resumen microeconomía

Microeconomıa I: apunte de cursoVersion 3, corregida y ampliada

Jorge Rivera *

6 de marzo de 2013

*Departamento de Economıa, Universidad de Chile, Diagonal Paraguay 257, Torre 26, Of. 1502, Santiago,Chile. [email protected]. Se agradece el trabajo de Marco Rojas para la confeccion de este apunte.

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mailto:[email protected]

Departamento de Economıa Universidad de Chile

Indice

I Teorıa del Consumidor 6

1. El modelo del consumidor 61.1. Preferencia y funcion de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Eleccion del consumidor: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion . . . . . . . . . . . . . 201.4. Analisis de sensibilidad del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . 291.5. Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto . . . . . . . . . . . . . . 361.6. Funciones de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7. Efectos sustitucion e ingreso, ecuacion de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Aplicaciones y complementos 492.1. Demanda agregada y equilibrio (parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2. El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3. Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4. Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Decisiones Bajo Incertidumbre 653.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Aproximacion de los individuos hacia el riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

II Teorıa de la Firma 79

4. Conceptos Basicos 794.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3. Sobre la funcion de produccion y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . . . 804.4. Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5. Corto y largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5. Maximizacion de Beneficios 1035.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2. Maximizacion del beneficio de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3. Maximizacion del beneficio y rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Costos 1136.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2. Costos medios y marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3. Costos de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4. Analisis de sensibilidad de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.4.1. Costos y eficiencia productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4.2. Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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6.4.3. Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4.4. Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.5. Geometrıa de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7. Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta 1387.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.2. Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.2.1. La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2.2. Oferta de la firma y la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.3. ¿Como se determina el precio de mercado?: analisis de equilibrio parcial . . . . 147

8. Competencia imperfecta: monopolio 1518.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2. Maximizacion del beneficio de un monopolio debil . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3. Discriminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.4. Monopsonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9. Oligopolio: introduccion general 1629.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.2. Cournot-Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3. Equilibrio de Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

III Apendice: Repaso Matematico 172

10.La derivada y conceptos relacionados 17210.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.2. El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.3. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.4. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.Funciones Importantes 18611.1. Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.2. Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18711.3. CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.4. Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.5. Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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Indice de figuras

1. Curva de Indiferencia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. Curva de Indiferencia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Pendiente de una Curva de Indiferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Relacion Marginal de Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Restriccion Presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186. Restriccion Presupuestaria y aumento en la riqueza . . . . . . . . . . . . . . . . 197. Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208. Maximizacion de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239. Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510. Maximizacion de Utilidad de Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711. Bien Giffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012. Bien Giffen y No Giffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113. Bien Normal y Bien Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314. Bien de Lujo y Bien Necesario (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415. Bien de Lujo y Bien Necesario (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3516. Funcion de Compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4317. Ecuacion de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618. Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919. Oferta Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5020. Demanda y Oferta Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5121. Excedente del Consumidor (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5222. Excedente del Consumidor (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5323. Excedente del Consumidor (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5424. Excedente del Consumidor y Perdida de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . 5525. Valor Esperado del Ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7226. Utilidad VNM Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7327. Utilidad VNM Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7428. Utilidad VNM Concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7529. Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7830. Funcion de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8231. Funciones de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8332. Producto Medio y Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8533. Comportamientos Funciones de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8534. Distintos Comportamientos en una Funcion de Produccion . . . . . . . . . . . . 8635. Funcion Concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8636. Isocuanta de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9037. Isocuanta son curvas decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9138. Isocuantas no se cortan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9139. Pendiente de Isocuantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9240. Arriba, bajo y sobre una Isocuanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9341. Relacion Tecnica de Sustitucion (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9442. Elasticidad de Sustitucion (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9543. Elasticidad de Sustitucion (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9644. Elasticidad de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10145. Isobeneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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46. Maximizacion de Beneficios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10747. Isocosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11848. Grafico de las Condiciones de Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11849. Costo Medio y Costo Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11950. Costos y Rendimientos de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12651. Costo Medio Mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13352. Costos en el Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13453. Costos en el Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13554. Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo . . . . . . 13655. Costos Medios de Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13656. Costos Marginales de Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13757. Curva de Demanda de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13958. Oferta de la Firma en el Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14259. Oferta de la Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14360. Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14461. Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14562. Cantidad producida y precio en Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15663. Beneficios del Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15764. Perdida de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15865. Oligopolio Cournot-Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16466. Curva de Reaccion de la Firma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16567. Curva de Reaccion de la Firma 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16668. Ambas Curvas de Reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16669. Existencia y Unicidad de Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16770. Interpretacion de la derivada como pendiente de la tangente en el punto . . . . 17371. Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funcion de dos variables 17472. Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 17673. Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes. . . . . . . 17874. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17975. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18076. Mınimos y Maximos Locales y Globales (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18277. Mınimos y Maximos Locales y Globales (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18378. Curvas de Nivel de una funcion Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18879. Curvas de Nivel de una funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18980. Curvas de Nivel de una funcion Leontiev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

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Parte I

Teorıa del Consumidor

1. El modelo del consumidor

1.1. Preferencia y funcion de utilidad

El objetivo de lo que sigue es plantear, y estudiar, un modelo sencillo de consumidores(personas, empresas, inversionistas, etc.). El enfoque que adoptamos es tradicional en micro-economıa, y parte del supuesto que los agentes economicos bajo estudio son racionales,con objetivos hedonistas que son satisfechos a traves del consumo de bienes (y/o servicios).Cuando hablamos de objetivos hedonistas, estamos suponiendo que el consumo de bienes serealiza con el objetivo de lograr bienestar (placer, satisfaccion, etc.), y la racionalidad se refierea que la eleccion de los mismos es hecha de la mejor forma posible, en un sentido que precisa-remos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar de la mejor manera los recursos que dichoagente dispone con el fin de cumplir sus objetivos. Es entonces la combinacion entre lo que sepuede y lo que se quiere lo que en definitiva define el acercamiento de los individuos al consumo.

En todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que solo hay dos bienesde consumo1, digamos, los bienes 1 y 2, cuyas cantidades genericas seran denotadas por x1y x2, las que sin perdida de generalidad supondremos positivas (es decir, que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0).

Definicion 1.1 Una canasta de consumo para un individuo es un par ordenado de la forma

X = (x1, x2) ∈ R2+,

que indica x1 ∈ R+ cantidad del bien uno y x2 ∈ R+ cantidad del bien dos.

Con el fin de definir preferencias sobre las canastas de consumo, debemos tener presenteque no existe un orden natural entre vectores, que de maneja objetiva (universal) nos digacual es mejor entre dos de ellos2. Por ejemplo, asumiendo que los bienes 1 y 2 son deseablespor los individuos (cuestion que obviamente debemos asumir), ciertamente la canasta (2, 3)sera universalmente preferida a la canasta (1, 2), pues tiene mas de ambos bienes. Sin embargo,si el individuo debe decidir entre la canasta (2, 3) y la canasta (3, 2), la respuesta dependera decada persona, no habiendo por tanto un criterio que, a priori, nos permita anticipar tal eleccion.

Para lo que sigue, asumiremos que efectivamente cada individuo dispone de un criterio quele permite hacer la eleccion entre dos canastas. Este criterio simplemente nos dira lo que elprefiere cuando se presentan dos opciones a escoger. Formalmente, dicho criterio corresponde alo que en economıa se denomina relacion de preferencias. Ası, dadas dos canastas de consumoX = (x1, x2) ∈ R

2+ y X ′ = (x′1, x

′2) ∈ R

2+, supondremos que el individuo siempre puede

manifestar su opcion por una u otra: si el agente prefiere X a X ′, se denotara

X ′ � X,

en cambio, si prefiere X ′ a X se denotara

1Cosa que en rigor no es una restriccion importante del modelo, pues este se puede extender directamentepara considerar mas bienes.

2Cuestion que se tiene para numeros reales.

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X � X ′.

Si ocurre que X � X ′ y X ′ � X, diremos que el individuo es indiferente entre X y X ′, y sedenotara

X ′ ∼ X.

Finalmente, si ocurre que X ′ � X pero no se tiene que X � X ′ (es decir, prefiere X aX ′ pero no prefiere X ′ a X), diremos que el individuo prefiere estrictamente X a X ′, y sedenotara

X ′ ≺ X.

Como un individuo elige entre dos opciones es seguramente una cuestion relacionada con lasicologıa, la sociologıa, o con la genetica, etc., aspectos sobre los cuales difıcilmente la economıatiene algo que decir. De hecho, este punto puede ser muy relevante para efectos normativos, eincluso morales: no existe claridad de como se forman las preferencias, como tampoco se puedeafirmar ex ante que unas sean mejores que otras (“sobre gustos no hay nada escrito. . .”).

Para nuestros efectos, se asume como dado el “mecanismo interno” por medio del cual cadaindividuo realiza sus elecciones. Obviamente haremos algunos supuestos (razonables) sobredicho mecanismo, con el fin de construir un modelo simple que nos permita, por ejemplo,estudiar como las decisiones de los agentes se ven alteradas cuando se enfrentan a restriccionespara escoger sus consumos deseables, restricciones que a su vez se pueden modificar en funcionde parametros exogenos, tales como precios, ingreso, impuestos, etc.

Ejemplo 1.1 Supongamos que la preferencia de un individuo, denotada �, es dada segun elsiguiente criterio: la canasta X = (x1, x2) es preferida a la canasta X ′ = (x′1, x

′2) (es decir,

X ′ � X)si y solo si

α · x′1 + β · x′2 ≤ α · x1 + β · x2,con α, β ∈ R++ conocidos. De esta manera, estamos considerando que el individuo tiene unarelacion de preferencias, a traves de la cual manifiesta sus opciones de consumo, de forma talque al tener que decidir entre X y X ′, optara por aquel vector (canasta) que arroje mayorvalor del promedio ponderado ya expuesto. Por ejemplo, si α = 1 y β = 2, entonces la canastaX = (2, 4) es preferida a la canasta X ′ = (4, 2), pues la primera arroja un valor 1 ·1+2 ·4 = 9,mientras que la segunda nos da valor 8. Notemos que si los ponderadores cambian, entonces nonecesariamente X continuara siendo preferido a X ′. Es facil ver que, de acuerdo a la definicionde la preferencia, se tiene que

X ′ ≺ X ⇔ α · x′1 + β · x′2 < α · x1 + β · x2,

X ′ ∼ X ⇔ α · x′1 + β · x′2 = α · x1 + β · x2.

Ejemplo 1.2 La preferencia lexicografica

Diremos que una canasta X = (x1, x2) ∈ R2+ es preferida lexicograficamente a una

canasta X ′ = (x′1, x′2) ∈ R

2+ si, (i) o bien x1 > x2, o bien, (ii) cuando x1 = x′1, se tiene que

x2 > x′2. En tal caso notaremos

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X ′ �Lex X.

Esta preferencia se corresponde con el orden de las palabras en el diccionario: se entiendeque una palabra es mejor que otra cuando esta “mas arriba” en el diccionario.

Definicion 1.2 Funcion de utilidad

Dados X = (x1, x2) ∈ R2+ y X ′ = (x′1, x

′2) ∈ R

2+, supongamos que existe una funcion

u : R2+ → R tal que la preferencia � del individuo cumple con la siguiente propiedad:

X ′ � X ⇔ u(X ′) ≤ u(X),

es decir, que la canasta X es preferida a la canasta X ′ si al evaluar la funcion u(·) en elcorrespondiente vector se obtiene un valor mayor o igual segun el caso. En tal caso decimosque la preferencia � es representada por la funcion de utilidad u(·).

Ejemplo 1.3 Del Ejemplo 1.1, donde se tiene que

u(X) = u(x1, x2) = αx1 + βx2

es una funcion de utlilidad asociado a la preferencia del individuo.

Ejemplo 1.4 Funciones de utilidad usualesEn microeconomıa hay diversas opciones para considerar funciones u(·). Las mas usuales

para representar preferencias son:

(a) Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα1 · xβ2 , con α, β ≥ 0.

(b) CES: u(x1, x2) = (xr1 + µ · xr2)1/r, con µ, r ≥ 0.

(c) Lineal: u(x1, x2) = αx1 + βx2, con α, β ≥ 0.

(d) Leontiev: u(x1, x2) = mın{αx1, βx2}, con α, β ≥ 0.

Nota. 1.1 ¿Que significa que la preferencia de un individuo es dada por una funcion de uti-lidad Cobb-Douglas, cuyos parametros son α = 1/3 y β = 1/2? Significa que enfrentado a laeleccion entre dos canastas, digamos X = (x1, x2) ∈ R

2+ y X ′ = (x′1, x

′2) ∈ R

2+, esta persona

escogera aquella canasta que entrega mayor valor una vez que el correspondiente vector es eva-luado segun la funcion correspondiente. Es decir, escogera X por sobre X ′ si u(X) > u(X ′), obien escogera X ′ sobre X si u(X ′) > u(X), y sera indiferente entre ambos si u(X) = u(X ′),

donde u(X) = u(x1, x2) = x1/31 x

1/22 (Cobb-Douglas).

Ejemplo 1.5 Una aplicacion: seleccion de personalSupongamos que una firma debe decidir contratar a una persona entre diversos postulantes.

A cada uno ellos se les toma un test de conocimientos sobre el trabajo que deberıan realizary, ademas, se los califica segu una entrevista sicologica. El puntaje de la prueba de conoci-mientos va de 1 a 100 (lo mejor es 100), misma escala para el test sicologico. Supongamosque hay N postulantes, indexados por i = 1, . . . , N y que cada uno de ellos obtiene puntajesCi, Si ∈ [1, 100] en cada una de las pruebas, respectivamente. ¿A quien contrata? Obviamentelas personas NO son bienes de consumo; aun ası, podemos entender el problema de la firma

8


como escoger entre canastas (Ci, Si) ∈ R2+, i = 1, . . . , N, segun su conveniencia. “En la vi-

da”, ocurre normalmente que NO existe un individuo que domine a todos los demas en todoslos aspectos que se estan evaluando; si ese fuera el caso, la eleccion es obvia. El problema esentonces disponer de un ranking que nos permita ordenar a los postulantes segun algun pun-taje, y dado esto realizar la eleccion. En este caso, ese ranking es propio de cada firma, puesella (sus gerentes o tomadores de decisiones) deberan decidir que aspecto privilegiar y comoprivilegiarlo. En este caso, el ranking en comento se puede entender como la preferencia dela firma respecto de los postulantes; obviamente hay muchas formas proceder. Por ejemplo, unafirma podrıa considerar un criterio basado en el siguiente modelo: el postulante i ∈ {1, . . . , N}es mejor que el postulante i′ ∈ {1, . . . , N} si 3Ci + 4Si > 3Ci′ + 4Si′ . En tal caso, entendemosque la preferencia de la firma (puntaje) por las canastas (C,S) es 3C + 2S.

Generalizando lo anterior, podemos asumir que existe una funcion U : R2+ → R+ tal que el

puntaje de cada postulante, con el cual se define el ranking, es dado por

u(C,S) ∈ R,

donde C,S es el puntaje en conocimientos y test sicologico respectivamente. Si este metodo esaceptado, entonces se escogera a aquel individuo que obtiene la mayor cantidad de puntos segunla regla ya expuesta.

Nota. 1.2 Un par de comentarios sobre el ejemplo anterior:

(i) el criterio para asignar puntajes a los postulantes define un orden entre ellos, del mejoral peor. Si en vez de utilizar un criterio basado en la funcion u : R2

+ → R+ ya expues-ta, se hubiese considerado otro, por ejemplo, basado en el cuadrado de dicha funcion,entonces el orden que fue inducido por la funcion u(·) original no se ve alterado por elnuevo metodo. En efecto, supongamos que una vez ordenados los postulantes segun lospuntajes definidos por la funcion original, en orden decreciente las posiciones resultantesson i1, i2, . . . , iN (es decir, el primer lugar para el Sr. i1, el segundo para el Sr. i2, etc.);por definicion esto significa que

u(Ci1 , Si1) > u(Ci2 , Si2) > u(Ci3 , Si3) > . . . u(CiN , SiN ). (1)

Ahora bien, al aplicar cuadrado a las desigualdades en (1), el orden de individuos queallı se tenıa NO se ve alterado, pues obviamente se cumple que

[u(Ci1 , Si1)]2 > [u(Ci2 , Si2)]

2 > [u(Ci3 , Si3)]2 > . . . > [u(CiN , SiN )]

2.

Mas general, dada

ψ : R → R

estrictamente creciente, entonces el orden que se induce de utilizar la funcion u es elmismo que induce la funcion

U : R2+ → R | U(C,S) = ψ ◦ u(C,S) = ψ(u(C,S)).

La funcion U es la composicion de ψ con u.

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(ii) De lo anterior, con el fin de escoger canastas (bienes de consumo, seleccion de personal,etc.), basado en un metodo que emplea una funcion U como antes, en rigor resulta queNO es relevante el puntaje que se obtiene de aplicar dicha funcion, sino mas bien elranking (orden) que dicho puntaje induce. Por esta razon se dira que las preferenciasson ordinales y NO cardinales.

En terminos formales, lo expuesto en el punto (i) de la Nota 1.2 se resume en la siguienteproposicion.

Proposicion 1.1 Si u : R2+ → R es una funcion de utilidad que representa a la relacion de

preferencias �, entonces para cualquier funcion ψ : R → R estrictamente creciente, se tieneque

U = ψ ◦ u | U(X) = ψ(u(X))

tambien es una funcion de utilidad que representa a la misma preferencia.

La Proposicion 1.1 nos dice que, de existir, las funciones de utilidad de un individuoson unicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia directa de esta propo-sicion podemos asumir, sin perdida de generalidad, que las funciones de utilidad tomanvalores positivos, pues en caso contrario es cuestion de sumar una constante suficientementegrande que garantice la positividad (o elevar al cuadrado), cuestion que no altera el orden entrelas canastas que induce la utilidad original.

Una pregunta relevante que surge de lo expuesto es si toda preferencia puede ser representa-da por una funcion de utilidad. Desafortunadamente (mas bien, afortunadamente) la respuestaes no. Para que efectivamente una preferencia � pueda ser representada por una funcion deutilidad, debe cumplir con algunas condiciones que, a priori, no toda preferencia ha de satisfa-cer. Por ejemplo, se puede demostrar que la preferencia lexicografica definida en Ejemplo1.2 no puede se representada por una funcion de utilidad.

El resultado que sigue se presenta sin demostracion (requiere conocimientos de matematicasque escapan al nivel del curso), y nos entrega condiciones necesarias para que una preferenciapueda ser representada por una funcion de utilidad.

Teorema 1.1 Dadas las canastas de consumo X = (x1, x2), X′ = (x′1, x

′2) y X ′′ = (x′′1 , x

′′2) ∈

R2+ , si la relacion de preferencias � cumple con las siguientes condiciones:

a.- Completitud: o bien X � X ′, o bien X ′ � X;

b.- Reflexividad: se cumple que X � X;

c.- Transtividad: si X � X ′ y X ′ � X ′′ entonces X � X ′′;

d.- Monotonicidad estricta: dado h ∈ R2+, h 6= (0, 0), entonces X ≺ X + h;

e.- Continuidad: si X ≺ X ′, existe ǫ > 0 tal que si ‖X ′ −X‖ ≤ ǫ entonces X ≺ X;

existe entonces una funcion de utilidad continua que la representa, es decir, u : R2+ → R

tal que

X � X ′ ⇔ u(X) ≤ u(X ′).

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Diversos comentarios sobre el importante resultado anterior:

(i) La completitud asume que el consumidor siempre puede decidir que prefiereante dos alternativas que se presentan. Este supuesto inhibe que el agente tengadudas sobre su eleccion. La reflexividad es un supuesto relativamente naturalde asumir, simplemente nos dice que algo es preferido (no estrictamente) ası mismo.

(ii) La transitividad es un supuesto que puede resultar complejo de varificar enla practica: pensar en situaciones de eleccion de tres bienes, donde cada unoindica preferencias de a pares, ¿por que se deberıa mantener cierta consistenciaen dichas manifestaciones de a pares? Ciertamente este supuesto juega un papelmuy importante en el modelo micro.

(iii) La monotonıa estricta es otro supuesto fuerte. En terminos simples, corres-ponde a decir que mas es mejor, en el sentido que si aumentamos la cantidadde consumo de al menos uno de los bienes de las canastas, entonces necesa-riamente la satisfaccion que se obtiene es mas grande. Asume entonces que noexiste saturacion en el consumo (es decir, que siempre sera deseable consumirmas), cosa que parece difıcil de sostener en general (¿o no?).

(iv) La continuidad es un supuesto tecnico, y bastante general. Afirma que si unacanasta X es preferida estrıctamente a otra X ′, entonces canastas suficiente-mente cercanas en cantidad a X tambien seran preferidas estrictamente a lacanasta X ′.

(v) Si la preferencia � es representada por la funcion de utilidad u, entonces esdirecto concluir que:

(a) X ≺ X ′ ⇔ u(X) < u(X ′).

(b) X ∼ X ′ ⇔ u(X) = u(X ′)

Como se desprende del Teorema 1.1 , no todas las preferencias pueden ser representa-das por funciones de utilidad. Por simplicidad, por la posibilidad de realizar diversos analisiseconomicos y calculos explıcitos, porque el problema del consumidor se puede plantear comoun problema de optimizacion estandar, porque podemos disponer de soluciones analıticas paraconceptos economicos importantes, porque podemos llevar a cabo analisis de sensibilidad delas soluciones, etc., en todo lo que sigue trabajaremos con preferencias que se puedenrepresentan por funciones de utilidad. De hecho, cuando se plantee el problema del consu-midos, pasar de relaciones de preferencia a funciones de utilidad implica pasar de un problemade decision (optimizacion) vectorial a un problema escalar, cosa que efectivamente simplificala vida enormemente (y que de paso, sabemos resolver bien bajo circunstancias relativamenteusuales en economıa). El sacrificio de tal simplificacion esta en la generalidad que se pierdeen el modelamiento de la economıa, pues se trata de casos particulares de preferencias de losagentes.

Proposicion 1.2 Si la preferencia � cumple las condiciones del Teorema 1.1, entonces cual-quier funcion de utilidad que la representa es estrictamente creciente por componentes.

Esto quiere decir que dada una funcion de utilidad u que viene de lo anterior, se tiene quesi x1 < x′1 y x2 < x′2,

11


u(x1, x2) < u(x′1, x2), u(x1, x2) < u(x1, x′2),

(funcion de utilidad creciente por componentes). Obviamente se tiene que u(x1, x2) < u(x′1, x′2).

Ahora bien, si la funcion de utilidad (f.d.u) es diferenciable, lo anterior implica que

∂u(x1, x2)

∂x1> 0,

∂u(x1, x2)

∂x2> 0. (2)

El supuesto demonotonıa estricta (2) sera asumido en todo lo que sigue. La demostracionde la Proposicion 1.2 es directa de las definiciones, y se deja como ejercicio.

Algunas definiciones que seran utiles en todo lo que sigue.

Definicion 1.3 Utilidad marginalDada una funcion de utilidad, u(·)y dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del

bien 1 corresponde al incremento en satisfaccion dado un aumento marginal (en una unidad)en el consumo del bien 1; analogo para la utilidad marginal del bien 2. La utilidad marginal delbien i = 1, 2 se representara por UMgi(x1, x2), i = 1, 3.

De la definicion anterior,

UMg1(x1, x2) = u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2), UMg2(x1, x2) = u(x1, x2 + 1)− u(x1, x2). (3)

Ahora bien, si la f.d.u es derivable, sabemos que,

∂u(x1, x2)

∂x1≡ lım

h→0

u(x1 + h, x2)− u(x1, x2)

h.

Si h = 1, la expresion resultante es solo una aproximacion de la derivada, es decir,

∂u(x1, x2)

∂x1≃ u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2)

1= u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2) = UMg1(x1, x2).

En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial co-rrespondiente de la funcion de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que mas que unaaproximacion se trata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa, entenderemos lautilidad marginal como la derivada parcial de la f.d.u en el punto en cuestion. Ası, deahora en adelante,

UMgi(x1, x2) ≡∂u(x1, x2)

∂xi.

Definicion 1.4 Curva de indiferenciaDado un nivel de satisfaccion α ≥ 0 prefijado, la curva de indiferencia al nivel α se

define como el conjunto de canastas (x1, x2) ∈ R2+ para las cuales se cumple que

u(x1, x2) = α.

12


De la Definicion 1.4, dado el nivel de utilidad α, de la relacion u(x1, x2) = α, existe entoncesuna funcion implıcita entre x1 y x2, digamos, x2 = x2(x1), tal que

u(x1, x2(x1)) = α.

El grafico de dicha funcion en el sistema coordenado x1 − x2 corresponde a la curva deindiferencia al nivel α. La siguiente Figura 1 ilustra el concepto:

Figura 1: Curva de Indiferencia (1)

x∗2

x∗1

u(x1, x2) = a

Que el punto (x∗1, x∗

2) este en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x∗1, x∗

2) = α.

Consideremos ahora dos niveles de utilidad a < b. Si u(x∗1, x∗2) = a claramente u(x∗1, x

∗2) 6= b.

Por otro lado, dado que u(x∗1, x∗2) = a, entonces existira un valor δ > 0 para el cual u(x∗1 +

δ, x∗2) = b, pues la f.d.u. es creciente. Analogamente, existira un valor ǫ > 0 para el cualu(x∗1, x

∗2 + ǫ) = b. Luego, la curva de indiferencia al nivel b necesariamente esta arriba de la

curva de indiferencia al nivel a. De esta manera, se concluye que las curvas de indiferencia adistinto nivel no se cortan y, ademas, en la medida que aumentamos el nivel de satisfaccion,la curva se desplaza hacia arriba y la derecha,

Supongamos ahora que u(x1, x2) = a. Si x1 aumenta, digamos a x1+δ, con δ > 0, sea enton-ces x∗2 el nuevo valor para el cual u(x1 + δ, x∗2) = a. Puesto que u(·) es estrictamente creciente,necesariamente x∗2 debe ser menor que x2 pues, si fuera mayor o igual, entonces u(x1 + δ, x∗2)serıa mayor que a. Luego, las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes enel sistema coordenado x1 − x2, esto para cualquier funcion de utilidad estrictamente creciente.La Figura 2 ilustra lo expuesto.

Figura 2: Curva de Indiferencia (2)

abc

a < b < c

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Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las

curvas de indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia

son decrecientes.

Finalmente, notemos que dada una curva de indiferencia al nivel α y dado un punto (x∗1, x∗2)

sobre la curva y otro (x1, x2) bajo la curva, entonces se tiene que

u(x∗1, x∗2) > α, u(x1, x2) < α.

Ejemplo 1.6 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb2, con a, b > 0, la curva deindiferencia al nivel u0 corresponde a las canastas (x1, x2) tales que xa1 · xb2 = u0, de lo cual setiene que

x2(x1) =u

1b0

xab1

,

que es precisamente la “funcion implicita” que hemos mencionado. Por otro lado, las utilidadesmarginales son

UMg1(x1, x2) = axa−11 · xb2, UMg1(x1, x2) = bxa1 · xb−1

2 .

Note que la derivada de UMg1 c.r. a x1 es

∂UMg1∂x1

= a · (a− 1) · xa−21 · xb2,

que es negativa si a < 1, es decir, la utilidad marginal UMg1 es decreciente en el primer biensiempre y cuando a < 1. Analogo con UMg2 decreciente si b < 1. Luego, si la funcion deutilidad es concava, ambas utilidades marginales son decrecientes.

Dado un punto (x1, x2) en una curva de indiferencia al nivel α, calculemos la pendientea la tangente al grafo de la misma por el punto en cuestion. Obviamente esta pendientecorresponde a la derivada de la funcion implıcita x2(x1) ya definida, en el punto (x1, x2) de lamisma. Procedamos, en primer lugar, segun un argumento informal basado en la Figura 3.

Figura 3: Pendiente de una Curva de Indiferencia

x2

x2 − b

x1 x1 + a

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En la figura, supongamos que tenemos dos puntos cercanos (x1, x2), (x1 + a, x2 − b) en lacurva de indiferencia. Una aproximacion de la pendiente a la tangente al grafo de la curva en(x1, x2) es entonces

m =(x2 − b)− x2(x1 + a)− x1

= − ba.

Por otro lado, del hecho que u(x1 + a, x2 − b) = u(x1, x2) = α, haciendo la aproximacionpor la derivada se tiene que3:

u(x1 + a, x2 − b)− u(x1, x2) = 0 = a · ∂u(x1, x2)∂x1

− b · ∂u(x1, x2)∂x2

,

y luego,

m = − ba≈ −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

Formalmente es como sigue. Puesto que u(x1, x2) = α, existe una relacion implıcita entre x1y x2 (ver Ejemplo 1.1). Luego, x2 es una funcion de x1, digamos x2(x1). Ası, u(x1, x2(x1)) = α.Derivando esta expresion c.r. a x1 se tiene que

∂u(x1, x2(x1))

∂x1=

∂α

∂x1= 0,

ya que α no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena

∂u(x1, x2)

∂x1+∂u(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

de lo cual se desprende que

∂x2(x1)

∂x1= −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2),

que es analogo a lo ya mostrado. En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curvade indiferencia en un punto cualquiera de ella es menos el cuociente de las respectivasutilidades marginales. Tal pendiente es un concepto importante en economıa.

Definicion 1.5 Relacion marginal de sustitucionDada una funcion de utilidad, u(·), y dado un nivel de satifaccion α, se define la relacion

marginal de sustitucion en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, como lapendiente de la tangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotara RMS1,2(x1, x2) y deesta manera

RMS1,2(x1, x2) = −∂u(x1,x2)

∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

3En rigor, la siguiente relacion es solo una aproximacion, que asumimos como igualdad. Recuerde ademasque f(x1 + δ, x2) − f(x1, x2) ∼ δ ∂f(x1,x2)

∂x1y que f(x1, x2 − ǫ) − f(x1, x2) ∼ ǫ ∂f(x1,x2)

∂x2. Si se mueven ambas

componentes, se tiene la aproximacion indicada.

15


La siguiente Figura 4 ilustra el concepto:

Figura 4: Relacion Marginal de Sustitucion

x2

x1

m = RMS1,2

¿Como se interpreta la RMS1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en unacanasta (x1, x2) tal que u(x1, x2) = α y que decidimos aumentar en una unidad la cantidaddel bien 1, pasando de x1 a x1 + 1 (aumento marginal). En tal caso, si x2 no se modifica,necesariamente el aumento en el bien de consumo 1 implicara aumentos de satisfaccion; esdecir, u(x1 + 1, x2) > α. De esta manera, (x1 + 1, x2) no esta en la curva de indiferencia alnivel α. Para seguir en la curva de indiferencia (es decir, mantener el nivel de satisfaccionconstante a pesar del aumento marginal del consumo en el bien uno), necesariamente la cantidaddel bien 2 debe disminuir. Esta “disminucion” es precisamente la RMS1,2(x1, x2).

De todo lo anterior, es directo que:

a.- Si la funcion de utilidad es creciente por componentes, entonces la RMS1,2 es siemprenegativa4.

b.- La RMS2,15 es simplemente

RMS2,1 =1

RMS1,2(x1, x2)

.

Ejemplo 1.7 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb2, es directo que

RMS1,2(x1, x2) = −ax2bx1

.

4Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero tambien directamente de la definicion, ya que los pro-ductos marginales son positivos (funcion creciente ⇒ derivada positiva) y la RMS es el negativo del cuocientede los productos marginales.

5Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambiounitario del bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.

16


Supongamos que la funcion de utilidad es estrictamente concava. En tal caso, sabemos(ver Apendice matematico) que la relacion funcional x2(x1) que define la curva de indife-rencia es convexa, implicando que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivadade la curva de indiferencia es la relacion marginal de sustitucion, y ya que esta es siem-pre negativa, el hecho que sea creciente significa que cada vez es “menos negativa” en lamedida que aumenta la cantidad del bien 1. Esto implica que la cantidad en que disminuye elconsumo del bien 2 ante un aumento unitario (marginal) de consumo del bien 1 es decrecien-te en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. ¿Son las funciones de utilidad concavaslas unicas que tienen curvas de indiferencia convexa? La respuesta es NO, pues existe unacategorıa mas amplia de funciones que tienen la misma propiedad. Estas funciones son las lla-madas cuasiconcavas. De hecho, existen diversas formas de definir que se entiende por unafuncion cuasiconcava. Por ejemplo, se dice que una funcion u : R2

+ → R es cuasiconcava, si paracualquier X = (x1, x2),X

′ = (x′1, x′2) ∈ R

2+ y para cualquier λ ∈ [0, 1] se tiene que

u(λX + (1− λ)X ′) ≥ mın{u(X), u(X ′)}.Para nuestros objetivos, lo que es relevante de las funciones cuasiconcavas es que:

(i) toda funcion concava es cuasiconcava; la recıproca no es cierta, es decir, que existenfunciones cuasiconcavas que no son concavas.

(ii) se puede demostrar que una caracterizacion de la cuasiconcavidad (y por lo tanto, se puedeentender como una forma alternativa de definirla) es que las curvas de indiferenciason convexas:

una funcion es cuasiconcava si y solo si sus curvas de indiferencia son convexas.

¿Que es entonces lo relevante de las utilidades cuasiconcavas? Simplemente que la curva deindiferencia es convexa. Sobre este hecho se vuelve mas adelante, donde se justificara la impor-tancia de la convexidad de las curvas de indiferencia en el modelo que estamos desarrollando.

1.2. Eleccion del consumidor: conceptos generales

En lo que sigue, vamos a modelar el problema de eleccion de bienes de consumo (o servicios)por parte del agente, considerando que este se desenvuelve en un contexto economico dondelos bienes tienen cierto precio y que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos6 quepuede gastar en el consumo. Para los efectos de eleccion, asumiremos que el consumo de losbienes tiene un costo y que de las posibles canastas que puede elegir, solo puede acceder aaquellas que con sus recursos puede pagar. Si los precios de los bienes son p1 y p2 y losrecursos del consumidor son R (ingreso, renta, recursos, etc.), el agente puede entonces escogerentre todas aquellas canastas (x1, x2) ∈ R

2+ tales que

p1x1 + p2x2 ≤ R,

lo que motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.6 Conjunto de restriccion presupuestariaDados los precios de los bienes p1, p2, el conjunto de las canastas factibles que un

individuo con riqueza es R podrıa consumir se denota por

6Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc.

17


B(p1, p2, R) = {(x1, x2) ∈ R2+ | p1x1 + p2x2 ≤ R},

y se llama conjunto de restriccion presupuestaria del consumidor (o simplemente “con-junto presupuestario”).

La Figura 5 representa un conjunto de restriccion presupuestaria cualquiera.

Figura 5: Restriccion Presupuestaria

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

x2

R/p2

R/p1 x1

B(p1, p2, R)

En la figura anterior, la recta frontera superior del conjunto presupuestario se llamada rectapresupuestaria, y queda definida por la por ecuacion

p1x1 + p2x2 = R⇔ x2 =R

p2− p1p2x1.

Notemos que la interseccion de la recta presupuestaria con los ejes se da en los puntos

Eje x1 :

(R

p1, 0

), Eje x2 :

(0,R

p2

)

Ejemplo 1.8 ¿Que quiere decir (x1, x2) ∈ B(23, 12, 130)? Significa que si los precios del bienuno y dos son p1 = 23 y p2 = 12 respectivamente, y que si la renta (ingreso, riqueza, etc.) delindividuo es R = 130, entonces para este Sr. es factible comprar una canasta conformada porx1 del bien uno y x2 del bien dos.

¿Como se “interpreta” la recta presupuestaria? Como se ha expuesto, a los precios p1, p2y al ingreso R, una canasta (x1, x2) ∈ R

2+ esta en la correspondiente recta presupuestaria si

p1x1 + p2x2 = R. Por lo tanto, si el individuo decide comprar esta canasta, se gasta todos losrecursos que tiene. Ası, para una canasta (x′1, x

′2) ∈ R

2+ que no esta en la recta presupuestaria,

o bien

(a) la canasta (x′1, x′2) ∈ R

2+ es demasiado cara para el nivel de recursos que dispone el

sujeto, de modo que no puede comprarla; en tal caso, es una canasta no factible, yobviamente se cumple que

p1x′1 + p2x

′2 > R,

18


(b) o bien que al comprar la canasta (x′1, x′2) ∈ R

2+ de todas formas le sobran recursos, pues

con el ingreso que tiene, paga demas dicho consumo; en este caso, luego de comprar lesigue sobrando riqueza; el remanente de riqueza es

R− p1x′1 + p2x

′2 > 0.

Cambios en los parametros precio y riqueza tienen incidencia en la forma del conjuntopresupuestario, cuestion que a su vez tiene una clara lectura desde el punto de vista de laeconomıa. A priori, si la riqueza aumenta, se deberıa tener una situacion mas favorable parael individuo en cuanto a sus opciones de elegir, pues en tal caso, ademas de lo que ya podıacomprar, tiene ahora nuevas opciones de canastas que antes no tenıa. Por otro lado, que unode los precios aumente (todo lo demas constante) es una situacion desfavorable para el agente,pues en tal caso no necesariamente podra comprar las mismas canastas que antes del alza.Formalmente, si los precios se mantienen constantes y la riqueza del consumidor sube de R aR′, entonces el conjunto factible al nuevo ingreso crece hacia arriba y hacia la derecha respectodel original, de forma tal que contiene al original: si R′ > R entonces

B(p1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R′). (4)

De hecho, ya que los precios se mantienen constantes, la recta presupuestaria del conjuntoB(p1, p2, R

′) es paralela a aquella del conjuntoB(p1, p2, R). Lo expuesto se ilustra en la Figura 6,

Figura 6: Restriccion Presupuestaria y aumento en la riqueza

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R′/p2

R/p2

R/p1R′/p1 x1

En forma analoga, si la riqueza disminuye entonces la correspondiente frontera se desplazaparalela hacia el origen, lo que resulta en un conjunto factible “mas pequeno que el original”.

Por otro lado, si el precio p1 aumenta a p′1 (el bien 1 se hace mas caro), manteniendoconstante p2 y R, el conjunto factible se modifica como se muestra en la Figura 7. En es-te caso, cambia la pendiente de la recta presupuestaria, de forma tal que el nuevo conjuntoesta contenido en el original: si p′1 > p1 entonces

B(p′1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R). (5)

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Figura 7: Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R/p2

R/p′1 R/p1x1

p′1 > p1

Si el precio disminuye, entonces la recta presupuestaria pivotea hacia la derecha, de modoque el nuevo cojunto contiene al original. Lo ya expuesto aplica para cambios en el precio delbien dos, todo lo demas constante.

Ejemplo 1.9 Subsidios, impuestos, herencias, etc.Los subsidios, impuestos, herencias, etc., los podemos entender como parametros exogenos

que modifican ya sea los precios o la riqueza del individuo. Por ejemplo, si inicialmente unapersona tiene una riqueza R > 0 y los precios de los bienes de consumo son p1, p2, que el sujetoreciba una herencia H > 0 implica que su nuevo riqueza es R + H, lo que ciertamente tieneimplicancias en las opciones tiene para elegir las canastas (en este caso, mas opciones). Por elcontrario, si se aplica un impuesto al ingreso, digamos T > 0, entonces el nuevo escenario queenfrenta es con riqueza R− T ; en tal caso las opciones de consumo son dadas por

B(p1, p2, R− T ).

Si deseamos “desincentivar” el consumo de, por ejemplo, el bien uno, se podrıa hacer (i)aumentando exogenamente el precio del mismo, o bien (ii) poniendo un impuesto al gasto quese haga en dicho bien. Por ejemplo, si se obliga un aumento del precio p1 en δ > 0, la nuevarecta presupuestaria es

(p1 + δ)x1 + p2x2 = R,

mientras que si grabamos el gasto en el bien uno, digamos, con una tasa de impuestoτ ∈ [0, 1], entonces la nueva recta es

(1 + τ)p1x1 + p2x2 = R.

1.3. Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion

Lo anterior describe con algun detalle el conjunto factible donde el consumidor puede hacerla eleccion de canastas de consumo. Obviamente dicho conjunto permite muchas opciones paraescoger canastas. El problema es determinar cual de aquellos puntos factibles es elmas razonable(deseable, conveniente, etc.) para nuestro personaje. Para el efecto puede haber muchos criteriossobre que es lomas razonable, criterio que una vez adoptado define la eleccion del individuo.Porejemplo, nuestro personaje podrıa elegir dentro de aquellas (i) canastas de bienes que tienen

20


un porcentaje pre-fijado entre uno y otro bien; (ii) entre aquellas que contienen necesariamenteuna cantidad x∗1 del bien 1 dada a priori; (iii) entre aquellas que satisfacen una desigualdadde la forma x1 ≥ ξ1, x2 ≥ ξ2, donde ξ1, ξ2 son dados a priori, etc. Lo anterior no es absurdocomo forma de escoger. Por ejemplo, que las elecciones de canastas sean condicionales a queexistan consumos mınimos en alguno de los bienes (o ambos) puede aparecer naturalmentebajo requisitos de salubridad, pues dicho consumo mınimo garantiza, por ejemplo, una cantidadadecuada de nutrientes.

En resumen, no hay una unica forma de establecer criterios de eleccion de canastasde consumo para los individuos: hay muchas opciones y no necesariamente algun criterio esmejor que otro, si es que tiene sentido hablar normativamente en estas materias. Sin embargo,hay un criterio ampliamente utilizado en economıa que, nuevamente, parte de la base delsupuesto hedonista que ya hemos indicado (el individuo consume porque le gusta, le hace bien,logra satisfaccion, etc.). El criterio considera que las elecciones de los individuos son hechascon el fin de maximizar la utilidad resultante del misma, teniendo en cuesta las restriccionespresupuestarias que enfrenta. De esta manera, se hace compatible lo que se quiere conlo que se puede, siendo esta la idea de racionalidad economica detras de todo el modeloque estamos desarrollando7.

Definicion 1.7 Problema del consumidor: maximizacion de utilidad sujeto a res-triccion presupuestaria.

Dados los precios de los bienes p1 y p2 y dada la renta del individuo R, el problema delconsumidor consiste en encontrar aquella canasta factible que maximiza su utilidad, lo que setraduce en resolver el siguiente problema de optimizacion:

{max u(x1, x2)

s.a (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R)⇔

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 ≤ R

Supongamos que la solucion del problema del consumidor es x∗1, x∗2 y que

p1x∗1 + p2x

∗2 < R (6)

Dos cuestiones. Primero, por definicion se tiene que para todo (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R),u(x1, x2) ≤ u(x∗1, x

∗2). Segundo, puesto que se cumple la condicion (6), entonces para δ > 0

suficientemente pequeno se tiene que8

p1(x∗1 + δ) + p2x

∗2 = R.

De lo anterior, (x∗1 + δ, x∗2) ∈ B(p1, p2, R). Pero ademas, ya que la funcion de utilidad esestrictamente creciente,

u(x∗1 + δ, x∗2) > u(x∗1, x∗2),

lo que contradice el hecho que (x∗1, x∗2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el

problema viene de suponer que p1x∗1 + p2x

∗2 < R, pues a partir de este hecho hemos podi-

do encontrar otro punto que nos entrega mas satisfaccion. En concreto, se tiene la siguienteproposicion.

7En algun sentido el criterio de racionalidad anterior sigue siendo “muy amplio”: muchas de las actividadesque uno realiza en la vida se pueden ver como resultado de un proceso de maximizacion; todo es cuestionde “escoger” la correcta funcion de utilidad para justificar tal eleccion. A pesar de esto, en todo lo que siguetrabajaremos bajo el supuesto que los consumidores son agentes cuyo objetivo es el indicado.

8Basta con δ =R−p1x

∗

1−p2x

∗

2

p1> 0.

21


Proposicion 1.3 Dada una funcion de utilidad estrictamente creciente en cada componente,si (x∗1, x

∗2) es la solucion del problema de maximizacion de utilidad sujeto a restriccion presu-

puestaria, necesariamente se debe cumplir que,

p1x∗1 + p2x

∗2 = R.

Ası, bajo el supuesto que la f.d.u es estrictamente creciente por componentes, el pro-blema del consumidor se puede replantear equivalentemente de la siguiente manera (se dapor descontado que las variables son mayores o iguales a cero):

Formulacion equivalente del problema del consumidor

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R(7)

El problema de optimizacion (7) es uno con restriccion de igualdad, y no de desigualdad comoera originalmente, lo que nos permite ocupar Lagrangeanos para resolverlo.

Definicion 1.8 Demanda Marshaliana y utilidad indirectaLa solucion del problema del consumidor (7) se denotara por

xi(p1, p2, R), i = 1, 2

y se llamara demanda Marshaliana del consumidor por el bien 1 y 2 respectivamente. Elmaximo valor de la funcion de utilidad dada la restriccion presupuestaria se denomina uti-lidad indirecta del individuo y se denota por v(p1, p2, R), es decir,

v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).

Para determinar las demandas, y con ello la funcion de utilidad indirecta, se procede, enprimer lugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor (7):

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ · [R− p1x1 − p2x2].

Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:

a.- ∂L(x1,x2,λ)∂x1

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

− λp1 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

= λp1.

b.- ∂L(x1,x2,λ)∂x2

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

− λp2 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

= λp2.

c.- ∂L(x1,x2,λ)∂λ = 0 ⇔ p1x1 + p2x2 = R.

De las condiciones a.− y b.− se tiene entonces que (cuociente),

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

=λp1λp2

=p1p2

⇔ RMS1,2(x1, x2) = −p1p2.

Resumiendo, la demanda se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones

Ec. 1 : RMS1,2(x1, x2) = −p1p2,

22


Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R.

En todo lo que sigue, trabajaremos bajo el supuesto que efectivamente las condi-ciones necesarias de primer orden nos permiten resolver el problema, sin requerircondiciones adicionales (o de segundo orden) para determinar las demandas. Un caso particu-lar muy importante para el cual se cumple tal supuesto anterior ocurre cuando las curvas deindiferencia son estrictamente convexas, cuestion que se tiene cuando la f.d.u es estrictamenteconicava (y mas general, estrictamente cuasiconcava). Esto justifica el empleo de tales funcionesen la practica.

Interpretemos geometricamente las condiciones de optimalidad del problema del consu-midor. Para ello, dada la restriccion presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) yx2(p1, p2, R), sea v = v(p1, p2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia alnivel v anterior es tangente a la recta presupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indi-ferencia debe cortar a la recta presupuestaria, ya que de lo contrario cualquier punto de ellano serıa factible. En segundo lugar, si la curva de indiferencia corta a la recta presupuestariaen mas de un punto, entonces habra otra curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad quetambien cortara a la recta presupuestaria, lo cual contradice la definicion demanda pues no seestarıa maximizando en xi(p1, p2, R). La unica alternativa que queda es la de tangencia comose muestra en la Figura 8,

Figura 8: Maximizacion de Utilidad

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

x2(p1, p2, R)

x1(p1, p2, R) R/p1

v

Note que, de la condicion de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta pre-

supuestaria(−p1

p2

)debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en

la demanda. Pero dicha pendiente es simplemente la relacion marginal de sustitucion y, por lotanto, se tiene que

RMS1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = −p1p2,

cuestion que ya sabıamos.

Nota. 1.3 Otra interpretacion de las condiciones de optimalidad

23


Denotemos por x∗1 = x1(p1, p2, R) y x∗2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el optimo, cual-quier modificacion en dichas cantidades de consumo deberıa hacer disminuir el nivel de sa-tisfaccion del individuo (las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debeotorgar menos utilidad). De esta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una

unidad, entonces la utilidad crecerıa∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

, pero, dado que existe una restriccion presupues-taria, el aumento anterior deberıa ser compensado por una disminucion en el consumo del bien2. Digamos que tal disminucion es δ. Luego, en primer lugar, se debe cumplir que,

p1(x∗1 + 1) + p2(x

∗2 − δ) = R

de lo cual se tiene que δ = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x∗1 + 1, x∗2 − δ) la utilidaddel individuo es menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de lasmodificaciones anteriores sera9,

∂u(x∗1, x∗2)

∂x1− p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2.

el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habrıamos encontrado otropunto con mayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,

∂u(x∗1, x∗2)

∂x1− p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

≤ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≤ −p1

p2. (8)

Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

.Para mantener la restriccion presupuestaria, el bien 2 deberıa aumentar en (p1/p2) y con todo

esto el cambio (positivo) en utilidad serıa, p1p2

· ∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

. De esta manera, el cambio neto enutilidad serıa:

−∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1+p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2,

el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,

− ∂u(x∗1, x∗2)

∂x1+p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

≥ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≥ −p1

p2. (9)

Mirando (8) y (9), se concluye que en el optimo se debe cumplir que, RMS1,2(x∗1, x

∗2) = −p1

p2,

condicion que ya tenıamos.

