représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat sys-823 Été 2011 © guy gauthier ing....
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Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état
SYS-823Été 2011
© Guy Gauthier ing. Ph.D
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 2
Équations différentielles
• Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires.
• Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle.
• Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 3
Forme générale des modèles dymanique
• Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre :
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
x f x x x u u u p p p
n m r
n m r
n n n m r
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Variables d’état Variables d’entrées Paramètres
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 4
Représentation vectorielle
• Équation :
• Si les paramètres sont constants, on peut écrire :
, ,x f x u p
,x f x u
S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ».
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 5
Solutions en régime permanent
• Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles):
0 f x u p, ,
Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 6
Représentation matricielle
• Équations :
• La matrice A est nommée la matrice Jacobienne :
• Détermine la stabilité du système;• Détermine la vitesse de la réponse.
– Valeurs propres (eigenvalues).
x A x B u
y C x D u
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 7
LINÉARISATION
Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ?
8
Linéarisation
• Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné :
x A x B u
y C x D u
,
,
x f x u
y g x u
En xs, us
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 9
Cas avec une seule variable
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( )x f x
x f x f xf
xx x
f
xx xs
xs
x
s
s s
1
2
2
2
2
On néglige les termesd’ordre plus élevés !
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 10
Cas avec une seule variable(suite)
• Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc :
• En conséquence :
( )x f xs s 0
x f xf
xx x
xs
s
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 11
Cas avec une seule variable(suite)
• Comme :
• On peut poser :
• Et écrire : xf
xx ax
x s
d x x
d txs
x x x s
Puisque xs constant
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 12
Cas une entrée/une variable d’état
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
( , )x f x u
f x u f x uf
xx x
f
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
0 Les termes d’ordre supérieur seront négligés
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 13
Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)
• On pose :
• Donc :
x x x
u u us
s
, ,
xf
xx
f
uu ax bu
x u x us s s s
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 14
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
y g x u ( , )
g x u g x ug
xx x
g
uu us s
x us
x us
s s s s
, ,, ,
y s Les termes d’ordre supérieur seront négligésLa sortie en régime
permanent
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 15
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite)
• En posant :
• On obtient pour la sortie linéarisée :
yg
xx
g
uu cx du
x u x us s s s
, ,
x x x
u u u
y y y
s
s
s
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 16
Exemple #1
• Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire :
• Série de Taylor :
dh
d t
F
A Ah f h F
( , )
f h F f h Ff
hh h
f
FF Fs s
h Fs
h Fs
s s s s
, ,, ,
Négligeant les termes d’ordre supérieur
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 17
Exemple #1(suite)
• En dérivant :
• En régime permanent :
f
h A h
f
F Ah F s h Fs s s s, ,
2
1
f h FF
A Ahs s
ss,
0
Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres…
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 18
Exemple #1(suite)
• Donc :
• Ou encore :
d h h
d t A hh h
AF Fs
ss s
2
1
dx
d t A hx
Au
s
2
1
a b
Écart Écart
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 19
Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie
• Équations non-linéaires :
( , , )
( , , )
( , , )
x f x x u
x f x x u
y g x x u
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 20
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
f x x u f x x uf
xx x
f
xx x
f
uu u
f x x u f x x uf
xx x
f
xx
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
x x u
s
x x u
s s s
s s s s s s
s s s
s s s
1 1 2 1 1 21
11 1
1
22 2
1
2 1 2 2 1 22
11 1
2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
, , , ,
, , , ,
, ,
, , , ,
, ,
, ,
2 22
1 2
xf
uu us
x x us
s s s
, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 21
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
• Avec :
g x x u g x x ug
xx x
g
xx x
g
