kvantna mehanika sustava više identičnih čestica
TRANSCRIPT
Kvantna mehanika sustava više identičnih čestica« Napredna kvantna fizika »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMF
Sveučilište u Zagrebu
predavanja 2011
Pregled predavanja
Sustav od jedne čestice
Sustavi s više čestice
Spinski stupnjevi slobode
Međudjelovanje čestica
Sustav od jedne čestice
◮ Valna funkcija zadovoljava stacionarnu Schrödingerovu PDJ:[
− ~2
2m~∇2 + U(~r)
]
φα(~r) = Eαφα(~r)
α su kvantni brojevi, Eα je pripadna energija.◮ gustoća/koncentracija čestica:
ρ(~r) = |φα(~r)|2
Koncentracija čestica može se prikazati pomoću srednje vrijednostioperatora gustoće:
ρ(1) = δ(~r −~r1)gdje je ~r1 koordinata položaja čestice. Dakle:
ρ(~r) =< φα|ρ(1)|φα >=∫
d~r1 φ⋆α(~r1) δ(~r −~r1) φα(~r1)
Sustav dviju čestica
Valna funkcija zadovoljava stacionarnu Schrödingerovu PDJ:[
− ~2
2m~∇2
1 −~
2
2m~∇2
2 + U(~r1) + U(~r2) + V (~r1,~r2)
]
ψα1α2(~r1,~r2)
= Eα1α2ψα1α2
(~r1,~r2)
αi su kvantni brojevi, a Eα1α2je pripadna energija.
Zanemarit ćemo (za sada) međudjelovanje čestica: V (~r1,~r2)!
◮ Rješenje Schrödingerove PDJ je:
ψα1α2(~r1,~r2) = φα1
(~r1) · φα2(~r2)
◮ a energija je:Eα1α2
= Eα1+ Eα2
Sustav dviju identičnih čestica
Amplituda vjerojatnosti mora biti simetrična na zamjenu čestica:
|ψα1α2(~r1,~r2)|2 = |ψα1α2
(~r2,~r1)|2
odnosno valna funkcija mora biti simetrična ili antisimetrična nazamjenu čestica:
ψα1α2(~r1,~r2) = ±ψα1α2
(~r2,~r1)
Prema ponašanju valne funkcije na zamjenu čestica razlikujemodvije vrste čestica:◮ bozone: valna funkcija simetrična na zamjenu◮ fermione: valna funkcija je antisimetrična na zamjenu
Pauli je pokazao da je simetričnost/antisimetričnost valnefunkcije povezana sa spinom.
Sustav dviju identičnih čestica
U slučaju nemeđudjelujućih fermiona i bozona lako je konstruiratiodgovarajuću valnu funkciju:
◮ Fermioni:
ψα1α2(~r1,~r2) =
1√2[φα1
(~r1)φα2(~r2)− φα1
(~r2)φα2(~r1) ]
◮ Bozoni (ako su α1 6= α2):
ψα1α2(~r1,~r2) =
1√2[φα1
(~r1)φα2(~r2) + φα1
(~r2)φα2(~r1) ]
I dalje vrijedi:
◮ Energija: Eα1α2= Eα1
+ Eα2
◮ Normalizacija:∫
d~r1d~r2 |ψα1α2(~r1,~r2)|2 = 1
Gustoća čestica
Operator gustoće čestica je:
ρ =∑
i
ρ(1)i = δ(~r −~r1) + δ(~r −~r2)
Srednja vrijednost je:
ρ(~r) =< ψα1α2|ρ|ψα1α2
>= |φα1(~r)|2 + |φα2
(~r)|2
je zbroj gustoća pojedinih čestica.
Vrijedi općenito: ako je neki operator/fizikalna veličina zbrojjednočestičnih operatora:
O =∑
i
O(1)i
onda je
O =< ψα1α2|O|ψα1α2
>=∑
i
< φαi|O(1)
i |φαi>
Srednja vrijednost (jednočestičnog) operatora
Ako je srednja vrijednost operatora za jednu česticu:
< ψα1α2|O(1)
1 |ψα1α2> = 0.5
∫
d~r1d~r2
[
φ⋆α1(~r1)O
(1)1 φα1
(~r1)]
|φα2(~r2)|2
+ 0.5∫
d~r1d~r2
[
φ⋆α2(~r1)O
(1)1 φα2
(~r1)]
|φα1(~r2)|2
± 0.5∫
d~r1
[
φ⋆α1(~r1)O
(1)1 φα2
(~r1)]
< φα2|φα1
>︸ ︷︷ ︸
=0
± 0.5∫
d~r1
[
φ⋆α2(~r1)O
(1)1 φα1
(~r1)]
< φα1|φα2
>︸ ︷︷ ︸
=0
= 0.5[
< φα1|O(1)
1 |φα1> + < φα2
|O(1)1 |φα2
>]
tada je:
< ψα1α2|O(1)
1 + O(1)2 |ψα1α2
>=< φα1|O(1)
1 |φα1> + < φα2
|O(1)2 |φα2
>
jer je:∫
d~r1φ⋆α1(~r1)O
(1)1 φα1
(~r1) =
∫
d~r2φ⋆α1(~r2)O
(1)2 φα1
(~r2)
Srednja vrijednost operatora
Nije teško pokazati da vrijedi isti izraz i za stanje u kojem se obabozona nalaze u istom kvantnom stanju.