Si la funcion de utilidad es “concava sin lados rectos” (es decir, estrictamente concava),sabemos que las correspondientes curvas de indiferencia seran estrictamente convexas. En talcaso, al desplazar la recta presupuestaria con el fin de intersectarlas con la curva de indiferencia,la tangencia se dara en un unico punto, el cual, como ya sabemos, corresponde la demanda.De esta manera, podemos concluir que para cualquier p1, p2 > 0 y para cada ingreso R >0, xi(p1, p2, R), i = 1, 2, esta unıvocamente definida y se puede determinar a partir de las

9Recordemos que f(x1 + δ, x2 + ǫ)− f(x1, x2) ∼ δ ∂f(x1,x2)∂x1

+ ǫ ∂f(x1,x2)∂x2

.

24


condiciones necesarias de optimalidad del problema. Esta es la justificacion fundamental paraconsiderar funciones de utilidad concavas (mas general, cuasiconcavas) en el analisis.

La siguiente figura ilustra curvas de indiferencia convexas y no convexas y las demandasque se tienen en ambos casos. Note que en el segundo caso hay mas de una posibilidad para lademanda.

Figura 9: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Demanda Unica Demanda Multiple

Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa

Ejemplo 1.10 Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = xa1 · xb2, y dados los precios p1, p2 yla renta R, determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Para elcaso, el Lagrangeano es

L = xa1 · xb2 + λ[R − p1x1 − p2x2].

De las condiciones de optimalidad, se tiene que,

a.- axa−11 xb2 − λp1 = 0

b.- bxa1xb−12 − λp2 = 0

c.- p1x1 + p2x2 = R.

Luego, de a.− y b.− se tiene que ax2bx1

= p1p2, es decir, x2 =

bp1x1

ap2. De esta manera, lo anterior

en c.− implica que,

x1(p1, p2, R) =aR

p1(a+ b), x2(p1, p2, R) =

bR

p2(a+ b)

y ası,

v(p1, p2, R) =

(aR

p1(a+ b)

)a

·(

bR

p2(a+ b)

)b

.

Ejemplo 1.11 Demanda con funcion de utilidad linealDada la funcion de utilidad u(x1, x2) = a · x1 + b · x2, y dados los precios p1, p2 y la renta

R, determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Si seguimos el

25


enfoque utilizando las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, el Lagrangeanodel problema es

L = a · x1 + b · x2 + λ · [R− p1x1 − p2x2] = [a− λp1]x1 + [b− λp2]x2 + λR,

de modo que derivando c.r. a x1 y x2 se tendrıa que

∂L

∂x1= a− λp1,

∂L

∂x2= b− λp2.

Ası, en el optimo se “deberıa cumplir” que

a

b=p1p2,

relacion que obviamente es absurda pues, a priori, los parametros son arbitrarios10. Ası, resol-ver el problema empleando el calculo es inconducente. Veamos directamente. De la restriccionpresupuestaria, se tiene que

x2 =R

p2− p1p2

· x1,

que incorporandola en la funcion objetivo nos lleva a que el problema del consumidor se puedere-escribir equivalentemente como

maxx1

{a · x1 + b ·

(R

p2− p1p2

· x1)}

⇔ maxx1

{x1 ·

(a− p1 · b

p2

)+b ·Rp2

}.

La constante de la derecha no altera la solucion del problema, siendo equivalente a

maxx1

{x1 ·

(a− p1 · b

p2

)}. (10)

Para resolver (10), se deben considerar tres casos posibles:

(i) que a− p1·bp2

> 0 (es decir, ap1> b

p2),

(ii) que a− p1·bp2

< 0 es decir, ap1< b

p2),

(iii) a− p1·bp2

= 0 (es decir, ap1

= bp2),

Para el caso (i), el maximo valor de la funcion objetivo se obtiene cuando x1 = Rp1

y por

ende11 x2 = 0. Ası, la utilidad indirecta es

v(p,R) =a · rp1

.

Para el caso (ii), la demanda es x1 = 0 y x2 =Rp2, en cuyo caso la utilidad indirecta es

v(p,R) =b ·Rp2

.

10Incluso de tener sentido, dicha condicion no nos permitirıa obtener las demandas.11Recordar que p1 · x1 + p2 · x2 = R.

26


Finalmente, para el tercer caso, respetando la restriccion presupuestaria, x1 puede tomarcualquier valor, como ası x2: toda la recta presupuestaria es solucion del problema. Por lo tanto,tomando x1 =

Rp1, x2 = 0, la utilidad indirecta es

v(p,R) =a ·Rp1

(=b ·Rp2

).

Todo lo anterior puede resultar mas claro si lo vemos desde un punto de vista grafico. LaFigura 10 es ilustrativa.

Figura 10: Maximizacion de Utilidad de Funcion Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

R/p2

R/p1

(1) : a′x1 + b′x2 = R

(2) : ax1 + bx2

Para encontrar las demandas, debemos tener en cuenta la las pendientes de la recta pre-supuestaria y de las curvas de indiferencia, ambas constantes. En primer lugar, del grafico esclaro que la solucion del problema es esquina, en el sentido que las demandas son, o solo conbien 1 o solo con bien 2 (salvo el caso (iii) anterior). Para curvas de indiferencia como laspunteadas, la demanda sera x2 = R/p2 y x1 = 0 (caso (ii)); para el otro tipo de curva de indi-ferencia de la figura, la demanda sera x1 = R/p1 y x2 = 0 (caso (i)). La demanda depende, endefinitiva, de las pendientes relativas de la recta presupuestaria y las curvas de indiferencia.El unico caso en que puede haber multiples soluciones es cuando las pendientes de ambas rectascoinciden (caso (iii)): la solucion es entonces cualquier punto de la recta presupuestaria.

Ejemplo 1.12 Maximizacion de beneficio con funciones de utilidad cuasi-linealesUna funcion de utilidad u : R2

+ → R se dice cuasi-lineal cuando se puede expresar de laforma

u(x1, x2) = αx1 + φ(x2),

con φ : R+ → R una funcion creciente. Para u como antes, condicional a los precios y renta,el problema de consumidor es

maxx1,x2

αx1 + φ(x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R.

De la restriccion, despejando x1 en funcion de x2 y reemplazando en la funcion objetivo, elproblema anterior se convierte en

maxx2

α ·(R

p1− p2x2

p1

)+ φ(x2).

27


De las condiciones de optimalidad del problema anterior, la demanda por bien dos debe cumplirque

φ′(x2) = α · p2p1,

condicion que nos permite encontrarla de manera directa, resolviendo ası el problema.

Supongamos ahora que la preferencia de un agente es representada por dos funciones deutilidad, digamos u1 y u2. En tal caso, sabemos que existe una funcion estrictamente crecienteφ tal que12

u1(x1, x2) = φ(u2(x1, x2)). (11)

A los precios p1, p2 y riqueza R, para determinar las demandas empleando la f.d.u u1, sedebe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Ec. 1

∂u1(x1,x2)∂x1

∂u1(x1,x2)∂x2

=p1p2.

Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R

Notemos que la Ecuacion 2 no depende de las preferencias. Por otro lado, de (11), se tieneque (aplicar regla de la cadena)

∂u1(x1, x2)

∂x1=∂φ(u2(x1, x2))

∂x1= φ′(u2(x1, x2)) ·

∂u2(x1, x2)

∂x1.

Analogamente,

∂u1(x1, x2)

∂x2=∂φ(u2(x1, x2))

∂x2= φ′(u2(x1, x2)) ·

∂u2(x1, x2)

∂x2,

y en consecuencia,

∂u1(x1,x2)∂x1

∂u1(x1,x2)∂x2

=φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)

∂x1

φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)∂x2

=

∂u2(x1,x2)∂x1

∂u2(x1,x2)∂x2

.

Luego, el sistema de ecuaciones para determinar la demanda es el mismo si empleamosu1 o u2, es decir, la demanda que se calcula con u1 es coincidente con aquella quese obtendrıa de emplear u2. Obviamente la utilidad indirecta depende la funcion deutilidad que se considere.

Ejemplo 1.13 Recordemos que el problema del consumidor es

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R.

Sea ahora f : R → R una funcion creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximi-zar u(x1, x2) sujeto a la restriccion presupuestaria, claramente la solucion no cambiara siel problema es maximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restriccion presupuestaria. De esta

12Recordemos que las funciones de utilidad son unicas salvo transformaciones crecientes.

28


manera, con una adecuada eleccion de f , se podrıa simplificar la determinacion de la demanda.Para fijar ideas, supongamos que deseamos encontrar las demandas asociadas a la funcion deutilidad CES

u(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ .

En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restriccion presupuestaria es equivalentea maximizar

uρ(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

con la misma restriccion. En este caso, f(x) = xρ. Mas aun, como la constante c0 no intervieneen el resultado de la maximizacion, al maximizar

[c1xρ1 + c2x

ρ2]

se obtiene un resultado equivalente. Obviamente las transformaciones se justifican siempre ycuando el nuevo problema sea mas sencillo de resolver que el original. Note, finalmente, queesta eleccion permite encontrar las demandas; sin embargo, para evaluar la utilidad indirectase debe volver a la funcion de utilidad original.

1.4. Analisis de sensibilidad del problema del consumidor

En lo que sigue, vamos a estudiar los efectos sobre la demanda, y la utilidad indirecta, queimplican variaciones en los precios y la riqueza. Esto es lo que tradicionalmente se conoce comoanalisis de sensibilidad del problema del consumidor.

En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces elnuevo conjunto de restriccion presupuestario es mas pequeno que el original (ver (5)), por locual la nueva demanda sera necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor oigual (en general, menor estricta) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo setde posibilidades tiene menos opciones donde escoger que el original. Luego la solucion resultamenos favorable que antes del cambio en precio. Por lo tanto, hemos probado que13,

∂v(p1, p2, R)

∂p1< 0 ,

∂v(p1, p2, R)

∂p2< 0. (12)

Por otro lado, si el ingreso aumenta (ceteris paribus), entonces el nuevo conjunto de res-triccion presupuestario es mas grande que el original (ver relacion (4)). Luego, siguiendo elrazonamiento anterior, se concluye que la utilidad indirecta necesariamente debe aumentar,pues en este nuevo escenario tenemos mas opciones para escoger que en la situacion original.En consecuencia, hemos probado que

∂v(p1, p2, R)

∂R> 0. (13)

13En forma analoga podemos deducir que si el precio disminuye, entonces el conjunto de restriccion presupue-tario es “mas grande” que el original, por lo cual la utilidad indirecta aumenta. De todo esto, si el precio sube lautilidad indirecta cae, si el precio cae, la utilidad indirecta aumenta; es decir, la derivada respectiva es negativacomo se indica.

29


Con lo anterior solo hemos concluido sobre el efecto en la utilidad indirecta segun cambiosen los precios y la riqueza. La pregunta obvia es, ¿que sucede con las demandas en funcionde variaciones en los parametros? La respuesta es algo mas compleja que lo expuesto, y sepueden dar multiples situaciones que pasaremos a detallar. En primer lugar, supongamos quep1 aumenta, digamos a p′1. Sabemos que este cambio puede afectar ambas demandas, puesambas puedes depender del precio p1. Como ya sabemos, en este escenario la utilidad indirectadisminuye, por lo que necesariamente al menos una de las demandas debe disminuir debidoal cambio de precios (si ambas demandas aumentasen, entonces no podrıa ocurrir que la utilidadindirecta disminuya). A priori, no necesariamente las dos demandas han de caer. Esto motivala siguiente definicion. Lo usual es que cuando el precio de un bien aumente, la correspondientedemanda disminuya. Lo contrario motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.9 Diremos que un bien i = 1, 2 es Giffen si un aumento del precio propio piimplica un aumento en la demanda respectiva.

En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,

∂xi(p1, p2, R)

∂pi> 0.

Es claro que si el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamente se debe cumplir que,

∂x2(p1, p2, R)

∂p1< 0

pues de lo contrario, ante un aumento en el precio p1 ambos bienes aumentarıan la demanda,lo cual contradice el hecho que la utilidad indirecta disminuya antes alzas de precio.

La Figura 11 ilustra la definicion de un bien Giffen.

Figura 11: Bien Giffen

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

b′′

b′

b

a′′ a′ a R/p1 R/p′1 R/p′′1

Notemos que, si el precio p1 disminuye (p1 > p′1 > p′′

1 ), la demanda respectiva del bien 1tambien disminuye (a > a′ > a

′′

), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,

30


∂x1(p1, p2, R)

∂p1> 0.

Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demandadel bien dos:

p1 > p′1> p

′′

1⇒ b < b′ < b

′′

.

Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en funcion del precio respectivo, se tiene quela pendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales dedemanda de bienes. La Figura 12 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno noGiffen.

Figura 12: Bien Giffen y No Giffen

x

x1

p1 p1No Giffen

x1

Giffen

Dados por los precios p1, p2 y la renta R, supongamos que el precio del bien uno aumentaa p′1 > p1. En tal caso, el cambio de demanda del bien i = 1, 2 es

xi(p′1, p2, R)− xi(p1, p2, R),

que en terminos porcentuales, corresponde a

xi(p′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

xi(p1, p2, R).

El cambio porcentual en el precio es

p′1 − p1p1

.

La elasticidad precio de la demanda es simplemente el cuociente de los cambios porcen-tuales anteriores: ası, la elasticidad “precio del bien uno” de la “demanda por el bien i = 1, 2”es

ǫp1,xi =

xi(p′1,p2,R)−xi(p1,p2,R)xi(p1,p2,R)

p′1−p1p1

.

31


Ordenando los terminos, lo anterior corrresponde a

ǫp1,xi =xi(p

′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

p′1 − p1· xi(p1, p2, R)

p1,

que cuando p′1 ∼ p1 se puede aproximar por

ǫp1,xi =xi(p

′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

p′1 − p1· xi(p1, p2, R)

p1∼ ∂xi(p1, p2, R)

∂p1· xi(p1, p2, R)

p1.

Es segun la aproximacion de la derecha que usualmente se define la elasticidad precio dela demanda. Si en valor absoluto se tiene que la elasticidad precio de la demanda es mayorque uno, se dice que el bien es elastico a ese precio; caso contratio, si en valor absoluto laelasticidad precio del bien es menor que uno, se dice que es inelastico a dicho precio: unbien elastico responde “fuertemente” a cambios en los precios, mientras que un bieninelastico es poco sensible a tales modificaciones.

Consideremos ahora variaciones en la riqueza y su efecto en la demanda. En primer lugar,ya sabemos que si el ingreso aumenta, la utilidad indirecta tambien lo hace. El problema, comoantes, es determinar que sucede con las demandas. En primer lugar, por lo antes indicado,si el ingreso aumenta necesariamente al menos una de las demandas debe aumentar, pues siambas disminuyen no podrıa ser que la utilidad indirecta aumentase. El asunto es que nonecesariamente ambas demandas aumentan ante alzas de ingreso. Esto motiva la siguientedefinicion.

Definicion 1.10 Diremos que un bien i = 1, 2 normal si aumentos en la riqueza implicaaumentos en su demanda. En caso contrario diremos que el bien es inferior.

De esta manera, el bien i = 1, 2 es normal si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R> 0,

y es inferior si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R< 0.

La Figura 13 ilustra las definiciones anteriores.

32


Figura 13: Bien Normal y Bien Inferior

x2

Ambos bienes normales x1 1: Normal; 2: Inferior x1

x2

A priori, podemos dibujar una curva que represente solo las demandas de los bienes antecambios en el ingreso, la que recibe el nombre de Curva de Engel. Note que si ambos bienesson normales, las curvas de Engel son crecientes. Por el contrario, si uno de los bienes es inferior,la curva es decreciente.

¿Como interpretar la curva de Engel? Recuerde que, por definicion, la curva de Engel nosentrega las demandas en diversos escenarios de ingreso (riqueza). Condicional a los precios,un punto cualquiera de ella corresponde a la demanda de bienes que se tendrıa para el valorcorrespondiente de riqueza, esto condicional a los precios de los bienes.

Dada la curva de Engel, suponiendo que ambos bienes son normales, es perfectamenteposible que en la medida que el ingreso aumenta la demanda de uno de ellos crezca mas rapidoque la demanda del otro. Esto se puede interpretar diciendo que ante aumentos de ingreso, elindividuo compra mas de uno en relacion al otro (aumento del consumo de manera mas queproporcional). En tal caso, si por ejemplo la demanda del bien uno crece mas rapido que la deldos, entonces la curva de Engel sera mas plana, es decir, con pendiente de tangente (derivada)menor que uno; por el contrario, si fuera que ante aumentos del ingreso la demanda del bien doscrece mas rapido que la demanda del bien uno, entonces la curva de Engel sera mas empinada,es decir, con pendiente de tangente mayor que uno en todo punto. Graficamente lo indicado escomo sigue.

33


Figura 14: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)

x2

x1

(2)

(1)

En la Figura 14, en la curva (1), la demanda del bien uno crece mas rapido que aquella del

bien dos cuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).

Lo anterior motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.11 Para bienes normales, si en la medida que el ingreso aumenta se tiene quela demanda de uno de ellos crece mas que proporcionalmente que la demanda del otro, diremosque dicho bien es un bien de lujo, mientras que el otro se denomina bien necesario.

Ejemplo 1.14 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = xα1 · xβ2 , sabemos que

x1(p1, p2, R) =αR

p1(α+ β), x2(p1, p2, R) =

βR

p2(α+ β).

En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demandadisminuye:

∂x1(p1, p2, R)

∂p1= − αR

p21(α+ β)< 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂p2= − βR

p22(α+ β)< 0.

Por otro lado, ambos bienes son normales pues aumentos del ingreso implican aumentos dela demanda:

∂x1(p1, p2, R)

∂R=

α

p21(α+ β)> 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂R=

β

p22(α + β)> 0.

Para dibujar las curvas de Engel, notemos que

x1(p1, p2, R)

x2(p1, p2, R)=

αRp1(α+β)

βRp2(α+β)

=α

β.

Luego, x1(p1, p2, R) =αβ · x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 − x2. La pendiente

de dicha recta es αβ , que graficamente se ve en la Figura 15 es la siguiente:

34


x2

x1

(2)

(1)

Figura 15: Bien de Lujo y Bien Necesario (2)

En la Figura 15, para el caso (1) se tiene que α > β mientras que en el caso (2) se tieneque α < β. De esta manera, el bien uno sera de lujo y el dos necesario si α > β y contrario siα < β.

Finalmente mostramos un resultado de sensibilidad que combina los conceptos que hemosintroducido previamente, y que sera de utilidad mas adelante. Se conoce como identidad deRoy, y establece un vınculo entre la demanda Marshaliana y variaciones de la utilidad indirecta.

Proposicion 1.4 La funcion de utilidad indirecta y las funciones de demanda Marshalianaverifican la siguiente relacion:

∂v(p1,p2,R)∂pi

∂v(p1,p2,R)∂R

= −xi(p1, p2, R) i = 1, 2.

Demostracion. En primer lugar, dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R) y dada lafuncion de utilidad indirecta v(p1, p2, R), sabemos que p1x1(p1, p2, R) + p2x2(p1, p2, R) = R.Luego, derivando directamente con respecto a R se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂R+ p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂R= 1

mientras que al hacerlo c.r. a p1 se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂p1+ x1(p1, p2, R) + p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂p1= 0

de lo cual se tiene que, −x1(p1, p2, R) = p1 · ∂x1(p1,p2,R)∂p1

+ p2 · ∂x2(p1,p2,R)∂p1

.Por otro lado, puesto que v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)), derivando directa-

mente c.r. a p1 y R se tiene que,

[∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

∂u∂x1

· ∂x1∂p1

+ ∂u∂x2

· ∂x2∂p1

∂u∂x1

· ∂x1∂R + ∂u

∂x2· ∂x2∂R

=

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1∂p1

+ ∂x2∂p1

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1∂R + ∂x2

∂R

.

35


Pero, por condicion de optimalidad,∂u∂x1∂u∂x2

= p1p2

y luego, reemplazando en lo anterior, se tiene

que [∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

p1p2

· ∂x1∂p1

+ ∂x2∂p1

p1p2

· ∂x1∂R + ∂x2

∂R

=p1 · ∂x1

∂p1+ p2

∂x2∂p1

p1 · ∂x1∂R + p2

∂x2∂R

.

Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtienelo indicado. �

1.5. Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto

En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que seran deutilidad para el estudio del comportamiento de los agentes. Estableceremos, ademas, algunasrelaciones entre los mismos.

Basicamente, las relaciones que pretendemos establecer se determinan a partir del pro-blema dual del consumidor, a saber, condicional a cierto nivel de utilidad, determinar lacantidad de mınima de recursos (ingreso, dinero, etc.) que se necesita para lograr tal nivel desatisfaccion.

Para fijar ideas, dado cierto nivel de satisfaccion u0 ∈ R, las canastas que permiten alcanzartal nivel de satisfaccion definen, como ya sabemos, la isocuanta a dicho valor, es decir, todoslos pares ordenados (x1, x2) ∈ R

2+ tales que u(x1, x2) = u0. La pregunta que nos motiva es: si

estuviesemos obligados a escoger un punto de la isocuanta, ¿cual elegirıamos? Puesto que cadauno de ellos entrega el mismo nivel de satisfaccion, la respuesta directa es que escogerıamosel “mas barato”. ¿Por que? Simplemente porque en caso contrario estarıamos pagando demas para obtener el mismo nivel de satisfaccion.

A los precios p1, p2, el costo de un punto (x′1, x′2) de la isocuanta al nivel u0 = u(x′1, x

′2) es

R′ = p1x′1 + p2x

′2.

Si dispusiesemos de R′ pesos, ¿comprarıamos la canasta (x′1, x′2)? La respuesta es no nece-

sariamente. De hecho, lo que comprarıamos es la demanda a los precios p1, p2 y la renta R′, esdecir,

xi(p1, p2, R′), i = 1, 2,

que no necesariamente es coincidente con x′1, x′2, respectivamente. De hecho, con la riqueza R′

es perfectamente posible que el nivel de satisfaccion que podrıamos lograr sea incluso mayorque u0 anterior.

Definicion 1.12 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimosla funcion de gasto como el mınimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidadindicado. Dicha funcion se denotara por e(p1, p2, u0).

De lo expuesto, para encontrar la funcion de gasto se debe resolver el problema deoptimizacion

mınx1,x2

p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0(14)

36


cuya solucion se denotara por

hi(p1, p2, u0), i = 1, 2.

Dichos funciones reciben el nombre de demanda Hicksiana por el bien en cuestion14. Setiene entones que

e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0).El Lagrangeano del problema (14) es

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − u(x1, x2)],

de modo que las condiciones de optimalidad son:

(a) ∂L∂x1

= 0 ⇔ p1 − λ∂u(x1,x2)∂x1

= 0.

(b) ∂L∂x2

= 0 ⇔ p2 − λ∂u(x1,x2)∂x2

= 0.

(c) ∂L∂λ = 0 ⇔ u(x1, x2) = u0.

Combinando (a) con (b) para eliminar el multiplicador λ, se tiene finalmente que el sistemaecuaciones que nos permiten encontrar las demandas Hicksianas es

(i)

Ec. 1 :

∂u(h1,h2)∂x1

∂u(h1,h2)∂x2

=p1p2

⇔ RMS1,2(h1, h2) = −p1p2,

(ii)Ec. 2 : u(h1, h2) = u0.

La primera ecuacion es identica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segundacondicion es completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restriccion pre-supuestaria, para la demanda Hicksiana es pertenecer a la curva de indiferencia al nivel deutilidad prefijado.

Ejemplo 1.15 Dada la funcion de utilidad CB u(x1, x2) = xα1 ·xβ2 , determinemos las funciones

de demanda Hicksiana y la funcion de gasto. Dado u0, el Lagrangeano es

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − xα1 · xβ2 ].Derivando c.r. a x1, x2 se tiene que,

p1 − λαxα−11 · xβ2 = 0; p2 − λβxα1 · xβ−1

2 = 0 ⇔ p1p2

=αx2βx1

⇒ x2 =βp1αp2

· x1.

Luego, reemplazando esta ultima relacion en la utilidad se tiene que,

xα1 · xβ2 = u0 ⇔ xα1 ·(βp1αp2

· x1)β

= u0

14Note que las demandas Hicksianas dependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado, esto adiferencia de la demanda Marshaliana, que depende de precios y de la riqueza.

37


de lo cual se tiene finalmente que,

h1(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

.

Con esto, se tiene que,

h2(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

y ası,

e(p1, p2, u0) = p1 · u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

+ p2 · u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

Fijemos los precios, p1, p2 y veamos algunas relaciones entre las soluciones del problema“primal” (demanda Marshaliana) y el “dual” (demanda Hicksiana). En primer lugar, si elindividuo tiene ingreso R, sabemos que comprara xi(p1, p2, R), i = 1, 2, obteniendo un nivel desatisfaccion v(p1, p2, R). Al reves ahora, para obtener satisfaccion v(p1, p2, R), ¿cuanto dinerodebe gastar? ¿Que hara con ese dinero? A la primera pregunta, la respuesta es R: si gasta masdinero, digamos R′ > R, entonces obtiene nivel de stisfaccion v(p1, p2, R

′); como la utilidadindirecta es creciente en el ingreso, en este caso se tiene que v(p1, p2, R

′) > v(p1, p2, R); sigastase R′′ < R, siguiendo el mismo argumento, la satisfaccion que obtendra es v(p1, p2, R

′′),que es menor que v(p1, p2, R). Luego, la unica opcion es gastar R. Para responder la segundapregunta (¿que hara?), dado que gastara R para obtener satisfaccion v(p1, p2, R), por el ladodel problema “primal”, sabemos que comprara

xi(p1, p2, R), i = 1, 2;

por otro lado, segun el problema “dual”, sabemos que comprara hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2,que obviamente debe ser coincidente con la anterior. Ası, hemos probado que:

xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2

R = e(p1, p2, v(p1, p2, R)).

Proposicion 1.5

(a) La funcion de gasto es homogenea de grado uno en los precios, es decir,

e(tp1, tp2, u0) = t · e(p1, p2, u0), ∀t > 0.

(b) Para cada i = 1, 2

∂e(p1, p2, u0)

∂pi= hi(p1, p2, u0).

Demostracion.

38


(a) Por definicion, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın (tp1)x1 + (tp2)x2

s.a u(x1, x2) = u0

problema es equivalente a resolver

{t ·mın p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0,

pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gastoque se tiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.

(b) Derivando directamente la funcion de gasto c.r. a p1 y recordando que e(p1, p2, u0) =p1h1(p1, p2, u0) + p2h2(p1, p2, u0)

15, tenemos que:

∂e

∂p1= p1

∂h1∂p1

+ h1 + p2 ·∂h2∂p1

= h1 +

[p1∂h1∂p1

+ p2 ·∂h2∂p1

]

Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) = u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de lacadena) se tiene que16,

∂u

∂x1· ∂h1∂p1

+∂u

∂x2· ∂h2∂p1

= 0. (15)

Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,

(∂u∂x1

)

(∂u∂x2

) =p1p2

y luego,

∂u

∂x1=p1p2

· ∂u∂x2

de lo cual, reemplzando en (15), se tiene que,

p1p2

· ∂u∂x2

· ∂h1∂p1

+∂u

∂x2· ∂h2∂p1

= 0 ⇔ p1p2

· ∂h1∂p1

+∂h2∂p1

= 0 ⇔ p1 ·∂h1∂p1

+ p2 ·∂h2∂p1

= 0.

Reemplazando esta ultima relacion en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado puesel termino de la derecha vale cero. Analogo con la derivada respecto de p2. �

15En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada funcion para evitar notacion excesiva.16Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.

39


Nota. 1.4 Otra forma de ver la parte (b) de la Proposicion 1.5 es como sigue: puesto que lafuncion de gasto es homogenea de grado uno en los precios, aplica entonces la identidad deEuler en dichas variables, es decir

e(p1, p2, u0) = p1 ·∂e(p1, p2, u0)

∂p1+ p2 ·

∂e(p1, p2, u0)

∂p2. (16)

Por otro lado, por definicion se tiene que

e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0) (17)

Identificando terminos en (16) y (17) se obtiene directamente el resultado.

Finalmente, el problema de gasto tiene una interpretacion geometrica analoga a la quetenıamos con la demanda Marshaliana. En este ultimo, al estar fija la recta presupuestaria, lademanda Marshaliana se obtiene “desplazando” curvas de indiferencia hasta lograr tangenciacon dicha recta. Para determinar la demanda Hicksiana, y por ende la funcion de gasto, es lacurva de indiferencia la que esta fija. Dado esto, se desplaza paralelamente una recta dela forma

p1h1 + p2h2 = e

hasta lograr la tangencia con dicha curva, “desplazamiento” que se tiene incrementando elvalor de e. El valor del parametro con el cual se logra la tangencia con la curva de indiferenciadefine el valor la funcion de gasto, y el punto donde se intersectan recta y curva es la demandaHicksiana.

1.6. Funciones de compensacion

Consideremos el siguiente contexto general: hay dos instancias a analizar, una inicial,donde los precios son P = (p1, p2) y el ingreso es R, y otra final con precios P ∗ = (p∗1, p

∗2) y la

renta R∗. El bienestar del individuo es

Inicial : v(P,R), Final : v(P ∗, R∗).

Evidentemente los niveles de satisfaccion en uno y otro escenario pueden ser distintos; sipor ejemplo, el ingreso se mantiene constante (R = R∗) y al menos uno de los precios aumenta,entonces sabemos que v(P ;R) > v(P ∗, R∗).

Si uno de los precios aumenta, para mantener constante el nivel de satisfaccion entre ambosescenarios, una posibilidad es que el ingreso en el escenario final suba para compensar tal alza.Se tiene entonces lo siguiente:

(a) a los precios iniciales, se necesita R para obtener un nivel de satisfaccion v(P,R), y senecesita e(P, v(P ∗, R∗)) para obtener un nivel de satisfaccion v(P ∗, R∗); por lo tanto

e(P, v(P ∗, R∗))−R ∈ R (18)

representa, en riqueza evaluada a los precios iniciales, P , la diferencia de satis-faccion del individuo entre la situaciones final e inicial. Es por tanto una medida delcambio en satisfaccion debido del cambio de precios e ingreso. Si la diferencia

40


anterior es negativa (positiva), significa que el nuevo escenario (precios P ∗ e ingreso R∗)es mas desfavorable (favorable) para el individuo que aquel donde los precios son P y suingreso es R.

(b) A los precios finales, se necesita R∗ para obtener un nivel de satisfaccion v(P ∗, R∗) y senecesita e(P ∗, v(P,R)) para obtener un nivel de satisfaccion v(P,R). Por lo tanto

R∗ − e(P ∗, v(P,R)) (19)

representa, en riqueza a los precios finales, P ∗, la diferencia de la satisfaccion delindividuo entre la situaciones final e inicial. Nuevamente, si la diferencia (19) es negativa(positiva), significa que el escenario con precios P ∗ e ingreso R∗ es mas desfavorable(favorable) para el individuo que un mundo donde los precios son P y su ingreso es R.

Tanto (18) como (19) representan medidas monetarias de los cambios en satisfacciondados cambios en los parametros que determinan la demanda de los individuos. Note que con(18) y (19) se asta comparando el mismo cambio en nivel de satifaccion, solo que expresadoen distintas bases de precio. La medida (18) esta construida sobre la base de cuantificarlas riquezas en terminos de los precios iniciales, y se llama variacion equivalente, V E,

V E = e(P, v(P ∗, R∗))−R (20)

Por otro lado, la medida (19) esta construida sobre la base de cuantificar la riqueza (ingresos,renta, etc.) en terminos de los precios finales, y se llama variacion compensatoria, V C,es decir,

V C = R∗ − e(P ∗, v(P,R)) (21)

Ambas medidas tienen el mismo signo, pues corresponden a diferencias en dinero paraexpresar el mismo cambio en satisfaccion. A priori, ambas medidas pueden diferir en suscuantıas, pues, como se ha indicado, estan expresadas en distintas base de precios.

Ejemplo 1.16 Bonos y subsidios

¿Cual deberıa ser el “bono de navidad” que se ha pagar a un trabajador? Resp. No hayuna respuesta categorica, pues depende de muchos factores que no controlamos a priori: poderde negociacion del sindicato, historia del bono en la empresa, del desempeno de la empresa enel periodo, etc. Sin embargo, sin pretender decir cual “deberıa ser” el valor del bono, podemosaproximarnos al problema de la siguiente manera: inicialmente el individuo enfrenta preciosP = (p1, p2) ∈ R

2++ y tiene renta R > 0. En tal caso, su nivel de satifaccion es v(P,R) > 0.

Ahora bien, dado que se trata del “navidad”, es bien sabido que los precios de los bienes deconsumo suben sustancialmente (¿por que?), digamos, de P a P ∗ = (p∗1, p

∗2). De no mediar

cambios en el ingreso, el nivel de satifaccion del individuo caera, siendo ahora v(P ∗, R); lacaıda en el bienestar esta dada por

v(P ∗, R)− v(P,R) < 0. (22)

A partir del alza de precios, una primera medida de compensacion razonable serıa pregun-tarse sobre cuanto dinero extra habrıa que darle al individuo para que a los nuevos precios(P ∗) su nivel de satisfaccion sea el mismo que tenıa previo al alza. Si denotamos por V1 dichacantidad, se debe entonces cumplir que

41


v(P ∗, R+ V1)− v(P,R) = 0.

Por lo tanto, buscamos V1 tal que si el individuo tiene ingresos V1 + R, a los precios P ∗

su nivel de satisfaccion es v(P,R); luego, por definicion, V1 +R es la funcion de gasto a losprecios P ∗ con nivel de satisfaccion v(P,R), es decir, se cumple que

R+ V1 = e(P ∗, v(P,R)) ⇒ V1 = e(P ∗, v(P,R)) −R. (23)

Es decir, V1 es menos la variacion compensatoria, donde la situacion inicial es conprecios P y renta R y a final es con precios P ∗ y renta R.

Interpretemos el resultado anterior: ya que los precios en la economıa efectivamente seranP ∗, para analizar los cambios en satisfaccion, expresaremos todo en dichos precios. En tal caso,la felicidad inicial cuesta e(P ∗, v(P,R)) y la felicidad final cuesta R (= e(P ∗, v(P ∗, R)). Porlo tanto, en terminos monetarios, el cambio en felicidad es

Felicidad Final−Felicidad Inicial = R− e(P ∗, v(P,R)) < 0.

Luego, para compensar, desde un punto de vista monetario, la caıda en la felicidad debidoal alza de los precios, la cantidad de dinero a entregar debe ser tal que

Felicidad Final− Felicidad Inicial+Dinero a entregar = 0,

es decir, Dinero a entregar = e(P ∗, v(P,R)) − R > 0, que es precisamente lo que tenıamos.En este caso, el dinero a entregar es simplemente el negativo de la variacion compensatoria.

En enfoque complementario para entender el efecto en bienestar debido al alza de precios, escomo sigue: no habiendo cambios en el ingreso, en el escenario final la satifaccion es v(P ∗, R),que es menor que la inicial. A los precios P esta felicidad final es ciertamente mas barata quela actual, pues v(P,R) > v(P ∗, R). ¿Cuanto cuesta la felicidad final a los precios P? Simple-mente e(P, v(P ∗, R)), que evidentemente es menor que R. Expresado en terminos monetarios,que el precio suba corresponde, en este caso, a una perdida de felicidad dada por

FINAL− INICIAL = e(P, v(P ∗, R))−R < 0.

Esta es la medida de variacion equivalente que hemos definido. Ahora bien, dado que seproducira el alza en el precio, ¿cuanto dinero le deberıa quitar inicialmente al individuo paraque a los precios antiguos (P = (p1, p2)) su nivel de bienestar sea el mismo que tendra dadael alza de precios? En otras palabras, ¿cuanto dinero le debo quitar para que no sienta el efectoprecio posterior? Nos preguntamos entonces por una cantidad V2 (que sera negativa) tal que

v(P ∗, R) = v(P,R + V2).

En este caso, es directo que

R+ V2 = e(P, v(P ∗, R)) ⇒ V2 = e(P, v(P ∗, R))−R < 0, (24)

que es el resultado que ya tenıamos.

La esencia de todo lo anterior esta en interpretar correctamente la funcion de gasto. La ideaes que condicional a cierto nivel de satifaccion, digamos u0, a los precios P = (p1, p2), la funcionde gasto e(P, u0) es una medida de la dispocision a pagar que el individuo tiene por lograr

42


tal nivel de satifaccion. De esta manera, cambios en la disposicion a pagar debido a cambiosen los precios (por ejemplo), se puede entender como cambios en los niveles de satifaccion quesufre el agente. El punto es con respecto a que base de precios se mide tal efecto: si son losprecios finales, entonces estamos hablando de variacion compensatoria; si es a precios iniciales,es variacion equivalente.

Para ilustrar geometricamente lo expuesto, supongamos que inicialmente los precios sonp1, p2 y que la renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda(2) (ver Figura 16), ademas de un nivel de satisfaccion inicial u0. Si ahora el precio del bienuno aumenta (digamos, a q1 > p1 con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta pre-supuestaria es (3), la nueva demanda es (4) y el nivel de utilidad es u1. Para compensar esteaumento de precio, modificaremos el ingreso, digamos en (5), de tal forma que la nueva rectapresupuestaria (6) sea tangente a la curva de indiferencia inicial, siendo el punto de tangencia(7), no necesariamente igual a (2).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

u1: Nivel Nuevo

u0: Nivel Original

Figura 16: Funcion de Compensacion

Ejemplo 1.17 Considere un individuo cuya preferencia por dos bienes esta dada por

U(x1, x2) = xβ1 + x2, (25)

con β ∈]0, 1[ conocido. En lo que sigue, suponga que, inicialmente, el precio del bien unoes p1 = p y aquel del bien dos es p2 = 1. La renta del individuo es R > 0.

(a) Dados los precios y la renta indicada, determine las demandas Marshallianas y lautilidad indirecta de un agente cuya preferencia esta dada por (25). ¿Para que nivelde renta se tiene que la demanda por el bien dos es estrictamente positiva? En loque sigue, y cuando corresponda, asuma que la renta del individuo es mayor que dichacantidad.

Respuesta. De las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, denotandoP = (p, 1) ∈ R

2, es directo que

x1(P,R) =

(p

β

) 1β−1

, x2(P,R) = R− p ·(p

β

) 1β−1

,

43


lo cual implica que

v(P,R) = (x1(P,R))β + x2(P,R) =

((p

β

) 1β−1

)β

+

(R− p ·

(p

β

) 1β−1

),

es decir,

v(P,R) =

(1

β

) ββ−1

· pβ

β−1 +R− p ·(1

β

) 1β−1

· p1

β−1 = ββ

1−β · pβ

β−1 +R− β1

1−β · pβ

β−1 ,

lo que finalmente nos lleva a

v(P,R) = R+ γ · pβ

β−1 , (26)

con

γ = ββ

1−β − β1

1−β = ββ

1−β · [1− β] > 0.

Finalmente, notemos que la demanda del bien dos es positiva si R−p ·(

pβ

) 1β−1

> 0,

lo que se tiene cuando R > p ·(

pβ

) 1β−1

. Note que la demanda del bien uno no depende de

la renta.

(b) Dado un nivel de utilidad U0, a los precios ya indicados, determine las demandas Hick-sianas y la correspondiente funcion de gasto.

Respuesta. En este caso, el problema es

mınh1,h2

p · h1 + h2 s.a. hβ1 + h2 = U0,

a partir del cual se tiene que, suponiendo solucion interior,

h1(P,U0) =

(p

β

) 1β−1

, h2(P,U0) = U0 −(p

β

) ββ−1

,

con lo cual se tiene que (ver definicion de γ > 0 en la parte anterior)

e(P,U0) = p ·(p

β

) 1β−1

+ U0 −(p

β

) ββ−1

= U0 − γ · pβ

β−1 (27)

Note que lo anterior tambien se puede contestar invirtiendo la funcion de utilidad indirectade la parte (a) para obtener la funcion de gasto, y luego usar el Lema de Sheppard para encon-trar las demandas Hicksiansa).

Considere ahora un escenario final donde solo el precio del bien uno se modifica, siendoahora p′ > p. El nuevo sistema de precios se denotara P ′ = (p′, 1) ∈ R

2.

44


(c) Comparando los escenarios final e inicial ya definidos, determine las variaciones com-pensatoria (VC) y equivalente (VE). Muestre que, en este caso, ambos valores son igua-les.

Respuesta. Para determinar la variacion compensatoria, a los precios P y la renta Rse obtiene utilidad v(P,R), mientras que a los precios P ′ y la renta R se obtiene unautilidad v(P ′, R). Entonces, a los precios P se necesita R de renta para lograr el nivelde satisfaccion v(P,R) y se necesita una renta dada por (ver (27))

e(P, v(P ′, R)) = v(P ′, R)− γ · pβ

β−1 =[R+ γ · (p′)

ββ−1

]− γ · p

ββ−1

para lograr el nivel de utilidad v(P ′, R). Por lo tanto, la variacion equivalente es

V E = e(P, V (P ′, R))−R =[R+ γ · (p′)

ββ−1

]− γ · p

ββ−1 −R = γ ·

[(p′)

ββ−1 − p

ββ−1

]< 0.

Por otro lado, a los precios P ′ se necesita renta R para obtener utilidad v(P ′, R) y senecesita renta

e(P ′, v(P,R)) =[R+ γ · (p)

ββ−1

]− γ · (p′)

ββ−1

para que a precios P ′ se obtenga utilidad v(P,R). La variacion compensatoria, V C, esentonces

V C = R− e(P ′, v(P,R)) = γ ·[(p′)

ββ−1 − p

ββ−1

],

que coincide con la V E.

1.7. Efectos sustitucion e ingreso, ecuacion de Slutzky

Supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y que la renta de nuestro agente es R.Entonces, producto de un cambio en los precios (digamos, cambio de p1 a p′1, con p′1 > p1)ocurren dos fenomenos que nos permitiran explicar el cambio en la demanda. En primer lugar,el cambio de precios implica que el consumidor es ahora mas pobre (pues puede acceder a menoscanastas que las originales) y, en segundo lugar, se modifica la sustitubilidad de bienes debidoa que la razon de precios ha sido alterada. El problema es entonces determinar la magnitud deestos efectos, y explicar el cambio de la demanda en funcion de ellos. Ası podremos identificarde mejor manera cual de los efectos es mas relevante para explicar el cambio en la demanda, ycon ello obtener informacion adicional sobre las preferencias de los individuos.

Para fijar ideas, realicemos en primer lugar un analisis grafico de la situacion planteada. LaFigura 17 nos ilustra al respecto:

45


Figura 17: Ecuacion de Slutzky

R/p2

R′/p2

R/p′1 R′/p1 R/p1

v1

v0

a

b

c

︸︷︷︸(2)

︸︷︷︸(1)

Con los precios p1, p2 y la renta R, el nivel de utilidad es v0 = v(p1, p2, R) y la demanda

dada por el punto a de la figura. Dado el cambio de precio, el nuevo nivel de utilidad es

v1 = v(p′1, p2, R) y la respectiva demanda es c. Ahora bien, para los precios originales, el

nivel de renta requerido para obtener utilidad v1 serıa e1 = e(p1, p2, v1), que corresponde

a R′ de la figura, con lo cual queda definida una nueva recta presupuestaria, paralela a la

original, pero por debajo de esta. Dada esta recta presupuestaria, la demanda serıa b. Con

esto, el efecto ingreso quedara definido como el cambio en la demanda de pasar de a a b.

Para el caso del bien 1, corresponde a (1) de la figura. Por otro lado, dado que los precios

han sido alterados, y dado que la demanda final resultante esta en c, se tiene entonces que

el efecto sustitucion corresponde simplemente al cambio entre b y c de la figura, que para

el caso del bien 1 esta dado por (2).

Estimemos los efectos identificados en lo anterior.

(a) Efecto ingreso.

Aprovechando la Figura 17, para el efecto ingreso, EI, se tiene que

EI = xa1 − xb1 = x1(p1, p2, R′)− x1(p1, p2, R) ≃

∂x1(p1, p2, R)

∂R· (R′ −R).

Sabemos ademas que v(p1, p2, R′) = v(p′1, p2, R), es decir, v(p1, p2, R

′) − v(p′1, p2, R) = 0.Aproximemos esta ultima expresion por las derivadas parciales:

v(p1, p2, R′)− v(p′1, p2, R) ≃

∂v(p′1, p2, R)

∂R· (R′ −R) +

∂v(p′1, p2, R)

∂p1· (p1 − p′1) = 0.

Luego, de la identidad de Roy (ver Proposicion 1.4), se tiene que

46


(R′ −R) ≃∂v(p′1,p2,R)

∂p1∂v(p′1,p2,R)

∂R

· (p′1 − p1) = −x1(p′1, p1, R) · (p′1 − p1).

En consecuencia,

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)∂R

· x1(p′1, p1, R) · (p′1 − p1).

Finalmente, si p′1 es similar a p1, entonces podemos aproximar x1(p′1, p1, R) por x1(p1, p1, R),

por lo cual

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)∂R

· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1).

(b) Efecto sustitucion.

Para estimar el efecto sustitucion, ES, notemos que

x1(p1, p2, R′) = h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′)); x1(p′1, p2, R) = h1(p

′1, p2, v(p1, p2, R

′))

y luego el efecto sustitucion es:

ES = x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R

′) = h1(p′1, p2, v(p1, p2, R

′))− h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

que, aproximando por derivadas, implica que

ES ≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1· (p′1 − p1).

En consecuencia, hemos obtenido la siguiente aproximacion que mide el cambio en la de-manda producto de un cambio en el precio:

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R) ≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1)

+∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′))

∂p1· (p′1 − p1),

de lo cual se tiene que,

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R)

p′1 − p1≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) +

∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1.

Aproximando el lado izquierdo por la respectiva derivada y aproximando R′ por R se tienefinalmente que,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R),

relacion que es conocida como Ecuacion de Slutsky.

47


Teorema 1.2 Para cada i, j = 1, 2 se tiene que:

∂xj(p1, p2, R)

∂pi=∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi− ∂xj(p1, p2, R)

∂R· xi(p1, p2, R).

Demostracion. En primer lugar, sabemos que

hj(p1, p2, v(p1, p2, R)) = xj(p1, p2, R).

Luego, derivando la expresion anterior c.r. a pi y recordando que e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = R setiene que:

∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi=∂xj(p1, p2, R)

∂pi+∂xj(p1, p2, R)

∂R· ∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi.

Pero, de la Proposicion (1.5) sabemos que,

∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi= hi(p1, p2, v(p1, p2, R)) ≡ xi(p1, p2, R).

Reemplazando y ordenando los terminos, se concluye la prueba. �

Suponiendo i = j = 1 en Teorema 1.2, queda

∂x1(p1, p2, R)

∂p1=∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R). (28)

Dado entonces un precio inicial p1 y final p′1, ceteris paribus, el cambio en la demanda delbien uno es

∆x1 = x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R).

Segun (28), suponiendo que p1 ≃ p′1 de modo que ∆p1 ≃ 0, se tiene la siguiente aproximacion:

∆x1∆p1

≃ ∂x1(p1, p2, R)

∂p1⇒ ∆x1

∆p1≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R),

lo cual implica que

∆x1 ≃∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1·∆p1 −

∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R) ·∆p1.

De esta manera, el cambio en la demanda del bien uno debido a un cambio en el preciopropio se puede explicar como la suma de dos efectos:

EI = −∂xi(p1, p2, R)∂R

· xi(p1, p2, R) ·∆p1, ES =∂hi(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi·∆p1.

Si el precio aumenta, (∆p1 > 0), se tiene entonces que

a.- a priori, no es claro cual es el signo de cada uno de los efectos indicados: los efectossustitucion e ingreso pueden ser negativos, positivos o de signos opuestos.

48


b.- Note que si el bien es normal (demanda crece con el ingreso), entonces necesariamente elefecto ingreso es negativo, pues la derivada respectiva es positiva. El efecto sustitucionno necesariamente tiene signo positivo (o negativo).

c.- Si el bien i es inferior (demanda cae con el ingreso), para que sea Giffen (demanda aumentacuando el precio sube), una “condicion suficiente” es que el efecto sustitucion sea positivo(de modo que la suma de los efectos sea positiva).

2. Aplicaciones y complementos

2.1. Demanda agregada y equilibrio (parcial)

Supongamos que en la economıa hay n ∈ N individuos, cada uno de los cuales tiene unafuncion de utilidad uk(x1, x2), k = 1, 2, ..., n. Dados los precios p1, p2 de los bienes y dadas lasrentas Rk de cada agente, denotemos las respectivas demandas por el bien i = 1, 2 como,

xki (p1, p2, Rk), i = 1, 2, k = 1, . . . , n.

En tal caso, la demanda agregada (o demanda de mercado) del bien i = 1, 2 se definecomo,

Xi(p1, p2, Rk) =

n∑

k=1

xki (p1, p2, Rk).

Suponiendo entonces que el precio del bien 2 esta fijo, hemos definido una funcion queasigna a cada precio p1 la cantidad que se demandarıa del respectivo bien. Se tiene entonces losiguiente:

a.- Si para cada individuo ocurre que el bien 1 no es Giffen, entonces la demanda agregadatiene pendiente negativa en el precio propio, teniendo genericamente la siguiente forma.

