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Hernández-Guerrero, Danilo; Gutiérrez, Jorge 1

VIII Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2005

RESPUESTA DINÁMICA DE OSCILADORES SIMPLES CON COMPORTAMIENTO ELÁSTICO NO-LINEAL: IMPLICACIONES

PARA EL DISEÑO SISMO-RESISTENTE DE EDIFICIOS PREFABRICADOS DE CONCRETO

Danilo Hernández Guerrero 1, Jorge Gutiérrez 2

RESUMEN

Algunos códigos de diseño limitan el uso de sistemas de concreto prefabricado para edificios en regiones sísmicas mediante el enfoque de la emulación del concreto monolítico colado en obra, en lugar de usar las ventajas particulares del concreto prefabricado. Como una alternativa al paradigma del concreto monolítico, se plantea la posibilidad de utilizar sistemas de marcos de concreto prefabricado con conexiones que exhiban un comportamiento elástico no-lineal. El principal objetivo de este trabajo es determinar la viabilidad de tales sistemas mediante el análisis del comportamiento dinámico ante sismos del oscilador simple elástico no-lineal, con el propósito de evaluar sus principales características y diferencias con los modelos elasto-plásticos tradicionales.

En principio, el menor nivel de disipación de energía que presentan los sistemas elásticos no-lineales en comparación con sistemas elasto-plásticos equivalentes, debería redundar en mayores demandas de ductilidad para los primeros, y esto efectivamente es así para sistemas con períodos cortos. Se demuestra sin embargo, que para períodos medios y largos, las demandas de ductilidad de dos sistemas equivalentes, uno elástico no-lineal y el otro elasto-plástico, pueden ser muy similares o incluso iguales.

Para utilizar toda esta información en el diseño de edificios prefabricados cuyo comportamiento sea esencialmente elástico no-lineal, se propone modificar los espectros de diseño de ductilidad constante tradicionales, basados en el modelo elástico-perfectamente plástico, tales como los que presenta el Código Sísmico de Costa Rica 2002, mediante factores de amplificación γ. Para los diseños correspondientes a estas estructuras se puede utilizar el método tradicional de fuerzas, tal como lo hacen la mayoría de los códigos sísmicos vigentes. Sin embargo, la información obtenida es de gran utilidad cuando se desea aplicar conceptos de Ingeniería Sísmica Basada en Desempeño (ISBD). En este caso es preferible utilizar el método de diseño plástico basado en desplazamientos (DPBD), desarrollado por el segundo autor (Gutiérrez y Alpízar, 2004), pues conduce a diseños más racionales que satisfacen los objetivos de desempeño deseados. En ambos casos resultan de gran utilidad las ecuaciones obtenidas en el presente trabajo, utilizando métodos de regresión no-lineal a partir de los estudios estadísticos realizados.

1 Ingeniero de Diseño Estructural, Productos de Concreto S.A. Graduado del Programa de Posgrado en Ingeniería Civil del Sistema de Estudios de Posgrado de la Universidad de Costa Rica. 2 Profesor Catedrático del Programa de Posgrado en Ingeniería Civil y de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad de Costa Rica. Director del Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales, LANAMME.



ABSTRACT Some design codes limit the use of prefabricated concrete systems for buildings in seismic prone areas by enforcing the approach of monolithic cast in situ concrete emulation instead of taking advantage of the particular advantages of prefabricated concrete. As an alternative to the paradigm of monolithic concrete, there is the possibility of using prefabricated concrete frames with prestress joints, able to exhibit an elastic non-linear behavior. The main objective of this paper is to determine the viability of such systems through the study of the seismic dynamic response of an elastic non-linear simple oscillator, in order to evaluate its main characteristics and particular differences with traditional elasto-plastic models.

In principle, the reduced levels of energy dissipation of elastic non-linear systems as compared to equivalent elasto-plastic systems should lead to larger ductility demands for the former systems, and this is precisely the case for short period systems. However, it is demonstrated that, for intermediate and large period systems, the ductility demands of two equivalent systems, elastic non-linear and elasto-plastic, may be very similar, sometimes even equal.

To be able to use all this information in the design of prefabricated buildings exhibiting a basic non-linear elastic behavior, the paper proposes a method that modifies the constant ductility elastic-perfectly plastic design spectra, like the ones used in the Costa Rican Seismic Code – 2002, by means of amplification factors γ . For the design of these structures, a traditional force-based design may be used, as prescribed in most actual seismic codes. However, the information is most useful for Performance Based Earthquake Engineering. In this case, it is preferable to use the Displacement Based Plastic Design method developed by the second author (Gutiérrez y Alpízar, 2004), as it leads to more rational designs, able to satisfy the selected performance objectives. In both cases the equations presented in this paper, obtained through non-linear statistical regression analysis, are quite useful.

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de concreto prefabricado para edificios poseen considerables ventajas potenciales en términos de rapidez constructiva, eficiencia, ahorro en formaleta, alto control de calidad respecto a los sistemas de concreto colado en obra, así como la posibilidad de utilizar concretos de alto desempeño. Sin embargo, su uso en regiones de alta sismicidad ha sido limitado e incluso cuestionado, debido a la ausencia de suficiente información analítica y experimental de comportamiento, ductilidad y disipación de energía de sus conexiones, lo cual constituye el punto crítico de estos sistemas. Debido al pobre desempeño de estructuras prefabricadas mal diseñadas en terremotos pasados, como el caso de Armenia en 1988 y Northridge en 1994 (Hall, 1995), códigos de varios países han enfocado su filosofía en el diseño de sistemas prefabricados que emulen el comportamiento monolítico del concreto reforzado colado en obra, en lugar de usar las ventajas particulares del concreto prefabricado.

En nuestro país, la versión de 1986 del Código Sísmico de Costa Rica (CFIA, 1987), vigente hasta la promulgación de la actual versión 2002 (CFIA, 2003), presentaba disposiciones que planteaban varios inconvenientes para la competitividad de los sistemas prefabricados. Entre ellos:

- Se adoptaba implícitamente el paradigma de emulación del concreto monolítico colado en sitio para el diseño de edificios prefabricados. No se consideraba un enfoque basado en las características y posibilidades particulares del prefabricado.

- Se limitaba la clasificación estructural de edificios prefabricados a Tipo 3, el cual corresponde a fuerzas equivalentes de diseño para una capacidad de ductilidad moderada, no obstante se solicitaba detallado y confinamiento especial para garantizar el comportamiento dúctil de las uniones. Tal situación colocaba a



los sistemas prefabricados en desventaja respecto a sistemas equivalentes de concreto colado en sitio y de acero.

