kvantna seminari ljeto
DESCRIPTION
quantum handout about quantum aproximation methods and optics, oscilatorsTRANSCRIPT
-
Seminar iz kvantne fizike
Ljetni semestar
March 8, 2015
-
2
-
Sadrzaj
Sadrzaj 2
1 Aproksimativne metode 3
1.1 Vremenski neovisan racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Primjer: harmonicki oscilator u elektricnom polju . . . . . . . . . 3
1.1.2 Primjer: vezani harmonicki oscilatori . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Primjer: slabi periodicki potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Primjer: niz oscilatorskih jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Vremenski ovisan racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Primjer: Dvorazinski sustav s konstantnom smetnjom . . . . . . 11
1.2.2 Primjer: Dvorazinski sustav s periodickom smetnjom . . . . . . . 15
1.2.3 Tjerani harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Adijabatska i impulsna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Adijabatska aproksimacija: jama promjenjive sirine . . . . . . . . 21
1.3.2 Impulsna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Varijaciona metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Primjer: linearni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 WKB aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Energije vezanih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.2 Tuneliranje kroz barijeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Problem rasprsenja u tri dimenzije 39
2.1 Metoda parcijalnih valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Rasprsenje na neprobojnoj sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Rasprsenje na mekanoj sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.3 Rasprsenje na sfernoj jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4 Numericko rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
-
12.2 Bornova aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Atomi i molekule 61
3.1 Atom vodika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Atom helija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Kvantna optika 67
4.1 Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 Koherentno stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2 Operatori faze i broja kvanata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Stanja elektromagnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Operator pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3 Operator stiskanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4 Operatori kvadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.5 Ocekivane vrijednosti operatora elektricnog polja . . . . . . . . . 81
4.3 Detekcija zracenja referentnim snopom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Distribucije kvazivjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1 Q-funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
*
-
2
-
1 Aproksimativne metode
1.1 Vremenski neovisan racun smetnje
1.1.1 Primjer: harmonicki oscilator u elektricnom polju
Harmonicki oscilator nalazi se u homogenom jednodimenzionalnom elektricnom polju
H =p2
2m+
1
2m2x2 + qFx. (1.1)
Stacionarna Schrodingerova jednadzba glasi
~2
2m
d2
dx2+
1
2m2x2 + qFx = E. (1.2)
Nadopunimo li izraz do punog kvadrata
~2
2m
d2
dx2+
1
2m2
(x+
qF
m2
)2 q
2F 2
2m2 = E, (1.3)
a zatim napravimo supstituciju
x = x+qF
m2. (1.4)
Time smo se vratili na standardni oblik Schrodingerove jednadzbe za harmonicki oscilator
~2
2m
d2
dx2+
1
2m2x2 =
(E +
q2F 2
2m2
). (1.5)
Energijski nivoi imaju jednaki oblik kao za obican harmonicki oscilator, uz konstantnipomak
En = ~(n+
1
2
) q
2F 2
2m2. (1.6)
Valne funkcije vise nisu simetricne ili antisimetricne, a imaju cvor u minimumu ukupnogpotencijala
n(x) = NnHn(x
b+
qF
m2b
)e(x+
qF
m2)2/2b2 , (1.7)
pri cemu je b oscilatorska duljina, a Nn konstanta normiranja
b =
~m
, Nn = 1pi2nn!
(1.8)
3
-
Vremenski neovisan racun smetnje 4
Problem mozemo rijesiti koristeci racun smetnje, tako da nesmetani Hamiltonijanodgovara harmonickom oscilatoru, dok elektricno polje tretiramo kao smetnju
H = qFx. (1.9)
Buduci da su valne funkcije nesmetanog oscilatora parne ili neparne, a smetnja je neparna,doprinos prvog reda racuna smetnje iscezava
E(1)n = n|H |n = qF n|x|n = 0. (1.10)U drugom redu racuna smetnje doprinose samo dva matricna elementa
E(2)n =|n+ 1|H |n|2E
(0)n E(0)n+1
+|n 1|H |n|2E
(0)n E(0)n1
, (1.11)
a pritom vrijedi
xn,n+1 =
(n+ 1)~
2m, xn,n1 =
n~
2m. (1.12)
Korekcija u drugom redu racuna smetnje jednaka je egzaktnom rezultatu
E(2)n = q2F 2
2m2. (1.13)
Racunamo korekciju valne funkcije u prvom redu racuna smetnje
(1)n (x) =k 6=n
k|qFx|nE
(0)n E(0)k
(0)k (x). (1.14)
Koristeci matricne elemente (1.12), dolazimo do zakljucka
(1)n (x) =1
~
~
2m
[n
(0)n1(x)
n+ 1
(0)n+1(x)
]. (1.15)
Do istog rezultata bismo dosli razvojem egzaktne valne funkcije u Taylorov red.
1.1.2 Primjer: vezani harmonicki oscilatori
Promatramo izotropni dvodimenzionalni harmonicki oscilator s malom neizotropnomsmetnjom
H =p2x2m
+p2y2m
+1
2m2x2 +
1
2m2y2 + xy. (1.16)
Stacionarna Schrodingerova jednadzba glasi
~2
2m
2
x2 ~
2
2m
2
y2+
1
2m2x2 +
1
2m2y2 + xy = E. (1.17)
-
Vremenski neovisan racun smetnje 5
Slika 1.1: Prva tri stanja harmonickog oscilatora u elektricnom polju.
Problem mozemo rijesiti egzaktno koristeci normalne koordinate
1 =12
(x y), 2 = 12
(x+ y), (1.18)
cime Schrodingerova jednadzba postaje separabilna
~2
2m
2
21 ~
2
2m
2
22+
1
2m
(2 +
m
)22 +
1
2m
(2
m
)21 = E. (1.19)
Definiramo li frekvencije 1 i 2
21 = 2
m, 22 =
2 +
m, (1.20)
svojstvene energije sustava mozemo napisati u sljedecem obliku
En1n2 = ~1(n1 +
1
2
)+ ~2
(n2 +
1
2
). (1.21)
Problem mozemo rijesiti i koristeci (degenerirani) racun smetnje. Energijski nivoinesmetanog problema glase
Enxny = ~(nx + ny + 1). (1.22)
-
Vremenski neovisan racun smetnje 6
Najnizih nekoliko nivoa nesmetanog problema
E00 = ~, (1.23)E01 = E10 = 2~, (1.24)
E02 = E20 = E11 = 3~, (1.25)E12 = E21 = E30 = E03 = 4~. (1.26)
Promotrimo kao primjer dvostruko degenerirane nivoe E01 i E10. Bilo koja linearna kom-binacija degeneriranih stanja takoder predstavlja svojstveno stanje nesmetanog Hamil-tonijana
|(0) = dl|l+ dq|q, |l |10, |q |01. (1.27)Prvi red racuna smetnje vodi na sustav jednadzbi[l|H |l E(1)] dl + l|H |qdq = 0, (1.28)
q|H |ldl +[q|H |q E(1)] dq = 0. (1.29)
Dijagonalni matricni elementi smetnje ne daju doprinos jer je smetnja neparna funkcija,dok nedijagonalni elementi daju sljedeci doprinos
l|H |q = q|H |l = ~2m
. (1.30)
Prvi red racuna smetnje uklanja degeneraciju
E(1) = |H ql| =
~2m
. (1.31)
Razvijemo li frekvnecije 1 i 2 iz egzaktnog rjesenja u Taylorov red, dobit cemo istirezultat kao u racunu smetnje.
1.1.3 Primjer: slabi periodicki potencijal
Pretpostavimo da se cestica nalazi u slabom periodickom potencijalu s periodom a.Takav potencijal mozemo razviti u Fourierov red
V (x) =
m=Vme
2mpixi/a, (1.32)
a buduci da je potencijal realan vrijedi Vm = V m. Kada potencijal ne bi bio ukljucensvojstvene funkcije bi odgovarale ravnim valovima
k(x) =1Leiknx, kn =
2npi
L, (1.33)
-
Vremenski neovisan racun smetnje 7
pri cemu smo na sustav duljine L nametnuli periodicke rubne uvjete (0) = (L).Energija nesmetane cestice odgovara energiji slobodne cestice
E(0) =~2k2
2M. (1.34)
Korekciji energije u prvom redu racuna smetnje doprinosi samo konstantni clan u poten-cijalu, odnosno clan m = 0
E(1)(k) = k|V (x)|k = 1L
m=
Vm
L0
eikxe2mpixi/aeikxdx = V0. (1.35)
Korekcija valne funkcije u prvom redu racuna smetnje glasi
k(x) (0)k (x) +k 6=k
k|V (x)|kE(0)(k) E(0)(k)
(0)k (x), (1.36)
pri cemu treba uzeti u obzir da ovako napisana valna funkcija nije normirana. Korekcijaenergije u drugom redu racuna smetnje glasi
E(2)(k) =k 6=k
|k|V (x)|k|2E(0)(k) E(0)(k) . (1.37)
Racunamo matricni element
k|V (x)|k = 1L
m=
Vm
L0
eikxe2mpixi/aeikxdx, (1.38)
koji doprinosi samo ako je ispunjen uvjet
k k = 2mpia
. (1.39)
Tada vrijedik|V (x)|k = k 2mpi/a = Vm. (1.40)
Energija cestice do drugog reda racuna smetnje iznosi
E(k) ~2k2
2M+ V0 +
M
~2m=1
|Vm|2k2 m2pi2
a2
. (1.41)
Racun smetnje nece funkcionirati na rubovima Brillouinovih zona jer u tockama k =mpi/a doprinos u drugom redu racuna smetnje divergira. U tom slucaju moramo koristitidegenerirani racun smetnje. Promatramo stanja u blizini ruba m-te Brillouinove zone,odnosno stanja za koja vrijedi k = mpi/a. Za svako takvo stanje |k postoji samo jednostanje |k = k 2mpi/a takvo da vrijedi
-
Vremenski neovisan racun smetnje 8
stanja su prakticki degenerirana,
matricni element k|V (x)|k razlicit je od nule.
Matrica Hamiltonijana u dvodimenzionalnom kvazidegeneriranom potprostoru glasi
Hdeg =
(E(0)(k) V mVm E
(0)(k)
), (1.42)
a njezina dijagonalizacija vodi na cijepanje energijskih nivoa
E =1
2
[E(0)(k) + E(0)(k)
]14
[E(0)(k) + E(0)(k)]2 + |Vm|2. (1.43)
Ukoliko su stanja degenerirana, odnosno vrijedi k = mpi/a i k = mpi/a, smetnjauklanja degeneraciju
E = E(0)(mpi/a) |Vm|. (1.44)Na rubu m-te Brillouinove zone otvara se procijep proporcionalan odgovarajucoj Fourierovojkomponenti potencijala.
1.1.4 Primjer: niz oscilatorskih jama
Promatramo niz oscilatorskih jama frekvencije . Uz pretpostavku da je potencijal do-voljno slab, mozemo ga smatrati smetnjom na slobodni elektron. Prvi red racuna smet-nje daje samo konstantni pomak u energiji koji odgovara nultoj komponenti Fourierovograzvoja potencijala (sl. 1.2, lijevo). Drugi red racuna smetnje uvodi dodatnu korek-ciju koja divergira na rubovima Brilluoinovih zona (sl. 1.2, desno). Upotrijebimo li ublizini tih tocaka degenerirani racun smetnje, doci cemo do ispravnog rezultata (sl. 1.3).Koristeci racun smetnje, mozemo izracunati i valne funkcije. Ogranicimo se, za pocetak,na podrucja daleko od rubova Brilluoinovih zona. Buduci da su koeficijenti u razvojupotencijala realni, izraz za valnu funkciju u prvom redu racuna smetnje mozemo napisatiu sljedecem obliku
k(x) eikx
L
[1 +
Ma
2~2pi
m=1
2Vm
m(k2 m2pi2
a2
) (mpia
cos2mpix
a ik2mpix
a
)]. (1.45)
Usporedba valne funkcije u prvom redu racuna smetnje i numerickog rjesenja nalazise na sl. 1.4. Numericko i perturbativno rjesenje se odlicno slazu, iako potencijal nijezanemariv. Valnu funkciju na rubu Brilluoinove zone mozemo naci koristeci degenerirani
-
Vremenski neovisan racun smetnje 9
Slika 1.2: Disperzivna relacija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskihjama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovaraenergiji slobodne cestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog (lijevo) i drugog(desno) reda racuna smetnje.
Slika 1.3: Disperzivna relacija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskihjama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovara en-ergiji slobodne cestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog drugog reda racunasmetnje. Na rubovima Brilluonovih zona upotrijebljen je degenerirani racun smetnje.
