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Raschmodelle und generalisierte Regression
Sven Hilbert
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Generalisiertes lineares Modell (1)
Bestandteile generalisierter linearer Modelle
• Zufällige Komponente Y mit zugehöriger
Wahrscheinlichkeitsverteilung – Mit unabhängigen Beobachtungen (y1, …, yN)
• Sytematische Komponente (erklärende Größe) θ – Benutzt in linearer Vorhersagefunktion
• Linkfunktion spezifiziert die Funktion von E(Y), die das Modell mit
der systematischen Komponente verbindet
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Generalisiertes lineares Modell (2)
Allgemeine Form Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y (Exponentialfamilie):
• Q(θi) wird natürlicher Parameter genannt
• Systematische Komponente verbindet einen Vektor (η1, …, ηN) mit
den erklärenden Variablen durch ein lineares Modell mit Prädiktoren
j (j = 1, 2, …, p):
• Die Linearkombination der erklärenden Variablen wird linearer
Prädiktor genannt
f (yi ;θi ) = a(θi )b(yi )exp[yiQ(θi )]
ηi = β j xijj=1
p
∑
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Generalisiertes lineares Modell (3)
Linkfunktion:
• µi = E(Yi) mit i = 1, …, N
• Verbindet zufälligen mit systematischen Komponenten
Identitätslink :
Kanonische (natürliche) Linkfunktion:
• Transformiert µ in den natürlichen Parameter η – Abhängig von Verteilung der yi
Q(θi ) = β j xijj=1
p
∑ =ηi = g(µi )
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( )i ig µ η=
( )g µ µ=
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Bernoulliverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulliverteilung:
• P(Y = 1) = π und P(Y = 0) = 1 - π mit E(Y) = π
• Kanonischer Link:
• Für Logistische Regression folgt: – Hierbei P(Y = 1) = π(x)
– Gilt für Bernoulli- und Binomialverteilung
1(y; ) (1 )y yf π π π −= −
( ) ln1
Q ππ
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
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exp( )( )1 exp( )
x ηπ
η=
+
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Beispiel Anwendung Rasch Modell
Zweidimensionale Kontingenztafel
• Testung Unabhängigkeitshypothese • Systematische kategoriale Quanitität
• Multiple binäre Quantitäten
Eisaffinität abhängig von Studiengang?
• Drei Eissorten • Binärer Response (ja / nein)
• Zwei Studiengänge
2-dimens.
Eissorten
Studien-gänge
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Kontingenztafel
2x3 Kontingenztafel
• Studiengang systematische Variable • 2 Level
• Kreuzklassifiziert mit Eissorte
• Jeder Student kann 0 – 3 Sorten kaufen
• Randsummen Reihen Eissorten in Tabelle ≠ Anzahl Studenten
Eissorte
Studiengang Schokolade (A)
Kirsche (B)
Gummibär (C)
Anzahl Studenten
Statistik 32 65 86 160
Psychologie 87 148 157 220
Total 119 213 243 380
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Abhängigkeit prüfen
Spalten schließen sich nicht gegenseitig aus
• Pearson χ²-Test kann nicht angewandt werden
Durch Kreuzklassifikation kann 2 x 2 x 2 Tabelle für beide Studiengänge erstellt werden
• Jeweils 23 = 8 Zellen • Möglichkeiten:
000; 100; 010; … ; 111 - 0 = „nein“, 1 = „ja“
• Jeweils 6 Randsummen (3 Sorten Eis x „ja“ / „nein“)
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Randsummentabelle
Tabelle enthält also eigentlich Randsummen
• „ja“-Responses für beide Schultypen
Unabhängigkeitshypothese bezieht sich auf Randsummen
• Marginal Independence
Eissorte
Studiengang Schokolade (A)
Kirsche (B)
Gummibär (C)
Anzahl Studenten
Statistik 32 65 86 160
Psychologie 87 148 157 220
Total 119 213 243 380
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Marginales Logit Modell
Zufällige Variable: Eissorte
• Level: i = 1, 2, 3
Systematische Variable: Studiengang
• Level: j = 1, 2
Annahme: Alle Antwortmuster unabhängig multinomial verteilt
Ø Gemeinsame Verteilung der Häufigkeiten der Antwortmuster ist
produkt-multinomial verteilt
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Parameter und Modelle
πij bezeichnet Randwahrscheinlichkeit
• Person aus Studiengang j kauft Sorte i
• Parameter der Binomialverteilung, welcher Häufigkeit modelliert
Marginales Logit Modell:
Unabhängig (Modell 1): Abhängig (Modell 2):
ln1
ii
i
πβ
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ln1
ijij
ij
πβ
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
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Parameterschätzung
Zwei grundlegende Methoden für marginales Modell
1. Likelihood basiert • Restriktion: Randwahrscheinlichkeiten genügen marginalem Modell
• Produkt-multinomiale Likelihood Funktion wird maximiert • Erlaubt wenn alle möglichen Responsemuster unabhängig
multinomialverteilt sind
Ø Allerdings sind In den vorgestellten Modellen sind Responsemuster abhängig
2. Quasi-Likelihood basiert • Keine Annahmen zur Verteilung nötig
• Nur erste beide Momente werden genutzt (Mean-Variance Relationship) • Bei Annahme einer aus der Exponentialfamilie bekannten Mean-
Variance-Relatioship äquivalent zur vollständigen Likelihood
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Vergleich Likelihood und Quasi-Likelihood
Parameterschätzung bei ML:
• var(Yi) ist aufgrund der angenommenen Verteilung der
Exponentialfamilie bekannt
Parameterschätzung bei QML
• Varianz wird nur über die angenommenen Mean-Variance-
Relationship var(Yi) = υ(µi) spezifiziert
∂ℓ i∂β j
=(yi −µi )xijvar(Yi )
∂µi∂ηi, j =1,..., p
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∂ℓ i∂β j
=(yi −µi )xijυ(µi )
∂µi∂ηi, j =1,..., p
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Multivariate Erweiterung der Quasi Likelihood
Parameterschätzung bei GEE:
mit Δi = als Diagonalemente, Bi = b‘‘(θit) als Diagonalelemente,
, R(α) als Arbeitskovarianzmatrix und .
