ploce i ljuske

ENERGETSKI PRISTUP

Tanke ploče Pretpostavke (Kirchoff):

• nema deformacija u sredini ploče • presjeci ostaju okomiti na središnju plohu (ekvivalentno Bernoullijevoj pretpostavci

kod greda) • naprezanje okomito na središnju plohu je zanemarivo

Pomaci ploče

),( yxww = x

wzu

∂∂

−= y

wzv

∂∂

−=

jer je x

w

∂∂

kut nagiba ploče u smijeru x u točki u kojoj je progib jednak w (odnosno,

ekvivalentno za y smijer). Konstitutivne jednadžbe (teorija elastičnosti – plane stress, anizotropni materijal)

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

x

v

y

u

y

vx

u

EEE

EEE

EEE

xy

y

x

662616

262212

161211

τσσ

Uz supstituciju (gore navedene) veze izmeñu pomaka u, v i progiba w imamo

∂∂∂

−

∂

∂−

∂

∂−

=

yx

wz

y

wz

x

wz

EEE

EEE

EEE

xy

y

x

2

2

2

2

2

662616

262212

161211

2τσσ

U inžinjerskoj praksi obično se koristi rezultantna teorija ploča gdje se naprezanja integriraju podebljini ploče i postaju momenti po jedinici širine ploče (oznaka m [kNm/m], za razliku od M [kNm] – ukupni moment).

∫=

−=

=2

2

hz

hz

xx dzzm σ ∫=

−=

=2

2

hz

hz

yy dzzm σ ∫=

−=

=2

2

hz

hz

xyxy dzzm τ

ENERGETSKI PRISTUP

gdje je h debljina ploče. Druga derivacija progiba aproksimira zakrivljenost κ pa konstitutivna jednadžba postaje (nakon integracije prvotne konstitutivne jednadžbe po debljini ploče*z)

∂∂∂

−

∂

∂−

∂

∂−

=

∫−

yx

w

y

w

x

w

dzz

EEE

EEE

EEE

m

m

m h

hxy

y

x

2

2

2

2

2

2

2

2

662616

262212

161211

2

Nakon uvoñenja oznake za zakrivljenost, integriranja i pretpostavke izotropnog materijala ploče, dobivamo

( )

−

−

−

−−=

xy

y

x

xy

y

xEh

m

m

m

κκκ

νν

ν

ν2

2

100

01

01

112 2

3

ili

( )

−

−

−

−−

=

xy

y

x

xy

y

xEh

m

m

m

κκκ

νν

ν

ν100

01

01

112 2

3

Uvjet ravnoteže

0, =+ ijij fσ

daje nam jednadžbe ravnoteže

0=−∂

∂+

∂∂

xxyx Qy

m

x

m 0=−

∂

∂+

∂

∂y

yxyQ

y

m

x

m 0=+

∂

∂+

∂∂

qy

Q

x

Q yx

gdje su Qx i Qy poprečne sile na ploči, a q vanjsko opterećenje. Iz prve dvije jednadžbe možemo izraziti Qx i Qy i uvrstitit ih u zadnju jednadžbu ravnoteže, pa dobivamo

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

qy

m

y

m

x

m

x

m yxyxyx

Uz pomoć konstitutivnih jednadžbi, ova jedndžba, za slučaj izotropnog materijala, postaje

ENERGETSKI PRISTUP

D

q

y

w

yx

w

x

w=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂4

4

22

4

4

4

2 ( )2

3

112 ν−=

EhD

To je tkz. biharmonijska jednadžba koju rješavamo na razne načine.

ENERGETSKI PRISTUP

Modeliranje pločastih konstrukcija Savijanje tanke ploče po Kirchhoffovoj teoriji (biharmonijskom parc.dif.jed.)

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

42

w

x

w

x y

w

y

q

D+ + = −

0 0.5 10.5

0

0.5

1

g1 y j( )

y j

0 0.5 10.5

0

0.5

1

g2 y j( )

y j Povećanjem broja članova reda raste točnost prikaza opterećenja:

g1 x( )

1

50

n

sin n π⋅v

Lb⋅

sin n π⋅d

Lb⋅

⋅ sin n π⋅x

Lb⋅

⋅

n∑=

:= g2 x( )

1

500

n

sin n π⋅v

Lb⋅

sin n π⋅d

Lb⋅

⋅ sin n π⋅x

Lb⋅

⋅

n∑=

:=

Slobodno oslonjena ploca, prema Navier-ovom opcem rjesenju

Opterecenje ploce unutar pravokutnika dimenzija 2c*2d Krutost ploce K

dimenzije ploce: La 1.:= Lb 1.:= K

E h3

⋅

12 1 ν2

−( )⋅

:= dimenzije opterecenja: c 0.2:= d 0.2:=

polozaj opterecenja: u 0.5:= v 0.5:= K 1000:=

intenzitet opterecenja: p 1.:=

Broj clanova reda igra vaznu ulogu u tocnosti rjesenja (opcenito, konvergencija je spora)!

opterecenje razvijeno u dvostruki Fourier-ov red kao neparna funkcija koordinata x i y:

j 0 50..:= A m n,( )

16 p⋅

π2

m⋅ n⋅

sin m π⋅u

La⋅

⋅ sin m π⋅c

La⋅

⋅ sin n π⋅v

Lb⋅

⋅ sin n π⋅d

Lb⋅

⋅:=

yj

Lb j⋅

50:=

prikaz ujecaja broja clanova reda na tocnost:

g1 x( )

1

10

n

sin n π⋅v

Lb⋅

sin n π⋅d

Lb⋅

⋅ sin n π⋅x

Lb⋅

⋅

n∑=

:= g2 x( )

1

25

n

sin n π⋅v

Lb⋅

sin n π⋅d

Lb⋅

⋅ sin n π⋅x

Lb⋅

⋅

n∑=

:=

xi

La i⋅

30:=

i 0 30..:=

ENERGETSKI PRISTUP

0 0.5 10.5

0

0.5

1

g1 y j( )

y j

0 0.5 1

0

1

g2 y j( )

y j Isti postupak možemo primijeniti i za opterećenje u ravnini, samo takvi izračuni su dugotrajni:

p x y,( )