-
Vremenski neovisan racun smetnje 10
Slika 1.4: Valna funkcija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskih jama.Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, dok isprekidane linije odgovaraju prvomredu racuna smetnje.
racun smetnje, a rjesenja odgovaraju stojnim valovima
+mpi/a(x) =12L
(eimpix/a + sgn(Vm)e
impix/a) , (1.46)mpi/a(x) =
12L
(eimpix/a sgn(Vm)eimpix/a
). (1.47)
Promotrimo detaljnije slucaj m = 1, odnosno k = pi/a. Fourierova komponenta V1periodicnog niza oscilatorskih jama je negativna pa vrijedi
+mpi/a(x) = i
2
Lsin
pix
a, (1.48)
mpi/a(x) =
2
Lcos
pix
a. (1.49)
Valna funkcija stanja nize energije (nalazi se odmah ispod procijepa) je realna i imacvorove u tockama maksimuma potencijala, dok je valna funkcija vise energije (nalazi seodmah iznad procijepa) imaginarna i ima cvorove u tockama minimuma potencijala.
-
Vremenski ovisan racun smetnje 11
1.2 Vremenski ovisan racun smetnje
1.2.1 Primjer: Dvorazinski sustav s konstantnom smetnjom
Egzaktni racun
Nesmetani sustav opisan je Hamiltonijanom H sa svojstvenim stanjima |1 i |2
H |1 = ~1 |1 , H |2 = ~2 |2 , (1.50)
dok Schrodingerova jednadzba koja opisuje sustav sa smetnjom glasi
i~t(t) = (H +W )(t). (1.51)
Stacionarna stanja cine potpun skup stanja pa valnu funkciju mozemo napisati kaonjihovu linearnu kombinaciju s vremenski ovisnim koeficijentima
(t) = c1(t)ei1t |1+ c2(t)ei2t |2 . (1.52)
Kao konkretan primjer promatramo sustav sa sljedecim pocetnim uvjetima
c1(0) = 1, c2(0) = 0. (1.53)
Uvrstimo pretpostavljeno rjesenje u Schrodingerovu jednadzbu, a zatim jednazbu pomnozimos 1| i 2|
i~c1ei1t = c1ei1t 1|W |1+ c2ei2t 1|W |2 , (1.54)i~c2ei2t = c1ei1t 2|W |1+ c2ei2t 2|W |2 . (1.55)
Uvodimo sljedecu oznaku za matricni element smetnje
|W | W, (1.56)
a kako je operator W hermitski, dijagonalni matricni elementi moraju biti realni, doksu nedijagonalni kompleksno konjugirani W12 = W
21. Definiramo li frekvenciju 0 =
2 1, jednadzbe mozemo napisati u sljedecem obliku
i~c1 = c1W11 + ei0tc2W21, (1.57)i~c2 = c2W22 + ei0tc1W12. (1.58)
Pretpostavimo oscilatorno rjesenje
c1 = Aeit, c2 = Bei(0)t, (1.59)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 12
cime se sustav diferencijalnih jednadzbi svodi na sustav obicnih linearnih jednadzbi zakoeficijente A i B
(W11 ~)A+W21B = 0, (1.60)W12A+ (W22 ~ + ~0)B = 0. (1.61)
Determinanta sustava mora iscezavati
~22 ~(W11 +W22 + ~0) +W11W22 +W11~0 |W12|2 = 0, (1.62)
odakle slijede svojstvene frekvencije
~I,II = W11 +1
2~ ~. (1.63)
Pritom smo uveli oznake
~ = W22 W11 + ~0, ~ =
1
4~22 + |W12|2. (1.64)
Poznavajuci frekvencije mozemo doci do amplituda
BI,II =~I,II W11
W21AI,II . (1.65)
I koeficijenata c1(t) i c2(t)
c1(t) = AIeiI t + AIIeiII t, (1.66)
c2(t) =1
W21ei0t
[(~I W11)AIeiI t + (~II W11)AIIeiII t
]. (1.67)
Pocetni uvjeti omogucuju odredivanje konstanti AI i AII
c1(0) = 1 = AI + AII = 1, (1.68)c2(0) = 0 = (~I W11)AI + (~II W11)AII = 0. (1.69)
Iskoristimo frekvencije ~I i ~II
~(
1
2 +
)AI+~
(1
2
)AII = 0 = ~
2(AI+AII)+~(AIAII) = 0. (1.70)
Pocetnim uvjetima odredili smo sumu i razliku koeficijenata
AI + AII = 1 i AI AII = 2. (1.71)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 13
Iskoristimo izraze za frekvencije
c1(t) = ei(W11~ + 2 )t
[AIe
it + AIIeit], (1.72)
raspisemo eksponencijalne funkcije pomocu trigonometrijskih
c1(t) = ei(W11~ + 2 )t [(AI + AII) cost+ i(AII AI) sint] , (1.73)
a zatim uvrstimo koeficijente AI i AII
c1(t) = ei(W11~ + 2 )t
[cost+ i
2sint
]. (1.74)
Vjerojatnost nalazenja sustava u stanju |1 glasi
P1 = |c1(t)|2 = cos2 t+ 2
42sin2 t. (1.75)
Sada racunamo koeficijent c2(t)
c2(t) =ei0t
W21
[(1
2~ + ~
)AIe
iI t +(
1
2~ ~
)AIIe
iII t]. (1.76)
Iskoristimo li frekvencije I i II
c2(t) =1
W21ei(
W11~ +
20t)
[(1
2~ + ~
)AIe
it +(
1
2~ ~
)AIIe
it
], (1.77)
clanove u uglatoj zagradi mozemo grupirati
realni dio1
2~(AI + AII) cost+ ~(AI AII) cost = 0, (1.78)
imaginarni dio~2(AI + AII) sint ~(AI + AII) sint = ~
4
(2 42) sint. (1.79)
Pritom smo iskoristili
AI + AII = 1 i AI AII = 2. (1.80)
Koeficijent c2(t) glasi
c2(t) =i~
4W21
(2 42) ei(W11~ + 20)t sint. (1.81)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 14
Slika 1.5: Egzaktne vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu. Na lijevoj slicije primjer sustava s parametrom = 0.5, a na desnoj s parametrom = 4.0.
Iskoristimo li definicije parametara i
c2(t) = iW12~ ei(W11~ + 20)t sint, (1.82)
vjerojatnost nalazenja sustava u stanju |2 glasi
P2 = |c2(t)|2 = 4|W12|2
(~)2 + 4|W12|2 sin2 t. (1.83)
Vratimo se vjerojatnosti nalazenja sustava u stanju |1
P1 = 1 42 242
sin2 t = 1 4|W212
(~)2 + 4|W12|2 sin2 t. (1.84)
Naravno, suma vjerojatnosti nalazenja sustava u stanjima |1 i |2 iznosi 1|c1(t)|2 + |c2(t)|2 = 1. (1.85)
Sustav oscilira izmedu stanja |1 i |2 s periodom = pi/, kao sto mozemo vidjetina sl. 1.5. zelenom bojom oznacena je vjerojatnost nalazenja u stanju |1, a crvenomu stanju |2, a vjerojatnosti zaposjednuca bitno ovise o paramteru . Na lijevoj sliciprikazane su vjerojatnosti zaposjednuca sustava s parametrom = 0.5, a na desnoj sparametrom = 4.0.
Prvi red racuna smetnje
Ogranicimo se na prvi red racuna smetnje, a radi jednostavnosti, promatramo sustav sasljedecim tipom smetnje
W11 = W22 = 0. (1.86)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 15
Neka je u pocetnom trenutku sustav u osnovnom stanju tj. c1(0) = 1 i c2(0) = 0.Egzaktan rezultat vjerojatnosti zaposjednuca nivoa |2 glasi
P2(t) =|W12|2(~0
2
)2+ |W12|2
sin2 t, ~ =
(~02
)2+ |W12|2. (1.87)
U prvom redu racuna smetnje na desnoj strani diferencijalne jednadzbe koja odredujekoeficijent c2(t) treba zamijeniti c1(t) s c1(0)
i~c2ei2t = c1(0)ei1tW21 = c2(t) = i~ei0tW21. (1.88)
Integriramo li prethodnu jednadzbu, uz uvjet c2(0) = 0
c2(t) =1
~0(1 ei0t)W21, (1.89)
doci cemo do vjerojatnosti zaposjednuca nivoa 2 u prvom redu racuna smetnje
P2(t) = |c2(t)|2 = 4 |W12|2
~220sin2
0t
2. (1.90)
Koristenje prvog reda racuna smetnje bit ce opravdano ukoliko je smetnja mnogo manjaod razlike nesmetanih nivoa, odnosno vrijedi |W12| ~0 . Na sl. 1.6 prikazane suvjerojatnosti zaposjednuca izracunate u prvom redu racuna smetnje s dvije vrijednostiomjera smetnje i razlike nesmetanih nivoa. Bez obzira na jakost smetnje, nakon dovoljnodugog vremena, prvi red racuna smetnje pocinje bitno odstupati od egzaktnog rezultata.Naravno, sto je smetnja manja, to ce vrijeme primjenjivosti prvog reda racuna smetnjebiti dulje.
1.2.2 Primjer: Dvorazinski sustav s periodickom smetnjom
Numericko rjesenje
Ponovno promatramo dvorazinski sustav, ali je smetnja koja djeluje periodicka
i~t(t) = [H +W cost](t). (1.91)
Valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju stacionarnih stanja s vremenskiovisnim koeficijentima
(t) = c1(t)ei1t |1+ c2(t)ei2t |2 . (1.92)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 16
Slika 1.6: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu u prvom redu racunasmetnje. Na lijevoj slici je primjer sustava s malom smetnjom (~0 = 8|W12|), a nadesnoj s relativno velikom smetnjom (~0 = 2|W12|).
Neka se u pocetnom trenutku sustav nalazi u stanju |1
(0) = |1 = c1(0) = 1, c2(0) = 0, (1.93)
pri cemu su |1 i |2 rjesenja stacionarnog problema
H |1 = ~1 |1 , H |2 = ~2 |2 . (1.94)
Uvrstimo li valnu funkciju (t) u Schrodingerovu jednadzbu, a zatim istu pomnozimo s1| i 2|, kao rezultat cemo dobiti sustav diferencijalnih jednadzbi koji mozemo rijesitinumericki
i~c1ei1t = cost[1|W |1 c1ei1t + 1|W |2 c2ei2t] , (1.95)
i~c2ei2t = cost[2|W |1 c1ei1t + 2|W |2 c2ei2t] . (1.96)
Ovakvim jednostavnim modelom mozemo opisati pojavu paramagnetske rezonan-cije. Elektron u s-stanju nalazi se u konstantnom magnetskom polju ~H0, usmjerenomduz z-osi sto uzrokuje cijepanje degeneracije spinskih stanja (Zeemanov efekt)
0 =2H0~
. (1.97)
Ukljucimo periodicko magnetsko polje ~H cost koje djeluje kao smetnja
W (t) = (~ ~H
)cost, = e~
2mc. (1.98)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 17
Slika 1.7: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu s periodickom smetnjom.Rezultati su dobijeni numerickim rjesavanjem diferencijalnih jednadzbi.
Prijelazi medu stanjima suprotnog spina moguci su ako je dodatno magentsko poljeokomito na polje ~H0, npr. usmjereno duz osi x
W (t) = xH cost. (1.99)Doprinose samo nedijagonalni matricni elementi
2|W (t) |1 = H cost, 1|W (t) |2 = H cost, (1.100)a do rezonancije dolazi ako vrijedi 0 , sto je vidljivo na sl. 1.7.
Prvi red racuna smetnje
Promotrimo isti problem koristeci prvi red racuna smetnje. Ogranicimo li se na smetnjukoja ima samo nedijagonalne elemente razlicite od nule, problem se svodi na sljedecudiferencijalnu jednadzbu
c2 = i2~W12c1
[ei(+0)t + ei(0)t
]. (1.101)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 18
Slika 1.8: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu s periodickom smetnjom.Rezultati su dobijeni u prvom redu racuna smetnje.
Prvi red racuna smetnje odgovara zamijeni koeficijenta c1(t) s odgovarajucim pocetnimuvjetom c1(0) = 1
c2 = i2~W12
[ei(+0)t + ei(0)t
]. (1.102)
Uz pocetni uvjet c2(0) = 0 rjesenje glasi
c2(t) =W12~
1
20 2[0(1 ei0t cost)+ iei0t sint] . (1.103)
Na sl. 1.8 pratimo vremensku evoluciju sustava na skali do tmax = 20 pri cemu je = 2pi/0. Sa slike je vidljivo kako priblizavanjem rezonanciji racun smetnje prestaje bitiprimjenjiv. Takoder, nakon dovoljno dugog vremena uvijek dolazi do znatnih odstupanjaperturbativnog rjesenja od stvarnog.
