Érték-, ár- és volumenindexek, esettanulmányok.pdf

1. ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEX

A homogén sokaságok térbeli és időbeli összehasonlítása viszonylag egyszerűen, dinamikus viszonyszámokkal

történik. Egy heterogén sokaság esetén már nehezebb a helyzet. Egy bútorgyár éves adatainak összeítése pl.

székek, asztalok és szekrények esetében külön-külön nem okoz problémát. Más a helyzet, ha a teljes termelést

vesszük, hiszen az egyes termékcsoportok gyártási számai eltérőek. Ekkor – a már korábban tanultak alapján –

aggregálás segítségével tesszük összehasonlíthatóvá, összesíthetővé az adatokat. Ez a termékek egységárai

segítégével az értékek kiszámításával lehetséges. Az összefüggés a következő:

𝑣 = 𝑞 ∙ 𝑝 azaz é𝑟𝑡é𝑘 = 𝑚𝑒𝑛𝑛𝑦𝑖𝑠é𝑔 ∙ 𝑒𝑔𝑦𝑠é𝑔á𝑟.

Így a heterogén sokaság összeadhatóság szempontjából homogénná válik, egy-egy értéki adattal jellemezhető,

összehasonlítható.

Az összehasonlítás ismét abszolút (különbségképzés) és relatív (hányadosképzés) formában is lehetséges. Először

az utóbbival foglalkozunk.

Ha a két aggregált érték hányadosát tekintjük, akkor százalékos formában megkapjuk, hogy mennyire változott

az érték az egyik időszakról egy másikra. Ez tulajdonképpen egy dinamikus viszonyszám, de már indexnek hívjuk.

Indexszám: Két heterogén sokaság időbeli és térbeli összehasonlítására szolgál. Két olyan aggregátum

hányadosa, melyben az összehasonlíthatóságot az egységárak teremtik meg.

Az indexszámok cs oportosítására a következő ábra szolgál:

Vizsgáljuk meg az értékindexek körét!

A 𝑣 = 𝑞 ∙ 𝑝 összefüggésnek három összetevője van: az ár, az érték és a mennyiség (volumen). A gazdasági

értékek változását három index alapján lehet értékelni: az érték-, a volumen- és az árindex alapján, ezek az

értékindexkör tagjai. A két komponensindex (volumen és ár) többféle formában képezhető.

1.1. EGYEDI INDEXEK

Az egy termékre vonatkozó dinamikus viszonyszámokat egyedi indexnek nevezzük. Attól függően, hogy melyik

tényező változását jelenti, megkülönböztetünk:

Egyedi volumenindexet: 𝑖𝑞 =𝑞1

𝑞0 a mennyiség időbeli változásának,

Egyedi árindexet: 𝑖𝑝 =𝑝1

𝑝0 az egységár időbeli változásának,

Egyedi értékindexet: 𝑖𝑣 =𝑞1∙𝑝1

𝑞0∙𝑝0 az érték időbeli változásának szemléltetésére.

Ezek az értékek az érték-, a volumen- és az árindex átlagformában történő kiszámításánál segíthetnek,

amennyiben az adatok ennek a módszernek az alkalmazását teszik lehetővé.

Az egyedi indexek között a következő összefüggés van:

𝑖𝑣 = 𝑖𝑞 ∙ 𝑖𝑝

Példa:

Egy termék ára 5 euró és a boltban eladnak belőle egyik hónapban 150 db-t. A következő hónapban az ára felmegy 6 euróra, s ekkor értékesítenek belőle 155 db-t.

Egyedi értékindex: 𝑖𝑣 =𝑞1∙𝑝1

𝑞0∙𝑝0=

155∙6

150∙5= 1,24, azaz 24%-kal nőtt az értékesítés a termékből.

Egyedi árindex: 𝑖𝑝 =𝑝1

𝑝0=

6

5= 1,2 tehát az értéknövekedésnek 20 %-ban az árnövekedés az okozója.

Egyedi volumenindex: 𝑖𝑞 =𝑞1

𝑞0=

155

150= 1,033 tehát az értéknövekedésnek 3,3 %-ban a volumennövekedés

az okozója.

1.2. ÁRINDEX

Az árindex (Ip) a különböző termékek, árucikkek, szolgáltatások együttes, átlagos változását, azaz az árszínvonal

változását jelenti.

