Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Schneider Tímea

Információterjedés hálózatokon �Voter modell

BSc Szakdolgozat

Témavezet®:

Simon L. Péter

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Budapest, 2016

Köszönetnyilvánítás

Els®sorban szeretném megköszönni témavezet®mnek, Simon Péter tanár úrnak, aki

el®ször élvezetes el®adásaival megszerettette velem a di�erenciálegyenleteket, és ké-

s®bb igent mondott, amikor megkérdeztem, lenne-e a konzulensem. Mindig biza-

lommal fordulhattam hozzá, bármilyen kérdésem is volt. Nem lehetek elég hálás

tanácsaiért, véleményéért és segítségéért.

Köszönöm továbbá matematika tanáraimnak, Szendr®iné Szabó Andrea néni-

nek és Szentmiklósi Kinga tanárn®nek. Nélkülük biztosan nem szeretném ennyire a

matematikát.

Köszönet illeti a családomat és a barátaimat is, akik mindig biztattak és támo-

gattak.

2

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 4

2. A szimuláció 6

2.1. A szomszédsági mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Tesztelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Di�erenciálegyenletek felírása 12

3.1. Két csúcsú teljes gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Kett® hosszú út . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Három csúcsú teljes gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4. Di�erenciálegyenletek általánosítása a négy csúcsú teljes gráfból . . . 23

4. A di�erenciálegyenletek és a szimuláció összehasonlítása 27

5. Összefoglalás 31

3

1. fejezet

Bevezetés

A hálózat kifejezés napjainkban már szorosan kapcsolódik a számítógép fogalmához.

Talán ennek is köszönhet®, hogy amikor meghalljuk a szót, rögtön az internet jut

eszünkbe. Ez nem is csoda, hiszen a világon ez a legnagyobb és legismertebb hálózat.

De nem csupán az internet lehet hálózat, hanem maga a társadalom, az em-

beriség is az. A csúcsok legyenek maguk az emberek, köztük pedig akkor vezessen

él, ha ismerik egymást, munkakapcsolatban állnak stb. Ezen a hálózaton terjedhet

fert®zés vagy információ. Az ehhez kapcsolódó modellek közül a legismertebb a SIS

járványterjedési modell, amelynél a csúcsok az alábbi két állapotban lehetnek: S

(fert®z®) és I (egészséges). Egy adott kezdeti állapotból kiindulva kétféle változás

mehet végbe: (i) egy egészséges csúcs valamelyik szomszédja által fert®zött lesz, (ii)

egy beteg csúcs a szomszédaitól függetlenül meggyógyul. Egy másik hasonló modell

a SIR-modell, amely annyiban különbözik az el®bbit®l, hogy itt egy csúcs három

különböz® állapotban lehet. Miután egy csúcs fert®z®b®l egészséges lesz, nem S cím-

két kap, hanem R-et, ami az immunitást jelenti [8]. Ezt a modellt W. O. Kermack

és A. G. McKendrick dolgozták ki 1927-ben, di�erenciálegyenleteket írtak fel az S,

I és R típusú egyedek számának változására.

A szavazó modell (a kés®bbiekben az angol elnevezés miatt voter modell) egy

sztochasztikus modell véleményterjedés leírására. Úgy lehet leginkább elképzelni,

mint egymásra ható részecskék rendszere. Nevét onnan kapta, hogy politikai válasz-

tások végkifejletét szeretnénk vele megjósolni. Leginkább a politikai gazdaságban,

állami kiadásokban, az államadósság alakulásának �gyelésében, a tömegkommuniká-

ció hatásának mérésében, szociális biztonsági rendszerekben és az adózásban hasz-

nálják.

4

A valószín¶ségi voter modell egy szavazó modell, amelyet Assar Lindbeck és

Jörgen Weibull professzorok dolgoztak ki 1987-ben megjelent cikkükben [1]. Kétfé-

le vélemény terjedésének leírását vezették be. A hálózat csúcsai A és B típusúak

lehetnek, és azt vizsgálták, hogy szomszédaik hatására a csúcsok állapota hogyan

változik.

A valószín¶ségi voter modelleket gyakran el®nyben részesítik a hagyományos

medián szavazó modellekkel szemben, mivel az el®bbiben minden egyes szavazónak

befolyása van a politikai eredményre, míg az utóbbi elméletben minden hatalom a

dönt® szavazó vagy szavazócsoport kezében van. Például olyan modellekben, ahol

id®s és �atal (vagy szegény és gazdag) szavazók érdekei állnak egymással szemben, a

valószín¶ségi szavazó modellek azt jósolják, hogy a nyertes jelölt egyensúlyt biztosít

politikai programjában a különböz® érdekek között. Köszönhet®en annak, hogy a

szavazás eredményének és a politikai preferenciák leképezésének eloszlása sima, ez a

modell dinamikus rendszereknél jól közelít®nek bizonyult[7].

Szakdolgozatomban a modell m¶ködését fogom szemléltetni saját Matlab szimu-

láció, valamint di�erenciálegyenletek segítségével.

5

2. fejezet

A szimuláció

Ahhoz, hogy megértsük a dolgozatban szemléltetett modellt, néhány fogalmat be

kell vezetni. Munkám során sztochasztikus folyamatokkal és ezeket leíró di�erenci-

álegyenletekkel dolgoztam. Az el®bbi alatt id®ben végbemen® véletlen folyamatot

értünk, más szóval id® szerint indexelt valószín¶ségi változók sorozatát[10]. A mi

esetünkben ez a folyamat folytonos idej¶ és diszkrét állapotter¶ Markov-lánc, mely

annyit jelent, hogy a rendszer jöv®beli állapota nem függ a múltbeli állapotaitól.

Ezt szokás Markov-tulajdonságnak is nevezni [3]. Ezt a folyamatot alkalmasan meg-

választott ∆t segítségével egy általam megírt, diszkrét idej¶ szimulációval fogjuk

közelíteni.

