TIPOS DE ÁNGULOS 𝐴 𝐵

𝐶𝑂

∡ 𝐴𝑂𝐵+∡𝐵𝑂𝐶=90 °

Ánguloscomplementarios

TIPOS DE ÁNGULOS

𝐴

𝐵

𝐶𝑂

∡ 𝐴𝑂𝐵+∡𝐵𝑂𝐶=180 °

Ángulossuplementarios

3 𝑥 /2𝑥4 𝑥

Si el ángulo y el es el tripledel , ¿Cuánto mide cada ángulo

∠1

∠2 ∠3

PARALELISMO

A B

C D

E

F

Secante

𝐴𝐵∥𝐶𝐷

Tangente

PARALELISMO

A B

C D

E

F

𝐴𝐵∥𝐶𝐷 sec

∢1∢ 4

∢5∢8

∢2

∢3 ∢6

∢7

∢1=∢4=∢5=∢ 8∢2=∢3=∢6=∢7

Teorema

PARALELISMO

A B

C D

E

F

𝐴𝐵∥𝐶𝐷 sec

120 °

60°

x

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

SEMEJANTESólo les falta una constante paraser iguales

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

A

B

C A’

B’

C’

ángulosiguales

Triángulossemejantes

𝐴𝐵𝐴𝐶

= 𝐴′𝐵 ′𝐴′𝐵 ′

𝐴𝐵𝐶𝐵

= 𝐴′𝐵 ′𝐶′ 𝐵 ′

𝐵𝐶𝐴𝐶

=𝐵′𝐶 ′𝐴′𝐵 ′

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

4m

5m 10m

x

A

B

C

D

E

𝐴𝐵∥𝐸𝐷

3m

4m12m

?

𝐴𝐵∥𝐸𝐷

AB

E

C D

E

12m 4m

3m

𝐴𝐵12

= 34

A

BC

D

E𝐴𝐵∥𝐸𝐷

3m

2m

???

MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS

Teorema: La suma interna de los ángulos de un triángulo, es de 180°

α

β

γ

𝛼+𝛽+𝛾=180

MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS

Teorema: La suma externa de los ángulos de un triángulo, es de 360°

α

β

γ

𝛼+𝛽+𝛾=180

𝛿+𝜀+𝜃=360

ε

θ

δ

MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS

α

β

γ

𝛼+𝛽+𝛾=180

𝛿+𝜀+𝜃=360

ε

θ

δ

Teorema: La suma interna de dos ángulos continuos de un triángulo, es igual a su opuesto externo

𝛼+𝛽=𝛿

135°

x

30°

y

Ejemplo

δ=

=θ 180°-δ

+(180°-δ)x=

z

MÉTRICAS ENTRE TRIÁNGULOS

hipotenusa

Cate

to

cateto

Ángulo recto

= 90°

ac

b

Teorema de Pitágoras: el cuadradode la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos

𝑐2=𝑎2+𝑏2

a𝒄=√𝒂𝟐+𝒃𝟐

b

𝑐2=𝑎2+𝑏2

c

𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐2−𝑏2=𝑎2𝑎=√𝑐2−𝑏2

a = 3

b = 4

c = ?

𝑐2=𝑎2+𝑏2

a = 10

b = ?

c = 12

𝑐2=𝑎2+𝑏2

a = ?

b = 3

c = 8

𝑐2=𝑎2+𝑏2

𝑐2=𝑎2+𝑏2

4

h = ?

𝑐2=𝑎2+𝑏2

l = ?

h = 3

x

yh

b

a

cA

B

C

D

yh

b

a

cA

B

C

D

x

yh

b

a

cA

B

C

D

x

yh

b

cA

B

C

D

x

h

b

A

y

C

D

x

A

y

C

Dh

BD

A

x

h

b

c

h𝑦

𝑥h=

x

yh

b

a

cA

B

C

D

yh

b

a

cA

B

C

D

yh

b

a

c

AB

C

D

BA

y

h

b

a

cA

B

C

DB

A

c

x

yh

b

a

cA

B

C

D

POLÍGONOSSe llama polígono aquella porcióndel plano limitada por una curva cerrada

A B

C

DE

A B

C

D

EF

Polígono cóncavo

Polígono convexo

POLÍGONOS

irregulare

s

regulares

Triángulo• 3Cuadrilátero• 4Pentágono• 5Hexágono• 6Heptágono• 7Octágono• 8Eneágono• 9Decágono• 10

POLÍGONOSTeorema : la suma de los ángulos interioresde un polígono es:

180 (𝑛−2 )

para n = 3

180

POLÍGONOSTeorema : en un polígono regular, cadaángulo interno en cada vértice es

180 (𝑛−2 )𝑛

= 128°34’17’’

POLÍGONOS

𝑑=𝑛−3

Diagonal

Numero de

diagonales

Diagonales totales

𝑛 (𝑛−3 )2

POLÍGONOS

Polígono inscrito

Polígono circunscrito

Radio de un polígono

Apotema

ra

POLÍGONOS

r ar

a

ll/2

𝑟2=𝑎2+( 𝑙2 )2

¿ √𝑟2 − (𝑙 2)2

Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3m de radio, si el lado del cuadrado mide 3√2m

3m

3 √2

Calcular los ángulos

α

βγ

Calcular las diagonales

l=3

TRIGONOMETRÍA

hipotenusa

Cate

to o

pues

to

Cateto adyacente

α

Relacionestrigonométricas

Catetoadyacent

e

Catetoopuesto

hipotenusa

β

Cate

to a

dyac

ente

Cateto opuesto

TRIGONOMETRÍACa

teto

opu

esto

Cateto adyacente

α

ac

b

Seno α =h𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎

hipotenusa

TRIGONOMETRÍAhipotenusa

Cate

to o

pues

to

Cateto adyacente

α

ac

b

coseno α =h𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎

cos𝛼=𝑐𝑏

TRIGONOMETRÍAhipotenusa

Cate

to o

pues

to

Cateto adyacente

α

ac

b

tangente α =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎

cos𝛼=𝑐𝑏

tan𝛼=𝑐𝑏

TRIGONOMETRÍAhipotenusa

Cate

to o

pues

to

Cateto adyacente

α

ac

b

s𝑒𝑛𝛼=𝑐𝑎

cos𝛼=𝑐𝑏

tan𝛼=𝑐𝑏

cot𝛼=𝑏𝑐

sec𝛼=𝑐𝑏

csc𝛼=𝑎𝑐

cotangente

secante

cosecante

TRIGONOMETRÍA