segÍthetek - oktatas.hu...5. 3 a tízes számrendszer helyiérték táblázata: milliók ezresek...
TRANSCRIPT
Fogarasi Ferencné
SEGÍTHETEK
SZÜLŐKNEK
GYERMEKEKNEK
NEVELŐKNEK
MATEMATIKA
Minden jog fenntartva.
Fogarasi Ferencné, 2005
ISBN 963 460 569 9 Vonalkód: 978 963 460 569 0
1
Előszó Negyven évig tanítottam matematikát az általános iskola felső tagozatában. Sok-sok évvel ezelőtt kerestek meg a szülők azzal a gondjukkal, hogy szeretnének segíteni gyermeküknek, ha nem ért valamit matematikából, de ők nem így tanulták, nem értik ezeket az új dolgokat, vagy értik ugyan, de nem akarják megzavarni gyermeküket egy más oldalról megközelítő magyarázattal. Ekkor dolgoztam ki ezt az anyagot, amit most szeretnék minden érdeklődőnek átadni. A szülő és gyermek együtt tanulásán kívül alkalmas egyéni tanulásra is. Ajánlanám még nevelőknek a tanórai frontális foglalkozásra, vagy tanuló-szobán, napköziben számonkérésre. A könyv 5. osztálytól 9. osztályig követi a tananyag tankönyv szerinti felépítését. Az előforduló fogalmakat, szabályokat, műveleteket, matematikai ismereteket kérdezz, felelek formában dolgoztam fel.
2
A lap tetején a vonal felett a kérdés, alatta a válasz található, szükséges esetekben mintapéldával. Ezért alkalmas egyéni tanulásra, és ezért a szülő kikérdező jellegű segítség-adására, ugyanis, ha valami problémát okoz, meg lehet nézni, hogyan kellene megoldani. Nekem bevált, hosszú éveken keresztül „jó mankó” volt a tanítványaim kezében. Kérem, próbálják ki!
A szerző
5.
3
A tízes számrendszer helyiérték táblázata: milliók ezresek egyesek
6 2 3 8 3 0 1 5 9 7 2
Alaki érték: 3 Helyi érték: milliós Valódi érték: 3 000 000
tí z e z r e s
szá z e z r e s
m i ll i ó s
tÍ z m i ll i
ós
sz á z m i ll i
ós
m i ll i á r d
tíz m i ll i á r d
e z r e s
sz á z a s
t í z e s
e
gye s
…
milliárdok
Alaki érték: 5 Helyi érték: ezres Valódi érték: 5 000
A tízes számrendszer
5.
4
A természetes számok a pozitív egész számok és a nulla. Pl.: 0; 1; 2; 3; 4; …
Mely számok a természetes számok?
5.
5
A számokat 2000-ig egybeírjuk. Kétezren felül az egyesektől számított hármas számcsoportok szerint tagoljuk a számokat, és a csoportok közé kötőjelet teszünk. Pl.: 1 840 ezernyolcszáznegyven 2 004 kétezer-négy 6 025 005 hatmillió-huszonötezer-öt 80 000 nyolcvanezer
Mit kell tudni a számnevek helyesírásáról?
5.
6
milli- ezred centi- század deci- tized deka- tíz hekto- száz kilo- ezer Pl.: milliméter ezred méter mm centiméter század méter cm deciméter tized méter dm dekagramm tíz gramm dkg hektoliter száz liter hl kilogramm ezer gramm kg
Mit jelentenek a következő
szótöredékek szóösszetételekben?
5.
7
1 mm<1 cm<1 dm<1 m<1 km 10 10 10 1000 Példák az átváltásokra: 5m 16cm = …?…mm
1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m < 1 km 10 10 10 1000
5m=5*10*10*10mm=5*1000mm=5 000mm
1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m < 1 km 10 10 10 1000
16cm=16*10mm=160mm
5m 16cm = 5 160mm
14km =14 000m 2m 3dm =230cm (mert 2m=200cm, 3dm=30cm) 5m 25dm =75dm (mert 5m=50 dm)
5 000m =5km 650cm =6m 5dm 0cm 8 200mm =8m 2dm 0cm 0mm
5 000mm + 160mm 5 160mm
Melyek a hosszúság mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
8
1mg<1cg<1dg<1g<1 dkg<1 kg <1q <1 t 10 10 10 10 100 100 10 Példák az átváltásokra:
3kg 5g = …?…cg 1mg < 1 cg < 1dg < 1 g < 1 dkg < 1 kg< 1q < 1 t 10 10 10 10 100 100 10
3kg=3*100*10*10*10cg=3*100 000cg= =300000cg
1mg < 1 cg < 1dg < 1 g < 1 dkg <1 kg < 1q < 1 t 10 10 10 10 100 100 10
5g=5*10*10cg=5*100cg=500cg
3kg 5g = 300 500cg
5t =5 000kg 1kg 20dkg =120dkg (mert 1kg=100dkg) 8dkg 50g =13dkg (mert 50g=5dkg)
300dkg =3kg 1 234g =1kg 23dkg 4g (mert 1kg 1000g, 230g =23dkg) 6 000 000g =6 000kg = 6t
300 000cg + 500cg 300 500cg
Melyek a tömeg mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
9
Számegyenes készítése: 1. felveszek egy egyenest, 2. megjelölöm a növekedés irányát, 3. megjelölöm a „0” helyét, 4. a nullától egyenlő távolságokat
mérünk föl, 5. az egyenlő távolságok egyenlő
számközöket jelentenek,
pl.: 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
vagy
75
0 10 20 30 40 50 60 70 80
vagy
150
0 100 200 300 400 500 600 700 800
A számegyenes jellemzői
5.
10
Relációk – a természetes számok halmazán:
1. x kisebb 7-nél; jelölése: x <7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. x egyenlő 7-tel; jelölése: x =7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3. x nagyobb 7-nél; jelölése: x >7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4. x legfeljebb 7; jelölése: x 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5. x legalább 7; jelölése: x 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6. x nem kisebb 7-nél; jelölése: x 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7. x nem nagyobb 7-nél; jelölése: x 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8. x nagyobb 2-nél de legfeljebb 7; jelölése: 2<x 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Relációk – számhalmazok
5.
11
A kerekítendő helyiérték után álló 0; 1; 2; 3; 4 számjegyeket lefelé kerekítem, a kerekítés:
pl.: 34 30 (tízesre)
6728 6700 (százasra)
92027 92000 (ezresre) az 5; 6; 7; 8; 9 számjegyeket felfelé kerekítem, a kerekítés
pl.: 39 40 (tízesre)
6768 6800 (százasra) 92527 93000 (ezresre)
Mondd el a kerekítés szabályát!
5.
12
tagok
8 + 6 = 14 összeadandók összeg
Mi az összeadásnál szereplő komponensek neve?
5.
13
tagok
25 - 13 = 12 kisebbítendő kivonandó különbség
Mi a kivonásnál szereplő komponensek neve?
5.
14
tényezők
8 * 6 = 48 szorzandó szorzó szorzat
Mi a szorzásnál szereplő komponensek neve?
5.
15
másodperc perc óra
1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24
Példák az átváltásokra:
1 hét = 7 nap = …?…min (perc)
1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24
7 nap=7*24*60perc=10 080 perc
1 hét = 7 nap = 10 080 min (perc) 1 h (óra) = …?…sec (másodperc)
1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24
1 óra=60*60másodperc=3 600 másodperc
1 h (óra) = 3 600 sec (másodperc) 3h 20min =200min (3h=180min) 30perc =fél óra 15perc =egynegyed óra 45perc =háromnegyed óra
Melyek az idő mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
16
1. Egy „a” számnak egy „b” szám akkor osztója, ha „a : b” nincs maradék. a : 1 nincs maradék minden
számnak osztója az 1; a : a nincs maradék minden
számnak osztója önmaga. 60 osztói
1 2 3 4 5 6
10 12 15 20 30 60 2. Egy „a” szám többszörösét úgy kapjuk meg, hogy az „a” számot szorozzuk bármely természetes számmal.
aa
aetöbbszörös
etöbbszörös
0
3 többszörösei 0 3 6 9 12 15 27 30 300 4212 …
Véges számú elem
Végtelen sok elem
a*0=0
a*1=a
Mely számokat nevezzük egy szám osztójának, többszörösének?
5.
17
tényezők
16 : 8 = 2 osztandó osztó hányados
17 : 8 = 2 1 maradék
Mi az osztásnál szereplő komponensek neve?
5.
18
1. zárójel felbontása, 2. szorzás, osztás balról jobbra,
(szorzás, osztás azonos prioritású) 3. összeadás, kivonás balról jobbra,
(összeadás, kivonás azonos prioritású)
pl.: 6 10 42:7*8-(15–9)*3+5*12:(20:2)= = 42:7*8-6*3+5*12:10= balról jobbra balról jobbra
= 48 - 18 + 6 = 36 balról jobbra
Mi a műveletek sorrendje, ha egy feladatban mind a négy alapművelet szerepel, sőt még zárójel is?
5.
19
Összeg osztása kétféleképpen: Először elvégzem a zárójelben lévő műveletet, (36 + 27) : 3 = 63 : 3 = 21
vagy
felbontom a zárójelet, de akkor mindkét tagot elosztom, hiszen azért van zárójelben, mert mindkét tagra vonatkozik az osztás: (36 + 27) : 3=36 : 3+27 : 3=12 + 9 = 21 Különbség osztása kétféleképpen: (42 – 14) : 7 = 28 : 7 = 4
vagy (42 – 14) : 7 =42 : 7 – 14 : 7 =6 – 2 = 4
Hogyan végezzük el az összeg és különbség osztását kétféleképpen?
5.
20
1. Egy autó 4 óra alatt 328 km-t tett
meg, milyen távolságra jut el ugyanilyen sebességgel 7 óra alatt?
4 óra alatt 328 km 1 óra alatt 328 : 4 = 82 km 7 óra alatt 82 * 7 = 574 km-re jut el.
2. Édesanya paradicsomot főz be. Ha 7 dl-es üvegekbe tölti a fazék paradicsomot, akkor 15 üveg lesz tele. Hány üveget tölthet tele, ha fél literes üvegei vannak?
7 dl-es üvegekből 15 db kell 1 dl-es üvegekből 7 * 15 = 105 db kellene 5 dl-es üvegekből 105 : 5 = 21 db kell.
a. Az egyik mennyiség változása maga után vonja a másik mennyiség megváltozását is.
b. Vigyázz, ez a változás különböző is lehet! c. Mielőtt megoldod a feladatot, gondold át,
hogyan is történik ez a valóságban! Becsülj, majd számolj!
Arányos következtetések
5.
21
Az egyenlet olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek csak egy meghatározott értékére igaz.
Pl.:
a * 3 + 18 = 39 *3 +18 : 3 - 18 a = 7 (b * 2 - 36) : 4 = 50 *2 -36 : 4 : 2 +36 *4 b = 118
a 39
az egyenlet felépítése
az egyenlet lebontogatása
b 50
Egyenletek
5.
22
Ábrázolás grafikonon: Felveszünk két egymásra merőleges
tengelyt, A tengelyek végére a növekedés
irányába nyilat teszünk, A tengelyeket elnevezzük az
ábrázolni kívánt mennyiségek szerint,
A tengelyeken felvesszük az egységet = távolság,
távolság értékét, A tengelyek metszéspontja
legtöbbször a „(0;0)” pont. 6 5 4 3 2 1 0
idő (óra) 1 2 3 4 5 6 7
út (km)
Grafikonok
5.
23
Helyiérték táblázatok különböző számrendszerekben: Kettes számrendszer alaki értékei: 0;1
64 32 16 8 4 2 1 helyiért.
1 0 1 0 1 1 43 tízesben 1*32+0*16+1*8+0*4+1*2+1*1= 43 Hármas számrendszer alaki értékei: 0;1;2 243 81 27 9 3 1 helyiért.
2 0 2 1 61 tízesben 2*27+0*9+2*3+1*1= 61 Négyes számrendszer alaki értékei: 0;1;2;3
1024 256 64 16 4 1 helyiért.
1 0 3 2 78 tízesben 1*64+0*16+3*4+2*1= 78 Ötös számrendszer alaki értékei: 0;1;2;3;4 3125 625 125 25 5 1 helyiért.
1 4 2 1 3 1183 tízes. 1*625+4*125+2*25+1*5+3*1=1183 Tizenhatos számrendszer alaki értékei: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A(=10); B(=11); C(=12); D(=13); E(=14); F(=15)
… 4096 256 16 1 helyiért.
A B C 2748 tízes. 10*256+11*16+12*1=2748
Számrendszerek
5.
24
A síkidom a síknak vonallal vagy vonalakkal körülhatárolt része: A sokszög olyan síkidom, amelyet csak egyenes szakaszok határolnak. Nem hurkolt, nem lyukas.
Milyen mértani alakzat a síkidom, a sokszög?
5.
25
ár hektár 1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1 km2 100 100 100 100 100 100
Példák az átváltásokra:
5 ha = …?…m2
1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1 km2 100 100 100 100 100 100
5ha=5*100*100m2=5*10 000 m2=50 000 m2
5 ha = 50 000 m2
1 m2 = …?…mm2
1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1km2 100 100 100 100 100 100
1m2=1*100*100*100mm2=1*1 000 000mm2= =1 000 000 mm2
1 m2 = 1 000 000 mm2 15dm2 =1 500cm2 1m2 5cm2 =10 005cm2 (mert 1m2 = =10 000cm2) 1m2 500dm2 =6m2 (mert 100dm2= 1m2)
Melyek a terület mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
26
A téglalap kerülete: A négyzet kerülete: b a a a K = a + b + a + b K = a + a + a + a K = 2*a + 2*b K = 4*a K = 2*(a+b) A téglalap területe: A négyzet területe: b a a a T = a*b T = a*a = a2
A négyzet és a téglalap kerülete és területe
5.
27
Kerület, terület, felszín, térfogat életszerűen:
Mit értünk a következő fogalmak alatt: kerület, terület, felszín, térfogat?
Kerület: a kertem körülkerítéséhez elhasznált drót hossza.
Terület: a kertemben felásott föld területe.
Felszín: a testet beborító lapok területének összege.
Térfogat: az a vízmennyiség, amivel ezt az edényt tele tudom tölteni.
5.
28
1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000 Példák az átváltásokra: 12 m3 6 cm3 = …?…cm3 1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000
12m3=12*1000*1000cm3=12*1 000 000cm3= =12 000 000cm3 12 000 000 cm3 + 6 cm3 = =12 000 006 cm3
1 m3 =1000 dm3 1 dm3 =1000 cm3 1 cm3 =1000 mm3 1m3 =1000*1000*1000 mm3= =1 000 000 000 mm3
Melyek a térfogat mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
29
Téglatest hálózat A = 2*(a*b+a*c+b*c) (Felszín = Area) V = a * b * c (Térfogat = Volumen) Kocka hálózat a A = 6*a*a (=6*a2) (Felszín)
V = a*a*a (= a3)
(Térfogat)
Vázold föl a téglatest, a kocka hálózatát! Számítsd ki a téglatest, a kocka felszínét, térfogatát!
a c b
a a
5.
30
1 cm3 1 dm3 1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100
magyarázat:
az 1 liter ezredrésze 1 ml és
az 1 dm3 ezredrésze 1 cm3
Példák az átváltásokra:
2 hl 52 liter = …?…dl 1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100
2hl=2*100*10dl=2*1000dl=2 000dl
1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100
52liter=52*10dl==520dl 2 hl 52 liter = 2520 dl
Milyen űrmértékeket ismersz? (váltószámokkal)
5.
31
Ellentettje: - 6 ellentettje +6 0 ellentettje 0 +8 ellentettje –8 Abszolútértéke: - 6 = + 6 0 = 0 + 8 = + 8
Az abszolútérték a nullától való távolság. MINDIG POZITÍV!
Mennyi az ellentettje? Mennyi az abszolútértéke?
5.
32
Ha ++pozitív számot adunk hozzá,
-2++5= +3 nő
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Ha +-negatív számot adunk hozzá,
+2+-6= -4 csökken
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Ha -+pozitív számot vonunk ki,
+4-+5= -1 csökken
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Ha --negatív számot vonunk ki?
