propiedades de la convolucion

Propiedades de la Propiedades de la ConvoluciónConvolución

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Propiedades MatemáticasPropiedades Matemáticas

Propiedad ConmutativaPropiedad Conmutativa

][*][][*][ nanbnbna

Si

Entonces


Propiedad AsociativaPropiedad Asociativa

])[*][(*][][*])[*][( ncnbnancnbna Si

Entonces

Tambien


Propiedad DistributivaPropiedad Distributiva

])[][(*][][*][][*][ ncnbnancnanbna Si

Entonces


Propiedad LinealPropiedad Lineal• Si algún proceso lineal afecta la entrada, Si algún proceso lineal afecta la entrada,

el mismo proceso lineal afectará a la el mismo proceso lineal afectará a la salidasalida

Si

Entonces

Respuestas a Impulso comunesRespuestas a Impulso comunes

Función DeltaFunción Delta• Es la identidad de la operación Es la identidad de la operación

convolución:convolución:

• Es lo mismo que el 0 para la adición y el Es lo mismo que el 0 para la adición y el 1 para la multiplicación1 para la multiplicación

• Esta función es muy importante cuando Esta función es muy importante cuando lo que queremos es transmitir o lo que queremos es transmitir o almacenar una señalalmacenar una señal

][][*][ nxnnx

IdentidadIdentidad


Amplificador o AtenuadorAmplificador o Atenuador• Cuando usamos a la función delta Cuando usamos a la función delta

multiplicada por una constantemultiplicada por una constante

• Si k > 1 entonces es un amplificador, si Si k > 1 entonces es un amplificador, si 0<k<1 entonces es un atenuador0<k<1 entonces es un atenuador

][][*][ nkxnknx

Amplificador, AtenuadorAmplificador, Atenuador


DesplazadorDesplazador• Si desplazamos a la función delta, Si desplazamos a la función delta,

obtenemos una señal igual a lo original obtenemos una señal igual a lo original pero desplazada en el tiempopero desplazada en el tiempo

• Esto pude considerarse como un retardo Esto pude considerarse como un retardo o “delay” o un avance dependiendo del o “delay” o un avance dependiendo del desplazamientodesplazamiento

][][*][ snxsnnx

DesplazadorDesplazador


EcoEco• Si usamos una función delta más una Si usamos una función delta más una

función delta desplazada y escalada función delta desplazada y escalada obtenemos un sistema de ecoobtenemos un sistema de eco

• Muchas veces deseamos eliminar ese Muchas veces deseamos eliminar ese ecoeco

][][])[][(*][ snkxnxsnknnx

EcoEco

Respuestas a Impulso Respuestas a Impulso ComunesComunes

Primera Diferencia (Derivación)Primera Diferencia (Derivación)

]1[][][ nxnxny


Suma continua (Integración)Suma continua (Integración)

]1[][][ nynxny


Suma continua

Primera diferencia

Repuestas a Impulso ComunesRepuestas a Impulso Comunes

Filtro pasa bajosFiltro pasa bajos• Los filtros pasa bajos estan formados Los filtros pasa bajos estan formados

por un grupo de puntos adyacentes por un grupo de puntos adyacentes positivospositivos

• Eso produce un promediado de la señalEso produce un promediado de la señal• Como vimos en clases pasadas puede Como vimos en clases pasadas puede

haber varios tipos de filtroshaber varios tipos de filtros

Repuestas a Impulso ComunesRepuestas a Impulso Comunes

Respuestas a ImpulsoRespuestas a ImpulsoComunesComunes

Filtros pasa altosFiltros pasa altos• Se construyen modificando filtros pasa Se construyen modificando filtros pasa

bajosbajos• Queremos la señal menos las Queremos la señal menos las

frecuencias bajasfrecuencias bajas• Pasamos toda la señal (función delta) y Pasamos toda la señal (función delta) y

le restamos las frecuencias bajas (filtro le restamos las frecuencias bajas (filtro pasa bajo)pasa bajo)

Respuestas a ImpulsoRespuestas a ImpulsoComunesComunes

Señales causales y no causalesSeñales causales y no causales

En un sistema analógico, el sistema En un sistema analógico, el sistema responde a excitaciones en la responde a excitaciones en la entradaentrada

Si aplicamos una señal de entrada, Si aplicamos una señal de entrada, obtendremos una salidaobtendremos una salida

Esto es una relación causa-efectoEsto es una relación causa-efecto Esto no es necesariamente cierto en Esto no es necesariamente cierto en

un computadorun computador


En un computador la señal de En un computador la señal de entrada es un arreglo de números y entrada es un arreglo de números y la señal de salida tambiénla señal de salida también

