S elf ‐A c c el e r ati o n a n d I n st a bilit y of G r a vit y W a v e P a c k et s:2. T w o ‐Di m e n si o n al P a c k et P r o p a g ati o n, I n st a bilit yD y n a mi c s, a n d T r a n si e nt Fl o w R e s p o n s e s

W e nj u n D o n g 1, 2, 3 , D a vi d C. F ritt s1, 2 , T h o m a s S. L u n d1 , S c ott A. Wi el a n d1, 2 ,

a n d S h a o d o n g Z h a n g 3

1 G A T S, B o ul d er, C O, U S A, 2 D e p art m e nt of P h ysi c al S ci e n c es, E m br y ‐Ri d dl e A er o n a uti c al U ni v ersit y, D a yt o n a B e a c h, F L,

U S A, 3 S c h o ol of El e ctr o ni c I nf or m ati o n, W u h a n U ni v ersit y, W u h a n, C hi n a

A b st r a ct R es ults of t w o ‐di m e nsi o n al a n d n arr o w t hr e e ‐di m e nsi o n al ( 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D) si m ul ati o ns of a

gr a vit y w a v e ( G W) p a c k et l o c ali z e d i n altit u d e a n d al o n g its pr o p a g ati o n dir e cti o n e m pl o yi n g a n e w,

v ers atil e c o m pr essi bl e m o d el ar e d es cri b e d. T h e si m ul ati o ns e x pl or e s elf ‐a c c el er ati o n a n d i nst a bilit y

d y n a mi cs i n a n i d e ali z e d at m os p h er e at r est u n d er m e a n s ol ar c o n diti o ns i n a d o m ai n e xt e n di n g t o a n

altit u d e of 2 6 0 k m a n d 1, 8 0 0 k m h ori z o nt all y wit h o ut arti fi ci al dissi p ati o n. Hi g h r es ol uti o n i n t h e c e ntr al

2. 5 ‐D d o m ai n e n a bl es t h e d es cri pti o n of 3 ‐D i nst a bilit y d y n a mi cs a c c o u nti n g f or br e a ki n g, dissi p ati o n, a n d

m o m e nt u m d e p ositi o n wit hi n t h e G W p a c k et. 2 ‐D r es ults d es cri b e r es p o ns es t o l o c ali z e d s elf ‐a c c el er ati o n

eff e cts, i n cl u di n g g e n er ati o n of s e c o n d ar y G Ws ( S G Ws) at l ar g er s c al es a bl e t o pr o p a g at e t o m u c h hi g h er

altit u d es. 2. 5 ‐D r es ults e x hi bit i nst a bilit y f or ms c o nsist e nt wit h pr e vi o us 3 ‐D si m ul ati o ns of i nst a bilit y

d y n a mi cs a n d c a us e S G W g e n er ati o n a n d pr o p a g ati o n at s m all er s p ati al s c al es t o w e a k e n si g ni fi c a ntl y

c o m p ar e d t o t h e 2 ‐D r es ults. S G W r es p o ns es at l ar g er s c al es ar e dri v e n pri m aril y b y G W/ m e a n fl o w

i nt er a cti o ns arisi n g at e arl y st a g es of t h e s elf‐a c c el er ati o n d y n a mi cs pri or t o str o n g G W i nst a biliti es a n d

dissi p ati o n. As a r es ult, t h e y e x hi bit si mil ar r es p o ns es i n b ot h t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D si m ul ati o ns a n d r e a dil y

pr o p a g at e t o hi g h altit u d es at l ar g e dist a n c es fr o m t h e i niti al G W p a c k et. A c o m p a ni o n p a p er e x a mi n es t h es e

d y n a mi cs f or a n i niti al G W p a c k et l o c ali z e d i n t hr e e di m e nsi o ns a n d e v ol vi n g i n a r e pr es e nt ati v e 3 ‐D ti d al

wi n d fi el d.

1. I nt r o d u cti o n

At m os p h eri c gr a vit y w a v es ( G Ws) pl a y m aj or r ol es i n t h e tr a ns p ort of e n er g y a n d m o m e nt u m fr o m l o w er

at m os p h eri c s o ur c es t o t h e m es os p h er e a n d l o w er t h er m os p h er e ( M L T) r e gi o n ( Fritts & Al e x a n d er, 2 0 0 3).

G Ws ar e g e n er at e d b y pri m ar y s o ur c es s u c h as c o n v e cti o n, or o gr a p h y, j ets, a n d fr o nt al s yst e ms d u e t o

w e at h er i n t h e tr o p os p h er e a n d l o w er str at os p h er e ( Fritts & N astr o m, 1 9 9 2), a n d s e c o n d ar y s o ur c es s u c h

as w a v e ‐w a v e i nt er a cti o ns, t h e n o nli n e ar d y n a mi cs of G W br e a ki n g a n d K el vi n H el m h olt z i nst a biliti es

( B oss ert et al., 2 0 1 7; C hi m o n as & Gr a nt, 1 9 8 4; H ori n o u c hi et al., 2 0 0 2; L a n e & S h ar m a n, 2 0 0 6; S at o m ur a

& S at o, 1 9 9 9), a n d b o d y f or c es d u e t o G W m o m e nt u m tr a ns p ort ( V a d as et al., 2 0 0 3, 2 0 1 8). E a c h s o ur c e yi el ds

a s p e ctr u m of G W s p ati al s c al es a n d i ntri nsi c fr e q u e n ci es t h at d e p e n d o n t h e s o ur c e c h ar a ct eristi cs a n d t h e

e n vir o n m e nt i n w hi c h it o c c urs.

T h e p ot e nti al f or G Ws arisi n g fr o m t h es e v ari o us s o ur c es t o pr o p a g at e i nt o t h e M L T a n d a b o v e d e p e n ds o n

t h eir a m plit u d es, s c al es, a n d p h as e s p e e ds, a n d t h e i nt er v e ni n g wi n d a n d t e m p er at ur e fi el ds. G Ws h a vi n g

s m all p h as e s p e e ds a n d v erti c al w a v el e n gt hs m a y e n c o u nt er a d v ers e wi n d s h e ars a n d criti c al l e v els l e a di n g

t o br e a ki n g a n d dissi p ati o n at l o w er altit u d es ( Fritts et al., 2 0 1 8). G Ws att ai ni n g l ar g e a m plit u d es c a n

u n d er g o br e a ki n g at l o w er a n d hi g h er altit u d es, w h et h er or n ot a criti c al l e v el is pr es e nt ( D o yl e et al.,

2 0 0 5; H ori n o u c hi et al., 2 0 0 2; Lill y, 1 9 7 8; Lill y & K e n n e d y, 1 9 7 3). I n c o ntr ast, s m all ‐a m plit u d e G Ws h a vi n g

s uit a bl e pr o p a g ati o n e n vir o n m e nts c a n l ar g el y a v oi d i nst a biliti es at l o w er altit u d es a n d br e a k i nst e a d i n t h e

M L T ( E c k er m a n n et al., 2 0 1 6; Fritts, L a u g h m a n, et al., 2 0 1 8) or pr o p a g at e wit h o ut a p p ar e nt br e a ki n g w ell

i nt o t h e t h er m os p h er e a n d i o n os p h er e f or s uffi ci e ntl y l ar g e p h as e s p e e ds ( A z e e m et al., 2 0 1 5), or b e tr a p p e d

i n t h e l o w er at m os p h er e ( D o n g et al., 2 0 1 8).

O bs er v ati o n al, t h e or eti c al, a n d m o d eli n g st u di es p erf or m e d t o d at e h a v e r e v e al e d a v ari et y of n o nli n e ar

d y n a mi cs e x p e ct e d t o b e i m p ort a nt fr o m t h e tr o p os p h er e i nt o t h e M L T. S e v er al of t h es e l e a d t o G W

© 2 0 1 9. T h e A ut h ors.

T his is a n o p e n a c c ess arti cl e u n d er t h e

t er ms of t h e Cr e ati v e C o m m o ns

Attri b uti o n ‐N o n C o m m er ci al ‐N o D eri vs

Li c e ns e, w hi c h p er mits us e a n d distri-

b uti o n i n a n y m e di u m, pr o vi d e d t h e

ori gi n al w or k is pr o p erl y cit e d, t h e us e

is n o n‐c o m m er ci al a n d n o m o di fi c a-

ti o ns or a d a pt ati o ns ar e m a d e.

R E S E A R C H A R T I C L E1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1

T his arti cl e is a c o m p a ni o n t o Fritts et al.

( 2 0 1 9), htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/

2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 2.

K e y P oi nt s:

• L o c ali z e d G W p a c k ets e x hi bit str o n g

s elf ‐a c c el er ati o n d y n a mi cs as t h eir

a m plit u d es i n cr e as e

• S elf ‐a c c el er ati o n c a us es c ess ati o n of

v erti c al pr o p a g ati o n, l o c al 3 ‐D

i nst a biliti es a n d dissi p ati o n, a n d

S G W a n d A W g e n er ati o n

• S G W h as s p ati al s c al es d et er mi n e d

l ar g el y b y t h e p a c k et s c al es a n d t h us

h a v e l ar g er s c al es a n d p h as e s p e e ds

t h at e asil y r e a c h hi g h er altit u d es

S u p p o rti n g I nf o r m ati o n:

• S u p p orti n g I nf or m ati o n S 1

• M o vi e S 1

C o r r e s p o n d e n c e t o:

W. D o n g,

w e nj u n @ g ats ‐i n c. c o m

Cit ati o n:

D o n g, W., Fritts, D. C., L u n d, T. S.,

Wi el a n d, S. A., & Z h a n g, S. ( 2 0 2 0).

S elf ‐a c c el er ati o n a n d i nst a bilit y of

gr a vit y w a v e p a c k et s: 2.

t w o‐di m e nsi o n al p a c k et pr o p a g ati o n,

i nst a bilit y d y n a mi cs, a n d tr a nsi e nt fl o w

r es p o ns es. J o ur n al of G e o p h ysi c al

R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 5 ,

e 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1. htt ps:// d oi. or g/

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1

R e c ei v e d 2 5 M A R 2 0 1 9

A c c e pt e d 1 1 N O V 2 0 1 9

A c c e pt e d arti cl e o nli n e 1 4 N O V 2 0 1 9

D O N G E T A L. 1 of 2 0

br e a ki n g a n d its i m pli e d m o m e nt u m d e p ositi o n, ot h ers d o n ot. G Ws at s m all er a m plit u d es t h a n r e q uir e d f or

o v ert ur ni n g e x hi bit p ert ur b ati o ns a n d i nt er a cti o ns t h at c a n l e a d t o i nst a biliti es i n t h e a bs e n c e of e n vir o n-

m e nt al v ari ati o ns ( Fr u m a n & A c h at z, 2 0 1 2; W alt ers c h ei d et al., 2 0 1 3). At s uf fi ci e ntl y l ar g e G W a m plit u d es,

i niti al o pti m al p ert ur b ati o ns dri v e tr a nsiti o ns t o G W br e a ki n g a n d t ur b ul e n c e d y n a mi cs i n s h e ar e d a n d

u ns h e ar e d fl o ws ( A n dr e ass e n et al., 1 9 9 8; Fritts et al., 2 0 0 9 a, 2 0 0 9 b; Fr u m a n & A c h at z, 2 0 1 2).

S m all ‐s c al e a n d s m all ‐a m plit u d e G W pr o p a g ati o n i n l ar g er ‐s c al e G W e n vir o n m e nts c o nt ai ni n g criti c al l e v els

c a n a v oi d or l ess e n criti c al l e v el i nt er a cti o ns a n d dissi p ati o n d u e t o l ar g er ‐s c al e G W pr o p a g ati o n i n s o m e

c as es ( Br o ut m a n et al., 1 9 9 7; H e al e & S ni v el y, 2 0 1 5). H o w e v er, m or e e n er g eti c s u p er p ositi o ns of G Ws a n d

m e a n wi n ds r e a dil y e x hi bit a di v ersit y of s m all ‐s c al e i nst a biliti es a n d e n vir o n m e nts c o m prisi n g hi g hl y str a-

tifi e d a n d s h e ar e d s h e ets a n d w e a kl y str ati fi e d a n d s h e ar e d l a y ers ( B alsl e y et al., 2 0 0 3, 2 0 1 8; Fritts et al., 2 0 1 3).

I m p ort a ntl y, e vi d e n c e of t h es e m ultis c al e d y n a mi cs is o bs er v e d fr o m t h e st a bl e b o u n d ar y l a y er i nt o t h e M L T

( B alsl e y et al., 2 0 0 6, 2 0 1 2, 2 0 1 8; C o ul m a n et al., 1 9 9 5; D al a u di er et al., 1 9 9 4; N astr o m & E at o n, 2 0 0 1; R a p p

et al., 2 0 0 4; Str el ni k o v et al., 2 0 0 9; S z e w c z y k et al., 2 0 1 3). V ari ati o ns i n str ati fi c ati o n c a n li k e wis e l e a d t o a

di v ersit y of r es p o ns es, d e p e n di n g o n G W a m plit u d es a n d s c al es. E x a m pl es i n cl u d e s u p er h ar m o ni c m o d e

e x cit ati o n at a m a xi m u m i n str ati fi c ati o n ( S ut h erl a n d, 2 0 1 6) a n d g e n er ati o n of a c o usti c w a v es ( A Ws) b y i nt er-

a cti n g G Ws i n v ari a bl e str ati fi c ati o n ( S ni v el y, 2 0 1 7). G Ws e n c o u nt eri n g m es os p h eri c i n v ersi o n l a y ers ( MI Ls)

li k e wis e e x hi bit r es p o ns es i n cl u di n g v ari a bl e tr a ns missi o n a n d r efl e cti o n, tr a p pi n g, a n d G W br e a ki n g, dissi-

p ati o n, a n d m o m e nt u m d e p ositi o n, d e p e n di n g o n G W a m plit u d es a n d s c al es ( Fritts et al., 2 0 1 8, c).

T h e d y n a mi cs of i nt er est i n t his p a p er a c c o m p a n y s elf ‐a c c el er ati o n ( S A) of G W p a c k ets pr o p a g ati n g i n a

d e nsit y ‐str ati fi e d at m os p h er e. E arl y st u di es of t h es e d y n a mi cs d e m o nstr at e d t h e p ot e nti al f or G W p a c k ets

l o c ali z e d i n altit u d e t o u n d er g o a c c el er ati o n of t h eir p h as e s p e e ds a c c o m p a n yi n g m e a n fl o w a c c el er ati o ns

at t h eir l e a di n g e d g es ( D u n k ert o n, 1 9 8 1). S ut h erl a n d ( 2 0 0 1, 2 0 0 6) e m pl o y e d t h e B o ussi n es q e q u ati o ns t o

i nf er t h at a G W p a c k et l o c ali z e d i n altit u d e will b e u nst a bl e t o o v ert ur ni n g if t h e i n d u c e d m e a n fl o w e x c e e ds

t h e G W h ori z o nt al gr o u p v el o cit y ( e. g., “ S A i nst a bilit y ” ) a n d t h at S A a n d m o d ul ati o n al i nst a biliti es c a n

o c c ur f or s uf fi ci e ntl y hi g h i ntri nsi c fr e q u e n ci es. T h e t hr es h ol d f or m o d ul ati o n al i nst a bilit y w as g e n er ali z e d

f or a n el asti c fl o ws b y D oss er a n d S ut h erl a n d ( 2 0 1 1) b ut still r e q uir e d v er y hi g h i ntri nsi c fr e q u e n ci es t h at

oft e n pr e v e nt si g ni fi c a nt v erti c al pr o p a g ati o n i n v ari a bl e b a c k gr o u n d wi n d a n d st a bilit y pr o fi l es. L u n d

a n d Fritts ( 2 0 1 2) s h o w e d t h at m e a n fl o w a c c el er ati o ns a n d S A d y n a mi cs c a n e xt e n d t o v er y hi g h altit u d es

w h e n n o i niti al criti c al l e v el o c c urs f or G W a m plit u d es e x hi biti n g 3 ‐D i nst a biliti es at l o w er altit u d es.

Tr a nsi e nt G W p a c k ets l o c ali z e d o nl y i n altit u d e ( 1 ‐D G W p a c k ets) t h at e x hi bit r a pi d a m plit u d e gr o wt h wit h

altit u d e e x hi bit diff er e nt d y n a mi cs b e c a us e i n d u c e d m e a n fl o w c h a n g es ar e d u e t o tr a nsi e n c e r at h er t h a n

vis c o us dissi p ati o n. I n s u c h c as es, t h e G W e x hi bit S A, w a v e br e a ki n g, str o n g m e a n fl o w a c c el er ati o ns a n d

G W p h as e dist orti o ns t h at ulti m at el y c a us e t h eir dissi p ati o n. G Ws u n d er g oi n g S A als o e x hi bit 2 ‐D a n d

3 ‐D i nst a bilit y. T h e 2 ‐D i nst a bilit y o c c urs at e arl y st a g es, b ut t h e 3 ‐D i nst a bilit y o c c urs l at er i n ti m e a n d c o m-

pris es str e a m wis e ‐ali g n e d c o u nt err ot ati n g r olls m u c h li k e t h os e t h at o c c ur i n G W br e a ki n g, s e c o n d ar y

i nst a bilit y of K H bill o ws, a n d i niti al i nst a biliti es of str o n g v ort e x s h e ets i n m ultis c al e fl o ws ( Fritts et al.,

2 0 1 3). T h es e S A d y n a mi cs ar e d es cri b e d m or e c o m pl et el y b y Fritts et al. ( 2 0 1 5, h er e aft er F 1 5). F 1 5 p erf or m e d

a s eri es of 2 ‐D a n d 3 ‐D S A d y n a mi cs si m ul ati o ns f or 1 ‐D G W p a c k ets l o c ali z e d o nl y i n altit u d e h a vi n g a r ati o

of v erti c al t o h ori z o nt al w a v el e n gt hs as l ar g e as λ z /λ h = 1, a n d ass o ci at e d i ntri nsi c fr e q u e n ci es as hi g h as ω i ~

N / 1. 4 2 (f or b u o y a n c y fr e q u e n c y N ). T h es e r e v e al e d a di v ersit y of r es p o ns es, i n cl u di n g t h e f oll o wi n g:

1. G W p a c k ets u n d er g o S A, p h as e ki n ki n g, a n d st alli n g of v erti c al pr o p a g ati o n n e ar t h e l e a di n g e d g e,

2. i niti al 2 ‐D i nst a biliti es o c c ur at t h e altit u d e of pri m ar y p h as e d ef or m ati o n i n all c as es,

3. 3 ‐D i nst a biliti es o c c ur i n str o n g m e a n s h e ars at t h e G W p a c k et tr aili n g e d g es,

4. pri m ar y m o m e nt u m d e p ositi o n o c c urs b el o w w h er e it w as i n t h e a bs e n c e of S A eff e cts,

5. G W p a c k ets u n d er g o v erti c al c o m pr essi o n i n m ulti pl e c as es, b ut at ω i t o o s m all t o e x hi bit m o d ul ati o n al

i nst a bilit y, a n d s u c c essi v e S A d y n a mi cs aris e at t h e s ur vi vi n g l e a di n g e d g e of t h e G W p a c k et at s e v er al

s c al e h ei g hts a b o v e t h e i niti al S A e v e nt.

