propedÉutico de matemÁticas
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PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS.
UNIDAD 1
Introducción
"Un matemático, al igual que un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones
son más duraderos que los de los otros dos, es porque en ellos se da la circunstancia de que
están hechos de ideas"
Godfrey Harold Hardy (1877-1947)
¿Qué opinas acerca de estas palabras? ¿Crees que nos hacen reflexionar sobre la importancia de
las ideas, del razonamiento? En este sentido, la Matemática tiene un papel primordial que
desempeñar. Nos permite desarrollar el pensamiento para que sea estructurado, analítico, lógico
y con mayor poder de abstracción.
La preparación matemática permite resolver problemas y situaciones de diversa índole. Por esta
razón, la sociedad actual requiere de personas que posean una formación matemática y por lo
tanto, sean capaces de desempeñar cualquier ocupación. Así que ¡adelante!, recorre con gusto,
convencimiento y empeño este curso y los que te esperan más adelante.
Sistemas de Numeración
Propósito: Que el estudiante distinga entre número y numeral (símbolo), comprenda el origen de los sistemas de numeración, en particular el origen del sistema decimal, sus características y manera de operar para sentar las bases de las operaciones aritméticas con números reales; para leer, escribir y comprender adecuadamente los números, por muy grandes que sean.
¿Cuándo crees que se originó la Matemática?
La matemática se origino cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, de realizar cálculos
(cálculo viene del latíncalcŭlus: piedrecilla, ya que al principio, los hombres usaban pequeños
guijarros para hacer cuentas).
Sabemos que mucho antes de que se inventara la escritura, el hombre empezó a rayar (o
tarjar) en las paredes de las cuevas que habitaba y en las rocas para indicar “cuántos”. Los
primeros hombres tenían la intuición de número. Eran suficientes los dedos de la mano para
contar, ya que sólo necesitaban representar cantidades pequeñas. Tal vez únicamente podían
distinguir entre uno, dos o muchos.
En la actualidad existen pueblos primitivos que aún cuentan con las manos. El Dr. José Antonio
de la Peña, en su libro Álgebra en todas partes (que te recomendamos mucho), señala que los
miembros de la tribu Sibiller de Nueva Guinea, cuentan hasta el 27 utilizando para ello la mano
izquierda y diferentes partes del cuerpo.
La noción de número siempre ha sido necesaria. El hombre la ha utilizado para manejar y
resolver desde sencillos problemas hasta otros de mayor dificultad. El ser humano tiene esa gran
capacidad de abstraer conceptos plasmados en la naturaleza y convertirlos en símbolos.
A medida que la sociedad evolucionaba, se requerían cálculos más complicados, por lo que el
hombre comenzó a sistematizar estos símbolos. Creó reglas para establecer algoritmos (es
decir, métodos, procedimientos o patrones para encontrar sumas, diferencias, productos o
cocientes). Los algoritmos dieron pie a las operaciones aritméticas y a la creación de los
sistemas de numeración. Estos sistemas de numeración permiten, de una manera estructurada y
simbólica, manejar la noción de número.
En la actualidad, el ser humano tiene contacto con la Matemática desde muy temprana edad. Por lo general, un niño aprende a decir cuántos años tiene, aunque sea indicándolo con los dedos de la mano, y estamos tan familiarizados con los numerales (símbolos con los que representamos a los números), que no estamos conscientes de su lenta evolución y de los siglos que tuvieron que pasar para que se fusionaran y desarrollaran los nombres hablados de los números y las rayas, en un sistema de símbolos que representaran esta fusión.
Como se puede observar en la tabla siguiente, los numerales usados para un mismo número son
diferentes según la cultura. Fíjate en la forma en que algunos usan igual número de signos que la
cifra representada por su numeral. Así los mayas, egipcios y romanos usaban tres signos para
representar el 3.
Seguramente recordarás los sistemas de numeración, como el egipcio, que es de los más
antiguos. El babilonio floreció en Mesopotamia con los sumerios, asirios y caldeos, y también
tenemos otros como el griego, romano, chino y maya.
lgunos de estos sistemas son posicionales, y otros no. Los que no son posicionales resultan
inadecuados para hacer operaciones. ¿Qué significa entonces la palabra posicional?
Posicional significa que en un numeral, el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa dentro
del numeral, y a este valor se le llama valor relativo. Por ejemplo, el 34 significa que hay 4
unidades y que el 3 vale 30, por su posición en el numeral.
Un ejemplo de un sistema no posicional es el romano, en donde VIII significa 8 y XXXIV significa
34. Sumar 8+34 usando VIII + XXXIV no es nada fácil, como puedes ver.
SISTEMA DECIMAL INDOARABIGO
Uno de los Sistemas Numéricos más importantes es el nuestro, el Sistema Decimal, llamado así
por tener base 10.
¿Por qué su base es diez?
Porque son 10 los símbolos básicos que se utilizan, llamados dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y el cero.
La razón de que la base sea diez y no otra diferente, es que en las primeras culturas el proceso
de contar en muchos casos, recordarás, se realizaba con los dedos de las manos.
Al parecer, la notación que usamos para los numerales del 1 al 9 se originó en la India por el año
500 de nuestra era, y alrededor del siglo X los árabes se apropiaron de todos estos
conocimientos y los llevaron a España, de donde se extendieron al resto de Europa. Por esa
razón también se le conoce a este sistema decimal como sistema indoarábigo, o
simplemente arábigo.
on el cero es otra historia. El cero es un gran logro de la humanidad, y uno de los más grandes aciertos de la ciencia. El número cero fue el último de los números en ser descubierto, y su representación, o sea, su numeral “0”, fue inventado en último lugar. Sin el cero, nuestro Sistema Decimal no sería más eficiente que el romano.
Se dice que los babilonios ya tenían un símbolo para el cero, y que inicialmente dejaban un espacio para este número. La cultura maya tenía un sistema de numeración vigesimal (de base veinte) y también el concepto de cero, que manejaban como el cierre de un ciclo y el principio de otro en sus calendarios y relaciones astronómicas. Esta cultura fue de las primeras en usar un sistema posicional y un símbolo para el cero.
SISTEMA DECIMAL INDOARÁBIGO
Características del Sistema Decimal Indoarábigo
El Sistema Decimal es uno de los más perfectos y se utiliza en la mayor parte del mundo. Es
un Sistema Internacional, porque permite escribir cualquier número por muy grande que sea
con pocos símbolos (sólo 10), gracias a que es posicional.
Recordarás que es posicional porque el valor de cada dígito depende del lugar que ocupa dentro
de un numeral. A este valor se le llama valor relativo, y facilita también los algoritmos de las
operaciones aritméticas.
Son dos las características del sistema decimal:
1. Cada dígito de un numeral tiene dos valores
En un numeral, cada dígito (también se le puede llamar cifra y va del 0 al 9) que lo constituye
tiene dos valores:
Valor absoluto, el valor del dígito (o de la cifra; en el 34 el valor absoluto del 3 es 3).
Valor relativo, el valor de acuerdo a la posición que ocupa el dígito (o la cifra) en el numeral (En
el 34, el valor relativo del 3 es 30).
A continuación, se presenta una tabla que aclara esta idea. Obsérvala y contesta lo que se solicita más adelante.
2. Los números del sistema decimal obedecen a un orden y una clase bien definida El orden y la clase se explican a continuación
Orden
El orden se basa en la idea de agrupamientos de 10 en 10: unidades, decenas, centenas,
unidades de millar, etc.
10 unidades de un orden forman una unidad del orden superior siguiente:
Lectura y escritura de los números del sistema decimal
Para poder leer, escribir y comprender adecuadamente los números del sistema decimal, por
muy grandes que sean, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a
la que pertenecen. El orden permite conocer con precisión el valor relativo, o sea la posición de
cada cifra del número en consideración. Vamos a entenderlo bien:
Observa nuevamente la tabla.
Una vez conocidas las partes separadas por órdenes de un número, éste se lee y se forma como
se indica en el siguiente ejemplo:
85 317 234
Se lee: 8 decenas de millón, 5 unidades de millón, 3 centenas de millar, 1 decena de millar, 7
unidades de millar, 2 centenas, 3 decenas, 4 unidades.
Lo que significa que este número se forma con:
El sistema decimal además de ser posicional es también aditivo, porque el valor relativo de
cada cifra se obtiene al multiplicar la cifra por el orden que indica su posición. Fíjate en el caso
anterior: 8 por 10 000 000, 5 por 1 000 000, 3 por 100 000, etc., y los resultados de estas
multiplicaciones se van sumando para formar el número que se está considerando, en este caso,
el 85 317 234. Este número queda formado así:
85 317 234 = 80 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 10 000 + 7 000 + 200 + 30 + 4
Esta forma de escritura se llama notación desarrollada o extendida. Entonces la notación desarrollada consiste en escribir una cantidad como la suma de los valores relativos (o sea, de las posiciones) de cada cifra que la constituye.
Ahora sabes que, conocidas las partes separadas por órdenes que tiene un número, éste se forma como antes se indicó. Ejemplo:
Enseguida se presentan dos ejemplos en notación desarrollada, para escribirlos en la forma condensada.
Los números enteros positivos son los que hasta ahora hemos tratado, pero no son los
únicos. Estudiaremos los números decimales más adelante, en la unidad relativa a los racionales.
¿Cómo le vas a hacer para acordarte de los conceptos que hemos revisado: valor posicional y orden? Detente un momento y piensa: ¿qué es el valor posicional? Ahora, ¿cómo me voy a acordar de que el valor posicional es el valor relativo que tiene una cifra por el lugar que ocupa en un numeral? Quizá uses una clave personal como “decena” para acordarte que el 3 en 34 no vale 3 sino 30; quizá uses otra estrategia. Lo importante es que sepas cómo te acordarás. Tómate un momento para registrarlo en tu memoria.
Clase
Como se indicó, para poder leer, escribir y comprender de forma adecuada los números del
sistema decimal, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la cual
pertenecen. Ya hablamos del orden, ahora analizaremos la clase.
1. En el número 85 317 234
En cada una de las clases, los dígitos se leen de forma normal (ochenta y cinco, trescientos
diecisiete, doscientos treinta y cuatro, etc.), y se le añade el nombre de la clase o un derivado,
por ejemplo "millones","mil", etc.
Por tanto este número 85 317 234 se lee como:
Ochenta y cinco millones trescientos diecisiete mil doscientos treinta y cuatro unidades.
2. En el número 625 529 718 432
En primer lugar se consideran cada una de las clases que están entre los grupos de tres cifras.
Por tanto este número 625 529 718 432 se lee como:
Seiscientos veinticinco mil quinientos veintinueve millones, setecientos dieciocho mil
cuatrocientos treinta y dos unidades.
Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales
Revisa los problemas que se presentan a continuación. Tal vez en este momento sientas que no
puedes resolverlos, pero al terminar la unidad relativa a números naturales que en seguida
inicia, serás capaz de resolver éstos y más.
Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra.
Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos, para encontrarse. Uno de ellos va a 7
km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿a qué hora se
encontrarán?
Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115
mochilas, y recibió 137 mochilas de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este
momento le quedan 204 mochilas, ¿cuántas tenía al principio?
Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por
cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de
su compañero?
Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425m2, 850m2 y 1
700m2 respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los
terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la medida que deben tener los
terrenos para que todos tengan la misma superficie?
Los números Naturales
El propósito de este tema es que conozcas y desarrolles las habilidades que te permitan operar correctamente con los números naturales y adquieras las bases para entender que los conjuntos numéricos fueron creciendo por las necesidades cada vez mayores de una sociedad en evolución.
"Dios creó a los números naturales, lo demás es invención del hombre"
Estas palabras han causado polémica respecto a qué persona las pronunció. Algunos autores
señalan que fueron dichas por el matemático alemánLeopold Kronecker (1823-1891), y otros
afirman que son del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Sean de uno o de
otro, son muy significativas, y nos hacen pensar en la respuesta a la pregunta.
¿Cuáles números consideras que aparecieron primero, según las necesidades que tuvo el
hombre de contar? La respuesta es: aquéllos que surgen de forma evidente en la naturaleza, por
eso se llaman naturales.
Hasta este momento hemos mencionado números, pero sin hacer clasificación alguna de ellos.
Empezaremos por los números naturales. Ya antes señalábamos que son los que surgen de
manera evidente en la naturaleza porque son los que sirven para contar.
Entonces, ¿que números formarán el conjunto de los naturales? Más fácil, ¿cuál será el primer
número natural que apareció sobre la Tierra?
Antes de contestar esta pregunta es importante tener claro que las Matemáticas son como un
juego: para poder trabajar con ellas, de la misma manera que en cualquier juego, necesitamos
conocer las reglas, para saber qué se puede o no hacer, y así jugar bien.
Diderot afirmaba que "se podía establecer una semejanza entre el matemático y un jugador, ya
que, en el fondo, ambos jugaban según unas reglas, las reglas abstractas que ellos mismos
habían creado".
Adición de números naturales
Si nos ponemos a pensar qué hacemos cuando queremos saber cuántos dulces hay en dos
bolsitas, hacemos algo que parece complejo, aunque sabemos que sumar es muy sencillo. Esta
operación consiste en contar los números de la misma naturaleza, y recopilar el resultado
correspondiente en una sola expresión llamada suma. Los elementos de la misma naturaleza que
se agrupan se llaman sumandos, y el resultado se llama suma, ejemplo:
Propiedad de cerradura para la adición
Debes tener presente que el conjunto de números naturales es un conjunto cerrado para la
operación de adición, porque si a un número natural le sumamos otro número natural el
resultado también es un número natural. Entonces, si el conjunto de números naturales
cumple con la propiedad de cerradura para la adición, significa que son suficientes los elementos
que forman este conjunto para realizar cualquier operación de adición, y en consecuencia es
posible dar el resultado con un elemento del mismo conjunto, o sea, con otro número que
también sea natural.
Para que esta propiedad quede más clara, imagínate que tenemos un conjunto formado
solamente por dos elementos, el número 1 y el número 2, te preguntamos: ¿este conjunto
cumple con la propiedad de cerradura para la adición?, es decir, si quiero sumar estos dos
números, 1+2 = 3 ¿el resultado lo puedo dar con un elemento del mismo conjunto? La respuesta
es no, porque el resultado de esta suma es 3, y 3 no forma parte de este conjunto. En
conclusión, este conjunto que sólo tiene dos elementos (el 1 y el 2), no es un conjunto cerrado
para la operación de adición.
Como el conjunto de los números naturales sí es un conjunto cerrado para la adición, me permite
afirmar que, si tengo un natural y le sumo otro de la misma naturaleza, el resultado dará
también un número natural.
Retomando la pregunta ¿qué números forman el conjunto de los naturales? Respondemos: sólo
sabemos que el 1 es natural, aunque gracias a la propiedad de cerradura para la operación de
adición podemos obtener el resto de los naturales de la manera siguiente. El uno es natural, si lo
sumamos a sí mismo obtenemos el 2, por la propiedad de cerradura, el 2 es natural y repetimos
este procedimiento como sigue:
Fíjate, “n” representa cualquier número. Podría ser 138, 722, 914, 5 678, 89 437, o cualquier
otro natural que quieras, ya que ésta es una manera matemática de decir que los números
naturales siguen, siguen y siguen hasta el infinito.
Concluimos, entonces, que el conjunto de números naturales está formado así:
Naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...n, n+1, n+2…, hasta el infinito.
Por lo tanto, todos los números enteros y positivos que existen se llaman naturales.
¿Para qué pueden usarse los naturales?
Uso de los números naturales
Estos números son muy importantes, además de servir para contar, también sirven
para ordenar. Cuando desempeñan el primer papel, se les llama cardinales, cuando se utilizan
para asignar un orden reciben el nombre de ordinales.
Si tienes mil pesos, podrás comprar el regalo (cardinal).
Si ganas la carrera te premiarán con el primer lugar (ordinal).
Para la numeración de los domicilios. Para asignar los números de cuenta a las tarjetas de crédito. Como identificación de las líneas telefónicas. Para las cantidades que se utilizan en la expedición de cheques.