1.2.3 Tjerani harmonicki oscilator
Numericko rjesenje
Neka na harmonicki oscilator prirodne frekvencije 0 djeluje vanjska sila
F (t) = m20x0f(t) = ~0m0~
x0f(t) =~0b
x0bf(t), (1.104)
pri cemu x0 mjeri jakost smetnje. Vremenski ovisna Schrodingerova jednadzba glasi
i~t(x, t) = ~2
2m2x(x, t) +
1
2m20x
2(x, t)m20x0xf(t)(x, t). (1.105)
-
Vremenski ovisan racun smetnje 19
Svojstvene funkcije nesmetanog oscilatora glase
n(x, t) = NnHn(x/b)ex2/2b2eiEnt/~, b =
~
m0, (1.106)
dok su svojstvene energije ekvidistantne
En =
(n+
1
2
)~. (1.107)
Hamiltonijan smetnje
H = ~0x0b
x
bf(t) = ~0f(t), x0
b, x
b. (1.108)
Svojstvena stanja nesmetanog harmonickog oscilatora cine potpuni skup stanja pa proizvoljnuvalnu funkciju mozemo napisati kao njihovu superpoziciju
(x, t) =n=0
cn(t)n(x, t) =n=0
cn(t)n(x)eiEnt/~. (1.109)
Uvrstimo valnu funkciju u Schrodingerovu jednadzbu i iskoristimo ortonormiranost funkcijan(x)
i~cm(t) = ~0f(t)n=0
cn(t)ei(mn)0tm||n. (1.110)
Matricni element smetnje ima samo dva doprinosa
m||n =n+ 1
2m,n+1 +
n
2m,n1. (1.111)
Problem se sveo na beskonacni sustav vezanih diferencijalnih jednadzbi prvog reda
cm(t) = i0f(t)12
[mcm1(t)ei0t +
m+ 1cm+1(t)e
i0t]. (1.112)
Buduci da u praksi mozemo pratiti samo konacni broj koeficijenata, sumu cemo moratiograniciti. Broj koeficijanata koji pratimo ovisi o vremenskoj skali na kojoj rjesavamoproblem tako da dulja vremenska skala zahtjeva veci broj koeficijenata. Kao konkretanprimjer, promotrimo harmonicku silu f(t) = cost. U klasicnoj fizici priblizavanjemprirodnoj frekvenciji oscilatora ulazimo u rezonanciju, a zanemarivanjem trenja i nelin-earnih efekata, amplituda oscilacija bi divergirala. Problem tjeranog harmonickog oscila-tora u kvantnoj mehanici moguce je rijesiti egzaktno. Rezultat je da vrh valnog paketa(stacionarno ili koherentno stanje) slijedi klasicnu putanju oscilatora, dok se sirina paketa
-
Vremenski ovisan racun smetnje 20
Slika 1.9: Neodredenosti, ocekivane vrijednosti kineticke, potencijalne i ukupne energije,polozaja i impulsa za frekvenciju = 0.850. Ocekivane vrijednosti polozaja i impulsaslazu se s klasicnim rezultatima.
ne mijenja. Zadrzimo se na numerickom rjesenju i pretpostavimo da je u pocetnomtrenutku oscilator u osnovnom stanju
c0(0) = 1, cn(0) = 0, n 6= 0. (1.113)
Promatramo vremensku skalu tmax = 20 pri cemu je = 2pi/0 period slobodnogoscilatora. Ocekivanu vrijednost operatora polozaja usporedujemo s klasicnim rjesenjemtjeranog oscilatora koji u pocetnom trenutku miruje u polozaju ravnoteze
xcl(t) =f0
20 2(cost cos0t) . (1.114)
Za harmonicki oscilator klasicna rjesenja se potpuno slaza s ocekivanim vrijednostimax i p, kao sto vidimo na sl. 1.9. Takoder, sa sl. 1.9 je vidljivo da valni paket nemijenja oblik tijekom vremena, ali i da energija vise nije sacuvana jer je sustav otvoren.
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 21
Slika 1.10: Realni i imaginarni dio koeficijenta c1(t).
Prvi red racuna smetnje
Ponovno rjesavamo problem tjeranog harmonickog oscilatora, ali ovaj put u prvom reduracuna smetnje. Pretpostavimo da se u pocetnom trenutku sustav nalazi u osnovnomstanju
c0(0) = 1, cn(0) = 0, n 6= 0. (1.115)U prvom redu racuna smetnje moguc je samo prijelaz u prvo pobudeno stanje
c1(t) =i0
2costei0t =
i0
2
2
[ei(+0)t + ei(+0)t
]. (1.116)
Integriramo prethodnu jednadzbu
c1(t) =0
2
ei0t [0 cost i sint] 020 2
. (1.117)
Usporedimo li numericko i perturbativno rjesenje, vidjet cemo da racun smetnje nijeprimjenjiv u podrucju rezonancije, bez obzira na amplitudu sile. Takoder, bez obzira naamplitudu sile, nakon dovoljno dugog vremena perturbativno rjesenje ce poceti odstupatiod stvarnog.
1.3 Adijabatska i impulsna aproksimacija
1.3.1 Adijabatska aproksimacija: jama promjenjive sirine
Cestica mase m nalazi se u beskonacno dubokoj potencijalnoj jami promjenjive dimenzije
V (x) =
{0, 0 x L(t), inace . (1.118)
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 22
Vremenski ovisna Schrodingerova jednadzba, zajedno s odgovarajucim rubnim uvjetimaglasi
i~
t= ~
2
2m
2
x2, (x = 0) = 0, (x = L(t)) = 0. (1.119)
U svakom vremenskom trenutku mozemo naci potpuni skup ortonormiranih svojstvenihstanja pravokutne jame
un(x, t) =
2
L(t)sin
npix
L(t), En(t) =
~2pi2n2
2mL2(t). (1.120)
Pretpostavimo rjesenje u obliku sljedece superpozicije
(x, t) =n
bn(t)un(x, t)e i~ t0 En()d , (1.121)
a zatim uvrstimo (x, t) u Schrodingerovu jednadzbu
dbkdt
= n
bn(t)e i~ 0 [En()Ek()]d
L(t)0
unt
uk(x, t)dx. (1.122)
Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se dimenzija jame mijenja konstantnom brzinom
dL
dt 2~mL0
= konst., L0 L(t = 0), (t) L(t)L0
. (1.123)
Deriviramo li valnu funkciju baze, doci cemo do sljedeceg rezultata
unt
=
2
L(t)
1
L(t)
L
tsin
npix
L(t)
2
L(t)
npix
L2(t)
L
tcos
npix
L(t). (1.124)
Integriramo prvi clan L(t)0
sinnpix
L(t)sin
kpix
L(t)dx =
{0 k 6= n12L(t) k = n,
(1.125)
a zatim i drugi L(t)0
x cosnpix
L(t)sin
kpix
L(t)dx =
{(1)k+n L2(t)
pik
n2k2 k 6= n0 k = n
. (1.126)
Integral u eksponencijalnom clanu s energijama glasi t0
d(L0 +
2~mL0
)2 = mL02~
[1
L0 1L(t)
]. (1.127)
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 23
Derivaciju koeficijenta po vremenu pretvorimo u derivaciju po parametru
dbkdt
=dbkd
d
dt=
1
L0
dL
dt
dbkd. (1.128)
Jednadzba za koeficijent svodi se na beskonacni sustav vezanih diferencijalnih jednadzbiprvog reda
dbkd
=1
2bk() +
1
n6=k
bn()2nk(1)n+kn2 k2 e
i(n2k2)pi2(11/)/4, (1.129)
pri cemu pozitivne vrijednosti konstante odgovaraju ekspanziji, a negativne kompresijijame.
Prvi red racuna smetnje
Ogranicimo se zasada na prvi red racuna smetnje, odnosno koeficijente na desnoj stranizamijenimo s njihovim vrijednostima u pocetnom trenutku. Pretpostavimo da se upocetnom trenutku sustav nalazi u osnovnom stanju
bn(t = 0) =
{1, n = 10, n 6= 1 . (1.130)
Promotrimo jednadzbu za koeficijent b2()
db2d
=4
3e3pi2
4i(11/). (1.131)
Definiramo pokratu g = 3pi2/4, a zatim integriramo jednadzbu
b2() b2(0) = 43geig
0
g
eig/
d. (1.132)
Napravimo supstituciju = g/
b2() = 43eig
[ g/g/0
cos
d + i
g/g/0
sin
d
], (1.133)
Iskoristimo li pocetni uvjet 0 = 1, doci cemo do rjesenja
b2() = 43
cos g [Ci(g/) Ci(g)] 43
sin g [Si(g/) Si(g)]
+4
3i sin g [Ci(g/) Ci(g)] 4
3i cos g [Si(g/) Si(g)] , (1.134)
pri cemu smo iskoristili definicije sinusa integralnog i kosinusa integralnog
Si(x) =
x0
sin
d , Ci(x) =
x
cos
d . (1.135)
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 24
Slika 1.11: Koeficijent b2(t) za nekoliko brzina kompresije jame. Usporedeni su prvi redracuna smetnje i egzaktni rezultat.
Egzaktni racun
Problem beskonacne jame cija sirina se mijenja konstantnom brzinom mozemo rijesiti iegzaktno. Rjesenja odgovarajuce vremenski ovisne Schrodingerove jednadzbe
n(x, t) =
2
L(t)ei(x/L)
2in2pi2(11/)/4 sinnpix
L(t), (1.136)
cine potpuni ortonormirani skup stanja. U granici 0 funkcija n(x, t) svodi se narjesenje obicne beskonacne jame un(x). Proizvoljnu valnu funkciju mozemo napisati kaosuperpoziciju stanja n(x, t)
(x, t) =n
ann(x, t), (1.137)
a buduci da koeficijenti an ne ovise o vremenu, mozemo ih izracunati u pocetnomtrenutku
an =
L00
n(x, 0)(x, 0)dx. (1.138)
Valnu funkciju u svakom trenutku mozemo razviti i po svojstvenim funkcijama beskonacnejame sirine L(t), ali u tom slucju koeficijenti ovise o vremenu
(x, t) =k
Ck(t)uk(x, t). (1.139)
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 25
Slika 1.12: Koeficijenti an i bn(t) za dvije brzine kompresije jame.
Koristeci ortonormiranost funkcija uk(x, t), koeficijente Ck(t) mozemo izraziti pomocukoeficijenata an
Ck(t) =n
an
L(t)0
uk(x, t)n(x, t)dx. (1.140)
Pritom su koeficijenti Ck(t) i bk(t) proporcionalni
Ck(t) = bk(t)e i~ t0 Ek()d tj. |Ck(t)|2 = |bk(t)|2. (1.141)
Koristeci koeficijente Ck(t), u svakom trenutku mozemo izracunati ocekivanu vrijednostenergije
E(t) =k
|Ck(t)|2Ek(t). (1.142)
Na sl. 1.12 prikazani su koeficijenti an i bn(t) za dvije brzine kompresije jame. Ako jebrzina kompresije veca, doprinosi veci broj koeficijenata an i bn(t).
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 26
1.3.2 Impulsna aproksimacija
Impulsna aproksimacija je suprotan slucaj u odnosu na adijabatsku aproksimaciju. Prom-jena parametra potencijala je toliko brza da se valna funkcija uopce ne stigne prilagoditipromjeni, odnosno u idealiziranom slucaju valna funkcija nakon promjene ima potpunoisti oblik kao i prije promjene. U takvom slucaju je i energija nakon promjene jednaka en-ergiji prije promjene. Naravno, u stvarnosti ovakva situacija nikada nece biti u potpunostiostvarena.
Buduci da pravokutna jama neprakticna za numericko rjesavanje, promatrat cemomalo modificirani slucaj zaobljene jame
U(x) = U0
(xd
)n, n = 2k, (1.143)
gdje parametar k kontrolira zaobljenost jame. k = 1 odgovara potencijalu harmonickogoscilatora, dok k odgovara pravokutnoj jami sirine d. Odaberemo li npr. k =8 i pustimo da se parametar d mijenja, dobit cemo priblizan slucaj pravokutne jamepromjenjive sirine. Period gibanja klasicne cestice u potencijalu (1.13) mozemo izracunatianaliticki
= 4x0
mpi
2E
(
1n
)n(
2+n2n
) . (1.144)x0 je tocka obrata
x0 = d
(E
U0
)1/n. (1.145)
Klasicni period gibanja cestice mozemo koristiti kao mjeru brze promjene. Neka se sirinajame linearno mijenja u vremenu
d(t) = d(0)
(1 +
t
). (1.146)
Na sl. 1.13 prikazana je ovisnost energije o vremenu tijekom sirenja jame (lijevo), kaoi pocetna i konacna gustoca vjerojatnosti (desno). Cak i za vrlo velike brzine sirenja,energija se donekle promijeni1, iako je gustoca vjerojatnosti prakticki jednaka. Kadasirenje jame prestane, cestica se ne nalazi u osnovnom stanju nove jame. Ako je sirenjebilo brzo, njezina valna funkcija odgovara superpoziciji veceg broja svojstvenih funkcijanove jame. To znaci da stanje nije stacionarno, nego se mijenja u vremenu.
