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Progetto MEMO

PORTFOLIO DELL’INSEGNANTE

Paola Veronesi

Scuola Secondaria di 1° Gr. “G. Marconi”

Largo Carlo Alberto Pucci 45/A - Modena

a.s. 2014/2015

Docenti

Prof. Nicolina A. Malara

Prof. Giancarlo Navarra

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Indice

1. 29.09.2014 (pag. 3)

Carteggio relativo ad un’attività svolta in prima, Microepisodio 1

2. 26.10.2014 (pag. 6)

Microepisodi 2, 3, 4 (tradurre dal linguaggio naturale al matematico e viceversa)

3. 12.11.2014 (pag. 10)

Microepisodio 5

4. 5.12.2015 (pag. 13)

Microepisodio 6

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1. 29.09.2014: Carteggio relativo ad un’attività svolta in prima

1.1. Messaggio dell’I

... Ho provato alcune attività di "conoscenza reciproca" nella mia 1^ media e, se le fosse possibile, mi piacerebbe un suo

parere e un consiglio su come proseguire. Come vedrà nell'allegato non sono sicura della correttezza del mediatore

utilizzato e non vorrei "fare danni" nel proseguire su questa strada.

1.2. Risposta di Navarra (in nero) e contro-risposta dell’I

Slide 2: le frasi in rosso sono proposte dagli alunni e riportate da lei o proposte direttamente da lei? Mi piacerebbe di

più se fosse vera la prima ipotesi.

Le frasi in rosse sono dei ragazzi, nate da un faticoso brainstorming esaminando i titoli dei capitoli del testo di

aritmetica. Probabilmente le mie aspettative erano troppo alte, considerato anche che erano le prime ore di lezione

insieme

Slide 5 (Considerazioni... ): penso che sia un piccolo bilancio fatto per me. Tenga presente che la matematica

dell'incerto o i giochi di logica non appartengono alla didattica tradizionale della scuola primaria. Per il resto non mi

sarei atteso risposte diverse da quelle che le hanno dato i suoi alunni.

Vale quello detto prima: mi aspettavo maggiore vivacità da parte degli alunni, che si lasciassero più coinvolgere da

questa condivisione informale.

Slide (o LIM) 6-10: le matrioske costituiscono l'approccio alla rappresentazione canonica e a quelle non canoniche di

un numero. L'attività è di importanza basilare e ha fatto bene ad affrontarla. Bisognerebbe che ora diventasse pane

quotidiano per le riflessioni sul numero e le sue rappresentazioni. Per quanto concerne la metafora, la Matrioska mi

desta qualche perplessità per il fatto che il numero delle bamboline è finito, e in questo senso è espressiva ma non so

quanto sia efficace. Le metafore dovrebbero avere vita corta e cessare di essere usate appena hanno svolto la loro

funzione di traghetto semantico.

L'idea della matrioska è nata da una sollecitazione dei ragazzi quando ho chiesto se un certo numero potesse essere

rappresentato anche in modo diverso. Ho voluto cogliere questo loro suggerimento che mi sembrava, in quel momento,

una metafora abbastanza adatta ma, come le ho scritto, avevo dei dubbi sulla sua correttezza sia per il numero finito di

bamboline che la formano sia perché temevo che fossero condizionati dal numero di bamboline nella formulazione di

proposte.

Nella 11 (Linguaggio matematico) lei ha proposto le dieci frasi in lingua naturale e che riporta le relative proposte degli

alunni; la scrittura verde indica la traduzione che considerate migliore, ma non so come abbiate valutato le scritture che

lei indica in nero e in rosso. Inoltre: in 'raddoppia il numero 3' ha ricevuto solo la proposta 3×2? Non credo. Quali altre

proposte ha ricevuto? Lo stesso discorso vale per le altre scritture. Come le avete confrontate? 3×2 è la scelta finale

della classe? (nella 10 c'è un refuso nel segno dell'operazione).

L'attività voleva solo avere uno scopo esplorativo anche sui termini, per cui la discussione è stata molto limitata. in

nero le loro proposte iniziali. Alcune nere le ho evidenziate io in rosso per cercare di stimolare una discussione. In verde

quelle che la classe ha ritenuto più giuste.

Nella conclusione della 13 (Moltiplica per 3... ) lei mette tra le virgolette "sbagliato". Le virgolette fanno intuire il suo

pensiero ma non fanno capire cosa sia successo davvero nel corso della discussione: in che senso avete concluso che è

'sbagliata'? È una sfumatura importante che potrebbe portare ad una riflessione collettiva su costrutti come balbettio

algebrico, trasparente / opaco, principio di economia (v. Glossario).

La loro conclusione è stata: " non servono, quindi sono sbagliate" . Guarderò il glossario perchè non ho saputo gestire

oltre questa situazione

La 14 è la sintesi della riflessione su 'successivo': direi che 5×(5+1) è una rappresentazione più aderente alla 'semantica

della situazione' iniziale (fai il prodotto fra 5 e il suo successivo) in cui 5 'viene prima'. Naturalmente vale la

commutatività. Un importante appunto alla consegna: lei non dovrebbe chiedere di 'fare' il prodotto, ma di rappresentare

il prodotto; nel caso del 'fare' prevale in lei (e quindi negli alunni) il punto di vista procedurale dell'operazione, e per

questo sarebbe stato legittimo attendersi un '30'. Le scritture proposte dagli alunni sono RAPPRESENTAZIONI DI

SOMME fra un numero e un prodotto. L'approccio alla lettera, per quello che capisco, è molto brusco. Come ha

introdotto la lettera? Un solo esempio non è sufficiente (ma qui forse non capisco bene perché la sintesi è eccessiva).

Concordo: ho molto da imparare nella formulazione. La sintesi è molto sintesi: la lettera non è stato il secondo esempio

proposto, ma anche in questo caso volevo capire se l'introduzione di una lettera fosse per loro molto disorientante..

4

Slide 15 (la tabella con w): proporrei di usare meno possibile 'esercizio' non tanto in quanto termine, ma per ciò che

presuppone. Un esercizio è generalmente poco significativo e non garantisce che il concetto al quale si riferisce sia stato

fatto proprio dagli alunni. Occorrono situazioni più significative e diluite nel tempo.

