clase sistemas - convolucion - deconvolucion

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 1 / 60 Sistemas Autocorrelación Convolucion Deconvolucion Sistemas Discretos LTI Sistemas Discretos LTI MSc. Bioing Rubén Acevedo [email protected] Procesamiento Digital de Señales Licenciatura en Bioinformática FI-UNER Septiembre de 2009

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 1 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas Discretos LTISistemas Discretos LTI

MSc. Bioing Rubén [email protected]

Procesamiento Digital de SeñalesLicenciatura en Bioinformática

FI-UNER

Septiembre de 2009

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 2 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Organización

1 Sistemas

2 Convolucion

3 Deconvolucion

3 Autocorrelación

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 3 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

DefinicionesDefiniciones

• “Una colección de objetos que están dispuestos de una forma ordenada, de acuerdo a su finalidad”.

• “Un ente formado por un conjunto de elementos que evolucionan coordinadamente según determinadas reglas”.

• “Cualquier parte de un ambiente que causa que ciertas señales que existen en él se encuentren relacionadas”.

• “Cualquier proceso que produce una transformación de señales”.

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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

DefinicionesDefiniciones

La interrelación de las señales impuesta por las

leyes que gobiernan al sistema se denomina

Regla ó Dinámica del sistemaRegla ó Dinámica del sistema

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 5 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

DefinicionesDefiniciones

Sistemas como entidades abstractas → caja negra.

h [n] y [n]x [n]

Sistemas de tiempo discreto

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 6 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación

Cantidad de entradas y salidas

Causales o no causales

Parámetros concentrados o distribuidos

Inversibles o no inversibles

Estables o inestables

Con memoria o sin memoria

Variantes o invariantes en el tiempo

Lineales o no lineales

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 7 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación Cantidad de entradasCantidad de entradas

h[n] y[n]x[n]Single Input Single Output

x1[n]x2[n] h[n] y[n]Multiple Input Single Output

y1[n]y2[n]h[n]x[n]Single Input Multiple Output

y1[n]y2[n]

x1[n]x2[n] h[n]Multiple Input Multiple Output

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 8 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación CausalesCausales

Un sistema es causal si la salida en cualquier instante depende únicamente de los valores presentes y/o pasados de la entrada, y de valores pasados de la salida.

Suele llamarse no anticipativo ya que la salida del sistema no se anticipa considerando valores futuros de la entrada.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 9 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación Parámetros concentradosParámetros concentrados

La entrada afecta en forma simultánea a cada elemento del sistema.

Se pueden describir por ecuaciones diferenciales ordinarias.

Parámetros distribuidosParámetros distribuidos

Los efectos se distribuye en las dimensiones espaciales del sistema.

Se describen por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 10 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación InversiblesInversibles

Un sistema es inversible si a partir de la salida sepuede encontrar determinísticamente la entrada.

Ejemplo: y[n] = 2. x[n] → z[n] = 0,5.y[n]

h[n] h-1[n]y(n) z[n] = x(n)x(n)

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 11 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación EstabilidadEstabilidad

Si la entrada a un sistema estable está acotada, entonces la salida también debe ser acotada (no diverge).

x[n] entrada

y[n] salida

x[n]

y[n]

Sistema inestable Sistema estable

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 12 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación Con memoriaCon memoria

La salida en un instante de tiempo depende de la

entrada en ese instante y en instante anteriores.

Sin memoriaSin memoria

La salida en un instante de tiempo depende

únicamente de su entrada en ese instante.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 13 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación Invariante en el tiempoInvariante en el tiempo

Es aquel en el cual sus parámetros no se modifican con el tiempo.

Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida

Variante en el tiempoVariante en el tiempo

Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida,

pero la respuesta es diferente de la que se obtiene con desplazamiento nulo.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 14 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

ClasificaciónClasificación LinealesLineales

Son los sistemas que cumplen con el principio de superposición.

a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n]

La salida de un sistema lineal a una entrada nula es también nula.

Un sistema lineal sólo modifica el espectro de frecuencias de la entrada.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 15 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI

La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e

invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante

ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.

