme kural.


29/60

p ~p~q q

MANTIK 2

91

rnek: 1. ~[(pq)p]

(1)2. (pq) 3. ~(pq)

~p p

p (3)

q ~p ~q

Buraya kadar tm nerme trlerinin ve onlarn deillenmifl durumlarnnzmleme kurallarn grmfl olduk. fiimdi bunlar bir tablo halinde grelim.

zmleyici izelge KurallarAlt Alta Yazma Kurallar atal Ama Kurallar1. Tmel evetlemenin zmleme kural. 1. Tikel evetlemenin zmleme kural

1. pq 1. pvqpq p q

2. Tikel evetleme deillemesinin zmleme 2. Tmel evetleme deillemesininkural zmleme kural

1. ~(pvq) 1. ~(pq)~p

~q ~p ~q3. Koflullu deillemesinin zmleme kural 3. Koflul nermesinin zmleme

kural

1. ~(pq) 1. pqp

~q ~p q4. Karfllkl koflullunun zmleme

kural

1. pq

p ~pq ~q

5. Karfllkl koflullu deillemesininzmleme kural

1. ~(pq)

(2)

(1) (1)

(1) (1)

(1) (1)

(1)

(1)


30/60

MANTIK 2

92

(p~q)(q~p) nermesini zmleyici izelge ile zmleyiniz.

Yantlayamadysanz bafla dnp konuyu tekrar edin.

zmleyici izelge le Denetleme

zmleyici izelge ile nermeler denetlenirken yaplmas gereken ifllemsrasn flyle gsterebiliriz:

1. zmlenecek nermenin ana eklemi ve ana bileflenleri belirlenir.

2. zmleme kurallar uygulanmaya bafllandnda nce alt alta yazmakural, sonra atal ama kural uygulanr.

3. Ayn zmleme kural ile zmlenecek nerme varsa, zmlemeyeen sttekinden bafllanr.

4. atal ama kuralndan sonra ifllem devam ediyorsa ataln soltarafndaki nermeden devam edilir.

5. Alt alta yazlan nermeler dizisine yol denir. atal ama kural

uygulandnda iki farkl yol ortaya kar.

6. Her zmlemeden sonra, yol zerinde birbiriyle eliflen nerme olup

olmadna baklr. eliflki, ayn yol zerinde bir nermenin hem kendisinin hemde deilinin bulunmas durumudur. rnein, p ve ~p nermesi birbiriyle elifliktir.Ayn yol zerinde byle bir eliflik nerme varsa o yol kapatlr ve "X" iflareti konur.Kapatlan yol zerinde zmlemesi yaplmamfl nerme olsa bile artk ifllem

yaplamaz. Ak olan yollardan iflleme devam edilir.

7. zmlenen nermelere sraya gre adm numaras verilir. Ayn numarazmlenmifl nermeye kaynak numaras olarak yazlr. Basit nermeler (p, q, ~p,

~q vb.) zmleme gerektirmez. Bu nedenle, sadece eliflki ararken baklr.

Afladaki rnek, bu ifllem akfln gstermektedir.rnek: (pq) (~p~q) nermesini zmleyelim: Grld gibi, ana

eklem tmel evetleme (), ana bileflenler (pq) ile (~p~q) nermesidir. Bunagre nce tmel evetleme kural uygulanarak bafllanmaldr. nermenin baflna adm

numaras, sa tarafna ise bafllang nermesi olduunu belirten () sembol yazlr.


31/60

MANTIK 2

93

1. (pq) (~p~q)()

3. (p

q)2. (~p~q)

~p

~q

~p q

Xrnekteki nermenin ana eklemi tmel evetleme olduu iin nce alt alta

yazma kural uyguland. Her zmleme basamana zmleme srasna gre admnumaras ve kaynak numaralar yazld. zmleme sonunda ~q ile q nermesi aynyol zerinde olduu iin birbirleriyle elifltiler ve bu yol kapatlarak "X" iflaretikondu.

nermelerin Tutarllnn Denetlenmesi

Herhangi bir nermenin tutarll denetlenirken, zmleme kurallarnnayns uygulanr. En az bir ak yol varsa nerme tutarldr. nk, bu durum ner-menin en az bir tane doru deerine sahip olduunu gsterir. Hi ak yol yoksanerme tutarsz demektir.

rnek 1: (~pvq) (pq) nermesinin tutarlln denetleyelim:nermenin ana eklemi tmel evetleme () eklemidir. Bu nedenle zmlemeye altalta yazma kural uygulanarak bafllanr.

1. (~pvq) (pq) ()

3. (~pvq)2. (pq)pq

~p qX nerme tutarldr.

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)


32/60

MANTIK 2

94

zmlemeye nermenin sa tarafna adm numarasn, sol tarafna

bafllang nermesi olduunu belirten () harfini koyarak baflladk. Tmel evetleme

kuralna gre bileflenleri alt alta yazdk. Grld gibi, elde edilen iki nermeden

biri tmel evetleme dieri tikel evetleme nermesidir. fllem srasna gre ilk nce

tmel evetleme yaplaca iin, kural gerei tmel evetleme nermesini (2)

zmledik. eliflki ortaya kmad iin tikel evetleme nermesini (3) zm-

ledik. Bylece ifllem tamamland. Ortaya kan iki yoldan birisinde p ve ~p

nermeleri eliflti. Bu nedenle o yolu (X) iflaretiyle kapattk. Dier yol ak olduu

iin zmlediimiz nerme tutarl kt.

rnek 2: 1. p(p~p) ()

p

2. (p~p)

~p ~p

X X nerme tutarszdr.

Yukardaki rnekte, verilen nermenin ana eklemi tmel evetleme olduu

iin birinci admda alt alta yazarak zmledik. kinci admda, koflul nermesini

zmleme kuralna gre (p q ~p v q denklii gerei) atal aarak zmledik.

Her iki yolda kan ~p nermesi yukardaki p nermesi ile elifltii iin nerme

tutarszdr.

Birden Fazla nermenin Tutarlnn DenetlenmesiBirden fazla nerme denetlenirken, ka tane nerme verilmiflse alt alta

yazlr ve zmleme kurallar uygulanr.

(1)

(2)


33/60

MANTIK 2

95

rnek: pq, pq, nermelerinin tutarlln denetleyelim.

pq, pq,

2. pq ()

1. pq ()

p

q

p ~p

q ~qX nermeler tutarldr.