Adott egy N csúcsú gráf és egy véges állapothalmaz � {A,B}N , amely megadja,

hogy az egyes csúcsok milyen állapotban lehetnek. A modellben minden egyes csúcs-

nak (szavazónak) van egy kezdeti állapota (A vagy B). A változás a következ®kb®l

áll: (i) egy random csúcs kiválasztása, (ii) a választott szavazó átvált egy véletlen-

szer¶en választott szomszédja állapotára. És ez ismétl®dik egészen addig, amíg a

gráf nem lesz vagy csupa A vagy csupa B. Emellett adott két paraméter: τ , amely

megadja egy A csúcs B-re történ® váltásának rátáját, és γ, ami a B-b®l A-ra váltás

rátája.

2.1. ábra. Az állapotváltozások rátái.

6

Alkalmazzuk a következ® megfeleltetéseket. Ha egy csúcs A, akkor kapjon 0-ás,

ha pedig B, akkor 1-es címkét. Legyen a szavazókat tartalmazó gráf G, a csúcsokat

jelölje, i = 1 . . . N . Az i. csúcs A szomszédainak számát jelölje iA, B szomszédai-

ét iB, attól függ®en, hogy az adott szomszédnak mi a véleménye. A csúcsokhoz a

következ®képpen hozzárendelünk egy-egy di, i = 1 . . . N értéket:

di =iB

iB + iA· τ , ha az i. csúcs A típusú, és (2.1)

di =iB

iB + iA· γ, ha az i. csúcs B típusú. (2.2)

Tehát a program összeszámolja az ellenkez® nézeteket valló szomszédokat, elosztja

az összes szomszéd számával, majd ezt az értéket megszorozza a megfelel® rátával.

A ∆t-vel való szorzás garantálja, hogy ez az érték kisebb legyen, mint 1. Ha az i-edik

csúcs A típusú, akkor di∆t valószín¶séggel vált B típusúra egy rövid ∆t id® alatt.

A ∆t nagyságát kell®en kicsire kell választani, hogy a diszkrét idej¶ folyamat jól

közelítse a folytonos idej¶ valódi folyamatot.

Mikor történik változás? Legyen r egy N hosszú vektor, melynek elemei a (0, 1)

intervallumból vett véletlen számok. Változás akkor következik be, ha ri < di ·∆t,vagyis 0-ás csúcsból 1-es lesz, 1-esb®l pedig 0-ás. A ∆t-vel való szorzás garantálja,

hogy a szám mindenképpen 0 és 1 közé essen, így a fenti összehasonlítás értelmes

legyen.

Azzal, hogy a di-k kiszámításánál leosztunk a szomszédok számával, sokkal élet-

szer¶bb, árnyaltabb eredményt kapunk, hiszen véleményünket nem csak a velünk

ellentétes nézeteket valló ismer®seink befolyásolják. Egyetlen id®lépés alatt nagyon

kicsi annak a valószín¶sége, hogy a gráfban bármilyen változás történjen, csakúgy,

mint ahogyan a való életben sem egy nap alatt változik meg valakinek gyökeresen a

véleménye.

A szimulációban az számít egy id®lépésnek, amikor a program a gráf minden

csúcsán végigmegy. Eredményként egy vektort kapunk, amelynek i. eleme az i. id®-

pillanatban a B csúcsok száma. A program a fent leírt algoritmust ismétli egy ál-

talunk megadott tmax ideig. Ezután az egészet végrehajtja K-szor (K ∈ N+), majd

ennek veszi az átlagát. Ekkor a nagy számok törvénye értelmében a szimuláció ered-

ménye tartani fog a B csúcsok számának várható értékéhez. A tesztelés során ezeket

láthatjuk majd az ábrákon.

7

2.1. A szomszédsági mátrix

A könnyebb átláthatóság érdekében érdemes elkészíteni a gráf szomszédsági

mátrixát, melyet már a Matlab is tud kezelni. Szakdolgozatomban háromféle háló-

zaton tesztelem a modellt:

1. Teljes gráf (a mátrix f®átlója csupa 0, a többi 1-es), ezt jelölje KN .

2. Két teljes részgráf véletlenszer¶en összekötve. A két teljes gráf csúcsszámát

jelölje N1 és N2. Random kiválasztunk m darab csúcsot mindkét részgráfból,

és ezeket véletlenszer¶en összekötjük. Ez a típusú hálózat jól modellezi például

két közeli település lakóit, akik közül néhányan ismernek valakit a szomszédos

faluból. Vagy éppen a �atalok és id®sek kapcsolatát; mindketten leginkább

egymás társaságát ismerik, mégis van néhány �atal, aki ismer id®s embereket

is. Ezeket a típusú gráfokat jelölje KN1,N2,m. A szimuláció során ennek két

változatát vizsgáltam: K30,70,30 és K50,50,50. Ez azt jelenti, hogy a 30-as és 50-

es teljes gráfokban minden csúcsnak választunk még egy szomszédot a másik

teljes gráfból.

3. Véletlen gráf: ezt a kon�gurációs véletlen gráfmodell alapján állítjuk el®. Adott

egy n érték, ez lesz a hálózatban szerepl® csúcsok fokszáma, majd eszerint

véletlenszer¶en összekötjük egymással a pontokat. Ezt a gráfot jelölje RN,n. A

szimuláció során több tesztelés alapján az n = 4 értéket választottam.

Természetesen minden � az el®bbi három gráfhoz tartozó � szomszédsági mátrix f®-

átlójában végig 0 szerepel, hiszen a gráfban nincsenek hurokélek. Tegyük fel továbbá,

hogy nincsenek többszörös élek sem, vagyis nem teszünk különbséget az ismeretségek

között (családtag vagy távoli ismer®s).