Az árindex kiszámításánál csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy a korábban említett 𝑣 = 𝑞 ∙ 𝑝 összefüggésben

mekkora a p (egységár) változásának mértéke. Ehhez olyan értékösszegre van szükség, amely csak az

egységárban (p) tér el, a volumene (q) megegyezik. Ez matematikailag kétféleképpen lehetséges:

𝐼𝑝1 =

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞1∙𝑝0 , illetve 𝐼𝑝

0 =∑ 𝑞0∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0,

ahol: 𝐼𝑝1 → tárgyidőszak súlyú index,

𝐼𝑝0 → bázisidőszak súlyozású index.

Az indexek számításához felhasznált aggregátumok a következő négy változatban fordulnak elő:

bázisidőszak volumene bázisáron: ∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0

tárgyidőszak volumene folyóáron: ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

tárgyidőszak volumene bázisáron: ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0

bázisidőszak volumene folyóáron: ∑ 𝑞0 ∙ 𝑝1

Az első sorban szereplő két értékösszeg tényleges érték, míg a harmadik és negyedik q⋅p-k gyakorlati

szempontból fiktív értékeknek tekintendők. Sajátos értelmezéssel és megfelelő szereppel rendelkeznek a

gazdasági elemzésekben.

A kétféle súlyozású index természetesen nem ad azonos eredményt, a köztük lévő eltérést az árarányok tárgy-

és bázisidőszaki különbözősége határozza meg. Minél nagyobb ez az eltérés, annál jobban különbözik egymástól

a két indexérték.

Mindkét kiszámítási módot aggregátformának (alapformának) hívjuk. A kiszámítás módját pedig – a

változatlannak vett q tényezők alapján – tárgy- vagy bázisidőszaki súlyozási árindexnek.

A két alapformát a szakirodalom Laspeyres- (e.:lászper), illetve Paasche- (E.: páse) súlyozású index elnevezéssel

is használja. Jelentésük a következő:

𝐼𝑝0 = 𝐼𝑝

𝐿, illetve 𝐼𝑝1 = 𝐼𝑝

𝑃, ahol tehát az időszakok megnevezése helyett az alkotók kezdőbetűjét használjuk.

Létezik egy harmadik kiszámítási mód is, a J. Fisher által a kétféle súlyozású indexből előállított ún. „tökéletes

index” is. Ennek kiszámítása:

𝐼𝑝𝐹 = √𝐼𝑝

1 ∙ 𝐼𝑝0

Példa:

A kenyér és péksütemény kiskereskedelmi eladási forgalmának alakulása

Árucikk Eladott mennyiség Egységár (Ft)

1989 (q0) 1990 (q1) 1989 (p0) 1990 (p1)

Kenyér (100 tonna)

660,8 647,9 13,80 18,80

Péksütemény (milló db) 2508,1 2309,3 1,70 2,30

Tárgyidőszaki mennyiségekkel számolva (Paasche):

𝐼𝑝1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0=

647,9 ∙ 18,80 + 2309,3 ∙ 2,30

647,9 ∙ 13,80 + 2309,3 ∙ 1,70= 1,3595 = 135,95%

Bázisidőszaki mennyiségekkel számolva (Laspeyres):

𝐼𝑝0 =

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝1

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0=

660,8 ∙ 18,80 + 2508,1 ∙ 2,30

660,8 ∙ 13,80 + 2508,1 ∙ 1,70= 1,3593 = 135,93%

A kenyér és a péksütemény ára együttesen és átlagosan 35,95%-kal emelkedett 1989-ről 1990-re a tárgyidőszak

fogyasztási szerkezetével számolva.

A bázidőszak fogyasztási szerkezetével számolva a kenyér és a péksütemény együttes árszínvonal emelkedése

35,93%-os volt.

Attól függően, hogy súlyként milyen adatokat ismerünk, az árindex kiszámítható átlagformában is. A kiszámítás

– hasonlóan az összetett viszonyszámokhoz – történhet számtani és harmonikus átlagként is.

A számtani átlagformát akkor alkalmazzuk, ha az átgonodlandó értékek (ip) mellett súlyként az index

alapformájának nevezőjében lévő aggregátumot (∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0) ismerjük. A kiszámítás módja:

𝐼𝑝0 =

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑖𝑝

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0

Példa:

Egy cég háromféle terméket állít elő. A termelési adatok a következők:

Termékek Termelés 2012-ben (ezer

db)

Egységár

2012-ben

(Ft/db)

Árváltozás 2012-ről 2013-ra (%)

A 3478 1130 + 10

B 4912 890 + 5

C 2340 2100 + 12

Számítsuk ki az árszínvonal változását 2012-ről 2013-ra a cég teljes kínálatában!