Figura 18: Demanda Agregada

p1

x1

X1(p1)

49


b.- Supongamos ahora que esta definida una curva de oferta17 por el bien 1, la que, pordefinicion, nos entrega la cantidad del mismo que se producirıa en funcion del precio p1.Representemos esta curva por O1(p1) y supongamos que a mayor precio, mayor es laoferta, es decir, supongamos que el grafo de la curva de oferta es creciente en el precio(al contrario de la demanda). Una figura representativa es como sigue:

Figura 19: Oferta Agregada

p1

x1

O1(p1)

Dadas la curvas de oferta y demanda, diremos que p∗1 es el precio de equilibrio com-petitivo del del bien 1 si18:

X1(p∗1) = O1(p

∗1).

En otras palabras, el precio de equilibrio del mercado del bien 1 (de existir) es aquel parael cual las curvas de oferta y demanda de mercado del bien 1 se igualan. Dado este preciode equilibrio, quedan obviamente definidas cantidades de demanda de equilibrio X1(p

∗1),

las que a su vez permiten determinar las demandas individuales de cada agente de laeconomıa. Las demandas de cada individuo en el equilibrio corresponden simplemente a

xk(p∗1, p2, Rk), k = 1, ..., n.

c.- La funcion exceso de demanda del mercado del bien 1 se define como

Z1(p1) = X1(p1)−O1(p1).

Notemos entonces que,

17Esta curva proviene en rigor de las decisiones de las firmas para producir el bien en funcion de los precios delmismo. En lo que sigue, asumiremos que esta curva es conocida. Un detalle sobre el tema se vera en el proximocurso de microeconomıa.

18En rigor, como estamos suponiendo que el precio del bien 2 esta fijo, el analisis que sigue corresponde a unode equilibrio parcial, pues solo estamos mirando lo que sucede en el mercado del bien 1 e ignoramos el mercadodel bien 2.

50


c.1. En el precio de equilibrio p∗1, Z1(p∗1) = 0.

c.2. Si para un precio p1 se tiene que Z1(p1) > 0, entonces X1(p1)−O1(p1) > 0, es decir,X1(p1) > O1(p1): la demanda es mayor que la oferta, por lo cual se dice que al preciop1 hay exceso de demanda en el mercado. Si para p1 se tiene que Z1(p1) < 0,entonces X1(p1)−O1(p1) < 0, es decir, X1(p1) < O1(p1): la demanda es menor quela oferta, por lo cual se dice que en el precio p1 hay un exceso de oferta en elmercado.

Graficamente la situacion anterior queda como sigue:

Figura 20: Demanda y Oferta Agregada

p1

c

b

a

DCOA DA OC x1

X1(p1)

O1(p1)

De la figura, el precio de equilibrio es p∗1 = b. Si p1 = a hay exceso de demanda (DA > 0A);si el precio es p1 = c hay exceso de oferta (OC > DC). Solo en p1 = b ambas se igualan19.

2.2. El excedente del consumidor

En lo que sigue, trabajaremos en el mercado de un unico bien y supongamos que para uncierto individuo su curva de demanda es X(p). Sea entonces p1 tal que X(p1) = 1 y sea p2tal que X(p2) = 2. Bajo el supuesto general y usual que la demanda es decreciente, entoncesclaramente p1 > p2.

Supongamos ahora que por alguna razon, el precio de equilibrio es p∗ = p2, entonces nuestropersonaje comprarıa dos unidades del bien, paganfo p2 por cada una de ellas (tanto por laprimera como por la segunda unidad). Por otro lado, si fuera que el precio de equilibrio hubiesesido p∗ = p1, nuestro agente solo habıa comprado una unidad del bien. Por lo tanto, debidoa que el precio de equilibrio es p∗ = p2, ocurren dos cosas obvias. En primer lugar, nuestropersonaje compra mas unidades que si el precio fuera mayor y, en segundo lugar, por la primeraunidad paga p2 y por la segunda unidad tambien paga p2. Sin pronunciarnos sobre si comprarmas es mejor o no, hay claramente una situacion favorable a nuestro personaje cuando el precio

19Se insiste que el analisis anterior es solo de equilibrio parcial pues hemos ignorado lo que sucede en el mercadodel bien 2.

51


es p2 y no p1: por una unidad que antes estaba dispuesto a pagar p1 > p2 ahora solopaga p2. Luego, podemos imaginar que si el precio de equilibrio es p2, nuestro individuo obtieneun beneficio no pecuniario20 de (p1 − p2) · 1: beneficio de pagar p2 por una unidad que antesestaba dispuesto a pagar p1. Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 21: Excedente del Consumidor (1)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

p1

p2

y1 y2

X(p)

Beneficio

Supongamos ahora una situacion mas general, donde el precio de equilibrio es p∗ cualquiera.Por lo indicado anteriormente, dada la cantidad de equilibrio q∗ = X(p∗), nuestro personajepaga el mismo precio por cada unidad comprada al precio p∗, habiendo estado dispuesto apagar mas que eso por cada unidad q < q∗. Suponiendo que los bienes son discretos (es decir,se venden de uno en uno), el beneficio neto resultante queda representado en la Figura 22:

20No es pecuniario simplemente porque no ve aumentado su ingreso producto de la transaccion.

52




xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p1

p2

p3

pk

p∗

q1 q2 q3 k q∗

X(p)

Beneficio

Es decir:

Beneficio = (p1 − p∗) · 1 + (p2 − p∗) · 1 + ...+ (pk − p∗) · 1 + . . .+ (pq∗−1 − p∗) · 1.

Mas aun, si consideramos que existe perfecta divisibilidad de los bienes, entonces este be-neficio no pecuniario corresponde simplemente al area marcada en la Figura 23:

53




xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxp∗

q∗ = X(p∗)

X(p)

Definicion 2.1 El excedente de los consumidores (EC) en un precio de mercado p∗ se sedefine como el area indicada en la figura anterior, es decir,

EC(p∗) =

∞∫

p∗

X(p) dp.

Precisamente, a traves de este concepto recuperamos la idea intuitiva de beneficio quehabıamos desarrollado.

Respecto del concepto, notemos lo siguiente:

a.- El Excedente del Consumidor depende obviamente del precio donde se evalua y de lafuncion de demanda considerada. De esta manera, podemos hablar de excedente delconsumidor total (si se trata de demanda agregada) o de excedente individual (si setrata de demanda individual). La forma de calcular es la misma.

b.- El EC no es un beneficio pecuniario. Se debe entender como una medida de bienestar.

c.- El EC proviene de las diferencias entre lo cobrado por los bienes y la dispocision a pagarque tienen los individuos.

d.- Si las firmas pudieran discriminar a los consumidores, cobrando por ejemplo preciosdiferenciados por individuo o grupo de ellos, entonces el EC disminuirıa en relacion a uncobro uniforme.

Si las demandas son usuales (decrecientes en el precio), entonces un aumento del precio demercado (digamos, de p∗ a p) implica una reduccion del excedente del consumidor, tal comocomo se muestra en la Figura 24:

54


Figura 24: Excedente del Consumidor y Perdida de Eficiencia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p

p∗

q q∗

X(p)BA

De hecho, notemos que,

∆EC = A+B

donde,

a.- La cantidad A representa la perdida social debido al hecho que los bienes que antes secompraban a precio p∗ se transan ahora a un precio mas alto p.

b.- La cantidad B representa la perdida social debido a la reduccion en el consumo: antes secompraba q∗ y ahora solo q < q∗.

Ejemplo 2.1 Suponga que la firma “El hilo de oro” fabrica pantuflas y calcetines y supongaademas que la demanda por pantuflas que tiene un individuo es xpant(p) = 4− p mientras quesu demanda por calcetines es xcalc(p) = 6− p

2 . El precio inicial de las pantuflas cobrado por Elhilo de oro es ppant = 2 mientras que el de los calcetines es pcalc = 4. Suponga que por razonesde fuerza mayor la firma ha debido aumentar el precio de las pantuflas a 3. Como el clientees fiel, para compensarlo por este aumento de precio la firma ha decidido bajar el precio de loscalcetines. ¿Cuanto cree Ud. que ha de cobrar por los calcetines para que nuestro personaje nose sienta perjudicado por el alza en las pantuflas? Analice utilizando variaciones de excedentedel consumidor.

Respuesta. A partir del enunciado, cuando los precios son ppant = 2 y pcalc = 4, elexcedente neto respectivo es ENCpant = 1/2 · 2 · 2 = 2 (area del triangulo 1 de la figura). Paralos calcetines, ENCcalc = 1/2 · 2 · 4 = 4 (area del triangulo 2 de la figura). Por lo tanto, elexcedente neto total es 6. Cuando el precio de las pantuflas sube a 3, el nuevo excedente neto esENCpant = 1/2 · 1 · 1 = 1/2 y el problema es encontrar el precio de los calcetines de modo quela suma de los nuevos excedentes sea 6. Supongamos que el precio buscado de los calcetines es

55


p. Entonces, la demanda correspondiente es x = 2 · (6 − p) (esto viene de resolver la ecuacionx = 6 − p

2). Por lo tanto, el excedentes neto buscado es ENCcalc = 1/2 · (6 − p) · 2(6 − p) =

(6− p)2 (ver triangulo 3 de la figura). Por lo tanto la condicion es 1/2+(6− p)2 = 6, es decir,p = 6−√

5,5 = 3,6547.

46 6

p_

24

2

4-p 6 - p/2 6-p/2

4 x_

(1) (2) (3)

Ejemplo 2.2 Veamos que,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗).

En primer lugar, notemos que dado un aumento en el precio de p∗ a p, el cambio (dismi-nucion) del excedente esta dado por:

∆EC =

p∫

p∗

X(p)dp.

Por lo tanto, utilizando el Teorema del Valor medio para integrales, existe un preciop ∈ [p∗, p] tal que:

∆EC = (p− p∗) ·X(p)

de lo cual se obtiene que,

∆EC

(p− p∗)= X(p).

De esta manera, tomando lımite cuando p → p∗ (lo cual implica que p → p∗) se concluyeque,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗),

es decir, la variacion marginal del excedente del consumidor ante cambios en elprecio corresponde simplemente la demanda en el punto inicial, que es lo indicado.

2.3. Modelo de consumo intertemporal

La idea del modelo de consumo intertemporal es que el individuo puede mover recursosen el tiempo con el fin de, por ejemplo, obtener mejores “trayectorias” segun sus objetivosindividuales. Una trayectoria de consumo es simplemente el valor del mismo en el tiempo.

Basicamente, hay dos formas de traspasar recursos en el tiempo: (i) una es utilizandomercados financieros, segun lo cual se pueden (a) mover recursos del presente al futuro

56


(ahorro) o (b) del futuro al presente (deuda); otra forma de proceder es segun (ii) inversionesen sectores productivos, donde parte de los recursos actuales no se consumen en el periodo encuestion sino que se dejen para que, a traves de un proceso productivo que se efectua en unperiodo posterior, rindan beneficios que son aprovechados en dicho periodo.

Si existe la posibilidad de ahorrar o endeudarse, se dice que hay un mercado financiero;si existe la posibilidad de invertir en un proceso productivo, se dice que existe la posibilidadde inversion en un sector productivo. Obviamente, se pueden dar ambas formas de traspasarrecursos, o bien solo una de ellas (o bien ninguna).

Por simplicidad, en lo que sigue supondremos que hay dos perıodos de tiempo a considerar,a saber, el presente (t = 0) y el futuro (t = 1) (un modelo con mas periodos de tiempo nonecesariamente representa una modelacion mas general de lo que aquı se exponga). En estemodelo se asume que el individuo decide traspasar recursos en el tiempo solo con el fin demodificar sus consumos en cada instante, obviamente tratando de maximizar su funcion deutilidad que depende de la trayectoria (presente - futuro) de sus consumos.

Denotemos el consumo presente por C0 y el consumo futuro por C1 y supongamos ademasque el individuo posee ingresos en cada instante, dados por Y0 e Y1 respectivamente. Estosingresos pueden provenir de su trabajo, de lo que renta(n) su(s) empresa(s), etc. El ingresodisponible en cada perıodo lo destina al consumo. En el periodo cero, el ingreso disponiblees el neto que tiene despues de ahorrar (o endeudarse) y de invertir en algunproceso productivo. Si denotamos por S el nivel de ahorro (deuda), y por I el nivel deinversion, entonces en el periodo cero su ingreso disponible esta dado por

Y0 − S − I.

El ahorro (deuda) anterior implica un retorno (pago) en el perıodo siguiente dado por,

S · (1 + r),

donde r > 0 es una tasa de interes que fija el mercado financiero21. De hecho, la tasa deinteres es solo un precio de un activo en distintos momentos. Note que si decide por S > 0,entonces el individuo ahorro en el perıodo cero para luego recibir el pago en el periodo uno; casocontrario, si optimamente se tiene que S < 0, el individuo se endeudo en el periodo cero, paraluego pagar la deuda en el perıodo uno (aumentado ası el consumo presente, pero sacrificandoel consumo futuro).

Por otro lado, si el individuo decide invertir I ≥ 0 en el presente, entonces en el futurotendra recursos iguales a f(I), donde f(·) es una funcion de produccion de la inversion.Con todo lo anterior, dado S e I, el ingreso neto en el periodo uno (futuro) es

Y1 + (1 + r) · S + f(I).

Si el precio del consumo en perıodo cero (uno) es p0 (p1), entonces la restriccion presupues-taria que enfrenta en cada perıodo es

p0 · C0 = Y0 − S − I, p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I).

21En este modelo estamos asumiendo que la tasa de interes por deuda es igual a la tasa de interes por ahorro,cosa que no necesariamente es cierto en la practica.

57


Con todo lo anterior, el problema del individuo consiste en maximizar una funcion deutilidad que depende de la trayectoria de consumo, sujeto a las restricciones ya mencionadas.Si denotamos por U(C0, C1) dicha funcion de utilidad, el problema es entonces

maxS,I

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S − I (29)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I)

Notemos que las variables de optimizacion son S e I, pues la eleccion optima de estasdetermina la trayectoria de consumo.

Como casos particulares del problema (29) se tiene aquel donde (i) no existen posibilidadesde inversion pero sı mercados financieros, aquel donde (ii) no hay mercados financieros perosı posibilidades de inversion y aquel (iii) donde no hay ni posibilidades de inversion ni mercadosfinancieros. El caso (i) corresponde a,

maxS

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S, (30)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S

mientras que el caso (ii) al problema,

maxI

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − I (31)

p1 · C1 = Y1 + f(I)

Finalmente, en el caso (iii), la solucion es directa, pues al no haber manera de traspasarrecursos en el tiempo, la solucion optima por el lado del consumo satisface que

pt · Ct = Yt ⇒ C∗t =

Ytpt, t = 0, 1.

Considerando la version mas general del modelo, (29), se tiene que,

C0 =Y0 − S − I

p0, C1 =

Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1.

Luego, reemplazando lo anterior en la funcion de utilidad, el problema (29) se puede re-escribir como (problema de optimizacion irrestricto)

maxS,I

U

(Y0 − S − I

p0,Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1

),

Derivando c.r. a cada variable e igualando a cero se tiene que

∂U

∂S= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· 1 + r

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= 1 + r.

58


∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I).

Por lo tanto, de las condiciones anteriores, se tiene que para I∗ optimo se satisface que,

f ′(I∗) = 1 + r,

es decir, que el nivel optimo de inversion depende solo de la tasa de interes y de la funcion deproduccion, no dependiendo de la funcion de utilidad del individuo. Este resultado esconocido como el Teorema de Separacion de Fisher-Hirshleifer, y es valido si existenmercados financieros. De lo contrario, las inversiones podrıan depender de las preferenciasindividuales. En efecto, si solo existen posibilidades de inversion, el problema del individuo es(31), que re-escrito corresponde a

maxS,I

U

(Y0 − I

p0,Y1 + f(I)

p1

).

Las condiciones de optimalidad implican que

∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I),

por lo cual la inversion optima depende de las preferencias individuales.

Nota. 2.1 En presencia de mercados financieros, el proyecto de invertir consiste en uno dondeen t = 0 el flujo es −I, mientras que en el periodo uno el flujo es f(I). Luego, el VAN de esteproyecto es,

V AN(I) = −I + f(I)

1 + r.

Se utiliza la tasa de interes r como factor de descuento ya que este es el precio del capitalen el periodo correspondiente. Luego, al maximizar el V AN(I) c.r. a I se tiene que:

∂V AN(I)

∂I= 0 ⇔ −1 +

f ′(I)

1 + r= 0 ⇔ f ′(I) = 1 + r.

Por lo tanto, la condicion obtenida es simplemente una que refleja la maximizacion delV AN del proyecto de inversion.

Respecto de la funcion de utilidad, existen diversas formas de modelar las preferencias de unindividuo. La mas utilizada consiste en suponer que dicha funcion es separable en el tiempo,de forma tal que hay funciones u0 y u1 tales que,

U(C0, C1) = u0(C0) + u1(C1).

Como caso particular de lo anterior, frecuentemente se asume una forma particular paralas funciones u0 y u1, de forma tal que

u1(C) = β · u0(C),

59


es decir, que el individuo valora el futuro de la misma forma que valora el presente, salvo poruna constante β ≥ 0 que se denomina tasa de descuento intertemporal del agente. En loque sigue, asumiremos que,

U(C0, C1) = u(C0) + β · u(C1)

donde 0 < β < 1 es la tasa de descuento ya mencionada, mientras que u(·) es una funcion deutilidad instantanea de este individuo22.

El parametro β ∈ (0, 1) representa el nivel de impaciencia del individuo respecto delconsumo: mientras mas cercano a uno, mayor es su valoracion del futuro respecto del presente,es decir, es mas paciente; caso contrario, es mas impaciente cuando β es cercano a cero. Porultimo, notar que β no tiene, a priori, nada que ver con r (tasa de interes): β es una tasade descuento intertemporal que mide impaciencia, siendo por tanto un atributo personal, encambio r es un precio, que fija valor de los activos dispuestos en distintos instantes del tiempo.

Ejemplo 2.3 Asumamos que

U(C0, C1) = ln(C0) + β · ln(C1),

que p0 = p1 = 1, que los ingresos son Y0, Y1 (dados) y que la tasa de interes r > 0. Suponiendoque el individuo tiene solo posibilidades de ahorro-deuda, determinemos el nivel optimo de esta.En este caso, el problema del individuo es,

maxS

ln(Y0 − S) + β · ln(Y1 + (1 + r) · S).

De las condiciones de optimalidad se tiene que,

−1

Y0 − S+

β · (1 + r)

Y1 + (1 + r)S= 0 ⇒ S∗ =

β · (1 + r) · Y0 − Y1(1 + r) · (1 + β)

.

Por lo tanto, ahorra siempre y cuando S∗ ≥ 0, es decir, cuando,

β · (1 + r) · Y0 − Y1 > 0.

Caso contrario, el individuo se endeuda. Notemos ademas que si β aumenta (es decir, es“mas impaciente”), entonces el efecto sobre S∗ se obtiene de la derivada

∂S∗

∂β=

(1 + r)Y0 + Y1

(1 + r) · (1 + β)2> 0.

Por lo tanto, un aumento en β implica un aumento en S∗, lo que parece completamenterazonable pues, al valorar mas el futuro, el nivel de ahorro aumenta (caso en que S∗ sea positivo)o bien el nivel de deuda disminuye (caso en S∗ sea negativo).

Veamos como cambia lo anterior si adicionalmente existen posibilidades de inversion, queson dadas por la funcion

f(I) =√I.

En este caso, el nivel optimo de la inversion es tal que,

22Usualmente se asume que u(C) = Cα, con α > 0, o bien u(C) = ln(C), pues, entre otros, con dichasfunciones se simplifican los calculos, pudiendo normalmente encontrar soluciones explıcitas de la demanda.

60


f ′(I) = 1 + r ⇒ 1

2√I= 1 + r ⇒ I =

1

4(1 + r)2.

Por lo tanto, el nuevo escenario es como el anterior, salvo que ahora el ingreso Y0 delproblema anterior es Y0 = Y0 − I = Y0 − 1

4(1+r)2, mientras aquel para el periodo uno es Y1 =

Y1 + f(I) = Y1 +1

2(1+r) . Por lo tanto, el nivel optimo de ahorro (o deuda) es,

S =β · (1 + r) · Y0 − Y1(1 + r) · (1 + β)

=β · (1 + r) ·

(Y0 − 1

4(1+r)2

)−(Y1 +

12(1+r)

)

(1 + r) · (1 + β)= S∗− β + 2

4(1 + r)2(1 + β).

En principio, ya que el nuevo valor de ahorro (o deuda) es menor que aquel que se tenıaen el problema sin posibilidades de inversion (S < S∗), entonces el individuo consumirıa masen periodo presente que en el futuro. Sin embargo, este analisis no es completo, ya que paraanalizar el efecto en su totalidad, se debe restar el valor de la inversion y ver ası, en definitiva,si el ingreso neto del periodo cero es mayor ahora que antes. Se deja propuesto seguir con elproblema. �

Ejemplo 2.4 Supongamos que un individuo representativo consume en dos perıodos, el 1 y el2. Si denotamos por c1 y c2 los montos de consumo respectivo, la utilidad que obtiene nuestroagente es u(c1, c2) = c21 + β · c22, donde β es un parametro conocido. Supongamos ademas queinicialmente dicho individuo dispone de una riqueza I0, la cual debe distribuir para el consumoactual o ahorrar para consumo futuro. Si por ejemplo en el primer perıodo decide gastar I pesos,el consumo correspondiente es c1 = αI, donde α es un factor de proporcionalidad conocido,identico para ambos perıodos. El dinero ahorrado se reajusta para el proximo perıodo a unatasa de interes de i%. En este caso, para plantear el problema de maximizacion de utilidaddel consumidor, las variables de decision son el consumo actual y el consumo futuro (c1 y c2).Dado esto, sea I el gasto del individuo en el primer perıodo, entonces c1 = α I. El ahorro esentonces (I0 − I) y por lo tanto el consumo en el segundo perıodo es c2 = α(I0 − I)(1 + i), esdecir, c2 = α · I0(1 + i)− α · I(1 + i). Como c1 = αI se tiene que (1 + i)c1 + c2 = α · I0(1 + i).Luego el problema del individuo es,

maxc1,c2

c21 + βc22

s.a (1 + i)c1 + c2 = αI0(1 + i).

Imponiendo las condiciones de optimalidad se tiene que,2c1β2c2

= 1+i1 , es decir, c1 = β(1 + i)c2. Reemplazando en la restriccion presupuestaria,

β(1 + i)2c2 + c2 = αI0(1 + i). Luego, c2 =αI0(1+i)

(1+β(1+i)2). Por lo tanto, c1 =

βαI0(1+i)2

(1+β(1+i)2).

Ejemplo 2.5 La empresa forestal Buenas PerasINC tiene una plantacion de 100 hectareas dePino Radiata, donde por cada hectarea hay 400 arboles. Inicialmente (Perıodo 1) cada arbolentrega M1 kilogramos de madera mientras que en el perıodo siguiente (Perıodo 2) la cantidadde madera que entrega cada arbol es M2 > M1 (es mayor porque cada planta esta mas madura).Supongamos que el precio de la madera es constante entre los dos perıodos e igual a p > 0.Denotemos por q1 la cantidad de arboles que la empresa decide cortar en el primer perıodo

61


y supongamos que la utilidad de la empresa depende del ingreso que obtiene por la venta dela madera. Sean I1 e I2 los ingresos en los perıodos 1 y 2 respectivamente y sea U(I1, I2) lafuncion de utilidad de Buenas PerasINC .

a.- A partir de las definiciones anteriores, muestre que,

M2 · I1 +M1 · I2 = 40,000 ·M1 ·M2 · p

Con esto, plantee el problema de maximizacion de utilidad de la firma.

Respuesta. Sea q1 la cantidad de arboles que corta en el perıodo 1. Por lo tanto elingreso obtenido en dicho perıodo es I1 = q1 ·M1 · p (∗). Para el perıodo 2 solo puedecortar q2 = (40,000 − q1) arboles, por lo cual su ingreso es I2 = (40,000 − q1) ·M2 · p.Despejando q1 en funcion de I1 de (∗) y reemplazando en la relacion anterior se tiene queI2 = (40,000 − I1

M1p) ·M2 · p. Ordenando los terminos llegamos a la expresion solicitada.

De esta manera el problema de Buenas PerasINC es,

{max U(I1, I2)

s.a M2 · I1 +M1 · I2 = 40,000 ·M1 ·M2 · p.

b.- Suponiendo que la funcion de utilidad de Buenas PerasINC es

U(I1, I2) = Iα1 · Iα2 ,

muestre que la cantidad de arboles que la empresa corta en el primer perıodo es igual aaquella que corta en el segundo perıodo.

Respuesta. Las condiciones de optimalidad del problema son,

• αα · Iα−1

1 Iα2Iα1 Iα−1

2

= I2I1

= M2M1,

• M2 · I1 +M1 · I2 = 40000 ·M1 ·M2 · p.Resolviendo el sistema queda I1 =

40000·M1·p2 . Como I1 = q1 ·M1 ·p se tiene que q1 =

40,0002

que es lo solicitado.

2.4. Modelo de Ocio - Consumo

Este modelo es util para describir, entre otros, la oferta laboral de un individuo. En elmodelo de ocio-consumo, se presume que las preferencias de un individuo dependen de dosfactores, a saber, el Consumo (C) y el Ocio (θ). El consumo representa, en terminos genericos,aquellos bienes que nos entregan satisfaccion y que deben ser comprados en el mercado. Elocio es un variable que se mide en tiempo, y que representa aquella fraccion del tiempo totaldisponible que se dedica a actividades no laborales que entregan satisfaccion per se. Por estarazon, dada una cantidad total de tiempo constante que dispone el individuo, el ocio rivalizacon el tiempo que se dedica al trabajo, que a su vez permite generar ingresos que son utilizadospara comprar el consumo. En definitiva, el ocio rivaliza con el consumo.

Si un individuo dispone de T horas diarias (digamos, 24 horas), si t ≥ 0 es el tiempo quededica al trabajo, entonces el ocio remanente que dispone es θ = T − t ≥ 0. Con el tiempodedicado al trabajo, puede obtener un ingreso igual a,

62


t · w,siendo w > 0 el salario por hora que recibe. El ingreso anterior debe ser igual al valor delconsumo al que finalmente decide acceder. De esta manera, si p > 0 es el precio del consumo,se debe cumplir que

p · C = t · w.Con todo lo anterior, el problema de ocio - consumo es

maxC,θ

U(C, θ)

s.a p · C = t · w, (32)

θ + t = T,

0 ≤ θ ≤ T , 0 ≤ t ≤ T

siendo U(C, θ) la funcion de utilidad del individuo que depende del consumo y el ocio.

Del problema (32), se tiene que t = T − θ. Luego, reemplazando en la primera restriccion,p · C = w · [T − θ] ⇔ p · C + w · θ = w · T , con lo cual, el problema (32) se puede reescribircomo,

max{C,θ}

U(C, θ)

s.a p · C + w · θ = w · T, (33)

0 ≤ θ ≤ T

que tiene la forma de uno de consumo estandar, donde los dos bienes son x1 = C y x2 = θ,los precios p1 = p, p2 = w, y el ingreso (que ahora depende de uno de los precios) igual aI = w · T . De las condiciones de optimalidad del problema (33) se tiene que

∂U(C,θ)∂C

∂U(C,θ)∂θ

=p

w,

que junto con la restriccion presupuestaria permiten encontrar el consumo optimo, C∗(p,w),y el correspondiente ocio optimo, θ∗(p,w). Con este ultimo se puede obtener el tiempodedicado al trabajo, que corresponde a la oferta laboral del individuo:

t∗(p,w) = T − θ∗(p,w).

El modelo anterior se puede extender para considerar, por ejemplo, la existencia de loque en economıa se denomina ingreso no laboral, que son recursos que obtiene el individuoindependientemente de si trabaja o no. Si denotamos este ingreso no laboral por Y NL ≥ 0,entonces dado t un tiempo dedicado al trabajo, el ingreso total que dispone para el consumo es

w · t+ Y NL,

con lo cual, la nueva restriccion presupuestaria es p ·C = w · t+ Y NL. Haciendo el reemplazo,t = T − θ, se tiene que

63


p · C = w · T − w · θ + Y NL ⇔ p · C + w · θ = w · T + Y NL,

con lo que el problema del individuo es ahora

maxC,θ

U(C, θ)

s.a p · C + w · θ = w · T + Y NL,0 ≤ θ ≤ T.

(34)

Obviamente si Y NL = 0, entonces el problema (34) es equivalente al problema (33).

Ejemplo 2.6 Supongamos que U(C, θ) = Cα · θβ, p = p, w = w, T = T y que Y NL > 0.Resolviendo el correspondiente problema (34) con los datos previos, la solucion es (verificar)

C∗ =α · (w · T + Y NL)

p · (α+ β), θ∗ =

β · (w · T + Y NL)

w · (α+ β).

Luego,

t∗ = T − θ∗ =α · T · w − β · Y NL

w · (α+ β).

Notemos ahora que,

∂t∗

∂w=

β · Y NL(α+ β) · w2

> 0,

con lo cual, un aumento en el salario implica una mayor oferta laboral. Por lo demas, se tieneque,

lımw→+∞

t∗(w) =α

α+ β· T,

es decir, que si el salario aumenta, la oferta de trabajo nunca sobrepasara la fraccion α/(α+β)del tiempo total disponible. Finalmente, si Y NL = 0, entonces,

t∗ =α

α+ β· T,

es decir, trabajarıa la cota maxima que tenıa en el escenario anterior.

Del ejemplo anterior, notemos que si Y NL > 0, entonces existe un salario positivo parael cual la oferta de trabajo es cero. En efecto, al imponer la condicion t∗ = 0, y despejar elrespectivo salario se tiene que,

wR =β · Y NLα · T > 0.

Este salario se llama salario de reserva y corresponde a aquel precio (salario) por el trabajopara el cual el individuo esta indiferente entre trabajar (oferta positiva) y no trabajar. Obvia-mente a cualquier salario menor que wR el individuo no trabajara; a cualquier valor w > wR

la oferta de trabajo sera positiva.

64


Ejemplo 2.7 Asumiendo los parametros como en el ejemplo anterior, calculemos el salariode reserva si U(C, θ) = [Cr + µθr]1/r, con r > 0. Para ello, necesitamos calcular la oferta detrabajo en funcion de w y luego buscar aquel valor de salario para el cual dicha oferta es cero.En este caso, la condicion de optimalidad implica que

[Cr + µθr]1/r−1 · r · Cr−1

[Cr + µθr]1/r−1 · µ · r · θr−1=p

w⇔ C

θ=[µ · pw

]1/(r−1)⇔ C = θ ·

[µ · pw

]1/(r−1).

Luego, reemplazando lo anterior en la restriccion presupuestaria, p ·C+w ·θ = w ·T+Y NL,se tiene que,

p · θ ·[µ · pw

]1/(r−1)+ w · θ = w · T + Y NL,

con lo cual,

θ∗ =w · T + Y NL

p ·[µ·p

w

]1/(r−1)+ w

⇒ t∗ = T − θ∗ =p ·[µ·p

w

]1/(r−1) · T − Y NL

p ·[µ·p

w

]1/(r−1)+w

.

Por lo tanto, el salario de reserva es wR tal que p ·[µ·p

w

]1/(r−1) · T − Y NL = 0, es decir,

wR = µ · pr ·[

T

Y NL

]r−1

.

Note que wR es creciente en Y NL si r < 1. Ademas, si p aumenta, entonces wR tambienlo hace.

3. Decisiones Bajo Incertidumbre

3.1. Introduccion

En lo que sigue vamos a estudiar un modelo simple de comportamieto de individuos enfren-tados a situaciones de incertidumbre. La diferencia escencial entre este nuevo esquema y lo quehemos estudiado hasta el momento, es que en el caso usual la utilidad solo depende del bien deconsumo en sı mismo, el cual es perfectamente conocido en terminos de su calidad, propiedades,etc., de modo que ex ante podemos saber cual sera el nivel de satisfaccion que nos depararıasu consumo. Ası, las acciones de los agentes se traducen en decidir sobre la combinacion debienes, dados su precios, que deparara la maxima utilidad. El problema es que ahora que lacalidad o caracterısticas de los bienes no son conocidas previo a la toma de decisiones. Estose tiene, por ejemplo, cuando no hay un perfecto conocimiento de las caracterısticas de losbienes o de la cantidad en que ellos estaran disponibles al momento de realizar el consumo,ambas situaciones muy frecuentes en la realidad.

A modo de ejemplo, cuando compramos un determinado producto en el comercio, no sa-bemos exactamente que es lo que recibiremos a cambio del pago que hacemos. Idealmentepodemos tener una imagen de una manzana y pensar que ese es el objeto por el cual realizamosla transaccion. Sin embargo, al momento de consumir, podemos encontrarnos con un productode mala u optima calidad, lo que obviamente modifica nuestro placer del consumo. Por lo tanto,estamos enfrentados a una situacion riesgosa donde el pago el bien en cuestion es mas bienun pago por una posibilidad que el bien tenga tal o cual caracterıstica. En otras palabras,

65


pagamos por loterıas de bienes y no por una especificacion concreta, perfectamente conocidaa priori23. En este caso simple, podemos pensar que con cierta probabilidad 0 < p < 1 lamanzana comprada es de optima calidad y que, por lo tanto, con probabilidad (1 − p) es deinferior calidad. Imaginemos que el placer por las buenas manzanas se mide con un numero,digamos, mb, mientras que por las manzanas malas este valor es mm

24. Por lo tanto, de todo loanterior, con probabilidad p nuestra ganancia serıa mb y con (1− p) serıa mm, lo que podemosresumir en el siguiente cuadro:

Probabilidad Valor

p mb

(1− p) mm

Otro ejemplo es la compra de un seguro de accidentes de transito. A priori, no tenemosningun control del futuro y no sabemos que nos deparara el destino. Si tomamos o no el seguro,a posteriori sus consecuencias sobre nuestro nivel de ingreso pueden ser muy importantes, y porende sobre nuestro nivel de bienestar. Si denotamos por I el ingreso actual, por M el valor delseguro comprado, por A el costo de un accidente y por S el valor que nos cubre el seguro, dadauna probabilidad p de tener el accidente, entonces el ingreso disponible final sera I−A−M+Smientras que con probabilidad (1− p) sera de I −M . El siguiente cuadro resumen la situacion:

Probabilidad Valor

p I −A−M + S

(1− p) I −M

En todo lo que sigue, para simplificar el analisis supondremos que

Las caracterısticas de calidad de los bienes son traspasadas a un unico numero quellamaremos valor del bien, de modo que las decisiones de los agentes son hechassobre la base de la valoracion monetaria que tal o cual calidad asociada a ellos.

En otras palabras, en el modelo que sigue supondremos que los bienes son representados(digamos, resumidos, traducidos, etc) por medio de un unico numero que podemos entendercomo un valor monetario del mismo, el cual que participa en las utilidades de los individuos.Mientras mayor es el valor, mayor es la utilidad obtenida.

Este esquema general, aun cuando es un supuesto simplificatorio muy util, de todas formasnos permite estudiar gran cantidad de situaciones: por ejemplo problemas de consumo debienes usuales con incertidumbre, decisiones de inversion, de aseguramiento, de impuestos, etc.El mınimo comun es que ex ante una persona no tiene toda la informacion para saber cualsera la calidad del bien de consumo que tendra, cual sera el retorno de la inversion, si sufrira ono un accidente de transito, si sera o no encontrado en fraude tributario, etc. Ası, a pesar quese presentan multiples alternativas, el resultado final del proceso es incierto y en cada uno delos posibles estados de la naturaleza el beneficio que obtiene el agente puede ser completamentedistinto.

23Aun cuando no son sinonimos, en lo que sigue utilizaremos indistintamente los conceptos riesgo e incerti-dumbre.

24En lo que sigue este numero correspondera a un valor monetario de la manzana, que podemos imaginarcomo una disposicion a pagar por la misma. Ası, habiendo comprado la manzana obtenemos una ganancia mb

o mm segun sea el caso.

66


3.2. El modelo

Para modelar los fenomenos como los ya mencionados, necesitamos introducir un conceptomas amplio de bien que hemos utilizado hasta el momento. Imaginemos entonces que con unaprobablidad 0 < p < 1 el bien (o resultado del proceso) se resumen en un valor (ingreso, ganan-cia, calidad, etc.) representada por x1 y que con probabilidad (1−p) este valor resultante es x2.Por ejemplo, en un supermercado se tiene que con probabilidad 0,7 las manzanas compradasson de buena calidad, de modo que su valor es $100 la unidad, mientras que con probabilidad0,3 son de mala calidad, siendo el valor de estas igual a $70. Tenemos por lo tanto una situacionresumida en la siguiente tabla:

Probabilidad Valor

p = 0,7 $100

(1− p) = 0,3 $70

El concepto ampliado de bien que resume lo anterior es aquel de loterıa, que queda descritapor la tabla anterior.

Definicion 3.1 Una loterıa es una coleccion

{p, 1− p, x1, x2}

que resume el hecho que con probabilidad p el bien en cuestion tiene un valor x1 y con proba-bilidad (1− p) es x2.

Definicion 3.2 Dada la loterıa,

Probabilidad Valor

p x1(1− p) x2

el valor medio de la misma se define como,

x = p · x1 + (1− p) · x2. (35)

En otras palabras, el valor medio de una loterıa es un promedio ponderado por la pro-babilidades de los valores posibles que tiene la loterıa25. Formalmente corresponde al valoresperado de una variable aleatoria que con probabilidad p toma el valor x1 y con probabilidad(1− p) el valor x2. Por lo tanto, es lo que en promedio el individuo obtedrıa de comprar el bienen cuestion.

Nota. 3.1 La idea de loterıa anterior se puede extender para considerar situaciones donde losposibles valores de esta son xi, i = 1, . . . , N , cada uno de ellos con probabilidad de ocurrencia

pi, i = 1, . . . , N , de modo que pi ≥ 0 yN∑i=1

pi = 1. En tal caso, el valor medio (esperado) de la

loterıa es

x =N∑

i=1

pixi ∈ R.

Para el caso ya descrito, N = 2, p1 = p y p2 = (1− p).

25El valor medio ponderado es simplemente una combinacion convexa de los valores extremos x1 y x2.

67


Nota. 3.2 Un bien usual x1 (cantidad del bien; valor del bien, etc.) se pueden entender comoloterıas “extrema” de la forma

{1, 0, x1, x2}que con probabilidad 1 tiene un valor x1 y con probabilidad 0 toma el valor x2.

El problema es ahora modelar las elecciones sobre las loterıas, para lo cual se debe definiruna funcion de utilidad sobre las mismas. Para ello, necesitamos disponer de un conceptode funcion de utilidad ampliado, que dependa de las probabilidades y de los bienes. Seinsiste que la loterıa, tal como han sido definidas, no son un bien tangible: es un ideal querepresenta determinada situacion de incertidumbre en las calidades (y/o cantidades) de losbienes; los individuos no consumen loterıas, sino bienes de consumo usuales.

Para diferenciar la funcion de utilidad que depende de las loterıas y la usual, denotemospor u(·) la f.d.u estandar y por U(·) aquella que depende de las loterıas: en otras palabras,U(·) se evalua en probabilidades y “dinero” (p, (1 − p), x1, x1) , mientras que u(·)solo se evalua solo en dinero (x1, x2) (bienes usuales):

U(p, (1− p), x1, x2), u(x1), u(x2).

Ejemplo 3.1 Dada la loterıa,

Probabilidad Valor

p x1(1− p) x2

algunos ejemplos de funciones U(·) pueden ser:

a.- U(p, (1 − p), x1, x2) = px31 − p(1− p)x1x2 + p2 ln(x22 + 1).

b.- U(p, (1 − p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα2 .

c.- U(p, (1 − p), x1, x2) = p2x1 +x32

1−p2 .

Nota. 3.3 PREGUNTA IMPORTANTE: ¿Que relacion existe entre U(·) y u(·)? Apriori, ninguna. La funcion u(·) nos entrega informacion sobre las elecciones de bienes. Encambio, U(·) no solo entrega informacion sobre el consumo en sı mismo, sino que ademasnos entrega antecedentes sobre al forma en que cada individuo enfrenta las situaciones deincertidumbre, lo que a priori no tiene nada que ver con si prefiere la leche con chocolatea los kiwis. La forma en que cada individuo se aproxima al riesgo es una caracterıstica propiadel mismo y podrıa tener que ver con su edad, su genero, su condicion socioeconomica, si tieneo no hijos, su nivel de educacion, etc.

A pesar de lo anterior, hay un caso particular muy importante bajo el cual se estableceuna estrecha relacion entre una y otra funcion de utilidad. Este caso se tiene en la siguientedefinicion.

68


Definicion 3.3 Dada la loterıa {p, 1−p, x1, x2}, diremos que la funcion de utilidad U(·) verificala propiedad de utilidad esperada si se cumple que,

U(p, (1 − p), x1, x2) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2).En tal caso, se dice que u(·) es la funcion de utilidad de Von Newman - Morgenstein

(VNM) del individuo, y notaremos U ∼ u.

La propiedad de la utilidad esperada es un supuesto simplificatorio de mucha importancia,tanto para la teorıa, como en la practica (cosa que podremos apreciar en diversos ejemplos). Ob-viamente no todas las funciones de utilidad U(·) satisfacen la propiedad. A modo de ejemplo,las siguientes funciones de utilidad no la cumplen.

(a) U(p, (1 − p), x1, x2) = p2x21 + x1 + (1− p) · px32.

(b) U(p, (1 − p), x1, x2) = px1 + (1− p)x22.

(c) U(p, (1 − p), x1, x2) = p(1− p)x1

En el caso (a) no se puede identificar una funcion de utilidad u(·) y la expresion no es linealen las probabilidades; en el caso (b) no hay una funcion u(·) unica: para p corresponderıa au(x) = x, pero segun (1− p) serıa u(x) = x2. En el caso (c) no aparece x2 y luego no dependede u(x2) para algun u(·). Ademas en este caso no hay linealidad en las probabilidades.

Lss siguientes funciones U(·) cumplen la propiedad de utilidad esperada.

(i) U(p, (1 − p), x1, x2) = px21 + (1− p) · x22.

(ii) U(p, (1 − p), x1, x2) = px1 + (1− p)x2.

(iii) U(p, (1 − p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα2 .

Para simplificar el analisis que sigue, supondremos que la funcion de utilidad U decada individuo siempre verifica la hipotesis de utilidad esperada.

3.3. Ejemplos de aplicacion

Tal vez la mayor dificultad para el tipo problemas que estudiaremos es la identificacion dela loterıa que representa el fenomeno en analisis. Una vez hecho, el modelo es relativamentesimple de resolver, ya que se deriva la funcion objetivo (o el Lagrangeano) respecto de la variablede decision, y se resuelve el sistema o la ecuacion resultante. Los siguientes ejemplos ilustranla tecnica requerida.

Ejemplo 3.2 Seguro de AutoSupongamos que un cierto individuo compra un auto que cuesta $A. Dicha persona esta pro-

pensa a que durante el ano sufra un accidente cuyo costo es $D (valor de los danos). Dadoesto, ha decidido tomar un seguro. Si el monto por el cual se asegura es de $S el debe pagar elr% en prima (es decir, $r · S). La probabilidad que el individuo sufra el accidente es p > 0 ypor lo tanto, la probabilidad de no sufrir el accidente es (1 − p). Luego, con probabilidad p elbeneficio que tiene es

x1 = A−D − r · S + S,

69


es decir, el valor del auto, menos los danos, menos el costo de la prima mas el monto que cubreel seguro. Si por el contrario, si no sufre el accidente, su patrimonio al final del dıa sera

x2 = A− r · S.El problema es decidir por cuanto tomara el seguro. Para ello, supongamos que su funcion deutilidad verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα, α > 0. Entonces, condicionala las probabilidades, el problema del individuo es determinar S de modo que se maximice

maxS

[p · u(x1) + (1− p) · u(x2)] = maxS

p · (A−D − r · S + S)α + (1− p) · (A− r · S)α.

Derivando c.r. a S (variable de decision, pues el individuo decide por cuanto tomar elseguro), se tiene que,

p · α · (1− r)(A−D − r · S + S)α−1 + (1− p) · α · (−r) · (A− r · S)α−1 = 0

de lo cual se tiene que,

(A−D + (1− r) · S

A− r · S

)α−1

=(1− p)r

p(1− r)

de donde es posible obtener explıcitamente el valor de S optimo.

Ejemplo 3.3 Decisiones de inversion.Supongamos que disponemos de una cierta cantidad de dinero d y que se nos presenta la

opcion de invertir en acciones o en pagares del Banco Central (PBC). El PBC depara comobeneficio una tasa de interes segura (porcentaje) r1 > 0, mientras que las acciones, que sonmas riesgosas, en la mejor situacion entregan una tasa de interes r2 > 0, con r2 > r1, pero queen un mala racha del sistema la tasa es r3, con r3 < r1. La probabilidad de que las accionestengan un alto retorno es p > 0, mientras que la probabilidad de que este sea bajo es (1− p). Elproblema consiste en decidir cuanto invertir en acciones y cuanto en un activo seguro (PBC).Si el dinero inicial es d, denotemos por da lo que destinamos a las acciones (y por lo tanto,d− da es la cantidad de dinero que ponemos en PBC). Luego, segun la definiciones anteriores,con probabilidad p el individuo obtiene la siguiente cantidad de dinero:

(d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2),

es decir, reajusta al r1 de la cantidad de dinero puesta en PBC y a una tasa r2 el dinero puestoen acciones. Analogamente, con probabilidad (1− p) el dinero obtenido es,

(d− da) · (1 + r1) + da · (1− r3),

es decir, la ganancia segura menos la perdida en la bolsa (ganancia con tasa menor). Todo loanterior es solo un balance economico producto de las decisiones del individuo ante el riesgo.Si suponemos que su funcion de utilidad verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) =xα, α > 0, entonces el problema del individuo es determinar da de modo que se maximice,

maxda

p · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2)) + (1− p) · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1− r3))

70


⇔ maxda

p · ((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2))α+(1− p) · ((d− da) · (1 + r1) + da · (1− r3))

α.

Ordenando los terminos se tiene que el problema es,

maxda

p · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α + (1− p) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))

α.

Derivando con respecto a da (variable de decision, pues el individuo decide cuanto invertir),se tiene que,

p · α · (r2 − r1) · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α−1−

(1− p) · α · (r3 + r2) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))α−1 = 0

es decir,

(d · (1 + r1) + da · (r2 − r1)

d · (1 + r1)− da · (r3 + r2)

)α−1

=(1− p) · (r3 + r2)

p · (r2 − r1)

a partir de lo cual se puede obtener una expresion para da en funcion de los datos del problema.

Ejemplo 3.4 PlantacionesSupongamos que un individuo posee una plantacion de pinos de H hectareas, cada una de

las cuales tiene A arboles. El tipo debe decidir si cortar este ano (Primer Perıodo) o el proximoano (Segundo Perıodo). Si corta hoy dıa, la cantidad de madera que obtiene de cada arbol esM1 Kg, mientras que si corta el proximo perıodo existe incertidumbre de cual sera la cantidadde madera que contenga cada arbol. En efecto, si el ano resulta bueno en cuanto a lluvia, lacantidad de madera de cada arbol sera M2 Kg, con M2 > M1, pero si el ano es seco, la cantidadde madera de cada arbol sera M3 < M1. La probabilidad de que el ano sea bueno es p, mientrasque (1− p) es la probabilidad de que el ano sea seco. Bajo estas condiciones, denotemos porq la cantidad de arboles que el individuo decide cortar durante el primer perıodo (que sera lavariable para optimizar). Luego, con probabilidad p el ano es lluvioso y por lo tanto la cantidadde madera que obtiene es

q ·M1 + (A ·H − q) ·M2,

mientras que con probabilidad (1− p) la cantidad de madera que obtiene es,

q ·M1 + (A ·H − q) ·M3.

Si la funcion de utilidad VNM es u(x) = ln(x), el problema de la persona es

maxq

p · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M2) + (1− p) · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M3).

71


3.4. Aproximacion de los individuos hacia el riesgo

Lo que ahora nos ocupara es modelar, de manera sencilla, la manera en los los individuosse aproximan al riesgo, que subyace en el hecho que con alguna probabilidad, lo que compra (uobtiene) puede ser, por ejemplo, insatisfactorio (en resumen, enfrentar una situacion donde, apriori, no hay certeza de calidad, o cantidad, del bien que recibira).

Dada la loterıa {p, 1 − p, x1, x2}, supongamos que x1 < x2, de modo que con probabilidadp se tiene el escenario desfavorable, y con probabilidad (1 − p) un escenario desfavorable.Recordemos ademas que el valor medio de la loterıa (promedio, media, esperanza, valoresperado, etc.) es

x = p · x1 + (1− p) · x2 ∈ R.

Graficamente el valor medio de la loterıa es un punto del intervalo real cuyos extremos son x1y x2: mientras p es mas cercano a cero, el valor medio x es mas cercano a x2, mientras mascercano a uno es p, el valor medio se acerco a x1.