1valna funkcija vidi promjene potencijala
-
Adijabatska i impulsna aproksimacija 27
Slika 1.13: Lijevo: ovisnost energije o vremenu tijekom sirenja jame. Desno: gustocavjerojatnosti u pocetnom i konacnom trenutku, kao i pocetni i konacni potencijal. Crnomlinijom je prikazana gustoca vjerojatnosti koja odgovara osnovnom stanju konacnog po-tencijala.
-
Varijaciona metoda 28
1.4 Varijaciona metoda
1.4.1 Primjer: linearni potencijal
Koristeci varijacionu metodu, zelimo odrediti pribliznu energiju osnovnog stanja poten-cijala V (x) = F |x|. Kao prvu probnu funkciju koristit cemo trigonometrijsku funkciju
(x) =
{cos pix
2a|x| < a,
0 inace. (1.147)
Priblizna energija osnovnog stanja odgovara minimalnoj vrijednosti omjera
W =
(x)H(x)dx(x)(x)dx
. (1.148)
Prvo izracunamo normu probne funkcije aa
cos2pix
2adx = a, (1.149)
a nakon toga i ocekivanu vrijednost Hamiltonijana aa
cospix
2a
( ~
2
2m
d2
dx2+ F |x|
)cos
pix
2adx =
~2
2m
pi2
4a+ a2F
(1
2 2pi2
). (1.150)
Da bi minimizirali omjer
W =~2
2m
pi2
4a2+ aF
(1
2 2pi2
), (1.151)
trazimo nultocku derivacije
W
a
a=a0
= ~2
2m
pi2
2a30+ F
(1
2 2pi2
)= 0. (1.152)
Slijedi
a0 =
(~2pi2
4mF
)1/3(1
2 2pi2
)1/3 2.0245
(~2
mF
)1/3. (1.153)
Priblizna vrijednost energije osnovnog stanja iznosi
W (a0) = 0.903
(~2A2
m
)1/3, (1.154)
-
Varijaciona metoda 29
i dobro se slaze s egzaktnim rezultatom
Eegz = 0.808
(~2A2
m
)1/3. (1.155)
Kao drugu probnu funkciju koristimo Gaussian
(x) = ex2/22 . (1.156)
Izracunamo normu probne funkcije
ex2/2dx =
pi, (1.157)
a zatim i ocekivanu vrijednost Hamiltonijana
ex2/22
( ~
2
2m
d2
dx2+ A|x|
)ex
2/22dx =~2
2m2+ Api. (1.158)
Minimiziramo omjer ocekivane vrijednosti Hamiltonijana i norme probne funkcije
W =~2
2m2+Api, (1.159)
odnosno trazimo nultocku derivacije
W
=0
= 0 = 0 =(~2pi
mA
)1/3. (1.160)
Priblizna vrijednost energije osnovnog stanja
W (0) =3
2pi1/3
(~2A2
m
)1/3 1.024
(~2A2
m
)1/3, (1.161)
i u ovom slucaju se relativno dobro slaze s egzaktnim rezultatom
Eegz = 0.808
(~2A2
m
)1/3. (1.162)
Na sl. 1.14 prikazani su rezultati varijacione metode u usporedbi s egzaktnim racunom.
-
WKB aproksimacija 30
Slika 1.14: Usporedba rezultata varijacione metode i egzaktnog racuna za probne funkcije(1.147) i (1.156).
1.5 WKB aproksimacija
Princip WKB2 aproksimacije mozemo pokazati na jednodimenzionalnoj stacionarnojSchrodingerovoj jednadzbi
d2
dx2+
2m
~2[E V (x)](x) = 0. (1.163)
Valnu funkciju napisemo kao produkt amplitude ((x)) i faze ((x))
(x) = (x)ei(x)/~. (1.164)
Uvrstavanjem u Schrodingerovu jednadzbu dolazimo do sustava od dvije jednadzbe
2 2m(E V ) = ~2
, (1.165)
2 + = 0. (1.166)
Integracijom jedn. (1.166), dolazimo do relacije
= C ()1/2 , C = konst. (1.167)
Uvrstavanjem u jedn. (1.165), dobit cemo nelinearnu diferencijalnu jednadzbu trecegreda
2 = 2m(E V ) + ~2[
3
4
(
)2 1
2
]. (1.168)
2WentzelKramerBrillouin
-
WKB aproksimacija 31
Amplituda i faza mogu ovisiti samo o parnim potencijama konstante ~2 pa fazurazvijamo u red
= 0 + ~21 + (1.169)Zadrzimo li se na clanovima nultog reda, doci cemo do jednostavne jednadzbe prvogreda
02
= 2m [E V (x)] . (1.170)Pri integraciji razlikujemo dva slucaja: E > V (x) i E < V (x). U pravom slucajudefiniramo valnu duljinu
(x) =~
2m [E V (x)] , (1.171)
koja je obrnuto proporcionalna klasicnom impulsu cestice. Nakon integracije slijedi
0 = ~dx+ c, 0 = C
~, (1.172)
pa WKB rjesenje u klasicno dozvoljenom podrucju mozemo napisati kao linearnu kom-binaciju oscilatornih funkcija
(x) = cos
(dx
+
), (1.173)
pri cemu su i konstante koje tek treba odrediti. Drugi slucaj odgovara klasicnozabranjenom podrucju pa definiramo na sljedeci nacin
q(x) =~
2m(V (x) E) . (1.174)
Diferencijalna jednadzba za fazu dobit ce dodatni faktor i
0 = i~q. (1.175)
Ocekivano, valna funkcija u klasicno zabranjenom podrucju odgovara linearnoj kombi-naciji eksponencijalnih funkcija
(x) =q
[edxq + e
dxq
]. (1.176)
Kao i u slucaju klasicno dozvoljenog podrucja konstante i tek trebamo odrediti. Obaizraza za valnu duljinu divergiraju u klasicnim tockama obrata.
Promotrimo posebno podrucje u blizini klasicnih tocaka obrata uz pretpostavku dapotencijal oko tocke obrata x = a mozemo razviti u red
V (x) = V (a) + V (a)(x a) = E + V (a)(x a). (1.177)
-
WKB aproksimacija 32
Vratimo li se pocetnoj Schrodingerovoj jednadzbi
d2
dx2 2m~2V (a)(x a) = 0, (1.178)
uz supstituciju
z =
[2m
~2V (a)
]1/3(x a), (1.179)
doci cemo do Airy jednadzbed2
dz2 z = 0. (1.180)
Airy jednadzba ima dva linearno nezavisna rjesenja: Airy funkciju prve vrste Ai(z) iAiry funkciju druge vrste Bi(z). Za negativne vrijednosti argumenta z obje funkcijesu oscilatorne, dok za velike pozitivne vrijednosti argumenta z funkcija Ai(z) trne, afunkcija Bi(z) divergira. Asimptotski razvoji za velike pozitivne vrijednosti argumentaglase
Ai(z) 12pi1/2z1/4e, (1.181)
Bi(z) pi1/2z1/4e, (1.182)
gdje je = 23|z|3/2. S druge strane, za velike negativne vrijednosti argumenta z vrijede
izrazi
Ai(z) pi1/2|z|1/4 cos ( pi/4), (1.183)Bi(z) pi1/2|z|1/4 sin ( pi/4). (1.184)
Na sl. 1.15 prikazane su Airy funkcije prve i druge vrste u usporedbi s odgovarajucimasimptotskim razvojima. Slaganje je izvrsno, osim u blizini ishodista gdje asimptotskirazvoj divergira. Izrazeno u staroj koordinati x, to podrucje zapravo odgovara tockiobrata.
U sljedecem koraku povezujemo WKB rjesenja s asimptotskim razvojem Airy funkcija.Pretpostavimo da se radi o tocki obrata za koju vrijedi V (a) > 0, odnosno da u klasicnodozvoljenom podrucju vrijedi x < a. WKB rjesenje mozemo napisati u sljedecem obliku
(x) = cos
( ax
dx
(x)+
). (1.185)
Valnu duljinu razvijemo u red oko tocke obrata
(x) ~2mV (a)
1(x a) . (1.186)
-
WKB aproksimacija 33
Slika 1.15: Airy funkcije prvog (Ai(z)) i drugog (Bi(z)) reda i odgovarajuci asimptotskirazvoji.
Integral u WKB rjesenju glasi2mV (a)~2
ax
(x a)dx = 2
3
2mV (a)~2
(a x)3/2 = 23|z|3/2 = . (1.187)
WKB rjesenje u klasicno dozvoljenom podrucju
(z) =
(2mV (a)~2
)1/4|z|1/4 cos ( + ). (1.188)
Uz odabir = pi/4 + , prethodni izraz mozemo napisati u formi linearne kombinacijeasimptotskih razvoja Airy funkcija
(z) =
(2mV (a)~2
)1/4|z|1/4 1
2
[cos ( pi/4) cos sin ( pi/4) sin
],
(1.189)odnosno
(z) = cos Ai(z) + sin Bi(z), =
pi
2
(2mV (a)~2
)1/4. (1.190)
Ponovimo isti postupak s WKB rjesenjem u klasicno zabranjenom podrucju
(x) =q(x)
[e xa
dxq(x) + e
xa dxq(x)] . (1.191)Integral u WKB rjesenju glasi
2mV (a)~2
xa
(x a)dx = 2
3
2mV (a)~2
(x a)3/2 = 23z3/2 = . (1.192)
-
WKB aproksimacija 34
WKB rjesenje u klasicno zabranjenom podrucju
(z) =
(2mV (a)~2
)1/4z1/4
(e + 2
1
2e), (1.193)
odnosno(z) = Bi(z) + 2Ai(z). (1.194)
Pritom je
=
(2mV (a)~2
)1/4pi
2, =
(2mV (a)~2
)1/4pi
2. (1.195)
Valne funkcije koje povezujemo u klasicno zabranjenom i klasicno dozvoljenompodrucju 3
1 q(x)e
+ xa
dxq(x) i 1
(x) sin
( ax
dx
(x) pi
4
), (1.196)
2 12
q(x)e
xa dxq(x) i 2 (x) cos( ax
dx
(x) pi
4
)(1.197)
Slicnim zakljucivanjem bi mogli povezati valne funkcije ako bi u klasicnoj tocki obratax = b vrijedilo V (b) < 0, odnosno u klasicno zabranjenom podrucju bi bilo x < b, a uklasicno dozvoljenom x > b:
1 q(x)e
+ bx
dxq(x) i 1
(x) sin
( xb
dx
(x) pi
4
), (1.198)
2 12
q(x)e
bx dxq(x) i 2 (x) cos( xb
dx
(x) pi
4
)(1.199)
1.5.1 Energije vezanih stanja
Promatramo potencijalnu jamu u kojoj bi klasicno dozvoljeno podrucje za cesticu senergijom E obuhvacalo interval b x a. U klasicno zabranjenom podrucju x < bWKB valna funkcija ima oblik
for.2,b =1
2
q(x)e
bx dxq(x) , (1.200)koji mozemo povezati s WKB valnom funkcijom u dozvoljenom podrucju
all.2,b =(x) cos
( xb
dx
(x) pi
4
). (1.201)
3jedna odgovara Airy funkciji Ai(z), a druga Airy funkciji Bi(z)
-
WKB aproksimacija 35
Iskoristimo li relaciju xb
dx
(x)=
ab
dx
(x) ax
dx
(x), (1.202)
Valnu funkciju u dozvoljenom podrucju dalje mozemo napisati kao
all.2,b =(x) cos
( ab
dx
(x) ax
dx
(x) pi
4
). (1.203)
Da bismo ponistili moguci divergentni doprinos, moramo nametnuti uvjet ab
dx
(x)=
(n+
1
2
)pi, (1.204)
koji daje kvantizaciju energijskih nivoa. Uz tako nametnuti uvjet, vrijedi
all.2,b = (1)n(x) cos
( ax
dx
(x) pi
4
), (1.205)
odnosnoall.2,b = (1)nall.2,a . (1.206)
Uvjet kvantizacije mozemo izraziti i pomocu integrala akcijep(x)dx =
(n+
1
2
)h. (1.207)
Linearni potencijal
Koristeci WKB metodu, zelimo odrediti energijske nivoe u linearnom potencijalu
V (x) = F |x|. (1.208)Klasicne tocke obrata su simetricne
b = EF
i a =E
F. (1.209)
Uvjet kvantizacije energije glasi ab
2m [E F |x|]dx = 2
2m
a0
E Fxdx =
(n+
1
2
)pi~, (1.210)
pri cemu smo iskoristili simetricnost podinteralne funkcije. Rjesavanjem integrala docicemo do energijskih nivoa
En =
[3F~pi4
2m
(n+
1
2
)]2/3. (1.211)
-
WKB aproksimacija 36
n egzaktno WKB
0 0.342 0.3751 0.787 0.7812 1.092 1.0983 1.375 1.3744 1.621 1.6245 1.856 1.857
Tablica 1.1: Usporedba egzaktnih i WKB nivoa za elektron u potencijalu strmine F =eVnm1.
Egzaktni i WKB nivoi su usporedeni u tablici 1.1.
