« napredna kvantna mehanika » ivo...
TRANSCRIPT
-
Integrali po putovima
« Napredna kvantna mehanika »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2011
-
Pregled predavanja
Greenova funkcija
Integrali po putovima
Schrödingerova jednadžba
Primjeri
Račun smetnje
Dodatak: Varijacijski račun
-
Greenova funkcija
Ako je poznata valna funkcija u nekom trenutku t = t, čemu jejednaka funkcija u trenutku t = t ′ (> t)?
ϕ(~r , t) =
∫
d~r ′ G (~r ,~r ′, t − t ′) ϕ(~r ′, t ′)
gdje je:
G (~r ,~r ′, t − t ′) =∑
n
ϕn(~r) e− ı
~en(t−t′) ϕn(~r
′)⋆
Greenova funkcija.
-
Greenova funkcija
Npr. Greenova funkcija za slobodnu česticu u 1d:
G (x1, x2, t1 − t2) =√
m
2π~ı(t1 − t2)exp(ı
~
m (x1 − x2)22 (t1 − t2)
)
Greenova funkcija se može promatrati kao amplituda (čiji jekvadrat vjerojatnost) da čestica koja se u trenutku t nalazi utočki x u trenutku t ′ bude u točki x ′.
Valna funkcija čestica koja se nalazi u točki x1:
< x |ϕ(t = t1) > = δ(x − x1) (razvoj valne funkcije po=
∑
n
ϕn(x1)⋆ ϕn(x) vlastitim valnim funkcijama)
U trenutku t = t2, valna funkcija bit će jednaka:
< x |ϕ(t = t2) > =∑
n
ϕn(x1)⋆ ϕn(x) e
− ı~en(t2−t1)
što je izraz za Greenovu funkciju.
-
Kako Greenova funkcija izgleda
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8prostorna ovisnost
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0Greenova funkcija
realimag
Slika: Greenova funkcija, realni i imaginarni dio, za različite vrijednostiudaljenosti među prostornim točkama (xk − xp).
-
Kako Greenova funkcija izgleda
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20vremenska ovisnost
−10
−5
0
5
10Greenova funkcija
realimag
Slika: Greenova funkcija, realni i imaginarni dio, za različite vrijednostivremenskog intervala (tk − tp).
-
Greenova funkcija za slobodnu česticu u 1d
Za Greenove funkcije vrijedi:
G (x1, x3, t1 − t3) =∫
dx2 G (x1, x2, t1 − t2)G (x2, x3, t2 − t3)
Izvod:√
m2
(2π~ı)2(t1 − t2)(t2 − t3)
+∞∫
−∞
dx2 exp(ı
~
m (x1 − x2)22 (t1 − t2)
+ı
~
m (x2 − x3)22 (t2 − t3)
)
=
√
m2
(2π~ı)2(t1 − t2)(t2 − t3)
√
−2π~ım
11
t1−t2+ 1
t2−t3
exp
ım
2~1
11
t1−t2
+ 11t2−t3
(x1 − x3)2
gdje smo se poslužili:
+∞∫
−∞
dx2 e−a (x1−x2)
2
e−b (x2−x3)2
=
√π
a + bexp[
− a ba + b
(x1 − x2)2]
koji vrijedi i kada je a i b imaginarni.
-
Neki integrali
+∞∫
−∞
dx e−a x2+b x =
√π
ae
−b2
4a
+∞∫
−∞
dx e−a (x1−x)2
e−b (x−x2)2
=
√π
a + bexp[
− a ba + b
(x1 − x2)2]
+∞∫
0
dx cos (ax2) =12
√π
2 a
+∞∫
0
dx sin (ax2) =12
√π
2 a
-
Interpretacija
t1 t2 t3
x1 x2 x3
Slika: Amplituda vjerojatnosti da čestica dođe u točku x3 iz točke x1 jezbroj amplituda vjerojatnosti svih mogućih procesa u kojima čestica iztočke x1 dolazi u točku x2, a iz točke x2 u točku x3.