- Se exigía que las uniones dúctiles fueran de tipo húmedo, con concreto colado en sitio y acero de refuerzo convencional con traslape adecuado. Las uniones húmedas le restan eficiencia y velocidad de construcción a los sistemas prefabricados, además de que implican mayor mano de obra y formaleta en sitio, así como la elaboración de detalles complejos en muchos casos. Adicionalmente, se puede presumir que el concreto colado en sitio va a estar por lo general sometido a controles de calidad menos estrictos que el colado en una planta. En general, un sistema prefabricado es competitivo en tanto la mano de obra adicional de sitio sea mínima.

Como una alternativa al paradigma del concreto monolítico, se plantea la posibilidad de utilizar sistemas de marcos de concreto prefabricado cuyas conexiones no sean coladas en sitio (“juntas secas”) pero exhiban comportamiento no lineal, sea esto debido a plastificación o a comportamiento elástico no-lineal, capaces de funcionar como elementos “fusible” que restrinjan las fuerzas internas en la estructura permitiendo que los elementos prefabricados se mantengan en el rango elástico, de acuerdo al concepto fundamental del diseño por capacidad. En estos sistemas las vigas se conectan a columnas integrales de varios pisos por medio de cables de postensión (ver figura 1), los cuales se desadhieren a través del nudo y a una cierta distancia del mismo (Priestley y Tao, 1993). La propuesta de desadherir los cables de postensión se justifica en el hecho que estudios experimentales realizados en Estados Unidos (Cheok, 1991) utilizando especímenes de conexiones viga-columna con cables de postensión completamente adheridos, demostraron que si bien inicialmente estos desarrollaban ductilidades similares a conexiones monolíticas equivalentes, después de experimentar niveles moderados de ductilidad, sufrieron una excesiva degradación de rigidez para bajos desplazamientos.

Figura 1. Sistema prefabricado viga-columna con cables de postensión parcialmente desadheridos. (Priestley

y Tao, 1993)

Tal degradación es causada por una reducción de la fuerza efectiva de presfuerzo a través de la junta debido al grado de deformación inelástica del cable en la zona crítica. Este proceso se ilustra en el diagrama esfuerzo-deformación de la figura 2, donde el cable luego de las pérdidas del presfuerzo, tiene un esfuerzo fSi y una predeformación asociada. Durante la respuesta sísmica de menor intensidad, las variaciones del esfuerzo en el cable se mantienen dentro del rango elástico, y no se presenta pérdida del presfuerzo. Conforme la respuesta sísmica aumenta, el cable entra en el rango inelástico (punto 2) y al producirse la descarga de manera elástica y regresar a la deformación inicial, el esfuerzo efectivo se reduce a fS2 . Incluso, para una descarga a partir de una incursión más severa en el rango inelástico (punto 3), el presfuerzo puede perderse completamente. Esto claramente es indeseable, particularmente cuando



la transmisión del cortante debido a las cargas gravitaciones en la entrecara viga-columna depende del cortante por fricción inducido por la fuerza de presfuerzo.

Como consecuencia de este inconveniente se ha propuesto utilizar cables parcialmente desadheridos, con lo que se pueden lograr los siguientes beneficios (Priestley y Tao, 1993):

• Si la longitud en la cual se desadhiere el cable se calcula correctamente, el desplazamiento último

requerido puede alcanzarse sin exceder el límite de proporcionalidad del acero de presfuerzo. Consecuentemente, no hay pérdida de presfuerzo en la descarga para la ductilidad de diseño. Además, el efecto de cortante por fricción en la entrecara viga-columna se mantiene para toda la respuesta, lo cual hace que el soporte del cortante gravitacional no se vea menoscabado.

• La respuesta sería esencialmente elástica y no-lineal, como se muestra en la figura 3 . Esto tiene la gran ventaja de que al igual que el comportamiento elastoplástico de sistemas monolíticos convencionales, las fuerzas internas se redistribuyen, y se flexibiliza la estructura para sacarla del rango crítico del espectro, pero a diferencia del sistema convencional que sufre problemas de degradación de rigidez y daño acumulado, después del evento sísmico, la estructura retornaría a su posición original sin desplazamiento residual, y la rigidez inicial sería restituida. Tal comportamiento ha sido confirmado por pruebas experimentales (MacRae y Priestley, 1996).

• El diseño del nudo se simplifica grandemente, debido a que las fuerzas horizontales de cortante en el nudo se trasmiten completamente por medio de un puntal diagonal (figura 4), lo cual redunda en que no sería necesario el uso de refuerzo horizontal especial más allá de los aros convencionales.

Figura 2. Pérdida del presfuerzo debido a la respuesta inelástica (Priestley y Tao, 1993)

Figura 3. Modelo fuerza-desplazamiento para una conexión viga-columna prefabricada con cable de postensión parcialmente desadheridos (Priestley y Tao, 1993)



Figura 4. Distribución de fuerzas internas en conexión prefabricada con cables de postensión parcialmente

desadheridos (Priestley y Tao, 1993)

No obstante las ventajas señaladas anteriormente, el sistema tiene el inconveniente de que debido a su comportamiento elástico no-lineal, no puede disipar energía por ciclos histeréticos, característica de los modelos elastoplásticos tradicionales, lo que debería redundar entre otras cosas en un incremento en los desplazamientos laterales que experimenta la estructura. Para cuantificar este incremento y determinar la viabilidad estructural del sistema propuesto, en esta investigación se realizó un estudio comparativo entre la respuesta de osciladores simples de un grado de libertad con comportamiento elástico no-lineal y aquellos con comportamiento elastoplástico convencional, para una serie de registros sísmicos reales y un conjunto de variables de entrada, dando como resultado una serie de espectros de respuesta para diferentes parámetros. Estos resultados son importantes para el diseño de edificios prefabricados que utilicen este nuevo tipo de conexiones, pues como lo ha afirmado Priestley (1996), el enfoque más apropiado para estas estructuras es el método de diseño por desplazamientos en vez de fuerzas, pues estas logran un desempeño favorable ante desplazamientos relativos mayores que las estructuras de concreto reforzado. Bajo este enfoque se invierte la secuencia tradicional, pues el punto de inicio es la especificación del desplazamiento objetivo y el producto final es la resistencia requerida y la rigidez inicial de la estructura. No obstante, como el Código Sísmico de Costa Rica ofrece únicamente espectros desarrollados con base en osciladores simples con comportamiento elastoplástico, para proceder de esta forma con el diseño, es fundamental determinar la relación espectral teórica entre los desplazamientos de sistemas elastoplásticos y elásticos no-lineales, y poder predecir así el desplazamiento máximo de un sistema elástico no-lineal para un nivel de ductilidad dado. La razón para estudiar sistemas de un grado de libertad con comportamiento elástico no- lineal radica en que es preciso conocer de manera exhaustiva las propiedades y factores que afectan la respuesta sísmica de estos, antes de abordar el estudio de sistemas de varios grados de libertad, lo cual debe ser objeto de investigaciones posteriores.