-3--7= +4 nő
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Merre lépünk a számegyenesen és hogyan változik az összeg vagy különbség értéke?
5.
33
y A F B E x
-1 0 1 C -1 D
A ( 2 ; 3 ) B (-4 ; 0 ) C (-2 ;-2 ) D ( 1 ;-5 ) E ( 3 ; 0 ) F ( 0 ; 2 ) P ( x ; y )
Rajzolj koordináta-rendszert! Ábrázolj néhány pontot.
5.
34
A szorzás előjelszabálya:
Az osztás előjelszabálya:
+2 * +5 = +10 +1 * +5 = +5 0 * +5 = 0 1 * +5 = 5 2 * +5 = 10
+2 * 5 = 10 +1 * 5 = 5 0 * 5 = 0 1 * 5 = +5 2 * 5 = +10
+*+ = + *+ =
* = + +* =
+10:+5 = +2 mert +2 * +5 = +10 +10:5 = 2 mert 2 * 5 = +10 10:+5 = 2 mert 2 * +5 = 10 10: 5 = +2 mert +2 * 5 = 10
Ha a szorzandó vagy szorzó nulla, akkor a szorzat is nulla!
Mi a szorzás és az osztás előjelszabálya?
+:+ = + :+ =
: = + +: =
Ha az osztandó nulla, akkor a hányados is nulla! Ha az osztó nulla, akkor az osztás ÉRTELMETLEN!
5.
35
A szögmérés mértékegységei: 1 szögmásodperc < 1 szögperc < 1 fok
1” < 1’ < 1 60 60 Pl.: 3 5’ = 185’ (mert 3=3*60’=180’) 1 = 3600” (mert 1 = 60’; 1’ = 60” tehát 1 = 60*60 = 3600”) 100’ = 1 40’ 30’ = fél fok
Melyek a szögmérés mértékegységei? (váltószámokkal)
5.
36
A szögek fajtái:
nullszög = 0 0<hegyesszög<90 derékszög=90 90<tompaszög<180 egyenesszög=180 180<homorúszög<360 teljesszög=360
Milyen szögfajtákat ismersz?
5.
37
A törtvonal osztást helyettesít
4:34
3
4
3
4
3
A tört nevezője megmutatja, hogy az egészet hány egyenlő részre osztottuk
A tört számlálója megmutatja, hogy az egész felosztása után az egyenlő részekből hányat vettünk
Milyen műveleti jelet helyettesít a törtvonal? Mit mutat meg a tört nevezője, számlálója?
5.
38
A tört bővítése: a tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal megszorzom. A szorzó nem lehet nulla! Pl.:
mert
15
12
3*5
3*410
5
5*2
5*16
4
2*3
2*2
Értelmezd a tört bővítését!
15
12
5
410
5
2
16
4
3
2
5.
39
A tört egyszerűsítése: A tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztom. Az osztó nem lehet nulla! Pl.:
mert
5
4
25:125
25:1004
3
3:12
3:92
1
4:8
4:4
Értelmezd a tört egyszerűsítését!
5
4
125
1004
3
12
92
1
8
4
5.
40
Törteket úgy adunk össze, hogy közös nevezőre hozzuk őket, majd a számlálókat összeadjuk, a közös nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Pl.:
12
71
12
19
12
10
12
9
6
5
4
3
Törteket úgy vonunk ki, hogy közös nevezőre hozzuk őket, majd a számlálókat értelemszerűen kivonjuk, a közös nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Pl.:
15
2
15
10
15
12
3
2
5
4
Hogyan adunk össze törteket? Hogyan vonunk ki törteket?
5.
41
Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy a számlálót megszorozzuk az egésszel, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.
Pl.:
3
11
9
31
9
123*
9
45
31
5
82*
5
4
Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy a számlálót elosztjuk az egésszel, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.
Pl.: 5
22:
5
4
Ha a számláló nem osztható az egésszel, akkor a számlálót változatlanul leírjuk, a nevezőt pedig megszorozzuk az egésszel.
Pl.: 15
43:
5
4
mert a 5
4 bővítve 3-mal
15
43:
15
12
Törtet egész számmal hogyan szorzunk, osztunk?
5.
42
Egyenesre külső pontból húzott szakaszok közül a legrövidebb merőleges az egyenesre P f e jelölése: f e Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nem metszik egymást a b jelölése: a b
Mikor merőleges két egyenes egymásra? Mikor párhuzamos két egyenes egymással?
5.
43
k r O A körvonal adott ponttól adott távolságra levő pontok halmaza a síkon. a körvonal: k adott pont: O adott távolság: r
Milyen mértani alakzat a körvonal?
5.
44
r O A sugár a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. d O Az átmérő a kör két pontját összekötő szakasz, amely átmegy a kör középpontján.
d =2r (az átmérő hossza = 2 sugár hosszával)
r : sugár
d : átmérő
Milyen mértani alakzat a kör sugara, átmérője?
5.
45
r h O A húr a kör két pontját összekötő szakasz.
h r (a húrra merőleges sugár felezi a húrt)
r s O A szelő a körön átmenő egyenes.
s r
h : húr
s : szelő
Milyen mértani alakzat a kör húrja, szelője?
5.
46
e O r E Az érintő a körhöz viszonyítva olyan helyzetű egyenes, amelynek a körrel csak egy közös pontja van.
e r (az érintő merőleges az érintési pontba - E - húzott sugárra)
e : érintő
Milyen mértani alakzat a kör érintője?
5.
47
A háromszög a síknak három (egyenes) szakasz által határolt része Speciális háromszögek:
Általános háromszög:minden oldala és minden szöge különböző
Van 2 egyenlő oldala
Mindhárom oldala egyenlő
Van derékszöge
Van 2 egyenlő oldala és van derékszöge
Milyen mértani alakzat a háromszög?
Egyenlő szárú háromszög
Egyenlő oldalú háromszög
Derékszögű háromszög
Egyenlő szárú derékszögű háromszög
5.
48
A négyszög a síknak négy (egyenes) szakasz által határolt része Speciális négyszögek:
téglalapok
paralelogrammák
trapézek
deltoidok
Milyen mértani alakzat a négyszög?
minden szöge egyenlő
2 párhuzamos oldalpárja van
1 párhuzamos oldalpárja van
2-2 szomszédos oldala egyenlő
5.
49
A trapézek származtatása: ha két párhuzamos egyenest úgy metszek el másik két egyenessel, hogy négyszög keletkezik, akkor az a négyszög trapéz.
A trapézek származtatása
5.
50
síkidomok
sokszögek
négyszögek
trapézek
paralelogrammák
téglalapok rombuszok
A síkidomok rendszerezése
5.
51
A trapéz olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala c a a c „a” párhuzamos „c” Speciális trapézek:
Egyenlőszárú trapéz
Derékszögű trapéz
Milyen mértani alakzat a trapéz?
Van 2 egyenlő oldala
Van derékszöge
5.
52
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja a b b a a a „a” párhuzamos „a” és b b „b” párhuzamos „b” Speciális paralelogrammák:
téglalapok
rombuszok
Milyen mértani alakzat a paralelogramma?
minden oldala egyenlő
minden szöge egyenlő
5.
53
A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő (derékszög) a b b a K = a+b+a+b = 2*a + 2*b = 2*(a + b) T = a * b Speciális téglalap: négyzet
Milyen mértani alakzat a téglalap?
minden oldala és minden szöge egyenlő
5.
54
A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő a b b a a a b b K = 4 * a K = 4 * b Speciális rombusz: négyzet
Milyen mértani alakzat a rombusz?
minden oldala és minden szöge egyenlő
5.
55
A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő (szabályos négyszög) a a a a K = a+a+a+a = 4*a T = a*a = a2
Milyen mértani alakzat a négyzet?
5.
56
Szakaszfelező merőleges szerkesztése: f B A f AB f felezi AB-t Merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába az egyenesre: m P e e m
Szerkesztések
1. felveszem az egyenest: e, 2. felveszek rajta egy pontot: P, 3. a P mindkét oldalára
felmérek egy (tetszőlegesen választott, de) ugyanakkora távolságot az egyenesen,
4. a kijelölt két metszéspontot egy szakasz két végpontjának tekintem, amely szakasznak megszerkesztem a felező merőlegesét: m,
5. a felező merőleges P-ben e-re.
1. felveszek egy AB szakaszt, 2. a szakasz mindkét oldalán a
szakasz felénél nagyobbra nyitott körzővel köríveket húzok A és B pontból is úgy, hogy azok messék egymást (az ábra szerint)
3. a 2-2 körív metszéspontját összekötöm, ez az egyenes (f) lesz a szakasz felező merőlegese
1
2
2
3
5
3
2
3
1
4
5.
57
HELYIÉRTÉK TÁBLÁZAT egészrész törtrész
3 5 2 8 , 2 1 0 1 , 0 4 5 1 6 5 4 0 0 1 , 0 8 0 , 6 5 0 , 0 0 1
tizedesvessző 3 528m 2dm = 3 528,2m 101m 45mm = 101,045m 1 654 001m 8cm = 1 654 001,08m 65cm = 0,65m 1mm = 0,001m
Hogyan jutunk a tizedes törtekhez?
e
gye s
t í z e s
szá z a s
e z r e s
t í z e z r e s
sz á z e z r e s
m i ll i ó s
t i z e d
sz á z a d
e z r e d
tí z e z r e d
5.
58
Tizedes törteket úgy adunk össze, mintha természetes számok lennének, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt az összegben is. pl.: 34,25 172,2 +63,845 270,295 Tizedes törteket úgy vonunk ki, mintha természetes számok lennének, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt a különbségben is. pl.: 483,50 -69,78 413,72
Hogyan adunk össze, vonunk ki tizedes törteket?
5.
59
10-zel, 100-zal, 1000-rel úgy szorzunk, hogy annyi hellyel visszük jobbra a tizedesvesszőt a szorzatban, amennyi nulla a szorzóban van. pl.:
6,425 * 10 = 64,25 6,425 * 100 = 642,5
6,425 * 10000 = 64250
10-zel, 100-zal, 1000-rel úgy osztunk, hogy annyi hellyel visszük balra a tizedesvesszőt a hányadosban, amennyi nulla az osztóban van. pl.:
6,425 : 10 = 0,6425 6,425 : 100 = 0,06425 6,425 : 10000 = 0,0006425 itt volt a tizedesvessző
Hogyan szorzunk, osztunk 10-zel, 100-zal, 1000-rel?
5.
60
Tizedes törteket úgy szorzunk össze, mintha természetes számok lennének, de a szorzatban annyi jegyet vágunk le hátulról, amennyi a tényezőkben összesen van. pl.: 2 1 1,32 * 0,6 0,792 3 1,32 2 tizedes jegy 0,6 1 tizedes jegy 0,792 2+1=3 tizedes jegy vagy 1 1 23,8 * 45,2 952 1190 476 1075,76 2
Hogyan végzed el a szorzást a tizedes törtek körében?
A részletszorzatokban
nem tesszük ki a tizedesvesszőt!
5.
61
Tizedes törtet egész számmal úgy osztunk, mintha természetes szám lenne, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt a hányadosban is. pl.:
163,5 : 25 = 6,54 13 5 100
0
Tizedes törtet egész számmal hogyan osztunk?
5.
62
Átlag kiszámítása: Kinek jobb a matematika tanulmányi átlaga, ha Jancsi jegyei: 3, 4, 2, 5, 3, 3, 1, 2, 4, 5 Kati jegyei: 5, 1, 5, 2, 3, 3, 3, 4 Jancsi:
2,310
32
10
5421335243
Kati:
25,38
26
8
43332515
3,2 < 3,25 ezért Jancsi átlaga < Katiénál
kSzámaMennyisége
kÖsszegeMennyiségeÁtlag
Átlagszámítás
5.
63
Mivel a törtvonal osztást helyettesít, a tört számlálóját osztjuk a tört nevezőjével. pl.:
75,04:34
3 véges tizedes tört
6,06666,03:23
2 végtelen
tizedes tört
Hogyan váltjuk át a törteket tizedes törtre?
6.
64
hatványkitevő
23 = 8 hatványalap hatvány (kijelölt hatvány) (kiszámított hatvány) 20 = 1 (-2)0 = 1 a0 = 1, ha a 0 21 = 2 (-2)1 = -2 a1 = a
Milyen elnevezések szerepelnek a hatványozásnál?
Bármely szám nulladik hatványa egy.
Bármely szám első hatványa önmaga.
6.
65
180 2 24 2 90 2 12 2 45 3 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 180 = 22 * 32 * 5 24 = 23 * 3 Legnagyobb közös osztó: kiválogatom a közös előforduló tényezőket az előforduló legkisebb hatványon: ( 180 ; 24 ) = 22 * 3= 12 Legkisebb közös többszörös: kiválogatom az összes előforduló tényezőt az előforduló legnagyobb hatványon: [ 180 ; 24 ] = 23 * 32 * 5 = 360
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.
6.
66
2 –vel a
0-ra, 2-re, 4-re, 6-ra, 8-ra végződő számok oszthatók. Pl.: 26; 132; 2574; 590; 1008
5 –tel a 0-ra, 5-re végződő számok oszthatók. Pl.: 20; 135; 2575; 900
10 –zel a 0-ra végződő számok oszthatók.
Pl.: 20; 2570; 900
Mely számok oszthatók 2-vel, 5-tel, 10-zel?
6.
67
4 –gyel azok a számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számjegye egybeolvasva osztható 4-gyel. Pl.: 20; 132; 2576; 99008
25 -tel azok a számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számjegye egybeolvasva osztható 25-tel. Pl.: 75; 150; 2525; 99000
100 -zal azok a számok oszthatók, amelyek legalább két nullára végződnek.
Pl.: 200; 13000; 2500; 990000
Mely számok oszthatók 4-gyel, 25-tel, 100-zal?
6.
68
3 -mal
azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. Pl.: 1257 mert 1+2+5+7=15 15:3 = egész szám
9 -cel azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel. Pl.: 8253 mert 8+2+5+3=18
18:9 = egész szám 6 -tal
azok a számok oszthatók, amelyek oszthatók 2-vel és 3-mal is.
Pl.: 72516 vagy 1212
Mely számok oszthatók 3-mal, 9-cel, 6-tal?
6.
69
Prímszám (törzsszám) az a szám, amelynek pontosan két osztója van (1 és önmaga). Pl.: 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; … Összetett szám az a szám, amelynek kettőnél több osztója van. Pl.: 0; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15;…
Prímszám, összetett szám
6.
70
Valós számok (R)
Racionális sz. (Q) Irracionális sz. (I) Egész számok (Z) Természetes számok (N) -2,3 0,9 1,83
-7 -2
1
-60 0 15 -100 0,45
0 1526 4
315
7,108
A számhalmazok rendszerezése.
R
Q
Z
N
I
0,10110111
6.
71
Törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát elosztjuk a nevezők szorzatával.
Pl.: 15
8
5*3
4*2
5
4*
3
2
Hogyan szorzunk törtet törttel?
6.
72
Törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprok (=fordított) értékével szorzunk.
Pl.:
8
11
8
9
2
3*
4
3
3
2:
4
32
14
2
9
2
3*3
3
2:3
Törttel hogyan osztunk?
6.
73
Tizedes törttel úgy osztunk, hogy az osztandót és az osztót bővítjük osztás előtt annyira, hogy az osztó egész szám legyen. *100 *100
Pl.: 11,5 : 0,23 = 115’0’ : 23 = 50 0 0 vagy 0 *10 *10
342,528 : 7,5=342’5’,2’8’ : 75=45,6704 42 5 5 0 2 5 2 8 30 300 0
Hogyan osztunk tizedes törttel?
6.
74
f
Hogyan felezünk szakaszt, szöget?
1. Felveszek egy AB szakaszt,
2. a szakasz mindkét oldalán a szakasz felénél nagyobbra nyitott körzővel köríveket húzok A és B pontból is úgy, hogy azok messék egymást (az ábra szerint)
3. a 2-2 körív metszéspontját összekötöm, ez az egyenes (f) lesz a szakasz felező merőlegese.