Za sve operatore koji se mogu prikazati kao zbroj jednočestičnihoperatora:
po česticamapo kv. stanjima
◮ Energija◮ Kinetička energija◮ Potencijalna energija◮ Gustoća čestica
vrijedi:
O = < ψα1α2|O|ψα1α2
>=∑
i
< φαi|O(1)
i |φαi>
=∑
αi
nαi< φαi
|O(1)i |φαi
>
gdje je nαipopunjenost jednočestičnog kvantnog stanja (0,1,2,. . . )
Nedijagonalni matrični elementi
Nedijagonalne matrične elemente možemo izračunati na isti način:
< ψα1α2|O|ψβ1β2
> = < φα1|O(1)|φβ1
> δα2β2
+ < φα2|O(1)|φβ2
> δα1β1
± < φα1|O(1)|φβ2
> δα2β1
± < φα2|O(1)|φβ1
> δα1β2
Uvodimo skraćenu notaciju:
< ψα1α2|O|ψβ1β2
> = < α1α2|O|β1β2 >
< φα|O(1)|φβ > = < α|O(1)|β >
Sustav od mnogo čestica
Ovo što smo izveli za sustav od dvije čestice može se poopćiti na sustav mnogočestica.
Valna funkcija zadovoljava stacionarnu Schrödingerovu PDJ:[
− ~2
2m
(
~∇21 +
~∇22 · · ·+ ~∇2
N
)
+ U(~r1) + U(~r2) + . . .U(~rN)
]
ψα1...αN(~r1, . . . ,~rN)
= Eα1...αNψα1...α2
(~r1, . . . ,~rN)
αi su kvantni brojevi, a Eα1...αNje pripadna energija. Kako se čestice ne
razlikuju, valna funkcija mora biti ili potpuno simetrična ili potpunoantisimetrična na zamjenu čestica:
ψα1...αN(~r1, . . . ,~rN) = N
∑
P
(±)parnost(P)φα1(~rP(1))φα2
(~rP(2)) . . . φαN(~rP(N))
gdje je zbraja po svim permutacijama P brojeva 1, 2, . . .N.
Sustav od mnogo čestica
Broj permutacija u slučaju fermiona je N!, pa je normalizacijskifaktor:
NF =1√N!.
U slučaju bozona treba voditi računa o višestrukoj popunjenostipojedinih kvantnih stanja. U tom slučaju normalizacijski faktor je:
NB =
√
nα1! . . . nαN
!
N!.
gdje su nαibroj čestica koji se nalazi u kvantnom stanju αi .
Permutiranje čestica u istom kvantnom stanju ne vodi na novomčlanu u zbroju po permutacijama.Napomena:
∑
αi
nαi= N
Permutacije
Literatura: knjige, http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation, . . .
◮ Pojedina permutacija se označava:
P =
(1 2 3 4 52 5 4 3 1
)
dakle, P(1) = 2, P(2) = 5, . . .P(5) = 1.
◮ Permutacije se mogu ulančavati: permutacija permutacije je opetjedna od permutacija
◮ Svaka permutacija se može prikazati kao ulančani niz transpozicijagdje je transpozicija zamjena mjesta dvaju susjednih elementa uuređenom nizu.
◮ Do svake se permutacije može doći samo ili parnim ili neparnimbrojem transpozicija, pa onda razlikujemo parne ili neparnepermutacije.
Primjer: 123 → 213 → 231 → 321 → 312 → 132 → 123
Valna funkcija za fermionski sustav čestica
Potpuna antisimetrična kombinacija produkata jednočestičnih valnihfunkcija može se koncizno zapisati kao determinanta:
<~r1,~r2 . . .~rN |α1α2 . . . αN >=1√N!
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φα1(~r1) φα1
(~r2) · · · φα1(~rN)
φα2(~r1) φα2
(~r2) · · · φα2(~rN)
......
. . ....
φαN(~r1) φαN
(~r2) · · · φα2(~rN)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
što je također poznato kao Slaterova determinanta
Treba obratiti pažnju da u Slaterovoj determinanta se koordinate čestica i
kvantni brojevi pojavljuju kao uređeni niz. Postoji sloboda u tome kako
urediti koordinate ili kvantne brojeve.