Orden en los números naturales
Ejemplo:
El Estado de Baja California Sur tiene una superficie de 73 475 Km2 y el Estado de Zacatecas
de 73 252 Km2. ¿Cuál de los dos Estados tiene una superficie mayor?
Solución: Como en 73 475 y en 73 252 las cifra de los millares es la misma, comparamos la
cifra de las centenas. En este caso:
73 475 > 73 252
En general, cuando se comparan dos números naturales (enteros y positivos) se realizan los
pasos siguientes:
1. Si es distinto el número de cifras, el que tiene más es mayor.
2. Cuando el número de cifras es el mismo, se compara la primera cifra de la izquierda de
cada número.
Si alguna de ellas es mayor, entonces ése es el número más grande.
3. Si son iguales se repite el proceso con la cifra siguiente y así sucesivamente.
Ejemplos
1. Compara 236 889 con 236 887
Solución: Como ambos números tienen la misma cantidad de cifras, comparamos de izquierda a
derecha, de acuerdo a lo indicado.
La primera cifra en la que existe diferencia es la de las unidades; como 9 > 7 entonces 236
889 > 236 887.
Los números naturales (enteros y positivos) cumplen con una relación de orden que permite
compararlos. Entonces, al comparar dos números enteros y positivos supongamos que los
representemos por a, b- sólo puede cumplirse una de las tres situaciones que se presentan a
continuación:
Plano unidimensional
Este plano se llama así porque es de una sola dimensión y se representa con una sola recta horizontal. En esta recta se encuentran dibujados puntos colocados a una longitud unitaria uno del otro a partir del cero (te recordamos que el cero no es un número natural, el primer número natural es el 1) para que puedas observar que cada número natural tiene su punto correspondiente en esta recta.
Algoritmo de la adición con notación desarrollada
La notación desarrollada ayuda a entender razonadamente el algoritmo de las operaciones aritméticas, evitando su aprendizaje como “recetas de cocina”, porque claramente se confirma que sólo se pueden sumar las unidades con las unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc., (es decir, dígitos de la misma naturaleza). El proceso se inicia con las unidades.
Los ejemplos siguientes lo ratificarán. Efectuaremos las sumas utilizando notación desarrollada empezando con las unidades.
¿Por qué al sumar se utilizan procesos de "llevar"? ¿Esto qué significa? Analiza el ejemplo que sigue, al sumar verticalmente 59 y 96, decimos 9 + 6 = 15, escribimos 5 y llevamos una. ¿Qué significa llevar una?
Como se mostró y muestra en los ejemplos siguientes, debemos sumar unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. Si al estar haciendo esto nos queda en la columna de las unidades un resultado con decenas, o en la columna de las decenas un resultado con centenas, se escribe el número en notación desarrollada y se acomoda cada dígito en su lugar. Por ejemplo 9 + 6 da 15. El 15 se descompone en 10 + 5, se escribe el 5 en las unidades y se dice que se lleva 1 porque efectivamente se lleva una decena, que se escribe con un “1” en la columna de las decenas. Después, debemos sumar todos los elementos de la misma naturaleza (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.), y finalmente dar el resultado en forma condensada.
Analiza los siguientes ejercicios:
Algoritmo de la adición usando notación condensada
Hacer todo lo anterior cada vez que sumamos sería muy tardado. Vamos a usar la forma más práctica, la notación condensada. El procedimiento es el mismo: se suman cifras de la misma naturaleza, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc., empezando con las unidades.
Toma lápiz y papel, realiza las siguientes sumas con notación condensada, y compara tu resultado con el aquí mostrado. Recuerda que se suman unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Se inicia con las unidades.
Ingresemos a una escuela. La maestra pide a los alumnos sumar de tres formas diferentes los
números 3, 5 y 8, y que se tenga el mismo resultado. ¿Tú cómo lo harías?
Si has observado, las operaciones que siempre realizamos son binarias, es decir, sólo
podemos sumar dos números al mismo tiempo. Si queremos sumar más de dos, tenemos que
sumar primero dos de ellos, y al resultado sumarle el siguiente número. El problema anterior, en
el que pide la maestra tres formas diferentes de sumar 3, 5 y 8, sirve de ejemplo:
Para sumar 3, 5 y 8, podemos agrupar dos sumandos, ya sea como se indica a la izquierda o
como se indica a la derecha:
De cualquier manera se obtiene 16.
Fíjate que en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado.A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.
Jerarquía de las operaciones (primera parte)
Ya se habló de la propiedad asociativa, que es muy importante conocer para saber cómo se pueden sumar más de dos números cuando la asociación no se ha señalado previamente con los respectivos paréntesis. Por ejemplo, si nos piden sumar 3 + 8 + 6, sin marcar los paréntesis, sabemos ya, por la propiedad asociativa, que:
Por tanto, no existe problema alguno con la decisión que se tome, puesto que tendremos
siempre el mismo resultado.
Pero ¿qué hacer si tenemos la expresión 5 + 6 • 8?
Si sumamos primero 5 + 6 = 11 y luego lo multiplicamos por 8 da como resultado 88.
Pero, si multiplicamos primero 6 por 8 = 48 y a este resultado le sumamos 5, se obtiene 53, que
es un resultado diferente al anterior: 88. Entonces, cuál es el resultado correcto?
Para una situación como ésta, existen reglas que indican la jerarquía de las
operaciones, y son las siguientes:
1. Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
2. Después se efectúan las sumas y restas también en ese orden.
Entonces, en la expresión 5 + 6 • 8 la respuesta correcta es 53 porque, de acuerdo a las reglas sobre la jerarquía de la operaciones, se llevan a cabo primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, o sea, primero multiplicamos 6•8 = 48; y después se efectúan las sumas y restas también de izquierda a derecha, y por lo tanto a esta cantidad se le suma 5. Queda así: 48 + 5 = 53. A continuación observa los siguientes ejemplos.
Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos podemos usar las siguientes:
Jerarquía de las operaciones (segunda parte)
Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden
en el que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o
asociatividad, como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas
para aplicarlas correctamente.
Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las
operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero
multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones
señaladas.
Ejemplo:
Si existen varios símbolos de asociatividad, uno dentro de otro, primero se realizan las operaciones de los símbolos interiores y luego las de los exteriores.
Ejemplo:
Cuando un signo de multiplicación está junto a un paréntesis, el signo se puede suprimir. Ejemplo:6•(4 + 8) puede quedar como 6 (4 + 8).
División
Imagínate que tenemos 12 chocolates y 3 bolsas. Necesitamos repartir los chocolates en cada bolsa, en forma equitativa. ¿Cuántos chocolates deben estar en cada bolsa?
Se divide el número de chocolates entre las tres bolsas:
Así como el caso anterior la división de 12 entre 3 se prestó para ejemplificarla con una repartición de chocolates, ahora tú inventa una historia para cada una de las siguientes divisiones:
Entonces, ¿qué es dividir?
Dividir significa encontrar un número, de tal forma que al multiplicarlo por el divisor, nos dé
como resultado el dividendo. Ese número encontrado se llama cociente
O encontrar un número que al multiplicarlo por el denominador dé el numerador.
Dividir 12 entre 3 consiste en encontrar un número que al multiplicarlo por 3 nos dé 12. ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 12? Únicamente el 4, este es el resultado de esa división y se llama cociente.
¿Cuánto es 14 entre 7? Necesitamos encontrar un número que al multiplicarlo por 7 dé 14. El resultado es 2, porque 2 • 7 = 14. A este 2 se le llama cociente. Si te fijas, dividir nos da la idea de repartir.
Algoritmo de la división con notación desarrollada
Dividiremos 426 entre 2 y entre 3. Para que sea más fácil la explicación denotaremos la división así:
En estos casos las divisiones son exactas (recuerda que estamos en la unidad relativa a los
números naturales). Las divisiones con residuo diferente a cero serán tema de los números
racionales.
Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados utilizando notación
desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí.
Divisibilidad
Para hablar de divisibilidad debemos primero recordar qué significa el factor de un número
natural (lo vimos en la multiplicación). Analicemos los casos siguientes:
Entonces ¿qué es un factor?Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.
Lo mismo sucede con 3 y 7 en relación al 21
De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores. Comprobemos:
La divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.
Divisibilidad entre 2
Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te
acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los
terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares).
Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0).
Divisibilidad entre 3
Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible
entre 3.
Ejemplos:
1) 111
Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre
3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero.
2) 54 132
Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro
se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18
044 y el residuo es cero.
3) 321 000
Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero.
Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente
resultante es 107 000 y el residuo es cero.
Muy importante
¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible
entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se
puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o
divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe
ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que
las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son exactas. Los casos de las no
exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la
unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos.
Divisibilidad entre 5
Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5.
Ejemplos:
1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero.
2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero.
3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.
Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4.
Actividad Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números
naturales
Hemos hecho una revisión de las operaciones aritméticas básicas: adición,
sustracción, multiplicación y división. Nuestro reto ahora es saber aplicar estas
operaciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana. ¿Qué te parece
si analizamos los siguientes problemas e intentamos resolverlos con las
operaciones aritméticas con números naturales que se requieran?
NUMEROS PRIMOS Y FACTORIZACION
Pero volvamos por un momento al concepto de factor. ¿Cómo se podrá descomponer un número
en factores? Los criterios de divisibilidad también sirven para descomponer en factores los
números naturales. Este proceso se conoce con el nombre de factorización. Factorizar consiste,
entonces, en descomponer un número en una multiplicación de sus factores. Podemos efectuar
esta descomposición como se indica a continuación.
Primero se analiza si el número es divisible entre 2, luego si lo es entre 3, si no, entre 4 y así
sucesivamente.
Por ejemplo, el número 12 es divisible entre 2, entre 3, entre 4, entre 6, entre él mismo y entre 1. Entonces, se puede factorizar así:
Observa, ¿cuántos divisores tiene cada uno de los números anteriores? Si observas bien, unos números tienen más de dos divisores, otros solamente tienen dos y esos dos son precisamente él mismo y la unidad. Puedes corroborarlo con cualquier número que se te ocurra y siempre al obtener los factores sucederá una u otra opción. Podemos afirmar, entonces, que para un número natural distinto de uno, sólo puede haber dos posibilidades:
Que el número tenga más de dos divisores.
Que el número tenga únicamente dos divisores: él mismo y la unidad.
Cuando tiene más de dos divisores se llama número compuesto. Cuando tiene sólo dos
divisores, se llama número primo.
Por tanto podemos concluir que los números naturales se dividen en:
Los números primos tienen un papel muy importante que desempeñar, ya que cualquier entero
mayor que uno puede factorizarse como una multiplicación de números primos. Es tan
importante este papel que desempeñan los primos que es conocido mundialmente como
el teorema fundamental de la aritmética.
Por lo tanto, factorizar significa descomponer un número en una multiplicación de
factores. En esta unidad queremos que aprendas a factorizar un número en factores
primos, porque es de gran utilidad, como más adelante veremos. Por ello vamos a aprender
cómo hacerlo.
Ejemplo: factorizar en factores primos el número 12 significa descomponerlo en sus factores
primos que son: 2 • 2 • 3. Como el 2 se repite dos veces, se puede escribir como 2 2 • 3. Se dice
que 22 está escrito en forma de potencia. El tema de potencias se verá en otra unidad. Por lo
pronto, es importante que conozcas esta forma de representar los números.
Factorización en primos de un número natural
Factoriza en primos el 24:
En primer lugar, recuerda lo que señalamos anteriormente, “los números primos tienen un
papel muy importante que desempeñar, ya que cualquier entero mayor que uno puede
factorizarse como una multiplicación de primos.”
Los criterios de divisibilidad también sirven para descomponer en factores primos los números
naturales. Podemos descomponer de la siguiente manera:
Primero se analiza si el 24 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 y
así sucesivamente.
Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos
podemos usar las siguientes:
El 24 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 24: 2 = 12.
Ahora se analiza si este 12 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 5 y
así sucesivamente.
El 12 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 12: 2 = 6.
Ahora se analiza si el 6 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 y así
sucesivamente.
El 6 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 6: 2 = 3.
Como el 3 es primo, sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad, y nos interesa dividirlo
entre sí mismo, 3: 3 =1. Cuando se llega al uno se termina la factorización.
En conclusión, el 24 queda expresado en factores primos de la siguiente manera:
24 = 2 3 • 3.
Para que lo veamos más claro, vamos a hacerlo en el siguiente esquema:
Factorizar en factores primos el 525:
El 525 es divisible entre 5 porque termina en 5, 525: 5 = 105.
El 105 es divisible entre 5 porque termina en 5, 105: 5 = 21.
El 21 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es 3, entonces 21: 3 = 7.
El 7 es primo, y sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad; nos interesa dividirlo entre sí
mismo, 7: 7 =1. Cuando se llega al uno se termina la factorización, por lo tanto, hemos
terminado.
Como conclusión, 525 queda expresado en factores primos de la siguiente manera:
525 = 5 2 • 3 • 7. Recuerda que lo podemos escribir también así: 525 = 3 • 7 • 5 2 ,por la
propiedad conmutativa de la multiplicación (el orden de los factores no altera el producto).
Para que lo veamos más claro, vamos a hacerlo en el siguiente esquema:
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Determina el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes números: 84 y 56
Máximo Común Divisor (MCD)
Problema
Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los
cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo
largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de
240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos, porque la tela tiene un ancho que puede usarse
para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del
mismo largo?
Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres
números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado
también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grande de sus
divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo
común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso
de los pañuelos.
Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.
Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados tambiénfactores comunes.
Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.
240 = 2 4 • 3 • 5
168 = 2 3 • 3 • 7
48 = 2 4 • 3
Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7
no son comunes a los tres números en consideración.
ercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres
casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están
presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.
Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en 24 cm. de
longitud.
¿Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta
pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie.
Respuesta:
Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.
Del retazo de 168 cm salen exactamente 7 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.
Del retazo de 48 cm salen exactamente 2 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.
¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD?
Mínimo común múltiplo (mcm) de un natural
Contesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8?
Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el
menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos
conocer, en primer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4
por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000;
que por supuesto es múltiplo de 4.
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,…
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n…
Ya sabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos
cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números.
Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72.
Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24.
Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24.
Otra forma de obtener el mcm es eligiendo cada uno de los factores primos de estos números,
una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez
con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm.
Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los
factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece varias veces se elige una sola vez con el
exponente más alto con el que aparezca en todos, es decir, en este caso se elige 2 3. Además
aparece el 3, por lo que el mcm de 4, 6 y 8 es: 2 3 • 3 = 24.
Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números debe ser divisible entre
cada uno de ellos. Recuerda que ser divisible significa que al dividirse, la división debe ser
exacta, o sea el residuo debe ser cero.
Lo comprobamos 24: 4 = 6 y el residuo es cero.
24: 6 = 4 y el residuo es cero.
24: 8 = 3 y el residuo es cero.
Las aplicaciones de mínimo común múltiplo las manejaremos en el tema de números racionales.
UNIDAD 2
Quiénes son los números enteros
En los temas anteriores revisamos el sistema de numeración decimal para repasar algunas
características de la forma en que se escriben losnúmeros reales.También repasamos algunos
aspectos de las operaciones aritméticas de números naturales. ¿Recuerdas que los naturales
empiezan con el número uno y los demás se generan al sumar una unidad al anterior?
Ahora iniciamos un repaso sobre el conjunto de los números enteros, que también es un
subconjunto de los números reales.En los enteros, además de los naturales, agregamos el cero y
los enteros negativos, por lo que sus elementos son:
{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2 , 3, 4, 5, }
Ya sabes que la introducción del cero permitió construir sistemas de numeración posicional y su
importancia es incuestionable, pero te preguntarás¿por qué es necesario considerar los
números con signo negativo?
Algunas convenciones para asignar signos
Para representar estas situaciones, donde además de la cantidad requerimos
especificar antes y después, por debajo o por arriba de cero,ganancia o pérdida, goles
a favor o en contra, aumento o disminución del peso, etcétera, podemos recurrir a los
números con signo. Es decir, los números enteros nos ayudan a hacer distinciones de ciertas
características.
