razonamiento lógico
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Estudio de las leyes de inferenciaTRANSCRIPT
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRAMARACAY-EDO ARAGUA
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Prof. Yerikson Suárez H.
Abril, 2013 P.A 2013-126/04/2023
226/04/2023
8. Razonamientos lógicos. Simbolización. Validez. Reglas de
Inferencias.
Un razonamiento deductivo o inferencia consiste en aseverar o concluir algo a partir de algunas proposiciones iniciales
El razonamiento deductivo se basa en el hecho de poder llegar a una conclusión, la cual se deriva como consecuencia de ciertas proposiciones llamadas premisas
En matemática interesan los razonamientos donde a partir de premisas verdaderas se obtienen conclusiones verdaderas
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2) EL ACERTIJO DE EINSTEIN. Tenemos 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas vive una persona |de una nacionalidad diferente.Cada uno de los dueños bebe una bebida diferente, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente. Tenemos las siguientes claves:•El británico vive en la casa roja.•El sueco tiene un perro.•El danés toma té.•La casa verde esta a la izquierda de la blanca.•El dueño de la casa verde toma café.•La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro.•El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.•El que vive en la casa del centro toma leche.•El noruego vive en la primera casa.•La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato.•La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.•El que fuma Bluemasters bebe cerveza.•El alemán fuma prince.•El noruego vive junto a la casa azul.•El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua. Y por último la pregunta:¿Quién es el dueño del pececito?
Como un ejemplo interesante para comprender el razonamiento deductivo, te propongo resolver los siguientes acertijos.
1) ACERTIJO DE LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?
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RESPUESTA ACERTIJO 1. LAS DEPORTISTAS
Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.
CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5Noruego Amarillo
Agua Dunhill Gatos
Danés Azul Té
Blend Caballos
Inglés Rojo Leche
PalMall Pájaros
Alemán Verde Café
Prince PECES
Sueco Blanco
Cerveza BlueMaster
Perro
RESPUESTA ACERTIJO 2. ACERTIJO DE EINSTEIN
•En el proceso deductivo progresamos a partir de información conocida, hasta alcanzar cierta información desconocida que nos interesa obtener
•La información conocida actúa como las premisas de un argumento, y la desconocida como la conclusión
•Lo que caracteriza que una deducción esté bien hecha es que cada paso que demos sea seguro: cada nueva información debe seguirse de las anteriores.
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REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE INFERENCIAS
P1
P2...
Pn
C
Forma vertical
Conclusión
CUANDO LA CONJUNCIÓN DE LAS PREMISAS IMPLICA A LA
CONCLUSIÓN
(P1 ^ P2 ^ … ^ Pn) c
Premisas
¿Cuándo es correcto un razonamiento?
Entonces una vía para establecer la validez de un razonamiento o inferencia, es demostrando que la proposición
(p1 p2 ……. pn ) q es una tautología
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Veamos el siguiente ejemplo.Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto.
Si apruebo el curso propedéutico, entonces ingreso a la universidad.Aprobé el curso propedéutico___________________________________ Ingreso a la Universidad
Sean p: apruebo el curso propedéutico q: Ingreso a la universidad
p qp______ q
SIMBOLIZACIÓNPara saber si tal inferencia (razonamiento) es correcto veamos si la conjunción de las premisas implica lógicamente a la conclusión
Esto es, verificar si [(p q) p ] q es una TAUTOLOGÍA, lo cual se puede corroborar a través de las tablas de verdad
PremisasConclusión
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p q p q ((p q ) p)
[(p q ) p] q
V V V V VV F F F VF V V F VF F V F V
¿Cuándo un razonamiento es
incorrecto o inválido?
Cuando a partir de premisas verdaderas se obtienen
conclusiones que no lo son.
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Po rejemplo.Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto.
Si José Gregorio Hernández nación en Caracas, entonces es Venezolano.José Gregorio Hernández es Venezolano____________________________ José Gregorio Hernández nació en Caracas
Sean r: JGH nació en Caracas t: JGH es venezolano
r tt______ r
SIMBOLIZACIÓNAl construir la tabla de verdad correspondiente al condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y la conclusión es el consecuente, se comprueba que no se trata de una tautología. Y en por lo tanto el razonamiento es incorrecto.
HACER LA TABLA DE VERDAD
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Cuando una o más premisas son falsas también se pueden hacer inferencias o razonamientos correctos a pesar de obtener una conclusión que es falsa
Por ejemplo
Si un animal vuela, entonces tiene alasSi un animal tiene alas, entonces es un pájaro
Si el animal vuela, entonces es un pájaro.
Este razonamiento es correcto.
(VERIFÍQUELO)
Sin embargo, la conclusión es falsa, ya que una abeja vuela pero no es un pájaro.Esto sucede debido a que la segunda premisa es FALSA.
Otro ejemplo
Todos los humanos son inmortales_______Sócrates es un humano________
Sócrates es inmortal
A pesar de que el razonamiento es correcto, la conclusión es falsa. Esto es debido a que es falsa la primera proposición
(premisa)
EN MATEMÁTICA SOLAMENTE NOS INTERESAN RAZONAMIENTOS CORRECTOS DONDE SE OBTIENEN CONCLUSIONES VERDADERAS A PARTIR
DE PREMISAS VERDADERAS
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Reglas de Inferencias
Las reglas o leyes de inferencia son razonamientos simples y válidos que son empleados para realizar razonamientos más complejos.