𝐼𝑝0 =

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑖𝑝

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0=

3478 ∙ 1130 ∙ 1,1 + 4912 ∙ 890 ∙ 1,05 + 2340 ∙ 2100 ∙ 1,12

3478 ∙ 1130 + 4912 ∙ 890 + 2340 ∙ 2100= 1,091

Azaz az árszínvonal együttesen és átlagosan 9,1%-kal növekedett 2012-ről 2013-ra.

A harmonikus átlagformát akkor alkalmazzuk, ha az átgonodlandó értékek (ip) mellett súlyként az index

alapformájának számlálójában lévő aggregátumot (∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1) ismerjük. A kiszámítás módja:

𝐼𝑝1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑝

Példa:



db)

Egységár

2013-ban

(Ft/db)


A 5210 1100 + 8

B 4940 880 + 10

C 2700 2400 + 12


𝐼𝑝1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑝

=5210 ∙ 1100 + 4940 ∙ 880 + 2700 ∙ 2400

5210 ∙ 11001,08 +

4940 ∙ 8801,1 +

2700 ∙ 24001,12

= 1,1296 = 112,96%

Azaz az árszínvonal együttesen és átlagosan 12,96 %-kal növekedett 2012-ről 2013-ra.

Az átlagformákkal kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy a súlyok szerepét betöltő aggregátumok helyett

azok megoszlási viszonyszámai is használhatók.

Az árindex kétféle alakja (𝐼𝑝0 és 𝐼𝑝

1) is kiszám ítható számtani és harmonikus átlagformában van, a gyakorlat

számára jelentősége azonban a tényleges aggrgátumok szerepeltetésének van. Így a bázisidőszaki súlyozásnál a

számtani, a tárgyidőszaki súlyozásnál a harmonikus átlagformát használjuk.

1.3. VOLUMENINDEX

A volumenindex (Iq) a különböző termékek, árucikkek, szolgáltatások mennyiségének együttes, átlagos

változását fejezi ki.

Az alapforma két olyan aggregátum hányadosa, amely csak mennyiségi (volumen-) adatiban különbözik. Ennek

megfelelően az aggregátformák a következőek:

𝐼𝑞1 =

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝1 , illetve 𝐼𝑞

0 =∑ 𝑞1∙𝑝0

∑ 𝑞0∙𝑝0.

A kétféle súlyozású index természetesen itt sem ad azonos eredményt, a köztük lévő eltérést az árarányok tárgy-

és bázisidőszaki különbözősége határozza meg. Minél nagyobb ez az eltérés, annál jobban különbözik egymástól

a két indexérték.

Az árindexhez hasonlóan az 𝐼𝑞0 elnevezése bázisidőszaki súlyozású, az 𝐼𝑞

1 elnevezése tárgyidőszaki súlyozású

volumenindex. Itt is használatos a Laspeyres- (e.:lászper), illetve Paasche- (E.: páse) súlyozású volumenindex

elnevezés is:

𝐼𝑞0 = 𝐼𝑞

𝐿, illetve 𝐼𝑞1 = 𝐼𝑞

𝑃.

Itt is kiszámítható a Fisher-féle volumenindex:

𝐼𝑞𝐹 = √𝐼𝑞

1 ∙ 𝐼𝑞0

Példa


1989 (q0) 1990 (q1) 1989 (p0) 1990 (p1)

Kenyér (100 tonna)

660,8 647,9 13,80 18,80


Tárgyidőszaki mennyiségekkel számolva (Paasche):

𝐼𝑞1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝1=

647,9 ∙ 18,80 + 2309,3 ∙ 2,30

660,8 ∙ 18,80 + 2508,1 ∙ 2,30= 0,9615 = 96,15 %

Bázisidőszaki mennyiségekkel számolva (Laspeyres):

𝐼𝑞0 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0=

647,9 ∙ 13,80 + 2309,3 ∙ 1,70

660,8 ∙ 13,80 + 2508,1 ∙ 1,70= 0,9614 = 96,14 %

A kenyér és a péksütemény mennyisége együttesen és átlagosan 3,85 %-kal csökkent 1989-ről 1990-re a

tárgyidőszak fogyasztási szerkezetével számolva.