S p ati al a n d t e m p or al l o c ali z ati o n of G W p a c k ets pl a y k e y r ol es i n t h e p artiti o ni n g of b o d y f or c es a c c o m p a-

n yi n g m o m e nt u m tr a ns p ort a m o n g m e a n r es p o ns es a n d S G W g e n er ati o n. O ur r e c e nt si m ul ati o n r es ults

s h o w t h at G W p a c k et l o c ali z e d i n 2 ‐D or 3 ‐D s h o w si mil ar S A d y n a mi cs, b ut als o r e pr es e nt a v er y str o n g

s o ur c e f or s e c o n d ar y G Ws a n d A Ws at l ar g er s p ati al s c al es t h at r e a dil y p e n etr at e m u c h hi g h er i nt o

t h e t h er m os p h er e.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 2 of 2 0

A r e c e nt a n al ysis b y G er v ais et al. ( 2 0 1 8) a d dr ess e d 2 ‐D G W p a c k et e v ol uti o n i n a n a n el asti c at m os p h er e.

T h e y i nf err e d t h at m o d ul ati o n al i nst a bilit y o c c urs f or all 2 ‐D G W p a c k ets b ut di d n ot c o nsi d er t h e i n fl u e n c es

of r a pi d 3 ‐D i nst a biliti es t h at li k el y o b vi at e, or r e d u c e, t h e i m p ort a n c e of m o d ul ati o n al i nst a bilit y i n 2 ‐D a n d

3 ‐D p a c k et e v ol uti o ns.

A n o b vi o us e x p e ct ati o n f or S A d y n a mi cs l o c ali z e d i n 2 ‐D a n d 3 ‐D is t h e p ot e nti al f or S G W g e n er ati o n, gi v e n

e arli er i d e ali z e d st u di es of r es p o ns es t o l o c al b o d y f or ci n g a n d o bs er v ati o ns a n d m o d eli n g of e x p e ct e d G W

a n d m e a n r es p o ns es ( B e c k er & V a d as, 2 0 1 8; d e Wit et al., 2 0 1 7; V a d as et al., 2 0 0 3, 2 0 1 8). O ur st u d y h er e

a d dr ess es S A d y n a mi cs a n d r es p o ns es f or a 2 ‐D G W p a c k et l o c ali z e d i n altit u d e a n d i n its pl a n e of pr o p a g a-

ti o n. T h es e i n cl u d e ( 1) t h e c h ar a ct er a n d i m pli c ati o ns of 2‐D a n d 3 ‐D i nst a biliti es f or G W dissi p ati o n a n d

s u p pr essi o n of c o nti n u e d v erti c al pr o p a g ati o n, ( 2) S G W a n d A W s o ur c es a n d s c al es, ( 3) dis p ersi o n a n d p e n e-

tr ati o n t o hi g h er altit u d es of S G Ws a n d A Ws, a n d ( 4) t h e tr a nsi e nt m e a n fl o w a c c el er ati o ns t h at r es ult. S A

d y n a mi cs f or a n i niti al 3 ‐D G W p a c k et pr o p a g ati n g i n 3 ‐D ti d al wi n ds ar e d es cri b e d i n t h e c o m p a ni o n p a p er

b y Fritts et al. ( 2 0 2 0).

2. N u m e ri c al M o d el

2. 1. C o m p r e s si bl e E q u ati o n s

W e st art wit h t h e c o m pr essi bl e N a vi er ‐St o k es e q u ati o ns, writt e n i n str o n g c o ns er v ati o n l a w ( di v er g e n c e) f or m

∂ ρ

∂ tþ

∂ ρ u j

∂ x j¼ 0 ( 1)

∂ ρ u i

∂ tþ

∂ ρ u iu j

∂ x j¼ −

∂ p

∂ x i− ρ g δ i3 þ

∂ σ ij

∂ x j( 2)

∂ ρ E

∂ tþ

∂ ρ E þ pð Þu j

∂ x j¼ − ρ g u 3 þ

∂ u iσ ij

∂ x j−

∂ q j

∂ x j( 3)

w h er e σ ij a n d q j ar e t h e vis c o us str ess a n d t h er m al c o n d u cti o n, d e fi n e d as

σ ij ¼ μ∂ u i

∂ x jþ

∂ u j

∂ x i−

2

3

∂ u k

∂ x kδ ij ( 4)

q j ¼ − κ∂ T

∂ x j( 5)

a n d w h er e μ is t h e d y n a mi c vis c osit y, κ is t h e t h er m al c o n d u cti vit y, a n d δ ij is t h e Kr o n e c k er d elt a; μ a n d κ

d e p e n d o n t h e t e m p er at ur e t hr o u g h S ut h erl a n d's l a w ( W hit e, 1 9 7 4).

T h e s ol uti o n v ari a bl es ar e t h e d e nsit y ρ , t h e m o m e nt u m p er u nit v ol u m e ρ u i or (ρ u , ρ v , ρ w ), a n d t h e t ot al

e n er g y E = e + u k u k / 2 = c v T + u k u k / 2. T h e t hr e e c o or di n at e dir e cti o ns ar e ( i,j,k ) or (x ,y ,z ). H er e c v ¼ Rγ − 1 i s

t h e s p e cifi c h e at at c o nst a nt v ol u m e a n d T is t h e t e m p er at ur e. W e ass u m e t h e at m os p h er e is of fi x e d c o m p o-

siti o n wit h c o nst a nt v al u es of t h e g as c o nst a nt, R = 2 8 6. 9 J k g − 1 K − 1 , a n d t h e s p e cifi c h e at r ati o, γ = 1. 4. T his

st e p s h o ul d b e vi e w e d as a n a p pr o xi m ati o n as R i n cr e as es si g nifi c a ntl y wit h altit u d e es p e ci all y i n t h e hi g h er

altit u d es as s h o w n i n V a d as ( 2 0 0 7). As s h o w n l at er i n t h e p a p er, i nst a biliti es ar e l ar g el y c o nstr ai n e d b el o w

1 8 0 k m, w h er e R a n d γ v ar y b y l ess t h a n 1 0 % ( L u n d & Fritts, 2 0 1 2; V a d as, 2 0 0 7). T h e pr ess ur e p a p p e ars as a n

a u xili ar y v ari a bl e a n d it is r el at e d t o t h e d e nsit y a n d t e m p er at ur e t hr o u g h t h e i d e al g as l a w

p ¼ ρ R T ( 6)

Ass u mi n g t h at G Ws pr o p a g at e i n t h e ( x ,z ) pl a n e a n d n e gl e cti n g v ari a bl e U , t h e e q u ati o ns ( 1)– ( 3) yi el d a dis-

p ersi o n r el ati o n f or e v ol vi n g li n e ar, i n vis ci d G Ws i n a n o nr ot ati n g, is ot h er m al at m os p h er e, e x pr essi n g t h e

i ntri nsi c fr e q u e n c y, ω i = k (c − U ), as

ω 2i k 2 þ m 2 þ

1

4 H 2 −ω 2

i

c 2s

¼ N 2 k 2 ( 7)

H er e N is t h e b u o y a n c y fr e q u e n c y; k a n d m ar e t h e h ori z o nt al a n d v erti c al w a v e n u m b ers, r es p e cti v el y.

c s ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiγ R T

p, w h er e c s is t h e s o u n d s p e e d. T h e r es ult is a q u a dr ati c e q u ati o n f or ω 2

i , wit h s ol uti o ns gi v e n b y

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 3 of 2 0

ω 2i ¼

1

2c 2s k 2 þ m 2 þ

1

4 H 2 ±

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

k 2 þ m 2 þ1

4 H 2

2

−4 N 2 k 2

c 2s

s2

4

3

5 ( 8)

H er e w e c h o os e t h e s m all er r o ots t o e x cit e t h e G Ws. T h e ass o ci at e d li n e ari z e d G W s ol uti o n t o t h e f ull c o m-

pr essi bl e e q u ati o ns f or u nif or m wi n d U (z ) is

u ′ ¼ eA c i k = mð Þ 2 N 2

ω 2i

− 1 1 þ η 2 ϵ 2 − 12 si n ϕ þ ϕ 1ð Þ ( 8)

w ′ ¼ − eA c ik

msi n ϕð Þ ( 1 0)

θ ′ ¼ 2 eA θϵ γ − 1ð Þ= γ c os ϕð Þ ( 1 1)

p ′ ¼ eA ρ c 2i k = mð Þ 2 N 2

ω 2i

− 1 1 þ η 2 ϵ 2 − 12 si n ϕ þ ϕ 1ð Þ ( 1 2)

ρ ′ ¼ − 2 eA ρϵ γ − 1ð Þ= γ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1 − ηϵ δð Þ 2 þ δ 2q

c os ϕ þ ϕ 2ð Þ ( 1 3)

w h er e

eA ¼ affiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiρ z 0ð Þ = ρ zð Þ

p1 þ ϵ 3 γ − 2ð Þ = γ½ 2 − 1

2 ( 1 4)

ϕ ¼ k x þ m z − ω it ( 1 5)

ϵ ¼1

2 m H( 1 6)

η ¼2 − γ

γ( 1 7)

δ ¼2 ε 1 − ω 2

i = N 2

γ 1 þ η 2 ϵ 2ð Þ( 1 8)

ϕ 1 ¼ t a n− 1 ηϵð Þ ( 1 9)

ϕ 2 ¼ t a n− 1 δ

1 − ηϵ δ( 2 0)

c i ¼ c − U ¼ ω i= k ( 2 1)

H er e o v er b ars d e n ot e m e a n fi el ds a n d u ′, w ′, θ ′, p ′, a n d ρ ′ ar e t h e z o n al wi n d fl u ct u ati o n, v erti c al wi n d

fl u ct u ati o n, t h e p ot e nti al t e m p er at ur e fl u ct u ati o n, t h e pr ess ur e fl u ct u ati o n, a n d t h e d e nsit y fl u ct u ati o n,

r es p e cti v el y. N ot e t h at e q u ati o ns ( 9) – ( 1 3) c a n b e r e arr a n g e d t o gi v e p ol ari z ati o n r el ati o ns. F or e x a m pl e

e q u ati o ns ( 9) a n d ( 1 2) c a n b e c o m bi n e d t o gi v e u ′ ¼ ρ c ip′. Si mil arl y, a c o m p aris o n of e q u ati o ns ( 1 0) a n d

( 1 1) s h o w t h at w ′ a n d θ ′ ar e 9 0 ° o ut of p h as e. T h e s ol uti o n is n or m ali z e d s u c h t h at, at its m ost u nst a bl e

p h as e, t h e c o m bi n ati o n of w a v e pl us b a c k gr o u n d is n e utr all y st a bl e at t h e altit u d e z 0 w h e n a = 1. T h e

c o m pr essi bl e eff e cts ar e i ntr o d u c e d dir e ctl y t hr o u g h s c ali n g of t h e a m plit u d e wit h ρ a n d i n dir e ctl y

t hr o u g h d e p e n d e n c e o n t h e p ar a m et er ϵ; ϵ is a m e as ur e of t h e v erti c al w a v el e n gt h r el ati v e t o t h e d e nsit y

s c al e h ei g ht.

2. 2. C o m p r e s si bl e Fi nit e V ol u m e ( F V ) M o d el

T h e m o d el us e d f or t his st u d y is t h e C o m pl e x G e o m etr y C o m pr essi bl e At m os p h er e M o d el. T h e g o v er ni n g

e q u ati o ns ar e dis cr eti z e d usi n g t h e fi nit e v ol u m e fr a m e w or k, i n w hi c h e a c h c o m p ut ati o n al c ell is c o nsi d er e d

t o b e a s m all c o ntr ol v ol u m e. It is e asi est t o u n d erst a n d t his a p pr o a c h if t h e g o v er ni n g e q u ati o ns ar e r e writ-

t e n i n t h eir e q ui v al e nt i nt e gr al f or ms. E q u ati o ns ( 1)– ( 3) c a n b e writt e n as

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 4 of 2 0

d

dt∫ V ρ d V þ ∫ S ρ u jn jd S ¼ 0 ( 2 2)

d

dt∫ V ρ u id V þ ∫ S ρ u iu jn jd S ¼ ∫ S − p δ ij þ σ ij n jd S − δ i3 ∫ V ρ g d V ( 2 3)

d

dt∫ V ρ E d V þ þ ∫ S ρ E þ pð Þu iu jn jd S ¼ − ∫ V ρ g u 3 d V þ ∫ S u iσ ijn jd S − ∫ S q jn jd S ( 2 4)

w h er e V is a c o ntr ol v ol u m e a n d S is its b o u n di n g s urf a c e, wit h a l o c al o ut w ar d p oi nti n g u nit n or m al

v e ct or n j.

T h e s ol uti o n v ari a bl es ar e st or e d at t h e c o m p ut ati o n al c ell c e ntr oi ds, a n d w e ass u m e t h at t h e y t a k e o n li n e ar

v ari ati o ns b et w e e n p oi nts. W h e n pr o d u cts of s ol uti o n v ari a bl es ar e c o nsi d er e d f or t h e fl u x t er ms, w e i nt er-

p ol at e t h e a p pr o pri at e f a ct ors of t h e pr o d u ct i n d e p e n d e ntl y a n d t h e n r et ai n o nl y t h e n et li n e ar v ari ati o ns i n

t h e pl a n e of t h e f a c e. Usi n g t h es e a p pr o xi m ati o ns, t h e li n e ar v ari ati o ns i nt e gr at e t o z er o w h e n v ol u m e or s ur-

f a c e i nt e gr als ar e c o nsi d er e d, t h er e b y pr o d u ci n g si m pl e dis cr et e f or ms. F or e x a m pl e, t h e dis cr et e f or m of t h e

m o m e nt u m e q u ati o n is

d ρ u i

dt¼

1

V∑

6 f a c esl¼ 1 − u i

l ρ u jl − p lδ ij þ δ ij

lh i

n ljΔ S l− ρ g δ 1 3 ( 2 5)

w h er e l is a n i n d e x t h at c o v ers t h e si x f a c es of a h e x a h e dr al c o m p ut ati o n al c ell. H er e t h e li n e ar v ari ati o ns

h a v e b e e n i nt e gr at e d a w a y, l e a vi n g j ust t h e c ell c e nt er v al u e of ρ u i o n t h e l eft ‐h a n d si d e a b o v e a n d t h e f a c e

c e nt er v al u es of t h e fl u x t er ms o n t h e ri g ht. T h e l att er ar e d et er mi n e d vi a i nt er p ol ati o ns fr o m t h e c ell c e nt er

v al u es, t h at is, ρ u jl m e a ns t h e q u a ntit y ρ u j i nt er p ol at e d t o f a c e l.

T h e F V a p pr o a c h h as t h e a d v a nt a g e t h at, b y c o nstr u cti o n, it e nf or c es stri ct gl o b al c o ns er v ati o n of m ass,

m o m e nt u m, a n d t ot al e n er g y. T his f e at ur e r es ults fr o m t h e i n h er e nt s y m m etr y i n t h e dis cr et e fl u x a p pr o x-

i m ati o n, t h at is, t h e fl u x l e a vi n g a c ell t hr o u g h o n e of its s urf a c es is e x a ctl y e q u al t o t h e fl u x e nt eri n g t h e

n ei g h b ori n g c ell t hr o u g h t h e s a m e (s h ar e d) s urf a c e. M at h e m ati c all y, t his c h ar a ct eristi c i m pli es t h at

G a uss' t h e or e m is s atis fi e d, m e a ni n g t h at, w h e n s u m m e d, all i nt eri or fl u x es c a n c el, l e a vi n g j ust t h e fl u x es

o n t h e d o m ai n b o u n d ari es.

A c uri o us f e at ur e of n u m eri c al a p pr o xi m ati o n t o t h e fl o w e q u ati o ns is t h e p ot e nti al i n a bilit y t o c o ns er v e

ki n eti c e n er g y. W hil e t ot al e n er g y (t h e s u m of i nt er n al a n d ki n eti c e n er g y) will b e c o ns er v e d i n a c orr e ctl y

i m pl e m e nt e d c o m pr essi bl e f or m ul ati o n, t h er e is n o g u ar a nt e e t h at ki n eti c a n d i nt er n al e n er g y will als o b e

c o ns er v e d i n d e p e n d e ntl y. M ost s c h e m es r es ult i n f a cti o us tr a nsf ers b et w e e n t h es e t w o, a n d s u c h vi ol a-

ti o ns ar e oft e n t ol er at e d si n c e t h e y c a n pr o vi d e e n h a n c e d n u m eri c al st a bilit y. F or e x a m pl e, n o n c e nt er e d

or “ u p wi n d ” s c h e m es r es ult i n a n o n p h ysi c al tr a nsf er of ki n eti c t o i nt er n al e n er g y as a r es ult of t h e

n u m eri c al dissi p ati o n pr o p erti es i n h er e nt i n t h e n o n c e nt er e d a p pr o xi m ati o ns. C e nt er e d a p pr o xi m ati o ns,

o n t h e ot h er h a n d, c o nt ai n n o n u m eri c al dissi p ati o n, b ut t h e r es ulti n g s c h e m es ar e m ost oft e n n u m eri-

c all y u nst a bl e d u e t o a n o n p h ysi c al tr a nsf er of i nt er n al t o ki n eti c e n er g y r es ulti n g fr o m ali asi n g err or.

