résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles 2 et 3 · prendre un gabarit de la longueur...
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Résoudre des problèmes en
mathématiques aux cycles 2 et 3
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Stage du 12 au 14 décembre 2012
Collège International (IC) Beyrouth
Philippe CORBET - CPAIEN
Enseigner la
résolution de
problèmes
connaissances
capacités
attitudes
Attentes des
programmes
Types de
problèmes
et niveaux
de
résolution
Capacités des élèves
à développer
Mettre en œuvre
une démarcheProgrammer
des activités
Différencier
Evaluer
Le rôle
de l’oral
La mise en
commun
les problèmes dans les
programmes
Documents officiels disponibles sont sur le site de l’Inspection
− http://www.aefe-proche-orient.net/inspection/
Rubrique « Ressources pédagogiques »
Sous-rubrique « Socle, programmes, livrets »
Le socle commun
• La maîtrise des principaux éléments de
mathématiques s’acquiert et s’exerce
essentiellement par la résolution de
problèmes (…).
• L’élève doit être capable de saisir
quand une situation de la vie courante
se prête à un traitement mathématique,
l’analyser (…) puis s’engager dans un
raisonnement ou un calcul en vue de
sa résolution.
Les programmes 2008
•.Cycle 2
•.Cycle 3
L’apprentissage des mathématiques
développe l’imagination, la rigueur
et la précision ainsi que le goût du
raisonnement
La pratique des mathématiques
développe le goût de la recherche et
du raisonnement, l’imagination et
les capacités d’abstraction, la
rigueur et la précision.
•.Cycle 2
•.Cycle 3
La résolution de problèmes fait
l’objet d’un apprentissage
progressif et contribue à
construire le sens des opérations.
Du CE2 au CM2, dans les quatre
domaines du programme, l’élève
(…) continue d’apprendre à résoudre
des problèmes.
•.Cycle 2
•.Cycle 3
De premiers automatismes
s’installent. L’acquisition des
mécanismes en mathématiques est
toujours associée à une
intelligence de leur signification.
L’acquisition des mécanismes en
mathématiques est toujours associée
à une intelligence de leur
signification. La maîtrise des
principaux éléments mathématiques
aide à agir dans la vie quotidienne.
Cycle 2
La résolution de problèmes n’est
pas un domaine à part, mais fait
partie des quatre domaines.
Cycle 3 : La résolution de
problèmes n’est pas un
domaine à part, mais fait
partie des quatre domaines.
• Résoudre des problèmes• de dénombrement
• Relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication
• Géométriques
• De longueur et de masse
• Organiser les informations d’un énoncé
Cycle 2
• Résoudre des problèmes• Relevant des quatre opérations
• De reproduction et de construction
• Dont la résolution implique des conversions
• Mettant en jeu une situation de proportionnalité
Cycle 3
Les progressions annuelles
dans les programmes 2008
CP CE1
Résoudre des problèmes simples à
une opération.
Résoudre des problèmes relevant
de l’addition, de la soustraction et
de la multiplication.
CE2 CM1 CM2
Résoudre des
problèmes relevant
des quatre opérations
Résoudre des
problèmes engageant
une démarche à une
ou plusieurs étapes.
Résoudre des
problèmes de plus en
plus complexes
Progression
« Nombres et calcul »
Dans les évaluations nationales 2012CE1 CM2
Progression « Géométrie »
CP CE1Reproduire des figures géométriques
simples à l’aide d’instruments ou de
techniques : règle, quadrillage, papier
calque.
Utiliser des instruments pour réaliser
des tracés : règle, équerre ou gabarit
de l’angle droit.
CE2 CM1 CM2• Reproduire des figures
(sur papier uni,
quadrillé ou pointé), à
partir d’un modèle.
• Construire un carré ou
un rectangle de
dimensions données.
• Compléter une figure
par symétrie axiale.
• Tracer une figure
simple à partir d’un
programme de
construction ou en
suivant des consignes.
• Tracer une figure (sur
papier uni, quadrillé ou
pointé), à partir d’un
programme de
construction ou d’un
dessin à main levée
(avec des indications
relatives aux propriétés
et aux dimensions).
CE1 CM2Dans les évaluations nationales 2012
Grandeurs et mesures
CP CE1Résoudre des problèmes de vie
courante.
Résoudre des problèmes de longueur
et de masse.
CE2 CM1 CM2• Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique les
grandeurs ci-dessus
• Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique
éventuellement des conversions.
• Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique des
conversions.
• Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique
simultanément des
unités différentes de mesure
CE1 CM2Dans les évaluations nationales 2012
Organisation et gestion des données
CP CE1• Lire ou compléter un tableau dans
des situations concrètes simples.
• Utiliser un tableau, un graphique
• Organiser les informations d’un
énoncé.
CE2 CM1 CM2• Savoir organiser
les données d’un
problème en vue
de sa résolution.