1. ~(qvq)~p

2. pq, p~q

nermelerinin tutarl olup olmadn zmleyici izelge ile denetleyiniz.Yantlayamadysanz konunun baflna dnerek tekrar edin.

nermelerin Geerliliinin Denetlenmesi

Bir nermenin geerlilii denetlenirken, nermenin deili alnr vedeillenmifl hli zmlenir. nermenin deillenmifl hli zmlendiinde tmyollar kapalysa nerme geerli demektir. nk, tm yollar kapalysa nermenindeillenmifl hli yanlfl, kendisi ise doru demektir. En az bir ak yol varsa nermegeersizdir.

rnek : (~pq)(p~q) nermesinin geerliliini denetleyelim:

(~pq)(p~q) ()

1. ~[(~p

q)

(p

~q)] (~)2. (~pq)

3. ~(p~q)

~p

q

~p q nerme geersizdir.

(1)

(1)

(2)

(3)

(2)


34/60

MANTIK 2

96

Yukardaki rnekte, nce nermenin deili alnd. Sonra zmlemekurallarna gre deillenmifl nerme zmlendi. zmleme sonunda btn yollarak olduundan nerme geersizdir.


zmleyici izelge ile karmlarn geerlilii de denetlenebilir. Bununiin, nce sonu nermesinin deili alnr. Daha sonra ncller ve sonu ayrnermelermifl gibi alt alta yazlr. Birden fazla nermenin zmleme kuralndagrdmz biimiyle nerme zmlenir. zmleme sonunda tm yollarkapalysa karm geerli demektir. Tek bir ak yol varsa karm geersizdir.

nk, ak yol varsa, bu ncller ile sonucun deilinin ayn anda doru deeraldn gsterir. Dolaysyla karmn kendisinin (deillenmemifl hlinin) nclleridoru, fakat sonucu yanlfl deer almfl demektir ki bu da karm geersiz klar.

rnek 1: pq, ~p ~q karmnn geerliliini denetleyelim.:

pq, ~p ~q

1. pq (n)

~p (n)

q (~Sn)

(1)~p q karm geersizdir.

Yukardaki rnekte, nclleri ve sonucun deilini alt alta yazdk. nclleri"n", sonu nermesinin deilini ise "~Sn" ile gsterdik. Koflul nermesinizmleme kuralna gre zmledik. Sonuta ortaya kan yollardan her ikisi deaktr. Bu durumda, karm geersizdir.

rnek 2 : pq, ~pq p

1. pq (n)

~pq (n)

~p (~Sn)

p

q

X karm geerlidir.

(1)


35/60

MANTIK 2

97

p~q, ~qr pr karmnn geerli olup olmadn denetleyiniz.Yantlayamazsanz, zmlemeyi nasl yapacanz daha iyi anlamak iin konuyutekrar edin.

nermelerin Denkliinin (Efl deerliinin) Denetlenmesi

zmleyici izelgede nermelerin denkliini denetlemek iin, nceveri-len iki nerme birbirine karfllkl koflul eklemiyle () balanr. Daha sonranermenin deili alnr ve deillenmifl nerme zmleme kurallarna grezmlenir. Tm yollar kapalysa nermeler denktir. nk, deillenmifl nermedetm yollar kapal ise nermenin kendisi geerlidir. Yani, tm deerleri doru

demektir. Karfllkl koflul nermesinde tm deerlerin doru kmas demek, bunermenin bileflenlerinin ayn deeri aldn gsterir (Karfllkl koflul nermesinindoruluk tablosunda anlatlan kurallarn yeniden gzden geirin).

rnek 1: pq, pq nermelerinin denkliini denetleyelim.

1. ~[(pq)(pq)] (~)

2. (pq) 4. ~(pq)

3. ~(p

q) 5. (p

q)p

q ~p ~q

p

~q ~p q ~p q

X X

nermeler denk deildir.

rnek 2: ~(pvq), (~p~q) nermelerinin denk olup olmadnzmleyici izelge ile denetleyelim. nermeleri nce karfllkl koflul eklemiylebirbirine balayalm: ~(pvq) (~p~q). Son olarak deilini alp denetlemeyebafllayalm.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) (5)


36/60

MANTIK 2

98

1. ~[~(pvq)(~p~q)] (~)

2. ~(pvq) 5. (pvq)

3. ~(~p~q) 4. (~p~q)

~p ~p

~q ~q

p q p q

X X X X nermeler denktir.

Btn yollar kapal olduu iin bu iki nerme denktir ve bu durum ~(pvq)(~p~q) biiminde gsterilir.

~(pq), ~pv~q nermelerinin denk olup olmadn nce doruluk tablo-suyla, sonra zmleyici izelge ile denetleyiniz.

2. Niceleme Mant (Yklemler Mant)

nermeler mant nermeleri nitelik ynnden ele ald iin nermelerinniceliini gstermede yetersizdir. rnein, "Baz hayvanlar drt ayakldr." ve"Btn hayvanlar canldr." nermelerini ele alalm. nermeler mantnda bunermeler birer basit nermedir ve p, q gibi sembollerle gsterilir. Ne var ki, bunermelerden birincisi tikel, ikincisi tmel bir nermedir. Bir nermeyi p, q gibisembollerle sembollefltirdiimizde onun tmel mi ya da tikel mi olduunuanlayamayz. Yani nicelii konusunda bize bilgi vermez. Bu nedenle niceleme

mantna gereksinim duyulmufltur. Niceleme mant, nermeler mantnn bu treksikliklerini ortadan kaldrr ve nermelerin ve karmlarn daha ayrntlsembollefltirilmesini salar.

nermeler mantnda kullandmz btn mantk deiflmezleri (~, , v,, ) niceleme mantnda da kullanlr. Ayrca, niceleme mantnn kendinezg deiflmezleri vardr.

Niceleme mantnda sembollefltirme flyle yaplr:

(4)(2)

(3)

(1)

(5)


37/60

MANTIK 2

99

nermelerin znesi a, b, c..... gibi sembollerle gsterilir. Bunlara adsembolleri denir.

nermelerin yklemleri F, G, H gibi sembollerle gsterilir.

rnein, "Filiz konuflkandr." nermesini alalm. "Filiz" znesini "a" harfiile, "konuflkandr" yklemini F harfi ile sembollefltirelim. Bu durumda, "a, Fdir."gibi bir ifade ortaya kacaktr. Niceleme mantnda bu nerme, nce yklemsembol, daha sonra ad sembol biiminde yazld iin, yukardaki nermenin enson biimi "Fa" olacaktr.