A bázidőszak fogyasztási szerkezetével számolva a kenyér és a péksütemény együttes árszínvonal csökkenése

35,93%-os volt.

Attól függően, hogy súlyként milyen adatokat ismerünk, az volumenindex is kiszámítható átlagformában is. A

kiszámítás – hasonlóan az összetett viszonyszámokhoz – történhet számtani és harmonikus átlagként is.

A számtani átlagformát akkor alkalmazzuk, ha az átgonodlandó értékek (ip) mellett súlyként az index

alapformájának nevezőjében lévő aggregátumot (∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0) ismerjük. A kiszámítás módja:

𝐼𝑞0 =

∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑖𝑞

∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0

Példa:



db)

Egységár

2012-ben

(Ft/db)

Az előállított mennyiség 2012-ről

2013-ra (%)

A 3478 1130 + 10

B 4912 890 + 5

C 2340 2100 + 8


𝐼𝑞0 =

∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑖𝑞

∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0=

1130 ∙ 3478 ∙ 1,1 + 890 ∙ 4912 ∙ 1,05 + 2100 ∙ 2340 ∙ 1,08

1130 ∙ 3478 + 890 ∙ 4912 + 2100 ∙ 2340= 1,0648

Azaz az árszínvonal együttesen és átlagosan 6,5 %-kal növekedett 2012-ről 2013-ra.

A harmonikus átlagformát akkor alkalmazzuk, ha az átgonodlandó értékek (ip) mellett súlyként az index

alapformájának számlálójában lévő aggregátumot (∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1) ismerjük. A kiszámítás módja:

𝐼𝑞1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑞

Példa:


Termékek Egységár

Termelés 2013-ben (ezer

db)

2013-ban

(Ft/db)


A 5210 1100 + 8

B 4940 880 + 10

C 2700 2400 + 5


𝐼𝑞1 =

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑞

=5210 ∙ 1100 + 4940 ∙ 880 + 2700 ∙ 2400

5210 ∙ 11001,08 +

4940 ∙ 8801,1 +

2700 ∙ 24001,05

= 1,0731 = 107,31 %

Azaz a volumenszínvonal együttesen és átlagosan 7,31 %-kal növekedett 2012-ről 2013-ra.

Az átlagformákkal kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy a súlyok szerepét betöltő aggregátumok helyett

azok megoszlási viszonyszámai is használhatók.

1.4. ÉRTÉKINDEX

Az értékindex (Iv) a termelés, forgalom, fogyasztás, szolgáltatás együttes, átlagos változását méri.

Két olyan aggregátum (tényleges értékadat) hányadosa, ahol a mennyiség (q) és az ár (p) adatokban is eltér

egymástól:

𝐼𝑣 =𝑣1

𝑣0=

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0.

Az ár- és volumneindexhez hasonlóan az értékindex is kiszámílható átlagformában.

Számtani átlag:

𝐼𝑣 =∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑖𝑣

∑ 𝑝0 ∙ 𝑞0=

∑ 𝑣0 ∙ 𝑖𝑣

∑ 𝑣0

Harmonikus átlag:

𝐼𝑣 =∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑣

=∑ 𝑣1

∑𝑣1

𝑖𝑣

Példa:


1989 (q0) 1990 (q1) 1989 (p0) 1990 (p1)

Kenyér (100 tonna)

660,8 647,9 13,80 18,80


𝐼𝑣 =𝑣1

𝑣0=

∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0=

647,9 ∙ 18,8 + 2309,3 ∙ 2,30

660,8 ∙ 13,8 + 2508,1 ∙ 1,70= 1,3070 = 130,7 %


db)

Egységár

2012-ben

(Ft/db)

Értékváltozás 2012-ről 2013-ra (%)

A 3478 1130 + 10

B 4912 890 + 5

C 2340 2100 + 8

𝐼𝑣 =∑ 𝑝0∙𝑞0∙𝑖𝑣

∑ 𝑝0∙𝑞0=

∑ 𝑣0∙𝑖𝑣

∑ 𝑣0=

1130∙3478∙1,1+890∙4912∙1,05+2100∙2340∙1,08

1130∙3478+890∙4912+2100∙2340= 1,0648



db)

Egységár

2013-ban

(Ft/db)

Értékváltozás 2012-ről 2013-ra (%)