La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e

invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante

ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 16 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI TiposTipos

Sistemas Moving Average (MA) Sistemas de respuesta finita al impulso (FIR)

Sistemas Auto Regresivos (AR)

Sistemas ARMA

Sistemas de respuesta infinita al impulso (IIR)

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 17 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación

Una forma de representar sistemas LTI discretos es mediante diagramas de bloques.

Estos facilitan la interpretación de su comportamiento en forma gráfica.

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 18 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación

+x1[n]

x2[n]

x1[n] + x2[n]Suma

Multiplicación por escalar

Retardo

x1[n]a

a.x1[n]

Dx[n] x[n-1]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 19 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación

Ejemplo: diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 5x[n-1] - 2y[n-1]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 20 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación

Serie

Paralelo

Mixto

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 21 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

DefiniciónDefinición

x[n]: entrada al sistema.

h[n]: respuesta al impulso del sistema.

y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].

x[n] y[n]h[n]

Sistema LTI

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 22 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

DefiniciónDefinición Propiedades de sistemas LTIPropiedades de sistemas LTI

x1[n] → y1[n] x2[n] → y2[n]

a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n] Linealidad

x[n]→ y[n]

x[n-k] → y[n-k]Invariancia temporal

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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

DefiniciónDefinición Sumatoria de impulsosSumatoria de impulsos

x[n]

n

∑∞

−∞=−δ=

k]kn[].k[x]n[x

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 24 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

DefiniciónDefinición

∑1N

0i)]ik[(h)i(x)k(y

=−=

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 25 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

PropiedadesPropiedades

• Conmutativasi existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x

• Asociativasi existe (x ∗ y) ∗ z → (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

• Distributivasi existen x ∗ y y x ∗ z → x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z

• Conmutativa con respecto al producto por un escalarsi existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 26 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

CálculoCálculo

Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]

Entrada: x[n] = [1, 2, 2]

x[n] h[n]

2 2 2

1 10,5

n nn

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Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

CálculoCálculo

• Multiplicación término a término

• Sumatoria de convolución

• Matricialmente

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 28 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

CálculoCálculo Multiplicación término a términoMultiplicación término a término

h[n]

h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]

h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]

x[n]

x [1].δ[n-1]

x[2].δ[n-2]

x [0].δ[n]

y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]

y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]

h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 29 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

CálculoCálculox[-n]

x[1-n]

x[2-n]

h[n]Sumatoria de convoluciónSumatoria de convolución

y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0

y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0

y[0] = x[-n] . h[n] = 2

y[1] = x[1-n] . h[n] = 5

y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = x[3-n] . h[n] = 3

y[4] = x[4-n] . h[n] = 1

y[5] = x[5-n] . h[n] = 0

y[6] = x[6-n] . h[n] = 0

x[3-n]

x[4-n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 30 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

CálculoCálculo MatricialMatricial

y[0] = h[0].x[0]y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]...

(0) (0) 0 0 0 .. (0)(1) (1) (0) 0 0 .. (1)

•(2) (2) (1) (0) 0 .. (2)

...... ................................. .......

y h xy h h xy h h h x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y = H.x

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 31 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

Convolucion circularConvolucion circular

TFx(t) ∗ y(t) → X(f) . Y(f)

TDFx[n] ∗ y [n] → X [k] . Y[k]x

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 32 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

h[n]xp[-n]

n

xp[1-n]

n

xp[2-n]

Convolucion circularConvolucion circular

xp[3-n]

n

y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5

y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3

y[0] = xp[-n] . h[n] = 3

y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5

y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3

y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3

y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5

y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5

n

n

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 33 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Convolucion

Convolucion circularConvolucion circular Convolucion lineal vía TDFConvolucion lineal vía TDF

x1[n] → N muestras

x2[n] → N muestras

x1m[n] → N+N-1 muestras

x2[n] → N+N-1 muestras

x1[n] → x1m[n] → X1m[k]

→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n] x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]

x2[n] → x2m[n] → X1m[k]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 34 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

DefiniciónDefinición

h [n] ?y [n]x [n]Identificación

Problema inverso

h [n]y [n]x [n] ?Control

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 35 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