uu u
s s s
x x u
s
x x u
sx x u
s
s s s
s s s s s s
1 2 1 21
1 1
22 2
1 2
1 2 1 2
, , , ,, ,
, , , ,
g x x u ys s s s1 2, ,
Les termes d’ordre supérieur
seront négligés
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 22
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Comme :
• On écrit :
dx
d t
d x x
d t
dx
d t
d x x
d ts s1 1 1 2 2 2
e t
1 2 1 2 1 2
1 21 2 1 2
1 1 11 1
1 2, , , , , ,1 1
2 22 2 22 2
, ,1 2, , , ,
s s s s s s s s s
s s ss s s s s s
s
x x u x x u x x uss
ss
x x ux x u x x u
f f fd x xx x ux xdt u u
x xd x x ff fudt x x
x A x B u
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 23
Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)
• Et :
1 2
1 2 1 2
1 2
, ,1 1
2 21 2, , , ,
, ,
s s s
s s s s s s
s s s
x x uss s
sx x u x x u
x x u
g
ux xg gy y u u
x xx x g
u
y C x D u
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 24
Généralisant
• Système ayant n états, m entrées et p sorties:
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
n m
n n n m
n m
p p n m
x f x x x u u u
x f x x x u u u
y g x x x u u u
y g x x x u u u
,
,
x f x u
y g x u
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 25
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice Jacobienne (A) :
• Élément de la matrice B :
Af
xiji
j x us s
,
Bf
uiji
j x us s
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 26
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice C :
• Élément de la matrice D :
Cg
xiji
j x us s
,
Dg
uiji
j x us s
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 27
Forme après la linéarisation
• Équation d’état :
• Forme habituelle:
x A x B u
y C x D u
x A x B u
y C x
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 28
Exemple #2
• Deux réservoirs en interaction :
F h h1 1 1 2 F h2 2 2
2 1h h
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 29
Exemple #2(suite)
• Équations du système :
• Si la sortie h2 nous intéresse :
dh
d t
F
A Ah h f h h F
dh
d t Ah h
Ah f h h F
1 0
1
1
11 2 1 1 2 0
2 1
21 2
2
22 2 1 2 0
( , , )
( , , )
y h h s 2 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 30
Exemple #2(suite)
• Posons :
• Calcul de la Jacobienne :
x h h
x h h
u F F
s
s
s
1 1 1
2 2 2
0 0
Af
h A h hh u s s
s s
111
1
1
1 1 22
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 31
Exemple #2(suite)
• Calcul de la Jacobienne :
Af
h A h hh u s s
s s
1 21
2
1
1 1 22
,
Af
h A h hh u s s
s s
2 12
1
1
2 1 22
,
Af
h A h h A hh u s s s
s s
2 22
2
1
2 1 2
2
2 22 2
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 32
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice B :
Bf
F Ah us s
111
0 1
1
,
Bf
F h us s
2 12 0
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 33
Exemple #2(suite)
• Calcul de la matrice C :
Cg
hh us s
111
0
,
Cg
hh us s
1 22
1
,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 34
Exemple #2(suite)
• Bilan :
1 1
1 1 2 1 1 21 11
2 21 1 2
2 1 2 2 1 2 2 2
1
2
12 2
02
0 1
s s s s
s s s s s
A h h A h hx x A ux x
A h h A h h A h
xy
x
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 35
Système du deuxième ordre
• Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par :
• Posant :
y a y a y bu 1 0
x y
x x y
x y
1
1 2
2
Exem
ple
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 36
Système du deuxième ordre
• Alors on peut réécrire sous cette forme :
• Ou encore :
x x
x a x a x bu1 2
2 1 2 0 1
x
x a a
x
x bu
1
2 0 1
1
2
0 1 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 37
Système du deuxième ordre
• Pour la sortie :
• Ou encore :
y x 1
yx
x
1 0
1
2
Fin
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 38
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Soit un système représenté par :
• Posant :
y a y a y a y a y b u b u
y a y a y a y a y b u b u1 11 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 11 1 1 2 2
2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2
x y
x x y
x y
x y
x x y
x y
1 1
1 2 1
2 1
3 2
3 4 2
4 2
Exem
ple
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 39
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Donc :
x x
x a x a x a x a x b u b u
x x
x a x a x a x a x b u b u
1 2
2 11 2 1 0 1 2 1 4 2 0 3 11 1 1 2 2
3 4
4 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 1 2 2 2
y x
y x1 1
2 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 40
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Alors on peut réécrire sous cette forme :
x
x
x
x
a a a a
a a a a
x
x
x
x
b
b
b
b
u
u
1
2
3
4
1 0 11 2 0 2 1
1 2 1 3 2 2 2 3
1
2
3
4
11
2 1
1 2
2 2
1
2
0 1 0 0
0 0 0 1
0
0
0
0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 41
Système à 2 entrées et 2 sorties
• Et :
y
y
x
x
x
x
1
2
1
2
3
4
1 0 0 0
0 0 1 0
Fin
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 42
Pendule inversé
• Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé.
• Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale.
y
x
2l
q
Exem
ple
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 43
Position du centre de gravité
• La position du centre de gravité de la tige :
• x : position du chariot;• l : demi-longueur de la tige du pendule;• θ : Angle de la tige avec la verticale.
x x l
y lC G
C G
sin
co s
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 44
Dynamique angulaire du pendule
• Le moment angulaire autour du centre de gravité est :
– I : moment d’inertie de la tige par rapport à son centre de gravité.
I V l H l sin co sq q q CG
HV
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 45
Dynamique horizontale du pendule
• Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par :
2 2
2 2sinCGd x d
m m x l Hdt dt
q
Non-linéaire
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 46
Dynamique verticale du pendule
• Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par :
2 2
2 2cosCGd y d
m m l V mgdt dt
q
Non-linéaire
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 47
Dynamique du chariot
• Le mouvement horizontal du chariot est représenté par :
Md x
dtu H
2
2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 48
Simplification
• Si l’angle θ est très petit, alors :
M x u H
m x l H q
I V l H lq q
0 V m g M m x m l u q
I m l m lx m gl 2 q q
Linéaire
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 49
Simplification [2]
• Réécrivons les équations (I=0) :
• Posant :
M l M m g uq q
M x u m g q
x x
x x x x1 2
3 4
q q
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 50
Passage aux équations d’état
• Les sorties qui nous intéressent sont :– position du chariot– angle de la tige du pendule
yy
y x
1
2
q
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 51
Passage aux équations d’état
• Les équations sont :
x x
xM m
M lgx
M lu
x x
xm g
Mx
Mu
1 2
2 1
3 4
4 1
1
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 52
Équations d’état
x
x
x
x
M m
M lg
m
Mg
x
x
x
x
M l
M
u
y
y
x
x
x
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
0 0 0
01
01
1 0 0 0
0 0 1 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 53
Exemple numérique
• M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m :
.
. .
x
x
x
x
x
x
x
x
u
y
y
x
x
x
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
0 1 0 0
2 0 6 0 1 0 0 0
0 0 0 1
0 4 9 0 5 0 0 0
0
1
0
0 5
1 0 0 0
0 0 1 0
Fin
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 54
Solution pour des entrées nulles
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire :
x A x B u
x A x
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 55
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
• Elle converge si a<0.– Alors, le système est dit stable.
x t e xa t( ) ( ) 0
x ax
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 56
Cas multivariable
• Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Problème :– Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ?
x t e xA t( ) ( ) 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 57
Méthode de la transformation de similarité
• Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2.
• Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A.
• Cette équation caractéristique est obtenue comme suit:
d e t( )I A
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 58
Valeurs propres(Exemple)
• Soit la matrice A suivante :
• L’équation caractéristique est :
A
1 1
0 5
d e t d e t
0
0
1 1
0 5
1 1
0 5
1 5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 59
Valeurs propres(Exemple - suite)
• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.
– Fonction sur MATLAB : eig(A)
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 60
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi.
• Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de :
pour la valeur propre correspondante li.
A i i i
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 61
Vecteurs propres(Exemple - suite)
• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 51
11
2 1
11
2 1
v
v
v
v
v
v11
2 1
1
0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 62
Vecteurs propres(Exemple)
• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de :
• Une solution possible est :
1 1
0 55
1 2
2 2
1 2
2 2
v
v
v
v
v
v1 2
2 2
0 2 4 2 5
0 9 7 0 1
.