2.2. Tesztelés

A teszteléseket 100 csúcsú gráfokon végeztem, melynek során a τ > γ és a τ = γ

esetekben három darab B csúcsot helyeztem el a gráfokban, a τ < γ szimulációjánál

pedig 20-at, a többi mind A. Ezeket a kezdeti értékeket is több tesztelés alapján

választottam. A fenti kettes ponthoz tartozó hálózatban ez a három illetve húsz B

8

csúcs minden esetben a 30-as teljes, illetve az egyik 50-es teljes gráfban van. Mi-

vel a két teljes gráf véletlenszer¶en van összekötve néhány éllel, így meg�gyelhet®,

hogy mennyi id® alatt terjed át a B vélemény a másik teljes hálózatra, valamint

hogy milyen hatással van ez az elhelyezés a B csúcsok számának növekedésére vagy

csökkenésére (az ábrákon ezt az értéket �gyelhetjük meg az id® függvényében). Ha

mindkét teljes részgráfban egyenl® arányban helyeznénk el kezdetben az A és B csú-

csokat, akkor semmilyen különbséget sem lehetne meg�gyelni a teljes gráfhoz képest,

hiszen egymástól függetlenül kezdhetnének terjedni az egyes teljes hálózatokon.

El®ször is nézzük meg, mi történik, ha a két ráta megegyezik, vagyis τ = γ. Ez

azt jelenti, hogy a csúcsok azonos eséllyel váltanak A-ról B-re és B-r®l A-ra.

2.2. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon

γ = τ = 1 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.

Éppen az történik, amit vártunk, vagyis a rendszer a kezdeti állapot körül mozog.

Mivel ez egy sztochasztikus folyamat, amelynek van véletlen ingadozása, a megol-

dás �rezeg�, ezzel szemléltetve a véletlen hatást. Az ábrán 300 szimuláció átlagát

láthatjuk, tmax = 30, ∆t = 0.0005.

A τ < γ esethez tartozó 2.3. Ábra már valamivel több információt hordoz magá-

ban a hálózatokról, amelyeken futtattuk a szimulációt. Ebben az esetben 20 darab

B csúcsot helyeztem el a gráfokban, a többi A. A leggyorsabban a kék, vagyis a

teljes gráfhoz tartozó görbe kezd el csökkenni, hiszen ezen a hálózaton semmi sem

9

gátolja az információ terjedését. Ahol viszont ez a leginkább akadályozva van, az

a K30,70,30-as gráf (rózsaszín). Ez a leglassabban csökken® görbe, hiszen mind a 20

darab B csúcs a 30-as teljes gráfban van, ezeknek pedig átlagosan 11 darab A szom-

szédja van (a hálózat felépítése miatt) szemben a teljes grá�al, ahol a B csúcsok

A szomszédainak száma pontosan 80. Az K50,50,50-es hálózatban valamivel kiegyen-

lítettebb az A szomszédok száma, mint a K30,70,30-as gráf esetében, itt ez a szám

átlagosan 31.

2.3. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon

γ = 1.5 és τ = 1 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.

A τ > γ esetben, a 2.4. Ábrán is jól meg�gyelhet®, hogy a teljes gráfon ter-

jed leggyorsabban a B típusú csúcsok száma, hiszen minden csúcs össze van kötve

mindegyikkel, így akadály nélkül terjedhet az információ. Ez leglassabban aK30,70,30-

as gráfon történik, itt ugyanis a 30-as teljes gráfban van mindhárom B vélemény¶

csúcs, és mivel csupán néhány éllel van összekötve a 70-es teljes grá�al, nehezen tud

ott is növekedni a B csúcsok száma.

10

2.4. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon

γ = 1 és τ = 1.5 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.

Láttuk tehát, hogy elég nagy hálózatokon a két ráta változtatásával hogyan visel-

kedik a modell. Meg�gyelhet®, hogy a különböz® gráfok mennyiben befolyásolják az

információ terjedését. Felmerülhet bennünk, hogy ennél pontosabb képet szeretnénk

kapni arról, hogy valójában hogyan is zajlik ez a folyamat. A következ® fejezetben

megmutatjuk, mi is történik a rendszerrel az id® függvényében, vagyis felírjuk a

di�erenciálegyenleteket.

11

3. fejezet

Di�erenciálegyenletek felírása

El®ször egy számunkra is átlátható rendszerben kell vizsgálódnunk, hogy megért-

hessük a modell m¶ködését. Ezért nézzük meg, hogyan viselkedik a modell a kett®,

illetve három csúcsú gráfokon. Az izolált csúcsot tartalmazó rendszerek nem hordoz-

nak túl sok információt a di�erenciálegyenletek szempontjából, ugyanis ez három

csúcsú gráfnál egy két csúcsú teljesnek felelne meg.

Most bemutatjuk, hogy egy folytonos idej¶, diszkrét állapotter¶ Markov-folyamat

Kolmogorov-féle di�erenciálegyenleteinek felírása hogyan történik. A továbbiakban

legyen N a gráf csúcsainak száma, S = {a0, a1, . . . , an} pedig a rendszer állapotte-

re. Legyen pij annak a valószín¶sége, hogy a rendszer a j állapotból az i-be megy.

Tegyük fel, hogy a folytonos idej¶ Markov-lánc � {X(t), t ≥ 0} � kielégíti a követ-

kez® feltevést:∑

j 6=i = pij > 0. Ekkor a rendszer Kolmogorov-egyenlete a következ®

alakban adható meg [9] (140− 145, 162− 164):

pij(t) =∑k 6=j

qkjpik(t)− νjpij(t), j ∈ S és t > 0 (3.1)

A továbbiakban a következ® megfeleltetéseket fogom használni: yi(t) = pij(t),

ugyanis j rögzített állapot, valamint nem különböztetem meg egy-egy csúcs ki- illetve

bemen® éleit, így a szakdolgozatban szerepl® di�erenciálegyenleteket a következ®

általános alakban írom fel:

y(t) = Qy(t), (3.2)

ahol Q ∈ R(N+1)×(N+1) egy, még egyel®re ismeretlen átmenetvalószín¶ség-mátrix.

12

3.1. Két csúcsú teljes gráf

A di�erenciálegyenleteket ebben az esetben a legkönnyebb felírni, melyet az egyes

állapotokba való be- illetve kimen® élek alapján fogunk megtenni. Az állapottér egy

2N elem¶ halmaz, S = {AA,AB,BA,BB}. Jelölje ezen állapotok valószín¶ségét a

t id®pontban (x0(t), x1(t), x2(t), x3(t)).

3.1. ábra. Lehetséges állapotok és állapotváltozások a két csúcsú teljes gráf esetében.