Ali asi n g err or is als o pr es e nt i n n o n c e nt er e d s c h e m es, b ut t h e ass o ci at e d n u m eri c al dissi p ati o n e asil y off-

s ets its d est a bili zi n g eff e ct.

W hil e us ef ul f or m a n y pr o bl e ms, u p wi n d or ot h er wis e dissi p ati v e n u m eri c al s c h e m es ar e n ot w ell s uit e d f or

si m ul ati o ns of tr a nsiti o n al or t ur b ul e nt fl o ws. T h e n u m eri c al dissi p ati o n t e n ds t o i n c orr e ctl y d a m p s m all ‐

s c al e i nst a bilit y str u ct ur es a n d als o i nt erf er es wit h t h e e n er g y c as c a d e f or t ur b ul e nt fl o ws. F ort u n at el y, it

is p ossi bl e t o c o nstr u ct n u m eri c al s c h e m es t h at si m ult a n e o usl y c o ns er v es ki n eti c a n d i nt er n al e n er g y.

W hil e us e of t his cl ass of s c h e m es c a n b e tr a c e d b a c k 3 0 y e ars or m or e, t h e c o n c e pt of ki n eti c e n er g y c o ns er-

v ati o n a n d r ul es f or c o nstr u cti n g s c h e m es wit h t his pr o p ert y w as pr o b a bl y fi rst dis c uss e d cl e arl y b y

M ori nis hi et al. i n 1 9 9 8. T his w or k w as li mit e d t o i n c o m pr essi bl e e q u ati o ns a n d c o nsi d er e d o nl y fi nit e dif-

f er e n c e a p pr o xi m ati o ns. L at er F elt e n a n d L u n d ( 2 0 0 6) dis c uss e d a fi nit e v ol u m e f or m ul ati o n, a g ai n f or

i n c o m pr essi bl e e q u ati o ns. A b o ut t h e s a m e ti m e H o u a n d M a h es h ( 2 0 0 5) pr es e nt e d a l o w M a c h n u m b er

c o m pr essi bl e fi nit e v ol u m e f or m ul ati o n. Si n c e t h e n, s er v al ot h er c o m pr essi bl e, a n d/ or fi nit e v ol u m e f or m u-

l ati o ns h a v e a p p e ar e d i n t h e lit er at ur e ( e. g., S h o e y bi et al. ( 2 0 1 0), R eiss a n d S est er h e n n ( 2 0 1 4), C o p p ol a

et al. ( 2 0 1 9)).

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 5 of 2 0

M ori nis hi et al. ( 1 9 9 8) s h o w e d t h at ki n eti c e n er g y c o ns er v ati o n c a n b e

a c hi e v e d t hr o u g h c orr e ctl y c h os e n dis cr et e a p pr o xi m ati o ns t o t h e n o n-

li n e ar a d v e cti v e t er ms i n t h e m o m e nt u m e q u ati o n. I n t h e fi nit e v ol u m e

c o nt e xt, b ot h F elt e n a n d L u n d ( 2 0 0 6) a n d H o u a n d M a h es h ( 2 0 0 5)

s h o w e d t h at it is als o n e c ess ar y t o us e c e nt er e d i nt er p ol ati o n o p er at ors

w h e n c o m p uti n g t h e c ell f a c e fl u x es. T h e C o m pl e x G e o m etr y

C o m pr essi bl e At m os p h er e M o d el c o d e is c o nstr u ct e d i n t h e p att er n of

t h e F elt e n a n d L u n d ( 2 0 0 6) al g orit h m, b ut wit h t h e d e nsit y w ei g hti n g

o n t h e a d v e cti o ns v el o cit y i n t h e a d v e cti v e t er ms (i. e., t h e t er m u jl i n t h e

F elt e n a n d L u n d al g orit h m is r e pl a c e d wit h ρ u jl as i n e q u ati o n ( 2 5) a b o v e.

T h e s ol e n oi d al pr oj e cti o n of t h e c ell f a c e m ass fl u x ( F l ¼ ρ u jln l

jΔ S l) is als o

d el et e d as t his st e p is n ot r e q uir e d f or t h e c o m pr essi bl e e q u ati o n s et). T h e

c h os e n i nt er p ol ati o n str at e g y r es ults i n a n al g orit h m t h at is gl o b all y c o n-

s er v ati v e f or m ass, m o m e nt u m, ki n eti c e n er g y, a n d i nt er n al e n er g y. T h e

m et h o d is als o s e c o n d or d er a c c ur at e i n s p a c e o n a u nif or m m es h, wit h

o nl y sli g ht d e gr a d ati o n i n a c c ur a c y f or g e ntl y str et c h e d or g e ntl y

d ef or m e d m es h es. Ti m e a d v a n c e m e nt is a c hi e v e d vi a a l o w ‐st or a g e,

t hir d‐or d er a c c ur at e R u n g e ‐K utt a s c h e m e.

2. 3. 2. 3 I niti al C o n diti o n s

W e c h o os e a u nif or m i niti al m e a n wi n d o p p osit e t o t h e G W pr o p a g ati o n,

U 0 (z ) = − c , all o wi n g t h e G W p h as e t o b e i niti all y st ati o n ar y i n t h e a bs e n c e

of S A, a n d w e c h o os e a c a n o ni c al b a c k gr o u n d t e m p er at ur e ( V a d as & Fritts, 2 0 0 6) of

T 0 zð Þ ¼ T ¯m a x þ T ¯mi n − T ¯m a xð Þ1

21 − t a n h

z − 1 1 2 k m

1 6 k m

0 :2

( 2 6)

T his pr o fi l e h as T ¯mi n ¼ 2 4 6 K a n d T ¯m a x ¼ 1 0 0 0 K. Fi g ur e 1 a s h o ws t h e v ari ati o n i n b a c k gr o u n d t e m p er a-

t ur e. W e c h o os e a u nif or m t e m p er at ur e pr ofi l e, T( z) = 2 4 6 K, b el o w z ~ 1 0 0 k m, w hi c h yi el ds a s c al e h ei g ht H

~ 7. 2 k m, a b u o y a n c y fr e q u e n c y N ~ 0. 0 2 s − 1 , a n d T b ~ 3 1 8 s. T h e b u o y a n c y p eri o d v ari es b et w e e n 2 7 7 s a n d

6 1 9 s d u e t o v ar yi n g T (z ) at hi g h er altit u d es. Fi g ur e 1 b s h o ws t h e v ari ati o n i n N 2 .

W e c o nsi d er a n i niti al G W h a vi n g a h ori z o nt al w a v el e n gt h λ x = 4 5 k m, a v erti c al w a v el e n gt h λ z = 1 5 k m,

a n d a h ori z o nt al i ntri nsi c p h as e s p e e d c i = − U = ‐4 4. 2 m/s, w hi c h r es ults i n a n i ntri nsi c w a v e p eri o d

of T G W = 2 π /ω i = λ x / U = 1 0 1 8 s. A n i niti al G W p a c k et is i ntr o d u c e d i nt o t h e d o m ai n b y s p e cif yi n g

t h e str e a m wis e v el o cit y distri b uti o n wit h a n or m ali z e d i niti al a m plit u d e of a 0 ~ 0. 8 at z = ~ 4 0 k m alti-

t u d e, w hi c h c orr es p o n ds t o a n i niti al a m plit u d e of u 0 ~ 3 4 m/s at z = ~ 3 8 k m altit u d e. T h e i niti al G W

p a c k et is cr e at e d b y e n v el o pi n g t h e li n e ari z e d s ol uti o n wit h a 2 ‐D G a ussi a n f u n cti o n, t h at is,

u ′ x ; zð Þ ¼ u 0 e−

x − x 0ð Þ 2

2 σ 2x

−z − z 0ð Þ 2

2 σ 2z si n ϕ þ ϕ 1ð Þ ( 2 7)

H er e x 0 = 0 k m, z 0 = 4 0 k m ar e t h e i niti al c e ntr al p ositi o ns of G W p a c k et i n x a n d z dir e cti o ns, r es p e cti v el y;

σ x ~ 4 5 k m, σ z ~ 1 5 k m ar e t h e h alf wi dt hs of t h e G W p a c k et i n x a n d z dir e cti o ns, r es p e cti v el y. T h e ot h er p er-

t ur b ati o n q u a ntiti es ar e t h e n r el at e d t o it b y e q u ati o ns ( 9)– ( 1 3). T h es e p ar a m et ers w er e c h os e n t o b e r e pr e-

s e nt ati v e of a G W p a c k et arisi n g fr o m a str o n g l o w er at m os p h er e s o ur c e of hi g h ‐fr e q u e n c y G Ws s u c h as

m o u nt ai n w a v es ( M Ws) arisi n g o v er t h e S o ut h er n A n d es. R e c e nt li d ar o bs er v ati o ns o v er Ri o Gr a n d e

Ti err a d el F u e g o ( 5 3. 8 ° S) w ell i n t h e l e e a n d s o ut h of t h e m aj or p e a ks r e v e al M Ws wit h a m plit u d es oft e n

of T ′~ 3 0 K n e ar a n d b el o w ~ 4 0 k m, i m pl yi n g u ′~( g /N )T ′/ T 0 ~ 6 5 m / s ( B. a n d N. K aifl er, pri v at e c o m m u ni c a-

ti o n, 2 0 1 7). G W i m a gi n g at ~ 8 7 k m a n d r a d ar wi n d m e as ur e m e nts fr o m ~ 8 0– 1 0 0 k m als o r e v e al t h at u n d er

s uit a bl e pr o p a g ati o n c o n diti o ns, t h es e M Ws r e a dil y p e n etr at e w ell i nt o t h e M L T ( D. P a ut et a n d K.li m ur a,

pri v at e c o m m u ni c ati o ns, 2 0 1 7). T h es e o bs er v e d a m plit u d es ar e t h us oft e n w ell i n e x c ess of t h e G W a m pli-

t u d e w e h a v e s p e cifi e d f or t h es e S A d y n a mi cs st u di es.

T h e i niti al G W p a c k et yi el ds t h e G W m o m e nt u m fl u x

Fi g u r e 1. T h e ( a) b a c k gr o u n d t e m p er at ur e a n d ( b) r es ulti n g N2(z ).

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 6 of 2 0

ρ u ′w ′ ¼ ρ u ′w ′m a x

e−

x − x 0ð Þ 2

σ 2x

−z − z 0ð Þ 2

σ 2z ( 2 8)

A c c el er ati o n of t h e G W h ori z o nt al p h as e s p e e d d u e t o its r esi d e n c e i n a r e gi o n u n d er g oi n g m e a n fl o w a c c el-

er ati o n i n t h e dir e cti o n of G W pr o p a g ati o n v ari es as ( a n d us e , as i n u ′w ′, t o d e n ot e a v er a gi n g o v er t h e

G W p h as e)

d U

dt¼ −

1

ρ

d

d zρ u ′w ′ ( 2 9)

T his yi el ds a c orr es p o n di n g wi n d pr o fi l e gi v e n b y

U z ; tð Þ ¼ U þ U ¼ − c − ∫t

0

1

ρ

d

d zρ u ′w ′ dt ( 3 0)

F or t h e n o n dissi p ati v e m o n o c hr o m ati c G Ws i n st e a d y st at e, t h e q u a ntit y ρ 0 u ′w ′ is c o nst a nt, w hi c h c a us es

t h e u ′w ′ t o i n cr e as e as u ′w ′~ e z /H . T his st e p m ust b e vi e w e d as a n a p pr o xi m ati o n as t h e G W p a c k et i n o ur c as e

is dissi p ati v e a n d is n ot m o n o c hr o m ati c, b ut t his d o es n ot aff e ct t h e us e of t his a p pr o xi m ati o n t o e x pl ai n t h e

S A d y n a mi cs, as F 1 5 di d. Ass u mi n g t h at ρ u ′w ′ pr es er v es t h e f or m gi v e n b y e q u ati o n ( 2 8) pri or t o str o n g p h as e

dist orti o ns, i niti al m e a n fl o w a c c el er ati o ns ar e gi v e n a p pr o xi m at el y b y

d U

dte z − z 0ð Þe

zH e

−x − x 0ð Þ 2

σ 2x

−z − z 0ð Þ 2

σ 2z ( 3 1)

T his yi el ds a q u a dr ati c e q u ati o n ( d d U = dtð Þd z ¼ 0) f or t h e altit u d es of m a xi m u m p ositi v e (l ar g er r o ot) a n d n e g ati v e

a c c el er ati o ns (s m all er r o ot) o p p osi n g U , wit h s ol uti o ns gi v e n b y

z − z 0ð Þ ¼σ 2

z

4 H±

σ 2z

4 H1 þ

8 H

σ 2z

12

( 3 2)

E q u ati o n ( 3 2) yi el ds a m a xi m u m a c c el er ati o n ( d e c el er ati o n) o p p osi n g U (z ) at t h e altit u d e of ~σ 2

z

4 H þσ 2

z

4 H

1 þ 8 Hσ 2

z

12

a b o v e ( ~σ 2

z

4 H −σ 2

z

4 H 1 þ 8 Hσ 2

z

12

b el o w) t h e m a xi m u m ρ u ′w ′. T h us, t h e a c c el er ati o ns will c a us e str o n g

p h as e dist orti o ns.

2. 4. Si m ul ati o n D o m ai n a n d B o u n d a r y C o n diti o n s

T h e si m ul ati o ns dis c uss e d b el o w ar e p erf or m e d i n a C art esi a n c o m p ut ati o n al d o m ai n wit h i niti al 2 ‐D G Ws

ass u m e d t o pr o p a g at e i n t h e str e a m wis e ‐v erti c al ( x ,z ) pl a n e. T h e c o m p ut ati o n al d o m ai ns e xt e n d fr o m

− 1, 0 0 0 t o 1, 0 0 0 k m i n t h e str e a m wis e dir e cti o n a n d fr o m − 1 0 k m t o 3 0 0 k m i n t h e v erti c al dir e cti o n. A

2. 5 ‐D si m ul ati o n a d dr essi n g i nst a bilit y d y n a mi cs a c c o m p a n yi n g 2 ‐D G Ws i n cl u d es a s p a n wis e ( y ) e xt e nt

of 3 0 k m a n d a c o nst a nt s p a n wis e m es h s p a ci n g of Δ y = 3 0 0 m. I n all c as es, p o w er l a w m es h str et c hi n g is us e d

i n b ot h t h e x a n d z dir e cti o ns t o a c hi e v e r es ol uti o n of ( x , z ) = ( 3 0 0, 3 0 0) m i n t h e z o n e of i nst a bilit y, w a v e

br e a ki n g, a n d t ur b ul e n c e, wit h pr o gr essi v el y l ar g er m es h s p a ci n g b et w e e n t h e c e ntr al, r e fi n e d z o n e t h e

o ut er b o u n d ari es. A m a xi m u m s p a ci n g of x ≈ 1 3 k m is a c hi e v e d at str e a m wis e b o u n d ari es. W hil e m u c h c o ar-

s er t h a n t h e c e ntr al z o n e, t his s p a ci n g is still a d e q u at e t o r es ol v e t h e S G W i n t h es e r e gi o ns t h at h a v e h ori z o n-

t al w a v el e n gt hs gr e at er t h a n 2 0 0 k m. T h e 1, 5 0 0 × 1 × 6 0 0 ( 1, 5 0 0 × 1 0 0 × 6 0 0) m es h p oi nts ar e us e d i n t h e 2 ‐D

( 2. 5‐D) si m ul ati o n. T h e m es h distri b uti o n of t h e si m ul ati o n d o m ai n is s h o w n i n Fi g ur e 2.

P eri o di c b o u n d ar y c o n diti o ns ar e us e d i n t h e l at er al dir e cti o ns ( x a n d y ). L u n d a n d Fritts ( 2 0 1 2) a n d F 1 5

a d dr ess e d t h e a d v a nt a g es a n d c o nstr ai nt of t h e ass u m pti o n of t h e h ori z o nt al p eri o di cit y i n t h e h ori z o nt al

dir e cti o n. Is ot h er m al n o ‐str ess w all c o n diti o ns ar e us e d at t h e l o w er b o u n d ar y, a n d a c h ar a ct eristi c r a di ati o n

c o n diti o n is us e d at t h e u p p er b o u n d ar y. T h e b o u n d ar y c o n diti o ns ar e s u p pl e m e nt e d wit h n u m eri c al s p o n g e

l a y ers at all str e a m wis e a n d v erti c al b o u n d ari es i n or d er t o a bs or b o ut g oi n g G Ws. T h e s p o n g e l a y ers ar e 4 0

k m d e e p at t h e u p p er b o u n d ar y, 1 0 k m d e e p at t h e l o w er b o u n d ar y, a n d 1 0 0 k m wi d e o n t h e str e a m wis e

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 7 of 2 0

b o u n d ari es. T h e s p o n g es ar e i m pl e m e nt e d as “ n ois e c a n c eli n g ” f or ci n g t er ms a d d e d t o e a c h of t h e

c o ns er v ati o n e q u ati o ns. F or e x a m pl e, wit hi n t h e i nt er v al x b − x w ≤ x ≤ x b , t h e m o m e nt u m e q u ati o n is

m o di fi e d vi a

d ρ u i

dt¼ ⋯ − 1 þ t a n h 2 :5

x − x b

x w= t a n h 2 :5ð Þ

ρ u i− ρ u i

τ s( 3 3)

w h er e ρ a n d u i ar e t h e b a c k gr o u n d d e nsit y a n d b a c k gr o u n d wi n d, x b is t h e p ositi o n of t h e ri g ht b o u n d ar y, x w is

t h e s p o n g e wi dt h, a n d τ s is its ti m e c o nst a nt. T h e h y p er b oli c t a n g e nt f u n cti o n pr o vi d es a s m o ot h w ei g hti n g

f u n cti o n t h at tr a nsiti o ns b et w e e n z er o at x = x b − x w a n d 1. 0 at x = x b . A si m pl e a n al ysis of t h e a b o v e e q u a-

ti o n s h o ws t h at it dri v es a fl u ct u ati o n ρ u i− ρ u i t o 0 e x p o n e nti all y wit h ti m e c o nst a nt τ s. If o n e a bs or bs t h e

t a n h w ei g hti n g f u n cti o n i nt o a n eff e cti v e ti m e c o nst a nt, t h e n t h e s p o n g e l a y er c a n b e vi e w e d as a n e x p o n e n-

ti al d a m pi n g z o n e wit h ti m e c o nst a nt t h at d e cr e as es wit h dist a n c e f or w a v es att e m pti n g t o p ass t hr o u g h.