Observa los ejemplos de la siguiente tabla en los que se proporcionan algunas convenciones
para la asignación de signos.
¡Vamos al Everest!
El relieve de nuestro planeta es otro aspecto en el que podemos utilizar números con signo
para distinguir entre altitud y profundidad. Analiza la siguiente información:
El Everest, el pico más alto del mundo, se encuentra en la cordillera del Himalaya entre Nepal y
el Tíbet a 8 848m sobre el nivel del mar, por el contrario, la Fosa de las Islas Marianas es el
sitio más profundo del que se tiene conocimiento y se localiza en el oeste del océano Pacífico
teniendo una profundidad de 11 520 m bajo el nivel del mar. Asignemos el cero al nivel del
mar;
Representaciones gráficas donde se usa el orden de los enteros
Al igual que los números naturales, los enteros también nos ayudan a ordenar sucesos,
medidas, ubicaciones, rendimientos y otros rubros. Los naturales son insuficientes para señalar
un orden cuando existe la necesidad de hacer una distinción como ya viste en los ejemplos
previos. Veamos dos situaciones.
Primer ejemplo. En Historia se utiliza lo que se denomina una línea del tiempo, como
un recurso gráfico para ubicar diversos sucesos en función de la fecha en la que se llevaron a
cabo.
Segundo ejemplo. En el estudio de fenómenos físicos, es indispensable elegir una unidad de
medida, y con ella establecer una escala que debe permanecer sin alteración, ya sea en
representaciones gráficas o en instrumentos de medición. Un ejemplo de ello es el termómetro.
¿Te imaginas las complicaciones para leer la temperatura si asignamos diferentes espacios entre
un grado y otro, o bien si al colocar los números en las marcas estuvieran en desorden?
Ubicación de los números enteros en la recta real
La recta de los números reales o recta numérica, es un modelo gráfico que nos permite
visualizar cómo deben colocarse los números reales y en particular los enteros, sin importar
que se refieran a temperaturas, años transcurridos, longitudes sobre o bajo el nivel del mar,
ganancias o pérdidas, etc; por lo que se utiliza en diversas disciplinas de estudio. Muchos
científicos la consideran la señal de máxima evolución del hombre, por las posibilidades de
representación y de predicción que permite.
La recta numérica consiste en una línea recta en la que:
• Indicamos que hay un orden, de izquierda a derecha, al insertar la punta de una flecha en el
extremo derecho.
• Elegimos un punto en ella para colocar el cero.
• Elegimos el tamaño del segmento que representará la unidad, y a partir de éste
señalamos marcas equidistantes, tanto a la derecha como a la izquierda del cero.
• Los números positivos van a la derecha del cero, mientras que los negativos, a la
izquierda.
• Consideramos que a la derecha de cualquier número están los que son mayores que él,
mientras que a la izquierda los que son menores.
Con estos cinco aspectos en mente, nuestra recta numérica tiene la configuración siguiente:
Por cierto, ¿te has fijado que a los enteros positivos, es decir, a los naturales, no les hemos
puesto el signo de mas (+); por ejemplo al 7, al 2 y al 8? Realmente no lo hemos necesitado
para saber de qué número se hablaba. En Matemáticas si un número NO lleva signo, asumimos
de entrada que es positivo. Esa convención nos ayuda a simplificar la escritura.
El orden en los enteros
Como te habrás podido dar cuenta, la ubicación de los enteros en la recta numérica o recta real
nos ayuda a visualizar la forma en que están ordenados. Recuerda que de manera gráfica se
estipula que el orden ascendente va de izquierda a derecha.
Así, de forma casi inmediata, podemos saber que cualquier número positivo es mayor que cero y
que cualquier número negativo es menor que cero. Sin embargo, también es útil contar con otra
forma de describir este hecho. En símbolos lo representamos como sigue:
a > 0 (se lee: a es mayor que cero) cuando a es positivo
b < 0 (se lee: b es menor que cero) cuando b es negativo
Si a y b fueran longitudes asociadas al relieve de nuestro planeta, y asignáramos valores
relacionados con este accidente geográfico (como el nivel del mar representa al cero del
relieve) podremos convenir que:
• Cualquier lugar cuya altitud sea mayor que el nivel del mar, tiene una altitud a positiva, es
decir, a > 0.
• A cualquier sitio por debajo del nivel del mar, como es el caso de la Fosa de las Marianas, el
número que le asignaremos, b, es negativo b < 0.
Comparación de números cuando ninguno de los dos es cero
Primer caso. Comparación de dos enteros positivos distintos
¿Quién es más joven, tú o tu papá?
En el caso de los enteros positivos (los naturales), su orden ya lo estudiaste y prácticamente
desde pequeños sabemos distinguir cuándo un entero positivo es menor que otro (tu edad o la
de tu papá). En Matemáticas, este hecho se formaliza de la siguiente manera:
Si a y b son dos enteros positivos distintos,
sabemos que a < b cuando b - a > 0
Es decir, a es menor que b cuando la diferencia b - a es positiva
Es claro que si tú eres menor que tu papá, él es mayor que tú. En el recuadro siguiente se
describe el caso análogo:
Si a y b son dos enteros positivos distintos,
sabemos que a > b cuando a - b > 0
Es decir, a es mayor que b cuando la diferencia a - b
es positiva
Segundo caso. Comparación de dos enteros negativos
¿Cómo comparamos dos enteros negativos distintos?
Aunque no es tan evidente como con los positivos, también podemos llegar a una idea sencilla
que sea posible simbolizar. Apoyémonos primero en la parte visual.
Observa cómo están colocados en la recta numérica. Toma dos enteros negativos distintos y
reflexiona un par de minutos cuál de ellos es menor y cómo podríamos expresarlo de manera
general. También te puede ayudar pensar en temperaturas bajo cero, en fechas antes de Cristo,
o en alguna otra situación que te ayude a darle significado a los números negativos.
El menor es el más lejano
Probablemente pensaste en frases como las siguientes:
"Un número negativo es menor que otro si está a su izquierda" o bien, "cuando tengo dos
números negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero".
Ambas son correctas. La primera la estipulamos para ubicar los números en la recta real. La
segunda nos habla de "lejanía" respecto al cero. No obstante, en las dos seguimos dependiendo
de la recta numérica.
Exploremos la idea de "lejanía" de la segunda frase, que involucra el concepto de distancia en la
recta numérica. Seguramente encontraremos formas alternativas (qué podamos representar con
símbolos) para determinar cuándo un número negativo es menor que otro.
Los números simétricos
Observa de nuevo la recta numérica. Sitúate en el cero y contesta para ti mismo en cada caso:
a) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 7 y cuántos del 0 al - 7?
b) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 3 y cuántos del 0 al - 3?
c) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 5 y cuántos del 0 al - 5?
d) ¿Qué observas en general para cada una de estas parejas de números?
Podemos pensar el número de "pasos" que hay desde el cero a cualquier número entero, como
su distancia al origen (el cero).
Con esta aclaración, lo que seguramente observaste en la pregunta del inciso d) es algo como lo
siguiente:
Cada una de esas parejas de números, por ejemplo 7 y - 7, tienen la misma distancia al
origen, pero en direcciones opuestas (derecha o izquierda).
Por esa razón, se dice que 7 y - 7 son opuestos uno del otro.
Eso sucede con cualquier otra pareja de números cuya única diferencia sea el signo. Podemos
escribirlo de manera general como sigue:
Cabe resaltar que:
- Si es positivo n, su opuesto es negativo -n.
- Si es negativo - n, su opuesto n es positivo.
Valor absoluto de un número
Una forma de calcular la distancia de un número entero al cero u origen de la recta real, sin
tener que calcular el número de "pasos", consiste en obtener su valor absoluto, es decir, asignar
el valor que representa ese número sin importarnos en qué dirección está.
El valor absoluto de un número a se representa como |a| y nos indica la distancia que hay
del número a al cero.
Así, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de - 3 es también 3, ya que ambos se
encuentran a tres "pasos" del cero. En símbolos tenemos:
|3| = 3 y |-3| = 3
Para otros números, se tiene una situación análoga:
Nota: Recuerda que la notación que vas a manejar a lo largo del curso para cantidades grandes
es: 1_000 o sea con un espacio 1 000.
Por ejemplo: |1 000| = 1 000 y |-1 000| = 1 000 ¡ya no tenemos que contar 1 000 sobre la
recta numérica!
El valor absoluto para saber cuál es mayor
Con el valor absoluto podemos además reescribir la segunda frase que se tenía para comparar
dos números enteros distintos de la siguiente manera:
Frase original: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es el que está más
alejado del cero"
Frase reformulada: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es aquél
cuya distancia al cero es mayor"
Esta última idea la podemos simbolizar de la siguiente manera:
Si a y b son dos enteros negativos distintos a < b cuando |a| > |b|
Seguramente te preguntarás para qué escribir con símbolos una idea que era tan clara. Gran parte del poder de aplicación de la Matemática radica precisamente en la posibilidad de utilizar símbolos para representar muy diversas situaciones. Ello permite además efectuar operaciones con esos símbolos.
Segunda sección
Operaciones de suma y resta con números enteros
Las operaciones con números enteros son muy similares a las que repasaste con los números
naturales. Lo único nuevo es que tenemos que tomar en cuenta el signo. Empezaremos por la
SUMA.
Realiza las siguientes sumas de enteros para que sepas qué tan eficiente eres.
Sinteticemos cómo se suman los enteros
¡Ya sabes sumar dos números enteros con signo!
Sin embargo, ¿cómo explicarías la regla que aprendiste para sumarlos?
Antes de pasar a la suma de más de dos números con signo, es conveniente hacer un alto en el
camino y escribir una síntesis del procedimiento para sumar enteros, sin el apoyo visual de las
bandas de colores.
Situaciones donde hay sumas de enteros
Con frecuencia se pueden hacer preguntas como las que se presentan a continuación, en las que
intervienen sumas de enteros. Ya estás preparado para contestarlas. Recuerda primero
asignar un signo a cada número involucrado, según sea el caso, antes de efectuar la suma
correspondiente. Siempre es conveniente que una vez encontrado el resultado, lo refieras al
contexto del que partiste. ¡Adelante!
Suma de enteros con signo. Segunda parte
¿Crees que la situación se complique mucho cuando tengas que sumar varios enteros con
signo?
Si TODOS son positivos o TODOS son negativos, es muy simple, ya que es similar a sumar
naturales. Sólo hay que cuidarse de poner al resultado final el signo + o el
signo - respectivamente.
Te preguntarás, ¿y si hay positivos y negativos?
En Matemáticas es frecuente usar la siguiente estrategia: "Cuando te encuentres en una
situación nueva o más difícil, busca la manera de convertirla a otra que ya conoces o que es más
sencilla"
¿Se te ocurre cómo? Reflexiona un momento.
Veamos un ejemplo:
- 3 + 4 + 6 + ( - 5 ) + ( - 3 ) + 8 + ( - 11 ) = 18 + ( - 22 ) = - 4
Resta de enteros
Quizás supones que te esperan muchos minutos más frente a la computadora para aprender a
restar enteros. No es así. De hecho al aprender a sumar ya hiciste restas sin darte cuenta.
Trabajamos la suma para incorporar varios conceptos de los enteros que son de utilidad incluso
en el manejo del álgebra, y a la vez para propiciar que lo revisado tuviera un significado para ti.
Esto te ayudará a avanzar mucho más rápido en las secciones que faltan.
Ya sabes calcular restas con números naturales. También sabes sumar enteros con signo.
¿Cómo efectuar restas cuando los números tienen signos positivo y negativo?
Muy sencillo: ¡Para restar, sólo hay que sumar el número opuesto!
¿Por qué? La resta es la operación inversa de la suma, y el opuesto de un número es su inverso
aditivo, como ya habíamos mencionado.
Veamos los siguientes ejemplos:
Observa que el primer ejemplo se remite a la resta en números naturales. Puedes omitir el uso del opuesto y hacer el cálculo directamente. Con la práctica también podrás calcular directamente restas como las de los tres últimos ejemplos.
Tercera secciónMultiplicación de enteros
Resuelve los siguientes ejercicios sobre multiplicación de enteros para que conozcas tu
desempeño. Si obtienes seis o siete aciertos, podrás omitir las actividades de esta última sección
relativa a números enteros. El programa te llevará directo al tema de los números racionales. En
caso contrario, revisaremos juntos cómo multiplicar enteros. Puedes utilizar una calculadora.
Decimales
¿No te parece que utilizar moneditas de 5, 10, 20 y 50 centavos es una lata? Eso de estar
contando moneditas, y luego para cargarlas en la bolsa, son tan pequeñas que si no tienes
cuidado, ¡hasta te rompen las bolsa del pantalón! Si bien es cierto que es una lata utilizarlas,
también es cierto que no dejan de ser dinero y que tienen gran valor. En la Ciudad de México hay
aproximadamente 1 000 000 de monedas de centavos en circulación.
Pero aun así, ¿sabes que el cambio que no recibes en el supermercado, e incluso las propinas, significa una gran ganancia para estas tiendas? Por eso cuando vas de compras es común encontrar productos que incluyen centavos en su precio.
Las divisas forman un elemento económico muy importante en nuestro país. Resulta que la
entrada de divisas al país ayuda a mantener la estabilidad económica de México. Una forma de
obtener divisas es por medio del turismo, otra es la importación de productos mexicanos y la
más mencionada en los medios de comunicación es la cantidad de dólares que envían los
mexicanos, que se encuentran en otros países.
¿Te has fijado que en las noticias, periódicos o programas de radio, casi siempre informan acerca
del valor del dólar, tanto a la compra como a la venta? La compra es cuando tú tienes dólares y
los vendes al banco o casa de cambio, etc. Ellos dicen qué precio están dispuestos a pagar por
esos dólares que tú ofreces. La cantidad que se refiere a la venta indica la cantidad en pesos
mexicanos que debes pagar por un dólar. La diferencia entre la compra y la venta es
significativa, sobre todo cuando hablamos de una gran cantidad de divisas. He ahí la ganancia
que se tiene de las divisas.
Bien, ahora queremos saber cómo hacer los cambios de divisas. Es importante que indiquemos
la fecha, ya que el precio del dólar depende de muchos factores, y por lo mismo varía todos los
días, aunque hay ocasiones en las que la variación no es notable. Sólo es cuestión de centavos,
aunque como lo hemos estado mencionando desde el inicio de esta unidad, algunos centavos
pueden hacer la diferencia, pero sólo se observa en cantidades mayores.
Al realizar una división con números decimales es importante que el divisor (el número que está
fuera de la casita) esté expresado como número entero. El dividendo (el número que esta dentro
de la casita) puede ser un número entero o un número decimal.
Por ejemplo, si el divisor es 1.2 y el dividendo 652.25, para convertir el divisor en entero, lo
podemos multiplicar por 10, ya que eso implicará que se recorra el punto decimal una posición
hacia la derecha. Sin embargo, para no alterar la división, es importante multiplicar también el
dividendo. De manera que:
Bien, ahora que el divisor es entero, se realiza el procedimiento de la división igual que en las operaciones con números enteros. Es importante mencionar que si el dividendo es decimal, sólo hay que subir el punto decimal cuando se escribe el cociente.
La división puede continuar según la cantidad de números decimales que requieras como solución. Por lo tanto la solución del ejercicio original es 652.25/1.2=543.5
En el ejemplo anterior multiplicamos por 10 al divisor para convertirlo en entero. En realidad lo
que estamos haciendo es recorrer el punto decimal, de manera que si multiplicamos por 100,
recorreremos dos unidades el punto decimal; si multiplicamos por 1 000, recorreremos 3
unidades el punto decimal. Fíjate como la cantidad de 0 en el múltiplo es la cantidad de
posiciones que recorremos el punto. Eso implica que si ya se acabaron los números, entonces
hay que agregar ceros a la derecha del número.
1.2X10=12
1.2X100=120. Como ya no hay número se agregó un cero.
1.2X1 000=1 200. Como sólo hay 1 número después del punto decimal, hay que agregar dos
ceros para que sean las 3 posiciones que mencionamos anteriormente.