Slide 16: le spiegazioni sono tutte procedurali. Bisogna affrontare sian dall'inizio il punto di vista relazionale,

accostando al 'cosa si fa' il 'cos'è?' In questo senso i due esempi si offrono a poche riflessioni. Per esempio: (3+5)×2 è

un prodotto fra una somma e un numero, o 'il doppio della somma'; 3+5×2 è una somma fra un numero e un prodotto, e

così via.

IN CONCLUSIONE:

1) Approfitto della sua mail per cercare un modello di scambio fra voi 'studenti' e noi. Le invio in allegato un facsimile

che ho elaborato sulla base della slide 12 (Riflettiamo... ) mettendolo nella forma di una 'Microsituazione'. Se conosce i

diari commentati del progetto ArAl vedrà che è lo stesso stile La proposta potrebbe quindi essere: gli insegnanti del

corso MEMO trascrivono secondo il format che ho usato io piccoli episodi di classe che ritengono significativi. Noi li

commentiamo inserendo nei commenti i link a costrutti della teoria. Il tutto viene inserito nei rispettivi portfolio. Che ne

pensa?

2) Ritengo molto produttivo che questi materiali con i relativi commenti vengano condivisi. Mi autorizza a girare questo

messaggio anche agli altri colleghi? Naturalmente farei lo stesso anche con loro.

1.3. Metodo di lavoro proposto da Navarra elaborando una delle slide dell’I

Propongo di non scrivere più sintesi di episodi di classe ma di metterli sotto forma di microdiario che possa essere

commentato. Un esempio:

assumerebbe questa veste:

Microepisodio 1.

L’I propone la seguente frase e chiede di tradurla in linguaggio matematico:

Aggiungi a 10 la sua metà

Si trascrivono alla LIM le seguenti frasi:

Aggiungi a 10 la sua metà

10+5 10+10:2

5

La discussione conduce a ritenere la seconda frase più trasparente in quanto esprime il processo attraverso il quale

viene rappresentato il 5 come ‘metà di 10’

I: E se la frase fosse stata: ‘trova il risultato della somma tra 10 e la sua metà’1.

Gli alunni propongono:

(a) 10+5=15

(b) 15

(c) 10+10:2=15

La discussione porta a rilevare che:

in (a) manca però la metà2;

(b) 15 non è la traduzione è il risultato, manca il come lo abbiamo ottenuto3

(c) 10 +10:2=15 è considerato il più corretto.

L’I propone la consegna: Come leggo410+10?

Emergono due proposte:

somma 10 a 10 aggiungi 10 a 105

1 La consegna è costruita in una prospettiva aritmetica. Per costruirne una in una prospettiva prealgebrica non si

chiede di ‘trovare il risultato’ ma di rappresentare la somma fra 10 e la sua metà. 2 Sarebbe stato più corretto dire che manca la rappresentazione della metà di 10, e osservare che la forma non

canonica 10:2 è più trasparente di 5 perché si evidenzia il processo. 3 Suggerisco di non parlare di ‘risultato’ e ‘ottenere’ perché si rimane nell’ambito delle operazioni e si favorisce il

punto di vista procedurale. 4 Suggerisco di introdurre, o comunque favorire, il termine tradurre.

5 Faccio rilevare che compaiono forme procedurali e sarebbe importante individuarne di tipo relazionale come ad

esempio: La somma fra due dieci, La somma fra 10 e 10, Il doppio di dieci.

6

2. 26.10.2014: Tre microepisodi

2.1. Messaggio dell’insegnante

Ho provato a riorganizzare in forma di microdiario alcune attività che sto svolgendo in prima.

La ricostruzione della discussione è parziale perché, pur lavorando alla LIM, non riesco a riportare tutti gli interventi.

Una delle prossime volte provo a registrare gli interventi.

Rispetto ai primi giorni la classe partecipa di più, ma il numero degli interventi rimane limitato e gli alunni che si

propongono sono quasi sempre gli stessi6. Il livello molto basso di gran parte della classe (sia sul piano delle

conoscenze matematiche, sia su quello linguistico) mi pone molti interrogativi: ho l'impressione di non riuscire a

coinvolgerli in quello che stiamo facendo e che molti non "capiscano" le attività proposte7. Ho provato a fare una

piccola esercitazione individuale in classe per verificare il livello di acquisizione di alcuni termini e i risultati sono stati

un po' sconfortanti...

Parallelamente alle attività che ho riportato, in prima e in seconda ho proposto la risoluzione delle espressioni

riportando, dopo l'uguale, il risultato e ribadendo la differenza tra rappresentazione in forma canonica e in forma non

canonica di un numero

Hanno accettato questa "novità" facilmente e si sforzano di parlare di forma canonica e non canonica. L'impressione

però è che lavorino ancora solo in prospettiva aritmetica e che il "risultato" dopo l'uguale costituisca una sicurezza per il

calcolo più che una diversa rappresentazione8.

Aspetto la sua revisione.

Commenti di Giancarlo Navarra Commenti dell’insegnante (successivi a quelli di Navarra)

Microepisodio 2.

(I = I, A = A)

1. I propone la seguente frase e chiede di tradurla in linguaggio matematico:

Togli 13 a 19 poi aggiungi 7 moltiplicato per 3

2. Si trascrivono alla LIM le seguenti frasi:

6 Il problema evidenziato dall’insegnante è molto importante e influenza in maniera determinante le discussioni in

ambiente matematico. Peraltro, bisogna tener presente che, molto probabilmente, gli alunni non sono abituati a queste

attività, e rimangono disorientati di fronte a richieste che suonano come inconsuete e, spesso, ‘strane’. Suggerisco (ma

probabilmente l’insegnante lo ha già fatto) la lettura di quelle che abbiamo chiamato ‘FAQ didattiche’, che aiutano ad

affrontare alcuni dei nodi fondamentali della promozione e della gestione delle discussioni. 7 Anche questo è un aspetto molto importante, per certi aspetti il più importante. Perché un insegnante dovrebbe

coinvolgere gli studenti in attività che comportano una riflessione sul linguaggio? La mia risposta è: in questo modo