Dijagonalni matrični elementi
Nakon dugotrajnih (dosadnih i pažljivih) prikupljanja iizračunavanja pojedinih članova dolazimo do istog izraza kojeg smonašli i za sustav od dvije čestice:
< α1 . . . αN |O|α1 . . . αN >=∑
αi
nαi< φαi
|O(1)i |φαi
>
Tako naprimjer:◮ Energija
Eα1...αN=∑
αi
nαiEαi
◮ Gustoćaρ(~r) =
∑
αi
nαi|φαi
(~r)|2
A opći izraz za nedijagonalni matrični element je puni složeniji!
Distribucijska funkcija para fermiona
Kvadrat Slaterove valne funkcije je vjerojatnost nalaženja čestica umultidimenzionalnom prostoru položaja svih čestica. Ako se kvadratvalne funkcije integrira po koordinatama svih čestica osim dvajudobiva se distribucijska funkcija para fermiona:
g(~r1,~r2) =
∫
d~r3 . . . d~rN | <~r1,~r2 . . .~rN |α1α2 . . . αN > |2
=1
N(N − 1)
∑
αiαj
∣∣∣∣
φαi(~r1) φαi
(~r2)φαj
(~r1) φαj(~r2)
∣∣∣∣
2
Komplikacije sa spinom
Unutar nereletivističke aproksimacije spin i orbitalno gibanje senevezani. Valna funkcija može se prikazati kao produkt:
|valna funkcija >= |orbitalna valna funkcija > ·|spinska valna funkcija >
Čemu je jednaka spinska valna funkcija?Npr. spinska valna funkcija dviju čestica sa spinom 1
2ima 4 spinska
stanja, koja se mogu razdvojiti na jedno stanje bez spina:
|singlet >=1√2(| ↑↓> −| ↓↑>)
i tri stanja s spinom 1:
|triplet >=
| ↑↑> (Sz = +1)1√2([↑↓> +| ↓↑>) (Sz = 0)
| ↓↓> (Sz = −1)
Komplikacije sa spinom
Budući da je tripletno stanje simetrično, a singletno antisimetrično,zaključujemo da je ukupna valna funkcija
◮ za singlet stanje:
|kompletni singlet >= |spin singlet > ×|orbitalna simetrična vf. >
◮ za tripletno stanje:
|kompletni triplet >= |spin triplet > ×|orbitalna antisimetrična vf. >
Ako se spinski i orbitalni stupnjevi slobode mogu razdvojiti, i ako nemameđudjelovanja, ukupna valna funkcija čestica se može prikazati:
|kompletna valna funkcija > = |orbitalna antisimetrična vf. spinova up >
×|orbitalna antisimetrična vf. spinova down >
×|spinski singlet >
(Uz pretpostavku da je isti broj spinova up i spinova down!)
Međudjelovanje čestica
Međudjelovanje čestica je težak problem koji se ne možejednostavno riješiti. Postoji nekoliko pristupa problemu:
◮ Račun smetnje◮ Varijacijske metode◮ Transformacija problema u neki drugi problem (kanonskim
transformacijama) koji se može lakše riješiti.◮ Pronaći točna rješenja za posebne slučajeve međudjelovanja.◮ Sasvim numeričke metode (egzaktna dijagonalizacija, Monte
Carlo simulacije, . . . ).◮ Kombinacija više različitih pristupa ...
Rješavanje problema olakšava se uporabom formalizma drugekvantizacije i dijagramatskog prikazom članova u računusmetnje tz. Feynmanovih dijagrama
Prvi red računa smetnje - FERMIONI
Polazi se od valne funkcije za sustav nemeđudjelujućih čestica. Npr. zasustav od dviju čestica:
ψα1α2(~r1,~r2) =
1√2[φα1
(~r1)φα2(~r2)− φα1
(~r2)φα2(~r1) ]
Izračunavamo energiju. Doprinos kinetičke energije je:
Ek =
∫
d~r
[
φ⋆α1(~r)
(
− ~2
2m~∇2
)
φα1(~r) + φ⋆α2
(~r)
(
− ~2
2m~∇2
)
φα2(~r)
]
=
∫
d~r~
2
2m
[∣∣∣~∇φα1
(~r)∣∣∣
2
+∣∣∣~∇φα2
(~r)∣∣∣
2]
Prvi red računa smetnje - FERMIONI
Doprinos potencijalne energije je:
Ep =
∫
d~r U(~r)[
|φα1(~r)|2 + |φα2
(~r)|2]
Doprinos međudjelovanja:
V12 =
∫
d~r1d~r2 |φα1(~r1)|2 V (~r1,~r2) |φα2
(~r2)|2
−∫
d~r1d~r2 φ⋆α1(~r1)φα2
(~r1)V (~r1,~r2) φ⋆α2(~r2)φα1
(~r2)
[međudjelovanje izmjene (exchange)]
Prvi red računa smetnje za puno čestica
Slični izraz energiju se dobiva i za sustav od mnogo čestica:
E =
∫
d~r~
2
2m
(∑
αi
∣∣∣~∇φαi
(~r)∣∣∣
2
)
+
∫
d~r U(~r)
(∑
αi
|φαi(~r)|2
)
+12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)
(∑
αi
|φαi(~r1)|2
)
∑
αj
∣∣φαj
(~r2)∣∣2
−12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)
(∑
αi
φ⋆αi(~r1)φαi
(~r2)
)
∑
αj
φ⋆αj(~r2)φαj
(~r1)
Procedura:◮ Izdvojiti samo jedan par koordinata V (ri , rj).◮ Determinantu prikazati kao sumu produkta 2 × 2 determinante s
parom koordinata ri , rj , i determinante ostatka sustava.◮ itd.
