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Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état
SYS-823Été 2011
© Guy Gauthier ing. Ph.D
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 2
Équations différentielles
• Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires.
• Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle.
• Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 3
Forme générale des modèles dymanique
• Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre :
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
n m r
n m r
n n n m r
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Variables d’état Variables d’entrées Paramètres
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 4
Représentation vectorielle
• Équation :
• Si les paramètres sont constants, on peut écrire :
, ,x f x u p
,x f x u
S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ».
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 5
Solutions en régime permanent
• Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles):
0 f x u p, ,
Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 6
Représentation matricielle
• Équations :
• La matrice A est nommée la matrice Jacobienne :
• Détermine la stabilité du système;• Détermine la vitesse de la réponse.
– Valeurs propres (eigenvalues).
x A x B u
y C x D u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 7
LINÉARISATION
Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ?
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8
Linéarisation
• Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné :
x A x B u
y C x D u
,
,
x f x u
y g x u
En xs, us
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 9
Cas avec une seule variable
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( )x f x
x f x f xf
xx x
f
xx xs
xs
x
s
s s
1
2
2
2
2
On néglige les termesd’ordre plus élevés !
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 10
Cas avec une seule variable(suite)
• Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc :
• En conséquence :
( )x f xs s 0
x f xf
xx x
xs
s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 11
Cas avec une seule variable(suite)
• Comme :
• On peut poser :
• Et écrire : xf
xx ax
x s
d x x
d txs
x x x s
Puisque xs constant
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 12
Cas une entrée/une variable d’état
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( , )x f x u
f x u f x uf
xx x
f
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
0 Les termes d’ordre supérieur seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 13
Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)
• On pose :
• Donc :
x x x
u u us
s
, ,
xf
xx
f
uu ax bu
x u x us s s s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 14
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
y g x u ( , )
g x u g x ug
xx x
g
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
y s Les termes d’ordre supérieur seront négligésLa sortie en régime
permanent
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 15
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite)
• En posant :
• On obtient pour la sortie linéarisée :
yg
xx
g
uu cx du
x u x us s s s
, ,
x x x
u u u
y y y
s
s
s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 16
Exemple #1
• Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire :
• Série de Taylor :
dh
d t
F
A Ah f h F
( , )
f h F f h Ff
hh h
f
FF Fs s
h Fs
h Fs
s s s s
, ,, ,
Négligeant les termes d’ordre supérieur
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 17
Exemple #1(suite)
• En dérivant :
• En régime permanent :
f
h A h
f
F Ah F s h Fs s s s, ,
2
1
f h FF
A Ahs s
ss,
0
Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres…
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 18
Exemple #1(suite)
• Donc :
• Ou encore :
d h h
d t A hh h
AF Fs
ss s
2
1
dx
d t A hx
Au
s
2
1
a b
Écart Écart
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 19
Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie
• Équations non-linéaires :
( , , )
( , , )
( , , )
x f x x u
x f x x u
y g x x u
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 20
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
f x x u f x x uf
xx x
f
xx x
f
uu u
f x x u f x x uf
xx x
f
xx
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
x x u
s
x x u
s s s
s s s s s s
s s s
s s s
1 1 2 1 1 21
11 1
1
22 2
1
2 1 2 2 1 22
11 1
2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
, , , ,
, , , ,
, ,
, , , ,
, ,
, ,
2 22
1 2
xf
uu us
x x us
s s s
, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 21
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
• Avec :
g x x u g x x ug
xx x
g
xx x
g
uu u
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
s s s s s s
1 2 1 21
1 1
22 2
1 2
1 2 1 2
, , , ,, ,
, , , ,
g x x u ys s s s1 2, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 22
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Comme :
• On écrit :
dx
d t
d x x
d t
dx
d t
d x x
d ts s1 1 1 2 2 2
e t
1 2 1 2 1 2
1 21 2 1 2
1 1 11 1
1 2, , , , , ,1 1
2 22 2 22 2
, ,1 2, , , ,
s s s s s s s s s
s s ss s s s s s
s
x x u x x u x x uss
ss
x x ux x u x x u
f f fd x xx x ux xdt u u
x xd x x ff fudt x x
x A x B u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 23
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Et :