.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 63
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut généraliser en écrivant :
• Avec :
A V V
Vv v
v vet
11 1 2
2 1 2 2
1
2
0
0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 64
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• On peut écrire :
• En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve :
• Avec :
A V V 1
e V e VA t t 1
ee
et
t
t
1
2
0
0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 65
Solution du système
• Ainsi :
• Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable.
x t V e V xt( ) ( ) 1 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 66
Fin de l’exemple
• Solution :
• Ou encore
x t Ve
eV x
t
t( ) ( )
0
005
1
511 1 24
52 2
( ) (0) (0)
( ) (0)
t t t
t
x t x e x e e
x t x e
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 67
Effet de la direction de la condition initiale
• Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres.
• Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant :
x V z z V x 1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 68
Solution de ce système
• La solution est (si 2x2) :
z t
z t
e
e
z
z
t
t
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 69
Condition initiale #1
• Si la condition initiale est de la forme :
• Alors la réponse est :
zz
( )( )
00
01
z tz e t
( )( )
1 0
0
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 70
Condition initiale #1
• La condition initiale :
– Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ».
zz
( )( )
00
01
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 71
Condition initiale #1
• Si on revient dans la variable originale :
x tx t
x t
v v
v v
z t
z t
v v
v v
z e v z e
v z e
t t
t
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1
2
11 1 2
2 1 2 2
1 11 1
2 1 1
0
0
0
0
1 1
1
De même pour
λ2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 72
Exemple
• Solution :
• Si z(0) = [1 0]T :
z te
ez
t
t( ) ( )
0
005
z te
x tet t
( ) ( )
0 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 73
Exemple
• Si z(0) = [0 1]T :
z te
x te
et
t
t( ) ( ).
.
0 0 2 4 2 5
0 9 7 0 15
5
5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 74
Exemple
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]
x2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.9701]
x2
Sous espace lent Sous espace rapide
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 75
Solutions de la forme générale
• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :
• Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0.
x A x B u
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 76
Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
– Pour u(t) = constante = u(0).
x t e x eb
aua t a t( ) ( ) ( ) 0 1 0
x ax bu
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 77
Cas multivariable
• Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :
• Avec :
x t P x Q u( ) ( ) ( ) 0 0
P e
Q P I A B
A t
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 78
u(t) pas constant
• Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps:
x t t P x t Q u t( ) ( ) ( )
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 79
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 80
Méthode plus précise
• Calcul de l’état:
• Calcul de la sortie:
( )
0
( ) (0) ( )t
At A tx t e x e Bu d
( )
0
( ) (0) ( )t
At A ty t Ce x C e Bu d
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 81
Observabilité(Définition)
• Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0).
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 82
Observabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non.
ran g
C
C A
C A
C A
n
n
2
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 83
Observabilité
• Exemple:
• Le système est observable.
ran g
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
4
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 84
Contrôlabilité(Définition)
• Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 85
Contrôlabilité
• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non.
ran g B A B A B A B nn2 1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 86
Contrôlabilité
• Exemple:
• Le système est contrôlable.
ran g
0 0
0 04
11 1 2
11 1 2 11 11 2 1 2 1 11 1 2 2 1 2 2
2 1 2 2
2 1 2 2 1 3 11 2 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 2
b b
b b a b a b a b a b
b b
b b a b a b a b a b
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 87
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité)
• Système :1 1
2 2
3 3
11
22
3
2 1 0 0
0 2 1 1
0 0 2 2
3 0 0
0 0 4
x x
x x u
x x
xy
xy
x
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 88
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
C C A
C A
3 0 0
0 0 4
6 3 0
0 0 8
1 2 1 2 3
0 0 1 62
ran g
C
C A
C A
n2
3
Obser
vabl
e
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 89
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
B A B A B
0
1
2
1
4
4
6
1 2
8
2
ran g B A B A B n2 3
Contrô
labl
e
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 90
Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité)
• Système :
x
x
x
x
x
x
u
y
y
x
x
x
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
3
1 0 0
0 2 0
0 0 3
0
0
2
3 0 1
0 2 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 91
Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
C C A
C A
3 0 1
0 2 0
3 0 3
0 4 0
3 0 9
0 8 02
ran g
C
C A
C A
n2
3
Obser
vabl
e
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 92
Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)
• Observabilité :
B A B A B
0
0
2
0
2
6
0
4
1 8
2
ran g B A B A B n2 2
Non-
Contrô
labl
e
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 93
Stabilité d’un système représenté par des équations d’état
• Le système est stable si :
possède des valeur propres à partie réelle négative.