1

10

m 1

10

n

A m n,( ) sin m π⋅x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

∑

=∑=

:= gri j, p x

iy

j,( ):=

gr

i napokon s 50 članova reda

p x y,( )

1

25

m 1

25

n


La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

∑

=∑=

:= gri j,

p xi

yj

,( ):=

gr

ENERGETSKI PRISTUP

p x y,( )

1

50

m 1

50

n


La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

∑

=∑=

:= gri j, p x

iy

j,( ):= 13 minuta

gr Rješenje progiba ploče je takoñer razvoj u red: Rjesenje:

w x y,( )1

K π4

⋅ 1

10

m 1

10

n

A m n,( )

m2

La2

n2

Lb2

+

sin m π⋅x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

∑=

∑=

⋅:=gr

i j, w xi

yj

,( ):=

gr

w 0.5 0.5,( ) 3.493 106−

×= Na svu sreću, kao što možemo vidjeti na slijedećoj slici za 25 članova reda, rješenje za progib je puno manje ovisno o broju članova reda!

ENERGETSKI PRISTUP

w x y,( )1

K π4

⋅ 1

25

m 1

25

n

A m n,( )

m2

La2

n2

Lb2

+

sin m π⋅x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

∑=

∑=

⋅:=gr

i j, w xi

yj

,( ):=

4 minute

gr

w 0.5 0.5,( ) 3.512 106−

×= I koncentriranu silu možemo predstaviti razvojem u harmonijski red:

P x( )

1

500

n

sin n π⋅0.5

L⋅

sin n π⋅∆x

L⋅

⋅ sin n π⋅x

L⋅

⋅

n∑=

:=

0 0.2 0.4 0.6 0.80.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.926

0.044−

P ∆x i⋅( )

10 ∆x i⋅

ENERGETSKI PRISTUP

Rezne sile Rezne sile ploče dobivamo prema formulama za momente

∂

∂+∂

∂−=2

2

12

2

y

wD

x

wxDxM

∂

∂+∂

∂−=2

2

12

2

x

wD

y

wyDyM

yx

wxyDxyM

∂∂∂=

22

Ako te formule primjenimo na funkciju progiba w(x,y) dobijemo funkcije za računanje momenata na prizvoljnom mjestu u ploči

Mx x y,( )1

D π4

⋅ 1

15

m 1

15

n

Dx

m2

La2

A m n,( )⋅ π2

⋅

m2

La2

n2

Lb2

+

2sin m π⋅

x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

⋅ D1

n2

Lb2

A m n,( )⋅ π2

⋅

m2

La2

n2

Lb2

+

2sin m π⋅

x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

⋅+

∑=

∑=

⋅:=

My x y,( )1

D π4

⋅ 1

15

m 1

15

n

D1

m2

La2

A m n,( )⋅ π2

⋅

m2

La2

n2

Lb2

+

2sin m π⋅

x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

⋅ Dy

n2

Lb2

A m n,( )⋅ π2

⋅

m2

La2

n2

Lb2

+

2sin m π⋅

x

La⋅

⋅ sin n π⋅y

Lb⋅

⋅

⋅+

∑=

∑=

⋅:=

Mxy x y,( )2

D π4

⋅ 1

15

m 1

15

n

Dxy

m n⋅

La Lb⋅A m n,( )⋅ π

2⋅

m2

La2

n2

Lb2

+

2cos m π⋅

x

La⋅

⋅ cos n π⋅y

Lb⋅

⋅

⋅

∑=

∑=

⋅:=

ENERGETSKI PRISTUP

grMx

grMy Moment My

ENERGETSKI PRISTUP

grMxy

Moment Mxy Isti ti momenti u drugačijem grafičkom prikazu

grMx

ENERGETSKI PRISTUP

grMy

grMxy

ENERGETSKI PRISTUP

Ploča Pozitivni koordinatni sustav za program PLOCA. Pozitivni koordinatni sustav reznih sila u programu PLOCA.

PODACI O GEOMETRIJI

Čine prvi korak pri definiranju konstrukcije,a grupirani su :

podaci o čvorovima (numeracija, koordinate, tip-stupnjevi slobode)

podaci o štapovima (numeracija, veza-krajnji čvorovi,

tip materijala)

podaci o elementima (numeracija, veza, tip materijala) Unos je moguć pojedinačno ili korištenjem generatora.

Numeriranje počinje od 1, 0 kao početna vrijednost nije dopuštena.

ENERGETSKI PRISTUP

Primjer okrugle ploče UPETA OKRUGLA PLOCA - simetricna cetvrtina Osnovni podaci o ploci Broj cvorova = 49

Broj stapova = 0

Broj elemenata= 12

Broj presjeka = 1

Broj opterec. = 1

Opterecenje je jednoliko podijeljeno opterecenje po cijeloj ploci (na svim plocastim elementima).

ENERGETSKI PRISTUP

Pokrovna ploča rezervoara

mreža konačnih elemenata

ENERGETSKI PRISTUP

pomaci od vlastite težine *5000

ENERGETSKI PRISTUP

momenti M1

momenti M2

ENERGETSKI PRISTUP

Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Diferencijalne jednadžbe Razvoj inženjerskih znanosti se temelji na postavljanju i rješavanju diferencijalnih jednadžbi. Razlikujemo tkz. obične diferencijalne i parcijalne diferencijalne jednadžbe. Primjer obične dif.jed. je na pr. jednadžba savijanja grede

d y

dxEI M

2

2 * = − .