A 5210 1100 + 8

B 4940 880 + 10

C 2700 2400 + 5

𝐼𝑣 =∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1

∑𝑞1 ∙ 𝑝1

𝑖𝑣

=∑ 𝑣1

∑𝑣1

𝑖𝑣

=5210 ∙ 1100 + 4940 ∙ 880 + 2700 ∙ 2400

5210 ∙ 11001,08 +

4940 ∙ 8801,1 +

2700 ∙ 24001,05

= 1,0731 = 107,31 %

1.5. ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSZÁMÍTÁSBAN

Az érték-, ár - és volumenindex összefüggései:

A fejezet elején az értéket az ár és a mennyiség szorzataként határoztuk meg. Ez alapján logikus, hogy az

értékváltozás is kiszámítható az ár- és volumenváltozás szorzataként:

∑ 𝑞1∙𝑝0

∑ 𝑞0∙𝑝0∙

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞1∙𝑝0= 𝐼𝑞

0 ∙ 𝐼𝑝1

𝐼𝑣 =𝑣1

𝑣0=

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0=

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝1∙

∑ 𝑞0∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0= 𝐼𝑞

1 ∙ 𝐼𝑝0

Értékek (aggregátumok) különbségei

Az érték-összehasonlítás másik lehetősége az eltérés abszolút módon való kifejezése, vagyis a különbségképzés.

Az aggregátumokból a következő három különbség képezhető:

𝐾𝑣 = ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1 − ∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0

𝐾𝑝 = ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1 − ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0

𝐾𝑞 = ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0 − ∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0

𝐾𝑣 = 𝐾𝑝 + 𝐾𝑞

Az ily módon képzett különbségek abszolút módon (Ft-ban) mutatják, hogy az értékváltozásból (𝐾𝑣) mekkora

az árváltozás (𝐾𝑝) és a volumenváltozás (𝐾𝑞) hatása.

Példa

Egy vállalkozás termelésének alakulása 2000. és 2002. között

Termék Mértékegység 2000 2002

Mennyiség (q0) Egységár (ezer

Ft) (p0)

Mennyiség (q1) Egységár (ezer

Ft) (p0)

Ételecet ezer liter 56 220 61 210

Sűrítmény tonna 50 430 30 400

Konzerv ezer db 192 185 190 240

Az indexszámításhoz szükséges aggregátumok

Termék 𝑞0 ∙ 𝑝0 𝑞1 ∙ 𝑝1 𝑞0 ∙ 𝑝1 𝑞1 ∙ 𝑝0

Ételecet 12320 12810 11760 13420

Sűrítmény 8600 12000 8000 12900

Konzerv 35520 45600 46080 35150

Együtt 56440 70410 65840 61470

𝐼𝑣 =𝑣1

𝑣0=

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0=

70410

56440= 1,247

𝐼𝑞0 =

∑ 𝑞1∙𝑝0

∑ 𝑞0∙𝑝0=

61470

56440= 1,089

𝐼𝑞1 =

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝1=

70410

65840= 1,069

𝐼𝑞𝐹 = √1,089 ∙ 1,069 = 1,079

𝐼𝑝0 =

∑ 𝑞0∙𝑝1

∑ 𝑞0∙𝑝0=

65840

56440= 1,166

𝐼𝑝1 =

∑ 𝑞1∙𝑝1

∑ 𝑞1∙𝑝0=

70410

61470= 1,145

𝐼𝑝𝐹 = √1,166 ∙ 1,145 = 1,155

A három index közötti összefüggés:

𝐼𝑣 = 𝐼𝑞0 ∙ 𝐼𝑝

1 = 1,089 ∙ 1,145 = 1,247

𝐼𝑣 = 𝐼𝑞1 ∙ 𝐼𝑝

0 = 1,068 ∙ 1,166 = 1,247

𝐼𝑣 = 𝐼𝑞𝐹 ∙ 𝐼𝑝

𝐹 = 1,079 ∙ 1,155 = 1,2462

Értékkülönbség:

𝐾𝑉 = 70410 − 56440 = 13970

Árváltozások okozta értékkülönbség:

𝐾𝑝 = ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝1 − ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0 = 70410 − 61470 = 8940

Volumenváltozások okozta értékkülönbség:

𝐾𝑞 = ∑ 𝑞1 ∙ 𝑝0 − ∑ 𝑞0 ∙ 𝑝0 = 61470 − 56440 = 5030

Különbségek összefüggése:

𝐾𝑣 = 𝐾𝑝 + 𝐾𝑞 = 8940 + 5030 = 13970

1.6. FELADATOK

1. Egy vállalat négy fajta terméket forgalmaz. 2012. novemberi és decemberi adatai következők:

Termék Értékesített mennyiség (db) Egységár (Ft/db)

2012. nov. 2012. dec 2012. nov. 2012. dec

A 23410 25680 350 360

B 5360 4780 2290 2400

C 19600 17300 650 690

D 13090 14520 1200 1300

Feladat:

a) Számítsa ki az egyedi érték-, ár-, és volumenindexeket az „B” termékre nézve!

b) Számítsa ki az együttes érték-, ár-, és volumenindexeket!

c) Értelmezze az egyes indexeket!