Es importante mencionar que en el nuevo Código Sísmico de Costa Rica 2002 se amplían las posibilidades para la construcción de estructuras prefabricadas de concreto y se eliminan algunas de las limitaciones mencionadas que imponía la versión anterior.

En el artículo 12.4 del nuevo código, se distinguen cuatro tipos de conexiones posibles para las estructuras prefabricadas (las dos últimas son del interés particular de esta investigación):

“ - Conexiones secas: detalladas y realizadas para lograr la continuidad mediante perfiles

de acero embebidos o anclados en el concreto y en las cuales la conexión se completa en

sitio mediante pernos o soldadura.

- Conexiones húmedas: detalladas y realizadas para lograr la continuidad mediante la colocación de concreto en sitio y con barras de refuerzo, cables de postensión o una combinación de ambas.



- Conexiones postensadas: detalladas y realizadas para lograr la continuidad mediante barras o cables de postensión desadheridos que cruzan las juntas y someten las uniones a esfuerzos de compresión y que son capaces de mantener sus fuerzas de postensión durante las deformaciones causadas por el sismo.

- Conexiones híbridas: detalladas y realizadas para lograr la continuidad mediante refuerzo convencional con pequeñas zonas desadheridas y cables de postensión desadheridos que satisfagan los requisitos del inciso anterior, de manera que se logre una adecuada disipación de energía y una concentración de deformaciones en la cara de contacto entre las vigas y los elementos verticales.”

A pesar de que el nuevo código permite el uso de cualquiera de las conexiones anteriores como parte del sistema sismo-resistente de una estructura , lo cual implica un avance respecto al código anterior, en el capítulo 4 se limita la ductilidad global asignada a 1.5 para estos sistemas, a menos que el ingeniero responsable del diseño justifique un valor mayor con el respaldo de pruebas experimentales y cálculos analíticos. Por lo anterior, este trabajo pretende aportar parte del soporte analítico necesario para procurar un mayor respaldo y por ende competitividad en costos de las estructuras prefabricadas de concreto para edificios que utilicen conexiones con cables postensados.

ANTECEDENTES Los primeros estudios importantes relacionados con respuesta dinámica de osciladores simples de un grado de libertad (u.g.l.) fueron realizados por Housner (1959). Posteriormente Veletsos y Newmark (1960,1965) presentan trabajos donde se estudian los efectos del comportamiento inelástico en la respuesta sísmica de osciladores simples utilizando el método del espectro de respuesta. Destacan posteriormente los trabajos clásicos de Newmark y Hall (1969), con un aporte fundamental sobre espectros de respuesta para sistemas elásticos lineales y el de Ridell y Newmark (1979), en el cual generaron espectros inelásticos de ductilidad constante para 10 registros sísmicos, considerando los efectos del amortiguamiento y el comportamiento histerético.

Recientemente se han realizado múltiples estudios paramétricos de la respuesta inelástica de osciladores simples, abarcando gran cantidad de registros acelerográficos y diferentes condiciones de suelo. En particular al tema de la respuesta de sistemas con comportamiento elástico no-lineal, en el trabajo desarrollado por Veletsos (1969), se encuentra una primera referencia al estudio de sistemas elásticos bilineales en comparación con sistemas elastoplásticos. Veletsos obtuvo resultados para modelos sin amortiguamiento viscoso y utilizando excitaciones tipo pulso, así como la señal de El Centro de 1940 como único registro sísmico real, para diferentes factores de reducción de resistencia. Las razones más altas de deformación máxima de sistemas bilineales elásticos respecto a su contraparte elastoplástica fueron obtenidas en el rango de frecuencias altas. Durante las décadas posteriores no se cuenta con referencias de estudios realizados sobre la respuesta de sistemas elásticos no-lineales hasta que Priestley y Tao (1993) retoman el tema bajo el marco del estudio de la respuesta sísmica de marcos prefabricados de concreto con conexiones postensadas. En su trabajo, Priestley y Tao realizan un estudio analítico de la respuesta sísmica de estructuras con juntas con cables de postensión parcialmente desadheridos, utilizando cuatro modelos fuerza-desplazamiento: lineal elástico, bilineal elástico, bilineal elastoplástico y bilineal con degradación de rigidez; y seis registros sísmicos. También como parámetros del estudio usaron 5 períodos iniciales, un 5% de amortiguamiento y un 25% para la relación de rigideces en la respuesta bilineal para todas las corridas. Aunque este último dato es razonable para sistemas elásticos no- lineales, es muy alto para los demás modelos, lo cual resulta en una penalización del sistema elástico no-lineal. Los requisitos de resistencia fueron tomados según los requerimientos del código UBC-91 (ICBO, 1991) para marcos dúctiles en zona 4 y con perfil de suelo tipo S2 , asumiendo un peso de 4450 kN. Los resultados del estudio indican que para estructuras con períodos fundamentales altos, el



desplazamiento máximo para sistemas elásticos no-lineales debería ser similar al correspondiente a sistemas convencionales de concreto presforzado, y sólo ligeramente mayores que aquellos con comportamiento elastoplástico bilineal. Sin embargo, el estudio no es concluyente en general, pues presenta los resultados únicamente para cinco valores de período de vibración, y no se cuantifica la influencia de la variación de otros parámetros como la resistencia o la ductilidad, así como la razón de rigideces en el modelo bilineal. El objetivo principal de la presente investigación es pues analizar el comportamiento dinámico ante sismos del oscilador simple elástico no-lineal, con el propósito de evaluar sus principales características y diferencias con los modelos elastoplásticos tradicionales.

SISTEMAS CON COMPORTAMIENTO ELÁSTICO BILINEAL El comportamiento elástico no-lineal de sistemas de un grado de libertad constituye el tema medular de este trabajo. Como se expuso anteriormente, tal comportamiento caracteriza la relación fuerza-desplazamiento de una conexión viga-columna prefabricada con cables de postensión parcialmente desadheridos sometida a fuerzas laterales. A continuación se describe el fundamento teórico que sustenta esta aseveración, a partir del trabajo de Priestley y Tao (1993). Para tal efecto se asume el ensamblaje viga-columna mostrado en la figura 1 y su correspondiente modelo fuerza-desplazamiento, mostrado en la figura 3.

