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Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état
SYS-823Été 2013
© Guy Gauthier ing. Ph.D
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 2
Équations différentielles
• Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires.
• Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle.
• Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 3
Forme générale des modèles dymanique
• Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre :
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
n m r
n m r
n n n m r
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Variables d’état Variables d’entrées Paramètres
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 4
Représentation vectorielle
• Équation :
• Si les paramètres sont constants, on peut écrire :
, ,x f x u p
,x f x u
S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ».
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 5
Solutions en régime permanent
• Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles):
0 f x u p, ,
Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 6
Exemple
• Soit un pendule modélisé par:2( ) sin( ( )) ( )t a t T t
Paramètre Couple
Angle
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 7
Exemple
• Soit un pendule modélisé par:
• États:
2( ) sin( ( )) ( )t a t T t
1
2 1
x
x x
Position (Angle)
Vitesse
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 8
Exemple
• Équations d’état:
1 1 2
22 2 1
( , )
( , ) sin( ) ( )
x f x u x
x f x T a x T t
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 9
Exemple
• Si T(t) = 0, on trouve deux positions d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0.
• Ce qui mène à:
1 2
22 1
0 ( , )
0 ( , ) sin( )
f x u x
f x T a x
1
2
0 et
0
x
x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 10
Exemple
• Si T(t) = Ts ≤ a2, on trouve la position d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0.
• Ce qui mène à:
1 2
22 1
0 ( , )
0 ( , ) sin( ) s
f x u x
f x T a x T
1 2
2
arcsin
0
sTx
a
x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 11
Les sorties de ce système
• Les p sorties du système dynamique sont représentées par ces équations:
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
n m r
n m r
p p n m r
y g x x x u u u p p p
y g x x x u u u p p p
y g x x x u u u p p p
Sorties Variables d’entrées Paramètres
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 12
Les sorties de ce système
• On peut mettre les équations des sorties sous forme vectorielle:
, ,y g x u p
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 13
Diagramme bloc du système
• C’est un schéma bloc général, puisque f et g peuvent être non-linéaires.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 14
LINÉARISATION
Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ?
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15
Linéarisation
• Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné :
x A x B u
y C x D u
,
,
x f x u
y g x u
En xs, us
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 16
Cas avec une seule variable
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( )x f x
x f x f xf
xx x
f
xx xs
xs
x
s
s s
1
2
2
2
2
On néglige les termesd’ordre plus élevés !
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 17
Cas avec une seule variable(suite)
• Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc :
• En conséquence :
( )x f xs s 0
x f xf
xx x
xs
s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 18
Cas avec une seule variable(suite)
• Comme :
• On peut poser :
• Et écrire : xf
xx ax
x s
d x x
d txs
x x x s
Puisque xs constant
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 19
Cas une entrée/une variable d’état
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( , )x f x u
f x u f x uf
xx x
f
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
0 Les termes d’ordre supérieur seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 20
Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)
• On pose :
• Donc :
x x x
u u us
s
, ,
xf
xx
f
uu ax bu
x u x us s s s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 21
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
y g x u ( , )
g x u g x ug
xx x
g
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
y s Les termes d’ordre supérieur seront négligésLa sortie en régime
permanent
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 22
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite)
• En posant :
• On obtient pour la sortie linéarisée :
yg
xx
g
uu cx du
x u x us s s s
, ,
x x x
u u u
y y y
s
s
s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 23
Exemple #1
• Réservoir cylindrique dont on mesure le niveau:
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 24
Exemple #1
• Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire :
• Série de Taylor :
dh
d t
F
A Ah f h F
( , )
f h F f h Ff
hh h
f
FF Fs s
h Fs
h Fs
s s s s
, ,, ,
Négligeant les termes d’ordre supérieur
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 25
Exemple #1(suite)
• En dérivant :
• En régime permanent :
f
h A h
f
F Ah F s h Fs s s s, ,
2
1
f h FF
A Ahs s
ss,
0
Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres…
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 26
Exemple #1(suite)
• Donc :
• Ou encore :
d h h
d t A hh h
AF Fs
ss s
2
1
dx
d t A hx
Au
s
2
1
a b
Écart Écart
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 27
Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie
• Équations non-linéaires :
( , , )
( , , )
( , , )
x f x x u
x f x x u
y g x x u
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 28
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
f x x u f x x uf
xx x
f
xx x
f
uu u
f x x u f x x uf
xx x
f
xx
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
x x u
s
x x u
s s s
s s s s s s
s s s
s s s
1 1 2 1 1 21
11 1
1
22 2
1
2 1 2 2 1 22
11 1
2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
, , , ,
, , , ,
, ,
, , , ,
, ,
, ,
2 22
1 2
xf
uu us
x x us
s s s
, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 29
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
• Avec :
g x x u g x x ug
xx x
g
xx x
g
uu u
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
s s s s s s
1 2 1 21
1 1
22 2
1 2
1 2 1 2
, , , ,, ,
, , , ,
g x x u ys s s s1 2, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 30
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Comme :
• On écrit :
dx
d t
d x x
d t
dx
d t
d x x
d ts s1 1 1 2 2 2
e t
1 2 1 2 1 2
1 21 2 1 2
1 1 11 1
1 2, , , , , ,1 1
2 22 2 22 2
, ,1 2, , , ,
s s s s s s s s s
s s ss s s s s s
s
x x u x x u x x uss
ss
x x ux x u x x u
f f fd x xx x ux xdt u u
x xd x x ff fudt x x
x A x B u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 31
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Et :
1 2
1 2 1 2
1 2
, ,1 1
2 21 2, , , ,
, ,
s s s
s s s s s s
s s s
x x uss s
sx x u x x u
x x u
g
ux xg gy y u u
x xx x g
u
y C x D u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 32
Exemple du pendule
• Rappel de l’équation d’état non-linéaire (avec entrée nulle):
1 1 2
22 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 33
Exemple du pendule
• À x1s = x2s = 0 (pendule vers le bas):
1 1 2
22 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 20, 0, 0 0, 0, 0
2
2 2
1 20, 0, 0 0, 0, 0
0 1
0s s s s s s
s s s s s s
x x u x x u
x x u x x u
f f
x xA
af f
x x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 34
Exemple du pendule
• À x1s = π, x2s = 0 (pendule vers le haut):
1 1 2
22 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 2, 0, 0 , 0, 0
2
2 2
1 2, 0, 0 , 0, 0
0 1
0s s s s s s
s s s s s s
x x u x x u
x x u x x u
f f
x xA
af f
x x
![Page 35: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/35.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 35
Généralisant
• Système ayant n états, m entrées et p sorties:
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
n m
n n n m
n m
p p n m
x f x x x u u u
x f x x x u u u
y g x x x u u u
y g x x x u u u
,
,
x f x u
y g x u
![Page 36: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/36.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 36
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice Jacobienne (A) :
• Élément de la matrice B :
Af
xiji
j x us s
,
Bf
uiji
j x us s
,
![Page 37: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/37.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 37
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice C :
• Élément de la matrice D :
Cg
xiji
j x us s
,
Dg
uiji
j x us s
,
![Page 38: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/38.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 38
Forme après la linéarisation
• Équation d’état :
• Équation de sortie:
• Forme habituelle:
x A x B u
y C x D u
x A x B u
y C x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 39
Exemple #2
• Deux réservoirs en interaction :
F h h1 1 1 2 F h2 2 2
2 1h h
![Page 40: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/40.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 40
Exemple #2(suite)
• Équations du système :
• Si la sortie h2 nous intéresse :
dh
d t
F
A Ah h f h h F
dh
d t Ah h
Ah f h h F
1 0
1
1
11 2 1 1 2 0
2 1
21 2
2
22 2 1 2 0
( , , )
( , , )
y h h s 2 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 41
Exemple #2(suite)
• Posons :
• Calcul de la Jacobienne :
x h h
x h h
u F F
s
s
s
1 1 1
2 2 2
0 0
Af
h A h hh u s s
s s
111
1
1
1 1 22
,
![Page 42: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/42.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 42
Exemple #2(suite)
• Calcul de la Jacobienne :
Af
h A h hh u s s
s s
1 21
2
1
1 1 22
,
Af
h A h hh u s s
s s
2 12
1
1
2 1 22
,
Af
h A h h A hh u s s s
s s
2 22
2
1
2 1 2
2
2 22 2
,
![Page 43: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/43.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 43
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice B :
Bf
F Ah us s
111
0 1
1
,
Bf
F h us s
2 12 0
,
![Page 44: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/44.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 44
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice C :
Cg
hh us s
111
0
,
Cg
hh us s
1 22
1
,
![Page 45: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/45.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 45
Exemple #2(suite)
• Bilan :
1 1
1 1 2 1 1 21 11
2 21 1 2
2 1 2 2 1 2 2 2
1
2
12 2
02
0 1
s s s s
s s s s s
A h h A h hx x A ux x
A h h A h h A h
xy
x
![Page 46: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/46.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 46
Solution pour des entrées nulles
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire :
x A x B u
x A x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 47
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
• Elle converge si a<0.– Alors, le système est dit stable.