T his c o nstr u cti o n all o ws f or gr a d u al att e n u ati o n of i n ci d e nt w a v es, r es ulti n g i n n e ar ‐c o m pl et e e xti n cti o n

at t h e b o u n d ar y wit h n e gli gi bl e r e fl e ct e d w a v e e n er g y. T h e ti m e c o nst a nt τ s is s et t o t w o c o m p ut ati o n al ti m e

st e ps or a b o ut 0. 0 3 s.

T h e s p o n g es eff e cti v el y tr a nsf or m t h e u n d erl yi n g a ct u al b o u n d ar y c o n diti o ns i nt o r a di ati o n c o n diti o ns. F or

e x a m pl e, a ri g ht ‐r u n ni n g w a v e will b e att e n u at e d t o n e ar e xti n cti o n b y t h e s p o n g e pri or t o r e a c hi n g t h e

d o w nstr e a m b o u n d ar y. D u e t o t h e p eri o di c b o u n d ar y c o n diti o n, a n y s m all r esi d u al w a v e e n er g y t h at d o es

i m pi n g e o n t h e b o u n d ar y will r e e nt er t h e d o m ai n o n t h e l eft, b ut will t h e n e n c o u nt er t h e s p o n g e l a y er o n

t h at si d e, di mi nis hi n g its a m plit u d e e v e n f urt h er as it att e m pts t o pr o p a g at e a cr oss it. T h e n et r es ult is t h at

w a v es si m pl y a p p e ar t o l e a v e t h e d o m ai n p er m a n e ntl y o n c e t h e y e nt er t h e s p o n g e.

T h e o nl y d o w nsi d e of t h e s p o n g e l a y ers is t h at t h e y i n cr e as e t h e c ost of t h e si m ul ati o n. Si n c e t h e s p o n g e

t er ms ar e n o n p h ysi c al, t h e s ol uti o n c a n n ot b e us e d a n y w h er e wit hi n t h e s p o n g e r e gi o ns. T his r e alit y m e a ns

t h at t h e eff e cti v e p ositi o n of t h e b o u n d ari es m ust b e m o v e d i n w ar d b y t h e t hi c k n ess of t h e s p o n g e, t h er e b y

r e d u ci n g t h e v ali d fl o w r e gi o n. I n o ur c as e, t his r e q uir e m e nt l e a ds t o a n eff e cti v e d o m ai n t h at e xt e n ds fr o m

− 9 0 0 k m t o 9 0 0 k m i n x , a n d fr o m 0 t o 2 6 0 k m i n z . W e r es p e ct t h es e r estri ct e d d o m ai n li mits f or all a n al ysis

of o ur r es ults. S p o n g es ar e n ot us e d i n t h e s p a n wis e dir e cti o n f or t h e 2. 5 ‐D si m ul ati o n, a n d t h us t h e f ull 3 0

k m e xt e nt i n t his dir e cti o n c a n b e us e d. Als o n ot e t h at o ur F V s c h e m e r e m ai ns gl o b all y c o ns er v ati v e f or

m ass, m o m e nt u m, ki n eti c, a n d i nt er n al e n er g y f or t h e s u b d o m ai n e x cl u di n g t h e s p o n g es.

T h e 2. 5 ‐D si m ul ati o n a d dr essi n g 3 ‐D i nst a bilit y d y n a mi cs a c c o m p a n yi n g 2 ‐D G Ws i n cl u d es a s p a n wis e

di m e nsi o n ( y ). P eri o di c b o u n d ar y c o n diti o ns wit h o ut s p o n g es ar e us e d at t h e m eri di o n al b o u n d ari es f or

t h e 2. 5‐D si m ul ati o ns. T h es e b o u n d ar y c o n diti o ns all o w f or t h e d e v el o p m e nt of li mit e d s m all ‐s c al e t hr e e ‐

di m e nsi o n al str u ct ur es w hil e pr es er vi n g t h e t w o ‐di m e nsi o n al c h ar a ct er of t h e w a v e p a c k et. I n t h e 2. 5 ‐D

c as e, t h e s p a n wis e d o m ai n e xt e nt is t a k e n t o b e s uf fi ci e ntl y l ar g e ( 3 0 k m, as s h o w n l at er i n t his p a p er,

Fi g ur e 7 s h o ws t h at t h e i nst a bilit y s c al e i n s p a n wis e dir e cti o n is l ess t h a n ~ 1 5 k m) t o n ot c o nstr ai n t h e

i nst a bilit y s c al es t h at aris e.

2. 5. S u b g ri d ‐S c al e T u r b ul e n c e M o d el

T h e 2. 5 ‐D si m ul ati o n m a k es us e of t h e d y n a mi c S m a g ori ns k y s u b gri d ‐s c al e m o d el ( G er m a n o et al., 1 9 9 1;

M oi n et al., 1 9 9 1) i n or d er t o a c c o u nt f or u nr es ol v e d t ur b ul e nt m oti o ns. T h e e q u ati o ns f or t h e e d d y

Fi g u r e 2. T h e m es h distri b uti o n of t h e si m ul ati o n d o m ai n. T h e r es ol uti o n of t h e c e nt er ar e a is 3 0 0 m.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 8 of 2 0

vis c osit y, e d d y c o n d u cti vit y, a n d t ur b ul e nt ki n eti c e n er g y c o ef fi ci e nts ar e a v er a g e d o v er li mit e d h ori z o nt al

pl a n es t h at c o nt ai n j ust t h e t ur b ul e nt fl o w. T his is st a n d ar d tr e at m e nt a n d r es ults i n w ell ‐c o n diti o n e d e q u a-

ti o ns f or t h e m o d el c o effi ci e nts. T h e 2 ‐D si m ul ati o n d o es n ot m a k e us e of a t ur b ul e n c e m o d el as t his is n ot

a p pr o pri at e f or a 2 ‐D fl o w.

3. Si m ul ati o n R e s ult s

3. 1. S A D y n a mi c s a n d S G W G e n e r ati o n

G W u ′,w ′, v orti cit y m a g nit u d e ζ ′ ¼ ζ ′x

2

þ ζ ′y

2

þ ζ ′z

2

j

12

, a n d T ′/T 0 (t o p t o b ott o m) ar e s h o w n wit h x ‐z

cr oss s e cti o ns f or t h e 2 ‐D G W si m ul ati o n at y = 0 at 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, a n d 6 0 mi n aft er i niti ati o n i n Fi g ur e 3.

P ert ur b ati o ns ar e m e as ur e d r el ati v e t o i nst a nt a n e o us h ori z o nt al a v er a g es of t h e wi n d fl o w fi el ds, t h at is, u

′(x ,z ) = u ′(x ,z ,t) − u ′(x ,z ,t), w h er e r e pr es e nts a h ori z o nt al a v er a g e. T h e fi el ds at t h es e ti m es ar e s h o w n i n

s u b d o m ai ns e xt e n di n g 2 0 0, 3 0 0, 4 0 0, 9 0 0, a n d 1, 8 0 0 k m h ori z o nt all y c e nt er e d at x = 0, r es p e cti v el y, a n d

e xt e n di n g t o 2 6 0 k m i n z . T h es e s u b d o m ai ns e x cl u d e t h e s p o n g e l a y ers i n all c as es.

As s h o w n i n Fi g ur e 3, t h e G W p a c k ets r e m ai n l ar g el y li n e ar at 1 0 mi n. At 2 0 mi n, t h e p a c k ets h a v e e x p a n d e d

i n x a n d z d u e t o dis p ersi o n arisi n g fr o m t h eir fi nit e s p e ctr al e xt e nt. A d diti o n all y, t h e p a c k ets n o w e x hi bit

si g nifi c a nt p h as e dist orti o ns, wit h s o m e w h at s h all o w er p h as e sl o p es at l o w er altit u d es, b ut si g ni fi c a ntl y st e e-

p er sl o p es at t h eir l e a di n g e d g es. T h e c a us e of t h es e diff er e n c es is t h e r a pi d i n cr e as e i n h ori z o nt al a c c el er a-

ti o ns at t h e l e a di n g e d g es of t h e p a c k ets w h er e t h e v erti c al fl u x of h ori z o nt al m o m e nt u m is l ar g e, r a pi dl y

i n cr e asi n g, a n d e x hi bits a v er y str o n g i n cr e as e wit h d e cr e asi n g altit u d e d u e t o fi nit e p a c k et d e pt h (s e e e q u a-

ti o n ( 2 8) a n d Fi g ur e 3).

B y 3 0 mi n, t h e e v ol vi n g a c c el er ati o ns h a v e c a us e d str o n g ki n ki n g of t h e p h as e str u ct ur es, n e ar v erti c al or

r e v ers e d p h as e sl o p es a b o v e ~ 1 1 5 k m (s e e es p e ci all y t h e w ′ a n d T ′/T 0 fi el ds), st alli n g of v erti c al p a c k et pr o-

p a g ati o n at a n d a b o v e t h e p h as e r e v ers als, a n d o ns et of i niti all y 2 ‐D S A i nst a bilit y d y n a mi cs.

Fi g ur e 4 s h o ws Δ U , ρ 0 u ′w ′ a n d d U / dt pr o fi l es at y = 0 a n d t h e x e x hi biti n g t h e str o n g est r es p o ns es at e a c h

ti m e, a n d pl ots of u ′d e fi cits wit h r es p e ct t o t h e i niti al c o nst a nt U 0 (z ) t hr o u g h t h e p a c k et c e nt er at 1 0, 2 0,

a n d 3 0 mi n f or t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D e v ol uti o ns. T h es e diff er o nl y w e a kl y as 3 ‐D i nst a biliti es o nl y b e gi n t o f or m

i n t h e 2. 5‐D c as e j ust pri or t o 3 0 mi n (s e e s e cti o n 3. 2). At 2 0 mi n, t h es e d y n a mi cs yi el d a m a xi m u m a c c el er a-

ti o n ( d e c el er ati o n) o p p osi n g U 0 (z ) at ~ 2 1 k m a b o v e ( ~ 5. 4 k m b el o w) t h e m a xi m u m ρ 0 u ′w ′.

T h es e d y n a mi cs ar e si mil ar i n f or m t o t h os e s h o w n b y F 1 5 f or a G W p a c k et l o c ali z e d o nl y i n z , a n d b ot h

r e v e al t h at t h e m a xi m u m p h as e dist orti o ns a c c o m p a n y t h e str o n g est a c c el er ati o ns. T his is b e c a us e t h e

G W p a c k ets r esi d e a n d pr o p a g at e i n t h e v ol u m es u n d er g oi n g a c c el er ati o ns. L o c ali z ati o n of G W p a c k et f or-

ci n g als o i m pli es m o m e nt u m tr a ns p ort str e a m wis e ( x ) m oti o ns t h at v ar y i n x a n d z , w hi c h a ct as s o ur c es of

l ar g er‐s c al e S G Ws t h at d o n ot o c c ur f or p a c k ets l o c ali z e d o nl y i n z . I niti al, w e a k S G W r es p o ns es at s m all er

s c al es ( λ x ~ 1 0 0 – 1 5 0 k m) ar e s e e n at 3 0 mi n, a n d at m u c h l ar g er s c al es t h er e aft er ( λ x ~ 2 0 0 – 4 0 0 k m at alti-

t u d es a b o v e ~ 1 5 0 k m at 4 0 a n d 6 0 mi n). T h e i n cr e asi n g s c al es of t h e S G Ws s e e n at l at er ti m es ar e a c o ns e-

q u e n c e of t h e G W p a c k ets dis p ersi o n a n d e x p a n di n g r e gi o ns of i nst a bilit y a n d m o m e nt u m d e p ositi o n as

t h e y pr o p a g at e t o hi g h er altit u d es. B e c a us e t h es e l ar g er‐s c al e S G Ws i m pl y m u c h hi g h er i ntri nsi c p h as e

s p e e ds (c i ~ N λ z / 2π ~ 1 5 0 – 2 0 0 m/s f or λ z ~ 1 0 0 k m or l ar g er), l o c ali z e d G W S A e v e nts at l o w er altit u d es h a v e

t h e p ot e nti al t o i nfl u e n c e s m all ‐ a n d l ar g er ‐s c al e at m os p h eri c d y n a mi cs e xt e n di n g w ell i nt o t h e t h er m o-

s p h er e. T h e S A d y n a mi cs als o e x cit e A Ws at ~ 3 0 mi n t h at ar e g e n er at e d pri or t o str o n g i nst a biliti es a n d h a v e

m u c h l ar g er a m plit u d es at 4 0 mi n f oll o wi n g t h e str o n g est i nst a bilit y d y n a mi cs. T h e A Ws ar e a bs e nt at 6 0

mi n b e c a us e str o n g i nst a bilit y d y n a mi cs c e as e d m u c h e arli er at l o w er altit u d es (s e e 2 D _ x z. a vi i n t h e

s u p p orti n g i nf or m ati o n).

T h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D e v ol uti o ns ( n ot s h o w n h er e) ar e i d e nti c al u ntil t h e eff e cts of 3 ‐D r at h er t h a n 2 ‐D i nst a bil-

iti es ar e f elt. At 4 0 mi n a n d 6 0 mi n, t h er e ar e cl e arl y w e a k er S G Ws o v er t h e c e ntr al p a c k et at s m all x f or t h e

2. 5 ‐D c as e, b ut t h e S G Ws at l ar g e| x | ar e virt u all y t h e s a m e i n b ot h c as es. S G Ws r e a dil y aris e fr o m 2‐D G W

p a c k ets u n d er g oi n g l o c ali z e d S A d y n a mi cs a n d 2 ‐D a n d/ or 3 ‐D i nst a biliti es. G W p a c k ets h a vi n g a m plit u d es

c o nstr ai n e d b y r e alisti c 3 ‐D i nst a biliti es ar e s o m e w h at l ess ef fi ci e nt s o ur c es of S G Ws t h a n t h eir 2 ‐D c o u nt er-

p arts. T his is b e c a us e 3 ‐D i nst a biliti es, w h er e t h e y o c c ur, m or e ef fi ci e ntl y r e d u c e G W a m plit u d es at l o w er

altit u d es, h e n c e als o r e d u c e m o m e nt u m tr a ns p ort t o hi g h er altit u d es. S G Ws c a n als o aris e fr o m G W

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 9 of 2 0

br e a ki n g d y n a mi cs at s m all er s c al es. S u c h s m all er s c al es ar e s e e n i n b ot h t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D fi el ds at 4 0 a n d

6 0 mi n f oll o wi n g t h e str o n g i nst a bilit y d y n a mi cs, es p e ci all y i n w ′ at ~ 1 0 0 – 1 3 0 k m o v er t h e m ost

i nt e ns e i nst a biliti es.

3. 2. I n st a biliti e s D y n a mi c s

T o b ett er u n d erst a n d t h e n at ur e of t h e w a v e i nst a bilit y, br e a ki n g, a n d ass o ci at e d m e c h a nis ms, z o o m e d x ‐z

cr oss s e cti o ns of t h e i nst a bilit y d y n a mi cs i n t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D p a c k et | ζ′| fi el ds ar e s h o w n at 3 0, 3 5, 4 0,

a n d 6 0 mi n at l eft a n d ri g ht, r es p e cti v el y, i n Fi g ur e 5. T h e 2. 5 ‐D p a c k et y ‐z cr oss s e cti o ns at x = − 6 0,

− 2 0, 0, a n d 4 0 k m ar e s h o w n at t h e s a m e ti m es i n Fi g ur e 6. R ef erri n g fi rst t o t h e u p p er p a n els of

Fi g ur e 5 at 3 0 mi n, w e s e e t h at b ot h c as es e x hi bit 2 ‐D S A i nst a biliti es at t h e l e a di n g e d g e of t h e G W

p a c k et i d e nti fi e d b y F 1 5 b ut l o c ali z e d i n x b e c a us e of t h e fi nit e p a c k et e xt e nt c o nsi d er e d h er e. At l o w er

altit u d es, ~ 4 0 – 7 0 k m, b ot h c as es e x hi bit i niti al u n d ul ati o ns of t h e p ositi v e s h e ets als o s e e n b y F 1 5, b ut

t h es e ar e s o m e w h at str o n g er i n t h e 2‐D t h a n i n t h e 2. 5 ‐D c as e, s u g g esti n g t h at 3 ‐D i nst a biliti es h a v e

b e g u n at t his ti m e (s e e t h e l eft s u b p a n els at 3 0 mi n i n Fi g ur e 6). I nst a biliti es i n b ot h c as es e v ol v e r a pi dl y

t h er e aft er, b ut t h os e i n t h e 2‐D c as e ar e arti fi ci all y c o nstr ai n e d, w h er e as b ot h t h e i niti al 2 ‐D a n d 3 ‐D

i nst a biliti es i n t h e 2. 5‐D c as e r a pi dl y b e c o m e str o n gl y 3 ‐D t h er e aft er, a n d e v ol v e m or e r a pi dl y d u e t o a

3 ‐D e n er g y c as c a d e ( wit h ζ ′x , ζ ′

y , a n d ζ ′z ≠ 0).