-
Interpretacija
t1 t2 t3
x1 x2 x3
Slika: Naravno ako na putu stoji prepreka zastor koji ne dopušta svemoguće položaje, uračunati treba samo one dopuštene.
-
Pokus s difrakcijom ravnog vala
a
L
x
Amplituda vjerojatnosti na zastoru je dana sa
Ad (x) ∼∫ +a
−adx1
( m
2πı~τ
)
exp[
i
~
m
2τ
((x − x1)2 + L2
)]
ϕ~k(~r)
(samo se integrira preko otvora na pregradi)
-
Difrakcijska slika
−10 −5 0 5 10vertikalni polozaj na zaslonu
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45Difrakcijska slika
Slika: Apsolutna vrijednost amplitude vjerojatnosti na zastoru izajednostruke pukotine na koju pada ravni val.
-
Pokus s interferencijom
b
L
x
Amplituda vjerojatnosti na zastoru je dana sa
Ai (x) ∼(∫ −b+a
−b−a+
∫ b+a
b−a
)
dx1
( m
2πı~τ
)
exp[
i
~
m
2τ
((x − x1)2 + L2
)]
ϕ~k(~r)
(samo se integrira preko otvora na pregradi)
-
Difrakcija s interferencijom
−10 −5 0 5 10vertikalni polozaj na zaslonu
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9Interferencijska slika
Slika: Apsolutna vrijednost amplitude vjerojatnosti na zastoru izadvostruke pukotine na koju pada ravni val. (Udaljenost rupica/dijametarrupica = 6.)
-
Greenova funkcija
Vremenski interval između početnog (tp) i konačnog trenutka (tk)možemo razdijeliti na N malih vremenskih intervala veličine:
∆t =(tk − tp)
N
te napisati:
G (xp , xk , tp − tk) =∫
dx1 dx2 . . . dxN−1 G (xp , x1,∆t)G (x1, x2,∆t) . .
. . .G (xN−2, xN−1,∆t)G (xN−1, xk ,∆t)
-
Greenova funkcija
Promatramo li samo slučaj slobodne čestice, eksponencijalni dijeloviGreenove funkcije se mogu objediniti u jedan izraz:
exp(ım
2~
[(xp − x1)2
∆t+
(x1 − x2)2∆t
+(x2 − x3)2
∆t+ . . .
])
= exp( ım
2~
[∆t · v2p1 +∆t · v212 +∆t · v223 + . . .
])
= exp
ım
2~
tk∫
tp
dt v2
Tako da je:
G (xp , xk , tp − tk) =(
m
2π~ı∆t)
)N2∫ N−1∏
i=1
dxi exp
ı
~
tk∫
tp
dtmẋ2
2
-
Greenova funkcija
G (xp , xk , tp − tk) =∫
Dx exp[ ı
~S(xp , xk , tk − tp)
]
gdje smo uveli oznaku:
(m
2π~ı∆t)
)N2∫ N−1∏
i=1
dxi →∫
Dx
za višestruke integrale, te gdje je:
S(xp , xk , tk − tp) =tk∫
tp
dtmẋ2
2
oznaka za funkciju djelovanja. Pod integralom je Lagrangian zaslobodnu česticu.
-
Greenova funkcija
Višestruki integrali: ∫Dx
brinu se da svaka moguća putanja daje doprinos ukupnoj amplitudivjerojatnost da čestica koja je u trenutku t = tp bila u točkiprostora xp se nalazi u trenutku t = tk u točki prostora xk .
xp
tp t1 t2 t3 tN−1tk
xk
-
Integrali po putovima
◮ Greenova funkcija sadrži doprinose svih mogućih putanja.
◮ Sumacija po putovima zapisana je u formi višestrukog integralau koji smo uveli posebnu oznaku.
◮ Takovi integrali nazivaju se integrali po putovima.
◮ Pod višestrukim integralom se nalazi funkcional putanječestice.
