Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Majoros Szabolcs

Stabilis eloszlások és alkalmazásuk apénzügyekben

BSc Matematikai Elemz® Szakdolgozat

Témavezet®:

Dr. Zempléni András

Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék

Budapest, 2016

Köszönetnyilvánítás

Ezúton is köszönöm témavezet®mnek, Zempléni Andrásnak a hasznos tanácsokat, észre-vételeket és az útmutatást a dolgozat elkészítése során. Külön köszönöm a konzultációkat,ahol mindig türelemmel fordult felém.

2

Tartalomjegyzék

El®szó 4

1. Alapfogalmak 5

2. Stabilis eloszlások 72.1. De�níciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Paraméterezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Elméleti tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Szimuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Paraméterbecslés és illeszkedés 193.1. Kvantilis módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Maximum likelihood becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Anderson-Darling próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Alkalmazások 23

5. Többdimenziós stabilis eloszlások 325.1. De�níciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2. Speciális esetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3. Becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1. Példa részvényekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Összefoglalás 40

3

El®szó

A pénzügyi folyamatokat hagyományosan normális eloszlással modellezik. Ennek követ-kezményei jelent®sek lehetnek, mert gyakran nem írható le a valóság normális modellekkel,mely jellemz®en az extrém volatilitásra nem elég érzékeny. Ez nehézséget jelenthet a gaz-daság számára, hiszen így nem mindig adható megfelel® el®rejelzés a t®zsdei eseményekre.Felmerül a kérdés, hogy akkor milyen eloszlást lenne célszer¶bb használni? Tökéletesensemelyik eloszlás sem képes modellezni a valóságot, de a stabilis eloszlások az extrém vál-tozékonyságra sokkal rugalmasabbak, ezért, ha nem elég a normális eloszlás egyszer¶sége,érdemes lehet ezeket használni.

A valószín¶ség-eloszlások egy gazdag családja a stabilis eloszlások, amelyeket PaulLévy fedezett fel az 1920-as években. Sokáig háttérbe szorult ez az eloszláscsalád a szá-molási nehézségei miatt, de mára már, a számítógép fejl®désének hála, hatékonyan lehetalkalmazni, így egyre inkább el®térbe kerül az említett jó tulajdonsága miatt.

A szakdolgozat 1. fejezetében néhány alapde�nicíóra térünk ki, a 2. fejezetben álta-lánosan a stabilis eloszlásokról, paraméterezésükr®l és tulajdonságaikról lesz szó. A 3.fejezetben két hatékony paraméterbecslést, és a mi igényeinknek megfelel® illeszkedésvizs-gálatot ismerünk meg, melyeket a 4. fejezetben igazi részvényadatsorokra alkalmazunk ésértékelünk, vizsgálva hogy mikor és mennyire jó a stabilis modell. Az 5. fejezet a többdi-menziós stabilis eloszlások összefoglalásáról szól.

4

1. fejezet

Alapfogalmak

Az alapvet® valószín¶ségszámítási fogalmakat ismertnek tekintem. A fontosabbakat ittde�niálom, felhasználva a [4] és [6] forrásokat.

1.1. De�níció. (Eloszlásban vett konvergencia) Legyenek X1, . . . , Xn és X valószí-n¶ségi változók, F1, . . . , Fn és F a hozzájuk tartozó eloszlásfüggvények. Azt mondjuk,hogy Xn eloszlásban konvergál X-hez, azaz Xn → X, ha n → ∞ esetén Fn → F azutóbbi minden folytonossági pontjában.

Továbbiakban, ha konvergenciáról lesz szó, eloszlásban vett konvergenciát fogunk érteni.

1.2. De�níció. Az X1 és X2 valószín¶ségi változók azonos eloszlásúak, ha eloszlásfügg-

vényeik megegyeznek, azaz X1d= X2.

1.3. Tétel. (Centrális határeloszlás-tétel) Legyenek X1, . . . , Xn függetlenek, azonoseloszlásúak, közös várható értékük m, szórásnégyzetük σ2 < ∞. Ekkor minden x ∈ Resetén

P

n∑i=1

Xi − n ·m

σ ·√n

< x

→ Φ(x), n→∞

ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

1.4. De�níció. (Vonzási tartomány) Legyenek X1, . . . , Xn függetlenek, azonos F el-oszlásúak. Ekkor F a G vonzási tartományába tartozik, jelölése F ∈ DA(G), ha megad-ható an, bn normáló sorozat, hogy

X1 + . . .+Xn − anbn

→ G.

1.5. De�níció. (Karakterisztikus függvény) Legyen X valószín¶ségi változó. A

ϕX(t) = E[eitX ]

5

függvényt X karakterisztikus függvényének nevezzük. Abszolút folytonos eloszlás esetén,ahol f az X s¶r¶ségfügvénye a

ϕX(t) =

∫ ∞−∞

f(x)eitxdx

képlettel számolható ki. Ez másnéven az f Fourier-transzformáltja.

A karakterisztikus függvények kés®bb fontosak lesznek. Számos hasznos tulajdonságukvan, számunkra az alábbiak a fontosabbak.

1.6. Tétel. (Egyértelm¶ségi tétel) Legyenek X1, X2 valószín¶ségi változók, karakte-risztikus függvényük: ϕX1(t), ϕX2(t). Tegyük fel, hogy ϕX1(t) = ϕX2(t), ekkor teljesül, hogyX1 = X2.

1.7. Tétel. Legyenek X1, . . . , Xn független valószín¶ségi változók, X = X1 + . . . + Xn.Ekkor az összeg karakterisztikus függvénye egyenl® lesz a komponensek karaterisztikus függ-vényének szorzatával, azaz

ϕX(t) =n∏k=1

ϕXk(t).

1.8. De�níció. (Túlélésfüggvény) Legyen X valószín¶ségi változó, F pedig az elosz-lásfüggvénye. Az F = P (X > x) függvényt X túlélés függvényének nevezzük.

1.9. De�níció. (Elfajult eloszlás) Az X valószín¶ségi változó elfajult eloszlású, ha lé-tezik valós c konstans, hogy P (X = c) = 1.

1.10. De�níció. (Gamma-függvény) A gamma-függvény, ahol α > 0 a következ®:

Γ(α) =

∫ ∞0

tα−1e−tdt.

6

2. fejezet

Stabilis eloszlások

2.1. De�níciók

Egy fontos tulajdonsága a normális eloszlásnak, hogy független, normális valószín¶ségiváltozók összege is normális. A stabilis eloszlások hasonló tulajdonságúak. E fejezet f®lega [4] és a [9] forrásokon alapszik. Továbbiakban végig feltesszük, hogy az eloszlásaink nemelfajultak.

2.1. De�níció. Egy X valószín¶ségi változó stabilis, ha X1 és X2 függetlenek és azonoseloszlásúak X-szel, és bármely pozítiv a-ra és b-re teljesül, hogy

aX1 + bX2d= cX + d (2.1)

megfelel®en választott pozítiv c-re és valós d-re.

A de�níció szerint két stabilis valószín¶ségi változó összege is stabilis. A kapcsolat a nor-mális és a stabilis eloszlások között az, hogy a normális eloszlás egy speciális stabiliseloszlás. A de�níció általánosítása a következ®.

2.2. Tétel. Egy X akkor és csak akkor stabilis, ha minden n > 1-hez létezik cn > 0 ésvalós dn, hogy

X1 + . . .+Xnd= cnX + dn, (2.2)

ahol X1, . . . , Xn függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel.

2.3. De�níció. Szigorúan stabilisnak nevezzük X eloszlását 2.1 és 2.2-ben, ha d = 0 ésdn = 0.

A stabilis eloszlásokat karakterisztikus függvényeikkel fejezzük ki, mert általában nemadhatóak meg zárt alakban. Ez régebben nehézséget jelentett, de ma már könnyen lehetszámítógépek segítségével stabilis eloszlás- és s¶r¶ségfüggvényeket számolni. A karakte-risztikus függvényekkel a következ® módon fejezhetjük ki a stabilis eloszlásokat.

7

2.4. Tétel. Egy X valószín¶ségi változó stabilis akkor és csak akkor, ha Xd= aZ+b, ahol

0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, a, b ∈ R és Z egy valószín¶ségi változó az alábbi karakterisztikusfüggvénnyel:

E[exp{itZ}] =

{exp

{−|t|α(1− iβ tg πα

2· sgn t)

}α 6= 1

exp{−|t|(1 + iβ 2

πsgn t · log |t|)

}α = 1.

(2.3)

Ezek az eloszlások szimmetrikusak 0-ra, ha β = 0 és b = 0. Ebben az esetben aZ karak-terisztikus függvénye egyszer¶bb alakú:

ϕ(t)aZ = e−aα|t|α .

Néhány esetben megadható zárt alakban a stabilis eloszlás: a normális, illetve a Cauchy-és Lévy-eloszlás esetében. Speciális stabilis eloszlások továbbá a Landau és a Holtsmark-eloszlás. Standard eloszlásról akkor beszélünk majd, amikor γ = 1 és δ = 0.

2.5. De�níció. (Cauchy eloszlás) Az X Cauchy-eloszlású, jelölése X ∼ Cauchy(γ, δ),ha a s¶r¶ségfüggvénye

f(x) =1

π

γ

γ2 + (x− δ)2, x ∈ (∞,∞).

A Cauchy-eloszlásnak nincs várható értéke és így szórása sem. Szimmetrikus a δ-ra, harangalakú, mint a normális eloszlás, de vastagabb szél¶. A standard Cauchy-eloszlás pontosankét független standard normális eloszlású valószín¶ségi változó hányadosa.

2.6. De�níció. (Lévy eloszlás) Az X Lévy-eloszlású, jelölése X ∼ Lévy(γ, δ), ha as¶r¶ségfüggvénye

f(x) =

√γ

2π

1

(x− δ)3/2exp

{− γ

2(x− δ)

}, x ∈ (δ,∞).

