eÖtvÖs lorÁnd tudomÁnyegyetem...
TRANSCRIPT
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM
TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
A határozott integrál alkalmazásai
Szakdolgozat
Készítette: Témavezeto:Habai Kitti Gémes Margit
Matematika BSc Muszaki gazdasági tanárMatematikai elemzo szakirány Analízis Tanszék
Budapest
2014
Tartalomjegyzék
Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Maple ismerteto 4
2. Közelítés véges összegekkel, függvénygörbe alatti terület 72.1. Közelítoösszegek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. A határozott integrál és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Newton-Leibniz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. A határozott integrál alkalmazásai 133.1. Forgástestek térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1. Korong-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Gyurumódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3. Hengerhéj-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Forgástestek felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Görbék ívhossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Integráltranszformációk különbözo koordináta-rendszerekben 254.1. Polár koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Henger koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Gömbi koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Függelék 31Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
Bevezetés
Szakdolgozatom témájának a határozott integrál alkalmazásait választottam. A határozottintegrált a matematikán és a fizikán kívül még rengeteg szakterületen nagy szeretettelalkalmazzák, és mivel ez a témakör meglehetosen szerteágazó ezért szakdolgozatom céljaannak bizonyos szeleteinek bemutatása.
Az alábbi fejezetekben szemléltetem azt, hogy a határozott integrál, miként nyújthatsegítséget terület, ívhossz, felszín, térfogat és egyéb gyakorlati feladatok kiszámításánál.Több feladatot a Maple matematikai programcsomag - mely többek között alkalmas grafi-kus megjelenítésre és dokumentumok készítésére is - segítségével, ábrákkal egészítettemki, ezáltal egyszerubbé téve azok szemléltetését.
Az elso fejezetben röviden ismertetem a Maple alapjait és néhány fontosabb megje-leníto parancsát.
A második fejezet elso részében különbözo közelítési módszereket ismertetek, ame-lyeket ábrákon is szemléltetek. A második részben a határozott integrállal kapcsolatosfontosabb definíciókat és tételeket gyujtöttem össze, ezeket alkalmazom a továbbiakban.
A harmadik fejezetben a határozott integrál különbözo alkalmazásait mutatom be,többek között különbözo módszereket a forgástestek térfogatának, valamint ezek fel-színének kiszámítására továbbá a görbék ívhosszának kiszámításáról is szót ejtek.
A negyedik fejezetben a határozott integrál alkalmazására mutatok be területi, térfo-gati és ívhossz feladatmegoldásokat polár-, a henger-, és a gömbi koordináta-rendszerben.
3
1. fejezet
Maple ismerteto
Miért választottam a Maple-t?A Maple egy matematikai szoftver csomag, amit széles körben tudunk alkalmazni a mate-matika szakterületén belül. Többek között a Maple hasznos segítség lehet számunkra, haa függvények vizsgálatát és megjelenítését, felületek ábrázolását, különbözo geometriaimodellezéseket, továbbá a differenciál és integrálszámítást, a lineáris algebra témaköreités még sorolhatnánk mi mindent szeretnénk alkalmazni, szemléltetni.
Egyetemi tanulmányaim során szabadon választható tantárgyon belül találkoztam aMaple-lel, amit felhasználóbarátnak és hasznos tanulási segédletnek találtam. Ezt a pro-gramcsomagot szívesen ajánlom középiskolától kezdve az egyetemi tanulmányokon átmindenkinek, hiszen a fentebb felsorolt témakörökön belül rengeteg mindenben kaphatunkszélesebb köru rálátást, ha nem csak beszélünk és tanulunk róla, de a saját szemünkkel islátjuk az adott feladat megoldását. A dolgozatomban a Maple egyenletmegoldó, függvényés felületábrázoló programjait fogom használni.
A dolgozat végén egy kis kitekintést teszek a többes integrálok felé beleértve a térfo-gatszámítást, a polár- , henger- , és gömbi koordináta-rendszerek használatát is.
Rövid Maple ismerteto
A Maple használható szimpla számológépként alap számításokra, a muveleteket " ;"-velzárjuk (több parancsot is bevihetünk egy sorba, ezek eredménye egymás alatt lesz látható) :
> 3+5; 2-4; 5*56; 10^5; 3/5 + 5/9 + 7/12; sqrt(24);
8
−2280
100000313
180
2√6
4
A határozott integrál alkalmazásai
Ha a π -t szeretnénk használni a "Pi" parancsot kell beírnunk. A trigonometrikus függ-vények értékét is visszaadja a Maple, ha nem definiált értéket próbálunk kiszámítani hi-baüzetetet ad vissza:
> sin(5*Pi/3); arcsin(-1); tan(Pi/2);
−1/2√3
−1/2πError, (in tan) numeric exception: division by zero
A természetes alapú exponenciális függvény, az abszolút érték, és a faktoriális :> exp(2*x+3); abs(-3); 5!;
e2x+3
3
120
Ha nem törtalakban szeretnénk visszakapni az eredményt, hanem lebegopontos for-mában, akkor az "evalf(x)" parancsot kell használni. Különbözo változóneveket tudunkdefiniálni, majd a "restart" paranccsal kitöröljük a változókat (szinte új lapot kezdünk):
> evalf(3/5 + 5/9 + 7/12); kitti:=2*21; restart;
1.738888889
kitti := 42
Az "expand" parancsot a zárójelek felbontására használhatjuk:> k:=(x+4)^2*(2*x-8)(x+6); expand(k);> expand(sin(2*x)); expand(cos(2*x));
k := (x+ 4)2 (2x (x+ 6)− 8)
2x2x (x+ 6)− 8x2 + 16xx (x+ 6)− 64x+ 32x (x+ 6)− 128
2 sin (x) cos (x)
2 (cos (x))2 − 1
A "solve()" parancsot például használhatjuk a legfeljebb negyedfokú algebrai egyen-letek megoldására:
> solve(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
−4, 3, 7/3
Függvények bevitele, és az abba való behelyettesítés :> f:=x->3*x+x^2; f(x); f(-1);
f := x 7→ 3x+ x2
3x+ x2
−2
Az egyszerubb függvények kirajzolásához a "plot()" parancsot használjuk, a bonyo-lultabb függvényekhez más csomagokat kellhet behívnunk. A csomagokat a "with()"
5
A határozott integrál alkalmazásai
paranccsal hívhatjuk be, ami kiírja a csomagban megtalálható parancsokat. Mivel ezekneka parancsoknak a listája elég hosszú lehet, ezért érdemes ":"-tal lezárni, így a parancs vég-rehajtódik, de az eredmény nem látszódik a lapon:
> plot(x^2,x=-2..2): with(plots):
A Maple ábrázolási és számolási parancsai közül sok fajtát használtam még ezekenfelül, ezért a további Maple-höz kapcsolódó információkat mindig az azt érinto anyagvégén részletesebben kifejtem majd.