A
B
1. Felveszek egy szöget, 2. a szög csúcsából
tetszőleges körzőnyílással meghúzom a szögtartományt,
3. a körív és a szög szárainak metszéspontjából tetszőleges nagyságú, de két egyenlő, egymást metsző körívet húzok a szögtartományon belül,
4. a két körív metszéspontját összekötöm a szög csúcsával, ez a félegyenes (s) lesz a szögfelező.
1
2 3
4 s
6.
75
m P e e m 1. felveszem az egyenest: e, 2. felveszek rajta egy pontot: P, 3. a P mindkét oldalára felmérek egy
(tetszőlegesen választott, de) ugyanakkora távolságot az egyenesen,
4. a kijelölt két metszéspontot egy szakasz két végpontjának tekintem, amely szakasznak megszerkesztem a felező merőlegesét: m,
5. a felező merőleges P-ben e-re.
Merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába.
1. 3.
3.
4.
5.2.
6.
76
K h j h j 1. felveszem az egyenest: j, 2. felveszek rajta kívül egy pontot: K, 3. K és j távolságánál kicsit nagyobbra
nyitva a körzőmet rajzolok egy körívet (tálacska), amely elmetszi j-t két helyem,
4. A körív j-ből kivág egy szakaszt, amit megfelezek,
5. A felező merőleges adja K-ból a j-re állított merőlegest.
Merőleges szerkesztése egyenesre külső pontjából.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
77
Szögek szerkesztése: 60 mert 6*60=360 60-os szög szerk.: 60 30-os szög szerk.: 60 felezésével
30 120 120-os szög szerk.: 60 duplázásával
Szögek szerkesztése
1. felveszek egy félegyenest, 2. a félegyenes végpontjából
húzok egy körívet, amely metszi a félegyenest,
3. ugyanezt a körzőnyílást rámérem a félegyenestől a körívre,
4. a kapott pontot és a félegyenes végpontját összekötöm.
1
2
3 4
6.
78
C b a A c B A, B, C, az ábécé nagybetűi a csúcsokon az óramutató járásával ellentétes irányban; a, b, c, az ábécé kisbetűi az oldalakon, a megfelelő csúccsal szemben (A csúcs a oldal, stb,)
, a görög ábécé kisbetűi a szögek, a megfelelő csúcsban (A csúcsban szög, stb,)
befogó átfogó befogó
Jelöld a háromszög oldalait, csúcsait, szögeit!
6.
79
Oldalai szerint:
általános háromszög, oldalai különböző hosszúak;
egyenlő szárú háromszög, két oldala egyenlő hosszú;
egyenlő oldalú háromszög, minden oldala egyenlő hosszú.
Szögei szerint:
hegyesszögű háromszög, minden szöge hegyesszög;
derékszögű háromszög, van derékszöge;
tompaszögű háromszög, van tompaszöge.
Csoportosítsd a háromszögeket oldalai és szögei szerint!
6.
80
A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög külső szögeinek összege 360.
Hány fok a háromszög belső-és külső szögeinek összege?
1. Vágj ki papírból egy háromszöget,
2. Jelöld a szögeit, 3. Hajtsd össze az
ábra szerint, 4. = 180,
hiszen együtt egyenesszöget alkotnak.
’
’
’
+’= 180 +’= 180 + ’ = 180 összesen: 540 ebből ++=180 tehát
’+’+’=360
6.
81
Összefüggés a háromszög szögei között: ’ 180 ’’’360 +’= 180 ’=+ Összefüggés a háromszög oldalai között: c b c b a
a+b>c a+c>b
b+c>a
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között. Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között.
Belső szögek összege 180 Külső szögek összege 360 Belső + mellette külső szög 180 Külső szög = két nem mellette fekvő belső szög összegével
A háromszögben két oldal összege mindig nagyobb a
harmadik oldalnál
6.
82
60 2x x 90 30 t 90 30 x 60 Az átfogó kétszerese a rövidebb befogónak (a tükrözöttel együtt egyenlő oldalú háromszöget alkotó háromszögből következik)
Mit tudunk a 30-, 60-os derékszögű háromszög oldalairól?
6.
83
Rajzold le egy téglatest és egy kocka hálózatát!
6.
84
1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1ár<1ha< 1km2 100 100 100 100 100 100 Példák az átváltásokra: 3,2 ha = …?...m2
1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1ár<1ha< 1km2 100 100 100 100 100 100 3,2 ha =3,2*100*100 m2=32 000 m2 3,2 ha = 32 000m2 12,5 cm2 = …?….dm2 12,5 cm2 = …….dm2 12,5 cm2 = 0,125 dm2
Melyek a terület mértékegységei?
*100
:100
Ha nő a mértékegység, akkor csökken a mérőszám. Ahányszorosára nő a mértékegység, ugyanannyiad részére csökken a mérőszámTermészetesen, ez fordítva is igaz.
6.
85
c b a A = (a*b + a*c + b*c ) *2 (felszín) a a a A = a * a * 6 = 6 * a2
Hogyan számítod ki a téglatest, a kocka felszínét?
1.
2. 3.
1. 2. 3.
6.
86
1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000 Példák az átváltásokra: 2,85 m3= …?...hl
2,85 m3= 2850 dm3=2850 liter =28,5 hl 2,85 m3= 28,5hl
Melyek a térfogat mértékegységei?
6.
87
c b a V = a * b * c (térfogat) a a a V = a * a * a = a3
Hogyan számítod ki a téglatest, a kocka térfogatát?
6.
88
Arányos osztás: Osszunk fel egy szakaszt 2 : 3 : 5
arányban: 10 rész
2 rész 3 rész 5 rész Egy munkán négyen dolgoztak.
Ali 4, Berci 3, Csabi 7 és Dani 1 órát. Mennyi pénz jár a gyerekeknek külön-külön, ha összesen 3 000 forintot kaptak a munkáért? 3 000 : (4+3+7+1)=3 000 : 15 = 200 200 * 4 = 800 Ft Alinak 200 * 3 = 600 Ft Bercinek 200 * 7 =1400 Ft Csabinak 200 * 1 = 200 Ft Daninak 3 000 Ft összesen
Arányos osztás
6.
89
Két mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiség növekedése esetén a másik mennyiség is ugyanannyiszoro-sára nő, vagy az egyik mennyiség csökkenése esetén a másik mennyiség is ugyanannyiad részére csökken. Pl.: 1 kg alma 60 Ft 5 kg alma 60 * 5 = 300 (Ft)
vagy
10 m szalag 200 Ft 3 m szalag x Ft 10 m szalag 200 Ft 1 m szalag 200 : 10 = 20 3 m szalag 20 * 3 = 60 (Ft)
Az egyenes arányosság képe a koordináta-rendszerben a (0;0) ponton átmenő egyenes.
Egyenes arányosság
*5 *5
*3
:10
*3
:10
6.
90
Két mennyiség fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség növekedése esetén a másik mennyiség ugyanannyiad részére csökken, vagy az egyik mennyiség csökkenése esetén a másik mennyiség ugyanannyiszorosára nő. Pl.: Egy kosár uborkát teszünk el télre.
1 literes üvegből 15 db kell 3 literes üvegből 15:3=5 (db)
vagy Vízelvezető árkot kell ásni.
5 munkás 6 nap alatt 3 munkás x nap alatt 5 munkás 6 nap alatt 1 munkás 6 * 5 = 30 nap alatt 3 munkás 30 : 3 = 10nap alatt
A fordított arányosság képe a koordináta-rendszerben hiperbola.
Fordított arányosság
*3 :3
:5
*3
*5
:3
6.
91
Alap (100%), jele: a, pl.: 200 Ft-nak
százalékláb, jele: p, pl.: 30%-a
százalékérték, jele: e, pl.: 60 Ft.
Milyen mennyiségek szerepelnek a százalékszámításnál?
6.
92
Az 1% 100
1 része az egésznek.
Az 1% hányad része az egésznek?
6.
93
Mennyi 200 forintnak a 30%-a?
a.: 200 p.: 30% (0,30) e.: 60 (Ft)
100
*bszázaléklá
alaptékszázalékér
603,0*200100
* p
ae
Melyik számnak a 30%-a a 200 forint? p.: 30% e.: 200
a.: 666,6
100
:bszázaléklá
tékszázalékéralap
66,6663,0:200100
: p
ea
Hány százaléka a 200-nak a 30? a.: 200
e.: 30 p.: 15%
100*alap
tékszázalékérbszázaléklá
15100*200
30100*
a
ep
Százalékszámítás
6.
94
Arány 3:4
Tört 4
3
Tizedes tört 0,75 (=3:4)
Százalékalak 75% (=100
75)
Arány, tört, tizedes tört, százalékalak
egyenlők
6.
95
A tengelyes tükrözés és tulajdonságai:
B
A
C
tengelyA’
B’
C’
T1
T2
T3
AB = A’B’ BC = B’C’ CA = C’A’ AT1 = A’T1 BT2 = B’T2 CT3 = C’T3 AA’ a tengelyre BB’ a tengelyre CC’ a tengelyre Szögtartó transzformáció
Tengelyes tükrözés
A körüljárási irány ellenkezőjére változik.
6.
96
C t A T B AC = BC AT = BT AB CT = t felezi - t
Melyek a tükrös háromszög tulajdonságai?
AB alap AC szár BC szár
6.
97
A B D t C AB = AD CB = CD BE = DE AC BD = t felezi - t és - t
Melyek a deltoid tulajdonságai?
A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő.
E
6.
98
D t1 A E C t2 B AB = BC = CD = DA AE = EC és BE = ED AC BD = és = -t és -t felezi t2 -t és -t felezi t1 + = 180 + = 180 + = 180 + = 180
Melyek a rombusz tulajdonságai?
A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő
6.
99
A D t B C AD BC AB = CD AC = BD = és = + = 180 + = 180 Az egyenlőszárú trapéz olyan négyszög, amelynek van a csúcsán át nem menő szimmetriatengelye.
Melyek a húrtrapéz tulajdonságai?
AD és BC alapAB és CD szárAC és BD átló
6.
100
Egyenlőszárú háromszög területe: ma b a Deltoid területe: e f b a Bármely sokszög kerülete = az oldalak hosszúságának összege.
Az egyenlőszárú háromszög és a deltoid kerülete, területe?
Ttéglalap = a*b b = ma
Tháromszög = 2
* ama
Ttéglalap = a*b a = e és b = f
Tdeltoid = 2
* fe
6.
101
Az elsőfokú egyenlet olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek egy meghatározott értékére igaz.
Pl.: 3x + 2 = 17 x = 5
Az azonosság olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek bármely értékére igaz.
Pl.: 2*(x + 2) = 2x + 4 x = bármely racionális szám
Egyenlet, azonosság
6.
102
A két oldal egyenlő változtatása:
33
315
26*3:.
6
3:/183
2/2023
5/*45
23
1/315
23
ell
x
x
x
x
x
Egyenlet felépítése *3 +2 :5 -1 :3 -2 *5 +1 Egyenlet lebontogatása (megoldása)
Mérlegelv egyenletmegoldáskor
x 3
7.
103
N = {természetes számok}: a pozitív egész számok és a nulla
N Naturális = természetes
Z = {egész számok}: a természetes számok és azok ellentettjei Z Zahlen = számok
Q = {racionális számok}: egész-és törtszámok, amelyek felír- hatók két egész szám hányadosaként Q Quotiens = hányados
R ={valós számok}: racionális + irracionális számok
R Reális
Számhalmazok jelölése
7.
104
Hatványok szorzata: a2*a3 = a2+3 = a5 (a*a)*(a*a*a) = a*a*a*a*a = a5
Hatványok hányadosa:
3
5
a
a = a5-3 = a2
aaa
aaaaa
**
**** = a*a = a2
Szorzat hatványa: (a*b)3 = a3 * b3 (a*b)*(a*b)*(a*b)=a*a*a*b*b*b=a3*b3 Hányados hatványa:
3
3
3
33
**
****
b
a
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
Hatvány hatványa (a2)3 = a2*3 = a6 (a*a)*(a*a)*(a*a)= a*a*a*a*a*a= a6
Egyebek:
a0 = 1 ; a1 = a ; a-3 = 3
1
a
Hatványozás azonosságai
b0
a0 ; a0
7.
105
A számok normálalakja kéttényezős szorzat: a*10k amelyben az első tényező: a
1 |a| <10; a második tényező: 10k
10 egész kitevőjű hatványa. PL.: 5627 = 5,627 * 103 560000 = 5,6 * 105 5,6 = 5,6 * 100 56 = 5,6 * 101 0,056 = 5,6 * 10-2 0,0005627 = 5, 627 * 10-4
Számok normálalakja
7.
106
Mennyiségek törtrészének kiszámítása a mennyiség
törttel való szorzását jelenti pl.:
Mennyi 120 kg-nak a 4
3része?
Szorzással:
120 * 4
3 = 90 (kg)
Következtetéssel:
120 kg-nak az 4
1 rész 120 : 4 = 30 (kg)
4
3 része 30 *3 = 90 (kg)
pl.:
Felástam a 60 m2-es kertem 3
2 részét,
a felásott terület 5
4 részébe kukoricát
ültetek. Hány m2 a kukoricás területe?
60 m2 *3
2 *
5
4 = 32 (m2)
Mennyiségek törtrésze
7.
107
Statisztikai számítások egy dolgozat jegyeinek előfordulásából:
1 2-es 3-as 4-es 5-ös 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1-es 5-ös 2-es 4-es 3-as
Szalagdiagram
jegy 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös
tanulók száma 1 4 12 8 5
Kördiagram 100% 30 fő 1 fő 3% 3*3,6=10,8 4 fő 13% 13*3,6=46,8 12 fő 40% 40*3,6=144 8 fő 27% 27*3,6=97,2 5 fő 17% 17*3,6=61,2 100% 360
Pontdiagram Oszlopdiagram
Statisztikai számítások
12 10 8 6 4 2
1210 8 6 4 2
7.
108
Összevonás: 3x +12 – 2x + 7 = 1x +19 = x+19 Zárójelfelbontás:
5*(2x – 7) 10x – 35 - (6 – 3x + 2) - 6 + 3x – 2 - 3*(5x + 2 – 9y) - 15x –6 +27y Tört az egyenletben:
12
18
12
20
12
3
2
3
3
5
4
xxxxxx
36283
4/*974
3
x
x
8724
8)7(24
4/*24
76
x
x
x
Az egyenletmegoldásnál felmerülő problémák
Tört előtti „mínusz jel” egyenlő zárójel előtti „mínusz jel”
7.
109
A vektor irányított szakasz Két vektor egyenlő, ha egyenlő hosszúak és egyirányúak Jelölése: AB vektor: A B vagy a vektor:
a AB és BA ellentettje egymásnak: A B A B
A vektor
7.
110
A szögek fajtái
nullszög = 0 0<hegyesszög<90 derékszög = 90 90<tompaszög<180 egyenesszög =180 180<homorúszög<360 teljesszög = 360
7.
111
O r r d h s e r e r
A körvonal, sugár, átmérő, húr, szelő, érintő.
A körvonal adott ponttól (O) adott távolságra (r) levő pontok halmaza a síkon. A sugár (r ) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. Az átmérő (d) a kör két pontját összekötő szakasz, amely átmegy a kör középpontján.
d =2r A húr (h) a kör két pontját összekötő szakasz. h r A szelő a körön átmenő egyenes. s r Az érintő a körhöz viszonyítva olyan helyzetű egyenes, amelynek a körrel csak egy közös pontja van ( E ).
E
7.
112
A körcikk, körszelet
A körcikk a kör két sugara és egy körívdarab által határolt terület. A körszelet a kör egy húrja és egy körívdarab által határolt terület.
7.
113
Milyen mértani alakzat: háromszög, négyzet, téglalap, paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid?
A háromszög a síknak három egyenes szakasz által határolt része
A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő
A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja
A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő
A trapéz olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala
A deltoid olyan négyszög, amelynek van 2-2 egyenlő nagyságú szomszédos oldala
7.
114
Paralelogramma kerülete: b a Paralelogramma területe: mb b ma a Speciális paralelogrammák: ma a a b a a a
Paralelogramma kerülete, területe.
