Testul nr. 24

Problema 1 (30 puncte = 10 puncte + 10 puncte + 10 puncte)

a) Să se calculeze: ( )3 11 14 10 :12 17 3 167 × × − + × − .

b) Să se determine numărul natural a din egalitatea

( ) ( ){ }19 18: 2 4 3 11 14 10 :12 17 3 167 7a × + − × × × − + × − =

c) Se consideră cel mai mare număr natural care, împărţit la 18, dă câtul egal cu o pătrime din rest. Să se determine diferenţa dintre cel mai mare număr natural par format cu două cifre diferite şi numărul determinat anterior.

Problema 2 (20 puncte = 10 puncte + 10 puncte)

Paul şi Mihai au economisit bani pentru a cumpăra un trenuleţ electric. Dacă Paul ar contribui cu o treime din suma pe care o are, atunci Mihai ar trebui să pună cu 50 de lei mai mult decât dublul sumei cu care contribuie Paul pentru a putea cumpăra trenuleţul. Dacă Paul ar pune toţi banii pe care îi are, atunci Mihai ar pune cu 70 de lei mai puţin decât Paul. a) Câţi bani a economisit Paul? b) Cât costă trenuleţul? Justificaţi răspunsurile. Problema 3 (20 puncte = 15 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b))

Mădălina îşi planificase să parcurgă cu bicicleta acelaşi număr de kilometri pe zi pe durata a patru zile.

În realitate ea a parcurs în prima zi din norma zilnică, iar apoi cu 5 kilometri mai mult în fiecare zi

decât în cea precedentă şi astfel a reuşit să parcurgă cu bicicleta întreaga distanţă la timp. Să se determine: a) Numărul de kilometri parcurşi cu bicicleta în prima zi; b) Câți kilometri ar fi trebuit să parcurgă în prima zi, ştiind că, dacă ar fi parcurs cu 7 kilometri pe zi mai mult decât în cea precedentă, în trei zile ar fi parcurs întreaga distanţă? Problema 4 (20 puncte = 15 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Numerele naturale nenule sunt așezate în ordine crescătoare sub forma unui triunghi ca mai jos: 2

8 14

20 26 32

38 44 50 56

62 68 74 80 86

... ... ... ... ... ... ... ... ...

a) Cu ce număr începe linia 77? b) Să se determine numărul situat în mijlocul liniei 77? c) Să se determine linia pe care se găsește numărul 668. test elaborat de prof. ROMEO ZAMFIR

Rezolvarea testului nr. 24. Soluții prezentate de prof. Romeo Zamfir.

Problema 1. a)

( )

( )

( )

( )

( )

3 11 14 10 :12 17 3 167

3 154 10 :12 17 3 167

3 154 10 :12 51 167

3 144 :12 51 167

3 12 51 167

3 63 167

189 167

22

× × − + × − =

= × − + × − =

= × − + − =

= × + − =

= × + − =

= × − =

= − =

=

b)

( ) ( ){ }( )

( )

( )

( )

19 18: 2 4 3 11 14 10 :12 17 3 167 7

19 18: 2 4 22 7

19 18: 2 88 7

19 18: 2 7 88

19 18: 2 95

18: 2 95:19

18: 2 5

18: 5 2

18: 3

18:3

6

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

× + − × × × − + × − =

× + − × =

× + − =

× + = +

× + =

+ =

+ =

= −

=

=

=

c) Câtul și restul trebuie să fie cele mai mari posibile. Restul este mai mic decât 18 și împarte exact la, deci restul poate fi 16, 12, 8, 4 sau 0. Dacă restul este 16, atunci câtul este 16 : 4 4= și numărul căutat este 4 18 16 88× + = . Răspuns: 98 88 10− = .

Problema 2.

