reasoning about infinite computations 102167

8/3/2019 Reasoning About Infinite Computations 102167

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R e a s o n i n g a b o u t I n n i t e C o m p u t a t i o n s

M o s h e Y . V a r d i

y

I B M A l m a d e n R e s e a r c h C e n t e r

P i e r r e W o l p e r

z

U n i v e r s i t e d e L i e g e

A b s t r a c t

W e i n v e s t i g a t e e x t e n s i o n s o f t e m p o r a l l o g i c b y c o n n e c t i v e s d e n e d b y n i t e a u t o m a t a o n

i n n i t e w o r d s . W e c o n s i d e r t h r e e d i e r e n t l o g i c s , c o r r e s p o n d i n g t o t h r e e d i e r e n t t y p e s

o f a c c e p t a n c e c o n d i t i o n s ( n i t e , l o o p i n g a n d r e p e a t i n g ) f o r t h e a u t o m a t a . I t t u r n s o u t ,

h o w e v e r , t h a t t h e s e l o g i c s a l l h a v e t h e s a m e e x p r e s s i v e p o w e r a n d t h a t t h e i r d e c i s i o n

p r o b l e m s a r e a l l P S P A C E - c o m p l e t e . W e a l s o i n v e s t i g a t e c o n n e c t i v e s d e n e d b y a l t e r n a t -

i n g a u t o m a t a a n d s h o w t h a t t h e y d o n o t i n c r e a s e t h e e x p r e s s i v e p o w e r o f t h e l o g i c o r t h e

c o m p l e x i t y o f t h e d e c i s i o n p r o b l e m .

1 I n t r o d u c t i o n

F o r m a n y y e a r s , l o g i c s o f p r o g r a m s h a v e b e e n t o o l s f o r r e a s o n i n g a b o u t t h e i n p u t / o u t p u t

b e h a v i o r o f p r o g r a m s . W h e n d e a l i n g w i t h c o n c u r r e n t o r n o n t e r m i n a t i n g p r o c e s s e s ( l i k e

o p e r a t i n g s y s t e m s ) t h e r e i s , h o w e v e r , a n e e d t o r e a s o n a b o u t i n n i t e c o m p u t a t i o n s . T h u s ,

i n s t e a d o f c o n s i d e r i n g t h e r s t a n d l a s t s t a t e s o f n i t e c o m p u t a t i o n s , w e n e e d t o c o n -

s i d e r t h e i n n i t e s e q u e n c e s o f s t a t e s t h a t t h e p r o g r a m g o e s t h r o u g h . L o g i c s t o r e a s o n

a b o u t s u c h s e q u e n c e s i n c l u d e t e m p o r a l l o g i c P n 7 7 ] a n d t e m p o r a l - l o g i c - b a s e d p r o c e s s l o g -

i c s N i 8 0 , H K P 8 0 ] .

I n t h e p r o p o s i t i o n a l c a s e , c o m p u t a t i o n s c a n b e v i e w e d a s i n n i t e s e q u e n c e s o f p r o p o -

s i t i o n a l t r u t h a s s i g n m e n t s . F o r r e a s o n i n g a b o u t i n d i v i d u a l p r o p o s i t i o n a l t r u t h a s s i g n -

m e n t s , p r o p o s i t i o n a l l o g i c i s a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e l a n g u a g e , i . e . , i t c a n s p e c i f y a n y s e t

o f p r o p o s i t i o n a l t r u t h a s s i g n m e n t s . T h e r e i s , h o w e v e r , n o a p r i o r i r o b u s t n o t i o n o f d e -

s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s f o r r e a s o n i n g a b o u t s e q u e n c e s o f p r o p o s i t i o n a l t r u t h a s s i g n m e n t s .

A p r e l i m i n a r y v e r s i o n o f t h i s p a p e r , a u t h o r e d b y P . W o l p e r , M . Y . V a r d i , a n d A . P . S i s t l a , a p p e a r e d

i n P r o c . 2 4 t h I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , 1 9 8 3 , p p . 1 8 5 { 1 9 4 , u n d e r t h e t i t l e

\ R e a s o n i n g a b o u t I n n i t e C o m p u t a t i o n P a t h s " .

y

A d d r e s s : I B M A l m a d e n R e s e a r c h K 5 3 - 8 0 2 , 6 5 0 H a r r y R d . , S a n J o s e , C A 9 5 1 2 0 - 6 0 9 9 , U S A ,

v a r d i @ a l m a d e n . i b m . c o m

z

A d d r e s s : I n s t i t u t M o n t e o r e , B 2 8 , U n i v e r s i t e d e L i e g e , B - 4 0 0 0 L i e g e S a r t - T i l m a n , B e l g i u m ,

p w @ m o n t e o r e . u l g . a c . b e

1


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I n G P S S 8 0 ] p r o p o s i t i o n a l t e m p o r a l l o g i c ( P T L ) w a s s h o w n t o b e e x p r e s s i v e l y e q u i v a -

l e n t t o t h e m o n a d i c r s t - o r d e r t h e o r y o f ( N ;


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s i g n i c a n c e ,

3

b u t d u e t o t h e i r s i g n i c a n c e a s s p e c i c a t i o n c o n s t r u c t s . F i n i t e a c c e p t a n c e

c a n b e v i e w e d a s d e s c r i b i n g a l i v e n e s s p r o p e r t y , i . e . , \ s o m e t h i n g g o o d w i l l e v e n t u a l l y

h a p p e n " , w h i l e l o o p i n g a c c e p t a n c e c a n b e v i e w e d a s a s a f e t y c o n d i t i o n , i . e . , \ s o m e t h i n g

b a d w i l l n e v e r h a p p e n " .

4

T h u s , n i t e a n d l o o p i n g a c c e p t a n c e c a n b e v i e w e d a s e x t e n s i o n s

o f t h e \ E v e n t u a l l y " a n d \ A l w a y s " c o n s t r u c t s o f P T L

T h e n o t i o n s o f n i t e a n d l o o p i n g a c c e p t a n c e a r e i n c o m p a r a b l e a n d a r e s t r i c t l y w e a k e r

t h a n t h e n o t i o n o f r e p e a t i n g a c c e p t a n c e . F o r e x a m p l e , t h e s e q u e n c e ( a b

?

)

!

c a n b e d e n e d

b y r e p e a t i n g a c c e p t a n c e b u t n o t b y n i t e o r l o o p i n g a c c e p t a n c e . T h u s , w e c o u l d e x p e c t

t h e l o g i c s E T L

r

, E T L

f

, a n d E T L

l

t o h a v e d i e r e n t e x p r e s s i v e p o w e r s . O n e o f t h e m a i n

r e s u l t s o f t h i s p a p e r i s t h a t a l l t h e s e l o g i c s a r e e x p r e s s i v e l y e q u i v a l e n t . T h e y a l l h a v e

t h e e x p r e s s i v e p o w e r o f ! - r e g u l a r e x p r e s s i o n s , w h i c h b y B u 6 2 ] i s t h e s a m e a s t h a t o f

t h e m o n a d i c s e c o n d - o r d e r t h e o r y o f ( N ;


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a u t o m a t a c o n n e c t i v e s , a n d o n e m a y e x p e c t t h e i r i n t r o d u c t i o n t o p u s h t h e c o m p l e x i t y o f

t h e l o g i c u p . W e i n v e s t i g a t e b o t h A T L

f

a n d A T L

l

, w h i c h a r e t h e a l t e r n a t i n g a n a l o g u e s

o f E T L

f

a n d R T L

l

. S u r p r i s i n g l y , w e s h o w t h a t t h e d e c i s i o n p r o b l e m s f o r t h e s e l o g i c s

a r e s t i l l P S P A C E - c o m p l e t e .

2 F i n i t e A u t o m a t a o n I n n i t e W o r d s

I n t h i s s e c t i o n w e d e n e s e v e r a l c l a s s e s o f n i t e a u t o m a t a o n i n n i t e w o r d s a n d e x a m i n e

t h e i r n o n e m p t i n e s s p r o b l e m . T h e f r a m e w o r k d e v e l o p e d h e r e i s a s p e c i a l i z a t i o n o f t h e t r e e -

a u t o m a t a f r a m e w o r k d e v e l o p e d i n V W 8 6 a ] . I n v i e w o f t h e w i d e r a n g e o f a p p l i c a t i o n s

o f t e m p o r a l l o g i c ( c f . B B P 8 9 ] ) , w e d e s c r i b e t h e w o r d - a u t o m a t a f r a m e w o r k i n d e t a i l , i n

o r d e r t o m a k e t h e p a p e r s e l f - c o n t a i n e d .

2 . 1 D e n i t i o n s

W e s t a r t b y m a k i n g o u r n o t a t i o n f o r i n n i t e w o r d s p r e c i s e . W e d e n o t e b y ! t h e s e t o f

n a t u r a l n u m b e r s f 0 ; 1 ; 2 ; : : : g . W e u s e t h e n o t a t i o n i ; j ] f o r t h e i n t e r v a l f i ; i + 1 ; : : : ; j g

o f ! . A n i n n i t e w o r d o v e r a n a l p h a b e t i s a f u n c t i o n w : ! ! . T h e i t h l e t t e r i n a n

i n n i t e w o r d w i s t h u s w ( i ) . W e w i l l o f t e n d e n o t e i t b y w

i

a n d w r i t e w = w

0

w

1

A n o n d e t e r m i n i s t i c n i t e a u t o m a t o n ( a b b r . N F A ) o n i n n i t e w o r d s i s a t u p l e A =

( ; S ; ; S

0

; F ) w h e r e :

i s a n i t e a l p h a b e t o f l e t t e r s ,

S i s a n i t e s e t o f s t a t e s ,

: S ! 2

S

i s t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n , m a p p i n g e a c h s t a t e a n d l e t t e r t o a s e t o f

p o s s i b l e s u c c e s s o r s t a t e s ,

S

0

i s a s e t o f i n i t i a l s t a t e s , a n d

F S i s a s e t o f a c c e p t i n g s t a t e s .

T h e a u t o m a t o n i s d e t e r m i n i s t i c i f S

0

= 1 a n d ( s ; a ) 1 f o r a l l s 2 S a n d a 2

A n i t e r u n o f A o v e r a n i n n i t e w o r d w = w

0

w

1

, i s a n i t e s e q u e n c e =

s

0

s

1

: : : s

n ? 1

, w h e r e s

0

2 S

0

, s

i + 1

2 ( s

i

; w

i

) , f o r a l l 0 i < n ? 1 A r u n o f A o v e r

a n i n n i t e w o r d w = w

0

w

1

, i s a n i n n i t e s e q u e n c e = s

0

s

1

, w h e r e s

0

2 S

0

,

s

i + 1

2 ( s

i

; w

i

) , f o r a l l i 0

D e p e n d i n g o n t h e a c c e p t a n c e c o n d i t i o n w e i m p o s e , w e g e t d i e r e n t t y p e s o f a u t o m a t a .