A feladat megoldását könnyíti, ha egy segédtáblában elıre kiszámítjuk a képleteinkbe

felhasználásra kerülı aggregátumokat. Ezt a segédszámítást a következı táblázat:

a) Egyedi indexek meghatározása:

2. ESETTANULMÁNYOK

1. esettanulmány

Két utazási iroda 1991decemberében a következő utazásokat ajánlotta:

Sorsz. Ár Km Iroda K

özleked

ési

eszköz

Sorsz. Ár Km Iroda Közlekedés

i eszköz

1. 60 791 3 540 1 1

21. 66 083 3 990 1 1

2. 92 161 4 460 1 1

22. 88 159 3 890 1 1

3. 13 966 1 420 1 0

23. 53 979 4 920 1 1

4. 13 000 1 900 1 0

24. 80 637 5 320 1 1

5. 34 969 3 300 1 0

25. 24 491 3 560 1 0

6. 93 455 6 500 1 1

26. 24 387 3 140 1 0

7. 26 934 2 500 1 0

27. 51 982 2 500 1 1

8. 48 358 4 500 1 1

28. 124 211 5 900 1 1

9. 35 757 4 000 1 1

29. 88 812 4 350 1 1

10. 13 300 2 700 1 0

30. 32 744 2 830 1 0

11. 34 359 4 710 1 0

31. 28 500 1 700 0 0

12. 121 060 15 400 1 1

32. 20 570 2 300 0 0

13. 251 776 20 000 1 1

33. 73 000 3 100 0 1

14. 39 530 5 100 1 1

34. 19 900 3 020 0 0

15. 61 935 7 420 1 1

35. 14 000 1 600 0 0

16. 10 505 1 720 1 0

36. 7 200 2 700 0 0

17. 11 752 520 1 0

37. 15 990 3 500 0 0

18. 20 889 1 000 1 0

38. 61 000 4 200 0 1

19. 11 122 1 145 1 0

39. 38 500 3 600 0 0

20. 11 225 2 060 1 0

40. 130 800 14 400 0 1

Iroda: 1 egyik, 0 másik

Közlekedési eszköz: 0 autóbusszal, 1 repülővel

Feladat:

1. Készítsen osztályközös gyakorisági sort az árról és a km-ről! Rajzoljon hisztogramot az eloszlás

jellemzésére!

2. Az osztályközös gyakorisági sor alapján számítsa ki az utazások hosszának átlagát, móduszát,

mediánját, és értelmezze őket!

3. Hasonlítsa össze, hogy melyik utazási irodában szóródik jobban az utazások hosssza!

4. Vizsgálja meg a két iroda árai közötti különbséget, és nézze meg, mekkora szerepe van ebben a

különbségben a közlekedési eszköznek!

2. esettanulmány

Az építőipar vállalataira vonatkozó 2011-es felmérés eredménye következő:

A foglalkoztatott létszám egy vállalatnál (fő)

A vállalatok száma (db)

2011

A vállalatok átlagos termelési értéke (millió forint)

2011

A vállalatok száma (db)

2012

A vállalatok átlagos termelési értéke (millió forint)

2012

– 30 421 8,1 352 7,3

30 – 50 356 13,9 370 14,6

50 – 100 214 54 220 61

100 – 200 180 184 170 207

200 – 500 112 389 97 403

500 – 1000 54 1 414 52 1 537

1000 – 1500 32 18 080 32 17 800

1500 – 16 57 692 17 59 071

Össz. 1385 1 310

Feladat: 1. Számítsa ki az építőipari vállalatok átlagos dolgozói létszámát 2011-ben! Becsülje meg, hogy mely

létszámadat körül sűrűsödtek a 2011-es adatok! 2. Elemezze grafikusan az iparág koncentrációját a vállalatok és a foglalkozatottak száma közötti összefüggés

alapján! 3. Mutassa meg az F alakmutató segítségével, hogy az iparágban dolgozó vállalatok számának eloszlási

görbéje milyen szimmetriát mutat! 4. Elemezze, hogy az iparág termelési értéke százalékosan mennyit változott a 2011-es évről 2012-re, és

ezeket milyen tényezők befolyásolták?