1.1. ábra. Maple - Juharfalevél kirajzolása
6
2. fejezet
Közelítés véges összegekkel,függvénygörbe alatti terület
Az alábbiakban téglalapok területének összegével közelítjük egy görbe vonallal határolttartomány területét. A közelítés pontosságát úgy növeljük, hogy egyre több téglalapotalkalmazunk.
2.1. Közelítoösszegek2.1. Példa. Mekkora annak a T tartománynak a területe, amelyet az x-tengely, az y =
√x
függvény grafikonja és az x = 1 függoleges egyenes határol? Közelítsük a megoldástmás-más módszerekkel, majd ábrázoljuk a különbözo megoldásokat.
Felso összeg
Egy egyszeru módszerrel közelítjük a T tartomány területét. A 2.1. és 2.2. ábrákon aketto és a négy téglalap együttesen tartalmazzák az egész kérdéses tartományunkat. Atéglalapok magassága azonos az f függvénynek a [0,1] intervallumon megadott részinter-vallumokon felvett maximális értékével, amely maximális értékeit mindig a részinterval-lum jobb oldali végpontjában veszi fel. A közelíto téglalapok x-tengelyen fekvo oldalaiadják ezeket a részintervallumokat.
A két téglalappal való felso becslés:
1 · 1
2+
√2
2· 1
2≈ 0.8535533905.
7
A határozott integrál alkalmazásai
(a) Felso összeg két téglalappal(b) Két téglalapos felsoközelítés
2.1. ábra. Két téglalapos közelítés a Maple-ben
A négy téglalappal már pontosabb felso becslés:
1
4·
(1 +
√3
2+
√2
2+
1
2
)≈ 0.7682830462.
(a) Felso összeg négy téglalappal(b) Négy téglalapos felsoközelítés
2.2. ábra. Négy téglalapos közelítés a Maple-ben
Az elozoekben kapott értékeket felso összegeknek hívjuk. Ezek a becsült értékeknagyobbak a T tartomány pontos területénél, ugyanis mind a ketto és a négy téglalapmagába foglalja T-t.
Alsó összeg
Az eddigiek helyett most négy olyan téglalappal szeretnénk közelíteni, amelyeknek aszélessége ugyancsak 1/4, de a tartomány belsejében, teljes egészében f grafikonja alatthelyezkedik el. A téglalapok magasságát a részintervallumok bal oldali végpontjában fel-vett függvényérték adja meg, mivel az f(x) =
√x függvény csökkeno.
A kapott alsó közelíto összeg:
1
4·
(0 +
√3
2+
√2
2+
1
2
)≈ 0.5182830462.
8
A határozott integrál alkalmazásai
(a) Alsó összeg négy téglalappal(b) Négy téglalapos alsóközelítés
2.3. ábra. Négy téglalapos közelítés a Maple-ben
Mivel az összes téglalap a T tartományon belül fekszik, ez kisebb, mint az eredetiterület, így a T területének valós értéke valahol az alsó és a felso közelíto összeg közéesik:
0.5182830462 < T < 0.7682830462
Felezopont szabály
Egy új egyszeru módszert kapunk, ha a téglalapok alapélének felezopontjában felvett f(x)értéket vesszük magasságnak. Ezt a közelítést nevezzük felezopont szabálynak. Az ezzela módszerrel kapott érték az alsó és a felso közelíto összeg értéke között helyezkedik el.Alkalmazzuk a szabályt ismét négy darab egyenként 1/4 szélességu téglalappal :
1
4·
(√2
4+
√6
4+
√10
4+
√14
4
)≈ 0.6729773970.
(a) Felezopont-szabály négy téglalappal
(b) Négy téglalapos közelítés
2.4. ábra. Felezopont-szabály alkalmazása a Maple-ben
A fent szemléltetett közelítésekben az [a, b] intervallumot, ahol az f függvény értelmezvevan, egyenlo ∆x = (b − a)/n hosszúságú n darab részintervallumra bontottuk fel, és
9
A határozott integrál alkalmazásai
ezeknek valamely pontjában vettük f értékét : az elso részintervallumban a c1 pontban, amásodikban a c2 pontban és így tovább. Így a véges összeg
f(c1)∆x+ f(c2)∆x+ . . .+ f(cn)∆x
alakban írható fel. Ha egyre több és több részintervallumra bontjuk az eredeti intervallu-mot, akkor egyre több és keskenyebb téglalapot használunk a közelíto összegben, ígylátható, hogy ezek a véges összegek egyre pontosabb közelítést adnak a T tartománytényleges területére.
2.2. A határozott integrál és tulajdonságaiTekintsünk egy f folytonos függvényt az [a, b] zárt intervallumon. Osszuk fel az interval-lumot n−1 belso pont felvételével n részintervallumra, legyenek ezek {x1, x2, · · · , xn−1},amelyekre teljesül, hogy
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.
A P = {x0, x1, x2, · · · , xn−1, xn} halmazt az [a, b] intervallum felosztásának nevezzük.Egy felosztásban a k-adik részintervallum [xk−1, xk] , ennek hossza ∆xk = xk − xk−1.
2.2. Definíció. Mindegyik részintervallumon valamely tetszoleges ck pontot kijelölve, xk−1 ≤≤ ck ≤ xk, az
S =n∑k=1
f(ck)∆xk
összeg az f függvény egy Riemann összege az [a, b[ intervallumon.
2.3. Definíció. A P felosztás finomsága: max1≤k≤n ∆xk = ||P ||.
2.4. Definíció. A P felosztás δ-nál finomabb, ha ||P || < δ.
2.5. Definíció. Tegyük fel, hogy f : [a, b] → R korlátos. Azt mondjuk, hogy az I azf függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálja, ha minden pozitív ε-hoz vanolyan pozitív δ, amelyre minden ||P || < δ esetén∣∣∣∣∣
n∑k=1
f(ck)∆xk − I
∣∣∣∣∣ < ε,
bárhogy is választjuk a ck értékeket.
2.6. Definíció. Az f függvény integrálható (Riemann-integrálható) az [a, b] intervallu-mon, ha van határozott integrálja.