K = a+b+a+b= =2*a+2*b= =2*(a+b) T= a*ma=b*mb
Rombusz: K=4*a T=a*ma Téglalap: K=2*(a+b) T=a*b (b= ma) Négyzet: K=4*a T=a*a (a= ma)
7.
115
Deltoid kerülete: a a a a b b b b Deltoid területe: e e f f Speciális deltoidok: e f e e
Deltoid kerülete, területe.
K = a+b+a+b= =2*a+2*b= =2*(a+b)
2
* feT
Rombusz:
2
* feT
Négyzet:
2
*eeT (e=f)
7.
116
Trapéz kerülete: c d b a Trapéz területe: c d m b a Speciális trapéz minden paralelogramma, de területüket egyszerűbben számítjuk ki a b m b a
Trapéz kerülete, területe.
mama
maaT
*2
*22
*)(
K=a+b+c+d
2
*)( mcaT
7.
117
Háromszög kerülete: c b a Háromszög területe: c mc mb b ma a Speciális háromszög: c b mb a c=ma a=mc
Háromszög kerülete, területe.
K=a+b+c
321
3
2
1
2
*2
*2
*
TTT
mcT
mbT
maT
c
b
a
Derékszögű háromszög:
2
*2
*2
*
bmb
ac
caT
7.
118
A sokszögek kerülete: d c e b a A sokszögek területe: d c m1 x m2 e y m3 b a
2
*
2
*
2
* 321 mymymxT
Bármely sokszöget háromszögekre bonthatok, veszem a háromszögek területének összegét, ez adja a sokszög területét.
Sokszögek kerülete, területe.
K=a+b+c+d+e
7.
119
A hasáb hálózata: teteje mt bal c b oldala ma a alja A hasáb felszíne: ma mt c a b T=2*ta+ tp =2*talaplap+ tpalást
talaplapa
ta
mkmaT
mcbama
T
**
*)(2
**2
mt= testmagasság
Hasáb hálózata, felszíne
jobb oldala
eleje
7.
120
A hasáb térfogata: mt ma a A hasáb váza: mt c b a
Hasáb térfogata, váza
ta
testalaplap
mma
V
mtV
*2
*
*
Váz = az élek hosszúságának összege Váz = 2*kalaplap+oldalélek Váz = 2*(a+b+c)+3*mt
7.
121
A kör kerülete:
2*r* = d* d*3,14 d=2r r A kör területe:
r*r* = r2*
A kör kerülete, területe.
Ha r=3cm, akkor a kerület: 2*3*3,14=18,84cm
Ha r=3cm, akkor a terület: 3*3*3,14=28,26cm2
7.
122
Körív hossza: i r O K 360-hoz tartozó körív hossza:
Kkör = 2*r* 1-hoz tartozó körív hossza:
360
**2
360
rKív kör
-hoz tartozó körív hossza:
*360
**2*
360
rKív kör
Körív hossza
O a kör középpontja K a kör kerülete r a kör sugara i a körív adott szöghöz tartozó ívet számítunk
7.
123
Körcikk területe: r O 360-hoz tartozó kör területe:
Tkör = r2 * 1-hoz tartozó körcikk területe:
360
*
360
2 rTT körkörcikk
-hoz tartozó körcikk területe:
*360
**
360
2rTT körkörcikk
Körcikk területe.
O a kör középpontja T a kör területe r a kör sugara Tcikk a körcikk területe adott szöghöz tartozó körcikket számítunk
Tcikk
7.
124
HENGER a=m hálózata: a=m r felszíne: A = 2*talap + tpalást A = 2* r2+2*r**a =2r*(r+a) térfogata: V = talap *m V = r2 *m
A henger hálózata, felszíne, térfogata
r = az alaplap sugara
Tkör = r2
Tpalást = 2ra
alap
palást
alap
palást
2*r*
alkotó=magasság
7.
125
A függvény megadható: képlettel:
13x
y
értéktáblázattal:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y= -7 -4 -1 2 5 8 11
grafikonnal: y x
Mivel adható meg a függvény?
7.
126
A lineáris függvényről: y 1 3 3 2 1 2 x -1 0 2 3 4 -1 1 -2 -3
A függvény általános alakja: y = a*x + b, ahol „a” a meredekség: ha emelkedő, akkor pozitív: a= 2/1=2 ha süllyedő, akkor negatív: a=-1/3 „b” azt mutatja, hogy a függvény görbéje hol metszi az y tengelyt:
b = -1 b = 3 tehát y = 2*x – 1
y = -1/3*x + 3 „x” értékek halmaza: értelmezési tartomány, „y” értékek halmaza: értékkészlet.
A lineáris függvény
emelkedő
süllyedő
A lineáris függvény képe: egyenes
7.
127
Egyenletmegoldás grafikusan: y x Egyenletmegoldás algebrai úton:
Egyenletek grafikus megoldása
0 1 x
-1 x =3
3
721
1576
159626
15
6
91
6
22
5
2
31
3
x
x
x
xx
xx
xx
13x
2
5
2
3x
7.
128
Számtani sorozat: a1 a sorozat 1. eleme; a2 a sorozat 2. eleme, a3 a sorozat 3. eleme; … an a sorozat n. eleme.
an = a1+ (n-1)*d
2
*)( 1 naas nn
pl.: Melyik szám a páratlan természetes
számok 100. eleme? a1 = 1 n = 100 d = 2 Mennyi ezek összege?
100002
100*200
2
100*)1991(100
s
Sorozatok
n az elemek száma d az elemek különbsége sn az n elem összege
A számtani sorozat egymást követő
elemeinek különbsége állandó
a100= 1+(100-1)*2 = 1+ 99*2 = 199
7.
129
Az eltolás és tulajdonságai:
A
B C
D E
F G
A’
B’
C’
D’ E’
F’
G’
AA’=BB’=CC’=DD’=EE’=FF’=GG’ AB = A’B’ BC = B’C’ CD = C’D’ DE = D’E’ EF = E’F’ FG = F’G’ GA = G’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik.
Az eltolás tulajdonságai
Eltolás vektora
7.
130
A tengelyes tükrözés és tulajdonságai:
B
A
C
tengelyA’
B’
C’
T1
T2
T3
AB = A’B’ BC = B’C’ CA = C’A’ AT1 = A’T1 BT2 = B’T2 CT3 = C’T3 AA’ a tengelyre BB’ a tengelyre CC’ a tengelyre Szögtartó transzformáció
A tengelyes tükrözés és tulajdonságai
A körüljárási irány ellenkezőjére változik
7.
131
A középpontos tükrözés és tulajdonságai
B
C
A
D
E O
A’
B’
C’D’
E’
AO = OA’ BO = OB’ CO = OC’ DO = OD’ EO = OE’ AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ EA E’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik
A középpontos tükrözés és tulajdonságai
7.
132
Nevezetes szögek: 1. Párhuzamos szárú szögek: és egyállású szögek és egyállású szögek és egyállású szögek és csúcsszögek és fordított állású szögek (váltószögek) és fordított állású szögek (váltószögek) és társszögek és mellékszögek (közös csúcsú társszögek) 2. Merőleges szárú szögek: = ’ ’
Nevezetes szögek
7.
133
Az elforgatás és tulajdonságai:
A
B
C
D
O
A’B’
D’C’
AB = A’B’ BC = B’C’ CD = C’D’ DA = D’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik
Az elforgatás és tulajdonságai
7.
134
Az együttható megmutatja, hogy a
mellette álló betűkifejezésből hányat kell összeadandóul venni.
pl.: 3a = a+a+a 5ab = ab+ab+ab+ab+ab 2x2 = x2+x2
A kitevő megmutatja, hogy az alapot
hányszor kell szorzótényezőül venni.
pl.: a3 = a*a*a (ab)5 = ab*ab*ab*ab*ab a5b5 = a*a*a*a*a*b*b*b*b*b
Mit fejez ki az együttható, a kitevő?
7.
135
Algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámításakor a betűk helyére a megadott értékeket
írjuk, majd a kijelölt műveleteket
elvégezzük: pl.:
ha a = 5; b = -3 4a – 2b = 4*5 – 2*-3 = 20 - -6 = =20 + 6 = 26
vagy
ha x = 4
3
77
36
77
16*
4
9
16
77:
4
9
16
32
16
454
9
216
9*5
4
9
24
3*5
4
3*3
25
3
4
1
22
xx
Az algebrai kifejezés helyettesítésiértékének kiszámítása
7.
136
Azokat a kifejezéseket, amelyekben azonos ismeretlen (betű) azonos hatványon szerepel, egynemű kifejezéseknek nevezzük. Pl.:
a; 2a; 6
a; -a
vagy
x2; 3
2 2x; -x2; 3x2
Egynemű kifejezések
7.
137
Egytagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel: 1,5x2 * (-4xy) = 1,5 *(-4) * x2 *xy = =-6 x3y vagy 2,1xyz * (-5x2y3z) * (-10xy4z5) = =2,1*(-5)*(-10)* xyz* x2y3z* xy4z5= =+105 x1+2+1*y1+3+4*z1+1+5=105x4y8z7 Egytagú kifejezés osztása egytagú kifejezéssel:
2313253
2
5
2
358**8**
35,0
8,2
35,0
8,2yxxx
y
y
x
x
yx
yx
vagy
3345
2
54
2
54
25
4
2
6,55
28
5
7*
4
5
21*
3
4
21
5:
3
4
yxyx
yx
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
Egytagú kifejezés szorzása, osztása egytagú kifejezéssel
-6 x3y számot számmal, betűt betűvel
CSAK AZ EGYIK TÉNYEZŐT SZOROZZUK, OSZTJUK!
7
1
7.
138
Összeg vagy különbség szorzása egytagú kifejezéssel:
a* ( b + c ) = a*b + a*c a* ( b - c ) = a*b - a*c
pl.: 3*( x + y –5 ) = 3x+3y-15
vagy 5x*(2 – x2 + 3x ) = 10x-5x3+15x2 vagy
xzxyyxx
zyxyxx
3
1
3
2
3
2
3
4
)2
12(*
3
2
22
Kiemeléskor egy összeget szorzattá alakítunk: a szorzat egyik tényezője az összeg minden tagjában előforduló azonos tényező(k):
ab + ac – ad = a*(b + c- d) pl.: x +5x – xy + 2x2y = x*(1 + 5 – y + 2xy) tulajdonképpen minden tagot osztom a kiemelt kifejezéssel: x:x=1; 5x:x=5; -xy:x=-y; 2x2y:x=2xy
Összeg, különbség szorzása egytagú kifejezéssel. Kiemelés.
7.
139
Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel: A képen a kertem alaprajzát látod. Számítsuk ki többféleképpen a területét! 5m 2m 9m 3m 3*5 3*2 3*9 4m 4*5 4*2 4*9 T= (5+2+9)*(3+4)= =3*5+3*2+3*9+4*5+4*2+4*9= =15+6+27+20+8+36=112 (m2) T=(5+2+9)*(3+4)=16*7=112 (m2) x y z a ax ay az b bx by bz T=(x+y+z)*(a+b)= =ax+ay+az+bx+by+bz
Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel
T= =(5+2+9)*(3+4)==16*7=112 (m2)
7.
140
A háromszögek magasságvonalai: c=ma b mc mb c mb b a=mc M M M ma mb a a c b a
= +
A háromszögek magasságvonalai. Oldalai, szögei közötti kapcsolat/1.
A háromszög két oldalának összege mindig nagyobb a harmadik oldalnál
A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével
a+b>c b+c>a c+a>b
mc
ma b c
7.
141
A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat: A háromszögben egyenlő oldalakkal
szemben egyenlő szögek vannak: C A B A háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szög nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szög.
A háromszögek oldalai, szögei közötti kapcsolat/2.
AC = BC =
7.
142
A háromszög szerkesztésének alapesetei: 1. c b a 2. c a 3. a 4. c a
A háromszögek szerkesztésének alapesetei
Adott a háromszög három oldala
Adott a háromszög két oldala és a közbezárt szög
Adott a háromszög egy oldala és a rajta fekvő két szög
Adott a háromszög két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög
7.
143
A paralelogramma leírása, tulajdonságai: D C O A B AB DC AD BC AO = OC BO = OD = =
+ = 180 + = 180 + = 180 + = 180
Paralelogramma tulajdonságai
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja
7.
144
A trapéz leírása, tulajdonságai, kerülete, területe: D ’ alap(=c) C szár szár d m b
A alap(=a) B AB DC + = 180 + = 180 K = a + b + c + d
2
*)( mcaT
Trapéz tulajdonságai
8.
145
Halmazok Új jelölések bevezetése: pl.: az A halmaz a 10 és 20 közé eső természetes számok halmaza: A={ xN 10<x<20 } C
U az alaphalmaz; C halmaznak kiegészítő halmaza C: C={ x U x C }
Az A halmaznak részhalmaza B halmaz: B A
A és B halmaz metszete: A B AB={xUxA és xB}
A és B halmaz uniója: A B
AB={xUxA vagy xB}
A és B halmaz különbsége:A \ B
A\B={xUxA és xB}
U A B
U A B
U A B
U A B
U
C C
Halmazok - halmazműveletek
8.
146
Nevezetes azonosságok: (a+b)2= (a+b)*(a+b)=
=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2= (a-b)*(a-b)= = a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
(a+b)*(a-b) = a2+ab-ab+b2= a2 – b2
Nevezetes azonosságok
8.
147
Számok négyzete: a hatványalap és a hatványkitevő ismeretében keresem a hatványt. 42 = 16 mert 4*4=16 4,252 = 18,06 = 1,806*101 (normálalakban) 0,04252 = (4,25*10-2) 2 = 18,06 *10-4 = = 1,806 *10-3 (=0,001806) vagy 0,04252 = (4,25:102) 2 = 18,06 :104 = = 1,806 :103 (=0,001806) 42502 = (4,250 *103) 2 = 18,06 *106 = =1,806 *107 (=18 060 000) 42572 42602 =(4,260 *103) 2=
=18,15*106= =1,815 *107 (=18 150 000)
Számok négyzete (táblázattal)
8.
148
Számok négyzetgyöke: a hatvány és hatványkitevő ismeretében keresem az alapot.
9812 mert (+9) 2=81 és (-9) 2=81
4,856,70
721,010*21,710*5252,0 12
20910*09,210*3750,443750 24
24 10*36,910*6600,87876600876564 =936 Táblázat nélkül:
49'68'03'6 2 4 5 7 -4 203 : 4 4*4 -176 27 68 : 48 5*5 -2425 343 49 : 490 7*7 -343 49 0
Számok négyzetgyöke (táblázattal)
1. Hátulról számítva kettesével jelölöm a számokat;
2. Előröl veszem le; 3. Mindig a hányados
kétszeresével osztom a maradék és levett számnál az egyes helyiértékkel kisebb számot;
4. A becsült értéket 3 helyre írom be: hányados, szorzandó, szorzó.
*2
*2 *2
8.
149
O O M S
A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai
Az oldalfelező merőlegesekmetszéspontja a háromszög köré írható kör középpontja.
A szögfelezők metszéspontja a háromszögbe írható kör középpontja.
A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.
A súlyvonal: a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Metszéspontjuk a súlypont.
A középvonalak a háromszög oldalfelező pontjait kötik össze. Párhuzamosak az oldalakkal és az aktuális oldalnak a fele.
8.
150
c2 a2
b2 a c b a a2 c2
b2 = b
a b b a Az (a+b) oldalú egyenlő területű négyzetek területéből elvéve 4 db egyenlő területű derékszögű háromszöget, a maradék területe is egyenlő kell, hogy legyen. Ebből következik: a2+b2=c2
Pitagorasz tétele:
A derékszögű háromszög befogói négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
a2+b2=c2
a b
8.
151
GÚLA testmagasság = mt oldallap magasság = mo palást alap hálózata: mo a a felszíne: A = talap + tpalást
4*2
** omaaaA
térfogata:
3
**3
*
t
ta
maaV
mtV
A gúla
8.
152
KÚP m a r alap a hálózata: palást 2r r felszíne: alap
A = talap + tpalást
)(*2
*2 22 arrarrar
rA
térfogata:
3
*
3
* 2 mrmtV a
A kúp
m = testmagasság a = alkotó r = alaplap sugara
8.