I n n i t e a c c e p t a n c e a u t o m a t a , a n i t e r u n = s

0

s

1

: : : s

n ? 1

i s a c c e p t i n g i f s

n ? 1

2 F I n

l o o p i n g a c c e p t a n c e a u t o m a t a , a n y r u n = s

0

s

1

i s a c c e p t i n g , i . e . , n o c o n d i t i o n i s

i m p o s e d b y t h e s e t F I n r e p e a t i n g a c c e p t a n c e a u t o m a t a ( B u c h i a u t o m a t a B u 6 2 ] ) , a r u n

4


5/37

= s

0

s

1

i s a c c e p t i n g i f t h e r e i s s o m e a c c e p t i n g s t a t e t h a t r e p e a t s i n n i t e l y o f t e n , i . e . ,

f o r s o m e s 2 F t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y i ' s s u c h t h a t s

i

= s

I n a l l t h r e e t y p e s o f a u t o m a t a , a n i n n i t e w o r d w i s a c c e p t e d i f t h e r e i s s o m e a c c e p t i n g

r u n o v e r w . T h e s e t o f i n n i t e w o r d s a c c e p t e d b y a n a u t o m a t o n A i s d e n o t e d L ( A )

T h e t h r e e d i e r e n t t y p e s o f a u t o m a t a r e c o g n i z e d i e r e n t c l a s s e s o f l a n g u a g e s . I t

t u r n s o u t t h a t t h e c l a s s o f l a n g u a g e s a c c e p t e d b y r e p e a t i n g a c c e p t a n c e a u t o m a t a ( L

r e p e a t

)

s t r i c t l y c o n t a i n s t h e c l a s s o f l a n g u a g e s a c c e p t e d b y l o o p i n g ( L

l o o p

) a n d n i t e a c c e p t a n c e

( L

f i n i t e

) a u t o m a t a . T h e s e l a s t t w o c l a s s e s a r e i n c o m p a r a b l e . T h e l a n g u a g e s a c c e p t e d

b y B u c h i ( r e p e a t i n g a c c e p t a n c e ) a u t o m a t a a r e o f t e n c a l l e d t h e ! - r e g u l a r l a n g u a g e s . B y

r e s u l t s o f B u c h i B u 6 2 ] ( s e e a l s o M c N a u g h t o n M c N 6 6 ] ) , t h i s c l a s s o f l a n g u a g e s i s c l o s e d

u n d e r u n i o n , i n t e r s e c t i o n a n d c o m p l e m e n t a t i o n a n d i s e q u i v a l e n t t o t h e c l a s s o f l a n g u a g e s

d e s c r i b a b l e i n t h e m o n a d i c s e c o n d - o r d e r t h e o r y o f o n e s u c c e s s o r ( S 1 S ) a n d b y ! - r e g u l a r

e x p r e s s i o n s . T h e m o n a d i c s e c o n d - o r d e r t h e o r y o f s u c c e s s o r i s t h e i n t e r p r e t e d f o r m a l i s m

w h i c h h a s i n d i v i d u a l v a r i a b l e s r a n g i n g o v e r t h e n a t u r a l n u m b e r s , m o n a d i c p r e d i c a t e

v a r i a b l e s r a n g i n g o v e r a r b i t r a r y s e t s o f n a t u r a l n u m b e r s , t h e c o n s t a n t 0 , t h e s u c c e s s o r

f u n c t i o n , b o o l e a n c o n n e c t i v e s a n d q u a n t i c a t i o n o v e r b o t h t y p e s o f v a r i a b l e s . ! - r e g u l a r

e x p r e s s i o n s a r e e x p r e s s i o n s o f t h e f o r m

i

i

(

i

)

!

w h e r e t h e u n i o n i s n i t e , a n d a r e

c l a s s i c a l r e g u l a r e x p r e s s i o n s , a n d ! d e n o t e s c o u n t a b l e r e p e t i t i o n .

T o e s t a b l i s h t h e r e l a t i o n s b e t w e e n L

r e p e a t

, L

l o o p

a n d L

f i n i t e

, w e s t a t e t h e f o l l o w i n g

w e l l - k n o w n f a c t s ( c f . C h 7 4 , K a 8 5 , L a n 6 9 , M Y 8 8 , S t a 8 7 , T h o 9 0 , W a 7 9 ] ) .

L e m m a 2 . 1 :

1 . T h e l a n g u a g e a

!

o v e r t h e a l p h a b e t = f a ; b g i s i n L

l o o p

b u t n o t i n L

f i n i t e

2 . T h e l a n g u a g e a

?

b ( a b )

!


f i n i t e

b u t n o t i n L

l o o p

3 . T h e l a n g u a g e ( a

?

b )

!


r e p e a t

, b u t n o t i n L

f i n i t e

o r

i n L

l o o p

C o r o l l a r y 2 . 2 :

1 L

r e p e a t

s t r i c t l y c o n t a i n s L

f i n i t e

a n d L

l o o p

2 L

f i n i t e

a n d L

l o o p

a r e i n c o m p a r a b l e .

F o r t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n , w e w i l l o n l y d e a l w i t h B u c h i a u t o m a t a .

2 . 2 T h e N o n e m p t i n e s s P r o b l e m f o r B u c h i A u t o m a t a

A n i m p o r t a n t p r o b l e m w e w i l l h a v e t o s o l v e f o r B u c h i a u t o m a t a i s t h e n o n e m p t i n e s s

p r o b l e m , w h i c h i s , g i v e n a B u c h i a u t o m a t o n , t o d e t e r m i n e w h e t h e r i t a c c e p t s a t l e a s t

o n e w o r d . W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e c o m p l e x i t y o f t h i s p r o b l e m a s a f u n c t i o n i n t h e s i z e

5


6/37

o f t h e g i v e n a u t o m a t o n . ( W e a s s u m e s o m e s t a n d a r d e n c o d i n g o f a u t o m a t a , s o t h e s i z e

o f a n a u t o m a t o n i s t h e l e n g t h o f i t s e n c o d i n g . )

L e t A = ( ; S ; ; S

0

; F ) b e a n a u t o m a t o n . W e s a y t h a t a s t a t e t i s r e a c h a b l e f r o m a

s t a t e s i f t h e r e a r e a n i t e w o r d w = w

1

: : : w

k

i n

?

a n d a n i t e s e q u e n c e s

0

; : : : ; s

k

o f

s t a t e s i n S s u c h t h a t s

0

= s , s

k

= t , a n d s

i + 1

2 ( s

i

; w

i + 1

) f o r 0 i k ? 1

L e m m a 2 . 3 : T B 7 3 ] A B u c h i a u t o m a t o n a c c e p t s s o m e w o r d i t h e r e i s a n a c c e p t i n g

s t a t e o f t h e a u t o m a t o n t h a t i s r e a c h a b l e f r o m s o m e i n i t i a l s t a t e a n d i s r e a c h a b l e f r o m

i t s e l f .

W e c a n n o w p r o v e t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 2 . 4 : T h e n o n e m p t i n e s s p r o b l e m f o r B u c h i a u t o m a t a i s l o g s p a c e - c o m p l e t e f o r

N L O G S P A C E .

P r o o f : W e r s t p r o v e t h a t t h e p r o b l e m i s i n N L O G S P A C E . G i v e n L e m m a 2 . 3 , t o d e -

t e r m i n e i f a B u c h i a u t o m a t o n a c c e p t s s o m e w o r d , w e o n l y n e e d t o c h e c k i f t h e r e i s s o m e

a c c e p t i n g s t a t e r e a c h a b l e f r o m s o m e i n i t i a l s t a t e a n d r e a c h a b l e f r o m i t s e l f . T o d o t h i s ,

w e n o n d e t e r m i n i s t i c a l l y g u e s s a n i n i t i a l s t a t e s a n d a n a c c e p t i n g s t a t e r ; w e t h e n n o n d e -

t e r m i n i s t i c a l l y a t t e m p t t o c o n s t r u c t a p a t h f r o m s t o r a n d f r o m r t o i t s e l f . T o c o n s t r u c t

a p a t h f r o m a n y s t a t e x t o a n y o t h e r s t a t e y , w e p r o c e e d a s f o l l o w s :

1 . M a k e x t h e c u r r e n t s t a t e .

2 . C h o o s e a t r a n s i t i o n f r o m t h e c u r r e n t s t a t e a n d r e p l a c e t h e c u r r e n t s t a t e b y t h e

t a r g e t o f t h i s t r a n s i t i o n .

3 . I f t h e c u r r e n t s t a t e i s y , s t o p . O t h e r w i s e r e p e a t f r o m s t e p ( 2 ) .

A t e a c h p o i n t o n l y t h r e e s t a t e s a r e r e m e m b e r e d . T h u s t h e a l g o r i t h m r e q u i r e s o n l y l o g a -

r i t h m i c s p a c e .

T o s h o w N L O G S P A C E h a r d n e s s , g i v e n L e m m a 2 . 3 , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c o n s t r u c t

a r e d u c t i o n f r o m t h e g r a p h a c c e s s i b i l i t y p r o b l e m , p r o v e d t o b e N L O G S P A C E c o m p l e t e

i n J o 7 5 ] .

T o s o l v e t h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m f o r e x t e n d e d t e m p o r a l l o g i c , w e w i l l p r o c e e d a s

f o l l o w s : b u i l d a B u c h i a u t o m a t o n a c c e p t i n g t h e m o d e l s o f t h e f o r m u l a a n d d e t e r m i n e i f

t h a t a u t o m a t o n i s n o n e m p t y . T h e a u t o m a t a w e w i l l b u i l d a r e e x p o n e n t i a l i n t h e s i z e o f

t h e f o r m u l a . H o w e v e r , a s t h e f a c t t h a t t h e n o n e m p t i n e s s p r o b l e m i s i n N L O G S P A C E i n -

d i c a t e s , i t i s p o s s i b l e t o s o l v e t h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m u s i n g o n l y p o l y n o m i a l s p a c e . T h e

a r g u m e n t i s t h a t i t i s n o t n e c e s s a r y t o r s t b u i l d t h e w h o l e a u t o m a t o n b e f o r e a p p l y i n g

t h e a l g o r i t h m f o r n o n e m p t i n e s s . ( A s i m i l a r a r g u m e n t , t h o u g h i n a s o m e w h a t d i e r e n t

f r a m e w o r k , i s u s e d i n H R 8 3 , S C 8 5 , W o 8 3 ] . ) W e n o w m a k e t h i s a r g u m e n t m o r e p r e c i s e .

L e t b e s o m e x e d n i t e a l p h a b e t . A p r o b l e m P i s a s u b s e t o f

?

A n i n s t a n c e i s a n

e l e m e n t x o f

?

f o r w h i c h w e w a n t t o d e t e r m i n e m e m b e r s h i p i n P . A s s u m e t h a t w e a l s o

u s e t o e n c o d e B u c h i a u t o m a t a a n d t h e i r c o n s t i t u e n t e l e m e n t s ( a l p h a b e t , s t a t e s , )

6


7/37

L e m m a 2 . 5 : L e t P b e a p r o b l e m , l e t f b e a p o l y n o m i a l , l e t ; ; ; ; b e a l g o r i t h m s

t h a t a s s o c i a t e w i t h a n y i n s t a n c e x t h e e n c o d i n g o f a B u c h i a u t o m a t o n

A

x

= (

x

; S

x

;

x

; S

x

0

; F

x

)

i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r :

1 . i f y 2

x

o r y 2 S

x

, t h e n y f ( x ) ,

2 . g i v e n y 2

?

, d e t e r m i n e s w h e t h e r y 2

x

u s i n g a t m o s t f ( x ) s p a c e ,

3 . g i v e n y 2

?

, d e t e r m i n e s w h e t h e r y 2 S

x


4 . g i v e n y 2

?

, d e t e r m i n e s w h e t h e r y 2 S

x

0


5 . g i v e n y 2

?

, d e t e r m i n e s w h e t h e r y 2 F

x


6 . g i v e n u ; v ; w 2

?

, d e t e r m i n e s w h e t h e r u 2

x

( v ; w ) , u s i n g a t m o s t f ( x ) s p a c e ,

a n d

7 x 2 P i A

x

a c c e p t s s o m e w o r d .