Figura 25: Valor Esperado del Ingreso

x1

px1 + (1− p)x2

x2

Condicional a las probabilidades, el valor medio x se entiende como el pago que, enpromedio, se obtiene de la loterıa. En la practica, y para los analisis que siguen, se puedeentender como un pago seguro que resume el valor de la loterıa en comento.

Para definir la actitud de un individuo frente al riesgo, procederemos comparando,en terminos de beneficio, la situacion con riesgo (jugar la loterıa) versus la situacion segura(ganar x). Bajo el supuesto que U ∼ u, la situacion riesgosa entrega satisfaccion

p · u(x1) + (1− p) · u(x2),

mientras que para la situacion segura es

u(x).

Con lo anterior, hay tres posibilidades:

Caso A. que u(x) = p · u(x1)+ (1− p) · u(x2) (es decir, que u(x) = U(p, (1− p), x1, x2))

Caso B. que u(x) < p · u(x1)+ (1− p) · u(x2) (es decir, que u(x) < U(p, (1− p), x1, x2))

Caso C. que u(x) > p ·u(x1)+ (1−p) ·u(x2) (es decir, que u(x) > U(p, (1−p), x1, x2)).

En el Caso A, el individuo es indiferente entre una situacion riesgosa y una situacion segura;en el Caso B, el individuo prefiere la situacion riesgosa a la situacion segura, pues lautilidad que le entrega la loterıa (U(p, (1−p), x1, x2)) es mayor que aquella que entrega el pagoseguro (que es u(x)); en el Caso C, el individuo prefiere la situacion segura a la situacionriesgosa.

72


Ejemplo 3.5 Supongamos que jugamos dinero al “cara y sello”: si sale cara gano 100 y si salesello pierdo 100. La cantidad de dinero que jugarıa es 100. Por lo tanto, con probabilidad 1/2obtengo 200 (gano 100 mas los 100 que tenıa) y con probabilidad 1/2 quedo con nada (pierdolos 100 que tenıa). En este caso, x1 = 0, x2 = 200 y p = 1 − p = 1/2. En promedio, al jugarganarıa x = 1/2 ·200+1/2 ·0 = 100. En el Caso A el individuo estarıa indiferente entre jugaro no jugar, en el Caso B. el individuo prefiere jugar mientras que en el Caso C el sujeto nojugarıa el juego.

Definicion 3.1 Suponiendo que U ∼ u, diremos que el individuo es neutro al riesgo si paracualquier loterıa {p, 1 − p, x1, x2} se tiene que

u(x) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2),que es propenso al riesgo si

u(x) < p · u(x1) + (1− p) · u(x2),y que es averso al riesgo si

u(x) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

Claramente la neutralidad, propension o aversion al riesgo depende de como es la fun-cion de utilidad VNM del individuo. Para los casos A -C anteriores, veamos geometricamentecomo se manifiesta la propiedad en cuestion (se presenta un grafico de la utilidad VNM, u(·),para diversos valores de ingreso).

Caso A. Aquı u(x) = p ·u(x1)+ (1−p) ·u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2). Enla Figura 26, el punto B = u(x). Notemos que, por el hecho de que la utilidad es lineal,el punto C coincide ademas con p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Por lo tanto, la situacion deneutralidad al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM es lineal.

Figura 26: Utilidad VNM Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

x1 x x2

C

B

A

73


Caso B. En este caso, u(x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y porC = u(x2). En la Figura 27, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Paraencontrar el punto D, basta con prolongar la lınea punteada que pasa por B hasta cortarla recta que une A con C 26. Por condicion B < D y la figura de la utilidad se ve comosigue,

Figura 27: Utilidad VNM Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xx

xxxxxx

xxxxxxxxx

x1 x x2

C

BA

D

Por lo tanto, la situacion de propension al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM,u(·), es convexa.

Caso C. En este caso, u(x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y porC = u(x2). En la Figura 28, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Paraencontrar el punto D, basta intersectar la lınea punteada que pasa por B con la rectaque une A con C (analogo al caso anterior). Como por condicion B > D, la figura de lautilidad se ve como sigue:

26Es importante que pueda justificarlo. Queda como ejercicio para el lector.

74


Figura 28: Utilidad VNM Concava

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2

CB

A

D

Por lo tanto, la situacion de aversion al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM, u(·),es concava.

De lo expuesto, queda entonces establecido que:

(a) neutralidad al riesgo corresponde a utilidades VNM lineales,

(b) aversion al riesgo corresponde a utilidades VNM concavas,

(c) propension al riesgo corresponde a utilidades VNM convexas,

Nota. 3.4 Recordemos que una funcion u(·) es concava si u′′

< 0: segunda derivada es nega-tiva; y es convexa si u

′′

> 0: segunda derivada positiva.

Ejemplo 3.6 Suponga que la funcion de utilidad VNM es u(x) = xα, con α > 0. Entonces elsujeto es neutro al riesgo si α = 1, averso si α < 1 (u(x) concava) y propenso si α > 1 (u(x)convexa).

El concepto de neutralidad, aversion o propension al riesgo en Definicion (3.1) es un con-cepto global, en el sentido que la condicion se exige sobre todas las loterıas. ¿Que ocurre sien determinado rango de ingresos el individuo es, por ejemplo, averso al riesgo, y en otros espropenso? En tal caso, el sujeto no se puede calificar en alguno de los tipos indicados.Mas bien se trata de una situacion mixta que no tendrıa cabida dentro del marco global quehemos definido previamente. Para hacernos cargo de estos comportamientos heterogeneos, sedeberıa definir un concepto local de cercanıa al riesgo. Dado cierto nivel de ingreso (valor,etc.), ¿que medida nos puede indicar que “tan propenso” es al riesgo en el entorno a dichovalor? A priori se podrıa esperar, razonablemente, que si la funcion de utilidad de un sujetoes “mas convexa” que la de otro, entonces dicho individuo deberıa ser mas arriesgado que elsegundo. Por otro lado, condicional a que el sujeto es propenso al riesgo (global), su cercanıacon el riesgo seguramente dependera de la cantidad de dinero que esta en juego: seguramentese es mas arriesgado con montos chicos que con montos grandes. Para aproximar una medida

75


de aversion o propension al riesgo se introduce la Medida de aversion absoluta al riesgode Arrow - Pratt.

Definicion 3.4 Dada la funcion de utilidad VNM, u(·), y dado un cierto ingreso x∗, se definela medida de aversion absoluta al riesgo de Arrow - Pratt en el nivel de ingreso x∗

como,

R(x∗) = −u′′

(x∗)

u′(x∗).

Este indicador da cuenta de que tan concava (o tan convexa) es la funcion de utilidad VNM.Relacionandolo con los conceptos anteriores se tiene que:

A.- Si R(x) < 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es propenso alriesgo (f.d.u. convexa)27.

B.- Si R(x) > 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es averso al riesgo(f.d.u. concava).

C.- Si R(x) = 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es neutro al riesgo.

Ejemplo 3.7 Si u(x) = xα, entonces

R(x) = −u′′(x)

u′(x)= −α(α− 1)xα−2

αxα−1=

1− α

x

Notemos que para cualquier x se tiene que el signo de R(x) lo determina el signo de 1−α. Siα > 1, entonces R(x) < 0 para cualquier x, cuestion que se condice con el hecho que el individuoes propenso al riesgo; si α < 1 implica que R(x) > 0 para cualquier x, siendo ası averso alriesgo. Notemos que esto es consistente con lo desarrollado en el Ejemplo (3.6).

Notemos que la medida R(x) puede depender del nivel de ingreso del sujeto. Con el fin decorregir eventualmente esta dependencia, se define la medida de aversion relativa al riesgode Arrow - Pratt.

Definicion 3.2 Dado x y u una utilidad VNM, la Medida de Aversion Relativa al Riesgode Arrow - Pratt, que se denota r(x), se define como

r(x) = x · R(x).

Ejemplo 3.8 Si u(x) = xα, entonces

r(x) = x ·R(x) = −x · u′′(x)

u′(x)= 1− α.

27Recuerde que la utilidad VNM siempre crece con el ingreso, de modo que la primera derivada es positiva.

De esta manera, si R(x) < 0 significa que −u′′

(x)

u′(x)

< 0, es decir, u′′

(x)

u′(x)

> 0; como u′(x) > 0 siempre, entonces

u′′(x) > 0, es decir, u es convexa, de modo que el individuo es propenso al riesgo.

76


¿Por que se consideran ambas medidas de aversion al riesgo? Imaginemos dosindividuos: el Sr.1 es rico, y tiene mucho dinero (digamos, $1,000,000); el Sr. 2 es mas pobre,tiene $10,000. A ambos se ofrece un juego donde se arriesga perder la apuesta o ganar el doblede lo apostado. La probabilidad esta fija y no es relevante para lo que sigue. La apuesta parajugar es $1,000. A priori, sin saber nada de sus preferencias, podemos especular que el Sr.1estara mas dispuesto a jugar el juego que el Sr.2, basicamente porque arriesga solo el 1% desus ingresos, mientras que el Sr.2 el 10% de los suyos. ¿Significa lo indicado que el Sr.1 es maspropenso al riesgo que el Sr.2? En terminos absolutos, seguramente si; sin embargo, en terminosrelativos puede que no lo sea.

Ejemplo 3.9 Supongamos que la funcion de utilidad VNM de un individuo es de la formau(x) = a + b · ln(x + c). Determine R(x) y r(x) e interpretemos su significado. Para ello,la derivada de u(·) es u′(x) = b

x+c y la segunda derivada es u′′

(x) = −b(x+c)2

. Por lo tanto,

R(x) = −u′′(x)u′(x) = 1

x+c , y luego r(x) = xx+c . Como R(x) > 0, el individuo siempre es averso al

riesgo. Por otro lado, que R′(x) = −1(x+c)2

< 0, significa que, en la medida que x aumenta, R(x)

disminuye, por lo tanto, cuando el individuo es mas rico (aumenta el ingreso x), se tiene queR(x) disminuye, es decir, cada vez es menos averso al riesgo.

Ejemplo 3.10 Si la funcion de utilidad VNM de un individuo es u(x) = e−ax, con a > 0, se

tiene que u′(x) = −a · e−ax y u′′(x) = a2 · e−ax. Por lo tanto, R(x) = −u′′(x)u′(x) = a2·e−ax

−a·e−ax = −a.Luego, si a > 0 el individuo es averso al riesgo, mientras que a < 0 implica que el individuo espropenso al riesgo.

Medidas adicionales que nos permiten aproximar la aversion - propension al riesgo de unindividuo, que en definitiva son medidas de la concavidad o convexidad de la utilidad VNM,son el equivalente cierto y la prima por riesgo. Vamos por parte. Ya sabemos que, engeneral, u(x) = u(p · x1 + (1− p) · x2) no tiene por que ser igual a p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Dehecho, para el caso de un individuo averso (propenso) al riesgo sabemos que:

u(x) > (<) p · u(x1) + (1− p) · u(x2).Ası, ¿cuanto “dinero” habrıa que dar a un individuo para que la utilidad correspondientesea equivalente a la que obtendrıa de jugar el juego? Es decir, ¿que nivel de ingresos lo dejaindiferente entre jugar y no jugar el juego? Evidentemente la respuesta es M tal que

u(M) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). (36)

Notemos que, a priori, a cantidad M que cumple con (36) puede depender de x1, x2 y de p.Este valor recibe el nombre de equivalente cierto de la loterıa. Al respecto:

(a) si el individuo es neutro al riesgo, entonces M = px1 + (1− p)x2.

(b) si el individuo es averso al riesgo, entonces M < px1 + (1− p)x2.

(c) si el individuo es propenso al riesgo, entonces M > px1 + (1− p)x2.

Justifiquemos (b) (las otras son similares). Si el individuo es averso al riesgo, entonces

u(px1 + (1− p)x2) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

77


Luego, como buscamos M tal que u(M) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2), se tiene entonces queu(px1 + (1− p)x2) > u(M); como u(·) es creciente, concluimos que

M < px1 + (1− p)x2.

Finalmente, se define la prima por riesgo asociada a la loterıa {p, 1 − p, x1, x2} como ladiferencia entre el valor esperado de esta y el equivalente cierto, es decir,

ρ = x−M.

De esta manera, ya que M = x− ρ, por definicion se cumple que

u(M) = u(x− ρ) = pu(x1) + (1− p)u(x2).

La cantidad ρ anterior depende obviamente de la utilidad del individuo y del nivel de ingresoen que estamos parados (por lo tanto, es mas correcto escribir ρ(x) para expresar la prima porriesgo). Intuitivamente, para un individuo que es mas averso al riesgo que otro, la prima porriesgo ha de ser mayor.

Notemos que,

a.- Si el individuo es propenso al riesgo, la prima por riesgo ha de ser negativa (recuerdeque en la definicion, el ρ va con signo menos en la utilidad).

b.- Si el individuo es averso al riesgo, la prima por riesgo es positiva (le debo “quitar dinero”para hacerlo indiferente entre la situacion segura y la riesgosa).

c.- Por ultimo, si el individuo es neutro al riesgo, su prima por riesgo es cero.

La Figura 29 ilustra la prima por riesgo cierto para un individuo que es averso al riesgo.

Figura 29: Equivalente Cierto

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2(x− r)

78


Parte II

Teorıa de la Firma

4. Conceptos Basicos

4.1. Introduccion

Para los objetivos del curso, es fundamental definir lo que entenderemos por proceso pro-ductivo, ya que sera el concepto central que utilizaremos para analizar el comportamiento delas firmas dentro de la economıa.

Definicion 4.1 Se entendera por proceso productivo cualquier instancia destinada a trans-formar ciertos bienes en otros diferentes de los originales.

Cuando se habla de bienes diferentes no solo se hace referencia a cuestiones que muestrenun cambio evidente en las cualidades fısicas o quımicas de los originales a los finales. Por elhecho que los bienes tienen asociadas caracterısticas espaciales y temporales que los puedendiferenciar, un proceso productivo puede tambien corresponder a ponerlos en distintos lugaresy/o en distintos instantes de tiempo.

Dado un proceso productivo, existen dos tipos de bienes que lo conforman: aquellos queseran transformados y aquellos que resultan de la transformacion. Los primeros seran llamadosmaterias primas, inputs o factores del proceso productivo, mientras que los segundos seranel producto, output o bien final. Por ejemplo, para la produccion de jugo de naranja,algunos de los factores podrıan ser las naranjas, agua, edulcorante, colorante, mano de obra, etc;mientras que el producto final de esta etapa es el “jugo de naranja”. Siguiendo con este ejemplo,el mismo jugo de naranja podrıa perfectamente ser un factor para otro proceso productivo, porejemplo, una pastelerıa que lo ocupe para fabricar galletas de naranja.

En el modelo economico, las unidades basicas que llevan a cabo los procesos productivos sonlas firmas o empresas. Estas son las unidades mınimas que desempenan tal labor, mientrasque una agrupacion de ellas que producen un bien identico se denominara industriadel bien en cuestion.

Dados ciertos factores de produccion, es necesario destacar que una firma puede elaborarsimultaneamente varios productos. En este caso general hablaremos de una firmamultiproducto;cuando la firma produce solo un bien se dira que es monoproducto. En este curso estudiaremosfirmas monoproductoras. La justificacion viene del hecho que, una firma multiproducto puedeser entendida, bajo ciertos supuestos generales, como varias firmas monoproductoras trabajandoen conjunto.

Como veremos pronto, cada firma esta caracterizada por lo que llamaremos su tecnologıade produccion. Con esta simplemente se resumen las opciones que tiene para “combinar losfactores” con el fin de elaborar su producto final. En todo lo que sigue, salvo que se digaexpresamente, asumiremos que para una determinada firma, dicha tecnologıa esta dada.Este es un supuesto fuerte, por cuanto omite del analisis todos aquellos aspectos relativos ainnovacion tecnologica e “investigacion y desarrollo” (I + D), materias que para muchas firmasson de gran importancia en sus quehaceres28.

28Una forma de justificar este supuesto es partir de la base que el analisis que nos interesa se efectua enun horizonte de tiempo lo suficientemente breve, de modo que la firma no puede realizar innovaciones en susprocesos, manteniendo de esta manera su tecnologıa constante.

79


Con el fin de caracterizar el comportamiento de una firma, dos son los problemas centralesque estudiaremos, los que a posteriori resultan estar estrechamente relacionados. En primerlugar vamos a considerar el problema de maximizacion de beneficios para luego analizar elproblema de minimizacion de costos. Con esto, puesta la firma en un contexto de mercado,podremos estudiar su oferta de producto y demanda de factores, para lo cual consideraremos,en primer lugar, una economıa competitiva, donde cada firma en particular no tiene injerenciaen el precio de los bienes que ofrece. Posteriormente relajaremos el supuesto, permitiendo quelas firmas puedan tener injerencia en los precios de venta de los productos.

4.2. La firma y sus objetivos

Comencemos con una pregunta: ¿cual es el fundamento para que existan las firmas? Larespuesta pasa, en primer lugar, por comprender que en cada accion que se ejecuta dentrode un proceso productivo, existen costos provenientes de, por ejemplo, el pago por insumos,salarios, impuestos, patentes, transporte de productos, etc. La razon para que el proceso seallevado a cabo en alguna escala (que da origen a las firmas no individuales) viene del hechoque este tipo de organizacion puede reducir los costos de produccion debido a que, por un lado,existe un efecto de escala en la produccion dada una concentracion adecuada de factores y, porotro lado, por el hecho que algunos de los costos mencionados no dependen de la cantidad deproducto que se elabore (costos fijos), lo que motiva la organizacion del proceso pues, de estamanera, resulta mas eficiente desde el punto de vista de los beneficios obtenidos. Obviamente, laorganizacion de una firma no individual tiene sentido siempre y cuando el esfuerzo cooperativode un grupo resulte en una situacion mas beneficiosa que aquella obtenida de la suma de losesfuerzos individuales. La diferencia de ingresos entre ambas situaciones, claro esta, debe serpor lo menos ser igual al costo de organizar, supervisar, medir y hacer cumplir los contratos conlos empleados, menos los costos de transaccion asociados con la alternativa de subcontratacion.

Tacito en la mencion sobre la necesidad de supervision, esta el hecho que el empresario esel supervisor final del proceso, ya que recibe el beneficio (ingresos menos pago de insumos) delproceso y, por ende, percibe un impacto inmediato en su pecunio personal del desempeno dela empresa. De esta manera, tras la idea del empresario como supervisor final y eficiente, seencuentra el supuesto de maximizacion de beneficio neto como objetivo de la firma, lo que en elfondo define su comportamiento dentro de la economıa. Una justificacion adicional para esto seencuentra en la necesidad de obtener financiamiento con el fin de crecer, o entregar dividendos.En este sentido, la busqueda de ganancias por parte de los inversionistas, o el interes de noafrontar perdidas significativas, obligarıa a las empresas a tener capacidad de generar altosretornos.

4.3. Sobre la funcion de produccion y conceptos relacionados

Con la finalidad de modelar el problema que nos interesa, supondremos que firma es mo-noproductora y que ocupa solo dos factores de produccion29. Denotaremos genericamentepor x1 cantidad del factor 1 y por x2 aquella del factor 2 que utiliza la firma para producir suproducto30, la que genericamente sera denotada por y.

Es claro que para realizar un determinado proceso productivo, para cada firma, en deter-minado momento, solo existen algunas formas viables de combinar los factores para obtener

29El analisis que sigue es perfectamente aplicable si en el proceso productivo existen mas de dos factores.30Para fijar ideas, el factor 1 puede ser trabajo, mientras que el factor 2 corresponder a capital.

80


el producto. Estas formas viables estan definidas por una serie de condicionantes, que a mo-do de ejemplo, pueden ser las caracterısticas fısicas y/o quımicas de los factores y productos,restricciones sobre la manera en que se pueden mezclar los factores, caracterısticas del equipode trabajo (tecnicos, profesionales), de los equipos o maquinas disponibles en el momento, etc.Precisamente estas condicionantes son las que implıcitamente definen la tecnologıa de produc-cion de una firma, pues ellas determinan, en ultima instancia, las cantidades de producto quese pueden obtener a partir de los insumos empleados.

Definicion 4.2 La tecnologıa de una firma esta definida por la manera en que la mismapuede combinar los factores con el fin de elaborar el producto.

En terminos practicos, la tecnologıa refleja la cantidad de producto que la firma puedeobtener dadas las cantidades de factores que emplea.

Un supuesto fundamental que haremos en este curso, salvo que se diga expresamentelo contrario, es que la tecnologıa de una firma es constante, en el sentido que decisiones sobreinnovacion tecnologica, u otros relacionados, no seran aspectos a considerar en el analisis.

Supondremos que la nuestra firma produce utilizando solo dos factores, cuyas cantidadesgene ricas son x1 y x2 para el factor uno y dos respectivamente. Dado esto, los productosfactibles de ser elaborados empleando los factores x1 y x2 se definen como

P(x1, x2) = {y | y se puede elaborar con x1, x2}

A priori, es claro que el conjunto anterior debe tener una cota superior, es decir, existeuna cantidad de producto maxima que es posible elaborar a partir de la cantidad indicadade factores. Obviamente esta cantidad maxima dependera de las caracterısticas de cada firma.Sin embargo, para una firma determinada, este nivel de producto es unico, completamentedeterminado por la cantidad de factores que utiliza (y obviamente por las caracterısticas de lafirma).

Definicion 4.3 La funcion de produccion de la firma se define como aquella que asocia alos factores dados la cantidad maxima de producto que se puede elaborar a partir de los mismos.

Si denotamos por f(·) la funcion de produccion de la firma, entonces, segun la definicion,f(x1, x2) representa la mayor cantidad de producto que la firma puede elaborar a partir de losinputs dados. De esta manera, si fuera dado cualquier otro nivel de produccion y0 ∈ P(x1, x2),entonces

y0 ≤ f(x1, x2).

En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.

Ejemplo 4.1 Supongamos que el proceso productivo considera solo un factor. La Figura 30 uncaso generico.

81


Figura 30: Funcion de Produccion

Producto

d

b

a c Factor

f

De lo anterior, si la cantidad de factor es a, entonces la cota de produccion es b, mientrasque, si la cantidad es c, la cota es d. Luego, si la funcion de produccion es f(·), se tiene quef(a) = b y f(c) = d. Notemos ademas que dado a, cualquier cantidad de producto y ≤ b esfactible de ser producida con esta cantidad de factor. Por el contrario, con a cantidad de factor,la cantidad de producto d es infactible de ser elaborada, ya que supera la cota de maximo outputposible.

En todo lo que sigue, cuando hablemos de produccion de la firmas, nos referiremos a la cotamaxima que puede producir dada la cantidad de factores, es decir, a los valores de la funcionde produccion (f.d.p) de la firma en el nivel de factores. Finalmente, abusando del lenguajey considerando todo lo anterior, hablaremos indistintamente de funcion de produccion otecnologıa de la firma.

Nota. 4.1 Que la funcion de produccion representa la tecnologıa de produccion de la firmaes una forma muy simplificada de modelar a las firmas, de manera analoga a suponer que lafuncion de utilidad podıa resumir (modelar) el comportamiento de los individuos.

Supongamos dadas las cantidades de factores x1 y x2, y sea f(·) la funcion de produccion.Notemos, en primer lugar, que si aumentamos la cantidad del factor 1 en δ > 0, entonces,en el peor caso, la firma producira lo mismo que hacıa previo al cambio, ya que puededesechar factores manteniendo los niveles originales de produccion. Esto es igualmente validocon aumentos en el factor 2. De esta manera, necesariamente la funcion de producciondebe ser creciente en los factores. Esta es una propiedad fundamental de toda funcion deproduccion.

Proposicion 4.1 Las funciones de produccion son crecientes en cada una de sus componentes(factores).

Lo anterior se traduce en para una funcion de produccion f(·) derivable, se debe cumplirque

82


• ∂f(x1,x2)∂x1

≥ 0

• ∂f(x1,x2)∂x2

≥ 0

Finalmente, para un proceso productivo (dos factores) es obvio que

f(0, 0) = 0: De la nada, nada sale.

Las propiedades recien expuestas son las restricciones fundamentales para que una funcioncualquiera sea una funcion de produccion; de violarse alguna de ellas, la funcion en cuestion nopodra ser una funcion de produccion.

Nota. 4.2 Normalmente se asumira que las funciones de produccion son estrictamente cre-cientes por componentes, es decir, que aumentos en alguno de los factores implican aumentosestrictos en el nivel de producto que se obtiene. En tal caso, las derivadas de la f.d.p con respectode los factores son estrictamente positivas.

Ejemplo 4.2 En la Figura 31 se ilustran seis grafos de ciertasfunciones. De ellas, solo (c),(d) y (f) pueden representar funciones de produccion.

Figura 31: Funciones de Produccion

a b c

d e f

De la definicion de derivada,

∂f(x1, x2)

∂x1= lım

h→0

f(x1 + h, x2)− f(x1, x2)

h,

para h suficientemente pequeno se tiene que

∂f(x1, x2)

∂x1≃ f(x1 + h, x2)− f(x1, x2)

h,

83


a partir de lo cual,

f(x1 + h, x2)− f(x1, x2) ≃ h · ∂f(x1, x2)∂x1

.

De esta manera, cuando h = 1 se concluye que

f(x1 + 1, x2)− f(x1, x2) ≃∂f(x1, x2)

∂x1. (37)

El lado izquierdo de lo anterior es el incremento en produccion (funcion creciente) que seobtiene de aumentar el factor uno es una unidad.

Definicion 4.4 El producto marginal del factor i = 1, 231 evaluado en (x1, x2), corres-ponde al incremento en la cantidad producida del bien final (output), debido al cambio enuna unidad del insumo en cuestion (cambio marginal). Para el factor i = 1, 2, se denotara porPMgxi(x1, x2).

De manera analoga a lo expuesto para el concepto de utilidad marginal, teniendo en cuenta(37) se concluye que el producto marginal puede ser aproximado por la derivada parcial dela funcion de produccion c.r. a la variable correspondiente. Abusando del lenguaje, y de lasaproximaciones, el producto marginal lo evaluaremos como la derivada parcial c.r. alfactor respectivo. Ası, el producto marginal c.r. al factor i = 1, 2, evaluada en el punto (x1, x2),corresponde a

PMgxi(x1, x2) =∂f(x1, x2)

∂xi≥ 0, i = 1, 2.

Ya que f.d.u es creciente, el producto marginal de cada factor siempre ha de ser posi-tivo; si la f.d.u. es estrictamente creciente, el producto marginal de cada factor ha de serestrictamente positivo. Esto ultimo sera asumido normalmente en todo lo que sigue.

Definicion 4.5 Se entendera por productividad media de un factor al producto total di-vido por la cantidad utilizada del factor productivo en cuestion. Dados x1, x2, la productividadmedia del factor i = 1, 2 se denotara por

PMexi(x1, x2) =f(x1, x2)

xi.

Ejemplo 4.3 La Figura 32 ilustra ambos conceptos:

31Tambien llamada productividad marginal del factor.

84


Figura 32: Producto Medio y Marginal

Producto

f(a)

a b

(1)

x1

(2)

La productividad marginal (producto marginal) en a es igual a la pendiente de la recta

tangente a la curva (recta (1)), mientras que la productividad media es f(a)a . Note ademas que

PMgx1(a) > PMgx1(b), mientras que PMx1(a) < PMex1(b) (¿por que?)

Ciertamente una funcion de produccion puede tener diversos comportamientos respecto desus productividades marginales y medias: se puede dar el caso que tenga productividad marginalcreciente en ambos factores, otras que tengan productividades marginales decrecientes, otradonde haya producto marginal creciente en un factor, y decreciente en el otro. La Figura 33ilustra lo expuesto.

Figura 33: Comportamientos Funciones de Produccion

(1) (2) (3)

La funcion de produccion (1) tiene productividad marginal y media creciente, la (2) decre-

cientes, mientras que pata la (3) son constantes.

Finalmente, podemos imaginar tecnologıas donde, por ejemplo, para ciertos niveles de factorse tienen productividades marginales (o medias) crecientes, mientras que para otros niveles, sondecrecientes. La Figura 34 ilustra lo expuesto.

85


Figura 34: Distintos Comportamientos en una Funcion de Produccion

y

x1 x2 x

y = f(x)

Cuando el factor esta entre 0 y x1, el producto marginal y medio es creciente; cuando

esta entre x1 y x2, el producto marginal y el medio es decreciente. Finalmente, para x > x2,

el producto marginal es cero y el medio decreciente.

Nota. 4.3 Funciones de produccion concavas y convexasRecordemos que una funcion f : R2 → R es concava si para todo x1, x

′1 ∈ R

2 y para todoλ ∈ [0, 1] se cumple que,

f(λx1 + (1− λ)x′1) ≥ λf(x1) + (1− λ)f(x′1). (38)

La expresion λx1+(1−λ)x′1 se denomina combinacion convexa de x1 y x′1, y es un vector enel segmento de recta cuyos extremos son x1 y x′1. Cuando λ = 0 o 1, la combinacion convexacorresponde a uno de los valores extremos del intervalo. Notemos que (38) es siempre unaigualdad cuando λ = 0 o λ = 1. Si la desigualdad (38) es estricta cuando λ ∈]0, 1[, se diceque la funcion es estrictamente concava. Geometricamente una funcion concava es como lomuestra la Figura 35

Figura 35: Funcion Concava

B

C

x1 A x′1

f

86


En la figura, A = λx1 + (1− λ)x′1 representa una combinacion convexa cualquiera entre x1y x′1, mientras que B = f(λx1 + (1− λ)x′1). Finalmente, C = λf(x1) + (1− λ)f(x′1) (probarlocomo ejercicio). Para cualquier punto entre x1 y x′1 se cumple que B esta por encima de C,que es la definicion de concavidad. En consecuencia, geometricamente la concavidad se tienecuando la recta une puntos de una curva que esta siempre por debajo de la curva (B mas grandeque C).

Desde un punto de vista analıtico, cuando la funcion f es de una variable, la concavidadcorresponde a que la primera derivada es decreciente y, por lo tanto, que la segunda deri-vada es negativa. Si la funcion es de varias variables, la condicion “segunda derivadanegativa” se traduce en que la matriz de segundas derivadas parciales (matriz Hessiana)es semi-definida negativa. Una matriz es semi-definida negativa cuando sus valores pro-pios son menores o iguales a cero. En particular, esto implica (no es equivalente) a que lassegundas derivadas parciales

∂2f(x1, x2)

∂x21,∂2f(x1, x2)

∂x22, (39)

son negativas. Por lo tanto, si la funcion de produccion es concava, de (39) se concluye quelos productos marginales de cada factor son decrecientes. Sin embargo, esta condicionno es suficiente para garantizar la concavidad de la f.d.p.

Como sabemos, la funcion f : R2 → R es convexa si −f (la negativa de f) es concava. Lageometrıa de las funciones convexas es “opuesta” a aquella de las concavas: el grafo esta pordebajo de la recta. Desde el punto de vista del analisis, la matriz Hessiana de una funcionconvexa es semi-definida positiva, cuestion que en terminos de productividades implica que elproducto marginal de cada factor es creciente.

Finalmente, se debe distinguir entre funciones concavas (convexas) y estrictamente conca-vas (estrictamente convexas): geometricamente, la diferencia esta en que la recta que hemosmostrado esta estrictamente por debajo (encima) de la curva, salvo obviamente los extremosdonde te tocan. En terminos de los Hessianos, los valores propios de las estrictamente conca-vas son estrictamente negativos, y estrictamente positivos para las estrictamente convexas.Informalmente, las estrictamente concavas y estrictamente convexas no tienen lados rectos.

Ejemplo 4.4 Consideremos la funcion f : R2+ → R+ tal que

f(x1, x2) = xα1 · xβ2 ,con α, β > 0. Las derivadas parciales de f en (x1, x2) (productos marginales de cada factor)son

∂f(x1, x2)

∂x1= αxα−1

1 xβ2 ,∂f(x1, x2)

∂x2= βxα1x

β−12 ,

mientras que las segundas derivadas parciales (elementos de la matriz Hessiana) son

∂2f(x1, x2)

∂x21= α · (α− 1) · xα−2

1 xβ2 ,∂2f(x1, x2)

∂x22= β · (β − 1) · xα1xβ−2

2 ,

∂2f(x1, x2)

∂x1∂x2=∂2f(x1, x2)

∂x2∂x1= α · β · xα−1

1 xβ−12 .

87


Una caracterizacion de la negatividad estricta de una matriz Hessiana de 2 × 2 esque (i) la suma de los elementos de la diagonal de la matriz (traza), sea negativo y (ii) queel determinante sea positivo32. Por lo tanto, si f es estrictamente concava, se tiene que

α · (α− 1) · xα−21 xβ2 + β · (β − 1) · xα1xβ−2

2 < 0, (40)

y que

α · (α− 1) · xα−21 xβ2 · β · (β − 1) · xα1xβ−2

2 − [α · β · xα−11 xβ−1

2 ]2 > 0. (41)

Considerando que x1, x2 > 0 y que α, β > 0, la inecuacion (40) es valida cuando α < 1 yβ < 1. Por otro lado, reordenando los terminos en (41), se tiene que

x2α−21 x2β−2

2 · [α · (α− 1) · β · (β − 1)− α2 · β2] > 0,

de lo cual

(α− 1) · (β − 1)− α · β = αβ − α− β + 1− αβ = (1− α− β) > 0,

que finalmente implica α + β < 1. En resumen, hemos probado que la funcion f tal quef(x1, x2) = xα1 · xβ2 es estrictamente concava si α, β > 0 y α+ β < 1 .

Siguiendo con la idea de construir indicadores para medir impactos sobre la produccion de-bido a cambios en los factores, otro concepto importante a considerar es la elasticidad productode un factor.

Definicion 4.6 La elasticidad producto del factor i=1,2 se define como la variacionporcentual en el producto dada un cambio porcentual en la cantidad del factor respectivo.

En otras palabras, dado un cambio marginal en el factor i = 1, la elasticidad producto delfactor corresponde a

ǫy,x1 =

f(x1+1,x2)−f(x1,x2)f(x1,x2)

x1+1−x1x1

=f(x1 + 1, x2)− f(x1, x2)

1· x1f(x1, x2)

.

Finalmente, aproximando las diferencias por derivadas, la expresion para la elasticidad encomento es

ǫy,xi =∂f(x1, x2)

∂xi· xif(x1, x2)

.

Note que la elasticidad debe ser positiva ya que el producto marginal siempre es positivo.

Definicion 4.7 Diremos que el producto es inelastico al factor i = 1, 2 si ǫy,xi < 1. Diremosque el producto es elastico al factor i = 1, 2, si ǫy,xi > 1.

Nota. 4.4 En estricto rigor, los conceptos elastico e inelastico se definen con el valor absolutode la elasticidad. En este caso no es necesario, pues la elasticidad factor del producto es siemprepositiva.

32Para cualquier matriz, se puede probar que la suma de los valores es igual a la traza de la matriz, y que suproducto es igual al determinante de la misma.

88


Proposicion 4.2 Dados lod factores x1, x2 y la funcion de produccion f(·), se tiene que:

a.-

ǫy,xi =PMgxi(x1, x2)

PMexi(x1, x2).

b.- La productividad media del factor i = 1, 2 alcanza su maximo valor cuando es igual a laproductividad marginal del factor i = 1, 2.

c.- Si PMex1(x1, x2) < PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es creciente. Si PMex1(x1, x2) >PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es decreciente.

Demostracion.

a.- Directo evaluando la expresion de la derecha y comparando.

b.- Supongamos i = 1 y derivemos PMex1(x1, x2) c.r. a x1:

∂PMex1(x1, x2)

∂x1=∂[f(x1,x2)

x1

]

∂x1=x1 · ∂f(x1,x2)

∂x1− f(x1, x2)

x21.

La condicion de maximizacion se tiene cuando la derivada anterior es cero. Para ello serequiere que el numerador de la expresion sea cero, es decir,

x1 ·∂f(x1, x2)

∂x1− f(x1, x2) = 0,

de lo cual se tiene que ∂f(x1,x2)∂x1

= f(x1,x2)x1

, correspondiente a lo mencionado.

c.- Del calculo de la derivada anterior, como la productividad media es creciente si su derivadaes positiva, se tiene que x1 · ∂f(x1,x2)

∂x1− f(x1, x2) > 0, es decir, ∂f(x1,x2)

∂x1> f(x1,x2)

x1que es

lo indicado. Analogo con la otra parte, considerando que la funcion es decreciente si laderivada es negativa.

Un concepto muy importante para analizar las propiedades de la firma es aquel de isocuantade produccion, que pasamos a definir y analizar33.

Definicion 4.8 La isocuanta de produccion al nivel de producto y0 se define como el con-junto de las combinaciones de factores que permiten obtener exactamente dicha cantidad deproducto. Dada la funcion de produccion f(·) y dado el nivel de producto y0, la isocuanta adicho nivel la notaremos por Iy0, es decir,

Iy0 = {(x1, x2) | f(x1, x2) = y0} ⊆ R2. (42)

La interpretacion de las isocuantas es similar a aquella de las curvas de indiferencia enla teorıa del consumidor. La Figura 36 ilustra el concepto.

33Concepto analogo al de curva de indiferencia en la teorıa del consumidor.

89


Figura 36: Isocuanta de Produccion

x2

x1

f(x1, x2) = y

Proposicion 4.3 Suponiendo que la funcion de produccion f(·) es estrictamente creciente encada componente, se tiene que:

(a) En el plano x1 − x2 las isocuantas de produccion son curvas decrecientes.

(b) Isocuantas de produccion de distintos niveles de producto nunca se cortan. Es mas, siy1 < y2 entonces la isouanta de produccion Iy1 “esta por debajo” de la isocuanta Iy2.

(c) La pendiente de la tangente a la curva Iy1 en el punto (x1, x2) ∈ Iy1 es

m = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

< 0.

(d) Si la funcion de produccion es estrictamente concava, entonces la isocuanta de producciones una curva estrictamente convexa en el plano x1 − x2

34.

Demostracion.

a.- Dado y, si f(x1, x2) = y entonces al aumentar x1, digamos a x1 + δ, necesariamentex2 debe disminuir ya que de mantenerse (o aumentar), entonces la produccion tambiendeberıa aumentar pues la f.d.p es estrictamente creciente. Luego, para mantenerse enla curva, un aumento de x1 debe implicar una disminucion de x2, es decir, la curva esdecreciente. La Figura 37 ilustra esta idea:

34En rigor, la clase mas amplia de funciones de produccion que tienen isocuanta son las funciones cuasi -

concavas, de las cuales las concavas son un caso particular.

90


Figura 37: Isocuanta son curvas decrecientes

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

Si x1 aumenta en a, entonces x2 debe bajar en b.

b.- Si las curvas se cortasen, entonces existirıan niveles de factores (x∗1, x∗2) tales que f(x

∗1, x

∗2) =

y1 (esta en la primera isocuanta) y ademas f(x∗1, x∗2) = y2 (esta en la segunda isocuanta),

lo que no puede ser ya que y1 6= y2. Por otro lado, si y1 < y2 y (x1, x2) ∈ Iy1 , mientrasque (x1, x

∗2) ∈ Iy2 , entonces, dado que la funcion de produccion es creciente, se tiene que

x2 < x∗2, por lo cual, el punto (x1, x∗2) esta por encima del punto (x1, x2), es decir, la

isocuanta Iy2 esta por arriba de Iy1 . La Figura 38 ilustra la proposicion:

Figura 38: Isocuantas no se cortan

x∗2

x2

x1

Iy1

Iy2

c.- Veamos en primer lugar un argumento informal. Supongamos que tenemos dos puntoscercanos (x1, x2), (x1 + a, x2 − b) ∈ Iy como ilustra la Figura 39:

91


Figura 39: Pendiente de Isocuantas

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

En tal caso, la pendiente de la isocuanta en (x1, x2) es aproximadamente:

m =(x2 − b)− x2(x1 + a)− x1

= − ba.

Por otro lado, del hecho que f(x1 + a, x2 − b) = f(x1, x2) = y, haciendo la aproximacionpor la derivada se tiene que

f(x1 + a, x2 − b)− f(x1, x2) = 0 ≈ a · ∂f(x1, x2)∂x1

+ b · ∂f(x1, x2)∂x2

,

y luego,

m = − ba≈ −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

.

El argumento formal es como sigue. Ya que f(x1, x2) = y, existe entonces una relacionimplıcita entre x1 y x2 (cuyo grafico es, de hecho, la isocuanta de produccion), relacionque notaremos como x2(x1). Ası, por definicion de la relacion implıcita,

f(x1, x2(x1)) = y.

Derivando lo anterior c.r. a x1, aplicando la regla de la cadena y considerando que y nodepende de x1, se tiene que:

∂f(x1, x2)

∂x1+∂f(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

con lo cual,

92


∂x2(x1)

∂x1= −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

que es analogo a lo ya mostrado.

d.- Si tomamos dos puntos de la isocuanta y evaluamos la funcion de produccion en unacombinacion convexa de estos, por definicion dicho valor es mayor o igual que la combi-nacion convexa de los valores de la funcion en dicho punto. Pero en cada uno de ellos lafuncion vale el nivel de producto considerado y luego dicha combinacion es igual al nivelde producto. En consecuencia, la recta esta por encima de la curva y, por lo tanto, esconvexa. �

A partir de lo anterior, dada una isocuanta de produccion Iy, el espacio queda dividido entres regiones, a saber, aquellos puntos que estan en la curva, aquellos que estan por sobre lacurva y, finalmente, aquellos que estan por debajo de la curva:

a.- Los puntos en la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) = y.

b.- Los puntos sobre la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) > y.

c.- Los puntos bajo la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) < y.

La Figura 40 ilustra lo anterior.

Figura 40: Arriba, bajo y sobre una Isocuanta

x2

x1

f(x) < y

f(x) = y

f(x) > y

Iy

Volviendo sobre la proposicion anterior, se demostro que la pendiente de la isocuanta deproduccion en el punto (x1, x2) es

m = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

que obviamente es la derivada la funcion implıcita x2(x1) que la define. Este cantidad esimportante en el analisis de la funcion de produccion.

93


Definicion 4.9 Dado un nivel de produccion y0 > 0, la relacion tecnica de sustituciondel factor 1 por el factor 2, evaluada en (x1, x2) ∈ Iy0 , se define como

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −PMgx1(x1, x2)

PMgx2(x1, x2).

¿Como se interpreta la RTS1,2(x1, x2)? Supongamos que f(x1, x2) = y0, y que decidimosaumentar en una unidad la cantidad del factor 1, pasando de x1 a x1 + 1 (aumento marginal).En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en el factor 1 implica aumento deproducto, es decir, f(x1 +1, x2) > y0, de modo que (x1 +1, x2) no esta en la isocuanta al nively0. Para seguir en la curva (es decir, mantener producto constante a pesar del aumento marginaldel factor uno), necesariamente la cantidad del factor 2 debe disminuir. Esta “disminucion” esprecisamente la RTS1,2(x1, x2), siendo por tanto indicativa de la sustitubilidad de factores.

Dada la isocuanta al nivel y0, consideremos dos puntos cualesquiera (x1, x2), (x′1, x

′2) en ella,

tal que x1 < x′1. ¿Que relacion hay entre RTS12(x′1, x

′2) y RTS12(x1, x2)? A priori, ninguna.

Sin embargo, se pueden dar dos casos extremos:

(a) que RTS12(x1, x2) < RTS12(x′1, x

′2): la RTS12 es creciente,

(b) que RTS12(x1, x2) > RTS12(x′1, x

′2): la RTS12 es decreciente.

Puesto que RTS es negativa, que sea creciente implica que en modulo es decreciente(ıdem con decreciente y en modulo creciente). Ası, que la RTS se decreciente, (caso (b)), enla medida que el factor uno aumenta, va sustituyendo cada vez menos cantidad del factor dos:en algun sentido, cada unidad adicional de factor uno es menos productiva que la anterior. LaFigura 41 ilustra estos los extremos mencionados.

Figura 41: Relacion Tecnica de Sustitucion (1)

x2

x∗1 x∗∗1 x1

Iy

En la figura, entre el origen y x∗1la RTS es creciente (cada vez es menos negativa), mientras

que entre x∗1y x∗∗

1es decreciente (cada vez mas negativa). En valor absoluto, las conclusiones

son las contrarias: hasta x∗1la |RTS| es decreciente, mientras que entre x∗

1y x∗∗

1es creciente.

94


Puesto que la RST es la derivada de la isocuanta de produccion, el hecho que seacreciente implica que tal curva es convexa (analogamente, si la RTS es decreciente, laisocuanta de produccion es concava). ¿Que es “mas natural” en economıa: isocuantas convexaso isocuantas concavas? Isocuantas convexas. ¿Por que? Si la isocuanta es convexa, la funcionde produccion es concava (mas general, “cuasi-concava”), cuestion que, como veremos, es unacondicion suficiente para que el problema de maximizacion de beneficios de la firma se puedaresolver, y con ello definir la oferta de la misma. Otro argumento es que si la isocuanta esconcava, en la medida que el factor uno aumenta, sustituye cada vez mas cantidad de factordos, entendiendose por tanto como “cada vez mas productivo”. De esta manera, el productomarginal de dicho factor deberıa ser creciente, lo cual, normalmente, no es lo que se observa enla practica.

En general, el tipo de tecnologıa que vamos a considerar tendra RTS decreciente enmodulo (es decir, creciente si consideramos el signo), teniendo por tanto isocuantas conve-xas.

Veamos finalmente un concepto que nos dara cuenta de la curvatura de la isocuanta deproduccion. Para ello, fijemos el nivel de produccion y0 y consideremos la isocuanta a dichonivel:

Iy0 : (x1, x2) | f(x1, x2) = y0,

la que supondremos convexa. Dados w1 y w2 precios de los factores, y dada un parametro c > 0,una recta de la forma

w1x1 + w2x2 = c,

tiene pendiente −w1/w2 y cuando c aumenta, se desplaza hacia arriba - la derecha. Para ciertovalor de c, dicha recta sera tangente con isocuanta Iy0 . En funcion de los precios, el puntodonde donde se tiene la tangencia sera denotado por

(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) ∈ Iy0 .

La Figura 42 ilustra lo indicado.

Figura 42: Elasticidad de Sustitucion (1)

m = −(w1/w2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x∗2)

95


La condicion de tangencia implica que

RTS12(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = −w1

w2. (43)

Por otro lado, el hecho que el punto esta en la isocuanta Iy0 ,

f(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = y0. (44)

De las ecuaciones (43) y (44) se puede obtener el punto de tangencia en funcion de losprecios. Supongamos ahora que los precios se modifican, digamos a w′

1, w′2. El nuevo punto de

tangencia se determina a partir de las ecuaciones anteriores y se denotara por

(x1(w′1, w

′2), x2(w

′1, w

′2)) ∈ Iy0 .

La siguiente figura ilustra el efecto de cambio en precios sobre punto de tangencia.

Figura 43: Elasticidad de Sustitucion (2)

(x′1, x′2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x∗2)

La pregunta es, ¿que tanto cambia el punto de tangencia cuando cambian losprecios? Obviamente la respuesta depende de la forma que tenga la isocuanta: mientras “masaplanada” sea la curva, seguramente el cambio en los precios lleva a que el nuevo punto detangencia este alejado del original. Para medir este efecto, el cambio en precio relativo es

(w′1

w′2

− w1

w2

)

el cual induce un cambio en el uso relativo de factores dado por

(x1(w

′1, w

′2)

x2(w′1, w

′2)

− x1(w1, w2)

x2(w1, w2)

).

Luego, una medida del cambio en el uso relativo de los insumos debido al cambio en elprecio relativo es

(x1(w′

1,w′

2)x2(w′

1,w′

2)− x1(w1,w2)

x2(w1,w2)

)

(w′

1w′

2− w1

w2

)

96


que aproximado por derivadas corresponde a

∂(x1(w1,w2)x2(w1,w2)

)

∂(w1w2

) .

Convirtiendo lo anterior en una elasticidad, queda definida la elasticidad de sustitucion,que denotaremos por σ:

σ =∂(x1(w1,w2)x2(w1,w2)

)

∂(w1w2

) ·w1w2

x1(w1,w2)x2(w1,w2)

.

Ejemplo 4.5 Calculemos la elasticidad de sustitucion para la Cobb-Douglas f(x1, x2) = xα1xβ2 .

En este caso, dados los precios w1, w2, y dado un nivel de produccion y0, el punto de tangenciacorrespondiente cumple con

αxα−11 xβ2

βxα1xβ−12

=α · x2β · x1

=w1

w2⇒ x1

x2=α

β

(w1

w2

)−1

.

Por lo tanto,

∂(x1x2

)

∂(w1w2

) = −αβ

(w1

w2

)−2

.

Por otro lado,x1x2

=α

β

w2

w1⇒

w1w2x1x2

=w1w2αβw2w1

=β

α

(w1

w2

)2

lo que finalmente implica que,

σ = −αβ

(w1

w2

)−2

· βα

(w1

w2

)2

= −1.