153
GÖMB r felszíne:
A =4r2 (a körmetszetek közül a legnagyobb kör területének a négyszerese) térfogata:
3
4 3rV
A gömb
)3
*(
rAV
8.
154
Zárójelfelbontás szabálya: 1. Az alkalmazás sorrendje: gömbölyű zárójel ( ), „ha elfogyott” szögletes zárójel [ ], „ha elfogyott” kapcsos zárójel { }.
2. A felbontás szabálya azonos az alkalmazással, belülről kifelé bontom fel a zárójeleket. gömbölyű zárójelet ( ), szögletes zárójelet [ ], kapcsos zárójelet { }.
x - {2x- [3x- (4x+5)+6]+7}= = x - {2x- [3x- 4x-5+6]+7}= = x - {2x- [-x+1]+7}= = x - {2x+x-1+7}= = x – {3x+6}= = x – 3x-6 = -2x-6
Zárójelfelbontás szabálya
8.
155
Egész kifejezések
(Nincs benne betűkifejezéssel való osztás) Egytagú egész kifejezések – (Az
együttható és a betű vagy betűk szorzat alakban)
Pl.: x; 3y; 12x2yz; Kéttagú egész kifejezések
(Két egytagú kifejezés összeg alakban) Pl.: x + 3y; 3y - 12x2yz; Többtagú egész kifejezések
(Több egytagú kifejezés összeg alakban) Polinomok - többtagú egész kifejezések
Törtkifejezés (A kifejezésben betűkifejezéssel osztunk)
Pl.: 1
6
a
a;
)12)(5(
7
ba;
Kiemelés – a többtagú kifejezés tagjaiban megkeressük a közös tényezőt és azt szorzóként kiemeljük - szorzattá alakítottuk.
Pl.: 15ay+10xy = 5y(3a+2x) Szorzattá alakítás történhet a tagok csoportosításával is. Pl.: 14ax-8ay+21bx-12by = =2a(7x-4y)+3b(7x-4y) = =(7x-4y)(2a+3b)
Betűk alkalmazása a matematikában
8.
156
Melyik az a szám, amelyiknek a 3-szorosánál 5-tel nagyobb szám fele 15-tel nagyobb, mint a számnál 4-gyel kisebb szám 8-szorosa? +15
341653
1782
53
153282
53
158*)4(2
53
8*)4(2
53
xx
xx
xx
xx
xx
5 = 13x – 34 39 = 13x 3 = x A SZÖVEGES FELADATOT MINDIG A SZÖVEGBE BEHELYETTESÍTVE KELL ELLENŐRÍZNI!
1. Számok, mennyiségek közti összefüggések felírása egyenlettel
ellenőrzés:
8*)43(2
53*3
7 > -8 +15
8.
157
Két zsebemben együtt 90 forint van. A bal zsebemben levő pénz 25%-a egyenlő a jobb zsebemben levő pénz 20%-ával. Hány forint van külön-külön a zsebeimben? bal jobb x 90 – x 0,25x = 0,2*(90 – x) 0,25x = 18 – 0,2x 0,45x = 18 x = 40 ell.: bal jobb
40 90-40=50 40*0,25=10 50*0,2=10
10 = 10
2. Számok, mennyiségek közti összefüggések felírása egyenlettel
8.
158
Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 7, ha a jegyeket felcseréljük, az eredeti szám kétszeresénél 2-vel nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Tízes Egyes A szám Ellenőrzés
Eredeti 7-x x 10(7-x)+x 25 Felcserélt x 7-x 10x+(7-x) 52
eredeti *2+2 felcserélt 10(7-x)+x < 10x + (7-x) [10(7-x)+x]*2+2=10x+(7-x) [70-10x+x]*2+2=10x+7-x [70-9x]*2+2=9x+7 140-18x+2=9x+7 142-18x=9x+7 142=27x+7 135=27x 5=x
„Helyiértékes” egyenletek
ellenőrzés: *2+2
25<52 +2
50<52 52=52
8.
159
Kati és Judit 21km-re laknak egymástól. Kerékpáron meglátogatják egymást. Kati 8 órakor indul Judithoz 10 km/h sebességgel, Judit 9 órakor Katihoz 12 km/h sebességgel. Hol és mikor találkoznak? v(km/h) t(h) s(km) Kati 10 x 10x Judit 12 x - 1 12(x – 1)
10 km/h 12 km/h Kati Judit 8h 21 km 9h 10x + 12*(x – 1) = 21 10x + 12x – 12 = 21 22x - 12 = 21 22x = 33 ell.: x = 1,5 (h) K: 1,5 h-t volt úton, 8h+1,5h=9,5h J: 0,5h-t volt úton, 9h+0,5h=9,5h K: 10km/h*1,5h=15km-re Katiéktól J: 12km/h*0,5h= 6km-re Juditéktól 21km
„Mozgási” egyenletek
930-kor találkoztak
8.
160
5 dl 60%-os és 3 dl 20%-os alkoholt keverünk össze. Hány dl és hány %-os alkoholt kapunk? 1. összetevő 2. összetevő keverék alkoholtartalma alkoholt. alkoholtartalma
100
60*5 +
100
20*3 =
100*)35(x
300 + 60 = 8x 360 = 8x 45 = x ell.: 5*0,6 + 3*0,2 = 8*0,45 3 + 0,6 = 3,6 (az összetevőkben levő „tiszta” alkohol)
Ha 8 liter 80C-os és 12 liter 10C-os vizet összekeverünk, hány C-os keveréket kapunk? leadott hőmennyiség = felvett hőmennyiség 8*(80 - x) = 12*(x - 10) 640-8x =12x - 120 640 = 20x – 120 760 = 20x 38 = x ell.: 8*(80 – 38) = 12*(38 – 10) 8*42 = 12*28 336 = 336
„Keverési” egyenletek
8.
161
Apa 2 óra alatt ásná fel a kertet egyedül. Két fia közül Zoli 3 óra alatt, Dani 6 óra alatt. Mennyi idő alatt végeznek az ásással, ha mindhárman együtt dolgoznak?
166
2
6
3
1632
xxx
xxx
3x + 2x + x = 6 6x = 6 x = 1 (óra alatt végeznek) ell.:
16
6
6
1
6
2
6
3
16
1
3
1
2
1
Együttes munkára vonatkozó egyenletek
8.
162
Egy trapéz párhuzamos oldalai közül az egyik 3 cm-rel rövidebb a másiknál. A trapéz területe 135 cm2, magassága 5 cm. Mekkorák az alapok?
2
1510135
2
5*]3[135
2
5*)]3([135
a
aa
aa
270 = 10a – 15 285 = 10a 28,5 = a
2
5*54135
2
5*)5,255,28(135
135 = 27*5
Geometriai számításokkal kapcsolatos egyenletek
ell.:
a - 3 5 a
8.
163
Thales tétele: ha a háromszög derékszögű, akkor a derékszög csúcsa rajta van az átfogó, mint átmérő fölé írt körön.
Thales tétele
8.
164
r E O e E1 O P E2 c d b a
Érintő szerkesztése körhöz, érintőnégyszög
Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra:
e r E érintési pont
az érintő-szakaszok egyenlők:PE1 = PE2
érintőnégyszög: a + c = b + d (minden oldala
érintője a körnek)
8.
165
Szakasz felosztása egyenlő részekre hasonlóság segítségével: A B A-tól húzok egy félegyenest a rajz szerint. A-tól tetszőleges nagyságú, de egyenlő távolságokat mérek a félegyenesre, annyit, ahány részre akarom osztani a szakaszt. Az utolsó segédpontot (S) összekötöm a szakasz végével (B), majd párhuzamosokat húzok BS szakasszal a segédpontokon át. Ezek a párhu-zamosok AB szakaszt felosztják a kívánt arányban.
Egybevágóság, hasonlóság fogalma. Szakasz felosztása „hasonlósággal”
AB szakasz felosztása 5 részre
Két sokszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya megegyezik és megfelelő szögei egyenlők.
Két sokszög egybevágó, ha megfelelő oldalai és megfelelő szögei egyenlők.
S
8.
166
ksszaiSzakaszHoazEre
apénekHosszaSzakaszKégArányaaHasonlósá
det
k >1 nagyítás k < -1 nagyítás A’ A’ A O O A k=1 helyben maradás; k= - 1 középpontos tükr. A=A’ O A’ O A 0<k<1 kicsinyítés; -1<k<0 kicsinyítés O A’ A A O O A’
Középpontos hasonlóság
8.
167
A függvényekről:
y
x
y = 2 nulladfokú fg.
y
x
y = 2x – 2 elsőfokú fg.
y
x
y = x2- 3 másodfokú fg.
y
x
y = x - 1 abszolútérték fg.
y
x
y = x négyzetgyök fg.
y = x
4 tört fg.
y
x
8.
168
Sorozatok: Mértani sorozat: a1 a sorozat 1. eleme; a2 a sorozat 2. eleme, a3 a sorozat 3. eleme; … an a sorozat n. eleme.
an = a1*qn-1
1
1*1
q
nqans
pl.: Hány Ft-ot kapok a 10. Év után, ha 1000 Ft-ot teszek a takarékba és a kamat 10%-os? a1 = 1000 n = 10 q = 1,1 (10%-os növekedés=1,1-es szorzó)
Mértani sorozat
n az elemek száma q az elemek hányadosa sn az n elem összege
a10= 1000*1,110-1=1000*1,19 1000*2,358=2358 (Ft)
A mértani sorozat egymást követő
elemeinek hányadosa állandó.
8.
169
Függvény-transzformációk az y tengellyel párhuzamosan
y
x
y
x
y
x
y = x
y = x - 3 párhuzamos eltolás az y tengely mentén negatív irányba
y = x + 1 párhuzamos eltolás az y tengely mentén pozitív irányba
8.
170
Függvény-transzformációk az x tengellyel párhuzamosan
y
x
y
x
y
x
y = x
y = x - 2 párhuzamos eltolás az x tengely mentén pozitív irányba
y = x + 1 párhuzamos eltolás az x tengely mentén negatív irányba
8.
171
A sokszög
oldalainak száma
1 csúcsból húzható
átlóinak száma
összes átlóinak száma
3 0 0 4 1 2 5 2 5 6 3 9 n n - 3 [n*(n – 3)] : 2
A sokszög
1 csúcsból húzható
átlókkal hány háromszögre
bontható
belső szögek összege
külső szögek összege
1 1*180 360 2 2*180 360 3 3*180 360 4 4*180 360
n - 2 (n – 2)*180 360
Sokszögek: oldal-átló-háromszög-szögösszeg
8.
172
Véges tizedes tört átváltása törtre:
40
13
1000
253025,3
20
9
100
4545,0
Végtelen szakaszos tizedes tört
átváltása törtre:
55
12
990
216
990
2218218,021818,0
6
1
90
15
90
116166,0
A számlálóban a szakaszt megelőző és a szakasz jegyeiből álló számból kivonjuk a szakaszt megelőző jegyekből álló számot, a nevezőben annyi kilencest írunk, ahány jegyből áll a szakasz és utána annyi nullát teszünk, ahány jegy megelőzi a szakaszt. Nem szakaszos végtelen tizedes tört
nem váltható át közönséges törtre.
Tizedes tört közönséges törtté alakítása.
9.
173
A={xN|3 x<6} A={3; 4; 5} Az A halmaz elemei azon természetes számok, amelyek nem kisebbek 3-nál, de kisebbek 6-nál.
0 1 2 3 4 5 6
B={ xZ|-3<x 2} B={-2;-1; 0; 1; 2} A B halmaz elemei azon egész számok, amelyek nagyobbak -3-nál, de nem nagyobbak 2-nél.
-3 -2 -1 0 1 2 3
C={ xQ|-2<x<4} A C halmaz elemei azon racionális számok, amelyek nagyobbak -2-nél és kisebbek 4-nél.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Halmazok megadása, elemszáma
Az osztályból 3 tevékenységre járnak a gyerekek: foci (F), sakk (S) és úszás (Ú). Mennyi az osztálylétszám(O), ha F=20, S=15, Ú=11, FS=10, SÚ=5, FÚ=4, FSÚ=3, sehova nem jár 2 tanuló? Az elemszám jele: pl.: |F|=20
F S
Ú
3
7
1
9 3
2 5
O
2
|F SÚ|=3 |(F S)| - |(F SÚ)|=7; (10-3=7) |(FÚ)| - |(F SÚ)|=1; (4-3=1) |(SÚ)| - |(F SÚ)|=2; (5-3=2) |F|-|F S|-|FÚ|+|(F SÚ)|=9, 20-10-4+3=9 |S|-|F S|-|SÚ|+|(F SÚ)|=3, 15-10-5+3=3 |Ú|-|FÚ|-|SÚ|+|(F SÚ)|=5, 11-4-5+3=5 |O| - |F S U|=2, 32-30=2 Létszám: 3+7+1+2+9+3+5+2=32
A 3-at azért kell visszaadni, mert kétszer vettem el!
9.
174
A={ xQ|-1 x 4}; [-1;4]; zárt intervallum
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
B={ xQ|-3<x<2}; ]-3;2[; nyitott intervallum
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
C={ xQ|-2 x<5}; [-2;5[;
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
D={ xQ|2<x 4}; ]2;4];
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Halmazműveletek a fenti intervallumokkal: AB ]-3;4] AB [-1;2[ A\B [2;4] B\A ]-3;-1[
CD [-2;5[ CD ]2;4] C\D [-2;2] ]4;5[ D\C { }
(B C) ]-3;5[ (B C)\D ]-3;2] ]4;5[ (A B CD)\(BC) ]-3;-2[ [2;5[
Intervallumok
balról nyitott, jobbról zárt intervallum
balról zárt , jobbról nyitott intervallum
9.
175
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
A fentieket alkalmazva: x2+4x+10=(x2+4x+4)-4+10=(x+2)2+6 Az első két tag alapján tudni lehet, hogy az (x+2) négyzetéről van szó. Kifejtem tehát az (x+2) négyzetét, és azt a 4-et, amit hozzáadtam, rögtön le is vonom. Az összevonás után kialakul a kifejezés.
5x2-10x-15=5(x2-2x-3)= =5[(x2-2x+1)-1-3]=5[(x-1)2-4]= =5(x-1)2-20 Az x2 együtthatóját kiemelve, alkalmazom az előzők szerinti lépéseket.
(3x+5)(9x2-15x+25)=27x3+125
4x7+32x5y+64x3y2=4x3(x4+8x2y+16y2)= =4x3(x2+4y)2
Úgy emelek ki, hogy az első tag négyzetszám legyen!
27xy4-18x3y3+3x5y2= =3xy2(9y2-6x2y+x4)=3xy2(3y-x2)2
x8+20= (x8--25)+25+20=[(x4)2-52)]+45= =(x4+5)(x4-5)+45
Nevezetes azonosságok, teljes négyzetté alakítás, szorzattá alakítás
9.
176
3
4
)3)(4(
)4(
)4(3)4(
)4(
1234
168
2
22
y
x
yx
x
xxy
x
xyxy
xx
A nevező szorzat alakja mutatja, hogy a tört akkor értelmezhető, ha x4 és y -3.
10)2)(2(
)2(6*
)2(3
)2(5
)4(
)2(6*
)2(3
)44(5
126
4
63
20205
2
22
22
22
24234
xxx
x
x
xx
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xxx
A tört akkor értelmezhető, ha x0; x -2; x2. Az osztó számlálója sem lehet nulla!
1
4
)1)(1(
)1(4
)1)(1(
44
)1)(1(
12412
)1)(1(
)1(4)1(
1
1
1
4
1
1
2
222
222
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
A tört akkor értelmezhető, ha x -1 és x1.
Műveletek algebrai törtekkel: egyszerűsítés, szorzás-osztás, összevonás (Nevezetes azonosságokkal!).
9.