2.7. Definíció. A Pn felosztássorozat végtelenül finomodó, ha a ||Pn|| → 0, ha n→∞.
2.8. Tétel. Ha az f korlátos függvény integrálható [a, b]-n, Pn pedig végtelenül finomodófelosztássorozat, Sn a Pn felosztáshoz tartozó közelíto összeg valamilyen ck (k = 1 . . . n)pontokkal, akkor Sn → I , ha n→∞.
10
A határozott integrál alkalmazásai
2.9. Tétel. Folytonos függvény határozott integráljaHa az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor az [a, b] intervallumon
létezik határozott integrálja.
A határozott integrálra vonatkozó szabályok:
1. Az integrálási határok felcserélése:∫ abf(x) dx = −
∫ baf(x) dx.
2. Nulla hosszúságú intervallum:∫ aaf(x) dx = 0.
3. Konstanssal való szorzás:∫ bakf(x) dx = k
∫ baf(x) dx.
4. Összeg és különbség:∫ ba(f(x)± g(x)) dx =
∫ baf(x) dx±
∫ bag(x) dx.
5. Additivitás:∫ baf(x) dx+
∫ cbf(x) dx =
∫ caf(x) dx
6. Maximum-minimum egyenlotlenség: Ha f -nek van minimális és maximális értékeaz [a, b] intervallumon, akkor
minf · (b− a) ≤∫ b
a
f(x) dx ≤ maxf · (b− a).
7. Majorizáció:
f(x) ≥ g(x) az [a, b] intervallumon ⇒∫ b
a
f(x) dx ≥∫ b
a
g(x) dx.
f(x) ≥ 0 az [a, b] intervallumon ⇒∫ b
a
f(x) dx ≥ 0.
2.5. ábra. A határozott integrálra vonatkozó szabályok szemléletesen
11
A határozott integrál alkalmazásai
2.10. Definíció. A görbe alatti terület mint határozott integrálHa y = f(x) az [a, b] intervallumon nemnegatív és integrálható függvény, akkor az
y = f(x) görbe alatti terület:
A =
∫ b
a
f(x) dx.
2.2.1. Newton-Leibniz-tétel2.11. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 1.része
Ha f folytonos [a, b]-n, akkor F (x) =∫ xaf(t) dt is folytonos [a, b]-n, differenciálható
(a, b)-n és derinváltja f(x) :
F ′(x) =d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x).
2.12. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 2. részeHa f folytonos [a, b] minden pontjában, és F az f primitív függvénye az [a, b]-n, akkor∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a).
Teljes terület:Ha a Riemann összegben szereplo f(ck) negatív, akkor az f(ck)∆xk szorzat a téglalap
területének az ellentettje. Ha egy negatív függvényre összegezzük ezeket, akkor megkapjuk
2.6. ábra. Egymást kioltóterületrészek
a függvénygörbe és az x-tengely által közbezárt területellentettjét, majd vesszük ennek abszolút értékét,akkor megkapjuk a helyes, pozitív területértékét.
2.13. Példa. Számoljuk ki a Maple segítségéveleloször az f(x) = sinx határozott integrálját a [0,2π]intervallumon, majd a függvény grafinkonja és az x-tengely által határolt területét ugyanezen az interval-lumon!
> int(sin(x), x = 0 .. 2*Pi);
0
> p := int(sin(x), x = 0 .. Pi);
p := 2
> n := abs(int(sin(x), x = Pi .. 2*Pi));
n := 2
> p+n;
4
12
3. fejezet
A határozott integrál alkalmazásai
3.1. Forgástestek térfogata
3.1.1. Korong-módszerEzt a módszert akkor alkalmazzuk, ha észrevesszük, hogy a kérdéses test síkmetszeténekA(x) területe nem más, mint egy R(x) sugarú körlemeznek a területe, ahol R(x) a síktar-tomány határvonalának a forgástengelytol való távolságát jelenti.
3.1. ábra. Forgástest, amirealkalmazható a korong módszer
Ezért a terület:
A(x) = π(sugár)2 = π[R(x)]2.
A korong-módszer térfogatszámítás-ra:
V =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
π[R(x)]2 dx.
3.1. Példa. Határozzuk meg annak a test-nek a térfogatát, amit alulról az x-tengely,balról a
√3x függvény grafikonja, jobbról
pedig az x2 + y2 = 1 kör által határolt tar-tomány x-tengely körüli forgatásával állí-tunk elo !
Megoldás: A tartományt két részre bontva hajtjuk végre az integrálást. A két füg-gvény a (1
2,√32
) pontban metszik egymást, így ott vágjuk félbe a tartományt.
V =
∫ 12
0
π · [√
3x]2 dx+
∫ 1
12
π · [√
1− x2]2 dx = π ·
(∫ 12
0
3 · x2 dx+
∫ 1
12
1− x2 dx
)=
= π ·
(3 ·[x3
3
] 12
0
−[x− x3
3
]112
)≈ 1.047197551
13
A határozott integrál alkalmazásai
3.2. ábra. A megforgatandó tartomány
3.1.2. GyurumódszerHa a kiindulási tartományunkat úgy választjuk, hogy egyik határvonala sem esik a forgásten-gelyre és nem is metszi azt, akkor a forgástest közepén egy lyuk keletkezik. A forgásten-gelyre meroleges síkmetszetek nem körlapok, hanem körgyuruk lesznek, aminek paramétereia következok:
külso sugár: R(x),belso sugár: r(x).
A gyuruk területe:
A(x) = π[R(x)]2 − π[r(x)]2 = π([R(x)]2 − [r(x)]2).
A térfogat:
V =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
π([R(x)]2 − [r(x)]2) dx.
3.2. Példa. Határozzuk meg a lent megadott egyenesek és görbe által határolt tartományx-tengely körüli forgatásával eloálló forgástest térfogatát!
3.3. ábra. A megforgatandó tartomány
Az elso síknegyedbeli tartományt felül-rol az y = 2 egyenes, alulról az y = 2
√x
függvény grafikonja, balról pedig az x = 0egyenes harátolja.
Megoldás:Az integrálási határok: a függvény
grafikonja az y = 2 egyenest a (1,2) pont-ban metszi az x = 0 egyenest pedig a (0,0)pontban, tehát az integrál 0-tól 1-ig megy.
A sugarak:Külso sugár: R(x) = 2.Belso sugár: r(x) = 2
√x.
14
A határozott integrál alkalmazásai
V =
∫ b
a
π([R(x)]2 − [r(x)]2) dx =
∫ 1
0
π([2]2 − [2√x]2) dx =
=
∫ 1
0
π(4− 4x) dx = π[4x− 2x2
]10
= 2π.