può rovistare nell’epistemologia dei suoi studenti, che spesso si basa su convinzioni ridotte all’osso, nonostante gli

sforzi degli insegnanti che l’hanno preceduta. Gli studenti si costruiscono l’idea (povera) di una ‘matematica del fare’

anche perché, probabilmente, nessuno li ha mai guidati verso la riflessione sui linguaggi. Non sono abituati ad attività

di tipo metalinguistico come quelle che ora l’insegnante sta proponendo. Le strategie per coinvolgere la classe sono

numerose e la loro efficacia va esplorata cammin facendo. Alcuni esempi: far capire che la qualità

dell’argomentazione è un valore per l’insegnante; negoziare e condividere termini e costrutti nuovi esaltando la rete

delle relazioni che li collegano, ad esempio: forma canonica/non canonica conduce a processo/prodotto, che conduce a

opaco/trasparente (su questa dualità tornerò nel Microepisodio 3) e ai due significati dell’uguale; condividere con gli

alunni il proprio quadro teorico di riferimento non aggiungendo nozioni, ma costruendo assieme un nuovo patrimonio

culturale. Per il momento mi fermo qui. 8 È tutto vero quello che dice, ed è proprio lì la difficoltà: condurre gli studenti ad una graduale consapevolezza che ciò

verso cui l’insegnante li sta guidando è una concezione più evoluta della matematica per costruire la quale saper

produrre, interpretare e tradurre frasi (in linguaggio naturale e matematico) sono competenze che stanno alla base

della costruzione delle competenze matematiche.

7

3. L’I chiede alla classe quale, secondo loro, è la traduzione migliore e per quale motivo.

4. A1: Quella di Besmala perché ha le parentesi.

5. A2: In quella di Andrea c’è = che non serve.

6. A3: Quella di Favour perché le parentesi non servono.

7. A4: Ha ragione perché anche se togliamo le parentesi facciamo prima 7×3.

8. A5: In questo caso le parentesi sono come mettere un cappotto in una giornata estiva.

9. I: Quindi quale frase ritenete essere la migliore traduzione?

10. Tutti: Quella di Favour9.

11. I: 19–13+7×3 è la traduzione in linguaggio matematico della frase: “Togli 13 a 19 poi aggiungi 7 moltiplicato per

3”. Potremmo tradurre la frase di Favour con una frase in linguaggio naturale diversa?

12. A1: No, la frase è quella.

13. A2: Potremmo aggiungere delle cose… tipo metti il risultato… ma poi la frase è diversa.

14. A3: Potremmo concentrarci di più sulle operazioni… tipo il più.

15. A4: Non capisco nella frase c’è già aggiungi che vuol dire più.

16. A3: Tipo: fai la somma tra il risultato di una sottrazione e quello di una moltiplicazione.

17. I: Quindi prendendo la frase di Favour e il suggerimento di A3 come potremmo tradurre in linguaggio naturale la

frase?

18. A3: Fai la somma tra 19 meno 13 e il prodotto tra 7 e 3

19. A5: Allora è meglio: fai la somma tra la differenza tra 19 e 13 e il prodotto tra 7 e 3.

20. L’ultima proposta viene accettata da tutti.10

Microepisodio 3.

1. L’I propone la seguente frase e chiede di tradurla in linguaggio naturale:

9 Dalle frasi (4-8) degli alunni emergono numerosi spunti per la generalizzazione degli argomenti che state trattando,

sui quali sarebbe stato importante soffermarsi (forse lo avete fatto ma non compare negli appunti): Perché A1

attribuisce valore alle parentesi? Perché per A2 l’uguale non serve (la questione si ripresenta nella Microsituazione

4)? Perché A3 e A5 sostengono che qui le parentesi non servono? (splendida la metafora del cappotto) Cosa intende A4

dicendo che ‘si fa prima?’ Gli studenti saprebbero argomentare perché la frase di Favour è scelta come la migliore?

Abbiamo riflettuto sull'uso delle parentesi, anche se non ho riportato gli interventi nel microdiario. Quello che è

emerso è molto legato a un'idea procedurale: si fanno prima le parentesi.... Non è emerso che le parentesi e la loro

possibile introduzione potrebbero rendere più chiare le relazioni tra le diverse operazioni. 10

La sequenza di interventi (11-19) è molto interessante perché emergono poco alla volta i termini ‘differenza’ e

‘prodotto’. Quello che mi/le chiedo è: poiché la frase conclusiva di A5 (19), accettata da tutti, contiene sì i due termini

ma il suo impianto è procedurale (“Fai la somma… “) perché l’insegnante non ha continuato verso un’impostazione

‘globalmente’ (e non solo parzialmente) relazionale? O lo ha fatto e non compare? Ha mai affrontato esplicitamente

con gli alunni la dualità relazionale/procedurale? Questo è un passo molto importante verso un cambiamento di

prospettiva nel loro modo di concepire la matematica.

Verissimo, ne sono assolutamente consapevole e ho provato a guidarli verso una fase più relazionale... ma gli occhi

sbarrati, mi hanno fatto desistere. L'alternativa era che fossi io a proporla, ma ho preferito lasciarmi un'altra

possibilità per cercare di farla emergere da loro.

8

2. A1: “a” è un numero che non conosciamo.

3. A2: “a” è una lettera quindi può essere qualunque numero.

4. A3: Non in questo caso: non possiamo aggiungere qualunque numero a 14 se vogliamo come risultato 36.

5. A4: Infatti “a” è come dire 22.

6. A5: Sì, ma solo in questo caso…

7. I: Ok, ma come possiamo tradurre in linguaggio naturale la frase?11

8. A2: A 14 aggiungiamo un numero che ci dà 36.

9. A6: A 14 aggiungiamo un numero che come somma dà 36.

10. A1: Aggiungiamo, somma… non c’è bisogno di dirlo ancora… basta aggiungiamo o somma.

11. A7: Quanto devi aggiungere a 14 per arrivare a 36?

12. A8: Se aggiungi 22 a 14 ottieni 36.

13. A9: Ma 22 non lo conosci…

14. I: Secondo voi qual è la frase più chiara? Se dovessimo scegliere una di queste frasi perché un vostro amico

capisca che deve scrivere 14+a=36 quale sceglieremmo?