177
Az x szám osztója y-nak jele: x|y
Ha x=am * bn
* ck, akkor
x osztóinak száma=(m+1)(n+1)(k+1) Pl.: 72=23
*32 osztóinak száma: 4*3=12
(1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72) 1. Igaz-e, hogy 5|23142005+14260? A 4-re végződő számok hatványai rendre 4-re, 6-ra végződnek; a 2-re végződőek 2-re, 4-re, 8-ra, 6-ra. A 2005. hatvány (páratlan) 4-re, a 60. hatvány (60 osztható 4-gyel) 6-ra. 4+6=10, tehát a válasz: igen. 2. Igaz-e, hogy ha a 13|x+3y, akkor 13|16x+9y? 16x+9y=13x+3x+9y=13x+3(x+3y) 13|13x és 13|3(x+3y), a válasz igen. 3. Milyen számjegy írható x és y helyére, ha 36|204x567y? Egy szám akkor osztható 36-tal, ha osztható 4-gyel és 9-cel.
A 4-gyel való oszthatóság miatt y lehet 2, akkor x=1, a számjegyek összege: 27; y lehet 6, akkor x=6, a számjegyek összege: 36. Ez csak x=y esetén igaz !
Oszthatóság
9.
178
Átírás 10-es számrendszerbe: 10112=1*23+0*22+1*21+1*20=1110 52036=5*63+2*62+0*61+3*60=115510 2BD16=2*162+11*161+13*160=70110
Átírás 10-es számrendszerből:
Számrendszerek: átírás, alapműveletek
1 1
167 +534 723
4+7=11, amiből kitelik 1db 8-as, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 3-at. 3+6+1=10, amiből kitelik 1db 8-as, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 2-t. 5+1+1=7, leírom.
8
11:2=5 marad 1 5:2=2 1 2:2=1 0 1:2=0 1
1155:6=192 m 3 192:6=32 0 32:6=5 2 5:6=0 5
701:16=43 m13=D
43:16=2 11=B
2:16=0 2
2 6 16
3210 - 1323 1221
3-hoz, hogy 0+4 legyen, kell 1, leírom, maradt 1. 1+2=3-hoz, hogy 1+4=5 legyen, kell 2, leírom, maradt 1. 1+3=4-hez, hogy 2+4=6 legyen, kell 2, leírom, maradt 1. 1+1=2-höz, hogy 3 legyen, kell 1, leírom.
4
1021:2=122 3 1
5 1
4 0
Az 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+0=3, 3:2=1(hányados), marad 1. 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+2=5, 5:2=2(hányados), marad 1. 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+1=4, 4:2=2 (hányados), marad 0.
3
243*42 2132 1041 22411
4*3=12, amiből kitelik 2db 5-ös, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 2-t. 4*4=16, +2 az 18, amiből kitelik 3db 5-ös, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 3-at...
5
9.
179
1. Melyik az a lineáris függvény, amelynek grafikonja átmegy az A(-3;-5) és B(1;3) pontokon? 2. Rajta van-e a fenti grafikonon a C(16;33) pont? 3. Mi az ismeretlen koordináta, ha D(x;15) és E(-5;y) illeszkedik a fenti függvény grafikonjára?
Lineáris függvény
)(213
35meredekség
xx
yy
BA
BA
1.
Ha C(16;33), akkor y=2*x+1 y=2*16+1=33 igen, rajta van
y=a*x+b pl.: A(-3;-5) alapján -5=2*-3+b b=1 y=2*x+1
Ha D(x;15), akkor y=2*x+1 15=2*x+1 x=7
Ha E(-5;y), akkor y=2*x+1 y=2*-5+1 y= -9
3.
2.
y 1 0 1 x A
B
9.
180
Egy valós szám abszolútértéke nemnegatív számok esetén maga a szám, negatív számok esetén a szám ellentettje. A ]-;0] intervallumon a függvény szigorúan csökken, a 0 helyen minimuma van, f(0)=0, a [0;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. A ]-;3] intervallumon a függvény szigorúan csökken, a 3 helyen minimuma van, f(3)=0, a [3;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. A ]-;0 ] intervallumon a függvény szigorúan csökken, 0 helyen minimuma van, f(0)= -2, a [0;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. ]-;-6] int. cs., [-6;-4] nő, [-4;-2] cs., [-2;0] nő, [0;2]cs., [2;4] nő, [4;6] cs., [6;+ [ nő. -6, -2, 2, 6 helyen helyi minimuma van, (értéke 0), -4, 0, 4 helyen helyi maximuma van (értéke 2).
Abszolútérték függvény
x, ha x0-x, ha x<0
|x|=
x-3, ha x3-(x-3), ha x<3 -x+3
|x-3|=
x-2, ha x0 -(x)-2, ha x<0 -x-2
|x|-2=
f(x)=|x|
f(x)=|x|-4
f(x)=||x|-4|
f(x)=||x|-4|-2
f(x)=|||x|-4|-2| Értékkészlete a nemnegatív számok
9.
181
tehát
Abszolútérték függvény
f(x)=|x+4|+|x|+|x-3|
Az összeg egyes tagjai az x= - 4, x=0, x=3 helyen veszik fel a 0 értéket.
A fenti 3 pont az alábbi 4 intervallumot határozza meg: x<- 4; - 4x<0; 0x<3; 3 x.
Mind a 4 esetben meg kell vizsgálni, hogy az (x+4); (x); (x-3) pozitív-e, akkor változatlanul leírom, negatív-e, akkor az ellentettjét veszem.
1
2 3
4
3 0-4
Minden szakasz egy–egy lineáris függvény darabja.
Ha x<- 4, - (x+4) - (x) - (x-3) = -x-4-x-x+3= - 3x-1 Ha - 4x<0, (x+4) - (x) - (x-3) = x+4-x-x+3= -x+7 Ha 0x<3, (x+4)+(x) - (x-3) = x+4+x-x+3=x+7 Ha 3 x, (x+4)+(x)+(x-3) = x+4+x+x-3=3x+1
1
3
4
2
f(x)=
- 3x-1, ha x<- 4, - x+7, ha - 4x<0, x+7, ha 0x<3, 3x+1, ha 3 x.
9.
182
Másodfokú függvény
x2
x2-3
|x2-3|g(x)=|x2-3| A ]-;-2] int. cs., a [-2;0] int. nő, a [0;2] int cs., a [2;+ [ int. nő, x= -2 és 2 helyen minimuma van, f(-2)=0, f(2)=0, x=0 helyen helyi maximuma van, f(0)=2.
x2
(x-2)2
(x-2)2+2f(x)=x2 A másodfokú függvény képe parabola, amely szimmetrikus az y tengelyre. Páros függvény, mert P(x ; y) és P’(-x ; y) is a parabolán van, tehát f(-x)=f(x)
f(x)=x2-4x+6=(x2-4x+4)-4+6=(x-2)2+2 A ]-;2] intervallumban csökken, a [2;+ [ intervallumban nő, x=2 helyen minimuma van, f(2)=2.
h(x)=x2-4|x| x2-4x, ha x0 (x2-4x+4)-4=(x-2)2-4 x2-4(-x), hax<0 (x2+4x+4)-4=(x+2)2-4
h(x)=
Értékkészlete a –4-nél nem kisebb számok.
9.
183
Négyzetgyök függvény
x2
x
y=x
- x
x
A x azt a nemnegatív számot jelöli, amelynek a négyzete x. x és - x
az x2 tükörképe az y=x egyenesre.
f(x)= 2x , ha x-2
A [-2;+ [ intervallumban nő, x= -2 helyen minimuma van, f(-2)=0. Értékkészlete a nemnegatív számok.
2x , ha x 2
)2(2 xx ,
ha x 2
1 21
2
9.
184
Lineáris törtfüggvény
f(x)=x
1
A lineáris törtfüggvény képe hiperbola, amely szimmetrikus az origóra. Páratlan függvény, mert
P(x ; y) és P(-x ; -y) is a hiperbolán van, tehát f(-x)= - f(x) A ]-;0[ és ]0;+ [ intervallumban is csökken. Sem minimuma, sem maximuma nincs. Értékkészlete a 0 kivételével az összes valós szám. Hozzásimul a tengelyekhez, de azokat soha nem éri el. A tengelyek az aszimptotái.
2
1
x
2
1
x
21x
12
1
x
9.
185
Egészrész függvény Minden x valós számhoz hozzárendeljük azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb x-nél. Jele: f(x)=[x] [3,2]=3 [-0,5]=-1 [0,5]=0 [-2,3]=-3 [2]=2
Egészrész, törtrész és előjel függvény
[x] [x]+2
[2x-1] 2[x]
[x]2
x-[x]
Jele: f(x)={x} vagy f(x)=x-[x] 3,2-[3,2]=3,2-3=0,2 0,5-[0,5]=0,5-0=0,5 2-[2]=2-2=0 -0,5-[-0,5]=-0,5- -1=0,5 -2,3-[-2,3]=-2,3- -3=0,7
Előjel függvény 1, ha x>0, 0, ha x=0, -1, ha x<0.
Törtrész függvény Ha egy számból elvesszük az egészrészét, a törtrésze marad.
sgn(x)=
[x2]
9.
186
Függvénytranszformációk rendszerezése
g(x)=f(x+c) Eltolás az x tengely mentén c-vel. Ha c>0 , c<0 .
g f
g(x)=f(x)+c Eltolás az y tengely mentén c-vel. Ha c>0 , c<0 .
f
g
y
x
x
y
g(x)= - f(x) Az x tengelyre tükrözzük f függvény grafikonját. Pl.: f=x+1 g= - (x+1)= -x-1
f
g
g(x)=f(-x) Az y tengelyre tükrözzük f függvény grafikonját. Pl.: f=x+1 g= - (x)+1= -x+1
f
g
x
y
y
x
9.
187
Függvénytranszformációk rendszerezése
g(x)=|f(x)| Ahol az f értéke negatív, tükrözzük az x tengelyre. Pl.: f=x+1 g=|x+1| f
g
x
g(x)=f(|x|) Az x0 értékhez tartozó görbedarabot tükrözzük az y tengelyre, az x<0 részt elhagyjuk. Pl.: f=x+1 g=|x|+1
f
g
x
g(x)=f(2x) Minden x koordináta felére csökken, az y koordináta nem változik. Pl.: f=x+1 g=2x+1
fg
x
y
y
y
yg(x)=2f(x) Minden y koordináta kétszeresére nő, az x koordináta nem változik. Pl.: f=x+1 g=2(x+1)=2x+2
f g
x
y
9.
188
Szakaszfelező merőleges, a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon.
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja, amely hegyesszögű háromszögön belül, tompaszögű háromszögön kívül van, a derékszögű háromszög átfogójának felezőpontja.
Szögfelező a szög mindkét szárától egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon.
A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja. A háromszög területe így is kiszámítható:
rK
rcba
crbrarT
*2
*2
222
A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalra állított merőleges egyenes. A csúcs és az oldal távolsága a háromszög magassága. A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. A súlyvonalnak a háromszögbe eső szakaszát a súlypont 2:1 arányban osztja.
Nevezetes vonalak, pontok
a
b c
r
r r
r rr
c
a
b
Derékszögű háromszögbe a beírt kör átmérőjének hossza egyenlő, a befogók hosszának összege mínusz az átfogó hossza. 2r=a+b-c
Az érintési szakaszok egyenlő-ségéből
következik
9.
189
8
162
61244
)]2)(2[(/*)2)(2(
)2(6
)2)(2(
)2(
2
6
2
2
4
22
22
2
2
x
x
xxxx
xxxx
x
xx
xx
xx
x
x
x
1
1717
61723
)]3(3[/*)3(3
6
)3(3
2791915
3
23
)3(3
1
)3(
35
3
23
93
1
3
3522
x
x
xx
xxxx
x
xx
xxx
xxxx
x
xx
x
xxxx
x
xx
x
Egyenletek megoldása nevezetes szorzatok alkalmazásával
x 2 x -2
A nevezőt nevezetes szorzattá alakítottam.
1.
x 0 x -3
A nevezőben kiemeltem.
2.
1
5,15,0
25,2)5,0(
0225,0)25,0(
02
3:/0633
2442
)2(/*12
42
2
2
2
2
22
2
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
x -2
Kiegészítettem nevezetes szorzattá
3.
9.
190
Az egyenlet két oldalát egy-egy függvénynek tekintem, ezeket ábrázolom, a grafikonok metszéspontjának x koordinátája adja az egyenlet gyökét.
Egyenletek megoldása grafikusan
||2x-4|-3|=2 x1= -0,5 x2= 1,5 x3= 2,5 x4= 4,5
y
x
|x-1|=|2x+2|-1 x1= 0 x2= -4
x
y
9.
191
Az értelmezési tartomány azon x értékek halmaza, amelyen az egyenlet megoldásait kereshetjük. Az egyenlet két oldalán egy-egy függvény áll, amelyeknek közös értelmezési tartományán keressük a megoldást, amelyhez azonos függvényérték (y) tartozik. Ezen függvényértékek halmaza az értékkészlet. Pl.: f(x)=|x|
g(x)=x
5
h(x)= x
8244 xx Értelmezési tartománya:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
42 x +|4x-y| = -4z2-12z-9
42 x +|4x-y| +(2z+3)2=0 Mindhárom tag csak nemnegatív lehet, de ha összegük nulla, akkor mindegyik nulla.
Az egyenlet értelmezési tartománya, értékkészlete
Ért. tart. Ért. k. xR f(x)R\R - xR\{0} g(x)R xR\R - h(x) R\R -
4x-40 4x4 x1
-2x+80 -2x-8/:( -2) x 4
tehát 1 x 4
4x-y=0 4x=y -8=y
2z+3=0 2z= -3 z= -1,5
2x+4=0 2x= -4 x= -2
9.
192
Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egyik tényezője nulla. (x+2)(5x-4)(27-6x)=0 x1= -2; x2=0,8; x3=4,5 (x-1)(2x+7)+(3x-3)(x-2)=2-2x (x-1)(2x+7)+3(x-1)(x-2)=-2(x-1) (x-1)(2x+7)+3(x-1)(x-2)+2(x-1)=0 (x-1)[(2x+7)+3(x-2)+2]=0 (x-1)(2x+7+3x-6+2)=0 (x-1)(5x+3)=0 x1= 1; x2= -0,6
03*43
7
0
3
1
)3
1(3
43
7
0
3
113
43
7
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
x2+7x+12=0 x2+4x+3x+12=0 x(x+4)+3(x+4)=0 (x+4)(x+3)=0 x1= -4; x2= -3
Egyenletek megoldása szorzattá alakítással
1.
2.
3.
9.
193
Az ekvivalens átalakítások során az egyenlet mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, tehát az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatunk, kivonhatunk ismeretlent tartalmazó tagot is, de ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, hamis gyököt kaphatunk:
)1(/*1
21
1
2
x
xx
2+(x-1)=2 x=1 ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztunk, gyököt veszíthetünk: x(x-1)=x/:x x-1=1/+1 x1=2 Azonban az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal.
Egyenletek megoldása mérleg-elvvel
Az elvesztett gyök: x2=0.
Az 1 hamis gyök, hiszen a tört nevezője nem lehet 0!
9.
194
Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor az egyenlőtlenség iránya ellenkezőjére változik.
3x-2<2
x+3
(x+1)(x-1)0
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2 Egy kéttényezős szorzat értéke akkor kisebb nullánál, ha egyik tényezője negatív. Ez a 3. számegyenesen ábrázolt intervallumban teljesül. Tehát (x+1)(x-1)<0 ]-1;1[ és (x+1)(x-1)=0 -1 vagy 1 ebből következik, hogy (x+1)(x-1)0 [-1;1]
Egyenlőtlenségek
y
x
3x-2<2
x+3 /*2
6x-4<x+6 5x<10 x<2 ]-;2[
3x-2 alatta van 2
x+3-nak,
ha x<2,
1
x+10, ha x -1 x+10, ha x -1
x-10, ha x1 x-10, ha x1 ha –1x1, akkor x+10 x -10(x+1)(x-1)0 [-1;1]
negatív
2
negatív
pozitív
pozitív negatív
pozitív
-*+<0 vagy +*-<0
9.
195
0)4)(3(
)2(4
0)4)(3(
84
0)4)(3(
282842
0)4)(3(
)2()4(2)4)(2(
)4)(3(
2
3
2
)3(
2
222
xxx
x
xxx
x
xxx
xxxxxxx
xxx
xxxxxx
xx
x
xxx
x
2-x<0, ha x>2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 x=0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 x+3<0, ha x< -3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 x+4<0, ha x< -4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 x<-4; -3<x<0; x>2 ]- ;-4[ ]-3;0[ ]2;+ [
0**
; 0
**
; 0**
3
Egyenlőtlenségek
pozitív
pozitív
pozitív
pozitív
negatív
negatív
negatív
negatív
9.