A Lévy-eloszlás a Cauchy-eloszlással szemben ferde és még vastagabb szél¶. Várható ér-téke nem létezik és így szórása sem. Standard Lévy-eloszlást kapunk 1/X2 esetén, ahol Xstandard normális eloszlású.

8

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

NormálisCauchyLévy

2.1. ábra. Az ismert standard stabilis eloszlások s¶r¶ségfüggvényei

2.2. Paraméterezés

Egy általános stabilis eloszlást négy paraméterrel fejezünk ki: index α ∈ (0, 2], ferdeségβ ∈ [−1, 1], skála γ > 0 és hely δ ∈ R paraméterrel. A stabilis eloszlások paraméteresjelölése a következ®: S(α, β, γ, δ), ahol α, β, γ paraméterek az eloszlás alakját határozzákmeg, δ pedig az eltolásért felel. A standardizált esetben, azaz, ha γ = 1 és δ = 0, azS(α, β) jelölést használjuk. Több fajta paraméterezés létezik, más-más sajátosságokkal,de mi csak egyet fogunk használni, amivel az R programcsomagban számolunk majd. Aparaméterezést melyet használunk, S0 paraméterezésnek hívják.

2.7. De�níció. Egy X ∼ S(α, β, γ, δ), ha

Xd=

{γ(Z − β tg πα

2) + δ α 6= 1

γZ + δ α = 1,(2.4)

ahol Z karakterisztikus függvényét (2.3) adja meg. Az X karakterisztikus függvénye

E[exp{itX}] =

{exp

{−γα|t|α(1 + iβ tg πα

2· sgn t)(|γt|1−α − 1) + iδt

}α 6= 1

exp{− γ|t|

(1 + iβ 2

πsgn t · log (γ|t|)

)+ iδt

}α = 1.

(2.5)

Normális eloszlást kapunk, ha α = 2 és β = 0, továbbá a szórás paramétere módosul:S(2, 0, γ, δ) = N(δ, 2γ2). Cauchy-eloszlást kapunk, ha α = 1 és β = 0, Lévy-eloszlást, haα = 0.5 és β = 1. Ha β = 0, mindig szimmetrikus az eloszlás. Ha α < 1 és β = ±1,akkor félegyenesre koncentrálódik a s¶r¶ségfüggvény, egyébként az egész számegyenesre.

9

E paraméterezés esetén az eloszlás ugyanúgy standardizálható, mint a normális eloszlás:(X − δ)/γ = S(α, β).

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

S(α,0,1,0)

x

f(x)

α = 0.5α = 0.75α = 1α = 1.5α = 2

2.2. ábra. Az α hatása a s¶r¶ségfüggvényre

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

S(1,β,1,0)

x

f(x)

β = − 1β = − 0.5β = 0β = 0.5β = 1

2.3. ábra. A β hatása a s¶r¶ségfüggvényre

10

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

S(1,0,γ,0)

x

f(x)

γ = 0.3γ = 0.5γ = 1γ = 1.5γ = 2

2.4. ábra. A γ hatása a s¶r¶ségfüggvényre

2.3. Elméleti tulajdonságok

Annak ellenére, hogy nincs zárt alakban megadható s¶r¶ségfüggvényük a stabilis eloszlá-soknak, hasznos tulajdonságokkal rendelkeznek.

2.8. Tétel. Minden stabilis eloszlás s¶r¶ségfüggvénye végtelenszer di�erenciálható minda négy paraméterben.

Vezessük be az f(x;α, β, γ, δ) jelölést a stabilis eloszlások s¶r¶ségfüggvényeire, az eloszlás-függvényeikre pedig az F (x;α, β, γ, δ) jelölést. Ezek standardizált esetre rendre legyenekf(x;α, β) és F (x;α, β). Ahogy korábban már említettük, egy stabilis eloszlás s¶r¶ségfügg-vénye a ferdeségt®l félegyenesre koncentrálódhat. Ez pontosan kifejezhet®.

2.9. Lemma. Egy stabilis eloszlás tartója, azaz, ahol f pozitív:

supp f(x;α, β, γ, δ) =

[δ − γ tg πα

2,∞) α < 1 és β = 1

(−∞, δ + γ tg πα2

] α < 1 és β = −1

(−∞,∞) egyébként.

Ahogy α→ 1 balról, úgy tg πα2→∞, illetve α→ 1 jobbról, úgy tg πα

2→ −∞. Az α = 1

pontban megszakad a függvény, de ahogy tart α → 1 balról, úgy f tartója is b®vül avégtelenig.

2.10. Tétel. (Tükrözési tulajdonság) Bármely α, β és Z ∼ S(α, β) esetén teljesül:

Z(α,−β)d= −Z(α, β).

11

Ha X ∼ S(α, β, γ, δ), akkor −X ∼ S(α,−β, γ,−δ), így

f(x;α, β, γ, δ) = f(−x;α,−β, γ,−δ) és

F (x;α, β, γ, δ) = 1− F (−x;α,−β, γ,−δ).

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

α = 0.5 α = 1.3 α = 1.8

2.5. ábra. Szimmetrikus standard stabilis eloszlások s¶r¶ség- és eloszlásfüggvénye

Ahogyan az α csökken, úgy egyre csúcsosabbá, a csúcs szomszédos környezetében lapo-sabbá válik a görbe és vastagabb szél¶ lesz. Az α = 2 esetben, azaz amikor normáliseloszlást kapunk, akkor (2.3) függvény valós, melyet a β nem befolyásol, így mindig szim-metrikus az eloszlás. A 2.6 ábrán látható, hogy αminél közelebb van 2-h®z, úgy β egyre ke-vésbé fogja befolyásolni a s¶r¶ségfüggvényt, szimmetrikusabbá válik. Minden esetben uni-modálisak, de nem lehet zárt alakban megadni a módusz helyét. Jelölem(α, β) a móduszt,standardizált stabilis esetben. Ekkor a tükrözési tulajdonság miattm(α,−β) = −m(α, β).Szimmetrikus esetben a módusz helye δ.

12

−4 −2 0 2 4

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

β = 0 β = 0.5 β = 1

2.6. ábra. Az S(1.9, β)-re β hatása

A zárt forma hiánya stabilis s¶r¶ség- és eloszlásfüggvényeknek sok számolási nehézsé-get jelent. Egyik módja a s¶r¶ségfüggvény kiszámolásának, hogy a karakterisztikus függ-vényt vissza transzformáljuk. A másik módszer, hogy numerikusan integráljuk az elosz-lásokat meghatározó implicit alakban megadott függvényeket, melyekr®l alább lesz szó,ahogy [10]-ben látható. Legyen ζ = −β tg πα

2és legyen X ∼ S(α, β). Ekkor

• ha α 6= 1 és x > ζ:

f(x;α, β) =α(x− ζ)

1α−1

π|α− 1|

∫ π2

−ξV (y;α, β) exp

{−(x− ζ)

αα−1V (y;α, β)

}dy

F (x;α, β) = c1(α, β) +sgn(1− α)

π

∫ π2

−ξexp

{−(x− ζ)

αα−1V (θ;α, β)

}dθ

• ha α 6= 1 és x = ζ:

f(x;α, β) =Γ(1 + 1

α) cos(ξ)

π(1 + ζ2)12α

F (x;α, β) =1

π

(π2− ξ)

13

• ha α 6= 1 és x < ζ a tükrözési tulajdonság miatt:

f(x;α, β) = f(−x;α,−β)

F (x;α, β) = 1− F (x;α, β)

• ha α = 1:

f(x; 1, β) =

{1

2|β|eπx2β∫ −π

2π2

V (y; 1, β) exp{−e−

πx2β V (y; 1, β)

}dy β 6= 0

1π(1+x2)

β = 0

F (x; 1, β) =

1π

∫ −π2

π2

exp{−e

πx2β V (θ; 1, β)

}dθ β > 0

12

+ 1π

arctg x β = 0

1− F (x; 1,−β) β < 0

ahol

ξ =

{1α

arctg(−ζ) α 6= 1π2

α = 1

V (y;α, β) =

cos(αξ)

1α−1

(cos y

sinα(ξ + y)

) αα−1 cos(αξ + (α− 1)y)

cos yα 6= 1

π2

( 2π

+ βy

cos y

)exp

{1β(π2

+ βy) tg y}

α = 1, β 6= 0

és

c1(α, β) =

{1π(π2− ξ), α < 1

1, α > 1.

Tegyük fel, hogy α < 2, vagyis nem normális eloszlást kapunk. Ekkor az eloszlás vastagszél¶ lesz, mely azt jelenti, hogy az eloszlás szélei nem exponenciális rendben csengenekle.

2.11. Tétel. (Szélek közelítése) Legyen X ∼ S(α, β, γ, δ), 0 < α < 2,−1 < β ≤ 1.Ekkor ahogy x→∞,

P (X > x) ∼ γαcα(1 + β)x−α

f(x;α, β, γ, δ) ∼ αγαcα(1 + β)x−(α+1),

ahol cα =sin πα

2Γ(α)

πés a g(x) ∼ h(x) jelölés a limx→∞

g(x)

h(x)= 1 összefüggést jelenti. A

tükrözési tulajdonság alapján −1 ≤ β < 1 esetre a következ®:

P (X < −x) ∼ γαcα(1− β)x−α

f(−x;α, β, γ, δ) ∼ αγαcα(1− β)x−(α+1).

14

Az ilyen szélek hasonlóak a Pareto eloszlás széléhez. A vastag szél egyik következménye,hogy nem biztos, hogy létezik minden momentuma X-nek. Az els® két momentum, avárható érték és a szórás, melyekkel a normális eloszlás kifejezhet®, bizonyos esetekbenvégtelen nagyok lehetnek. Ezekre vonatkozik a következ® két tétel.