15. A3: Per me sono tutte chiare…

16. A5: Però quella che ti fa capire meglio che devi trovare un numero è quella con il punto?

17. Alla fine tutti concordano che “Quanto devi aggiungere a 14 per arrivare a 36?”12

è la traduzione più

TRASPARENTE (utilizzo questo termine per la prima volta e ai ragazzi “piace” chiarisce quello che volevano

dire). Non introduco il termine opaco13

.

18. I: Proviamo con un’altra frase:

19. A7: Quale numero togliamo a 24 per avere 18?

20. A8: Però possiamo anche dire quale numero aggiungiamo a 18 per arrivare a 24.

21. A2: Sì, però è meno trasparente, io farei più, non meno.

22. A10: Ha ragione: il numero da trovare è lo stesso ma non è la traduzione, è meno chiara.

23. A8: E se dico togli 6 a 24 per ottenere 18? Non è più trasparente?

24. Coro: No… non si capisce che devi trovare un numero.

25. I: quindi ci sono delle traduzioni più OPACHE, poco chiare e altre più TRASPARENTI, più chiare. Per voi qual è

la traduzione più trasparente?

26. Concordano sulla proposta di A7 che, per oggi, diventa “l’eroe” della situazione!

Microepisodio 4.

1. I propone la seguente attività:

2. I chiede a due alunni di dettare il testo del problema inventato per poterlo scrivere alla LIM e discuterne tutti

insieme.

11

Gli interventi (2-6) aprirebbero la strada verso due significati diversi della lettera. Sarebbe stato importante

confrontare le posizioni di A1 (2) (“un numero che non conosciamo”) e A2 (3) (“Può essere qualunque numero”) e

trarre delle provvisorie conclusioni. È importante che l’insegnante impari a cogliere i dettagli degli interventi degli

alunni e a riproporli alla classe come spunto per la riflessione.

Il tempo non mi è bastato, ma abbiamo ripreso la riflessione in un'altra attività: cercherò di riportarlo in un altro

microdiario. Come potrei continuare l'attività? 12

La frase concordata va benissimo ma è ancora di tipo procedurale. L’insegnante avrebbe potuto approfittare anche

di questa occasione per far emergere il punto di vista relazionale (sempre in forma graduale, progressiva, rispettosa del

livello del balbettio algebrico al quale si muove la classe) e giungere ad una frase che dica cos’è l’oggetto in questione,

per esempio: “La somma fra 14 e un numero sconosciuto è uguale a 36”, o “La somma fra 14 e a è 36”, o “È

un’uguaglianza fra la somma di 14 e a e 36” e così via. 13

Alcune osservazioni sull’uso della dualità trasparente/opaco. Perché non è stato introdotto anche il termine ‘opaco’?

Inoltre: ‘trasparente’ rispetto a cosa? Mi sembra che il termine sia stato usato in modo naive, mentre invece

bisognerebbe indagare collettivamente sul suo significato, che ha a che fare con la visibilità del processo, e cioè delle

relazioni (additiva, di equivalenza) fra gli enti in gioco, noti o sconosciuti, interne alla rappresentazione Gli alunni

vanno resi consapevoli che possono partecipare attivamente alla produzione di pensiero matematico.

9

3. A1: Va bene il testo di Riccardo14

. Ci sono i numeri e anche le operazioni sono giuste.

4. A2: Però x=29 non serve, basta la domanda.

5. A3: Non chiedeva di risolvere.

6. Riccardo: Sì, però così ho controllato che facesse 67.

7. Alla fine concordano che il testo del problema è chiaro (utilizzano spesso la parola trasparente).

8. I: M la frase 22+16+x=67 allora rappresenta come risolverlo?

9. A4: Si.

10. A2: Non proprio…

11. A4: Per risolvere dobbiamo trovare quanto vale x e quindi devo fare altre operazioni…

12. A5: Per trovare x avrei dovuto scrivere 67-(22+16)= .

13. I: Ma noi siamo partiti da un’altra frase (riporta l’attenzione sulla frase originale):

14. A6: Sono i dati che ci sono serviti per scrivere il problema.

15. A7: È la traduzione in numeri del testo del problema.

16. Tutti concordano con l’ultima affermazione.

17. I: Leggiamo adesso il testo di un altro compagno:

18. A5: Manca 67 e 29 non deve esserci.

19. A8: Io non capisco 22 +16 non fa 29.

20. Daniele: No, in ALTRE due settimane lavora 29 ore.

21. A9: Allora non recupera ore.

22. I: Proviamo a migliorare il testo in modo che tutti capiscano quello che voleva dire Daniele.

23. Il nuovo testo è frutto di più interventi.

24. A 3: Adesso è più chiaro.

25. A 8: Sì, però non va bene con la frase iniziale.

26. Gli altri sostanzialmente concordano15

.

14

Anche in questo caso si può aprire un panorama algebrico riflettendo sulla consegna aritmetica “Quante ne ha vinte

contro Mattia?” e aprendo ad una consegna algebrica “Rappresenta la situazione in modo che altri possano trovare il

numero delle figurine vinte contro Mattia”. Si affronta cioè la dualità risolvere/rappresentare. 15

In situazioni come questa propongo di porre a confronto la frase iniziale in linguaggio matematico presentata

dall’insegnante con i testi del problema inventati dagli alunni producendo una nuova rappresentazione, e cioè una

traduzione in linguaggio atematico del testo inventato, e verificare se è uguale a quella data. Nella seconda versione di

Daniele come sarebbe stata la rappresentazione? A5 (18) ha ragione quando afferma che manca 67 e che 29 non deve

esserci, ma l’errore sarebbe emerso con ancora maggiore chiarezza se si fosse cercato di costruire una traduzione del

testo, per esempio: 22+16+29=x (x = numero delle ore di lavoro dell’operaio), che è diversa diversa da 22+16+x=67.

Confrontare e verificare parafrasi è un’attività di grande importanza.

10

3. 12.11.2014

Microepisodio 5

Commenti insegnante di classe

Commenti Navarra (E-tutor)

EVENTUALI ESPERIENZE PRECEDENTEMENTE CONDOTTE IN CLASSE IN AMBIENTE EARLY ALGEBRA

La classe sta seguendo un percorso sul linguaggio matematico in ambiente early algebra. L’episodio proposto si

colloca nel seguente scenario: il quesito è stato inserito in una prova di verifica. Successivamente ho raccolto tutte le

spiegazioni degli alunni e le abbiamo discusse in classe.