3.1.3. Hengerhéj-módszerFüggoleges tengely körüli forgatásra vonatkozó héjformula:
Az x-tengely és a folytonos y = f(x) ≥ 1, L ≤ a ≤ x ≤ b függvény grafikonjaáltal határolt tartomány x = L függoleges egyenes körüli forgatásával generált forgástesttérfogata:
V =
∫ b
a
2π(a héj sugara) (a héj magassaga) dx.
3.3. Példa. A héjmódszerrel határozzuk meg annak a tartománynak az y-tengely körüliforgásával generált térfogatát, amelyet balról az y-tengely, jobbról az x = 2 egyenes,fentrol pedig az y = 1 + x2
4parabola görbe határol!
Megoldás:
A héj sugara: x, a héj magassága: 1 +x2
4.
V =
∫ b
a
2π(a héj sugara) (a héj magassaga) dx = V =
∫ 2
0
2π(x)(1 +x2
4) dx =
= 2π
∫ 2
0
x+x3
4dx = 2π
[x2
2+x4
16
]20
= 6π.
3.2. Forgástestek felszíne3.4. Definíció. Az x-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:
Ha az f(x) ≥ 0 függvény folytonosan differenciálható az [a, b] intervallumon, akkoraz y = f(x) görbe x-tengely körüli forgatásával eloálló felület felszíne :
S =
∫ b
a
2πy
√1 +
(dy
dx
)2
dx =
∫ b
a
2πf(x)√
1 + (f ′(x))2 dx.
3.5. Definíció. Az y-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:Ha az g(x) ≥ 0 függvény folytonosan differenciálható az [c, d] intervallumon, akkor
az x = g(y) görbe y-tengely körüli forgatásával eloálló felület felszíne :
S =
∫ d
c
2πx
√1 +
(dy
dx
)2
dy =
∫ d
c
2πg(y)√
1 + (g′(y))2 dy.
15
A határozott integrál alkalmazásai
3.6. Példa. Tervezzünk egy serleg alakú, sütoserpenyot(wokot)!
1. Egy kis kísérletezéssel meggyozodhetünk arról, hogy a 9 cm mély és 16 cm sugarúwok urtartalma nagyjából 3 liter. Bizonyosságot úgy nyerhetünk, ha a wokot azalább látható módon forgástestnek fogjuk fel és térfogatát integrálással határozzukmeg. Majd számoljuk ki, hogy mekkora felülettel kell számolnunk, ha be szeretnénkvonni a serpenyonket zománccal.
Megoldás: Vegyük észre, hogy a fent említett test úgy áll elo, hogy az f(x) ==√
162 − x2 függvényt a [7,16] tartományon megforgatjuk, és ezt tekintjük aforgástestnek.
f(x) =√
162 − x2, f ′(x) = −(
x√162 − x2
)A korong-módszert felhasználva a térfogat:
V =
∫ 16
7
π(162 − x2)dx = π
[162x− x3
3
]167
= 1053πcm3 ≈ 3.308097065 liter.
Az x-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:
S =
∫ b
a
2πf(x)√
1 + (f ′(x))2 dx =
∫ 16
7
2π√
162 − x2√
1 +
(− x√
162 − x2
)2
dx =
= 2π·∫ 16
7
√(162 − x2) + (1 +
(− x√
162 − x2
)= 2π·
∫ 16
7
16 dx = 2π·[16x
]167
=
= 288 · πcm2.
(a) Megforgatandófüggvényrészlet (b) Forgástest
3.4. ábra. A wok ábrázolása Maple-ben
2. Cégünk úgy dönt, hogy az elobb megtervezett és nagyon sikeres wokból piacra dobegy luxusszériát. A terv az, hogy az edényt belülrol fehér, kívülrol kék zománc-cal vonjuk be. A zománcot kiégetés elott 0,5 mm vastag rétegben kell felvinni afelületre. A gyártás elokészíto csoport tudni szeretné, hogy mennyi zománcra leszszükség 5000 darabos mennyiség eloállításához. Mit válaszoljuk?
16
A határozott integrál alkalmazásai
Megoldás: Ahhoz, hogy megkapjuk, hogy mennyi zománcra lesz szükségünk mégtovábbi két térfogatot kell kiszámolnunk. A külso zománc mennyiséget úgy kapjuk meg,hogy egy 0,5 mm-el mélyebb wok térfogatáról kivonjuk az alap wokunk térfogatát. Abelso zománc mennyiséget pedig úgy, hogy az alap térfogatból vonunk ki egy 0,5 mm-relkisebb mélységu woknak a térfogatát.
fbelso(x) =√
15,952 − x2, fnormál(x) =√
162 − x2, fkülso(x) =√
16,052 − x2
A belso, kisebb wok térfogata:
Vbelso =
∫ 15,95
7
π·[√
15,952 − x2]2 dx = π·∫ 15,95
7
15,952−x2 dx = π
[15,952x− x3
3
]15,957
=
= 1038.662417 · πcm3 ≈ 3.263054219 liter.
A külso, nagyobb wok térfogata:
Vkülso =
∫ 16,05
7
π·[√
16,052 − x2]2 dx = π·∫ 16,05
7
16,052−x2 dx = π
[16,052x− x3
3
]16,057
=
= 1067.462583 · πcm3 ≈ 3.353532609 liter.
Az elobb már kiszámoltuk, hogy a Vnormál ≈ 3,308097065 liter. Ezért a belso zománcmennyiség:
Vnormál − Vbelso = 3,308097065 liter− 3,263054219 liter ≈ 0.045 liter.
Külso zománc mennyiség:
Vkülso − Vnormál ≈ 3,353532609 liter− 3,308097065 liter ≈ 0,046 liter.
Az 5000 darabos mennyiség eloállításához Vössz = 5000 · 0.045 + 5000 · 0.046 = 455liter zománcfesték , pontosabban 225 liter fehér és 230 liter kék festék szükséges.1
3.7. Példa. Határozzuk meg a 15 cm magas egyenes csonkagúla alakú, alulról nyitottlámpabúra külso felszínét, ha fedoköre 5 cm, alapköre 10 cm sugarú.
Megoldás: Mivel a fenti test egy forgástest, így meg kell határoznunk azt az egyen-letet, az alkotót, aminek a forgatásával megkapjuk a lámpabúrát. Ha elhelyezzük a megfelelokoordináta-rendszerben (egy egység 1 cm), akkor az alkotó egyenlete:
f(x) =1
6x+ 2.5, f ′(x) = 1/6, 1 + (f ′(x))2 =
37
36.
