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Aula 13
Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas
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Derivação Implícita
As funções encontradas até agora podem
ser descritas expressando-se uma variável
em termos de outra.
Por exemplo:
ou
Em geral,
seny x x
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Função Implícita
Algumas funções, entretanto, são definidasimplicitamente por uma relação entre ePor exemplo,
ou
Obs.: Em alguns casos é possível resolvertais equações isolando como uma função
explícita de
x .y
y.x
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Exemplo
Logo, duas funções determinadas pelaequação implícita são
e
Os gráficos de e podem ser visto a seguir
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Exemplo
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Observação
Não é fácil resolver a equaçãoe escrever como uma função de à mão.Para um sistema de computação algébricanão há problema, mas as expressõesobtidas são muito complicadas. Nãoobstante, a expressão acima é a equação dacurva chamada fólio de Descartes.
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O fólio de Descartes.
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Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes
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Derivação Implícita
O método de derivação implícita consiste
em derivar ambos os lados da equação em
relação a e então isolar na equação
resultante.
x
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Exemplo 1
(a) Se encontre
(b) Encontre uma equação da tangente aocírculo no ponto
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Solução
(a)
Note que
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Solução
Assim,
Agora, isolando obtemos:
(b) No ponto temos .
Logo uma equação da reta tangente aocírculo no ponto é, portanto ou
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Exemplo 2
(a) Encontre se
(b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto
(c) Em quais pontos do primeiro quadrantea reta tangente é horizontal?
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Solução
Derivando ambos os lados deem relação a obtemos
Ou
Isolando obtemos:
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Solução
(b) Quando
Reta tangente
ou
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Solução
(c) A reta tangente é horizontal se quando desde que .Substituindo na equação da curva,obtemos
Como no 1º. quadrante, temos:
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Solução
Se entãoAssim, a tangente é horizontal emque é aproximadamente
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Exemplo 3
Encontre seSolução: derivando implicitamente emrelação a obtemos
Portanto,
2sen( ) cos .x y y x
2cos( ) (1 ) ( sen ) (cos )(2 )x y y y x x yy
2 sen cos( )
2 cos cos( )
y x x yy
y x x y
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Exemplo 4
Encontre seSolução: derivando implicitamente emrelação a obtemos
Derivando usando a Regra cadeia esubstituindo a expressãoobteremos
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
A função inversa da função seno é definidapor
Derivando implicitamente emrelação a obtemos
ou
1sen sen ,2 2
y x y x y
sen y xx
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Derivada da função arco seno
Note que uma vez quelogo:
Portanto,
Logo,
2 2cos 1 sen 1y y x
1
2
1(sen ) ,
1
dx
dx x
/ 2 / 2y cos 0,y
1 1x
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Derivada da função arco tangente
derivando essa última equaçãoimplicitamente em relação a temos
Portanto,
1tg tg ,y x y x
x
2 2 2
1 1 1
sec 1 tg 1
dy
dx y y x
1
2
1(tg )
1
dx
dx x
/ 2 / 2y
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Exemplo 5
Derive (a) (b)
Solução:
(a)
1
1
seny
x ( ) arctgf x x x
1 1 1 2 1
1 2 2
(sen ) (sen ) (sen )
1
(sen ) 1
dy d dx x x
dx dx dx
x x
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Exemplo 5
(b)
Solução
( ) arctgf x x x
1/2
2
1 1( ) arctg
21
arctg2(1 )
f x x x xx
xx
x
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1(sen ) (cossec )
1 11 1
(cos ) (sec )1 1
1 1(tg ) (cotg )
1 1
d dx x
dx dxx x xd d
x xdx dxx x xd d
x xdx x dx x
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Derivadas de Funções Trigonométricas
Seja Então . Derivandoessa equação implicitamente em relação a obtemos
e assim
x
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Derivadas de Funções Trigonométricas
Se pusermos na fórmula anteriorobteremos
onde
e
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Exemplo 1
Derive
Solução:
Fazendo logo
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Fórmula geral
ou
onde e ln ( )y g x ( ).u g x
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Exemplo 2
Encontre
Solução:
ln(sen ).d
xdx
1 1ln(sen ) (sen ) cos cotg
sen sen
d dx x x x
dx x dx x
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Exemplo 3
Derive
Solução:
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Exemplo 4
Derive
Solução:
10
1( ) log (2 sen ) (2 sen )
(2 sen )ln10
cos
(2 sen )ln10
d df x x x
dx x dx
x
x
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Exemplo 5
Encontre
Solução:
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Exemplo 5
Solução 2
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Exemplo 6
Encontre seSolução:
Portanto
para todo
1se 0ln se 0
( ) ( )ln( ) se 0 1 1
( 1) se 0
xx x xf x f xx x
xx x
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Derivação Logarítmica
Os cálculos de derivadas de funçõescomplicadas envolvendo produtos,quocientes ou potências podem muitasvezes ser simplificados tomando-se oslogaritmos. Esse método é chamadoDerivação Logarítmica.
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Exemplo 7
Derive
Solução:
Derivando implicitamente em relação a obtemos
x
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Exemplo 7
Isolando obtemos
e usando a expressão explícita para temos
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Passos na derivação logarítmica
1. Tome o logaritmo natural em ambos oslados de uma equação e use aspropriedades dos logaritmos parasimplificar.
2. Derive implicitamente em relação a .
3. Isole na equação resultante.
x
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Regra da Potência
Se for qualquer número real eentão Vejamos: seja
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Caso de derivação para os expoentes e bases
1. ( e são constantes)
2.
3.
4. Para encontrar a derivação logarítmica pode ser usada, como no exemplo a seguir.
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Exemplo 8
DeriveSolução:
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Exemplo 8
Solução 2: Outro método é escrever
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Obrigado !