Ad sembol a, b, c Gl, Namk, Zeynep

Yklem sembol F, G, H alflmak, gitmek, yrmek, konuflmak

Afladaki rnekler deiflik sembollefltirmeleri gstermektedir.

Handan doktordur. Fa

Osman retmen deildir. ~Fa

Niceleme mantnda, nermenin yklemi tek bir nermeye aitse birliyklem, iki zneye aitse ikili yklem, zneye aitse l yklem, n saydazneye aitse nli yklem adn alr. Demek ki, nermelerde birden fazla znebulunabilir. rnein; "Fatih ve Yasemin evlidir." nermesinde iki zne (Fatih veYasemin), bir tane yklem (evlidir) bulunmaktadr. Bu durumda, bu nermeyi "Fab"

biiminde sembollefltirebiliriz. Ayn biimde, "Canan, Mehmet ve Fatih kardefltir."nermesini "Fabc" biiminde sembollefltirmek gerekir.

Afladaki rnekler birden fazla yklemi olan sembollefltirmelerigstermektedir.

Gkhan ve Glen evlidir Fab

Cengiz, Filiz ve Kardelen bencil deildir. ~Fabc

Niceleme mantnda bileflik nermeleri ayn kurallara uyaraksembollefltirebiliriz. rnein, "retmen gzel anlatrsa biz kolay reniriz."

nermesi bileflik bir nermedir ve afladaki gibi sembollefltirilir.retmen gzel anlatr ise biz kolay reniriz.

a F b G

Dolaysyla, nermeler mantnda p q biiminde sembollefltirilen birnerme, niceleme mantnda FaGb biiminde sembollefltirilir.


38/60

MANTIK 2

100

nermeler Mant Niceleme Mant

Kemal alflkandr. p FaAyfle irkin deildir. ~p ~Fa

O gelirse ben giderim. pq FaGb

Ahmet alflkan ve zekidir. pq FaGa

Ayn kurallar karma da uygulanabilir.

"Su scaksa denize gireceim.

Su scaktr.O hlde, denize gireceim." karmn ele alalm.

Birinci ncl FaGb, ikinci ncl Fa, sonu ise Gb biiminde sembolleflir.Bu durumda karm FaGb, Fa Gb biimini alr. Ayn karm nermelermantnda pq, p q biiminde sembollefltirilir.

"Barfl uzun boylu ise retmen onu seecek." nermesini nicelememantyla sembollefltiriniz.

a. Niceleyiciler ve Ak nermeler

Her nermenin znesi "Ahmet, Ali, Ayfle" gibi her zaman aka belirliolmaz. Bir nerme, belirsiz bir kifliyi ya da nesneyi zne olarak alabilir. Bu trnermelerde belirsiz olan zneyi gstermek iin x, y, z gibi semboller kullanlr.Bu sembollere deiflken ad verilir.

inde x, y, z gibi deiflkenler geen nermelere ak nerme denir.

rnein, "x retmendir.", "y + 4 = 9" gibi nermeler birer ak nermedir.

Ak nermeyi nerme haline getirmek iin, iinde bulunan x, y, z gibideiflkenlerin yerine belirli bir terim konur. Bylece nerme bir doruluk deerinesahip olur. rnein; "x retmendir." nermesinin bir doruluk deeri yoktur.

\


39/60

MANTIK 2

101

Ancak x yerine "Ali" terimini koyduumuzda "Ali retmendir." nermesi birdoruluk deerine sahip olacaktr.

Bir ak nermeyi, nerme hline getirmek iin kullandmz tm terimlerkmesine evren denir ve E: { } biiminde gsterilir. Verilen evrendeki deerlerideiflkenin yerine koyma ifllemine zelleme, bu flekilde elde edilen nermelere dezelleme nermesi ad verilir.

Evrenden setiimiz deerlerin bir ksm nermeyi doru klarken, birksm yanlfl klabilir. Evrene ait bir deerin zelleme nermesini doru klmasnagerekleme ad verilir.

rnek 1:

Ak nerme: "x tek saydr." E: {1, 2, 3, 4, 5}

1 tek saydr. zelleme (D)- Gerekleme

2 tek saydr. zelleme (Y)

3 tek saydr. zelleme (D)- Gerekleme

4 tek saydr. zelleme (Y)

5 tek saydr. zelleme (D)-Gerekleme

rnek 2:

Ak nerme: "x filozoftur." E: {Socrates, Cevat, Abbas, Banu}

Sokrates filozoftur. zelleme (D)- Gerekleme

Cevat filozoftur. zelleme (Y)

Abbas filozoftur. zelleme (Y)

Banu filozoftur. zelleme (Y)

nermelerin niceliini gsteren "btn", "baz", "tm", "kimi" gibiterimlere niceleyici ad verilir. Niceleme mantnda tmel ve tikel niceleyici olmakzere iki tr niceleyici vardr.

Tmel niceleyici "" sembolyle gsterilir ve tm, btn, her, hibir, hepsivb. anlamlara gelir.

Tikel niceleyici "" sembolyle gsterilir ve baz, kimi, bir ksm vb.anlamlara gelir.


40/60

MANTIK 2

102

Buraya kadar grmfl olduumuz kurallar uygulayarak iinde tmel vetikel niceleyici geen nermeleri de sembollefltirebiliriz.

rnein, "x fotosentez yapar." ak nermesini ele alalm. E: {bitkiler}olarak alnrsa, evrendeki deerlerin tm "x fotosentez yapar." nermesinigerekler (dorular). Bu durum, klsik mantkta Tm bitkiler fotosentez yapar."biiminde, niceleme mantnda "Tm xler iin x fotosentez yapar." biimindeifade edilir. "Tm xler" yerine "x", "x fotosentez yapar." yerine de "Fx"sembollerini koyduumuzda, "xFx" tmel nermesini elde ederiz.

fiimdi, yukardaki nerme iin verdiimiz evreni deifltirelim. Bu kezevren, E: {canllar} olsun. Bu durumda, evrende verilen deerlerin bir ksm

"x fotosentez yapar." ak nermesini gereklerken (dorular), baz deerler bunermeyi gereklemez (yanlfllar). Bu durumu klasik mantkta "Baz canllarfotosentez yapar." biiminde ifade ederken, niceleme mantnda "Baz xler iin,x fotosentez yapar." biiminde ifade ederiz. "Baz xler" yerine "x", "x fotosentezyapar." yerine de "Fx" koyarsak, "xFx" tikel nermesini elde ederiz.