T h e n t h e r e i s a p o l y n o m i a l s p a c e a l g o r i t h m f o r d e t e r m i n i n g m e m b e r s h i p i n P

P r o o f : W e u s e t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 4 t o c h e c k i f A

x

i s

n o n e m p t y . G i v e n t h e a s s u m p t i o n s w e h a v e m a d e , e a c h o f t h e s t e p s i n t h e a l g o r i t h m c a n

b e e x e c u t e d i n p o l y n o m i a l s p a c e . M o r e o v e r , t h e t w o s t a t e s b e i n g r e m e m b e r e d a r e a l s o o f

s i z e p o l y n o m i a l i n t h e s i z e o f t h e p r o b l e m . S o , t h e w h o l e a l g o r i t h m r e q u i r e s p o l y n o m i a l

s p a c e . T h i s e s t a b l i s h e s t h a t t h e p r o b l e m i s i n N P S P A C E a n d h e n c e P S P A C E .

W h e n c o n s t r u c t i n g B u c h i a u t o m a t a f r o m t e m p o r a l l o g i c f o r m u l a s , w e w i l l o f t e n h a v e

t o t a k e t h e i n t e r s e c t i o n o f s e v e r a l B u c h i a u t o m a t a . T h e f o l l o w i n g l e m m a i s a s p e c i a l c a s e

o f T h e o r e m A . 1 i n V W 8 6 a ] a n d e x t e n d s a c o n s t r u c t i o n o f C h 7 4 ] ( s e e a l s o E S 8 4 ] ) .

T h e o r e m 2 . 6 : L e t A

0

; : : : ; A

k ? 1

b e B u c h i a u t o m a t a . T h e r e i s a B u c h i a u t o m a t o n A

w i t h k

k ? 1

i = 0

A

i

s t a t e s s u c h t h a t L ( A ) = L ( A

0

) \ \ L ( A

k ? 1

)

P r o o f : L e t A

i

= ( ; S

i

;

i

; S

i

0

; F

i

) . D e n e A = ( ; S ; ; S

0

; F ) a s f o l l o w s : S = S

0

S

k ? 1

f 0 ; : : : ; k ? 1 g , S

0

= S

0

0

S

k ? 1

0

f 0 g , F = F

0

S

1

S

k ? 1

f 0 g , a n d

( s

0

1

; : : : ; s

k ? 1

1

; j ) 2 ( ( s

0

; : : : ; s

k ? 1

; i ) ; a ) i s

l

1

2 ( s

l

; a ) , f o r 0 l k ? 1 , a n d e i t h e r

s

i

62 F

i

a n d i = j o r s

i

2 F

i

a n d j = ( i + 1 ) m o d k

T h e a u t o m a t o n A c o n s i s t s o f k c o p i e s o f t h e c r o s s p r o d u c t o f t h e a u t o m a t a A

i

. I n -

t u i t i v e l y , o n e s t a r t s b y r u n n i n g t h e r s t c o p y o f t h i s c r o s s p r o d u c t . O n e t h e n j u m p s

f r o m t h e c o p y i t o t h e c o p y ( i + 1 ) m o d k w h e n a n a l s t a t e o f A

i

i s e n c o u n t e r e d . T h e

a c c e p t a n c e c o n d i t i o n i m p o s e s t h a t o n e g o e s i n n i t e l y o f t e n t h r o u g h a n a l s t a t e o f A

0

i n

t h e c o p y 0 . T h i s f o r c e s a l l t h e c o m p o n e n t s o f A t o v i s i t t h e i r a c c e p t i n g s t a t e s i n a c y c l i c

o r d e r . W e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o f o r m a l l y p r o v e t h a t L ( A ) = L ( A

0

) \ \ L ( A

k ? 1

)

7


8/37

2 . 3 S u b w o r d A u t o m a t a

T o m a k e t h e c o n s t r u c t i o n o f B u c h i a u t o m a t a f r o m e x t e n d e d t e m p o r a l l o g i c f o r m u l a s

e a s i e r , w e d e n e m o r e s p e c i a l i z e d c l a s s e s o f a u t o m a t a : s u b w o r d a u t o m a t a a n d s e t - s u b w o r d

a u t o m a t a . T h e y a r e t h e s p e c i a l i z a t i o n t o w o r d s o f s u b t r e e a u t o m a t a a n d s e t - s u b t r e e

a u t o m a t a d e n e d i n V W 8 6 b ] . F o r c o m p l e t e n e s s s a k e , w e g i v e a d e t a i l e d t r e a t m e n t o f

t h i s s p e c i a l i z a t i o n .

I n t u i t i v e l y , a s u b w o r d a u t o m a t o n c h e c k s t h a t , s t a r t i n g a t e v e r y p o s i t i o n i n a n i n n i t e

w o r d , t h e r e i s a n i t e w o r d a c c e p t e d b y s o m e a u t o m a t o n . T h e a u t o m a t a a c c e p t i n g

n i t e w o r d s a t t h e v a r i o u s p o s i t i o n s d i e r o n l y b y t h e i r i n i t i a l s t a t e . T h e i n i t i a l s t a t e

c o r r e s p o n d i n g t o a p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d b y t h e s y m b o l a p p e a r i n g a t t h a t p o s i t i o n i n

t h e i n n i t e w o r d . F o r m a l l y , a s u b w o r d a u t o m a t o n A i s a t u p l e ( ; S ; ; ; F ) , w h e r e

i s t h e a l p h a b e t ,

S i s t h e s t a t e s e t ,

: S ! 2

S

i s t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n ,

: ! S i s t h e l a b e l i n g f u n c t i o n , a n d

F S i s t h e n o n e m p t y s e t o f a c c e p t i n g s t a t e s .

A n i n n i t e w o r d w 2

!

i s a c c e p t e d b y A i f t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s h o l d :

l a b e l i n g c o n d i t i o n : ( w

i + 1

) 2 ( ( w

i

) ; w

i

) f o r e v e r y i 2 !

s u b w o r d c o n d i t i o n : f o r e v e r y i 2 ! , t h e r e e x i s t s s o m e j i a n d a m a p p i n g ' :

i ; j ! S s u c h t h a t ' ( i ) = ( w

i

) , ' ( j ) 2 F , a n d f o r a l l k , i k < j , ' ( k + 1 ) 2

( ' ( k ) ; w

k

)

T h e l a b e l i n g c o n d i t i o n r e q u i r e s t h e l a b e l i n g o f t h e w o r d t o b e c o m p a t i b l e w i t h t h e

t r a n s i t i o n f u n c t i o n o f A . T h e s u b w o r d c o n d i t i o n , r e q u i r e s t h a t f r o m e a c h p o s i t i o n i i n

t h e w o r d , t h e r e b e a s u b w o r d a c c e p t e d b y A v i e w e d a s a n a u t o m a t o n o n n i t e w o r d s

w i t h i n i t i a l s t a t e ( w

i

)

U s i n g a c o n s t r u c t i o n s i m i l a r t o t h e a g c o n s t r u c t i o n o f C h o u e k a C h 7 4 ] , a s u b w o r d

a u t o m a t o n , e v e n w i t h o u t t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n , c a n b e c o n v e r t e d t o a B u c h i a u t o m a t o n

w i t h a t m o s t a n e x p o n e n t i a l i n c r e a s e i n s i z e . W e s h o w n o w t h a t b e c a u s e o f t h e l a b e l i n g

c o n d i t i o n w e c a n d o t h i s c o n v e r s i o n w i t h o n l y a q u a d r a t i c i n c r e a s e i n s i z e . B e f o r e p r o v i n g

t h i s w e n e e d a t e c h n i c a l l e m m a .

L e m m a 2 . 7 : L e t A = ( ; S ; ; ; F ) b e a s u b w o r d a u t o m a t o n . T h e n A a c c e p t s a w o r d

w : ! ! i

( w

i + 1

) 2 ( ( w

i

) ; w

i

) f o r e v e r y i 2 ! , a n d

8


9/37

f o r e v e r y i 2 ! , t h e r e e x i s t s s o m e j > i a n d a m a p p i n g ' : i ; j ! S s u c h t h a t

' ( i ) = ( w

i

) , ' ( j ) 2 F , a n d f o r a l l k , i k < j , ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

)

P r o o f : T h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n t h e c o n d i t i o n i n t h e l e m m a a n d t h e s t a n d a r d c o n -

d i t i o n o f a c c e p t a n c e i s t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e i n t e r v a l i ; j ] c o n t a i n a t l e a s t t w o p o i n t s

a n d h e n c e t h a t t h e a c c e p t e d s u b w o r d w

i

: : : w

j ? 1

b e n o n e m p t y . T h u s t h e \ i f " d i r e c t i o n

i s t r i v i a l . F o r t h e \ o n l y i f " d i r e c t i o n a s s u m e t h a t A a c c e p t s w . T h e l a b e l i n g c o n d i t i o n

c l e a r l y h o l d s , s o i t r e m a i n s t o s h o w t h e e x i s t e n c e o f t h e \ r i g h t " s u b w o r d .

L e t i 2 ! . T h e n , t h e r e e x i s t s s o m e j i a n d a m a p p i n g '

i

: i ; j ! S t h a t s a t i s e s

t h e s u b w o r d c o n d i t i o n a t i I f i > j , t h e n w e a r e d o n e . S o , l e t u s a s s u m e i = j . W e k n o w

t h a t t h e r e e x i s t s s o m e k i + 1 a n d a m a p p i n g '

i + 1

: i + 1 ; k ! S t h a t s a t i s e s t h e

s u b w o r d c o n d i t i o n a t p o i n t i + 1 . W e c l a i m t h a t t h e i n t e r v a l i ; k ] s a t i s e s t h e s u b w o r d

c o n d i t i o n a t i . I n d e e d , b e c a u s e o f t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n , t h e m a p p i n g ' = '

i

'

i + 1

s a t i s e s t h e r e q u i r e d c o n d i t i o n s

T h e o r e m 2 . 8 : E v e r y s u b w o r d a u t o m a t o n w i t h m s t a t e s i s e q u i v a l e n t t o a B u c h i a u t o m a -

t o n w i t h O ( m

2

) s t a t e s .

P r o o f : L e t A = ( S ; ; ; ; F ) b e a s u b w o r d a u t o m a t o n . W e n o w d e n e t w o n e w t r a n s i -

t i o n f u n c t i o n s

1

;

2

: S ! 2

S

:

1

( s ; a ) = ( s ; a ) i f s = ( a ) , a n d

1

( s ; a ) = ; o t h e r w i s e .

2

( s ; a ) = ( ( a ) ; a ) i f s 2 F , a n d

2

( s ; a ) = ( s ; a ) o t h e r w i s e .

T h e s e t r a n s i t i o n f u n c t i o n s l e t u s d e n e t w o B u c h i a u t o m a t a B

1

= ( ; S ;

1

; S ; S ) a n d

B

2

= ( ; S ;

2

; S ; F ) . B a s i c a l l y , B

1

w i l l t a k e c a r e o f c h e c k i n g t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n a n d

B

2

o f c h e c k i n g t h e s u b w o r d c o n d i t i o n .

L e t u s s h o w t h a t a w o r d w : ! ! i s a c c e p t e d b y A i i t i s a c c e p t e d b y b o t h B

1

a n d

B

2

S u p p o s e r s t t h a t w i s a c c e p t e d b y B

1

a n d B

2

. T h i s m e a n s t h e r e a r e a c c e p t i n g r u n s

1

= s

1 0

; s

1 1

; : : : a n d

2

= s

2 0

; s

2 1

; : : : o f B

1

a n d B

2

( r e s p . ) o n w . W e v e r i f y r s t t h a t

t h e l a b e l i n g p r o p e r t y h o l d s . C l e a r l y ,

1

( s

1 i

; w

i

) 6= ; f o r e v e r y i 2 ! . T h u s , s

1 i

= ( w

i

)

C o n s e q u e n t l y , f o r e v e r y i 2 ! ,

( w

i + 1

) = s

1 i + 1

2

1

( s

1 i

; w

i

) = ( ( w

i

) ; w

i

)

I t r e m a i n s t o v e r i f y t h e s u b w o r d c o n d i t i o n .