En resumen, la elasticidad de sustitucion en una Cobb-Duoglas es siempre igual, a menosuno. ¿Como se interpreta este resultado? Un aumento porcentual en la razon de precios hacerdisminuir, en uno porciento, la razon de factores donde se verifica la tangencia con la isocuanta.

Ejemplo 4.6 Calculemos la elasticidad de sustitucion para una CES de la forma

f(x1, x2) = [xρ1 + xρ2]1/ρ

.

En este caso, dados los precios w1, w2, se tiene que

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ (1/ρ) [xρ1 + xρ2]

1/ρ−1ρxρ−1

1

(1/ρ) [xρ1 + xρ2]1/ρ−1

ρxρ−12

=xρ−11

xρ−12

=

(x1x2

)1/(ρ−1)

=w1

w2

con lo cual,

97


x1x2

=

(w1

w2

) 1ρ−1

⇒ ∂(x1/x2)

∂(w1/w2)=

1

ρ− 1

(w1

w2

) 1ρ−1

−1

.

Completando el calculo se tiene que

σ =1

ρ− 1

(w1

w2

) 2−ρρ−1

·(w1

w2

)(w1

w2

)− 1ρ−1

=1

ρ− 1.

De esta manera, la elasticidad de sustitucion resulta ser constante. Esto se interpreta di-ciendo que un aumento porcentual en la razon de precios implica que la razon de insumos enel punto tangente mencionado, se modifica en 1

ρ−1 %.

Nota. 4.5 Mientras mayor es la elasticidad de sustitucion, significa que cambios en la pen-diente de rectas tangentes tienen mayor efecto sobre el punto donde se verifica la tangencia,siendo por lo tanto indicativa de la curvatura de la misma. Por ejemplo, con una f.d.p Leon-tiev, se puede mostrar que la elasticidad de sustiricion es cero, y que con una lineal es +∞(Ejercicio).

4.4. Rendimientos a escala

Cuando estudiamos la productividad marginal y/o la productividad media, modificamossolo un factor de produccion, a partir de lo cual tratamos de ver el efecto sobre el resultado delproceso. Un poco mas de generalidad en el analisis se tiene cuando movemos simultaneamentetodos los factores involucrados y miramos el efecto sobre la produccion. Sin embargo, analizar losefectos en produccion cambiando todos los factores independiente no tiene mucho sentido, puesla informacion que de ello se puede obtener es muy vaga. Lo que sı puede resultar interesantees modificar todos los factores en la misma proporcion, y ver como esto altera el resultado delproceso. De esta manera, supongamos que y = f(x1, x2), y que duplicamos la cantidad defactores en el proceso. En tal caso, las tres opciones que se tienen son las siguientes:

a.- La produccion crece exactamente el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) = 2 · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) > 2 · f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) < 2 · f(x1, x2).

Con mas generalidad, supongamos que en vez de duplicar la cantidad de factores, multipli-camos por una cantidad t > 1 todos los factores intervinientes. En tal caso, las tres posibilidadesson:

98


a.- La produccion crece proporcionalmente (linealmente) con el aumento de los factores,es decir,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que proporcionalmente (mas que linealmente) que el au-mento de factores, es decir,

f(tx1, tx2) > t · f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que proporcionalmente (menos que linealmente) que elaumento de factores, es decir,

f(tx1, tx2) < t · f(x1, x2).

Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 4.10 Diremos que la funcion de produccion o tecnologıa presenta rendimientosconstantes a escala si se cumple el caso [a.−] dado antes; diremos que la funcion de pro-duccion tiene rendimientos crecientes a escala si se verifica el caso [b.−]; finalmente, sedira que tiene rendimientos decrecientes a escala en el caso [c.−] ya expuesto35

Ejemplo 4.7 Supongamos que f(x1, x2) = xα1 · xβ2 . En este caso, dado t > 1, se tiene que,

f(tx1, tx2) = (tx1)α · (tx2)β = tα+β · f(x1, x2).

Dependiendo de los valores de α y β se tienen los distintos tipos de rendimientos a escala:

a.- si (α+ β) > 1 entonces t(α+β) > t cuando t > 1 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos a escala crecientes en la produccion.

b.- Si (α+ β) < 1 entonces tα+β < t y luego,

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos decrecientes a escala en la produccion.

c.- Si (α+ β) = 1 entonces t(α+β) = t cuando t > 136 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos a escala constantes en la produccion.

35En lo que sigue, y como es frecuente encontrar en la literatura, indistintamente se habla de retornos o derendimientos a escala..

36De hecho, para todo t > 0.

99


Proposicion 4.4 Si la funcion de produccion es estrictamente convexa entonces presentarendimientos crecientes a escala. Por otro lado, si la funcion de produccion es estricta-mente concava entonces presenta rendimientos decrecientes a escala.

Demostracion. Para simplificar, supongamos que el proceso productivo tiene solo un factor.Si la funcion de produccion es estrictamente convexa, dados x1 y x

∗1 y dado λ ∈]0, 1[, se cumple

que

f(λ · x1 + (1− λ)x∗1) < λ · f(x1) + (1− λ)f(x∗1),

Considerando x∗1 = 0 y del hecho que f(0) = 0, se concluye,

f(λ · x1) < λ · f(x1). (45)

Dados t > 1 y x1, en primer lugar notemos que

f(x1) = f(1

t· tx1).

Como t > 1, λ = 1/t < 1; luego, al aplicar (45) se concluye que

f(x1) = f

(1

t· tx1

)<

1

t· f(tx1).

Reordenando terminos, se concluye que

f(tx1) > t · f(x1),

es decir, f presenta rendimientos crecientes a escala. Si la funcion de produccion estrictamenteconcava, la prueba es similar y queda como ejercicio. �

Una funcion de produccion, ¿debe presentar alguno de los tres tipos de rendimientos aescala? No necesariamente. Podemos tener funciones de produccion que en algun rango defactores tengan rendimientos crecientes a escala, en otros decrecientes y en otros constantes.Dada la asociacion de retornos con convexidad - concavidad, lo indicado nos dice que unafuncion de produccion no tiene a priori por que ser concava o convexa.

Un concepto que nos ayudara a dar cuenta de la escala en la produccion a nivel local, esdecir, dependiendo del nivel de factores donde se evalua, es como sigue.

Definicion 4.11 Dada una funcion de produccion f(·) y dados los factores x1, x2, la elasti-cidad de escala de la produccion en el punto (x1, x2) se define como:

ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

.

Es decir, se calcula la “elasticidad” indicada en funcion de t, y se evalua el resultado ent = 1. Obviamente este resultado puede depender del punto donde se evalua.

Ejemplo 4.8 Supongamos dada la funcion de produccion f(x1, x2) = xα1 ·xβ2 . Entonces se tiene

que:

100


ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

=

[d((tx1)

α(tx2)β)

dt· t

xα1 · xβ2

]∣∣∣∣∣t=1

.

Por lo tanto,

ǫesc(x1, x2) =

[dtα+β

dt· t · x

α1 · xβ2

xα1 · xβ2

]∣∣∣∣∣t=1

=[(α+ β) · tα+β−1 · t

]∣∣∣t=1

= α+ β.

En este caso, la elasticidad de escala no depende del punto donde se evaua. Sin embargo, si laf.d.p es

f(x1, x2) = x21 + x2,

es facil ver (Ejercicio) que la elasticidad de escala si depende del punto donde se evalua.

¿Como interpretar el valor de la elasticidad de escala? Se tiene lo siguiente:

a.- Cuando ǫesc(x1, x2) < 1, entonces localmente37 la funcion de produccion tiene rendi-mientos decrecientes a escala.

b.- Cuando ǫesc(x1, x2) > 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimien-tos crecientes a escala.

c.- Cuando ǫesc(x1, x2) = 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimien-tos constantes a escala.

La Figura 44 ilustra el caso de una f.d.p que localmente presentan diversos tipos de rendi-mientos a escala.

Figura 44: Elasticidad de Escala

a b

37Es decir, en torno a (x1, x2).

101


Entre 0 y a, la tecnologıa tiene rendimientos crecientes de escala; entre a y b son decre-

cientes y para x1 > b son constantes. Globalmente, la tecnologıa no presenta algun tipo de

rendimiento de escala. Obviamente para cualquier nivel de factor entre 0 y a, la elasticidad

de escala es mayor que uno; es menor que uno entre a y b y es uno para nivel de factor

mayor que b.

Notemos que si para todo punto se cumple una propiedad local similar respecto del rendi-miento a escala, es posible inferir una consecuencia desde el punto de vista global.

Proposicion 4.5

a.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) < c, con c < 1 constante independiente delpunto considerado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes aescala (global).

b.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) > c, con c > 1 constante independientedel punto considerado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos crecientes aescala (global).

c.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) = 1, entonces la funcion de produccion tienerendimientos constantes a escala.

Demostracion. Propuesto. �

4.5. Corto y largo plazo.

Para efectos de nuestro analisis, se entendera que existe una situacion de corto plazo en laproduccion cuando existen restricciones al uso de los factores. Particularmente, cuando algunode los factores de esta fijado a priori, de modo que no puede ser modificado a eleccion por lafirma (es decir, es un parametro, o dato, para la firma). A diferencia de esto, en una situacionde largo plazo se asume que todos los factores son variables, y que pueden ser escogidoslibremente por la firma.

Dependiendo del contexto, hablaremos entonces de tecnologıas de corto plazo o detecnologıa de largo plazo para hacer referencia al hecho que el procedo productivo se desen-vuelve en una u otra situacion. Por ejemplo, si el proceso productivo consta de dos factores,en una situacion de corto plazo donde uno de ellos (digamos, el 2) esta fijo en cantidad, laselecciones de la firma son solo sobre el factor uno. Por lo tanto, la tecnologıa de corto plazoes completamente distinta que la de largo plazo, pues para la ultima, la funcion de producciondepende de dos variables38.

Las propiedades de la tecnologıa de corto plazo puede ser completamente distintas que la delargo plazo. se pueden dar situaciones en que, por ejemplo, la tecnologıa de largo plazo tengarendimientos crecientes a escala, pero que la de corto plazo presente rendimientos decrecientesa escala.

Ejemplo 4.9 Supongamos que en el largo plazo la tecnologıa de una firma es

f(x1, x2) = x121 · x32.

38En efecto, si en el largo plazo la funcion de produccion es f(·, ·), que depende de las variables: x1 y x2, enel corto plazo esta es f(·, x2), es decir, una funcion que depende de solo una variable (x1)

102


Es claro que dicha tecnologıa tiene rendimientos crecientes a escala en el largo plazo. Sinembargo, en cualquier situacion donde de corto plazo donde el factor 2 queda fijo, digamos, enx2, la tecnologıa de corto plazo resultante es

fcp(x1) = x121 · x32,

que presenta rendimientos decrecientes a escala. Note que en este caso x32 es una constantepara el proceso productivo.

Nota. 4.6 Si el corto plazo se modela asumiendo que uno de los factores es fijo, entoncesobviamente puede haber una infinidad de tecnologıas de corto plazo que se derivan de la mismatecnologıa de largo plazo: si f : R2

+ → R es la tecnologıa de largo plazo, dado x2 ∈ R, lastecnologıas de corto plazo que se obtiene de f es

fx2 : R+ → R | fx2(x1) = f(x1, x2).

5. Maximizacion de Beneficios

5.1. Generalidades

Una vez hecha la caracterizacion de la tecnologıa, es necesario explicar de que manerala firma elige la cantidad de producto que elabora (y por ende, la cantidad de insumos queemplea). Siguiendo un argumento de racionalidad e incentivos, supondremos que el objetivode cada firma es maximizar el beneficio a partir de sus decisiones de produccion. Talcomo se ha mencionado, este objetivo puede provenir de incentivos a crecer o desarrollarsecomo empresa, o directamente del interes pecuniario que tienen los duenos de la misma paralos fines que personalmente estimen convenientes.

Para la definicion (cuantificacion) de los beneficios, necesariamente se deben introducir losprecios de los factores y del producto que se elabora, precios que resumen las apreciacionesy valoraciones que tenemos, y que los otros tienen, del bien o factor en cuestion. En primerainstancia, el precio se asumira como un dato exogeno para la firma: no existe control sobreel mismo, de modo que es un parametro para las decisiones de cada firma en particular. Ası,sobre la base de esta idea, toda vez que se desee cuantificar beneficios, necesariamente debemospasar por la valoracion del ingreso y el costo a partir del set de precios dado.

Los beneficios economicos de una firma son entendidos como la diferencia entre losingresos y todos los pagos por factores asociados al proceso. Es relevante notar que debenser todos los pagos del proceso. A modo de ejemplo, si Ud. tiene su propia empresa, su trabajoes parte de los insumos y, por lo tanto, debe ser incluıdo en los costos a partir de su valoracionde mercado, es decir, del costo alternativo que proviene de vender su tiempo a otra firma.Justamente este hecho es el que obliga, al hablar de beneficios economicos, a valorar todos losinsumos y productos a su coste de oportunidad. Siguiendo con esta idea, lo mismo es aplicablea la tierra, alquileres, etc., es decir, a todos los factores utilizados en el proceso productivo39.

39La idea de costos expuesta puede diferir de aquella utilizada en terminos contables, pues en ese caso el valorhistorico (el costo cuando se llevo a cabo la venta) y no el economico (cuanto valdrıa hoy en el mercado) es elutilizado. En resumen, la valoracion de mercado de los insumos se hara a traves de los precios de mercado

de los mismos. A modo de ejemplo, si el factor de produccion 1 corresponde a trabajo, su valoracion unitariacorrespondera al salario de mercado por el tipo de trabajador considerado. Esto mismo sigue siendo valido paralos productos de la firma.

103


Suponiendo que el proceso productivo consta de dos factores y solo un producto, designemosel precio unitario de mercado del output como p y de cada factor por w1 y w2 respectivamente.Dado esto, si la firma utiliza x1 unidades del factor 1 y x2 del factor 2, entonces el ingresoobtenido sera

I = p · f(x1, x2),mientras que el costo asociado es

C(x1, x2) = w1x1 + w2x2.

Con esto, el beneficio condicional a los precios y factores empleados es

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2) = p · f(x1, x2)− (w1x1 + w2x2).

Definicion 5.1 El problema de maximizacion de beneficio de una firma es, dados los preciosde producto e insumos, escoger aquella combinacion de factores que resuelve el problema

maxx1,x2

π(x1, x2) = maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (46)

Definicion 5.2 Dados los precios w1, w2 y p de factores y producto, respectivamente, la solu-cion del problema (46) se denota por

x1(p,w1, w2), x2(p,w1, w2),

y se denomina demanda Marshalliana de factores de la firma40. La funcion,

y(p,w1, w2) = f(x1(p,w1, w2), x2(p,w1, w2))

sera la funcion de oferta, mientras que

π(p,w1, w2) = p · y(p,w1, w2)− w1x1(p,w1, w2)− w2x2(p,w1, w2)

es la funcion de beneficio de la firma.

De esta manera, condicional a los precios, la firma decide optimamente sobre la cantidadde factores que ocuparıa, con lo cual queda determinado el nivel producto que ofrecerıa,y con ello el maximo beneficio que podrıa obtener.

Nota. 5.1 El problema de maximizacion de beneficio (46) es uno de optimizacion sin res-tricciones, lo que corresponde a decir que no hay restricciones a la eleccion de los factores.Cuando la firma enfrenta restricciones (corto plazo), el problema (46) deja de ser irrestricto:las condiciones de corto plazo pasan a ser restricciones para el problema. Esto se discute masadelante.

Bajo supuestos de regularidad de la funcion de produccion41, el problema (46) se puederesolver a partir de las condiciones de optimalidad de primer orden, que en este caso, portratarse de un problema irrestricto, vienen de igualar a cero cada una de las derivadas de lafuncion objetivo c.r. a los factores:

40En forma abreviada, las notaremos x1(p,w) y x2(p,w).41Por ejemplo, que la funcion de produccion tenga rendimientos decrecientes de escala, que como caso particular

se tiene cuando es concava. Se veran detalles mas adelante

104


∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ⇔ p · PMgx1(x1, x2) = w1

∂π(x1,x2)∂x2

= 0 ⇔ p · PMgx2(x1, x2) = w2,

(47)

es decir, el valor del producto marginal de cada factor debe ser igual a su precio42.

Visto de otra manera, puesto que

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2),

al derivar c.r. a xi, i = 1, 2, e igualar a cero, se tiene que,

∂I(x1, x2)

∂xi=∂C(x1, x2)

∂xi,

es decir, en el optimo se debe cumplir que el ingreso marginal de cada factor es igual alcosto marginal del mismo, costo marginal que en este caso corresponde al precio del factor.

Ilustremos la condicion de optimalidad con un ejemplo: ¿hasta cuando debe una firmacontratar un trabajador adicional? A partir de las condiciones de optimalidad (47), debe hacerlohasta que el ingreso marginal por su labor en la organizacion sea igual al costo (marginal) desu inclusion, es decir, hasta que el beneficio extra que aporta su contratacion sea igual al costoextra que dicha contratacion trae asociado, que en este caso corresponde al precio (salario)del mismo. De lo contrario, si el beneficio de contratar un trabajador adicional sigue siendopositivo, entonces la firma tiene incentivos a seguir contratando y, por el contrario, si el beneficioextra es negativo, la firma no debio haber hecho la contratacion, pues incurre en perdidas, conlo cual tiene incentivo a despedir y no contratar mas mano de obra. Expresado lo anterior enterminos matematicos, si p · PMgx1(x1, x2) > w1, entonces la firma obtiene ganancia con eluso de una unidad adicional de factor 1, ya que su costo unitario es menor que el valor delproducto extra que obtiene. De esta manera, tiene incentivo a aumentar la cantidad de factora utilizar en el proceso productivo. Por otro lado, si p · PMgx1(x1, x2) < w1, entonces la firmapuede obtener mas beneficio si disminuye la cantidad de factor 1 en una unidad, ya que yaque su costo unitario (w1) es mayor que el valor del producto extra que obtiene de mantenerlo.Luego, en el optimo necesariamente se debe cumplir que p · PMgx1(x1, x2) = w1, no habiendoası incentivos a modificar (subir o bajar) el uso de los mismos.

Geometricamente la interpretacion de la condicion de optimalidad es analoga a aquella demaximizacion de utilidad para el caso de consumidores. En este caso, la recta presupuestariaes reemplazada por la denominada recta de isobeneficio.

Definicion 5.3 Dada una cantidad π > 043, definimos la recta de isobeneficio como elconjunto de puntos x1, x2 e y (insumos y producto) tales que al ser valorados por la firma, dancomo beneficio el valor π. Es decir, x1, x2 e y tales que:

π = p · y − w1x1 − w2x2.

42Esto viene directamente de la derivacion del beneficio: ∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ↔ p · ∂f(x1,x2)∂x1

− w1 = 0 ↔ p ·PMgx1

(x1, x2) = w1. Analogo con el factor 2.43Para el caso es un parametro.

105


Ordenando terminos, la recta de isobeneficio tiene la forma:

y =π

p+w1

px1 +

w2

px2,

donde, como tenıamos, el valor de π representa el parametro de beneficio considerado.Si hay solo un factor de produccion, la recta de isobeneficio es

y =π

p+w1

px1.

En tal caso, dibujemos (Figura 45) la funcion de produccion junto con rectas de isobeneficiopara distintos parametros de beneficio.

Figura 45: Isobeneficio

y

b1

y∗

b2

b3x∗1 x1

f(3)

(2)(3)

En la figura, para la recta (1) no existe plan de produccion que nos pueda dar el beneficiob1. En el caso de la recta (3), existen puntos factibles de ser elaborados que pueden entregarun beneficio mayor que b3 (cualquiera que este en la curva por sobre la recta). Por ultimo,la recta (2) esta definida por el nivel maximo de beneficio que puede alcanzar la firma: enel punto x∗

1la firma maximiza beneficio y el valor de este beneficio maximo es b2. Notemos

que en el optimo, la recta de isobeneficio es tangente a la funcion de produccion. Ası, en x∗1la pendiente de la recta y la pendiente de la curva en el punto deben ser iguales, es decir:

w1

p=∂f(x∗1)

∂x1= Pmgx1

(x∗1) ⇔ p · PMgx1(x∗1) = w1,

cuestion que ya tenıamos.

Siguiendo con la interpretacion de las condiciones de optimalidad, del hecho que p·∂f(x1,x2)∂xi

=wi, i = 1, 2, dividiendo se obtiene

p · ∂f(x1,x2)∂x1

p · ∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2,

106


es decir,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2.

De esta manera, en el optimo, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el coeficientede los precios de insumos (precios relativos). La interpretacion de este resultado es: supongamosque por alguna razon hemos escogido el nivel de producto y∗, de modo que el ingreso esta fijo enI∗ = p · y∗. Para maximizar el beneficio, claramente debemos buscar en la isocuanta respectivaaquella combinacion de factores que tenga el menor costo, pues en tal caso el margen (beneficio)es el mayor posible. Para ello, definamos las rectas de isocosto al nivel c, como el conjunto depuntos x1, x2 tales que,

w1x1 + w2x2 = c.

Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 46: Maximizacion de Beneficios

x2

x∗2

x∗1 x1

y∗

(1)(2)(3)

En la Figura 46 se han dibujado tres rectas de isocosto, digamos con parametros c3 < c2 < c1para cada recta (1), (2) y (3) respectivamente. Los puntos de la recta (3) no permiten

elaborar y∗ pues estan por debajo de la isocuanta al nivel y∗. Los puntos de interseccion de

la recta (1) con la isocuanta permiten elaborar exactamente y∗, pero tienen un costo muy

elevado de modo que no maximizan beneficio. El punto de interseccion (tangencia) entre

la recta de isocosto (2) y la isocuanta es compatible con la produccion de y∗ y es, ademas,

aquel de menor costo, de modo que resuelve el problema de maximizacion de beneficio.

De la tangencia entre la recta de isocosto y la isocuanta al nivel de la oferta, se tiene laigualdad de las pendientes:

−w1

w2= RTS1,2(x

∗1, x

∗2),

que es la condicion que ya se tenıa.

107


Nota. 5.2 Otra interpretacion de la condicion de optimalidad es como sigue. Supongamos dadoun punto x∗1, x

∗2 que no maximiza beneficio, de modo que |RTS|1,2(x∗1, x∗2) 6= w1

w2. En tal caso,

dado que el beneficio es:

π(x∗1, x∗2) = p · f(x∗1, x∗2)− w1x

∗1 − w2x

∗2,

si aumentamos x∗1 es una unidad, para mantener producto constante (y luego, ingreso cons-tante), debemos bajar x∗2 en RTS1,2(x

∗1, x

∗2). Con estas modificaciones, por el lado del primer

factor, el costo sube en w1 y, por el lado del segundo factor, baja en |RTS1,2| · w2. Luego, elcambio en el costo (y por ende en el beneficio, ya que el ingreso no cambia) es,

∆C = w1 − |RTS|1,2 · w2.

Como |RTS|1,2 6= w1w2

, existen dos posibilidades: o bien |RTS|1,2 > w1w2

o bien |RTS|1,2 < w1w2

.Para el primer caso, ∆C < 0 (bajan los costos), razon por la cual la firma puede incrementarsus beneficios cambiando el uso de factores al aumentar x∗1 es una unidad y bajando el usodel factor 2 en |RTS|1,2(x∗1, x∗2). En el segundo caso, la firma tambien puede incrementar subeneficio disminuyendo el uso del factor 1 en una unidad y aumentando el uso del factor 2 en|RTS|1,2(x∗1, x∗2)44. Luego, a partir del hecho que la relacion tecnica de sustitucion es distintadel cuociente de precios, la firma puede obtener mas beneficio modificando el plan de produccionque tenıa, de modo que el punto en cuestion no puede ser optimo.

La siguiente proposicion relaciona los conceptos anteriores.

Proposicion 5.1 Lema de Hotelling.A partir de las definiciones anteriores, se tiene que

a.-∂π(p,w1, w2)

∂p= y(p,w1, w2).

b.-∂π(p,w1, w2)

∂wi= xi(p,w1, w2), i = 1, 2.

Demostracion.

a.- Derivemos directamente la funcion de beneficios c.r a p:

∂π(p,w)

∂p=∂[p · f(x1(p,w), x2(p,w))]

∂p− w1 ·

∂x1(p,w)

∂p− w2 ·

∂x2(p,w)

∂p.

Pero como, ∂[p·y(p,w)]∂p = p · ∂f(x1(p,w),x2(p,w))

∂p + y(p,w). Aplicando regla de la cadena, ysimplificando la notacion, se tiene que,

p · ∂f(x1(p,w), x2(p,w))∂p

= p · ∂f∂x1

· ∂x1(p,w)∂p

+ p · ∂f∂x2

· ∂x2(p,w)∂p

.

44Recuerde que −|RTS| representa la disminucion en el uso del factor 2 cuando el factor 1 aumenta en unaunidad. En forma equivalente, |RTS| nos da el valor de aumento en el uso del factor 2 cuando el factor 1disminuye en una unidad.

108


Por otro lado, de la condicion de optimalidad, sabemos que p · ∂f∂xi

= wi, i = 1, 2. Luego,reemplazando en la expresion original, se concluye que:

∂π(p,w)

∂p=

[w1 ·

∂x1(p,w)

∂p+w2 ·

∂x2(p,w)

∂p+ y(p,w)

]−w1 ·

∂x1(p,w)

∂p−w2 ·

∂x2(p,w)

∂p.

Simplificando terminos, se tiene lo indicado.

b.- Derivando directamente c.r. a w1 (analogo c.r. a w2), y simplificando la notacion, se tieneque:

∂π(p,w)

∂w1= p ·

[∂f

∂x1

]· ∂x1∂w1

+ p ·[∂f

∂x2

]· ∂x2∂w1

− w1∂x1∂w1

− w2∂x2∂w1

+ x1.

De las condiciones de optimalidad, se tiene que p ·[∂f∂xi

]= wi, i = 1, 2. Luego, reempla-

zando esto en la expresion anterior se obtiene el resultado. �

En lo que sigue haremos un estudio de estatica comparativa de las funciones de oferta ydemanda, ante variaciones de los precios de los factores y el precio del producto. Supongamosque inicialmente los precios son (p, w1, w2), y que estos son modificados en una etapa siguiente,siendo los nuevos precios (p∗, w∗

1, w∗2). Con el primer set de precios, la oferta y demanda de

factores sera y, x1, x2 mientras que con el segundo estas seran y∗, x∗1, x∗2. Definamos ademas

los cambios como ∆y = y∗ − y, ∆xi = x∗i − xi, ∆wi = w∗i − wi, con i = 1, 2. De la definicion

de maximo beneficio, se tiene que:

py − w1x1 − w2x2 ≥ py∗ − w1x∗1 − w2x

∗2

es decir,

p(y − y∗)− w1(x1 − x∗1)−w2(x2 − x∗2) ≥ 0.

En forma analoga,

p∗y∗ − w∗1x

∗1 − w∗

2x∗2 ≥ p∗y −w∗

1x1 − w∗2x2

que implica

p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2) ≥ 0.

Sumando ambas inecuaciones, se deduce que,

[p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2)] + [p(y − y∗)− w1(x1 − x∗1)− w2(x2 − x∗2)] ≥ 0.

Finalmente, ordenando terminos, se concluye,

(y∗ − y)(p∗ − p)− (x∗1 − x1)(w∗1 − w1)− (x∗2 − x2)(w

∗2 − w2) ≥ 0,

es decir:

∆y ·∆p−∆x1 ·∆w1 −∆x2 ·∆w2 ≥ 0.

A partir de esta relacion fundamental se puede concluir lo siguiente:

109


a.- Si ∆w1 = ∆w2 = 0 (no hay cambios en los precios de los factores) y ∆p > 0 (sube elprecio del producto), entonces necesariamente ∆y ≥ 0 (sube la oferta de la firma).

b.- Si ∆w2 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 2 y en el producto), si ∆w1 > 0(sube el precio del factor 1), entonces necesariamente ∆x1 ≤ 0 (disminuye la demandadel factor 1).

c.- Si ∆w1 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 1 y en el producto), si ∆w2 > 0(sube el precio del factor 2), entonces necesariamente ∆x2 ≤ 0 (disminuye la demandadel factor 2).

5.2. Maximizacion del beneficio de corto plazo

Recordemos que a diferencia del largo plazo, en el corto plazo existen restricciones al usode los factores, que como caso particular se modela asumiendo que alguno de ellos esta fijo. Porsimplicidad, supongamos que en el corto plazo esta fijada la cantidad del factor 2, en x2. Ental caso, la funcion de produccion de corto plazo es fcp(x1) = f(x1, x2), la que ahora dependede solo un factor, habiendo por tanto solo una variable de decision por parte de la firma45. Deesta manera, dado x2 = x2, el beneficio condicional de corto plazo es entonces:

πcp(x1) = π(x1, x2) = p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2,

y luego el problema de maximizacion de beneficios de corto plazo es

maxx1

πcp(x1) = maxx1

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (48)

Las condiciones de optimalidad son analogas a las anteriores, solo que ahora dicha condicionaplica solo a la variable x1. Luego, la condicion de optimalidad es

p · ∂f(x1, x2)∂x1

= w1.

Con esto queda definida una funcion de demanda de corto plazo por el factor 1, funcionque denotaremos x1(p,w, x2)

46. La demanda de corto plazo del factor dos es x2. Podemos definirtambien la funcion de oferta de corto plazo y la funcion de beneficio de corto plazo, como

ycp(p,w, x2) = p · f(x1(p,w, x2), x2),

πcp(p,w, x2) = p · f(x1(p,w, x2), x2)− w1x1(p,w, x2)− w2x2.

Sobre la base de lo expuesto, es directo que (ejercicio):

a.- Para todo x2,πcp(p,w, x2) ≤ π(p,w).

b.- Si x2 = x2(p,w), entonces,

πcp(p,w, x2) = π(p,w).

45Esto en el caso que el proceso productivo tenga solo dos factores. Si los factores fuesen n y esta fijo uno deellos por razones de corto plazo, entonces las variables de decision de la firma serıan (n− 1).

46Hacemos explıcita la dependencia de la demanda de corto plazo del factor 1 en la cantidad del factor fijo x2.

110


Nota. 5.3 El problema de maximizacion de beneficio de corto plazo corresponde se puede vercomo aquel de largo plazo, pero donde se agrega la restriccion que define al corto plazo, es decir,el problema (48) corresponde a

maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2} s.a. x2 = x2.

Esta idea aplica a cualquier otro tipo de problema de maximizacion de beneficio de cortoplazo. Por ejemplo, supongamos que la restriccion de corto plazo es que el empleo de factoresdebe obedecer una regla de proporciones: “por cada unidad de factor uno, se debe emplear αunidades de factor dos”. En tal caso, el problema de maximizacion de beneficio de corto plazoes

maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2} s.a. x2 = α · x1.

El problema anterior es equivalente a

maxx1

{p · f(x1, α · x1)− w1 · x1 − w2 · α · x1},

que obviamente depende de una variable.

5.3. Maximizacion del beneficio y rendimientos a escala

Supongamos que la funcion de produccion presenta algun tipo de rendimiento a escala. Sifuese creciente, entonces al duplicar la cantidad de factores el ingreso que se obtiene crece masdel doble pues p · f(2x1, 2x2) > 2p · f(x1, x2), mientras que los costos crecen linealmente con elfactor de los insumos (solo se duplican). De esta manera, al maximizar beneficio en presencia derendimientos crecientes a escala, la firma tiene incentivo a ocupar la mayor cantidad de insumoposible, pues el ingreso crece mas rapido que los costo. Luego, en este caso, el problema no esacotado y la solucion (demanda) tiende a infinito.

Por otro lado, si la funcion de produccion tiene rendimientos constantes de escala, entoncesun incremento proporcional de los factores implica un aumento en la misma proporcion tantodel ingreso como de los costos. De hecho, en este caso, por la relacion de Euler se tiene que

f(x1, x2) = PMgx1(x1, x2) · x1 + PMgx2(x1, x2) · x2,

y luego,

π(p,w) = p · [PMgx1x1(p,w) + PMgx2x2(p,w)] − w1x1(p,w)− w2x2(p,w),

es decir,

π(p,w) = x1(p,w) · [PMgx1(x1, x2)− w1] + x2(p,w) · [PMgx2(x1, x2)− w2]

Luego, si se cumple la condicion de optimalidad precio del factor = valor de producto mar-ginal, necesariamente se tendrıa que π(p,w) = 0, cuestion que es independiente de la demandapor factores. Sin embargo, si el valor del producto marginal es mayor que el precio del factor(cuestion que puede ocurrir, por ejemplo, si la f.d.p es lineal y el producto marginal constanteen tal caso, es mayor que el precio), entonces el incentivo de la firma es ocupar la mayor can-tidad posible de factores, no habiendo por tanto solucion al problema (no acotada). Por otrolado, bajo el supuesto simplificatorio que el producto marginal es constante (f.d.p lineal), si

111


el valor del producto marginal es menor que el precio del factor, entonces necesariamente lademanda por factores es cero, pues el uso positivo de ellos implicarıa perdidas para la firma. Deesta manera, habiendo demanda positiva por factores, cuando la firma tiene rendimientosconstantes de escala, necesariamente el maximo beneficio es cero.

Finalmente, si la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes de escala, al aumen-tar la cantidad de factores, los costos crecen en proporcion a dicho aumento, mientras que elingreso lo hace a una tasa menor. Este es el caso donde podemos aspirar a tener una solucuoninterior del problema, quedando por tanto definida una demanda y oferta en funcion de losprecios.

Ciertamente puede haber casos donde la f.d.p no necesariamente tenga rendimientos de-crecientes a escala y el problema de maximizacion de beneficios tenga solucion interior. Porejemplo, imaginemos una f.d.p con un factor, donde para pequenos niveles del mismo la fun-cion es convexa, pero que luego de cierto nivel es concava. En tal caso, la f.d.p no presentaretornos a escala decrecientes, pero dependiendo de los precios, la demanda por factores per-fectamente podrıa estar en la parte donde la curva es concava. Obviamente en dicho lugar, laf.d.p presenta, localmente, retornos a escala decrecientes.

Ejemplo 5.1 Supongamos el caso con un factor y que la f.d.p es f(x) = xα. El precio delproducto es p y aquel del factor w. El problema de maximizacion de beneficio es

maxx

p · xα − w · x. (49)

Para encontrar la oferta y la demanda, la primera tentacion es derivar y resolver la ecuacionα · p · xα−1 − w = 0, que nos darıa como resultado (demanda)

x(p,w) =

(w

α · p

) 1α−1

. (50)

Sin embargo, todo lo anterior (procedimiento y resultado) tiene sentido si el parametroα es menor que uno. Para ver esto, consideremos, en primer lugar, α = 1. En este caso,obviamente no se puede evaluar la expresion (50) (se indefine el exponente). De hecho,cuando α = 1, el problema de maximizacion de beneficio (49) es

maxx

p · x−w · x ⇔ maxx

(p− w) · x.

Si p > w (de modo que (p−w) > 0), entonces a la firma “le conviene” que x tienda a infinito,no habiendo por tanto solucion al problema (no acotada). Por otro lado, si p < w, de modoque (p − w) < 0, la solucion del problema es x = 0, pues cualquier otro valor arroja beneficiosnegativos. Por ultimo, si p = w, entonces cualquier valor de x es solucion del problema: lasolucion esta indeterminada. De todas maneras, en tal caso, cualquiera sea la solucion,el maximo beneficio que logra es cero, y ademas es el unico caso donde la demanda porfactor puede ser distinta de cero (y por ende la oferta).

Si α > 1 (retornos crecientes), notemos que si x aumenta, entonces el ingreso p · xα crecemas rapido que el costo de emplear el factor, w · x. Luego, a la firma conviene aumentar x,llevando a que la “solucion del problema” sea no acotada. Ası, en este caso nuevamente no haysolucion al problema (49). De hecho, la “solucion” (50) caracteriza a un mınimo y NO a unmaximo del problema (49).

112


En resumen, para el ejemplo en comento, los unicos casos donde podemos aspirar a quehaya solucion positiva para el problema de maximizacion de beneficio es cuando la f.d.p presentarendimientos decrecientes a escala (α < 1), o bien cuando hay rendimientos constantes (α = 1),pero bajo ciertas condiciones sobre los precios y parametros de la f.d.p.

6. Costos

6.1. Definiciones y propiedades basicas

Suponga que a Ud. le piden fabricar pan amasado, para lo cual (simplificando) solo utilizaharina (x1) y manteca (x2). El precio del kilo de harina es w1 y aquel del kilo de manteca esw2; el precio del kilo de pan es p. El pedido es pagado por adelantado, y le encargan y0 kilos depan. Por lo tanto, Ud. recibio p · y0 pesos por el trato. La pregunta que nos convoca es, ¿comofabricara el pan para cumplir con el compromiso? Bajo los supuestos que hemos asumidopara el comportamiento de las firmas, la respuesta es que Ud. fabricara el pan de manera talque depare el maximo posible de ganancia, es decir, que maximice el beneficio condicional alhecho que debe entregar y0 kilos de pan. Las opciones para fabricar los y0 kilos de pan estandefinidas por la isocuanta de produccion a dicho nivel: (x1, x2) tales que f(x1, x2) = y0, siendof su funcion de produccion. Obviamente no todas las combinaciones de factores que permitencubrir el requerimiento cuestan lo mismo. Luego, su problema es buscar aquella que sea la masbarata posible, pues de esa manera el margen de ganancia que obtiene es el mayor. Es decir, Ud.debe buscar aquella combinacion de factores en la isocuanta al nivel y0 de modo que el valorde la misma sea mınimo. Formalmente, debe resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın w1 · x1 + w2 · x2s.a f(x1, x2) = y0.

(51)

El problema (51) se llama problema de costos y su solucion se denota por

x1(p,w1, w2), x2(p,w1, w2),

que se llama demanda restringida de factores. Con la demanda restringida, el costo en quese incurre es dado por la siguiente expresion, que se denomina funcion de costos:

C(w1, w2, y0) := w1 · x1(p,w1, w2) + w2 · x2(p,w1, w2).

Nota. 6.1 De manera natural, el problema de costos se puede extender para considerar masde dos factores, digamos, n ∈ N: si w1, . . . , wn son los precios de los inputs en la economıa,cuyas cantidades son x1, ..., xn, dado y0 un nivel de produccion fijado a priori, si la funcion deproduccion es f : Rn → R, entonces el mınimo costo al cual se pueden producir las y0 unidadesdel output viene de resolver el problema de optimizacion

{mın {w1 · x1 + ...+ wn · xn}s.a f(x1, ..., xn) = y0.

(52)

cuya solucion sera es denotada como xi(w1, ..., wn, y), i = 1, . . . , n, (que en forma resumidasera escrita como xi(w, y)). Esta es que recibe demanda restringida de factores dadoel nivel de producto y0 y los precios de factores wi, i = 1, ..., n. La funcion de costos esC(w1, ..., wn, y0) (que en forma resumida se denotara como C(w, y0)), de modo que

113


C(w1, ..., wn, y0) =

n∑

i=1

wi · xi(w, y0).

Nota. 6.2 Hay una evidente analogıa entre el problema de costos y el problema de gasto quese definio para los consumidores. La demanda Hicksiana del problema de gasto se correspondecon la demanda restringida del problema de costos, y la funcion de gasto con la funcion decostos.

Para el caso general con n factores, el Lagrangeano del problema de costos (52) es

L(x1, ..., xn, λ) = w1 · x1 + ...+ wn · xn + λ · (f(x1, ..., xn)− y0).

Por lo tanto, la solucion resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂xi

= wi + λ∂f(x1,x2,...xn)∂xi

= 0, i = 1, ..., n,

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂λ = f(x1, x2, ..., xn)− y0 = 0.

Este sistema es de n + 1 ecuaciones, con n + 1 incognitas. En lo que sigue, para fijar ideas eilustrar, supongamos que n = 2. En tal caso, las condiciones anteriores son:

∂L(x1,x2,λ)∂x1

= w1 + λ∂f(x1,x2)∂x1

= 0,

∂L(x1,x2,λ)∂x2

= w2 + λ∂f(x1,x2)∂x2

= 0,

∂L(x1,x2,λ)∂λ = f(x1, x2)− y0 = 0.

Al despejar λ de las dos primeras ecuaciones e igualar los resultados, se tiene que:

−w1

∂f(x1,x2)∂x1

=−w2

∂f(x1,x2)∂x2

,

es decir,∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2.

Pero,

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

y en consecuencia, en el optimo se verifica que:

RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2,

es decir, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el cuociente de losprecios de los factores. Esta condicion y la de produccion definen el sistema que usualmentese resuelve para encontrar las demandas y luego el costo:

114


a.- RTS1,2(x1, x2) = −w1w2,

b.- f(x1, x2) = y0.

Ejemplo 6.1 Considere la funcion de produccion f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0 (dosinputs). Dado un cierto nivel produccion y y precios de los factores w1 y w2 respectivamente,el problema de minimizacion de costos corresponde a:

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = A · xα1 · xβ2 = y.

En este caso, el problema se resuelve utilizando la tecnica de mulitplicadores de Lagrange.Para ello, se define el Lagrangeano del problema y se calculan las derivadas parciales respectode cada una de las variables y multiplicadores (las xi-es y los λ’s, respectivamente). Ası, eneste caso particular, el Lagrangeano del problema es:

L(x1, x2, λ) = w1 · x1 + w2 · x2 + λ(A · xα1 · xβ2 − y),

luego, las condiciones necesarias de optimalidad son:

{∂L(x,λ)

∂xi= 0, i = 1, ..., n

∂L(x,λ)∂λ = 0.

En nuestro problema n = 2, de modo que, reemplazando los valores de la funcion, se tiene:

∂L(x,λ)∂x1

= w1 + λAαxα−11 xβ2 = 0,

∂L(x,λ)∂x2

= w2 + λAβxα1xβ−12 = 0,

∂L(x,λ)∂λ = xα1 · xβ2 − y = 0.

Resolviendo el sistema anterior, se obtiene como resultado:

x1(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y1

α+β ,

x2(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y1

α+β ,

de lo cual se deduce que la funcion de costos corresponde a:

C(w, y) = w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y1

α+β + w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y1

α+β ,

es decir,

C(w, y) = γ · y1

α+β ,

donde,

γ := w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

+ w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

.

115


Ejemplo 6.2 Supongamos los precios p, w1 y w2 y que la f.d.p es

f(x1, x2) = a · x1 + b · x2,con a, b > 0. En tal caso, el problema de costos (nivel de producto es y0) es

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a a · x1 + b · x2 = y0.

Si aplicamos directamente las condiciones de optimalidad al problema anterior, la demandarestringida deberıa cumplir con las siguientes ecuaciones

RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2⇔ a

b=w1

w2,

a · x1 + b · x2 = y0.

En este caso, como los productos marginales son constantes, la “primera ecuacion” nodepende de los factores, cuestion que, a priori, harıa que la solucion quede indeterminada. Sinembargo, analizando con mas detalle, en primer lugar indicar que la “primera ecuacion” esen realidad es absurda, pues tanto los precios como los productos marginales no tienen porqueobedecer a alguna condicion previa. Por otro lado, de la restriccion de produccion se tiene que

x2 =y0b

− a

b· x1,

que incorporandola en la funcion objetivo, nos lleva a que el problema se puede re-escribirequivalentemente como

mınx1

{w1 · x1 + w2 ·

(y0b

− a

b· x1)}

⇔ mınx1

{x1 ·

(w1 −

a · w2

b

)+w2 · y0b

}.

Evidentemente la constante del problema de la derecha no altera la solucion del mismo, porlo que el problema de costos corresponde finalmente a

mınx1

{x1 ·

(w1 −

a · w2

b

)}. (53)

Para resolver este ultimo problema, debemos considerar tres casos:

(i) que w1 − a·w2b > 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 > 0, es decir, w1

a > w2b ),

(ii) que w1 − a·w2b < 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 < 0, es decir, w1

a < w2b ),

(iii) que w1 − a·w2b = 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 = 0, es decir, w1

a = w2b ).

Para el caso (i), el mınimo valor de la funcion objetivo del problema (53) se obtiene cuandox1 = 0 y por ende x2 =

y0b47. Ası, las demandas restringidas son las indicadas y el costo es

C(w, y0) =w2

b· y0.

Por otro lado, para el caso (ii), la demanda es x1 =y0a y x2 = 0, en cuyo caso el costo es

47Recordar que a · x1 + b · x2 = y0; luego, cuando x1 = 0 se obtiene x2 = y0b.

116


C(w, y0) =w1

a· y0.

Finalmente, para el tercer caso, respetando la restriccion de produccion, x1 puede tomarcualquier valor, como ası x2. Por lo tanto, tomando x1 =

y0a , x2 = 0, el costo es

C(w, y0) =w1

a· y0

(=w2

b· y0).

En resumen, (i) cuando w1a > w2

b el costo es C(w, y0) = w2b · y0, (ii) cuando w1

a < w2b el

costo es C(w, y0) =w1a · y0 y (iii) cuando w1

a = w2b el costo es C(w, y0) =

w2b · y0 = w1

a · y0, todolo cual queda resumido en la siguiente expresion:

C(w, y0) =Min{w1

a,w2

b

}· y0,

donde Min{s, t} es el mınimo de ambos. Ası, para el caso de funciones de produccion lineal,(a) las condiciones de optimalidad a partir de derivadas no nos permiten encontrar lasolucion del problema (de hecho, nos lleva a condiciones absurdas) y, por otro lado, (b) quedaclaro que en general (casos (i) y (ii)) las demandas que se obtienen en este caso son “esquinas”,en el sentido que se utiliza todo lo posible de alguno de los insumos y nada del otro.

Ejemplo 6.3 Evaluada en w, y, supongamos que la f.d.p de una firma es f(x1, x2) y que lafuncion de costos correspondiente, evaluada en w, y, es Cf (w, y). Una segunda firma tiene unatecnologıa basada en la anterior, denotada g(·), que cumple con la siguiente condicion

g(x1, x2) = (φ ◦ f)(x1, x2) = φ(f(x1, x2)),

con φ : R → R una funcion dada. Supongamos que φ es invertible, y denotemos su inversa porφ−1. ¿Cual es la funcion de costos de la segunda firma? Para responder, se debe resolver elproblema

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a g(x1, x2) = y0

⇔{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a φ(f(x1, x2)) = y0,

que a su vez es equivalente a

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = φ−1(y0).

Por lo tanto, la funcion de costos de la segunda firma es

Cg(w, y0) = Cf (w,φ−1(y0)).

Para la interpretacion geometrica del problema de costos, necesitamos introducir un nuevoconcepto: curvas de isocosto. Estas curvas (en realidad lıneas rectas) estan formadas por todasaquellas combinaciones de inputs que reportan el mismo valor de canastas de factores. Ası, dadoun nivel de gasto c > 0 (un parametro), la curva (lınea) de isocosto corresponde al conjuntoL(C) definido por las combinaciones de factores (x1, x2) tales que

w1 · x1 + w2 · x2 = c.

La Figura 47 ilustra el concepto.

117


Figura 47: Isocosto

L(C1)L(C2)L(C3)

C1 < C2 < C3

Isocosto:m = −(w1/w2)

Con dos factores, la isocosto es una lınea recta con pendiente −w1w2

y coeficiente de posicioncw2

. En el optimo, la isocosto se desplaza hasta ser tangente a la isocuanta en el nivel deproducto, y. Este desplazamiento se logra con el parametro

c = C(w, y),

y el punto de tangencia entre ambas define la demanda condicionada. Todo lo expuesto seresume en la siguiente relacion (ver (42))

L(C(w, y)) ∩ Iy = {(x1(w, y), x2(w, y))}.La Figura 48 ilustra lo indicado.

Figura 48: Grafico de las Condiciones de Optimalidad

x2(w, y)

x1(w, y)

Isocosto

Isocuanta nivel y

Optimo

6.2. Costos medios y marginales

Conceptos auxiliares obtenidos a partir de la funcion de costo, que son relevantes en diversasaplicaciones en economıa, son dados en la siguiente definicion.

118


Definicion 6.1 A partir de una funcion de costos C(w, y), las funciones de costo medio ycosto marginal, que notaremos CMe(w, y) y CMg(w, y) respectivamente, se definen como:

CMe(w, y) :=C(w, y)

y,

CMg(w, y) :=∂C(w, y)

∂y.

La funcion de costo medio es solo una medida indicativa de costo por unidad de producto: esun valor promedio que no necesariamente da cuenta de una situacion puntual, como si lo haceel costo marginal, pues corresponde al costo adicional en que se incurre para producir unaunidad extra de producto a partir del nivel ya indicado:

CMg(w, y) =∂C(w, y)

∂y≈ C(w, y + 1)− C(w, y).

Del hecho que la funcion de costos es creciente en el nivel de producto48, obviamente elcosto marginal siempre es positivo.

La siguiente Figura 49 ilustra de los conceptos anteriores.

Figura 49: Costo Medio y Costo Marginal

C(y)

y

A

CMg

C

CMe

El costo marginal en y es igual a la pendiente de la tangente a la curva de costos en el punto

A, mientras que el costo medio corresponde a la pendiente de la recta que parte del origen

y termina en A.