Valna funkcija u klasicno dozvoljenom podrucju glasi
II(x) =C1p(x)
cos
[1
~
xb
p(x)dx pi4
], (1.212)
pri cemu je b = E/F lijeva tocka obrata. Rijesimo li integral, slijedi
II(x) =C1p(x)
cos
[1
~f(x) pi
4
]. (1.213)
Funkcija f(x) definirana je na sljedeci nacin
f(x) = 2
2m3F
(F |x|+ E)3/2 x < 0f(x) =
2m
3F
[2E3/2 (F |x|+ E)3/2
]x 0. (1.214)
Alternativno, mogli smo koristiti formulu
II(x) =C2p(x)
cos
[1
~
ax
p(x)dx pi4
], (1.215)
pri cemu je a = E/F desna tocka obrata. Rijesimo li integral, slijedi
II(x) =C2p(x)
cos
[1
~g(x) pi
4
]. (1.216)
Funkcija g(x) definirana je na sljedeci nacin
g(x) = 2
2m3F
(F |x|+ E)3/2 x > 0g(x) =
2m
3F
[2E3/2 (F |x|+ E)3/2
]x 0. (1.217)
Dva izraza su ekvivalentna zbog uvjeta kvantizacije energije.
-
WKB aproksimacija 37
Slika 1.16: Usporedba egzaktnih (zelena linija) i WKB (plava linija) valnih funkcija.
Valna funkcija u lijevom klasicno zabranjenom podrucju
I(x) =C12
~22m
1
2F |x| Eexp
[ E/Fx
F |x| Edx
]. (1.218)
Nakon rjesavanja integrala dobijemo
I(x) =C12
~22m
1
2F |x| Ee
23F
(F |x|E)3/2 . (1.219)
Valna funkcija u desnom klasicno zabranjenom podrucju
III(x) =C22
~22m
1
2Fx Eexp
[ xE/F
Fx Edx
]. (1.220)
Nakon rjesavanja integrala dobijemo
III(x) =C22
~22m
1
2Fx Ee
23F
(FxE)3/2 . (1.221)
U svim slucajevima valna funkcija divergira u blizini tocaka obrata, kao sto se vidi nasl. 1.16.
1.5.2 Tuneliranje kroz barijeru
Koeficijent transmisije za tuneliranje kroz barijeru glasi
T (E) = e2(E), (E) = ab
2m
~2[V (x) E]. (1.222)
-
WKB aproksimacija 38
Slika 1.17: Usporedba egzaktnih i WKB rezultata koeficijenata transmisije za dvije sirinebarijere.
Trokutasta barijera
Promatramo tuneliranje kroz potencijalnu barijeru trokutastog oblika
V (x) = V0
(1 x
w
). (1.223)
Racunamo funkciju
(E) =
2m
~2
x00
V0 E V0
wxdx. (1.224)
Integral je tablicni
(E) =2w
3V0
2m
~2[V0 E]3/2 , (1.225)
a koeficijent transmisije u ovisnosti o energiji
T (E) = e 4w
3V0
2m~2 [V0E]
3/2
. (1.226)
WKB aproksimacija bolje funkcionira za siroke barijere, kao sto se vidi na sl. 1.17.
-
2 Problem rasprsenja u tri dimenzije
2.1 Metoda parcijalnih valova
Pretpostavimo da homogeni snop cestica nailazi na potencijal U(r) koji je razlicit odnule unutar radijusa r = a, dok izvan tog radijusa potencijal postaje zanemariv. Stoga jevalna funkcija u podrucju r > a rjesenje Schrodingerove jednadzbe za slobodnu cesticu(4+ k2)(r) = 0, k2 = 2mE
~2. (2.1)
Radi osne simetrije rjesenje ne ovisi o kutu
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
[Aljl(kr) +Blnl(kr)]Pl(cos ). (2.2)
Koristit cemo asimptotsko ponasanje sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcijana velikim udaljenostima
jl(kr) sin (kr lpi/2)kr
i nl(kr) cos (kr lpi/2)kr
, (2.3)
da bi odredili asimptotski oblik valne funkcije na velikim udaljenostima
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
[Al
sin (kr lpi/2)kr
Bl cos (kr lpi/2)kr
]Pl(cos ). (2.4)
Linearnu kombinaciju trigonometrijskih funkcija mozemo izraziti pomocu amplitude Cl ifaznog pomaka l
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
Clsin (kr lpi/2 + l)
krPl(cos ), (2.5)
a zatim valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju izlaznog i ulaznogsfernog vala
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
Clei(krlpi/2+l) ei(krlpi/2+l)
2ikrPl(cos ). (2.6)
Ulazni sferni val potjece od ulaznog ravnog vala kojeg takoder mozemo razviti po mul-tipolima
eikz =l=0
il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos ), (2.7)
39
-
Metoda parcijalnih valova 40
odakle slijedi asimptotsko ponasanje
eikz l=0
il(2l + 1)sin (kr lpi/2)
krPl(cos ). (2.8)
Da bi dobili cisti izlazni sferni val, od valne funkcije moramo oduzeti ravni val
(r) 1(2pi)3/2
eikz =1
(2pi)3/2eikr
rf(). (2.9)
Medutim, da bi prethodna jednadzba bila ispunjena, moramo nametnuti relaciju izmeduamplitude Cl i faznog pomaka l
Cl = ileil(2l + 1). (2.10)
Izraz za amplitudu rasprsenja glasi
f() =1
2ik
l=0
(e2il 1) (2l + 1)Pl(cos ). (2.11)
Ukupnu valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Hankelovihfunkcija prvog i drugog reda
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
1
2il(2l + 1)
[h
(1)l (kr)e
2il + h(2)l (kr)
]Pl(cos ), (2.12)
gdje je
h(1)l (kr) = jl(kr) + inl(kr), (2.13)
h(2)l (kr) = jl(kr) inl(kr). (2.14)
Asimptotsko ponasanje sferne Hankelove funkcije prvog reda odgovara izlaznom, a sferneHankelove funkcije drugog reda ulaznom sfernom valu
h(1)l (kr) (i)l+1
eikr
kr, (2.15)
h(2)l (kr) il+1
eikr
kr. (2.16)
Radijalni dio valne funkcije glasi
Rl(r) =1
2
[h
(1)l (kr)e
2il + h(2)l (kr)
]= eil [jl(kr) cos l nl(kr) sin l] . (2.17)
-
Metoda parcijalnih valova 41
U praksi, fazni pomak odredujemo koristeci uvjet kontinuiranosti logaritamskederivacije u tocki r = a. Logaritamsku derivaciju na rubu vanjskog (r > a) podrucjamozemo izracunati analiticki
l+ =1
Rl(r)
dRl(r)
dr
r=a
= kcos lj
l(ka) sin lnl(ka)
cos ljl(ka) sin lnl(ka) , (2.18)
a zatim mozemo izraziti fazni pomak
tan l =kjl(ka) l+jl(ka)knl(ka) l+nl(ka)
, (2.19)
gdje je fazni pomak odreden do na aditivnu konstantu npi. Rjesenje u podrucju r < anapisemo u sljedecem obliku
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
il(2l + 1)Rl(r)Pl(cos ), (2.20)
a zatim uvedemo supstituciju Rl(r) = ul(r)/r. Radijalni dio Schrodingerove jednadzbeglasi
d2uldr2
+
[k2 2m
~2Ueff (r)
]ul = 0, (2.21)
pri cemu je efektivni potencijal
Ueff (r) = U(r) +~2l(l + 1)
2mr2. (2.22)
Jednadzbu rjesavamo koristeci rubni uvjet u ishodistu ul(0) = 0, a zatim mozemoizracunati logaritamsku derivaciju u tocki r = a
l =1
Rl
dRldr
r=a
. (2.23)
Izjednacimo li logaritamske derivacije l+ i l, doci cemo do izraza za fazni pomak
tan l =kjl(ka) ljl(ka)knl(ka) lnl(ka)
. (2.24)
Diferencijalni udarni presjek odredujemo koristeci formulu
() = |f()|2 = 14k2
l=0
(e2il 1) (2l + 1)Pl(cos )
, (2.25)
-
Metoda parcijalnih valova 42
koju mozemo napisati u sljedecem obliku
() =
1kl=0
(2l + 1)eil sin lPl(cos )
. (2.26)Do totalnog udarnog presjeka dolazimo integracijom diferencijalnog udarnog presjeka pocijelom prostornom kutu. Ortogonalnost Legendreovih polinoma vodi na sljedeci izraz
tot =
d
d
d=
4pi
k2
l=0
(2l + 1) sin2 l. (2.27)
Promotrimo li formule za amplitudu rasprsenja i totalni udarni presjek, mozemo izvestijednostavnu relaciju
tot =4pi
kImf(0), (2.28)
koju zovemo opticki teorem.
2.1.1 Rasprsenje na neprobojnoj sferi
Snop cestica rasprsuje se na neprobojnoj sferi
U(r) =
{ r a,0 r > a.
(2.29)
Cestica je u vanjskom podrucju slobodna pa je opce rjesenje radijalne jednadzbe linearnakombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija
Rl(r) = eil [cos ljl(kr) sin lnl(kr)] . (2.30)
Potencijal u tocki r = a postaje beskonacan pa valna funkcija mora iscezavati sto vodina sljedeci uvjet za fazne pomake
tan l(k) =jl(ka)
nl(ka). (2.31)
Slucaj s-vala je najjednostavniji
tan 0 =j0(ka)
n0(ka)=
sin kaka
cos kaka
= tan ka, (2.32)
odnosno 0 = ka. Fazni pomak je negativan jer je potencijal odbojan. Na sl. 2.1prikazani su fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova u ovisnosti o energiji,
-
Metoda parcijalnih valova 43
Slika 2.1: Fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova za rasprsenje na neprobojnojsferi.
odnosno parametru ka. Primjecujemo da se za vece vrijednosti momenta kolicine gibanjafazni pomaci bitno razlikuju od nule tek na visim energijama.
Cestica sa zakretnim impulsom l osjeca odbojni centrifugalni potencijal
Ucf (r) =~2l(l + 1)
2mr2. (2.33)
Klasicnu tocku obrata bismo izracunali koristeci uvjet E = Ueff (r)
~2k2
2m=~2l(l + 1)
2mr2cl, (2.34)
odnosno rcl =l(l + 1)/k. Buduci da potencijal bitno utjece samo na one cestice
za koje vrijedi rcl < a, procesu rasprsenja ce doprinositi samo parcijalni valovi za kojevrijedi l ka. To ujedno znaci da je za opis procesa rasprsenja na niskim energijamapotrebno ukljuciti manji broj parcijalnih valova, nego za opis na visokim energijamapa mozemo zakljuciti da je metoda parcijalnih varova posebno prikladna za rjesavanjeproblema niskoenergijskih rasprsenja. Na sl. 2.2 prikazani su radijalni dijelovi valnihfunkcija za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnom isprekidanom linijom oznacenaje klasicna tocka obrata. Buduci da s porastom momenta kolicine gibanja centrifugalnabarijera raste, tocka obrata se udaljava od ishodista. Ako je moment kolicune gibanjadovoljno velik da se tocka obrata nalazi izvan sfere, cestice ce se rasprsiti na centrifugalnojbarijeri umjesto na sferi pa ce njihova valna funkcija biti prakticki jednaka valnoj funkcijislobodne cestice.
-
Metoda parcijalnih valova 44
Slika 2.2: Radijalni dio valne funkcije za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnomisprekidanom linijom oznacena je klasicna tocka obrata.
-
Metoda parcijalnih valova 45
Ukupnu valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Han-kelovih funkcija prvog i drugog reda
(r) =1
(2pi)3/2
l=0
1
2il(2l + 1)
[h
(1)l (kr)e
2il + h(2)l (kr)
]Pl(cos ). (2.35)
Na sl. 2.3 prikazana je gustoca vjerojatnosti za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Za niskeenergije skala mora biti velika da bi uocili efekte ogiba. Na visokim energijama vidljivaje sjena iza sfere, medutim ona se ne proteze u beskonacnost.
Udarni presjek
U izrazu za diferencijalni udarni presjek
() =
1kl=0
(2l + 1)eil sin lPl(cos )
2
, (2.36)
bitno doprinose samo parcijalni valovi za koje vrijedi l ka pa se suma u praksi mozeograniciti na lmax clanova. Na sl. 2.4 prikazan je diferencijalni udarni presjek za rasprsenjena neprobojnoj sferi. Lijeva strana slike odgovara polarnom grafu u ravnini yz, dok sena desnoj strani nalazi ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu . Prisjetimo seformule za totalni udarni presjek
tot =4pi
k2
l=0
(2l + 1) sin2 l. (2.37)
U granici niskih energija mozemo koristiti sljedece izraze
jl(x) xl
(2l + 1)!!, x 1, (2.38)
nl(x) (2l 1)!!xl+1
, x 1. (2.39)
Fazni pomak je u tom slucaju proporcionalan s clanom (ka)2l+1 pa bitan doprinos dajesamo s-val, odnosno 0(k) ka. Diferencijalni udarni presjek je izotropan
() =1
k2sin2 0 = a
2, (2.40)
dok je totalni udarni presjek cetiri puta veci od geometrijskog udarnog presjeka
tot = 4pia2. (2.41)
-
Metoda parcijalnih valova 46
Slika 2.3: Gustoca vjerojatnosti za rasprsenje snopa cestica na neprobojnoj sferi za trivrijednosti energije.