Ayn kurallar karma uygulayarak karmlar da sembollefltirebiliriz.

"Her insan deerlidir.

Duygu insandr.

O hlde, Duygu deerlidir."karmn sembollefltirelim. Bu karmda, "deerlidir", "insandr" ve "Duygu"olmak zere tane deiflmez vardr.

"insandr" : F (yklem deiflmezi)

"deerlidir" : G (yklem deiflmezi)

"Duygu" : a (ad deiflmezi)

biiminde sembollefltirilirse karm; "Her F, Gdir.", "a Fdir." "a Gdir."biiminde ifade edilir. "Her F, Gdir." nermesini niceleme mantnda "Her x iinx F ise, x Gdir." biiminde dile getiririz. "Her x iin" yerine "x" konursa, "Herinsan deerlidir." nermesi x (Fx Gx) biiminde sembollefltirilir."Duygu insandr." nermesi Fa ile "Duygu deerlidir." nermesi Ga ilesembollefltirilirse, karm x (FxGx), Fa Ga biiminde sembollefltirilir.

Niceleme mantnda, tmel niceleyici ile kurulmufl ak nermelerinzellemeleri yaplrken elde edilen nermeler birbirlerine tmel evetleme eklemi() ile balanrlar.


41/60

MANTIK 2

103

rnek 1: x (x hayvandr.) E: {kedi, aslan, ylan} olsun. Evrendeverilmifl olan deerleri ak nermede yerine koyarak zellemeyi yapalm.

"Kedi hayvandr." (D)

"Aslan hayvandr." (D)

"Ylan hayvandr." (D)

Elde edilen nermeleri birbirine tmel evetleme eklemiyle balayp,doruluk deerlerini yerine koyduumuzda,

DDDD deerini elde ederiz.

rnek 2: x (x hayvandr.) E: {tafl, demir, kufl} olsun. Evrendekideerleri deiflkenlerde yerlerine koyarak zellemeyi yapalm.

"Tafl hayvandr." (Y)

"Demir hayvandr." (Y)

"Kufl hayvandr." (D)

Bu durumda, elde ettiimiz nermenin doruluk deeri;

YYDY olur.

Niceleme mantnda tikel niceleyici ile kurulmufl ak nermelerinzellemeleri yaplrken, elde edilen nermeler tikel evetleme eklemiyle (v)balanrlar.

rnek 1: x (x madendir.) E: {altn, gmfl, krom} olsun.Evrendeki deerleri deiflkenin yerine koyalm.

"Altn madendir." (D)"Gmfl madendir." (D)

"Krom madendir." (D)

nermeleri tikel evetleme eklemiyle birbirine balarsak, elde ettiimiznermenin doruluk deeri;

DvDvDD olur.


42/60

MANTIK 2

104

rnek 2: x (x madendir.) E: {defter, insan, kalem} olsun.Evrendeki deerleri deiflkenin yerine koyarsak;

"Defter madendir." (Y)

"nsan madendir." (Y)

"Kalem madendir." (Y) nermelerini buluruz. Bu nermeleri t ikelevetleme eklemiyle birlefltirirsek nermenin doruluk deeri;

YvYvYD olur.

Gerekleme ifllemini karmaflk nermeler zerinde de yapabiliriz.

rnek: x (x svdr.) x (x gazdr) E: {helyum, su} olsun.Evrende verilmifl olan deerleri deiflkenlerin yerine koyalm.

[(Helyum svdr.) (su svdr.) ] [(helyum gazdr.) v (su gazdr.)]

Y D D Y

(YD) (DvY)

Y D D deerini alr.

1. x (x katdr.) ak nermesini E: {silgi, kalem, oksijen} evreninde;

2. x (x ift saydr.) ak nermesini E: {1, 3, 5,7} evreninde gerekleyipdoruluk deerini bulunuz.

Bu bilgilerin flnda, niceleme mantndaki nermeleri afladaki gibisnflandrabiliriz.


43/60

MANTIK 2

105

NERMELER

b. Yorumlama, Tutarllk, Geerlilik, Denklik

Sembollefltirilmifl bir nermeyi yorumlama, nermeye bir anlam vermekdemektir. Yorumlama yapabilmek iin de bir evrenin verilmesi gerekir. Evrendekideerler sembolik nermeye uygulanarak yorumlama yaplr.

rnek 1: Fa nermesinde F: aklldr, a: Ali olsun

Bu durumda, "Ali aklldr." yorumunu elde ederiz.

rnek 2: xFx ak nermesinde E: {Ali, Veli} evreni verilsin.

Bu durumda nermenin yorumu,

(Ali aklldr) (Veli aklldr) biiminde olur.

rnek 3: xFx xFx ak nermesinde E: {Ali, Veli} olsun. Budurumda nermenin yorumu,

[(Ali aklldr.) (Veli aklldr.)] {(Ali aklldr.) v (Veli aklldr.)]biiminde olur.

Niceleme mantnda nermelerin tutarllk, geerlilik ve denklikdenetlemesi yaplabilir. Bunu yaparken zmleyici izelgenin zellikleri kullanlr.

Tekil nermeler(inde niceleyici sembol

gemeyen nermeler)

Genel nermeler(inde niceliyici sembol

geen nermeler)

Basit nermeler(iinde nerme

eklemi taflmayannermeler)

Tafl serttir.

Fa

Bileflik nermeler(iinde nermeeklemi bulunan

nermeler)Tafl ve mermer

serttirFaFb

Basit nermeler(Tek niceleyici

taflyan nermeler)

Bileflik nermeler(inde ana eklemibulunan ve birden

fazla niceleyicitaflyan nermeler)

xFx xGx

Tmel nermeTm xler iin x

katdr.xFx

Tikel nerme bazxler iin x katdr.

xFx


44/60

MANTIK 2

106

Ayrca, niceleme mantnn niceleyici deilleme kurallar ve zelleme kurallarolmak zere kendine zg kurallar da vardr.