Eigenschaften: • Multivariate Erweiterung der Quasi-Likelihood
• Computational leichter aber weniger effizient als Likelihood
• Likelihood basierte Tests können nicht verwendet werden
# 14
∂ i∂β
=Di'Vi−1(yi −µ i (β))
ii
i
∂=∂
D µ
β
it
it
θη∂
∂
1/2 1/2( )i i i φ=V B R Bα
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Schätzung am Beispiel von Modell (1)
Generalisierte Schätzgleichung (GEE) wird verwendet
und mit
Werte aus Randsummentabelle:
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Eissorte
Studiengang Schokolade (A)
Kirsche (B)
Gummibär (C)
Anzahl Studenten
Statistik 32 65 86 160
Psychologie 87 148 157 220
Total 119 213 243 380
ˆexp( )ˆ ˆ1 exp( )i
ii
βπ
β=
+sei = N π̂ i (1− π̂ i )!" #$
−1β̂i = ln
niN − ni
"
#$$
%
&''
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Schätzung am Beispiel von Modell (1)
Resultierende Parameter für Modell (1):
β̂1 = ln119
380−119"
#$
%
&' 2
213ˆ ln380 213
β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠3
243ˆ ln380 243
β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Eissorte
Studiengang Schokolade (A)
Kirsche (B)
Gummibär (C)
Anzahl Studenten
Statistik 32 65 86 160
Psychologie 87 148 157 220
Total 119 213 243 380
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Geschätzte Parameter
Parameter und Standardfehler für Modelle (1) und (2):
Wald-Test: W = 46.84
• df = k (l - 1) = 3
• p = 1.85 * 10-10
à Eiskauf ist abhängig vom Studiengang
Modell (1) Modell (2)
Eis Statistik Psychologie
Schokolade (A) -.773 (.111) -1.386 (.198) -.424 (.138)
Kirsche (B) .254 (.103) -.379 (.161) .721 (.144)
Gummibär (C) .573 (.107) .150 (.158) 1.913 (.149)
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Anwendung Rasch Modell
Erweiterte Fragestellung
• Gibt es eine andere Erklärung für den gefundenen Unterschied? Ø Könnte Eitelkeit die entscheidende Rolle spielen?
• Eitelkeit als zweite systematische Variable aufnehmen – Verschwindet der Effekt „Studiengang“ bedingt auf Eitelkeit?
• Eitelkeit ist nicht-beobachtbare (latente) Größe Ø Fragebogen (1 – 4 Punkte)
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Formalisierung
Modell (3) mit zwei Einflussgrößen:
πvi ist Wahrscheinlichkeit dass Studierender v Sorte i wählt
Bedingtes Modell
• Kauf der Eissorten darf von Eitelkeit abhängen
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ln1
viv i
vi
πθ β
π
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
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Bedingtes Modell
Vorteil: Modell determiniert die gemeinsame Verteilung der Responses aller Items (Eissorten)
• Gegeben β1, …, βk und θ1, …, θk sind alle Bernoulli Variablen
(Antworten) lokal unabhängig
Ø cML Schätzung kann verwendet werden
Gemeinsame Verteilung ist gegeben durch das Produkt der Studierenden-spezifischen Wahrscheinlichkeiten aus Modell (3)
• Über alle Eissorten und Studierende
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Eigenschaften bedingtes Modell
Bedeutung des Fehlens von Studiengangsindex j :
Gegeben βi hängt die Wahrscheinlichkeit ein Eis zu kaufen von der Eitelkeit ab
Ø Unabhängig vom Studiengang
Hypothese ist simultane (auf Eitelkeit) bedingte Unabhängigkeit zwischen Schultyp und Response (Eiskauf)
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Problem
Eitelkeit ist unbeobachtete latente Größe und muss für jeden Studierenden geschätzt werden
Ø Neyman-Scott Problem
Ø Lösung von Andersen (1970) wird angewandt
à Anzahl der gekauften Eissorten ist suffizient für jeden Studierenden
r ϵ {0,… ,k} ist Anzahl der gekauften Eissorten
• Wird als „Eismenge“ definiert mit k Level • Ersetzt die angenommene stetige latente Variable „Eisaffinität“
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Modell (4) (bedingtes Rasch Modell):
i = 1, …, k und r = 1, …, k-1 mit βk = 0 zur Modellidentifizierung
γr bezeichnet symmetrische Grundfunktion der Ordnung r der Parameter exp(β1), …, exp(βk)
γ(i)r-1 bezeichnet die erste partielle Ableitung von γr nach βi
( )1exp( ) i
i rir
r
β γπ
γ−=