196
|x+2|+|x-2|4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Kiválogatom az alábbi intervallumokra vonatkozó összefüggéseket, és ezek alapján megoldom az egyenleteket. Ha x<-2, akkor (x<2 is igaz) -x-2-x+24 -2x4 x-2 Ha -2x<2, akkor x+2-x+24 44 Ha x2, akkor (x-2 is igaz) x-2+x+24 2x4 x2 Tehát a megoldás -2x2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek
x+2, ha x-2 -x-2, ha x<-2
x-2, ha x2 -x+2, ha x<2 |x+2|= |x-2|=
x<-2 -2x<2
x2
9.
197
|||x-2|-2|-3|=1
Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek
|x-2|-2= -2
y
x
1. grafikon: |x-2| 2. grafikon: |x-2|-2 3. grafikon: ||x-2|-2| 4. grafikon: ||x-2|-2|-3 5. grafikon: |||x-2|-2|-3|=1
y
x
y
x
y
x
y
x
|||x-2|-2|-3|=1
y=1
||x-2|-2|=2
||x-2|-2|-3= -1
||x-2|-2|=4
|x-2|-2=4 |x-2|-2= -4
|x-2|=6 |x-2|= -2
x-2=6 x-2= -6
x=8 x= -4
|x-2|-2=2
|x-2|=4 |x-2|=0
x-2=4 x-2= -4 x-2=0
x=6 x= -2 x=2
||x-2|-2|-3=1
9.
198
A paraméter (a, b, c, …) az egyenletben szereplő tetszőleges értékű állandó. Az egyenlet gyökét (x, y, z, …) ennek segítségével kell megadni. 1. feladat: a2x+2=a(x+2) a2x+2=ax+2a a2x-ax=2a-2 ax(a-1)=2(a-1) Ha a=1, akkor ax*0=0 azonosságot kapunk, tehát az egyenletnek minden valós szám gyöke. Ha a1, akkor (a-1)-gyel oszthatunk,
ax
axa
aax
2
21
)1(2
2. feladat: (2b-1)x=3b+(b+2)x 2bx-x=3b+bx+2x bx-3x=3b x(b-3)=3b Ha b=3, akkor x*0=9 vagyis 0=9 kifejezést kapunk, tehát az egyenletnek b=3 paraméternél nincs gyöke. Ha b3, akkor (b-3)-mal oszthatunk,
3
3
b
bx
Paraméteres egyenletek
lesz az egyenlet gyöke, ahol a0.
lesz az egyenlet gyöke.
9.
199
1. Apa 40 éves, a fia 16. Hány évvel ezelőtt volt az apa négyszer annyi idős, mint a fia? Hány évesek voltak ekkor?
2. Első nap elköltöttem a pénzem felét és 200 forintot, második nap a maradék egynegyed részét és 100 forintot, a harmadik nap a maradék kettőötöd részét és 50 forintot, így 70 forintom maradt. Mennyi pénzem volt eredetileg? Az egyenletet úgy írom fel, hogy esetenként mennyi pénzem maradt:
70505
3*100
4
3*200
2
x
x=1200 ellenőrzés: 1200 fele 600 és -200, marad 400, negyede 100 és -100 marad 200, kétötöde 80 és -50, marad 70. 3. Egy ruha árát felemelték 15%-kal, majd leszállították 15%-kal, így 54 forinttal lett olcsóbb. Mennyi volt az eredeti ára?
x*1,15*0,85=x-54 x=2400 ellenőrzés: 2400*1,15=2760 2760*0,85=2346
Szöveges egyenletek
3. nap maradt
apa fia volt 40-x 16-x most 40 16
40-x>16-x 40-x=(16-x)*4 x=8
ellenőrzés: apa fiavolt 32 > 8 most 40 16
*4 *4
2400-2346=54
2. nap maradt
1. nap maradt
9.
200
1. Két oldal egyenlővé tétele: x-2y=4 y+2x=3
y=2
x-2
y=-2x+3 2. Egyenlő együtthatók módszere: x-2y=4 y+2x=3 /*2 x-2y=4 4x+2y=6 5x=10 x=2 y=-1 3. Behelyettesítéses módszer: x-2y=4 y+2x=3 x=4+2y az első egyenletből kifejezve y+2(4+2y)=3 a második egyenletbe behelyettesítve y=-1 x=2 4. Grafikus módszer: x-2y=4 y+2x=3
y=2
x-2
y=-2x+3 P(2;-1)
Kétismeretlenes egyenletrendszerek
ldá i ód i
2
x -2=-2x+3
x=2
2-2y=4 y=-1
Ellenőrzés mindhárom feladatra:
y+2x=3 -1+2*2=3
y
x P
összeadom a két egyenletet
9.
201
1. Egy szám négyszerese megegyezik egy másik szám negyedrészével. Ha két eredeti szám mindegyikéhez 4-et adok, akkor a második négyszerese lesz az elsőnek. Melyik ez a két szám?
4x=4
y
(x+4) < y+4 16x=y (x+4)*4=y+4 4x+16=16x+4 x=1 y=16 2. Pár gyerek elvégez egy munkát. Ha 2-vel kevesebben lennének, akkor 100 forinttal többet kapnának fejenként, ha 2-vel többen végzik el a munkát, akkor 50 forinttal kevesebbet kapnak fejenként. Hányan voltak és fejenként mennyiért dolgoztak eredetileg?
x (=létszám); y(=munkabér) (x-2)(y+100)=xy (x+2)(y-50)=xy
xy-2y+100x-200=xy xy+2y-50x-100=xy
-2y+100x=200 2y-50x=100 50x=300 x=6 (6-2)(y+100)=6y 4y+400=6y y=200
Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok
*4
Ellenőrzés: 4*1=16:4 1+4 < 16+4
*4
Ellenőrzés: (6-2)*(200+100)=6*200 (6+2)*(200-50)=6*200
9.
202
51
*81
*24
51
*81
*24
5824
5824
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Vezessünk be két új változót, hogy egyszerűbben megoldhassuk a feladatot.
yxb
yxa
1
1
4
11
8
11
yx
yx
Egyenletrendszerek – új változó bevezetése
24a+8b=5 24b-8a=5 /*3
8b+24a=5 72b-24a=15
80b=20 b=0,25 a=0,125
Egyenlő számok reciprokai is egyenlők:
x+y=8 x-y=4
2x=12 x=6 y=2 Ellenőrzés:
24: (6+2)+8: (6-2)=3+2=524: (6-2)-8: (6+2)=6-1=5
9.
203
1. Hárman vagyunk testvérek: Kati, Zoli és Anti. Éva néni megkérdezte, melyikünk hány kilogramm. Mókásan így válaszoltunk: ha Kati és Zoli áll együtt a mérlegre, akkor 69 kg-ot mérnek, ha Zoli és Anti, akkor 97 kg-ot, Kati és Anti esetében 84 kg-ot mutat a mérleg. Hány kilogramm egy-egy gyerek?
k + z = 69 z + a = 97 k + a = 84 2k+2z+2a=250 /:2 k+z+a=125 a=125-69=56 z=97-56=41 k=84-56=28 Ellenőrzés: 28+41=69 41+56=97 2. 28+56=84
0113
18246
248
zxyzyx
x0; y0; z0. Az összeg akkor nulla, ha tagonként is nulla.
046
yx
182
yx
113
zx
Többismeretlenes gyenletrendszerek
6y-4x=0 6y=4x x=1,5y
2y-8z=-yz
3z+x=xz 3z+1,5y=1,5yz /*22y-8z=-yz /*3 3y+6z=3yz 6y-24z=-3yz 9y-18z=0 y=2z x=1,5y=3z
6y-4x=0 12z-12z=0
2y-8z=-yz 4z-8z=-2z2 -4z=-2z2 2z=z2 z=2; y=4; x=6
9.
204
Az olyan függvényt, amely ponthoz (értelmezési tartomány) pontot (értékkészlet) rendel hozzá, geometriai transzformációnak nevezzük. Egybevágósági transzformációnál az alakzat bármely szakaszának képe egyenlő hosszú az eredeti szakasszal. Tengelyes tükrözésnél a tengely pontjai fixpontok (helyben maradnak). Tengelyes tükrözésnél a tengely minden pontja fixpont, tehát a tengely fixalakzat. Ha egy alakzat és képe megegyezik a geometriai transzformációnál invariáns alakzatnak nevezzük. Pl.: tengelyesen tükrözve egy négyzetet az átlójára, mint tengelyre, a négyzet invariáns. A négyzet képe önmaga, de nem pontonként fix, tehát nem fixalakzat! Identikus transzformáció az a transzformáció, amely a sík minden pontjához önmagát rendeli hozzá. Pl: tengelyesen tükrözve P-t a képe P’, és ugyanerre a tengelyre tükrözve P’-t a képe P. (Az eltolás nem identikus transzformáció, mert P képe P’, de P’ képe nem P!)
Geometriai transzformációk - fogalmak
9.
205
Középvonalak: Súlyvonalak:
Nevezetes vonalak: középvonal, súlyvonal
A háromszög középvonala két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, amely párhuzamos a harmadik oldallal és hossza a harmadik oldal fele. a || a/2; b || b/2; c || c/2 a
a/2
b/2 c/2
bc
A paralelogramma középvonala két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz, amely egyenlő hosszú és párhuzamos az oldalakkal. AB||=DC||=F4 F3; AD||=BC||=F1 F2
A B
C D
F1
F3
F2
F4
A trapéz középvonala szárai felezőpontjait összekötő szakasz, amely párhuzamos az alapokkal és hossza azok összegének a fele. a || c || k; k=(a+c):2 a
b
c
d k
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Metszéspontjuk a súlypont, amely 1:2 arányban osztja a súlyvonalakat. AS : SF2=2:1; BS : SF3=2:1; CS : SF1=2:1
A B F1
C
S F2 F3
9.
206
Középponti szög:
i
i
t
t
Radián:
3,5714,3
180180
2
360
2
1
360
2360
2360
r
r
r
i
A teljes szög nagysága radiánba mérve:
)(22
1
360rad
r
r
eontiSzögÍvságúKözéppRadiánNagy
KörívhozTartozó
tehát 360 = 2 (rad) 180 = 1 (rad)
Kör középponti szöge Radián
Az r sugarú kör r nagyságú ívéhez tartozó középponti szöge 1 radián, ami 57,3
r r
r 1rad
Középponti szögről beszélünk, ha a szög csúcsa egy adott kör középpontja
iAB
CD =
i
A
B
C
Dt és t a körcikkek területe
9.
207
)(2
)(
360 rad
rad
Fok radián:
)(360
28,6
360
2
)(84,05,7
28,6
5,7
2
48
360
248
rad
rad
tehát
360
)(2)(
radrad
Radián fok:
4884,0*28,6
360)(84,0*
)(2
360)(84,0
)(*)(2
360)(
radrad
rad
radrad
rad
tehát )(*)(2
360rad
rad
Fokban megadott szögek átváltása radiánba és fordítva
9.
208
Kör adott középponti szögéhez tartozó körív hossza:
rr
i
r
i
rad
rad
2
2
2)(2
)(
1. Mekkora a 10 cm sugarú körben a 30-os, azaz 6
(rad)
középponti szöghöz tartozó körív hossza?
6
14,3*10
6*10 ri =5,2 (cm)
ív=
30*360
14,3*10*230*
360
2
r =5,2 (cm)
Kör középponti szögéhez tartozó körcikk területe:
22
)(2
)(
22
2
rrt
r
t
rad
rad
2. Mekkora a 10 cm sugarú körben a 30-os, azaz6
(rad)
középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
12
14,3*100
26
*10
2
22
r
t 26,2 (cm2)
t=
30*360
14,3*1030*
360
22r 26,2 (cm2)
Körív hossza, körcikk területe
r i
r
r t
r
b.) Fokban számolva:
a.) Radiánban számolva:
a.) Radiánban számolva:
b.) Fokban számolva:
9.
209
Több vektort a háromszög-szabály alapján úgy adunk össze, hogy minden rákövetkező vektor kezdőpontját az előző végpontjába tolunk el. Az eredővektor az első kezdőpontjából az utolsó végpontjába mutat. Jelölése: Vektorok kivonása: a két vektort közös kezdőpontból kiindulva vesszük fel, az eredővektor a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő vektor végpontjába mutat. Jelölése: Nullvektor: = Vektor szorzása számmal:
Műveletek vektorokkal
a b
a b +
c a
b
a b + +c
a b +
a b -
b
a a b -
b
a a b -
-b
a (-b)+
= a b - a (-b)+
a a - 0
a Ha 0 és x>0, akkor x* =|x|*| | és -ral egyirányú, x<0, -ral ellentétes irányú.
a
a a a
a
2a
-⅝a
-3a
⅓a
9.
210
vektor kezdőpont végpont (0;0) (4;2) (-2;2) (2;4) = (4+-2 ; 2+2) (-5;-3) (-1;-1) = (4+-5 ; 2+-3) (0;-4) (4;-2) = (4+0 ; 2+-4) ha (0;0) (x0;y0), akkor (a;b) (x0+a;y0+b)
Vektorok a koordináta-rendszerben
y
x
A derékszögű koordináta-rendszerben egy pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor P(4;3) helyvektora
P
p
p
m c
n v
y
x
Bármely vektor megadható a koordináta-rendszerben reprezentánsával, amelynek kezdőpontja az origó. Az , , vektorok egyenlők, reprezentánsuk
c
m
n v m
c
n v
9.
211
Végzettség 0-7 osztály
Általános iskola
KözépiskolaFelsőfokú végzettség
Létszám 74000 1755000 4812000 1598000
14 év f elettiek
iskolai
v égzettsége
Magy arországon
0
1000000
2000000
3000000
4000000
5000000
6000000
0-7
osz
tály
álta
lán
os
közé
pis
kola
felső
fokú
Adatok: 9; 9; 9; 8; 8; 7; 7; 7; 7; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 3; 3; 2; 2; 2; 1; 1.
Az adatsokaságban a leggyakrabban előforduló adatot a minta móduszának nevezzük. 4 Az adatok összegének és adatok számának hányadosa a számtani közép vagy átlag. 153:30=5,1 Az adatok között előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége a minta terjedelme. 9-1=8 Az adatok mediánja páratlan számú adat esetén a középső adat, páros számú adat esetén a két középső átlaga. (Az a szám, amelynek az adatoktól vett távolsága minimális.) (6+4):2=5
Statisztika
A statisztikai elemzésekhez összegyűjtött adatokat adatsokaságnak vagy mintának nevezzük. A gyakorisági eloszlást függőleges oszlopokkal ábrázoló diagram a gyakorisági diagram vagy hisztogram.
1.
2.
212
Tartalomjegyzék Ötödik osztály 3. A tízes számrendszer. 4. A természetes számok. 5. Számnevek helyesírása. 6. Mit jelentenek e következő szótöredékek
szóösszetételekben: milli-, centi-, deci-, deka-, hekto-, kilo- ?
7. A hosszúság mértékegységei? 8. A tömeg mértékegységei? 9. A számegyenes jellemzői. 10. Relációk – számhalmazok. 11. Kerekítés szabálya. 12. Elnevezések az összeadásnál. 13. Elnevezések a kivonásnál. 14. Elnevezések a szorzásnál. 15. Az idő mértékegységei? 16. Egy szám osztói, többszörösei. 17. Elnevezések az osztásnál? 18. Műveletek sorrendje? 19. Az összeg osztása kétféleképpen. A különbség osztása kétféleképpen. 20. Arányos következtetések. 21. Egyenletek. 22. Grafikonok. 23. Számrendszerek. 24. A síkidom, sokszög meghatározása. 25. A terület mértékegységei? 26. Négyzet, téglalap kerülete, területe. 27. Kerület, terület, felszín, térfogat fogalma. 28. A térfogat mértékegységei? 29. A téglatest, a kocka hálózata.
A téglatest, a kocka felszíne. A téglatest, a kocka térfogata.
