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Funções logarítmicas
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Funções logarítmicas
De modo geral, se a é uma constante real (a > 0
e a ≠ 1), chamamos de função logaritmo de base
a a função definida por:
y = f(x) = loga x
É claro que x > 0.
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Exemplos
y = log5 x → é a função logaritmo de base 5
y = log x → é a função logaritmo de base 10
y = log1/2 x → é a função logaritmo de base 1/2
O gráfico de uma função logarítmica é uma curva chamada de curva logarítmica.
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x
y
0
–1
1
2
1 2 4
–2
Traçar o gráfico da função logaritmo de base 2,
definida por y = f(x) = log2 x.
Exemplos
24
12
01
–11/2
–21/4
y = log2 xx
D = R+* e Im = R
→ função é crescente
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x
y
0
–1
1
2
1 2 4
–2
Traçar o gráfico da função logaritmo de base
1/2, definida por y = f(x) = log1/2 x.
Exemplos
–24
–12
01
11/2
21/4
y = log1/2 xx
D = R+* e Im = R
→ função é decrescente
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Funções logaritmos - Resumo
Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função
logaritmo y = loga x (a > 0 e a ≠ 1):
O domínio é os Reais positivos (x > 0);
O conjunto imagem é os Reais;
Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.
Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.
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Veja os gráficos abaixo
x
y
01
D = R+* e Im = R
y = log2 x
y = log1/2 x
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Propriedades dafunção logaritmo
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Propriedades operatórias
A função logaritmo y = loga x é sempre crescente ou
sempre decrescente. Isso significa que logaritmos numa mesma base só são iguais para logaritmandos iguais.
loga m = loga n ⇔ m = n
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Exemplos
log3 x = log3 5 ⇔ x = 5
log (3x – 1) = log 2x ⇔ 3x – 1 = 2x ⇒ x = 1
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Observação
A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser interpretada no sentido inverso. Se dois números são iguais, então seus logaritmos numa mesma base são iguais.
m = n ⇒ loga m = loga n
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Exemplos
Resolver a equação exponencial 4x = 3x+1, a partir dos valores log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
4x = 3x+1 ⇒ log 4x = log 3x+1
⇒ x.log 4 = (x + 1).log 3
⇒ x.(2.log 2) = (x + 1).log 3
⇒ x.(2.0,301) = (x + 1).0,477
⇒ 0,602.x = 0,477.x + 0,477
⇒ 0,125.x = 0,477 ⇒ x = 3,816
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loga m > longa n ⇔ m > n
Propriedades operatórias
A função logaritmo y = loga x é crescente em
todo o seu domínio, se a > 1.
Mesmo sentido
Quanto maior o valor de x maior é o valor de loga x.
x
y
0
loga n
loga m
n m
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loga m < loga n ⇔ m > n
Propriedades operatórias
A função logaritmo y = loga x é decrescente em
todo o seu domínio, se 0 < a < 1.
Quanto maior o valor de x menor é o valor de loga x.
Sentidos contrários
x
y
0
loga n
n m
loga m
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Exemplos
log x < log 3 ⇒ x < 3
log2/5 (x – 3) < log2/5 4 ⇒ x – 3 > 4
base > 1, sinal mantido
0 < a < 1, sinal invertido
⇒ x > 7
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Equações e inequações logarítmicas
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Equações e inequações logarítmicas
Em certas equações e inequações que envolvem logaritmo, a variável aparece no logaritmando.
A resolução de uma equação e uma inequação logarítmica se baseia nas propriedades abaixo.
loga m = loga n ⇔ m = nP1.
P2. loga m > loga n ⇔ m > n
P3. loga m < loga n ⇔ m > n
(a > 1)
(0 < a < 1)
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Exemplos
Resolver a equação 2 log2 x = 1 + log2 (x + 12).
Condição de existênciax > 0
x + 12 > 0⇒ x > 0
2 log2 x = log2 2 + log2 (x + 12)
⇒ log2 x2 = log2 2(x + 12) ⇒ log2 x2 = log2 (2x + 24)
⇒ x2 = 2x + 24 ⇒ x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x’ = –4 ou x” = 6 S = {6}.
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5 – x > 0
Exemplos
Resolver a inequação log (x – 1) ≥ log (5 – x).
Condição de existênciax – 1 > 0
⇒x > 1
x < 5
1 < x < 5 (1)
log (x – 1) ≥ log (5 – x) ⇒ x – 1 ≥ 5 – x
⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3 (2)
Fazendo a interseção das condições, (1) e (2), temos
S = 3 ≤ x < 5.
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Exemplos
Obter o domínio da função definida por
y =1
√log1/3 x + 2
O radicando deve ser maior que zero, logo
log1/3 x + 2 > 0 ⇒ log1/3 x > –2
⇒ log1/3 x > log1/3 9 ⇒ x < 9
S = {0 < x < 9}.
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Aplicando logaritmosem problemas de crescimento e decrescimento
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Aplicação dos logaritmos
As funções exponenciais aparecem nas
situações em que uma variável cresce ou
decresce com o tempo, segundo uma taxa fixa.
Nesses casos, os logaritmos são muito úteis
quando se pretende descobrir o tempo
necessário para que aquela variável atinja
determinado valor.
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Exemplos
Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros?
M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000.(1,05)t
⇒ 1,05t = 1,5 ⇒ log 1,05t = log 1,5
⇒ t . log 1,05 = log 1,5
⇒ t = log 1,5
log 1,05⇒ t =
0,1761
0,0210⇒ t = 8,39
⇒ t ≈ 9 meses
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Exemplos
Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? Dados: log 3 = 0,477,
log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845.
Chegamos à equação: t.log 1,05 = log 1,5
⇒ t = log 1,5
log 1,05
log 1,5 =log (15/10) = log 15 – log 10log 1,5 = log 3 + log 5 – log 10log 1,5 = 0,477 + 0,699 – 1 = 0,176
log 1,05 =log (105/100) = log 105 – log 100log 1,05 = log 3 + log 5 + log 7 – log 100 log 1,05 = 0,477 + 0,699 + 0,845 – 2 = 0,021
⇒ t = 8,39= 0,176
0,021
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Exemplos
Um determinado automóvel desvaloriza-se segundo uma taxa composta, equivalente a 5% ao ano. Daqui a quanto tempo ele valerá 80% do que vale hoje?
M = C.(1 + i)t ⇒ 0,8V0 = V0.(0,95)t
⇒ 0,95t = 0,8 ⇒ log 0,95t = log 0,8
⇒ t . log 0,95 = log 0,8
⇒ t = log 0,8
log 0,95⇒ t =
–0,0969
–0,0223⇒ t = 4,35
⇒ t ≈ 4 anos e 4 meses