Az ábrán látható rátákat a (2.1) és (2.2) képletek alapján lehet kiszámítani. Az

AB → AA ráta: egy B csúcsból A lesz, tehát a paraméter γ. Ennek együtthatója

pedig 1, hiszen a B csúcsnak egyetlen más vélemény¶ szomszédja van, ami megegye-

zik az összes szomszédjának számával (11

= 1). A BA→ BB rátát is hasonlóképpen

számoljuk, itt egy A csúcsból lesz B, amely változáshoz tartozó paraméter τ , és

ugyanúgy indokolható, hogy ennek is 1 lesz az együtthatója, mint az el®z® esetben.

Nézzük tehát a di�erenciálegyenleteket, amelyeket a (3.1) képlet alapján írtam

fel.

x0(t) = γ(x1(t) + x2(t)) (3.3)

x1(t) = −(γ + τ)x1(t) (3.4)

x2(t) = −(γ + τ)x1(t) (3.5)

x3(t) = τ(x1(t) + x2(t)) (3.6)

A 3.1 Ábrán és az egyenleteken is észrevehet® a szimmetria. Bevezetve az x0 = y0,

x1 + x2 = y1 és y2 = x3 függvényeket, a di�erenciálegyenleteket a következ®, egysze-

13

r¶bb alakban írhatjuk fel:

y0(t) = γy1(t) (3.7)

y1(t) = −(γ + τ)y1(t) (3.8)

y2(t) = τy1(t) (3.9)

Ezt az egyenletrendszert egyszer¶sége miatt könny¶ megoldani. A második egyenlet-

b®l kapjuk, hogy y1(t) = e−t(τ+γ)c1, ebb®l pedig következik, hogy y0(t) = −γτ+γ

e−t(τ+γ)c0

és y2(t) = −ττ+γ

e−t(τ+γ)c2, ahol c0 = 0, c1 = 1 és c2 = 0 a kezdeti feltételek. Ez azt

jelenti, hogy az egy A és egy B kezdeti állapotból indítottuk a megoldásokat.

A 3.2 Ábrán az egyenletek megoldásait láthatjuk.

3.2. ábra. A (3.7) − (3.9) di�erenciálegyenletek megoldása két csúcsú teljes gráfon,

különböz® paraméterek esetén. y0 � piros, y1 � zöld, y2 � kék.

A két fels® képen a görbék ugyanúgy helyezkednek el, ám az egyik ábrán a piros,

a másikon pedig a kék van felül. Ennek oka, hogy a két rátát megcseréltük, így az

14

els® gra�konon nagyobb eséllyel nyer a B vélemény, míg a másodikon az A. Az alsó

képen a két ráta megegyezik, ezért a kék és a piros görbe ugyanazt az ívet járja be

(az ábrán piros vonallal jelölve). Mindhárom esetben a zöld görbe ábrázolja az AB

állapot valószín¶ségének változását az id® függvényében.

3.2. Kett® hosszú út

Tekintsünk egy N = 3 csúcsú vonalgráfot, amelyben a középs® csúcs van összekötve

a két mellette lév®vel. A rendszer állapottere, vagyis a lehetséges el®forduló állapo-

tok halmaza a következ®: S = {AAA,BAA,ABA,AAB,BBA,BAB,ABB,BBB}.Ezek valószín¶ségét a t id®pontban jelölje

(x0(t), x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), x5(t), x6(t), x7(t)).

A 3.3 Ábra az átmeneti rátákat adja meg az egyes állapotok között:

3.3. ábra. Az állapottér és a lehetséges állapotváltozások a három csúcsú vonalgráf

esetében.

Nézzük meg, hogy a 3.3 Ábrán például a BAB → BAA változás rátáját ho-

gyan lehet kiszámítani. Egy B csúcs A-ra vált, tehát a paraméter γ lesz, melynek

együtthatója a (2.2) képlet szerint 11, így jön ki a γ. A BAA → BBA váltásnál a

(2.1) képletet kell alkalmaznunk, hiszen egy A csúcs vált B-re. Ennek az A csúcsnak

egy-egy eltér® és azonos vélemény¶ szomszédja van, tehát a ráta 12τ .

15

A (3.1) képlet és a 3.3 Ábra alapján tekintsük a rendszerhez tartozó egyenleteket:

x0(t) = γ(x1(t) + x2(t) + x3(t)) (3.10)

x1(t) =1

2γx4(t) + γx5(t)− (

1

2τ + γ)x1(t) (3.11)

x2(t) = −(2τ + γ)x2(t) (3.12)

x3(t) = γx5(t) +1

2γx6(t)− (

1

2τ + γ)x3(t) (3.13)

x4(t) =1

2τx1(t) + τx2(t)− (

1

2γ + τ)x4(t) (3.14)

x5(t) = −(2γ + τ)x5(t) (3.15)

x6(t) = τx2(t) +1

2τx3(t)− (

1

2γ + τ)x6(t) (3.16)

x7(t) = τ(x4(t) + x5(t) + x6(t)) (3.17)

Az egyenletrendszer numerikus megoldását a Matlab ode45 függvényével állítot-

tam el®. Az eredményeket a következ® néhány ábra mutatja be.

3.4. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ = τ esetben. Baloldalon:

x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7

� alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � alsó kék,

x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � fels® kék.

16

3.5. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ < τ esetben. Baloldalon:

x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7

� alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � alsó kék,

x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � fels® kék.

3.6. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ > τ esetben. Baloldalon:

x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7 �

alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � fels® kék,

x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � alsó kék.

Mindhárom baloldali ábrán a megoldáskor az x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1

kezdeti feltétellel indítottam a modellt, azaz a BAA állapotból. A 3.3 Ábra alapján

könny¶ belátni, miért csak négy görbét látunk. Ebb®l az állapotból nem tudunk

17

eljutni ABA,BAB,AAB és ABB egyikébe sem, így azok azonosan nullák lesznek.

Tehát annak a valószín¶sége, hogy a rendszer ezekben az állapotokban ér véget, 0.