L e t i 0 . A s t h e r u n

2

i s a c c e p t i n g , t h e r e i s s o m e j i s u c h t h a t s

2 j

2 F . F o r

t h e s a m e r e a s o n , t h e r e i s a k > j s u c h t h a t s

2 k

2 F . A s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y

t h a t s

2 l

62 F f o r a l l j < l < k . C o n s i d e r t h e i n t e r v a l i ; k ] . W e c l a i m t h a t i t s a t i s e s t h e

s u b w o r d c o n d i t i o n a t i

9


10/37

I n d e e d , a s u i t a b l e m a p p i n g ' : i ; k ! S c a n b e d e n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y : ' ( l ) =

( w

l

) f o r l 2 i ; j ] a n d ' ( l ) = s

2 l

f o r l 2 j + 1 ; k ] . C l e a r l y ' ( k ) 2 F . F o r i l < j w e

h a v e

' ( l + 1 ) = ( w

l + 1

) 2 ( ( w

l

) ; w

l

) = ( ' ( l ) ; w

l

)

F o r l = j w e h a v e

' ( l + 1 ) = s

2 l + 1

2

2

( s

2 l

; w

l

) = ( ( w

l

) ; w

l

) = ( ' ( l ) ; w

l

)

a s s

2 j

2 F . F i n a l l y , f o r j + 1 l < k

' ( l + 1 ) = s

2 l + 1

2

2

( s

2 l

; w

l

) = ( s

2 l

; w

l

) = ( ' ( l ) ; w

l

)

a s s

2 l

62 F f o r j + 1 l < k

W e n o w h a v e t o s h o w t h a t i f w i s a c c e p t e d b y A t h e n i t i s a c c e p t e d b y b o t h B

1

a n d

B

2

. C o n s i d e r t h e r u n

1

= s

1 0

; s

1 1

; s

1 2

; : : : w h e r e s

1 i

= ( w

i

) . B y t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n ,

1

i s a n a c c e p t i n g r u n o f B

1

o n w

W e n o w d e n e a c o m p u t a t i o n

2

= s

2 0

; s

2 1

; s

2 2

; : : : o f B

2

b y d e n i n g i t o n a s e q u e n c e

o f i n c r e a s i n g i n t e r v a l s 0 ; j

1

; 0 ; j

2

; : : : s u c h t h a t f o r e a c h j

i

, s

2 j

2 F . T h e r s t i n t e r v a l i s

0 ; 0 ] a n d w e d e n e s

2 0

= s , w h e r e s i s a n a r b i t r a r y m e m b e r o f F . S u p p o s e n o w t h a t

2

i s d e n e d o n t h e i n t e r v a l 0 ; j

n

] . B y i n d u c t i o n , s

2 j

n

2 F . B y L e m m a 2 . 7 , t h e r e e x i s t s a n

i n t e r v a l j

n

; j

n + 1

, j

n + 1

> j

n

a n d a m a p p i n g ' : j

n

; j

n + 1

! S s u c h t h a t ' ( j

n

) = ( w

j

n

) ,

' ( j

n + 1

) 2 F , a n d f o r a l l k , j

n

k < j

n + 1

, ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

) . W i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y , w e c a n a s s u m e t h a t ' ( k ) 62 F f o r j

n

< k < j

n + 1

. F o r j

n

< k j

n + 1

, w e d e n e

s

2 k

= ' ( k ) . W e s h o w n o w t h a t f o r e v e r y j

n

k < j

n + 1

, s

2 k + 1

2

2

( s

2 k

; w

k

) . I n d e e d , i f

k = j

n

, t h e n s

2 k

= ( w

j

n

) a n d s

2 k

2 F . C o n s e q u e n t l y ,

s

2 k + 1

= ' ( k + 1 ) 2 ( ( w

k

) ; w

k

) =

2

( s

2 k

; w

k

)

I f j

n

< k < j

n + 1

, t h e n s

2 k

= ' ( k ) 62 F . C o n s e q u e n t l y ,

s

2 k + 1

= ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

) =

2

( s

2 k

; w ( k ) )

C l e a r l y ,

S

1

n = 1

0 ; j

n

= ! . H e n c e w e h a v e d e n e d a r u n

2

o f B

2

. M o r e o v e r , a s f o r e a c h

j

n

, s

2 j

n

2 F , t h e r u n i s a c c e p t i n g .

W e h a v e s h o w n t h a t w i s a c c e p t e d b y b o t h B

1

a n d B

2

. F i n a l l y , b y T h e o r e m 2 . 6 , w e

c a n c o n s t r u c t a n a u t o m a t o n B s u c h t h a t a w o r d w i s a c c e p t e d b y B i i t i s a c c e p t e d b y

b o t h B

1

a n d B

2

. I t f o l l o w s t h a t t h e s u b w o r d a u t o m a t o n A i s e q u i v a l e n t t o t h e B u c h i

a u t o m a t o n B

S u b w o r d a u t o m a t a a r e m o r e a d e q u a t e t h a n B u c h i a u t o m a t a f o r t h e p u r p o s e o f r e -

d u c i n g s a t i s a b i l i t y o f f o r m u l a s t o n o n e m p t i n e s s o f a u t o m a t a . N e v e r t h e l e s s , t o f a c i l i t a t e

o u r t a s k i n t h e r e s t o f t h e p a p e r , w e n o w s p e c i a l i z e t h e n o t i o n o f s u b w o r d a u t o m a t a

e v e n f u r t h e r . T h e w o r d s t h a t w e s h a l l d e a l w i t h a r e g o i n g t o c o n s i s t s o f s e t s o f f o r m u l a s ,

1 0


11/37

a n d t h e s t a t e s o f t h e a u t o m a t a t h a t w i l l a c c e p t t h e s e w o r d s a r e a l s o g o i n g t o b e s e t s o f

f o r m u l a s . T h u s , w e c o n s i d e r a u t o m a t a w h e r e t h e a l p h a b e t a n d t h e s e t o f s t a t e s a r e t h e

s a m e s e t a n d h a v e t h e s t r u c t u r e o f a p o w e r s e t . W e w i l l c a l l t h e s e a u t o m a t a s e t - s u b w o r d

a u t o m a t a

F o r m a l l y , a s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n A i s a p a i r ( ; ) , w h e r e

i s a n i t e s e t o f b a s i c s y m b o l s ( i n f a c t t h e s e s y m b o l s w i l l b e j u s t f o r m u l a s o f

t h e l o g i c ) . T h e p o w e r s e t 2

s e r v e s b o t h a s t h e a l p h a b e t a n d a s t h e s t a t e s e t S

T h e e m p t y s e t s e r v e s a s a s i n g l e a c c e p t i n g s t a t e . W e w i l l d e n o t e e l e m e n t s o f 2

b y

a ; b ; : : : w h e n v i e w e d a s l e t t e r s f r o m t h e a l p h a b e t , a n d b y s ; s

1

; : : : w h e n v i e w e d

a s e l e m e n t s o f t h e s t a t e s e t S . I n t u i t i v e l y , a l e t t e r i s a s e t o f f o r m u l a s t h a t a r e

\ a l l e g e d " t o b e t r u e a n d a s t a t e i s a s e t o f f o r m u l a s t h a t f o r w h i c h t h e a u t o m a t o n

t r i e s t o v e r i f y t h e \ a l l e g a t i o n " .

: S ! 2

S

i s a t r a n s i t i o n f u n c t i o n s u c h t h a t

1 ( s ; a ) 6= ; i s a ,

2 ; 2 ( ; ; a ) ,

3 . i f s s

0

, s

1

s

0

1

a n d s

1

2 ( s

0

; a ) , t h e n s

0

1

2 ( s ; a ) ,

4 . i f s

0

1

2 ( s

1

; a ) a n d s

0

2

2 ( s

2

; a ) , t h e n s

0

1

s

0

2

2 ( s

1

s

2

; a )

A w o r d w : ! ! i s a c c e p t e d b y A i f f o r e v e r y i 2 ! a n d e v e r y f 2 w

i

t h e r e e x i s t s

a n i t e i n t e r v a l i ; j ] a n d a m a p p i n g ' : i ; j ! S s u c h t h a t

' ( i ) = f f g ,

' ( j ) = ; , a n d

f o r a l l i k < j , ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

)

T h e a c c e p t a n c e c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t f o r e a c h p o s i t i o n i i n t h e w o r d a n d f o r e a c h

f o r m u l a f i n w

i

, t h e \ r i g h t " f o r m u l a s a p p e a r i n t h e l e t t e r s w

i + 1

; w

i + 2

; : : : . I n t u i t i v e l y ,

t h e t r a n s i t i o n o f t h e a u t o m a t o n a r e m e a n t t o c a p t u r e t h e f a c t t h a t i f a c e r t a i n f o r m u l a

a p p e a r s i n w

i

, t h e n c e r t a i n f o r m u l a s m u s t a p p e a r i n w

i + 1

. T h e f o u r c o n d i t i o n s i m p o s e d

o n t h e t r a n s i t i o n r e l a t i o n c a n b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s :

1 . T h e f o r m u l a s i n t h e s t a t e o f t h e a u t o m a t o n a r e f o r m u l a s t h a t t h e a u t o m a t o n i s t r y i n g

t o v e r i f y . A m i n i m a l r e q u i r e m e n t i s t h a t t h e s e f o r m u l a s a p p e a r i n t h e l e t t e r o f

t h e s c a n n e d p o s i t i o n o f t h e w o r d . A s w e w i l l s e e , t h i s c o n d i t i o n i s r e l a t e d t o t h e

l a b e l i n g c o n d i t i o n d e n e d f o r s u b w o r d a u t o m a t a .

2 - 3 . T h e s e a r e w h a t w e c a l l m o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n s . A t r a n s i t i o n o f t h e a u t o m a t o n

i s a m i n i m u m r e q u i r e m e n t o n t h e f o r m u l a s i n w

i + 1

g i v e n t h e f o r m u l a s t h a t t h e

a u t o m a t o n i s t r y i n g t o v e r i f y a t i . C l e a r l y i f t h e r e i s n o t h i n g t o v e r i f y a t i , t h e n

n o t h i n g i s r e q u i r e d a t i + 1 ( c o n d i t i o n ( 2 ) ) . A l s o , t h e t r a n s i t i o n i s s t i l l l e g a l i f w e

t r y t o v e r i f y f e w e r f o r m u l a s a t i o r m o r e f o r m u l a s a t i + 1

1 1


12/37

4 . T h i s i s a n a d d i t i v i t y c o n d i t i o n . I t s a y s t h a t t h e r e i s n o i n t e r a c t i o n b e t w e e n d i e r e n t

f o r m u l a s t h a t t h e a u t o m a t o n i s t r y i n g t o v e r i f y a t p o s i t i o n i . T h u s t h e u n i o n o f

t w o t r a n s i t i o n s i s a l e g a l t r a n s i t i o n .

T h e a c c e p t a n c e c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t f o r e a c h p o s i t i o n i n t h e w o r d , i f w e s t a r t t h e

a u t o m a t o n i n e a c h o f t h e s i n g l e t o n s e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e m b e r s o f t h e l e t t e r o f

t h a t p o s i t i o n , i t a c c e p t s a n i t e s u b w o r d . W e w i l l n o w p r o v e t h a t , g i v e n c o n d i t i o n s ( 2 ) ,

( 3 ) a n d ( 4 ) , i t i s e q u i v a l e n t t o r e q u i r e t h a t t h e a u t o m a t o n a c c e p t w h e n s t a r t e d i n t h e

s t a t e i d e n t i c a l t o t h e l e t t e r o f t h e n o d e .