2.12. Tétel. Legyen X ∼ S(α, β, γ, δ), ahol α < 2. Ekkor X r-ik momentuma pontosanakkor véges, ha r < α.

A tétel következménye, hogy a stabilis eloszlásoknak α < 2 esetén nincsen véges szórása,vagyis második momentuma, várható értéke viszont létezhet.

2.13. Tétel. Tegyük fel, hogy 1 < α ≤ 2. Ekkor X ∼ S(α, β, γ, δ) várható értéke

EX = δ − βγ tgπα

2(2.6)

Ha β = 0, az eloszlás szimmetrikus és az el®z® tétel miatt δ lesz a várható értéke. Aho-gyan α → 1 jobbról, úgy tg πα

2miatt a várható érték egyre n®, α = 1 esetén már nincs

értelmezve.

2.14. Tétel. Legyenek X ∼ S(α, β, γ, δ), X1 ∼ S(α, β1, γ1, δ1) és X2 ∼ S(α, β2, γ2, δ2).Ekkor a következ®k teljesülnek:

1. Minden a, b ∈ R esetén

aX + b ∼ S(α, sgn(a)β, |a|γ, aδ + b),

2. Ha X1 és X2 függetlenek, akkor X1 +X2 ∼ S(α, β, γ, δ), ahol

β =β1γ

α1 + β2γ

α2

γα1 + γα2, γα = γα1 + γα2 ,

δ =

{δ1 + δ2 + (tg πα

2)(βγ − β1γ1 − β2γ2) α 6= 1

δ1 + δ2 + 2π(βγ log γ − β1γ1 log γ1 − β2γ2 log γ2) α = 1.

Az 1. szerint, γ és δ paraméterek hasonlóképpen m¶ködnek, mint a normális eloszlás pa-raméterei, valóban úgy standardizálhatunk velük, ahogy korábban említettük. A 2.-banlátható, hogy a szórásnégyzet additivitás tulajdonságát γα veszi át. A 2. tétel általánosí-tása a következ®.

2.15. Tétel. Legyen Xj ∼ S(α, βj, γj, δj), j = 1, 2 . . . n függetlenek és tetsz®leges wj-kesetén az összeg

w1X1 + w2X2 + . . .+ wnXn ∼ S(α, β, γ, δ),

15

ahol

γα =n∑j=1

|wjγj|α,

β =

∑nj=1 βj sgnwj · |wjγj|α

γα,

δ =

{∑nj=1wjδj + tg πα

2(βγ −

∑nj=1 βjwjγj) α 6= 1,∑n

j=1wjδj + 2π(βγ log γ −

∑nj=1 βjwjγj log|wjγj|) α = 1.

2.16. Tétel. Ha Xj-k függetlenek és azonos eloszlásúak, ahol Xj ∼ S(α, β, γ, δ), akkor

X1 +X2 + . . .+Xn ∼ S(α, β, n1/αγ, δn)

ahol

δn =

{nδ + γβ tg πα

2(n1/α − n) α 6= 1,

nδ + γβ 2πn log n α = 1.

A 2.16 a 2.2 tétel átfogalmazása. A tételb®l következik, hogy 2.2 tételben a cn sorozatcsakis n1/α lehet. Szigorúan stabilis eloszlást a következ®képpen kapunk.

2.17. Tétel. Legyen X ∼ S(α, β, γ, δ), szigorúan stabilis akkor és csak akkor, ha

1. δ − βγ tgπα

2= 0, amikor α 6= 1,

2. β = 0, amikor α = 1.

A tétel következménye, hogy α = 1 esetén csak a szimmetrikus stabilis eloszlások szigorúanstabilisak. Ekkor δ tetsz®legesen választható. Ha α 6= 1, akkor tetsz®leges β mellett δ-tólfügg®en szigorúan stabilis kapható.

A centrális határeloszlás tétele a stabilis eloszlásokra nem vonatkozik, ha α < 2, mertnem véges a szórásuk. Ekkor a CHT egy általánosabb formája igaz.

2.18. Tétel. (Általánosított centrális határeloszlás) Egy Z stabilis, ahol 0 < α ≤ 2akkor és csak akkor, ha létezik X1, X2, . . . , Xn független, azonos eloszlású valószín¶ségiváltozók és valós an,bn normáló sorozatok, hogy

X1 +X2 + . . .+Xn

bn− an → Z.

A tételb®l következik, hogy stabilis eloszlásoknak nem üres a vonzási tartománya.

16

2.4. Szimuláció

Speciális stabilis eloszlásokat lehetséges szimulálni egyenletes eloszlás megfelel® transz-formációjával. Legyenek U,U1, U2 független, egyenletes, Uni(0, 1) eloszlású változók. Akövetkez®kben bemutatjuk a szimulációkat az ismert stabilis eloszlásokra.

2.19. Tétel. (Box-Muller algoritmus) Legyenek X1, X2 valószín¶ségi változók. Ekkor,ha

X1 = µ+ σ√−2 logU1 cos(2πU2)

X2 = µ+ σ√−2 logU1 cos(2πU2),

akkor X1, X2 független N(µ, σ) eloszlású valószín¶ségi változók.

Bizonyítás. Az egyszer¶ség kedvéért legyenek X1 és X2 független standard normáliseloszlású változók. Ez alapján a fenti egyenletrendszer átrendezve

u1 = exp

{1

2(x21 + x22)

}u2 =

1

2πtg−1

(x2x1

).

Számoljuk ki u Jacobi-mátrixának determinánsát:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂u1∂x1

∂u1∂x2

∂u2∂x1

∂u2∂x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣−x1e−

12(y21+y

22) −x2e−

12(y21+y

22)

1

2π

−x2/x211 + (x2/x1)2

1

2π

1/x11 + (x2/x1)2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 1

2π

e12(x21+x

22)

1 + (x2/x1)2

(1 +

(x2x1

)2)

Legyen az együttes s¶r¶ségfüggvénye x1, x2-nek g(x1, x2). Mivel u1 és u2 egyenletes elosz-lásúak, ezért felírható

g(x1, x2) =

∣∣∣∣∂(u1, u2)

∂(x1, x2)

∣∣∣∣ =1√2πe−

12x21 · 1√

2πe−

12x22

alakban [5], mely egy független komponens¶ kétdimenziós normális eloszlás s¶r¶ségfügg-vénye. �

2.20. Állítás. Legyen X valószín¶ségi változó. Ha

X = γ tg (π(U − 0.5)) + δ,

akkor X ∼ Cauchy(γ, δ).

Bizonyítás. A standard Cauchy-eloszlás eloszlásfüggvénye

F (x) =1

πarctg(x) +

1

2,

melyet x-re rendezve visszakapjuk az állítást. �

17

2.21. Állítás. Legyen X valószín¶ségi változó, Z ∼ N(0, 1). Ha

X = γ1

Z2+ δ,

akkor X ∼ Lévy(γ, δ).

Általános stabilis eloszlásokat egyenletes és exponenciális eloszlások segítségével lehet szi-mulálni.

2.22. Tétel. (Chambers szimuláció) Legyen W exponenciális eloszlású λ = 1 para-méterrel, U ∼ Uni(−π

2, π2) eloszlású, 0 < α ≤ 2. Ekkor

Z =

sinαU

(cosU)1/α

(cos((α− 1)U)

W

)(1−α)/α

α 6= 1,

tgU α = 1,

Z ∼ S(α, 0), azaz szimmetrikus standard stabilis eloszlású. Nem szimmetrikus esetben,ahol −1 ≤ β ≤ 1, legyen c = arctg(β tg(πα

2))/α, ahol α 6= 1. Ekkor

Z =

sinα(c+ U)

(cosαc cosU)1/α

(cos(αc+ (α− 1)U)

W

)(1−α)/α

α 6= 1

2π

((π2

+ βU) tgU − β logπ2W cosUπ2

+ βU

)α = 1

Z ∼

{S(α, β, 1, βγ tg πα

2) α 6= 1

S(α, β, 1, 0) α = 1

eloszlású lesz. Ha α = 2, akkor viszakapjuk a Box-Muller algoritmust.

18

3. fejezet

Paraméterbecslés és illeszkedés

Többféle módszer létezik a paraméterek becslésére [3][8][11]. A legegyszer¶bb mód az αbecslésére az, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvény jobb szélét egy log-log skálán ábrá-zoljuk. Egy ilyen ábrán az eloszlás széle egyenessé válik, mert a szélek hatványrendbencsökkenek (2.11 tétel). Ennek az egyenesnek meredeksége fogja adni α becslését, ahol ameredekség −α-val egyenl®. A probléma ezzel a módszerrel az, hogy nem lehet megmon-dani pontosan mikortól lesz ilyen az eloszlás széle és nagyon érzékeny a minta nagyságárais.

−8 −6 −4 −2 0 2 4

−8

−6

−4

−2

0

n=10^4 mintanagyság

log(x)

log(

1−F

n(x)

)

m=−2.6339

−10 −5 0 5

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

n=10^6 mintanagyság

log(x)

log(

1−F

n(x)

)

m=−1.876

3.1. ábra. Független S(1.8, 0) mintákra α becslése

A függ®leges folytonos vonal jelöli, hogy honnan alkalmaztunk regressziót. A szélreillesztett regressziós egyenest a szagatott vonal jelöli, aminek a meredekségét vizsgáljuk.Ahogy látható, kisebb mintára a módszer er®sen túlbecsüli a paramétert, α = 2.6339lesz a becsült érték, nagyobb mintára már pontosabb, α = 1.876-ot kapunk. Ez nem

19

elég hatékony, de egy kézenfekv® módszer α becslésére. Ennél hatékonyabb módszerekléteznek.