◮ Taj funkcional je brzo-oscilirajuća funkcija potanje: glavnidoprinos integralu dolazi od putanje minimalnog djelovanja:
Smin =m
2(xk − xp)2
tk − tp
-
Integrali po putovima za česticu u vanjskom polju
Integrali po putovima postoje i za čestice koje se gibaju u vanjskompolju. Sve što je potrebno koristiti odgovarajuću funkciju djelovanja:
S(xp , xk , tk − tp) =tk∫
tp
dt
[mẋ2
2− V (x)
]
pri čemu putanja čestice počinje i završava redom u xp i xk .
-
Veza s Schrödingerovom jednadžbom
Znamo da se valna funkcija u trenutku t +∆t može prikazati pomoćuvalne funkcije u prethodnom vremenskom trenutku t pomoću GF:
ϕ(x , t +∆t) =
(m
2π~ı∆t)
) 12
+∞∫
−∞
dy
exp[ı
~
(m (x − y)2
2∆t−∆t V (x + y
2)
)]
ϕ(y , t)
Na lijevoj strani razvijamo valnu funkciju po ∆t:
ϕ(x , t +∆t) ≈ ϕ(x , t) + ∆t ∂ϕ(x , t)∂t
+ . . .
dok na desnoj strani razvijamo valnu funkciju po razlici (x − y):
ϕ(y , t) ≈ ϕ(x , t) + (y − x) ∂ϕ(x , t)∂x
+(y − x)2
2∂2ϕ(x , t)
∂x2
-
Veza s Schrödingerovom jednadžbom
ϕ(x , t) + ∆t∂ϕ(x , t)
∂t=
(m
2π~ı∆t)
) 12
+∞∫
−∞
dy exp[ım
2~(x − y)2
∆t
]
(
1 − ı∆t~
V (x + y
2)
){
ϕ(x , t) + (y − x) ∂ϕ(x , t)∂x
+(y − x)2
2∂2ϕ(x , t)
∂x2
}
=
(m
2π~ı∆t)
) 12
(
1 − ı∆t~
V (x)
)
ϕ(x , t) ·+∞∫
−∞
dy exp[ım
2~(x − y)2
∆t
]
+
∂2ϕ(x , t)
∂x2·+∞∫
−∞
dy(y − x)2
2exp[ım
2~(x − y)2
∆t
]
odakle slijedi SCH.DJ:
∆t∂ϕ(x , t)
∂t= − ı
~∆t
[
− ~2
2m∂2ϕ(x , t)
∂x2+ V (x)ϕ(x , t)
]
-
Primjeri: Harmonički oscilator
G (x1, x2, t2 − t1) =√
mω
2πı~ sinωT
· exp{( ım ω
2~ sinωT
) [(x21 + x
22 ) cosωT − 2 x1x2
]}
gdje jeT = t2 − t1
Napomena: Djelovanje za harmonički oscilator je:
S(x1, x2, t2−t1) =mω
2 sinω(t2 − t1)[(x21 + x
22 ) cosω(t2 − t1)− 2 x1x2
]
-
Primjeri: Harmonički oscilator
Za rastegnuti HO čiji je Lagrangian:
L =m
2ẋ2 − m ω
2
2x2 + f (t) x
Greenova funkcija je:
GHOras (x1, x2, t2 − t1) = GHO(x1, x2, t2 − t1) · exp[ ı
~δS]
gdje je:
δS =( m ω
2 sinωT
)
2 x2m ω
t2∫
t1
dt f (t) sinω(t − t1) +2 x1m ω
t2∫
t1
dt f (t) sinω(t2 − t)
− 2m2ω2
t2∫
t1
t∫
t1
dt ds f (t) f (s) sinω(t2 − t) sinω(s − t1)
-
Primjeri: Polaron
Elektron koji se nalazi u elastičnom mediju kojeg polarizira imaLagrangian:
L =m
2~̇r2 +
∑
~k
12(u̇2~k − u
2~k) +
(
2√
2παV
)1/2∑
~k
1k
u~k eı~k·~r
Ako se provede integracija po fononskim stupnjevima slobode dolazise do djelovanja koji sadrži samo elektronske stupnjeve slobode:
S =m
2
∫
dt ~̇r2 +√
2πα∫
d3k
(2π)2dt ds eı
~k·~r(t)e−ı~k ·~r(s)e−ı|t−s|
=m
2
∫
dt ~̇r2 +αı√8
∫
dt dse−ı|t−s|
|~r(t)−~r(s)|
Zadnji član predstavlja efektivno međudjelovanje elektrona sasamim sobom u nekom drugom trenutku. Kažemo dameđudjelovanje prenose fononska titranja.