Parcijalne diferencijalne jednadžbe proizilaze iz problema koje opisujemo s više od jedne nepoznanice. Opći oblik parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda je

A x yu

xB x y

u

x yC x y

u

yD x y

u

x

u

y( , ) ( , ) ( , ) ( , , , )

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2 2

20+ + + =

Klasifikacija jednadžbi se provodi prema vrijednostima parametara A, B i C. Za uvjet

B AC2 4 0− < jednadžba je eliptična. Za uvjet B AC2 4= jednadžba je parabolična, a

za B AC2 4 0− > jednadžba je hiperbolična. Parabolične i hiperbolične parcijalne diferencijalne jednadžbe su mnogo teže za rješavanje jer nemaju zatvoreni rub, pa niti definirane rubne vrijednosti, nego samo početne vrijednosti na pojedinim djelovima ruba. Mi ćemo se baviti samo eliptičnim jednadžbama. Vrlo česti primjer eliptične parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda u tehničkim znanostima je Poissonova diferencijalna jednadžba

− ≡ − +

=∆u

u

x

u

yf x y

∂∂

∂∂

22

2 2( , )

koja ima primjenu u mnogim granama tehnike. U toj jednadžbi u je funkcija dvaju nepoznanica, x i y. Primjer su problemi potencijala, torzije, topline, (nevrtložno) tečenje idelanog fluida i drugi (samo se funkcija f(x,y) mijenja). Homogeni oblik te jednadžbe (f(x,y)=0) je tkz. Laplaceova diferencijalna jednadžba.

Rubni uvjeti Razlikujemo dvije grupe rubnih uvjeta: Dirichletove rubne uvjete gdje su zadane vrijednosti funkcije na rubu domene Γ

u u= 0 na Γ

Neumannove rubne uvjete gdje su na rubu domene Γ zadane vrijednosti (usmjerene) derivacije

∂∂

u

ng= na Γ

U našim ćemo primjerima razmatrati samo tkz. linearne diferencijalne jednadžbe, tj. one kod kojih je veza meñu nepoznanicama linearna. Takoñer, pretpostavlja se da su početni uvjeti i rubni zadani tako da je moguće naći jedinstveno rješenje. Rješavanje diferencijalni jednadžbi će se provoditi numerički, ali gdje god je poznato analitičko rješenje, savjetuje se da se ono pomno razmotri jer daje puno bolji uvid u ponašanje diferencijalne jednadžbe nego jedno numeričko rješenje problema.

ENERGETSKI PRISTUP

Metoda konačnih razlika Metoda konačnih razlika pretvara rješavanja diferencijalne jednadžbe u formiranje i rješavanje sistema običnih linearnih jednadžbi. Pri tom postupku derivacije se samo aproksimiraju i time se uvodi greška koja direktno ovisi o broju jednadžbi koje formiramo; povećavanjem broja jednadžbi ta se greška smanjuje. Za veliki broj problema postiže se dovoljno točno rješenj s malim broj jednadžbi.

Funkcije jedne nepoznanice

Pogledajmo način na koji aproksimiramo derivacije dy

dx

y

x

f x x f x

xx= =

+ −→

lim( ) ( )

∆

∆∆

∆∆0

.

Na sličan način možemo prikazati i više derivacije

d y

dx

y

x

x

f x x f x

x

f x f x x

x

xx

2

2 0=

=

+ −

−− −

→lim

( ) ( ) ( ) ( )

∆

∆∆∆

∆

∆∆

∆∆

∆

Grafički prikaz će nam olakšati razumijevanje aproksimacije derivacija:

Ukoliko ∆x dovoljno smanjimo, numerička aproksimacija derivacije će biti vrlo točna (granica ispod koje ne smijemo nikako ići je točnost računala na kojem radimo). Pogledajmo na primjeru kako je jednostavno numeričko deriviranje (MathCAD):

Zadana je trigonometrijska funkcija f(x)=sin(x)

ENERGETSKI PRISTUP

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.008407

0.49

0.991

8.407− 103−

×

sin x( )

3.150 x

numericko deriviranje u tockama a i b a 0.75:= b 1.5:= dx 0.00001:=

sin a dx+( ) sin a( )−

dx0.73169=

sin b dx+( ) sin b( )−

dx0.07073=

tocna vrijednost derivacije je cos a( ) 0.73169= cos b( ) 0.07074=

Postupak daje vrijednost derivacije u željenoj točki (ali ne

dobivamo funkciju kao rješenje kao kod 'klasične' analitičke

derivacije).

Kada smo shvatili princip numeričkog deriviranja, možemo napisati tkz. jednadžbe konačnih razlika za prvu, drugu i sve potrebne derivacije. Nakon toga te se jednadžbe uvrste u diferencijalnu jednadžbu i dobivamo sistem linearnih jednadžbi čija su rješenja u zadanim točkama vrijednosti funkcije koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu. Na taj smo način dif.jed. rješili numerički! Jednadžbe konačnih razlika mogu biti definirane preko slijedeće (forward differences), središnje (central differences) ili prethodne (backward differences) točke na domeni (vidi sliku). Treba napomenuti da formulacija preko središnje točke daje najmanju grešku (to se može lako matematički dokazati preko razvoja u Taylorov red), te ju stoga valja najčešće koristiti. Prva derivacija 1) preko slijedeće točke

dy

dx

y y

hi

i i

≈−+1

2) preko središnje točke

dy

dx

y y

hi

i i

≈−+ −1 1

2

3) preko prethodne točke

dy

dx

y y

hi

i i

≈− −1

Za rješavanje diferencijalne jednadžbe drugog reda treba nam i druga derivacija 1) preko slijedeće točke

ENERGETSKI PRISTUP

d y

dx

y y y

hi

i i i2

21 2

2

2

≈

− ++ +

2) preko središnje točke

d y

dx

y y y

hi

i i i2

21 1

2

2

≈

− +− +

3) preko prethodne točke

d y

dx

y y y

hi

i i i2

22 1

2

2

≈

− +− −

Na sličan način možemo definirati treću derivaciju, četvrtu itd., prem potrebi, ovisno kakvu diferencijalnu jednadžbu rješavamo. Na primjeru odreñivanja progiba proste grede prikazat ćemo postupak konačnih razlika (vidi MathCAD primjer 'UMKE32.MCD' u prilogu).

