resolucion de triangulos oblicuangulos problemas resueltos
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RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
PROBLEMAS RESUELTOS
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos
internos de un triángulo suman 180 grados.
CASOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Existen cuatro casos de triángulos oblicuángulos:
• El I y II se resuelven con Ley de Senos
• Los III y IV se resuleven con Ley de Cosenos
I Ángulo Ángulo Lado
II Lado Lado Ángulo ( Á L L)
III Lado Ángulo Lado
IV Lado Lado Lado
LEY DE SENOS
Para sacar cualquier lado:
Para obtener un ángulo:
Ejemplo de ley de senos
El capitán de un barco visualiza el puerto donde el buque va ha atracar visualiza también
un faro que esta a 4.95km. de distancia de el puerto y mide el ángulo entre las dos visuales
que resulta ser de 28.47° . Despues de viajar 5.75km. directamente hacia el puerto se vuelve
a hacer la medición que resulta ser de 56.79°.
a) ¿Qué tan lejos esta el buque de el puerto cuando se hizo la segunda medición?
1° Sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar la distancia de el faro al
barco despues de viajar 5.75km.
2° Sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar el ángulo que forma la
distancia del puerto al buque y del puerto al faro (α2)
3° Nuevamente sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar la distancia
del buque al puerto después de la segunda medición.
LEY DE COSENOS
Para sacar cualquier lado:
Para obtener cualquier ángulo:
Un barco sale desviado de su rumbo para evitar una tormenta 26.57°, despues de navegar
6.19Km. retorna a su rumbo original .Si su destino quedaba originalmente a 7.27km.
a) Cuanta distancia le falta recorrer para llegar a su destino cuando cambio de rumbo?
b) Cuantos grados debe girar el barco para retomar su rumbo?
1° Sacamos el ladod que nos falta sustituyendo y despejando son Ley de Cosenos
2° Stituimos y despejamos con Ley de Cosenos para sacarβ
3° Para sacar el tercer ángulo( como es suplemeetario de β) a 180° le restamos β para sacar
γ.
Caso IV ( Lado Lado Lado)
Un estudiante se encuentra en la biblioteca y camina 45.2m. para llegar al auditorio,
después de tomar su clase de Teatro se dirige a la alberca por lo que camina 97.77m. , como
tiene examen de matemáticas camina 73.44m. de regreso a la biblioteca.
Saca los ángulos del triangulo formado.
1° sustituimos con la Ley de Cosenos y despejamos para sacar α
2° Nuevamente sustituimos con la Ley de Cosenos y despejamos para sacar β
3° a 180° (que es lo que mide la suma de los tres ángulos internos de un triangulo
oblicuángulo) le restamos los ángulos que ya sacamos αy β para poder sacar el tercer
ángulo que es “γ “
Definición de triángulo acutángulo.-
De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre varias clases de triángulos. Los
triángulos acutángulos son aquellos cuyos tres ángulos internos son agudos, ya que
miden menos de 90º.
Esto quiere decir que un triángulo cuyos ángulos interiores miden 45º, 80º y 55º, por
ejemplo, es un triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos. Si tuviera un ángulo que
mide 90º, en cambio, sería un triángulo rectángulo por la presencia del ángulo recto. En
cambio, si uno de sus ángulos fuera obtuso (más de 90º), recibiría la calificación de
triángulo obtusángulo.
Es importante resaltar que los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos también
forman parte del grupo de los triángulos oblicuángulos, denominación que alude a que
ninguno de los ángulos internos es recto.
Si nos centramos en las medidas de sus lados, los triángulos acutángulos pueden incluirse
además en otros conjuntos. Hay triángulos acutángulos que también son triángulos
equiláteros porque sus tres lados miden lo mismo. Otros triángulos acutángulos son
triángulos isósceles, con dos lados idénticos y uno distinto. Los triángulos acutángulos, por
último, pueden ser triángulos escalenos si los tres lados presentan diferente extensión.
Teniendo en cuenta lo explicado, es importante recordar que un triángulo puede ser
acutángulo y equilátero o acutángulo y escaleno, por citar dos posibilidades, ya que son
clasificaciones que aluden a distintas características de las figuras.
Área y perímetro de un triángulo
Perímetro de un triángulo
El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
Área de un triángulo
El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su
prolongación).
Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo:
Área de un triángulo equilátero
Ejemplo
Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.
Ejemplo
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
Semiperímetro
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.
Se nombra con la letra p.
Fórmula de Herón
La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres
lados.
Ejemplo
Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R = radio de la circunferencia circunscrita
Circunferencia inscrita en un triángulo
r = radio de la circunferencia inscrita
p = semiperímetro
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por
su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
¿Cómo se obtiene?
El área del triángulo isósceles se obtiene como el producto de la base (el lado b) por la
altura (h) dividido por dos (Nota: ¿por qué el área de un triángulo es un medio del
producto de la base por la altura?).
Ésta se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un
triángulo rectángulo. Los costados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.
La altura h correspondiente a la base se obtiene por los siguientes cálculos:
La altura (h) será:
Se aplica que el área es un medio del producto de la base (b) por la altura (h):
Y se llega a la fórmula del área del triángulo isósceles.
Ejemplo
Se requiere calcular el área de un triángulo isósceles. Se conocen sus lados: hay dos lados
iguales de a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.
¿Cuál es su área?
Se calcula ésta mediante la fórmula anterior, multiplicando la base por la altura:
El área de este triángulo isósceles es de 2,83 cm2.