OBIETTIVI DELL’ATTIVITÀ

Riconoscere la frase che rappresenta l’immagine

Spiegare la correttezza della rappresentazione

Commentare spiegazioni fornite da altri

Quesito assegnato: Risolvi l’esercizio16

e spiega perché hai scelto quella frase per rappresentare l’immagine:

1. I: Prima di esaminare le vostre “spiegazioni” rileggiamo l’esercizio e proviamo a raccontarlo. Che cosa

rappresenta l’immagine?

2. Alessia: Si vedono dei cuccioli che giocano, una cuccia sopra la quale si vede la lettera C. Il testo racconta che in

una vetrina ci sono 11 cuccioli. Solo alcuni si vedono, altri cuccioli non si vedono.

3. I: Che cosa chiede l’esercizio?

4. Pamela: Di trovare quanti cuccioli ci sono nella casetta.

5. Nicolò: Quale tra le tre frasi rappresenta meglio il disegno.

6. Martina: Ha ragione Nicolò perché sotto il disegno è scritto “Quale frase rappresenta correttamente la situazione?”

quindi l’esercizio non chiede di fare calcoli, ma di trovare la frase che rappresenta meglio17

.

Utilizzerò questo suggerimento per la prossima attività. In classe non mi è venuto in mente e mi sono limitata a

lavorare su testo e, in un'attività successiva che non compare, a far fare la parafrasi del testo. Sarebbe stato molto utile

chiedere una nuova rappresentazione sulla base dei testi prodotti. Si potrebbe fare come lavoro di coppia lavorando sul

testo del compagno, anche se ho notato che, lavorando individualmente, non hanno capacità critica. Prima della

discussione in classe, (microdiario) avevo ricopiato i testi di tutti e avevo chiesto loro, di valutare sei la frase data

rappresentava il testo prodotto e se il testo era chiaro nella sua formulazione e perchè. TUTTI hanno risposto si ad

entrambe le domande non riuscendo a produrre alcuna "argomentazione". (Le lascio immaginare alcuni testi, se vuole glieli invio) È probabilmente troppo presto e comunque manca una abitudine a riflettere in modo metacognitivo, quindi sto

procedendo molto lentamente per cercare di non perderne troppi strada facendo... 16

In letteratura si parla spesso, dal più semplice al più complesso, di esercizio – problema – situazione problematica.

Direi che quella che l’insegnante ha proposto appartiene, per la sua complessità, alla terza categoria. La situazione è

analizzata tra le prove del Curricolo ArAl (Competenza A5, Guida per l’insegnante). 17

Ottimo lo scambio (4-6). Permette di riflettere con la classe sulla differenza fra i tre interventi. Pamela (4) non coglie

il senso della consegna, formulata a livello metacognitivo (confrontare delle rappresentazioni), e la abbassa ad un

11

7. I: Ok, ora leggiamo le spiegazioni di coloro che non hanno individuato la rappresentazione corretta e cerchiamo di

capire quale errore hanno commesso.

8. Spiegazioni fornite da coloro che NON hanno individuato la rappresentazione corretta:

9. Sirio: La C perché non sai quanti cani sono in vetrina.

10. Riccardo: Sirio non ha letto bene l’esercizio perché è scritto quanti cani ci sono in vetrina.

11. Favour: Ho scelto sia la B sia la C per l’uguale.

12. Martina: Secondo me = 11 ha indotto in errore perché 11 è nel testo.

13. Riccardo: Ho messo la C perché i cuccioli in tutto sono 11.

14. Riccardo: Perché ho letto male il testo il meno mi è sembrato un più.

15. Pamela: Ho scelto la C perché se dobbiamo trovare un numero che non conosciamo si deve usare la sottrazione.

Per me la A è sbagliata perché il testo dice che i cani sono 11e quindi se sommiamo questi due numeri troviamo un

numero maggiore. La B è sbagliata perché è impossibile fare quella addizione siccome non sappiamo il numero da

sommare a 7.

16. I: Esaminiamo la spiegazione di Pamela una frase per volta: Prima: ‘Ho scelto la C perché se dobbiamo trovare un

numero che non conosciamo si deve usare la sottrazione’. Ha ragione Pamela? Proviamo a fare degli esempi.

17. Fahd: Ho 10 caramelle, ne mangio 5: quante ne rimangono (numero sconosciuto)? Uso il meno.

18. Rebecca: Compro 10 caramelle, un amico me ne regala 5: quante ne ho? Uso il più

19. Aurora: Compro 3 pacchetti di caramelle. Ogni pacchetto contiene 10 caramelle. Quante caramelle ho in tutto?

Uso la moltiplicazione.

20. I: quindi cosa possiamo concludere?

21. Tutti: Un numero sconosciuto si può trovare anche con operazioni diverse dalla sottrazione.

22. I: Seconda: ‘Per me la A è sbagliata perché il testo dice che i cani sono 11 e quindi se sommiamo questi due

numeri troviamo un numero maggiore’.

23. Andrea: Pamela ha ragione, infatti C rappresenta i cuccioli nella casetta18

e deve essere un numero più piccolo di

11, perché in tutto i cuccioli sono 11.

24. I: Terza: “La B è sbagliata perché è impossibile fare quella addizione siccome non sappiamo il numero da

sommare a 7”.

25. Sofia: L’esercizio non ci chiede di fare calcoli ma di trovare la rappresentazione giusta.

26. I: Ora leggiamo le spiegazioni di coloro che hanno individuato la rappresentazione corretta. Ditemi se ci sono

spiegazioni che secondo voi sono sbagliate e perché.

27. Tutti19

: Quelle di Maryem, di Fahd e di Martina. Maryem ha interpretato male il testo, in quella di Fahd non è vero

che la C vuol dire qualunque numero, Martina non si capisce cosa vuol dire “concreta”.