213
30. Milyen űrmértékeket ismersz? 31. Az ellentettje, abszolút-értéke? 32. Merre lépünk a számegyenesen előjeles
számok hozzáadásakor ill. kivonásakor? 33. Rajzolj koordináta-rendszert. 34. A szorzás, osztás előjelszabálya? 35. A szögmérés mértékegységei? 36. Milyen szögfajtákat ismersz? 37. Milyen műveleti jelet helyettesít a
törtvonal? Mit mutat meg a tört nevezője, számlálója?
38. Értelmezd a tört bővítését. 39. Értelmezd a tört egyszerűsítését. 40. Hogyan adunk össze törteket?
Hogyan vonunk ki törteket? 41. Törtet egész számmal hogyan szorzunk,
hogyan osztunk? 42. Mikor merőleges két egyenes egymásra?
Mikor párhuzamos két egyenes egymással? 43. A kör fogalma. 44. A kör sugara, átmérője? 45. A kör szelője, húrja? 46. A kör érintője? 47. A háromszög fogalma. 48. A négyszög fogalma. 49. A trapézek származtatása. 50. A síkidomok rendszerezése. 51. A trapéz fogalma. 52. A paralelogramma fogalma. 53. A téglalap fogalma. 54. A rombusz fogalma. 55. A négyzet fogalma. 56. Szerkesztések:
szakaszfelező merőleges és merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába.
214
57. Hogyan jutunk a tizedes törtekhez? 58. Tizedes törtek összeadása, kivonása. 59. Hogyan szorzunk, osztunk 10-zel, 100-zal,
1000-rel? 60. Hogyan végzed el a szorzást a tizedes törtek
körében? 61. Tizedes tört osztása egész számmal. 62. Átlagszámítás. 63. Törtek átváltása tizedes törtre. Hatodik osztály 64. Elnevezések a hatványozásnál. 65. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös
többszörös. 66. Oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel? 67. Oszthatóság 4-gyel, 25-tel, 100-zal? 68. Oszthatóság 3-mal, 9-cel, 6-tal? 69. Prímszám, összetett szám. 70. A számhalmazok rendszerezése. 71. Hogyan szorzunk törtet törttel? 72. Törttel hogyan osztunk? 73. Hogyan osztunk tizedes törttel? 74. Hogyan felezünk szakaszt, szöget? 75. Merőleges szerkesztése egyenes adott
pontjába. 76. Merőleges szerkesztése egyenesre külső
pontból. 77. Szögek szerkesztése. 78. A háromszög oldalai, csúcsai, szögei -
jelölések. A derékszögű háromszög oldalai.
79. Csoportosítsd a háromszögeket oldalai, majd szögei szerint.
80. A háromszög belső szögeinek összege? A háromszög külső szögeinek összege?
215
81. Összefüggés a háromszög szögei között, összefüggés a háromszög oldalai között.
82. Mit kell tudni a 30-, 60-os derékszögű háromszög oldalairól?
83. A téglatest, kocka hálózata. 84. A terület mértékegységei? 85. A téglatest, kocka felszíne 86. A térfogat mértékegységei? 87. A téglatest, kocka térfogata. 88. Arányos osztás. 89. Egyenes arányosság. 90. Fordított arányosság. 91. Milyen mennyiségek szerepelnek a
százalékszámításnál? 92. Az 1% hányad része az egésznek? 93. Hogyan számítom ki a százalékértéket, az
alapot, a százaléklábat? 94. Arány, tört, tizedes tört, százalékalak. 95. Tengelyes tükrözés. 96. A tükrös háromszög tulajdonságai. 97. A deltoid tulajdonságai. 98. A rombusz tulajdonságai. 99. A húrtrapéz tulajdonságai. 100. Az egyenlőszárú háromszög és a
deltoid kerülete, területe. 101. Egyenlet, azonosság. 102. Mérlegelv egyenletmegoldáskor. Hetedik osztály 103. Számhalmazok jelölése. 104. Hatványozás azonosságai. 105. Számok normálalakja. 106. Mennyiségek törtrésze. 107. Statisztikai számítások.
216
108. Az egyenletmegoldásnál felmerülő problémák.
109. Mi a vektor? 110. A szögek fajtái. 111. A kör, sugár, átmérő, húr, szelő,
érintő. 112. A körcikk és körszelet. 113. A háromszög, négyzet, téglalap,
paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid fogalma.
114. Paralelogramma kerülete, területe.
115. Deltoid kerülete, területe. 116. Trapéz kerülete, területe. 117. Háromszög kerülete, területe. 118. A sokszög kerülete, területe. 119. Hasáb hálózata, felszíne. 120. Hasáb térfogata, váza. 121. A kör kerülete, területe. 122. A körív hossza. 123. A körcikk területe. 124. A henger hálózata, felszíne,
térfogata. 125. Mivel adható meg a függvény? 126. A lineáris függvény. 127. Egyenletek grafikus megoldása. 128. Számtani sorozat. 129. Az eltolás tulajdonságai. 130. A tengelyes tükrözés
tulajdonságai. 131. A középpontos tükrözés
tulajdonságai. 132. Nevezetes szögek. 133. Az elforgatás tulajdonságai.
217
134. Mit fejez ki az együttható, kitevő?
135. Algebrai kifejezés helyettesítési értékének kiszámítása.
136. Egynemű kifejezések. 137. Egytagú kifejezés szorzása,
osztása egytagú kifejezéssel. 138. Összeg, különbség szorzása
egytagú kifejezéssel. Kiemelés. 139. Többtagú kifejezés szorzása
többtagú kifejezéssel. 140. A háromszögek
magasságvonalai, oldalai közötti kapcsolat, szögei közötti kapcsolat.
141. A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat.
142. A háromszög szerkesztésének alapesetei.
143. Paralelogramma tulajdonságai. 144. Trapéz tulajdonságai. Nyolcadik osztály 145. Halmazok - halmazműveletek. 146. Nevezetes azonosságok. 147. Számok négyzete. 148. Számok négyzetgyöke. 149. A háromszögek nevezetes
vonalai és pontjai. 150. Pitagorasz tétele. 151. A gúla hálózata, felszíne,
térfogata. 152. A kúp hálózata, felszíne,
térfogata. 153. A gömb felszíne, térfogata.
218
154. A zárójelfelbontás szabálya. 155. Betűk. 156. Számok, mennyiségek közti
összefüggés felírása egyenlettel 1. 157. Számok, mennyiségek közti
összefüggés felírása egyenlettel 2. 158. „Helyiértékes” egyenletek. 159. „Mozgási” egyenletek. 160. „Keverési” egyenletek. 161. Együttes munkára vonatkozó
egyenletek. 162. Geometriai számításokkal
kapcsolatos egyenletek. 163. Thales tétele. 164. Érintő szerkesztése körhöz,
érintőnégyszög. 165. Egybevágóság fogalma.
Hasonlóság fogalma. Szakasz felosztása egyenlő részekre hasonlósággal.
166. Középpontos hasonlóság. 167. A függvényekről. 168. Mértani sorozat. 169. Függvény-transzformációk az y
tengellyel párhuzamosan. 170. Függvény-transzformációk az x
tengellyel párhuzamosan. 171. Sokszöge: oldal – átló –
háromszög – szögösszeg. 172. Tizedes tört közönséges törtté
alakítása.
219
Kilencedik osztály 173. Halmazok megadása, elemszáma. 174. Intervallumok. 175. Nevezetes azonosságok, teljes
négyzetté alakítás, szorzattá alakítás. 176. Műveletek algebrai törtekkel:
egyszerűsítés, szorzás-osztás, összevonás.
177. Oszthatóság. 178. Számrendszerek: átírás,
alapműveletek. 179. Függvények. 180. Abszolútérték függvény. 182. Másodfokú függvény. 183. Négyzetgyök függvény. 184. Lineáris törtfüggvény. 185. Egészrész, törtrész és előjel
függvény. 186. Függvénytranszformációk
rendszerezése. 188. Nevezetes vonalak, pontok. 189. Egyenletek megoldása nevezetes
szorzatok alkalmazásával. 190. Egyenletek megoldása grafikusan. 191. Az egyenlet értelmezési
tartománya, értékkészlete. 192. Egyenletek megoldása szorzattá
alakítással. 193. Egyenletek megoldása
mérleg-elvvel. 194. Egyenlőtlenségek. 196. Abszolútértéket
tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.
198. Paraméteres egyenletek.
220
199. Szöveges egyenletek. 200. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
megoldási módszerei. 201. Egyenletrendszerekkel megoldható
feladatok. 202. Egyenletrendszerek – új változó
bevezetése. 203. Többismeretlenes
egyenletrendszerek. 204. Geometriai transzformációk –
fogalmak. 205. Nevezetes vonalak: középvonal,
súlyvonal. 206. Kör középponti szöge. Radián. 207. Fokban megadott szögek átváltása
radiánba és fordítva. 208. Körív hossza, körcikk területe. 209. Műveletek vektorokkal. 210. Vektorok a koordináta-rendszerben. 211. Statisztika.
221
Név-és tárgymutató Abszolútértéke 31 Alaki érték 3 Algebrai kifejezés helyettesítési értéke 135 Arány, tört, t.tört, … 94 Arányos osztás 88 Arányosság 20 egyenes a. 89 fordított a. 90 Átlagszámítás 62 Azonosság 101 Deltoid 97 kerülete 115 területe 100, 115 Derékszögű háromszög oldalainak neve 78 szögei: 30 és 60 82 Egész kifejezés 155 Egész számok 70, 103 Egybevágóság 165, 204 Egyenlet, egyenlőtlenség 21,101,194, 195 abszolútértéket tartalmazó 196, 197 együttes munka 161 geometriai 162 helyiértékes 158 keverési 160 mozgási 159 paraméteres 198 szöveges 156, 157, 199 Egyenletmegoldás grafikus úton 127, 190 mérleg-elv 102, 108, 193 nevezetes szorzatokkal 189 szorzattá alakítással 192
Egyenletrendszerek kétismeretlenes 201 megoldási módszerek 200 új változó bevezetése 202 többismeretlenes 203 Egynemű kifejezések 136 Egytagú egész kif. 155 Együttható 134 Ekvivalens átalakítások 193 Elforgatás 133 Ellentettje 31 Előjeles számok 32 Eltolás 129 Érintő szerk. körhöz 164 Érintőnégyszög 164 Értelmezési tart. 126, 191 Értékkészlet 126, 191 Felszín gömb 153 gúla 151 hasáb 119 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 85 Fixpont, fixalakzat 204 Függvény 125 abszolútérték 167, 180,181 egészrész fg. 185 elsőfokú fg. 167 előjel fg. 185 lineáris fg. 126, 179 lineáris törtfg. 184 másodfokú fg. 167, 182 négyzetgyök fg. 167, 183 nulladfokú 167 tört fg. 167 törtrész fg. 185
222
Függvények jellemzői helyi minimum 180 meredekség 179 minimuma 180 szigorúan nő 180 Függvénytranszformációk 169, 170, 186, 187 Geometriai transzform. 204 Grafikonok 22 Gyökvesztés 193 Halmazok elemszáma173 megadása 173 műveletek 145, 173, 174 Hamis gyök 193 Hálózat gúla 151 hasáb 119 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 83 Háromszög 47 belső szögeinek ö. 80 csoportosítása 79 jelölések 78 kerülete 117 külső szögeinek ö. 80 magasságvonalai 140 nevezetes pontok 149 nevezetes vonalak 149 oldalai és szögei 140 összefüggés oldalai között 81, 140 szögei között 81, 140 szerk. alapesetei 142 területe 100, 117 tükrös háromszög 96 Hasonlóság 165
Hatványozás 64 azonosságok 104 Helyi érték 3 Hosszúság mért.egys. 7 Identikus transzform. 204 Idő mértékegységei 15 Intervallumok 174 Invariáns alakzat 204 Irracionális számok 70 Ker., ter., felsz., térf. 27 Kerekítés 11 Kéttagú egész kif. 155 Kiemelés 138, 155 Kisebb, nagyobb 10 Kitevő 134 Kivonás 13 Koordináta-rendszer 33 Kör 43, 111 átmérője 44, 111 érintője 46, 111 húrja 45, 111 kerülete, területe 121 körcikk 112 körcikk területe 123, 208 körív hossza 122, 208 körszelet 112 középponti szöge 206 sugara 44, 111 szelője 45, 111 Középpontos hasonlóság 166 Középpontos tükr. 131 Különbség osztása 19 Legfeljebb, legalább 10 Legk. közös többszörös 65 Legnagyobb közös osztó 65 Merőleges szerk. 56, 75, 76 Merőlegesség 42 Mértani sorozat 168
223
Milli-, centi-, deci-, stb. 6 Műveletek algebrai törtekkel 176 Műveletek sorrendje 18 Négyszög 48, 113 Négyzet 55 kerülete, területe 26 Négyzetgyökvonás 148 Négyzetre-emelés 147 Nevezetes azonosságok 146, 175 Nevezetes szögek párhuzamos szárú sz.132 csúcsszögek 132 egyállású sz. 132 fordított állású sz. 132 mellékszögek 132 társszögek 132 merőleges szárú sz. 132 Nevezetes vonalak magasságvonal 140,149,188 középvonal 149, 205 szakaszfelező merőleges 149, 188 szögfelező 149, 188 súlyvonal 149, 188, 205 Osztás 17 Osztás előjelszabálya 34 Oszthatóság 177 2-, 5-, 10-zel 66 4-, 25-, 100-zal 67 3-, 9-, 6-tal 68 Osztó 16 Összeadás 12 Összeg osztása 19 Összetett szám 69 Paralelogramma 52
Párhuzamosság 42 Pitagorasz tétele 150 Polinom 155 Prímszám 69 Racionális sz. 70, 103 Radián 206, 207 Rombusz 54, 98 Síkidom 24 Síkidomok halmaza 50 Sokszög 24, 113 átlóinak száma 171 belső szögek összege 171 kerülete, területe 118 külső szögek összege 171 Statisztika 107 adatsokaság 211 hisztogram 211 medián 211 minta terjedelme 211 módusz 211 számtani közép 211 Szakasz felezése 74 Szakasz felosztása 165 Szakaszfelező merőleges szerkesztése 56 Számegyenes 9 Számnevek helyesírása 5 Számok normálalakja 105 Számrendszerek 23, 178 Számtani sorozat 128 Százalékszámítás 91 1% 1 század rész 92 alap kiszámítása 93 százalékérték kisz. 93 százalékláb kisz. 93 Szorzattá alakítás 175 Szorzás 14 Szorzás előjelszabálya 34
224
kerülete, területe 114 tulajdonságai 143 Szorzás, osztás egytagú kifejezéssel 137, 138 Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal 59 Szög felezése 74 Szögek szerkesztése 77 Szögfajták 36, 110 Szögmérés mért. egys. 35 Teljes négyzetté alakítás175Téglalap 53 kerülete, területe 26 Tengelyes tükr. 95, 130 Térfogat mért. egys. 28, 86 Térfogat gömb 153 gúla 151 hasáb 120 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 87 Természetes sz. 4, 70, 103 Terület mért. egys. 25, 84 Thales tétele 163 Tizedes törtek 57 átváltás törtre 172 kivonás 58 szorzás 60 osztás 61, 73 összeadás 58 Tízes számrendszer 3 Több tag szorzása több taggal 139 Többszörös 16 Többtagú egész kif. 155 Tömeg mért. egys. 8
Tört nevező 37 számláló 37 törtvonal 37 Tört átváltása tiz. törtre 63 Tört bővítése 38 Törtet egész számmal ho-gyan szorzunk, osztunk 41 Tört egyszerűsítése 39 Törtek kivonása 40 szorzása 71 osztása 72 összeadása 40 Törtkifejezés 155 Törtrész számítás 106 Trapézek 49 húrtrapéz 99 kerülete, területe 116 trapéz fajtái 51 tulajdonságai 144 Űrmértékek 30 Valódi érték 3 Valós számok 70, 103 Váz hasáb 120 Vektor 109 alapműveletek 209 helyvektor 210 nullvektor 209 Zárójelfelbontás 154
225
A könyv megrendelhető: Postacím: Fogarasi Ferencné 8060 Mór, Cserhát u. 20. Telefon: 22 / 407-121 E-mail: [email protected]