polynomiumsbrøker og asymptoter › matbog2 › arkiv › 13312777413259130.pdf ·...

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Frank Villa

9. marts 2012

c©2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisningi klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelserfor brug her.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold

1 Introduktion 1

2 Polynomiumsbrøker 12.1 Definitionsmængder . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Polynomiers division 33.1 Division med rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Forklaring og pointe . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Polynomiers division . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Et fantastisk resultat . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Asymptoter for polynomiumsbrøker 104.1 Vandrette asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Skrå asymtoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Lodrette asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . 11

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionarkiv

Resumé

I dette lille dokumenter ser vi på den funktionstype somhedder polynomiumsbrøker eller med et fint ord: Rationellefunktioner. Vi skal se på hvilke asymptoterne graferne fordisse funktioner kan have. I den forbindelse introducerer vien teknik kaldet „polynomiers division“ som kan bruges til atfinde sådanne asymptoter.

1 IntroduktionVi skal her se på en vigtig type af funktioner, nemlig de såkaldtepolynomiumsbrøker. De er vigtige fordi de er tilpas komplicerede tilat have nogle interessante egenskaber, men samtidigt består de af desimpleste „komponenter“ vi har: polynomier.

Den vigtigste grund til at arbejde med polynomiumsbrøker er atde næsten altid har grafer med en eller flere asymptoter. Derfor erdet en god mulighed for at vænne sig til asymptotebegrebet.

Forudsætninger:

For at læse dette dokument har du (selvfølgelig) brug for at kende tilpolynomier. Derudover skal du gerne have arbejdet lidt med græn-seværdibegrebet og set definitionen af hvad en asymptote er. Det erogså en fordel hvis du kan huske hvordan man dividerer store tal medhinanden uden lommeregner.

2 PolynomiumsbrøkerEn polynomiumsbrøk er præcis hvad navnet antyder:

side 1


Definition 1.Hvis f og g er to polynomier, så kaldes funktionen h defineret ved:

h(x) =f(x)

g(x)

for en polynomiumsbrøk eller en rationel funktion.

Eksempel 1.Hvis f og g er givet ved henholdvis:

f(x) = x2 + 2x− 1

ogg(x) = 3x3 − x

så kan vi definere en polynomiumsbrøk, h ved:

h(x) =f(x)

g(x)=

x2 + 2x− 1

3x3 − x

2.1 Definitionsmængder

Eftersom ethvert reelt tal kan sættes ind i ethvert polynomium, erder kun en eneste ting at bekymre sig om hvis man skal sætte tal indi en polynomiumsbrøk: Nemlig om man kommer til at dividere mednul.

Derfor er det nemt at se hvad definitionsmængden for en polyno-miumsbrøk er:

side 2


Lemma 2.Hvis f og g er to polynomier, og h er polynomiumsbrøken givet ved:

h(x) =f(x)

g(x)

så består definitionsmængden for h af alle reelle tal, undtagen demhvor g(x) giver nul.

Skrevet med symboler:

Dm(f) = R \ {x ∈ R | g(x) = 0}

Øvelse 1.Lad h være polynomiumsbrøken givet ved:

h(x) =x3 + 2x2 + x

x2 − x

• Hvad giver h(2)?

• Hvad er Dm(h)

2.2 Grafer

Det er svært at sige noget generelt om hvordan graferne for poly-nomiumsbrøker ser ud, fordi det kan være meget forskelligt. Men vikan

3 Polynomiers divisionNu skal vi se på en metode til at omskrive polynomiumsbrøker (elleri hvert fald nogle af dem) til en smartere form. Det går ud på at man

side 3


(på en måde) kan udføre divisionen af de to polynomier. Det minderen smule om den måde man dividerer heltal med hinanden på.

3.1 Division med rest

Inden vi kaster os ud i at dividere polynomier med hinanden, vil jeglige minde om hvordan man dividerer to heltal med hinanden, oghvad man gør når divisionen ikke går op.