Cuando hablamos del procedimiento para convertir decimales a enteros, multiplicábamos por 10.
¿Sabes por qué por 10? Porque la numeración que utilizamos es decimal, es decir, consta de 10
dígitos (0 al 9) y su base es 10. La numeración está agrupada en conjuntos de 10, o sea, del 0 al
9 hay 10 números, del 10 al 19 hay 10 números, del 20 al 29 hay 10 dígitos, y así
sucesivamente. Una propiedad de los múltiplos de 10 es que siempre terminan en 0.
Veamos algunos ejemplos:
10X10=100
10X10X10=1 000
10X10X10X10=10 000
Fíjate en la primera multiplicación: son 2 veces el número 10 y hay 2 ceros en el resultado. En la segunda hay 3 números 10 y hay 3 ceros en el resultado. Finalmente hay 4 veces el 10, y 4 ceros en el resultado. Si multiplico 6 veces el 10, ¿cuántos ceros habrá en el resultado?
Pero antes de continuar quisiera decirte que a los múltiplos de 10 también los podemos escribir
como potencias, es decir, escribir un 10 como base; para indicar que lo que vamos a multiplicar
son números 10 y un exponente que indica el número de veces que multiplicamos el 10.
10²=10X10=100
10³=10X10X10=1 000
104=10X10X10X10=10 000
106=10X10X10X10X10X10=1 000 000
Ahora, con esta nueva notación, podemos escribir:
124 000 000=124X10X10X10X10X10X10=124X106
Esta es una forma de escribir números muy grandes de manera abreviada, y se conoce como notación científica. Lo que en realidad estamos haciendo es indicar que después del 4 hay que recorrer el punto decimal hacia la derecha 6 posiciones. En este caso los decimales son ceros, y también por eso podemos hacer este tipo de notaciones, o sea, los ceros después del punto decimal pueden o no ir, y no alteran el resultado.
Fíjate que el exponente indica el número de posiciones que debemos recorrer el punto. Cuando el punto no está escrito, se entiende que éste se encuentra después del último número. Además, el exponente es positivo. Pero, ¿qué pasaría si el exponente es negativo? ¿Hacia dónde debemos recorrer el punto?
Fíjate que aunque no aparezca el punto después del 524, se maneja como si estuviera después
del 4. Entonces es después de esa posición que se comienza a contar hacia la izquierda el
número que corresponde al exponente.
Escribe el número que corresponde a la notación científica:
Números racionales
Seguro has comido una pizza. Quizá una hawaiana, tal vez de champiñones con queso o de
pepperoni. Según la cantidad de personas, algunas veces falta y en ocasiones hay personas a las
que les toca doble rebanada. A veces pensamos que eso no es justo, porque todos queremos
comer la misma cantidad.
En las pizzerías normalmente cortan las pizzas en 8 rebanadas.
En una fracción tenemos dos componentes:
El denominador es un número entero que nos indica la cantidad de partes en las que vamos a
dividir un objeto conocido como unidad. El denominador nunca es cero.
El numerador es un número entero que indica la cantidad de elementos que vamos a utilizar de
un objeto dividido.
Por ejemplo:
Para sumar fracciones hay dos procedimientos:
a) Cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Suma los numeradores y coloca el
resultado en el numerador. En el denominador escribes el mismo denominador que tienen las
fracciones. Resuelve la siguiente suma:
b) Multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción, cada uno por el denominador de la segunda fracción y luego multiplica el numerador y el denominador de la segunda fracción, cada uno por el denominador de la primera fracción. Debes obtener una suma de fracciones con el mismo denominador. Sólo tienes que sumar los numeradores. Hazlo con las siguientes fracciones:
Para realizar una resta de fracciones, se utiliza el mismo procedimiento de la suma. Ahora sólo
hay que restar los numeradores.
Por ejemplo:
Cuando hacemos una resta, hay que fijarnos en los términos que la componen. El término de mayor valor numérico nos indicará el signo del resultado.
En la MULTIPLICACIÓN la operación se hacer directa, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador.
Para realizar una división de fracciones se utiliza el "producto cruzado"; multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. El resultado de esta multiplicación es el numerador de la fracción resultante. Ahora el denominador de la primera fracción se multiplica por el numerador de la segunda fracción y el resultado es el denominador de la solución.
Esta última pregunta es importante porque rescata la observación que hicimos. Cuando defines las partes de una fracción, el denominador nunca será 0, es incorrecto hablar que podemos dividir entre 0. Esta información debes almacenarla en tu memoria porque seguramente te será de utilidad en cursos posteriores.
Otra forma de hacer una división de fracciones es multiplicar la primera fracción por el recíproco
de la segunda fracción. Primero recordemos que el recíproco de una fracción se obtiene al
intercambiar el numerador con el denominador. Es decir, lo que había en el denominador ahora
será numerador y el numerador pasará al denominador. Por ejemplo:
Si una fracción es su recíproco es . El recíproco de .
Primero resolvemos una división con el método que conocemos:
Ahora resolveremos la misma división utilizando el recíproco de y realizamos la multiplicación:
Este procedimiento puede ser útil y fácil de recordar, pero cualquiera que utilices es correcto: la idea es que tengas opciones para resolver problemas.
Cuando hacemos operaciones con fracciones podemos facilitar los cálculos matemáticos si sabemos simplificar fracciones. Seguramente sabes que 2/4 lo podemos simplificar como ½. Porque ½=2/4.
El proceso de simplificación es en si una forma de escribir un mismo valor de modo diferente.Si resolvemos 24/12 obtendremos lo mismo que si dividimos 6/3 esto es, ambos valen 2, por lo que podemos decir que 6/3 es una forma mas simple de escribir 24/12 , o que es una simplificación de la fracción.
La vía para simplificar una fracción parte explicarse de modo sencillo. La idea es dividir un mismo entero, cuidando que los resultados de estas dos divisiones sean ambos enteros y con residuo cero.
En nuestro ejemplo
Seguro que ha pasado que cuando haces muchas operaciones y llegas a una respuesta no sabes
si es correcta. A veces es difícil observar los errores, sobre todo cuando no tienes una manera de
comparar tus respuestas. Por eso te vamos a hablar de un procedimiento que te ayudará a
verificar que la simplificación de una fracción sea correcta.
Lo que debes hacer es dividir la fracción original entre la fracción simplificada. Si el resultado de
esta división es 1 entonces tu simplificación es correcta. Para observar este procedimiento
veamos un ejemplo utilizando uno de los ejercicios que acabamos de resolver. De acuerdo a
nuestros cálculos dijimos que 34/114 Llamaremos X al resultado de la división:
Efectivamente nuestro resultado es correcto.Sabemos que dos fracciones en la que una es una simplificaron de la otra son, en esencia, del mismo valor. ¿Qué se obtiene al dividir dos cantidades iguales?
Una división entre dos cantidades iguales es siempre 1. Por lo tanto, al dividir una fracción entre una simplificación de sí (o a la inversa), realmente estamos dividiendo dos cantidades iguales. De ahí que nuestro método de comprobación de simplificación de fracciones nos pida dividirlas y comprobar que el resultado sea 1.
UNIDAD 3
VARIABLES
Para hacer las cuentas más sencillas usaremos variables. Vamos a revisar qué es una variable:
Pero regresemos por unos momentos a nuestra historia de las olimpiadas. Nos surge una curiosidad; ¿si conocemos el año en que se realizó una olimpiada, cómo podríamos determinar el año de la siguiente olimpiada?
Primero consideramos algunos datos conocidos, como el número de olimpiada y el año en que se realizó. En este caso elegimos la olimpiada número 23 que fue en Atlanta en 1996. Usando esta información determinaremos en qué año se realizará la número 24. Para lograrlo haremos uso de una variable a la que llamaremos X, la cual representará el año que estamos buscando. El subíndice (que es número en la parte inferior derecha de la variable) indicará el número de
olimpiada que corresponde. Por ejemplo, la expresión X23=1996, significa que el año de la olimpiada número 23 es 1996.
X23 = 1 996 (la olimpiada número 23 se realizó en 1996)
X24 = X23 + 4 (la olimpiada número 24 será 1996 + 4)
Al sustituir los valores obtenemos:
X23 = 1996
X24 = 1996 + 4
Entonces X24 = 2000. Esto significa que la olimpiada número 24 se llevó a cabo en el año
2000. Hemos terminado.
Al término X24 = X23 + 4, le llamaremos “expresión algebraica”, y está compuesta por variables y
números. Las variables indican que pueden asumir cualquier valor numérico.
Contestando a la pregunta; ¿cómo podríamos determinar el año siguiente de una olimpiada? Una
manera es usando una expresión algebraica. Es decir, una variable puede representar cualquier
año olímpico, sin importar si es en el pasado o en el futuro. Esto lo escribimos así:
Xn = xn - 1 + 4 donde n es el número de olimpiada que necesitamos saber y n-1 el número de
olimpiada anterior. Por ejemplo, si queremos encontrar el año de la olimpiada número 85,
diremos que n es 85 y n-1 es 84 por lo tanto escribiremos la expresión:
X85 = X84 + 4
De esta manera indicamos que el año de la olimpiada 85 será el año de la olimpiada 84 más 4
años.
Ahora escribe una expresión algebraica que represente el año en que se realizarán los juegos
olímpicos número 51.
Hasta ahora todo ha salido de maravilla, pero qué tal si queremos calcular el año en que se
celebrará cualquier número de olimpiada. Busquemos si hay una manera de conocer el año en
que se realizarán otras olimpiadas, utilizando la información que conocemos. Pensemos en
encontrar el año en que se realizarán las olimpiadas número 26, si conocemos el año en que se
realizó la olimpiada número 23.
Hasta ahora sabemos lo siguiente:
1. En 1996 se realizó la olimpiada número 23
2. Quiero saber en que año se organizará la olimpiada número 26 (es decir, 3 olimpiadas
más adelante)
3. Entre cada una hay 4 años
Con esta información encontramos la siguiente expresión:
X26 = X23 + 4 + 4 + 4
La expresión anterior significa que el año en que se realizará la olimpiada número 26, es el año
en que se realizó la olimpiada número 23 más 3 veces 4 años (recuerda que 3 es el número de
olimpiadas transcurridas entre 23 y 26). Además como 4 + 4 + 4 es lo mismo que escribir 3 (4),
podemos escribir nuestra expresión un poco mas sencilla:
X26 = X23+ 3 (4)
Ahora veamos si es cierto que el resultado es 2008. Primero sustituimos:
X23 = 1996
X26 = 1996 + 3 (4)
X26 = 1996 + 12
X26 = 2008
¡Muy bien!, hemos llegado al resultado correcto. Pero, ¿funcionará para cualquier caso?
Ayúdame a verificarlo.
Modifiquemos los datos para ver si funciona ahora:
1. La olimpiada número 16 se realizó en 1968 en la Ciudad de México.
2. Quiero saber el año en que se realizará la olimpiada número 26 (supongamos que no
conocemos que es 2008; sólo para verificar que nuestra expresión es correcta).
3. Después de la olimpiada 16, celebrarán 10 olimpiadas para que se realice la olimpiada
número 26.
4. La distancia entre cada olimpiada es de 4 años.
5. Como la olimpiada número 25 se realizó en 2004, encuentra la expresión que me indique
en qué año se realizarán los juegos olímpicos número 30.
Escribe una expresión que determine el año en que realizará la olimpiada número 26.
Hemos terminado con las olimpiadas, ahora platicaremos del año bisiesto y del cumpleaños de
Manuel.
Un suceso similar al de las olimpiadas es el de los años bisiestos. ¿Alguna vez has oído hablar de
ellos? Resulta que en un año bisiesto el mes de febrero tiene un día más, es decir, 29. Este
suceso se repite cada 4 años. Una manera de verificar cuándo es año bisiesto es fijándote en el
día de tu cumpleaños. Supongamos que el año pasado tu cumpleaños fue en lunes; entonces en
este año será el martes. Pero, ¿qué pasaría si este es un año bisiesto y además tu cumpleaños
es después de febrero? Entonces tu cumpleaños se recorrerá un día más, y por lo tanto, en esta
ocasión, comeremos pastel hasta el miércoles.
Manuel nació el domingo 18 de noviembre de 1984. Nació en un año bisiesto. Cumplirá 26 años
el 18 de noviembre del 2010. ¿Podrías determinar en qué día de la semana festejará su
cumpleaños número 26? Elabora una tabla con los siguientes datos: el número de cumpleaños,
el año y el día de la semana. Usa D, L, M, Mi, J, V y S, para simplificar la tabla.
Imagina que estamos en 1999. En este año, Manuel celebró su cumpleaños en jueves, él sabe que el año 2000 es un año bisiesto, pero aún tiene confusión en saber si su cumpleaños será el viernes o sábado. ¿Podrías ayudarlo? Escribe una expresión algebraica que le indique a Manuel cómo saber el día en que será su cumpleaños, si sabemos que el próximo año es bisiesto. Utiliza la variable d para indicar el día en que será el cumpleaños el próximo año, y j para indicar el día jueves de este año (utiliza minúsculas para escribir tu respuesta).
as pirámides egipcias fueron la tumba de algunos faraones del Imperio Antiguo. Eran inmensas y
complejas, por lo que su construcción tardaba muchos años. La pirámide más grande medía 147
m. de altura y en su edificación se emplearon dos millones de bloques de piedra, de unas dos
toneladas cada uno, y algunos hasta de 14 toneladas. Estaba cubierta de piedra caliza pulida
que brillaba al sol. Cincuenta mil personas tardaron 20 años en completarla.
Las pirámides egipcias tienen una forma geométrica, compuesta por 4 triángulos equiláteros con
altura de 177 m cada uno y un cuadrado en la base. De acuerdo a la forma geométrica, expresa
el área de la superficie de la pirámide. Fíjate que x representa el valor de los lados de los
triángulos y también cada lado del cuadrado.
Bien. Hasta ahora hemos resuelto con eficacia cada reto que nos han puesto en el camino; así
que es hora de que reflexionemos acerca de las estrategias que utilizamos para resolver cada
uno de los retos anteriores:
• Al escribir tablas, tenemos la oportunidad de organizar la información conocida, para tener
visión general del comportamiento de los datos, o sea, determinar si hay regularidades en los
mismos.
• El uso de expresiones algebraicas es de vital importancia, porque con una expresión podemos
representar cualquier situación, e incluso generalizar un resultado.
• Para determinar una expresión matemática podemos comenzar con datos particulares e ir
hacia la generalización.
• Las variables son el alma de las expresiones algebraicas. Con ellas podemos representar
cualquier valor conocido e incluso desconocido.
Seguramente te sucedió que al intentar colocar los puntos encontrabas diferentes resultados, ya que hay fichas distintas que nos dan el mismo resultado. En ocasiones eso crea un poco de confusión, ya que te hace pensar si la elección que hiciste es correcta, aún cuando el resultado solicitado sí coincide. Efectivamente, podemos resolver una operación algebraica de diferentes maneras, por eso es de gran ayuda usar variables.
COMPROBACIÓN
Vamos a ver un ejemplo para explicar el uso de las variables. Pero antes, hagamos un viaje a tu niñez, ¿te acuerdas? No importa cuánto hace que fuiste pequeño(a), seguramente te acordarás cuando tu profesora de primaria te explicaba cómo hacer las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además de enseñarnos cómo realizar las operaciones, siempre había una comprobación de operaciones para verificar que los resultados encontrados eran correctos.
Como podrás observar, para realizar la comprobación de las operaciones aritméticas, requerimos de otra operación aritmética. Para la suma necesitamos la resta; para la resta, la suma; para la multiplicación utilizamos la división; para la divsión la multiplicación. Justamente este principio de operaciones es lo que nos ayudará a encontrar valores que en esta ocasión están representados por variables.
on esta información, generaremos un ejemplo usando los dados.
Al tirar dos dados vemos que la suma de los puntos que cayeron es 6.