Ejemplo 6.4 Del Ejemplo 6.1, se tiene que

CMe(w, y) =C(w, y)

y=γ · y

1α+β

y= γ · y

1−α−βα+β ,

48Caso contrario, de resultar mas barato fabricar y1 que y0, con y1 > y0, entonces los y0 los harıamos comohacemos los y1 y botamos el resto de la produccion.

119


mientras que,

CMg(w, y) =∂C(w, y)

∂y=∂γ · y

1α+β

∂y= γ · 1

α+ β· y

1−α−βα+β .

Note que CMg(w, y) > CMe(w, y) siempre y cuando 1α+β > 1, es decir, α+ β < 1.

A partir de las definiciones anteriores, una propiedad basica que relaciona los conceptos yaintroducidos es la siguiente49.

Proposicion 6.1 Dados precios w = (w1, . . . , wn) y un nivel de producto y0, se tiene que

C(w, y0) = y0 · CMe(w, y0).

C(w, y0) =

y0∫

0

CMg(w, y)dy + C(w, 0)50.

6.3. Costos de corto plazo

Como sabemos, el corto plazo se caracteriza por la existencia de restricciones al uso de losfactores, que de manera simple se modela asumiendo que algunos de ellos son fijos en cantidad;en el largo plazo todos los factores son variables, es decir, se pueden escoger sin restricciones.Por lo mismo, la optimizacion de corto plazo que lleva a los costos deberıa entregar una solucionsub-optima respecto de aquella donde los factores se escogen en libertad. Esto se traduce en quenecesariamente los costos de corto plazo son necesariamente mayores o iguales que los costos delargo plazo. Por otro lado, puesto que el corto plazo puede ser caracterizado de michas maneras(depende de cual sea la restriccion que se asume), puede entonces haber muchas opciones paralas curvas de tales costos, no ası para aquella de largo plazo.

En lo que sigue modelaremos el corto plazo asumiendo que algunos factores estan fijosm losque con una barra. De esta manera, supongamos dada una firma en cuyo proceso productivohay n ∈ N inputs, de los cuales los primeros k < n son factores variables mientras que losfactores fijos van de (k+1) a n. En este caso, dado un nivel de produccion y, el problema demimizacion de costos de corto plazo corresponde a

{mın {w1 · x1 + . . . +wk · xk + wk+1 · xk+1 + . . .+ .wn · xn}s.a f(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn) = y.

En el problema de corto plazo anterior, las unicas variables de decision de la firma son x1hasta xk. El resto (xk+1 hasta xn) estan fijas.

Supongamos entonces que resolvemos el problema anterior, y encontramos las solucionesxi(w, y, x), i = 1, ..., k. Se hace presente que la solucion encontrada depende, ademas de losprecios de los factores y la cantidad que se produce, de los factores fijos, que hemos notado porsimplicidad como x haciendo referencia a xk+1, ..., xn. La funcion de costos de corto plazocorresponde a

49La demostracion de esta queda como ejercicio.50Usualmente C(w, 0) = 0. Sin embargo, tal como veremos mas adelante, esta cantidad corresponde a lo que

llamaremos costo fijo, el cual en situaciones de corto plazo no necesariamente (mas bien, usualmente) esdistinto de cero.

120


Ccp(w, y) =

k∑

i=1

wi · xi(w, y) +n∑

i=k+1

wi · xi.

La primera del termino de la derecha da cuenta de los costos variables de la firma,mientras que la segunda de los costos fijos. En lo que sigue, notaremos los costos variablescomo CV (·) mientras que los costos fijos por CF (·), es decir:

CV (w, y, x) =k∑

i=1

wi · xi(w, y), CF (w, x) =n∑

i=k+1

wi · xi.

De esta manera, se tiene que

Ccp(w, y, x) = CV (w, y, x) + CF (w, x)

donde se hace explıcita la dependencia de los costos de aquellos factores que estan fijos. Noteque los costos fijos no dependen del nivel de produccion y.

Por otro lado, ya sea porque no es relevante, o bien que la notacion sea clara, o que elcontexto lo amerita, usualmente de los costos variables y fijos se omiten los argumentos deprecio y factores fijos, dejando explıcita solo la dependencia en la cantidad de producto:

CV (w, y, x) → CV (y), CF (w, x) → CF.

Por ulitmo, indistintamente hablaremos de costo de corto plazo o costo total de corto plazo,solo para enfatizar que este es la suma de las componentes variables y fijas.

Sobre lo recien expuesto, definen los costos marginales y costos medios de corto plazo,denotados CMecp(·) y CMgcp(·) respectivamente, como

CMecp(w, y, x) =Ccp(w, y, x)

y,

CMgcp =∂Ccp(w, y, x)

∂y

Puesto que los costos fijos no dependen del nivel de produccion se tiene que ∂CF (w,)x∂y = 0 y

luego:

CMgcp =∂CV (w, y, x)

∂y.

Nota. 6.3 Es importante notar que Ccp(w, y, x) es siempre mayor o igual a C(w, y), cual-quiera sea la condicion que define al corto plazo. Matematicamente es claro, puesto que elproblema de costos de corto plazo es un problema de optimizacion donde el conjunto factibleesta incluido en aquel de costos de largo plazo (donde no existen restricciones a priori sobrelas variables). Economicamente, tambien es claro pues esta afirmacion solo establece que laempresa al tener libertades para escoger los insumos puede hacerlo de manera mas eficiente (esdecir, mas barata) que cuando existen restricciones que fijan a priori ciertas cantidades que sedeben utilizar.

121


Ejemplo 6.5 Supongamos que f(x1, x2) = Axα1 ·xβ2 , con A,α, β > 0 (dos inputs). Del Ejemplo

6.1, dados w1, w2 e y, se tiene que

C(w, y) = γ · y1

α+β ,

con

γ := w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

+ w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

.

Supongamos ahora que la restriccion de corto plazo es x2 = x2. En tal caso, para determinarel costo de corto plazo se debe resolver el problema

mınx1

{w1 · x1 + w2 · x2}s.a Axα1 · xβ2 = y.

(54)

Obviamente el problema (54) se puede ver como uno de “largo plazo” (es decir, optimizandoen las dos variables), pero con la condicion de corto plazo como restriccion del mismo, es decir,

mınx1,x2

{w1 · x1 + w2 · x2}

s.a Axα1 · x2β = y

x2 = x2.

Para resolver (54), notemos que la unica incognita es x1, pues x2 ya esta dada. Sin embargo,de la restriccion del mismo, es directo que

x1(w, y, x) =

(y

A · xβ2

) 1α

,

con lo cual

Ccp(w, y, x) = w1 ·(

y

A · xβ2

) 1α

+ w2 · x2.

Ası,

CV (y) = w1 ·(

y

A · xβ2

) 1α

, CF = w2 · x2.

Note ademas como el costo total de corto plazo, como ası los costos variable y fijo, dependende la eleccion del factor fijo.

Nota. 6.4 Evidentemente los costos fijos pueden variar si los insumos fijos se modifican. Porlo tanto, puede haber muchos costos de corto plazo, pero solo un unico costo de largo plazopara la firma. Por otro lado, el hecho que los costos fijos sean cero no garantiza que se este ensituacion de largo plazo. Por ejemplo, si la f.d.p es lineal, digamos f(x1, x2) = a · x1 + b · x2, yel factor dos es cero, entonces el costo fijo es cero, y el costo total de corto plazo (que coincidecon el costo varianle) es Ccp(w, y, x2) = w1 · y/a.

122


Ejemplo 6.6 Supongamos que f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0 (dos inputs). Determi-nemos el costos si la restriccion de corto plazo es que los factores se deben emplear en algunaproporcion prefijada, digamos, x1 = γ · x2, con γ > 0. En tal caso, el problema es

mınx1,x2

{w1 · x1 + w2 · x2}

s.a Axα1 · x2β = y

x1 = γ · x2.Solo empleando las restricciones del problema es posible encontrar las demandas correspon-

dientes:

A · (γ · x2)α · x2β = y ⇒ x2(w, y, γ) =

(y

A · γ

) 1α+β

⇒ x1(w, y, γ) = γ ·(

y

A · γ

) 1α+β

lo cual implica que

C(w1, w2, y, γ) =γ · w1 + w2

(A · γ)1

α+β

· y1

α+β .

6.4. Analisis de sensibilidad de los costos

6.4.1. Costos y eficiencia productiva

Suponga que hay dos tecnologıas disponibles, f y g, una de ellas (g) mas eficiente quela otra, esto en el sentido que con los mismos factores, se produce mas output utilizando latecnologıa g que la f . Por simplicidad, supongamos que para cualquier (x1, x2) ∈ R

2+ se tiene

que

f(x1, x2) < g(x1, x2). (55)

Dados precios w1, w2 y un nivel de producto y, denotemos, respectivamente, el costo inducidopor f y g como

Cf (w, y), Cg(w, y).

De lo expuesto, es directo ver que para cualquier nivel de output y,

Cg(w, y) < Cf (w, y).

En efecto, supongamos que las respectivas demandas restringidas usando la tecnologıa f yg es

xfi (w, y), xgi (w, y), i = 1, 2.

De la condicion (55), se tiene que (pos simplicidad para la notacion, se omiten los argu-mentos de las funciones de demanda)

f(xf1 , xf2 ) < g(xf1 , x

f2 ) ⇒ y < g(xf1 , x

f2 ).

Por lo tanto, de emplear los factores que se demandan con f , utilizando g se produce masproducto que el requerido. Como g(xg1, x

g2) = y, se concluye que

123


g(xg1, xg2) < g(xf1 , x

f2 ).

Por otro lado, como el costo es creciente en la cantidad de producto, es directo que

Cg(w, y) ≤ Cg(w, g(xf1 , x

f2 )), (56)

pero, ya que Cg(w, g(xf1 , x

f2)) es lo mas barato que se puede producir g(xf1 , x

f2)), se concluye

que

Cg(w, g(xf1 , x

f2 )) ≤ w1 · xf1 + w2 · xf2 . (57)

Combinando (56) y (57), y recordando que Cf (w, y) = w1 · xf1 + w2 · xf2 se concluye lo quequerıamos demostrar.

Una manera mas directa para ver lo anterior: si el costo con la tecnologıa mas eficiente esmayor que aquel que se obtiene con la tecnologıa menos eficiente, entonces para el primer casose pueden ocupar los mismos factores que se utilizan en el segundo, y “botar” la produccionrestante; con ello, la menos se igualarıan los costos entre ambas opciones.

Ejemplo 6.7 Supongamos que una firma tiene dos plantas para producir, cada una de ellascon costos C1(w, y) y C2(w, y) respectivamente. Supongamos ademas que para todo y se tieneque

C1(w, y) < C2(w, y),

es decir, que la planta uno es mas eficiente que la planta dos. A la firma le piden fabricar y0unidades del producto. ¿Como las hara? La primera tentacion es afirmar que lo hara solo ocu-pando la planta uno (m’as eficiente). Esto no necesariamente es cierto. En efecto, supongamosque para producir la y0 unidades requeridas, y1 las fabrica con la planta uno y y2 con la plantados, de modo que y1 + y2 = y0. En tal caso, el costo en que incurre es C1(w, y1) + C2(w, y2).Por lo tanto, su problema es escoger la combinacion de producciones que le permitan minimizardicho valor, es decir, resolver el problema

mıny1,y2

C1(w, y1) + C2(w, y2)

s.a y1 + y2 = y0.(58)

La solucion de (58) no necesariamente es y1 = y0, y2 = 0. De hecho, internalizando larestriccion en la funcion objetivo, el problema (58) es equivalente a

mıny1

C1(w, y1) + C2(w, y0 − y1).

Derivando lo anterior c.r a y1 y aplicando regla de la cadena, en el optimo se tiene que

CMg1(y1)− CMg2(y0 − y1) = 0 ⇔ CMg1(y1) = CMg2(y2),

es decir, que el optimo se tiene en niveles de produccion donde se igualan los costos marginalesde ambas plantas.

124


6.4.2. Costos y rendimientos de escala

Cuando la firma tiene rendimientos de escala constantes51, los costos de la firma aumentanen forma proporcional con las cantidades de output requeridas, es decir, C(w, t ·y) = t ·C(w, y),o, en forma equivalente, C(w, y) = y · C(w, 1). En efecto, hay dos razones para lo anterior.Matematicamente, se desprende de las propiedades del problema de optimizacion que definelos costos. Ası, sea t > 0, entonces para calcular C(w, t · y) se debe resolver el problema(ilustramos con dos inputs):

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = t · y.

Ahora bien, f(x1, x2) = t · y es equivalente a f(x1t ,

x2t

)= y. Si definimos xi = xi

t , coni = 1, 2, se tiene que xi = t · xi y luego el problema anterior se puede reescribir como:

{mın {w1 · t · x1 + w2 · t · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir,

{t ·mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

lo que equivale a decir que C(w, t · y) = t · C(w, y).

Economicamente, se tiene que al aumentar en forma proporcional los factores (digamos porun factor 2 para ilustrar), la produccion aumenta en la misma proporcion. Luego, si en el procesoinicial tenıamos costos C(w, y), al duplicar los inputs se puede replicar exactamente lo que antesestaba haciendo, luego los costos deben aumentar al doble, es decir, C(w, 2 · y) = 2 · C(w, y)como ya se habıa visto.

Si ahora hay rendimientos crecientes a escala en la produccion, al duplicar los inputs masque se duplica la produccion. Luego, para producir el doble de producto se requiere menos deldoble de inputs y por lo tanto, los costos de producir el doble son menores que el doble de loscostos de producir la cantidad inicial, es decir: C(w, 2 · y) ≤ 2 ·C(w, y). En terminos generales,en este caso se tiene que los costos verifican la siguiente propiedad:

C(w, t · y) ≤ t · C(w, y), ∀t > 1.

En forma analoga podemos deducir que cuando existen rendimientos decrecientes a escalaen la produccion se tiene que:

C(w, t · y) ≥ t · C(w, y), ∀t > 1.

La siguiente Figura 50 ilustra lo anterior:

51Recordemos que una tecnologıa f tiene rendimientos a escala constantes, crecientes o decrecientes si f(tx)es igual, mayor o menor que t · f(x) respectivamente, con t > 1.

125


Figura 50: Costos y Rendimientos de Escala

C

y

Decrecientes

ConstantesCrecientes

En resumen, si la tecnologıa de produccion tiene rendimientos constantes de escala, los cos-tos son lineales en el producto; si hay rendimientos crecientes en la produccion, los costosse comportan como si tuvieran rendimientos decrecientes a escala en el producto. Final-mente, si la f.d.p tiene rendimientos decrecientes a escala, los costos son como si tuvieranrendimientos crecientes en el nivel de producto. Ahora bien, como se ha detallado para lasf.d.p, el hecho que haya rendimientos crecientes corresponde a que la funcion es convexa, mien-tras que retornos decrecientes corresponde a su concavidad. Luego, funciones de produccionconvexas tienen asociados costos concavos en el producto, mientras que funcionesde produccion concavas tiene asociados costos convexos.

Ahora bien, si los costos son convexos en las cantidades, entonces sabemos que la derivadarespectiva es creciente (si son concavos, la derivada es decreciente). Luego, hemos probadofinalmente que si la funcion de produccion presenta retornos decrecientes a escala,entonces los costos marginales asociados son crecientes, mientras que si la funcion deproduccion presenta rendimientos de crecientes de escala, los costos marginales son decrecientes.Cuando la f.d.p presenta retornos constantes a escala, los costos marginales son constantes.

Respecto de los costos medios, es directo probar que si la f.d.p presenta retornos decre-cientes a escala, entonces el correspondiente costo medio es creciente (es creciente si laf.d.p tiene retornos crecientes a escala). Lo indicado es directo de la concavidad - convexidadde los costos segun el caso.

Ejemplo 6.8 Supongamos que f : R2+ → R es homogenea de grado k ∈ N. Dados precios

w1, w2 y nivel de produccion y, el problema de costos es

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y.

Si f(x1, x2) = y, entonces 1yf(x1, x2) = 1. Pero f es homogenea de grado k, es decir

f(tx1, tx2) = tkf(x1, x2). Tomando entonces t = 1y1/k

, se tiene que

1

yf(x1, x2) = f

(x1

y1/k,x2

y1/k

),

y por lo tanto, el problema de costos asociado a f corresponde a

126


{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f

(x1

y1/k, x2

y1/k

)= 1.

(59)

Haciendo el cambio de variables

zi =xiy1/k

, i = 1, 2,

el problema (60) es equivalente a

{mın y1/k · {w1 · z1 +w2 · z2}s.a f (z1, z2) = 1.

(60)

Como la constante y1/k no altera la solucion del problema (sı su valor), para encontrar elcosto segun el problema (60) basta con resolver el problema

{mın {w1 · z1 + w2 · z2}s.a f (z1, z2) = 1

(61)

y multiplicar el valor de la funcion objetivo por y1/k. Puesto que el valor del problema (61) esC(w, 1), se tiene finalmente que

C(w, y) = y1/k · C(w, 1).

Notemos que C(w, 1) no depende de las cantidades, pero si obviamente de los precios.

Ciando f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0, del Ejemplo 6.1, tenemos que

C(w, y) = γ · y1

α+β .

En este caso, k = α+ β y obviamente se cumple lo expuesto.

Ejemplo 6.9 Costos de funciones de produccion homoteticasUna funcion de produccion f : R

2 → R es homotetica si es la composicion de unafuncion homogenea de grado uno con una estrictamente creciente, es decir, si existeuna funcion g : R2

+ → R homogenea de grado uno y φ : R → R estrictamente creciente tal que

f(x1, x2) = φ(g(x1, x2)).

En este caso, el problema de costos con la f.d.p f es

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

que es equivalente a

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a φ(g(x1, x2)) = y,

.

Como φ es estrictamente creciente, se puede asumir invertible, con inversa denotada porφ−1. Luego, el problema de costos asociado a f corresponde a

127


{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a g(x1, x2) = φ−1(y).

.

Ahora bien, como g es homogenea de grado uno, es decir, presenta retornos constantesa escala, el costo correspondiente es lineal en la cantidad de producto, que en este caso esψ−1(y). Luego, el costo asociado a f necesariamente es una expresion lineal es ψ−1(y), conuna constante que depende de los precios. En definitiva, el costo asociado a una f.d.p homoteticaes de la forma

Cf (w, y) = θ(w) · ψ−1(y),

es decir, separable en el producto de dos funciones, una de ellas dependiendo solo de los preciosy otra dependiendo solo de las cantidades. Siguiendo un argumento similar, este resultado deseparabilidad se puede extender directamente para funciones de produccion que son la compo-sicion de una homogenea de grado k ∈ N y una estrictamente creciente (Ejercicio).

6.4.3. Costos y precios de los factores

Para realizar nuestro analisis, supongamos en primer lugar que todos los precios de losfactores aumentan en una proporcion fija, digamos t > 0, de modo que los precios finales de losfactores es t ·wi para el factor xi. De esta manera, el nuevo costo es C(t ·w, y), que se construyea partir de la solucion del problema:

{mın {(t · w1) · x1 + (t · w2) · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir, {t ·mın {·w1 · x1 + ·w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

que es equivalente a t · C(w, y). De esta manera, concluimos que:

C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.

Esta ultima propiedad nos dice que la funcion de costos es homogenea de grado 1 en losprecios de los factores52.

Por otro lado, si aumentamos los precios de los factores, no necesariamente en la mismaproporcion como en el caso anterior, entonces veremos que los costos deben aumentar, es decir,si wi ≤ wi, ∀i = 1, ..., n, entonces C(w, y) ≤ C(w, y). En efecto, sean x(w, y) y x(w, y) lasdemandas de factores asociadas a los respectivos precios de factores w = (wi) y w = (wi)

respectivamente. Entonces, C(w, y) =n∑

i=1wi ·xi(w, y) ≤

n∑i=1

wi ·xi(w, y) (esto por minimizacion

de costos); por otro lado, puesto que wi ≤ wi, se tiene quen∑

i=1wi · xi(w, y) ≤

n∑i=1

wi · xi(w, y) =C(w, y). En consecuencia, mirando los extremos de las desigualdades anteriores, se tiene que

52Recordemos que una funcion g : Rn → R es homogenea de grado k > 0 si para todo t > 0 se tiene queg(t · x) = tk · g(x)

128


C(w, y) ≤ C(w, y). En otras palabras, los costos deben ser crecientes en los precios de losinputs.

Para seguir con este analisis, en lo que sigue vamos a probar que las funciones de costosson concavas en los precios de los factores, es decir, que dados precios w = (wi) y w = (wi),y dado λ ∈ [0, 1], entonces

C(λ · w + (1− λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y).

Dados w y w como antes, notemos por wλ = λ·w+(1−λ)·w, es decir, wλi = λ·wi+(1−λ)·wi.

Entonces

C(wλ, y) =∑

i

wλi · xi(wλ, y) =

∑

i

(λ · wi + (1− λ) · wi) · xi(wλ, y).

Luego,

C(wλ, y) = λ ·∑

i

wi · xi(wλ, y) + (1− λ) ·∑

i

wi · xi(wλ, y).

Pero, por definicion de funcion de costos,∑iwi ·xi(wλ, y) ≥ C(w, y), y ademas

∑iwi ·xi(wλ, y) ≥

C(w, y); en consecuencia, reemplazando estas desigualdades en la expresion anterior, se tieneque,

C(λ · w + (1− λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y),

que es lo indicado.

Para finalizar este analisis del costo respecto del precio de los factores, veamos ahora lasderivadas del costo respecto de dichos parametros. La propiedad que se deduce es conocidacomo el Lema de Shephard, la cual establece que, bajo supuestos generales, la demanda porfactores corresponde al cambio marginal de los costos ante variaciones en el precio del factorrespectivo, es decir, dado un nivel de precios de factores w∗ = (w∗

i ), entonces,

xi(w∗, y) =

∂C(w∗, y)

∂wi.

En efecto, dado w∗ ∈ Rn, consideremos la funcion g : Rn → R tal que, g(w) = C(w, y) −∑

iwi ·xi(w∗, y). Notar que g(w) ≤ 0, ∀w ∈ R

n53 y que g(w∗) = 0. Luego, g(·) tiene un maximo

en w = w∗ y por lo tanto, utilizando las condiciones de primer orden se deduce que ∂g(w∗,y)∂wi

= 0,

es decir, ∂C(w∗,y)∂wi

− xi(w∗, y) = 0, con lo cual se obtiene el resultado.

Veamos otra demostracion del lema de Shephard54. Para ello derivemos directamente lafuncion de costos c.r. a wi. De esta manera, dado j ∈ {1, ..., n}, puesto que,

C(w, y) =∑iwi · xi(w, y) =

n∑i 6=j

wi · xi(w, y) +wj · xj(w, y), luego, derivando con respecto a

wj se tiene que,

∂C(w, y)

∂wj= +xj(w, y) + wj ·

∂xj(w, y)

∂wj

n∑

i 6=j

wi ·∂xi(w, y)

∂wj,

53La justificacion de aquella como ejercicio para el lector54Esta es un poco mas tecnica, pero menos rebuscada (astuta) que la anterior. Es util para recordar algo de

calculo y las condiciones de optimalidad

129


es decir,

∂C(w, y)

∂wj=∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wi+ xj(w, y) (62)

Por otro lado, de las condiciones de optimalidad del problema de costos sabemos que paratodo i ∈ {1, ..., n} se verifica que:

wi + λ · ∂f(x(w, y))∂xi

= 0 =⇒ ∂f(x(w, y))

∂xi=

−wi

λ(63)

Finalmente, dado que f(x(w, y)) = y se tiene que ∂f(x(w,y))∂wj

= 0, es decir,∑i

∂f(x(w,y))∂xi

·∂xi(w,y)

∂wj= 0. En consecuencia, reemplazando el resultado de (63) en lo anterior se obtiene que

∑i

−wiλ · ∂xi(w,y)

∂wj= 0, es decir,

∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wj= 0.

Aplicando esto en la ecuacion (62) se concluye ∂C(w,y)wj

= xj(w, y).

Nota. 6.5 Veamos finalmente otra demostracion que es directa. Puesto que la funcion de costoses homogenea de grado 1 en los precios de los factores55 se tiene que, C(w, y) =

∑iwi · ∂C(w,y)

wi

56

y por lo tanto, ya que C(w, y) =∑iwi·xi(w, y), se concluye directamente que ∂C(w,y)

wi= xi(w, y).

En resumen, hemos demostrado la siguiente proposicion.

Proposicion 6.1 Con respecto a los precios de los factores, las funciones de costos son ho-mogeneas de grado 1, crecientes y concavas. Ademas se cumple el Lema de Shephard,es decir,

∂C(w, y)

∂wi= xi(w, y), i = 1, 2.

Nota. 6.6 Una consecuencia importante de la Proposicion (6.1) es que no cualquier funcionque dependa de w1, w2 e y (precios y cantidades) corresponde a una funcion decostos. Para que una relacion entre precios y cantidades sea una funcion de costos, debe ser(i) creciente en el nivel de produccion, y (ii) cumplir lo indicado en la proposicion respecto delos precios (homogeneidad y concavidad). Por ejemplo, la relacion

θ(w1, w2, y) = w21 · w2 · y2,

55Es decir, C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.56Recordemos que si f : Rn → R es homogenea de grado 1 entonces

f(x) =∑

i

xi ·∂f(x)

∂xi.

130


no puede ser una funcion de costos, ya que no es homogenea de grado uno en los precios (niconcava). ¿Que significa que θ(w1, w2, y) no puede ser una funcion de costos? Que no hayuna funcion de produccion (creciente por componentes y que en cero vale cero) tal que alresolver el problema de minimizacion del costo sujeto a restriccion de produccion, se obtengaθ(w1, w2, y) como el valor del problema.

Nota. 6.7 Del Lema de Shephard, es directo es que el costo es creciente con los precios,pues su respectiva derivada es positiva (es igual a la demanda). Por otro lado, del mismoLema, conocidos los costos en funcion de los precios, resolviendo el sistema de ecuaciones paraeliminar los precios del mismo, se puede obtener la funcion de produccion que induce alcosto en cuestion. Esto es muy relevante pues, en definitiva, disponer de los costos comofuncion de los precios es equivalente a conocer la funcion de produccion de la firma.

Ejemplo 6.10 Suponga que todos los factores son variables y que el costo medio de una firmaes CMe(w, y) = wα

1 · wβ2 , con α, β > 0. Dado esto, la idea es encontrar la demanda

Marshaliana de los factores. Para ello, notemos, en primer lugar, que la funcion de costos es

C(w, y) = y · wα1 · wβ

2 .

Como es homogenea de grado 1 en los precios, se debe cumplir que

C(λ · w, y) = λC(w, y) ⇔ tα+β · y · wα1 · wβ

2 = t · y · wα1 · wβ

2 .

Luego, α + β = 1 y por lo tanto β = 1 − α. De esta manera, la funcion de costos debe ser dela forma

C(w, y) = y · wα1 · w1−α

2 .

Para responder a la pregunta, encontremos la f.d.p que define al costo anterior y, dadoesto, resolver el problema de maximizacion de beneficio para determinar las funciones dedemanda. Para encontrar la f.d.p, por Shephard sabemos que ∂C(w,y)

∂wi= xi(w, y), i = 1, 2.

Ası, el sistema de ecuaciones que resulta es

∂C(w, y)

∂w1= y · α · wα−1

1 w1−α2 = x1(w, y). (64)

∂C(w, y)

∂w2= y · (1− α) · wα

1w−α2 = x2(w, y).

Del cuociente entre las derivadas anteriores, queda

α

1− α· w2

w1=x1(w, y)

x2(w, y).

La idea es despejar “y” en funcion de (x1(w, y), x2(w, y)). De lo anterior obtenemos w2 enfuncion de w1

w2 =1− α

α· x1x2

· w1,

reemplazando esto en (64) queda,

131


y · α · wα−11 ·

(x1x2

)1−α

·(1− α

α

)1−α

· w1−α1 = x1,

es decir,

y =1

α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α2 ,

que es la funcion de produccion buscada. Con esta f.d.p podemos encontrar las demandas soli-citadas al resolver el problema

maxx1,x2

p

(· 1α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α2

)− w1x1 − w2x2.

6.4.4. Costos y cantidades de producto.

En primer lugar, ya sabemos que los costos deben ser crecientes en las cantidades de pro-ducto: producir mas cuesta mas, pues de lo contrario serıamos ineficientes. Esto se resumen, setiene directamente la siguiente proposicion.

Proposicion 6.2 La funcion de costos es creciente en el nivel de producto, y por lo tanto,

∂C(w, y)

∂y≥ 0.

(costo marginal positivo.)

Veamos ahora la relacion que existe entre los costos medios y marginales ante variaciones enel producto. Para esto, aplicando la regla de cuociente, evaluemos la derivada del costo medioc.r. a la cantidad:

∂CMe(w, y)

∂y=∂(C(w,y)

y

)

∂y=CMg(w, y) · y − C(w, y)

y2.

De esto se deduce que,

∂CMe(w, y)

∂y> 0 ⇔ CMg(w, y) · y − C(w, y) > 0,

es decir, cuando CMg(w, y) > CMe(w, y). Ası, los costos medios son crecientes en elproducto toda vez que los costos marginales son mayores que los costos medios57.En forma analoga, los costos medios son decrecientes en el producto toda vez que loscostos marginales son menores que los costos medios.

De hecho, en el nivel de produccion que lleva al mınimo costo medio, digamos y∗, se tieneque los costos marginales son iguales a los costos medios, es decir, CMe(w, y∗) = CMg(w, y∗).

La Figura 51 ilustra lo anterior:

57Recordemos que una condicion para que una funcion sea creciente en un intervalo es que su primera derivadadebe ser positiva en el mismo.

132


Figura 51: Costo Medio Mınimo

y∗: punto de CMe mınimo

CMe

CMg

6.5. Geometrıa de costos

El analisis grafico en que estamos empenados consiste en estudiar las curvas de costos enfuncion de los niveles de produccion, con el fin posterior de estudiar la oferta de la firma encompetencia perfecta.

En primera instancia, debemos recordar que, dados los precios de los factores, el costo delargo plazo siempre esta por debajo de los costos de corto plazo, cualquiera seaeste. Esto viene directamente del problema de optimizacion que define la funcion de costo, yaque en el problema de corto plazo la firma tiene menos variables de decision que le permitanmejorar su solucion, por lo cual el conjunto de restricciones es mas pequeno, y por ende suvalor es peor58.

Ejemplo 6.11 Supongamos que la funcion de produccion es,

f(x1, x2) = xa1 · x(1−a)2 ,

con a ∈]0, 1[. En este caso, el costo de producir y, dados los precios de factores w1, w2, es

C(w, y) = a−a(1− a)a−1wa1w

1−a2 y,

mientras que las demandas de factores son

x1(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)(1−a)

, x2(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)−a

y.

Si fijamos x2 = x2 se tiene que el problema de costos es,

58Dado un problema de optimizacion, digamos{

opt f(x)

s.a x ∈ A,

en la medida que el conjunto factible (A en nuestro caso) es mas grande, entonces la solucion es mejor. A modode ejemplo, si opt = min entonces, sea xA la solucion del problema anterior con el conjunto factible A. Si esteconjunto es reemplazado por otro, digamos B, de modo que A ⊆ B, entonces f(xB) ≤ f(xA). En caso deconsiderar opt = max, entonces la conclusion es la contraria.

133


{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a xa1(x2)

(1−a) = y,

de lo cual se tiene que

x1(w1, w2, x2, y) =y

1a

(x2)(1−a)

a

.

De esta manera, el costo de corto plazo es:

Ccp(w, y) =w1

(x2)(1−a)

a

· y 1a + w2x2.

Con esto queda definida una familia de curvas de costos de corto plazo, siendo elparametro que las define el valor de la cantidad fija del factor considerado (x2). Graficamentela situacion es como sigue:

Figura 52: Costos en el Corto Plazo

CF3

CF2

CF1

(1)

(2)

(3)

CCP

y

En la Figura 52, cada una de las curvas de costos de corto plazo esta definida por cantidadesdistintas de factor fijo: para la curva (1) se tiene un valor x2 = x2,1, para la curva (2) dichovalor sera x2 = x2,2, x2,2 > x2,1, etc. Con esto queda ademas definido un valor de costo fijo(CF1, CF2, CF3) que nos da la partida de la curva de costo de corto plazo en cero.

La afirmacion de que el costo de largo plazo esta por debajo de aquellos de corto plazocorresponde a afirmar que para cualquiera que sea el nivel de factor fijo que define elcosto de corto plazo, la curva correspondiente esta por encima de aquella de largoplazo.

Sin embargo, note que dado x2, entonces existira algun nivel de produccion, digamos y, talque para dicho valor se tiene que la cantidad optima que la firma demandarıa en el largo plazosera igual a aquella que tiene prefijada en el corto plazo. Es decir, para algun y se cumplira que:

x1(w, y) = x1(w, x2, y), x2(w, y) = x2,

134


de tal forma que en dicho nivel de producto se igualan los costos de largo y cortoplazo.

Ejemplo 6.12 Del ejemplo anterior, como x1(w, y) = y(

aw2(1−a)w1

)(1−a), mientras que x2(w, y) =

y(

aw2(1−a)w1

)−a, la cantidad de producto y que iguala los costos de largo y corto plazo esta definida

por:

Demanda de largo plazo en y = Demanda de corto plazo en y,

es decir,

x2(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)−a

y = x2.

Con esto se obtiene que,

y =x2(

aw2(1−a)w1

)−a .

Graficamente, la situacion para este problema es como sigue59:

Figura 53: Costos en el Corto y Largo Plazo

C

CF = w2x2

y y

C

CCP

En y se igualan los costos de corto y largo plazo. De hecho, como la curva de costo de largoplazo esta siempre por encima de aquella de corto plazo, en este punto y donde se igualan,ambas curvas deben ser tangentes. �

El punto de interseccion y del ejemplo anterior obviamente depende de la cantidad defactor fijo que hemos considerado (en el caso anterior, x2). Para otra curva de corto plazo, lainterseccion con la curva de largo plazo se dara en otro punto. De esta manera, los costos delargo y corto plazo son tangentes en al menos un punto y la curva de costo de largoplazo esta por debajo de todas ellas. La Figura 54 ilustra lo expuesto.

59Recuerde que el costo de largo plazo es lineal mientras que aquel de corto plazo es una exponencial.

135


Figura 54: Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo

C CLP

C4CPC3

CPC2CPC1

CP

y

Lo anterior corresponde a deice que la curva de costos de largo plazo es la envolvente delas curvas de costos de corto plazo. La misma propiedad se tiene entre costos medios decorto y largo plazo. En efecto, si dado el nivel de produccion y, ya sabemos que C(y) ≤ Ccp(y),luego,

C(y)

y≤ Ccp(y)

y⇔ CMe(y) ≤ CMecp(y).

Por otro lado, como existe un nivel y tal que C(y) = Ccp(y), para ese nivel de produccion setiene que CMe(y) = CMecp(y). En resumen, los costos medios de largo plazo estan por debajode los costos medios de corto plazo y son tangentes en un punto. Graficamente la situacion escomo sigue.

Figura 55: Costos Medios de Corto y Largo Plazo

C

y

CMe1CP

CMe2CPCMe3CP

CMe4CP

CMe5CP

CMeLP

Cada curva de costos medios de corto plazo viene de una curva de costo de corto plazo, lacual, como hemos dicho, depende del nivel de factor fijo.

136


Nota. 6.8 En la figura anterior hemos supuesto que las curvas de costos medios de corto ylargo plazo tienen forma de U , es decir, son convexas con una rama creciente (derecha, altascantidades de producto) y otra decreciente (izquierda, bajas cantidades de producto). En rigoreste supuesto no es necesario para el analisis que viene: es solo un supuesto simplificatorioque nos ayudara a ilustrar algunas ideas. Este supuesto se puede interpretar diciendo que paraniveles bajos de produccion, la firma presenta rendimientos crecientes de escala en la produccion,mientras que para niveles altos de producto, la firma tiene rendimientos decrecientes a escala(corto y largo plazo).

Para terminar con este analisis grafico, consideremos ahora los costos marginales. Ya sa-bemos que, tanto en el corto como en el largo plazo, los costos marginales cruzan a loscostos medios por su mınimo. Graficamente es como sigue.

Figura 56: Costos Marginales de Corto y Largo Plazo

C

y

CMg1CP

CMg2CP CMg3CP

CMg4CP

CMg5CPCMgLP

En la Figura 56, los costos marginales de corto plazo se han ilustrado con lıneas punteadas

y el costo marginal de largo plazo con lınea mas gruesa.

A partir de todo lo anterior, note que,

a.- La curva de costos medios de largo plazo no corta necesariamente a la curva de costosmedios de corto plazo en su mınimo.

b.- La curva de costos marginales de largo plazo no tiene a priori alguna relacion con aquellasde corto plazo, en el sentido de estar por abajo o por arriba de estas.

137


7. Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta

7.1. Introduccion

El objetivo de este capıtulo es analizar el comportamiento de una firma en un contextode mercado, es decir, donde existen interacciones con otras firmas que producen el mismoproducto y, en forma complementaria, con demandantes (consumidores) de los mismos (puedehaber ademas otras firmas que producen productos similares, o bien complementos, etc.).

Hasta el momento, solo nos hemos preocupado de analizar el comportamiento de una firmade manera autoreferente, es decir, en funcion de sus propias caracterısticas, resumidas sea porsu f.d.p o su funcion de costo, obviando eventuales interacciones con otros agentes. Con esteenfoque, se ha hecho abstraccion que, en general, el desempeno de las mismas es funcional alcontexto economico donde se desenvuelven, donde en particular otras firmas compiten por lademanda de los consumidores del producto que elaboran. Este contexto de interdependenciay de relaciones entre diversos agentes (oferentes y demandantes de producto) define lo quellamaremos el mercado del producto.

Por el lado de los consumidores, en lo que sigue asumiremos que todos ellos seran representa-dos (digamos, resumidos) por una curva de demanda dada exogenamente. Esta curva relacionael precio del producto con la cantidad del mismo, cantidad que dichos agentes estarıan dispues-tos a comprar al precio indicado. Asumiremos que tal curva tiene pendiente negativa, es decir,que mientras mayor es el precio del bien ofrecido, menor es la demanda que se tiene60.

Como actuan las firmas en este nuevo marco es un problema central en economıa. Laforma de modelar tal situacion, y su nivel de complejidad y realismo, dependeran de muchosfactores. Por un lado, la manera de abordar el enfoque en una situacion de corto o largo plazoes completamente distinto. Por otro lado, dependiendo del grado de poder de mercado quecada firma tenga, la situacion puede cambiar radicalmente. Si por ejemplo, hay solo una firmaque provee el bien bajo analisis, la demanda que ella enfrenta estarıa simplemente definidapor la curva de demanda de mercado del bien en cuestion. Por otro lado, si la firma compiteotras firmas, actuando como tomadora de precios, al cobrar mas que el precio de equilibrio demercado, la demanda que observarıa es cero, situacion completamente distinta a la que se hayde tener el poder de fijar los precios. En caso que la firma actua como tomadora de precios, susdecisiones de produccion dependen, ademas del comportamiento de los consumidores y de suspropias caracterısticas, de las decisiones de las otras firmas al respecto.

En definitiva, lo que nos ocupara en esta seccion estudiar algunos mecanismos por medio delos cuales se fijan los precios del producto, que a su vez permite determinar la cantidad de esteque se vende, los beneficios de cada firma y sus producciones individuales. Parte de lo relevantede este analisis es entender que tal solucion depende de como las firmas se vinculan entre sı, ycon la demanda. Al respecto, los modelos mas simples a considerar son cuando (i) las firmasactuan en competencia perfecta, es decir, son tomadoras de precio y, en el otro extremo, cuandoson (ii) monopolio (es decir, oferentes unicos que fijan los precios de venta del producto).

7.2. Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta

Diremos que un mercado es de competencia perfecta, o mercado competitivo, si ningunoferente (firma) ni demandante (consumidor) tiene, individualmente, influencia sobre el preciodel bien: los precios finales de los productos son obtenidos de la interaccion conjunta de todos

60En otras palabras, estamos asumiendo que el bien ofrecido por la firmas no es un bien de Giffen.

138


los agentes economicos (productores y consumidores), sin que exista una influencia singular dealguno de ellos sobre el valor resultante. Es por esto que, tanto las firmas como los consumidores,son llamados agentes precio-aceptantes.

7.2.1. La demanda de mercado

La demanda de marcado por algun bien es la suma de las demandas individuales por elmismo, la que, como sabemos, se determina a partir de la solucion del problema de maximizacionde utilidad sujeta a restriccion presupuestaria. Suponiendo que hay m ∈ N individuos en laeconomıa, cada uno de ellos con funcion de utilidad ui, i = 1, . . . ,m e ingresos Ri, i = 1, . . . ,m,el problema del individuo i = 1, . . . ,m (dos bienes) es

maxx1,x2

ui(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = Ri,

y la correspondiente demanda Marshaliana por el bien uno y dos es notada como

xi1(p1, p2, Ri), xi2(p1, p2, Ri), i = 1, . . . ,m.

En lo que sigue, supongamos que nos interesa el bien uno y denotemos genericamente suprecio por p. El precio del bien dos esta fijo, como ası las rentas de los agentes. En tal caso,ceteris paribus, la demanda de mercado por el bien bajo analisis uno

X(p) =

m∑

i=1

xi1(p, p2, Ri).

Bajo el supuesto que el bien uno no es Giffen, la demanda de mercadoX(p) tiene pendientenegativa. La Figura 57 ilustra una curva de demanda usual.

Figura 57: Curva de Demanda de Mercado

p

p∗

y∗ y

En la figura anterior, dado un precio del producto, digamos p∗, la demanda de mercado

es y∗ = X(p∗). Como sabemos, esta cantidad de producto es la que estarıan dispuestos a

comprar los consumidores si el precio fuera p∗.

139


Evidentemente la demanda de mercado por cierto bien depende de muchos factores. Alrespecto, en todo lo que sigue supondremos que el precio del bien dos esta fijo, siendonuestro interes el efecto que el precio propio tiene sobre la demanda. Notar ademas que si elnumero de agentes crece, entonces la curva de demanda del bien bajo analisis se desplaza haciala derecha (movimiento de la curva). Lo mismo ocurre si el bien es normal y se incrementanlos ingresos de los individuos (por ejemplo, a traves de un subsidio a la renta). En este caso,obviamente impuestos al ingreso desplazan la curva de demanda hacia la izquierda.

7.2.2. Oferta de la firma y la industria

De lo expuesto en la seccion previa, sabemos que una firma puede ser caracterizada seaa traves de funcion de produccion, o bien por medio de su funcion de costo. Si conocemos lafuncion de produccion (f), entonces, condicional a los precios, el problema de optimizacion quepermite encontrar la oferta Marshaliana de la firma es

maxx1,x2

{pf(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (65)

La solucion del problema (65) (demanda Marshaliana por factores) se denota como

xi(p,w1, w2), i = 1, 2,

y con ella, la oferta de la firma es

y(p,w1, w2) = f(x1(p,w1, w2), x2(p,w1, w2)).

Sin embargo, al disponer de la funcion de costo puede resultar mas simple determinarla oferta de la firma. En efecto, supongamos que C(·) es la funcion de costo de la firma encomento. Si el precio del producto es p, entonces si la firma decide producir y unidades de este,el beneficio que obtiene es61

p · y − C(y).

Por lo tanto, condicional a los precios, la oferta de la firma debe es aquel nivel de produc-cion que maximiza el margen anterior, es decir, aquel que resuelve el siguiente problema deoptimizacion:

maxy

{p · y − C(y)}. (66)

Aunque parezca obvio, es importante destacar que (65) y (66) son formulaciones equi-valentes del problema de maximizacion de beneficios de la firma; ası, las solucionesque se obtienen segun ambos esquemas son las mismas. Empleando la f.d.p, primero se obtienela demanda Marshaliana y luego la oferta; con el esquema basado en costos, la oferta se ob-tiene directamente. De ser necesario, la demanda Marshaliana se obtiene aplicando el lema deShephard.

El esquema basado en costos es mas directo que aquel basado en la f.d.p. Por otro lado, enla practica, los costos pueden ser aproximados segun registros contables u otros metodos, demodo que, usualmente, es posible disponer de infomacion confiable al respecto. En cambio, la

61Puesto que los precios de los factores no seran una variable de interes en el analisis que sigue, seran omitidoscomo argumento de la funcion de costos.

140


f.d.p puede ser compleja de determinar. Por estas razones, en todo lo que sigue analizaremosel problema de oferta de la firma (y la industria) segun el enfoque de costos.

Dado p, para determinar la oferta debemos derivar la funcion objetivo del problema (66)c.r. al producto; ası, la condicion necesaria de optimalidad es

∂(p · y − C(y))

∂y= 0 ⇔ p− ∂C(y)

∂y= 0 ⇔ p = CMg(y),

es decir, que en la oferta de la firma, se debe cumplir que el precio es igual al costomarginal.

Nota. 7.1 Mas general, considerando que el ingreso de la firma es I(p, y) = p · y, la condicionde optimalidad del problema de maximizacion de beneficio corresponde a que, en el optimo, secumple que

∂I(p, y)

∂y=∂C(y)

∂y,

es decir, la firma ofrece en aquel punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal.Para el caso de una firma precio-aceptante, el ingreso marginal es igual al precio. Sin embargo,esta condicion es mas general, y aplica a otros contextos como se vera mas adelante.

La condicion p = CMg(y) es solo a la condicion necesaria de optimalidad de primer ordenpara determinar la oferta: se requiere una condicion adicional para cerrar el problema. Enefecto, supongamos que el precio de mercado es p∗ y que, segun la regla anterior, la firmaofrece y∗ tal que CMg(y∗) = p∗, es decir,

y∗ = CMg−1(p∗) : costo marginal inverso en p∗. (67)

En tal caso, el beneficio que obtendrıa la firma es

π∗ = p∗ · y∗ − C(y∗).

Ahora bien, considerando que CMe(y∗) = C(y∗)y∗ , re-escribiendo el beneficio, se tiene que

π∗ = p∗ · y∗ − y∗CM(y∗) ⇔ π∗ = y∗ · [p∗ − CM(y∗)].

Si todos los factores son variables, claramente el mınimo beneficio que la firmapodrıa obtener es cero, pues en el peor caso no produce. Por lo tanto, la oferta sera y∗ > 0segun (67) siempre y cuando se cumpla que π∗ ≥ 0, es decir, se cumpla que

p∗ − CMe(y∗) ≥ 0.

Por lo tanto, la oferta es positiva si el precio de mercado (que la firma no controla!) es mayorque el costo medio de producir dicho nivel de oferta. Caso contrario, si el precio de mercadoes menor que el costo medio de producir el nivel de producto segun la regla (67), entonces laoferta es cero. ¿Cual es entonces el umbral de precios de mercado a partir del cual la ofertaes positiva? Es el valor del mınimo costo medio de la firma. En efecto, supongamos que elprecio de mercado es p∗ y que la firma ofrece y∗ segun la regla (67). En tal caso, como sabemos, se

141


cumple que p∗−CMe(y∗) ≥ 0. Sea ahora CMemin ∈ R+ el valor mınimo del costo medio62.Entonces, por definicion, para todo nivel de producto y se tiene que CMemin ≤ CMe(y), locual implica que

p∗ − CMe(y∗) ≥ p∗ − CMemin.

Por lo tanto, tenemos garantıa de que el beneficio es positivo (mayor o igual a cero) siemprey cuando

p∗ − CMemin ≥ 0 ⇔ p∗ ≥ CMemin,

es decir, cuando el precio de mercado es mayor o igual al costo medio mınimo. Todo lo expuestose resume en la siguiente expresion para la oferta de la firma: dado el precio de mercado p∗, laoferta de la firma en un mercado competitivo, denotada por O(p∗), corresponde a

O(p∗) =

CMg−1(p∗) si p∗ ≥ CMemin

0 si p∗ < CMemin

es decir, la curva de oferta de la firma esta dada por la parte de la curva de costosmarginales que esta por encima de la curva de costos medios; la oferta es cero siel precio de merado es menor que el mınimo valor del costo medio.

Geometricamente es como sigue.

Figura 58: Oferta de la Firma en el Largo Plazo

p∗∗

CMeMIN

y y∗∗

CMeCMg

p∗

62Recordemos que el costo medio es mınimo en el nivel de producto donde el costo medio se iguala al costomarginal, es decir, en y donde CMg(y) = CMe(y). Ası,

CMemin = CMe(y).

142


En la Figura 58, si el precio de mercado es p∗∗, la oferta de la firma sera y∗∗ tal que

CMg(y∗∗) = p∗∗, es decir, y∗∗ = CMg−1(p∗∗). Por el contrario, si el precio de mercado

es p∗ la oferta de la firma sera cero. Finalmente, si el precio del producto es igual al valor

del mınimo costo medio, la firma esta indecisa en producir cero o la cantidad de producto

donde se minimiza el costo medio.