Eksempel 2.Hvis vi har to hele tal, x og y, f.eks:

x = 2173

ogy = 14

så kunne det være interessant at vide hvor stor brøken:

x

y=

2173

14

egentlig er. Dertil har vi en metode som foregår omtrent sådan her:

1. Vi skriver divisionen op. I vores eksempel:

14 2 1 7 3

2. Vi fokuserer på det første ciffer i x (2-tallet i vores eksempel)og spørger hvor mange gange divisionen går op dette. Eftersomsvaret er „ingen gange“, gør vi intet. Hvis det skal være helt logiskså skriver vi faktisk et nul oven over dette ciffer, sådan her:

014 2 1 7 3

Men eftersom dette nul blive ligegyldigt til sidst vil vi smide detvæk i de videre udregninger.

side 4


3. Derefter kigger vi på de to første cifre i x, altså 21, og spørger omdivisionen går op i dette. Nu er svaret „1 gang“, fordi 14 går énhel gang op i 21. Derfor skriver vi et 1-tal for oven, sådan her:

114 2 1 7 3

4. Derefter udregner vi hvad 1 · 14 giver (det er meget let!) og skriverresultatet under de to første cifre i x, sådan her:

114 2 1 7 3

1 4

5. Derefter trækker vi de 14 som vi lige regnede ud fra det tal(21) som står ovenover og skriver resultatet nedenunder. Desudentrækker vi de sidste cifre (som vi endnu ikke har brugt) med ned.Det ser sådan her ud:

114 2 1 7 3

1 47 7 3

6. Herefter kører det faktisk bare forfra. Det vil sige at vi fortsættersom om vi ville dividere 14 op i de 773 som står i nederste linje.Eftersom 14 ikke går op i 7 alene, spørger vi hvor mange gangedet går op i 77. Svaret er 5, og det giver følgende som næste skridt(se om du kan se hvor alle de ekstra dele er kommet fra):

1 514 2 1 7 3

1 47 7 37 0

7 3

7. Og en gang mere:

side 5


1 5 514 2 1 7 3

1 47 7 37 0

7 37 0

3

8. Svaret er nu at divisionen går op 155 gange med 3 til rest. Medandre ord: Hvis man ganger 14 med 155, så får man noget som er3 mindre end 2173. Eller helt præcist:

2173 = 155 · 14 + 3

(Tjek selv at det passer!)

3.2 Forklaring og pointe

Den præcise forklaring på hvad der foregår (og hvorfor) er en smulekompliceret (lang og kedelig), men man kan godt regne det ud hvisman kigger godt efter.

Det hjælper hvis man husker på hvad det er vi er i gang med: Viprøver at gætte et tal som man kan gange med 14 og få 2173 (eller såtæt på som muligt).

I skridt nummer 2 spørger vi helt præcist: „Hvor mange tusindegange går 14 op i 2000. (Bemærk at de sidste tre cifre aldrig vilkunne ændre på svaret til dette spørgsmål. Derfor ignorerer vi dem.)Eftersom svaret er nul, går vi videre til punkt 3.

I punkt 3 spørger vi hvor mange hundrede gange 14 går på i 2100.(Nu er 1-tallet i til gengæld vigtigt. Hvis det f.eks. havde været et8-tal, kunne divisionen gå en ekstra gang op.) Denne gang er svaret“1 (hundrede) gange“, så derfor skriver vi et 1-tal på hundredernesplads i antallet af gange som divisionen går op.

side 6


I punkt 4 regner vi så ud hvor meget vi har „ramt“ indtil nu. Deter denne gang en meget nem udregning af 1 (hundrede) gange 14,som selvfølgelig giver 14 (hundrede).

Derefter trækker vi de 1400 fra de 2173, for at se hvor meget vi„mangler at ramme“.

Bemærk at det som vi her regner ud altid vil være mindre end1400, fordi ellers var den foregående division gået op mindst 1 gangmere. Derfor kan vi starte forfra, idet vi spørger hvor mange ti gange14 går op i resten.

Og sådan kører det videre, indtil vi har spurgt hvor mange gange14 selv går op i en eller anden rest. Bemærk at i dette sidste skridtvil resten altid blive mindre end 14.

Den sidste indsigt er så vigtig at vi rammer den ind som ensætning:

Sætning 3.Hvis x og y er to hele tal, så kan vi udføre division med rest afy op i x. Det resulterer i en såkaldt kvotient q (antallet af gangedivisionen går op) og en rest, r.

De opfylder tilsammen at:

x = q · y + r

Resten r vil altid være mindre end y.