Asumiendo que la longitud desadherida se diseña para mantener el sistema en el rango elástico y que la junta no transmite tensión, la no linealidad se manifiesta a partir del punto 1 (ver figura 3) cuando la precompresión en la fibra extrema en compresión se pierde y ambas caras se empiezan a separar de manera similar a un proceso de agrietamiento. Considerando que el centroide del presfuerzo se mantiene a la mitad de esta sección rectangular, el momento de “apertura” de la junta correspondiente Mcr es:

6bi

crhT

M = (1)

donde Ti es la fuerza inicial de preesfuerzo y hb la altura de la viga. Para las dimensiones mostradas en las figuras 1 y 3, la fuerza lateral correspondiente viene dada por:

ccb

bcrcr lhl

lMF

)(2

−= (2)

El desplazamiento correspondiente puede encontrarse a partir de un análisis elástico lineal en la sección donde la junta no se ha abierto. La desviación que se presenta respecto a la relación fuerza-desplazamiento elástica lineal inicial es mínima hasta que la “apertura” se propaga hasta el eje centroidal de la viga, debido a que la deformación en el cable de postensión cambia muy poco. El punto 2 se alcanza precisamente cuando la “apertura” llega al centroide. El momento en esta etapa puede aproximarse como

crbi M

hTM 2

32 =≈ (3)

Más allá de este punto es complicado determinar la relación fuerza-desplazamiento debido a la falta de compatibilidad de deformaciones entre el concreto y el acero. Sin embargo, es factible determinar la fuerza y el desplazamiento en el punto 3, que corresponde al límite proporcional de la curva esfuerzo-deformación del cable de postensión, siempre y cuando se asuma que en este nivel se alcanza el estado



último del concreto y se puede utilizar el bien conocido bloque rectangular equivalente de esfuerzos mostrado en la figura 5. Si la resistencia a la compresión del concreto es f´c , el momento del bloque equivalente de esfuerzo respecto al eje neutro viene dado por

'2

21 cc fbcM ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= βαβ (4)

Figura 5. (a) Diagrama de deformaciones en compresión (b) Bloque rectangular equivalente de esfuerzos en

compresión

El incremento en la deformación en el cable en el límite proporcional de la relación esfuerzo-deformación será entonces

( )sislps

s ffE

−=Δ 1ε (5)

donde fslp y fsi son los esfuerzos en el cable en el límite proporcional y al inicio después de las pérdidas, respectivamente. La profundidad c del eje neutro se obtiene por equilibrio así

'c

slpps

bffA

cαβ

= (6)

donde Asp es el área total del acero de presfuerzo. Finalmente, la capacidad de momento en el punto 3 viene dada por

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=223ch

fAM bslpps

β (7)

La fuerza lateral en este punto se puede obtener simplemente sustituyendo Mcr por M3 en la ecuación 2. La elongación del cable desde la línea de centro de la columna hasta el final de la zona desadherida es

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Δ=Δ xh

l cs 2

ε (8)

donde x es la longitud desadherida del cable de postensión a ambos lados de la columna (ver figura 1). La rotación correspondiente de la conexión es



ch

lb −

Δ=

2

θ (9)

Combinando las ecuaciones 5, 8 y 9 y multiplicando por lc , se puede obtener el desplazamiento “plástico” . El desplazamiento lateral total en el punto 3, está entonces dado por

( ) ( )( )ch

xhff

El

MM

b

csislp

s

c

−+

−+Δ=Δ5.05.0

2

323

(10)

Es aquí donde se introduce un concepto fundamental. La curva fuerza-desplazamiento descrita por los puntos 1, 2 y 3 en la figura 3 puede aproximarse conservadoramente por medio de una relación elástica bilineal equivalente (ver figura 6), en la cual la condición del punto 2 puede considerarse como un desplazamiento y resistencia de cedencia, equivalente a la fluencia de los sistemas elastoplásticos. Es decir, se amplía el concepto de “fluencia” a uno más general de “cedencia”, igualmente válido para ambos sistemas. En este caso, el sistema permanece en el rango elástico y el cambio de comportamiento no se debe a la fluencia de ninguno de los materiales, aunque el sistema sí experimenta una disminución significativa en su rigidez, cumpliendo la misión de limitar y redistribuir las fuerzas internas, y modificar sus propiedades dinámicas para sacarlo del rango crítico del espectro. No obstante, al ser la respuesta elástica, después del evento sísmico el sistema retorna a su posición original, sin desplazamiento residual, y la rigidez inicial se restituye, lo cual representa una clara ventaja respecto a los sistemas elastoplásticos.

Haciendo una analogía con el concepto de ductilidad para sistemas elastoplásticos, se define para este sistema una ductilidad generalizada μG de la siguiente manera

2

3

ΔΔ

=ΔΔ

=y

uGμ (11)

Es importante recalcar que la ecuación 11 no define ductilidad en el sentido convencional, pues al cargar y descargar el sistema por la misma curva no se presenta disipación de energía histerética. Esta “ductilidad generalizada” debe entenderse como la razón entre los desplazamientos de dos estados límites que a su vez representan los extremos de dos estados con relaciones fuerza-desplazamiento lineales. El uso del término “ductilidad” para estos sistemas elásticos bilineales se adopta por conveniencia, para permitir su comparación con los sistemas elastoplásticos tradicionales. Más aún, a partir de ahora se considerarán completamente aplicables a los sistemas elásticos bilineales los conceptos, variables y parámetros descritos anteriormente para los sistemas elastoplásticos bilineales, por lo que se omitirá su repetición. En la figura 7 se muestra el modelo fuerza-desplazamiento para los sistemas elásticos bilineales que se empleará en adelante. De igual forma que para los sistemas elastoplásticos, se indican las rigideces k1 y k2 que definen ambos segmentos lineales de la curva y se utilizará la razón α=k2/k1, denominada razón de rigidez .