Como ya sabes, la expresión algebraica que describe este enunciado es: a+b = 6. Ya que la
operación que estamos haciendo es una suma, utilizaremos la comprobación de la suma para
encontrar uno de los valores. Es decir, si a más b es igual a 6, se debe cumplir que 6 menos a es
igual a b. ¿Estás de acuerdo? Piénsalo por favor por un momento.
Con esto, encontramos que hay 5 formas diferentes de acomodar los dados, de manera que cualquiera de ellas genere el resultado correcto.
Utilizando los principios de comprobación de operaciones aritméticas, encuentra una expresión algebraica para determinar el valor de b, cuando acambia. Lo que es lo mismo despeja b.
Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Medir temperaturas tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo para la conservación de alimentos,
el clima, la conservación de un motor, la temperatura del cuerpo humano y muchas más; por eso
es necesario medir la temperatura.
En ocasiones puedes encontrar datos de temperatura diferentes a Celsius (°C), también conocido
como grados centígrados, que es el sistema que utilizamos en México. En Estados Unidos se
utilizan los grados Farenheit (°F). Imagina que compras un instrumento para medir temperaturas
y fue hecho en EU y tú vives en México. Si sólo conoces el uso en °C. ¿cómo podrías hacerle para
encontrar su equivalencia?
Existe una fórmula que nos proporciona la equivalencia. A esta representación también le
llamamos ecuación.
La letra F representa los grados Farenheit y C los grados Celsius. Supongamos que necesitamos saber a cuánto equivale un 1 grado centígrado. Tendríamos que sustituir 1 en C y realizar la operación:
Por lo tanto 1 grado Celsius es igual a 33.8 grados Farenheit. Pero, ¿qué tal si nos encontramos en la situación inversa, es decir que conocemos cuánto vale una temperatura en °F y queremos saber su equivalencia en °C? Para resolver esto necesitamos despejar los grados Celsius.
¿Alguna vez has escuchado el término despejar? Por ejemplo, cuando sucede un accidente y
hay una persona herida, la gente se amontona para ver qué pasó. Al llegar los paramédicos,
dicen: “¡despejen el área, déjenlo respirar!” Lo que los paramédicos quieren decir, es que lo
dejen solo, que no estorben.
En Matemáticas también existe el término despejar, y se aplica a expresiones algebraicas que
contienen variables. Es decir, despejar una variable significa eliminar todo lo que hay
alrededor de ella, para que la variable se quede sola.
Para despejar una variable, son necesarias dos propiedades importantes:
1.- Inverso aditivo, ¿te acuerdas? Dice que al sumar todo número diferente de 0, con su inverso
aditivo, da por resultado 0.
Por ejemplo 5 + (-5) = 0. Esto lo podemos representar como a + (-a) = 0, siendo a cualquier
número diferente de 0.
2.- Inverso multiplicativo, que dice que al multiplicar todo número diferente de 0 por su inverso
multiplicativo tenemos como resultado 1. Por ejemplo
También lo podemos escribir como: donde a es cualquier número diferente de 0.
Para resolver el problema anterior, debemos despejar la variable C. Tengamos presente que una ecuación es una igualdad; lo que quiero decir es, que el término de la izquierda es igual al término de la derecha. Cuando nosotros realizamos operaciones sobre una ecuación debemos tener cuidado de no alterar esa igualdad.
Para que una balanza quede equilibrada, necesitamos colocar la misma cantidad de material en cada lado. En Matemáticas colocamos expresiones algebraicas para lograr el equilibrio.
¿Cómo vamos a lograrlo? Para cualquier operación en la parte izquierda de la ecuación, debemos realizar la misma en la parte derecha de la ecuación. Esto quedará más claro cuando desarrollemos el problema para obtener grados centígrados de un termómetro en grados Farenheit.
Comencemos: si observamos la parte derecha de la ecuación en donde se encuentra C, la
variable que vamos a despejar, hay un 32 que está sumando, y la manera de eliminarlo es
usando la propiedad del inverso aditivo. El inverso aditivo de 32 es -32, así que lo aplicaremos en
ambos lados de la ecuación.
Simplificamos:
Ahora el único término que se encuentra del lado de la C es 9/5. Como 9/5 está multiplicando a C, aplicaremos la propiedad del inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de 9/5 es 5/9.
Te preguntarás porqué 5/9 Recordemos que para las operaciones con números racionales al multiplicar dos fracciones, necesitamos multiplicar numerador con numerador y denominador por denominador, como se muestra a continuación.
Ahora sí, sigamos con el despeje de C aplicando el inverso multiplicativo de 9/5, (o sea 5/9)
Observa que al multiplicar el lado izquierdo de la ecuación por 5/9 se colocaron unos paréntesis. Eso indica que 5/9 multiplicará todo lo que se encuentra dentro del paréntesis.
Por comodidad al calcular podemos escribir la expresión, intercambiando sus miembros: podemos pasar lo que se encontraba a la izquierda hacia la derecha y viceversa.
Ahora ya conocemos la expresión. Verifiquemos si es correcta. Como recordarás, habíamos encontrado que 1ºC era igual a 33.8ºF. Ahora utilizaremos esta información para comprobar si C nos da como resultado 1. Comenzaremos sustituyendo el valor de ºF por 33.8.
Efectivamente hemos llegado al resultado. Eso significa que nuestra expresión es correcta.
Recuerda que la Matemática es exacta y siempre podemos corroborar los resultados.
Sigamos verificando nuestra ecuación. Con ayuda de una calculadora, encuentra cuántos grados
ºF equivalen a:
Escribe dentro del recuadro amarillo tus respuestas.
Hablando de temperaturas, ¿te acuerdas de cuando a Juan se le estaba quemando el pan? ¡Qué
salvada! ¿Verdad? Bueno, resulta que Juan es novio de Hilda, y ahora ella es la que tiene un
dilema. Te cuento a ver si podemos ayudarle.
Hilda fue al supermercado como cada semana. Pero esta vez notó algo raro en su recibo. Resulta
que compró 5 bolsas de arroz y según sus cálculos ella pagaría menos, pero al llegar a la caja le
cobraron las 5 bolsas más $7.50 pesos de Impuesto al Valor Agregado (IVA). En total ella pagó
$57.50 pesos, ¿podrías ayudarle a descubrir cuánto costó cada bolsa de arroz?
Comencemos asignando variables, llamemos T al total en pesos que pagó Hilda. Diremos que C
es el costo de cada bolsa de arroz. Sabemos que compró 5 bolsas; por lo tanto, debemos
multiplicar por 5 el costo de la bolsa de arroz, además debemos sumar los $7.50 pesos que pagó
por el IVA (para simplificar, quitamos el 0 de 7.50, ya que no tiene valor cuando está en la
última cifra de números decimales).
T=5C+7.5
El asunto es encontrar el valor de C (recuerda que para despejar debes utilizar el inverso aditivo,
cuando se trate de una suma o resta; y el inverso multiplicativo cuando se trate de una
multiplicación o división). También es necesario sustituir T.
A continuación escribe tu repuesta dentro del recuadro amarillo.
Observa que todas las ecuaciones que resolvimos en esta unidad, tienen variables con exponente 1. Este tipo de ecuaciones se conoce comoecuaciones lineales. Existe solamente un valor que satisface la ecuación, porque sólo hay un número que, al ser usado en lugar de la variable, permite que la ecuación sea válida, es decir, que la expresión a la izquierda del igual (=), sea equivalente a la expresión de la derecha. Se llaman lineales porque su representación gráfica es una línea. Por ejemplo:
Operaciones con polinomios
Una persona se encuentra en un edificio de 24 metros de altura. La persona lanza hacia arriba y
hacia delante una piedra a una velocidad de 20 metros por segundo. La piedra sigue una
trayectoria como la que se muestra en la figura:
Te presentamos este ejemplo para que hablemos de los componentes de la expresión
matemática. Analizaremos el primer término de la expresión (-4t2) y veremos cada uno de los elementos.
Un monomio es un término conformado por un valor constante llamado coeficiente (por
ejemplo, -4, valor que puede ser negativo o positivo) y está multiplicado por una variable t, es
decir, una letra que puede tener diferentes valores; y esta variable puede ser multiplicada por sí
misma varias veces, dependiendo del grado del exponente que en este caso es un valor entero
positivo (por ejemplo el 2).
Otro ejemplo sería el siguiente:
Antes de continuar, recuerda que, como viste en aritmética, el símbolo paréntesis () y dos
variables juntas representan multiplicación. Por ejemplo, 20t = 20(t). Las dos formas son
correctas, y se interpreta como la multiplicación de 20 por t.
También podemos escribir el monomio -4t2, como -4tt. Es decir, el coeficiente por la variable,
multiplicada por sí misma dos veces. Ahora, representamos la expresión que describe la
trayectoria de la piedra.
trayectoria=-4t2+20t+24
De la expresión inicial, veamos los siguientes dos términos; éstos son más sencillos. Para el
segundo término el coeficiente es 20, la variable es t, y el grado es 1 (nota que, aunque no haya
número como exponente, se entiende que el exponente es 1 y no hay necesidad de escribirlo).
El tercer y último término tiene coeficiente igual a 24. La variable es t, pero no se visualiza
porque el exponente es 0. Cuando una variable distinta de cero tiene exponente 0 es igual a 1.
Es como si escribiéramos 24(1)=24 o 24x(t0)=24.
Entonces cualquier variable (distinta de cero) elevada a la 0 tiene como resultado 1. Usa tu calculadora científica para verificar este resultado. En lugar de usar una variable, escribiremos un número: ¿qué tal 35? Para escribir el exponente, busca la tecla ^ o la tecla Xy, después de pulsar la tecla del exponente, escribe 0. El resultado debe ser 1. Si quieres prueba con cualquier otro número distinto de cero.
Bien, ya que observamos cada uno de los términos por separado, ahora pensemos en el conjunto
de los términos, es decir, toda la expresión matemática. A esta expresión la
llamaremos polinomio, o sea, un conjunto de dos o más monomios relacionados por medio de
operaciones aritméticas (suma o resta).
Los polinomios se clasifican de acuerdo a su grado. El grado de un polinomio se obtiene
encontrando el mayor exponente de los términos que lo componen. Para el caso de nuestra
expresión, vemos que el mayor exponente es 2. Por lo tanto el grado del polinomio es 2.
trayectoria=-4t2+20t+24 (polinomio de grado 2)
Dejemos la expresión anterior que describía una trayectoria parabólica y veamos otro tipo de
polinomio.
P = 3a3b5 + 4a2 b2 - 5ab ¿Grado del polinomio?
Como te podrás dar cuenta, hay dos variables (a y b) en cada término de la expresión. Ahora,
¿cómo sabremos el grado del polinomio? Sólo necesitas sumar los exponentes de las variables
para encontrarlo. Pero hay que analizar cada uno de los términos del polinomio, para determinar
cuál es el mayor exponente.
En 3a3b5, sumamos 3 + 5. El grado de este monomio es 8.
En 4a2 b2, sumamos 2 + 2. El grado de este monomio es 4.
En 5ab, sumamos 1 + 1. El grado de este monomio es 2.
Como el grado lo da el término de mayor exponente sumado, el grado del polinomio es 8.
Ahora determina el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
Elena compró una nueva casa, pero antes de cambiarse quiere pintar la fachada. El problema es que no tiene las medidas de la fachada, pero sí tiene algunos datos. La casa tiene forma de un cuadrado, 3 ventanas iguales y una puerta. Además, sabe que las ventanas son cuadradas y que la puerta tiene forma de rectángulo. El ancho de la puerta es igual al ancho de las ventanas y la altura es dos veces el ancho de la puerta. Veamos la forma de la casa.
Una forma de encontrar las dimensiones de la fachada es asignando variables, al fin que las variables pueden asumir cualquier valor. De acuerdo a la forma geométrica de la casa de Elena asignaremos las variables.
Ahora utilizaremos los conocimientos de áreas de cuadrados y rectángulos para determinar el
área de la fachada de la casa. Con esta información Elena tendrá idea de la cantidad de pintura
que necesita comprar.
Empecemos con el área de la fachada de la casa. Como es un cuadrado, su área es igual a lado
por lado, y como cada lado mide y, entonces el área de la fachada es y = y2. Por otro lado, las
ventanas son iguales, y además tienen forma de cuadrados, así que el área de cada una de las
ventanas es x(x) = x2. Por último el área de la puerta, que es un rectángulo, y que se calcula
multiplicando base por altura, es x(2x) = 2x2.
¿Te diste cuenta que al multiplicar dos variables iguales se sumaron los exponentes? Esta es una propiedad de los exponentes. Debes tener cuidado, porque esto sólo aplica cuando las variables son iguales. El resultado de la multiplicación debe ser la misma variable y su exponente será la suma de los exponentes de las variables, como sucedió al multiplicar x(x) =
x2: el exponente de la x es 1 en los dos casos 1+1=2. Entonces el exponente de la x resultante es 2.
El área de la fachada debe ser el área del cuadrado con lado y, pero como las ventanas y la puerta no se pintan debemos restar esas partes para obtener el área total de la fachada. Esto lo podemos representar con un polinomio.
Área de la fachada = y2-x2- x2- x2-2x2
Esto es, el área del cuadrado de la casa, menos el área de la primera ventana, menos el área de
la segunda ventana, menos el área de la tercera ventana, menos el área de la puerta. Fíjate que
hay términos iguales, por ejemplo, las 3 ventanas; además la puerta tiene dimensiones
parecidas a las ventanas. Eso significa que podemos simplificar nuestra expresión.
Observa que los coeficientes de las x2 son negativos, lo que significa que estamos sumando
números negativos. Por esa razón, al simplificar elpolinomio, el coeficiente resultante también
será negativo.
Área de la fachada = y2-5x2
Hablando de simplificación del polinomio, podrás darte cuenta que sólo hicimos operaciones con los coeficientes, o sea que sumamos los coeficientes de las x², pero, la variable x² quedó exactamente igual. Esta es otra propiedad de las operaciones con polinomios. Podemos sumar o restar términos de un polinomio, siempre y cuando los términos tengan las mismas variables y los mismos exponentes. Las variables y los exponentes no se modifican; es decir, se escriben igual.
Ahora sí, es más sencilla la expresión. Ahora Elena sólo tendrá que realizar dos mediciones. Una
es la del ancho de la casa, representado con y, la otra el ancho de una ventana, representado
con x. Bueno, dijimos el ancho, pero también podría ser la altura, en realidad eso no importa,
porque sabemos que un cuadrado tiene lados iguales.
¿Qué te parece? Podemos solucionar un problema que parecía muy grande, encontrando sólo 2
valores. ¡Qué maravilla! ¿No crees? Es una de las ventajas de utilizar variables al resolver
problemas.
Paquetes de dulces
Una maestra de primaria está preparando paquetes de dulces para regalarles a sus alumnos el
día del niño. Ella tiene 45 alumnos y en cada paquete de dulces colocará 2 paletas, 5 chicles y 3
tamarindos. Pero se pregunta cuántos dulces debe comprar en total. Ella cree que debe contar 2
paletas 45 veces, más 5 chicles 45 veces, más 3 tamarindos 45 veces. Tiene razón pero, ¿te
imaginas contar tantísimas veces 45? Podemos ayudarle escribiendo una expresión que use la
propiedad distributiva.
¿Te acuerdas de ella? Es la que dice:
a(b+c+d) = ab + ac + ad
Veamos si es cierta esta igualdad, utilizando los datos de los dulces de la maestra. Digamos que a es el
número de alumnos, b el número de paletas en un paquete de dulces, c el número de chicles en un paquete
de dulces, y d, el número de tamarindos. Por lo tanto a=45 b=2, c=5 y d=3.
Si lo que queremos conocer es el número de dulces en total, utilizaremos la parte izquierda de la expresión
anterior.
45 (2 + 5 + 3)= 45(10) = 450
Hemos terminado. En total debe comprar 450 dulces. ¡Ah!, pero ¿qué tal si necesita saber cuántas paletas,
chicles y tamarindos debe comprar? Entonces debemos utilizar la otra parte de la expresión. Y verificaremos
si es cierto que la expresión del lado derecho vale 450, como la parte izquierda.