Primjer

"umke32.pcx" Neka je prosta greda linearno promjenjivog presjeka (za takav slučaj vrlo je teško naći točno rješenje diferencijalne jednadžbe) i opterećena jednolikim opterećenjem. Jednadžba momenta bilo gdje na gredi je

M q Lx

qx

= −* * *2 2

2

gdje je q intenzitet opterećenja, a L raspon grede. Napišimo sada diferencijalnu jednadžbu koristeći centralnu formulaciju jednadžbe konačnih razlika

( )qx

L xEI

hy y yi

ii

i i i* * ( ) *2

22 1 1− = − +− +

Jednadžbu postavljamo za svaki i (i=1,...,5) na našoj gredi i dobivamo sistem jednadžbi u kojem su yi nepoznanice (malo smo ispremiješali koeficijente):

ENERGETSKI PRISTUP

( )

( )

( )

. . . . . . .

... .

. .

. ...

. . . . . . .

...

...

*

...

...

0 1 2 1 0

0 1 2 1 0

0 1 2 1 02

1

1

2

0

1 10

1

0

1 10

1

−

−

−

=

−

−

−

−

+

− −−

+ ++

y

y

y

qh

EI

x L xI

I

x L xI

I

x L xI

I

i

i

i

i ii

i ii

i ii

odnosno, matrično AY = X .

U našem primjeru odmah znamo rješenja za točke 1 i 5 jer je tu zbog rubnih uvjeta progib jednak nuli (y=0), pa nam ostaje sistem sa samo 3 jednadžbe čije je rješenje:

Y A1−

X⋅:= Y

5.859375− 103−

×

7.8125− 103−

×

5.859375− 103−

×

=

Za jedinične ulazne podatke (q=1.0, L=1.0 i EI0=1.0) to je i numeričko rješenje.

graficki prikaz progiba:

0 0.25 0.5 0.75 10.01

0.005

0

y j

xj U našem primjeru greda je podijeljena na mali broj točaka i točnost rješenja nije velika, ali se ništa principjelno ne mijenja s većim brojem točaka, osim što raste točnost rješenja (ali i vrijeme potrebno računalu da riješi sistem jednadžbi). Takoñer, u našem primjeru je uticaj rubnih uvjeta sakriven u jednadžbama (sjetimo se, uveli smo da je y1=0 i y5=0). Općenito se uticaj rubnih uvjeta uzima u obzir modifikacijama matrice A prema nekim pravilima koja se mogu formirati za razne rubne uvjete (vidi Kožar, I. Kompleksno opterećeni štapovi, FRaK 18/19, 1987, str. 32-36).

Funkcije više nepoznanica

Problemi koji sadrže više od jedne nepoznanice opisuju se parcijalnim diferencijalnim jednadžbama od kojih ćemo mi razmotriti samo Poissonovu; ostale se parcijalne diferencijalne jednadžbe metodom konačnih razlika rješavaju na sličan način. Kao primjer će nam poslužiti problem savijanja tanke ploče po Kirchhoffovoj teoriji. Problem je opisan biharmonijskom parc.dif.jed.

ENERGETSKI PRISTUP

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

42

w

x

w

x y

w

y

q

D+ + = −

koju možemo svesti na dvije Poissonove. Prvo uspostavimo vezu izmeñu momenata savijanja i vanjskog opterećenja

∂∂

∂∂

2

2

2

2

M

x

M

yq+ = − .

Nakon rješavanja te jednadžbe poznati su nam momenti M, pa možemo uspostaviti vezu izmeñu progiba ploče w i momenata savijanja

∂∂

∂∂

2

2

2

2

w

x

w

y

M

D+ = − .

U jednadžbama su

MM Mx y=

+

+1 ν; D

Ed=

−

3

212 1( )ν

a d je debljina ploče. Za funkcije dvije varijable u=f(x,y) aproksimacije derivacija su

∂∂

u

x

u

x

u x x y u x y

xx= =

+ −→

lim( , ) ( , )

∆

∆∆

∆∆0

,

zatim

∂∂

2

2 0

u

x

u

x

xx=

=→

lim∆

∆∆∆

∆

[ ] [ ]=

+ − − − −=

u x x y u x y u x y u x x y

x

( , ) ( , ) ( , ) ( , )∆ ∆

∆ 2

=+ + −u x x y u x x y

x

( , ) ( , )∆ ∆∆ 2

.

Isto vrijedi

∂∂

2

2 0

u

y

u

y

yy=

=→

lim∆

∆∆∆

∆

u x y y u x y y

y

( , ) ( , )+ + −∆ ∆∆ 2

.

i za mješovitu derivaciju

∂∂ ∂

2

0 0

u

x y

u

x

y

u

y

xy x=

=

=→ →

lim lim∆ ∆

∆∆∆

∆

∆∆∆

∆

=+ + − + − + −( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))u x x y y u x y y u x x y u x y

x y

∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆

ENERGETSKI PRISTUP

Na sličan način se definiraju i druge više derivacije. Time smo spremni za definiranje jednadžbi konačnih razlika. Jednadžbe ćemo definirati za točku (i,j) na mreži s podjelom gustoće h u smijeru x i gustoće k u smijeru y.

Prema slici jedna od jednadžbi konačnih razlika je sada:

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

21 1

2

u

x y x

u

y

u

y

u

y

hi j

i j i j

=

=

−

=+ −

,

, ,

( ) ( )=

− − −=

+ + + − − + − −u u u u

kh

i j i j i j i j1 1 1 1 1 1 1 1

4

, , , ,

=− − ++ + + − − + − −u u u u

kh

i j i j i j i j1 1 1 1 1 1 1 1

4, , , ,

Primjer

Prije formuliranja jednadžbi konačnih razlika promotrimo skicu problema savijanja ploče i mrežu podjele na po 8 dijelova u x i y smijeru:

ENERGETSKI PRISTUP

k hL

= =8

Zbog centralne simetrije problema možemo analizirati samo 1/8 ploče uz definiranje odgovarajućih rubnih uvjeta, pa se jednadžbe postavljaju samo u 10 točaka označenih na crtežu. Za središnje točke jednadžbe konačnih razlika prve dif.jed. (veza momenata i opterećenja) su (prema slici)

M M M

h

M M M

kq

i j i j i j i j i j i j+ − + −− ++

− += −1 1

21 1

2

2 2, , , , , ,

i nakon što ih sredimo u prikladniji izraz

M M M M MqL

i j i j i j i j i j+ − + −− + + + = −1 1 1 1

2

464, , , , ,

možemo formirati matričnu jednadžbu AM = q .