-
Račun smetnje
Vanjsko polje ponekad se može tretirati kao smetnja. Amplituduvjerojatnosti (Greenovu funkciju) razvijamo po smetnji:
G =
∫
Dx exp
ı
~
tk∫
tp
dt(m
2ẋ2 − V (x , t)
)
=
∫
Dx exp
ı
~
tk∫
tp
dtm
2ẋ2
1 −
ı
~
tk∫
tp
dt1 V (x1, t1)+
− 12~2
tk∫
tp
dt1 V (x1, t1)
tk∫
tp
dt2 V (x2, t2) . . .
-
Račun smetnje
Prvi član u razvoju je nesmetana Greenova funkcija, koju možemooznačiti:
G0(xa, xb , tb − ta)Drugi član može se preurediti u ovaj oblik:
δG (1) = − ı~
∫
Dx exp
ı
~
tk∫
tp
dtm
2ẋ2
tk∫
tp
dt1 V (x1, t1)
= − ı~
tk∫
tp
dt1dx1 G0(xa, x1, t1 − ta)V (x1, t1)G0(x1, xb , tb − t1)
-
Račun smetnje
Slično tome slijedeći član u razvoju može se preurediti u:
δG (2) = − 12~2
tk∫
tp
dt1dx1
tk∫
tp
dt2dx2 G0(xa, x1, t1 − ta)V (x1, t1)
G0(x1, x2, t2 − t1)V (x2, t2)G0(x2, xk , tk − t2)
Članovi imaju jasnu fizikalnu interpretaciju:◮ Prvi član je propagacija čestice bez raspršenja.
◮ Drugi član opisuje jednostruko raspršenje koje se je dogodilo utrenutku t = t1 i u točki prostora x1.
◮ Treći član dvostruko raspršenje.
◮ Daljnji članovi opisuju višestruka raspršenja na prostorno ivremensko lokaliziranoj smetnji.
-
Dodatak - Funkcionali
◮ Funkcionali se mogu promatrati kao funkcije čiji su argumentifunkcije: svakoj funkciji pridružuje se određeni broj.
◮ Kako je funkcija zadana s mnoštvom vrijednosti koju ona imau pojedinim točkama prostora (područje vrijednosti argumentafunkcije), onda je funkcional funkcija beskonačnog brojavarijabli.
Tako naprimjer funkcional:
E [ϕ] =
∫
dV12(~∇ϕ)2
proizvoljnoj funkciji (svom argumentu) pridružuje neki pozitivnibroj. Drugi primjer - djelovanje je funkcional trajektorije česticex(t):
S[x] =
∫
dt[m
2ẋ2 − V (x)
]
︸ ︷︷ ︸
=L(x ,ẋ,... )
-
Dodatak - Funkcionali
Često se traži ona funkcija koja minimizira vrijednost funkcionala.Kod običnih funkcija minimum/maksimum se dobiva iz uvjeta da jederivacija funkcije jednaka nuli. Kod funkcionala je također mogućedefinirati derivaciju:
DE [ϕ] = limτ→0
E [ϕ+ τ δϕ] − E [ϕ]τ
=
〈
δE [ϕ]
δϕ︸ ︷︷ ︸
varijacija
, δϕ
〉
(Gâteaux-ova derivacija)
Naprimjer:
DS[x] =
∫
dtδS[x]
δx· δx
gdje je varijacija funkcionala trajektorije čestice:
δS[x]
δx=
dL
dx− d
dt
dL
dẋ= −
[dV
dx+ mẍ
]
-
Dodatak - Funkcionali
Izvod Gâteauxove derivacije za funkcional djelovanja:
DS[x] =
∫
dt limτ→0
L(x + τδx , ẋ + τδẋ)− L(x , ẋ)τ
=
∫
dt
[∂L
∂xδx +
∂L
∂ẋδẋ
]
=
∫
dt
[∂L
∂xδx +
∂
∂t
(∂L
∂ẋδx
)
− ∂∂t
∂L
∂ẋδx
]
=∂L
∂ẋδx
∣∣∣∣
tb
ta
+
∫
dt δx
[∂L
∂x− ∂
∂t
∂L
∂ẋ
]
Pretpostavka je da nepoznata funkcija x(t) zadovoljava početne uvjete:
x(ta) = xa i x(tb) = xb
te da to isto vrijedi i za cijelu klasu funkcija:
(x + τδx)(ta/b) = xa/b
što znači da je:δx(ta/b) = 0.