1 A Thomas-féle Kalkulus II. kötetének feladata alapján (85.oldal 55.)
17
A határozott integrál alkalmazásai
Helyettesítsük be:
S = 2 · π∫ 15
0
(1
6x+ 2.5
)·√
37
36dx =
2 · π ·√
37
6·∫ 15
0
(1
6x+ 2.5
)dx =
=2 · π ·
√37
6·[x2
12+ 2.5x
]150
=2 · π ·
√37
6· 225
4=
75
4π√
37
A területegység 1cm2, ezért a palást 754π√
37cm2 .Ha a megoldáshoz hozzáadjuk a fedokört :
A = S + 2 · 5 · π =75
4π√
37 + 25πcm2
(a) Lámpa felszínénekkiszámítása
(b) A lámpa palástja
3.5. ábra. A lámpabúra Maple-ben
MAPLE:
3.6. ábra. A rotxplot parancs eredménye
A Maple-ben a calcplot csomag be-olvasása után tudjuk alkalmazni a rotxplotés a rotyplot parancsokat. Mind a kettofelépítése megegyezik, rotxplot(f, x=a..b,y=c, opts), rotyplot(f, x=a..b, x=c, opts).Definiálnunk kell a megforgatandó függ-vényt, f-et, majd megadjuk, hogy mettolmeddig szeretnénk megforgatni, a-tól b-ig,és végül a forgatási tengelyt.
Például :
> f:=sin(x);f := sin(x)
> rotxplot(f,x =0..2*Pi,y = 0)
18
A határozott integrál alkalmazásai
3.3. Görbék ívhossza3.8. Tétel. Paraméteresen adott görbe ívhossza
Legyen C az x = f(t) és y = g(t), a ≤ t ≤ b egyenletekkel paraméteres alakbanmegadott görbe, f ′ és g′ folytonosak és egyidejuleg nem nullák az [a, b] intervallumon.Akkor C hossza az
L =
∫ b
a
√[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt
határozott integrál.
3.9. Definíció. Logaritmikus spirálnak nevezzük a következo módon adott görbét:
c(t) = (aebt cos t, aebt sin t),
ahol a és b paraméterek.
3.10. Példa. Számoljuk ki az x = −2e0.08·t cos t, y = −2e0.08·t sin t logaritmikus spirál0 ≤ t ≤ 12π közé eso ívdarabjának hosszát!
Megoldás:dx
dt= 2e0.08t sin t− 0.16e0.08t cos t,
dy
dt= −2e0.08t cos t− 0.16e0.08t sin t(
dx
dt
)2
= 4e0.16t sin2 t− 0.64e0.16t sin t cos t+ 0.0256e0.16t cos2 t(dy
dt
)2
= 4e0.16t cos2 t+ 0.64e0.16t sin t cos t+ 0.0256e0.16t sin2 t(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
= 4e0.16t(sin2 t+ cos2 t) + 0.0256e0.16t(sin2 t+ cos2 t) = 4.0256e0.16t
L =
∫ 12π
0
√4,0256e0.16t dt =
√4.0256
∫ 12π
0
e0.08t dt =√
4.0256[12.5e0.08t
]12π0≈ 486.7511704.
3.7. ábra. Az x = −2e0.08·t cos t, y = −2e0.08·t sin t logaritmikus spirál
19
A határozott integrál alkalmazásai
3.11. Definíció. Cikloisnak nevezzük azt a görbék, melyet egy egyenesen csúszásmentesengördülo kör egy perempontja ír le.
3.12. Példa. Határozzuk meg az x = a(ϑ− sin ϑ), y = a(1− cos ϑ) ciklois 0 ≤ ϑ ≤ 2πközé eso ívdarabjának hosszát!
Megoldás:
dx
dϑ= a(1− cos ϑ),
(dx
dϑ
)2
= a2(1− 2 cos ϑ+ cos2 ϑ)
dy
dϑ= a sin ϑ,
(dy
dϑ
)2
= a2 sin2 ϑ(dx
dϑ
)2
+
(dy
dϑ
)2
= 2a2(1− cos ϑ)
L =
∫ 2π
0
√2a2(1− cos ϑ) dϑ =
√2a
∫ 2π
0
√1− cos ϑ dϑ = 2a
∫ 2π
0
sinϑ
2dϑ =
= 2a
[−2 cos
ϑ
2
]2π0
= 8a.
3.8. ábra. A ciklois egy ívdarabja
3.13. Definíció. Sima görbe ívhosszaAz r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k, t ∈ [a, b] sima görbe ívhossza, amennyiben r pontosan
egyszer járja be a görbét, miközben t a-tól b-ig növekszik:
L =
∫ b
a
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
+
(dz
dt
)2
dt.
A képletben szereplo négyzetgyökös kifejezés értéke|v|, azaz a dr/dt sebességvektorhossza.
Sima görbe ívhossza rövidebb formában
L =
∫ b
a
|v| dt.
A következokben olyan feladatokat oldunk meg, amelyeknek a megoldása során bele-ütközhetünk olyan integrálokba, amiknek igencsak nehéz a megoldása, vagy egyáltalánnem lehet elemi úton kifejezni a primitív függvényüket. Megmutatjuk, hogy ezeknek amegoldásában hogyan nyújt segítséget a Maple.
20
A határozott integrál alkalmazásai
3.14. Definíció. Egy gömb és egy egyenes körhenger metszésvonala a Viviani görbe.
Ha a gömb egyenlete x2 +y2 +z2 = 4a2 a henger egyenlete pedig (x−a)2 +y2 = a2,akkor a Viviani görbe paraméteres alakja:
c(t) =
(a+ a cos t, a sin t, 2a sin
t
2
).
3.15. Példa. Számoljuk ki annak a Viviani-görbének az ívhosszát, ami az x2+y2+z2 = 4egyenletu gömb és az (x− 1)2 + y2 = 1 egyenletu henger metszésvonalaként áll elo !