T h e o r e m 2 . 9 : L e t A = ( ; ) b e a s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n , l e t w : ! ! 2

b e a w o r d ,

a n d l e t i 2 ! . T h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :

1 . T h e r e e x i s t s s o m e j i a n d a m a p p i n g ' : i ; j ! S s u c h t h a t ' ( i ) = w

i

, ' ( j ) = ; ,

a n d f o r a l l i k < j , ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

)

2 . F o r e v e r y f 2 w

i

, t h e r e e x i s t s s o m e j

f

i a n d a m a p p i n g '

f

: i ; j

f

! S s u c h t h a t

'

f

( i ) = f f g , '

f

( j ) = ; , a n d f o r a l l i k < j

f

, '

f

( k + 1 ) 2 ( '

f

( k ) ; w

k

)

P r o o f :

( 1 ) ) ( 2 ) . L e t f 2 w

i

. W e t a k e j

f

= j , a n d d e n e '

f

a s f o l l o w s : '

f

( i ) = f f g a n d

'

f

( k ) = ' ( k ) f o r i < k j

f

. W e o n l y h a v e t o s h o w t h a t '

f

( k + 1 ) 2 ( '

f

( k ) ; w

k

)

f o r i k < j

f

. B u t t h i s f o l l o w s , b y t h e m o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n ( 3 ) i n t h e d e n i t i o n o f

s e t - s u b w o r d a u t o m a t a , s i n c e '

f

( i ) ' ( i )

( 2 ) ) ( 1 ) . I f w

i

= ; t a k e j = i , o t h e r w i s e t a k e j = m a x

f 2 w

f j

f

g . F o r e v e r y f 2 w

i

, e x t e n d '

f

t o i ; j ] b y d e n i n g '

f

( k ) = ; f o r j

f

< k j I f w

i

= ; w e d e n e ' ( i ) = ; , o t h e r w i s e w e

d e n e ' ( k ) =

S

f 2 w

'

f

( y ) f o r e a c h k 2 i ; j ] . B e c a u s e j j

f

f o r e a c h f 2 w

i

, ' ( j ) = ;

F u r t h e r m o r e , b y c o n d i t i o n ( 4 ) i n t h e d e n i t i o n o f s e t - s u b w o r d a u t o m a t a , i f i k < j ,

t h e n ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

)

W e c a n n o w p r o v e t h a t s e t - s u b w o r d a u t o m a t a c a n b e c o n v e r t e d t o s u b w o r d a u t o m a t a

w i t h o u t a n y i n c r e a s e i n s i z e . T h u s , b y T h e o r e m 2 . 8 , a s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n c a n b e

c o n v e r t e d t o a n e q u i v a l e n t B u c h i a u t o m a t o n w i t h o n l y a q u a d r a t i c i n c r e a s e i n s i z e .

T h e o r e m 2 . 1 0 : T h e s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n A = ( ; ) i s e q u i v a l e n t t o t h e s u b w o r d

a u t o m a t o n A

0

= ( 2

; 2

; ; ; f ; g ) , w h e r e i s t h e i d e n t i t y f u n c t i o n .

P r o o f : B y L e m m a 2 . 9 , i t i s i m m e d i a t e t h a t i f a w o r d w i s a c c e p t e d b y t h e a u t o m a t o n

A

0

, t h e n i t i s a l s o a c c e p t e d b y A . A l s o b y L e m m a 2 . 9 , i f t h e w o r d w i s a c c e p t e d b y

t h e s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n A , t h e s u b w o r d c o n d i t i o n o f t h e s u b w o r d a u t o m a t o n A

0

i s

s a t i s e d . I t r e m a i n s t o s h o w t h a t s a t i s e s t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n . I n o t h e r w o r d s , s i n c e

i s t h e i d e n t i t y m a p p i n g , w e h a v e t o s h o w t h a t f o r e v e r y i 2 ! , w

i + 1

2 ( w

i

; w

i

) . S i n c e

A a c c e p t s w , t h e r e e x i s t s s o m e j i a n d a m a p p i n g ' : i ; j ! S s u c h t h a t ' ( i ) = w

i

,

1 2


13/37

' ( j ) = ; a n d f o r a l l i k < j , ' ( k + 1 ) 2 ( ' ( k ) ; w

k

) . I f j = i , t h e n w

i

= ; , a n d

b y t h e m o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n s w e h a v e w

i + 1

2 ( w

i

; w

i

) . O t h e r w i s e , i + 1 2 i ; j ] , s o

' ( i + 1 ) 2 ( w

i

; w

i

) . C o n s i d e r n o w i + 1 . I f ' ( i + 1 ) = ; , t h e n c l e a r l y ' ( i + 1 ) w

i + 1

O t h e r w i s e , ( ' ( i + 1 ) ; w

i + 1

) 6= ; , s o , b y c o n d i t i o n ( 1 ) i n t h e d e n i t i o n o f s e t - s u b w o r d

a u t o m a t a , ' ( i + 1 ) w

i + 1

. T h u s b y t h e m o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n w

i + 1

2 ( w

i

; w

i

)

3 T e m p o r a l L o g i c w i t h A u t o m a t a C o n n e c t i v e s

3 . 1 D e n i t i o n

W e c o n s i d e r p r o p o s i t i o n a l t e m p o r a l l o g i c w h e r e t h e t e m p o r a l o p e r a t o r s a r e d e n e d b y

n i t e a u t o m a t a , s i m i l a r l y t o t h e e x t e n d e d t e m p o r a l l o g i c ( E T L ) o f W o 8 3 ] . M o r e p r e -

c i s e l y , w e c o n s i d e r f o r m u l a s b u i l t f r o m a s e t P r o p o f a t o m i c p r o p o s i t i o n s . T h e s e t o f

f o r m u l a s i s d e n e d i n d u c t i v e l y a s f o l l o w s :

E v e r y p r o p o s i t i o n p 2 P r o p i s a f o r m u l a .

I f f

1

a n d f

2

a r e f o r m u l a s , t h e n : f

1

a n d f

1

f

2

a r e f o r m u l a s .

F o r e v e r y n o n d e t e r m i n i s t i c n i t e a u t o m a t o n A = ( ; S ; ; S

0

; F ) , w h e r e i s t h e

i n p u t a l p h a b e t f a

1

; : : : ; a

n

g , S i s t h e s e t o f s t a t e s , : S ! 2

S

i s t h e t r a n s i t i o n

r e l a t i o n , S

0

S i s t h e s e t o f i n i t i a l s t a t e s , a n d F S i s a s e t o f a c c e p t i n g s t a t e s ,

i f f

1

; : : : ; f

n

a r e f o r m u l a s ( n = ) t h e n A ( f

1

; : : : ; f

n

) i s a f o r m u l a . W e c a l l A a n

a u t o m a t o n c o n n e c t i v e

W e a s s u m e s o m e s t a n d a r d e n c o d i n g f o r f o r m u l a s . T h e l e n g t h o f a f o r m u l a i s t h e l e n g t h

o f i t s e n c o d i n g . T h i s o f c o u r s e i n c l u d e s a l s o t h e e n c o d i n g o f t h e a u t o m a t a c o n n e c t i v e s .

A s t r u c t u r e f o r o u r l o g i c i s a n i n n i t e s e q u e n c e o f t r u t h a s s i g n m e n t s , i . e . , a f u n c t i o n

: ! ! 2

P r o p

t h a t a s s i g n s t r u t h v a l u e s t o t h e a t o m i c p r o p o s i t i o n s i n e a c h s t a t e . N o t e

t h a t s u c h a f u n c t i o n i s a n i n n i t e w o r d o v e r t h e a l p h a b e t 2

P r o p

. W e w i l l t h u s u s e

t h e t e r m s w o r d a n d s e q u e n c e i n t e r c h a n g e a b l y . W e n o w d e n e s a t i s f a c t i o n o f f o r m u l a s

a n d r u n s o f f o r m u l a s A ( f

1

; : : : ; f

n

) o v e r s e q u e n c e s b y m u t u a l i n d u c t i o n . S a t i s f a c t i o n o f a

f o r m u l a f a t a p o s i t i o n i i n a s t r u c t u r e i s d e n o t e d ; i = f . W e s a y t h a t a s e q u e n c e

s a t i s e s f ( d e n o t e d = f ) i f ; 0 = f

; i = p i p 2 ( i ) , f o r a n a t o m i c p r o p o s i t i o n p

; i = f

1

f

2

i ; i = f

1

a n d ; i = f

2

; i = : f i n o t ; i = f

; i = A ( f

1

; : : : ; f

n

) , w h e r e A = ( ; S ; ; S

0

; F ) , i t h e r e i s a n a c c e p t i n g r u n =

s

0

; s

1

; : : : o f A ( f

1

; : : : ; f

n

) o v e r , s t a r t i n g a t i

1 3


14/37

A r u n o f a f o r m u l a A ( f

1

; : : : ; f

n

) , w h e r e A = ( ; S ; ; S

0

; F ) , o v e r a s t r u c t u r e ,

s t a r t i n g a t a p o i n t i , i s a n i t e o r i n n i t e s e q u e n c e = s

0

; s

1

; : : : o f s t a t e s f r o m S ,

w h e r e s

0

2 S

0

a n d f o r a l l k , 0 k


15/37

w o r d s . T h a t i s , g i v e n a f o r m u l a i n o n e o f t h e l o g i c s E T L

f

, E T L

l

, o r E T L

r

, o n e c a n b u i l d

a B u c h i a u t o m a t o n t h a t a c c e p t s e x a c t l y t h e w o r d s s a t i s f y i n g t h e f o r m u l a . N e v e r t h e l e s s ,

s i n c e n e g a t i o n i n f r o n t o f a u t o m a t a c o n n e c t i v e s c a u s e s a n e x p o n e n t i a l b l o w - u p , w e m i g h t

h a v e e x p e c t e d t h e c o m p l e x i t y o f t h e t r a n s l a t i o n t o b e n o n e l e m e n t a r y , a s i s t h e t r a n s l a t i o n

f r o m S 1 S t o B u c h i a u t o m a t a B u 6 2 ] . N o t s o ; f o r e a c h o f t h e l o g i c s w e h a v e d e n e d ,

t h e r e i s a n e x p o n e n t i a l t r a n s l a t i o n t o B u c h i a u t o m a t a . T h i s t r a n s l a t i o n a l s o y i e l d s a

P S P A C E d e c i s i o n p r o c e d u r e f o r t h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m . I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l g i v e

t h e t r a n s l a t i o n f o r E T L

f

a n d E T L

l

. T h e t r a n s l a t i o n f o r E T L

r

i s g i v e n i n S V W 8 7 ] . W e

s t a r t w i t h t h e t r a n s l a t i o n s f o r E T L

f

a n d t h e n o u t l i n e t h e d i e r e n c e s t h a t o c c u r w h e n

d e a l i n g w i t h E T L

l

W e r s t n e e d t o d e n e t h e n o t i o n o f t h e c l o s u r e o f a n E T L

f

f o r m u l a g , d e n o t e d c l ( g )

I t i s s i m i l a r i n n a t u r e t o t h e c l o s u r e d e n e d f o r P D L i n F L 7 9 ] . F r o m n o w o n w e i d e n t i f y

a f o r m u l a : : g

0

w i t h g

0

. G i v e n a n a u t o m a t o n A = ( ; S ; ; S

0

; F ) , f o r e a c h s 2 S w e

d e n e A

s

t o b e t h e a u t o m a t o n ( ; S ; ; f s g ; F ) . T h e c l o s u r e c l ( g ) o f a n E T L

f

f o r m u l a g

i s t h e n d e n e d a s f o l l o w s :

g 2 c l ( g )

g

1

g

2

2 c l ( g ) ! g

1

; g

2

2 c l ( g )

: g

1

2 c l ( g ) ! g

1

2 c l ( g )

g

1

2 c l ( g ) ! : g

1

2 c l ( g )

A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 c l ( g ) ! g

1

; : : : ; g

n

2 c l ( g )

A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 c l ( g ) ! A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 c l ( g ) , f o r a l l s 2 S

I n t u i t i v e l y , t h e c l o s u r e o f g c o n s i s t s o f a l l s u b f o r m u l a s o f g a n d t h e i r n e g a t i o n s , a s -

s u m i n g t h a t A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) i s c o n s i d e r e d t o b e a s u b f o r m u l a o f A ( g

1

; : : : ; g

n

) . N o t e t h a t

t h e c a r d i n a l i t y o f c l ( g ) c a n e a s i l y b e s e e n t o b e a t m o s t 2 l , w h e r e l i s t h e l e n g t h o f g

A s t r u c t u r e : ! ! 2

P r o p

f o r a n E T L

f

f o r m u l a g c a n b e e x t e n d e d t o a s e q u e n c e

: ! ! 2

c l ( g )

i n a n a t u r a l w a y . W i t h e a c h p o i n t i 2 ! , w e a s s o c i a t e t h e f o r m u l a s i n c l ( f )

t h a t a r e s a t i s e d a t t h a t p o i n t . S e q u e n c e s o n 2

c l ( g )

c o r r e s p o n d i n g t o m o d e l s o f a f o r m u l a

s a t i s f y s o m e s p e c i a l p r o p e r t i e s .