U jednadžbama moramo uzeti u obzir rubne uvjete: - na rubu su momenti i progibi nula, M = w = 0 - na točkama oko dijagonale (točke 1,5,8) vrijednosti su simetrične pa to treba uvrstiti - na pr., jednadžba u točki 1 glasi prema šemi za Poissonovu dif.jed.

M M M M M q h1 1 1 2 6 124' '' '− + + + = − ⋅ ,

ali zbog toga što su točke 1' i 1'' na rubu (na osloncu), moment okomito na oslonac je (kod oslonjene ploče) nula, odnosno M1' = M1'' = 0, isto tako, zbog simetrije vrijednost M6’ u smijeru y jednaka je vrijednosti M2 u smijeru x, odnosno, M2’ = M6 pa kad to uzmemo u obzir jednadžba u točki 1 glasi

− + = −4 2641 21

2

M Mq L

,

- dalje na pr., jednadžba u točki 5 bi trebala biti

M M M M M q h2 5 2 6 6 524' '− + + + = − ⋅ ,

ali zbog simetrije (oko dijagonale) vrijedi - vrijednost M2’ u smijeru x jednaka je vrijednosti M6 u smijeru y, - vrijednost M6’ u smijeru y jednaka je vrijednosti M2 u smijeru x, dakle M2’ = M6 i M6’ = M2 pa konačno pišemo za jednadžbu u točki 5

ENERGETSKI PRISTUP

2 4 2642 5 6

2

M M MqL

− + = − .

- na pr., jednadžba u točki 6 jedina je potpuno prema šemi (nema rubnih uvjeta) i glasi

M M M M M q h3 6 5 7 8 624− + + + = − ⋅

Na sličan način formiramo jednadžbe za svih 10 točaka (potpun izgled matrice jednadžbi M vidi u primjeru UMKE33.MCD za MathCADa). Rješenja jednadžbe (vektor q) smo prikazali grafički; napomenimo da to nije dijagram

momenata jer za M vrijedi MM Mx y=

+

+1 ν iz čega se tek trebaju izračunati Mx i My

(kao u točki 10). Računanje nastavljamo rješavanjem druge Poissonove diferencijalne jednadžbe

∂∂

∂∂

2

2

2

2

w

x

w

y

M

D+ = −

uvrštavanjem vrijednosti za M (koje su sada poznate) u desnu stranu jednadžbe. Za slobodno oslonjenu ploču su rubni uvjeti za progib w isti kao i za M pa je matrica M u ovom slučaju ista kao i prije, odnosno, mijenja se samo desna strana (vektor q). Na pr., za točku 5 jednadžba je

2 4 2642 5 6

52

w w wM L

D− + = −

itd. za sve ostale točke.

q 1.0:= L 1.0:=

matrica koeficijenata vektor desne strane

A

4−

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2

4−

1

0

2

0

0

0

0

0

0

1

4−

2

0

1

0

0

0

0

0

0

1

4−

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

4−

1

0

0

0

0

0

0

1

0

2

4−

2

2

0

0

0

0

0

1

0

1

4−

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

4−

2

0

0

0

0

0

0

0

1

2

4−

4

0

0

0

0

0

0

0

0

1

4−

:= X q−L

2

64⋅

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

⋅:=

Rješenje ovog sistema jednadžbi su progibi ploče:

rjesavamo sistem jednadzbi M A1−

X⋅:=

MT

0.01778 0.02775 0.03292 0.03452 0.04466 0.05377 0.05664 0.06523 0.06888 0.07278( )=

Grafički prikaz rezultata je:

ENERGETSKI PRISTUP

Sada možemo izračunati i stvarne momente savijanja u smijeru os i x i osi y (Mx i My). Matrica sistema je ostala ista, mijenja se samo desna strana jednadžbi

krutost ploce: D 1.0:=

QM

D−

L2

64⋅:=

Q

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4-2.778�10

-4-4.335�10

-4-5.143�10

-4-5.394�10

-4-6.979�10

-4-8.401�10

-4-8.85�10

-3-1.019�10

-3-1.076�10

-3-1.137�10

=

Progibi su proporcionalni vrijednostima momenata M, kao što se dobro vidi iz grafičkog prikaza (nakon dodavanja uvjeta simetrije!) :

ENERGETSKI PRISTUP

Membranska teorija ljuski

ravnoteza u smijeru α:

1

A B⋅ αB Nα⋅( )∂

∂ βA S⋅( )∂

∂+ S

βA∂

∂⋅+ Nβ

αB∂

∂⋅−

⋅ qα+ 0

ravnoteza u smijeru β:

1

A B⋅ αB S⋅( )∂

∂ βA Nβ⋅( )∂

∂+ S

αB∂

∂⋅+ Nα

βA∂

∂⋅−

⋅ qβ+ 0

ravnoteza okomito na debljinu ljuske:

Nα

Rα

Nβ

Rβ+ qn

Imamo samo tri nepoznanice (Nα, Nβ, S) koje su neovisne o uvjetima kompatibilnosti i konstitutivnim jednadzbama materijala -> staticki odredjen problem (ako nam to dopustaju rubni uvjeti).

A,B - Lame-ovi parametri

ds2

A2

dα2

B2

dβ2

+:= odnosno dsα A dα⋅:=

A ,B - mjere zakrivljenosti dsβ B dβ⋅:=

Nα,Nβ - uzduzne sile u smijeru α i β

Mα,Mβ - momenti u smijeru α i β

S aproksimacija smicucih sila u ravnini S = Nαβ = Nβα

ENERGETSKI PRISTUP

Osno simetricne ljuske

krivolinijske koordinate su meridionalni kut φ i osni kut θ, odnosno α=φ i β=θ A=R(φ) i B=R0=Rθsinφ

R0 - meridionalni radijus Rθ - radijus u vertikalnoj ravnini

A Rφ B Rθ sin φ( )⋅

Jednadzbe ravnoteze su sada:

1

Rφ φNφ

∂

∂⋅

Nφ Nθ−

Rθ tan φ( )⋅+

1

R0 θS

∂

∂⋅+ qφ+ 0

1

Rφ φS∂

∂⋅

S

2 Rθ⋅ tan φ( )⋅+

1

R0 θNθ

∂

∂⋅+ qθ+ 0

Nφ

Rφ

Nθ

Rθ+ qn

Timoshenko i Woinowsky-Krieger integriraju ovaj sistem parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.