Niceleyici Deilleme Kurallar

Olduka basit bir biimde, tmel ve tikel nermeleri birbirinednfltrmeyi salayan kurallardr. Tmel ve tikel niceleyici deilleme kural olmakzere ikiye ayrlr.

Tmel Niceleyici Deilleme Kural

~xFx x~Fx biiminde ifade edilir. Deillenmifl tmel nerme yerineona denk olan tikel nerme yazlr.

rnein, ~x (FxGx) nermesini bu kurala gre zmlersek,1. ~x (FxGx)

x ~(FxGx) (1) sonucunu buluruz.

Tikel Niceleyici Deilleme Kural

~xFx x~Fx biiminde ifade edilir. Deillenmifl tikel nerme yerine,zdefli olan tmel nerme yazlr.

rnein, ~x (Fx v Gx) nermesini bu kurala gre zmleyelim.

1. ~x (Fx v Gx)x~(Fx v Gx) (1) sonucunu buluruz.

zelleme Kurallar

zelleme kurallar da tmel zelleme ve tikel zelleme olarak ikiye ayrlr.

Tmel zelleme Kural

zmleyici izelgede ifllem yaplrken xFx gibi bir tmel nermeninzellemesini yapmak iin ayn yol zerinde daha nce gemifl bir ad sembol(a, b, c gibi) varsa x bilinmeyeni yerine o ad sembol yazlr. Eer daha nce gemifl

bir ad sembol yoksa, herhangi bir sembol kullanlr. zm yaplan yol zerindebir-den fazla ad sembol geiyorsa, bu ad sembollerinin her biri ile tmelnermenin ayr ayr zellemesi yaplr. Tmel zelleme yaplrken tmel niceleyici() kalkar, sadece yklem sembol kalr.

rnek: xFx, Fb Gb karmnn geerliliini denetleyelim: ncencller ile sonucun deili alt alta yazlr (daha nce anlattmz karmlarngeerlilii konusuna baknz).


45/60

MANTIK 2

107

1. xFx, (ncl)

Fb (ncl)~Gb (~Sonu)

Fb (1) yol ak olduundan karm geersizdir.

Tikel zelleme Kural

zmleyici izelgede ifllem yaplrken xFx gibi bir tmel nermeninzellemesini yapmak iin, ayn yol zerinde daha nce gemifl bir ad sembol(a, b, c gibi) varsa o ad sembolnden farkl bir sembol kullanlr. Eer daha ncegemifl bir ad sembol yoksa, herhangi bir ad sembol kullanlr. Tikel zelleme

yaplrken tikel niceleyici () kalkar, sadece yklem sembolleri kalr.rnek: xFx, Gb Ga karmnn geerliliini denetleyelim:

1. xFx (n)

Gb (n)

~Ga (~Sn)

Fc (1) karm geersizdir.

Niceleme mantnda denetleme yaplrken aflada gsterilen ncelik

srasna gre ifllem yaplr.1. Tmel niceleyici deilleme kural

2. Tikel niceleyici deilleme kural

3. Alt alta yazma kurallar

4. Tikel zelleme kural

5. atal ama kurallar

6. Tmel zelleme kural

c. zmleyici izelge le Denetleme

nermelerin Tutarllnn Denetlenmesi

Daha nce grdmz gibi, bir nermenin tutarl olmas ifllem sonunda enaz bir tane ak yol olmas demektir. Tm yollar kapal ise nerme tutarszdr.


46/60

MANTIK 2

108

rnek 1: xFx xGx nermesinin tutarlln denetleyelim: fllemsrasna gre alt alta yazma kuraln uygulamamz gerek. nk, ilk iki maddede

belirtilen tmel ve tikel niceleyici deilleme kurallarn uygulamak iin nermelerindeillerinin verilmesi gerekirdi. Deilleri olmad iin nc sradanbafllayabiliriz.

1. xFx xGx ()

2. xFx

3. xGx

Fa (2)

Gb (3) nerme tutarldr.Yukardaki rnekte, nce alt alta yazma kural uyguland. Son olarak

2 ve 3 nolu nermeler tikel nerme olduu iin tikel zelleme kural uyguland.Ortaya kan tek yol ak olduundan, nerme tutarldr.

rnek 2: x (Fx ~Fx) nermesinin tutarlln denetleyelim:

1. x (Fx ~Fx) ()

2. (Fa~Fa) (1)

Fa

~Fa

X nerme tutarszdr.

rnek 3: Son rneimiz xFx v xGx gibi bir tmel nerme olsun.

1. xFx v xGx ()

2. xFx 3. xGx

Fa (2) Ga (3) nerme tutarldr.

nermelerin Birlikte Tutarllnn Denetlenmesi

Birden fazla nerme verilmiflse, nermelerin tutarlln denetlemek iinnce bu nermeler alt alta yazlr ve zmleme kurallar ile niceleme kurallarnauygun olarak zmlenir. Ak yol varsa nermeler tutarldr.

(1)

(2)

(1)


47/60

MANTIK 2

109

rnek 1: ~xFx, ~xFx nermelerinin bir arada tutarl olup olmadndenetleyelim:

~xFx, ~xFx

1. ~xFx, ()

2. ~xFx ()

3. x~Fx (1)

4. x~Fx (2)

~Fa (3)

~Fa (4) nermeler Tutarldr.

rnek 2: xHx, ~Ha nermelerinin birlikte tutarlln denetleyelim:

xHx, ~Ha

1. xHx ()

~Ha ()

Ha (1)

X nermeler tutarszdr.

Niceleme mantnda zmleyici izelge ile tutarllk denetlemesi ilenermeler mantnda zmleyici izelge ile tutarllk denetlemesini karfllafltrn.Benzerlik ve farkllklar nelerdir?

nermelerin Geerliliinin Denetlenmesi

Bir nermenin geerlilii denetlenirken nce o nermenin deili alnr.zmleme sonucunda tm yollar kapalysa nerme geerlidir (nk deillinerme tutarszdr). Ak bir yol varsa nerme geersizdir (nk deilli nermetutarldr). Grdnz gibi, daha nce nermeler mantnda grdmzkurallarn aynsn uyguluyoruz. "Deillenmifl bir nerme tutarl ise nermeninkendisi geersizdir, deillenmifl nerme tutarsz ise nermenin kendisi geerlidir."nerme kuraln hatrladnz m? rnein, ~( xFx xFx) nermesi tutarl ise, ozaman geersiz demektir.