A H i n t i k k a s e q u e n c e f o r a n E T L

f

f o r m u l a g i s a s e q u e n c e : ! ! 2

c l ( g )

t h a t s a t i s e s

c o n d i t i o n s 1 { 5 b e l o w . T o s t a t e t h e s e c o n d i t i o n s , w e u s e a m a p p i n g t h a t , f o r a n a u t o m a t o n

c o n n e c t i v e A , a s s o c i a t e s s t a t e s o f A t o e l e m e n t s o f 2

c l ( g )

. P r e c i s e l y , g i v e n A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

c l ( g ) w i t h A = ( ; S ; ; S

0

; F ) , w e d e n e a m a p p i n g

A

: 2

c l ( g )

! 2

S

s u c h t h a t

A

( a ) = f s 2 ( s

0

; a

l

) : s

0

2 S

0

; a

l

2 ; a n d g

l

2 a g

I n t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s , w h e n e v e r A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 c l ( g ) i s m e n t i o n e d , w e a s s u m e t h a t

A = ( ; S ; ; S

0

; F ) . T h e c o n d i t i o n s a r e t h e n :

1 5


16/37

1 g 2

0

,

a n d f o r a l l i 2 !

2 h 2

i

i : h 62

i

,

3 h h

0

2

i

i h 2

i

a n d h

0

2

i

,

4 . i f A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

, t h e n e i t h e r S

0

\ F 6= ; o r t h e r e e x i s t s s o m e j > i a n d a

m a p p i n g ' : i ; j ! 2

c l ( f )

s u c h t h a t :

' ( k )

k

f o r i k j ,

A

s

0

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( i ) f o r s o m e s

0

2 S

0

,

' ( j ) = ; ,

f o r a l l k , i k < j , i f A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( k ) , t h e n e i t h e r

{ s 2 F , o r

{ t h e r e i s s o m e t 2

A

s

(

k

) s u c h t h a t A

t

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( k + 1 ) ,

5 . i f A ( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i

, t h e n :

S

0

\ F = ; a n d

A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i + 1

f o r a l l s 2

A

(

i

)

H i n t i k k a c o n d i t i o n s 2 a n d 3 a r e i n t e n d e d t o c a p t u r e t h e s e m a n t i c s o f p r o p o s i t i o n a l

c o n n e c t i v e s , w h i l e H i n t i k k a c o n d i t i o n s 4 a n d 5 a r e i n t e n d e d t o c a p t u r e t h e s e m a n t i c s o f

a u t o m a t a c o n n e c t i v e s . N o t e t h a t f o r e a c h p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e w e n e e d o n e c o n d i t i o n

u s i n g a d o u b l e i m p l i c a t i o n ( \ i " ) , w h i l e w e n e e d t w o c o n d i t i o n s f o r a u t o m a t a c o n n e c t i v e s

d u e t o t h e u s e o f a s i n g l e i m p l i c a t i o n ( \ i f t h e n " ) . T h e r e a s o n f o r d o i n g t h i s i s t h a t

H i n t i k k a c o n d i t i o n 5 i s w e a k e r t h a n t h e c o n v e r s e o f H i n t i k k a c o n d i t i o n 4 . T h i s m a k e s i t

e a s i e r t o c o n s t r u c t a n a u t o m a t o n t h a t c h e c k s t h e s e c o n d i t i o n s .

P r o p o s i t i o n 3 . 3 : A n E T L

f

f o r m u l a g h a s a m o d e l i i t h a s a H i n t i k k a s e q u e n c e .

P r o o f : O n l y i f : L e t g b e a n E T L

f

f o r m u l a a n d l e t b e a m o d e l o f g . W e d e n e a

H i n t i k k a s e q u e n c e f o r g a s f o l l o w s : f o r a l l i 0 ,

i

= f h 2 c l ( g ) : ; i = h g W e

n o w h a v e t o s h o w t h a t i s i n d e e d a H i n t i k k a s e q u e n c e . B y t h e d e n i t i o n o f a m o d e l ,

; 0 = g ; t h i s i m p l i e s H i n t i k k a c o n d i t i o n 1 . T h a t H i n t i k k a c o n d i t i o n s 2 , 3 , 4 , a n d 5 h o l d

f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e s e m a n t i c d e n i t i o n o f E T L

f

I f : L e t g b e a n E T L

f

f o r m u l a a n d l e t b e a H i n t i k k a s e q u e n c e f o r g . C o n s i d e r t h e

s t r u c t u r e s u c h t h a t ( i ) = f p 2 P r o p : p 2

i

g . W e n o w s h o w t h a t ; 0 = g . F o r

t h i s , w e s h o w b y i n d u c t i o n t h a t f o r a l l g

0

2 c l ( g ) a n d i 2 ! , w e h a v e t h a t g

0

2

i

i

; i = g

0

. F o r t h e b a s e c a s e ( g

0

2 P r o p ) , t h i s i s i m m e d i a t e b y c o n s t r u c t i o n . T h e i n d u c t i v e

s t e p f o r f o r m u l a s o f t h e f o r m : h a n d h h

0

f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e H i n t i k k a c o n d i t i o n s

1 6


17/37

2 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y . I t r e m a i n s t o p r o v e t h e i n d u c t i v e s t e p f o r f o r m u l a s o f t h e f o r m

A ( g

1

; : : : ; g

n

)

S u p p o s e r s t t h a t A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

. B y H i n t i k k a c o n d i t i o n 4 a n d t h e i n d u c t i v e h y -

p o t h e s i s , t h e r e i s a n i t e l y a c c e p t i n g r u n o f A o v e r s t a r t i n g a t i , s o ; i = A ( g

1

; : : : ; g

n

)

S u p p o s e n o w t h a t A ( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i

b u t ; i = A ( g

1

; : : : ; g

n

) . T h e n t h e r e i s a n i t e l y

a c c e p t i n g r u n o f A o v e r s t a r t i n g a t i . T h a t i s , t h e r e a r e n i t e s e q u e n c e s s

0

; : : : ; s

k

,

a n d j

0

; : : : ; j

k

, k 0 , s u c h t h a t s

0

2 S

0

, s

k

2 F , a n d i f 0 l < k , t h e n ; i + l = g

j

a n d s

l + 1

2 ( s

l

; a

j

) . B y H i n t i k k a c o n d i t i o n 5 a n d b y i n d u c t i o n o n k i t f o l l o w s t h a t

A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i + l

f o r 0 l k . I n p a r t i c u l a r , A

s

k

( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i + k

. B u t s

k

2 F ,

s o H i n t i k k a c o n d i t i o n 5 i s v i o l a t e d .

W e n o w b u i l d a B u c h i a u t o m a t o n o v e r t h e a l p h a b e t 2

c l ( g )

t h a t a c c e p t s p r e c i s e l y t h e

H i n t i k k a s e q u e n c e s f o r g . W e d o t h a t b y b u i l d i n g t w o a u t o m a t a , A

L

a n d A

E

, s u c h t h a t

L ( A

L

) \ L ( A

E

) i s t h e s e t o f H i n t i k k a s e q u e n c e s f o r g . T h e r s t a u t o m a t o n A

L

, c a l l e d

t h e l o c a l a u t o m a t o n , c h e c k s t h e s e q u e n c e l o c a l l y , i . e . , i t c h e c k s H i n t i k k a c o n d i t i o n s 1 - 3

a n d 5 . T h i s a u t o m a t o n i s a B u c h i a u t o m a t o n . T h e s e c o n d a u t o m a t o n A

E

, c a l l e d t h e

e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n , i s a s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n t h a t c h e c k s H i n t i k k a c o n d i t i o n 4 .

T h i s a u t o m a t o n e n s u r e s t h a t f o r a l l e v e n t u a l i t i e s ( i . e . , f o r m u l a s o f t h e f o r m A ( g

1

; : : : ; g

n

)

) , t h e r e i s s o m e n i t e w o r d f o r w h i c h c o n d i t i o n H i n t i k k a 4 i s s a t i s e d . F i n a l l y , w e

c o n v e r t t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n t o a B u c h i a u t o m a t o n a n d c o m b i n e i t w i t h t h e l o c a l

a u t o m a t o n .

T h e L o c a l A u t o m a t o n

T h e l o c a l a u t o m a t o n i s A

L

= ( 2

c l ( g )

; 2

c l ( g )

;

L

; N

g

; 2

c l ( g )

) . T h e s t a t e s e t i s t h e c o l l e c t i o n

o f a l l s e t s o f f o r m u l a s i n c l ( g )

F o r t h e t r a n s i t i o n r e l a t i o n

L

, w e h a v e t h a t s

0

2

L

( s ; a ) i a = s a n d :

h 2 s i : h 62 s ,

h h

0

2 s i h 2 s a n d h

0

2 s ,

i f : A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s , t h e S

0

\ F = ; , a n d f o r a l l s 2

A

( a ) w e h a v e t h a t

: A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s

0

T h e s e t o f s t a r t i n g s t a t e s N

g

c o n s i s t s o f a l l s e t s s s u c h t h a t g 2 s . C l e a r l y , A

L

a c c e p t s

p r e c i s e l y t h e s e q u e n c e s t h a t s a t i s f y H i n t i k k a c o n d i t i o n s 1 - 3 a n d 5 .

T h e E v e n t u a l i t y A u t o m a t o n

T h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n i s a s e t - s u b w o r d a u t o m a t o n A

E

= ( c l ( g ) ;

E

) . F o r t h e

t r a n s i t i o n r e l a t i o n

E

, w e h a v e t h a t s

0

2

E

( s ; a ) i :

s a , a n d

I f A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s , t h e n , e i t h e r S

0

\ F 6= ; o r t h e r e i s a s t a t e s 2

A

( a ) s u c h t h a t

A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s

0

1 7


18/37

I t i s i m m e d i a t e t o c h e c k t h a t c o n d i t i o n s ( 1 - 4 ) o f t h e d e n i t i o n o f s e t - s u b w o r d a u -

t o m a t a a r e s a t i s e d f o r A

E

. F u r t h e r m o r e , A

E

a c c e p t s p r e c i s e l y t h e s e q u e n c e s t h a t s a t i s f y

H i n t i k k a c o n d i t i o n 4 .

W e n o w h a v e :

P r o p o s i t i o n 3 . 4 : L e t g b e a n E T L

f

f o r m u l a a n d : ! ! 2

c l ( g )

b e a s e q u e n c e , t h e n

i s a H i n t i k k a s e q u e n c e f o r f i 2 L ( A

L

) \ L ( A

E

)

B y T h e o r e m s 2 . 8 a n d 2 . 1 0 , w e c a n b u i l d a B u c h i a u t o m a t o n t h a t a c c e p t s L ( A

E

) . T h i s

a u t o m a t o n w i l l h a v e 2

2 c l ( g )

s t a t e s . T h e n b y u s i n g T h e o r e m 2 . 6 , w e c a n b u i l d a B u c h i

a u t o m a t o n a c c e p t i n g L ( A

L

) \ L ( A

E

) . T h i s a u t o m a t o n w i l l h a v e 2

3 c l ( g ) + 1

s t a t e s .