3.1. Kvantilis módszer

Tegyük fel, hogy X1, X2, . . . , Xn független, azonos S(α, β, γ, δ) eloszlású minta, ahol azα ∈ [0.5, 2] és β ∈ [−1, 1], melynek paramétereit becsülni szeretnénk. Legyen xp, a p-kvantilise a feltett eloszlásnak, xp pedig a mintáé. Ekkor xp konzisztens becslése leszxp-nek. Legyen

να =x0.95 − x0.05x0.75 − x0.25

,

mely független γ-tól és δ-tól és szigorúan csökken® függvény α függvényében. Ennek meg-felel®en

να =x0.95 − x0.05x0.75 − x0.25

konzisztens becslése lesz να-nak, ahol να a tapasztalati érték. Legyen

νβ =x0.95 + x0.05 − 2x0.5

x0.75 − x0.25és νβ tapasztalati érték az el®z®ek szerint νβ becslése, mely szintén független γ-tól és δ-tól,és szigorúan monoton növ® β-ban. A να és νβ függvények α és β függvényei,

να = Φ1(α, β)

νβ = Φ2(α, β),

melyeket invertálva

α = ψ1(να, νβ)

β = ψ2(να, νβ)

függvényeket kapjuk, így α és β paraméterek να és νβ függvényei lesznek. A Φ és ψ függvé-nyek zárt alakban nem adhatóak meg. Bizonyos pontokban kiszámoljuk az értékeiket, ésa köztes értékeket interpolációval kaphatjuk meg (6.2 és 6.3 táblázatok a Φ függvények, a6.4 és 6.5 táblázatok a ψ függvények értékeit tartalmazzák). Mivel Φ1(α, β) = Φ1(α,−β),−Φ2(α, β) = Φ2(α,−β), ψ1(να,−νβ) = ψ1(να, νβ) és ψ2(να,−νβ) = −ψ2(να, νβ) így ke-vesebb számolásra van szükség. Az α és β paraméterek az el®z®ek alapján konzisztensenbecsülhet®ek az

α = ψ1(να, νβ)

β = ψ2(να, νβ)

statisztikákkal. A γ és δ paraméterekre is adható becslés, ahogy ezt a következ® lemmamutatja.

20

3.1. Lemma. Legyen X ∼ S(α, β, γ, δ) és Z ∼ S(α, β) és legyen xp és zp rendre X és Zp-kvantilise. Ekkor bármely 0 < p1, p2 < 1-re, ahol p1 6= p2 teljesül, hogy

γ =xp2 − xp1zp2 − zp1

és δ = xp1 − γzp1 . (3.1)

Bizonyítás. Az X eloszlása felírható γZ + δ = X-ként. Ekkor bármely 0 < p < 1-re

zp =xp − δγ

,

melyb®l következik 3.1. �Ezek alapján a becsléseink γ-ra és δ-ra

γ =x0.75 − x0.25z0.75 − z0.25

és

δ = x0.5 − γz0.5,

melyek szintén konzisztensek.

3.2. Maximum likelihood becslés

Legyen a paraméter vektorunk θ = (α, β, γ, δ) és a s¶r¶ségfüggvénye a stabilis eloszlásunk-nak f(x;θ). A paraméterterünk a korábbiak szerint Θ = (0, 2]×[−1, 1]×(0,∞)×(−∞,∞).

3.2. De�níció. (Maximum likelihood becslés) Legyen X1, X2, . . . , Xn független ésazonos stabilis eloszlású mintánk, ismeretlen θ0 paraméterekkel. A minta likelihood függ-vénye

L(X;θ) =n∏i=1

f(Xi;θ).

Ennek a függvénynek a logaritmusát log-likelihood függvénynek nevezzük:

l(X;θ) =n∑i=1

log f(Xi;θ).

A likelihood függvények maximumhelye a θ0 maximum likelihood becslését adja. RövidítveML.

A maximum-likelihood becslés nehézsége stabilis eloszlásokra az, hogy nem adhatóak megzárt alakban a s¶r¶ségfüggvények. Ennek ellenére numerikusan megadhatóak közelítések.Amikor θ0 a paramétertér belsejében van, akkor a ML becslés szokásos tulajdonságaiérvényesek. A becslés konzisztens és aszimptotikusan normális θ0 várható értékkel és a

21

kovariancia mátrixát n−1B adja meg, ahol B = (bij), a 4 × 4-es Fisher-féle információsmátrix inverze. Ha θ0 a paramétertér szélén van, akkor a módszer sokkal hatékonyabb. AFisher-mátrix, jelölése I, a következ®:

Iij =

∫ ∞−∞

∂f

∂θi

∂f

∂θj

1

fdx.

A kon�dencia intervallumai a négy paraméternek

θi ± zα/2σθi√n

lesz, ahol σθ1 , . . . , σθ4 a B kovariancia mátrix diagonális elemeinek a négyzetgyöke. Akorrelációs együtthatókat pij = bij/

√biibjj adja meg. Amikor β < 0, akkor a szórások

megegyeznek |β| esetével, és a korrelációs együtthatók (−1)i+jpij-ra módosulnak.

3.3. Anderson-Darling próba

Az Anderson-Darling próba tapasztalati eloszlásfüggvényen alapuló, illeszkedésvizsgálatrahasznált próba. Azt feltételezzük, hogy egy n elem¶ független mintának az eloszlása meg-egyezik az általunk feltett eloszlással (egymintás eset). Ez a nullhipotézis. Azért ezt apróbát használjuk, mert ez a szélekre jobban koncentrál, a széls®séges értékeket jobbansúlyozza. Ez fontos, mert azt szeretnénk, hogy a széls®ségesebb események bekövetkezésétminél pontosabban tudjuk modellezni, mint pl. részvény áraknál a nagyobb ingadozásokat.

3.3. De�níció. Legyen Fn a tapasztalati eloszlásfüggvény, F pedig a feltételezett eloszláseloszlásfüggvénye. De�niáljuk Fn és F négyzetes távolságát a következ® módon:

A2 = n

∫ ∞−∞

(Fn(x)− F (x))2

F (x)(1− F (x))dF (x)

A próbastatisztikát következ®képpen számoljuk:

A2 = −n− S, ahol S =n∑i=1

2i− 1

n(log zi + log(1− zn+1−i)) ,

ahol a rendezett minta i-edik eleme Xi, így zi = F (Xi).

Azt fogjuk feltételezni a kés®bbiekben, hogy a mintáink stabilis eloszlásúak, ismeretlenparaméterekkel. A paramétereket el®ször becsüljük, majd azt vizsgáljuk, hogy a mintastabilis eloszlásból való-e, a korábban becsült paraméterekkel. Ahhoz, hogy elfogadhatólegyen a nullhipotézis, a mintára számolt próbastatisztika értékének kisebbnek kell len-nie, mint az adott szigni�kancia szinthez tartozó kritikus érték. Mivel alapvet®en nemismerjük ezeket, csak bizonyos eloszlásokra, ezért azokat is meg kell határoznunk. Ezt úgytesszük, hogy generálunk sok, például 1000 darab S(α, β, γ, δ) eloszlású véletlen, az ere-deti mintával megegyez® mintanagyságú mintát, és mindre kiszámoljuk a próbastatisztikaértékét. Így a próbastasztika eloszlásáról többet tudunk. Az α (ez nem ugyanaz az α, mintaz eloszlás paramétere) szigni�kancia szinthez tartozó kritikus érték meg fog egyezni azA2 eloszlásának (1− α)-kvantilisével, mivel egyoldalú próbáról van szó.

22

4. fejezet

Alkalmazások

Ahogyan már korábban említettük, a mai pénzügyi eljárások jelent®s része azon a felté-telezésen alapszik, hogy véletlen változók normális eloszlást követnek. Ez gyakran nemreális, mivel ezek eloszlása lehet vastag szél¶, illetve ferde is. Ilyen esetekben a normá-lis eloszlás nem használható modellezésre. Jellemz®en, részvények hozamát vastag szél¶eloszlásokkal jobban lehet közelíteni, mert könnyen el®fordul széls®ségesebb változékony-ság. Ez az egyik ok, hogy egy b®vebb eloszláscsaládot, a stabilis eloszlásokat használjunk[12][13][16]. A másik oka az általánosított centrális határeloszlás tétele, miszerint a stabiliseloszlások az egyetlen lehetséges határeloszlása megfelel®en normált és centrált, függet-len, azonos eloszlású változók összegének és a pénzügyi életben sok mennyiség tekinthet®összegnek (pl. a napi hozam az óránkénti hozamok összegének).

Különböz® napi részvény adatsorokat fogunk elemezni stabilis eloszlások segítségével.A New York-i t®zsdér®l a Johnson & Johnson (JNJ), JPMorgan Chase (JPM), MorganStanley (MS) és Bank of America (BAC) papírokat , a Nasdaq-ról pedig az Apple (APPL)részvényeket fogjuk elemezni. Ezeken kívül a Dow Jones t®zsde indexet (DJIA) is, melya 30 legnagyobb Amerikai Egyesült Államokbeli vállalat együttesének t®zsdei állapotáttükrözi. Az egyes részvényeket a cégek t®zsdei bevezetését®l 2015. november 13-ig, a DowJones t®zsde indexet pedig 1970. január 2-t®l 2015. október 30-ig fogjuk vizsgálni. Azadataink igazítva vannak minden osztalék �zetéshez és részvényfelosztáshoz a periódus-ban. Meg kell jegyeznünk, hogy ez az id®szak magába foglalja az 1987-es Fekete Hétf®t,amikor is 22.61%-ot esett 1 nap alatt a DJIA, a 2007-2009-es gazdasági világválságot éstöbb kisebb krachot.

23

1970 1980 1990 2000 2010

050

100

150

A vizsgálandó részvények idősorai

Idő

Zár

ó ér

ték

(dol

lárb

an)

AppleJohnson & JohnsonJPMorgan ChaseMorgan StanleyBank of America

1970 1980 1990 2000 2010

050

0010

000

1500

0

Dow Jones index idősora

Idő

Ért

ék (

dollá

rban

)

4.1. ábra. A vizsgálandó részvények és a DJIA id®sorai

Az adatokon transzformációt hajtunk végre. A napi loghozamot fogjuk vizsgálni akés®bbiekben, melyet a következ®képpen számoljuk:

r(t) = log

(S(t+ 1)

S(t)

),

ahol S(t) a t-ik id®pontban lév® értéke az adott részvénynek. A transzformáció után egyközel 0 körül ingadozó adatsort kapunk.