48/60

MANTIK 2

110

rnek 1: xFx xFx nermesinin geerliliini denetleyelim: ncenermenin deilini alarak iflleme bafllayacaz.

1. ~(xFx xFx) (~)

3. xFx

2. ~xFx

4. x~Fx (2)

Fa (3)

~Fa (4)

X nerme geerlidir.Yukardaki rnekte, nermenin geerliliini denetlemek iin nce

nermenin deilini aldk. Birinci admda, koflullu deillemesinin kuraln uygula-yarak alt alta yazdk. kinci admda tikel niceleyici deilleme kuraln uyguladk.nc ve drdnc admda ise, her iki nermede tmel olduu iin tmelzelleme kuraln uyguladk. Ortaya kan tek yol eliflti. Bu nedenle nerme geerlidir.

rnek 2: xFx xGx nermesinin geerliliini denetleyelim:

1. ~ (xFx xGx) (~)

(1)2. ~xFx 4. ~xGx

3. x~Fx (2) 5. x~Gx (4)

~Fa (3) ~Ga (5) nerme geersizdir.

xFx v xGx nermesinin geerli olup olmadn denetleyiniz.


Niceleme mantnda karmlarn da geerlilii denetlenebilir. karmngeerliliini denetlemek iin, daha nce nermeler mantnda yaptmz gibi,karmda verilen nclleri aynen alp, sadece sonucun deilini alacaz.zmleme sonunda tm yollar kapal ise karm geerli, en az bir ak yol varsakarm geersizdir.

(1)


49/60

MANTIK 2

111

rnek 1: xFx, Ga Fa karmnn geerliliini denetleyelim:

1. xFx (n)Ga (n)

~Fa (~Sn)

Fa (1)

X karm geerlidir.

rnek 2: xFx x(Fx Gx) karmnn geerliliini denetleyelim:

2. xFx (n)1. ~x(Fx Gx) (~Sn)

3. x~(FxGx) (1)

Fa (2)

4. ~(Fa Ga) (3)

(4)

~Fa ~Ga

X karm geersizdir.

nermelerin Denkliinin (Efl Deerliinin) Denetlenmesi

Verilen iki nermenin denkliini denetlemek iin, nermeler karfllkl

koflul eklemiyle () birbirine balanr. Daha sonra elde edilen nermenin

deillemesi alnr. Deillenmifl nermenin zmlenmesi sonucunda, btn yollar

kapalysa bafllangta verilen nermeler denktir. Ak tek bir yol varsa, nermelerdenk deildir.


50/60

MANTIK 2

112

rnek 1: ~xFx, x~Fx nermelerinin denkliini denetleyelim:

1. ~[(~

xFx)

(

x~Fx)](1)

2. ~xFx 7. x Fx

3. ~x~Fx 6. x~Fx

4. x~Fx (2) ~Fa (6)

5. xFx (3) Fa (7)

~Fa (4) X

Fa (5)X nermeler denktir.

rnek 2: xFx, xFx nermelerinin denkliini denetleyelim:

1. ~(xFx xFx)

(1)

3. xFx 5. ~xFx

2. ~xFx 6. xFx

4. x~Fx (2) 7. x~Fx (5)

Fa (3) Fa (6)

~Fb (4) ~Fa (7)

X

Bir tane ak yol bulunduu iin nermeler denk deildir.

~x~Fx, xFx nermelerinin denk olup olmadn denetleyiniz.


51/60

MANTIK 2

113

B. OK DEERL MANTIK

ki deerli mantkta nermeler, doru ve yanlfl olmak zere iki deeralabilir. nk zdefllik, eliflmezlik ve nc hlin olanakszl ilkelerine gre,nermeler baflka bir deer alamaz. Bu ilkeye gre nermeler ya dorudur ya dayanlfl. Ancak bu durum bir takm nermelerin deerini belirlememizi engeller.rnein, "Bu yaz tatile gideceim." biimindeki bir nermeye, gelecee iliflkin birbilgi verdii iin doru ya da yanlfl diyemeyiz. Bu trden nermelerin doru ya dayanlfl olmas olasdr, ancak kesin deildir. Bu geliflmeler ok deerli mantngeliflmesine neden olmufltur.

nermelerin ikiden fazla deere sahip olabileceklerini kabul edenmantk sistemine ok deerli mantk denir.

ok deerli mantk iinde, zellikle deerli mantk gnmzde nemkazanmfltr. deerli mantk yannda drt deerli mantk ve hatta sonsuz deerliolaslk mant kurulmufltur. Biz sadece deerli manta iliflkin baz zelliklerigreceiz.

ki deerli mantkta nermelerin doru ve yanlfl olmak zere iki deeribulunurken, deerli mantkta bu deerlere bir de "belirsiz" deeri eklenmektedir.Bu durumda, rnein bir "p" nermesi doru, yanlfl ve belirsiz deerler almaktadr. deerli mantn doruluk deerleri afladaki gibidir:

Doru D 1

Yanlfl Y 0

Belirsiz B 1/2

deerli mantk, iki deerli mantkta kullanlan "deil" (~), "ve" (),"veya" (v), "ise" (), "ancak ve ancak" () gibi mantksal deiflmezleri aynbiimde kullanr. Ancak doruluk tablosu farkldr. ki deerli mantkta sadece ikideer olduundan tek bir nermenin doruluk tablosu iki, iki nermenin doruluktablosu drt satrdan olufluyordu. deerli mantkta ise tek bir nermenindoruluk tablosunda , iki nermenin dokuz satr bulunur.

\


52/60

MANTIK 2

114

p ~p

D YB B

Y D

deerli mantkta nerme eklemleri ile oluflturulan bileflik nermelerinalabilecei doruluk deerleri afladaki gibidir:

p q pq pvq pq pq

D D D D D D

D B B D B B

D Y Y D Y Y

B D B D D B

B B B B D D

B Y Y B B B

Y D Y D D Y

Y B Y B D B

Y Y Y Y D D

C. KPLK MANTII

Daha ncede akladmz gibi kiplik, nermenin dile getirdii durumungerek, zorunlu ve mmkn olup olmamas halidir. nermeler kiplerine gregerek, zorunlu ve mmkn olarak e ayrlr. Kiplik mant zorunlu ve mmknnermeleri kapsayan mantktr.