• Interpréter un
tableau ou un
graphique
• Résoudre des problèmes
relevant de la proportionnalité et
notamment des problèmes
relatifs aux pourcentages, aux
échelles, aux vitesses moyennes
ou aux conversions d’unité, en
utilisant des procédures variées
(dont la “règle de trois”).
Dans les évaluations nationales 2012CE1 CM2
Pour conclure
Apprendre par la
résolution de problèmes
Situations-problèmes
de découverte
Problèmes d'application
Problèmes de
réinvestis-sement
Démarche d’enseignement
Caractéristiques Rôles de l’enseignant
Progression
Difficultés des élèves
Apprendre la résolution de problèmes
comprendre l'énoncé
Trouver une procédure
Exécuter la procédure
Communiquer sa réponse
Caractéristiques du type de texte
La langue des énoncésSe représenter l’énoncé
Solution personnelle
Solution experte
Automatismes
À l’oral
À l’écrit
Fonctions des problèmes dans
l’enseignement des mathématiques:
l’apprentissage par la résolution de problèmes
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La démarche d’apprentissage
Démarche d’apprentissage
Les étapes de la démarche d’apprentissage d’une nouvelle
connaissance mathématique dans différents manuels.
Euro Maths – CP Cap Maths CE1Pour comprendre
les maths CE2
La tribu des
maths
Activités
préparatoires
occasionnelles
(jeux)
Découverte
Résolution de
problème en
équipe
Je cherche:
activité collective
de découverte
(problème)
Recherche: une
situation à
résoudre pour
trouver une
démarche
Guide ens. :
Conseils et
commentaires
Guide ens.: Mise
en commun,
synthèse
Mémo: points
importants à
retenir et réinvestir
Une question pour
échanger avec la
classe (synthèse)
Exercices
d’application
Entraînement sur
fichierJe m’entraîne Entraînement
Les problèmes au cœur de la
démarche
Problème N°1: Lequel est le plus long?
Proposer des comparaisons d’objets qu’il est
possible de superposer ou de mettre en coïncidence
pour savoir lequel est le plus long.
Le concept d’unité de mesure de longueur au CP
(R. Charnay)
Problème N°2: Inviter les élèves à comparer des objets
qui ne peuvent pas être rapprochés les uns des autres.
Prendre un gabarit de la longueur de chaque objet à l’aide d’une
ficelle ou d’une longue bande et les mettre en coïncidence.
Les problèmes au cœur de la
démarche (R. Charnay)
Problème N°3: Même problème mais en n’autorisant
cette fois que l’utilisation d’une bande beaucoup plus
courte que chacun des objets.
Nouvelle solution possible : reporter cette bande sur chaque
objet et déterminer combien de reports sont nécessaires.
Problème N°4 : Peut-on imaginer un moyen pour éviter
le report fastidieux de la bande-unité ?
La solution résidera dans la fabrication d’un outil du type :
L’idée viendra sans doute de numéroter la bande. Le premier
instrument de mesure vient ainsi d’être réalisé.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Les problèmes au cœur de la
démarche (R. Charnay)
L’élève ne dispose pas seulement de la " technique
du mesurage à l’aide double-décimètre ".
Il a également compris sa structure en unités
reportées et son usage (machine à dénombrer les
reports d’unités, donc à mesurer).
Les problèmes au cœur de la
démarche (R. Charnay)
Les échanges entre élèves (confrontations,
argumentations) sont primordiaux
La synthèse de l’enseignant est nécessaire pour
mettre en évidence ce qu’il faut retenir
Les moments d’entraînement suffisant sont
nécessaire pour automatiser l’usage des
connaissances
Les problèmes au cœur de la
démarche (R. Charnay)
La démarche d’enseignement
Caractéristiques
Situation de
départ
Situation-problème présentée à l’oral ou à l’écrit à partir d’objets concrets (pions, cartes…) d’un énoncé d’une situation vécue par les élèves
Recherche temps de recherche individuelle temps de recherche en groupe (de 2 à 4)
Mise en
commun
Ecoute et comparaison des procédures des différents groupes
Analyse des procédures erronées Validation des procédures efficaces
Caractéristique
Synthèse
Réalisation d’une affiche de référence
comportant :
Les différentes procédures personnelles valides
La procédure experte
Phase
d’entraînement
D’abord des problèmes d’application qui
appartiennent à la même « catégorie » que celui
de la situation-problème
Puis des problèmes de réinvestissement dans
différents contextes
Phase de
transfert
Résolution de problèmes complexes faisant appel
à plusieurs connaissances et capacités étudiées
auparavant
La démarche d’enseignement
Trois types de problèmes
au cours de la démarche
PROBLEMES POUR APPRENDRE
Situations-problèmes
de découverte
Problèmes
d’application directe
Problèmes de
réinvestissement
Problèmes dont la résolution vise la
construction d’une nouvelle connaissance
Problèmes destinés à s’entrainer à maîtriser
le sens d’une connaissance nouvelle
Problèmes ayant pour but le réinvestissementd’une ou de plusieurs
connaissances dans des contextes différents de
ceux déjà abordés
Les trois types de problèmes au
cours de la démarche
Euro Math – CP
Les trois types de problèmes au
cours de la démarche
Cap Maths CE1
Pour comprendre les mathématiques CE2
Les trois types de problèmes au
cours de la démarche
Deux niveaux de résolution des problèmes:
la procédure personnelle
et la procédure experte
Procédure personnelle
et procédure experte (R. Charnay)
Hier, il faisait très beau. Au départ de 11h, le bateau était complet.