24

1980 1990 2000 2010

−0.

6−

0.4

−0.

20.

00.

2

Apple loghozam

t

r(t)

1970 1980 1990 2000 2010

−0.

20−

0.10

0.00

0.05

0.10

Johnson & Johnson loghozam

tr(

t)

1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

−0.

3−

0.2

−0.

10.

00.

10.

2

JPMorgan Chase loghozam

t

r(t)

1995 2000 2005 2010 2015

−0.

20.

00.

20.

40.

6

Morgan Stanley loghozam

t

r(t)

1990 1995 2000 2005 2010 2015

−0.

3−

0.2

−0.

10.

00.

10.

20.

3

Bank of America loghozam

t

r(t)

1970 1980 1990 2000 2010

−0.

2−

0.1

0.0

0.1

Dow Jones index loghozam

t

r(t)

4.2. ábra. Az részvények loghozamai

Az új, loghozamokat tartalmazó adatokat szeretnénk stabilis eloszlásokkal modellezni.A transzformáció után a Morgan Stanley adatsora 5725, a Dow Jones adatsora 11601elemb®l áll. Az összes többi hossza e két szám köze esik. A hozam adatokat felszorozzuk100-al, hogy a napi százalékos logaritmikus változás paramétereit becsüljük meg. Mind akett®, már korábban bemutatott módszerrel becslünk.

α β γ δKvantilis ML Kvantilis ML Kvantilis ML Kvantilis ML

Apple 1.553 1.699 0.081 0.055 1.544 1.649 -0.030 0.043Johnson & Johnson 1.542 1.717 0.087 0.107 0.788 0.853 -0.017 0.015JPMorgan Chase 1.464 1.573 0.010 0.010 1.103 1.156 -0.003 0.022Morgan Stanley 1.485 1.574 0.031 0.021 1.346 1.403 -0.011 0.030Bank of America 1.448 1.503 0.020 -0.006 1.051 1.088 -0.006 0.033Dow Jones 1.562 1.685 -0.035 -0.053 0.544 0.574 0.040 0.041

4.1. táblázat. A loghozamok paraméter becslései kvantilis és ML módszerrel

Az fBasics csomag stableFit kvantilis és ML módszerét alkalmaztuk. Alapvet®enaz ML a pontosabb, de ezzel együtt sokkal számolás igényesebb is. Míg a kvantilis mód-szer lefutásához 0.03 másodpercre volt szükség a Morgan Stanley loghozamokra, addig amaximum likelihood 2944 másodperc alatt futott le.

25

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

Apple loghozamok

x

F(x

)

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Bank of America loghozamok

x

F(x

)

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

JPMorgan Chase loghozamok

x

F(x

)

−10 −5 0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

Johnson & Johnson loghozamok

x

F(x

)

−10 −5 0 5 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Morgan Stanley loghozamok

x

F(x

)

−10 −5 0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Dow Jones loghozamok

x

F(x

)

4.3. ábra. A loghozamok nem-paraméteres s¶r¶ségbecslései és azok stabilis illesztései. Afolytonos vonal a nemparaméteres módszerrel becsült s¶r¶ség, a szaggatott a kvantilis, apont-vessz®s a ML módszerrel becsült paraméter¶ stabilis eloszlást jelöli.

A ML módszer kevésbé vastag szél¶ eloszlásokat produkált, minden esetben nagyobbα-t becsült, mint a kvantilis módszer. Hogy a becsült eloszlások tekinthet®ek-e a valódieloszlásoknak, azt majd az Anderson-Darling teszt dönti el. Habár létezik határeloszlásaa statisztikának [7] szerint, itt mi nem azzal számolunk, mert az eloszlások paramétereitbecsültük.

26

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Az Anderson−Darling statisztika sűrűségbecslései

x

f(x)

HatáreloszlásS(1.717, 0.107)S(1.685, −0.053)S(1.562, −0.035)S(1.503, −0.006)S(1.485, 0.031)

4.4. ábra. A határeloszlás és a paraméteres statisztikák

A kritikus értékeket 5%-os szigni�kancia szint mellett fogjuk vizsgálni. A kapott elosz-lások 0.95-kvantilisei lesznek a kritikus értékek. A próbát elfogadjuk 3.3 pont szerint, azaz,ha a loghozamokra számolt statisztikák p-értéke nagyobb, mint a szigni�kancia szint.

AAPL JNJ JPM MS BAC DJIA

KvantilisKritikus érték 2.412 2.845 2.737 2.637 2.633 2.550A2 4.372 7.197 3.758 1.567 2.612 3.139P-érték 0.0096 ≤ 0.001 0.0031 0.1882 0.0554 0.0390

MLKritikus érték 2.564 2.504 2.584 2.655 2.527 2.547A2 3.7246 7.433 3.621 1.319 1.882 4.496P-érték 0.0146 ≤ 0.001 0.0079 0.2207 0.0880 0.0059

N(0, 1) A2 96.146 86.456 148.113 134.697 247.864 132.943

4.2. táblázat. Az Anderson-Darling statisztika kritikus értékei és eredményei

A kapott eredmények szerint a Morgan Stanley és a Bank of America loghozam modell-jei mind a két becslési módszer szerint elfogadhatóak, az összes többi esetben elutasítjuka stabilis eloszlás illeszkedését. A jobban illeszked® modellt a ML módszer adta mind-kett®nél, mert összességében nagyobb p-értékeket kaptunk. A normalitás teszteléséhez anortest csomag Anderson-Darling próbáját használtuk. Normalitásra a statisztika na-gyon magas értékeket adott, minden loghozam próbájához 10−16 nagyságrend¶ p-értéktartozik, mindegyikre elutasítjuk a próbát. A határeloszlás 5%-os szigni�kancia szintheztartozó kritikus értéke 2.492, emiatt összességében a becsült kritikus értékeink kevésbészigorúak a határeloszláshoz képest.

Látható, hogy a teljes periódusra legtöbb esetben nem alkalmazható stabilis eloszlás.Ennek oka az, hogy sok tényez® befolyásolja a részvényeket, a tényleges eloszlás egy ke-verék eloszlás lesz. Meg fogjuk vizsgálni, hogy kisebb id®blokkokra illeszthet®-e stabilis

27

eloszlás. Egy olyat vizsgálunk, ahol helyes volt a modell a teljes periódusra, illetve egyet,amelyikre nem. Az egyik a Morgan Stanley, amire a legjobb volt az illeszkedés, a másik azApple, ahol elutasítottuk a nullhipotézist. Mindkét részvény teljes periódusát felosztjuk7 éves blokkokra. A Morgan Stanley loghozama 1993. február 23.-tól, az Apple-é pedig1980. december 12.-t®l indul. Az els® blokkok a legels® id®ponttól számítva 7 év hosszúak,majd ezt eltoljuk 1 évvel, így kapjuk a másodikat és így tovább, így a Morgan Stanley-nél16 blokkot kapunk, az Apple-nél pedig 29-et.

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Morgan Stanley loghozam

Empirikus eloszlás

Fel

tett

elos

zlás

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Apple loghozam

Empirikus eloszlás

Fel

tett

elos

zlás

4.5. ábra. A loghozamok és feltett eloszlásaik szórásstabilizált PP plotjai [15] a teljesperiódusra a ML módszerrel kapott paraméterekre. A szórásstabilizált plot érdekes tulaj-donsága, hogy egységes lesz a pontok szórása az y = x egyenest®l. Ez különösen hasznosvastag szél¶ eloszlások esetén, mert ezeknél tipikusan jobban szórnak a kvantilisek.

Ezekben a 7 éves blokkokban kb. 1760 érték van. Minden loghozam blokk eloszlá-sát megbecsültük mind a két módszerrel. Továbbra is, gyorsaságot tekintve a kvantilismódszer sokkal hatékonyabb.

28

5 10 15

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Maximum likelihood

Blokk

Par

amét

erér

ték

Morgan Stanley loghozamblokkok paraméterbecslései

●●

●

●●

●●

●●

●● ●

●

●

●●

●

●

● ● ●● ●

● ●

● ●● ● ● ● ●

●

●

●

●●

●

●

●

● ● ● ●

●

●

●

●

●

● ●● ●

●●

●●

●●

●● ● ●

●

5 10 15

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Kvantilis módszer

Blokk

Par

amét

erér

ték

●● ●

●●

●●

●

●

●● ●

●

●

● ●

●

●

● ● ●

● ●●

●

● ● ●● ● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●● ● ●

●

●

●

●

● ●● ● ●

● ●● ●

●●

●● ●

●

●

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Maximum likelihood

Blokk

Par

amét

erér

ték

Apple loghozamblokkok paraméterbecslései

●

●●

●● ● ●

●● ●

● ● ●●

●● ● ● ●

● ● ● ●● ●

●●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●

● ●●

●●

●

●●

●

●●

●

● ●●

● ●● ●

●

●

●

●

●

●● ●

● ●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●● ● ●

● ●●

● ●

●

● ●●

● ●●

●

●●

●●

●

●● ●

●●

● ●

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Kvantilis módszer

Blokk

Par

amét

erér

ték

●● ●

● ●●

● ●●

● ● ●●

● ●

● ●● ●

●

●●

●● ● ● ●

●

●

●

●●

●

●●

● ● ● ●●

● ●

● ●

●●

●●

●●

●

● ● ●●

● ●

●

●

●

●●

●

●●

● ●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ●

●

● ●

●

●●

●

● ●●

●● ●

●

● ● ● ●α β γ δ

4.6. ábra. A blokkok paraméterbecslései az eddig használt módszerekkel

Az α viselkedését érdemes meg�gyelni: a 2008-as válságot lefed® blokkokat vastagabbszél¶ stabilis eloszlások jellemzik. Ez reális, mert a válságkor hirtelen estek a részvényárak.A negatív ferdeség igazolja is, hogy az árak ingadozása jellemz®en értékcsökkenés volt.Pénzügyi szempontból látható, hogy ez a két paramétere az eloszlásnak a legfontosabb. AzAnderson-Darling próbát minden blokkra elvégezzük, de csak a maximum-likelihood mód-

29

szer által becsült paraméterekre tesztelünk, mert a teljes periódusnál az ML összességébenpontosabb becslést produkált. A módszerünk számításigényessége miatt a blokkokra márnem a becsült statisztika értékeivel vetjük össze az eredményeket, hanem a nem becslésesesetre kapott határeloszlással. Ehhez az ADGofTest csomagot használjuk, amely a [7]-benlátható határeloszlással számol.

Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.A2 0.717 0.802 0.812 0.902 0.747 0.842 0.866 0.572P-érték 0.545 0.479 0.473 0.413 0.521 0.452 0.436 0.675Normalitásra A2 11.052 12.828 11.700 8.167 7.005 10.080 13.079 19.390Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.A2 0.934 0.292 0.279 0.437 0.816 0.969 0.682 0.432P-érték 0.394 0.944 0.953 0.811 0.47 0.374 0.574 0.816Normalitásra A2 16.645 98.693 103.861 101.422 86.885 71.719 66.961 88.271

4.3. táblázat. A Morgan Stanley-re számolt statisztika értékek

Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.A2 1.873 1.405 0.834 0.942 0.769 0.744 0.577 0.523P-érték 0.108 0.201 0.457 0.389 0.504 0.523 0.67 0.723Normalitásra A2 10.096 12.687 15.456 11.144 13.517 13.72 18.453 10.471Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.A2 0.557 0.635 0.428 0.402 0.339 0.538 0.773 0.565P-érték 0.69 0.616 0.82 0.847 0.906 0.708 0.501 0.682Normalitásra A2 11.602 12.109 18.985 20.433 17.5 25.704 22.019 19.828Blokk 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.A2 0.435 0.443 0.74 0.862 0.822 0.465 0.928 1.117P-érték 0.814 0.443 0.527 0.438 0.465 0.783 0.397 0.301Normalitásra A2 20.564 19.36 20.575 24.822 9.303 8.334 9.087 11.233Blokk 25. 26. 27. 28. 29.A2 1.286 0.866 0.674 0.649 0.717P-érték 0.237 0.436 0.581 0.603 0.545Normalitásra A2 11.657 13.445 16.285 21.078 10.976

4.4. táblázat. Az Apple-re számolt statisztika értékek

A blokkokra már egészen más eredményt kaptunk a teljes periódushoz képest. Ittmindkét részvény minden blokkjára elfogadhatóak a stabilis illesztések, mert mindenholmagasabb p-értékeket kaptunk, mint a szigni�kancia szint. Normalitásra megint magasértékeket kaptunk, 10−16 nagyságrend¶ p-értékekkel, így sehol sem jó a normális eloszlásillesztése a blokkokra. A Morgan Stanley-nél a legjobban illeszked® stabilis eloszlást a 11.blokkra, a legrosszabbul illeszked®t a 14. blokkra kaptuk. Az Apple-nél ezek rendre a 13.és az els®.

30

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.00

0.10

0.20

x

f(x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Empirikus eloszlás

Fel

tett

elos

zlás

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.00

0.10

0.20

x

f(x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Empirikus eloszlásF

elte

tt el

oszl

ás

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

0.15

x

f(x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Empirikus eloszlás

Fel

tett

elos

zlás

−15 −10 −5 0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

0.15

x

f(x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Empirikus eloszlás

Fel

tett

elos

zlás

4.7. ábra. Sorban a Morgan Stanley 11. és 14. blokkja, illetve az Apple 13. és 1. blokkja.Az ábrákon a loghozamok nem-paraméteres s¶r¶ségbecslései és a rájuk illesztett stabiliseloszlások, illetve az ezekhez tartozó szórásstabilizált PP plotok láthatóak.

A Morgan Stanley 11. blokkjára illesztett eloszlás látványosan jó becslés, a PP plotonnem látható lényeges eltérés, a 14. blokkra illesztettnél a széleken �gyelhet® meg enyhekilengés. Az Apple blokkjainál az eloszlás csúcsa körül felt¶n® eltérés látszik, ennek okaaz, hogy ebben az adatsorban többször el®fordult, hogy két egymást követ® nap nem voltváltozás a részvény árában. Ugyanez észrevehet® a 4.5 ábrán. Az 1. blokknál ezen felül aPP plot alapján látható a széleken különbség.

31

5. fejezet

Többdimenziós stabilis eloszlások

Sokáig nem lehetett tudni, hogy milyenek a többdimenziós stabilis eloszlások. Az egydi-menziós esetet jól ismerjük, de a többdimenziósok körül még mindig sok a nyitott kérdés.A többdimenziós normális eloszlás jó tulajdonsága, hogy teljesen kifejezhet® a kovarian-cia mátrixával, de itt ez nem reális, ezért másképp kell kezelni. A többdimenziós stabiliseloszlásokat hasonlóan fogjuk de�niálni, mint egydimneziós esetben.

5.1. De�níciók

5.1. De�níció. Egy d dimenziós X vektor stabilis, ha bármely pozitív A-hoz és B-hezlétezik pozitív C és valós D, d dimenziós vektor, hogy

AX1 +BX2 = CX + D,

ahol X1 és X2 azonos eloszlásúak X-el. Az X vektor szigorúan stabilis akkor és csakakkor, ha D = 0.

5.2. Tétel. Egy d dimenziós X vektor stabilis, ha bármely n ≤ 2-hez létezik cn > 0 és dnvektor, hogy

X1 + X2 + . . .+ Xnd= cnX + dn,

ahol X1,X2, . . . ,Xn függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel. Szigorúan stabilisnak ne-vezzük X-et, ha dn = 0 minden n-re.

Többdimenziós esetben ugyanúgy de�niálhatóak a karakterisztikus függvények. Erre újraszükség lesz, mert a kés®bbiekben ezek segítségével fogjuk az eloszlásokat kifejezni.

5.3. De�níció. Legyen X egy d dimenziós vektorváltozó. Ekkor X karakterisztikus függ-vénye, ahol t ∈ Rd

ϕX(t) = E[exp{itTX}].

32

De�niáljuk el®re a

ω (u;α, β) =

{|u|α

(1 + iβ tg πα

2· sgnu · (|u|1−α − 1)

)α 6= 1

|u|(1 + i 2π

sgnu · log|u|) α = 1

karakterizáló függvényt, mely az egydimenziós standard stabilis eloszlás karakterisztikusfüggvényéb®l származik.

5.4. Tétel. Legyen Λ véges mérték Sd-n, ahol Sd ={s ∈ Rd : |s| = 1

}, azaz d dimenziós

egység sugarú gömb felszíne és X ∈ Rd. A Λ mértéket spektrál mértéknek hívjuk. Az Xvektor stabilis, jelölve X ∼ S(α,Λ, δ), ahol 0 < α ≤ 2 és δ ∈ Rd, ha X karakterisztikusfüggvénye

ϕX(t) = exp{−IX(t) + itTδ}, (5.1)

ahol

IX(t) =

∫Sd

ω(tTs;α, 1

)Λ(ds).

Az IX(t) meghatározza X eloszlását.

Másik megközelítés a többdimenziós eloszlás kifejezésére, az egydimenziós vetületeivellehetséges [14]. Ha X stabilis, akkor minden egydimenziós vetülete,

uTX = u1X1 + . . .+ udXd,

minden u ∈ Rd-re, egy egydimenziós stabilis eloszlás, ugyanazon α-val. Jelöljük ezeketuTX ∼ S(α, β(u), γ(u), δ(u)). Az α konstans, β(·), γ(·) és δ(·) függvények együtt megha-tározzák X eloszlását.

5.5. Tétel. Legyen uTX ∼ S(α, β(u), γ(u), δ(u)), Λ spektrál mérték, mint korábban ésδ ∈ Rd. Az X eloszlását meghatározó függvények

γ(u) =

(∫Sd

|uTs|αΛ(ds)

)1/α

β(u) =

∫Sd|uTs|α sgn(uTs)Λ(ds)∫

Sd|uTs|αΛ(ds)

δ(u) =

{uTδ + tg πα

2β(u)γ(u) α 6= 1

uTδ − 2π

∫Sd

uTs · log(uTs)Λ(ds) + 2πβ(u)γ(u) log γ(u) α = 1.

Ezek segítségével IX(t) felírható a következ® alakban:

IX(t) =

{γα(t)(1− iβ(t) tg πα

2) α 6= 1

γ(t)(1− iδ(t)) α = 1.

33

5.2. Speciális esetek

Általánosan stabilis vektoroknak az összefügg®ségi struktúráját a Λ mérték határozzameg. Ezt a mértéket nehéz becsülni, ezért olyan esetekre szorítkozunk, ahol a Λ spektrálmértéknek egyszer¶bb az alakja. Az egyik ilyen eset, amikor a Λ diszkrét.

5.6. De�níció. Ha a Λ spektrál mérték diszkrét, azaz véges sok pontra koncentrálódik,akkor

Λ(·) =n∑i=1

λiδsi(·),

ahol a λi a súlyokat, δsi a pontokat jelöli, ahol a pontok maguk az si vektorok. Ez esetbena karakterisztikus függvénye az eloszlásnak

ϕ∗(t) = exp

{−

n∑i=1

ω(tTsi;α, 1)λi + itTδ

}. (5.2)

Ezt a karakterisztikus függvényt sokkal könnyebb számolni. Legyen p (5.1)-hez, p∗ pedigaz (5.2)-höz tarozó s¶r¶ségfüggvény. A s¶r¶ségfüggvényekre a következ® tétel teljesül.