B e c a us e str o n g i nst a biliti es aris e q ui c kl y at t h e l o w er altit u d es a c c o m p a n yi n g a m plit u d e gr o wt h of t h e c e n-

tr al G W p a c k ets, t h os e i nst a biliti es pr o gr ess m ost q ui c kl y. T h us, t h e r e gi o ns of str o n g est i nst a biliti es pr o-

gr ess t o hi g h er altit u d es at l at er ti m es a n d t h e y d e c a y fi rst at t h e l o w est altit u d es. T his d e c a y is als o m or e

ef fi ci e nt a n d r a pi d f or t h e 3 ‐D i nst a biliti es all o w e d t o f oll o w t h e m ost ef fi ci e nt p at h t o t ur b ul e nt

Fi g u r e 3. (t o p t o b ott o m) T w o‐di m e nsi o n al G W u ′, w ′, |ζ′|, a n d T ′/T 0 at 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, a n d 6 0 mi n ( cl o c k wis e fr o m u p p erl eft i n e a c h). T h e d ot‐d as h e d li n es d e n ot e t h e l o c ati o n of x = 0 k m.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 0 of 2 0

dissi p ati o n (s e e Fi g ur e 5 at 4 0 a n d 6 0 mi n). T h e i niti al 3 ‐D i nst a biliti es c o m pris e c o u nt err ot ati n g, s p a n wis e ‐

ali g n e d r olls, yi el di n g t h e dist ort e d | ζ′| str u ct ur es s e e n at t h e e arli est st a g es of 3‐D d y n a mi cs at all altit u d es.

T h es e i nst a biliti es h a v e s p a n wis e s c al es t h at d e p e n d o n t h e l o c al R e ¼ c λ z = υ ¼ λ 2z = υ T b a n d t h us i n cr e as e

wit h altit u d e w h er e λ z a n d T b ar e r el ati v el y u nif or m, as s e e n i n Fi g ur e 6.

G W dissi p ati o n i n t h e 2. 5 ‐D c as e a c c o m p a ni es t h e f or m ati o n of 3 ‐D i nst a biliti es a n d t h eir c as c a d e of e n er g y

t o s m all er s c al es, as d es cri b e d f or i d e ali z e d G W br e a ki n g b y Fritts et al. ( 2 0 0 9 b). Dissi p ati o n is i niti at e d at

~ 4 0 – 6 0 k m a n d e x p a n ds t o altit u d es of ~ 5 0 t o 1 8 0 k m wit hi n ~ 2 0 mi ns (s e e Fi g ur e 6). T his e n er g y c as c a d e

r e d u c es t h e G W a m plit u d e si g ni fi c a ntl y. B y ~ 6 0 mi n, it h as r e d u c e d t h e G W a m plit u d e b y ~ 5 0 t o 7 0 %. Its

disr u pti o n of t h e G W v erti c al pr o p a g ati o n a n d t h e e v ol uti o n of t h e f oll o wi n g 3 ‐D i nst a bilit y i n d u c e m or e

r a pi d a m plit u d e r e d u cti o ns t h a n i n 2 ‐D c as e at hi g h er altit u d es. T h e i n d u c e d Δ U ( z) als o i m p os es a r e d u c e d

gr o u n d ‐b as e d p h as e s p e e d a n d λ z ( h e n c e als o a s m all er v erti c al gr o u p v el o cit y) t h at d el a ys t h e v erti c al pr o-

p a g ati o n of t h e tr aili n g p orti o n of t h e G W p a c k et. T h e tr aili n g G W p a c k et a m plit u d e r e m ai ns n e arl y c o n-

st a nt at t h es e ti m es as t h e d e v el o p m e nt of 3 ‐D i nst a biliti es pr e v e nt t h e gr o wt h of t h e G W a m plit u d e at

t h es e altit u d es ( ~ 5 0– 1 1 0 k m), d es pit e its c o nti n ui n g v erti c al pr o p a g ati o n. O n c e t h e 3 ‐D i nst a biliti es a c hi e v e

fi nit e a m plit u d es, t h e a m plit u d e d e c a ys q ui c kl y t h er e aft er.

Fi g ur e 3 cl e arl y s h o ws t h e g e n er ati o n of A Ws. T h e g e n er ati o n of A Ws i n t h e t ur b ul e nt m e di u m w as fi rst st u-

di e d b y Li g ht hill ( 1 9 5 4). H e s h o w e d t h at A W is e mitt e d b y t h e q u a dr u p ol e arisi n g fr o m t h e fl u ct u ati o n of t h e

n o nli n e ar m o m e nt u m fl o w i n t h e h o m o g e n e o us i n c o m pr essi bl e t ur b ul e n c e a n d t h at t h e p o w er of e missi o n

is pr o p orti o n al t o t h e dissi p ati o n r at e ti m es t h e fi ft h p o w er of t h e M a c h n u m b er of t ur b ul e n c e. H o w e v er, his

t h e or y o nl y a p pli es t o t h e si m pl e sit u ati o n, i n w hi c h t h e A Ws is i m a gi n e d t o b e g e n er at e d b y a fi nit e r e gi o n of

Fi g u r e 4. ( a– h) Pr o fi l es of ρ u ′w ′, u ′, Δ U ,d U /dt , ρ T ′w ′, T ′, Δ T , a n d d T /dt at ( bl a c k, bl u e, a n d r e d) 1 0, 2 0, a n d 3 0 mi n a v er-

a g e d o v er t h e 2 ‐D ( 2. 5 ‐D) (s oli d ( d as h e d)) G W p a c k et.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 1 of 2 0

r ot ati o n al fl o w i n a n u n b o u n d e d fl ui d. F or a c c essi n g t h e g e n er ati o n of A Ws i n t h e t ur b ul e n c e m or e

r e alisti c all y, h er e w e i ntr o d u c e d a n a d diti o n al 3 ‐D si m ul ati o n i n a s m all d o m ai n. T h e c o m p ut ati o n al

d o m ai ns wit h a 3 0 0 m r es ol uti o n r a n g e fr o m − 1 0 0 t o 1 0 0 k m i n b ot h t h e str e a m wis e a n d s p a n wis e

dir e cti o n. T h e s p o n g e l a y ers ar e 1 0 k m wi d e o n t h e str e a m wis e a n d s p a n wis e b o u n d ari es. I n t h e v erti c al

dir e cti o n, t h e s a m e tr e at m e nt as t h e 2 ‐D c as e is a d a pt e d. T h e i niti al G W p a c k et is a m or e r e alisti c 3 ‐D

p a c k et, w hi c h is e q ui v al e nt t o t a ki n g a l o c ali z e d o p er ati o n si mil ar t o t h e str e a m wis e dir e cti o n i n t h e

s p a n wis e dir e cti o n i n 2 ‐D c as e.

F oll o wi n g e arli er st u di es of t h e v orti cit y d y n a mi cs wit hi n t h e t ur b ul e n c e s p e ctr u m arisi n g fr o m w a v e br e a k-

i n g ( A n dr e ass e n et al., 1 9 9 8; Fritts et al., 2 0 0 9 b), w e e m pl o y t h e m e di a n of t h e t hr e e ei g e n v al u es λ 2 of t h e

t e ns or d efi n e d as L = Ω 2 + S 2 , w h er e Ω a n d S ar e t h e r ot ati o n a n d str ai n t e ns ors, wit h a ntis y m m etri c a n d

s y m m etri c c o m p o n e nts Ω ij = ( ∂ iu j − ∂ ju i)/ 2 a n d S ij = ( ∂ iu j+ ∂ ju i)/ 2, t o i d e ntif y fl o w f e at ur es h a vi n g str o n g

r ot ati o n al c h ar a ct er ( e. g., v ort e x c or e). N e g ati v e v al u es of λ 2 c orr es p o n d t o fl o w f e at ur es h a vi n g t h e gr e at est

r ot ati o n al c h ar a ct er, a n d t h e m a g nit u d e is a m e as ur e of r ot ati o n al i nt e nsit y. P ur e s h e ari n g m oti o ns (it m e a ns

t h at t h e b a c k gr o u n d s h e ar is c o m p ar a bl e t o t h e v orti cit y m a g nit u d e wit hi n t h e v ort e x) m a k e n o c o ntri b uti o n

t o λ 2 . T h e λ 2 r e pr es e nts s e nsiti vit y t o a s u bs et of t ot al v orti cit y t h at is m or e r el e v a nt t o t ur b ul e n c e d y n a mi cs

a n d t h at pr o vi d es a cl e ar a bilit y t o disti n g uis h b et w e e n t h e t w o c o ntri b uti o ns t o t ot al v orti cit y. T h es e f e at ur es

c o m pris e t h e m aj orit y of t h e t ur b ul e n c e fi el d.

Fi g ur e 7 dis pl a ys 3 ‐D v ol u m etri c vi e ws of λ 2 vi e w e d fr o m t h e t o p a n d n e g ati v e x dir e cti o n. T h e s h o w n

v ol u m e is at x fr o m − 9 0 k m t o ~ 9 0 k m, y fr o m − 9 0 k m t o 9 0 k m, a n d z fr o m ~ 5 0 k m t o ~ 1 5 0 k m. I n t o p vi e ws,

G W pr o p a g ati o n is t o t h e l eft. T h e v ol u m etri c vi e ws of t h e λ 2 fi el ds c a pt ur e t h e k e y d y n a mi cs l e a di n g t o G W

br e a ki n g, i n cl u di n g i niti al ri n gs. T h e e x cit ati o n, pr o p a g ati o n, a n d e v ol uti o n of t h es e ri n gs a p p e ar t o l ar g el y

a c c o u nt f or t h e c h ar a ct er a n d e v ol uti o n of t h e t ur b ul e n c e fi el d a n d t h e c as c a d e of e n er g y t o s m all er s c al es of

m oti o n a n d l ar g er ‐s c al e S G Ws a n d A Ws. T h us, t h er e is r e as o n t o b eli e v e t h es e r es ults will b e b e n e fi ci al i n

a d dr essi n g A W g e n er ati o n wit h s uf fi ci e nt r es ol uti o n, as w e will w a nt t o h a v e c o n fi d e n c e i n t h es e d y n a mi cs

at t h e i nst a bilit y s c al es if w e ar e t o ass ess t h e A Ws pr o d u c e d b y t ur b ul e n c e, w hi c h w as pr e di ct e d b y Li g ht hill

( 1 9 5 4). Hi g h er‐r es ol uti o n r es ults will b e pr es e nt e d i n s u bs e q u e nt p a p ers.

3. 3. S p e ct r al E v ol uti o n s

S p e ctr a ar e us ef ul t o i d e ntif y s hifts i n t h e d o mi n a nt w a v el e n gt hs a n d as w ell as t h e o ns et of n o nli n e ar

tr a nsf ers t o a br o a d s c al e r a n g e. W e n o w dis c uss t h e v el o cit y a n d fl u x s p e ctr a, a n d t h eir e v ol uti o ns

Fi g u r e 5. As i n Fi g ur e 3 f or x ‐z s u b d o m ai n cr oss s e cti o ns of | ζ′| f or t h e (l eft a n d ri g ht) 2‐D a n d 2. 5 ‐D G W p a c k ets at (t o p t ob ott o m) 3 0, 3 5, 4 0, a n d 6 0 mi n.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 2 of 2 0

t hr o u g h o ut w a v e br e a ki n g. Str e a m wis e v el o cit y (fl u x) s p e ctr a of str e a m wis e v el o citi es ( fl u x es) d eri v e d

fr o m o ur si m ul ati o ns at t = 1 5, 3 0, 4 5, a n d 6 0 mi n ar e dis pl a y e d i n Fi g ur e 8 ( 9). I n di vi d u al s p e ctr a

ar e c o m p ut e d o v er | x | ≤ 3 0 0 k m, a n d a v er a g e d o v er 1 0 k m i n altit u d e i n f o ur altit u d e r a n g es fr o m

3 0 t o 1 0 0 k m. I n or d er t o cl e arl y d e pi ct G W d y n a mi cs a n d e n er g y tr a nsf ers fr o m t h e G W t o t h e

t ur b ul e n c e, w e s h o w o nl y t h e l o w w a v e n u m b er p orti o n of e a c h s p e ctr u m. T h e f ull s p e ctr a e xt e n d o ut

t o k = 1 0. 5 k m − 1 , w h er e t h e e n er g y d e nsit y is of or d er 1 0− 1 2 − 1 0 − 1 0 m 3 /s 2 . F or t h e s p e ctr a a v er a g e d

o v er a n altit u d e r a n g e of 9 0 – 1 0 0 k m ( dis c uss e d b el o w), a s u b gri d ‐s c al e i m p os e d vis c o us r a n g e f or

2. 5 ‐D c as e b e gi ns at a p pr o xi m at el y k ~ 2 k m − 1 , w hi c h c orr es p o n ds t o a w a v el e n gt h of 2π / 2 ~ 3 k m.

C o nsi d eri n g fi rst t h e 2‐D si m ul ati o n s p e ctr a at 1 5 mi n ( bl a c k li n es), w e s e e t h at u ′2 (k ) is l ar g est b el o w 6 0 k m

a n d l ar g el y r e fl e cts t h e i niti al G W p a c k et w a v e n u m b er d e p e n d e n c e i n k wit h t h e m aj or p e a k at t h e G W

λ x 0 = 2 π /k 0 = 4 5 k m. S p e ctr al d e nsiti es i n cr e as e wit h altit u d e t o 5 0 – 6 0 k m, s hift t o sli g htl y l ar g er k a n d

d e cr e as e s o m e w h at b y 7 0 ‐8 0 k m, a n d ar e dr a m ati c all y s m all er at 9 0 – 1 0 0 k m. T h es e s p e ctr al f e at ur es ar e c o n-

sist e nt wit h t h e i niti al st a g es of S A d y n a mi cs a n d t h e a p p ar e nt a bs e n c e of i niti al S G Ws a n d i nst a bilit y

d y n a mi cs at t his ti m e.

At 3 0 mi n ( bl u e li n es), G W p a c k et h as pr o p a g at e d ~ 1 5 k m hi g h er, i niti al 2 ‐D S A i nst a biliti es a c hi e v e l ar g e

a m plit u d es, a n d i niti al S G Ws a n d A Ws a p p e ar a b o v e ~ 1 2 0 k m (s e e Fi g ur e 3). T h e G W a m plit u d e a n d its h ar-

m o ni cs i n k (λ x = 4 5/ n k m, f or n = 2, 3, … ) i n cr e as e t o ~ 7 0– 8 0 k m a n d d e cr e as e a b o v e.

I nst a bilit y d y n a mi cs b e c o m e v er y str o n g at altit u d es of ~ 7 0 – 1 4 0 k m b y 4 5 mi n. T h e k s p e ctr a n e ar k 0 all

d e cr e as e b y t his ti m e d u e t o c o n v ersi o n of e n er g y i nt o i nst a biliti es, S G Ws, a n d A Ws. T his, a n d t h e c o nti n u-

i n g u p w ar d pr o p a g ati o n of t h e v ari o us w a v es, c a us es s p e ctr al a m plit u d es t o i n cr e as e at l o w a n d hi g h k at all

altit u d es. S p e ctr al sl o p es at λ x ~ 6 – 6 0 k m at t h e hi g h er altit u d es a p pr o a c h − 5/ 3, s u g g esti v e of t h e G W s p e ctr al

sl o p e pr e di ct e d b y V a n Z a n dt ( 1 9 8 2).

Fi g u r e 6. As i n Fi g ur e 5 f or f o ur y ‐z s u b d o m ai n cr oss s e cti o ns ( x = − 6 0 k m, − 2 0 k m, 0 k m, a n d 4 0 k m) of | ζ′| f or 2. 5‐D G Wp a c k ets at (l eft t o ri g ht) 3 0, 3 5, 4 0, a n d 6 0 mi n at e a c h p a n el.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 3 of 2 0

I nst a bilit y i nt e nsiti es d e cr e as e si g nifi c a ntl y at all altit u d es fr o m 4 5 t o 6 0 mi n. T his l e a ds t o m u c h d e cr e as e d,

or c ess ati o n of, S G W a n d A W e x cit ati o n o v er t his i nt er v al. T h e 2 ‐D s p e ctr a r e fl e ct t h es e d y n a mi cs, w h er e

s p e ctr al a m plit u d es a b o v e 7 0 k m at λ x ~ 2 0 k m a n d l ess ar e s m all er b y f a ct ors of ~ 2 – 1 0 ti m es or m or e at

6 0 mi n r el ati v e t o t h os e at 4 5 mi n. S p e ctr al sl o p es at 6 0 mi n als o d e p art m or e si g ni fi c a ntl y fr o m − 5/ 3 at

λ x ~ 1 0 – 6 0 k m t h a n at 4 5 mi n a n d s u g g est a g e n er al d e c a y of pri m ar y a n d S G W e n er g y at t his ti m e.

C o m p ari n g t h e s p e ctr a f or t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D si m ul ati o ns, w e s e e t h at t h e y ar e n e arl y i d e nti c al i n m a n y

r es p e cts. T h e 3 ‐D i nst a biliti es o c c urri n g i n t h e 2. 5 ‐D si m ul ati o n c a us e m or e r a pi d er osi o n of t h e hi g h er h ar-

m o ni cs of t h e pri m ar y G W a n d l o w er s p e ctr al a m plit u d es at t h e l ar g est k at all altit u d es a n d ti m es. T hr e e ‐

di m e nsi o n al i nst a biliti es als o r es ult i n w e a k er S G Ws at t h es e altit u d es at l at er ti m es. T his is t o b e e x p e ct e d,

gi v e n t h e m or e ef fi ci e nt dissi p ati o n of t h e pri m ar y G W b y 3 ‐D i nst a biliti es.