Mindegyik képen (a baloldaliakon) a két kék görbe tartozik a két végállapothoz. A

3.4 Ábrán � ahol τ = γ � a két kék görbe közti különbség nem meglep®, hiszen

annak nagyobb az esélye, hogy egyetlen B csúcsból A lesz, mint hogy két A csúcs

vált B-re. A 3.5 Ábrán a baloldali gra�konon τ hiába nagyobb, mint γ, mégis az

AAA végállapotnak lesz nagyobb a valószín¶sége, hiszen a rendszer nagyobb eséllyel

mozdul el AAA felé, mint a BBA állapothoz. Ezzel magyarázható a 3.6 Ábrán az

x0 és x7 görbék közötti nagy távolság.

A jobboldali képeken az x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 állapotból indítottam a

modellt, azaz a BAB állapotból. Szintén a két kék görbe a két végállapot, hiszen

a rendszer törekszik az egyensúlyi helyzetre. Mindhárom jobboldali ábrán már hét

görbének kellene lennie, hiszen csak a ABA állapotba nem tud eljutni a rendszer.

Mégis csupán öt görbe látszik mindenhol, aminek oka a lehetséges állapotváltozá-

sokat bemutató 3.3 Ábra szimmetrikussága miatt könnyen belátható. Az x1 és x3,

valamint az x4 és x6 állapotokhoz tartozó valószín¶ségek megegyeznek, hiszen lát-

hatjuk, hogy a BAB állapotból ugyanakkora valószín¶séggel mozdul el a rendszer

a BBA és az ABB irányába. Ugyancsak a szimmetriával magyarázható a BBA és

ABB állapotok valószín¶ségének egyezése is. A három jobboldali kép közül talán a

legérdekesebb a γ = τ eset (3.4 Ábra), ahol a két végállapot valószín¶sége megegye-

zik. Itt is a 3.3 Ábra alapján végiggondolható, hogy ha a rendszer az ABB vagy

a BBA állapotba jut, és onnan BAA vagy AAB valamelyikébe, akkor a két el®bb

említett állapotból BBB-be és a két utóbbiból AAA-ba az eljutások valószín¶sége

megegyezik.

3.3. Három csúcsú teljes gráf

Ebben a fejezetben az N = 3 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásainak

di�erenciálegyenleteit fogjuk vizsgálni. Itt is 23 állapot lehetséges, az állapottér S =

{AAA,BAA,ABA,AAB,BBA,BAB,ABB,BBB}, melyet a 3.7 Ábra szemléltet.

Az egyes állapotok valószín¶ségét a t id®pontban jelölje

(x0(t), x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), x5(t), x6(t), x7(t)).

18

3.7. ábra. A három csúcsú teljes gráf lehetséges állapotai és állapotváltozásai.

A 3.7 Ábrán a középs® sávban a felfelé mutató nyilak γ2, a lefelé mutató nyilak

pedig τ2rátákat jelentenek. A két végállapot kivételével minden csúcsból eljuthatunk

mindenhova, az állapotváltozásokat szemléltet® ábra szimmetrikus.

Nézzük meg, hogyan történik az x1 → x4 ráta kiszámítása. Egy B csúcsból lesz

A, ebb®l adódik a γ paraméter, tehát a (2.2) képletet kell alkalmaznunk. A változó

csúcsnak egy eltér® és egy azonos nézeteket valló szomszédja van, így γ együtthatója12. Az x5 → x7 változás rátája is hasonlóképpen számítható, itt azonban egy A

csúcsból lesz B, így a (2.2) képletet kell használnunk. Mivel mindkét szomszédja

t®le eltér® vélemény¶, így τ együtthatója 11

= 1 lesz.

A (3.1) képlet és a 3.7 Ábra alapján írjuk fel a di�erenciálegyenleteket.

x0(t) = γ(x1(t) + x2(t) + x3(t)) (3.18)

x1(t) =γ

2(x4(t) + x5(t))− (γ + τ)x1(t) (3.19)

x2(t) =γ

2(x5(t) + x6(t))− (γ + τ)x2(t) (3.20)

x3(t) =γ

2(x4(t) + x6(t))− (γ + τ)x3(t) (3.21)

19

x4(t) =τ

2(x1(t) + x3(t))− (γ + τ)x4(t) (3.22)

x5(t) =τ

2(x1(t) + x2(t))− (γ + τ)x5(t) (3.23)

x6(t) =τ

2(x2(t) + x3(t))− (γ + τ)x6(t) (3.24)

x7(t) = τ(x4(t) + x5(t) + x6(t)) (3.25)

Ahogyan a két csúcsú teljes gráfnál, itt is szimmetrikus a di�erenciálegyenlet-

rendszer. Vonjuk össze a (3.18)−(3.25) egyenleteket a következ®képpen: legyen y1 =

x1 +x2 +x3 és y2 = x4 +x5 +x6. Nézzük meg, hogyan alakul a rendszer az egyesítés

közben. Az els® és utolsó egyenlettel könny¶ dolgunk van, ezek a következ®k: y0 =

γy1, y3 = τy2. Most vizsgáljuk meg a (3.19)− (3.21) és (3.22)− (3.24) egyenleteket.

Ezeket összeadva kapjuk, hogy

x1 + x2 + x3 =γ(2 · x4 + 2 · x5 + 2 · x6)

2− (γ + τ) · (x1 + x2 + x3), valamint

x4 + x5 + x6 =τ(2 · x1 + 2 · x2 + 2 · x3)

2− (γ + τ) · (x4 + x5 + x6).

Elvégezve az egyszer¶sítést és alkalmazva a fent megadott megfeleltetéseket kapjuk

az alábbi lehetséges állapotváltozásokat és egyenletrendszert.