5.7. Tétel. Minden ε > 0-hoz létezik n = n(d, α, ε,Λ), s1, . . . , sn és γ1, . . . , γn, hogy

supX∈Rd

= |p(X)− p∗(X)| < ε.

Független komponens¶ stabilis vektorra a karakterisztikus függvény még tovább egysze-r¶södik.

5.8. Állítás. Ha X komponensei, Xi ∼ S(α, βi, γi, δi) függetlenek, akkor X karatkeriszti-kus függvénye

ϕX(t) = exp

{−

n∑i=1

ω(ti;α, βi)γαi + itTδ

}.

A másik egyszer¶bb eset az, amikor nincs szükség a Λ mértékre. Ekkor a karakterisztikusfüggvényt egy mátrix határozza meg.

5.9. De�níció. Legyen R ∈ Rd×d egy pozitív de�nit mátrix. Az X elliptikusan stabilis,ha a karakterisztikus függvénye

ϕX(t) = exp{−(tRt)α/2 + itTδ

}.

Ha R = γ20I, ahol I ∈ Rd×d az egységmátrix, akkor az eloszlás izotróp.

Szimmetrikus α-stabilis vektort konstruálható egy egymástól független normális vektor ésegy α/2-stabilis, teljesen jobb oldalra ferdült változó szorzatával [17].

34

5.10. Tétel. Legyen Z ∼ N(0,Σ), normális eloszlású 0 várható értékkel és Σ kovarianciamátrixal és W ∼ S(α

2, 1, (cos πα

4)2/α, 0) független Z-t®l. Ekkor

X = δ +√WZ

stabilis vektor.

Ebben az esetben az eloszlás karakterisztikus függvényét a normális eloszlás kovarianciamátrixa határozza meg.

5.11. Tétel. A d-dimenziós stabilis X-nek 5.10 tételben, δ ∈ Rd hely vektorral a karak-terisztikus függvénye

E[exp{itX}] = exp

{−(

1

2tTΣt

)α/2+ itTδ

},

ahol Σij = cov(Zi,Zj), i, j = 1, . . . , d, azaz kovarianciái Z-nek.

Ugyanez a korábban látott vetületekkel kifejezett karaterisztikus függvénnyel is kifejez-het®.

5.12. Tétel. Legyen X mint eddig δ ∈ Rd hely vektorral és Σ ∈ Rd×d kovariancia mátri-xal. Minden u ∈ Rd-re felírható uTX ∼ S(α, β(u), γ(u), δ(u)), ahol

• β(u) = 0

• γ(u) = 12(uTΣu)1/2

• δ(u) = uTδ.

Mint korábban láttuk az egydimenziós stabilis eloszlásoknál, hogy ha α = 1, akkor Cauchyeloszlást kapunk. Az eloszlás karakterisztikus függvénye így 5.9 szerint kifejezhet®, delétezik zárt alakban megadható s¶r¶ségfüggvénye.

5.13. De�níció. Az X vektort d-dimenziós Cauchy-eloszlásúnak nevezzük, ha a s¶r¶-ségfüggvénye X-nek a következ® alakú:

f(x;R, δ) =Γ(d+1

2)

Γ(12)π

d2 |R| 12 (1 + (x− δ)TR−1(x− δ))

d+12

.

35

x−10 −5 0 5 10

y

−10

−5

0

5

10

f(x,y)

0.02

0.04

0.06

−10 −5 0 5 10−

10−

50

510

x−10 −5 0 5 10

y

−10

−5

0

5

10

f(x,y)0.005

0.010

−10 −5 0 5 10

−10

−5

05

10

5.1. ábra. Izotróp és elliptikus Cauchy eloszlások perspektív és kontúr plotjai

A 5.1 ábrán az izotróp eloszlásnál R = I, azaz egységmátrix, az elliptikus eloszlásnál

R =

(5 11 2

)volt, mindkett® a δ = (0, 0) paraméterrel. Meg kell jegyeznünk, hogy még

R = I esetben sem lesznek függetlenek X komponensei, hiába ezt sejteti az ábra.

36

5.3. Becslés

Többdimenziós stabilis eloszlások paraméter becslése nehéz feladat. A [14] cikkben ta-lálható három becslési módszer Λ-ra, de ezek számolásigényesek és nincsenek is hozzá-juk elérhet® programok. Ehelyett gyakorlatban kopulák segítségével szokás modellezni azösszefügg®séget, melyet könnyebb alkalmazni [1].

5.14. De�níció. (Kopula) Egy d-dimenziós kopula egy olyan C : [0, 1]d → [0, 1] elosz-lásfüggvény, melynek marginálisai standard egyenletes eloszlásúak. Ennek jelölése legyenC(u) = C(u1, . . . , ud). A C(u) kopulára a következ® tulajdonságok teljesülnek:

1. Szigorúan növekv® minden ui komponensében

2. C(1, . . . , 1, ui, 1, . . . , 1) = ui, ui ∈ [0, 1], minden i = 1, . . . , d-re

3. Minden (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn) ∈ [0, 1]d-re, ahol ai ≤ bi

2∑i1=1

. . .2∑

id=1

(−1)i1+...+idC(u1i1 , . . . , udid) ≥ 0,

ahol uj1 = aj, uj2 = bj, minden j = 1, . . . , d-re.

Ha egy függvény teljesíti ezeket a feltételeket, akkor kopula, továbbá k-dimenziós mar-ginálisai egy d dimenziós kopulának, 2 ≤ k < d, szintén kopulák. A következ® tételkimondja, hogy minden többdimenziós eloszlásfüggvény megadható kopulával és, hogyegydimenziós eloszlásfüggvényekkel és kopulák segítségével konstruálható többdimenzióseloszlásfüggvény.

5.15. Tétel. (Sklar-tétele) Legyen F eloszlásfüggvény F1, . . . , Fd marginálisokkal. Ek-kor létezik C : [0, 1]d → [0, 1] kopula, hogy minden x1, . . . , xd ∈ R-re

F (x1, . . . , xd) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)). (5.3)

A (5.3)-ból kifejezhet® maga a kopula is a kvantilis függvényekkel:

C(u1, . . . , ud) = F (F−11 (u1), . . . , F−1d (ud)).

Ha a C kopula di�erenciálható, akkor a s¶r¶ségfüggvénye

c(u1, . . . , ud) =f(F−11 (u1), . . . , F

−1d (ud))

f1(F−11 (u1)) . . . fd(F

−1d (ud))

,

ahol f a közös s¶r¶ségfüggvénye, f1, . . . , fd pedig a marginálisok s¶r¶ségfüggvényei.Többféle kopulacsalád létezik, de mi csak kett®t vizsgálunk meg: az elliptikus Student

t és a Gumbel kopulát. További kopulák pl. a Gauss és a Clayton. Az el®bbit sok bírálatérte a pénzügyi világban a válság idején okozott kára miatt, mert nem lehet vele helyesenmodellezni az extrém áringadozásokat.

37

5.16. De�níció. A d-dimenziós t-kopula alakja

Ctν,R(u) = tν,R(t−1ν (u1), . . . , t

−1ν (ud)),

ahol tν a standard egydimenziós t-eloszlás eloszlásfüggvénye, tν,R az együttes eloszlásfügg-vénye az X ∼ td(ν,0, R) vektornak, ν szabadságfokkal és pozitív de�nit R mátrixal.

A t-kopula explicit alakban nem adható meg. Jó tulajdonsága, hogy sokkal érzékenyebbaz extrémebb viselkedésre. Ha ν = 1 szabadságfokú az eloszlás, akkor Cauchy-eloszlástkapunk, ha pedig ν →∞, akkor normális eloszlást kapunk, úgyanígy a kopuláknál is.

A Gumbel-kopulának az el®z®vel szemben létezik explicit alakja és aszimetrikus for-májú. Ez az Arkhimédeszi kopulák közé tartozik.

5.17. De�níció. A d-dimenziós Gumbel kopula alakja

CGuθ (u) = exp

−(

d∑i=1

− log(ui)θ

)1/θ ,

ahol θ határozza meg az összefügg®séget.

u1

0.0

0.2

0.40.6

0.81.0u2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0

c(u1,u2)

0

5

10

u1

0.0

0.2

0.40.6

0.81.0u2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0

c(u1,u2)

0

10

20

30

40

5.2. ábra. Bal oldalt ρ = 0.3 és ν = 1 paraméter¶ t-kopula, jobb oldalt θ = 4 paraméter¶Gumbel kopula s¶r¶ségfüggvénye

38

5.3.1. Példa részvényekre

A becslést a Morgan Stanley és JPMorgan loghozamok együttesére vizgsáljuk. Ugyanazt ablokkfelosztást alkalmazzuk az együttes adatokra, amit a Morgan Stanley-nél láttunk ko-rábban, 16 blokkot kapva. A JPMorgan loghozamokra minden blokkban elfogadható sta-bilis illesztést kaptunk, ezeket a becsléseket hely hiányában nem mutatjuk meg. Mindkétrészvény loghozamát transzformáltunk, hogy (0, 1)-en értelmezett egyenletes eloszlásúaklegyenek, majd ezekre az adatokra t-kopulát illesztettünk a copula csomag fitCopula

ML becslésével.

Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.ρ 0.518 0.552 0.603 0.655 0.677 0.684 0.676 0.676ν 4.618 4.063 4.354 4.508 4.624 3.345 2.909 2.744Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.ρ 0.714 0.71 0.695 0.705 0.737 0.762 0.765 0.773ν 2.907 1.777 1.662 1.62 1.553 1.801 1.87 1.727

5.1. táblázat. Becsült t-kopula paraméterek a blokkokra

Az eredményekb®l meg�gyelhet®, hogy id®vel egyre inkább nagyobb összefügg®ségjelenik meg az adatok között, egyre kisebb szabadságfokkal. Ez várható volt, hiszen akés®bbi blokkok magukba foglalják a válság éveit. A megnövekedett összefügg®ségb®l azlátszik, hogy ha az egyik részvény ára esett, akkor nagy valószín¶séggel a másik ára is, akisebb szabadsági fokból pedig az, hogy széls®ségesebbé vált a piac.