T ur ni n g t o t h e cr oss s p e ctr a, w e a g ai n s e e q uit e cl os e a gr e e m e nt b et w e e n t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D r es ults f or t h e

r e as o ns d es cri b e d a b o v e. F or t h e 2 ‐D si m ul ati o n s p e ctr a at 1 5 mi n ( bl a c k li n es), w e s e e t h at t h e m aj or fl u x es

ar e c o n fi n e d t o altit u d es b el o w 8 0 k m a n d a c c o m p a n y t h e i niti al G W a n d its h ar m o ni cs. Of t h es e, t h e fi rst

h ar m o ni c m a k es t h e m aj or c o ntri b uti o ns at all altit u d es t o u ′w ′ b e c a us e of its l ar g er v erti c al gr o u p v el o cit y,

c g z , a n d t o w ′T ′ b e c a us e t h e pri m ar y G W ( λ x 0 = 4 5 k m) h as w ′ a n d T ′ i n a p pr o xi m at e q u a dr at ur e. Hi g h er

h ar m o ni cs b e c o m e l ess pr o mi n e nt wit h i n cr e asi n g altit u d e d u e t o t h e e m er gi n g p a c k et dist orti o ns at its l e a d-

i n g e d g e at t his ti m e. T h e 2. 5‐D r es ults ar e i d e nti c al at t his ti m e b e c a us e n o 3 ‐D i nst a bilit y f e at ur es h a v e

y et e m er g e d.

T h e y still r e m ai n v er y si mil ar i n m a n y r es p e cts b y 3 0 mi n, as 3 ‐D i nst a biliti es h a v e o nl y b e g u n t o e m er g e. I n

b ot h c as es, t h e fl u x s p e ctr a h a v e e xt e n d e d si g ni fi c a ntl y t o l ar g er a m plit u d es a n d l ar g er k wit h i n cr e asi n g alti-

t u d e, a n d S G W a m plit u d es at s m all k ar e als o i n cr e asi n g.

B y 4 5 mi n, b ot h t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D fl u x s p e ctr a a m plit u d es d e cr e as e si g ni fi c a ntl y at altit u d es b el o w 6 0 k m

a n d λ x l ar g er t h a n ~ 1 0 0 k m. B ot h als o c o nti n u e t o i n cr e as e at altit u d es b el o w 8 0 k m at λ x s m all er t h a n

Fi g u r e 7. T hr e e ‐di m e nsi o n al vi e ws of λ 2 vi e w e d fr o m t h e t o p (t o p p a n el) a n d n e g ati v e x ( b ott o m p a n el) at t = 3 6 (l eft) a n d4 2 mi n (ri g ht). Gr e e n a n d r e d s h o w mi ni m u m a n d m a xi m u m λ 2 .

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 4 of 2 0

~ 1 0 k m d u e t o t h e c as c a d e of e n er g y t o s m all er s c al es i n r e gi o ns of a cti v e G W br e a ki n g. T h e m aj or

diff er e n c es b et w e e n t h e 2 ‐D a n d 2. 5 ‐D fl u x s p e ctr a o c c ur at t h e l ar g er k (s m all er λ x ) w h er e 3‐D

i nst a biliti es m or e effi ci e ntl y li mit G W a m plit u d es a n d c orr es p o n di n g fl u x es, a n d b y gr e at er d e gr e es at t h e

hi g h er altit u d es. T h es e t e n d e n ci es c o nti n u e t o 6 0 mi n, w h er e all fl u x s p e ctr a a m plit u d es ar e c o m p ar a bl e

t o, or s m all er t h a n, at 4 5 mi n.

3. 4. M o m e nt u m a n d H e at Fl u x e s a n d L a r g e ‐S c al e R e s p o n s e s

T o e x pl or e t h e i m pli c ati o ns of m o m e nt u m a n d h e at fl u x es di v er g e n c e f or t h e l ar g e ‐s c al e fl o w, w e s h o w u ′w ′,

Δ U , a n d Δ T f or 2. 5‐D c as e at y = 0 k m at 3 0, 4 5, a n d 6 0 mi n i n Fi g ur e 1 0. At e a c h altit u d e, t h e y w er e a v er a g e d

h ori z o nt all y o v er 6 0 0 k m i n t h e c e ntr al d o m ai n, wit h i n cr e asi n g a v er a gi n g a p pr o a c hi n g t h e d o m ai n

Fi g u r e 8. ( T o p t o b ott o m) T w o‐di m e nsi o n al a n d 2. 5 ‐D x s p e ctr a of u ′, c o m p ut e d o v er |x | ≤ 3 0 0 k m a n d i n 1 0 ‐k m altit u d ebi ns fr o m (l eft t o ri g ht) 3 0 t o 1 0 0 k m. Ti m es of 1 5, 3 0, 4 5, a n d 6 0 mi n ar e s h o w n i n bl a c k, bl u e, gr e e n, a n d r e d. Sl o p esof − 5/ 3 a n d − 7 ar e s h o w n as d as h e d bl a c k li n es at u p p er ri g ht i n e a c h p a n el, a n d t h e s p e ctr al r a n g e e xt e n ds fr o m 1 – 6 2 8 k m

i n e a c h p a n el.

Fi g u r e 9. ( T o p t o b ott o m) T w o‐di m e nsi o n al a n d 2. 5 ‐D x s p e ctr a of u ′w ′ (s oli d li n es) a n d w ′T ′ ( d as h e d li n es) cr osss p e ctr a, c o m p ut e d o v er | x | ≤ 3 0 0 k m a n d i n 1 0 ‐k m altit u d e bi ns fr o m (l eft t o ri g ht) 3 0 t o 1 0 0 k m. Ti m es of 1 5, 3 0, 4 5, a n d

6 0 mi n ar e s h o w n i n bl a c k, bl u e, gr e e n, a n d r e d. Sl o p es of − 5/ 3 a n d − 7 ar e s h o w n as d as h e d bl a c k li n es at u p p er ri g hti n e a c h p a n el, a n d t h e s p e ctr al r a n g e e xt e n ds fr o m 1– 6 2 8 k m i n e a c h p a n el.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 5 of 2 0

b o u n d ari es t o a c c o u nt f or i n cr e asi n g G W λ x at l ar g er dist a n c es fr o m t h e pri m ar y S A d y n a mi cs o v er t h e i niti al

G W p a c k et.

S A d y n a mi cs ar e str o n g, b ut S G Ws ar e w e a k at 3 0 mi n (s e e Fi g ur e 3). H e n c e, G W pr o p a g ati o n b el o w ~ 1 2 0 k m

is l ar g el y t o w ar d n e g ati v e x , u ′w ′ < 0. I m pli c ati o ns f or Δ U ar e s h o w n at 3 0 mi n at u p p er l eft i n Fi g ur e 1 0 b.

T h es e r e v e al a r el ati v el y u nif or m r es p o ns e i n a b o ut t h e dis pl a c e d p a c k et c e nt er i n Δ U e x hi biti n g a l ar g e n e g a-

ti v e m a xi m u m at ~ 1 1 0 k m. R es p o ns es i n Δ T ar e as y m m etri c al o n g x b e c a us e i n d u c e d d U /d x < 0 ( > 0) at n e g a-

ti v e ( p ositi v e) x wit h r es p e ct t o t h e c e ntr al G W p a c k et i m pli es d w /d z > 0 ( < 0) at n e g ati v e ( p ositi v e) x wit h

r es p e ct t o t h e p a c k et c e nt er a n d d T / dt < 0 ( > 0) a c c o m p a n yi n g i n d u c e d w ′ > 0 ( < 0).

B y 4 5 mi n, t h e m aj or u ′w ′ is d u e t o S G Ws e xt e n di n g fr o m ~ 1 5 0– 2 6 0 k m a n d a b o v e i n altit u d e, a n d fr o m

n e ar t h e p a c k et c e nt er t o o v er 3 0 0 k m t o w ar d p ositi v e a n d n e g ati v e x . Of t h es e, t h e l ar g er ( n e g ati v e) m a g-

nit u d es e xt e n d fr o m x = − 5 0 t o − 2 5 0 k m d u e t o t h e i niti al G W pr o p a g ati o n i n t his dir e cti o n. P ositi v e u ′w ′

at p ositi v e x h a v e s m all er m a g nit u d es b y ~ 4 0 – 7 0 % a c c o m p a n yi n g S G Ws t h at w er e n ot e x cit e d as str o n gl y

(s e e Fi g ur e 3).

C u m ul ati v e Δ U at 4 5 mi n e x hi bits a c o m pl e x r es p o ns e e xt e n di n g fr o m ~ 5 0 – 2 6 0 k m altit u d es. At altit u d es

fr o m ~ 5 0– 1 2 5 k m, t h e d o mi n a nt r es p o ns e is a n e g ati v e z o n al a c c el er ati o n e xt e n di n g fr o m o v er t h e i niti al

G W p a c k et t o l ar g e n e g ati v e a n d p ositi v e x , s u g g esti n g a si g nifi c a nt e xt e nsi o n a n d e q uili br ati o n of t h e i niti al

m e a n fl o w f or ci n g b y t his ti m e. T h e r es p o ns e i n Δ U at hi g h er altit u d es is l ess s y m m etri c, wit h n e g ati v e

r es p o ns es e xt e n di n g fr o m ~ 1 5 0 k m u pstr e a m ( p ositi v e x ) t o m or e t h a n 3 0 0 k m d o w nstr e a m h a vi n g l ar g er

m a g nit u d es a n d v ari ati o ns i n d o w nstr e a m dist a n c e. R es p o ns es i n Δ T a g ai n r e fl e ct c u m ul ati v e f or ci n g b y

t h e i n d u c e d Δ U , wit h t h e d o mi n a nt c h a n g es r efl e cti n g t h e l ar g er n e g ati v e Δ U at l o w er ( hi g h er) altit u d es

at l ar g er (s m all er) n e g ati v e x at t his ti m e.

B y 6 0 mi n, t h e i niti al G W p a c k et h as dissi p at e d, S G W a n d A W g e n er ati o n h as c e as e d, t h e r e m ai ni n g S G Ws

e x cit e d at e arli er ti m es h a vi n g hi g h er fr e q u e n ci es h a v e w e a k e n e d si g ni fi c a ntl y, a n d t h os e at l o w er fr e q u e n-

ci es h a v e pr o p a g at e d ~ 3 0 0 – 1, 0 0 0 k m or m or e h ori z o nt all y fr o m t h eir sit e of e x cit ati o n. T h eir u ′w ′ r e m ai n

si g nifi c a nt at altit u d es a b o v e ~ 1 4 0 k m b ut ar e dis pr o p orti o n at el y l ar g er at l ar g e n e g ati v e x t h a n at l ar g e p osi-

ti v e x . As s e e n at 4 5 mi n, Δ T e x hi bits r es p o ns es t o i m pli e d v erti c al m oti o ns r e q uir e d t o s atisf y c o nti n uit y,

gi v e n t h e f or c e d h ori z o nt al m oti o ns.

T hr o u g h o ut t his e v ol uti o n, a n d es p e ci all y f oll o wi n g f or ci n g b y t h e i niti al G W p a c k et a n d t h e i n d u c e d S G Ws

a n d A Ws, t h es e h ori z o nt al v ari ati o ns ar e d u e t o t h e m o m e nt u m d e p ositi o n of t h e l ar g er ‐s c al e G Ws t h at pr o-

p a g at e a w a y fr o m t h e i niti al G W p a c k et l o c ati o n.

Fi g u r e 1 0. ( a– c) T h e str e a m wis e cr oss s e cti o ns of u ′w ′,Δ U , a n d Δ T f or 2. 5‐D G W p a c k et at y = 0 k m. All at 3 0, 4 5, a n d 6 0mi n ( cl o c k wis e fr o m t o p l eft). T h e d ot ‐d as h e d li n es d e n ot e t h e l o c ati o n of x = 0 k m.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 6 of 2 0

4. Di s c u s si o n a n d C o n cl u si o n

W e e m pl o y a n e w, v ers atil e c o m pr essi bl e m o d el t o si m ul at e t h e pr o p a g ati o n a n d i nst a bilit y d y n a mi cs of 2 ‐D

G W p a c k ets o v er t h e altit u d e r a n g e 0 – 2 6 0 k m. T h e m o d el i n t his p a p er us e d r a di ati o n b o u n d ar y c o n diti o ns

at t h e v erti c al a n d str e a m wis e b o u n d ari es t o all o w G Ws t o e xit t h e d o m ai n wit h o ut arti fi ci al r e fl e cti o ns. A

str et c h e d m es h w as us e d i n b ot h x a n d z wit h i nt eri or r es ol uti o n of 3 0 0 m w h er e n e e d e d, w hi c h all o ws a l ar g e

h ori z o nt al d o m ai n t o e x pl or e t h e G W l o c ali z e d i n b ot h x a n d z . T h es e c a p a biliti es a d v a n c e t h e pri or G W S A

a n d i nst a bilit y st u di es t h at e m pl o y e d 1 ‐D G W o nl y l o c ali z e d i n z wit h t h e a n el asti c a p pr o xi m ati o n ( L u n d &

Fritts, 2 0 1 2 a n d F 1 5). S p ati al a n d t e m p or al l o c ali z ati o n of G W p a c k ets pl a ys k e y r ol es i n t h e p artiti o ni n g of

b o d y f or c es a c c o m p a n yi n g m o m e nt u m tr a ns p ort a m o n g m e a n r es p o ns es a n d S G W g e n er ati o n. T h e S G W

g e n er ati o n t h at is d u e l ar g el y t o tr a nsi e nt m o m e nt u m tr a ns p ort pri or t o G W dissi p ati o n o nl y o c c urs i n t h e

G W p a c k ets l o c ali z e d i n 2 ‐D or 3 ‐D.

R es ults pr es e nt e d h er e ill ustr at e t h e e v ol uti o ns a n d d y n a mi cs of i niti all y li n e ar 2 ‐D G W p a c k et as it pr o-

p a g at e t o hi g h er altit u d es, e x hi bit n o nli n e ar r es p o ns es d u e t o a m plit u d e gr o wt h wit h altit u d e. T h es e

r es ults e xt e n d t h os e f or 1 ‐D G W p a c k ets d es cri b e d i n F 1 5 i n s e v er al w a ys. F 1 5 d e m o nstr at e d t h at ( 1)

G W p a c k ets u n d er g o S A, p h as e ki n ki n g, a n d st alli n g of v erti c al pr o p a g ati o n n e ar t h e l e a di n g e d g e; ( 2)

i niti al 2‐D i nst a biliti es o c c ur at t h e altit u d e of pri m ar y p h as e d ef or m ati o n i n all c as es; ( 3) 3 ‐D i nst a biliti es

i n str o n g m e a n s h e ars o c c ur at t h e G W p a c k et tr aili n g e d g es a n d c o m pris e str e a m wis e‐ali g n e d c o u nt er-

r ot ati n g r olls m u c h li k e t h os e t h at o c c ur i n G W br e a ki n g, s e c o n d ar y i nst a bilit y of K H bill o ws, a n d i niti al

i nst a biliti es of str o n g v ort e x s h e ets i n m ultis c al e fl o ws ( Fritts et al., 2 0 1 1; Fritts et al., 2 0 1 3); ( 4) pri m ar y

m o m e nt u m d e p ositi o n o c c urs b el o w w h er e it w as i n t h e a bs e n c e of S A eff e cts; ( 5) G W p a c k ets u n d er g o

v erti c al c o m pr essi o n i n m ulti pl e c as es, b ut at ω i t o o s m all t o e x hi bit m o d ul ati o n al i nst a bilit y; a n d ( 6) s u c-

c essi v e S A d y n a mi cs aris e at t h e s ur vi vi n g l e a di n g e d g e of t h e G W p a c k et at s e v er al s c al e h ei g hts a b o v e

t h e i niti al S A e v e nt.

O ur si m ul ati o n r es ults s h o w t h at G W p a c k et l o c ali z e d i n 2 ‐D s h o w si mil ar S A d y n a mi cs as d es cri b e d i n F 1 5,

b ut als o r e pr es e nt a v er y str o n g s o ur c e f or s e c o n d ar y G Ws a n d A Ws at l ar g er s p ati al s c al es t h at r e a dil y p e n e-

tr at e m u c h hi g h er i nt o t h e t h er m os p h er e. T w o diff er e nt c as es ar e c o nsi d er e d i n t his p a p er. T w o ‐di m e nsi o n al

c as e ass u m es n o 3 ‐D i nst a biliti es, a n d a s e c o n d si m ul ati o n 2. 5 ‐D c as e a d dr ess es t h e 3 ‐D i nst a biliti es f or t h e

s a m e i niti al G W, b ut i n cl u d es a s p a n wis e d o m ai n t h at is t a k e n t o b e s uf fi ci e ntl y l ar g e t o n ot c o nstr ai n t h e

i nst a bilit y s c al es t h at aris e. I n t h es e t w o c as es, si n c e t h e 3‐D i nst a biliti es o c c ur f oll o wi n g 2 ‐D i nst a biliti es

i n 2. 5‐D c as e, t h e G W e v ol uti o ns ar e i d e nti c al u ntil t h e eff e cts of 3 ‐D r at h er t h a n 2 ‐D i nst a biliti es ar e f elt.

G W p a c k ets h a vi n g a m plit u d es c o nstr ai n e d b y r e alisti c 3 ‐D i nst a biliti es ar e s o m e w h at l ess ef fi ci e nt s o ur c es

of S G Ws t h a n t h eir 2 ‐D c o u nt er p arts, a n d t h e d e c a y of t h e i nst a biliti es is als o m or e ef fi ci e nt a n d r a pi d f or

t h e 3‐D i nst a biliti es all o w e d t o f oll o w t h e m ost ef fi ci e nt p at h t o t ur b ul e nt dissi p ati o n.

I m pli c ati o ns of 2‐D G W p a c k et l o c ali z ati o n i n t his p a p er i n cl u d e t h at ( 1) S A d y n a mi cs i d e nti fi e d i niti all y i n

1 ‐D G W p a c k ets ar e o p er ati v e i n 2 ‐D p a c k ets, ( 2) S A r es p o ns es e x hi bit s p ati al v ari a bilit y a cr oss 2 ‐D p a c k ets,

a n d ( 3) t h at S A d y n a mi cs l e a d t o str o n g g e n er ati o n of S G Ws a n d A Ws pri or t o a n d a c c o m p a n yi n g G W dis-

si p ati o n t h at r e a dil y pr o p a g at e t o m u c h hi g h er altit u d es. ( 4) T hr e e ‐di m e nsi o n al i nst a biliti es s u bs e q u e nt t o

i niti al 2‐D S A d y n a mi cs c a us e str o n g i niti al G W a n d S G W dissi p ati o n a n d si g ni fi c a ntl y r e d u c e S G W a n d

A W r es p o ns es at hi g h er altit u d es.