7

T h e a u t o m a t o n w e h a v e c o n s t r u c t e d , a c c e p t s w o r d s o v e r 2

c l ( g )

. H o w e v e r , t h e m o d e l s

o f f a r e d e n e d b y w o r d s o v e r 2

P r o p

. S o , t h e l a s t s t e p o f o u r c o n s t r u c t i o n i s t o t a k e t h e

p r o j e c t i o n o f o u r a u t o m a t o n o n 2

P r o p

. T h i s i s d o n e b y m a p p i n g e a c h e l e m e n t b 2 2

c l ( g )

i n t o t h e e l e m e n t a 2 2

P r o p

s u c h t h a t b \ P r o p = a . E q u i v a l e n t l y , t h e a u t o m a t o n r u n s o v e r

a w o r d o v e r 2

P r o p

, g u e s s e s a c o r r e s p o n d i n g w o r d o v e r 2

c l ( g )

, a n d v e r i f y t h a t t h e l a t t e r i s

a H i n t i k k a s e q u e n c e f o r g . T o s u m m a r i z e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 3 . 5 : G i v e n a n E T L

f

f o r m u l a g b u i l t f r o m a s e t o f a t o m i c p r o p o s i t i o n s P r o p ,

o n e c a n c o n s t r u c t a B u c h i a u t o m a t o n A

g

( o v e r t h e a l p h a b e t 2

P r o p

) , w h o s e s i z e i s 2

O ( g )

,

t h a t a c c e p t s e x a c t l y t h e s e q u e n c e s s a t i s f y i n g g

W e c a n n o w g i v e a n a l g o r i t h m a n d c o m p l e x i t y b o u n d s f o r t h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m

f o r E T L

f

. T o t e s t s a t i s a b i l i t y o f a n E T L

f

f o r m u l a g , i t i s s u c i e n t t o t e s t i f L ( A

g

) 6= ;

B y T h e o r e m 2 . 4 , t h i s c a n b e d o n e i n n o n d e t e r m i n i s t i c l o g a r i t h m i c s p a c e i n t h e s i z e o f

A

g

. M o r e o v e r , i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t t h e c o n s t r u c t i o n o f A

g

s a t i s e s t h e c o n d i t i o n s o f

L e m m a 2 . 5 . C o m b i n i n g t h i s w i t h t h e f a c t t h a t s a t i s a b i l i t y f o r p r o p o s i t i o n a l t e m p o r a l

l o g i c ( a r e s t r i c t i o n o f E T L

f

) i s P S P A C E - h a r d S C 8 5 ] , w e h a v e :

T h e o r e m 3 . 6 : T h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m f o r E T L

f

i s l o g s p a c e c o m p l e t e f o r P S P A C E .

L e t u s n o w c o n s i d e r E T L

l

. T h e c o n s t r u c t i o n p r o c e e d s s i m i l a r l y t o t h e o n e f o r E T L

f

T h e r s t d i e r e n c e i s t h a t H i n t i k k a c o n d i t i o n s 4 a n d 5 a r e r e p l a c e d b y t h e f o l l o w i n g :

4

0

) i f A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

, t h e n t h e r e i s s o m e s 2

A

(

i

) s u c h t h a t A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i + 1

5

0

) i f : A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

, t h e n t h e r e e x i s t s s o m e j i a n d a m a p p i n g ' : i ; j ! 2

c l ( g )

s u c h t h a t :

' ( k )

k

f o r i k j ,

7

T h i s c o n s t r u c t i o n c o n t a i n s s o m e r e d u n d a n c y , s i n c e t h e w o r k d o n e b y t h e c o m p o n e n t t h a t c h e c k s

f o r t h e l a b e l i n g c o n d i t i o n ( f r o m t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 7 ) i s s u b s u m e d b y t h e w o r k d o n e b y t h e l o c a l

a u t o m a t o n . B y e l i m i n a t i n g t h i s r e d u n d a n c y w e c a n b u i l d a n e q u i v a l e n t a u t o m a t o n w i t h 2

2 c ( g )

s t a t e s .

1 8


19/37

: A

s

0

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( i ) f o r a l l s

0

2 S

0

,

' ( j ) = ; ,

f o r a l l k , i k < j , i f : A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( k ) , t h e n : A

t

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 ' ( k + 1 )

f o r a l l t 2

A

s

(

k

)

T h e a n a l o g u e o f P r o p o s i t i o n 3 . 3 h o l d s :

T h e o r e m 3 . 7 : A n E T L

l

f o r m u l a g h a s a m o d e l i i t h a s a H i n t i k k a s e q u e n c e .

P r o o f : A s i n P r o p o s i t i o n 3 . 3 , o n e d i r e c t i o n i s i m m e d i a t e .

L e t g b e a n E T L

l

f o r m u l a a n d l e t b e a H i n t i k k a s e q u e n c e f o r g . C o n s i d e r t h e

s t r u c t u r e s u c h t h a t ( i ) = f p 2 P r o p : p 2

i

g . W e s h o w b y i n d u c t i o n t h a t f o r a l l

g

0

2 c l ( g ) a n d i 2 ! , w e h a v e t h a t g

0

2

i

i ; i = g

0

. W e s h o w t h e i n d u c t i v e s t e p t h a t

c o r r e s p o n d s t o a u t o m a t a c o n n e c t i v e s .

S u p p o s e r s t t h a t A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

. B y H i n t i k k a c o n d i t i o n 4

0

, t h e r e a r e i n n i t e

s e q u e n c e s s

0

; s

1

; : : : a n d j

0

; j

1

; : : : s u c h t h a t s

0

2 S

0

a n d i f l 0 t h e n s

l + 1

2 ( s

l

; a

j

) a n d

g

j

2

i + l

. B y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ; i + l = g

j

f o r a l l l 0 , s o ; i = A ( g

1

; : : : ; g

n

)

S u p p o s e n o w t h a t A ( g

1

; : : : ; g

n

) 62

i

. T h e n , b y H i n t i k k a c o n d i t i o n 2 , w e h a v e t h a t

: A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2

i

I f ; i = A ( g

1

; : : : ; g

n

) , t h e r e i s a n i n n i t e r u n = s

0

; s

1

; : : : o f

A ( g

1

; : : : ; g

n

) o v e r s t a r t i n g a t i . M o r e e x p l i c i t l y , w e h a v e t h a t s

0

2 S

0

a n d f o r a l l k 0

t h e r e i s s o m e a

j

2 s u c h t h a t ; i + k = g

j

a n d s

k + 1

2 ( a

j

; s

k

) . B y t h e i n d u c t i o n

h y p o t h e s i s , i f ; i + k = g

j

, t h e n g

j

2

i + k

. B u t t h e n , H i n t i k k a c o n d i t i o n 5

0

c a n n o t h o l d .

W e a g a i n c o n s t r u c t a n a u t o m a t o n t o r e c o g n i z e H i n t i k k a s e q u e n c e s i n t w o p a r t s : t h e

l o c a l a u t o m a t o n a n d t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n . T h i s t i m e t h e l o c a l a u t o m a t o n d e a l s

w i t h H i n t i k k a c o n d i t i o n s 1 { 4 a n d t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n d e a l s w i t h c o n d i t i o n 5 .

T h e l o c a l a n d e v e n t u a l i t y a u t o m a t a o n l y d i e r f r o m t h o s e f o r E T L

f

b y t h e i r t r a n s i t i o n

f u n c t i o n s . T h e y a r e t h e f o l l o w i n g :

T h e L o c a l A u t o m a t o n

W e h a v e t h a t s

0

2

L

( s ; a ) i a = s a n d :

h 2 s i : h 62 s ,

h h

0

2 s i h 2 s a n d h

0

2 s ,

i f A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s , t h e f o r s o m e s 2

A

( s ) w e h a v e t h a t A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s

0

T h e E v e n t u a l i t y A u t o m a t o n

W e h a v e t h a t s

0

2

E

( s ; a ) i :

s a , a n d

1 9


20/37

I f : A ( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s , t h e n f o r a l l s 2

A

( a ) w e h a v e t h a t : A

s

( g

1

; : : : ; g

n

) 2 s

0

W e n o w h a v e t h e a n a l o g u e s o f P r o p o s i t i o n 3 . 4 a n d T h e o r e m s 3 . 5 a n d 3 . 6 :

P r o p o s i t i o n 3 . 8 : L e t g b e a n E T L

l

f o r m u l a a n d : ! ! 2

c l ( g )

b e a s e q u e n c e , t h e n

i s a H i n t i k k a s e q u e n c e f o r g i 2 L ( A

L

) \ L ( A

E

)


l

f o r m u l a g b u i l t f r o m a s e t o f a t o m i c p r o p o s i t i o n s P r o p ,

o n e c a n c o n s t r u c t a B u c h i a u t o m a t o n A

g

( o v e r t h e a l p h a b e t 2

P r o p

) , w h o s e s i z e i s 2

O ( g )

,

t h a t a c c e p t s e x a c t l y t h e s e q u e n c e s s a t i s f y i n g f

T h e o r e m 3 . 1 0 : T h e s a t i s a b i l i t y p r o b l e m f o r E T L

l

i s l o g s p a c e c o m p l e t e f o r P S P A C E .

T h e c o n s t r u c t i o n d e s c r i b e d a b o v e s i m u l t a n e o u s l y t a k e s c a r e o f r u n n i n g a u t o m a t a i n

p a r a l l e l , w h e n w e h a v e a n a u t o m a t a c o n n e c t i v e n e s t e d w i t h i n a n o t h e r a u t o m a t a c o n -

n e c t i v e , a n d c o m p l e m e n t i n g a u t o m a t a , w h e n w e h a v e a n e g a t e d a u t o m a t a c o n n e c t i v e .

T h u s , t h e c o n s t r u c t i o n c a n b e v i e w e d a s c o m b i n i n g t h e c l a s s i c a l s u b s e t c o n s t r u c t i o n o f

R S 5 9 ] a n d C h o u e k a ' s \ a g c o n s t r u c t i o n " i n C h 7 4 ] . T h i s s h o u l d b e c o n t r a s t e d w i t h t h e

t r e a t m e n t o f E T L

r

i n S V W 8 7 ] , w h e r e a s p e c i a l c o n s t r u c t i o n i s n e e d e d t o c o m p l e m e n t

B u c h i a u t o m a t a . A s a r e s u l t , t h e s i z e o f t h e a u t o m a t o n A

g

c o n s t r u c t e d i n S V W 8 7 ] f o r

a n E T L

r

f o r m u l a g i s 2

O ( g

2

)

. U s i n g r e s u l t s b y S a f r a S a 8 8 ] , t h i s c a n b e i m p r o v e d t o

2

O ( g l o g g )

, w h i c h i s p r o v a b l y o p t i m a l . T h u s , w h i l e t h e c o n s t r u c t i o n g i v e n h e r e f o r E T L

f

a n d E T L

l

a s w e l l a s t h e c o n s t r u c t i o n g i v e n i n S V W 8 7 ] f o r E T L

r

a r e e x p o n e n t i a l , t h e

e x p o n e n t f o r E T L

f

a n d E T L

l

i s l i n e a r , w h i l e i t i s n o n l i n e a r f o r E T L

r

I t i s i n t e r e s t i n g t h e c o m p a r e o u r t e c h n i q u e h e r e t o P r a t t ' s m o d e l c o n s t r u c t i o n t e c h -

n i q u e P r 7 9 ] . T h e r e o n e s t a r t s b y b u i l d i n g a m a x i m a l m o d e l , a n d t h e n o n e e l i m i n a t e s

s t a t e s w h o s e e v e n t u a l i t i e s a r e n o t s a t i s e d . O u r l o c a l a u t o m a t a c o r r e s p o n d t o t h o s e

m a x i m a l m o d e l s . H o w e v e r , i n s t e a d o f e l i m i n a t i n g s t a t e s , w e c o m b i n e t h e l o c a l a u t o m a t a

w i t h t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t a c h e c k i n g t h e s a t i s f a c t i o n o f e v e n t u a l i t i e s . T h i s c o n s t r u c -

t i o n a l w a y s y i e l d s a u t o m a t a w h o s e s i z e i s e x p o n e n t i a l i n t h e s i z e o f t h e f o r m u l a . W e

c o u l d a l s o c o n s t r u c t o u r a u t o m a t a u s i n g t h e t a b l e a u t e c h n i q u e o f P r 8 0 ] . T h i s t e c h n i q u e

c a n s o m e t i m e s b e m o r e e c i e n t t h a n t h e m a x i m a l m o d e l t e c h n i q u e .