Prvi red računa smetnje za puno čestica
Ako se uzme u obzir i spin:
E =
∫
d~r~
2
2m
(∑
αi ,σ
∣∣∣~∇φαiσ(~r)
∣∣∣
2
)
+
∫
d~r U(~r)
(∑
αiσ
|φαiσ(~r)|2)
+12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)
(∑
αiσ1
|φαiσ1(~r1)|2
)
∑
αj ,σ2
∣∣φαjσ2
(~r2)∣∣2
−12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)∑
σ
(∑
αi
φ⋆αiσ(~r1)φαiσ(~r2)
)
∑
αj
φ⋆αjσ(~r2)φαjσ(~r1)
Energija izmjene se pojavljuje samo između čestica istog spina!
Hartree-Fockove samosuglasne jednadžbe
◮ U izrazu za energiju u prvom redu računa smetnje pojavljuju sejednočestične valne funkcije čestica u odsutnostimeđudjelovanja.
◮ Taj se izraz može iskoristiti kao funkcional nepoznatihjednočestičnih valnih funkcija koje tek treba odrediti izzahtjeva da je ukupna energija minimalna.
◮ Variranje po skupu valnih funkcija treba napraviti uz uvjet daje mnogočestična valna funkcija normirana.
◮ U Hartree-Fockovom samosuglasnom pristupu, pretpostavlja seda je mnogočestična valna funkcija produkt jednočestičnihvalnih funkcija (Slaterova determinanta).
Hartree-Fockove samosuglasne jednadžbe
Variranjem Hartree-Fockovog funkcionala dolazi se do skupa DJ kojejednočestične valne funkcije moraju zadovoljavati:
Eαφα(~r) =
[
− ~2
2m~∇2 + U(~r)
]
φα(~r)
+
∫
d~r2 V (~r ,~r2)
∑
β
′ |φβ(~r2)|2
︸ ︷︷ ︸
potencijal ostalih čestica
φα(~r)
−∫
d~r2 V (~r ,~r2)
∑
β
′φ⋆β(~r2)φβ(~r)
︸ ︷︷ ︸
nelokalni potencijal
φα(~r2)
Napomena: crtica na sumi znači da smo isključili član s α koji jemeđudjelovanje čestice sa samom sobom.
Hartree-Fockove samosuglasne jednadžbe
Uzimajući u obzir i spin čestica:
Eασφασ(~r) =
[
− ~2
2m~∇2 + U(~r)
]
φασ(~r)
+
∫
d~r2 V (~r ,~r2)
∑
βσ1
′ |φβσ1(~r2)|2
φασ(~r)
−∫
d~r2 V (~r ,~r2)
∑
β
′φ⋆βσ(~r2)φβσ(~r)
φασ(~r2)
Hartree-Fockove samosuglasne jednadžbe
◮ Hartree-Fockove samosuglasne jednadžbe je vezani skupjednadžbi koje je potrebno samosuglasno riješiti. Unumeričkom rješavanju to se postiže iterativnom procedurom.
◮ To su integro-diferencijalne jednadžbe zbog nelokalnogpotencijala.
◮ Ukupna energija nije zbroj jednočestičnih energija Eα zbogdvostruko uračunavanja energiju međudjelovanja. Kodizračuna ukupne energije potrebno je odračunati dvostrukouračunati dio energije međudjelovanja.
Hartree-Fockova ukupna energija
ETotHF =
∑
ασ
Eασ
−12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)
(∑
αiσ1
|φαiσ1(~r1)|2
)
∑
αj ,σ2
∣∣φαjσ2
(~r2)∣∣2
+12
∫
d~r1d~r2 V (~r1,~r2)∑
σ
(∑
αi
φ⋆αiσ(~r1)φαiσ(~r2)
)
∑
αj
φ⋆αjσ(~r2)φαjσ(~r1)