39

Összefoglalás

Láthattuk, hogy a stabilis eloszlások egy rugalmas eloszláscsalád, mely sok hasznos tu-lajdonsággal rendelkezik. Habár nem adhatóak meg explicit alakban, a megfelel® progra-mokkal hatékonyan tudjuk használni ezeket. A két bemutatott becslés mellet még többhatékony módszer létezik, de ezek közül a leggyorsabb a kvantilis módszer, a legponto-sabb pedig az ML. Ezeken kívül léteznek még Markov-lánc és momentum alapú becslésimódszerek, de az el®bbi nehezebb feladat, az utóbbi pedig csak centrált szimmetrikuseloszlásra alkalmazható.

A stabilis eloszlások a normális eloszlással szemben lényegesen jobbnak bizonyultakrészvény hozamok modellezésére. Ennek oka f®leg a vastag szél¶ség volt, mert a vizsgála-tok során látható volt, hogy ez jellemz® a részvényekre. Másik ok a ferdeség, mely f®leg ablokkokra illesztett eloszlásoknál volt észrevehet®. Az ilyen esetek nem modellezhet®k nor-mális eloszlással. A többdimenziós esetnél látható, hogy bonyolultabb az alkalmazásuk, aspeciális eseteken keresztül és kopulák segítségével lehet a leghatékonyabban megközelíteniezeket.

A szakdolgozatban minden ábra és alkalmazás az R 3.1.2-es verziójával készült. Astabilis eloszlásokhoz a stabledist, a becslésekhez fBasics, a próbákhoz nortest ésADGofTest, a kopulákhoz a copula csomagokat használtuk fel. A részvényadatok, illetvea DJIA adatai a www.finance.yahoo.com és a www.quandl.com-ról származnak.

40

Irodalomjegyzék

[1] Alexander J. McNeil, Rüdiger Frey, Paul Embrechts, Quantitative Risk Management,2005

[2] Arató Miklós, Prokaj Vilmos, Zempléni András, Bevezetés a valószín¶ségszámításbaés alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal, 2013

[3] A. W. Barker, Estimation of Stable Distribution Parameters from a DependentSample, Sydney, 2014

[4] Dr. Zempléni András, Áringadozások el®adásjegyzet

[5] Dr. Frank King, Transforming bivariate density functions

[6] Fazekas István, Valószín¶ségszámítás jegyzet, 2000

[7] George Marsaglia, John C. W. Marsaglia, Evaluating the Anderson-Darling Distri-bution

[8] J. Huston McCulloch, Simple consistent estimators of stable distribution parameters,Marcel Dekker, 1986

[9] J. P. Nolan, Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data, Birkhauser, 2015,Boston, Chapter 1

[10] J. P. Nolan, Numerical calculation of stable densities and distribution functions, 1997,Washington

[11] J. P. Nolan, Maximum likelihood estimation and diagnostics for stable distributions,Washington

[12] J. P. Nolan, Modeling �nancial data with stable distributions, 2005

[13] J. P. Nolan, Fitting Data and Assessing Goodness-of-�t with Stable Distributions,Washington, 1999

[14] J. P. Nolan, An overview of multivariate stable distributions, 1996

[15] J. R. Michael, The stabilized probability plot, 1982

41

[16] Rafaª Weron, Computationally intensive Value at Risk calculations, 2004

[17] Sebastian Kring, Svetlozar T. Rachev, Markus Höchstötter, Frank J. Fabozzi, Est-imation of α-Stable Sub-Gaussian Distributions for Asset Returns

42

Függelék

αβ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.950.5 44.635 43.86 41.782 38.965 35.958 33.195 31.171 29.803 28.905 28.348 28.1360.6 23.612 23.308 22.46 21.227 19.794 18.407 17.326 16.56 16.06 15.804 15.720.7 14.894 14.743 14.313 13.659 12.866 12.079 11.426 10.936 10.612 10.473 10.4340.8 10.479 10.393 10.144 9.757 9.283 8.802 8.379 8.046 7.824 7.741 7.7210.9 7.929 7.875 7.72 7.479 7.183 6.874 6.591 6.359 6.21 6.156 6.1430.1 6.314 6.28 6.18 6.027 5.837 5.635 5.444 5.284 5.187 5.149 5.1411.1 5.223 5.201 5.138 5.04 4.918 4.786 4.658 4.554 4.492 4.465 4.4591.2 4.451 4.437 4.398 4.336 4.26 4.176 4.096 4.033 3.994 3.975 3.9711.3 3.886 3.878 3.855 3.818 3.773 3.724 3.678 3.642 3.619 3.607 3.6051.4 3.466 3.461 3.449 3.429 3.406 3.381 3.358 3.34 3.328 3.321 3.321.5 3.15 3.148 3.143 3.135 3.125 3.115 3.105 3.098 3.093 3.091 3.0911.6 2.914 2.914 2.912 2.91 2.908 2.905 2.903 2.902 2.902 2.902 2.9031.7 2.739 2.739 2.739 2.74 2.74 2.74 2.741 2.742 2.744 2.746 2.7471.8 2.61 2.61 2.61 2.611 2.611 2.612 2.613 2.614 2.616 2.617 2.6181.9 2.513 2.513 2.513 2.513 2.513 2.514 2.514 2.514 2.515 2.515 2.5161.95 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473 2.474 2.474 2.474 2.474 2.474 2.4741.99 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445 2.445

6.2. táblázat. A να = Φ1(α, β) értékei

αβ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0.5 0 0.217 0.419 0.593 0.733 0.838 0.911 0.956 0.979 0.985 0.985

0.6 0 0.184 0.359 0.518 0.655 0.768 0.854 0.915 0.951 0.961 0.962

0.7 0 0.159 0.313 0.457 0.587 0.699 0.792 0.863 0.91 0.924 0.926

0.8 0 0.14 0.276 0.405 0.526 0.634 0.728 0.804 0.856 0.874 0.878

0.9 0 0.123 0.244 0.36 0.471 0.573 0.664 0.74 0.792 0.814 0.82

0.1 0 0.108 0.215 0.32 0.42 0.513 0.599 0.671 0.72 0.747 0.755

1.1 0 0.095 0.19 0.282 0.371 0.456 0.533 0.599 0.645 0.674 0.685

1.2 0 0.083 0.166 0.246 0.325 0.399 0.467 0.524 0.567 0.598 0.611

1.3 0 0.071 0.142 0.212 0.279 0.342 0.4 0.449 0.489 0.521 0.534

1.4 0 0.06 0.119 0.177 0.232 0.285 0.333 0.375 0.412 0.443 0.456

1.5 0 0.048 0.095 0.141 0.186 0.228 0.267 0.303 0.336 0.364 0.377

1.6 0 0.036 0.072 0.107 0.141 0.174 0.205 0.234 0.261 0.286 0.298

1.7 0 0.025 0.05 0.075 0.099 0.123 0.146 0.168 0.189 0.209 0.219

1.8 0 0.015 0.031 0.046 0.062 0.077 0.091 0.106 0.12 0.134 0.141

1.9 0 0.007 0.014 0.022 0.029 0.036 0.043 0.05 0.057 0.064 0.067

1.95 0 0.003 0.007 0.01 0.014 0.017 0.021 0.024 0.028 0.031 0.033

1.99 0 0.001 0.001 0.002 0.003 0.003 0.004 0.005 0.005 0.006 0.006

6.3. táblázat. A νβ = Φ2(α, β) értékei

43

νανβ

0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 12.439 2 2 2 2 2 2 22.5 1.916 1.924 1.924 1.924 1.924 1.924 1.9242.6 1.808 1.813 1.829 1.829 1.829 1.829 1.8292.7 1.729 1.73 1.737 1.745 1.745 1.745 1.7452.8 1.664 1.663 1.663 1.668 1.676 1.676 1.6763 1.563 1.56 1.553 1.548 1.547 1.547 1.5473.2 1.484 1.48 1.471 1.46 1.448 1.438 1.4383.5 1.391 1.386 1.378 1.364 1.337 1.318 1.3184 1.279 1.273 1.266 1.25 1.21 1.184 1.155 1.128 1.121 1.114 1.101 1.067 1.027 0.9736 1.029 1.021 1.014 1.004 0.974 0.935 0.8748 0.896 0.892 0.887 0.883 0.855 0.823 0.76910 0.818 0.812 0.806 0.801 0.78 0.756 0.69115 0.698 0.695 0.692 0.689 0.676 0.656 0.59525 0.593 0.59 0.588 0.586 0.579 0.563 0.513

6.4. táblázat. Az α értéke kvantilis módszerrel

νανβ

0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 12.439 0 2.16 1 1 1 1 12.5 0 1.592 3.39 1 1 1 12.6 0 0.759 1.8 1 1 1 12.7 0 0.482 1.048 1.694 1 1 12.8 0 0.36 0.76 1.232 2.229 1 13 0 0.253 0.518 0.823 1.575 1 13.2 0 0.203 0.41 0.632 1.244 1.906 13.5 0 0.165 0.332 0.499 0.943 1.56 14 0 0.136 0.271 0.404 0.689 1.23 2.1955 0 0.109 0.216 0.323 0.539 0.827 1.9176 0 0.096 0.19 0.284 0.472 0.693 1.7598 0 0.082 0.163 0.243 0.412 0.601 1.59610 0 0.074 0.147 0.22 0.377 0.546 1.48215 0 0.064 0.128 0.191 0.33 0.478 1.36225 0 0.056 0.112 0.167 0.285 0.428 1.274

6.5. táblázat. A β értéke kvantilis módszerrel

44