45 (2 + 5 + 3)= 45(2) + 45(5) + 45(3)= 90 + 225 + 135
Multiplicamos 45 por cada uno de los elementos del paréntesis, y lo que obtuvimos es que serán 90 paletas,
225 chicles y 135 tamarindos. Si sumamos 90+225+135 resulta 450. ¡Listo! ¡Problema resuelto!
Ahora la maestra ya que sabe que el problema de los dulces lo puede resolver con la propiedad distributiva. Analicemos otro caso.
Queremos encontrar el área de un rectángulo con las siguientes dimensiones:
Bien, ahora regresemos al problema del rectángulo. Sabemos que el área de un rectángulo es igual a base
por altura. Podemos representarla como:
A = (x+4) (y-5)
No podemos determinar el área del rectángulo numéricamente, pero la podemos dejar indicada utilizando las
variables. Aplicando la propiedad distributiva tenemos:
A = (x+4) (y-5)
A = x (y-5) + 4(y-5)
A = xy -5x + 4y -20
Ahora lo único que falta es simplificar el polinomio, pero como en esta ocasión no encontramos términos con
variables y exponentes iguales, la expresión queda de la misma forma.
Hemos terminado y como podrás observar, el área que obtuvimos es un polinomio. Fíjate que hay términos con coeficientes negativos. Estos coeficientes fueron el resultado de multiplicar un número o variable positiva con uno negativo (ley de signos). Ten cuidado al realizar multiplicaciones, ya que el signo del coeficiente es importante.
Recapitulando lo que hemos hecho hasta este punto debes tener en cuenta que:
• Cuando el resultado sea un polinomio, siempre hay que simplificar. La única forma de simplificar
es haciendo operaciones con los coeficientes de los términos que tengan la misma variable y el
mismo exponente.
• Al realizar la suma de términos semejantes, las variables no se modifican. Se escriben igual. Ten cuidado
con los signos de los coeficientes.
• No te olvides que al multiplicar dos variables IGUALES, el resultado será la misma variable y su
exponente es la suma de los exponentes de las variables que estamos multiplicando. Por ejemplo:
(a)(a5)=a6. Pero no podemos hacerlo con (a5) (b). El resultado es a5b.
• Cuando aplicamos la propiedad distributiva en dos paréntesis de más de un término, debemos
multiplicar el primer término del primer paréntesis por cada uno de los términos del segundo paréntesis, y
así sucesivamente hasta que terminemos todos los elementos del primer paréntesis.
Continuemos realizando operaciones
Encuentra el polinomio que resulta al calcular el área de un rectángulo con base igual a x+6 y altura igual a
x-10.
Ecuaciones cuadráticas
Me imagino que alguna vez has visto las competencias de clavados en la televisión: ¡cómo se lanzan los
clavadistas, desafiando las alturas y a la gravedad! Es un verdadero espectáculo. ¿Sabes? Algunos clavados
describen formas que pueden ser definidas matemáticamente.
La trayectoria de la persona se puede representar gráficamente colocando un eje coordenado como se muestra a continuación, además de encontrar la expresión matemática que la describe.
Si observamos la trayectoria del clavadista, podemos decir que la persona toca el agua en t =2 segundos. Pero ¿qué tal si no tenemos la figura y tampoco sabemos si la figura está representada correctamente? Así, debemos buscar una forma para encontrar el valor de t que nos indique en qué momento el clavadista toca el agua. Para este esquema t es el tiempo en segundos y m es la distancia que recorre el atleta al lanzarse del trampolín.
a persona se lanza desde una altura de 10 m, y necesitamos saber en qué momento toca el agua. Debemos
tomar el tiempo que se tarda desde que se lanza hasta que toca el agua. De acuerdo con la gráfica, cuando
la persona toca el agua es cuando llega al eje horizontal, es decir cuando m vale 0. Por lo tanto, necesitamos
saber en qué momento la trayectoria es igual a 0.
-5t2 +5t+10=0
Para resolver esta ecuación hay diferentes métodos. Utilizaremos la fórmula general, porque es el método
que funciona para cualquier tipo de ecuación cuadrática. ¿Te acuerdas? Así llamamos a las expresiones que
tienen exponente máximo igual a 2. Sólo necesitamos una ecuación de la forma: ax2+bx+c=0, y que cumpla
que a siempre sea diferente de 0 ( a≠0 ). La fórmula general es:
De la ecuación que define la trayectoria del clavadista -5t2+5t+10=0, debemos identificar los valores de a,
que es el coeficiente del término cuadrático (t2), b es el coeficiente de la variable con exponente 1 (t) y c es
el término independiente. De manera que a=-5 porque es el coeficiente de t 2 , b=5 que es el coeficiente de
t, y c=10 ya que es un término independiente. Ahora los sustituiremos en la fórmula general y la
resolveremos.
¿Te acuerdas que procedemos de adentro hacia fuera? O sea, primero hacemos las operaciones en los
paréntesis.
Ahora, simplificamos los términos de adentro de la raíz.
Finalmente tenemos 2 valores, cuando 15 es positivo y cuando 15 es negativo:
t1 = -1 t2 = 2
Fíjate que ponemos subíndices para identificar cada uno de los valores. Ahora que ya encontramos dos
valores, tenemos que verificar que efectivamente ambos cumplan con la ecuación que describe la trayectoria
del clavadista, que es igual a 0. Para verificarlo, debemos sustituir los valores en la ecuación.
Ya hemos encontrado los dos valores que satisfacen la ecuación, pero como en esta ocasión estamos hablando de tiempo, el resultado negativo no es válido como respuesta. Entonces podemos ignorarlo y saber que hemos llegado a la solución que encontramos en la gráfica, t=2. Fíjate cómo no podemos sólo responder
mecánicamente, sino pensar en el problema concreto que enfrentamos para estar seguros de haber contestado bien.
Con el eje coordenado como referencia, debemos encontrar el valor en que la ecuación cuadrática es igual a 0, ya que el eje horizontal está colocado sobre la superficie del agua.
Bien, ahora que ya sabemos los valores de a, b y c, debemos sustituirlos en la fórmula general y realizar los cálculos en tu cuaderno para encontrar el valor donde el chorro de agua toca la superficie de la fuente. Escribe los valores de a, b y c.
Como podrás observar en la fuente, el chorro de agua brota hacia la izquierda del eje coordenado, por esta
razón el resultado es -8, lo que significa que el chorro de agua toca a la superficie de la fuente 8 unidades a
la izquierda de donde sale, es decir, el origen. Además el otro valor nos dio 0, que justamente es el origen de
salida del chorro de agua. Esto indica que la ecuación describe los puntos donde comienza el chorro y donde
termina.
Intenta resolver la siguiente ecuación cuadrática utilizando la fórmula general. Escribe el procedimiento en tu
cuaderno. Antes de escribir los valores de x, verifica el resultado.
Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación,
tienen forma parabólica para así, concentrar las débiles señales que le llegan al foco (el foco, es el extremo
de la línea que se encuentra en el vértice).
Si observamos la antena de perfil, tiene forma parabólica, y de hecho así se denomina. Pero también estarás
de acuerdo que si observamos la antena de frente, es decir, desde arriba, la antena tiene forma de
circunferencia. Justamente fijándonos en esa circunferencia quisiéramos conocer el diámetro de la antena.
Podemos colocar la antena sobre un eje coordenado y establecer la ecuación cuadrática, para realizar
operaciones. Colocamos la línea de la antena sobre el eje y , de manera que los extremos de la antena
toquen el eje de la x. La expresión matemática que describe esta curva es:
y=4x2 -3600
Como lo que buscamos conocer es el diámetro de la antena parabólica, necesitamos identificar la distancia
entre los puntos que tocan el eje x. Para lograrlo, tenemos que encontrar esos puntos y medir la distancia
entre ellos. Por lo tanto, debemos encontrar para qué valores de la expresión anterior y es igual a 0, es decir,
4x2 -3 600=0.
Una forma de saber la distancia entre ambos puntos es usar la fórmula general. Sin embargo, intentemos
otro camino utilizando propiedades de los exponentes, que ya vimos anteriormente.
a) Si tenemos un término elevado a un exponente cualquiera, y además elevado a otro exponente, el
resultado es el mismo término y su exponente corresponde a la multiplicación del exponente por el número
al que se encuentra elevado: (yn) m= ( y )n x m .Por ejemplo: 2[2(k)3] 2= 2[2k3]2= 2[4k3x2]= 2[4k6]= 8k6.
b) Podemos representar la raíz cuadrada como un exponente igual a 1/2. Aplicando esta propiedad combinada con la propiedad anterior, resulta que: cuando lo que se encuentra dentro de la raíz cuadrada está elevado al cuadrado, entonces, el resultado debe ser el término que se encuentra dentro de la raíz, como se muestra a continuación:
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. Es decir, se llama raíz cuadrada de un número al número que puede descomponerse en el producto de dos números iguales. Por lo tanto
escribiremos para indicar que existen los 2 valores, que al ser multiplicados por sí mismos, dan por resultado 100, y que son 10 y -10.
Bien, ahora el procedimiento consiste en despejar el valor de x, utilizando las propiedades de inverso aditivo
e inverso multiplicativo. Pero antes me gustaría preguntarte ¿alguna vez haz escuchado decir, lo que está
sumando pasa restando y lo que esta restando pasa sumando? Justamente estas frases son el resultado de la
aplicación del inverso aditivo; es una forma de recordarlo. Asimismo surge la frase, lo que está multiplicando
pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando, haciendo referencia al inverso multiplicativo.
Sólo debes tener cuidado al aplicar inverso multiplicativo, pues los signos no cambian.
Tenemos 4x2 - 3 600 = 0. Como 3 600 está restando lo pasaremos del otro lado sumando. Entonces:
4x2 = 3 600 . Ahora, como el 4 esta multiplicando a la x2 entonces lo pasaremos dividiendo del otro lado, es
decir, después del igual. Realizamos las operaciones:
x2 = 3 600/4
x2 = 900.
Bien, ahora sólo nos queda quitar el cuadrado de la x. De acuerdo a las propiedades de los exponentes,
aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
√x2 = √900
(X)2/2 = √900 Como (30)(30)= 900 y (-30)(-30)= 900, entonces:
x = ± 30
Ahora sólo resta expresar con subíndices para indicar cada uno.
x1 = 30
x2 =-30
Retomemos la pregunta inicial: ¿cuál es el diámetro de la antena parabólica? Nos referimos a la distancia
entre los puntos que tocan al eje de las x si consideramos la figura. Lo que hasta ahora hemos encontrado
son los puntos donde la antena toca al eje de las x, de manera que el diámetro está dado por las unidades
que hay entre esos dos puntos.
Entonces, el diámetro de la parábola es de 60 cm.
La Torre Eiffel es una estructura de hierro que pesa 9 441 toneladas. Comenzó a construirse en 1887 y se terminó en 1889. Fue creada para una exposición que tendría lugar en París a principios del siglo XX. Dicha estructura fue elegida entre 700 propuestas y fue diseñada por el ingeniero francés Alejandro Gustavo Eiffel.
Si te fijas, en la base de la torre nos encontramos con formas parabólicas. En realidad, toda la estructura
tiene formas geométricas, aunque hoy solamente nos ocuparemos de la forma parabólica.
Lo que nos interesa conocer es la longitud de un lado de la torre. Como lo hemos hecho anteriormente
colocaremos un eje coordenado sobre la figura para ubicar los datos necesarios, además se sabe que la
parábola formada en la base de la torre se define por la siguiente expresión:
y = -5x2 + 11 520
Un dato que conocemos además de la expresión, es que la longitud de las bases de la torre es de 2.7 metros.
jate en la figura: el eje x se encuentra sobre la base de la torre y el eje y está en la mitad de la base, de
manera que la distancia del eje y a la izquierda de la parábola, debe ser igual a la distancia a la derecha de
la parábola. El eje sobre la imagen está inclinado para indicar que se encuentra sobre una cara de la torre, y
por eso se coloca el otro eje para indicar la forma parabólica con la que vamos a trabajar.
Para resolver el problema debemos encontrar los puntos de la parábola que tocan el eje de las x . Por lo
tanto, debemos calcular cuando y=0 , es decir, cuando -5x2 + 11 520=0
Utiliza el procedimiento que desarrollamos en el problema de la antena parabólica y escribe los valores de x.
Recuerda que utilizamos los subíndices para indicar cada uno de los valores. Al resolver la ecuación
cuadrática obtendrás dos valores, uno positivo y el otro negativo. Escribe en x1 el valor positivo y en x2 el
resultado negativo.
Retomando la cuestión inicial, habíamos dicho que necesitábamos determinar la distancia entre los dos puntos donde tocaba la parábola al eje x.
De manera que si la distancia del eje y hacia la derecha de la torre Eiffel es 48 + 2.7 m, osea, 50.7 m, entonces la longitud de la base de la torre es 50.7 m por dos, ya que la distancia hacia la izquierda es la misma. Por lo tanto, la longitud total de un lado de la Torre Eiffel es de 101.4m.
En esta unidad hemos trabajado con algunas expresiones matemáticas que describen el comportamiento de
ciertas cosas, como la antena, la torre, el clavadista, etc. ¿De casualidad no te preguntas cómo es que
surgen estas expresiones o si es cierto que verdaderamente describen los fenómenos?
En realidad hay algunas cosas que son más fáciles de describir que otras, pero eso no significa que sea
inmediato. Te mostraremos una forma de encontrar funciones cuadráticas a partir de una gráfica.
Observa la siguiente parábola que pasa por los puntos (-4 y0) y (5 y 0). El hecho de que una parábola pase
por el eje de las x, indica que para esos valores y = 0, por la posición de los ejes coordenados.
Sabemos que una parábola se representa con una ecuación cuadrática . Si y = a x2+ bx + c representa una
ecuación cuadrática y además y = 0, entonces:
x2 + bx + c = 0.
Por otro lado, cuando estudiamos la multiplicación de polinomios encontramos un resultado como el
siguiente:
(x + α )(x + β )= ax²+ bx + c, en donde a = 1, b era igual a la suma de α + β, y finalmente c era el resultado
de multiplicar ab, ¿te acuerdas?
Ahora si ax² + bx + c = 0, entonces puedo decir que (x+ α )(x+ β ) = 0. Para que este resultado sea 0,
entonces al menos uno de los paréntesis debe ser 0.
(x + α )(x + β ) = 0
(x + α ) = 0 ó (x + β ) = 0
x = -α ó x = -β
Si α = 4; β = -5 sustituyendo los valores tenemos que:
x = -4 ó x = 5
Ahora si a=1, b= α+β y c= αβ como
a=4
β=-5 entonces:
b= 4+(-5) = -1
c = (4)(-5) = -20
Utilizando estos valores los sustituimos en la ecuación cuadrática y hemos terminado.
y = x2+x-20
Como te podrás dar cuenta no es tan difícil, aunque si es necesario tener en cuenta las características que
deben cumplir las expresiones.
Productos notables y factorización
Observa las siguientes cajas. En algunas, existen figuras que se repiten. Queremos colocar en la caja vacía
las figuras que se repiten en todas las cajas; ayúdanos a colocar las figuras. Para seleccionar una figura,
debes colocar el puntero sobre la misma y hacer clic.
Por ejemplo fíjate en la caja 1, hay un rombo de color morado, en la caja 2 no hay ningún rombo y en la caja
3 hay dos rombos, como en la caja 2 no hay rombos entonces no podemos seleccionar el rombo.
Como te podrás dar cuenta, en la caja vacía aparecieron todos los elementos que son comunes de las 3
cajas. Lo que hicimos fue agrupar las 3 cajas e identificar los elementos comunes en cada una de ellas. A
este procedimiento le vamos a llamar factorización.
En Matemáticas se utiliza el término factorización para identificar los elementos comunes que comparten
un conjunto de variables. Por ejemplo, en la expresión ax3 + bx2+ cx, observa que los 3 términos están
multiplicados por x. Como x es el factor común en los tres términos, entonces la elegiremos para factorizar la
expresión. Además, elegiremos la x que tenga el menor exponente. Para indicar la factorización utilizamos el
paréntesis.
ax3 + bx2 + cx = x (ax2 + bx + c)
¿Te parece conocida esta expresión?, la utilizamos al repasar la propiedad distributiva en la unidad anterior.