Novozhilov uvodi supstituciju : ψ Nφ Rθ⋅ sin φ( )2⋅:=

ξ S Rθ2

⋅ sin φ( )2⋅:=

i rjesava trecu jednadzbu : Nθ Rθ qn

Nφ

Rφ−

⋅:=

nakon supstitucije, preostale dvije glase:

Rθ2

sin φ( )⋅

Rφ φψ∂

∂⋅

θξ∂

∂+ qn cos φ( )⋅ qφ sin φ( )⋅−( ) Rθ

3⋅ sin φ( )2

⋅

φξ∂

∂

Rθ

sin φ( ) θψ∂

∂⋅− qθ sin φ( )⋅

θqn

∂

∂−

− Rφ Rθ2

⋅⋅ sin φ( )⋅

ENERGETSKI PRISTUP

Osno-simetricno opterecenje

svi izrazi koji su funkcije od θ postaju konstante, a derivacije nestaju!

dobivamo odvojene diferencijalne jednadzbe:

φψd

dqn cos φ( )⋅ qφ sin φ( )⋅−( ) Rφ⋅ Rθ⋅ sin φ( )⋅

pa mozemo imati i dva odvojena rubna uvjeta. φ

ξd

dqθ− Rφ⋅ Rθ

2⋅ sin φ( )⋅

iz prve jednadzbe dobivamo rjesenje:

ψ φ( ) φqn cos φ( )⋅ qφ sin φ( )⋅−( ) Rφ⋅ Rθ⋅ sin φ( )⋅⌠⌡

d

Ukoliko rubne uvjete izrazimo kao ψ(φ0) na φ=φ0 onda mozemo pisati

ψ φ( ) ψ φ0( )

φ0

φ

φqn cos φ( )⋅ qφ sin φ( )⋅−( ) Rφ⋅ Rθ⋅ sin φ( )⋅⌠⌡

d+

odnosno

Nφ φ( )Nφ φ

0( ) Rθ φ0( )⋅ sin φ

0( )2

⋅

Rθ sin φ( )2⋅

1

Rθ sin φ( )2⋅ φ0

φ

φqn cos φ( )⋅ qφ sin φ( )⋅−( ) Rφ⋅ Rθ⋅ sin φ( )⋅⌠⌡

d⋅+:=

i

Nθ Rθ qn

Nφ

Rφ−

⋅:=

S je potpuno neovisan od Nφ i Nθ. Uobicajeno je qθ=0 i tada je isto S=0, ali to nije nuzan

uvjet.

ENERGETSKI PRISTUP

Sferna kupola

osnovni parametri:

masa kupole: ρ 1.0:=

radijus : a 5.0:=

granicni kutovi: φ10

180π⋅:= φ2

80

180π⋅:=

slijedi :

Rφ a:= qθ φ( ) ρ sin φ( )⋅:= vertikalna koordinate (os)

Rθ a:= qn φ( ) ρ− cos φ( )⋅:= Z φ( ) a cos φ1( )⋅ a cos φ( )⋅−:=

rubni uvjeti:

Nφ φ0( ) Nφ φ1( ) 0

geometrija : δφ

φ2 φ1−

10:=

δφ 0.14=

φ φ1 φ1 δφ+( ), φ2..:= R0 φ( ) a sin φ( )⋅:=

0 1 2 3 4 55

4

3

2

1

0

Z φ( )−

R0 φ( )

ENERGETSKI PRISTUP

rjesenje :

Nφ φ( ) ρ a⋅

sin φ( )2cos φ2( ) cos φ1( )−( )⋅:=

Nθ φ( ) a ρ− cos φ( )⋅Nφ φ( )

a−

⋅:=

0 1 2 3 4 5300

200

100

0

Nφ φ( )

R0 φ( )

0 1 2 3 4 50

100

200

300

Nθ φ( )

R0 φ( )

ENERGETSKI PRISTUP

Program CISAL (analiza osno simetricnih ljuski – Ivica Kožar)

ENERGETSKI PRISTUP

Static and Dynamic Axisymmetric Shell Analysis

Ivica Kožar, Grañevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, Croatia

1 Introduction

Paper is a result of the need for a useful computer program that can be used in practical design applications. Namely, it is easy to obtain a computer program for axisymmetric shell design (for e.g. see [1]) but only for axisymmetric loading. In civil engineering practice one almost always has to consider non-symmetric loading as well. The best examples are wind force stresses in static and earthquake stresses in dynamic analysis.

The Paper is arranged as follows. The basic axisymmetric shell kinematics is described in section 2. Use of orthogonal functions that enables non-symmetric analysis is shortly presented in section 3. Basic axisymmetric shell deformations for different terms in the harmonic analysis are described in section 4. Finite element discretisation is described next (section 5) followed by the dynamic equations in section 6. Static and dynamic calculation of a reinforced concrete water reservoir illustrate the method in section 7.

2 Axisymmetric Shell Kinematics

In contrast to the usual practice we have to have tangential deformations in our axisymmetric shell description in order to be able to deal with non-symmetric loads and deformations. So, according to Novozhilov complete deformation tensor in cylindrical coordinates reads

ε =

εs εφ εs φ κs κφ κs φ

(1)

Dependencies between kinematic shell parameters can be seen from the figure 1:

ENERGETSKI PRISTUP

Figure 1: Axisymmetric constant meridional curvature shell kinematics.