Reglas de Inferencia
Modus Ponendo Ponens
Modus Tollendo Tollens
Modus Tollendo Ponens
SimplificaciónAdiciónConjunción
Silogismo Hipotético
Silogismo Disyuntivo
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Veamos a continuación cada una de esas reglas de inferencia
Modus Ponendo Ponens (MPP)
Método de Afirmar afirmando
p qp______
q
Si llueve, entonces me voy al cineLlueve________Voy al cine
Modus Tollendo Tollens(MTT)
Método de Negar negando
p qq____
_ p
Si pagan hoy, entonces hago el mercadoNo hice mercado ________No pagaron
Modus Tollendo Ponens(MTP)
Método de Afirmar negando
p q
p____ q
Presento el examen o hago la exposiciónNo presento el examen ________Hago la exposición
Simplificación(S)
p q p
Estudio Álgebra y Estudio GeometríaEstudio Álgebra
Si la premisa es una conjunción, por ser esta
verdadera, son verdaderas cada una de las proposiciones que la
componen
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Adición(A)
A una premisa cualquiera, por ser verdadera, se le puede adicionar otra premisa a
través de la disyunción, la cual será también verdadera
p___
p q
El hombre llegó a la LunaEl hombre llegó a la Luna o llegó al Sol
Conjunción(C)
Dadas dos premisas, por ser estas verdaderas, también lo
será su conjunción
p q___
p q
El hombre llegó a MarteEl hombre llegó a la LunaEl hombre llegó a la Marte y llegó a la Luna
Silogismo Hipotético
(SH)
Entrelaza dos condicionales a través de una proposición en
común
p q q r
p r
Si voy al juego, voy a comer pizzaSi como pizza, tengo pesadillasSi voy al juego, tendré pesadillas
Silogismo Disyuntivo
(SD)
Entrelaza dos condicionales y la disyunción de los
antecedentes
p r q s __p q__
r s
Si voy al juego, voy a comer pizzaSi hago ejercicio, adelgazaréVoy al juego o hago ejercicioComeré pizza o adelgazaré
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TABLA RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA
Modus Ponendo Ponens (MPP)
p qp______
q
Modus Tollendo Tollens(MPP)
p qq_____
p
Modus Tollendo Ponens(MTP)
p q p____
q
Simplificación(S)
p q p
Adición(A)
p___
p q
Conjunción(C)
p q___
p q
Silogismo Hipotético
(SH)
p q q r
p r
Silogismo Disyuntivo
(SD)
p r q s __p q__
r s
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Se recomienda verificar que los razonamientos o inferencias anteriores son válidos. Para esto, basta con hacer uso de las tablas de verdad y la definición de implicación lógica, para comprobar que el condicional entre conjunción de las premisas y la conclusión es una tautología.
En la demostración de las validez de razonamientos más complejos, el uso de las tablas de verdad es sumamente engorroso y tedioso, por lo que haremos uso de las reglas de inferencia, que nos permitirán:
a) Considerar únicamente los casos en que todas las premisas sean verdaderas (sin construir la tabla de verdad)
b) Justificar cada paso que se da en el razonamiento, para demostrar que la conclusión verdadera se deriva de premisas verdaderas y de esta manera establecer la validez del argumento
NO OLVIDAR que las leyes de equivalencia lógicas pueden ser utilizadas en el proceso de inferencia, puesto que nos permitirán hacer sustituciones
equivalentes de manera conveniente.
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A continuación, se presentarán una serie de razonamientos, cuya validez se deberá comprobar a través de la aplicación de las reglas de inferencia.
Ejemplo 1. Si me gradúo y encuentro un trabajo, entonces ganaré dinero. Si gano dinero, podré ayudar a mi familia. No he podido ayudar a mi familia. Por lo tanto, no me he graduado o no he encontrado trabajo.
Simbolización del razonamiento
(g t) d
d a
a________
g t
Demostración de la validez del razonamiento
1) (g t) d, premisa
2) d a, premisa
3) a, premisa
4) d, MTT 2) y 3)
5) (g t), MTT 1) y 4)
6) g t, De Morgan 5)
Como se observa, llegamos a la conclusión; con lo cual el razonamiento es válido.
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p r, r s, t ~ s, ~ t u, ~ u ~p
Ejemplo 2. Demostrar que los siguientes razonamientos son válido
1) p r Premisa
2) r s Premisa
3) t ~ s Premisa
4) t u Premisa
5) u Premisa
6) p s SH 1) y 2)
7) ~ s t Conmutativa 3)
8) s t Ley Condicional 7)
9) p t SH 6) y 8)
10) t u Ley Condicional 4)
11) p u SH 9) y 10)
12) ~ p MTT 5) y 12)
p (q r), p s, tq, ~ s ~ r ~ t
1) p (q r) Premisa
2) p s Premisa
3) tq Premisa
4) ~ s Premisa
5) p MTP 2) y 4)
6) q r MPP 1) y 5)
7) tr SH 3) y 6)
8) ~ r ~ t Ley Contrarecíproco