En este caso el término de la izquierda es la factorización del término de la derecha, de manera que al
multiplicar x por el paréntesis podamos obtener la expresión de la derecha.
Recordarás que al multiplicar dos variables iguales, el resultado es la variable con exponente igual a la suma
de los exponentes;como se muestra en la expresión anterior, al multiplicar x(ax2) = ax3. Como la variable a
es diferente de x, entonces a queda exactamente igual.
Te acuerdas que dijimos que un coeficiente es un valor constante, que podía ser un número positivo o
negativo? Para el caso de la factorización, también podemos factorizar los coeficientes, si encontramos un
número que sea múltiplo de los otros coeficientes. Veamos un ejemplo:
3ax + 6a2y + 21a3z = 3a (x + 2ay + 7 a2z)
Si multiplicamos 3a por lo que se encuentra dentro del paréntesis encontraremos que:
3a (x) = 3ax
3a (2ay) = 6a2y
3a (7a2z) = 21a3z
Encuentra los factores comunes de los siguientes polinomios y factoriza la expresión:
Aquí encontramos dos resultados interesantes, observa con atención:
(w+4) (w-4) = w2 - 16
Aquí tenemos un resultado interesante. Fíjate en el primer paréntesis. Tiene dos elementos. Uno es w y
el otro es 4. Ahora fíjate que los elementos del segundo paréntesis son iguales a los del primer
paréntesis. Observa los signos. Son diferentes: uno es positivo y el otro es negativo. A este resultado le
llamaremos binomios conjugados.
Por otro lado, el resultado es w2 -16, como el 16 es el resultado de multiplicar (4)(4), modificaremos el
resultado escribiéndolo: w2 -(4) 2 . Observa que tenemos 2 elementos (w y 4) que son los mismos que encontramos en los paréntesis anteriores, aunque ahora se encuentran elevados al cuadrado. Además, el signo entre ellos es negativo (-), lo que implica que la operación entre ellos es una resta, que fue el resultado de multiplicar (+)(-). A este resultado le llamaremos " diferencia de cuadrados ".
Los binomios conjugados son la factorización de una diferencia de cuadrados, es decir si tengo w2 - 16, a esta
expresión la puedo factorizar como (w + 4) (w - 4).
Ahora intenta hacerlo; factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. No se te olvide colocar los
paréntesis, porque si no te marcará error.
Ahora que ya sabes factorizar, ayudemos a la familia Rodríguez a solucionar un problema.
La familia Rodríguez compró un terreno en forma de cuadrado. Ellos quieren dividir el terreno de manera que
una parte sea para la construcción de la casa, en otra parte estará el estacionamiento, una sección será para
un gimnasio y finalmente el jardín, que ellos quieren que sea del mismo tamaño que el del estacionamiento,
como se muestra en la figura.
Sabemos que las dimensiones del terreno están representadas por las variables a y b. Lo que necesitan es
una expresión que represente el área de su terreno.
Una manera de hacerlo es fijándonos en el área de las figuras internas del terreno, y sumarlas todas, es decir, el área de la casa + área del jardin + área del estacionamiento + área del gimnasio. Escribe las expresiones en tu cuaderno y simplifica la expresión si hay términos comunes. Elige la opción correspondiente a tus cálculos:
La otra forma de resolver este problema es considerando que el terreno tiene forma cuadrada y la longitud de sus lados es a + b. Ahora calcula el área del terreno.
Esto implica que las dos expresiones deben ser iguales, por lo tanto:
(a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²
¿Te acuerdas que dijimos que al multiplicar x(x) = x²? Bueno, ahora pon atención, porque voy a suponer que
x = a + b. Si reemplazo el valor de x por a + b, resulta que al multiplicar (a+b) (a+b) = (a+b)². Lo que
obtuvimos se llama cuadrado de la suma, esto implica que tenemos el cuadrado de la suma de 2
elementos, también llamado el binomio al cuadrado o el cuadrado de un binomio. Así que también
puedo escribir lo anterior como:
(a+b)² = (a +b) (a + b) = a² + 2ab + b²
A la expresión de la derecha le llamaremos trinomio cuadrado perfecto. El nombre de trinomio es porque de la expresión resultante existen 3 términos. Lo de cuadrado perfecto es porque se obtiene del análisis de un cuadrado (porque tiene raíz cuadrada exacta).
¿Te acuerdas de la casa de los Rodríguez? Roberto , que es uno de los hijos de la familia Rodríguez, se va a
casar. Él compró un terreno igual al de sus padres, con la intención de hacer su casa igual a la de ellos. Pero
resulta que al hacer el presupuesto, no le alcanzaba para pagar todo el terreno, así que decidió disminuir el
área del mismo, quitando el estacionamiento y el jardín, para que, de esta manera, quedara igual la casa y el
gimnasio.
El terreno es de forma cuadrada, sólo que Roberto no podrá construir, ni utilizar el área del estacionamiento
y del jardín. Ayúdale a encontrar una expresión que represente el área del terreno.
Comienza por analizar los cuadrados internos del terreno y suma las áreas de la casa y el gimnasio, y después resta el área del estacionamiento y del jardín. Elige la opción que corresponda a tus cálculos:
Pensemos ahora en el cuadrado del terreno. Ahora la longitud del los lados será a-b. Con esta información encuentra el área de construcción de la casa de Roberto. Elige la respuesta que consideres correcta.
Como los dos resultados son iguales, resulta que:
(a-b) (a-b) = a² - 2ab + b²
Este resultado es similar al que encontramos cuando calculamos el área de la casa de la familia
Rodríguez, ¿te acuerdas?
Esta expresión es conocida como el cuadrado de la resta, y el resultado también es
un trinomio cuadrado perfecto. La diferencia entre el cuadrado de la suma y el cuadrado de
la resta es el signo, que afecta el segundo término del trinomio como se muestra en las
siguientes expresiones:
Practiquemos lo que hemos aprendido. Encuentra el área del rectángulo que tiene lados w-9.
Hasta ahora lo has hecho de maravilla
Ahora veamos el área de un rectángulo con las siguientes dimensiones:
Fíjate que los números que se encuentran dentro del paréntesis, determinan los últimos dos términos del
resultado. El segundo término es la suma de los números, y el tercer término es la multiplicación de esos
números. Es decir, -2 + 4 = 2 y (4) (-2) = - 8
Con esto escribimos el resultado completo:
(w + 4) (w - 2) = w² + 2 w -8
Este procedimiento es válido siempre que tengamos en común una variable, como en el ejemplo: los dos
términos que multiplicamos tienen w como variable común. Con esta información, podemos factorizar una
expresión con 3 términos haciendo el procedimiento inverso. Ahora queremos factorizar la siguiente
expresión:
g² -3g-10 = ?
Sé que debo encontrar dos números que al sumarse resulte -3 y que al multiplicarse dé -10. Comenzaremos
por buscar los números que se multiplican. Como el resultado de la multiplicación es negativo y sabemos que
al multiplicar dos números con signo diferente el resultado es negativo, significa que los números que estoy
buscando tienen signo diferente. Vamos a representar los números desconocidos con las variables a y b.
ab = -10
(10) (-1) =-10
(5) (-2) =-10
(1) (-10) =-10
(2) (-5) =-10
Ya encontré 4 posibles números que al multiplicarse sean -10, ahora utilizaré estas combinaciones de
números para encontrar aquellos que al ser sumados resulte -3.
a =10, b = -1 al sumar 10 + (-1) = 9. No son los números que estoy buscando.
a =5, b = -2 ;al sumar 5-2 = 3. No son los números que estoy buscando
a =-10, b = 1 al sumar; -10 + 1 = -9. No son los números que estoy buscando
a =-5, b = 2; al sumar -5 + 2 = -3. ¡Bien! Hemos encontrado los números.
Ahora escribiremos la expresión factorizada de la siguiente manera:
g² -3g-10 = (g-5) (g+2)
Ahora intenta encontrar la factorización de la siguiente expresión. Escribe el número mayor en la primera
factorización.
Ángulos
Ante la necesidad de medir el tiempo, las antiguas civilizaciones se guiaban por el día y la noche o los ciclos
de la luna. El primer reloj creado por el hombre fue el solar, que indicaba los momentos del día por la
sombra del sol. Estos relojes tenían el inconveniente de no servir en el amanecer, crepúsculo, días nublados
y en la noche. Los romanos marcaban velas en forma de regla para medir el tiempo en la noche.
Más adelante surgió el reloj de arena, que consistía en dos recipientes esféricos de vidrio unidos con un
estrecho canal; con este instrumento, llegaban a medir todo un día. Luego, nació un mecanismo con
movimiento rotatorio continuo y regular, que se ha modificado y perfeccionado con la finalidad de medir el
tiempo con mayor exactitud. En la actualidad hay diferentes tipos de relojes y una gran cantidad de modelos.
Si observas las manecillas del reloj, verás que se forman diferentes ángulos entre ellas. Y esto, ¿qué
relevancia tiene?, justamente para ejemplificar cómo en la medida de un ángulo se utiliza el plano cartesiano
con ayuda de una semirrecta. Si la semirrecta tiene su punto inicial sobre el plano y se desplaza en
sentido antihorario, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el signo del ángulo es
positivo. Si la semirrecta se desplaza en sentido horario, o a favor del movimiento de las manecillas,
entonces el signo es negativo.
Entonces, ¿hay ángulos positivos y negativos?
La medida de un ángulo se representa por el signo (°) que indica grados. El símbolo se utiliza para
indicar ángulo, por ejemplo si escribimos w=67°, estamos diciendo que el ángulo w mide 67°.
Cuando un ángulo mide entre 0 y 90 grados entonces el ángulo pertenece al primer cuadrante. Los ángulos
ubicados en el segundo cuadrante miden entre 90 y 180 grados. Los ángulos que miden entre 180 y 270
grados están en el tercer cuadrante. Por último, si un ángulo se encuentra en cuarto el cuadrante, entonces
el ángulo debe medir entre 270 y 360 grados; siempre y cuando la medición de estos ángulos sea en sentido
antihorario. Si el ángulo mide más de 360 grados, significa que el ángulo ya dio al menos una vuelta en el
plano.
Por ejemplo, si son las 3:00 p.m., el ángulo formado entre la manecilla que marca la hora y la manecilla que
indica los minutos es de 90°, si es medido en sentido antihorario (como debe hacerse, aunque podemos decir
que forma un ángulo de -270 en sentido horario).
Del mismo modo, cuando el reloj marque las 9:00, el ángulo formado entre las manecillas también es de 90°.
Hay que tener cierto cuidado para interpretar los ángulos que se pueden observar en un reloj, ya que las
divisiones que vemos en la carátula tienen un uso diferente según la manecilla. Por ejemplo, la manecilla
más pequeña indica las horas y su posición en 5 indicaría las 5 horas, aunque la manecilla más larga,
también en el 5 indica 25 minutos.
Como sabemos que el movimiento de las manecillas de un reloj es circular, utilizaremos una circunferencia
como auxiliar para hacer el análisis de los ángulos. Además, realizaremos un análisis por separado para no
confundirnos.
Empezaremos con el movimiento del minutero. De acuerdo a la imagen, el minutero tiene 60 posiciones y cada una de ellas es un minuto que corresponde a una hora. Por otro lado, una circunferencia tiene un ángulo interno de 360°. Si lo dividimos entre las 60 posiciones del minutero obtenemos 6°. Por lo tanto, cuando el minutero avanza un minuto, se desplaza 6°.
Colocaremos un eje coordenado para tener una referencia de los ángulos, de manera que podamos indicar cuántos grados se ha desplazado el minutero después de cierto tiempo. Si el minutero se encuentra en el minuto 36, indica cuál es el valor del ángulo positivo y del ángulo negativo. (Considera el ángulo positivo desde 3 en sentido antihorario y el ángulo negativo desde 3 en sentido horario).
ÁNGULO POSITIVO=234°
ÁNGULO NEGATIVO=126°
Ahora pensemos en la manecilla que indica la hora. Sabemos que el reloj incluye 12 horas, es decir, cada 12 horas la manecilla del reloj da una vuelta completa. Considerando nuevamente la circunferencia como referencia, al dividir 360° entre 12 horas, tenemos que 360º/12 = 30º. Esto significa que cada hora está separada por 30°.
Por otro lado, entre cada hora hay otras 4 marcas, lo que significa que dividimos 30° en 5 partes iguales. Esto equivale a decir cada marca tiene una separación de 6°, como ya lo habíamos mencionado en el análisis del minutero, ¿te acuerdas?
Además, la distancia entre dos números indica que ha transcurrido una hora, eso implica que entre dos números debe haber 60 minutos. Como entre 2 números hay 4 marcas, podemos deducir que cada marca comprende 12 minutos.
Si entre cada marca hay 6° y además hay 12 minutos, significa que cada minuto se desplaza 0.5°, o sea, si la manecilla se desplaza 1° han transcurrido 2 minutos.
a que estamos en esto, encuentra los ángulos que se forman, si la manecilla que indica la hora señala el punto medio entre el 1 y la primera marca de la derecha.
Bien, ahora que ya te estás volviendo un experto en medir los ángulos generados por las manecillas de un reloj, ¿qué tal si combinamos las manecillas y me dices cuál es el ángulo comprendido entre ambas, así como el que forma con los ejes? Para facilitar un poco el trabajo, sólo vamos a indicar los ángulos positivos, al fin que ya sabemos que el ángulo negativo siempre es el complemento de 360°.
Si el reloj marca las 2:30, el minutero se encuentra apuntando hacia el 6, y la manecilla más pequeña está dirigida a la mitad entre 2 y 3. (Para indicar el ángulo que forman las manecillas, debes considerar la manecilla del minutero como inicio del ángulo en sentido antihorario).
Un ángulo puede medir desde 0 hasta 360°. El signo negativo es para indicar la dirección en que se mide el
ángulo. Si alguna vez te encuentras un ángulo mayor a 360°, significa que el indicador del ángulo dio más de
una vuelta en los ejes. Por ejemplo, podemos representar el ángulo de 400° como:
360°+ 40° = 400°,
esto es, el indicador dio una vuelta en sentido antihorario una vez, y al llegar al punto inicial siguió girando
40° más.
CLASIFICASIÓN DE LOS ÁNGULOS
Existen ángulos que tienen ciertas características y de acuerdo a éstas se han clasificado. A continuación hay
una tabla que indica el nombre que se ha asignado a un ángulo de acuerdo a su medida.
En el siguiente reloj son las 3:00. Si observamos el ángulo del minutero con respecto al eje coordenado, es 90°. Por otro lado, el ángulo entre la manecilla de la hora y el eje es 0°. Si sumamos los ángulos de las dos manecillas obtenemos que 90° + 0° = 90°. Cuando tenemos este resultado se dice que los ángulos son complementarios.
Otro ejemplo de ángulos complementarios será si < a = 46° y < b = 44°, y como < a + < b = 90°, por lo tanto, los ángulos complementarios suman 90°.
Ahora observemos el reloj que marca las 10:45. El ángulo positivo formado entre la manecilla de la hora y el eje es de 121.5°, y el ángulo formado entre las dos manecillas es 58.5°. Al sumar los dos ángulos, tenemos que 121.5°+58.5° = 180°. Este resultado es conocido como ángulos suplementarios.
Siempre que la suma de dos ángulos sea 180° diremos que los ángulos son suplementarios. Por ejemplo, si:
Triángulos
La Geometría es muy importante; justamente una de sus aplicaciones es el diseño de objetos. Por eso es interesante conocer las características de algunas figuras geométricas. Por ejemplo, un triángulo es una figura plana que tiene 3 lados, 3 vértices que son la intersección de sus lados y 3 ángulos que son la abertura entre sus lados.
De acuerdo a los componentes de un triángulo, se pueden clasificar de dos maneras:
Rectas notables en el triángulo
Existen 4 rectas importantes que son trascendentales en las construcciones de triángulos.