Combien y avait-il d’enfants?
Procédures personnelles
Utiliser ses
connaissances pour
imaginer une procédure
quand on ne dispose
pas en mémoire d’une
procédure experte pour
cette catégorie de
problème…
Procédure personnelle
et procédure experte
Procédures expertes
Utiliser une procédure
connue que l’on sait
adaptée à la situation du
problème.
Fonctions des problèmes dans
l’enseignement des mathématiques:
l’apprentissage de la résolution de problèmes
Analyse de productions d’élèves
Evaluations
nationales CE1
Evaluations
nationales CE1
Evaluations
nationales CM2
Evaluations
nationales CM2
Causes d’erreurs détectées
Contrat didactique erroné:
« Résoudre un problème, c’est faire n’importe quel calcul avec les
nombres de l’énoncé »
Non compréhension de l’énoncé
Erreur dans le choix de la procédure de résolution
non reconnaissance d’une situation de transformation additive ou
de proportionnalité
Erreur dans l’exécution de la procédure
Erreur de dénombrement dans un schéma
Non communication de la réponse
Capacités mises en œuvre pour
résoudre un problème (IREM)
Communiquer la réponse
Exécuter la procédure
Rechercher une procédure
Comprendre l’énoncé
Rechercher une procédure ?
Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances
dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a.Combien y a-t-il de pages complètes?
b.Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète?
Il y a …… pages complètes. 54% réussite
Il y a …… photos sur la page incomplète. 57% réussite
Xavier range les 50 photos
de ses dernières vacances
dans un classeur.
Chaque page contient 6
photos.
a.Combien y a-t-il de pages
complètes?
b.Combien y a-t-il de photos
sur la page incomplète?
Il y a …… pages complètes.
54%
Il y a …… photos sur la page
incomplète. 57%
Procédures possibles
1. Schématisation des pages et photos• Dénombrement CP
2. Addition de 6 en 6 • Addition CE1
3. Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication CE2
4. Division par 6• Division CM1
Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)
Comment se fait-il que des élèves qui disposent de
connaissances permettant de résoudre un problème…
• ne pensent pas…
• n’osent pas…
…les utiliser pour répondre à la question?
On observe généralement des calcul erronés (50-6 = 44 / 50x6 = 300).
PISA confirme ces observations:
élèves + pour les problèmes d’application
Élèves à la peine pour résoudre des exercices nécessitant initiative
fort taux de non-réponse
Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)
Charnay: Il faut donc rendre nos élèves…
experts dans la résolution de certains problèmes
pour lesquels il reconnaît rapidement le traitement
approprié ;
capables d’initiative pour d’autres problèmes,
capables d’imaginer des résolutions originales, de
les tester, de traiter la situation proposée de manière
personnelle, originale.
Rechercher une procédure
Résoudre un problème
Communiquer la réponse
Exécuter la procédure
Rechercher une procédure
Comprendre l’énoncé Trouver
facilement la
solution experte
Imaginer une
solution
personnelle
Un autre type de problème pour
apprendre à chercher une
procédure personnelle
Les problèmes pour chercher
PROBLEMES POUR APPRENDREPROBLEMES POUR
CHERCHER
Situations-
problèmes de
découverte
Problèmes
d’application
directe
Problèmes de
réinvestissementProblèmes ouverts
Problèmes dont la résolution vise la
construction d’une nouvelle
connaissance
Problèmes destinés à s’entrainer à
maîtriser le sens d’une connaissance
nouvelle
Problèmes ayant pour but le
réinvestissementd’une ou de
plusieurs connaissances
dans des contextes différents de ceux
déjà abordés
Problème centré sur le
développement des capacités à chercher : en
général, les élèves ne connaissent pas la solution experte
Les problèmes pour chercher
Au cycle 2
Les problèmes pour chercher
Au cycle 3
Bibliographie J1
− Le socle commun de connaissances et de compétences –
Ministère de l’éducation nationale – 2006
− Programmes 2008 – BOHS N°3 du 19 juin 2008
− Le nombre au cycle 2 – Ressource pour faire la classe – MEN
− Le nombre au cycle 3 – Ressource pour faire la classe – MEN
− TFM – Télé Formation Mathématique (http://www.uvp5.univ-
paris5.fr/TFM/)