-
Metoda parcijalnih valova 47
Slika 2.4: . Lijevo: polarni graf diferencijalnog udarnog presjeka u ravnini yz. Desno:ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu .
U granici visokih energija totalnom udarnom presjeku ce doprinositi velik broj parcijalnihvalova
tot =4pi
k2
lmaxl=0
(2l + 1) sin2 l, (2.42)
a u tom slucaju sin2 l mozemo zamijeniti s prosjecnom vrijednosti 1/2
tot =kal=0
2pi
k2(2l + 1) 2pia2. (2.43)
U granici visokih energija totalni udarni presjek je dvostruko veci od geometrijskogudarnog presjeka jer se sjena neprobojne sfere ne proteze u beskonacnost. Moze sepokazati da u granici visokih energija vrijedi priblizna formula
() =a2
4
[1 + cot2
2J21 (ka sin )
], (2.44)
gdje je J1(x) Besselova funkcija. Na sl. 2.6 nalazi se usporedba egzaktnog rezul-tata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 za umjereno visoku energiju cesticeka = 10. Iz jedn. 2.44 slijedi da je na visokim enegijama diferencijalni udarni presjeksuma klasicnog doprinosa a2/4 i doprinosa difrakcije koji uzrokuje visoku vrijednost difer-encijalnog udarnog presjeka na malim kutevima (Arago spot, Poisson spot, Fresnel brightspot) 1. U totalnom udarnom presjeku tot = 2pia
2 pola vrijednosti odgovara klasicnomrezultatu, dok druga polovica odgovara difrakciji, tj. doprinosu na malim kutevima kojije tesko opaziti eksperimentalno.
1Promatranjem analogne pojave pokazano je da svjetlost ima i valnu prirodu
-
Metoda parcijalnih valova 48
Slika 2.5: . Lijevo: ovisnost totalnog udarnog presjeka o gornjoj granici sumacije. Desno:ovisnost totalnog udarnog presjeka o energiji snopa.
Slika 2.6: Usporedba egzaktnog rezultata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 zaumjereno visoku energiju cestice ka = 10.
2.1.2 Rasprsenje na mekanoj sferi
Cestica se rasprsuje na potencijalu
U(r) =
{V0 r a,0 r > a.
(2.45)
-
Metoda parcijalnih valova 49
Radijalni dio Schrodingerove jednadzbe rjesavamo u dva odvojena podrucja
d2Rldr2
+2
r
dRldr l(l + 1)
r2Rl +K
2Rl = 0, r a, (2.46)d2Rldr2
+2
r
dRldr l(l + 1)
r2Rl + k
2Rl = 0, r > a, (2.47)
pri cemu smo definirali konstante
K2 =2m
~2(V0 + E), k2 = 2mE~2 , K
20 =
2mV0~2
. (2.48)
Opce rjesenje je linearna kombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija.Buduci da sferne Neumannove funkcije divergiraju u ishodistu, u podrucju r a trebamozadrzati samo sferne Besselove funkcije
Rl(r) =
{Aljl(Kr) r a,eil cos ljl(kr) eil sin lnl(kr) r > a. (2.49)
Logaritamska derivacija u tocki r = a mora biti neprekinuta, odakle slijedi jednadzbakoja definira fazne pomake
Kjl(Ka)jl(Ka)
= kcos lj
l(ka) sin lnl(ka)
cos ljl(ka) sin lnl(ka) . (2.50)
Ako bi energija cestice bila niza od barijere, parametar K bi bio imaginaran, odnosnomogli bi ga napisati u obliku K = iK. U tom slucaju mozemo iskoristiti relaciju izmedumodificiranih sfernih Besselovih funkcija prvog reda i sfernih Besselovih funkcija
il(x) = iljl(ix). (2.51)
Fazni pomaci odredeni su relacijama, do na aditivnu konstantu npi:
energija cestice je veca od barijere
tan l =Kjl(Ka)jl(ka) kjl(Ka)jl(ka)Kjl(Ka)nl(ka) kjl(Ka)nl(ka)
, (2.52)
energija cestice je manja od barijere
tan l =Kil(Ka)jl(ka) kil(Ka)jl(ka)Kil(Ka)nl(ka) kil(Ka)nl(ka)
. (2.53)
-
Metoda parcijalnih valova 50
Rjesenje Schrodingerove jednadzbe u podrucju izvan barijere mozemo napisati pomocusfernih Hankelovih funkcija prvog i drugog reda
Rl(r) =1
2
[e2ilh
(1)l (kr) + h
(2)l (kr)
], (2.54)
pri cemu eventualna aditivna konstanta npi ne utjece na valnu funkciju. Konstantu Almozemo odrediti iz uvjeta kontinuiranosti valne funkcije u tocki r = a:
energija cestice je veca od barijere
Al =e2ilh
(1)l (ka) + h
(2)l (ka)
2jl(Ka), (2.55)
energija cestice je manja od barijere
Al =e2ilh
(1)l (ka) + h
(2)l (ka)
2jl(Ka). (2.56)
Na niskim energijama totalnom udarnom presjeku doprinosi samo s-val
tot 4pik2
sin2 0, (2.57)
a konacni rezultat je manji u odnosu na neprobojnu sferu
tot = 4pia2
(1 tanhK0a
K0a
)2. (2.58)
Na sl. 2.7 nalaze se fazni pomaci, doprinosi totalnom udarnom presjeku od pojedinihparcijalnih valova, kao i totalni udarni presjeci za dvije vrijednosti visine sferne barijere.Fazni pomaci imaju maksimum na energiji koja odgovara visini barijere, a za vise barijeredoprinos visih parcijalnih valova postaje nezanemariv. Horizontalna isprekidana linija natotalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija. Na sl. 2.8 prikazane suradijalne valne funkcije s-vala za rasprsenje na mekanoj sferi za tri vrijednosti energijecestice.
-
Metoda parcijalnih valova 51
Slika 2.7: Fazni pomaci, parcijalni i totalni udarni presjeci za rasprsenje na mekanoj sferi.Usporedene su dvije vrijednosti visine sferne barijere. Horizontalna isprekidana linija natotalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija.
-
Metoda parcijalnih valova 52
Slika 2.8: Radijalne valne funkcije s-vala za rasprsenje na mekanoj sferi. Usporedene sutri vrijednosti energije cestice.
-
Metoda parcijalnih valova 53
2.1.3 Rasprsenje na sfernoj jami
Cestica se rasprsuje na sfernoj potencijalnoj jami dubine V0
U(r) =
{ V0 r < a0 r > a
. (2.59)
Radijalni dio Schrodingerove jednadzbe rjesavamo u dva odvojena podrucja
d2Rldr2
+2
r
dRldr l(l + 1)
r2Rl +K
2Rl = 0, r < a, (2.60)
d2Rldr2
+2
r
dRldr l(l + 1)
r2Rl + k
2Rl = 0, r > a. (2.61)
Pritom smo definirali sljedece konstante
K2 =2m
~2(V0 + E), K
20 =
2m
~2V0 i k
2 =2m
~2E. (2.62)
Dva linearno nezavisna rjesenja jedn. (2.60) i (2.61) odgovaraju sfernim Besselovim isfernim Neumannovim funkcijama. Podrucje r < a obuhvaca ishodiste pa u tom slucajusfernu Neumannovu funkciju moramo eliminirati iz rjesenja, dok linearna kombinacijau podrucju r > a ima asimptotsko ponasanje izlaznog vala. Konacan oblik rjesenja upojedinim podrucjima glasi
Rl(r) =
{Aljl(Kr) r < a,12
(e2il 1) [jl(kr) tan lnl(kr)] r > a . (2.63)
Logaritamska derivacija u tocki r = a mora biti neprekinuta
tan l =Kjl(Ka)jl(ka) kjl(ka)jl(Ka)Kjl(Ka)nl(ka) knl(ka)jl(Ka)
. (2.64)
Nacrtamo li fazni pomak kao funkciju energije (sl. 2.9), odnosno parametra ka, uocitcemo diskontinuitete koji potjecu od vezanih stanja u jami. Broj diskontinuiteta odgovarabroju vezanih stanja jame pa produbljivanjem jame broj diskontinuiteta raste. Polaznatocka k daje fazni pomak l 0 jer na vrlo visokim energijama cestice neceosjecati utjecaj potencijala. Kod prvog diskontinuiteta dodamo konstantu pi, kod drugog2pi,. . . pa kao rezultat dobijemo glatku ovisnost faznih pomaka o energiji. Za razliku odrasprsenja na sfernoj barijeri, ovdje su fazni pomaci pozitivni jer je potencijal privlacan.Takvim postupkom za k 0 kao fazni pomak dobijemo npi, gdje je n broj vezanihstanja u jami. Pritom je bitno uociti da dodavanje konstante npi faznom pomaku nemanikakvog utjecaja na udarni presjek.
-
Metoda parcijalnih valova 54
Slika 2.9: Fazni pomaci za rasprsenje na sfernoj jami. Diskontinuiteti (plava linija)odgovaraju vezanim stanjima jame, a dodavanjem visekratnika broja pi kod svakog skoka,dolazimo do kontinuiranih faznih pomaka (crvena linija).
U granici visokih energija koristimo asimptotske formule za sferne Besselove i sferneNeumannove funkcije
jl(x) 1x
sin
(x lpi
2
), nl(x) 1
xcos
(x lpi
2
). (2.65)
Moze se pokazati da u granici visokih energija fazni pomak ne ovisi o zakretnom impulsu
tan l 12
k20ka. (2.66)
Doprinos rasprsenju na niskim energijama daje samo s-val. Totalni udarni presjek ugranici niskih energija glasi
tot 4pia2(
1 tanK0aK0a
)2, (2.67)
pri cemu smo pretpostavili sljedece
K0 6= (2n+ 1) pi2a. (2.68)
-
Metoda parcijalnih valova 55
Slika 2.10: Fazni pomaci za rasprsenje na sfernoj jami za nekoliko vrijednosti momentakolicine gibanja (lijeva slika). Odgovarajuci parcijalni udarni presjeci nalaze se na desnojslici. Isprekidana horizontalna linija odgovara niskoenergijskoj granici rasprsenja.
Slika 2.11: Totalni udarni presjek za rasprsenje na sfernoj jami. Isprekidana horizontalnalinija odgovara niskoenergijskoj granici rasprsenja. Skokovi u udarnom presjeku potjecuod maksimuma pojedinih parcijalnih doprinosa.
-
Metoda parcijalnih valova 56
Slika 2.12: Fazni pomaci i udarni presjeci za rezonantno rasprsenje na sfernoj jami.
Rezonantno rasprsenje
Promatramo slucaj s-vala
tan 0 = K cosKa sin ka k cos ka sinKaK cosKa cos ka+ k sin ka sinKa
, (2.69)
a pritom se ogranicimo na niskoenergijsko rasprsenje
tan 0 ka(1 + tanK0a
K0a
). (2.70)
Udarni presjek u niskoenergijskoj granici glasi
limk0
tot = limk0
4pia2
(ka)2sin2 0 = 4pia
2
(1 tanK0a
K0a
)2. (2.71)
Pretpostavimo da jama ima vezano stanje na energiji E = 0, odnosno da je ispunjenuvjet
K0a =
(n+
1
2
)pi, n = 0, 1, 2 . . . (2.72)
Udarni presjek u tom slucaju divergira, dok je za malo dublji ili malo plici potencijal,udarni presjek konacan, ali mnogo veci od geometrijskog udarnog presjeka. Ako jedubina potencijala takva da zadnje vezano stanje ima energiju E = 0, fazni pomak zak = 0 iznosi pi/2. U slucaju pliceg potencijala, fazni pomak za k = 0 iznosi p, a uslucaju malo dubljeg potencijala fazni pomak za k = 0 iznosi pi (sl. 2.12).