x t e xa t( ) ( ) 0
x ax
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 48
Cas multivariable
• Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Problème :– Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ?
x t e xA t( ) ( ) 0
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 49
Méthode de la transformation de similarité
• Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2.
• Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A.
• Cette équation caractéristique est obtenue comme suit:
d e t( )I A
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 50
Valeurs propres(Exemple)
• Soit la matrice A suivante :
• L’équation caractéristique est :
A
1 1
0 5
d e t d e t
0
0
1 1
0 5
1 1
0 5
1 5
![Page 51: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/51.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 51
Valeurs propres(Exemple - suite)
• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.
– Fonction sur MATLAB : eig(A)
![Page 52: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/52.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 52
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi.
• Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de :
pour la valeur propre correspondante li.
A i i i
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 53
Vecteurs propres(Exemple - suite)
• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 51
11
2 1
11
2 1
v
v
v
v
v
v11
2 1
1
0
![Page 54: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/54.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 54
Vecteurs propres(Exemple)
• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 55
1 2
2 2
1 2
2 2
v
v
v
v
v
v1 2
2 2
0 2 4 2 5
0 9 7 0 1
.
.
![Page 55: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/55.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 55
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut généraliser en écrivant :
• Avec :
A V V
Vv v
v vet
11 1 2
2 1 2 2
1
2
0
0
![Page 56: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/56.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 56
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut écrire :
• En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve :
• Avec :
A V V 1
e V e VA t t 1
ee
et
t
t
1
2
0
0
![Page 57: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/57.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 57
Solution du système
• Ainsi :
• Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable.
x t V e V xt( ) ( ) 1 0
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 58
Fin de l’exemple
• Solution :
• Ou encore
x t Ve
eV x
t
t( ) ( )
0
005
1
511 1 24
52 2
( ) (0) (0)
( ) (0)
t t t
t
x t x e x e e
x t x e
![Page 59: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/59.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 59
Effet de la direction de la condition initiale
• Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres.
• Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant :
x V z z V x 1
![Page 60: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/60.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 60
Solution de ce système
• La solution est (si 2x2) :
z t
z t
e
e
z
z
t
t
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
![Page 61: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/61.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 61
Condition initiale #1
• Si la condition initiale est de la forme :
• Alors la réponse est :
zz
( )( )
00
01
z tz e t
( )( )
1 0
0
1
![Page 62: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/62.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 62
Condition initiale #1
• La condition initiale :
– Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ».
zz
( )( )
00
01
![Page 63: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/63.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 63
Condition initiale #1
• Si on revient dans la variable originale :
x tx t
x t
v v
v v
z t
z t
v v
v v
z e v z e
v z e
t t
t
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1 11 1
2 1 1
0
0
0
0
1 1
1
De même pour
λ2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 64
Exemple
• Solution :
• Si z(0) = [1 0]T :
z te
ez
t
t( ) ( )
0
005
z te
x tet t
( ) ( )
0 0
![Page 65: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/65.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 65
Exemple
• Si z(0) = [0 1]T :
z te
x te
et
t
t( ) ( ).
.
0 0 2 4 2 5
0 9 7 0 15
5
5
![Page 66: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/66.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 66
Exemple
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]
x2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.9701]
x2
Sous espace lent Sous espace rapide
![Page 67: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/67.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 67
Solutions de la forme générale
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0.
x A x B u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 68
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
– Pour u(t) = constante = u(0).
x t e x eb
aua t a t( ) ( ) ( ) 0 1 0
x ax bu
![Page 69: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/69.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 69
Cas multivariable
• Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Avec :
x t P x Q u( ) ( ) ( ) 0 0
P e
Q P I A B
A t
1
![Page 70: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/70.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 70
u(t) pas constant
• Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps:
x t t P x t Q u t( ) ( ) ( )
![Page 71: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/71.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 71
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle
![Page 72: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/72.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 72
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:
• Calcul de la sortie:
( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d
( )
0
( ) (0) ( )t
At A ty t Ce x C e Bu d
![Page 73: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/73.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 73
Observabilité(Définition)
• Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0).
