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Trasformazioni nel piano. Powered by FlashBox. Trasformazioni nel piano. Trasformazioni LINEARI. INVERSioni CIRCOLARI. Omotetie. Affinità. Dilatazioni. Compressioni. Similitudini. Inclinazioni. Isometrie. Traslazioni. Simmetrie. Rotazioni. Centrali. Assiali. Affinità. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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TRASFORMAZIONI NEL PIANO
TRASFORMAZIONI NEL PIANOTRASFORMAZIONI
LINEARIINVERSIONI CIRCOLARI
AffinitàDilatazioni Compressioni InclinazioniSimilitudini
Omotetie Isometrie
Traslazioni RotazioniSimmetrie
Centrali Assiali
AffinitàSi definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.
può allora essere scritta nella forma matriciale
x’ = Ax + u , in cui u = , è il vettore dell’affinità e
A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è
diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice)
x’ = ax + by + py’ = cx + dy + q
a bc d
Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo
biunivoco il vettore . L’affinità T di equazioni:
TeoremaData una trasformazione di matrice A e una superficie del piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’ e S è pari al modulo del det A.
DefinizioneSi definisce elemento unito un elemento che corrisponde a se stesso nella trasformazione.
Dilatazioni e CompressioniSi definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità:
x’ = kxy’ = hy
k 00 hdi matrice: det A = kh
k ≠ 0h ≠ 0
00e vettore:
con:
1 00 3di matrice: det A = 3
x’ = xy’ = 3y
1 00 ⅓di matrice: det A = ⅓
x’ = xy’ = ⅓y
Dilatazione
Compressione
Inclinazioni
x’ = x + k yy’ = y
1 k0 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale.
Inclinazioni
x’ = xy’ = kx + y
1 0k 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale.
ESERCIZIO
La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di
vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli-
cando successivamente l’inclinazione di matrice
si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area.
1 20 1
2 00 1
SimilitudiniLa similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti.
Cioè, dati i segmenti AB e CD:
k è detto rapporto di similitudine.
x’ = ax + by + py’ = - bx + ay + q
La cui matrice associata risulta: a b-b a
det A = a² + b² = k²
Diretta
x’ = ax + by + py’ = bx - ay + q
La cui matrice associata risulta: a bb -a
det A = - a² - b² = - k²
Inversa
a = k cos αb = - k sin α
a = - k cos αb = k sin α
OmotetieSiano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP.
x’ = ax + xC - axC
y’ = ay + yC - ayC
La matrice associata risulta: a 00 a
det A = a²
E il suo vettore:xC – axC
yC - ayC
IsometrieSi definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1).
La più semplice isometria è l’identità:
x’ = xy’ = y
La cui matrice associata risulta:1 00 1 det A = 1
TRASLAZIONESi definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v
Dato il vettore v = (p;q), risulta:
x’ = x + py’ = y + q
La cui matrice associata risulta:1 00 1 det A = 1
E il cui vettore:
1 00 1
Matrice:
¼1
det A = 1
Vettore:
ESERCIZIO
Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1)
B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1)
C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)
9-1
ROTAZIONESiano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ.
x’ = x cos θ – y sin θy’ = x sin θ + y cos θ
La cui matrice associata risulta:cos -sinsin cos det A = 1
0 -11 0 det A = 1
Matrice:
ESERCIZIO
Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0)
B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1)
C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)
SIMMETRIA CENTRALESi definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’
x’ = 2 xC - xy’ = 2 yC - y
La cui matrice associata risulta: -1 0 0 -1
det A = 1
2 xC
2 yC
E il suo vettore:
det A = 1-1 0 0 -1
21
Matrice: Vettore:
ESERCIZIODati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’.
C (½ 8, ½ 4) = (4, 2)
A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4)
B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4)
D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)
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SIMMETRIA ASSIALESi definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’.
Di matrice:
det A = -1e vettore:
Caso particolare: y = k
x’ = xy’ = - y + 2 k
1 0 0 -1det A = -1
Caso degenere: x = k
x’ = - x + 2 ky’ = y
-1 0 0 1
det A = -1
02k
2k0
Caso particolare: y = x
x’ = yy’ = x
0 11 0
det A = -1
00
ESERCIZIODati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0)
B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0)
C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)
Composizionedi trasformazioni
La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2, rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2, è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui vettore è u = A2u1+u2.
T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2 x Applico T1: x’= A1 x + u1 Applico T2: x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2
MATRICE VETTORE
ESERCIZIOTrasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T:
e poi T’: . Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T.x’ = 3xy’ = 2y
x’ = 2xy’ = -y
Trasformazione inversaL’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u.
x’= A x + u Moltiplico per A-1 A-1x’= A-1A x + A-1u A-1A = IA-1x’= I x + A-1u Isolo xx = A-1x’ - A-1u
MATRICE VETTORE
ESERCIZI TRATTIDALL’ESAME DI STATO
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