Relativisti£ka kvantna mehanika

zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com

Kolokvijum, 23. decembar 2015.

1. Napisati Dirakovu jedna£inu u spolja²njem elektromagnetnom polju. Pokazatida se iz te jedna£ine moºe dobiti slede¢i oblik jedna£ine:(

(∂µ − ieAµ)(∂µ − ieAµ) +m2 + σµνTµν

)ψ = 0,

gde je Tµν tenzorska funkcija koja zavisi od Aµ. Ako je Aµ = 0 re²iti ovujedna£inu.

2. Napisati Dirakovu jedna£inu u sfernim koordinatama, odnosno u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γθ

1

r∂θ + γφ

1

r sin θ∂φ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

Potom izra£unati komutatore {γµ, γν}, gde su µ, ν = t, r, φ, θ.

Pismeni ispit, 12. februar 2015.

1. Jedna£ina kretanja masenog vektorskog polja sa £lanom koji �ksira kali-braciju je (�+m2)Aµ + (1−λ)∂µ∂νAν = 0. Odrediti Grinovu funkciju ovogpolja u impulsnom prostoru.

2. Elektron se rasejava u spolja²njem polju Aµ = (0, ae−k2~x2 , 0, 0), gde su

a i k konstante. Izra£unati kvadrat modula amplitude za rasejanje {|Sfi|2},usrednjen po spinskim stanjima inicijalnog elektrona i sumiran po spinskimstanjima �nalnog elektrona u procesu. Uzeti da se pre rasejanja elektronkre¢e duº z-ose impulsom ~pi, a nakon rasejanja impulsom ~pf u xz-ravni.

Pismeni ispit, 22. januar 2015.

1

1. Talasna funkcija relativisti£kog elektrona u sistemu S je:

φ(x) = Np(1, 0,p

Ep +m, 0)T e−i(E−pt).

Na¢i talasnu funkciju koja se dobije nakon delovanja R(αey) CPT transfor-macija. Ovde su T vremenska inverzija, P prostorna inverzija, C konjugacijanaboja i R(αey) rotacija za ugao α oko y-ose.

2. Na¢i totalni presek za rasejanje e+e− → τ+τ− u sistemu centra mase.Taon je £estica sli£na elektronu s tim da mu je masa mτ = 3477, 5me.

Kolokvijum, 10. decembar 2014.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jedna£ina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i vaºi da je E > m+ U0. Na¢i koe�cijent transmisije.

2. Napisati Dirakovu jedna£inu u sfernim koordinatama, tj. u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γφ

1

r sin θ∂φ + γθ

1

r∂θ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

Izra£unati antikomutatore {γµ, γν}, gde je µ = ν = t, r, φ, θ.

Kolokvijum, 12. decembar 2013.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jedna£ina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i vaºi da je E > m+ U0. Na¢i koe�cijent transmisije.

2. U ovom zadatku razmotri¢emo sistem koji se zove Dirakov oscilator. Takav

2

sistem je prvi put eksperimentalno realizovan ove godine.(http://link.aps.org/dou/10.1103/PhysRevLett.111.170405)

a) Krenite od Dirakove jedna£ine koja opisuje £esticu mase m i naelek-

trisanja e u spolja²njem elektromagnetnom polju koje ima oblik (0, ~A), apotom je napi²ite u formi i ∂

∂tψ = Hψ. Hamiltonijan H napi²ite preko ma-

trica αi = γ0γi i β = γ0.b) Pokazati da je αiαjxipj = ~r~p + i~Σ~L. Ako ne moºete ovo da dokaºete,pre�ite na deo pod c). Mala pomo¢ za one koji dokazuju [αi, αj] = 2iεijkΣk.

c) Neka je ~A = imcω~r, gde je ω konstanta. Pokaºite da se H2 moºe napisati

u formi:H2 = p2 +m2 + Ar2 + (B~S~L+ C)mωβ,

gde su A, B i C konstante koje treba odrediti. Ovde je ~S = 12~Σ spin i

~L = ~r × ~p moment impulsa.

3