For the positive displacement directions in fig.1 it is assumed

u v w θ

− local ;

uo vo wo θo

− global ;

(2)

and other parameters are Rm rc - cylindrical radius Rm - meridional radius αααα - [1/2] of the meridional angle ββββ - angle of meridional inclination

Now we can establish dependencies for each deformation parameter

εs = 1

Rm α ∂u +

w Rm

(3.a)

ENERGETSKI PRISTUP

εφ = 1 r

∂v ∂φ

+u sinβ + w cosβ

(3.b)

εs φ = 1 r

r Rm α

∂v − v sinβ + ∂u

(3.c)

κs = −1 ∂2 w −u ∂2 β +

1 Rm

2 α ∂u (3.d)

κφ = − 1 r

1 r

∂2 w − cos β

r ∂v +

1 Rm

1 α

∂w − u

sinβ

(3.e)

κs φ = 2 r

−1 ∂2 w + sin β r

∂w + cos β ∂v − sin βcos β

r v +

1 Rm

∂u

(3.f)

with

ξ = s

3 Use of Orthogonal Functions

Use of orthogonal functions is actually Fourier series development that enables us to extend our problem in one more dimension. If we assume Fourier series expansion in a direction of variable φ then we gain one more dimension in that direction. For 0 ≤ φ ≤ a and a=2π for element displacement functions and loading we can write

fe =

L

∑ n=1

- N

(r,θ) cos n φ+

- - N

(r,θ) sin n φ

δe

(5.a)

pe =

L

∑ n=1

- p

(r,θ) cos n φ+

- - p

(r,θ) sin n φ

δe

(5.b)

where [(N)] and [([(N)])] are 2−D element shape function and L is number of series terms. Further element superscript e and functional dependence (r,θ) will be omitted for simplicity.

ENERGETSKI PRISTUP

Using variational energy principles we obtain element stiffness matrix

ke = ⌠ ⌡

⌠ ⌡

⌠ ⌡

BT D B

(6)

where matrix B contains sin and cos terms. Basically three types of integrals can be separated from eq.6 and for axisymmetric shells their values are

⌠ ⌡

2π

0 sin l φcos m φdφ = 0

⌠ ⌡

2π

0 sin l φsin m φdφ = 0 for l ≠ m

⌠ ⌡

2π

0 cos l φcos m φdφ = 0 for l ≠ m

(7)

Consequence of the above is that element stiffness matrix (and loading vector) becomes diagonal for series terms, i.e. equations can be decoupled and solved separately for each member of Fourier series. Final solution is sum over all the Fourier terms (usually called 'harmonics'). It is proved (for ex. see Zienkiewicz [1989]) that procedure is convergent.

4 Axisymmetric Shell Deformations

Axisymmetric shells can have symmetric (trivial) and non-symmetric deformations (as well as loading). We also distinguish between meridional and parallel deformations. There are many possible meridional deformations for one shape of parallel deformation where actual shape depends on the loading along axis z:

Figure 2: Meridional deformation shapes.

ENERGETSKI PRISTUP

Figure 3: Parallel deformation shapes.

If we take a look on the cross section shape of deformation of our axisymmetric shell we see that there is exactly one shape for each member of Fourier series. Shape for n=0 corresponds to pure axisymmetric analysis and other n show the parallel deformation shape for a corresponding Fourier term. Only for n=1 is meridional shape not symmetric about axis z.

5 Finite Element Discretisation

Finite element discretisation is performed in a usual manner as described in Zienkiewicz [1989]. First we establish relation between displacements and deformations and assume elastic relation between stress and strain:

ε = B δ ; σ = D ε (4)

Shape functions for ACMC (Axisymmetric Constant Meridional Curvature) element are

u =

1−ξ 2

ui + 1+ξ 2

uj

cos n φ

(8.a)

v =

1−ξ 2

vi + 1+ξ 2

vj

sin n φ

(8.b)

ENERGETSKI PRISTUP

w =

ξ3−3ξ+2 4

wi + −ξ3+3ξ+2 4

wj +

(1+ξ)(1−ξ)2 4

Rm αθi − (1−ξ)(1+ξ)2

4 Rm αθj

cos n φ

(8.c)

Matrix representation is usually in the form

u v w

= N{ ui; vi; wi; θi; uj; vj; wj; θj }T

(9)

In the same manner we obtain matrix B and stiffness matrix is (without sin and cos terms that are outside the integral sign)

ke = παRm ⌠ ⌡

1

−1 r BT D B dξ

(10)

To obtain element stiffness matrix in global coordinate system we only have to perform transformation form local to global coordinates using transformation matrix T

ko = TT k T (11)

6 Dynamic Analysis

In dynamic analysis no dumping has been taken into account which is in order for reinforced concrete structures. Governing dynamic equation is then

M x,tt + K x = F(t) (11)

where M is discrete mass matrix and K is global stiffness matrix.

Dynamic loading of reinforced concrete structures is usually treated through use of spectral analysis. In that case we solve a homogeneous version of the above equation and static equivalent loading is obtained as a superposition of eigenvectors multiplied with some coefficients. Homogeneous dynamic equation is solved using Ritz vector technique (matrix iteration technique) with use of orthogonal vectors in order to obtain each eigenvector separately. Detailed description can be found in Kozar [1982].

ENERGETSKI PRISTUP

7 Numerical example

Due to space limitations only a simple example will be demonstrated. A cylindrical reinforced water reservoir with one side buried into the earth is analyzed on earth pressure. Reservoir has both bottom and cover plates.

7.1 Static Analysis

In order to get earth pressure from only one side Fourier series terms are applied with 60% intensity for 0th-harmonic, 100% for 1st-harmonic, 50% for 2nd-harmonic and 10% for 3rd-harmonic so the final loading combination is

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

3210

.

Figure 4: One side loading, 4-harmonic combination.

For the loading above all 4 harmonics have been calculated separately and then combined into one result that is showed graphicaly. Results are scaled with different scaling factors so that they are more perceptive. Also, results are given for angle θ = 0o where intensities are at the maximum. To obtain the complete crossection picture results for θ = 180o are necessary but they are not presented due to lack of space.