Kiplik mantnda, zorunlu eklemi ile kurulan nermelere zorunlunerme, mmkn eklemi ile kurulan nermelere de mmkn (olanakl)nerme denir.

p nermesidoruyken,p nermesi

yanl, p nermesi belirsizken p nerm eside belirsiz, p nermesiyanlkenp ner-

mesi doru deer alr.

\


53/60

MANTIK 2

115

Zorunlu eklemi " " sembolyle, mmkn nerme "" sembolyle

gsterilir. Bu sembollere kiplik deiflmezleri ad verilir. Kiplik deiflmezleri,

verilen bir nermeden yeni bir nerme oluflturmaya yarar.

Kiplik Deiflmezleri

Zorunlu

Mmkn

Pamuun yumuflak olmas zorunludur = p zorunludur = p

Pamuun yumuflak olmas mmkndr = p mmkndr = p

Kiplik mant, kiplik deiflmezleri yan sra, nermeler mantndaki

mantksal deiflmezleri de (~, , v, , ) kullanr.

Zorunluluk kipiyle kurulan bir nermenin doruluu, gerek dnyada

olduu gibi tm olas dnyalarda da zorunludur. Yani, zorunluluk kipiyle kurulmufl

bir nermeyi her zaman byle bir zorunluluk varmfl gibi dflneceiz.

Mmknlk kipiyle kurulmufl bir nermenin doruluu ise, en az bir dnya

iin (gerek dnyada ya da var olabilecek baflka bir dnyada) dorudur. Dolaysyla,

kiplik mantnda nermelerin alabilecei doruluk deerleri afladaki gibi

olacaktr.

nerme p p p

1. Pamuk yumuflaktr. D Y D2. Pamuk yumuflaktr veya pamuk yumuflak deildir. D D D

3. Pamuk yumuflak deildir. Y Y D

4. Pamuk yumuflaktr ve pamuk yumuflak deildir. Y Y Y


54/60

MANTIK 2

116

"Pamuk yumuflaktr." nermesi gerek dnya asndan dorudur. nkgerek dnyada pamuun yumuflak olduunu biliyoruz. En az bir dnyada doruolduu iin bu nerme mmknlk kipiyle () yazldnda doru (D) deer alr.Ancak, pamuun yumuflak olmad baflka olas dnyalar olduunu farz edersek, bunerme zorunluluk kipinde ( ) yanlfl (Y) deer alr. nk, eer baflka birdnyada pamuk yumuflak deilse, bizim zorunlu olarak bahsettiimiz nerme yanlfldemektir.

p nermesinin doru olmas, yalnz gerek dnyada deil, dier tm olanakl dnyalar-

da da doru olmasna baldr.

p nermesinin doru olmas, gerek dnyada ya da dier tm olanakl dnyalarn sadece

birinde doru olmasna baldr.

Zorunlu nermelerin doruluu tm dnyalarda ve gerek dnyadakidoruluuna bal olduundan mantksal doruluu gsterir. Mmknnermelerin doruluu, herhangi bir dnyadaki dorulua bal olduundanolgusal (gzlenebilen) doruluu gsterir.

D. ZDEfiLK MANTII

zdefllik mant niceleme mantna benzemekle birlikte, onu da iinealan daha kapsaml bir mantktr. Bu nedenle, niceleme mantnda geen tmmantksal deiflmezler (, ) ve nermeler mantnda geen mantksal deiflmezler(~, , v, , ) zdefllik mantnda da geerlidir. Ayrca zdefllik mantnnkendine zg deiflmezleri vardr.

Daha nce grdmz gibi, zdefllik ilkesi bir fleyin kendisiyle zdeflolduunu ifade etmekteydi. zdefllik mantnda "zdefl", bir mantk deiflmezidirve "" sembolyle gsterilir. zdefllik deiflmezi, zdefllik nermesinin znesi veykleminin birbirine eflit ya da zdefl olduunu gsterir. rnein, ab nermesizdefllik nermesidir. Bu nermede a ile b arasndaki iliflki ikili bir yklemdir. Yaniiki ad sembol (a, b) ve bir yklem sembol (eflittir) vardr.

rnein, "Everest da dnyann en yksek dadr." nermesini elealalm.

"Everest da" a sembol ile, "Dnyann en yksek da" b sembolylegsterilebilir. "dr" eki de "" sembolyle gsterilebilir. Bylece yukardaki nermea b biiminde sembollefltirilir.


55/60

MANTIK 2

117

E. VARLIK MANTII

Varlk mant, zdefllik mantnn mantk deiflmezlerine "var"szcnn eklenmesiyle elde edilmifl bir mantk sistemidir. Niceleme ve zdefllikmant sadece gerek dnyaya ait varlklar zerinde nermeler olufltururken, varlkmant hem gerek dnyada hem de gerek olmayan dnyalardaki varlklarzerine nermeler oluflturur. Yani, insan zihninde hayal rn olarak bulunanvarlklar iin de nermeler oluflturur. rnein, "Everest tepesi vardr." dediimizde,"Everest tepesi" gerek dnyada var olan bir ad iken, "Aflk tanrs Eros vardr.","Kaf da vardr." vb. dediimizde gerek dnyada var olmayan adlardanbahsediyoruz demektir. Varlk mant, bunun gibi gerek dnyada var olmayanvarlklar da ad olarak ele alr.

"Vardr." biiminde ifade edilen mantk deiflmezi "E!" sembolylegsteri-lir. rnein, "Anka kuflu vardr." nermesi "E!a" biiminde sembollefltirilir.Burada "Anka kuflu" a harfiyle, "vardr" E! le sembollefltirilmifltir.

Gerek dnyada var olmayan varlklarla yaplmfl nermelerin nicelememantnda kurulmas olanakl deildir. nk, niceleme mantnda bu trnermeler yanlfl deer alr. Niceleme mantnda "Kaf Da vardr." nermesiyanlfl, ancak "Alp dalar vardr." nermesi doru deer alr.


56/60

MANTIK 2

118

ZET

Bu nitede sembolik mantn konusunu oluflturan, nermeler mantnn,niceleme mantnn ve ok deerli mantn yapsn ve kurallarn inceledik.

