grafmanipulation - matbog.dkmatbog.dk/matbog2/arkiv/13028878221673.pdf · grafmanipulation frank...

Grafmanipulation

Frank Nasser

14. april 2011

c©2008-2011.Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som

abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis

ikke er den nyeste tilgængelige.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold1 Introduktion 1

2 Hjælpedefinitioner 1

3 Grafmanipulation 33.1 Forskydning langs y-aksen . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Forskydning langs x-aksen . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Strækning langs y-aksen . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Strækning langs x-aksen . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Harmoniske svingninger – et eksempel 11

5 Andre manipulationer 145.1 Fortegnsskift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Nummerisk værdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Lige og ulige funktioner 156.1 Lige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 ulige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 Egenskaber ved lige og ulige funktioner . . . . . . . . 17

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

I dette lille dokument ser vi på hvordan man kan ændregrafen for en funktion ved at ændre funktionen på nogle gan-ske simple måder. Til sidst indfører vi begreberne lige og uligefunktioner.

1 IntroduktionGrafmanipulation er præcis hvad det lyder som: Hvis man har enfunktion, f , med en bestemt graf, har man nogle gange brug for enfunktion hvis graf er en lille smule anderledes. Vi skal her se, hvordanman kan lave nogle nye funktioner som har næsten de samme grafersom f , blot forskudt eller strakt langs akserne.

En kæmpe fordel ved at forstå grafmanipulation er at både har-moniske svingningsfunktioner og andengradspolynomier bliver megetnemmere at forstå.

Forudsætninger

For at kunne følge med, er det nødvendigt, at du kender til funk-tioner og deres grafer1. Især er det vigtigt at du er fortrolig medsammensætning af funktioner2.

2 HjælpedefinitionerTil brug i hele dokumentet definerer vi to meget simple typer affunktioner.

1Læs om funktioner og deres grafer her2Læs om sammensatte funktioner her

side 1


Definition 1

For hvert reelt tal, a, definerer vi en funktion pa : R→ R ved:

pa : x 7→ x+ a

Altså: pa er ganske enkelt den funktion som lægger a til det mantager den i. (Bogstavet „p“ er naturligvis valgt som en forkortelse af„plus“.)

Eksempel 1

En af de ovenfor definerede funktioner er f.eks. p4. Den opfylderat:

• p4(0) = 0 + 4 = 4

• p4(17) = 17 + 4 = 21

• p4(4) = 4 + 4 = 8

Definition 2

For hvert positivt reelt tal, b, definerer vi en funktion gb : R→ Rved:

gb : x 7→ b · x

Altså: gb er ganske enkelt den funktion som ganger alting med b.

Eksempel 2

En af de ovenfor definerede funktioner er f.eks. g2. Den opfylderat:

side 2


• g2(0) = 2 · 0 = 0

• g2(17) = 2 · 17 = 34

• g2(4) = 2 · 4 = 8

3 Grafmanipulation

3.1 Forskydning langs y-aksen

Sætning 1

Hvis f er en hvilken som helst funktion, og a ∈ R så er densammensatte funktion:

pa ◦ f

givet ved:(pa ◦ f)(x) = pa(f(x)) = f(x) + a

Denne funktion har næsten samme graf som f , blot forskudtafstanden a opad langs y-aksen.

Bemærkninger

• På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med pafra venstre forskyder grafen langs y-aksen.

• Når a er positiv, forskydes grafen opad, og når a er negativforskydes grafen nedad.

side 3


Eksempel 3

Lad f.eks. f være funktionen:

f(x) = sin(x)

og lad a = 4. Da er sammensætningen pa ◦ f givet ved:

(pa ◦ f)(x) = sin(x) + 4

Grafen for f og grafen for pa ◦ f er indtegnet i samme koordi-natsystem på figur 1.

Figur 1: Grafen for sinus, forskudt langs y-aksen

Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og enkonkret værdi af a.

Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og pa ◦ f . De harpræcis samme definitionsmængde, så vi kan tage et x ∈ Dm(f) afgangen.

For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f , givet ved:

(x; f(x))

side 4


Samtidigt får man også et punkt på grafen for pa ◦ f , givet ved:

(x; f(x) + a)

Det sidste af disse punkter ligger forskudt med a op ad y-aksen iforhold til det første. (Hvis a er negativ er det forskudt nedad).