Megoldás:
dx
dt= − sin t, (
dx
dt)2 = sin2 t
dy
dt= cos t, (
dy
dt)2 = cos2 t
dz
dt= cos
t
2, (
dz
dt)2 = cos2
t
2
L =
∫ 4π
0
√sin2 t+ cos2 t+ cos2
t
2dt =
∫ 4π
0
√1 + cos2
t
2dt
Ezen a ponton komolyabb integrálási ismeretek nélkül nem tudunk továbbhaladni, ezértitt alkalmazzuk a Maple-t :
> with(Student[VectorCalculus]):
> ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=0..4*Pi);
8 · EllipticE (i)
> ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=0..4*Pi,output=integral);∫ 4·π
0
√(sin (t))2 + (cos (t))2 + (cos (1 · 1/2 · t))2dt
> evalf(int(sqrt(sin(t)^2+cos(t)^2+cos(1/2*t)^2),t=0..4*Pi));
15.28079116− 0.i
> evalf(8*EllipticE(I));
15.28079116− 0.i
A Maple eredményeibol is látszik, hogy számolás közben az elliptikus integrálba bot-lottunk volna, amirol akár a Maple Help-jében is megfelelo leírást találunk:
EllipticE(z, k) =
∫ z
0
√1− k2t2√1− t2
dt, EllipticE(k) = EllipticE(1, k)
21
A határozott integrál alkalmazásai
(a) Viviani-féle test
(b) Viviani görbe
3.9. ábra. Viviani test és görbe Maple-ben
3.16. Definíció. Gyurus spirálnak nevezzük azt a görbét, ami körülcsavarodik egy origóközéppontú tóruszon.
A gyurus spirál paraméteres alakja:
c(t) = ((a+ b cos qt) cos pt, (a+ b cos qt) sin pt, b sin qt),
ahol a a belso, b a külso sugara a tórusznak (az ábrán jól látható módon). A q értéke adjameg, hogy hányszor tekeredjen körbe a görbe a tórusz körül, és p határozza meg, hogyhányszor menjen az origó körül.
(a) A tórusz sugarai(b) A tóruszra rátek-eredo spirál
3.10. ábra. A gyurus spirál származtatása a Maple-ben
3.17. Példa. Számoljuk ki a c(t) =((
1 + 12
cos 12t)
cos t,(1 + 1
2cos 12t
)sin t, 1
2sin t
)paraméteresen adott gyurus spirál ívhosszát!
Megoldás: A definíció alapján ez a spirál az 1 belso és 12
külso sugarú tórusz körül 12csavarral 1-szer körbeforduló gyurus spirál.
> with(Student[VectorCalculus]):
22
A határozott integrál alkalmazásai
> ArcLength(‘<,>‘((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t),> (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t),> (1/2)*sin(12*t)), 0 .. 2*Pi,output=integral);
∫ 2π
0
√√√√((−6 sin(12t) cos(t)− (1 +1
2cos(12t)
)sin(t)
)2
+
(−6 sin(12t) sin(t) +
(1 +
1
2cos(12t)
)cos(t)
)2
+ 36 cos(12t)2
)dt
> evalf(ArcLength(‘<,>‘((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t),> (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t), (1/2)*sin(12*t)), 0 .. 2*Pi));
38.28186996
Már az elsore kiadott integrál alapján is látszik, hogy ennek a feladatnak a megoldásáhozis egy bonyolult integrált kellett volna kiszámítanunk, így nagy segítséget jelent a Maple.
(a) A spirál felülnézetbol (b) A spirál más nézetbol
3.11. ábra. A gyurus spirál a Maple-ben
MAPLE:A Maple-ben az ívhossz kiszámításához a Student[Calculus1] csomagot kell elohív-
nunk. Ez a csomag tartalmazza az ArcLength parancsot, ArcLength(f(x), x = a..b, opts).Definiálnunk kell f(x)-et , meg kell adnunk a határokat, a-t és b-t, majd egyéb paramétereketis megadhatunk. Egyéb paraméterként például meg lehet adni, hogy Descartes-féle, vagypolár koordinátákat használjon, vagy, hogy szimplán az integrál formulát adja válaszul.Például :
> ArcLength(ln(x), x = 1 .. 4);
−√
2 + arctanh(
1/2√
2)
+√
17− arctanh(
1/17√
17)
23
A határozott integrál alkalmazásai
Még egy érdekes görbe, a szívgörbe, aminek ívhosszát a Maple segítségévelszámoljuk ki:
Betöltjük a szükséges csomagokat :
> with(plots):
> with(Student[VectorCalculus]):
A szív grafikonjának kirajzolása:
> plot([16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t),> t=-3..3],thickness=3);
Kiszámoljuk a görbe ívhosszát :
> ArcLength(‘<,>‘(16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)> -cos(4t)),-3..3,output=integral);∫ 3
−3
√2304 (sin (t))4 (cos (t))2 + ((−13 sin (t)) + 10 sin (2t) + 6 sin (3t) + 4 sin (4t))2dt
> evalf(Int(sqrt(2304*sin(t)^4*cos(t)^2+> (-13sin(t)+10sin(2t)+6sin(3t)+4sin(4t))^2),t=-3..3));
101.5449028
3.12. ábra. A szív grafikonja a Maple-ben
24
4. fejezet
Integráltranszformációk különbözokoordináta-rendszerekben
4.1. Polár koordináta-rendszer
4.1. ábra. A polárkoordináták származtatása
A polárkoordináták értelmezéséhez ki kelljelöljünk egy O kezdopontot (pólust) és abelole induló kezdoirányt (polártengelyt).Ezután minden P ponthoz hozzárendeljükaz (r, ϑ) polárkoordinátapárt.
4.1. Definíció. Polárkoordináta-rendszerbenegy P pont helyét két adattal, (r, ϑ)-valdefiniálhatunk, ahol:
1. r a sugár (0 ≤ r), azaz a pontnak az origótól vett távolsága,
2. ϑ pedig az OP-nak a polártengellyel bezárt irányított szöge.
A polár- és a Descartes koordinátákat összekapcsoló egyenletek
x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, x2 + y2 = r2.
Polárgörbe ívhossza:Ha r = f(ϑ)-nak van elso deriváltja, és az folytonos az α ≤ ϑ ≤ β intervallumon, és
ha P (r, ϑ) pont pontosan egyszer söpri végig az r = f(ϑ) görbét, miközben ϑ végigfutaz α és β közötti értékeke, akkor a görbe ívhossza:
L =
∫ β
α
√r2 +
(dr
dϑ
)2
dϑ.
4.2. Definíció. A kardioid vagy szívgörbe azon pontok halmaza a síkon, melyeket egyadott a sugarú kör egy rögzített pontja ír le, miközben csúszás nélkül gurul végig egyrögzített, szintén a sugarú körön.
Egyenlete poláris koordinátákban:
r = a · (1 + cos ϑ)
25
A határozott integrál alkalmazásai
4.3. Példa. Számítsuk ki az r(ϑ) = a(1 + cos ϑ)(0 ≤ ϑ ≤ 2π) egyenletu kardioidívhosszát.
Megoldás:
r2(ϑ) = a2(1 + cos ϑ)2 = a2(1 + 2 cos ϑ+ cos2 ϑ)
dr
dϑ= −a sin ϑ,
(dr
dϑ
)2
= a2 sin ϑ
r2 +
(dr
dϑ
)2
= 2a2(1 + cos ϑ)
L =
∫ 2π
0
√2a2(1 + cos ϑ) dϑ =
√2a
∫ 2π
0
√1 + cos ϑ dϑ = 2a
∫ 2π
0
√cos2
ϑ
2dϑ
Felhasználtuk a cos2 ϑ2
= 1+cos ϑ2
összefüggést az integrál kiszámításához. A cos ϑ2
a[0, π)-n pozitív, míg a (π,2π]-n negatív.