Figura 6. Relación elástica bilineal equivalente

Figura 7. Modelo fuerza-desplazamiento elástico bilineal

RESPUESTA NUMÉRICA Y DESCRIPCIÓN DE RESULTADOS

Generalidades

El cálculo numérico de la respuesta se efectuó mediante el método paso a paso de aceleración lineal de Newmark (Newmark, 1959). Las corridas fueron realizadas utilizando el programa CARNOL, desarrollado por el primer autor en Visual Basic específicamente para esta investigación y con el programa de uso académico Bispec (Hachem, 2000). Los análisis se realizaron utilizando una masa constante de 1000 kg y una razón de amortiguamiento de 5%. Se evaluaron 91 períodos Tn (de 0.04 a 15 s), 4 razones de rigidez α ( 0, 0.05, 0.10 y 0.20) , 4 resistencias relativas fy (definida como el cociente entre la resistencia de cedencia y la resistencia necesaria para que el sistema se mantenga elástico), 6 ductilidades μ y 9 registros sísmicos, para un total de 65520 casos. Como resultado del estudio estadístico realizado, se obtuvo la media y el coeficiente de variación de 11 parámetros de salida. Adicionalmente, para cada parámetro se generaron ecuaciones de regresión no-lineal en dos variables. Por razones de espacio, en este artículo se presentan sólo algunos de estos resultados. Para más detalle se puede consultar el trabajo completo de los autores que dio origen a este artículo (Hernández, 2003).



Registros sísmicos

Para la evaluación estadística de la respuesta dinámica de los osciladores simples considerados, se seleccionaron nueve registros acelerográficos correspondientes a terremotos sucedidos en distintos partes del mundo y que por su importancia y características particulares han formado parte de múltiples estudios de respuesta sísmica de estructuras. En la tabla 1 se presenta una descripción de cada uno de estos registros y se indica el país de procedencia.

Tabla 1. Características de los registros sísmicos

Descripción de resultados

A continuación se presentan los resultados del estudio estadístico realizado para los principales parámetros de salida que se utilizan para comparar las respuestas de los sistemas elástico lineal (EL), elastoplástico (EP) y elástico no-lineal (ENL), para los registros sísmicos y las variables descritos anteriormente. Para la media de cada parámetro como función objetivo, se generaron ecuaciones de regresión no-lineal en dos variables, que pueden utilizarse para interpolar el valor de un parámetro dado para condiciones de entrada que difieran con las del estudio. Los análisis de regresión no-lineal se llevaron a cabo usando el método de Levenberg-Marquadt, con ayuda del programa Table Curve 3D v4.0 (Systat Software, 2002). El algoritmo de ajuste aplicado es el conocido como “Pearson VII”, uno de los más robustos para ajustar datos con relaciones complejas, y superior al tradicional algoritmo de “mínimos cuadrados”. Para cada caso se seleccionó la ecuación de regresión con el mayor valor del coeficiente de correlación r2, como indicador de la bondad del ajuste. Todas las ecuaciones de regresión se encuentran en el apéndice y se pueden utilizar para el rango de períodos entre 0.04 y 15 s.

• Cociente Uμ de desplazamiento máximo ENL entre desplazamiento máximo EP para ductilidad constante

Este cociente relaciona los desplazamientos máximos entre un sistema ENL y otro EP, ambos con igual período inicial Tn , razón de amortiguamiento ξ y razón de rigidez α, y para una ductilidad dada. Se puede demostrar que el cociente entre los desplazamientos máximos de cada sistema debe ser igual al cociente de sus resistencias relativas. Matemáticamente se expresa así

EPy

ENLy

EPm

ENLm

ff

uu

U,

,

,

, ==μ (12)

Sismo Estación Fecha Componente Ate (g) Magnitud Distancia epicentral (km)

San Fernando Pacoima 09/02/1971 164° 1.171 MS=6.4 7Northridge Sylmar 17/01/1994 360° 0.843 Mw=6.7 15

Loma Prieta Corralitos 17/10/1989 0° 0.630 Mw=6.9 8Imperial Valley El Centro 18/05/1940 N-S 0.319 MS=6.3 12

México S.C.T. 19/09/1985 E-W 0.171 Mw=8.1 376Chile Llolleo 03/03/1985 N 10° E 0.712 MS=7.8 60

El Salvador C.I.G. 10/10/1986 90° 0.694 MS=5.4 9Kobe Takatori 17/01/1995 N-S 0.611 Mw=6.9 11

Alajuela C.I.P.E.T 22/12/1990 E-W 0.428 MS=5.7 18



Figura 8. Cociente Uμ para diferentes valores de α

Con base en la figura 8, se hacen las siguientes observaciones:

-El cociente presenta valores iguales o mayores a 1 prácticamente en todo el rango de períodos considerado. Esto quiere decir que los sistemas ENL presentan desplazamientos laterales iguales o mayores que los correspondientes sistemas EP, lo cual se explica por la menor capacidad de disipación de energía que presentan los primeros. Siguiendo la ecuación 12, esto también se puede interpretar como que para limitar la respuesta a una demanda de ductilidad específica, al sistema ENL se le debe proveer una resistencia relativa mayor que el correspondiente sistema EP. El incremento relativo en los desplazamientos del sistema ENL es alto (hasta un 75%) en la zona de períodos de 0.04 a 3.0 s. Entre 3.0 y 6.0 s, el incremento varía mucho en función de la ductilidad, aunque sin un patrón definido, alcanzando en cualquier caso valores no mayores al 45%. Para períodos altos (mayores a 8.0 s), los desplazamientos de los sistemas ENL y el EP tienden a ser muy similares.

-Entre 0.04 y 1.0 s, el cociente se ve poco afectado al incrementar el valor de α, es decir, al aumentar la rigidez post-cedencia de los sistemas. Entre 1.0 y 6.0 s aproximadamente, el cociente aumenta para algunas ductilidades al incrementar el valor de α . En el resto del espectro el efecto de aumentar α es poco significativo.

0 2.5

5 7.5

10

12.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0.5

0.5

0.75

0.75

1

1

1.25

1.25

1.5

1.5

1.75

1.75

2

2

Med

ia

Med

ia

Media de los cocientes de desplazamiento ENL entre EPDuctilidad constante α=0.05

0 2.5

5 7.5

10

12.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0.5

0.5

0.75

0.75

1

1

1.25

1.25

1.5

1.5

1.75

1.75

2

2

Med

ia

Med

ia

Media de los cocientes de desplazamiento ENL entre EPDuctilidad constante α=0

0 2.5

5 7.5

10

12.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0.5

0.5

0.75

0.75

1

1

1.25

1.25

1.5

1.5

1.75

1.75

2

2

Med

ia

Med

iaMedia de los cocientes de desplazamiento ENL entre EP

Ductilidad constante α=0.10

0 2.5

5 7.5

10

12.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0.5

0.5

0.75

0.75

1

1

1.25

1.25

1.5

1.5

1.75

1.75

2

2M

edia

Med

ia

Media de los cocientes de desplazamiento ENL entre EPDuctilidad constante α=0.20



-No se aprecia una tendencia clara en la variación del cociente respecto a la variación en la ductilidad, pues depende mucho del período de vibración.