DefiniciónDefinición

h [n]

x [n]

h-1 [n]

y[n] = x[n] ∗ h[n] x[n] = y[n] ∗ h-1[n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 36 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

• Matricialmente

• División término a término

• Vía Transformada Discreta de Fourier

CálculoCálculo

Deconvolucion

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 37 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

CálculoCálculo MatricialMatricial

Identificación: y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]

Control: y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 38 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

CálculoCálculo División término a términoDivisión término a término

y[n] h[n]

2 5 6.5 3 1 2 1 0.5Derecha a izquierda:

y[n] h[n]

2 1 0.52 5 6.5 3 1Izquierda a derecha:

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 39 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

CálculoCálculo Vía TDFVía TDF

x[n] N muestras ⇒ X[k] N muestras

h[n] M muestras ⇒ H[k] M muestras

y[n] N+M-1muestras ⇒ Y[k] N+M-1 muestras

Convolucion circular

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 40 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

CálculoCálculo Vía TDFVía TDF

Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]

Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros

Paso 3: calcular H-1[k]

Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]

Paso 5: antitransformar con TDFI

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 41 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido

h [n]y [n]x [n]

y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 42 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido

x[n]

h[n]

y[n]

Page 43: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 43 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 44 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la entradaRuido en la entrada

r[n]

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 45 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida

r[n]= sin(2.π.1.T)

r[n]= sin(2.π.5.T)

r[n]= sin(2.π.10.T)

r[n]

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 46 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 47 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

DefiniciónDefinición

Electroencefalograma

Electromiograma

Potenciales evocados auditivos

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 48 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

DefiniciónDefinición

t1 t2

X1[n]

X2[n]

XM[n]

Proceso aleatorio

, τ = t2 - t1)]2t(X)1t(X[E)(xx =τγ

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 49 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

DefiniciónDefinición

Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(x)t(x)(Rxx

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗ +=n

xx knx.nx)k(r

Función de autocorrelación

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗ +=n

xy kny.nx)k(r

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(y)t(x)(R xy

Función de correlación cruzada

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 50 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

InterpretaciónInterpretación

Espacio de señales + Producto interno

[ ] [ ]∑∞

−∞=+=

nknxnx)k(xxr , para -∞ ≤ k ≤ ∞

[ ] [ ]∑−−

=+=

1mN

0nknxnx

N1)k(xxr , para 0 ≤ k ≤ N-1

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 51 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

PropiedadesPropiedades

• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.

• rxy(k) = ryx(-k)

• rxx(k) = rxx(-k)

• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)

• |rxx(k)| ≤ rxx(0)

Page 52: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 52 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Medición de tiemposMedición de tiempos

Page 53: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 53 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales

Page 54: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 54 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 55 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 1 1 . 2 1 . 4

T i e m p o ( s e g )

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

2

2 . 5

3

Am

plitu

d (m

V)

Artefacto del estímulo Onda MSEMG voluntario

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 56 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Extracción de señalesExtracción de señales

Page 57: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 57 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Estimación espectralEstimación espectral

Teorema de Wiener – Khintchine

222

21

τ=ττ= π−

π−

−∫∫ d.e).t(x

Td.e).(R)f(P ftj

To

Too

ftjTo

Toxxxx

Método de Bartlett

Método de Welch

Método de Blackman - Tukey

[ ]∑−

−−=

π−=1

1

2N

)N(m

mfjxxxx e.mr)f(P

Page 58: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 58 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

[ ] [ ]∑∞

−∞=+=

nxy kny.nx)k(r Correlación cruzada de y[n] y x[n].

∑∞

−∞=−=

kxy ]kn[y].k[x]n[conv Convolución lineal de y[n] y x[n].

Page 59: Clase Sistemas - Convolucion - Deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 59 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Autocorrelación

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

Paso 1: reflejar una de las secuencias.

Paso 2: desplazamiento de una secuencia.

Paso 3: producto de las secuencias.

Paso 4: suma de la secuencia producto.

Convolución

Paso 1: desplazamiento de una secuencia.

Paso 2: producto de las secuencias.

Paso 3: suma de la secuencia producto.

Correlación

rxy(k) = x(k)∗y(-k)

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Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 60 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

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