-
Dodatak - Funkcionali
Stoga prvi član kod izvoda Gâteauxove derivacije dobivenparcijalnom integracijom je jednak nuli. Dakle:
DS[x] =
∫
dt δx
[∂L
∂x− ∂
∂t
∂L
∂ẋ
]
Ako se traži ona trajektorija za koju je funkcional djelovanjaminimalan, onda Gâteauxova derivacija za tu trajektoriju treba bitijednaka nuli za proizvoljni δx(t). Dakle tražena trajektorija trebazadovoljavati uvjet:
∂L
∂x− ∂
∂t
∂L
∂ẋ= 0
-
Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer
Odredimo kompleksnu funkciju ϕ takvu da funkcional energije:
E [ϕ] =
∫
d~r
[~
2
2m
∣∣∣~∇ϕ
∣∣∣
2+ U(~r) |ϕ|2
]
ima minimalnu vrijednost te da bude zadovoljen uvjet:∫
d~r |ϕ|2 = 1
Za određivanje minimuma koji zadovoljava određeni uvjet koristi semetoda Lagrangeovih multiplikatora. U ovom slučaju to znači da setraži minimum ovog funkcionala:
E [ϕ]− λ ·[∫
d~r |ϕ|2 − 1]
-
Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer
Gâteauxova derivacija funkcionala energije:
DE [ϕ] =
∫
d~r
[~
2
2m~∇ϕ⋆ · ~∇δϕ+ ~
2
2m~∇ϕ · ~∇δϕ⋆
+U(~r)ϕ⋆ δϕ+ U(~r)ϕδϕ⋆]
=
∫
d~r δϕ⋆[
− ~2
2m~∇2ϕ+ U(~r)ϕ
]
+
∫
d~r ~∇[
δϕ⋆~
2
2m~∇ϕ]
+
∫
d~r δϕ
[
− ~2
2m~∇2ϕ⋆ + U(~r)ϕ⋆
]
+
∫
d~r ~∇[
δϕ~
2
2m~∇ϕ⋆
]
Integrali:
∫
d~r ~∇[
δϕ⋆~
2
2m~∇ϕ]
=
∫
rubd~S ·
[
δϕ⋆~
2
2m~∇ϕ]
= 0
jer sve funkcije zadovoljavaju iste rubne uvjete, pa su razlike međufunkcijama:
δϕ⋆|rub = 0 i δϕ|rub = 0na rubu jednake nuli.
-
Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer
Iz uvjeta da je:
D
(
E [ϕ]− λ[∫
d~r |ϕ|2 − 1])
= 0
izlaze dvije jednadžbe:[
− ~2
2m~∇2 + U(~r)
]
ϕ− λϕ = 0
i[
− ~2
2m~∇2 + U(~r)
]
ϕ⋆ − λϕ⋆ = 0
Tražena kompleksna funkcija zadovoljava Schödingerovustacionarnu jednadžbu s vlastitom energijom λ.
Greenova funkcija Integrali po putovima Schrödingerova jednadžba Primjeri Racun smetnje Dodatak: Varijacijski racun