Cuando todos los factores son variables, existen solo dos opciones en cuanto a losposibles beneficios de la firma: que sean cero o que sean estrictamente positivos: el precioumbral que separa ambas situaciones es p = CMemin. La Figura 59 ilustra lo anterior.

Figura 59: Oferta de la Firma

Precio Umbral

p

y

Costo Medio Mınimo

CMeCMg

De haber factores fijos, para determinar la oferta de la firma se sigue el procedimientoanterior. Sin embargo, a diferencia del caso con todos los factores variables, si la firma ofrececero, su beneficio alternativo no es cero, sino que menos el costo fijo, −CF . Luego, dado unprecio de mercado p∗, para determinar la oferta de la firma debe considerar que:

(a) el nivel de oferta “candidato” debe cumplir con que el costo marginal (de corto plazo)debe ser igual al precio en cuestion (esto igual al caso anterior; condicion necesaria deoptimalidad),

(b) si la firma produce cero, el beneficio que obtiene es −CF . Luego, dado p∗, ofrecera positivo(digamos y∗) siempre y cuando el beneficio que obtenga de ello sea mayor o igual a menosel costo fijo, es decir, se cumpla que

p∗ · y∗ − Ccp(y∗) ≥ −CF.

Puesto que p∗ · y∗ − CV (y∗) − CF ≥ −CF ⇔ p∗ · y∗ ≥ CV (y∗), se tiene que la firmaofrece una cantidad positiva de producto siempre y cuando

143


p∗ ≥ CV (y∗)

y∗⇔ p∗ ≥ CVMe(y∗). (68)

Al igual que cuando los factores variables, de la condicion (68) queda definido un precioumbral a partir del cual la oferta de la firma es positiva, y bajo el cual es cero. Este precio essimplemente el valor del mınimo costo variable medio, denotado CVMemin. La oferta dela firma en presencia de factores fijos es entonces

Ocp(p∗) =

CMg−1cp (p∗) si p∗ ≥ CVMemin

0 si p∗ < CVMemin

Obviamente la diferencia con el caso donde todos los factores son variables, es que ahora seconsideran los costos medios variables y antes era solo el costo medio. La Figura 60 ilustra loanterior:

Figura 60: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1)

p∗

p

p∗∗

y y∗

CVMe

CMeCP

CMgCP

En la Figura, si el precio de mercado es p∗, la oferta de la firma serıa y∗ de tal forma que

p∗ = CMgcp(y∗). Si el precio es p∗∗, la oferta de la firma es cero.

Notemos que aun cuando el precio de mercado es mayor que el precio umbral, CVMemin,habiendo factores fijos es perfectamente posible que la firma obtenga beneficio negativo a partirde su oferta positiva. Para ello, basta con que el precio de mercado este por debajo del mınimocosto medio, pero sobre el mınimo costo variable medio. La Figura 61 es ilustrativa.

144


Figura 61: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2)

p∗1

p∗2

p∗3

p∗4

y∗3

CVMe

CMeCPCMgCP

y∗2 y∗1

En la figura, si el precio de mercado es p∗1, la oferta serıa y∗1 y el beneficio positivo; si el

precio es p∗2, la oferta es y∗

2y el beneficio cero. Si el precio es p∗

3, la oferta serıa y∗

3y el

beneficio negativo. Si el precio es p∗4, la oferta serıa cero (y∗

4= 0) y el beneficio −CF .

Nota. 7.2 Los precios umbral que hemos presentado dependen, obviamente, de cada firma. Esindicativo de cuanto esta “puede soportar” caıdas en el precio de mercado, y por tanto, encierta medida, del nivel de eficiencia de la firma: mientras mas bajo el precio umbral, la firmapuede “sobrevivir a mayores caıdas de los precios de mercado”.

Nota. 7.3 En todo lo anterior hemos supuesto que los costos marginales son siempre crecien-tes, con lo cual garantizamos que la interseccion del costo marginal con los costos medios se daen solo un punto. Sin embargo, si fuera el caso que los costos marginales tuvieran una partecreciente y otra decreciente, el analisis anterior se restringe a considerar solo la rama crecientede los mismos. En efecto, la condicion de segundo orden de maximizacion de beneficio implicaque la segunda derivada del beneficio debe ser negativa, es decir,

∂2π

∂y2≤ 0 ⇔ ∂2(p∗ · y − C(y))

∂y2≤ 0.

Sin embargo,∂2(p∗ · y − C(y))

∂y2= −∂CMg(y)

∂y.

Luego, la condicion de segundo orden implica que, ∂CMg(y)∂y debe ser positivo, es decir, el costo

marginal creciente. En general, en la mayorıa de los problemas que se tratan usualmente, loscostos marginales son crecientes en el nivel de produccion (por ejemplo, en presencia de retornosdecrecientes a escala)

145


Si en el mercado hay n ∈ N firmas, el procedimiento para calcular la oferta de la industriasigue la logica de lo desarrollado anteriormente: se procede con oferta para cada una en formaindividual, independientemente de las demas; la oferta de la industria es simplemente lasuma de las ofertas individuales. De esta manera, si para una firma i = 1, ..., n cualquiera, sucurva de oferta es Oi(p), la oferta de la industria sera:

O(p) =

n∑

i=1

Oi(p).

Ejemplo 7.1 Dada la funcion de produccion

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 ,donde 0 < α, β < 1 y a > 0, supongamos que el input 2 esta fijo, x. En tal caso, la funcion decostos se obtiene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın {w1 · x1 + w2 · x}s.a a · xα1 · xβ = y.

De las restricciones se tiene que

x1(w, y) =

(1

axβ

) 1α

· y 1α ,

y luego la funcion de costos es:

C(w, y) = C = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1α + w2 · x.

Dado esto, se tiene lo siguiente:

(a.) Costos variables: CV = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1

α .

(b.) Costos fijos: CF = w2 · x.

(c.) Costos marginales: CMg = w1 ·(

1axβ

) 1α · 1

α · y 1−αα .

(d.) Costo medio: CMe = Cy = w1 ·

(1

axβ

) 1α · y 1−α

α + w2·xy .

(e.) Costo variable medio : CVMe = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1−α

α .

Para determinar el precio y la cantidad umbral que nos permite definir la curva de oferta,debemos resolver la siguiente ecuacion:

CVMe(y) = CMg(y),

la cual se debe resolver en la parte creciente de la curva de costos marginales. Para determi-nar donde los costos marginales son crecientes (respecto del nivel de produccion obviamente)debemos considerar la derivada del mismo y ver donde es positiva. En nuestro problema,

146


∂CMg

∂y= w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· 1− α

α· y 1−α

α−1,

y, puesto que 0 < α < 1, se tiene que ∂CMg∂y es siempre positiva, es decir, los costos marginales

son siempre crecientes. Notar que CMg(y = 0) = 0. Ahora bien, al igualar CVMe y CMg setiene que,

w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1−αα = w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Ası, ordenando los terminos y resolviendo la ecuacion se deduce que y = 0 de lo cual se tieneque p = CMg(y = 0) = 0. De esta manera, la curva de oferta de la firma en el corto plazo seobtiene de resolver la ecuacion:

p = CMg(y) ⇔ p = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Despejando y en funcion de p, se tiene que la curva de oferta de corto plazo es:

y(p) =

(α

w1

) α1−α

· (axβ)1α · p

α1−α .

Ejemplo 7.2 Supongamos que hay n ∈ N firmas que tienen la misma funcion de costos,C(y) = y2 +1.El costo marginal de cada una de ellas es CMg(y) = 2 · y, mientras que el costomedio variable es CVMe = y. Ya que el costo marginal es creciente y siempre mayor que elcosto medio variable, se tiene que la curva de oferta de cada una de las firmas se deduce de laexpresion p = CMg(y), es decir, p = 2 · y, de donde se tiene que la curva de oferta de cadafirma es

yi(p) =p

2, i = 1, ..., n.

Por lo tanto, la oferta de la industria es

Y (p) =

n∑

i=1

yi(p) = n · p2.

7.3. ¿Como se determina el precio de mercado?: analisis de equilibrio parcial

En todo lo anterior hemos supuesto que el precio de mercado es dado exogenamente ycon ello obtendremos la oferta de las firmas, y la industria, como ası la demanda del bien.Obviamente estas no tienen porque ser coincidentes: si el precio es “muy alto”, entonces laindustria tendra una oferta alta, pero seguramente la demanda sera baja. A priori, dentro detodas las opciones de precio, podrıa haber alguno donde efectivamente se igualen la oferta dela industria y la demanda del bien en cuestion. Este precio es muy importante en economıa y,de existir, recibe el nombre de precio de equilibrio en el mercado considerado.

Es importante insistir que a un precio dado, la oferta de la industria se obtiene de sumar lasofertas de cada una de las firmas al nivel del precio dado, las que suponemos estan maximizandoel beneficio a dicho nivel de precios. Por otro lado, la demanda de mercado se obtiene a partirde la maximizacion de utilidad de cada uno de los individuos (compradores) dado dicho nivel deprecios, que obviamente implica una restriccion en el presupuesto de los mismos. Ası, surge el

147


problema de buscar un precio para los bienes que sea compatible con los intereses contrapuestosde las firmas y de los consumidores. Por un lado, las firmas buscan maximizar sus beneficios que,como ya sabemos, son crecientes con el precio del producto, mientras que a los consumidoresles conviene (en principio) que los precios sean menores, por cuanto su nivel de satisfaccion(utilidad indirecta) es decreciente en el precio. Encontrar precios que hagan “compatibles losdeseos” de ambos tipos de agentes es el problema de la teorıa del equilibrio, a su vez partefundamental de la teorıa economica.

Para determinar el precio de equilibrio, existe una diferencia fundamental si el problemaconsiderado es de corto o largo plazo. En el corto plazo, ademas de eventualmente haberfactores que estan fijos, una condicion adicional importante es que el numero de firmas queparticipan en el mercado es constante. En el largo plazo, ademas de no existir factoresfijos, la cantidad de firmas que participan en el mercado es variable: el numero de firmasque sobreviven en el largo plazo es una cantidad que se obtiene de las condicionesdel mercado, no siendo exogeno como en el corto plazo. Este es el modelo de equilibriocon libre entrada.

En primer lugar consideremos una situacion de corto plazo y supongamos que la cantidadde firmas es n ∈ N. El analisis que sigue es similar si existen o no factores fijos. Supongamosentonces que la oferta de cada firma es Oi(p), con i = 1, ..., n y que la demanda de mercado esX(p). En tal caso, la oferta de mercado es,

O(p) =

n∑

i=1

Oi(p),

El precio de equilibrio en competencia perfecta se define como aquel que igualala oferta con la demanda de mercado, es decir, p∗ tal que

X(p∗) = O(p∗). (69)

Resolviendo la ecuacion (69) podemos encontramos el precio de equilibrio y, dado este,la oferta de cada firma, sus beneficios, la cantidad que se demanda del bien, etc.

Ejemplo 7.3 Supongamos que hay N ∈ N firmas, cada una de ellas con costos

Ci(y) =αi

2· y2,

con αi > 0 y tal que α1 < α2 < . . . < αN (la firma uno es la mas eficiente, la N la menoseficiente). La demanda de mercado por el bien que produce la industria es

X(p) = β · p−δ,

con β, δ > 0. Dado p, la oferta de la firma i = 1, . . . , N viene de la condicion p = CMgi(y),es decir,

p = αi · y ⇒ yi(p) =p

αi.

Note que al mismo precio, la firma mas eficiente ofrece mayor cantidad de producto. De loanterior, la oferta de la industria es

Y (p) =

N∑

i=1

p

αi= γ · p,

148


con

γ =

N∑

i=1

1

αi: constante.

Por lo tanto, el precio de equilibrio cumple que

γ · p = β · p−δ ⇒ p∗ =

(β

γ

) 11+δ

.

Con este, la oferta de cada firma en el equilibrio es

yi(p∗) =

p∗

αi,

y el beneficio en el equilibrio que obtiene la firma i = 1, . . . , N es

π∗i = p∗ · yi(p∗)− Ci(p∗) = p∗ · p

∗

αi− αi

2·(p∗

αi

)2

=p∗2

2 · αi.

Note, por ejemplo, que si β aumenta, entonces el precio de equilibrio tambien aumenta. Noteademas que mientras mas eficiente es la firma (menor α), mayor es su oferta de equilibrio,como ası el beneficio que obtiene. Finalmente, ya que γ crece con N (¿por que?), al aumentarel numero de firmas en el mercado, el precio de equilibrio es menor.

Para el modelo de largo plazo, ademas de asumir (i) que todos los factores son variables,suponemos que (ii) existe libertad de entrada - salida de firmas en el mercado y que (iii)cada una de ellas puede “copiar” las mejores practicas para producir (caso contrario, habrıarestricciones para producir). Dado esto, se tiene que:

a.- en el largo plazo, las firmas no pueden tener beneficio positivo, ya que, si fuerael caso, existira un incentivo para que otra entre al mercado, y con ello haga que losbeneficios de las que ya estaban sean menores (aumenta la oferta, luego cae el preciode equilibrio). De esta manera, entraran tantas firmas como sea necesario, hasta que elbeneficio de cada una de ellas sea nulo, situacion a partir de la cual ya no es atractiva laentrada.

b.- en el largo plazo “sobrevivira” aquella firma (o tipo de firma) mas eficienteen el sentido de sus costos. El hecho que una firma tenga menores costos que otra esciertamente una forma particular de caracterizar la eficiencia. Sin embargo, esta situa-cion no necesariamente se observa en forma estricta, sino mas bien que algunas firmaspueden ser mas eficientes que otras en ciertos rangos de producto, pero mas ineficientesen otros. En este contexto no es evidente como definir que una firma sea “mas eficienteque otra”. Sin embargo, del hecho que las firmas pueden entrar libremente al mercado, yque esto implica una caıda en el precio de equilibrio, lo que en definitiva es relevante paracaracterizar la oferta de equilibrio es el umbral de precio hasta el cual la(s) firma(s)pueden soportar tales disminuciones. Como sabemos, la oferta de una firma es positiva siel precio de mercado es mayor que su costo medio mınimo. Por lo tanto, el parametroque en definitiva caracteriza la eficiencia de una firma en el modelo de largo plazo es elmınimo costo medio.

149


c.- En el largo plazo, no existe impedimento para que una firma pueda copiar latecnologıa mas eficiente, por lo tanto, podemos asumir que todas ellas son identicas.De esta manera, la empresa modelo sobre la cual se define la estructura productiva delargo plazo es aquella que tiene, dentro de las opciones, el mas bajo de los costosmedios mınimos.

De lo anterior, se tiene que

(1) el precio de equilibrio en el largo plazo es el valor del menor de los costos mediosmınimos de las firmas que participan en el mercado, el cual es independiente de lademanda. En efecto, como todas las firmas son identicas, si el precio de equilibrio fuesemayor que CMmin, entonces cada una de las participantes tendrıa beneficio positivo,habiendo por tanto un incentivo para entrar al mercado; por el contrario, si precio deequilibrio es menor que CMmin, entonces la oferta de cada firma es cero, y por endeaquella de la industria: en tal caso, no habrıa equilibrio. Luego, la unica opcion es que elprecio de equilibrio sea

p∗ = CMmin.

Obviamente al l precio de equilibrio p∗ anterior, todas las firmas que participan en elmercado obtiene beneficio cero.

(2) el numero de firmas en equilibrio depende de la demanda que haya al precio deequilibrio: si el precio de equilibrio es p∗, y la demanda de mercado es X(p), entonces elnumero de firmas que hay en el equilibrio, N , cumple con

N · y∗ = X(p∗),

donde y∗ es el nivel de producto donde se minimiza el costo medio de la firma maseficiente63.

(3) si la demanda se “desplaza”, la oferta responde modificando el numero de firmas que hayen el mercado. Por lo tanto, al precio de equilibrio p∗ = CMmin, cualquier solicitud deproducto es cubierta simplemente agregando o eliminando firmas del mercado. De estamanera, al precio p∗, la oferta de la industria es perfectamente elastica, es decir,plana. Esto corresponde a decir que la industria en el largo plazo se comporta como situviese retornos constantes a escala (¿por que?).

Ejemplo 7.4 Un analisis de largo plazo.Supongamos que en el mercado hay dos tipos de firmas que producen barquillos. Un tipo de

firmas produce ocupando una tecnologıa que tiene costos C1(y) = y3 − 2y2 + 2y, mientras queel otro tipo de firmas produce con costos C2(y) = y3 − y2 + 3y. Suponiendo que la demanda demercado es X(p) = 15− p, la idea es determinar el numero de firmas que habra en el mercadoen una situacion de largo plazo y encontrar la oferta total de la industria de barquillos.

Para ello, en primer lugar notemos que para todo y, C2(y) > C1(y). En efecto, C2(y) −C1(y) = y3−y2+3y− [y3−2y2+2y] = y2+y > 0. En segundo lugar, sobreviven solo las firmas

63Es decir, el nivel de producto donde se igualan el costo marginal y el costo medio de la tecnologıa “maseficiente”.

150


del primer tipo. En este caso, el costo medio es CM1 = y2 − 2y+2 y el valor del mınimo costomedio se tiene cuando 2y− 2 = 0, es decir, en y = 1. Ası, el valor del mınimo costo medio esCM(y = 1) = 1− 2+2 = 1, que sera el precio de equilibrio de largo plazo, p∗ = 1. La oferta decada firma en ese nivel de precios es y∗ = 1, y la demanda de mercado es X(1) = 15− 1 = 14.Por lo tanto, en el largo plazo debe haber n = 14 firmas, pues n · y∗ = X(p∗).

8. Competencia imperfecta: monopolio

8.1. Introduccion

Monopolio significa “vendedor unico”. Sin embargo, que haya un unico oferente en el mer-cado no necesariamente significa que estemos en una situacion que usualmente identificamoscomo monopolica (no hay competencia perfecta). Por ejemplo, en el modelo con libre entrada yaestudiado, es perfectamente posible una situacion donde, por las caracterısticas de la demanda,el equilibrio de largo plazo es compatible con la existencia de una unica firma. Obviamente sila demanda cambia, otras firmas pueden entrar al mercado. Ademas, en tal caso, esta unicafirma que sobrevive no puede fijar el precio del producto a su antojo. Por lo tanto, la idea demonopolio es que la unica firma que esta en el mercado se puede mantener como tal (e.d., unica), a pesar de cambios que sufra la demanda. De esta manera, y entre otros, desde el momentoen que la entrada esta vedada para otros oferentes, la firma tiene poder de mercado, pudiendofijar el precio del producto a su arbitrio. De hecho, la cantidad de producto que esta firmapuede vender responde de manera continua al precio que cobra, cosa que no se tiene para firmastomadoras de precio: una firma competitiva venderıa cero si el precio que cobra es mayor queel precio de mercado, y se llevarıa toda la demanda si su precio es menor (situacion claramentediscontinua).

Las razones para que existan monopolios en un determinado mercado pueden ser varias. Porun lado, razones de tipo legal (o por decretos): la autoridad pertinente confiere el exclusivoderecho de produccion (y/o venta) de cierto producto a una determinada firma64. Otra razonpor la cual podrıan existir monopolios es debido a la existencia de patentes (mas generalmente,reglas sobre propiedad intelectual) que delimitan la produccion a determinadas firmas (o lafirma) que cumplen con el requisito. Un caso tıpico se da en la industria farmaceutica, dondepor un periodo de tiempo (no menos de 10 anos), la firma que patenta determinada droga,tiene el derecho exclusivo para producirla.

Otra posibilidad es que una determinada firma posea costos marginales decrecientes, esdecir, retornos crecientes a escala en la produccion, siendo en tal caso un monopolio naturalen el bien o servicio. Ejemplo de ello son algunas firmas servicios basicos, como agua potable,electricidad o gas natural.

En rigor, para que exista un monopolio necesariamente deben existir barreras a la entradade potenciales competidores pues, en caso contrario, dado que las firmas monopolicas tienenbeneficio positivo en el largo plazo (tal como veremos), habrıa un incentivo para que nuevasfirmas entraran al mercado, con lo cual, la estructura de monopolio deja de tener sentido. De loanterior, estas barreras pueden ser legales, explicadas por el tipo de tecnologıa de produccion(monopolio natural), por la existencia de altos costos fijos para producir, etc.

64A modo de ejemplo, recordar el estanco del tabaco que Diego Portales tuvo a mediados del siglo XIX.

151


8.2. Maximizacion del beneficio de un monopolio debil

Como cualquier firma, el monopolio tiene como objetivo la maximizacion del beneficio.Para plantear el problema del monopolio, supongamos que los consumidores son representadospor una funcion de demanda de mercado, X(p). Una diferencia fundamental con una firmatomadora de precios, es que la demanda que enfrenta el monopolio es continua y, dehecho, igual a la demanda de mercado: al ser el unico productor, siempre podra fabricar lacantidad de producto que demande el mercado, al precio que fije. Para comenzar el analisis,(i) supondremos que el precio que cobra por el bien que produce es el mismo porcada unidad que vende y, por otro lado, (ii) que a cobra identico a cada individuo. Mas adelante consideraremos situaciones mas generales. Bajo estos supuestos, se dice que elmonopolio es debil.

Definicion 8.1 Monopolio debilDiremos que un monopolio es debil si el precio cobrado por unidad es el mismo para todas

las unidades que ofrece, y que este es cobrado indistintamente del comprador.

A diferencia de una firma que actua competitivamente, el precio es ahora una variablede decision de la firma. Notemos ahora lo siguiente: como el monopolio es la unica firma queproduce el producto, al tener el control del precio, en forma equivalente tiene el control de lacantidad que produce, debido a la relacion precio - cantidad dada por la funcion de demandade mercado, X(p). De esta manera, la variable de decision de la firma monopolica puede ser,equivalentemente, el precio que cobra o la cantidad que produce.

Si por ejemplo tomara como variable de decision el precio de venta del producto, entoncesqueda fijada la demanda (igual a la oferta de la firma), X(p); si la variable de decision es lo quedesea vender, y, entonces el precio que debe cobrar para vender dicha cantidad es la demandainversa en la cantidad, es decir,

p(y) = X−1(y).

Si la funcion de costos del monopolio es C(y), el problema de maximizacion del beneficio delmonopolio se puede plantear de dos maneras equivalentes: (i) por un lado buscar la cantidadde producto que maximice su beneficio o ii) elegir el precio del bien que lo lleve a la situacionde maximo beneficio. Visto por el lado de las cantidades, el monopolio resuelve entonces elsiguiente problema de optimizacion:

maxy

X−1(y) · y − C(y). (70)

Equivalentemente, visto por el lado del precio, el problema del monopolio es

maxp

p ·X(p)− C(X(p)). (71)

Siguiendo el enfoque de cantidades, definamos la funcion de ingreso del monopolio como

I(y) = p(y) · y = X−1(y) · y.

Dado esto, condicional al nivel de producto y, el beneficio de la firma es

π(y) = I(y)− C(y),

152


y luego, la condicion de optimalidad de primer orden del problema (70) es

∂π(y)

∂y= 0 ⇔ ∂I(y)

∂y− ∂C(y)

∂y= 0 ⇔ ∂I(y)

∂y=∂C(y)

∂y, (72)

es decir, en el optimo, el ingreso marginal es igual al costo marginal.

Nota. 8.1 La regla “ingreso marginal = costo marginal” tambien se tiene en competenciaperfecta. En dicho caso, el ingreso marginal es el precio de mercado del producto. Ahora, elingreso marginal es

IMg(y) =∂I(y)

∂y=∂(X−1(y) · y)

∂y= X−1(y) + y · ∂X

−1(y)

∂y.

De hecho que p(y) = X−1(y) es decreciente en y (si aumenta y, para poder venderlo se debe

bajar el precio)65, se concluye ∂X−1(y)∂y < 0, por lo cual

IMg(y) < X−1(y),

es decir, que la curva de ingreso marginal esta por debajo de la curva de demanda66.

Nota. 8.2 Interpretemos la condicion de optimalidad del problema (70). Para ellos, denotemosp(y) = X−1(y), es decir, el precio que se debe cobrar para vender y unidades del producto. Lacondicion de optimalidad es

p(y) + p′(y) · y = C ′(y) = CMg(y), (73)

Supongamos entonces que el precio optimo cobrado es pm, y que a dicho precio el monopolioproduce ym unidades de producto. Si decide aumentar la produccion en una unidad, el costoadicional es C ′(ym) = CMg(ym), y por ende, el “beneficio extra” que obtendrıa de tal aumentoes

p(ym + 1) · (ym + 1)− p(ym) · ym = ym · (p(ym + 1)− p(ym)) + p(ym + 1).

Ahora bien, del hecho que p(ym + 1)− p(ym) ∼ p′(ym) y p(ym + 1) ∼ pm, el beneficio extrase aproxima entonces por

p′(ym) · ym + pm,

el cual, para que no hayan incentivos al cambio, debe coincidir con el costo de la unidad extra,que es precisamente la condicion (73).

Visto por el lado de los precios, la condicion de optimalidad del problema (71) es (regla delproducto y regla de la cadena)

p · ∂X(p)

∂p+X(p)− CMg(X(p)) · ∂X(p)

∂p= 0. (74)

Ordenando lo terminos, dejando a un lado el costo marginal, (74) se puede re-escribir como

65Recordar que p(y) = X−1(y) es el precio que se debe cobrar para vender exactamente y unidades delproducto; luego, si deseamos vender mas, el precio debe bajar.

66Geometricamente, el grafo de X(p) en funcion de p es el mismo, cambiando los ejes, que el grafo de X−1(y)en funcion de y: una es la funcion inversa de la otra.

153


CMg(X(p)) = p ·

1 +

X(p)

p· 1∂X(p)∂p

= p ·

(1 +

1

ǫp,X(p)

), (75)

donde

ǫp,X(p) =∂X(p)

∂p· p

X(p): elasticidad precio de la demanda . (76)

Ya que la elasticidad precio de la demanda es n¯egativa67, y puesto que el costo marginal es

positivo, de (74) se deduce el monopolio fija el precio donde se cumple que

1 +1

ǫp,X(p)> 0 ⇒ ǫp,X(p) < −1,

es decir, fija el precio en la parte elastica de la demanda. ¿Como se interpreta esto? SI lademanda fuera inelatica en todas partes (es decir, con elasticidad precio de la demanda menorque uno en modulo, esto para todo precio), entonces la firma tiene incentivos a aumentar acobrar cada vez mas, de modo que la solucion del problema serıa no acotada: al aumentar elprecio, la demanda no cae lo suficiente (es inelastica), de modo que el ingreso se incrementa;como el costo disminuye, el beneficio que obtiene la firma se incrementa debido a dicho aumentoen el precio. En definitiva, la condicion de que la firma fija el precio en la parte elastica dela curva de demanda es simplemente para obtener soluciones acotadas para el problema demaximizacion de beneficios.

Ejemplo 8.1 Supongamos que CMg(y) = c0 y que X(p) = p−δ, con δ > 0. En este caso,

ǫp,X(p) =∂X(p)

∂p· p

X(p)= −δ : elasticidad constante .

La condicion de optimalidad implica que en el precio optimo, pm, se cumple que

c0 = pm ·(1− 1

δ

)⇒ pm =

δ · c0δ − 1

. (77)

Si δ =∣∣ǫp,X(p)

∣∣ < 1, entonces pm segun lo anterior serıa negativo; pm segun (77) solotiene sentido cuando δ > 1 (demanda elastica). Pero, ¿que ocurre si aun ası δ < 1? En talcaso, volviendo directamente al problema de la firma, se tiene que

maxpp · p−δ − c0 ⇔ max

pp1−δ − c0. (78)

Si δ < 1, la solucion del problema (78) es, obviamente, pm = +∞. Por lo tanto, pm segun(77) minimiza la funcion objetivo en vez de maximizarla.

Ejemplo 8.2 Supongamos que un monopolio enfrenta la demanda X(p) = a − b · p y que sufuncion de costo es C(y) = 1/2 · y2. Dado un nivel de produccion y, el beneficio de la firma es

π(y) = (a/b− y/b) · y − 1/2y2.

Luego, la cantidad optima ofrecida viene de resolver π′(y) = 0, de lo cual ym = a2+b ; el

precio al cual ofrecera dicha cantidad es

67Se asume que bien es no Giffen: aumenta el precio, cae la demanda.

154


pm = X−1(ym) =a(1 + b)

b(2 + b).

De esta manera, si el monopolio es debil, cobra el mismo precio por cada unidad vendida.Luego, el ingreso obtenido en tal caso es

Im = pm · ym =a(1 + b)

b(2 + b)· a

2 + b=a2(1 + b)

b(2 + b)2,

siendo el beneficio resultante

πm =a2(1 + b/2)

b(2 + b)2.

De (75), si ǫp,X(p) es constante, lo que cobra el monopolio es una proporcion constante delcosto marginal en el nivel de oferta monopolica (solo bajo la hipotesis de elasticidad constante):

pm = γ · CMg(ym),

con

γ =1

1 + 1ǫp,X(p)

.

Como γ > 1 (¿por que?), el precio que cobra el monopolio es mayor que el costomarginal en su nivel de oferta. Esto evidentemente es una diferencia con las empresas compe-titivas, donde el precio era igual al costo marginal en el nivel de oferta. Mas aun, puesto queel precio cobrado por el monopolio es mayor que el costo marginal, la cantidad que ofreceal mercado, ym, necesariamente es menor a aquella que ofrecerıa si actuase comotomadora de precios. En efecto, como el precio cobrado es mas alto que el precio competiti-vo, si la empresa (vista ahora como una firma competitiva) cobrase ese precio monopolicosu oferta serıa mayor, por lo tanto, en una situacion monopolica se produce menos que en unasituacion competitiva y se cobra mas.

La conclusion anterior sigue siendo valida aun cuando la elasticidad precio de la demanda nosea constante. Para ver esto, de las condiciones de optimalidad del problema segun cantidades,se tenıa que la curva de ingreso marginal esta por debajo de la demanda. En el optimo paracompetencia perfecta, la condicion que determina el precio de equilibrio es oferta = demanda,es decir, costo marginal = demanda, en cambio, para el monopolio la condicion es ingresomarginal = costo marginal. Como la curva de ingreso marginal esta por debajo de la curvade demanda, el nivel de producto donde ambas curvas se intersectan esta a la izquierda delpunto donde se intersecta el costo marginal con la demanda. Luego, la oferta monopolica esmenor que si la firma fuera tomadora de precios. Para vender dicha cantidad, la firma debeobviamente cobrar mas. La Figura 62 ilustra lo anterior:

155


Figura 62: Cantidad producida y precio en Monopolio

pM

pC

yM yC

IMg

X(p)

CMg

En la figura, pc e yc denotan el precio y cantidades de producto resultantes de un intercambiocompetitivo, donde solo hay una firma: el precio de equilibrio esta en la curva de costomarginal y ademas se cubre toda la demanda a ese nivel de precios. Vista la curva de ingresomarginal en funcion del precio, se tiene que IMg(p) = p ·X ′(p)+X(p). Luego, como X ′(p)es negativo (la demanda es decreciente en el precio), necesariamente IMg(p) < X(p): lacurva de ingreso marginal esta por debajo de la curva de demanda. Luego, lainterseccion con el costo marginal se debe dar en un nivel de producto menor que aquelcompetitivo: ym. En consecuencia, en el optimo, el monopolio produce menos que si fueraconsiderado como una firma competitiva. ¿Cuanto cobra? En este caso, el precio (pm) estal que la demanda debe ser ym, es decir, X(pm) = ym, de lo cual se tiene que,

ym > yc.

¿Por que el monopolio no produce yc y cobra pc? Simplemente porque si cobrase pc yprodujera yc, el beneficio que obtendrıa no es el maximo que puede alcanzar. Por el contrario,si cobra pm y produce ym, su beneficio es el maximo que puede lograr. La Figura 63 ilustraeste hecho:

156


Figura 63: Beneficios del Monopolio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

pM

π

yM

CMe

IMg

X(p)

CMg

A partir de lo anterior, podemos plantear la siguiente interrogante: ya que el monopoliocobra mas y produce menos que lo que harıa si fuese tomadora de precios, ¿implica esto quela economıa, entendida como el conjunto de consumidores y productores, es perjudicado? Larespuesta no es obvia, por lo siguiente: si el monopolio tiene rentas, estas claramente pasan a susduenos, quienes ademas son consumidores. Ası, la existencia del monopolio tiene asociada unaredistribucion de riqueza. Esto por sı mismo no implica ineficiencia en el sentido del bienestar.El problema que existe es otro: debido al sobreprecio, existen potenciales consumidoresque ahora no puede comprar a los nuevos precios, cuestion que implica una perdida debienestar social, que no es ganancia para el monopolista. La ganancia del monopolista vienede la perdida del excedente del consumidor que tienen las personas que compran al nuevoprecio (los que estan dispuestos a pagar mas). Es entonces la exclusion de la demanda lo quedefine la perdida de bienestar. Para ilustrar geometricamente la perdida de bienestar que hemosdiscutido, consideremos la Figura 64 (hemos supuesto todo lineal por simplicidad).

157


Figura 64: Perdida de Eficiencia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxx

pM

pC

yM yC

X(p)

CMg

IMg

b

c

a

Si el precio cobrado fuera algo menor que pm (digamos, marginalmente menor), entonces

la demanda aumentarıa: mas gente puede acceder a los bienes. Para el monopolio, esta

disminucion en el precio implicarıa una perdida de ganancia (beneficio), pues en el punto

(ym, pm) esta maximizando beneficio. El valor de esta perdida es, aproximadamente, el

area del pequeno rectangulo de la figura: (precio - costo marginal) * cambio en la

demanda68. Si nuevamente consideramos otra pequena baja en el precio, el monopolio

tendra una perdida similar. Si continuamos bajando el precio hasta el valor pc, la suma de

todas estas pequenas perdidas sera el area del triangulo abc de la figura. Esta perdida del

monopolio es la ganancia que tendrıan los individuos producto de una baja en el precio.

Como en realidad el monopolio cobra pm y vende ym, todo lo anterior es ficticio y, por ende,

el area del triangulo representa la perdida de bienestar que buscabamos.

8.3. Discriminacion

Lo analizado en la seccion anterior considera que el problema del monopolio consiste endeterminar un precio optimo (y con ello una cantidad optima) que cobra (y ofrece) en elmercado, precio y cantidad que no depende de cada individuo en particular, sino mas bien dela demanda global de la economıa. Ademas, en el analisis anterior hemos supuesto que una

68Formalmente, la perdida del monopolio es igual a la diferencia de ingresos y costos que tiene en el nuevoescenario de precio - cantidad respecto de la situacion original. Si el precio es ahora ligeramente inferior a pm(digamos, p′), y la nueva oferta es y′ en vez de ym, entonces el nuevo beneficio es p′y′ − C(y′). Por lo tanto, elcambio en beneficio es ∆π = [p′y′ − C(y′)]− [pmym − C(ym)] = p′y′ − pmym − [C(y′)− C(ym)]. Pero pm ∼ p′,luego, aproximado el costo se tiene que C(y′) − C(ym) ∼ CMg(ym) · (y′ − ym). De esta manera, considerandolas aproximaciones anteriores (reemplacemos p′ por pm en la primera componente), se tiene que,

∆π ∼ pm · (y′ − ym)−CMg(ym) · (y′ − ym) = (pm − CMg(ym) · (y′ − ym)

que corresponde al area de la figura.

158


vez obtenido el precio optimo, cada unidad ofrecida se cobraba al mismo precio ya obtenido.En resumen, el monopolio debil no puede diferenciar a los individuos y, por otro lado,cobra linealmente la cantidad que vende a cada uno de ellos69.

La forma natural de generalizar el modelo anterior va por dos lados. En primer lugar,suponer que puede discriminar por cada individuo (o grupos de individuos), a los cualespodra ofrecer el producto a distinto precio segun sus caracterısticas. En segundo lugar, aplicaruna regla de precios no necesariamente lineal como en el caso anterior, es decir, que no nece-sariamente una determinada cantidad del producto ha de tener el mismo precio unitario queotra cantidad de producto que ofrezca.

Ejemplo 8.3 Considere las siguientes situaciones.

a.- Cuando un profesional (abogado, medico, ingeniero) cobra por sus servicios, eventual-mente discrimina por tipo de persona (o institucion), cobrando un precio segun una seriede parametros que caracterizan la demanda (nivel de urgencia, nivel de ingreso, simpatıa,etc). Ademas, el precio unitario cobrado no depende en forma lineal de la cantidad detiempo asignado al caso: se podrıa dar que al comienzo cobrase mas barato que al finaldel trabajo. Luego, su precio unitario por hora no es necesariamente lineal.

b.- Un segundo caso de discriminacion se tiene cuando el monopolio puede cobrar no lineal-mente en funcion de la cantidad que se compre, pero no puede discriminar segun el tipode comprador asociado. Por ejemplo, los descuentos por volumen que ofrece una tiendaobedecen a este tipo de comportamiento, ya que el precio unitario cambia segun la cantidadde producto que se compra, pero este precio es identico para cada individuo.

c.- Un cine que ofrece precios baratos a estudiantes y tercera edad y precios mas caros encaso contrario, esta haciendo una discriminacion de la demanda ya que la segmenta entres categorıas. La regla de precios en este caso es lineal, pues cobra lo mismo por cadaticket en cada sub - grupo de demanda (precio unitario intra - grupo constante).

Cuando un monopolio tiene la facultad de discriminar la oferta, ya sea en precio o cantidad,diremos que, a diferencia del caso anterior, se trata de un monopolio fuerte. Con esto, setiene la siguiente definicion:

Definicion 8.2 Diremos que un monopolio fuerte realiza discriminacion

a.- de primer grado si puede cargar precios unitarios distintos segun la cantidad vendiday segun el tipo de persona que compra (reglas de precios no lineales para cada individuoo grupos de individuos);

b.- de segundo grado si puede aplicar distintas reglas de precios unitarios segun la cantidadvendida, pero que dicha regla es la misma para cada individuo (reglas de precios no linealesidenticas para todos los individuos);

c.- de tercer grado si para ciertos grupos de individuos puede aplicar diversas reglas deprecios lineales, es decir, con valor unitario constante (reglas de precios lineales paracada individuo o grupo de individuos).

69Cobro lineal significa que si el precio optimo es pm entonces por vender y unidades cobra pm · y. En estecaso, cualquiera que sea la cantidad vendida, el precio unitario es el mismo.

159


El ejemplo del profesional y la manera en que asigna precios y cantidades ofrecidas reflejaun comportamiento discriminador de primer grado; el caso de la tienda que hace descuentospor volumen sin identificar al tipo que hace la compra es un ejemplo de discriminacion desegundo grado. Finalmente, el ejemplo del cine que puede aplicar reglas de precios distintas acada estrato de individuos, pero que una vez fijada la regla, el precio unitario cobrado a cadamiembro del sub-grupo es el mismo, es un ejemplo de discriminacion de tercer grado.

Claramente, cuando el monopolio puede conocer perfectamente nuestras preferencias (indi-vidualmente) y ofrecernos su producto en concordancia con este grado de conocimiento, cobran-do lo que estamos dispuestos a pagar por el mismo, esta en una situacion donde puede obtenerla mayor ganancia posible que podrıa obtener en su ejercicio. Si fuera que puede cobrar segunla cantidad vendida sin poder discriminar por individuo (discriminacion de segundo grado),sus restricciones son mayores que en el caso anterior, y por lo tanto el maximo beneficio quepuede obtener es menor que en el caso anterior. Finalmente, bajo el supuesto de discriminacionde tercer grado, la cantidad de restricciones que enfrenta el monopolio son mayores que en loscasos anteriores, por lo cual su maximo beneficio necesariamente sera menor. Note, ademas,que si el monopolio no puede discriminar (monopolio debil, caso analizado en seccion anterior),la firma se encuentra en una situacion mucho mas restrictiva que cualquiera de las tres yamencionadas, razon por la cual el maximo beneficio que podrıa obtener bajo ese esquema esclaramente menor.

Note finalmente que el monopolio debil es un caso particular de discriminacion de tercergrado, donde la demanda solo puede ser segmentada en una unica componente (X(p): demandatotal).

Ejemplo 8.4 Mas ejemplos de discriminacion.

a.- Primer grado: contratos especiales de firmas electricas con empresas, donde ademas dediscriminar por tipo de empresa, se cobra distinto por unidad consumida: sobre ciertosumbrales la electricidad es mas cara unitariamente que bajo dichos umbrales.

b.- Segundo grado: productos que son vendidos en paquetes de distintos tamanos, donde, porejemplo, el gramo cuesta mas caro en paquetes mas pequenos que en aquellos mas grandes.

c.- Tercer grado: happy hour en pubs; descuentos para las madres en el dıa de la madre.

Matematicamente, la discriminacion se trata segun la naturaleza del problema. En terminosgenerales, la idea es considerar a cada individuo (o grupo de individuos) como un unico mercado,y resolver el problema para cada uno de ellos. La restriccion es que finalmente el costo de lafirma es igual al costo de producir la suma de las ofertas individuales de cada sub-grupo. Elcaso mas frecuente (y simple) analizado en la literatura es aquel de tercer grado, que pasamosa detallar. Para el efecto, supongamos que la demanda de mercado X(p) se puede segmentaren n categorıas (sub-demandas) X1(p),X2(p), ...,Xn(p), de modo que,

X(p) =

n∑

i=1

Xi(p).

Como en la discriminacion de tercer grado la regla de precios es lineal, el problema delmonopolio consiste en buscar los precios pi que debera cobrar en cada sub-mercado con el

160


fin de maximizar el beneficio que obtiene de vender a cada uno de ellos, es decir, resolver elsiguiente problema de optimizacion:

maxp1,p2,...,pn

pi ·Xi(pi)− C

(n∑

i=1

Xi(pi)

),

donde C(·) es el costo de la firma. Al derivar c.r. a cada pi se obtiene un sistema de ecuacionesque nos permite encontrar el valor del precio y cantidad en cada sub-mercado.

Ejemplo 8.5 Supongamos que un monopolista enfrenta dos mercados cuyas curvas de deman-da son X1(p) = 100− p y X2(p) = 100− 2p (en otras palabras, pudo segmentar el mercado endos tipos de consumidores: aquellos definidos por el tipo de demanda anterior). Supongamosque el costo marginal del monopolio es 20 (constante). En tal caso, determinar la oferta delmonopolio considerando que puede discriminar y considerando que no puede discriminar entreambos mercados.

Solucion. Veamos cuando no puede discriminar. En tal caso, el precio que cobra es el mismopara ambas mercados. Luego, si el precio es p, la demanda total que tiene es

X(p) = X1(p) +X2(p) = 100 − p+ 100− 2p = 200− 3p.

Como CMg(y) = 20, el costo es C(y) = 20y + cte., donde cte es un valor indeterminado queno afectara el analisis que sigue. De esta manera, la demanda inversa es p = 200

3 − y3 y de

la igualdad ingreso marginal = costo marginal se tiene que 2003 − 2

3y = 2070. Con esto quedaym = 70 y pm = 130

3 .En caso de haber discriminacion, el problema de la firma es

maxp1,p2

p1X1(p1) + p2X2(p2)− C(X1(p1) +X2(p2)),

donde ahora las variables de decision son los precios que puede cobrar en ambos mercados.Antes solo tenıa una variable de decision (p), ahora son dos: p1 y p2 (o equivalentemente, lascantidades que decide ofrecer en ambos mercados). Derivando la expresion a anterior c.r. a p1y p2, igualando a cero y resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que, p1 = 60, p2 = 35,y1 = 40 e y2 = 30.

Queda propuesto determinar el beneficio que tiene la firma cuando puede discriminar ycuando no puede hacerlo. A priori, sin hacer ningun calculo, obviamente se deberıa obtenermas beneficio discriminando que no haciendolo (¿por que?).

8.4. Monopsonio

El problema del monopsonio es similar a aquel de monopolio, y se puede llevar a ese nivelde complejidad. Se dice que hay un monopsonio en el mercado de dedeterminado bien si existeun unico demandante por dicho bien. Esto aplica, por ejemplo, a situaciones donde el bien encuestion es muy especıfico a la produccion de cierta firma (que es la unica que lo demanda).En tal caso, siendo la unica demandante del bien en cuestion, la firma puede fijar el precio delmismo segun su conveniencia.

Para fijar ideas, supongamos que la tecnologıa de una firma es f(x1, x2) y que al precio w2,la oferta del bien dos es plana (perfectamente elastica), es decir, que a dicho precio se puede

70Recuerde que Ingreso =[

2003

− y3

]

· y, luego Ingreso Marginal = 2003

− 23y.

161


conseguir lo que se desee del mismo. Por el contrario, supongamos que la oferta del bien unotiene pendiente, es decir, que varıa segun el precio. Se asume que dicha oferta es crecientecon el precio propio; dado w1 ∈ R+, tal oferta esta dada por

xof1 (w1),

Por lo tanto, si la firma fija el precio w1, podra disponer de xof1 (w2) cantidad de dichofactor. Suponiendo que el precio de venta del producto que elabora es p, si la firma ocupase x2del bien dos y fijase el precio w1 como se ha indicado, el beneficio que obtendrıa es

p · f(xof1 (w1), x2)− w1 · xof1 (w1)− w2 · x2.Por lo tanto, condicional al hecho que p es exogeno a la firma (por ejemplo, cuando esta actua

en competencia perfecta en el mercado del producto), su problema de optimizacion consisteen elegir adecuadamente las cantidades w1 y x2 con el fin de maximizar el beneficio, es decir,resolver

maxw1,x2

p · f(xof1 (w1), x2)− w1 · xof1 (w1)− w2 · x2.

Con respecto al bien dos, la condicion de optimalidad implica que

p · ∂f∂x2

= w2,

es decir valor de producto marginal igual precio del factor. Sin embargo, c.r. al precio w1,derivando la funcion objetivo con respecto a dicha variable, se tiene que

p · ∂f∂x1

· ∂xof1 (w1)

∂w1−w1 ·

∂xof1 (w1)

∂w1− xof1 (w1) = 0. (79)

Ordenando los terminos en (79), se tiene que (similar a la condicion de optimalidad para elmonopolio):

p · ∂f∂x1

= w1 ·(1 +

1

ǫw1,x

of1

)(80)

donde ǫw1,x

of1

es la elasticidad precio de la oferta del insumo. Ası, la condicion (80) nos dice

que en el optimo, el valor del producto marginal del factor uno es igual al precio del mismo,corregido por el factor donde interviene el inverso de la elasticidad precio propio de la oferta dedicho factor. Notemos en este caso que dicha elasticidad es positiva (se trata de una oferta).

9. Oligopolio: introduccion general

9.1. Introduccion

El modelo competitivo y el modelo monopolico son casos extremos de lo que podemos llamarcompetitividad en el mercado. En el primer caso, las firmas no tienen injerencia en los precios(son tomadoras de precio), mientras que en el segundo, la unica firma que produce controlatodo el mercado y es hacedora de precios. En el primer caso, las decisiones individuales de lafirma se toman de manera independiente a las demas, siendo la unica relacion entre ambas

162


aquella dada por la condicion de equilibrio (oferta igual demanda). En el caso monopolico,existe un unico controlador71 que define precios y cantidades de producto.

Una situacion intermedia ocurre, por ejemplo, cuando en un mercado existen varias firmasque, intuitivamente, tienen algun poder de mercado. Para los efectos de nuestro analisis, estepoder de mercado se asociara con el hecho que las decisiones de una firma pueden afectar elbeneficio de las otras y viceversa, y que esto es sabido por las firmas. Esto se traduce en que lasmismas tienen un control parcial de los precios (y por ende de las cantidades ofrecidas), lo queclaramente es intermedio entre no tener control sobre el precio (competitivo) o tener controlabsoluto del mismo (monopolio). Esta es la situacion de un mercado oligopolico, donde lasfirmas con las caracterısticas anteriores se denominan oligopolios.

9.2. Cournot-Nash

Para fijar ideas, en lo que sigue vamos a suponer que en el mercado existen 2 firmas queproducen un producto similar en un determinado mercado. El analisis que sigue se puedefacilmente extrapolar al caso en que existen muchas firmas (digamos, n). Supongamos ademasque es conocida una demanda de mercado X(·) y que la funcion de costos de la firma i = 1, 2es Ci(y). En tal caso, si la firma i = 1, 2 decide producir yi, de la igualdad oferta demanda elprecio de venta del producto sera p tal que,

X(p) = y1 + y2,

es decir,

p = X−1(y1 + y2)

que es la demanda inversa en y1 + y2. Ası, dadas las decisiones de produccion anteriores, elbeneficio que obtiene cada firma es:

Π1 = X−1(y1 + y2) · y1 − C1(y1).

Π2 = X−1(y1 + y2) · y2 − C2(y2).

Notemos que el beneficio de la firma 1 depende de la decision de produccion y2 de la firma 2 yviceversa. Para hacer esto mas explıcito, denotemos el beneficio de la siguiente forma:

Π1(y1, y2) = X−1(y1 + y2) · y1 −C1(y1).

Π2(y1, y2) = X−1(y1 + y2) · y2 −C2(y2).