28. I: Tra le spiegazioni rimaste qual è quella più CHIARA /TRASPARENTE?

29. Spiegazioni fornite da coloro che hanno individuato la rappresentazione corretta:

30. Besmala: La B ti dice che 7 cuccioli fuori insieme a quelli dentro sono in tutto 11.

31. Fahd: Perché in 7+C la C vuol dire qualunque numero20

.

32. Nicolò: Ho scelto la B perché 7 sono i cagnolini che si vedono in vetrina e C sarebbe il numero di cagnolini dentro

la casetta.

33. Chiara: Perché sappiamo che fuori ci sono 7 cuccioli e dentro non si sa.

34. Carlo: Perché ci dà il risultato 11.

35. Maryem: Perché fuori sono sette e dentro 1121

.

36. Alessia: La B ti dice 7+4=11. Anche se non abbiamo 4, ma abbiamo C ho scoperto il valore di C con questa

operazione: 11–7=422

.

37. Martina: Ho scelto la B perché è più concreta23

.

livello cognitivo (trovare un ‘risultato’). Suggerisco all’insegnante di parafrasare la consegna del problema assieme

alla classe, in modo da rendere evidente la relazione tra il punto di vista di Pamela e quello di Nicolò (5) e Martina (6),

riformulandola per esempio in questo modo “Quale frase (la richiesta è formulata a livello metacognitivo, in cui

bisogna confrontare le tre frasi e sceglierne una) permette di trovare (prestazione a livello cognitivo) il numero dei

cuccioli dentro la casetta?”. Si può vedere così che ciò che chiede Pamela è, per così dire, annidato nella consegna. 18

È opportuno sottolineare in questi casi che C non rappresenta ‘i cuccioli’, ma il numero dei cuccioli. Subito dopo

Andrea in effetti parla di “numero più piccolo” ma è meglio che l’esplicitazione sia evidente. 19

Purtroppo non posso farmi un’idea perché non ci sono i protocolli. 20

Perché C non può rappresentare qualunque numero. 21

Ha interpretato male le informazioni dell’esercizio. 22

È interessante perché spiega l’operazione per trovare C. L’osservazione dell’insegnante riflette un punto di vista

aritmetico (l’operazione per trovare). Lavorare in una prospettiva algebrica significa portare l’attenzione sul fatto che

Alessia risolve, in modo naif, un’equazione: 7+c=11 c=11-7. La seconda frase, tradotta dagli alunni in linguaggio

naturale, potrebbe essere: “il numero dei cuccioli nella casetta è uguale alla differenza fra il numero di quelli in

vetrina e di quelli visibili”. È importante che l’insegnante si faccia, con l’esperienza, le antenne in questo senso, e

colga gli infiniti spunti che permettono di far evolvere il pensiero nella direzione algebrica.

12

38. Daniele: La B perché ha sommato tutti i cani e da come risultato 11. La A è sbagliata perché l’esercizio ti chiede

di trovare la forma non canonica adatta per trovare 11. La C no perché se si fa C-7 non si può ottenere 11, perché

dobbiamo sommare insieme i cani 24

.

39. Clark: La B è giusta perché 7+C, cioè la casetta, corrisponde a 11.

40. Federico: Perché dice che 7, cioè i cuccioli visibili, e “C” che sarebbe casetta, sommati fanno 11 cioè quelli in

vetrina.

41. Sofia: La rappresentazione B è quella giusta perché i cuccioli esposti sono 11 cioè la somma di quelli visibili e

quelli nella casetta.

.25

23

Non si capisce cosa vuol dire concreta 24

Quella di Daniele perché spiega anche le altre frasi. La rappresentazione non canonica di un numero può contenere

anche una lettera. 25

Nella discussione finale l’attenzione della classe si concentra sulla spiegazione di Daniele che reputano la più

trasparente. Provo a portare la loro attenzione su quella di Alessia e sul ragionamento che ha esplicitato, ma non li

convince, non la percepiscono come trasparente e l’attenzione torna su quella di Daniele che la maggior parte

preferisce. Penso che siano anche influenzati dal fatto che stiamo lavorando con le piramidi e nelle ultime abbiamo

introdotto la lettera per rappresentare il numero sconosciuto e abbiamo ripreso i termini forma canonica e non

canonica. Provo nuovamente a riportare l’attenzione su altre frasi (Besmala, Sofia, Federico), ma rimangono fermi

nelle loro convinzioni. Probabilmente sto chiedendo troppo e sono stanchi.

Avrei potuto riprendere e sottolineare molti spunti emersi dalle loro spiegazioni, ma seguire i loro interventi e

trascriversi, non mi lascia la lucidità che vorrei. Rispetto alle prime discussioni, il livello di partecipazione è molto

migliorato, sia nella qualità degli interventi, sia nel numero di alunni che intervengono (non sempre i soliti noti!) Mi

piace segnalare gli interventi di Martina, una bimba molto in difficoltà, che invece è intervenuta più volte e si è sentita

ascoltata dai compagni.

Ultima nota: 5 alunni (circa 20%) non forniscono nessuna spiegazione, tra cui l’alunno certificato che individua però

la rappresentazione corretta.

Prendo in considerazione la spiegazione di Daniele (38), visto che è la più gettonata, e pongo alcune questioni:

“La B perché ha sommato tutti i cani”: si è riflettuto sul fatto che non si sommano ‘cani’ ma numeri? In questo

modo si approfondirebbe il significato della lettera in ambito matematico.

“e dà come risultato 11”: interpretare 11 come ‘risultato’ e non come ‘numero dei cuccioli in vetrina’ lascia

trasparire il punto di vista procedurale di Daniele: si è discusso con la classe su questo aspetto? Sarebbe molto

importante perché permette di spostare l’attenzione verso una prospettiva algebrica.

“La A è sbagliata perché l’esercizio ti chiede di trovare la forma non canonica adatta per trovare 11”: anche qui

Daniele parla di ‘trovare’, che conferma il suo punto di vista procedurale che lo porta a cercare un risultato;

ritengo che quando Daniele parla di ‘forma canonica’ in realtà pensi all’operazione che permette di ‘trovare 11’.

Se la mia ipotesi fosse vera, confermerebbe l’importanza di una discussione sul suo protocollo per far emergere dei

nodi che vanno approfonditi se si intende lavorare in una prospettiva prelgebrica.