Modern mantk; iki deerli mantk, ok deerli mantk, kiplik mant,zdefllik mant ve varlk mantndan oluflmaktadr. Modern mantn amacgeerli karmlara ulaflmaktr. Bu amala karmlar sembollefltirilir ve denetlenir.

Bir nermenin doru ve yanlfl, yani sadece iki deerli olarak alnd

manta iki deerli mantk ad verilir. ki deerli mantk, nermeler mant veniceleme mant olmak zere ikiye ayrlr.

nerme eklemleri mantnda nermeler sembolik dile evrilerektutarllk, geerlilik ve efl deerlii denetlenebilir. En az bir doru yorumu bulunanbir ner-meye tutarl, btn deerleri doru olan bir nermeye geerli, btndeerleri ayn olan iki nermeye denk (efl deer) ad verilir. nermeler hemdoruluk tablosuyla hem de zmleyici izelge ile denetlenebilir. nermelermantnda bir takm mantk deiflmezleri kullanlr. Bunlar, deilleme eklemi (~),tmel evetleme eklemi (), tikel evetleme eklemi (v), koflul eklemi () ve karfllkl

koflul () eklemidir.Niceleme mantnda ise bu deiflmezlere her () ve baz () eklenir.

zdefllik mantnda niceleme mant deiflmezlerine zdefllik () deiflmezi ilaveedilir. Varlk mantnda varlk deiflmesi var szcyle ifade edilir ve (E!)sembolyle gsterilir. Ayrca ok deerli mantk sistemlerinden biri olan deerlimantkta, doru, yanlfl ve belirsiz deerleri kullanlr. deerli mantndeiflmezleri, iki deerli nermeler mantnn, deilleme, tmel evetleme, tikelevetleme, koflul ve karfllkl koflul ekleminden oluflur. Fakat deer kabul edildiiiin bunlarn temel doruluk izelgeleri deifliktir.


57/60

MANTIK 2

119

ARAfiTIRMALAR1. Afladaki boflluklar doldurunuz.

a. Bir yarg bildiren ve bir doruluk deeri olan cmlelere ............. denir.

b. inde nerme eklemi geen nermelere ................. .............. denir.

c. Olumlu bir ifadeyi olumsuz, olumsuz bir ifadeyi olumlu yapan nermeeklemine ....................... eklemi denir.

d. "se" szcyle ifade edilen ekleme ................... ............... denir.

e. Yorumlarndan en az birisinin doru olduu nermeye ............... denir.f. Btn deerleri doru olan nermeye ..................... denir.

g. Sembollefltirilmifl nermelere doru ya da yanlfl deer verilmesine............................ denir.

h. ki nermenin ...................... olmas demek, aldklar deerlerinbirbirinin ayn olmas demektir.

2. Afladaki nermelerin ana eklem ve ana bileflenini bularak, ner-

meleri ana eklemine gre tanmlaynz.

a. p ~q

b. (pvq)r

c. p[(qp)(pq)

d. [(pq)v(~p~q)] v (~pq)

3. Afladaki nermelerden hangilerinin basit, hangilerinin bileflik

olduunu gsteriniz.a. Gnefl her zaman str.

b. nsanlar arasnda eflitlik olursa herkes mutlu olur.

c. Ancak ve ancak scaklk sfrn altna inerse su donar.

d. nsan okur.

e. Dflnyorum o hlde varm.


58/60

MANTIK 2

120

4. Afladaki nermelerde p yerine D, q yerine Y yazarak dorulukdeerlerini bulunuz.

a. p ~q

b. (pvq)~q

c. ~p[(qp)(pq)

d. [(pq)v(~p~q)] v (~pq)

e. [(pq)(~pvq)](pq)

5. Afladaki nemelerin tutarlln doruluk tablosuyla denetleyiniz.a. p q

b. (~pv~q)p

c. p[(~q~p)(pq)]

d. (pq)(~p~q)

e. (pvq)~q

6. Afladaki nermelerin tutarl olup olmadn zmleyici izelge iledenetleyiniz.

a. ~(p ~q)

b. (pvq)r

c. p[(qp)(pq)

d. ~(pvq)v~(pq)

e. x (Fx~Fx)

f.

xFx

x~Fxg. x (FxGx), x (Fx ~Gx)


59/60

MANTIK 2

121

DEERLENDRME SORULARI

1. Afladaki nermelerden hangisi basit nermedir?

A) Ay her zaman beyazdr. B) Ya gelirsin ya gidersin.

C) Ne geldi ne de gitti. D) Gelirse gitmez.

2. ~[(pq) v (pr)] r nermesinin ana eklemi afladakilerden

hangisidir?A) Tikel evetleme eklemi. B) Koflul eklemi.

C) Karfllkl koflul eklemi. D) Tmel evetleme eklemi.

3. p nermesi doru, q nermesi yanlfl ise, afladakilerden hangisi"doru" deer alr?

A) pq B) pq

C) pvq D) pq

4. ki nerme bir arada ka deer alabilir?

A) Bir B) ki

C) Drt D) Sekiz

5. "Ali hem alflyor hem okuyor." nermesinin nermeler mantndasembolik ifadesi hangisidir?

A) pq B) pq

C) pq D) pvq


60/60

MANTIK 2

6. Afladaki nermelerin hangisinde mantksal bir hata yaplmfltr?

A) Kan krmz deil yeflildir.B) Hibir sarfln, sarfln deildir.

C) Baz politikaclar yalancdr.

D) Btn snavlar zordur.

7. "Btn derslerin zor olduu doru deildir." nermesinin nicelememantndaki ifadesi afladakilerden hangisidir?

A) ~

xFx B) ~

x~FxC) ~xFx D) x~Fx

8. "Her insann iyi olduu doru deildir." (~xFx) nermesinin efldeeri afladakilerden hangisidir?

A) Her insan iyidir (xFx)

B) Hibir insan iyi deildir (x~Fx)

C) Baz insanlar iyi deildir. (x~Fx)

D) Her insann iyi olmad doru deildir. (~x~Fx)

9. Afladaki kavramlardan hangisi kiplik gsterir?

A) Deil B) Var

C) zdefl D) Zorunlu

10. Afladakilerden hangisi p ile q nermelerinin denk olduunu gs-terir?

A) pq nermesinin tutarl olmas

B) pq nermesinin geerli olmas

C) pq nermesinin geerli olmas

sembolik mantık kitap

Documents