Ángulos interiores y exteriores
Patricia está remodelando su casa y le encanta modificar; cambiar la distribución, pintar los muros y hacer
otros arreglos. Ahora quiere diseñar una lámpara que colocará en la recámara. La idea es que cuando la
prenda no le lastime la luz. Para esto piensa colocar una base en forma de triángulo invertido, de manera
que los lados del triángulo retengan la luz del foco, más o menos como se muestra en la figura.
Según ella, el triángulo debe ser isósceles, y si los ángulos que son iguales miden 56°, entonces obtendrá la cantidad de luz que ella necesita para su cuarto.
La cuestión es que ella no sabe bien cuánto debe medir el otro ángulo para lograr que la lámpara quede a su gusto.Podrías ayudar a Patricia y decirle ¿cuánto mide el ángulo de la base del foco?
68°
Juan pertenece a un grupo de Boy Scouts, y el próximo mes saldrán de campamento al Popocatépetl. Los
integrantes del grupo deben presentar una serie de pruebas para pertenecer al mismo. Una de las
principales pruebas es que los chicos sepan armar una casa de campaña. Juan tendrá que presentar esta
prueba en el siguiente campamento, así que ahora se encuentra practicando en el patio de su casa.
Juan sabe que debe colocar las estacas a una misma distancia de ambos lados, y los cordones deben tener
suficiente tensión, de manera que parezca una línea sobre el piso como se muestra en la figura.
Cuando hablamos de la clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos, dijimos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, es decir, de 90°. También dijimos que los lados que forman el ángulo de 90° son llamados catetos y el lado del triángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por ejemplo, la figura que se forma al colocar una escalera sobre una pared.
Ángulos interiores y exteriores
Fíjate en el Teorema de Pitágoras. Los valores de los lados del triángulo están elevados al cuadrado, esto significa que lo podemos relacionar con áreas, de manera que si construimos cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo, obtenemos la siguiente figura.
Observa que el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa es el cuadrado con mayor área. Esto es
porque de los 3 lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es el lado más largo.
Además, el teorema dice que la suma de las áreas de los cuadrados que se construyeron sobre los catetos es
igual al área que se construyó sobre la hipotenusa.
Para observar el Teorema de Pitágoras de forma geométrica utilizaremos un ejemplo clásico, en el cual los
catetos miden 3 y 4 respectivamente. De manera que analíticamente tenemos lo siguiente:
Pero como estamos midiendo longitud, y una longitud no puede ser negativa, el único resultado es h=5.
Ahora, trazaremos el triángulo con la medida de los catetos que ya indicamos y trazaremos un cuadrado
sobre cada uno de los lados del triángulo. Además trazaremos cuadrículas de 1cm2, para hacer los cálculos.
Como cada uno de los cuadros internos tiene área de 1cm2, sólo tenemos que contar el número de cuadritos
internos para determinar el área de cada cuadrado.
Por ejemplo:
Tiene un área de 9 unidades cuadradas.
Los cuadrados tienen 9, 16 y 25 cuadrados internos respectivamente. Si lo que queríamos era observar si es cierto que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa, entonces sumaremos las áreas de los dos cuadrados, de manera que 9+16 = 25. Efectivamente, la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área sobre la hipotenusa, y esto se cumple para cualquier figura regular que se trace sobre los lados del triángulo.
Vamos a recapitular: el teorema de Pitágoras nos indica que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (o sea, del lado opuesto al ángulo recto):
Esta relación es muy útil para muchísimos problemas de la vida cotidiana. Haz una estrategia mental para recordar la información del recuadro anterior. Asegúrate en este momento que entiendes y vas a recordar durante mucho tiempo (¡toda la vida!) el teorema de Pitágoras.
Se desea diseñar una resbaladilla. Las características de la resbaladilla se muestran en la siguiente figura, a la que sólo le faltan algunos datos. Usando la figura encuentra los valores del ángulo α debajo de la escalera, la longitud de la escalera (y) y la longitud de la resbaladilla (x). Favor de escribir los resultados con 2 decimales.
Semejanza de triángulos
Una maqueta es la reproducción física "a escala", es decir en tamaño reducido, de algo real o ficticio. La
maqueta no solamente puede ser "a escala", sino que también representa la simulación de cualquier cosa en
otro material (por ejemplo la maqueta de un teléfono celular hecho en cartón), sin el acabado ni la apariencia
real.
Por ejemplo, la siguiente imagen representa una maqueta de una iglesia:
La maqueta tiene una escala de 1:100, lo que significa que cada uno de los elementos que conforman la
iglesia serán 100 veces más grandes en la realidad. Por ejemplo, si la puerta de entrada tendrá 3.3m2, la
maqueta debe tener una puerta con área igual 0.033m2 o 3.3cm2.
Un error grave con las áreas a escala, si la escala es de 1:100, las longitudes del objeto real son 100 veces
mayores a las del objeto a escala, PERO, las áreas del objeto real son¡10,000 veces más
grandes! Supongamos una puerta de base b y altura a en la maqueta. Como cada una de esas longitudes
es cien veces más grande en el objeto real, su área es (100 a)(100 b) = 10, 000(ab).
Una empresa constructora compró un terreno para crear un conjunto habitacional, y dentro del proyecto
habrá un parque. Con la intención de realizar una exposición del proyecto y vender las casas, construirán
una maqueta del complejo habitacional. La escala de la maqueta será 1:150, o sea que cada casa que se
encuentre en la maqueta será 150 veces más grande.
En el diseño del parque colocaron la representación de un columpio. De acuerdo a las medidas de la
maqueta, ¿cuáles son las medidas del columpio real? (la unidad de medida es en centímetros). Indica las
respuestas en centímetros.
En un poblado de Hidalgo hay un río. A un costado del río hay una marca que han puesto unos urbanistas para indicar la distancia que deben considerar las personas que van a acampar, ya que por las noches crece el río y pueden estar en peligro. De acuerdo a la información de los urbanistas, la marca que ellos colocaron está relacionada con el ancho del río. Con esta información podemos hacer unos trazos que nos permitan conocer la distancia del río. Si bien las orillas de río no son exactamente lineales, bien podríamos aproximarnos a la medida del ancho del río (la unidad de medida de las longitudes es metro).
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales. Fíjate en el ángulo que se encuentra en los vértices A y E. Ambos son perpendiculares a la orilla del río, lo que
significa que los dos miden 90°. En el punto C se forman 4 ángulos. Podemos decir que < DCE = < ACB, porque son ángulos opuestos por el vértice. Si tenemos dos triángulos con dos ángulos
iguales significa que el ángulo restante también es igual. Podemos expresar esta información de la siguiente manera:
Si los ángulos de dos triángulos son iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Para
indicar semejanza utilizaremos el siguiente símbolo ~.
Los lados correspondientes son:
AB~DE BC~DC AC~EC
Con esta información, ayúdanos a conocer el ancho del río, es decir, la longitud de AB.
Polígonos
Miguel quiere vender un terreno en Tulancingo, Hidalgo. Consiguió una persona que le ayudará a valuar el
terreno. De acuerdo a la ubicación del terreno le informaron que el metro cuadrado costaba 920 pesos. El
problema ahora es que Miguel no sabe cómo medir el área del terreno. Lo único que conoce son las
dimensiones de los lados. Ayudemos a Miguel a calcular el área e indicarle el costo total del terreno (las
medidas están en metros)
La forma del terreno de Miguel se conoce como polígono. La palabra polígono se deriva del prefijo Poli que significa muchos, y gonos que es ángulo, y por lo tanto la palabra en su conjunto polígonos es muchos ángulos.
Un polígono es una figura plana cerrada, es decir, el punto donde inicia es el mismo punto donde
termina. Existen dos tipos de polígonos:
Irregulares: Son aquellos que tienen sus lados desiguales.
Regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados iguales.Los polígonos se clasifican de acuerdo al número de lados. Existen algunos que tienen nombres particulares, sin embargo, un polígono tiene al menos 3 lados. A continuación hay una tabla con nombres de algunos de ellos.
¿Alguna vez has observado un balón de futbol? En realidad es una esfera, pero dicha esfera es
asombrosamente un conjunto de polígonos, como se observa en la figura.
Resulta que para lograr la curvatura del balón se unieron 5 hexágonos a cada lado de un pentágono. Un
balón profesional tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, o sea 32 gajos en forma de polígonos.
Si nos interesa conocer el área de un balón de futbol, podríamos realizar un corte en las costuras e intentar
extenderlo.Supongamos que la longitud de los lados de los polígonos es de 4cm (cada uno de los lados del
héxagono y del pentágono son de 4cm).
Para calcular la superficie del balón de futbol, necesitamos conocer el área de cada pentágono y hexágono.
El área de cada polígono se puede obtener calculando el perímetro por laapotema entre 2. Como sabemos,
el perímetro es la suma de las longitudes de sus lados y la apotema es la distancia del centro del polígono al
punto medio de uno de sus lados.
Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia. Es decir, se puede trazar una circunferencia
que pase por los vértices de un polígono, lo que implica que el centro de la circunferencia es el centro del
polígono.
Como habíamos mencionado anteriormente, la palabra polígono significa “muchos ángulos”. Los polígonos
regulares tienen lados iguales, pero también ángulos iguales.
Determina la medida del ángulo de cada polígono.
De acuerdo al número de lados, hay una relación con el número de triángulos que obtenemos. Fíjate: si el
número de lados es 5, obtenemos 3 triángulos. Hay dos números de diferencia. Cuando el número de lados
es 6, trazamos 4 triángulos; nuevamente dos números de diferencia. Finalmente, cuando teníamos 7 lados se
obtuvieron 5 triángulos; otra vez dos números de diferencia.
Podemos escribir esta regularidad por medio de una expresión algebraica. Si decimos que n es el número de
lados de un polígono, entonces n-2 será el número de triángulos que se forman dentro del polígono.
Ángulo de un polígono regular de n lados = 180 (n-2)/n
¿Alguna vez has desayunado chocolate caliente en la mañana o lo has tomado en la noche cuando hace frío?
Tal vez lo has tomado frío, también es rico. Te parece conocida una caja amarilla que contiene barras de
chocolate. Fíjate que estamos creando un empaque similar al de la caja de chocolates con las siguientes
dimensiones: altura 10.5, longitud de los lados de la base es de 4.5 cm, el volumen de la caja es de 550 cm3.
Ayúdanos a encontrar el área de caja para saber cuánto cartón utilizaremos en la construcción de la caja.
Podemos pensar en la caja abierta sin pestañas.
El volumen es igual al área de la base por la altura, es decir, si A es el área de la base y h la altura de la caja
escribimos:
V=Ah
Además sabemos que el volumen de la caja es de 550 cm3, y la altura es de 10.5 cm. Así que:
V=Ah=550
A(10.5)=550
Despejamos el área de la base y tenemos que:
A=550/10.5=52.38
Por otro lado sabemos que la base es un hexágono, así que el área se calcula perímetro (P) por apotema (a)
entre 2, de manera que:
A=Pa/2 El perímetro es igual al número de lados por la longitud de sus lados, entonces:
P=6(4.5)=27cm
De la fórmula de área despejamos la apotema a=2a/P = 3.88
Circunferencia y círculo
Creemos que uno de los postres que le gusta a la mayoría de la gente es el pastel. Hay de todo tipo de
sabores, colores, formas, e incluso hay algunos que tienen formas de personajes de caricaturas. En fin, hacer
un pastel es todo un arte. Pero definitivamente también es un arte saber cortar un pastel. Resulta que
muchas veces es muy complicado medir o calcular la cantidad de cortes (tanto el tamaño como en modo), en
función de la concurrencia. Hay gente muy hábil para hacer cálculos, como dicen por ahí, “a ojo de buen
cubero”. Además, las figuras de circunferencia son todavía más complicadas de cortar.
Por eso hoy haremos algunos cortes de un pastel en forma circular, aprovechando que conocemos algunas
propiedades de la circunferencia. ¿Te parece bien?
Representaremos el pastel como una circunferencia y haremos algunos cortes. Como el pastel es de
chocolate lo representaremos de color café. Los que saben dicen que la clave está en realizar cortes que
pasen por el centro, ya que esto propiciaría lados iguales. Hay dos trazos que pasan por el centro de una
circunferencia. Uno es el radio, que va del centro a cualquier punto de la circunferencia. El otro es el
diámetro, que une dos puntos sobre la circunferencia y además pasa por el centro. El diámetro es el
segmento de mayor longitud que se puede trazar sobre una circunferencia, y su longitud es igual a dos veces
el radio. Si haces dos cortes en forma de radio y te comes esa rebanada, entonces lo que te comiste se
conoce como sector, que es una parte de un círculo comprendida entre dos radios.
Si haces cortes que no pasan por el centro de una circunferencia, entonces lo que estas haciendo es trazar
una cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos que se encuentran sobre la circunferencia y qué
no pasa por el centro; además su longitud siempre es menor al diámetro.
El área de una circunferencia está determinada por la fórmula A = πr². A es el área de la circunferencia,π es
un número irracional y se puede aproximar a 3.141593, se le llama pi (π). A veces se utilizan más o menos
decimales, según el uso, pero si utilizas los cuatro primeros decimales ya tendrás una buena aproximación.
Por último, r representa el radio de la circunferencia.
La circunferencia es una de las figuras más usadas en la geometría, ¿te acuerdas cuando te invitamos a
observar a tu alrededor las cosas que tienen figuras geométricas?; seguramente encontraste algunas
circunferencias. Quizá alguna vez has oído hablar del Yin Yang, ¿lo conoces? Esta figura está diseñada con
circunferencias, hablemos un poco más de esto…
La dualidad Yin Yang es quizá el tema de la filosofía china más difundido en occidente. El principio Yin Yang
simboliza la unidad del universo constituido por los aspectos Yin (negro) y Yang (blanco) inseparables en
toda manifestación de la totalidad. Dentro de la mitad de cada color hay un círculo menor del color opuesto
en posición central, indicativo de que cada uno de los dos aspectos, en el punto culminante de su despliegue,
lleva en germen a su opuesto polar para operar su transmutación.
El símbolo se encuentra trazado sobre una circunferencia de radio10cm. La circunferencia más pequeña
tiene radio de 1cm.
Hacer uso de otras figuras geométricas para encontrar características o propiedades de una figura
geométrica en particular, es una práctica común en geometría. Si te fijaste en el diseño del Yin Yang, se
requirió utilizar otras circunferencias que tuvieran diámetro igual a la longitud del radio de la circunferencia
inicial. Aunque parezca extraño la circunferencia también tiene ángulos, para encontrarlos necesitamos
trazar algunos segmentos como veremos a continuación.
En una circunferencia se determinan dos ángulos a saber: a) Ángulo central- es el doble del ángulo inscrito
ya que tiene por lados dos radios y su vértice es la intersección de esos radios, es decir, su vértice es el
centro de la circunferencia; b) Ángulo inscrito- es el que se forma al intersecar dos cuerdas sobre la
circunferencia. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central comparten un mismo arco, es decir que los
lados de los ángulos coinciden en un punto sobre la circunferencia, el ángulo central es el doble.
Alberto y Germán jugaban futbol en la calle donde viven, cuando de repente golpearon el balón tan fuerte
que rompieron el vidrio de una ventana. Como te podrás imaginar después de la regañada que les dieron,
ahora deben pagar el vidrio, aunque tienen problemas para calcular el área de la ventana. La ventana tiene
forma de cuadrado y en la parte superior hay una media circunferencia. ¿Podrías ayudarles? Lo único que
saben es que la ventana tiene un ancho de 2 metros (escribe la respuesta con 2 decimales).
Hasta ahora hemos hablado de las propiedades de varias figuras geométricas. Seguramente ya conocías
algunas y las volviste a repasar, o quizá aquí las descubriste, lo importante es que las tengas presentes
porque la Geometría no es sólo para las Matemáticas, también es utilizada como herramienta para explicar
algunos fenómenos en la vida cotidiana, como lo verás en algunas materias más adelante.