3.8. ábra. Lehetséges állapotváltozások három csúcsú teljes gráf esetén. A középs®

két állapotnál az összevonás miatt nem vesszük �gyelembe az A illetve B csúcsok

sorrendjét.

y0(t) = γy1(t) (3.26)

y1(t) = γy2(t)− (γ + τ)y1(t) (3.27)

y2(t) = τy1(t)− (γ + τ)y2(t) (3.28)

y3(t) = τy2(t) (3.29)

A di�erenciálegyenlet-rendszer egyszer¶sége miatt ez könnyen megoldható, ám

már N = 4-re is sokkal nehezebb dolgunk lenne. Az egyszer¶sítéssel viszont sikerült

lecsökkenteni az egyenletek számát N + 1-re, ami lényegesen kevesebb, mint a fent

20

említett 2N . Fontos megjegyezni, hogy összevonni csak teljes gráfoknál lehet, a kett®

hosszú útnál ezért nem tudtuk leegyszer¶síteni az egyenletrendszert.

Most nézzük meg, hogyan viselkednek a megoldások az id® függvényében, és a

két paraméter (τ és γ) különböz® megválasztásai esetén. A rendszert az y1(0) = 1,

yk = 0, ha k 6= 1 (AAB állapot), illetve y2(0) = 1, yk = 0, ha k 6= 2 (ABB állapot)

kezdeti feltételek mellett érdemes indítani, hiszen ha a két végállapot valamelyikéb®l

tennénk ezt, akkor nem tudna kimozdulni onnan.

Az alábbi három ábra mindegyikén annak valószín¶ségét, hogy a rendszer az

adott állapotban van, a következ® megfeleltetések jelölik: y0 � sötétkék, y1 � zöld,

y2 � piros és y3 � világoskék.

Legyen τ = γ = 1. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, amikor az y1 illetve az y2

kezdeti állapotokból indítjuk a di�erenciálegyenleteket.

3.9. ábra. A (3.26) − (3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = γ esetén,

bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1 � zöld,

y2 � piros és y3 � világoskék)

A két ábra látszólag ugyanaz, ám ha jobban megvizsgáljuk, a világoskék és sö-

tétkék, valamint a piros és zöld görbék felcserél®dtek. Mindkét gra�konon a sötétkék

függvény mutatja az AAA , a világoskék pedig BBB végállapot valószín¶ségét. Fel-

cserél®désük nem meglep®, hiszen ha a kezdeti állapotban két A és egy B csúcs van,

akkor τ = γ esetén a csupa A gráfnak nagyobb az esélye.

Tekintsük a τ = 1.5 és γ = 1 esetet. A 3.10 Ábrákon a sötétebb kék görbe tar-

tozik a csupa A végállapothoz, a világoskék pedig a csupa B-hez. Amikor az AAB

21

állapotból indítjuk a feladatot, annak ellenére, hogy az A-ról B-re történ® váltás

valószín¶bb, mégis a csupa A végállapot esélye a nagyobb. Ez azzal magyarázha-

tó, hogy egy B csúcs könnyebben vált A-ra (mivel mindkét szomszédja hat rá),

mint a két A csúcs B-re. Hasonlóképpen magyarázható az ABB állapotból indí-

tott di�erenciálegyenlet-rendszer megoldásának gra�konja. Itt éppen amiatt, hogy

a τ > γ, a csupa B végállapot valószín¶sége sokkal nagyobb, mint a másiké.

3.10. ábra. A (3.26)−(3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = 1.5 és γ = 1

esetén, bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1

� zöld, y2 � piros és y3 � világoskék)

Nézzük meg, mi történik τ = 1, illetve γ = 1.5 esetén. Logikusan végiggondolva

azt várhatjuk, hogy ugyanaz fog történni, mint a 3.10 Ábrán, csak éppen fordítva.

22

3.11. ábra. A (3.26)−(3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = 1 és γ = 1.5

esetén, bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1

� zöld, y2 � piros és y3 � világoskék)

Ha összehasonlítjuk a 3.10 és 3.11 ábrákat, minden görbe felcserél®dött.

3.4. Di�erenciálegyenletek általánosítása a négy csú-

csú teljes gráfból

A három csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásainak di�erenciálegyenlet-rend-

szerének felírása ((3.26) − (3.29)) még közel sem olyan bonyolult, hogy ne lehetne

akár papíron is megoldani. Ám ez már a négy csúcsú gráfnál is sokkal id®igényesebb.

Felmerülhet bennünk, hogy általánosítani kellene a di�erenciálegyenleteket.

A 3.12 Ábrán a 4 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásait �gyelhetjük meg

az összevonás után:

3.12. ábra. A 4 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotai és állapotváltozásai.

Hosszas számolás után a négy csúcsú teljes gráfhoz tartozó egyenletek a (3.1)

23

képlet alapján a következ®k:

y0(t) = γy1(t) (3.30)

y1(t) =4

3γy2(t)− (γ + τ)y1(t) (3.31)

y2(t) = τy1 + γy3(t)−4

3(γ + τ)y2(t) (3.32)

y3(t) =4

3τy2(t)− (γ + τ)y3(t) (3.33)

y4(t) = τy3(t) (3.34)

Egy-egy állapot csak az eggyel el®tte, illetve eggyel utána lév®t®l, valamint önma-

gától függhet. Tehát ha az éppen aktuális gráfban két A és két B csúcs van, akkor

az nem függhet például a csupa A állapottól, vagyis az egyes di�erenciálegyenle-

tek változói adottak. A kérdés az, hogy milyen együtthatóval fognak szerepelni az

egyenletben.

Mind a három, mind a négy csúcsú teljes gráfokhoz tartozó egyenleteken észreve-

het® a szimmetria, tehát egyQ ∈ R(N+1)×(N+1) tridiagonális mátrixot keresünk, ame-

lyet jobbról megszorozva y = (y0, y2, . . . , yN) vektorral megkapjuk a di�erenciálegyenlet-

rendszert. Feladatunk tehát Q meghatározása.

Vegyük észre, hogy y0 mindig csak y1-t®l, yN pedig csak yN−1-t®l függ, termé-

szetesen a megfelel® rátákkal megszorozva. Az együttható mindig 1 lesz. Nézzük

aB A

A A⇒

A A

A A

állapotváltozást. Itt egy B csúcsból lesz A, így a ráta γ. A B csúcshoz tartozó d

érték ebben az esetben 33

= 1, mivel három darab t®le eltér® érdekeltség¶ szomszédja

van, ami éppen megegyezik az összes szomszédjának számával. Ugyanígy belátható

aA B

B B⇒

B B

B B

változás is.