W e pr o vi d e a r o u g h esti m ati o n f or t h e fr a cti o n of m o m e nt u m fl u x es t h at is tr a nsf err e d u p w ar d t hr o u g h s e c-

o n d ar y g e n er ati o n. F or t h e 2. 5 ‐D c as e, at 3 0 mi n, t h e m o m e nt u m tr a ns p ort of t h e i niti al G W is al m ost t er-

mi n at e d d u e t o t h e str o n g S A d y n a mi cs a n d h a d a p e a k of 0. 5 5 k g/ m/s 2 at z = 4 0 k m, b ut w e n oti c e d t h at

t h e p e a k of t h e m o m e nt u m fl u x pr o p a g at e d u p w ar d a n ot h er ~ 1 1 k m aft er 3 0 mi n, a n d h a d a p e a k of

0. 0 4 6 k g/ m/s 2 , w hi c h is m ostl y li k el y tr a nsf err e d b y t h e S G W. Si n c e t h e w a v e is dissi p ati v e i n o ur c as e,

t h e fr a cti o n of m o m e nt u m fl u x es t h at is tr a nsf err e d u p w ar d t hr o u g h s e c o n d ar y g e n er ati o n is m or e t h a n

0. 0 4 6/ 0. 5 5 ~ 8 %. S G W g e n er ati o n pl a ys a criti c al r ol e i n t h e tr a ns p ort of e n er g y a n d m o m e nt u m fr o m t h e

l o w er at m os p h er e t o t h e mi d dl e a n d u p p er at m os p h er e.

T h e cl e ar e vi d e n c e of i nst a biliti es, G W S A d y n a mi cs, a n d S G W g e n er ati o n is pr o vi d e d b y t h e P ol ar

M es os p h eri c Cl o u d T ur b ul e n c e ( P M C T ur b o) e x p eri m e nt ( Fritts et al., 2 0 2 0). T h es e d y n a mi cs e x hi bit hi g hl y

v ari a bl e c h ar a ct er, s c al es, a n d i nt e nsiti es t hr o u g h o ut t h e P M C t ur b o fl i g ht, s u g g esti n g m o d ul ati o n of t h e

G W d y n a mi cs b y t h e pr o p a g ati o n c o n diti o ns. Of t h es e d y n a mi cs, t h e S A d y n a mi cs ( e. g., p h as e dist orti o n)

ar e n e arl y i d e nti fi e d i n o ur si m ul ati o n r es ults, a n d t h e o bs er v e d S G W g e n er ati o n f oll o wi n g t h e S A

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 7 of 2 0

d y n a mi cs is als o f o u n d i n o ur si m ul ati o n r es ults. T h es e a d diti o n al st u di es of t h e c o m p aris o ns of P M C i m a-

gi n g a n d m o d eli n g will b e r e p ort e d els e w h er e.

C oi n ci d e nt wit h t h es e S A d y n a mi cs ar e i n cr e asi n g i n d u c e d l o c ali z e d m o m e nt u m d e p ositi o n a cti n g as b o d y

f or c es a n d e x citi n g S G Ws h a vi n g s c al es di ct at e d b y t h e f or ci n g g e o m etr y a n d t e m p or al e v ol uti o n. A Ws ar e

als o e x cit e d b y t h es e d y n a mi cs a n d r e a dil y pr o p a g at e t o m u c h hi g h er altit u d es b ut h a v e n o a p p ar e nt i n fl u-

e n c e o n t h e G W d y n a mi cs. V a d as a n d Fritts ( 2 0 0 1, 2 0 0 2) a n d V a d as et al. ( 2 0 0 3, 2 0 1 8) ar g u e d t h at S G W f or-

ci n g a n d s c al es ar e di ct at e d b y t h e a m plit u d es a n d s p ati al e xt e nts of t h e pri m ar y G Ws a n d t h at dissi p ati o n

yi el di n g m o m e nt u m d e p ositi o n pr e c e d e d S G W g e n er ati o n. H o w e v er, o ur r es ults d e m o nstr at e t h at S G W g e n-

er ati o n pr e c e d es, a n d t h er e aft er f oll o ws, t h e 3 ‐D i nst a bilit y d y n a mi cs a n d t ur b ul e n c e a c c o m p a n yi n g G W

br e a ki n g. S G W g e n er ati o n is a n i n h er e nt c o ns e q u e n c e of G W pr o p a g ati o n a n d m o m e nt u m tr a ns p ort f or

G W p a c k ets l o c ali z e d i n 2 ‐D or 3 ‐D.

R ef e r e n c e sA n dr e ass e n, Ø., H vi dst e n, P., Fritts, D., & Ar e n dt, S. ( 1 9 9 8). V orti cit y d y n a mi cs i n a br e a ki n g i nt er n al gr a vit y w a v e. P art 1. I niti al i nst a bilit y

e v ol uti o n. J o ur n al of Fl ui d M e c h a ni cs , 3 6 7 , 2 7– 4 6. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 1 7 / S 0 0 2 2 1 1 2 0 9 8 0 0 1 6 4 5

A z e e m, I., Y u e, J., H off m a n n, L., Mill er, S. D., Str a k a, W. C. III, & Cr o wl e y, G. ( 2 0 1 5). M ultis e ns or pr o fi li n g of a c o n c e ntri c gr a vit y w a v e

e v e nt pr o p a g ati n g fr o m t h e tr o p os p h er e t o t h e i o n os p h er e. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 4 2 , 7 8 7 4– 7 8 8 0. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 2/

2 0 1 5 G L 0 6 5 9 0 3

B alsl e y, B. B., Fr e hli c h, R. G., J e ns e n, M. L., M eilli er, Y., & M us c hi ns ki, A. ( 2 0 0 3). E xtr e m e gr a di e nts i n t h e n o ct ur n al b o u n d ar y l a y er:

Str u ct ur e, e v ol uti o n, a n d p ot e nti al c a us es. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 6 0 ( 2 0), 2 4 9 6– 2 5 0 8. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐

0 4 6 9( 2 0 0 3) 0 6 0 % 3 C 2 4 9 6: E GI T N B % 3 E 2. 0. C O; 2

B alsl e y, B. B., Fr e hli c h, R. G., J e ns e n, M. L., M eilli er, Y., & M us c hi ns ki, A. ( 2 0 0 6). Hi g h ‐r es ol uti o n i n sit u pr o fi li n g t hr o u g h t h e st a bl e

b o u n d ar y l a y er: E x a mi n ati o n of t h e S B L t o p i n t er ms of mi ni m u m s h e ar, m a xi m u m str ati fi c ati o n, a n d t ur b ul e n c e d e cr e as e. J o ur n al of

t h e At m os p h eri c S ci e n c es, 6 3 , 1 2 9 1– 1 3 0 7. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ J A S 3 6 7 1. 1

B alsl e y, B. B., L a wr e n c e, D. A., Fritts, D. C., W a n g, L., W a n, K., & W er n e, J. ( 2 0 1 8). Fi n e str u ct ur e, i nst a biliti es, a n d t ur b ul e n c e i n t h e l o w er

at m os p h er e: Hi g h ‐r es ol uti o n i n sit u sl a nt ‐p at h m e a s ur e m e nts wit h t h e d at a H a w k U A V a n d c o m p aris o ns wit h n u m eri c al m o d eli n g.

J o ur n al of At m os p h eri c a n d O c e a ni c T e c h n ol o g y , 3 5 , 6 1 9– 6 4 2. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5 / J T E C H ‐D ‐1 6 ‐0 0 3 7. 1

B alsl e y, B. B., L a wr e n c e, D. A., W o o d m a n, R. F., & Fritts, D. C. ( 2 0 1 2). Fi n e s c al e c h ar a ct eristi cs of t e m p er at ur e, wi n d, a n d t ur b ul e n c e i n

t h e l o w er at m os p h er e ( 0‐1, 3 0 0 m) o v er t h e s o ut h P er u vi a n c o ast. B o u n d. ‐L a y er M et e or. , 1 4 7 ( 1), 1 6 5– 1 7 8. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 7/s 1 0 5 4 6 ‐

0 1 2 ‐9 7 7 4 ‐x

B e c k er, E., & V a d as, S. L. ( 2 0 1 8). S e c o n d ar y gr a vit y w a v es i n t h e wi nt er m es os p h er e: R es ults fr o m a hi g h ‐r es ol uti o n gl o b al cir c ul ati o n

m o d el. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 3 ( 5), 2 6 0 5– 2 6 2 7. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/ 2 0 1 7 J D 0 2 7 4 6 0

B oss ert, K., Kr us e, C. G., H e al e, C. J., Fritts, D. C., Willi a m s, B. P., S ni v el y, J. B., et al. ( 2 0 1 7). S e c o n d ar y gr a vit y w a v e g e n er ati o n o v er N e w

Z e al a n d d uri n g t h e D E E P W A V E c a m p ai g n. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 2 , 7 8 3 4– 7 8 5 0. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/

2 0 1 6 J D 0 2 6 0 7 9

Br o ut m a n, D., M a C as kill, C., M cI nt yr e, M. E., & R ott m a n, J. W. ( 1 9 9 7). O n D o p pl er ‐s pr e a di n g m o d els of i nt er n al w a v es. G e o p h ysi c al

R es e ar c h L ett ers , 2 4 , 2 8 1 3– 2 8 1 6. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/ 9 7 G L 5 2 9 0 2

C hi m o n as, G., & Gr a nt, J. R. ( 1 9 8 4). S h e ar e x cit ati o n of gr a vit y w a v es, P art II. U ps c al e s c att eri n g fr o m K el vi n ‐H el m h olt z w a v es. J o ur n al of

t h e At m os p h eri c S ci e n c es, 4 1 , 2 2 7 8– 2 2 8 8. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 8 4) 0 4 1 < 2 2 7 8: S E O G W P > 2. 0. C O; 2

C o p p ol a, G., C a p u a n o, F., Pir o z z oli, S., & d e L u c a, L. ( 2 0 1 9). N u m eri c all y st a bl e f or m ul ati o ns of c o n v e cti v e t er ms f or t ur b ul e nt c o m pr es-

si bl e fl o ws. J o ur n al of C o m p ut ati o n al P h ysi cs , 3 8 2 , 8 6– 1 0 4. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 1 6/j.j c p. 2 0 1 9. 0 1. 0 0 7

C o ul m a n, C. E., V er ni n, J., & F u c hs, A. ( 1 9 9 5). O pti c al s e ei n g m e c h a nis m of f or m ati o n of t hi n t ur b ul e nt l a mi n a e i n t h e at m os p h er e.

A p pli e d O pti cs. , 3 4 ( 5 4 6 1– 5 4 7 4). htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 3 6 4/ A O. 3 4. 0 0 5 4 6 1

D al a u di er, F., Si di, C., Cr o c h et, M., & V er ni n, J. ( 1 9 9 4). Dir e ct e vi d e n c e of “ s h e ets ” i n t h e at m os p h eri c t e m p er at ur e fi el d. J o ur n al of t h e

At m os p h eri c S ci e n c es , 5 1 ( 2), 2 3 7– 2 4 8. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 9 4) 0 5 1 % 3 C 0 2 3 7: D E OI T A % 3 E 2. 0. C O; 2

d e Wit, R. J., J a n c h es, D., Fritts, D. C., St o c k w ell, R. G., & C o y, L. ( 2 0 1 7). U n e x p e ct e d cli m at ol o gi c al b e h a vi or of M L T gr a vit y w a v e

m o m e nt u m fl u x i n t h e l e e of t h e S o ut h er n A n d es h ot s p ot. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 4 4 , 1 1 8 2– 1 1 9 1. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/

2 0 1 6 G L 0 7 2 3 1 1

D o n g, W., Z h a n g, S., H u a n g, C., H u a n g, K., G o n g, Y., & G a n, Q. ( 2 0 1 8). A n u m eri c al st u d y of gr a vit y w a v e pr o p a g ati o n c h ar a ct eristi cs i n

t h e str at os p h eri c t h er m al d u ct. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 3 ( 1 1), 9 1 8– 1 1, 9 3 7. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 2 9/

2 0 1 8 J D 0 2 9 1 9 0

D oss er, H. V., & S ut h erl a n d, B. R. ( 2 0 1 1). A n el asti c i nt er n al w a v e p a c k et e v ol uti o n a n d i nst a bilit y. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 6 8 ,

2 8 4 4 – 2 8 5 9. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5 / J A S ‐D ‐1 1 ‐0 9 7. 1

D o yl e, J. D., S h a pir o, M., Ji a n g, Q., & B art els, D. ( 2 0 0 5). L ar g e ‐a m plit u d e m o u nt ai n w a v e br e a ki n g o v er Gr e e nl a n d. J o ur n al of t h e

At m os p h eri c S ci e n c es , 6 2 ( 9), 3 1 0 6– 3 1 2 6. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ J A S 3 5 2 8. 1

D u n k ert o n, T. J. ( 1 9 8 1). W a v e tr a n si e n c e i n a c o m pr essi bl e at m os p h er e. P art I: Tr a nsi e nt i nt er n al w a v e, m e a n fl o w i nt er a cti o n. J o ur n al of

t h e At m os p h eri c S ci e n c es, 3 8 , 2 8 1 – 2 9 7. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 8 1) 0 3 8 < 0 2 8 1: W TI A C A > 2. 0. C O; 2

E c k er m a n n, S. D., Br o ut m a n, D., M a, J., D o yl e, J. D., P a ut et, P. ‐D., T a yl or, M. J., et al. ( 2 0 1 6). D y n a mi cs of or o gr a p hi c gr a vit y w a v es

o bs er v e d i n t h e m es os p h er e o v er t h e A u c kl a n d Isl a n ds d uri n g t h e D e e p Pr o p a g ati n g Gr a vit y W a v e E x p eri m e nt ( D E E P W A V E). J o ur n al

of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 7 3 ( 1 0), 3 8 5 5– 3 8 7 6. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ J A S ‐D ‐1 6 ‐0 0 5 9. 1

F elt e n, F. N., & L u n d, T. S. ( 2 0 0 6). Ki n eti c e n er g y c o ns er v ati o n iss u es ass o ci at e d wit h t h e c oll o c at e d m es h s c h e m e f or i n c o m pr essi bl e fl o w.

J o ur n al of C o m p ut ati o n al P h ysi cs , 2 1 5 , 4 6 5– 4 8 4. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 1 6/j.j c p. 2 0 0 5. 1 1. 0 0 9

Fritts, D. C., & Al e x a n d er, M. J. ( 2 0 0 3). Gr a vit y w a v e d y n a mi cs a n d eff e cts i n t h e mi d dl e at m os p h er e. R e vi e ws of G e o p h ysi cs , 4 1 ( 1), L 0 9 8 0 1

htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 0 1 R G 0 0 0 1 0 6

Fritts, D. C., D o n g, W., L u n d, T. S., Wi el a n d, S., & L a u g h m a n, B. ( 2 0 1 9). S elf a c c el er ati o n a n d i nst a bilit y of gr a vit y w a v e p a c k ets: 3. T hr e e ‐

di m e nsi o n al p a c k et pr o p a g ati o n, s e c o n d ar y gr a vit y w a v es, m o m e nt u m tr a ns p ort, a n d tr a nsi e nt m e a n f or ci n g i n ti d al wi n ds. J o ur n al of

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 8 of 2 0

A c k n o wl e d g m e nt s

R es e ar c h d es cri b e d h er e w as p erf or m e d

u n d er A F O S R, N A S A, a n d N S F gr a nts

cit e d i n G E M S. W e ar e i n d e bt e d t o t h e

D o D Hi g h ‐P erf or m a n c e C o m p uti n g

M o d er ni z ati o n Pr o gr a m a n d E m br y ‐

Ri d dl e A er o n a uti c al U ni v ersit y f or

a c c ess t o c o m p ut ati o n al r es o ur c es.

T h o m as S. L u n d a c k n o wl e d g es s u p p ort

fr o m N S F u n d er N S F A G S‐1 8 5 3 0 0 0.

S h a o d o n g Z h a n g's w or k w as s u p p ort e d

b y t h e N S F C (t hr o u g h Gr a nts 4 1 5 3 1 0 7 0

a n d 4 1 8 7 4 1 7 7). M o vi es cit e d i n t h e t e xt

ar e a v ail a bl e as s u p p orti n g i nf or m ati o n,

a n d d at a fi l es fr o m w hi c h fi g ur es ar e

pr o vi d e d o nli n e ( htt ps:// d oi. or g /

1 0. 6 0 8 4/ m 9. fi gs h ar e. 9 5 4 8 0 0 9. v 2).

G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 4 . htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 2 Fritts, D. C., L a u g h m a n, B., L u n d, T. S., & S ni v el y, J. B.

( 2 0 1 5). S elf‐a c c el er ati o n a n d i nst a bilit y of gr a vit y w a v e p a c k et s: 1. eff e cts of t e m p or al l o c ali z ati o n. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h:

At m os p h er es , 1 2 0 , 8 7 8 3– 8 8 0 3. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/ 2 0 1 5 J D 0 2 3 3 6 3

Fritts, D. C., L a u g h m a n, B., W a n g, L., L u n d, T. S., & C olli ns, R. L. ( 2 0 1 8). Gr a vit y w a v e d y n a mi cs i n a m es os p h eri c i n v ersi o n l a y er: 1.