Idet dette gentager sig for alle x ∈ Dm(f) får vi tegnet hele grafenfor pa ◦ f forskudt med a op ad y-aksen.

3.2 Forskydning langs x-aksen

Sætning 2

Hvis f er en hvilken som helst funktion, og a ∈ R så er densammensatte funktion:

f ◦ pagivet ved:

(f ◦ pa)(x) = f(pa(x)) = f(x+ a)

Denne funktion har næsten samme graf som f , blot forskudtafstanden a mod venstre langs x-aksen.

Bemærkninger

• På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med pafra højre forskyder grafen mod venstre.

• Når a er positiv forskydes grafen mod venstre, og når a er ne-gativ forskydes grafen mod højre. Bemærk at dette er lige om-vendt af hvad man „intuitivt“ ville gætte på!

side 5


Eksempel 4


f(x) = x2

og lad a = 3. Da er sammensætningen f ◦ pa givet ved:

(f ◦ pa)(x) = (x+ 3)2

Grafen for f og grafen for f ◦ pa er indtegnet i samme koordi-natsystem på figur 2.

Figur 2: Grafen for funktionen f(x) = x2 forskudt langs x-aksen

Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og enkonkret værdi af a.

Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og f ◦ pa. Defini-tionsmængden for f ◦ pa består af de reelle tal x, hvor pa(x) = x+ aligger i Dm(f).

For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f ◦ pa, givetved:

(x; f(x+ a))

side 6


Samtidigt får man også et punkt på grafen for f , idet x + a ligger iDm(f). Dette punkt er givet ved:

((x+ a); f(x+ a))

Det sidste af disse punkter ligger forskudt med a hen ad x-aksen iforhold til det første. (Hvis a er negativ er det forskudt mod venstre).

Idet dette gentager sig for alle x ∈ Dm(f ◦ pa) får vi tegnet helegrafen for f forskudt med a langs x-aksen i forhold til grafen for f ◦pa.Dette kan også siges som at grafen for f ◦pa er forskudt baglæns langsx-aksen i forhold til grafen for f .

3.3 Strækning langs y-aksen

Sætning 3

Hvis f er en hvilken som helst funktion, og b ∈ R+ så er densammensatte funktion:

gb ◦ f

givet ved:(gb ◦ f)(x) = gb(f(x)) = b · f(x)

Denne funktion har næsten samme graf som f , blot strakt meden faktor b langs y-aksen, med udgangspunkt i x-aksen.

Bemærkninger

• På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med gbfra venstre strækker grafen lodret.

• Når b er større end 1 strækkes grafen væk fra x-aksen, og når ber mindre end 1 mases den sammen.

side 7


• Vi beskæftiger os ikke med hvad der sker når b er negativ.Det er fordi multiplikation med et negativt tal kan ses somen multiplikation med det tilsvarende positive tal, efterfulgt afet fortegnsskift. Vi skal senere se hvad et fortegnsskift gør vedgrafen.

Eksempel 5


f(x) = cos(x)

og lad b = 4. Da er sammensætningen gb ◦ f givet ved:

(gb ◦ f)(x) = 4 · cos(x)

Grafen for f og grafen for gb ◦ f er indtegnet i samme koordi-natsystem på figur 3.

Figur 3: Grafen for cosinus strakt langs y-aksen

side 8


Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og enkonkret værdi af b.

Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og gb ◦ f . De tofunktioner har præcis samme definitionsmængde, så vi kan tage etx ∈ Dm(f) af gangen.

For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f , givet ved:(x; f(x))

Samtidigt får man også et punkt på grafen for gb ◦ f , givet ved:(x; b · f(x))

Det sidste af disse punkter har en y-koordinat som er b gange så storsom det første punkts y-koordinat: Hvis det første punkt ligger på x-aksen, så ligger det andet punkt præcis samme sted. Hvis det førstepunkt har en positiv y-koordinat, så ligger det andet punkt b gangeså højt oppe. Og hvis det første punkt har en negativ y-koordinat, såligger det andet punkt b gange så langt nede.

Idet dette gentager sig for alle x ∈ Dm(f) får vi tegnet helegrafen for gb ◦ f som så bliver strakt med en faktor b langs y-aksenmed udgangspunkt på x-aksen.