• Cociente Cμ,ENL de desplazamiento máximo ENL entre desplazamiento máximo EL para ductilidad constante

Recientemente se han propuesto nuevos criterios de diseño sísmico en los que los desplazamientos laterales se utilizan como parámetros de entrada de la demanda sísmica en lugar de las fuerzas laterales reducidas como normalmente se acostumbra en los códigos actuales de diseño. De hecho Priestley (1996) propone que el diseño basado en desplazamientos es el método ideal para diseñar edificios de concreto prefabricado cuyas conexiones presentan un comportamiento elástico no-lineal. Sin embargo, el uso de estos nuevos criterios de diseño requiere de procedimientos simples para estimar las demandas de desplazamiento máximo para estructuras que incursionan en el rango de cedencia. Esta observación cobra especial importancia cuando el diseño sísmico se basa en el uso de espectros de diseño en lugar de historias de aceleración, en que son necesarios procedimientos de análisis de tipo espectral (Miranda, 2001). Las recomendaciones más recientes en relación con la evaluación y rehabilitación sísmica de estructuras existentes en los Estados Unidos sugieren el uso de métodos de análisis simplificados en los que las demandas globales de desplazamiento lateral en edificios son calculadas a partir de las demandas de desplazamiento sobre sistemas de un grado de libertad (ATC, 1996; FEMA, 1997). En estas nuevas recomendaciones de diseño, las demandas globales de desplazamiento no lineal (elástico o inelástico) son calculadas teniendo en cuenta las relaciones entre las demandas máximas de desplazamiento inelástico en sistemas de un grado de libertad con comportamiento elástico lineal. Esto es coherente con la práctica actual de la mayoría de las oficinas de diseño, donde todavía los análisis sísmicos con programas de cómputo se realizan por métodos modales elásticos y son necesarias expresiones desarrolladas para calcular los desplazamientos máximos no lineales de la estructura a partir de los desplazamientos máximos elásticos.

El cociente de desplazamiento máximo ENL entre desplazamiento máximo EL para ductilidad constante se define como

ENLye

ENLmENL f

uu

C ,,

, μμ == (13)

donde tanto el sistema ENL como EL tienen el mismo período de vibración inicial así como la misma razón de amortiguamiento, y se someten a la misma historia de aceleración del terreno, para un nivel de ductilidad dado.

Tal como lo muestra la ecuación 13, se puede demostrar que este cociente equivale al producto de la ductilidad por la resistencia relativa asociada al sistema elástico no-lineal. Como se indicó anteriormente, este cociente es de particular importancia y ayuda para el diseño de estructuras cuyas conexiones presentan este comportamiento.

A partir de los resultados mostrados en las figura 9 se pueden hacer las siguientes observaciones:

-En general, el cociente es mayor que 1.0 en la región de período corto (de 0.04 a 2.0 s), es decir, los desplazamientos máximos elásticos no-lineales son mayores que los desplazamientos máximos elásticos, y aproximadamente iguales a 1 para períodos largos.

-Para períodos menores a 1 s, los cocientes dependen fuertemente del período natural de vibración del sistema y del nivel de ductilidad. Para períodos menores que 1.0 s, el cociente se incrementa al disminuir el período de vibración y al aumentar la demanda de ductilidad.



Figura 9. Cociente Cμ, ENL para diferentes valores de α

-Los cocientes tienden al valor de su ductilidad asignada μ cuando el período tiende a cero. Al aumentar el valor de α se disminuye ligeramente el valor del cociente, sobre todo en el rango de períodos menores que 1.0 s y para ductilidades altas.

-El período de vibración que divide las regiones espectrales en las que puede usarse la aproximación de la “regla de los desplazamientos iguales” de las regiones en las que esta aproximación es inadecuada, depende del nivel de ductilidad, y no debería considerarse como constante como lo suponen varios códigos de diseño.

• Factor espectral dinámico (FED)

El factor espectral dinámico representa la modificación en aceleración que sufre un sistema de un grado de libertad con respecto a la aceleración del terreno y es función de la zona sísmica, del sitio de cimentación, de la ductilidad global asignada y del período.

0 2.55 7.5

1012.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0

1

2

3

Med

ia

Media de los cocientes C μ para ENL α=0

0 2.55 7.5

1012.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0

1

2

3

Med

ia

Media de los cocientes C μ para ENL α=0.05

0 2.55 7.5

1012.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0

1

2

3

Med

ia

Media de los cocientes Cμ para ENL α=0.10

0 2.55 7.5

1012.5

Período T(s)1

23

45

6

Ductilidad μ

0

1

2

3

Med

ia

Media de los cocientes C μ para ENL α=0.20



En este trabajo se generaron espectros de FED para los sistema ENL usando la media estadística para todos los registros sísmicos, sin discriminar por el tipo de terreno ni zona sísmica, y en función del período, el nivel de ductilidad μ y la razón de rigideces α. El factor FED se define así

te

y

mAF

FED = (14)

donde Fy es la resistencia de cedencia, m la masa del sistema y Ate es la aceleración máxima del terreno.

En la literatura de diseño sísmico este factor se encuentra con el nombre de resistencia normalizada, y es representado con el símbolo η. Su importancia desde el punto de vista del diseño es que se puede utilizar para calcular el coeficiente sísmico a partir del cual se determina el cortante en la base de una estructura para un nivel dado de demanda sísmica. En particular, el CSCR-2002 (CFIA, 2003) en su capítulo 5 define el coeficiente sísmico de la siguiente forma

( )SRFEDIa

C ef= (15 )

donde efa es la aceleración pico efectiva de diseño, I es un factor de importancia de la edificación y SR es un factor de sobre-resistencia. En la figura 10 se presentan los espectros de FED para sistemas ENL.

• Factor de amplificación γ para sistemas ENL

Es importante notar que el CSCR-2002 (CFIA, 2003) presenta espectros inelásticos de FED desarrollados a partir de criterios para osciladores con comportamiento elástico perfectamente plástico (EPP). Tomando eso como base se calculó un factor de amplificación γ , definido así

)0( =

=α

γEPP

i

FEDFED

(16)

donde el numerador corresponde al FED para un valor dado de α, para un sistema ENL, y el denominador corresponde al FED para un sistema EPP con propiedades dinámicas equivalentes. En la figura 11 se presentan gráficos de γ en función del período y la ductilidad.