![Page 74: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/74.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 74
Observabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non.
ran g
C
C A
C A
C A
n
n
2
1
![Page 75: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/75.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 75
Contrôlabilité(Définition)
• Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini.
![Page 76: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/76.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 76
Contrôlabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non.
ran g B A B A B A B nn2 1
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 77
Stabilité d’un système représenté par des équations d’état
• Le système est stable si :
est tel que l’ensemble des valeurs propres sont à partie réelle négative. Il suffit d’une seule valeur propre à partie réelle positive pour rendre le système instable.
d et sI A 0
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 78
Stabilité - Exemple
• Ainsi :
• …est instable, car :• s ϵ {-0.5, -0.7807764064, 1.280776406}.
34
1 0 0 0 1 1
det det 0 1 0 0 0 1
0 0 1 2 3 4
1 1
det 0 1
2
5 2
3 4
s
s
s
s
s
sI A
s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 79
Exemple(réservoirs indépendants)
• Équation d’état :
d e t d e ts
s
A h
A h A h
sA h
A hs
A h
sA h
sA h
s
s s
s
s s
s s
0
0
20
2 2
20
2 2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
2
2 2
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
![Page 80: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/80.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 80
Exemple(réservoirs indépendants)
• Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives.
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
![Page 81: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/81.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 81
Vecteurs propres
• Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état.
• Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres.
A i i i
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 82
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #1 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
11
2 1
1
1 1
11
2 1
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
vA
A
h
h
v
s
s11
2
1
2 1
1 2
2 1 1
![Page 83: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/83.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 83
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #2 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1 2
2 2
2
2 2
1 2
2 2
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
v
v1 2
2 2
0
1
![Page 84: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/84.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 84
Fin de la présentation
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 85
EXPONENTIELLE D’UNE MATRICED’où vient cette équation ?
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 86
Exponentielle d’une valeur scalaire
• Soit une valeur scalaire .
• Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit:
x
21 11
2 !x ke x x x
k
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 87
Exponentielle d’une matrice
• Par extension, soit .
• Alors, on peut écrire la série suivante:
– Ce qui peut être long à calculer…
n nA
21 1
2 !A ke I A A A
k
![Page 88: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/88.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 88
Transformation de similarité
• Puisque:
• …nous pouvons alors simplifier la série de l’exponentielle.
1A V V
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 89
Retour sur l’exponentielle
• Ainsi, on peut écrire la série exponentielle comme suit:
21 1
1
1
21
!
A
k
e I V V V V
V Vk
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 90
Il semble que l’on ne gagne rien, mais…
• Voyons le terme:
• On peut l’écrire:
– Puisque . – On peut répéter ce manège pour les puissances
supérieures…
21 1 1 2 1V V V V V V V V
21V V
1VV I
![Page 91: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/91.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 91
Et en plus…
• Λk est une matrice diagonale.
1
2
0 0
0 0
0 0
k
kk
kn
![Page 92: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/92.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 92
Effet sur la série
• Et puisque :
1 1 2 1
1
1
21
!
A
k
e VV V V V V
V Vk
1VV I
![Page 93: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da47a/html5/thumbnails/93.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 93
Effet sur la série
• Ou encore:
• Reconnaissez vous le terme entre parenthèses:
2 11 1
2 !A ke V I V
k
1Ae Ve V
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 94
Exponentielle d’une matrice diagonale
• L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire:
1
2
0 0
0 0
0 0 n
e
ee
e
Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 95
Exemple numérique
• Soit:
• Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5.
0 1 0
0 0 1
60 47 12
A
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 96
Exemple numérique(suite)
• Les vecteurs propres correspondants sont:
– Sur MATLAB®: • A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12]• [S,V]=eig(A)
1 2 3
0.1048 0.0605 0.0392
0.3145 , 0.2421 , 0.1960
0.9435 0.9684 0.9798
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 97
Exemple numérique(suite)
• L’exponentielle de Λt sera:
• Et: .
3
4
5
0 0
0 0
0 0
t
t t
t
e
e e
e
1At te Ve V