3.4 Strækning langs x-aksen

Sætning 4

Hvis f er en hvilken som helst funktion, og b ∈ R+ så er densammensatte funktion:

f ◦ gbgivet ved:

(f ◦ gb)(x) = f(gb(x)) = f(b · x)Denne funktion har næsten samme graf som f , blot sammen-

trukket med en faktor b langs x-aksen med udgangspunkt i y-aksen.

side 9


Bemærkninger

• På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med gbfra højre trækker grafen sammen langs x-aksen.

• Når b er større end 1 bliver grafen trukket sammen, ind imody-aksen. Når b er mindre end 1 bliver grafen strakt ud. Bemærkat dette er lige omvendt af hvad man „intuitivt“ ville gætte på!

Eksempel 6


f(x) = sin(x)

og lad b = 5. Da er sammensætningen f ◦ gb givet ved:

(f ◦ gb)(x) = sin(5x)

Grafen for f og grafen for f ◦ gb er indtegnet i samme koor-dinatsystem på figur 4. Bemærk at den nye graf gennemfører femhele svingninger på den „tid“ som den oprindelige graf gennem-fører en enkelt svingning.

Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og enkonkret værdi af b > 0.

Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og f ◦ gb. Defini-tionsmængden for f ◦ gb består af de reelle tal x, hvor gb(x) = b · xligger i Dm(f).

For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f ◦ gb, givetved:

(x; f(b · x))

Samtidigt får man også et punkt på grafen for f , idet b · x ligger i

side 10


Figur 4: Grafen for sinus sammentrukket langs x-aksen

Dm(f). Dette punkt er givet ved:

((b · x); f(b · x))

Det sidste af disse punkter ligger b gange så langt henne ad x-aksensom det første.

Idet dette gentager sig for alle x ∈ Dm(f ◦ gb) får vi tegnet helegrafen for f strakt med en faktor b langs x-aksen i forhold til gra-fen for f ◦ gb. Dette kan også siges som at grafen for f ◦ gb er ensammentrækning af grafen for f langs x-aksen.

4 Harmoniske svingninger – et eksempelNu vil vi begynde at bruge de foregående observationer i praksis.Nemlig til at forstå en meget vigtig type af funktioner, kendt undernavnet harmoniske svingninger.

side 11


Definition 3

En harmonisk svingning er en funktion af typen:

f(x) = A · sin(ω · x+ φ) + k

hvor A og ω er positive konstanter, og φ og k er vilkålige konstan-ter.

Vi laver en uskyldig teknisk omskrivning af udtrykket for en sådanfunktion:

f(x) = A · sin(ω · (x+ φ

ω)) + k

Set i lyset af de foregående afsnit, kan vi betragte en sådan funk-tion som en stor sammensætning:

f = pk ◦ gA ◦ sin ◦gω ◦ p φω

Dermed kan man danne sig et billede af grafen i hovedet, idetman læser sammensætningen skridt for skridt:

1. Start med grafen for sinus.

2. Sammensæt sinus med gA fra venstre. Dette strækker grafenlangs y-aksen.

3. Sammensæt dette med pk fra venstre. Dette forskyder grafenmed k op langs y-aksen.

4. Sammensæt dette med gω fra højre. Dette sammentrækker gra-fen med en faktor ω langs x-aksen.

5. Sammensæt dette med p φωfra højre. Dette forskyder grafen med

φωmod venstre.

side 12


Eksempel 7

Betragt eksemplet, hvor A = 4, k = 5, ω = 2 og φ = 3. Funktionenkommer da til at se ud som følgende:

f(x) = 4 · sin(2x+ 3) + 5

Dens graf er angivet på figur 5. Prøv at identificere alle de skridtsom er foretaget for at komme fra grafen for sinus til denne graf.

Figur 5: Grafen for den harmoniske svingning fra eksempel 7

Konstanterne A, ω, φ og k har hver sin betydning for grafen forden harmoniske svingning. For bedre at huske disse betydninger, harman givet hver af konstanterne et navn.

side 13


5 Andre manipulationer

5.1 FortegnsskiftLad m betegne funktionen:

m :{

R→ Rx 7→ −x

—Altså den funktion som skifter fortegn på alting.