Este factor se puede multiplicar por el FED de los espectros del CSCR-2002 para una zona sísmica y un tipo de terreno dado, y obtener un nuevo FED modificado por γ, para el diseño convencional de estructuras cuyo comportamiento es esencialmente elástico no-lineal, así

( ) 2002mod ,, −= CSCRFEDTFED μαγ (17)

Debido a que en la mayoría del espectro el factor γ es mayor que 1 para sistemas con comportamiento elástico no-lineal (ENL), una conclusión importante es que al diseñar estructuras con este comportamiento por el método de fuerzas, debe considerarse un cortante en la base mayor que el



Media del factor espectral dinámico (FED) para ENL ξ = 5 % α=0.10

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10

Período T(s)

FED

μ=1μ=1.5μ=2μ=3μ=4μ=6

especificado por cualquier código cuyos espectros de ductilidad constante estén desarrollados a partir de un modelo elástico perfectamente plástico (EPP), tal como el CSCR-2002.

Vale mencionar que después de hacer la comparación respectiva, se decidió omitir en el cálculo de la media del FED y del factor γ, los valores correspondientes al registro del sismo de México, debido a que éste presenta características muy particulares de amplificación local, con un período predominante inusualmente elevado de 2 s (Hernández, 2003).

Figura 10. Factor espectral dinámico (FED) para sistemas ENL y para diferentes valores de α

Media del factor espectral dinámico (FED) para ENL ξ = 5 % α=0

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10

Período T(s)

FED

μ=1μ=1.5μ=2μ=3μ=4μ=6


0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10

Período T(s)FE

D

μ=1μ=1.5μ=2μ=3μ=4μ=6


0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10

Período T(s)

FED

μ=1μ=1.5μ=2μ=3μ=4μ=6



Figura 11. Factor γ para sistemas ENL y para diferentes valores de α

CONCLUSIONES En este trabajo se ha investigado la respuesta sísmica de osciladores simples con comportamiento elástico no-lineal usando un modelo bilineal. Para un oscilador simple con un período inicial dado y un nivel de resistencia, el comportamiento elástico bilineal queda completamente definido por el factor α, que relaciona la rigidez inicial con la rigidez secundaria o “post-cedencia”. La respuesta de estos sistemas ha sido comparada con la de sistemas elastoplásticos equivalentes, cuyo modelo fuerza-desplazamiento es analítica y conceptualmente simple, y por tanto ha sido ampliamente utilizado para desarrollar espectros para diseño sismo-resistente, como los que contiene el Código Sísmico de Costa Rica 2002, y sus versiones anteriores.

El concepto tradicional de ductilidad en sistemas elastoplásticos, como estrategia de defensa sísmica, hasta sido extendido al concepto más general de cedencia, tal como se presenta en los sistemas elásticos

02.5

57.5

1012.5

Período T(s)12

34

56

Ductilidad μ

0

0.5

1

1.5

2

γFactor γ (ENL) α = 0

02.5

57.5

1012.5

Período T(s)12

34

56

Ductilidad μ

0

0.5

1

1.5

2

γ

Factor γ (ENL) α = 0.05

02.5

57.5

1012.5

Período T(s)12

34

56

Ductilidad μ

0

0.5

1

1.5

2

γ


02.5

57.5

1012.5

Período T(s)12

34

56

Ductilidad μ

0

0.5

1

1.5

2

γ




no-lineales. Mientras que el desarrollo de ductilidad en sistemas elastoplásticos usualmente está asociada con desplazamientos residuales y por ende con el nivel de daño presente en la estructura después de un sismo, en la cedencia de sistemas elásticos no-lineales el sistema permanece en el rango elástico y el cambio de comportamiento no se debe a la fluencia de ninguno de los materiales, aunque el sistema si experimenta una disminución significativa en su rigidez, cumpliendo la misión de limitar y redistribuir las fuerzas internas, y modificar sus propiedades dinámicas para sacarlo del rango crítico del espectro. La ventaja considerable de esta segunda estrategia respecto a la primera, es que al ser la respuesta elástica, después del sismo el sistema retorna a su posición original, sin desplazamiento residual, y conservando su rigidez inicial, con un nivel de daño muy reducido.

Los sistemas elásticos no-lineales no disipan energía de deformación histerética. La energía por amortiguamiento es el principal mecanismo disponible para disipar la energía que le introduce el sismo. En principio, el menor nivel de disipación de energía que presentan estos sistemas en comparación con sistemas elastoplásticos equivalentes, debería redundar en mayores demandas de ductilidad para los primeros, entendiendo ductilidad como un concepto generalizado de deformación más allá de la cedencia, y esto efectivamente es así para sistemas con períodos cortos. Se demostró sin embargo, que para períodos medios y largos, las demandas de ductilidad de dos sistemas equivalentes, uno elástico no-lineal y el otro elastoplástico, pueden ser muy similares o incluso iguales, si el máximo desplazamiento se alcanza durante la primera incursión en el rango de cedencia, dado que desde el inicio hasta el instante de la primera descarga en este rango, la respuesta de ambos sistemas es totalmente idéntica.

Finalmente, en este trabajo se presenta información útil para los nuevos criterios de diseño sísmico en los que los desplazamientos laterales se utilizan como parámetros de entrada de la demanda sísmica en lugar de las fuerzas laterales reducidas, como normalmente se acostumbra en los códigos actuales de diseño. Priestley (1996) ha propuesto que el diseño basado en desplazamientos es el método ideal para diseñar edificios de concreto prefabricado cuyas conexiones presentan un comportamiento elástico no-lineal (ENL). El uso de estos nuevos criterios de diseño requiere de procedimientos simples para estimar las demandas de desplazamiento máximo para estructuras que incursionan en el rango de cedencia con distintos modelos elásticos no-lineales o elastoplásticos. Las ecuaciones obtenidas por métodos de regresión no-lineal a partir del estudio estadístico realizado, pueden ser convenientemente utilizadas para este propósito.

El presente estudio es particularmente apropiado para el método de Diseño Plástico Basado en Desplazamientos (DPBD) desarrollado por el segundo autor (Gutiérrez y Alpízar, 2004). Este método es una alternativa explícita de diseño sísmico, apropiada para incorporar objetivos de desempeño, en la que la capacidad requerida de los elementos se obtiene directamente del proceso de diseño y, bajo la acción sísmica, conduce a los mecanismos de colapso deseados. Está basado en procedimientos no-lineales estáticos y conceptos del diseño plástico y utiliza como demanda sísmica espectros de diseño de ductilidad constante como los que han sido obtenidos en el presente trabajo para estructuras que exhiban un comportamiento elástico no-lineal tales como los edificios de concreto prefabricado aquí comentados.