1 2
1 2 1 2
1 2
, ,1 1
2 21 2, , , ,
, ,
s s s
s s s s s s
s s s
x x uss s
sx x u x x u
x x u
g
ux xg gy y u u
x xx x g
u
y C x D u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 24
Généralisant
• Système ayant n états, m entrées et p sorties:
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
n m
n n n m
n m
p p n m
x f x x x u u u
x f x x x u u u
y g x x x u u u
y g x x x u u u
,
,
x f x u
y g x u
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 25
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice Jacobienne (A) :
• Élément de la matrice B :
Af
xiji
j x us s
,
Bf
uiji
j x us s
,
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 26
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice C :
• Élément de la matrice D :
Cg
xiji
j x us s
,
Dg
uiji
j x us s
,
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 27
Forme après la linéarisation
• Équation d’état :
• Forme habituelle:
x A x B u
y C x D u
x A x B u
y C x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 28
Exemple #2
• Deux réservoirs en interaction :
F h h1 1 1 2 F h2 2 2
2 1h h
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 29
Exemple #2(suite)
• Équations du système :
• Si la sortie h2 nous intéresse :
dh
d t
F
A Ah h f h h F
dh
d t Ah h
Ah f h h F
1 0
1
1
11 2 1 1 2 0
2 1
21 2
2
22 2 1 2 0
( , , )
( , , )
y h h s 2 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 30
Exemple #2(suite)
• Posons :
• Calcul de la Jacobienne :
x h h
x h h
u F F
s
s
s
1 1 1
2 2 2
0 0
Af
h A h hh u s s
s s
111
1
1
1 1 22
,
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 31
Exemple #2(suite)
• Calcul de la Jacobienne :
Af
h A h hh u s s
s s
1 21
2
1
1 1 22
,
Af
h A h hh u s s
s s
2 12
1
1
2 1 22
,
Af
h A h h A hh u s s s
s s
2 22
2
1
2 1 2
2
2 22 2
,
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 32
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice B :
Bf
F Ah us s
111
0 1
1
,
Bf
F h us s
2 12 0
,
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 33
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice C :
Cg
hh us s
111
0
,
Cg
hh us s
1 22
1
,
![Page 34: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/34.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 34
Exemple #2(suite)
• Bilan :
1 1
1 1 2 1 1 21 11
2 21 1 2
2 1 2 2 1 2 2 2
1
2
12 2
02
0 1
s s s s
s s s s s
A h h A h hx x A ux x
A h h A h h A h
xy
x
![Page 35: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/35.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 35
Système du deuxième ordre
• Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par :
• Posant :
y a y a y bu 1 0
x y
x x y
x y
1
1 2
2
Exem
ple
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 36
Système du deuxième ordre
• Alors on peut réécrire sous cette forme :
• Ou encore :
x x
x a x a x bu1 2
2 1 2 0 1
x
x a a
x
x bu
1
2 0 1
1
2
0 1 0
![Page 37: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/37.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 37
Système du deuxième ordre
• Pour la sortie :
• Ou encore :
y x 1
yx
x
1 0
1
2
Fin
![Page 38: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/38.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 38
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Soit un système représenté par :
• Posant :
y a y a y a y a y b u b u
y a y a y a y a y b u b u1 11 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 11 1 1 2 2
2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2
x y
x x y
x y
x y
x x y
x y
1 1
1 2 1
2 1
3 2
3 4 2
4 2
Exem
ple
![Page 39: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/39.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 39
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Donc :
x x
x a x a x a x a x b u b u
x x
x a x a x a x a x b u b u
1 2
2 11 2 1 0 1 2 1 4 2 0 3 11 1 1 2 2
3 4
4 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 1 2 2 2
y x
y x1 1
2 2
![Page 40: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/40.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 40
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Alors on peut réécrire sous cette forme :
x
x
x
x
a a a a
a a a a
x
x
x
x
b
b
b
b
u
u
1
2
3
4
1 0 11 2 0 2 1
1 2 1 3 2 2 2 3
1
2
3
4
11
2 1
1 2
2 2
1
2
0 1 0 0
0 0 0 1
0
0
0
0
![Page 41: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/41.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 41
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Et :
y
y
x
x
x
x
1
2
1
2
3
4
1 0 0 0
0 0 1 0
Fin
![Page 42: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/42.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 42
Pendule inversé
• Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé.
• Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale.
y
x
2l
q
Exem
ple
![Page 43: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/43.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 43
Position du centre de gravité
• La position du centre de gravité de la tige :
• x : position du chariot;• l : demi-longueur de la tige du pendule;• θ : Angle de la tige avec la verticale.
x x l
y lC G
C G
sin
co s
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 44
Dynamique angulaire du pendule
• Le moment angulaire autour du centre de gravité est :
– I : moment d’inertie de la tige par rapport à son centre de gravité.