Øvelse 1

Formuler selv to sætninger om hvad der sker med grafen for enfunktion f , hvis man sammensætter den med m fra henholdsvisthøjre og venstre.

• Bevis disse sætninger.

• Giv passende eksempler, idet du vælger en funktion f , hvorman tydeligt kan se hvordan grafen ændrer sig ved de tosammensætninger.

5.2 Nummerisk værdiLad n betegne funktionen:

n :{

R→ Rx 7→ |x|

—Altså den funktion som tager den nummeriske værdi. Vi minderlige om at nummerisk værdi er defineret ved:

|x| ={x hvis x ≥ 0−x hvis x < 0

side 14


Øvelse 2

Formuler selv to sætninger om hvad der sker med grafen for enfunktion f , hvis man sammensætter den med n fra henholdsvisthøjre og venstre.

• Bevis disse sætninger.

• Giv passende eksempler, idet du vælger en funktion f , hvorman tydeligt kan se hvordan grafen ændrer sig ved de tosammensætninger.

6 Lige og ulige funktionerVi definerer nu to nye begreber, nemlig at en funktion kan værelige eller ulige. Begreberne har mange ligheder med de tilsvarendebegreber for reelle tal, men der er også masser af forskelle. (F.eks.kan en funktion godt være både lige og ulige, og der findes masser affunktioner som hverken er lige eller ulige.

6.1 Lige funktioner

Definition 4

En funktion, f : R→ R kaldes en lige funktion hvis

f(−x) = f(x)

for alle x ∈ Dm(f). Sagt med notationen fra afsnit 5.1, kan detteformuleres som at:

f ◦m = f

side 15


Eftersom sammensætning med m fra højre giver en spejling af grafenomkring y-aksen (se opgave 1), kan man se at en funktion er ligepræcis hvis dens graf er symmetrisk omkring y-aksen.

Eksempel 8

Funktionen f givet ved:

f(x) = xn

er en lige funktion præcis hvis n er et lige tal.

Eksempel 9

Cosinus er en lige funktion.

6.2 ulige funktioner

Definition 5

En funktion, f : R→ R kaldes en ulige funktion hvis

f(−x) = −f(x)

for alle x ∈ Dm(f). Sagt med notationen fra afsnit 5.1, kan detteformuleres som at:

f ◦m = m ◦ f

Eftersom sammensætning med m fra højre giver en spejling af gra-fen omkring y-aksen, og sammensætning med m fra venstre giver enspejling omkring x-aksen (se opgave 1), kan man se at en funktion

side 16


er lige præcis hvis dens graf er ændrer sig på samme måde når manspejler den i henholdsvist x-aksen og y-aksen.

Eksempel 10

Funktionen f givet ved:

f(x) = xn

er en ulige funktion præcis hvis n er et ulige tal.

Eksempel 11

Sinus er en ulige funktion.

6.3 Egenskaber ved lige og ulige funktionerDet er vigtigt at indse at det langtfra er alle funktioner som enten erlige eller ulige! Den lineære funktion, f , givet ved:

f(x) = 2x+ 1

er f.eks. hverken lige eller ulige. Der findes sågar en enkelt funktionsom både er lige og ulige. (Kan du se hvilken?)

Udover disse særheder er der mange fællestræk mellem begrebet„lige og ulige tal“ og begrebet „lige og ulige funktioner“. Vi formulerernogle af disse egenskaber i en sætning.

Sætning 5

Hvis f og g er lige funktioner, så er funktionerne:

f + g

side 17


f − g

f · g

også lige funktioner.Hvis f og g er ulige funktioner, så er funktionerne:

f + g

f − g

f · g

også ulige funktioner.Hvis f er en lige funktion og g er en ulige funktion, så er

f · g

en lige funktion. (Derimod er f + g og f − g som regel hverkenlige eller ulige!)

Øvelse 3

Bevis disse påstande! Prøv også at formulere andre påstande ogundersøg om de er rigtige! Kan man f.eks. sige hvad der sker nårman sammensætter lige/ulige funktioner med hinanden?

side 18

grafmanipulation - matbog.dkmatbog.dk/matbog2/arkiv/13028878221673.pdf · grafmanipulation frank...

Documents