Most tekintsük aB A

A A⇒

B B

A A

változást. Mivel A csúcsból lesz B, a ráta τ . A megváltozott A csúcshoz tartozó d

24

érték 13, ugyanis a három szomszédja közül egyetlen olyan van, amelyik vele ellentétes

típusú.

A négy csúcsú teljes gráfhoz tartozó Q mátrix tehát a (3.1) Kolmogorov di�e-

renciálegyenletének képlete és a (3.2) képlet alapján

Q =

0 γ 0 0 0

0 −(τ + γ) 43τ 0 0

0 τ −43(τ + γ) γ 0

0 0 43τ −(τ + γ) 0

0 0 0 τ 0

alakban írható fel. (Ennek meghatározásához még az összevonás el®tti összes lehetsé-

ges állapotot tartalmazó ábrát használtam, amelyet bonyolultsága és átláthatatlan-

sága miatt nem tettem bele a szakdolgozatba.) Ezt a mátrixot jobbról megszorozva

y(t) = (y0(t), y2(t), y3(t), y4(t)) vektorral megkapjuk a di�erenciálegyenlet-rendszert

az y(t) baloldallal.

A továbbiakban rátérünk az általános, N csúcsú teljes gráfokhoz tartozó fo-

lyamat di�erenciálegyenleteinek felírására. Jelölje k a B csúcsok számát az adott

állapotban, valamint N továbbra is az összes csúcs számát. Ekkor az általános kép-

let a di�erenciálegyenletre: yk = ?τyk−1 + ?γyk+1 − ?(γ + τ)yk, ahol ?-gal jelöltem

az egyel®re ismeretlen együtthatókat. Vizsgáljuk meg a k = 2, N = 4 esetet, vagyis

y2 = τy1 + γy3 − 43(γ + τ)y2.

1. y1 együtthatója: ez jelen esetben 1. Nézzük meg, mib®l adódik ez a szám. Az

y1 → y2 változásnál egy A csúcsból B lesz (ebb®l kapjuk a τ szorzót). Az y1

állapotnál 3 darab A van, melyek mindegyike 13valószín¶séggel átválthat B-re.

Általánosan: 13

= k−1N−1 . A 3 pedig a vele ellentétes típusú szomszédok számából

jön ki, ami N − (k − 1).

2. y3 együtthatója: ez szintén 1, a változás pedig y3 → y2. Itt, az el®z®ekt®l

eltér®en egy B csúcsból lesz A, tehát a ráta γ. Az y3 állapotban 3 darab B

van, melyek valamelyike vált, mindegyik 13eséllyel. Általánosan: 1

3= N−(k+1)

N−1

és 3 = k + 1, hiszen mindhárom B csúcs válthat.

3. y2 együtthatója: itt az y2 állapotból kifelé vezet® nyilakat kell megvizsgálni.

Ezekb®l kétféle lehet: y1 és y3 felé mutatók. y2 → y1 állapotváltozás: egy B

25

csúcsból A lesz, így a ráta γ. A váltás valószín¶sége 23, hiszen két eltér® prefe-

renciájú és összesen három szomszédja van mindkét B-nek, és mivel két csúcs

válthat, az együtthatót meg kell szorozni még 2-vel. Az y2 → y3 állapotválto-

zásnál ugyanez a levezetés és az együttható, csak ott a ráta τ . Általánosan:k

N−1 , és ez szorozva annyival, ahány csúcs válthat, vagyis (N − k)-val.

Összefoglalva: legyen

ak =N − (k − 1)

N − 1(k − 1)τ , k = 1, 2, . . . , N , (3.35)

bk =N − kN − 1

k(τ + γ), k = 0, 1, . . . , N és (3.36)

ck =N − (k + 1)

N − 1(k + 1)γ, k = 0, 1, . . . , N − 1 (3.37)

Ekkor az Q mátrix a következ®:

Q =

−b0 c0 0 0 · · ·a1 −b1 c1 0 · · ·0 a2 −b2 c2 · · ·...

. . .

0 · · · 0 aN −bN

.

Ez a mátrix éppen a megfelel® helyeken fogja beszorozni az y(t) vektort. Vegyük

észre, hogy a Q mátrix oszlopösszege minden esetben nulla:

N − kN − 1

kτ +N − kN − 1

kγ − N − kN − 1

k(τ + γ) = 0,

azaz bk = ak+1 + ck−1. Ezt és a fenti ak, bk és ck együtthatókat felhasználva kapjuk,

hogy y(t) = Qy(t) egyenletrendszer az alábbi általános alakban írható fel:

y0 = c0 · y1(t)

yk = ak · yk−1 − (ak+1 + ck−1) · yk + ck · yk+1

yN = aN · yN−1.

26

4. fejezet

A di�erenciálegyenletek és a

szimuláció összehasonlítása

Az el®z® két fejezetben külön-külön foglalkoztam a szimulációval és a di�erenciál-

egyenletekkel. Most vizsgáljuk meg, hogyan is tudnánk összehasonlítani ezeket. A

di�erenciálegyenletek valószín¶ségeket határoznak meg, a szimuláció pedig a B csú-

csok számát, mindkett® az id® függvényében. Alakítsuk át tehát az egyenleteket úgy,

hogy immár használható információt kapjunk a B csúcsok számáról.

Mint azt már említettem, a di�erenciálegyenleteket Matlab segítségével oldottam

meg (ode45). A megoldó eredménye egy A ∈ Rm×(N+1) mátrix, ahol N a gráf csúcs-

száma, m = tmax

hpedig a numerikus módszer lépésszáma. aij annak a valószín¶sége,

hogy a rendszer az i. id®pillanatban a j. állapotban van, vagyis j darab B csúcs van

a gráfban (a többi A). Ha ezt a mátrixot megszorozzuk jobbról egy q = (0, 1, . . . , N)

oszlopvektorral, akkor megkapjuk a B csúcsok számának várható értékét. És éppen

ez volt a célunk, most már össze tudjuk hasonlítani a pontos megoldást a szimuláció

eredményével.