I V l H l sin co sq q q CG
HV
![Page 45: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/45.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 45
Dynamique horizontale du pendule
• Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par :
2 2
2 2sinCGd x d
m m x l Hdt dt
q
Non-linéaire
![Page 46: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/46.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 46
Dynamique verticale du pendule
• Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par :
2 2
2 2cosCGd y d
m m l V mgdt dt
q
Non-linéaire
![Page 47: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/47.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 47
Dynamique du chariot
• Le mouvement horizontal du chariot est représenté par :
Md x
dtu H
2
2
![Page 48: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/48.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 48
Simplification
• Si l’angle θ est très petit, alors :
M x u H
m x l H q
I V l H lq q
0 V m g M m x m l u q
I m l m lx m gl 2 q q
Linéaire
![Page 49: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/49.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 49
Simplification [2]
• Réécrivons les équations (I=0) :
• Posant :
M l M m g uq q
M x u m g q
x x
x x x x1 2
3 4
q q
![Page 50: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/50.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 50
Passage aux équations d’état
• Les sorties qui nous intéressent sont :– position du chariot– angle de la tige du pendule
yy
y x
1
2
q
![Page 51: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/51.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 51
Passage aux équations d’état
• Les équations sont :
x x
xM m
M lgx
M lu
x x
xm g
Mx
Mu
1 2
2 1
3 4
4 1
1
1
![Page 52: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/52.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 52
Équations d’état
x
x
x
x
M m
M lg
m
Mg
x
x
x
x
M l
M
u
y
y
x
x
x
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
0 0 0
01
01
1 0 0 0
0 0 1 0
![Page 53: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/53.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 53
Exemple numérique
• M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m :
.
. .
x
x
x
x
x
x
x
x
u
y
y
x
x
x
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
0 1 0 0
2 0 6 0 1 0 0 0
0 0 0 1
0 4 9 0 5 0 0 0
0
1
0
0 5
1 0 0 0
0 0 1 0
Fin
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 54
Solution pour des entrées nulles
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire :
x A x B u
x A x
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 55
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
• Elle converge si a<0.– Alors, le système est dit stable.
x t e xa t( ) ( ) 0
x ax
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 56
Cas multivariable
• Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Problème :– Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ?
x t e xA t( ) ( ) 0
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 57
Méthode de la transformation de similarité
• Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2.
• Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A.
• Cette équation caractéristique est obtenue comme suit:
d e t( )I A
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 58
Valeurs propres(Exemple)
• Soit la matrice A suivante :
• L’équation caractéristique est :
A
1 1
0 5
d e t d e t
0
0
1 1
0 5
1 1
0 5
1 5
![Page 59: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/59.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 59
Valeurs propres(Exemple - suite)
• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.
– Fonction sur MATLAB : eig(A)
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 60
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi.
• Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de :
pour la valeur propre correspondante li.
A i i i
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 61
Vecteurs propres(Exemple - suite)
• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 51
11
2 1
11
2 1
v
v
v
v
v
v11
2 1
1
0
![Page 62: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/62.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 62
Vecteurs propres(Exemple)
• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 55
1 2
2 2
1 2
2 2
v
v
v
v
v
v1 2
2 2
0 2 4 2 5
0 9 7 0 1
.
.
![Page 63: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/63.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 63
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut généraliser en écrivant :
• Avec :
A V V
Vv v
v vet
11 1 2
2 1 2 2
1
2
0
0
![Page 64: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/64.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 64
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut écrire :
• En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve :
• Avec :
A V V 1
e V e VA t t 1
ee
et
t
t
1
2
0
0
![Page 65: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/65.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 65
Solution du système
• Ainsi :
• Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable.
x t V e V xt( ) ( ) 1 0
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 66
Fin de l’exemple
• Solution :
• Ou encore
x t Ve
eV x
t
t( ) ( )
0
005
1
511 1 24
52 2
( ) (0) (0)
( ) (0)
t t t
t
x t x e x e e
x t x e
![Page 67: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/67.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 67
Effet de la direction de la condition initiale
• Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres.
• Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant :
x V z z V x 1
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 68
Solution de ce système
• La solution est (si 2x2) :
z t
z t
e
e
z
z
t
t
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
![Page 69: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/69.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 69
Condition initiale #1
• Si la condition initiale est de la forme :
• Alors la réponse est :
zz
( )( )
00
01
z tz e t
( )( )
1 0
0
1
![Page 70: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/70.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 70
Condition initiale #1
• La condition initiale :
– Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ».
zz
( )( )
00
01
![Page 71: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/71.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 71
Condition initiale #1
• Si on revient dans la variable originale :
x tx t
x t
v v
v v
z t
z t
v v
v v
z e v z e
v z e
t t
t
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1 11 1
2 1 1
0
0
0
0
1 1
1
De même pour
λ2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 72
Exemple
• Solution :
• Si z(0) = [1 0]T :
z te
ez
t
t( ) ( )
0
005
z te
x tet t
( ) ( )
0 0
![Page 73: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/73.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 73
Exemple
• Si z(0) = [0 1]T :
z te
x te
et
t
t( ) ( ).
.
0 0 2 4 2 5
0 9 7 0 15
5
5
![Page 74: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/74.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 74
Exemple
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]
x2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.9701]
x2
Sous espace lent Sous espace rapide
![Page 75: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/75.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 75
Solutions de la forme générale
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0.
x A x B u
![Page 76: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/76.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 76
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
– Pour u(t) = constante = u(0).
x t e x eb
aua t a t( ) ( ) ( ) 0 1 0
x ax bu
![Page 77: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/77.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 77
Cas multivariable
• Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Avec :
x t P x Q u( ) ( ) ( ) 0 0
P e
Q P I A B
A t
1
![Page 78: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/78.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 78
u(t) pas constant
• Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps:
x t t P x t Q u t( ) ( ) ( )
![Page 79: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/79.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 79
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle
![Page 80: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/80.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 80
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:
• Calcul de la sortie:
( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d
( )
0
( ) (0) ( )t
At A ty t Ce x C e Bu d
![Page 81: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/81.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 81
Observabilité(Définition)
• Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0).
![Page 82: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/82.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 82
Observabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non.
ran g
C
C A
C A
C A
n
n
2
1
![Page 83: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/83.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 83
Observabilité
• Exemple:
• Le système est observable.
ran g
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
4
![Page 84: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/84.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 84
Contrôlabilité(Définition)
• Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini.
![Page 85: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/85.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 85
Contrôlabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non.
ran g B A B A B A B nn2 1
![Page 86: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/86.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 86
Contrôlabilité
• Exemple:
• Le système est contrôlable.
ran g
0 0
0 04
11 1 2
11 1 2 11 11 2 1 2 1 11 1 2 2 1 2 2
2 1 2 2
2 1 2 2 1 3 11 2 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 2
b b
b b a b a b a b a b
b b
b b a b a b a b a b
![Page 87: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/87.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 87
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité)
• Système :1 1
2 2
3 3
11
22
3
2 1 0 0
0 2 1 1
0 0 2 2
3 0 0
0 0 4
x x
x x u
x x
xy
xy
x
![Page 88: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/88.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 88
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
C C A
C A
3 0 0
0 0 4
6 3 0
0 0 8
1 2 1 2 3
0 0 1 62
ran g
C
C A
C A
n2
3
Obser
vabl
e
![Page 89: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/89.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 89
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
B A B A B
0
1
2
1
4
4
6
1 2
8
2
ran g B A B A B n2 3
Contrô
labl
e
![Page 90: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/90.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 90
Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité)
• Système :
x
x
x
x
x
x
u
y
y
x
x
x
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
3
1 0 0
0 2 0
0 0 3
0
0
2
3 0 1
0 2 0
![Page 91: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/91.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 91
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
C C A
C A
3 0 1
0 2 0
3 0 3
0 4 0
3 0 9
0 8 02
ran g
C
C A
C A
n2
3
Obser
vabl
e
![Page 92: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/92.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 92
Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
B A B A B
0
0
2
0
2
6
0
4
1 8
2
ran g B A B A B n2 2
Non-
Contrô
labl
e
![Page 93: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/93.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 93
Stabilité d’un système représenté par des équations d’état
• Le système est stable si :
possède des valeur propres à partie réelle négative.
