METODE ELIMINASI GAUSS DAN METODE CRAMER

BY : RIZA SETYAWAN (J11109030)

METODE ELIMINASI GAUSSEliminasi gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier.

n321n

n3213

n3212

n3211

x,...,x,x,xf

.

.

.

x,...,x,x,xf

x,...,x,x,xf

x,...,x,x,xf

Contoh: Ditinjau dari sistem persamaan:

6x5x8x3

1x6x9x

9x4x7x2

321

321

321

Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

uxB

6

1

9

x

x

x

583

691

472

3

2

1

Untuk menjelaskan eliminasi gauss,maka dibentuk suatu matriks sebagai berikut:

100

010

001

6

1

9

583

691

472

IuB

Kita kalikan baris 1 dengan ½,tambahkan (-1 x baris 1 yang baru) kepada baris 2,dan tambahkan (3x baris 1 yang baru)kepada baris 3.

102/3

012/1

002/1

2/39

2/7

2/9

112/50

82/250

22/71

Operasi diatas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem

persamaan asli menjadi

2

39x11x

2

52

7x8x

2

252

9x2x

2

7x

32

32

321

Perhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks adalah

Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2 dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada baris 3.

102

1

012

1

002

1

100

010

001

6

1

9

583

691

472

15/15/7

025/225/1

002/1

25/94

25/7

2/9

5/4700

25/1610

22/71

Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi

Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang baru).

2

9x2x

2

7x 321

25

7x

25

16x 32

25

94x

5

473

47/547/147/7

235/16235/22235/13

47/1047/224/19

2

1

2/1

100

010

02/71

Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2)

Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4,x2= 1,x3 =2 dan inverse matriks [B] adalah

47/547/147/7

235/16235/22235/13

235/6235/67235/93

2

1

4

100

010

001

47/547/147/7

235/16235/22235/13

235/6235/67235/93

Dari pengamatan:

Jadi kalau di ‘resume’

23547

5x

25

2x

2

1Bdet

1

IuB

100

010

001

6

1

9

583

691

472

47/547/147/7

235/16235/22235/13

235/6235/67235/93

2

1

4

100

010

001

1BxI

METODE CRAMER

Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier berbentuk dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa .Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.

0)Adet(

bxA

Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn dan sedangkan nilai dan adalah0)Adet(

n

2

1

x

.

.

x

x

x

n

2

1

b

.

.

b

b

b

maka penyelesaian untuk x adalah

bxA

x b

A

Ax,...,

A

Ax,

A

Ax n

n2

21

1

Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan

vektor

.

b

Contoh :Diketahui sistem persamaan linier berbentuk bxA

1

1

1

z

y

x

342

011

552

a.Periksa apakah metode cramer dapat digunakan?b.Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk ?x

Jawab:

1)1015()206(

342

011

552

)A(Det

Karena det(A) = -1 maka metode Cramer dapat digunakan.

a.

b. 3)515()203(

341

011

551

)A(Det 1

4)103()56(

312

011

512

)A(Det 2

3)285()4102(

142

111

152

)A(Det 3

Jadi nilai untuk x, y, z adalah

31

3

A

Ax 1

41

4

A

Ay 2

31

3

A

Az 3

THANKS FOR YOUR ATTENTION!!!