Nada nos impide que una muestra en Nada nos impide que una muestra en la entrada pueda afectar a valores la entrada pueda afectar a valores previos de la salidaprevios de la salida


Diferenciamos una señal causal de Diferenciamos una señal causal de uno no causal cuando todos los uno no causal cuando todos los valores con número de muestra valores con número de muestra negativa son iguales a 0negativa son iguales a 0

Si no son iguales a 0, decimos que la Si no son iguales a 0, decimos que la señal es no causalseñal es no causal


Causal No Causal

Teorema del Limite CentralTeorema del Limite Central

Nos dice que cuando una señal es el Nos dice que cuando una señal es el resultado de la suma de varios resultado de la suma de varios procesos aleatorios, esa señal tendrá procesos aleatorios, esa señal tendrá una distribución normal (Gausiana)una distribución normal (Gausiana)

Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo laser, Agujeros en un tablero de laser, Agujeros en un tablero de dardosdardos


Esto tiene una aplicación en convoluciónEsto tiene una aplicación en convolución Si una señal parecida a pulsos es Si una señal parecida a pulsos es

convolucionada con ella mismas varias convolucionada con ella mismas varias veces, una campana de Gauss es veces, una campana de Gauss es producidaproducida

El ancho de la campana de gauss es igual El ancho de la campana de gauss es igual al pulso original multiplicada por el al pulso original multiplicada por el número de convolucionesnúmero de convoluciones

CorrelaciónCorrelación

Estudiemos el funcionamiento del Estudiemos el funcionamiento del radarradar

Un pulso es generado y transmitido Un pulso es generado y transmitido por una antena transmisorapor una antena transmisora

Cuando esta señal golpea algún Cuando esta señal golpea algún objeto, es reflejada objeto, es reflejada

Una antena receptora captura todos Una antena receptora captura todos los pulsos reflejados y calcula la los pulsos reflejados y calcula la distanciadistancia


La señal reflejada consistirá de:La señal reflejada consistirá de:• Pulsos reflejadosPulsos reflejados• RuidosRuidos

Es difícil a simple vista diferenciar el Es difícil a simple vista diferenciar el uno del otrouno del otro

Para poder identificar el pulso Para poder identificar el pulso utilizamos una técnica llamada utilizamos una técnica llamada correlacióncorrelación


La correlación es muy parecida a la La correlación es muy parecida a la convoluciónconvolución

La señal producida se llama la La señal producida se llama la correlacion cruzada (cross-correlacion cruzada (cross-correlation)correlation)

Si la señal se correlaciona consigo Si la señal se correlaciona consigo misma se llama autocorrelaciónmisma se llama autocorrelación


Se calcula con la “maquina de Se calcula con la “maquina de correlación”correlación”

Esta máquina va midiendo como Esta máquina va midiendo como tramos de la señal se parecen a la tramos de la señal se parecen a la señal deseadaseñal deseada

Cor

rela

ción

Cor

rela

ción


Se parece a la máquina de Se parece a la máquina de convolución excepto porque la señal convolución excepto porque la señal dentro no esta volteadadentro no esta volteada

De tal manera que correlacionar es De tal manera que correlacionar es simplemente hacer una convolución simplemente hacer una convolución con la segunda señal volteadacon la segunda señal volteada

][][*][ ncnbna

Velocidad de CálculoVelocidad de Cálculo

Escribir un programa para Escribir un programa para convolución se escribe en pocas convolución se escribe en pocas líneas de códigolíneas de código

Ejecutarlo en cambio no es eficienteEjecutarlo en cambio no es eficiente Debemos multiplicar dos números y Debemos multiplicar dos números y

sumarlos en un acumuladorsumarlos en un acumulador Debemos realizar NxM de estas Debemos realizar NxM de estas

operacionesoperaciones


Para una señal de 10000 muestras Para una señal de 10000 muestras convolucionada con una de 100 muestras convolucionada con una de 100 muestras requiere aproximadamente 1 segundorequiere aproximadamente 1 segundo

Para una señal de un millón de muestras Para una señal de un millón de muestras requerirá 100 segundos, más de un requerirá 100 segundos, más de un minutominuto

Esto es demasiado tiempo si deseamos Esto es demasiado tiempo si deseamos utilizarlo en tiempo realutilizarlo en tiempo real


En la realidad utilizamos otros En la realidad utilizamos otros métodos para calcular métodos para calcular eficientemente la convolucióneficientemente la convolución

Por ejemplo la FFT convolution que Por ejemplo la FFT convolution que aplica el concepto e transformada de aplica el concepto e transformada de FourierFourier

propiedades de la convolucion

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