d et sI A 0
![Page 94: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/94.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 94
Stabilité
• Ainsi :
d et d etsI A
s
a s a a a
s
a a a s a
s a a s a a a a a a s
a a a a a a a a s a a a a
1 0 0
0 0 11 0 11 2 0 2 1
1 2 1 3 2 2 2 3
42 3 11
311 2 3 2 1 1 3 1 0 2 2
2
2 1 1 2 11 2 2 1 0 2 3 1 3 2 0 1 0 2 2 1 2 2 0
![Page 95: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/95.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 95
Analyse de la stabilité
• Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A :
• Valeurs propres (eigenvalues).
d e t . . .sI A s s s n 1 2 0
![Page 96: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/96.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 96
Exemple(réservoirs indépendants)
• Équation d’état :
d e t d e ts
s
A h
A h A h
sA h
A hs
A h
sA h
sA h
s
s s
s
s s
s s
0
0
20
2 2
20
2 2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
2
2 2
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
![Page 97: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/97.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 97
Exemple(réservoirs indépendants)
• Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives.
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
![Page 98: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/98.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 98
Vecteurs propres
• Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état.
• Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres.
A i i i
![Page 99: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/99.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 99
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #1 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
11
2 1
1
1 1
11
2 1
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
vA
A
h
h
v
s
s11
2
1
2 1
1 2
2 1 1
![Page 100: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/100.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 100
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #2 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1 2
2 2
2
2 2
1 2
2 2
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
v
v1 2
2 2
0
1
![Page 101: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/101.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 101
VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET PLAN DES PHASES
![Page 102: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/102.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 102
Exemple #1
• Équations d’état: x x
x x1 1
2 2
2
5
x Ax x
2 0
0 5
![Page 103: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/103.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 103
Exemple #1
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
21
0
50
1
![Page 104: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/104.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 104
Trajectoires
• Les vecteurs propres définissent des bissectrices:
x t e x
x t e x
t
t
12
1
25
2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
Nœud
sta
ble
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
![Page 105: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/105.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 105
Exemple #2
• Équations d’état: x x
x x1 1
2 2
2
5
x Ax x
2 0
0 5
![Page 106: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/106.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 106
Exemple #2
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
21
0
50
1
![Page 107: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/107.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 107
Trajectoires
• Effet de la valeur propre positive :x t e x
x t e x
t
t
12
1
25
2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
Poin
t de
selle-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
![Page 108: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/108.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 108
Exemple #3
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2
5
x Ax x
2 1
1 5
![Page 109: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/109.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 109
Exemple #3
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.95711.6972
0.2898
0.28985.3028
0.9571
![Page 110: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/110.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 110
Trajectoires
Nœud
sta
ble
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
![Page 111: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/111.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 111
Exemple #4
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2
5
x Ax x
2 1
1 5
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 112
Exemple #4
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.99032.1401
0.1387
0.13875.1401
0.9903
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113
Trajectoires
Poin
t de
selle
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 114
Exemple #5
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2 3
3 2
x Ax x
2 3
3 2
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 115
Exemple #5
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
2 30 7 0 7 1
0 0 7 0 7 1
2 30 7 0 7 1
0 0 7 0 7 1
jj
jj
.
.
.
.
![Page 116: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/116.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 116
Trajectoires
Nœud
inst
able
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
![Page 117: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/117.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 117
Exemple #6
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 24
x Ax x
1 1
4 1
![Page 118: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/118.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 118
Exemple #6
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.2236 0.38731.7321
0.8944
0.2236 0.38731.7321
0.8944
jj
jj
![Page 119: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/119.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 119
Trajectoires
Cycle
lim
ite
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
![Page 120: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/120.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 120
Cas non-linéaires
• Voici quelques exemples de trajectoires non-linéaires.
• Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre.