“La C no perché se si fa C-7 non si può ottenere 11, perché dobbiamo sommare insieme i cani”: Daniele conferma il

suo punto di vista aritmetico (si fa, si ottiene, si sommano i cani).

In conclusione: mi chiedo quale significato abbiano attribuito gli alunni, nel rimanere sulla frase di Daniele, al

concetto di trasparente; ritengo che sia più vicino a ‘comprensibile’ perché la frase esprime un punto di vista piano,

tradizionale, basato su operazioni e risultati, ‘comprensibile’, appunto.

La frase (25) di Sofia (“L’esercizio non ci chiede di fare calcoli ma di trovare la rappresentazione giusta”) pone la

questione correttamente al suo livello metalinguistico anche se poi l’alunna non chiarisce perché la rappresentazione

che ha scelto sia per lei quella ‘giusta’.

La frase (30) di Besmala (“La B ti dice che 7 cuccioli fuori insieme a quelli dentro sono in tutto 11”) andrebbe

parafrasata, dando ai termini ‘insieme’ e ‘in tutto’ un significato più ‘matematico’, anche lasciando la sua ‘freschezza

linguistica’, per esempio: “La somma tra il numero dei cuccioli fuori e quello dei cuccioli dentro è uguale al loro

numero totale”.

La frase (40) di Federico (“Perché dice che 7, cioè i cuccioli visibili, e “C” che sarebbe casetta, sommati fanno 11 cioè

quelli in vetrina.”) interpreta correttamente la struttura della rappresentazione ‘c’ ma esprime l’errore di attribuire

alla lettera C il significato di iniziale del nome Casetta e di associare a 7 e 11 delle parole (‘cuccioli visibili’ e ‘quelli

in vetrina’) senza precisare ‘numero di… ‘.

Una conclusione generale: lavorare in una prospettiva prealgebrica significa anche, per un insegnante, affinare la

sensibilità nel riconoscere le continue microsituazioni nelle quali è possibile affiancare/contrapporre al punto di vista

procedurale degli alunni il punto di vista relazionale. Per fare questo è necessario che alunni e docenti condividano

certi termini del quadro teorico e li usino costantemente nel corso delle loro argomentazioni; questo aiuta gli alunni a

capire perché tali riflessioni sono importanti nella costruzione e nella gestione consapevole delle loro competenze.

13

4. 5.12.2015

Commenti Paola Veronesi

Commenti E-tutor

Commenti Nicolina Malara

EVENTUALI ESPERIENZE PRECEDENTEMENTE CONDOTTE IN CLASSE IN AMBIENTE EARLY ALGEBRA

La classe sta seguendo un percorso sul linguaggio matematico in ambiente early algebra. L’episodio proposto si

colloca nel seguente scenario: attività di classe sulla risoluzione di situazioni problematiche.

OBIETTIVI DELL’ATTIVITÀ

Analisi del testo della situazione problematica

Rappresentazione algebrica della situazione problematica utilizzando le lettere per rappresentare dati

Generalizzazione della procedura

1. I: Leggiamo insieme il testo di questa situazione problematica:

2. I: Cosa dice il testo?

3. Pamela: Ci sono due segmenti, uno più grande dell’altro e li hanno sommati.

4. Daniele: Il secondo non è solo più grande del primo, è il doppio.

5. Riccardo: Poi fa una domanda: quanto misurano i due segmenti?

6. I: Come possiamo rappresentare questa situazione problematica?

7. Maryem: Con un disegno.

8. Carlo: Con tre disegni: ci sono due segmenti diversi e anche un segmento che rappresenta la loro somma.

9. I: Prima di disegnarli: come possiamo rappresentare un segmento che è doppio di un altro?

10. Sofia: Disegno due volte di seguito il primo.

11. I: E come posso rappresentare il segmento somma?

12. Pamela: Disegno il primo segmento e poi il secondo attaccati26

.

13. I: Se voglio disegnarli usando la LIM che strumento posso usare?

14. Randy: Puoi disegnare il primo, poi fare copia e incolla o usare clona.

15. I: E sul quaderno voi come fate?

16. Flavour: Usiamo il righello o contiamo i quadretti.

Fig 1

17. I: Ora li abbiamo disegnati, come possiamo rappresentare questi disegni e le informazioni contenute nel testo della

situazione problematica?

18. Mi dettano:

19. Sofia: Non basta… mancano delle informazioni… somma si può scrivere in modo diverso, così non si capisce.

20. I: allora cosa possiamo aggiungere?

26

Direi che in prima si potrebbe pretendere un linguaggio più corretto e meno colloquiale richiamando, in questo caso,

l’uso del termine ‘adiacenti’. Qui l’insegnante poteva intervenire con un ‘diciamo meglio’; con un disegno di due

segmenti uscenti da uno stesso punto ma con giaciture diverse poteva indurre la formulazione corretta di due segmenti

sulla stessa giacitura, uno riportato in un estremo dell’altro sulla stessa giacitura ottenendo un prolungamento del

primo.

14

21. I: Che cosa rappresentano le prime due scritture?

22. Rebecca: Che il segmento AB è il doppio del segmento CD…

23. Riccardo: Ma è anche vero il contrario:che CD è la metà di AB.

24. Rebecca: E che CB è uguale alla somma dei due segmenti.

25. I: possiamo rappresentare la situazione anche in modo diverso?

26. Silenzio.

27. I: L’anno scorso ho proposto la stessa situazione ai vostri compagni che ora sono in seconda e loro mi hanno detto

che CB = 3a. Perché secondo voi?

28. Nicolò: Perché CB è formato da tre pezzi… e hanno chiamato “a” ogni pezzo27

.

29. I: Ma possiamo rappresentare ogni “pezzo” con la stessa lettera “a”? Non sarebbe meglio usare lettere diverse per

non fare confusione?

30. Pamela: No, è giusto usare solo una lettera, perché i pezzi sono tutti uguali.

31. Carlo: Se però non ti piace la “a” possiamo usare un’altra lettera, tanto è uguale.

32. I: Quindi cosa rappresenta la lettera “a”?

33. Riccardo: Il pezzo più piccolo CD, che poi si ripete e forma anche AB e CB. Come se fosse un pezzo di lego.

34. I: Ok, allora come possiamo modificare il nostro disegno e le nostre scritture se vogliamo usare la lettera “a”?

Fig 2

35. I: Avere rappresentato la situazione problematica in questo modo ci aiuta a rispondere alla domanda: quanto

misurano i due segmenti?