d et sI A 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 94
Stabilité
• Ainsi :
d et d etsI A
s
a s a a a
s
a a a s a
s a a s a a a a a a s
a a a a a a a a s a a a a
1 0 0
0 0 11 0 11 2 0 2 1
1 2 1 3 2 2 2 3
42 3 11
311 2 3 2 1 1 3 1 0 2 2
2
2 1 1 2 11 2 2 1 0 2 3 1 3 2 0 1 0 2 2 1 2 2 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 95
Analyse de la stabilité
• Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A :
• Valeurs propres (eigenvalues).
d e t . . .sI A s s s n 1 2 0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 96
Exemple(réservoirs indépendants)
• Équation d’état :
d e t d e ts
s
A h
A h A h
sA h
A hs
A h
sA h
sA h
s
s s
s
s s
s s
0
0
20
2 2
20
2 2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1
1 1
2
2 2
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 97
Exemple(réservoirs indépendants)
• Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives.
11
1 12
2
2 220
20
A h A hs s
;
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 98
Vecteurs propres
• Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état.
• Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres.
A i i i
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 99
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #1 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
11
2 1
1
1 1
11
2 1
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
vA
A
h
h
v
s
s11
2
1
2 1
1 2
2 1 1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 100
Exemple(réservoirs indépendants)
• Vecteur propre #2 :
1
1 1
1
2 1
2
2 2
1 2
2 2
2
2 2
1 2
2 2
20
2 22
A h
A h A h
v
v A h
v
vs
s s
s
v
v1 2
2 2
0
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 101
VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET PLAN DES PHASES
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 102
Exemple #1
• Équations d’état: x x
x x1 1
2 2
2
5
x Ax x
2 0
0 5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 103
Exemple #1
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
21
0
50
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 104
Trajectoires
• Les vecteurs propres définissent des bissectrices:
x t e x
x t e x
t
t
12
1
25
2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
Nœud
sta
ble
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 105
Exemple #2
• Équations d’état: x x
x x1 1
2 2
2
5
x Ax x
2 0
0 5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 106
Exemple #2
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
21
0
50
1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 107
Trajectoires
• Effet de la valeur propre positive :x t e x
x t e x
t
t
12
1
25
2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
Poin
t de
selle-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 108
Exemple #3
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2
5
x Ax x
2 1
1 5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 109
Exemple #3
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.95711.6972
0.2898
0.28985.3028
0.9571
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 110
Trajectoires
Nœud
sta
ble
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 111
Exemple #4
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2
5
x Ax x
2 1
1 5
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 112
Exemple #4
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.99032.1401
0.1387
0.13875.1401
0.9903
113
Trajectoires
Poin
t de
selle
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 114
Exemple #5
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 2
2 3
3 2
x Ax x
2 3
3 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 115
Exemple #5
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
2 30 7 0 7 1
0 0 7 0 7 1
2 30 7 0 7 1
0 0 7 0 7 1
jj
jj
.
.
.
.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 116
Trajectoires
Nœud
inst
able
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 117
Exemple #6
• Équations d’état: x x x
x x x1 1 2
2 1 24
x Ax x
1 1
4 1
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 118
Exemple #6
• Valeurs propres et vecteurs propres :
1 1
2 2
0.2236 0.38731.7321
0.8944
0.2236 0.38731.7321
0.8944
jj
jj
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 119
Trajectoires
Cycle
lim
ite
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 120
Cas non-linéaires
• Voici quelques exemples de trajectoires non-linéaires.
• Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 121
Exemple #1
• Système bi-linéaire :
• Points d’équilibre :– Cas trivial :
– Cas non-trivial :
x x x
x x x
1 2 1
2 1 2
1
3
x xs s1 2 0
x xs s1 21 3
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 122
Exemple #1
• Linéarisant :
• Cas trivial :
2 1
2 1
1
3s s
s s
x x
x x
A
A
0 1
3 03 31 2
Instable
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 123
Exemple #1
• Cas non-trivial :
A
3 0
0 13 11 2
Stable
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 124
Exemple #1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x 2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 125
Exemple #2
• Réacteur biologique avec cinématique de type Monod :
x D x
x x x Dx
Yf
1 1
2 2 21
126
Exemple #2
• Variables :– X1 = biomasse (cellules) [gr/l]– X2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l]– X2f = substrat entrant [gr/l]– Y = rendement (cellules produites vs substrat
consommé)– D = taux de dilution (temps pour renouveler le
contenu du réservoir) [hr-1]– μ = taux de croissance [hr-1]
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 127
Exemple #2
• Taux de croissance :
• Si μmax = 0.53, km = 0.12, Y = 0.4 et x2fs = 4.0
m ax
m
x
k x2
2
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 128
Exemple #2
• Linéarisant :
• Points d’équilibre :– Cas trivial :
– Cas non-trivial :
A
Dx
x k x
YD
x
Y x k x
s ss s
s m s
ss
s s
s m s
1
2 2
1
2 2
x xs s1 20 4 0 .
x xs s1 21 4 5 2 3 0 3 6 9 2 . .
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 129
Exemple #2
• Cas trivial :
A
0 11 4 5 6 3 0
1 2 8 6 4 0 8 0 4
0 11 4 5 6 3 0 41 2
.
. .
. .
Instable
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 130
Exemple #2
• Cas non-trivial :
Stable
A
0 3 2 1 5 9 2 9
1 8 4 3 9 8 3 2
0 4 8 0 3 9 81 2
.
.
. .
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 131
Fin de la présentation
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 132
EXPONENTIELLE D’UNE MATRICED’où vient cette équation ?
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 133
Exponentielle d’une valeur scalaire
• Soit une valeur scalaire .
• Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit:
x
21 11
2 !x ke x x x
k
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 134
Exponentielle d’une matrice
• Par extension, soit .
• Alors, on peut écrire la série suivante:
– Ce qui peut être long à calculer…
n nA
21 1
2 !A ke I A A A
k
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 135
Transformation de similarité(exemple)
• Soit .
• On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: .
• Et leur vecteur propre correspondant: .
2 2A
1 2,
1 2,
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 136
Transformation de similarité(exemple)
• Ainsi:
• Que l’on peut réécrire: .– V est la matrice des vecteurs propres:
1 1 1
2 2 2
A
A
AV V
11 121 2
21 22
v vV
v v
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 137
Transformation de similarité(exemple)
• Et...– Λ est la matrice des valeurs propres:
1
2
0
0
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 138
Transformation de similarité
• Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant:
1A V V
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 139
Retour sur l’exponentielle
• Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit:
21 1
1
1
21
!
A
k
e I V V V V
V Vk
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 140
Il semble que l’on ne gagne rien, mais…
• Voyons le terme:
• On peut l’écrire:
– Puisque . – On peut répéter ce manège pour les puissances
supérieures…
21 1 1 2 1V V V V V V V V
21V V
1VV I
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 141
Et en plus…
• Λk est une matrice diagonale.
1
2
0 0
0 0
0 0
k
kk
kn
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 142
Effet sur la série
• Et puisque :
1 1 2 1
1
1
21
!
A
k
e VV V V V V
V Vk
1VV I
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 143
Effet sur la série
• Ou encore:
• Reconnaissez vous le terme entre parenthèses:
2 11 1
2 !A ke V I V
k
1Ae Ve V
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 144
Exponentielle d’une matrice diagonale
• L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire:
1
2
0 0
0 0
0 0 n
e
ee
e
Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire.
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 145
Exemple numérique
• Soit:
• Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5.
0 1 0
0 0 1
60 47 12
A
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 146
Exemple numérique(suite)
• Les vecteurs propres correspondants sont:
– Sur MATLAB®: • A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12]• [S,V]=eig(A)
1 2 3
0.1048 0.0605 0.0392
0.3145 , 0.2421 , 0.1960
0.9435 0.9684 0.9798
(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 147
Exemple numérique(suite)
• L’exponentielle de Λt sera:
• Et: .
3
4
5
0 0
0 0
0 0
t
t t
t
e
e e
e
1At te Ve V