Naturligvis er der et par småting der kan gå anderledes end ieksemplet ovenfor. I det næste eksempel har vi lavet en (lidt vild)udregning, hvor alt hvad der kan gå anderledes gør det:

Eksempel 3.Denne gang får du ikke hvert skridt forklaret. Prøv at lave beregnin-gen selv, og sammenlign dit resultat med nedenstående:

Vi vil dividere x = 256240 med y = 14.

side 7


1 8 3 0 214 2 5 6 2 4 0

1 41 1 6 2 4 01 1 2

4 2 4 04 2

0 4 02 81 2

3.3 Polynomiers division

Nu vil vi opfinde en måde at dividere polymomier med hinanden på.Metoden minder på mange måder om division med rest i de hele tal,men der er også et par forskelle.

Især skal du være opmærksom på følgende:

• Hvis f og g er to polynomier, og vi sætter os for at dividere f medg, så spørger vi altså os selv om hvad man skal gange g med for atfå f (eller så tæt på som muligt). Her mener vi helt præcist hvilketpolynomium man skal gange g med for at forsøge at få f .

Eksempel 4.Jeg vil denne gang prøve at dividere femtegradspolynomiet f , givetved:

f(x) =

med andengradpolynomiet g, givet ved:

g(x) = 4x2 − 2x+ 3

side 8


Udregningen står nedenunder. Prøv om du kan se hvordan (oghvorfor) hvert enkelt skridt er foretaget:

2x2 + 94x − 15

8

4x2 − 2x+ 3 8x4 + 5x3 − 6x2 + 2x − 4

8x4 − 4x3 + 6x2

9x3 − 12x2 + 2x

9x3 − 92x2 + 27

4x

− 152x2 − 19

4x − 4

− 152x2 + 15

4x − 45

8

− 172x + 13

8

3.4 Et fantastisk resultat

Metoden til division af polynomier har en helt fantastisk konsekvens,som du sikkert har hørt før, men som du garanteret aldrig har fåetbevist. Det kan vi nu: (Og vi gør det, selvom det egentlig ikke hørerhjemme i et metode–dokument som dette.)

Sætning 4.Hvis f er et polynomium, og x0 er en såkaldt rod i f . (Det er bare ensmart måde at sige på, at x0 er reelt tal som opfylder at: f(x0) = 0)så vil division med polynomiet g, givet ved:

g(x) = x− x0

gå op!Sagt med andre ord, f vil kunne skrives som:

f(x) = (x− x0) · p(x)

hvor p(x) er et polynomium af grad 1 lavere end f .

side 9


4 Asymptoter for polynomiumsbrøker

4.1 Vandrette asymptoter

De nemmeste asymptoter at få øje på er de vandrette. Vi minder ligeom hvad det vil sige at være en vandret asymptote:

Definition 5 (Vandret asymptote).Hvis f : R→ R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen forf at have den vandrette linje:

{(x; y) ∈ R2 | y = a}

som asymptote hvis:

f(x)→ a , når x→∞

ellerf(x)→ a , når x→ −∞

eller eventuelt begge dele.

4.2 Skrå asymtoter

De sjoveste (men nok også sværeste) asymtoter at få øje på er deskrå. Dem minder vi også lige om hvad betyder:

Definition 6 (Skrå asymptote).Hvis f : R→ R er en funktion og a og b er reelle tal, så siges grafenfor f at have den skrå linje:

{(x; y) ∈ R2 | y = ax+ b}

som asymptote hvis:

|f(x)− (ax+ b)| → 0 , når x→∞

side 10


eller|f(x)− (ax+ b)| → 0 , når x→ −∞

eller eventuelt begge dele.

4.3 Lodrette asymptoter

Til sidst har vi de lodrette asymptoter. De er nok de mest irriterende,fordi de burde være så nemme, men så er det alligevel ret besværligt.

Definition 7 (Lodret asymptote).Hvis f : R→ R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen forf at have den lodrette linje:

{(x; y) ∈ R2 | x = a}

som asymptote hvis:

1. a ligger uden for definitionsmængden Dm(f).

2. Man kan lade x gå imod a, sådan at x1, x2, x3 . . . ligger i defini-tionsmængden Dm(f).

3. |f(x)| → ∞ , når x→ a

side 11

polynomiumsbrøker og asymptoter › matbog2 › arkiv › 13312777413259130.pdf ·...

Documents