-
Bornova aproksimacija 57
2.1.4 Numericko rjesenje
Za vecinu potencijala nije moguce naci analiticko rjesenje Schrodingerove jednadzbe pamoramo traziti numericko. Prvo razvijemo valnu funkciju po parcijalnim valovima
(r) =l=0
(2l + 1)ileilul(r)
krPl(cos ), (2.73)
a zatim napisemo radijalni dio Schrodingerove jednadzbe[ ~
2
2m
d2
dr2+ V (r) +
l(l + 1)~2
2mr2 E
]ul(r) = 0. (2.74)
Rubni uvjet u ishodistu glasi ul(0) = 0, dok je izvan dosega potencijala (ali ne u asimp-totskom podrucju)
ul(r) = kr [cos ljl(kr) sin lnl(kr)] . (2.75)Numericku integraciju pocinjemo iz ishodista, a kao derivaciju funkcije ul(0) mozemoizabrati bilo koji mali broj. Integriramo Schrodingerovu jednadzbu do tocke r1, a zatimi do tocke r2. Pritom se obje tocke r1 i r2 nalaze izvan dosega potencijala pa vrijedi
ul(r1) = kr1 [cos ljl(kr1) sin lnl(kr1)] , (2.76)ul(r2) = kr2 [cos ljl(kr2) sin lnl(kr2)] . (2.77)
Koristeci prethodne dvije jednadzbe mozemo izvesti formulu za fazni pomak
tan l =Gjl(kr1) jl(kr2)Gnl(kr1) nl(kr2) , G =
r1r2
ul(r2)
ul(r1). (2.78)
2.2 Bornova aproksimacija
Schrodingerovu jednadzbu
(4+ k2)(r) = 2m~2V (r)(r), k2 =
2mE
~2, (2.79)
mozemo rjesavati koristeci Greenovu funkciju koja je, po definiciji, rjesenje Schrodingerovejednadzbe s tockastim izvorom (izlazni val)
(4+ k2)(r) = (r r) = G(r, r) = 14pi
eik|rr|
|r r| . (2.80)
-
Bornova aproksimacija 58
Rjesenje Schrodingerove jednadzbe je suma rjesenja homogene jednadzbe (upadni val) ibilo kojeg partikularnog rjesenja
(r) = eikr +m
2pi~2
eik|rr
|
|r r|V (r)(r)d3r. (2.81)
Pretpostavimo da je potencijal kratkodosezan, odnosno u integralu mozemo napravitiaproksimaciju r r
|r r| =r2 2rr + r2 r 1
rrr. (2.82)
Izraz za valnu funkciju predstavlja samo formalno rjesenje jer se valna funkcija nalazi ipod integralom na desnoj strani
(r) = eikir eikr
r
m
2pi~2
eikfr
V (r)(r)dr, kf kr/r. (2.83)
Prva Bornova aproksimacija podrazumjeva da valnu funkciju pod integralom mozemozamijeniti ulaznim valom
(r) = eikir eikr
r
m
2pi~2
eikfr
V (r)eikir
dr. (2.84)
Amplituda rasprsenja glasi
f() = m2pi~2
eikfr
V (r)eikir
dr (2.85)
Pretpostavimo nadalje da je potencijal sferno-simetrican, pa zatim integriramo po pros-tornom kutu
f() = m2pi~2
ei(kfki)r
V (r)r2dr sin dd. (2.86)
Definiramo razliku valnih vektora upadnih i rasprsenih cestica
kf ki = q. (2.87)Uvijek mozemo napraviti prikladnu orjentaciju koordinatnog sustava
q = qz = qr = qr cos . (2.88)Ogranicili smo se na elasticno rasprsenje
kf = ki = k = q = 2k sin 2, (2.89)
-
Bornova aproksimacija 59
pa izraz za amplitudu rasprsenja glasi
f() =
~2
0
pi0
eiqr cos d cos V (r)r2dr. (2.90)
Kutni dio integral mozemo rijesiti analiticki
f() = 2m~2
0
sin qr
qrV (r)r2dr. (2.91)
Razvijemo amplitudu rasprsenja po parcijalnim valovima
f() =1
2ik
l=0
(2l + 1)(e2il 1)Pl(cos ), (2.92)
a zatim iskoristimo ortogonalnost Legendreovih polinoma 11Pl(x)Pn(x)dx =
2
2l + 1ln. (2.93)
Formula koja odreduje fazni pomak glasi
1
2i
(e2il 1) = k
2
0pi
Pl(cos )f()d [cos ]. (2.94)
U prvoj Bornovoj aproksimaciji mozemo se zadrzati na najnizem doprinosu razvoja ek-sponencijalne funkcije u red
l k2
0pi
Pl(cos )f()d [cos ]. (2.95)
Iskoristimo li relaciju
sin qr
qr=l=0
(2l + 1)jl(kr)Pl(cos ), (2.96)
doci cemo do izraza za fazni pomak
l = 2mk~2
0
[jl(kr)]2 V (r)r2dr. (2.97)
Kao primjer, promotrimo rasprsenje na mekanoj sferi. Fazne pomake mozemoizracunati analiticki
l = 2mkV0~2 a
0
[jl(kr)]2 r2dr. (2.98)
-
Bornova aproksimacija 60
Slika 2.13: Fazni pomak za l = 0 kanal za rasprsenje na mekanoj sferi. Na visokimenergijama je slaganje Bornove aproksimacije i egzaktnog rjesenja izvrsno, dok je naniskim energijama lose.
Promotrimo najnizi fazni pomak
0 = 2mkV0~2 a
0
sin2 kr
k2r2r2dr = 2mV0
k~2
a0
sin2 krdr. (2.99)
Integral je tablicni
0 = 2mV0k~2
[1
2a 1
4ksin 2ka
]. (2.100)
Upotrijebimo li oznaku 2mV0/~2 K20 , doci cemo do rezultata
0 = 14
K20k2
[2ka sin 2ka] . (2.101)
Usporedba egzaktnog rjesenja i Bornove aproksimacije nalazi se na sl. 2.13.
-
3 Atomi i molekule
3.1 Atom vodika
Atom vodika sastoji se od protona naboja +e i elektrona naboja e koji medudjelujuCoulombovom silom
V (r1, r2) = e2
4pi0|r1 r2| . (3.1)
Problem dva tijela uvijek mozemo svesti na problem jednog tijela s reduciranom masom
=mempme +mp
, (3.2)
a buduci da je omjer mase elektrona i protona 1 : 1836, vrijedi me. U vrlo dobrojaproksimaciji elektron se nalazi u Coulombovom potencijalu jezgre koja je smjestena uishodistu koordinatnog sustava
~2
2me4(r) e
2
4pi0r(r) = E(r). (3.3)
Potencijal je sferno-simetrican pa mozemo separirati radijalni i kutni dio valne funkcije
(r, , ) = Rnl(r)Ylm(, ). (3.4)
Preostaje nam radijalni dio Schrodingerove jednadzbe
~2
2me
(d2
dr2+
2
r
d
dr l(l + 1)
r2
)Rnl(r)
(e2
4pi0r+ E
)Rnl = 0. (3.5)
Definiramo Bohrov radijus
a0 =4pi0~2
mee2= 5.3 1011 m, (3.6)
a koristit cemo i konstantu
E0 = mee4
2(4pi0)2~2= e
2
8pi0a0= 13.6 eV. (3.7)
Jednadzbu svodimo na bezdimenzionalni oblik supstitucijom r = az =E0/Ea0z(
d2
dz2+
2
z
d
dz l(l + 1)
z2+
z 1)Rnl = 0, (3.8)
61
-
Atom vodika 62
pri cemu je konstanta definirana na sljedeci nacin
=2meae
2
4pi0~2= 2
E0E. (3.9)
U podrucju z jednadzba se svodi nadRnldz2
= Rnl = Rnl(z) = ez. (3.10)
Rubni uvjet ugradimo u rjesenje
Rnl(z) =F (z)
zez, F (0) = 0. (3.11)
Preostala je jednadzba za funkciju F (z)(d2
dz2 2 d
dz l(l + 1)
z2+
z
)F (z) = 0. (3.12)
Funkcija F (z) mora biti kvadratno-integrabilna na intervalu [0,. Razvijemo funkcijuF (z) u red
F (z) =k>0
ckzk, (3.13)
pri cemu indeks sumacije k mora biti pozitivan zbog uvjeta F (0) = 0. Uvrstavanjerjesenaj u jedn. (3.12) vodi na rekurzivnu relaciju
ck [k(k 1) l(l + 1)] = ck1 [2(k 1) ] . (3.14)Da bi k ostao pozitivan, mora vrijediti
kmin(kmin 1) l(l + 1) = 0 = ckmin1 = 0. (3.15)Dva su moguca rjesenja: kmin = l + 1 i kmin = l, s time da negativno odbacujemoradi uvjeta F (0) = 0, odnosno kmin = l + 1 . Promotrimo li asimptotsko ponasanje zavelike vrijednosti argumenta z, primjetit cemo da doprinose samo veliki k-ovi
ckck1
2k
= F (z) =
kkmin
(2z)k
k!. e2z (3.16)
Ako bi sumacija bila neogranicena funkcija F (z) bi rasla kao e2z, odnosno ukupno rjesenjebi divergiralo. Da bi prekinuli sumu, moramo nametnuti uvjet = 2(k 1) = 2n
= 2
E0En
= 2n = En = E0n2
= e2
8n2pi0a0, (3.17)
-
Atom helija 63
cime smo dobili uvjet kvantizacije energije. Degeneracija rjesenja je dvostruka jer nemaovisnosti o kvantnom broju m (zbog rotacione simetrije), niti l (zbog oblika potencijala).Zanimljivo je primjetiti kako kvantni broj n ulazi i u skaliranje koordinate, odnosnoa = na0 .
Valnu funkciju vodikovog atoma mozemo zapisati i pomocu Laguerrovih polinoma.Naime, pretpostavimo li rjesenje oblika F (z) = zl+1G(z)
zG(z) + [2(l + 1) 2z]G(z) + (2n 2l 2)G(z) = 0, (3.18)
te uz dodatnu supstituciju z = 2z dolazimo do sljedece jednadzbe
zd2G
dz2+ [2(l + 1) z] dG
dz+ 2(n l 1)G = 0. (3.19)
Rjesenje ove jednadzbe su modificirani Laguerrovi polinomi
Gnl L2l+1nl1(z). (3.20)
Normirana ukupna radijalna valna funkcija vodikovog atoma glasi
Rnl(r) =
(2
na0
)3(n l 1)!2n[(n+ l)!]3
er/na0(
2r
na0
)lL2l+1nl1
(2r
na0
), (3.21)
pri cemu je n > l. Na sl. 3.1 nalaze se radijalne valne funkcije vodikovog atoma zanekoliko kombinacija kvantnih brojeva.
3.2 Atom helija
Atom helija sastoji se od jezgre naboja +2e i dva elektrona pa Hamiltonijan sustava glasi
H = ~2
2me(41 +42) e
2
4pi0
(2
r1+
2
r2 1|r1 r2|
). (3.22)
Zanemarimo li medudjelovanje elektrona, Hamiltonijan postaje separabilan
H = H1 +H2 = ~2
2me41 2e
2
4pi0r1 ~
2
2me42 2e
2
4pi0r2, (3.23)
a valna funkcija u tom slucaju odgovara produktu valnih funkcija vodikovog atoma snabojem jezgre +2e.
(r1, r2) = (r1)2(r2) (3.24)
-
Atom helija 64
Slika 3.1: Radijalni dijelovi valne funkcije vodikovog atoma za nekoliko kombinacijakvantnih brojeva.
Trazimo energiju osnovnog stanja atoma helija varijacionim postupkom. Kao probnufunkciju pretpostavimo produkt valnih funkcija osnovnog stanja za elektron koji se nalaziu polju naboja Ze
0(r) =Z3/22pia30
eZr/a0 . (3.25)
Efektivni naboj Ze smo uveli jer ockujemo da elektroni zasjene naboj jezgre. Normiranaukupna valna funkcija odgovara produktu
(r1, r2) = 0(r1)0(r2) =Z3
2pia30eZ(r1+r2)/a0 . (3.26)
Racunamo ocekivanu vrijednost
H = 2Z2E0 +
e2
4pi0|r1 r2|
+e2(Z 2)
4pi0
(1
r1
+
1
r2
)(3.27)
H = 2Z2E0 + e2
4pi0
|(r1, r2)|2|r2 r1| d
3r1d3r2 +
4e2Z(Z 2)4pi0a0
(3.28)
H = 2Z(4 Z)E0 + e2
4pi0
|(r1, r2)|2|r2 r1| d
3r1d3r2. (3.29)
-
Atom helija 65
Nadalje, uvodimo bezdimenzionalne varijable: x1 = Zr1/a0, x2 = Zr2/a0
Vee = 2ZE04pi2
e(2x1+2x2)
|x1 x2| d3x1d
3x2. (3.30)
Neka je kut izmedu vektora r1 i r2
Vee = ZE02pi2
e(2x1+2x2)
x21 + x22 2x1x2 cos
d3x1d3x2. (3.31)
Prvo integriramo po x1, a zatim po x2
Vee = ZE02pi2
e2x2I(x2)d3x2. (3.32)
Racunamo integral I(x2)
I(x2) =
0
pi0
2pi0
e2x1x21 + x
22 2x1x2 cos 1
x21dx1 sin 1d1d1. (3.33)
Integral po kutu 1 je trivijalan
I(x2) = 2pi
0
pi0
e2x1x21 + x
22 2x1x2 cos 1
x21dx1 sin 1d1. (3.34)
Napravimo supstituciju z = sin 1 pi0
sin 1d1x21 + x
22 2x1x2 cos 1
=
11
dzx21 + x
22 2x1x2z
. (3.35)
Rjesenje integrala glasi
x1 + x2 |x1 x2|x1x2
=
{2/x1 x1 > x22/x2 x1 < x2
. (3.36)
Uvrstimo prethodni rezultat u integral I(x2)
I(x2) = 4pi
(1
x2
x20
e2x1x21dx1 + x2
e2x1x1dx1
). (3.37)
Konacno, izracunamo integrale
I(x2) =pi
x2
[1 e2x2(x2 + 1)
]. (3.38)
-
Atom helija 66
Na sl. 3.2 nalazi se ovisnost ocekivane vrijednosti energije o parametru Z.