36. Besmala: Sì, è come con i numeri, scritto così è più trasparente, si capisce che CB è formato da 3 pezzi uguali e che

misurano 18 centimetri tutti e 3.

37. Carlo: Allora se sono uguali vuol dire che un pezzo “a” misura 1/3 di 18.

38. Federico: Sì, ma “a” rappresenta anche il segmento più piccolo CD quindi lo abbiamo trovato.

39. Sofia: Dopo per trovare AB basta fare per 2 perché AB è 2a.

40. I: Quindi cosa scriviamo?

41. I: Secondo voi si può usare questa rappresentazione con i “pezzi”, i moduli28

, e le lettere tutte le volte che abbiamo

delle situazioni problematiche con i segmenti?

42. Carlo: Sì, troviamo il modulo e lo rappresentiamo…

43. Federico: Però i moduli devono essere uguali altrimenti dobbiamo usare altre lettere.

44. I: Questo lo vediamo la prossima volta.

27

Anche qui c’è un po’ di sporcizia linguistica, e rappresenta la lunghezza del pezzo (che poi viene misurata rispetto

alla assegnata unità di misura, il cm). 28

Qui si utilizza il termine ‘modulo’ per esprimere la lunghezza del segmento: perché l’insegnante preferisce parlare di

modulo e non di lunghezza? È un’anticipazione rispetto alla nomenclatura dei vettori (il modulo di un vettore è la

lunghezza del segmento che congiunge penna e punta del vettore)? È tuttavia preferibile usare il termine lunghezza.

15

INTENZIONI DELL’INSEGNANTE SULLA PROSECUZIONE DELL’ATTIVITÀ

Consolidare il modo di rappresentare algebricamente situazioni problematiche

Proporre situazioni problematiche che richiedano una diversa rappresentazione algebrica

.29

29

Secondo il mio punto di vista la conduzione dell’attività è corretta ma rimane essenzialmente all’interno di una

prospettiva aritmetica, a cominciare dalla consegna, che chiede “quanto misurano i due segmenti”.

Provo ad ipotizzare un approccio diverso, in una prospettiva algebrica, partendo da una diversa consegna del tipo:

“Rappresenta in linguaggio matematico la situazione

in modo che altri (Brioshi, un’altra classe) possano trovare la lunghezza dei due segmenti”.

È il cambio di prospettiva dal ‘risolvere’ al ‘rappresentare’. Possiamo anche immaginare di non forzare

immediatamente gli alunni ad esprimersi in linguaggio matematico, e di lasciarli liberi di appoggiarsi ad un più

familiare linguaggio grafico.

Si potrebbe cominciare proponendo una situazione iniziale non seguita da alcuna consegna, ma preceduta da una

meta-consegna, per esempio:

Esprimi (traduci, rappresenta) in linguaggio grafico (geometrico) questa situazione:

La somma di due segmenti AB e CD è 18 centimetri; il segmento AB è doppio del segmento CD”.

Si può ipotizzare un’attività per gruppi, e queste potrebbero essere delle proposte da ricopiare alla LIM:

(a) A__________ __________B C__________D = 18 cm

(b) A__________ __________B + C__________D = 18 cm

(c) C__________D C__________D C__________D = 18 cm

(c) potrebbe essere vista come la scrittura più trasparente (gli alunni (v. 36) conoscono il termine). In ogni caso, tutte e

tre le rappresentazioni (e altre ancora) possono essere interpretate come delle pseudo-equazioni che preparano il

terreno per rappresentazioni più chiare ed evolute nella direzione di ‘vere’ equazioni.

Per esempio, in questo caso, la discussione sulle proposte consentirebbe comunque all’insegnante di introdurre la

lettera ‘a’ come lei ha fatto in (27).

Una nuova rappresentazione negoziata e condivisa dalla classe potrebbe quindi essere:

(a) a+a+a=18 oppure a+2a=18

in cui si potrebbe anche affrontare l’opportunità di mantenere o meno la marca cm.

2a può essere espresso in modi diversi a seconda delle competenze della classe: 2×a, a×2, 2·a, a·2.

A questo punto si potrebbe sostituire in (a) la rappresentazione additiva con una moltiplicativa, anche in questo caso

nella forma che l’insegnante ritiene più adatta:

3×a=18 a×3=18 3·a=18 a·3=18 3a=18.

Siccome probabilmente gli alunni di prima non hanno ancora incontrato l’equazione e i modi per risolverla, si

potrebbe continuare attraverso un passaggio informale del tipo:

3×a=18 a=18:3 (v. 37) a=6.

Le successive riflessioni su questa soluzione porterebbero a trovare le lunghezze dei due segmenti.

Si potrebbe quindi ‘conquistare’ il testo completo del problema, per esempio:

La somma di due segmenti AB e CD è 18 centimetri; il segmento AB è doppio del segmento CD”.

Rappresenta la situazione in modo da trovare la lunghezza dei due segmenti.

In questa prospettiva l’attenzione degli alunni non è più concentrata sulle lunghezze dei segmenti ma sulla

rappresentazione della situazione, e la ricerca dei due valori viene posposta. Diventa fondamentale individuare e

rappresentare le relazioni fra gli enti in gioco, indipendentemente che siano noti o sconosciuti. I disegni dei segmenti

della Fig 2 sono già l’embrione della pseudo-equazione.

Concordo con le osservazioni di Navarra. Per i ragazzi deve prevalere l’idea che il cuore del compito è l’esplicitazione

delle relazioni espresse dal testo che consentono poi – data la lunghezza totale, di determinare le lunghezze dei singoli

pezzi.

Proporrei lo stesso problema con lunghezze diverse (21cm, 27, 33 ecc) anche per far scaturire nei ragazzi l’idea che la

somma delle due lunghezze è sempre esprimibile con un numero che è il triplo di quello che esprime la lunghezza del

segmento più piccolo (sia che esso sia di misura intera che non).