![Page 121: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/121.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 121
Exemple #1
• Système bi-linéaire :
• Points d’équilibre :– Cas trivial :
– Cas non-trivial :
x x x
x x x
1 2 1
2 1 2
1
3
x xs s1 2 0
x xs s1 21 3
![Page 122: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/122.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 122
Exemple #1
• Linéarisant :
• Cas trivial :
2 1
2 1
1
3s s
s s
x x
x x
A
A
0 1
3 03 31 2
Instable
![Page 123: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/123.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 123
Exemple #1
• Cas non-trivial :
A
3 0
0 13 11 2
Stable
![Page 124: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/124.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 124
Exemple #1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x 2
![Page 125: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/125.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 125
Exemple #2
• Réacteur biologique avec cinématique de type Monod :
x D x
x x x Dx
Yf
1 1
2 2 21
![Page 126: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/126.jpg)
126
Exemple #2
• Variables :– X1 = biomasse (cellules) [gr/l]– X2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l]– X2f = substrat entrant [gr/l]– Y = rendement (cellules produites vs substrat
consommé)– D = taux de dilution (temps pour renouveler le
contenu du réservoir) [hr-1]– μ = taux de croissance [hr-1]
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
![Page 127: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/127.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 127
Exemple #2
• Taux de croissance :
• Si μmax = 0.53, km = 0.12, Y = 0.4 et x2fs = 4.0
m ax
m
x
k x2
2
![Page 128: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/128.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 128
Exemple #2
• Linéarisant :
• Points d’équilibre :– Cas trivial :
– Cas non-trivial :
A
Dx
x k x
YD
x
Y x k x
s ss s
s m s
ss
s s
s m s
1
2 2
1
2 2
x xs s1 20 4 0 .
x xs s1 21 4 5 2 3 0 3 6 9 2 . .
![Page 129: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/129.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 129
Exemple #2
• Cas trivial :
A
0 11 4 5 6 3 0
1 2 8 6 4 0 8 0 4
0 11 4 5 6 3 0 41 2
.
. .
. .
Instable
![Page 130: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/130.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 130
Exemple #2
• Cas non-trivial :
Stable
A
0 3 2 1 5 9 2 9
1 8 4 3 9 8 3 2
0 4 8 0 3 9 81 2
.
.
. .
![Page 131: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/131.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 131
Fin de la présentation
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 132
EXPONENTIELLE D’UNE MATRICED’où vient cette équation ?
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 133
Exponentielle d’une valeur scalaire
• Soit une valeur scalaire .
• Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit:
x
21 11
2 !x ke x x x
k
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 134
Exponentielle d’une matrice
• Par extension, soit .
• Alors, on peut écrire la série suivante:
– Ce qui peut être long à calculer…
n nA
21 1
2 !A ke I A A A
k
![Page 135: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/135.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 135
Transformation de similarité(exemple)
• Soit .
• On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: .
• Et leur vecteur propre correspondant: .
2 2A
1 2,
1 2,
![Page 136: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/136.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 136
Transformation de similarité(exemple)
• Ainsi:
• Que l’on peut réécrire: .– V est la matrice des vecteurs propres:
1 1 1
2 2 2
A
A
AV V
11 121 2
21 22
v vV
v v
![Page 137: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/137.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 137
Transformation de similarité(exemple)
• Et...– Λ est la matrice des valeurs propres:
1
2
0
0
![Page 138: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/138.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 138
Transformation de similarité
• Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant:
1A V V
![Page 139: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/139.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 139
Retour sur l’exponentielle
• Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit:
21 1
1
1
21
!
A
k
e I V V V V
V Vk
![Page 140: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/140.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 140
Il semble que l’on ne gagne rien, mais…
• Voyons le terme:
• On peut l’écrire:
– Puisque . – On peut répéter ce manège pour les puissances
supérieures…
21 1 1 2 1V V V V V V V V
21V V
1VV I
![Page 141: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/141.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 141
Et en plus…
• Λk est une matrice diagonale.
1
2
0 0
0 0
0 0
k
kk
kn
![Page 142: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/142.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 142
Effet sur la série
• Et puisque :
1 1 2 1
1
1
21
!
A
k
e VV V V V V
V Vk
1VV I
![Page 143: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/143.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 143
Effet sur la série
• Ou encore:
• Reconnaissez vous le terme entre parenthèses:
2 11 1
2 !A ke V I V
k
1Ae Ve V
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 144
Exponentielle d’une matrice diagonale
• L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire:
1
2
0 0
0 0
0 0 n
e
ee
e
Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire.
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 145
Exemple numérique
• Soit:
• Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5.
0 1 0
0 0 1
60 47 12
A
![Page 146: Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081512/551d9d90497959293b8c5c91/html5/thumbnails/146.jpg)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 146
Exemple numérique(suite)
• Les vecteurs propres correspondants sont:
– Sur MATLAB®: • A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12]• [S,V]=eig(A)
1 2 3
0.1048 0.0605 0.0392
0.3145 , 0.2421 , 0.1960
0.9435 0.9684 0.9798
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(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 147
Exemple numérique(suite)
• L’exponentielle de Λt sera:
• Et: .
3
4
5
0 0
0 0
0 0
t
t t
t
e
e e
e
1At te Ve V