3. esettanulmány

Két cég ugyanazt a három terméket állítja elő. A következő táblázatok a cégek eladási statisztikáit mutatják:

Zafír Bt.:

Termékek Termelés 2012-

ben (ezer db)

Termelés 2013-

ban (ezer db)

Egységár

2012-ben (Ft/db) Árváltozás 2012-

ről 2013-ra (%)

A 3478 3500 1130 + 10

B 4912 4850 890 + 5

C 2340 2400 2100 + 12

Korall Kft.:

Termékek Termelés (ezer db) Egységár (Ft)

2012 2013 2012 2013

A 3580 4110 1100 1180

B 4930 5240 850 900

C 2300 2620 2180 2240

Feladat:

1. Számítsa ki az egyedi érték-, ár-, és volumenindexeket az „B” termékre nézve, mindkét cég esetében!

2. Számítsa ki az együttes érték-, ár-, és volumenindexeket mindkét cég esetében! Értelmezze az egyes

indexeket!

3. Hasonlítsa össze a két cég forgalmát a 2012-es évben! Mekkora a különbség a két cég forgalma között?

Milyen tényezők, és milyen mértékben befolyásolták ezt az eltérést?

4. esettanulmány

Az árbevétel alapján 30 legnagyobb magyar vállalt néhány, gazdálkodásra vonatkozó adata 1990-ben:

Sorszám Vállalat neve Árbevétel

(millió Ft)

Eredmény

(millió Ft)

Létszám (fő)

1. Orsz. Kőolaj- és Gázipari Tröszt 487 566 44 949 42 558

2. Magyar Villamosipari Művek 268 321 21 317 40 937

3. Magyar Alumíniumipari Tröszt 108 063 3 305 19 474

4. Magyar Államvasutak 62 423 -1 353 122 925

5. Tejipari Tröszt 60 836 649 16 996

6. Dunai Vasmű 33 999 279 10 320

7. Tiszai Vegyi Kombinát 33 349 2 428 6 456

8. MATÁV 28 180 7 854 21 372

9. MERKUR 27 266 568 1 115

10. Papíripari Vállalat 27 218 614 9 141

11. Dohányértékesítő Vállalat 25 393 442 450

12. Shell 23 278 573 1 381

13. Hungaropharma 22 951 404 730

14. Centrum Áruházak 20 739 605 5 666

15. Növényolajipari Vállalat 19 495 1 292 3 238

16. TAURUS 18 190 54 7 443

17. Fővárosi Gázművek 17 953 507 2 616

18. MALÉV 17 480 1 331 4 857

19. Borsodi Vegyi Kombinát 16 986 3 5 889

20. BKV 16 674 528 21 826

21. MASPED 16 391 739 512

22. Videoton 15 764 -3 920 6 415

23. Alfa Élelmiszerkeresk. Vállalat 15 634 368 1 387

24. Csemege Kereskedelmi Vállalat 15 458 445 4 009

25. Erdőgazdaság Vállalat 13 730 732 4 441

26. Metalloglóbusz 13 729 465 1 170

27. Ferroglóbusz 13 722 629 981

28. Medimpex 13 132 292 621

29. Metalimpex 12 853 717 520

30. Hengermű Kft. 12 775 130 3 039

Feladat:

1. Készítsen osztályközös gyakorisági sort három ismérv alapján, rajzolja meg a hiszztogramokat és

jellemezze őket!

2. Az osztályközös gyakorisági sor alapján számítsa ki a létszám átlagát, móduszát, mediánját, és

értelmezze őket!

3. Hasonlítsa össze, hogy az árbevétel- vagy a létszámadatok szóródnak-e jobban!

4. Az első 10 vállalt esetében számítsa ki az 1 főre jutó eredményt, árbevételt, és vizsgálja meg ezek

alakulását4

5. Vizsgálja meg, hogy a létszám vagy az árbevétel koncentrálódik-e jobban a nagyvállalatoknál!

Érték-, ár- és volumenindexek, esettanulmányok.pdf

Documents