Slika 3.2: Ovisnost ocekivane vrijednosti energije o parametru Z.
Vratimo se energiji medudjelovanja
Vee = ZE02pi2
4pi2
0
x2e2x2 [1 e2x2(x2 + 1)] dx2 = 5
4ZE0. (3.39)
Ocekivana vrijednost Hamiltonijana glasi
H(Z) =(2Z2 + 27
4Z
)E0. (3.40)
Trazimo minimum
dHdZ
=
(4Z + 27
4
)E0 = 0 = Z = 27
16= 1.69. (3.41)
Minimalna ocekivana vrijednost energije
H(1.69) = 12
(3
2
)6E0 = 77.5 eV, (3.42)
nalazi se vrlo blizu tocnom rezultatu: 78.98 eV .
-
4 Kvantna optika
4.1 Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji
Operatori stvaranja i ponistenja definirani su na sljedeci nacin
a =
m
2~(x i
mp), a =
m
2~(x+
i
mp), (4.1)
a na svojstvena stanja harmonickog oscilatora djeluju kao
a|n = n+ 1|n+ 1, a|n = n|n 1. (4.2)
Koristeci komutacijska pravila za operatore polozaja i impulsa
[x, p] = i~, (4.3)
mozemo izvesti komutacijska pravila za operatore stvaranja i ponistenja
[a, a] = 1. (4.4)
Operator N aa predstavlja operator broja kvanata harmonickog oscilatora
N |n = aa|n = na|n 1 = n|n. (4.5)
Koristeci komutacijske relacije operatora a i a lako se mogu izvesti i komutacijske relacije
[N, a] = a, [N, a] = a. (4.6)
Hamiltonijan harmonickog oscilatora takoder mozemo napisati pomocu operatora a i a,odnosno pomocu operatora N
H =
(N +
1
2
)~. (4.7)
Polazci od osnovnog stanja |0, mozemo konstruirati proizvoljno svojstveno stanje har-monickog oscilatora
|n = (a)nn!|0. (4.8)
67
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 68
4.1.1 Koherentno stanje
Zelimo naci svojstvena stanja operatora ponistenja
a| = |. (4.9)Buduci da svojstvena stanja harmonickog oscilatora cine potpun skup stanja, stanje |mozemo napisati kao njihovu superpoziciju
| =n=0
cn|n. (4.10)
Djelujemo li s operatorom ponistenja na stanje |
an=0
cn|n =n=1
cnn|n 1 =
n=0
cn+1n+ 1|n. (4.11)
S druge strane, pretpostavili smo da vrijedi
an=0
cn|n = n=0
cn|n. (4.12)
Izjednacavanjem dolazimo do rekurzivne relacije
cn =ncn1, (4.13)
a odatle dolazimo do izraza za koeficijent cn
cn =nn!c0. (4.14)
Koeficijent c0 mozemo odrediti iz uvjeta normiranosti
n=0
|cn|2 = 1 = |c0|2n=0
||2nn!
= 1. (4.15)
Prepoznamo li Taylorov red za eksponencijalnu funkciju
|c0|2e||2 = 1 = c0 = e||2/2. (4.16)Fazu koeficijenta c0 smo odabrali proizvoljno jer je valna funkcija definirana do na fazu.
Vremenska ovisnost koeficijenata, a time i vremenska evolucija pocetnog koher-entnog stanja, odredena je Schrodingerovom jednadzbom
cn(t) = cn(0)ei(n+1/2)t. (4.17)
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 69
Ocekivana vrijednost operatora a u koherentnom stanju
|a| = eitn=0
n+ 1cn+1(0)cn(0). (4.18)
Koristeci rekurzivnu relaciju (4.13) dolazimo do rezultata
|a| = eit. (4.19)Na jednaki nacin zakljucili bismo
|a| = eit. (4.20)Slijedi ocekivana vrijednost operatora polozaja
x = |(a+ a)/
2| = (eit + eit)/
2. (4.21)
Neka je svojstvena vrijednost realna
x =
2 cost. (4.22)
Jednakim postupkom dosli bismo do ocekivane vrijednosti operatora impulsa. Zanimljivoje izracunati i ocekivanu vrijednost operatora broja kvanata
N = |aa| = | = ||2. (4.23)Koeficijente u razvoju koherentnog stanja mozemo napisati pomocu ocekivane vrijednostioperatora broja kvanata n N
P (n) = |cn(0)|2 = en nn
n!, (4.24)
sto odgovara Poissonovoj distribuciji prikazanoj na sl. 4.1. Mozemo izracunati i ocekivanuvrijednost kvadrata operatora broja kvanata
N2 = |aaaa| = ||2|aa| = ||2|1 + aa| = ||2 + ||4. (4.25)Neodredenost operatora broja kvanata
(N)2 = N2 N2 = ||2. (4.26)
Valnu funkciju mozemo napisati u koordinatnoj reprezentaciji
(x, t) =n=0
cn(t)n(x)
= eit/2e||2/2(m~pi
)1/4e
2/2
n=0
nn!eint
1
2nn!Hn(). (4.27)
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 70
Slika 4.1: Raspodjela stanja u koherentnom stanju s n = 25.
Koristit cemo definiciju funkcije izvodnice za Hermiteove polinome
es2+2s =
n=0
1
n!Hn()s
n. (4.28)
U nasem slucaju vrijedi
s =12eit, (4.29)
pa valnu funkciju mozemo napisati u sljedecem obliku
(x, t) =(m~pi
)1/4eit/2e
12(
2|| cost)2e
12i||2 sin 2te
2i|| sint. (4.30)
Gustoca vjerojatnosti odgovara Gaussianu koji ne mijenja oblik
|(x, t)| =(m~pi
)1/2e(
2|| cost)2 . (4.31)
Konstanta
2|| odgovara pocetnom pomaku valnog paketa.
4.1.2 Operatori faze i broja kvanata
Operatore faze definiramo na sljedeci nacin
ei =(N + 1
)1/2a i e/i = a
(N + 1
)1/2. (4.32)
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 71
Djelujemo li operatorima faze na stanje |n, doci cemo do sljedecih relacija
ei|n = a(N + 1
)1/2|n = (n+ 1)1/2a|n = |n+ 1, (4.33)
ei|n =(N + 1
)1/2a|n =
(N + 1
)1/2n|n 1 = |n 1. (4.34)
Mozemo izracunati i matricne elemente produkata operatora faze
n|eiei|m = n|ei|m+ 1 = n|m = mn, (4.35)n|eiei|m = n|ei|m 1 = n|m m0n0 = mn m0n0, (4.36)
pri cemu je bitno uociti da operatori faze ne komutiraju. Korisno je izracunati komutatoreoperatora faze i operatora broja kvanata
[N , ei] = ei, (4.37)
[N , ei] = ei. (4.38)Operatori faze nisu hermitski, ali mozemo definirati hermitske linearne kombinacije
cos =1
2
(ei + ei
), (4.39)
sin =1
2i
(ei ei
), (4.40)
a zatim i izracunati njihove komutatore s operatorom broja kvanata
[N , sin] = icos, (4.41)
[N , cos] = isin. (4.42)Koristeci posljednja dva komutatora mozemo napisati i relacije neodredenosti
(N)2(sin)2 14cos2, (4.43)
(N)2(cos)2 14sin2. (4.44)
Neodredenost operatora sin u koherentnom stanju
Prvo zelimo izracunati ocekivanu vrijednost operatora sin2
u koherentnom stanju
|sin2| = 14|eiei|+ 1
4|eiei| (4.45)
+1
4|eiei| 1
4|eiei|. (4.46)
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 72
Napisemo li koherentno stanje kao superpoziciju Fockovih stanja
|eiei| = e||2
m,n=0
()nmn!m!
n|eiei|m = eNn=0
Nn()2
n!
(n+ 1)(n+ 2),
(4.47)
|eiei| = e||2
m,n=0
()nmn!m!
n|eiei|m = eNn=0
Nn2
n!
(n+ 1)(n+ 2).
(4.48)
Osim toga, vrijedi
|eiei| = 1 eN , (4.49)|eiei| = 1. (4.50)
Uzimajuci u obzir ||2 = N , slijedi
|sin2| = 12 1
4eN 1
2eNN(1 2)
n=0
Nn
n!
(n+ 1)(n+ 2), (4.51)
pri cemu je (Im)2/||2. Sada racunamo ocekivanu vrijednost operatora sin
|sin| = 12i
(|ei| |ei|
). (4.52)
Racunamo pojedine doprinose
|ei| = e||2
m,n=0
()nmn!m!
n|ei|m = eNn=0
Nn
n!n+ 1
, (4.53)
|ei| = e||2
m,n=0
()nmn!m!
n|ei|m = eNn=0
Nn
n!n+ 1
, (4.54)
odakle slijedi
|sin| = eNImn=0
Nn
n!n+ 1
. (4.55)
Ogranicimo li se na velike vrijednosti broja kvanata, odnosno N 1, mozemo iskoristitiasimptotske izraze
n=0
Nn
n!
(n+ 1)(n+ 2) e
N
N
[1 1
2N 3
8N2+
], (4.56)
n=0
Nn
n!n+ 1
eN
N
[1 1
8N+
]. (4.57)
-
Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 73
Asimptotski izrazi za ocekivane vrijednosti glase
|sin2| 12 1
4eN 1
2(1 2)
(1 1
2N
), (4.58)
|sin| ImN
(1 1
8N
), (4.59)
dok je asimptotski izraz za neodredenost(sin
)2 1
4N 1
4eN . (4.60)
Zanemarimo li i eksponenacijalni clan, dolazimo do izraza(sin
)2 1
4N (Re)
2
4N2. (4.61)
Produkt neodredenosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednostibroja kvanata
(N)(sin) Re2N. (4.62)
Upotrijebimo li notaciju = ||ei,
(N)(sin) 12
cos . (4.63)
Neodredenost operatora cos u koherentnom stanju
U sljedecem koraku racunamo ocekivanu vrijednost operatora cos2
u koherentnomstanju
|cos2| = 14|eiei|+ 1
4|eiei| (4.64)
+1
4|eiei|+ 1
4|eiei|. (4.65)
Koristeci rezultate iz prethodnog odjeljka dolazimo do zakljucka
|cos2| = 12 1
4eN +
1
2eNN(1 2)
n=0
Nn
n!
(n+ 1)(n+ 2), (4.66)
kao i
|cos| = eNRen=0
Nn
n!n+ 1
. (4.67)
-
Stanja elektromagnetskog polja 74
Asimptotski izrazi za ocekivane vrijednosti glase
|cos2| 12
+1
2(1 2)
(1 1
2N
), (4.68)
|cos| ReN
(1 1
8N
), (4.69)
pri cemu smo zanemarili eksponencijalni clan. Neodredenost operatora cos glasi(cos
)2=
4N=
(Im)2
4N2. (4.70)
Produkt neodredenosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednostibroja kvanata
(N)(cos) Im2N. (4.71)
Upotrijebimo li notaciju = ||ei,
(N)(cos) 12
sin . (4.72)
4.2 Stanja elektromagnetskog polja
4.2.1 Uvod
U sljedecim odjeljcima, koristit cemo Baker-Cambel-Hausdorff (BCH) teorem i Hadamar-dovu lemu.
Baker-Cambel-Hausdorff teorem
Neka su A i B operatori za koje vrijede sljedece komutacijske relacije
[A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0. (4.73)
Tada vrijedieA+B = e
12
[A,B]eAeB = e12
[A,B]eBeA. (4.74)
Hadamardova lema
Neka su A i B operatori. Tada vrijedi
eABeA = B +1
1![A,B] +
1
2![A, [A,B]] +
1
3![A, [A, [A,B]]] + (4.75)
-
Stanja elektromagnetskog polja 75
4.2.2 Operator pomaka
Koherentno stanje generiramo djelovanjem operatora pomaka1 na vakuum
D()|0 = eaa|0. (4.76)
U istinitost prethodne tvrdnje mozemo se uvjeriti koristeci BCH formulu uz identifikacijuoperatora
A = a, B = a. (4.77)Komutator operatora A i B glasi
[A,B] = ||2[a, a] = ||2, (4.78)
a kako se radi o obicnom broju, mozemo primijeniti BCH teorem
eaa = e||
2/2