”Dacă Paul ar contribui cu o treime din suma pe care o are, atunci Mihai ar trebui să pună cu 50 de lei mai mult decât dublul sumei cu care contribuie Paul pentru a putea cumpăra trenuleţul.” Desenul corespunzător este următorul:

”Dacă Paul ar pune toţi banii pe care îi are, atunci Mihai ar pune cu 70 de lei mai puţin decât Paul.” Desenul corespunzător este următorul:

Cele două desene de mai sus pot fi interpretate ca mai jos:

Din ultimul desen deducem: 3 50 70a× = + 3 120a× =

120 : 3a = 40a =

Paul a economisit 3 3 40 120 leia× = × = și costul trenulețului electric este 3 50 3 40 50 170 leia× + = × + = . Răspunsuri: a) 120 lei

b) 170 lei

Problema 3. a) Datele din problemă pot fi organizate sub forma unui tabel ca mai jos:

Deducem că: 12 segmente 8 segmente 5 10 15= + + + 12 segmente - 8 segmente = 5 10 15+ + 4 segmente = 30 km 4 segmente = 30000 metri 1 segment = 30000 : 4 metri 1 segment = 7500 metri Deci, în prima zi au fost parcurși cu bicileta 2 7500 metri 15000 metri 15 km× = = . Distanța totală parcursă cu bicicleta este 12 7500 metri 90000 metri 90 km× = = . b) Desenul corespunzător este următorul:

Avem că

3 segmente 90 7 14

3 segmente 69

1 segment 69 : 3

1 segment 23 km

= − −

=

=

=

Răspunsuri: a) 15 km

b) 23 km Problema 4. Considerăm șirul 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, ….. Pentru a calcula numărul de termeni ai unui șir se poate folosi formula: Numărul de termeni = (Ultimul termen – Primul termen) : Rație + 1 a) Pe primele 76 de linii sunt 1 2 3 ... 74 75 76S = + + + + + + termeni ai șirului de mai sus.

Deci,

de 76 ori

1 2 3 ... 74 75 76

76 75 74 ... 3 2 1

2 77 77 77 ... 77 77 77

S

S

S

= + + + + + +

= + + + + + +

× = + + + + + +�������������

Obținem că 2 77 76S× = × 77 76 : 2S = × 2926S = Prin urmare, numărul cu care începe linia 77, notat cu x , este al 2927-lea termen al șirului considerat mai sus:

2927 termeni

2,8,14, 20, 26,..., x���������

.

( )

( )

( )

2 : 6 1 2927

2 : 6 2927 1

2 : 6 2926

2 2926 6

2 17556

17558

x

x

x

x

x

x

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

=

Altfel, numărul x poate fi determinat cu regula împărțirilor: 2 : 6 0 rest 2= 8 : 6 1 rest 2= 14 : 6 2 rest 2= ………………. : 6 rest 2x a= Deoarece numărul termenilor trebuie să fie 2927, urmărind coloana câturilor obținem 2926a = . Deci, 2926 6 2 17558x = × + =

b) Pe linia 77 sunt 77 de numere și 77 : 2 38 rest 1= , deci numărul situat pe mijlocul liniei 77, notat cu

y, este ce de-al 39-lea număr de pe linia 77. Avem că: 39 termeni

17558,17564,..., y���������

( )

( )

( )

17558 : 6 1 39

17558 : 6 39 1

17558 : 6 38

17558 38 6

17558 228

17558 228

17786

y

y

y

y

y

y

y

− + =

− = −

− =

− = ×

− =

= +

=

Altfel, numărul y poate fi determinat cu regula împărțirilor: 17558 : 6 2926 rest 2= 17564 : 6 2927 rest 2= 17570 : 6 2928 rest 2= ………………. : 6 rest 2y b= Deoarece numărul termenilor trebuie să fie 39, urmărind coloana câturilor obținem 2925 39b − = , adică

2964b = Deci, 6 2 2964 6 2 17786y b= × + = × + = . c) Determinăm poziția în șirul 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, . ….. a numărului 668. Avem că ( )668 2 : 6 1 666 : 6 1 111 1 112− + = + = + = . Deci, numărul 668 este al 112-lea termen al șirului.

Dar, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 105+ + + + + + + + + + + + + = , de unde rezultă că pe primele 14 linii sunt 105 termeni ai șirului și pe linia următoare vor fi 15 termeni ai șirului. Prin urmare, numărul 668 este al 7-lea număr de pe linia 15. Răspunsuri: a) 17558

b) 17786 c) Linia a 15-a.