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4. Cheok,G.; Lew,H.S. 1991. Perfomance of Precast Concrete Beam-to-Column Connections Subject to Cyclic Loading. PCI Journal, Vol. 36, No.3, May-June 1991. pp. 56-67.

5. Federal Emergency Managment Agency (FEMA). 1997. NEHRP recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures. Reports FEMA 302 (Provisions) and 303 (Commentary), Washington, D.C.

6. Gutiérrez, Jorge; Alpízar Mauricio. (2004). “An Effective Method for Displacement-Based Earthquake Design of Buildings”. 13th World Conference on Earthquake Engineering, August 1-6, Paper No. 1512; Vancouver, B.C., Canadá.

7. Hachem, M. Bispec version 1.1.2. University of California at Berkeley. 2000.

8. Hall, J.F. (Ed.). 1995. Northridge Earthquake of January 17,1994 Reconnaisance Report. Vol.2 Supplement C to Volume II. Earthquake Spectra.1995.

9. Hernández G., Danilo. (2003). Respuesta Sísmica de Osciladores Simples con Comportamiento Elástico No-Lineal. Tesis para optar al grado de Magister Scientiae en Ing. Civil con énfasis en Estructuras. Universidad de Costa Rica, San José.

10. Housner,G.W. 1959. Behaviour of structures during earthquakes. J. Engrg. Mech. Div. , ASCE, 85, 4. pp 109-129.

11. ICBO. 1991. Uniform Building Code. International Conference of Building Officials. Whittier, California.

12. MacRae,G.; Priestley,M.J.N. 1996. Seismic Test of Precast Beam-to-Column Joint Subassemblages with Unbonded Tendons. Vol. 41, No. 1, January-February 1996. pp.64-81.

13. Miranda, E. 2001. Estimation of inelastic deformation demands of SDOF systems. J. Struct. Engrg., ASCE, 127 (9).

14. Newmark,N.M.; Hall,W.J. 1969. Seismic Design Criteria for nuclear reactor facilities. Proc. of the Fourth World Conf. on Earthquake Engineering. Chilean Association on Seismology and Earthquake Engineering. Santiago, Chile,2, B-4, pp. 37-50.

15. Priestley,M.J.N.;Tao,J.R.1993. Seismic Response of Precast Prestressed Concrete Frames with Partially Debonded Tendons. PCI Journal, Vol. 38, No.1, Jan.-Feb. 1993. pp. 58-69.

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20. Veletsos,A.S.; Newmark,N.M. 1965. Deformation spectra for elastic and elastoplastic systems subjected to ground shock and and earthquake motions. Proceedings of the Third World Conference on Earthquake Engineering, New Zealand National Committee on Earthquake Engineering, Wellington, New Zealand, Vol. II, 1965, pages II-663 to II-682.

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APÉNDICE

A continuación se presentan las tablas con las ecuaciones de regresión obtenidas.

Tabla A1. Ecuación de regresión no lineal para la media de los cocientes de desplazamiento ENL entre EP

Uμ para ductilidad constante y α=0


Uμ para ductilidad constante y α=0.05



Ecuación media=a+bln(T)+c/(u)+d(ln(T))^2+e/(u)^2+f(ln(T))/(u)+g(ln(T))^3+h/(u)^3+i(ln(T))/(u)^2+j(ln(T))^2/(u)Coef. r2 0.64805981Parámetrosa 1.204358894b -0.101800415c 1.305513656d -0.068444873e -3.88274047f 0.469374705g -0.001688027h 2.538497878i -0.450266561j 0.083332286

Ecuación media=a+bln(T)+cln(u)+d(ln(T))^2+e(ln(u))^2+fln(T)ln(u)+g(ln(T))^3+h(ln(u))^3+iln(T)(ln(u))^2+j(ln(T))^2ln(u)Coef. r2 0.756404486Parámetrosa 0.944453243b 0.007754389c 0.475265527d -0.002072261e -0.064745205f 0.0650719g -0.004393566h -0.016806168i -0.044458051j -0.04223883






Tabla A5. Ecuación de regresión no lineal para la media de los cocientes Cμ para ENL y α=0

Tabla A6. Ecuación de regresión no lineal para la media de los cocientes Cμ para ENL y α=0.05


Ecuación media=a+bln(T)+c(u)+d(ln(T))^2+e(u)^2+f(u)ln(T)+g(ln(T))^3+h(u)^3+i(u)^2ln(T)+j(u)(ln(T))^2Coef. r2 0.979548288Parámetrosa 0.814565256b 0.155919896c 0.16091749d -0.026748673e -0.002202463f -0.132690572g -0.000724271h -0.000433631i 0.001006861j 0.02416696






Tabla A9. Ecuación de regresión no lineal para la media del factor de amplificación γ para sistemas ENL

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++= 322 )ln()ln()ln()ln()ln()ln()ln( nnnn TgTfeTdcTba μμμγ ( ) ( )( ) ( ) ( ))ln()ln()ln()ln()ln( 223 μμμ nn TjTih ++


Ecuación media=a+bln(T)+c(u)+d(ln(T))^2+e(u)^2+f(u)ln(T)+g(ln(T))^3+h(u)^3+i(u)^2ln(T)+j(u)(ln(T))^2Coef. r2 0.963338417Parámetrosa 0.786222583b 0.132350819c 0.175882362d -0.002188116e -0.012013038f -0.120817878g 0.000217975h 6.61849E-05i 0.005960928j 0.010272212

α 0 0.05 0.10 0.20 0.05 0.10 0.20a 0.922686 0.926690 0.935175 0.936862 1.000823 1.003066 0.971330b -0.033411 -0.030792 -0.027020 -0.021423 -0.011511 -0.012637 -0.018729c 0.490118 0.478557 0.447666 0.443470 -0.031464 -0.101378 -0.060533d -0.002099 -0.003058 -0.003833 -0.004486 -0.000594 0.002799 0.007840e -0.165514 -0.173057 -0.153435 -0.183253 -0.046949 0.001310 -0.042507f 0.082593 0.086661 0.090071 0.093024 0.010250 0.010281 0.028865g 0.001706 0.001024 0.000209 -0.000728 0.001470 0.001963 0.002458h 0.008492 0.010228 0.003192 0.013112 0.011672 0.000020 0.014243i -0.052118 -0.048418 -0.044243 -0.034662 -0.002254 0.000484 -0.002962j -0.025886 -0.025056 -0.025079 -0.025614 0.007655 0.006161 0.000252

r 2 0.564364 0.542503 0.554445 0.616174 0.643581 0.670422 0.682896

ENL EP

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