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Parameterschätzung mit cML
Durch Bedingen auf Eismenge r kann die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung hergeleitet werden
• Anteil, den die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtest
Antwortmuster an der Gesamtwahrscheinlichkeit aller Muster mit
Summenscore r hat
Bed. Likelihood (cML) ist Funktion der Parameter β1, …, βk
• Also nicht mehr abhängig von θ1, …, θk
• Theoretisch könnte auch umgekehrt bedingt werden
Analog zu den bisher bekannten Personen- und Itemparametern im Rasch Modell
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Alternatives Modell
In Modell (4) wird implizit festgelegt:
àStudiengang j spielt keine Rolle
Alternativ kann folgendes Modell (5) aufgestellt werden:
Abgeleitet wird hier nach den βij à cML Schätzung àStudiengang j wird ebenfalls modelliert
1 ...ir irl irπ π π= = =
( )1exp( )
ˆij
ij rirj
r
β γπ
γ−=
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Hypothesentest
Aufgrund der cML Schätzung können der Andersen Likelihood Ratio Test und der Wald Test angewendet werden
Vergleich der Parameter der Modell (4) und (5):
G² = 1.167 p = .558 W = .220; p = .390 mit df = 2
à Bedingt auf Eitelkeit ist Eisaffinität unabh. vom Studiengang
Modell (4) Modell (5)
Eis Statistik Psychologie
Schokolade (A) 0 0 0
Kirsche (B) -1.089 (.160) -.961 (.253) -1.187 (.210)
Gummibär (C) -1.428 (.164) -1.472 (.256) -1.378 (.215)
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Zusammenfassung
Erweiterung der Anwendbarkeit des Rasch Modells
Rasch Modell wird nicht als Messmodell sondern als Logit Modell für die Analyse von Häufigkeiten von zweidimensionalen Kontingenztafeln verwendet
• Bedingte Unabhängigkeit wird getestet
Hypothese der simultanen bedingten Unabhängigkeit wird getestet
• Zwischen systematischer (Studiengang) und dem binären Response
auf multiple Items, gegeben eine zweite Variable (Eitelkeit)
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Literatur
Agresti, A. (2002). Categorical data analysis. Hoboken: John Wiley & Sons.
Agresti, A., & Liu, I. (1999). Modeling a categorical variable allowing arbitrarily many category choices. Biometrics, 55, 936–943.
Andersen, E.B. (1970). Asymptotic properties of conditional maximum likelihood estimators. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 32, 283–301.
Draxler, C. (2011). Logit models for the analysis of two-way categorial data. Educational Research and Evaluation, 17(5), 351–360.
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• Zusatzmaterial zur Erklärung und Weiterführung
Appendix
# 29/28
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Beweis der Suffizienten Statistik
p(0,1,0) | r = 1
ßBedingte Wahrscheinlichkeit
Ø Nur noch der Itemparameter (ε) ist in der Formel enthalten
# 30
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212111
31
212111
21
212111
21
3121
21
11
11111
11111
11111
11
111
εξεξεξεξ
εξεξεξεξ
εξεξεξεξ
εξεξεξ
εξ
⋅++⋅++⋅+⋅⋅⋅
+⋅++⋅++⋅+
⋅⋅⋅+
⋅++⋅++⋅+⋅⋅⋅
⋅+⋅
⋅+⋅
⋅⋅+
312111
21
εξεξεξεξ
⋅+⋅+⋅
⋅=
321
2
εεεε++
=
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Angewandt auf das Rasch-Modell
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Die symmetrische Grundfunktion
Die Symmetrische Grundfunktion:
(zur Erinnerung: εi = exp(-βk)
# 32
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Symmetrische Grundfunktion
Formel:
Kurzform:
Eingesetzt im Nenner der cML:
# 33
| 1exp( )k
i ix r ixσ
=−∑ ∏
(exp( ))rγ σ−
11
exp((exp( ))
kN vi iiv
r
xcL
σ
γ σ=
=
−=
−∑∏
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Generalized Linear Mixed Model
Linearer Prädiktor:
• yit ist Beobachtung t in cluster i
• ui ~ N(0,Σ) angenommen
• var(Yit|ui) = Φitυ(µit)
• Bedingt auf ui, behandelt das Modell yit unabhänging über i und t
Als logit Modell:
• ui wird im Raschmodell zwar als fester Effekt behandelt, allerdings
durch cML eliminiert
• Andere Autoren: Random Effects Modell mit Probit-Link
# 34
( ) ' 'it it it ig µ = +x z uβ
( )logit[ 1|it i t iP Y u uβ= = +