La Figura 65 ilustra lo anterior:

71Aun en el caso en que exista un monopolio compitiendo con firmas tomadoras de precio, donde este actuacomo lıder y las otras como seguidoras, caso que ya hemos analizado.

163


Figura 65: Oligopolio Cournot-Nash

p

p∗

y∗1 + y∗2 y

A partir de lo anterior, el problema obviamente consiste en especificar que haran las firmasen este contexto, es decir, cuales serıan las decisiones de produccion que las han de satisfaceren forma simultanea, lo que finalmente define un acuerdo entre ambas. Este problema, dado elcontexto en que las hemos colocado, no es un problema sencillo. En efecto, por su naturalezalas firmas son maximizadoras de beneficio y dado que cada una puede afectar a las otras, sipor alguna razon ellas se pusieran de acuerdo en algun nivel de produccion, entonces puedenexistir incentivos a cambiar el acuerdo de modo que se logre un mayor beneficio en desmedrode la otra.

A modo de ejemplo, supongamos que se ha acordado que el nivel de produccion es y1, y2,de modo que el beneficio que obtiene 1 es Π1(y1, y2) y el beneficio de la segunda es Π2(y1, y2).Notemos ahora que dado y2, la primera firma no necesariamente maximiza su beneficio en y1.De hecho, si denotamos por y∗1 el nivel de produccion de la firma 1 que implica maximo beneficio,si y1 < y∗1 entonces la firma 1 tiene incentivos a cambiar su acuerdo, aumentando la produccionde y1 a y∗1 . Con esto, obviamente, modificarıa los precios de venta del producto, bajando deX−1(y1 + y2) a X−1(y∗1 + y2). Si bien es cierto que en el nuevo escenario de produccion, laprimera firma aumentarıa sus beneficios (a pesar que los precios bajan), la segunda firmanecesariamente los disminuirıa si mantiene su nivel de produccion y2. Con esto se generaraun incentivo a no mantener el acuerdo de produccion, entrando de esta manera en una situacionde conflicto que puede derivar en cambios de oferta y precios sucesivos, donde finalmente ambaspueden salir perjudicadas al derivar en un nuevo acuerdo que tal vez sea menos beneficioso.

A partir de lo anterior, la pregunta natural es si existira algun nivel de produccion dondelas firmas no tengan incentivos a modificar su acuerdo. Veamos, en lo que sigue, como deberıaser tal punto, si es que existe.

Para el efecto, el concepto que se introduce es aquel de equilibrio de Nash para el oligopo-lio. Para definirlo, y llegar a nuestra respuesta, supongamos que la firma 2 decide producir y2.En tal caso, la firma 1 decidira producir aquella cantidad de producto que le entregue maximobeneficio, es decir, resolvera el problema:

maxy1

Π1(y1, y2) = maxy1

X−1(y1 + y2) · y1 − C1(y1).

164


Denotemos por y1 la solucion del problema anterior. En tal caso, se tiene que:

Π1(y1, y2) ≥ Π1(y1, y2), ∀ y1.Notemos ademas que y1 depende de y2. De hecho, esta dependencia define una curva, deno-

minada curva de reaccion o de mejor respuesta de la firma 1 en relacion a las decisionesde la firma 2.

La Figura 66 ilustra una curva de reaccion de la firma 1:

Figura 66: Curva de Reaccion de la Firma 1

y2

b

a y1

¿Que significa que el punto (a, b) este en la curva de reaccion de la firma 1? Significa que,si la empresa 2 decide producir y2 = b, entonces la mejor respuesta de la firma 1 es y1 = a,donde mejor respuesta significa aquel nivel de produccion que maximiza el beneficio de la firma1, dado el nivel de produccion de la firma 2. En forma analoga, si la firma 1 decidiera producir,por ejemplo, y1, la firma 2 buscara aquel nivel de produccion que maximice su beneficio, conlo cual queda definida la curva de reaccion de la firma 2. La Figura 67 ilustra esta curva:

165


Figura 67: Curva de Reaccion de la Firma 2

y2

d

c y1

Dibujemos ahora las dos curvas de reaccion en un solo grafico:

Figura 68: Ambas Curvas de Reaccion

y2

y2

y1 y1

y1(y2)

y2(y1)

En este caso, existe un punto (y1, y2) que esta en ambas curvas simultaneamente. En dichopunto, por definicion, se verifica que dado y1 la mejor respuesta para la firma 2 es y2 y, por otrolado, dado y2, la mejor respuesta de la firma 1 es precisamente y1. Este punto es un equilibriode Nash de las firmas: dados estos niveles de produccion, ninguna de las dos tiene incentivos acambiar, ya que de lo contrario se pueden perjudicar.

En general, dependiendo de como sean las curvas de reaccion, es posible que exista solo unpunto en comun entre ambas, que no existan puntos en comun o que existan muchos. En otraspalabras, para un problema de competencia general, puede existir solo un equilibrio de Nash,no existir o existir muchos. La Figura 69 ilustra estos casos:

166


Figura 69: Existencia y Unicidad de Equilibrio de Nash

Nash Unico No existe Nash Multiples Nash

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

Ejemplo 9.1 Supongamos que la demanda de mercado es X(p) = a − bp y que la funcion de

costo de la firma 1 es C1(y) = y2 mientras que aquel de la firma 2 es C2(y) =y2

2 . Determinarla curva de reaccion de la firma 1 y encontrar, si existen, el o los equilibrios de Nash en esteproblema.Solucion.

Dado y2, el problema de la firma 1 es encontrar y1 que resuelva maxy1

X−1(y1+y2)y1−C1(y1),

es decir:

maxy1

(a− y1 − y2

b· y1 − y21

).

Derivando c.r. a y1 e igualando a cero se tiene que:

a− y1 − y2b

+

(−1

b

)y1 − 2y1 = 0 ⇔ y1(y2) =

a− y22 + 2b

.

Para encontrar el(los) equilibrio(s) de Nash, debemos encontrar la otra curva de reaccion,que viene de resolver el problema de optimizacion:

maxy2

(a− y1 − y2

b· y2 −

y222

).

En tal caso, dado y1 se tiene que,

a− y1 − y2b

+−1

by2 − y2 = 0 ⇔ y2(y1) =

a− y12 + b

.

Luego, graficamente se tiene que:

167


a

a/(2 + 2b)

Nash

(1)(2)

En este caso, el equilibrio de Nash viene de resolver el sistema de ecuaciones:

y1 =a− y22 + 2b

.

y2 =a− y12 + b

,

cuya solucion es y1 =a(1+b)

(2+b)(2+2b)−1 e y2 =a

2+b −a(1+b)

(2+b)2(2+2b)−(2+b).

¿Que sucede si las firmas acuerdan producir una cantidad que no es su equilibrio de Nash?Como hemos visto, existiran incentivos para que las firmas rompan el acuerdo, llegando, even-tualmente despues de alguna batalla de precios o cantidades, a algun punto que sea equilibriode Nash (en tal caso no existirıan incentivos para romper el acuerdo) o seguir perpetuamenteen una dinamica que no converge.

Un punto importante que es necesario destacar, es que en un equilibrio de Nash, las firmas nonecesariamente maximizan su beneficio ante cualquier evento: la maximizacion es condicionala lo que la otra firma realiza. Si actuara monopolicamente, lo mas probable es que el beneficioque obtendrıa serıa mayor que aquel del escenario oligopolico. De esta manera, una idea queesta detras del concepto, es que el acuerdo de produccion Nash estarıa asociado a un problemade temor que las firmas tienen en relacion al dano que el otro nos podrıa producir, dados susincentivos a modificar los pactos realizados.

Un ejemplo clasico que ilustra esta situacion de incentivos y temores, y de como estos nospueden llevar a situaciones que resultan menos convenientes para ambos, se tiene en el conocidodilema del prisionero.

Ejemplo 9.2 Dilema del Prisionero.Dos individuos son arrestados por un supuesto delito y encerrados en celdas separadas. Si

ambos confiesan el delito, recibiran una pena de 5 meses. Si ambos no confiesan, la pena sera de2 meses para cada uno. Si uno de ellos confiesa y el otro no, aquel que confeso recibira unapena de 1 mes y el otro, por ademas mentir, recibira 10 meses. Vice versa, para el caso enque confiese el otro y el primero siga negando la culpa. La siguiente tabla, llamada matriz depagos, resume lo anterior:

Tipo 2C NC

Tipo 1C (-5,-5) (-1,-10)NC (-1,-10) (-2,-2)

168


En tal caso, el equilibrio de Nash en este problema es que ambos tipos confiesen, obteniendocomo castigo 5 meses de prision cada uno. En efecto, si por ejemplo el individuo 2 decide NC,entonces para el individuo 1 lo mejor que puede hacer es confesar (C) ya que obtiene solo 1mes. Si por el contrario el individuo 2 decide C, entonces para el individuo 1 lo mejor tambienes C, ya que dado y2 = C, en y1 = C obtiene el maximo de beneficio. Recıprocamente, para elindividuo 2 lo mejor es y2 = C (mismo razonamiento). Luego, ambos decidiran y1 = y2 = C,con lo cual obtienen 5 meses de prision. En este caso el equilibrio de Nash anterior no es lomejor que ellos podrıan haber logrado, ya que esto queda definido por la estrategia NC paraambos. Sin embargo, como acabamos de ver, esta estrategia es inestable en el sentido que cadauno de ellos tiene incentivos a cambiar su decision para mejorar. �

La solucion anterior se logra toda vez que se impone la condicion de que ambos individuosno cooperan entre sı: se ha supuesto que estan aislados. Es claro que si ellos son puestos en celdaconjunta, la solucion razonable serıa no confesar por lo cual logran solo 2 meses de carcel y no5 meses. En tal caso surge de manera natural la idea de coludirse para tomar una decisionconjunta. Volviendo al tema de las firmas, si este es el caso, lo mas probable es que ambaslogren mas beneficio coludiendose que no haciendolo.

Cuando existe colusion, el problema de optimizacion que se resuelve es:

maxy1,y2

X−1(y1 + y2)(y1 + y2)− C1(y1)− C2(y2)

es decir, un problema de maximizacion de beneficio conjunto. La solucion de este viene dederivar c.r. a y1 e y2, y resolver el sistema de ecuaciones que se genera. Esta solucion nonecesariamente coincide con aquella obtenida del equilibrio de Nash, ya que los problemas sondistintos. Lo que sı es cierto es que el beneficio conjunto es mayor que aquel que obtendrıandel equilibrio de Nash (suma de beneficios). Sin embargo, en este caso, nuevamente, existe elproblema de incentivos que hacen que la solucion encontrada sea inestable por la razones antesmencionadas. En los carteles (grupos de firmas coludidas) existen problemas de inestabilidadque implican ruptura de acuerdos en el tiempo.

Ejemplo 9.3 Del Ejemplo (9.1) calculemos la solucion cuando la firmas se coluden. En talcaso, el problema de optimizacion es

maxy1,y2

(a− y1 − y2

b

)· (y1 + y2)− y21 −

1

2y22.


(a/b) − (2/b)(y1 + y2)− 2y1 = 0.


(a/b)− (2/b)(y1 + y2)− y2 = 0

es decir,

a = (2 + 2b)y1 + 2y2, a = 2y1 + (2 + b)y2.

Resolviendo el sistema anterior, queda y1 =a

6+2b e y2 =a

3+b .Queda propuesto comparar los beneficios de ambas firmas en el escenario de colusion versus

aquel del equilibrio de Nash ya encontrado. Para fijar ideas, suponga que a = 12 y b = 1. �

169


9.3. Equilibrio de Stackelberg

En el modelo de oligopolio anterior, cada firma asume que las acciones de la otra son dadas.Sin embargo, se podrıa dar la situacion en que una firma no asume las acciones de la otracomo dadas, sino mas bien las reacciones como el dato relevante. En tal caso, se dice que elmodelo de Stackelberg del oligopolio. Este simple supuesto introduce complicaciones extrasal analisis, y permite modelar otras relaciones potenciales de los mercados.

Veamos que la diferencia conceptual de analisis, que parece muy sutıl, tiene importantesimplicancias practicas.

En primer lugar, establezcamos el modelo de Stackelberg suponiendo que la firma 2 conocela curva de reaccion de la firma 1, es decir, conoce y1(y2), y sobre la base de esto determinar lacantidad optima que debe producir. En tal caso, la firma 2 debe resolver el siguiente problemade optimizacion:

maxy2

X−1(y1(y2) + y2) · y2 − C2(y2),

cuya solucion nos entrega el valor de la cantidad de producto que la firma 2 ofrecerıa en funcionde las reacciones de la firma 1. En otras palabras, en este esquema la firma 2 actua como lıderal fijar su nivel optimo de produccion, mientras que la firma 1 actua como seguidora aldeterminar su nivel de produccion en funcion de las decisiones maximizadoras de la segunda.En efecto, supongamos que la firma 2 resuelve el problema anterior encontrando una soluciony∗∗2 . En tal caso, la produccion de la firma 1 queda automaticamente determinada al evaluarsu curva de reaccion en el valor anterior: y∗∗1 = y1(y

∗∗2 ).

Sin embargo, la forma anterior no es la unica manera en que ambas firmas podrıan definirsus relaciones de produccion. Por lo pronto, los roles podrıan cambiar y ahora la firma 1 serla lıder mientras que la firma 2 la seguidora. El problema que en tal caso resuelve la firma 1es similar al ya mencionado. Otra alternativa es que ambas firmas decidan ser seguidoras oque ambas decidan ser lıderes. Si ambas deciden ser seguidoras, asumiendo cada una su rol, elproblema que entonces se plantea es simplemente el de Cournot - Nash ya estudiado, razon porla cual podemos asumir que existe solucion (equilibrio de Nash) al problema72. Sin embargo,si ambas deciden ser lıderes, la situacion es algo mas compleja, quedando la solucion final (esdecir, la cantidad de producto ofrecida por cada una) indeterminada.

La solucion al primer (y segundo) caso, cuando una firma es lıder y la otra seguidora,se denomina equilibrio de Stackelberg del problema del oligopolio. En el caso que ambasdecidan ser seguidoras, la solucion se llama, como sabıamos, equilibrio de Nash (o Cournotsegun los autores)73. Ambos problemas pueden ser resueltos, encontrando de esta manera lascantidades de producto que una y otra firma deciden producir: en el primer caso se resuelve elsistema de ecuaciones que definen el equilibrio de Cournot - Nash mientras que en el segundocaso la firma lıder resuelve su problema de optimizacion obteniendo su nivel de produccion,con lo cual queda definido el nivel de producto de la firma seguidora al evaluar la curva dereaccion.

A partir de todo lo anterior, la pregunta fundamental que se plantea es determinar porque esquema lıder - seguidor optaran las firmas con el fin lograr un acuerdo de produc-

72Esto justifica la afirmacion de que el modelo de Cournot - Nash ya estudiado es un caso particular del modelode Stackelberg.

73Recordemos que si ambas firmas toman como dato las acciones de la otra (y no sus reacciones), entonces lasituacion es como ya habıa sido analizada: el problema es entonces buscar el equilibrio de Cournot - Nash parala situacion planteada

170


cion. Una vez dado el esquema, queda definido el nivel de producto de cada una de ellas eneste mercado, y por ende el precio final resultante. La respuesta a la interrogante dependera fi-nalmente del beneficio que puede lograr cada firma en los distintos escenarios lıder - seguidosposibles: si ambas deciden ser seguidoras o una de ellas lıder y la otra seguidora, el problema engeneral se puede resolver; si ambas deciden ser lıderes podrıan haber indeterminaciones, desdeel punto de vista matematico, para encontrar la solucion al problema .

Finalmente, notemos que las decisiones de optar por ser lıder o seguidor dependen ademas,en terminos practicos, de una serie de condiciones del mercado y del comportamiento de cadauna de ellas: por ejemplo, el tamano relativo de las firmas, que tan creıbles son las amenazasde una u otra, la capacidad financiera de las firmas, etc., son condicionantes adicionales paraoptar por una u otra forma en este esquema de liderazgo.

171


Parte III

Apendice: Repaso Matematico

10. La derivada y conceptos relacionados

10.1. Conceptos Basicos

Dada una funcion f : Rn → R, recordemos que la derivada parcial c.r a la variable xj ,evaluada en x∗ = (x∗1, x

∗2, ..., x

∗n), se define como:

∂f(x∗)

∂xj= lım

hj→0

f(x∗1, x∗2, ..., x

∗j + hj , x

∗j+1, ..., x

∗n)− f(x∗1, x

∗2, ..., x

∗n)

hj,

es decir, la derivada de la funcion c.r a la variable indicada, asumiendo que todo el resto esconstante.

En forma analoga, la segunda derivada parcial c.r a las variables xi, xj (que denotaremos∂2f(x∗)∂xi∂xj

) se define como la derivada parcial c.r a xi de la derivada parcial c.r. a xj, es decir:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=∂[∂f(x∗)∂xj

]

∂xi.

En lo que sigue, asumiremos que las dobles derivadas parciales cruzadas son iguales74. Enotras palabras, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el siguiente supuesto:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=∂2f(x∗)

∂xj∂xi, ∀ i, j.

Dadas las dobles derivadas parciales, para una funcion, de varias variables, f : Rn → R, lasegunda derivada es una matriz de n×n, llamada matriz Hessiana, cuyos elementos consti-tuyentes son dichas dobles derivadas parciales. De esta manera, la matriz Hessiana correspondea:

H(f, x∗) =

∂2f(x∗)∂x1∂x1

∂2f(x∗)∂x1∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x1∂xn

∂2f(x∗)∂x2∂x1

∂2f(x∗)∂x2∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x2∂xn

......

. . ....

∂2f(x∗)∂xn∂x1

∂2f(x∗)∂xn∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂xn∂xn

Para el caso de una funcion f : R → R (es decir, de una variable), los conceptos son similaresa los anteriores, pero ahora considerando que solo tenemos una unica fuente de variacion (una

variable). Ası, la derivada en x∗, que sera denotada, indistintatemte, como f ′(x∗) o df(x∗)dx o

Df(x∗), y sera definida como:

f ′(x∗) = lımh→0

f(x∗ + h)− f(x∗)

h.

74En rigor, para ello basta que las funciones sean dos veces diferenciables y que las derivadas parciales seancontinuas, vistas como funcion. En lo que sigue asumiremos tales condiciones, que aunque algo tecnicas, severifican en la mayorıa de los casos de nuestro interes.

172


De manera natural se define la segunda derivada de una funcion de una variable como laderivada de la derivada. Ası tendremos que75:

f ′′(x∗) = lımh→0

f ′(x∗ + h)− f ′(x∗)

h.

Geometricamente, la primera derivada se puede interpretar como la pendiente de la rectatangente al grafico de la funcion en el punto (x∗, f(x∗)) tal como se ilustra en la siguienteFigura 70:

Figura 70: Interpretacion de la derivada como pendiente de la tangente en el punto

f(x∗)

x∗

m = f ′(x∗)

f

Puesto que la pendiente de la recta es m = f ′(x∗) y pasa por el punto (x∗, f(x∗)), laecuacion de la misma es,

y = f(x∗) + f ′(x∗) · (x− x∗).

Para una funcion de varias variables, la interpretacion geometrica de la derivada parcialcorresponde a la pendiente de las rectas tangentes segun la direccion de los ejes, tomadas enel plano tangente a la superficie que define la funcion. La siguiente figura es ilustrativa de loindicado:

75Para definir la derivada de orden n de una funcion de una variable, se procede en forma recursiva: definidala derivada de orden (n− 1), la derivada de orden n en un punto es simplemente la derivada de la derivada deorden (n− 1) en dicho punto. Es decir:

f (n)(x∗) =df (n−1)(x∗)

dx= lım

h→0

f (n−1)(x∗ + h)− f (n−1)(x∗)

h.

Para una funcion de varias variables f : Rn → R, definir una derivada de orden mayor a 2 es complejo. Noteque en dicho caso, la primera derivada es un vector y la segunda una matriz. Siguiendo con esa logica, la terceraderivada sera un cubo, la cuarta un hipercubo, etc. Muy complejo en notacion y difıcil de interpretar.

173


Figura 71: Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funcion de dos variables

x1

(1)

(x1, x2)

x2 (2)

d2

d1z = f(x1, x2)

Algunas reglas basicas de derivacion se resumen en la siguiente proposicion:

Proposicion 10.1 Dadas las funciones f1, f2 : Rn → R, y h1, h2 : R → R y dado α ∈ R setiene entonces lo siguiente:

a.- ∂[f1+αf2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

+ α∂f2(x)∂xi

; [h1 + αh2]′ (x) = h′1(x) + αh′2(x): regla de la suma y la

ponderacion.

b.- ∂[f1·f2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

· f2(x1, x2) + f1(x1, x2) · ∂f2(x)∂xi

; [h1(x) · h2(x)]′ = h′1(x) · h2(x) + h1(x) ·h′2(x): regla del producto.

c.-[h1(x)h2(x)

]′=

h2(x)·h′

1(x)−h1(x)·h′

2(x)

h22(x)

: regla del cuociente (analogo con derivadas parciales).

Tal vez la regla de derivacion mas importantes (y probablemente la mas dıficil de compren-der) es la llamada regla de la cadena. Para ilustrar supongamos que un cierto fenomenoeconomico esta modelado por una funcion f que depende de las variables x1, x2 y x3, las quea su vez dependen de las variables p1 y p2: digamos, xi = xi(p1, p2), i = 1, 2, 3. Sabemos queuna pequena variacion en x1 implica un cambio en la funcion, el cual puede ser estimado porla derivada parcial correspondiente. En efecto, si inicialmente los valores son x1, x2 y x3 dados,el valor de la funcion es f(x1, x2, x3). Si hay un cambio en δ ∈ R en la variable x1, el cambioen la funcion sera,

∆f = f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3),

y por lo tanto el cambio porcentual sera,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ.

174


Cuando δ es pequeno, este cambio porcentual es aproximadamente la derivada. Ası, tenemosla siguiente aproximacion:

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ≃ ∂f(x1, x2)

∂x1.

Luego,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃ δ · ∂f(x1, x2)∂x1

.

Notemos en consecuencia que cuando δ = 1 se tiene que,

f(x1 + 1, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃∂f(x1, x2)

∂x1

lo que justifica el uso de la derivada para medir lo que en economıa denominamos el cambiomarginal: como cambia el valor de la funcion cuando una de sus variables aumenta en unaunidad.

De todo lo anterior, ademas de la interpretacion de marginalidad, lo relevante es que uncambio en una de las variables xi se puede estimar solo por la derivada parcial correspondiente.Sin embargo, dada la dependencia de las variables en p1, p2, la pregunta que surge ahora essobre el efecto en la funcion que tiene un cambio en alguna de estas variables. Vamos por partes.Si p1 cambia en δ, entonces por un lado se veran afectadas las tres variables x1, x2, x2. El efectoen estas se puede estimar por las derivadas parciales:

∂xi(p1, p2)

∂p1≡ ∂xi∂p1

, i = 1, 2, 3.

Pero, por otro lado, un cambio en las variables xi implica cambios en la funcion, que puedenser estimados por,

∂f(x1, x2, x3)

∂xi, i = 1, 2, 3.

Lo que la regla de la cadena establece es que el cambio en la funcion, dado un cambio enp1, es simplemente la suma ponderada de todos los cambios anteriores:

∂f(x1, x2, x3)

∂p1=∂f(x1, x2, x3)

∂x1· ∂x1∂p1

+∂f(x1, x2, x3)

∂x2· ∂x2∂p1

+∂f(x1, x2, x3)

∂x3· ∂x3∂p1

:

Es decir, un cambio en la funcion, dado cambio en p1, es igual a suma de cambios en la funcion,dados los cambios en las variables xi (las derivadas parciales

∂f∂xi

) por el cambio en las variables

xi, dados los cambios en p1 (las derivadas parciales ∂xi∂p1

).

Esta es una regla de derivacion muy importante. El siguiente ejemplo ilustra una aplicacion.

Ejemplo 10.1 Dada una funcion de dos variables f(x1, x2), consideremos todos los puntosx1, x2 tales que f(x1, x2) = α, con α constante. En este caso, esta definida una relacion implıcitaentre x1 y x2, que se puede obtener de despejar x2 en funcion de x1 de la igualdad anterior.Denotemos dicha relacion como x2 = x2(x1). Luego, la expresion funcional se puede reescribircomo:

175


f(x1, x2(x1)) = α.

Derivemos lo anterior con respecto a x1. Ası, aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

∂f(x1, x2(x1))

∂x1=∂f(x1, x2(x1))

∂x1· ∂x1∂x1

+∂f(x1, x2(x1))

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1=

∂α

∂x1= 0

pues α no depende de x1. Considerando que ∂x1∂x1

= 1 y despejando de lo anterior, se tiene que

∂x2(x1)

∂x1= −

[∂f(x1,x2(x1))

∂x1

∂f(x1,x2(x1))∂x2

].

Ejercicio 10.1 Suponga que f(x1, x2) = xa1 · xb2.

a.- Despeje x2 en funcion de x1 a partir de la igualdad f(x1, x2) = α. Derive la expresionresultante en funcion de x1.

b.- Aplique lo visto en el ejemplo para calcular la derivada y compruebe que coincide con loanterior.

10.2. El estudio del crecimiento

Una aplicacion importante de las derivadas se relaciona con el estudio de crecimiento (odecrecimiento) de las funciones. Recordemos que una funcion f : R → R es creciente si y solosi,

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),

es decir, si aumenta la variable, la funcion o bien aumenta o se mantiene, nunca disminuye. Sifuera que aumentos estrictos en la variables implican aumentos estrictos en la funcion, se diceque esta es estrictamente creciente:

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) < f(y).

La Figura 72 ilustra la diferencia entre una funcion creciente y una estrictamente creciente:

Figura 72: Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes

Creciente Estrictamente CrecienteEstrictamente CrecienteEstrictamente Creciente

(1)(2)

(3)

(4)

A partir de lo anterior, se tiene la siguiente caracterizacion de una funcion creciente (dife-renciable) en terminos de las derivadas:

176


Proposicion 10.2 Una funcion f : R → R es creciente si y solo si f ′(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Masaun, la funcion es estrictamente creciente si y solo si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ R.

Que la derivada sea positiva, significa que un cambio positivo en x (es decir, un aumento)implica un cambio positivo en la funcion (derivada positiva); luego, la funcion crece cuando xcrece. Por el contrario, un cambio negativo en x (es decir, una disminucion) implica un cambionegativo en la funcion (para que el cuociente que define la derivada sea positivo), luego lafuncion disminuye si x lo hace, es decir, lo que equivale a decir que la funcion es creciente.

Para el caso de una funcion de varias variables, que una derivada parcial sea positivasignifica que, mantiendo constante el resto de las variables, la funcion es creciente c.r a aquellacon respecto a la cual se realiza la derivacion.

Finalmente, en forma simetrica al resultado anterior se tiene una caracterizacion de lasfunciones decrecientes:

Una funcion f : R → R es decreciente, si y solo si, su derivada es negativa en todos lospuntos de su dominio.

Ahora bien, de la figura anterior notemos que aun cuando las funciones (2) y (3) soncrecientes, en el primer caso la derivada es creciente, mientras que para la funcion (3) suderivada es decreciente. Los graficos respectivos son los siguientes76:

76Para determinar si la derivada es creciente o decreciente utilizando solo el grafo de la funcion, basta ver comocambia la pendiente de la tangente a la curva. Imaginar que se esta esquiando en la curva y ver si el esquı seinclina hacia arriba (creciente) o hacia abajo (decreciente) en la medida que se avanza sobre el eje x. Si el esquı seinclina hacia arriba significa que la derivada es creciente, ya que la pendiente es creciente; por lo tanto es el casode una funcion cuya derivada es creciente. No confundir esto con que a su vez la funcion sea creciente o no: unafuncion puede tener derivada decreciente pero ella ser creciente. Un ejemplo de esto es f(x) = ln(x), x > 0: lafuncion es creciente (el logaritmo lo es), pero su derivada es f ′(x) = 1/x, que es decreciente.

177


Figura 73: Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes.

Funcion

(2)

(3)

Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente

(3)

(2)

Derivada

Este no es el caso, por ejemplo, de la funcion (4), ya que su deriva es creciente en un rango ydecreciente en otro. Las funciones que tienen, ya sea, derivada creciente o derivada decre-ciente en todo el rango de su dominio son fundamentales en economıa. Son las llamadasfunciones convexas (derivada creciente) o concavas (derivada decreciente). La definicion esun poco mas general que la caracterizacion anterior77.

10.3. Convexidad

En lo que sigue dedicaremos tiempo a estudiar el concepto convexidad (o concavidad) defunciones, que es fundamental en economıa.

Definicion 10.1 Dados x, y ∈ Rn, f : Rn → R y dado λ ∈ [0, 1] cualquiera, se tiene entonces

la siguiente definicion:

a.- Combinacion convexa de puntos. Una combinacion convexa de los puntos x e y escualquier valor de la forma λx+ (1− λ)y ∈ R

n.

77El concepto aplica, por ejemplo, a funciones de varias variables, a valores reales.

178


b.- Diremos que f es una funcion convexa si

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y).

c.- Diremos que f es una funcion concava si

f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1− λ)f(y).

El conjunto de todas combinaciones convexas de dos puntos x e y corresponde al segmentode lınea recta que une ambos puntos. De esta manera, un punto cualquiera de la combinacionconvexa de otros dos se puede entender como un valor promedio ponderado de los mismos,donde los extremos de estos promedios son simplemente x e y. Note que si λ = 1/2 es elpromedio simple; si λ = 0 corresponde a y mientras que si λ = 1 corresponde a x.

De esta manera, utilizando el concepto anterior, la funcion f(·) es convexa si evaluada enel promedio ponderado de dos puntos (f(λx + (1 − λ)y)), el resultado obtenido es menor queel promedio ponderado de los valores de la funcion (λf(x) + (1 − λ)f(y)). Para el caso de lasconcavas la situacion es la contraria: la funcion en la combinacion convexa es mayor que lacombinacion convexa de los valores de la funcion.

La Figura 74 ilustra el concepto de concavidad y convexidad utilizando la definicion anterior:

Figura 74: Concavidad y convexidad

e

d

c

b

x a y

En la figura, a = λx+(1−λ)y, λ ∈ [0, 1] (promedio ponderado de x e y); b = f(a) (valor dela funcion en el promedio), c = f(x), e = f(y), d = λc+ (1 − λ)e (promedio ponderado de losvalores de la funcion); como hay convexidad, se tiene que d ≥ b como se muestra en la figura.

Graficamente las funciones convexas pueden ser como aquella de la figura anterior. Sinembargo, la forma puede variar un poco, tal como se muestra en la Figura 75 que ilustra cuatrograficos de funciones convexas:

179


Figura 75: Funciones convexas

Una forma sencilla de caracterizar la convexidad de funciones es a traves de sus derivadas.Ya sabemos que para funciones de una variable, la convexidad (concavidad) se tiene cuandola primera derivada es creciente (decreciente). Pero, una funcion es creciente (decreciente) si ysolo si su derivada es positiva (negativa). Por lo tanto, una funcion sera convexa (concava) si ysolo si su derivada segunda (derivada de la derivada) es positiva (negativa). Esto se resume enla siguiente proposicion fundamental.

Proposicion 10.3 Una funcion dos veces diferenciable f : R → R es convexa (concava) si ysolo si f ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) para todo x en el dominio.

Para el caso de una funcion de varias variables, la caracterizacion en terminos de la segundasderivadas parciales es algo mas compleja de enunciar. De hecho, el resultado que se tiene esel siguiente: una funcion f : Rn → R es convexa, si y solo si, su matriz Hessiana es semi-definida positiva en todo el dominio. Esta condicion tecnica se tiene cuando, por ejemplo, losvalores propios de dicha matriz son mayores o iguales a cero. Un caso particular importante(dos variables) es el siguiente.

Proposicion 10.4 Dada una funcion f : R2 → R, se tiene que es convexa si y solo si

∂2f(x1, x2)

∂x21+∂2f(x1, x2)

∂x22≥ 0

y ademas

∂2f(x1, x2)

∂x21· ∂

2f(x1, x2)

∂x22−[∂2f(x1, x2)

∂x1∂x2

]2≥ 0.

Para el caso de las concavas, las condiciones son que la primera suma sea negativa y que lasegunda diferencia sea positiva.

Definicion 10.2 Dada una funcion f : Rn → R diremos que:

a.- La funcion es homogenea de grado k ∈ N, k 6= 1, si cumple que para todo t > 1

f(t · x) = tk · f(x).

180


b.- La funcion es homogenea de grado 1 si cumple que para todo t > 0

f(t · x) = t · f(x).

c.- La funcion es separable si existen n funciones fi : R → R tales que:

f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1) + f2(x2) + ...+ fn(xn).

Ejemplo 10.2 Sean α y β dos reales positivos. Dadas las siguientes funciones

i. f1(x1, x2) = xα1 + βxγ2 , α 6= γ

ii. f2(x1, x2) = xα1 + βxα2

iii. f3(x1, x2) = xα1 · xβ2iv. f4(x1, x2) = xα1 · x1−α

2

v. f5(x1, x2) = xα1 + x1−α2

se tiene que: f1 es separable; f2 es separable y homogenea de grado α; f3 no es separable peroes homogenea de grado α+ β; f4 es homogenea de grado 1; f5 es solo separable.

10.4. Optimizacion

Para terminar con esta introduccion matematica, vamos a establecer las condiciones deoptimalidad de un problema de optimizacion. En primer lugar, consideremos el caso simple deuna funcion f : R → R, la que deseamos optimizar sin restricciones. Para ello, previamentenecesitamos algunas definiciones basicas.

Definicion 10.3 Dada f : R → R, diremos que un punto x∗ es:

a.- un maximo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≥f(x), ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ).

b.- un maximo global de la funcion si f(x∗) ≥ f(x), para todo x ∈ R.

c.- un mınimo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≤f(x), ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ).

d.- un mınimo global de la funcion si f(x∗) ≤ f(x), para todo x ∈ R.

La diferencia entre local y global esta simplemente en que para el concepto local se exigela condicion solo en un entorno del punto, mientras que para el concepto global se pide paratodo el dominio de la funcion.

La Figura 76 ilustra los conceptos anteriores:

181


Figura 76: Mınimos y Maximos Locales y Globales (1)

a b c d e f g

En la figura, los puntos a, c, e, g son maximos locales, y los puntos b, d, f son mınimoslocales. De ellos, g es maximo global y b es mınimo global.

Para determinar que puntos son maximos o mınimos locales o globales de una funcion dada,se procede de la siguiente forma:

a.- Se encuentran todos los puntos que satisfacen la relacion

f ′(x) = 0.

Esta es la llamada condicion de optimalidad de primer orden o condicion necesariade optimalidad. Supongamos que los puntos candidatos son x1, ..., xk.

b.- Se evalua la segunda derivada en los puntos candidatos anteriores. Si ella es negativa enxi se tiene que dicho punto es un maximo local de la funcion; si la segunda derivada espositiva en xj se tiene que es un mınimo local de la funcion78.

c.- Para saber cual de ellos es el optimo global, se evalua la funcion para decidir.

Geometricamente la situacion es como sigue:

78En lo que sigue no vamos a considerar el caso en que la segunda derivada es nula en el punto candidato. Enrigor, existe una regla mas general que pueden revisar en cualquier libro de calculo.

182


Figura 77: Mınimos y Maximos Locales y Globales (2)

a b c d e f g

f ′ = 0; f ′′ > 0

f ′ = 0; f ′′ < 0

Una cuestion importante: notemos que si la funcion objetivo es convexa, entonces se tieneque f ′′(x) > 0 para todo x. Por lo tanto, cualquiera que sea el punto canditato que verifica lacondicion de primer orden, necesariamente sera un punto de mınimo local: la funcion convexano puede tener maximos locales pues nunca sera satisfecha la condicion de segundo orden. Masaun, se puede mostrar que una funcion convexa tiene un unico mınimo global, el cual, comosabemos, se encuentra a partir de las condiciones de primer orden. Analogo con las funcionesconcavas y los maximos. Esta es otra propiedad muy importante de las funciones concavas yconvexas.

Supongamos que ahora nos preocupa el problema de optimizar una funcion de varias varia-bles f : Rn → R. Para encontrar maximo y mınimos locales, el procedemiento es el mismo queantes, solo que ahora la primera derivada igual a cero se reemplaza por el gradiente igual a cero,es decir, que todas las derivadas parciales sean nulas (condicion de primer orden), mientras quela condicion de segundo orden corresponde a Hessiano definido positivo (mınimo) o Hessianodefinido negativo (maximo).

Sin embargo, si la funcion objetivo es convexa, al igual que en el caso de una variable, nose requiere de condiciones de segundo orden para decidir si el punto candidato es mınimo localo global: las funciones convexas tienen un unico punto que verifica las condiciones de primerorden y ese punto es mınimo global. Analogo con funciones concavas y maximos globales.

Siguiendo con esta lınea, lo que nos preocupa ahora es resolver un problema de optimizacion(maximizacion o minimizacion), pero considerando que existen restricciones sobre las variables,restricciones que seran resumidas en un conjunto S ⊆ R

n. Para simplificar el analisis, vamosa suponer que S esta definido por igualdades de funciones: supongamos dadas m funcioneshi : R

n → R, i = 1, ...,m, tales que,

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.

El problema que nos ocupa es entonces:

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.

El problema que nos ocupa es entonces:

183


{mın (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

Diremos que un punto que verifica las restricciones del problema (hi(x) = 0,∀i = 1, ...,m)es un punto factible del mismo. De esta manera, nuestro asunto consiste en encontrar, dentrode los puntos factibles, aquel que minimice (maximice) la funcion objetivo f . El problema esque no existe regla general que nos permita encontrar directamente los optimos globales de lafuncion, ası que solo esperamos disponer de un criterio que nos permita encontrar los optimoslocales de la misma, para despues analizarlos para determinar cual de ellos es global.

Para establecer las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden, vamos a intro-ducir el Lagrangeano del problema de optimizacion.

Definicion 10.4 Dado el problema de optimizacion,

{mın (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

definamos la funcion,

L : Rn × Rm → R

tal que,

L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x) +

m∑

i=1

λi · hi(x).

Esta funcion es el denominado Lagrangeano del problema de optimizacion.

Con lo anterior se tiene que bajo condiciones bastantes generales sobre la funcion, si x∗ esun punto mınimo (maximo) local de f sujeto a las restricciones hi(x) = 0, i = 1, ...,m, entoncesexisten valores λ1, λ2, ..., λm ∈ R tales que,

∂f(x∗)

∂xi+

m∑

j=1

λj∂hj(x

∗)

∂xi= 0, i = 1, ..., n,

es decir, el gradiente de la funcion objetivo y los gradientes de las restriccionesson linealmente dependientes en el punto en cuestion. Si a esto agregamos las restricciones delproblema, se tiene un sistema de n + m ecuaciones con n + m incognitas, el cual en teorıapodemos resolver.

Es importante senalar que cuando la funcion objetivo es convexa, las condiciones anterioresderivan en ecuaciones que permiten el punto de mınimo global de la misma sujeto a las restric-ciones del problema; por el contrario, si la funcion objetivo es concava dichas condiciones nospermiten encontrar el punto de maximo global de la misma sujeto a las restricciones.

En general, las condiciones de Lagrange son solo necesarias y en rigor, salvo el caso concavo- convexo, se requiere de condiciones de segundo orden para determinar si el punto candidatoes maximo o mınimo local.

184


En todo lo que sigue, supondremos que el problema de optimizacion planteado estal que con las condiciones de primer orden se encuentra directamente la solucion,sin necesidad de utilizar condiciones de segundo orden. Como se ha indicado, estees el caso de problemas de maximizacion con funciones objetivo concavas y deminimizacion con funciones objetivo convexas.

Ejemplo 10.3 a.- Dadas las funciones f1(x, y) = sen(a · x2 · y), f2(x, y) = [a · xr + b · yr]1r

se tiene que (verificar),

∂f1(x,y)∂x = 2 a x y cos[a x2 y]

∂2f1(x,y)∂x2 = 2 a y cos[a x2 y]− 4 a2 x2 y2 sen[a x2 y]

∂f2(x,y)∂x = a x(−1+r) · (axr + byr)−1+(1/r)

∂2f2(x,y)∂x2 = a2 · (−1 + 1/r)rx−2+2/r(axr + byr)−2+1/r + a(−1 + r)x−2+r(axr + byr)−1+1/r

∂2f2(x,y)∂x∂y = (ab)(−1 + 1/r)rx−1+ry−1+r(axr + byr)−2+(1/r)

b.- Dada la funcion f(x, y) = bx + x2 + cy − axy + 5y2, recordemos que las condicionesnecesarias de optimalidad son:

∂f(x, y)

∂x= 0,

∂f(x, y)

∂y= 0.

En este caso, el punto que satisface el sistema anterior para la funcion dada es el siguiente:

x∗ = 10b+ac−20+a2

e y∗ = ab+2c−20+a2

.

Finalmente, viendo el ejemplo 1.1.2, si fuera que 20−a2 ≥ 0, entonces el punto encontradoes un mınimo global de la funcion, ya que esta es convexa.

Para terminar con esta introduccion matematica, es necesario hacer la siguiente considera-cion muy importante. Supongamos que estamos interesados en resolver el siguiente problemade optimizacion:

{mın f(x)

s.a x ∈ S

es decir, maximizar la funcion sujeto a que la variable vive en S, que es un conjunto de restric-ciones dado. A modo de ejemplo, S puede representar restricciones presupuestarias, de capital,tecnologicas, etc. El punto es el siguiente: supongamos que hemos resuelto el problema anteriory hemos encontrado una solucion que denotamos xS. Luego, el valor de la funcion en dichopunto es f(xS), que por definicion de maximo satisface que

f(xS) ≥ f(x), ∀ x ∈ S.

¿Que sucede con el valor de la funcion si cambiamos la restriccion por T , de modo que T esmas grande que S ( es decir, S ⊆ T )? En tal caso, si denotamos por xT la nueva solucion, ya quexS ∈ T necesariamente se cumple que, f(xT ) ≥ f(xS). En otras palabras, al aumentar el tamanodel conjunto, necesariamente el valor de la funcion aumenta: en el peor caso se mantiene igual,nunca empeora. Esta es una cuestion muy importante. Para ilustrar sus consecuencias en la

185


vida cotidiana, imaginemos que para ir de vacaciones tenemos restricciones de dinero, digamos,solo podemos gastar 100 (lo que define la restriccion). Con esos 100, podemos pasarlo bienhaciendo lo que hagamos. Sin embargo, si fuera que ahora tenemos 150 (conjunto de restriccionmas grande, mas posibilidades), es claro que con la nueva restriccion podemos, en particular,hacer exactamente lo mismo que con los 100. Pero ahora se agregan nuevas posibilidades queantes no tenıamos, por lo tanto, en el peor caso lo pasaremos tan bien que cuando tenıamos100. En consecuencia, en el optimo de pasarlo bien, claramente con 150 lo pasaremos mejorque con 100.

Para el caso de minimizar una funcion, la situacion es exactamente la contraria, ya queahora el mınimo se escoge en un conjunto que es mas grande, lo que entrega mas posibilidadespara encontrar uno que otorge un valor mas pequeno. A modo de ejemplo, es claro que elindividuo de mas baja estatura del curso es al menos mas alto que el individuo mas bajo dela promocion, que a su vez en general es mas alto que el individuo mas bajo de la facultad,que a su vez, en general, sera mas alto que individuo mas bajo de Santiago, etc. Los valoresmınimos se hacen cada vez mas pequenos en la medida que el conjunto de restriccion se hacemas grande; caso contrario con los maximos.

11. Funciones Importantes

A continuacion vamos a estudiar algunas funciones que seran muy utiles al momento deestudiar el comportamiento de los consumidores y de las firmas. Siendo funciones de utilidaden el primer caso, y funciones de produccion en el segundo.

11.1. Homogeneas

Definicion 11.1 Diremos que una funcion de f es homogenea de grado n si para todo t > 0se cumple que:

f(tx1, tx2) = tnf(x1, x2).

En particular, la funcion de es homogenea de grado 1 (de ahora en adelante, simplementehomogenea) si,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).Derivando c.r. a t la funcion homogenea, se cumple que79:

df(tx1, tx2)

dt=∂f(tx1, tx2)

∂x1· x1 +

∂f(tx1, tx2)

∂x2· x2 = f(x1, x2).

Luego, evaluando en t = 1 se obtiene la llamada identidad de Euler para funcioneshomogeneas:

∂f(x1, x2)

∂x1· x1 +

∂f(x1, x2)

∂x2· x2 = f(x1, x2),

es decir, la funcion es igual a la suma de las derivadas parciales (para cada una de las variables)por la cantidad de estas. A modo de ejemplo, las siguientes funciones son homogeneas del gradoindicado:

79Aplicar la regla de la cadena.

186


1.- f(x1, x2) = a · x1 + b · x2: grado 1.

2.- f(x1, x2) = a · x1 · x2: grado 2.

3.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xα2 : grado α.

4.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xβ2 : no es homogenea de algun grado.

5.- f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 : homogenea de grado (α+ β).

11.2. Cobb-Douglas

Definicion 11.2 La funcion Cobb - Douglas se define como:

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 ,donde a, α, β son reales positivos. Note que esta funcion de produccion es homogenea de grado(α+ β).

Por otro lado,

∂f(x1, x2)

∂x1= aαxα−1

1 · xβ2 ,∂f(x1, x2)

∂x2= aβxα1 · xβ−1

2 .80

Ademas, se tiene que,

f(x1, x2)

x1=a · xα1 · xβ2

x1= a · xα−1

1 · xβ2 ,f(x1, x2)

x2= a · xα1 · xβ−1

2 .81

Dado un nivel de satifaccion u0 o producto y, las correspondientes curvas de indiferencia eisocuantas estan definidas por los puntos (x1, x2) tales que,

x2 =u

1β

0

(a · xα1 )1β

, x2 =y

1β

(a · xα1 )1β

.

cuyos graficos son una curva decreciente como se muestra en la Figura (78):

80Las cuales corresponderan a las Utilidades Marginales (ver Definicion (1.3) ) y a las Productividades Mar-ginales (ver Definicion (4.4)), del factor o bien 1 y 2, respectivamente.

81En teorıa de la firma esto se le conoce como Productividad Media del factor (ver Definicion (4.5)).

187


Figura 78: Curvas de Nivel de una funcion Cobb-Douglas

x2

x1 x1

y0y1

y2

x2

u0u1

u2

11.3. CES

Definicion 11.3 La funcion CES (del ingles, Constant Elasticity of Substitution) se definecomo,

f(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ ,

donde ρ ∈ R, no necesariamente positivo.

Notemos que,

∂f(x1, x2)

∂xi=

1

ρ· [c0 + c1x

ρ1 + c2x

ρ2]

1ρ−1 · ciρxρ−1

i = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ−1 · cixρ−1

i , i = 1, 2.

A partir de lo anterior,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −c1c2

(x1x2

)ρ−1

.

Si c0 = 0, la fiuncion es homogenea de grado 1.

11.4. Lineal

Definicion 11.4 La funcion lineal se define como:

f(x1, x2) = αx1 + βx2.

La cual es homogenea de grado uno. Ademas, esta es la funcion asociada a perfectos susti-tutos, ya sea por el lado del consumo, para el caso de los individuos, como para el lado de laproduccion, para el caso de las firmas.

Por otro lado, ∂f(x1,x2)∂x1

= α y ∂f(x1,x2)∂x2

= β, las cuales son constantes a diferencia de los

casos anteriores. Ademas, f(x1,x2)x1

= α + βx2

x1y f(x1,x2)

x2= β + αx1

x2. Finalmente, las curvas de

nivel (curvas de indiferencia e isocuantas) estan dadas por:

188


x2 =u0β

− αx1β, x2 =

y

β− αx1

β.

La Figura 79 ilustran lo anterior:

Figura 79: Curvas de Nivel de una funcion Lineal

x2

x1 x1

y0y1

y2

x2

u0u1

u2

11.5. Leontiev o de Proporciones Fijas

Definicion 11.5 La funcion Leontiev se define como:

f(x1, x2) = mın{αx1;βx2},

con α, β > 0. Este tipo de funcion se llama de proporciones fijas, ya que para generar una nivelde utilidad determinado, o producir una determinada unidad de producto se requiere de unaproporcion fija de bienes o factores, respectivamente. Esta funcion de produccion es homogeneade grado 1.

Los bienes o factores que participan en una funcion Leontiev se denominan perfectoscomplementos.

Las derivadas parciales no estan bien definidas en todos los puntos. Sin embargo, cuandotenga sentido, cuando cambia la cantidad de uso (ya sea en consumo o produccion), digamosde x1, el nivel de satisfaccion o de producto, no necesariamente aumenta y luego, en tal caso,∂f(x1,x2)

∂x1= 0

Las curvas de nivel para el caso de una funcion Leontiev, son como las senaladas en laFigura 80

189


Figura 80: Curvas de Nivel de una funcion Leontiev

x2

x1 x1

y0

y1

y2

x2

u0

u1

u2

190

resumen microeconomía

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