L = 2a
∫ 2π
0
∣∣∣∣cosϑ
2
∣∣∣∣ dϑ = 2a
∫ π
0
cosϑ
2dϑ+ 2a
∫ 2π
π
cosϑ
2dϑ = 4a
∫ π
0
cosϑ
2dϑ =
= 4a
[2 sin
ϑ
2
]π0
= 8a.
Területszámítás polárkoordinátákkal:Az r = f(ϑ), α ≤ ϑ ≤ β görbevonalú szektortartomány területe
A =
∫ β
α
1
2r2 dϑ.
4.4. Példa. Számoljuk ki a=1-re a kardioid területét. Írjuk fel a Descartes-féle koordinátásegyenletét is!
Megoldás:
T =
∫kardioid
1 =
∫ 2π
0
∫ 1+cos ϑ
0
(1 · r) dr dϑ =
∫ 2π
0
[1
2r2]1+cos ϑ
0
dϑ =
=1
2
∫ 2π
0
1 + 2 cos ϑ+ cos2 ϑ dϑ =1
2
∫ 2π
0
1 +1
2(1 + cos 2ϑ) dϑ =
1
2
∫ 2π
0
3
2dϑ =
3
2π
Itt felhasználtuk, hogy∫ 2π
0cos ϑ dϑ = 0, cos2 ϑ = 1
2(1 + cos 2ϑ).
Ha r = a(1 + cos ϑ), ahol a 6= 0 (a nagyít vagy kicsinyít) :
Tr=a(1+cos ϑ) = a2 · 3
2π
26
A határozott integrál alkalmazásai
(a) A kardioid eloállítása (b) A kardioid görbe a Maple polarplotparancsával
4.2. ábra. Kardioid
4.2. Henger koordináta-rendszerEgyes fizikai, mérnöki jelenségek (amik hengerekkel, gömbökkel, kúpokkal foglalkoz-nak) leírása jelentosen egyszerusödik, ha a jelenség szimmetriáját tükrözo koordináta-rendszert alkalmazunk. Ilyenkor a Descartes-féle koordináta-rendszer gyökös kifejezé-seit igen nehézkes kezelni, amit a henger- és gömbi koordináták használata jelentosenleegyszerusít. Azt, hogy melyik koordináta-rendszert érdemes alkalmazni az ábrázolandóalakzat határozza meg. Természetesen bármely koordináta-rendszerrol át lehet térni egy
4.3. ábra. A P pont hengerkoordinátái
másikra a megfelelo képletek segítségév-el, és ez a megfeleltetés kölcsönösenegyértelmu.
4.5. Definíció. A hengerkoordináták egytérbeli P pontot rendezett (r, ϑ, z) számhár-massal definiálnak, ahol:
1. r és ϑ a P pont xy-síkra valómeroleges vetületének polárkoordinátáiés
2. z a derékszögu koordináta-rendszerharmadik koordinátája.
Összefüggések az (x, y, z) derékszögu és az (r, ϑ, z) hengerkoordináták között:x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, z = z,
r2 = x2 + y2, tg ϑ = y/x.
Térfogatszámítás hengerkoordinátákkal:V =
∫∫∫D
r dz dϑ dr, azaz az f(r, ϑ, z) = 1 függvény integrálja D-n.
27
A határozott integrál alkalmazásai
4.6. Példa. Oldjuk meg henger koordináták segítségével a hengerhéj módszer fejezetbenelhangzott feladatot, ami így szólt : A héjmódszerrel határozzuk meg annak a tartomány-nak az y-tengely körüli forgásával generált térfogatát, amelyet balról az y-tengely, jobbrólaz x = 2 egyenes, fentrol pedig az y = 1 + x2
4parabola görbe határol!
Megoldás:Integrálási határok:Határok r-re : Mivel a feladatban a (0,2) intervallumon forgatunk, ezért az r sugár is0-tól 2-ig halad.Határok ϑ-ra : Mivel egy teljes fordulatot teszünk, így ϑ 0-tól 2π-ig halad.Határok z-re : A testünk magassága 0-tól indul és az y = 1 + x2
4parabola forgatásával
eloálló paraboloidig tart. Ez a paraboloid: ( g = f(√x2 + y2) alapján )
g = 1 +x2 + y2
4
Ezt áttranszformálva hengerkoordinátákká x = r · cos ϑ és y = r · sin ϑ alapján:
z = 1 +x2 + y2
4= 1 +
r2 cos2 ϑ+ r2 sin2 ϑ
4= 1 +
r2
4.
Tehát r 0-tól 1 + r2
4-ig halad.
V =
∫ 2
0
∫ 2π
0
∫ 1+ r2
4
0
r dz dϑ dr =
∫ 2
0
∫ 2π
0
[r · z]1+ r2
40 dϑ dr =
∫ 2
0
∫ 2π
0
r +r3
4dϑ dr =
=
∫ 2
0
[rϑ+
r3
4ϑ
]2π0
=
∫ 2
0
2πr +πr3
2dr =
[r2π +
πr4
8
]20
= 6π.
4.4. ábra. A forgástest rajza a CATIA program segítségével
28
A határozott integrál alkalmazásai
4.3. Gömbi koordináta-rendszerA gömbi koordináták a tér pontjait két szöggel és egy távolsággal jellemzik. Az elsokoordináta a P pontnak az origótól vett távolsága, ami sosem negatív, a második az
−→OP
vektornak a z-tengely pozitív felével bezárt szöge, a harmadik pedig az (x, y) síkra vettvetítés szöge.
Érdekesség, hogy a földrajzi koordináta-rendszer is egyfajta gömbi koordináta-rendszerrávetítése a Föld felszínére. Tengelye a Föld forgástengelye, alapköre az Egyenlíto.
4.5. ábra. A gömbi koordináták kapcsolataaz x, y, z koordinátákkal
A φ-t a földrajzi hálózatban hosszúságifoknak nevezik, továbbá ϑ = 90 ◦−δ , aholδ-t pedig szélességi foknak hívják.
4.7. Definíció. A gömbi koordináták atér egy P pontját egy rendezett (ρ, φ, ϑ)számhármassal adják meg, ahol:
1. ρ a P pont távolsága az origótól;
2. φ az−→OP vektor szöge a z-tengely
pozitív felével (0 ≤ φ ≤ π) ;
3. ϑ a hengerkoordinátákból ismertszög.