R e fl e cti o n, tr a p pi n g, a n d i nst a bilit y d y n a mi cs. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 3 . htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/

2 0 1 7 J D 0 2 7 4 4 0

Fritts, D. C., Mill er, A. D., Kj ellstr a n d, C. B., G e a c h, C., Willi a m s, B. P., K ai fl er, B., et al. ( 2 0 1 9). P M C T ur b o: St u d yi n g gr a vit y w a v e a n d

i nst a bilit y d y n a mi cs i n t h e s u m m er m es os p h er e usi n g p ol ar m es os p h eri c cl o u d i m a gi n g a n d pr ofi li n g fr o m a str at os p h eri c b all o o n.

J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 4 , 6 4 2 3– 6 4 4 3. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 1 9 J D 0 3 0 2 9 8

Fritts, D. C., & N astr o m, G. D. ( 1 9 9 2). S o ur c e of m es os c al e v ari a bilit y of gr a vit y w a v es. P art 2: Fr o nt al, c o n v e cti v e, a n d j et str e a m e x cit ati o n.

J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 4 9 , 1 1 1– 1 2 7. htt ps://j o ur n al s. a m ets o c. or g/ d oi/ p df/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( A 1 9 9 2) 0 4 9 < 0 1 1 1:

S O M V O G > 2. 0. C O; 2.

Fritts, D. C., V os p er, S. B., Willi a m s, B. P., B oss ert, K., Pl a n e, J. M. C., T a yl or, M. J., et al. ( 2 0 1 8). L ar g e ‐a m plit u d e m o u nt ai n w a v es i n t h e

m es os p h er e a c c o m p a n yi n g w e a k cr oss ‐m o u nt ai n fl o w d uri n g D E E P W A V E R es e ar c h Fli g ht R F 2 2 ( p. 1 2 3). J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h:

At m os p h er es. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 7 J D 0 2 8 2 5 0

Fritts, D. C., W a n g, L., L a u g h m a n, B., L u n d, T. S., & C olli ns, R. L. ( 2 0 1 8). Gr a vit y w a v e d y n a mi cs i n a m es os p h eri c i n v ersi o n l a y er: 2.

I nst a biliti es, t ur b ul e n c e, fl u x es, a n d mi xi n g. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 3 . htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 2 / 2 0 1 7 J D 0 2 7 4 4 2

Fritts, D. C., W a n g, L., & W er n e, J. ( 2 0 1 3). Gr a vit y w a v e – fi n e str u ct ur e i nt er a cti o ns. P art 1: I n fl u e n c es of fi n e str u ct ur e f or m a n d ori e nt ati o n

o n fl o w e v ol uti o n a n d i nst a bilit y. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 7 0 ( 1 2), 3 7 1 0– 3 7 3 4. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ J A S ‐D ‐1 3 ‐0 5 5. 1

Fritts, D. C., W a n g, L., W er n e, J., L u n d, T., & W a n, K. ( 2 0 0 9 a). Gr a vit y w a v e i nst a bilit y d y n a mi cs at hi g h R e y n ol ds n u m b ers. 1: W a v e fi el d

e v ol uti o n at l ar g e a m plit u d es a n d hi g h fr e q u e n ci es. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 6 6 ( 5), 1 1 2 6– 1 1 4 8. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5 /

2 0 0 8 J A S 2 7 2 6. 1

Fritts, D. C., W a n g, L., W er n e, J., L u n d, T., & W a n, K. ( 2 0 0 9 b). Gr a vit y w a v e i nst a bilit y d y n a mi cs at hi g h R e y n ol ds n u m b ers. 2: T ur b ul e n c e

e v ol uti o n, str u ct ur e, a n d a nis otr o p y. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 6 6 ( 5), 1 1 4 9 – 1 1 7 1. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 2 0 0 8 J A S 2 7 2 7. 1

Fr u m a n, M. D., & A c h at z, U. ( 2 0 1 2). S e c o n d ar y i nst a biliti es i n br e a ki n g i n erti a ‐gr a vit y w a v es. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 6 9 ,

3 0 3 – 3 2 2. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5 / J A S ‐D ‐1 0 ‐0 5 0 2 7. 1

G er m a n o, M., Pi o m elli, U., M oi n, P., & C a b ot, W. H. ( 1 9 9 1). A d y n a mi c s u b gri d ‐s c al e e d d y vis c osit y m o d el. P h ys. Fl ui ds, A , 3 ( 7), 1 7 6 0– 1 7 6 5.

htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 6 3 / 1. 8 5 7 9 5 5

G er v ais, A. D., S w at ers, G. E., v a n d e n Br e m er, T. S., & S ut h erl a n d, B. R. ( 2 0 1 8). E v ol uti o n a n d st a bilit y of t w o ‐di m e nsi o n al a n el asti c

i nt er n al gr a vit y w a v e p a c k ets. J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es . htt p:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ J A S‐D ‐1 7 ‐0 3 8 8. 1

H e al e, C. J., & S ni v el y, J. B. ( 2 0 1 5). Gr a vit y w a v e pr o p a g ati o n t hr o u g h a v erti c all y a n d h ori z o nt all y i n h o m o g e n e o us b a c k gr o u n d wi n d.

J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 0 , 5 9 3 1– 5 9 5 0. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 2 / 2 0 1 5 J D 0 2 3 5 0 5

H ori n o u c hi, T., N a k a m ur a, T., & K os a k a, J. ‐I. ( 2 0 0 2). C o n v e cti v el y g e n er at e d m es os c al e gr a vit y w a v es si m ul at e d t hr o u g h o ut t h e mi d dl e

at m os p h er e. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 2 9 ( 2 1), D 2 0 S 0 4 htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 0 2 G L 0 1 6 0 6 9

H o u, Y. C., & M a h e s h, K. ( 2 0 0 5). A r o b ust, c ol o c at e d, i m pli cit al g orit h m f or dir e ct n u m eri c al si m ul ati o n of c o m pr essi bl e, t ur b ul e nt fl o ws.

J o ur n al of C o m p ut ati o n al P h ysi cs , 2 0 5 ( 1), 2 0 5– 2 2 1. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 1 6/j.j c p. 2 0 0 4. 1 0. 0 3 9

L a n e, T. P., & S h ar m a n, R. D. ( 2 0 0 6). Gr a vit y w a v e br e a ki n g, s e c o n d ar y w a v e g e n er ati o n, a n d mi xi n g a b o v e d e e p c o n v e cti o n i n a t hr e e ‐

di m e nsi o n al cl o u d m o d el. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 3 3 , L 2 3 8 1 3. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 0 6 G L 0 2 7 9 8 8

Li g ht hill, M. J. ( 1 9 5 4). O n s o u n d g e n er at e d a er o d y n a mi c all y. II. T ur b ul e n c e as a S o ur c e of S o u n d. T h e R o y al S o ci et y P u blis hi n g , 2 2 2 . htt ps://

w w w.jst or. or g/st a bl e/ 9 9 3 7 3

Lill y, D. K. ( 1 9 7 8). A s e v er e d o w nsl o p e wi n dst or m a n d air cr aft t ur b ul e n c e i n d u c e d b y a m o u nt ai n w a v e. J o ur n al of t h e At m os p h eri c

S ci e n c es , 3 5 ( 1), 5 9– 7 7. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 7 8) 0 3 5 < 0 0 5 9: A S D W A A > 2. 0. C O; 2

Lill y, D. K., & K e n n e d y, P. J. ( 1 9 7 3). O bs er v ati o ns of a st ati o n ar y m o u nt ai n w a v e a n d its ass o ci at e d m o m e nt u m fl u x a n d e n er g y dissi p ati o n.

J o ur n al of t h e At m os p h eri c S ci e n c es , 3 0 ( 6), 1 1 3 5– 1 1 5 2. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 7 3) 0 3 0 < 1 1 3 5: O O A S M W > 2. 0. C O; 2

L u n d, T. S., & Fritts, D. C. ( 2 0 1 2). N u m eri c al si m ul ati o n of gr a vit y w a v e br e a ki n g i n t h e l o w er t h er m os p h er e. J o ur n al of G e o p h ysi c al

R es e ar c h At m os p h er es , 1 1 7 , D 2 1 1 0 5. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 2 J D 0 1 7 5 3 6

M oi n, P., S q uir es, K. D., C a b ot, W. H., & L e e, S. ( 1 9 9 1). A d y n a mi c s u b gri d ‐s c al e m o d el f or c o m pr essi bl e t ur b ul e n c e a n d s c al ar tr a ns p ort.

P h ys. Fl ui ds, A , 3 ( 1 1), 2 7 4 6– 2 7 5 7. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 6 3/ 1. 8 5 8 1 6 4

M ori nis hi, Y., L u n d, T., V asil y e v, O., & M oi n, P. ( 1 9 9 8). F ull y c o ns er v ati v e hi g h er or d er fi nit e diff er e n c e s c h e m es f or i n c o m pr es si bl e fl o w.

J o ur n al of C o m p ut ati o n al P h ysi cs , 1 4 3 ( 1), 9 0– 1 2 4. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 6 /j c p h. 1 9 9 8. 5 9 6 2

N astr o m, G. D., & E at o n, F. D. ( 2 0 0 1). P ersist e nt l a y ers of e n h a n c e d C n 2 i n t h e l o w er str at os p h er e fr o m r a d ar. R a di o S ci e n c e. , 3 6 , 1 3 7– 1 4 9.

htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 0 0 R S 0 0 2 3 1 8

R a p p, M., Str el ni k o v, B., M üll e m a n n, A., L ü b k e n, F. ‐J., & Fritts, D. C. ( 2 0 0 4). T ur b ul e n c e m e as ur e m e nt s i m pli c ati o ns f or gr a vit y w a v e

dissi p ati o n d uri n g t h e M a C W A V E/ MI D A S s u m m er r o c k et pr o gr a m. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 3 1 . L 2 4 S 0 7 htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 /

2 0 0 3 G L 0 1 9 3 2 5

R eiss, J., & S est er h e n n, J. ( 2 0 1 4). A c o ns er v ati v e, s k e w ‐s y m m etri c fi nit e diff er e n c e s c h e m e f or t h e c o m pr essi bl e N a vi er ‐St o k e s e q u ati o ns.

C o m p ut ers a n d Fl ui ds , 1 0 1 , 2 0 8– 2 1 9. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 2/ p a m m. 2 0 1 1 1 0 3 8 1

S at o m ur a, T., & S at o, K. ( 1 9 9 9). S e c o n d ar y g e n er ati o n of gr a vit y w a v es ass o ci at e d wit h t h e br e a ki n g of m o u nt ai n w a v es. J o ur n al of t h e

At m os p h eri c S ci e n c es , 5 6 , 3 8 4 7– 3 8 5 8. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 1 9 9 9) 0 5 6 < 3 8 4 7: S G O G W A > 2. 0. C O; 2

S h o e y bi, M., S v ar d, M., H a m, F. E., & M oi n, P. ( 2 0 1 0). A n a d a pti v e i m pli cit ‐e x pli cit s c h e m e f or t h e D N S a n d L E S of c o m pr essi bl e fl o ws o n

u nstr u ct ur e d gri ds. J o ur n al of C o m p ut ati o n al P h ysi cs , 2 2 9 ( 1 7), 5 9 4 4– 5 9 6 5. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 0 1 6/j.j c p. 2 0 1 0. 0 4. 0 2 7

S ni v el y, J. B. ( 2 0 1 7). N o nli n e ar gr a vit y w a v e f or ci n g as a s o ur c e of a c o usti c w a v es i n t h e m e s os p h er e, t h er m os p h er e, a n d i o n os p h er e.

G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett er , 4 4 ( 2 3), 1 2, 0 2 0– 1 2, 0 2 7. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 0 0 2/ 2 0 1 7 G L 0 7 5 3 6 0

Str el ni k o v, B., R a p p, M., Str el ni k o v a, I., E n gl er, N., & L att e c k, R. ( 2 0 0 9). S m all ‐s c al e str u ct ur es i n n e utr als a n d c h ar g e d a er os ol p ar-

ti cl es as o bs er v e d d uri n g t h e E C O M A/ M A S S r o c k et c a m p ai g n. A n n al es G e o p h ysi c a e , 2 7 , 1 4 4 9– 1 4 5 6. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 5 1 9 4/ a n g e o ‐

2 7 ‐1 4 4 9 ‐2 0 0 9

S ut h erl a n d, B. R. ( 2 0 0 1). Fi nit e ‐a m p lit u d e i nt er n al w a v e p a c k et dis p ersi o n a n d br e a ki n g. J o ur n al of Fl ui d M e c h a ni cs , 4 2 9 , 3 4 3– 3 8 0. htt ps://

d oi. or g/ 1 0. 1 0 1 7/ S 0 0 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 2 8 4 6

S ut h erl a n d, B. R. ( 2 0 0 6). W e a kl y n o nli n e ar i nt er n al gr a vit y w a v e p a c k ets. J o ur n al of Fl ui d M e c h a ni cs , 5 6 9 , 2 4 9– 2 5 8. htt ps:// d oi. or g /

1 0. 1 0 1 7/ S 0 0 2 2 1 1 2 0 0 6 0 0 3 0 1 6

S ut h erl a n d, B. R. ( 2 0 1 6). E x cit ati o n of s u p er h ar m o ni cs b y i nt er n al m o d es i n n o n ‐u nif or ml y str ati fi e d fl ui d. J o ur n al of Fl ui d M e c h a ni cs , 7 9 3 ,

3 3 5 – 3 5 2. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 1 7 /jf m. 2 0 1 6. 1 0 8

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 1 9 of 2 0

S z e w c z y k, A., Str el ni k o v, B., R a p p, M., Str el ni k o v a, I., B a u m g art e n, G., K ai fl er, N., et al. ( 2 0 1 3). Si m ult a n e o us o bs er v ati o ns of a m es o-

s p h eri c i n v ersi o n l a y er a n d t ur b ul e n c e d uri n g t h e E C O M A ‐2 0 1 0 r o c k et c a m p ai g n. A n n al es G e o p h ysi c a e , 3 1 ( 5), 7 7 5– 7 8 5. htt ps:// d oi. or g/

1 0. 5 1 9 4/ a n g e o ‐3 1 ‐7 7 5 ‐2 0 1 3

V a d as, S. L. ( 2 0 0 7). H ori z o nt al a n d v erti c al pr o p a g ati o n a n d dissi p ati o n of gr a vit y w a v es i n t h e t h er m os p h er e fr o m l o w er at m os p h eri c a n d

t h er m os p h eri c s o ur c e s. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h S p a c e P h ysi cs . htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 0 6 J A 0 1 1 8 4 5

V a d as, S. L., & Fritts, D. C. ( 2 0 0 1). Gr a vit y w a v e r a di ati o n a n d m e a n r e s p o ns es t o l o c al b o d y f or c es i n t h e at m os p h er e. J o ur n al of t h e

At m os p h eri c S ci e n c es , 5 8 , 2 2 4 9– 2 2 7 9. htt ps:// d oi. or g / 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 2 0 0 1) 0 5 8 < 2 2 4 9: G W R A M R > 2. 0. C O; 2

V a d as, S. L., & Fritts, D. C. ( 2 0 0 2). T h e i m p ort a n c e of s p ati al v ari a bilit y i n t h e g e n er ati o n of s e c o n d ar y gr a vit y w a v es fr o m l o c al b o d y f or c es.

G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 2 9 ( 2 0). 1 9 8 4 htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9/ 2 0 0 2 G L 0 1 5 5 7 4

V a d as, S. L., & Fritts, D. C. ( 2 0 0 6). I n fl u e n c e of s ol ar v ari a bilit y o n gr a vit y w a v e str u ct ur e a n d dissi p ati o n i n t h e t h er m os p h er e fr o m tr o-

p os p h eri c c o n v e cti o n. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h At m os p h er es , 1 1 1 , A 1 0 S 1 2. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 0 5 J A 0 1 1 5 1 0

V a d as, S. L., Fritts, D. C., & Al e x a n d er, M. J. ( 2 0 0 3). M e c h a nis m f or t h e g e n er ati o n of s e c o n d ar y w a v es i n w a v e br e a ki n g r e gi o ns. J o ur n al of

t h e At m os p h eri c S ci e n c es, 6 0 , 1 9 4– 2 1 4. htt ps:/ / d oi. or g/ 1 0. 1 1 7 5/ 1 5 2 0 ‐0 4 6 9( 2 0 0 3) 0 6 0 < 0 1 9 4: M F T G O S > 2. 0. C O; 2

V a d as, S. L., Z h a o, J., C h u, X., & B e c k er, E. ( 2 0 1 8). T h e e x cit ati o n of s e c o n d ar y gr a vit y w a v es fr o m l o c al b o d y f or c es: T h e or y a n d o bs er-

v ati o n. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 2 3 , 9 2 9 6– 9 3 2 5. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 2 9 / 2 0 1 7 J D 0 2 7 9 7 0

V a n Z a n dt, T. E. ( 1 9 8 2). A u ni v ers al s p e ctr u m of b u o y a n c y w a v es i n t h e at m os p h er e. G e o p h ysi c al R es e ar c h L ett ers , 9 , 5 7 5– 5 7 8. htt ps:// d oi.

or g/ 1 0. 1 0 2 9/ G L 0 0 9i 0 0 5 p 0 0 5 7 5

W alt ers c h ei d, R. L., G eli n as, L. J., H e c ht, J. H., & Li u, A. Z. ( 2 0 1 3). I nst a bilit y str u ct ur es d uri n g p eri o ds of l ar g e Ri c h ar ds o n n u m b er ( Ri >

1/ 4): E vi d e n c e of p ar a m etri c i nst a bilit y. J o ur n al of G e o p h ysi c al R es e ar c h: At m os p h er es , 1 1 8 , 6 9 2 9– 6 9 3 9. htt ps:// d oi. or g/ 1 0. 1 0 0 2 /

j gr d. 5 0 5 1 4

W hit e, F. M. ( 1 9 7 4). Vis c o us Fl ui d Fl o w . N e w Y or k: M c Gr a w‐Hill.

1 0. 1 0 2 9/ 2 0 1 9 J D 0 3 0 6 9 1J o u r n al of G e o p h y si c al R e s e a r c h: At m o s p h e r e s

D O N G E T A L. 2 0 of 2 0