A m a j o r f e a t u r e o f o u r f r a m e w o r k h e r e i s t h e u s e o f s e t - s u b w o r d a u t o m a t a t o c h e c k

f o r e v e n t u a l i t i e s . A d i r e c t c o n s t r u c t i o n o f a B u c h i a u t o m a t o n t o c h e c k f o r e v e n t u a l i t i e s

w o u l d h a v e t o e s s e n t i a l l y u s e t h e c o n s t r u c t i o n s o f T h e o r e m s 2 . 8 a n d 2 . 9 . T o a p p r e c i a t e

t h e s i m p l i c i t y o f o u r c o n s t r u c t i o n u s i n g s e t - s u b w o r d a u t o m a t a , t h e r e a d e r i s e n c o u r a g e d

t o t r y t o d i r e c t l y c o n s t r u c t a B u c h i a u t o m a t o n t h a t c h e c k s H i n t i k k a c o n d i t i o n 4 f o r

E T L

f

o r c h e c k s H i n t i k k a c o n d i t i o n 5 ' f o r E T L

l

. T h e r e a r e , h o w e v e r , o t h e r p o s s i b l e

a p p r o a c h e s t o t h e t r a n s l a t i o n o f f o r m u l a s t o a u t o m a t a . S t r e e t t S t 9 0 ] s u g g e s t e d u s i n g

s o - c a l l e d f o r m u l a - c h e c k i n g a u t o m a t a . H i s a p p r o a c h e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r d i s t i n c t i o n

b e t w e e n t h e l o c a l a u t o m a t o n a n d t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n . A n o t h e r a p p r o a c h , u s i n g

w e a k a l t e r n a t i n g a u t o m a t a i s d e s c r i b e d i n M S S 8 8 ] . I n t h a t a p p r o a c h n o t o n l y t h e r e

2 0


21/37

i s n o d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e l o c a l a u t o m a t o n a n d t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n , b u t t h e

a u t o m a t o n i s c o n s t r u c t e d b y a s i m p l e i n d u c t i o n o n t h e s t r u c t u r e o f t h e f o r m u l a . W e

b e l i e v e , h o w e v e r , t h a t t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e l o c a l a u t o m a t o n , w h i c h c h e c k s l o c a l

p r o p e r t i e s , a n d t h e e v e n t u a l i t y a u t o m a t o n t h a t c h e c k s g l o b a l p r o p e r t i e s i s f u n d a m e n t a l ,

e v e n i f i t i s a v o i d a b l e f o r E T L

f

a n d E T L

l

. F o r e x a m p l e , f o r E T L

r

o r t h e t e m p o r a l

- c a l c u l u s , t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e l o c a l a u t o m a t o n i s s t r a i g h t f o r w a r d , a n d t h e m a i n

d i c u l t y l i e s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e \ g l o b a l " a u t o m a t o n S V W 8 7 , V a 8 8 ] . U n l i k e o u r

a p p r o a c h , t h e \ u n i t a r y " a p p r o a c h e s o f M S S 8 8 , S t 9 0 ] d o n o t g e n e r a l i z e t o t h e s e l o g i c s .

4 T r a n s l a t i o n s A m o n g t h e L o g i c s

T h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h o w t h a t t h e s e t o f s e q u e n c e s d e s c r i b a b l e b y E T L

f

,

E T L

l

o r E T L

r

f o r m u l a s a r e e x p r e s s i b l e b y B u c h i a u t o m a t a . I n t h e c a s e o f E T L

r

, t h e

c o n v e r s e i s a l s o c l e a r l y t r u e . T h u s , E T L

r

h a s e x a c t l y t h e s a m e e x p r e s s i v e p o w e r a s B u c h i

a u t o m a t a . S i n c e , b y L e m m a 2 . 1 , t h e n o t i o n s o f n i t e a n d l o o p i n g a c c e p t a n c e a r e w e a k e r

t h a n t h e n o t i o n s o f r e p e a t i n g a c c e p t a n c e , i t w o u l d b e c o n c e i v a b l e f o r E T L

f

a n d E T L

l

t o

b e l e s s e x p r e s s i v e t h a n E T L

r

a n d h e n c e B u c h i a u t o m a t a . W e s h o w t h a t t h i s i s n o t t h e

c a s e a s t h e r e i s a t r a n s l a t i o n o f E T L

r

f o r m u l a s t o E T L

f

a n d E T L

l

. A s w e w i l l s e e , t h e s e

t r a n s l a t i o n s i n v o l v e s a n e x p o n e n t i a l i n c r e a s e i n t h e l e n g t h o f t h e f o r m u l a . B e f o r e g i v i n g

t h e s e c o n s t r u c t i o n s , w h i c h a r e b a s e d o n n o n t r i v i a l a u t o m a t a - t h e o r e t i c r e s u l t s f r o m S a 8 8 ] ,

w e s h o w t h a t t h e r e a r e s t r a i g h t f o r w a r d t r a n s l a t i o n s b e t w e e n E T L

f

a n d E T L

l

( w h i c h a l s o

i n v o l v e s a s i n g l e e x p o n e n t i a l i n c r e a s e i n t h e l e n g t h o f t h e f o r m u l a s ) .

W e s t a r t b y g o i n g f r o m E T L

f

t o E T L

l


f

f o r m u l a g o f l e n g t h m , o n e c a n c o n s t r u c t a n E T L

l

f o r m u l a g

0

o f l e n g t h 2

O ( m

) , t h a t i s s a t i s e d b y e x a c t l y t h e s a m e s e q u e n c e s a s g

P r o o f : T o p r o v e o u r t h e o r e m , w e n e e d t o s h o w h o w a n E T L

f

f o r m u l a A ( f

1

; : : : ; f

n

) ,

w h e r e A i s d e n e d b y a n o n d e t e r m i n i s t i c n i t e a c c e p t a n c e a u t o m a t o n c a n b e t r a n s l a t e d

i n t o E T L

l

. T h e i d e a o f t h i s t r a n s l a t i o n i s t h a t t h e s e q u e n c e s a c c e p t e d b y a n i t e a c c e p -

t a n c e a u t o m a t o n a r e t h o s e r e j e c t e d b y a c l o s e l y r e l a t e d l o o p i n g a c c e p t a n c e a u t o m a t o n , i f

t h e a u t o m a t o n i s d e t e r m i n i s t i c . T o d e t e r m i n i z e n i t e a c c e p t a n c e a u t o m a t a , w e c a n u s e

t h e c l a s s i c a l s u b s e t c o n s t r u c t i o n o f R S 5 9 ] .

T h e s u b s e t c o n s t r u c t i o n a l o n e , h o w e v e r , d o e s n o t a s s u r e s u c i e n t d e t e r m i n i s m . W h a t

w e w a n t i s t h a t , g i v e n a s t r u c t u r e , t h e r e i s o n l y o n e r u n o f t h e d e t e r m i n i s t i c a u t o m a -

t o n o v e r t h a t s t r u c t u r e . N o w , e v e n t h o u g h t h e a u t o m a t o n A i s d e t e r m i n i s t i c , a f o r -

m u l a A ( f

1

; : : : ; f

n

) c o u l d b e n o n d e t e r m i n i s t i c b e c a u s e s t a t e s i n a s t r u c t u r e m i g h t s a t -

i s f y m o r e t h a n o n e f o r m u l a f

i

. T o o v e r c o m e t h i s t y p e o f n o n d e t e r m i n i s m , w e r e p l a c e

A = ( ; S ; ; S

0

; F ) b y a n a u t o m a t o n o v e r 2

. T h e a u t o m a t o n i s A

0

= ( 2

; S ;

0

; S

0

; F ) ,

w h e r e t h e t r a n s i t i o n r e l a t i o n

0

i s d e n e d a s f o l l o w s : s

i

2

0

( s

j

; X ) i s

i

2 ( s

j

; a ) f o r

s o m e a 2 X . N o w , A ( f

1

; : : : ; f

n

) i s e q u i v a l e n t t o A

0

( g

1

; : : : ; g

2

n

) , w h e r e t h e f o r m u l a g

i

c o r r e s p o n d i n g t o a s e t X

i

i s (

V

a

j

2 X

f

j

) (

V

a

j

62 X

: f

j

) . C l e a r l y , i n a g i v e n s t a t e

e x a c t l y o n e g

i

i s s a t i s e d .

2 1


22/37

O u r n e x t s t e p , i s t o a p p l y t h e s u b s e t c o n s t r u c t i o n t o t h e a u t o m a t o n A

0

. T h i s y i e l d s

a n a u t o m a t o n A

0 0

= ( 2

; 2

S

;

0 0

; f S

0

g ; F

0 0

) w h e r e

s

0

2

0 0

( a ; s ) i s

0

= f s

0

2 S 9 s 2 s s u c h t h a t s

0

2 ( a ; s ) g

F

0 0

= f s 2 2

S

s \ F 6= ; g

N o w , f o r a g i v e n s t r u c t u r e , t h e r e i s a u n i q u e c o m p u t a t i o n o f A

0 0

( g

1

; : : : ; g

2

n

) o n t h a t

s t r u c t u r e a n d t h a t c o m p u t a t i o n i s a c c e p t i n g i i t r e a c h e s a s t a t e i n F

0 0

. I n o t h e r w o r d s ,

t h e c o m p u t a t i o n i s n o n a c c e p t i n g i f i t i s a l o o p i n g c o m p u t a t i o n o f t h e a u t o m a t o n A

0 0 0

=

( 2

; 2

S

? F

0 0

;

0 0

; f S

0

g ; ? )

8

. H e n c e o u r t r a n s l a t i o n o f A ( f

1

; : : : ; f

n

) i n t o E T L

l

i s

: A

0 0 0

( g

1

; : : : ; g

2

n

) ( 1 )

T h e s i z e o f ( 1 ) i s c l e a r l y e x p o n e n t i a l i n t h e s i z e o f A ( f

1

; : : : ; f

n

) a n d h e n c e t h e t r a n s l a t i o n

o f a f o r m u l a o f l e n g t h m w i l l b e o f l e n g t h 2

O ( m )

W e n o w t u r n t o t h e t r a n s l a t i o n f r o m E T L

l

t o E T L

f


l

f o r m u l a g o f l e n g t h m , o n e c a n c o n s t r u c t a n E T L

f

f o r m u l a g

0

o f l e n g t h 2

O ( m )

, t h a t i s s a t i s e d b y e x a c t l y t h e s a m e s e q u e n c e s a s g

P r o o f : T h e p r o o f i s i d e n t i c a l t o t h a t o f T h e o r e m 4 . 1 e x c e p t t h a t t h i s t i m e t h e a u t o m

reasoning about infinite computations 102167

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