Térfogatszámítás gömbi koordinátákkal:
V =∫∫∫D
ρ2 sin φ dρ dφ dϑ, azaz az f(ρ, φ, ϑ) = 1 függvény integrálja D-n.
4.8. Példa. Mennyi a térfogata annak a D tartománynak, amit a ρ ≤ 1 gömb vág ki aφ = α kúpból (0 < α < π
2)?
Megoldás:Integrálási határok:Határok ρ-ra : Mivel a ρ ≤ 1 gömb vágja ki a tartományunkat, így 0 és 1 közé esik.Határok φ-re : A kúp alkotói α szöget zárnak be a z-tengellyel , így 0 az alsó és α a felsohatár.Határok ϑ-ra :Végighalad a szögeken 0-tol 2π-ig.A tartomány más felírással :
D = {(ρ, φ, ϑ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ α, 0 ≤ ϑ ≤ 2π}
VD =
∫ 1
0
∫ α
0
∫ 2π
0
ρ2 sin φ dϑ dφ dρ =
∫ 1
0
∫ α
0
[ρ2 sin φ · ϑ
]2π0dφ dρ =
=
∫ 1
0
∫ α
0
2π · ρ2 · sin φ dφ dρ =
∫ 1
0
[2π · ρ2 · (− cos φ)
]α0dρ =
=
∫ 1
0
2π · ρ2 · (1− cos α) dρ = 2π · (1− cos α) ·[ρ3
3
]10
=2π
3· (1− cos α).
29
A határozott integrál alkalmazásai
Ha α = π , akkor az a teljes gömböt adja eredményül: V = 4π3
Ehhez hasonló testnek számoltuk ki a térfogatát a 3.1.1. fejezetben a korong módszeralkalmazásával. Akkor úgy szólt a feladat, hogy határozzuk meg annak a testnek a tér-fogatát, amit alulról az x-tengely, balról a
√3x, jobbról pedig az x2 + y2 = 1 kör által
határolt tartomány x-tengely körüli forgatásával állítunk elo.Könnyen belátható, hogy a
√3x egyenes 60 fokos szöget zár be az x-tengellyel, illetve
ha a x2 + y2 = 1 kör forgatásával visszakapjuk azt a gömböt, aminek a segítségévelkivágunk elobb a kúpból.
A kapott 2π3· (1 − cos α) egyenletbe behelyettesítve a π
3-at visszakapjuk a másik
módszerrel kapott eredményt is :
2π
3· (1− cos
π
3) =
1
3π ≈ 1.047197551
Koordináta transzformációs képletek:Hengerkoordinátákról Gömbi koordinátákról Gömbi koordinátákrólderékszögube: derékszögube: hengerkoordinátákra:
x = r cos ϑ x = ρ sin φ cos ϑ r = ρ sin φy = r sin ϑ x = ρ sin φ sin ϑ z = ρ cos φz = z z = ρ cos φ ϑ = ϑA megfelelo formulák dV -re:
dV = dx dy dz= dz r dr dϑ= ρ2 sin φ dρ dφ dϑ.
30
5. fejezet
Függelék
Az alkalmazott programok listája
A különbözo közelítések:> with(student):
> f:=sqrt(x):
> rightbox(f,x=0..1,2);
> rightbox(sqrt(x),x=0..1,4);
> leftbox(sqrt(x),x=0..1,4);
> middlebox(sqrt(x),x=0..1,4);
Külön programcsomag betöltése a forgatásokhoz:> read ‘C:/calcpr5.txt‘;
Korong módszer ábra:> rotxplot(sqrt(x), x = 0 .. 4, y = 0, color = red);
A wok Maple-ben:> rotxplot(sqrt(16^2-x^2),x=7..16,y=0);
A lámpa palástja :> rotxplot(1/6*x+2.5,x=0..15,y=0);
A logaritmikus spirál :> with(plots):
> polarplot(-2*exp(0.8e-1*phi), phi = 0 .. 12*Pi);
A Viviani görbe:> spacecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)], t = 0.. 4*Pi, color = red, thickness = 3);
A Viviani-test és a görbe egy rajzon:> with(plots): with(linalg):> p0 := spacecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)],t = 0 .. 4*Pi, color = red, thickness = 3);> p1 := plot3d([2*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v),2*sin(u)], u = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, v = 0 .. 2*Pi,grid = [30, 60], style = patch);
31
A határozott integrál alkalmazásai
> p2 := plot3d([1+cos(u), sin(u), v], v = -2.2 .. 2.2,u = 0 .. 2*Pi, grid = [20, 45]);
> display3d({p0, p1, p2}, scaling = constrained);
Szimpla fehér tórusz:> with(plottools):> display(torus([1, 1, 1], 1, 2), scaling =constrained, lightmodel = light1, shading =zgrayscale,style=surface);
A gyurus spirál :> x := (1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t); y :=(1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t); z := (1/2)*sin(12*t);with(plots): spacecurve([x, y, z], t = 0 .. 2*Pi,numpoints = 1000, axes = normal, thickness = 5, scaling= CONSTRAINED, color = red); Curve := %:
A gyurus spirál és a tórusz:> Surf := torus([0, 0, 0], .5, 1, style = patchnogrid,color = gold,style=hidden,axes=none):
> display(Surf, Curve, labels = [x, y, z],axes=none);
A kardioid:> with(plots):
> polarplot(1+cos(phi), phi = 0 .. 2*Pi);
32
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetomnek, Gémes Margitnak a sok segít-ségért, valamint szeretettel készítettem a 3.12. ábrát köszönetként családomnak a támo-gatásukért, a páromnak a kitartásáért és a csoporttársaimnak, barátaimnak a sok segít-ségért.
33
Irodalomjegyzék
[1] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féleKalkulus 2., Typotex, Budapest, 2006.
[2] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féleKalkulus 3., Typotex, Budapest, 2007.
[3] Laczkovich Miklós,T.Sós Vera: Valós Analízis I., Typotex, Budapest, 2012.
[4] Boda Judit : Számítógéppel támogatott geometriai kutatás és oktatás, Szakdolgozat,Debrecen, 2009.
[5] Matthias Kawski: Horizontal and Vertical cross-sections 2009,
https://math.la.asu.edu/~kawski/MAPLE/272/c_curves/intro−−helix1.html
[6] Programming Project 2, Toroidal Spirals 2013,
http://ezekiel.vancouver.wsu.edu/~cs442/archive/projects/toroidal−−spiral/toroidal−spiral.pdf
34