prof. boyan bonev ivanov, ph.d. email: [email protected] institute of chemical engineering-bas

Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D.

Email: [email protected]

Institute of Chemical Engineering-BAS

Приложно математично програмиране

ЛЕКЦИЯ 7

Методи за булева и дискретна оптимизация

mailto:[email protected]

Лекции

Лекция 1 Въведение в математичното програмиране

Лекция 2 Линейно програмиране

Лекция 3 Оптимизация при целеви функции с един управляващ

параметър

Лекция 4 Нелинейно програмиране – Градиентни методи

Лекция 5 Нелинейно програмиране – Директни методи

Лекция 6 Нелинейно програмиране – Методи с ограничения

Лекция 7 Методи за булева и дискретна оптимизация

Лекция 8 Методи за глобална оптимизация

Лекция 9 Методи за многоцелева оптимизация

1. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи 1.1. Линейни целочислени задачи 1.2. Линейни задачи с булеви променливи 1.3. Линейни задачи със смесен тип променливи 1.4. Нелинейни задачи със смесен тип променливи

2. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи 2.1. Метод на локалното търсене 2.2. Метод на случайното търсене 2.3. Симплексен метод

3. Метод на “Разклоненията и границите”

План на лекцията

Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи

Линейни целочислени задачи – обща постановка

Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Subject to (s.t.)

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b2

…am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm

x1 0, x2 0, …, xn 0

x1 0, x2 0, …, xn 0 - и целочислени

5

Пример на задача LIP

Max Z = 33x1 + 12x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x1, x2 0 и целочислени

2 x11

x2

1

2

3

Оптимално LP решение

x1 = 8/3x2 = 4/3

ZLP* = 104

НЕвъзможно,субоптимално

Приблизително LP решение

x1 = 2x2 = 1

ZRLP* = 78 Възможно,НЕ оптимално

Оптимално LIP решение

x1 = 2x2 = 3

ZIP* = 102Възможно иоптимално


Линейни задачи с булеви променливи – обща постановка


Subject to (s.t.)



x1 0, x2 0, …, xn 0

x1 0, x2 0, …, xn 0 - и булеви

7


Max Z = 33x1 + 12x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x1, x2 0 и булеви

2 x11

x2

1

2

3


x1 = 8/3x2 = 4/3

ZLP* = 104


x1 = 1x2 = 0

ZRLP* = 33


x1 = 1x2 = 1

ZIP* = 45


Линейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка


Subject to (s.t.)



x1 0, x2 0, …, xn 0

INTIGERi XX

BINARYJ XX

CONTINUEK XX

9


Max Z = 33x1 + 12x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x1, 0 и двоично x2 0 и целочислено

2 x11

x2

1

2

3


x1 = 8/3x2 = 4/3

ZLP* = 104


x1 = 1x2 = 1

ZRLP* = 45


x1 = 1x2 = 2

ZIP* = 57


Нелинейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка

Целева функция -нелинейна;

Вектор на независимите променливи

Областни ограничения - нелинейни;

Целева функция

Допустима област

Функционални ограничения- нелинейни;

INTIGERi Xx

BINARYJ Xx

CONTINUEK Xx

11

Пример на задача MINLP

Max Z = x1x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x10 и двоично x20 и целочислено

2 x11

x2

1

2

3

Оптимално NLP решение

x1 = 2.1x2 = 3.2

ZLP* = 6.75

Оптимално MINLP решение

x1 = 1x2 = 2

ZIP* = 2

12

Пример на задача MINLP

Max Z = x1x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x10 и целочислено x20 и непрекъснато

2 x11

x2

1

2

3


x1 = 2.1x2 = 3.2

ZNLP* = 6.75


x1 = 2x2 = 3

ZNLP* = 6

Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи

Метод на локалното търсене

Алгоритъм на метода

1. Избира се начална дискретна точка в допустимото пространство

2. Прави се сканиране в областта около началната точка и се изчислява Ц.Ф. За точките в допустимото пространство

3. Дискретната точка с най-добър резултат се приема за начална и алгоритъма се повтаря в т.2

4. Критерия за спиране на търсенето е достигане на точка, от която не може да се намери по-добър резултат


Метод на локалното търсене - графическа интерпретация

Max Z = x1x2

s.t.–x1 + 2x2 45x1 + 2x2 162x1 – x2 4

x10 , x20 и целочислени

2 x11

x2

1

2

3


x1 = 2x2 = 3

ZIP* = 6


x1 = 2.1x2 = 3.2

ZNLP* = 6.75


Метод на случайното търсене

Алгоритъм на метода:

1. От зададена начална дискретна точка в допустимото пространство се изпълнява случайно търсене като променливите се приемат за непрекъснати

2. С прекратяване на търсенето координатите на най-добрата точка се трансформират в най-близката дискретна точка 5.0** i

di xENTIERx

3. Около трансформираната дискретна точка се извършва сканиране по близките дискретни точки. Точката с най-добър резултат се приема за решение на задачата


Метод на случайното търсене-графическа интерпретация

x1

x2

x1min x1max

x2min

x2max

17

x1

x2


Симплексен метод - графическа интерпретация

Solving Integer Programs

21

IP Branch and Bound

• Successively solve relaxed IP problems

• Determine upper and lower bounds for relaxed problems

• Eliminate branches that exceed bounds

• When only one “node” remains, optimal solution has been found

22

B&B Formulation

Max Z = 1,000x1 + 1,500x2

s.t.80,000x1 + 40,000x2 400,00015x1 + 30x2 200x1, x2 0 and integer

Optimal IP Solutionx1 = 1x2 = 6

ZIP* = 10,000

Relaxed LP Solutionx1 = 2.22x2 = 5.56

ZLP* = 10,557

Rounded LP Solutionx1 = 2x2 = 5

ZRLP* = 9,500

23

110,055 (2.22, 5.56)

9,500 (2, 5)

7InfeasibleFathomed

510,033 (1.33, 6)

10,000 (1,6)

210,000 (2.5, 5)

9,500 (2, 5)

610,026 (1, 6.17)

10,000 (1,6)

9InfeasibleFathomed

810,000 (1,6)Fathomed

x2 6x2 5

x1 1

x2 6

x1 2

x2 7

B&B Solution

x1 3x1 2

39,500 (2, 5)Fathomed

49,000 (3, 4)Fathomed

Z*= -

Z*= 9,500

Z*= 10,000

prof. boyan bonev ivanov, ph.d. email: [email protected] institute of chemical engineering-bas

Documents