A di�erenciálegyenleteket teljes gráfokra tudjuk csak általánosítani, így az össze-

hasonlításban a szimulációt is erre kell futtatnunk. A 4.1 Ábrán a τ > γ illetve a

τ < γ eseteket fogjuk látni, feketével a pontos megoldást, szürkével pedig a szimu-

lációt.

El®ször nézzük meg a 3.3. Fejezetben szerepl® három csúcsú teljes gráfot.

27

4.1. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása három

csúcsú gráf esetén. A baloldali ábrán τ = 1.5, γ = 1, a jobboldalin τ = 1 és γ = 1.5

A tesztelés során 300 szimuláció átlagát ábrázoltam, tmax = 6, ∆t = 0.00001. A

kezd®állapot AAB, y1(0) = 1, y0(0) = y2(0) = y3(0) = 0. Szimuláció: szürke,

di�erenciálegyenlet: fekete.

Mindkét ábrán látszik, hogy a szimuláció és a di�erenciálegyenlet megoldása

közötti eltérés nagyon kicsi (a legnagyobb is körülbelül 0.1).

Most tekintsük meg a 100 csúcsú teljes gráfon, hogy mennyiben tér el egymástól

a szimuláció és a di�erenciálegyenlet. A 4.2 Ábrán látszik, hogy kezdetben csupán

három darab B csúcs volt.

4.2. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása 100 csúcsú

teljes gráfon τ = 1.5 és γ = 1 esetben. Kezdeti állapot: 3 darab B csúcs, 97 darab A.

A szürke vastag görbe a szimuláció, a fekete pedig a di�erenciálegyenlet megoldása.

A szürke, szimulációhoz tartozó görbe szépen követi a di�erenciálegyenlet fekete

görbéjét, amely beáll a B csúcsok számának várható értékére. A modellt tmax =

28

30, ∆t = 0.0001 valamint a fent említett γ és τ paraméterekkel futtattam, 300

szimulációt átlagoltam.

A 4.3 Ábrán a ráták felcserél®dése, vagyis τ < γ miatt azt várjuk, hogy a kez-

detben megadott B csúcsok száma csökkenni fog, így érdemes nagyobb értéket adni

neki. Itt 97 darab B csúcs a kezdeti érték.

4.3. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása 100 csúcsú

teljes gráfon τ = 1 és γ = 1.5 esetben. Kezd®állapot: 97 darab B és 3 darab A csúcs.

A szürke vastag görbe a szimuláció, a fekete pedig a di�erenciálegyenlet megoldása.

A B csúcsok száma csökken, és szintén a várható értékre áll be végül. A szimulá-

ciót ebben az összehasonlításban is a fenti paraméterek mellett teszteltem. Mindkét

esetben közel van egymáshoz a szimuláció és a pontos megoldás görbéje.

Az 4.4 Ábrán a két ráta egyenl®, τ = γ. Ekkor a szimuláció gra�konja �rezeg�,

mivel egy sztochasztikus folyamatot ábrázolunk, amelynek van ingadozása.

29

4.4. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása a τ = γ =

1 esetben.

A kitérése mégsem számottev®, 2.5 és 3.3 között mozog, ami igen jó eredménynek

mondható.

30

5. fejezet

Összefoglalás

Szakdolgozatom célja az volt, hogy bemutassam, hogyan terjed az információ kü-

lönböz® hálózatokon, és ezek hogyan befolyásolják a rendszer lefolyását. Ezt a voter

modellel tettem, mely kétféle vélemény terjedését vizsgálja. Erre írt szimulációm-

mal közelít® eredményeket kaptunk. Ezeket négy különböz® gráfon teszteltem, és

megvizsgáltam, hogy a hálózat szerkezete hogyan befolyásolja az információ vagy

vélemény terjedését. A di�erenciálegyenletek felírásával, amelyek az id® függvényé-

ben mutatják be a modellt, pontos eredményeket kaptunk. A sok ismeretlenes rend-

szerek kiküszöbölésére � a hálózat szimmetrikusságát kihasználva � a teljes gráfo-

kon alkalmazott összevonásokkal egyszer¶bb alakra hoztuk az egyenletrendszereket,

amely állapotterének elemszáma így 2N -r®l N + 1-re csökkent. Ez persze csupán

teljes gráfokon tehet® meg. Ezek átalakítása után már össze tudtuk hasonlítani az

egyenletek numerikus megoldását a szimulációval. Láttuk, hogy egy alkalmas ∆t

megválasztással a szimulációval is közel pontos eredményt érhetünk el. Következ®

célnak megfogalmazható, hogy valahogyan a véletlen gráfokon is csökkenteni lehes-

sen a rendszerben szerepl® di�erenciálegyenletek számát.

31

Irodalomjegyzék

[1] Assar Lindbeck, Jörgen Weibull, "Balanced-budget redistribution as the outco-

me of political competition", Public Choice 52.3, 1987, 273-297

[2] Samuel Karlin, Howard M. Taylor, Sztochasztikus folyamatok, Gondolat Kiadó,

Budapest, 1985 (1., 2. és 4. fejezet)

[3] Csiszár Vill®, Diszkrét és folytonos paraméter¶ Markov láncok

(http://www.cs.elte.hu/ villo/ml/ML.pdf)

[4] Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter, Alkalmazott folyamatstatisztika

és id®sor-analízis, Typotex Kiadó, Budapest, 2001

[5] Krzysztof Suchecki, Víctor M. Eguíluz, Maxi San Miguel, "Voter model dyna-

mics in complex networks: Role of dimensionality, disorder, and degree distri-

bution." Physical Review E 72.3 (2005): 036132.

[6] Vishal Sood, Sidney Redner, "Voter model on heterogeneous graphs." Physical

Review Letters 94.17 (2005): 178701.

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_voting_model

[8] David Easley and Jon Kleinberg, Networks, crowds, and markets: Reasoning

about a highly connected world, Cambridge University Press, 2010, 650-658

[9] Henk C.Tijms, A First Course In Stochastic Models, Wiley 2003

[10] http://www.cs.elte.hu/ aaadrian/notes/stochproc.pdf

32