ENERGETSKI PRISTUP

Figure 5: Deformed shape of the reservoir

In-plane forces (radial and cyrcumpheral, with different scaling factors, one half of the resevoir rotated for 90o)

Figure 6: Radial and cyrcumpheral in-plane forces (rotated picture).

In-plane moments with different scaling factors

ENERGETSKI PRISTUP

Figure 7: Radial and cyrcumferal moments (rotated picture).

With the forces and moments given it is straightforward to determine the neccessary reinforcement in a shell.

7.2 Dynamic Analysis

For the same reservoir as above 1st eigenmode has been calculated (which is the only one relevant for earthquake analysis) with the eigen-frequency f = 5.09 Hz and eigenvector as shown on fig.7.

Figure 7: 1

st mode eigenvector

(90o rotated picture).

After eigenvalue and eigenvector have been determined we can calculate the equivalent static forces and introduce them into the static analysis. The method is described in dynamic analysis regulations for engineering structures (like vater resevoars, high towers, dams, etc.).

8 Conclusion

By generalization of ACMC finite element author has obtained formulation that is capable of non-symmetric analysis of axisymmetric shells. Use of orthogonal functions from section 3 can be applied to any 2-D (or 3-D) formulation thus allowing us to take one more dimension into analysis with only slight modifications in the existing procedures. Experience from the numerical example and use in practice show that the computer program is reliable, easy to use and fast in calculations. ACMC element can successfully describe any practically significant axisymmetric shell with and without branches. Besides in civil, program can be used in mechanical and naval engineering as well.

ENERGETSKI PRISTUP

9 References

1. Ross, C.T.F., Finite Element Programs for Axisymmetric Engineering Problems, Ellis Horwood, Chichester, 1984.

2. Novozhilov V.V., The Theory of Thin Shells, translated by P.G. Love, P. Noordhoff Ltd., 1959.

3. Clough, A. & Penzien, W., Dynamic Structural Analysis, McGraw Hill, 1992.

4. Kozar, I., [1982] Dynamic Structural Analysis (in Croatian), 2nd symposium on small computers, Opatija.

5. Zienkiewicz, O.C. & Taylor, R.L., The Finite Element Method: Basic Formulation

and Linear Problems, vol I, McGraw-Hill, London, 1989.

ENERGETSKI PRISTUP

ENERGETSKI PRISTUP

Energetski pristup koji se koristi u metodi konačnih traka pojasniti će se na

primjeru proste grede opterećene koncentriranom silom u sredini raspona.

y

z

P

Lω(y) = δ sin π y

l

ω = 0M = 0 M = 0

ω = 0

slika 1.

Rubni uvjeti za y = 0 i y = L glase:

pomak ω(y) = 0

moment savijanja M (y) = - EI 2

2

dy

d ϖ= 0 (1)

Progibnu liniju proste grede predstavljamo slijedećom sinusnom funkcijom:

ω(y) = δ sin l

yπ (2)

δ je nepoznati koeficijent (parametar pomaka). Odabrana sinusna funkcija zadovoljava rubne uvjete: za y = 0 imamo

ω(0) = δ sin 0 = 0; M(0) = -EI 2

2

dy

)0(sindδ = 0

za y = l imamo

ω(l) = δ sin π = 0; M(l) = -EI 2

2

dy

)(sind πδ = 0

Koeficiejnt δ treba biti takav da ukupna potencijalna energija sistema bude minimalna. Ukupna potencijalna energija definirana je kao:

Π = U + W = ∫ −

l

0

2

2

2

Pwdydy

wd

2

EI (3)

gdje je U unutarnja energija deformacije a W potencijalna energija opterećenja. Uvjet za minimum potencialne energije je:

ENERGETSKI PRISTUP

δΠ

d

d= 0 (4)

Uvrstimo li (2) u (3) dobivamo:

Π = ∫ δ−πδπ l

0

2

4

24

Pdyl

ysin

l2

EI (5)

Π = δ−δπ

Pl4

EI3

24

(6)

δΠ

d

d=

3

4

l2

EIδπ- P ⇒ δ =

EI

Pl24

3

π (7)

Uvrstimo li (7) u izraz za pomak (2) dobivamo izraz za pomak proste grede opterećene koncentriranom silom u sredini raspona:

w(y) = EI

Pl24

3

πsin

l

yπ (8)

Maksimalni progib u sredini grede preko izraza (8) je:

w(l/2) = EI

Pl24

3

π sin

l

)2/l(π = 0.02053 Pl3 / EI

Teoretsko rješenje:

w(l/2) = Pl3 / 48 EI = 0.02083 Pl3 / EI

Ako uvrstimo (8) u (1) dobivamo izraz za moment savijanja:

M(y) = -EI

ππ l

ysin

EI

Pl2

dy

d4

3

2

2

= l

ysin

Pl22

ππ

(9)

Maksimalni moment savijanja u sredini raspona je:

M(l/2) = l

)2/l(sin

Pl22

ππ

= 0.2026 Pl

Teoretsko rješenje:

M(l/2) = Pl / 4 = 0.2500 Pl

ENERGETSKI PRISTUP

Točnost rješenja poboljšava se ako se progib w izrazi pomoću reda sinusnih funkcija:

w(y) = ∑=

πδ

r

1mm l

ymsin (10)

δm je nepoznati koeficijent za m-ti član reda a r je broj članova reda.

PLATE STRIP (PLOČA)

46


Analizirati će se ploča opterećena okomito na svoju ravninu.

Postavka problema

Potrebno je rješiti metodom konačnih traka problem ploče slobodno oslonjene sa dvije strane i opterećene okomito na svoju ravninu.

y

x

slob

odni

osl

onac

x

x

y y

y-y

x-x

slika 2.

Rješenje problema

Funkcija pomaka

Ploču ćemo podijeliti na S konačnih traka.

x-x

x

y

x

y-y

slob

odni

osl

o nac

x

y

yčvornelinije konačne

trake1

2

3

i

j

s+1

1

2

3

I

S

slika 3.

Potrebno je odrediti funkciju pomaka koja će opisati polje pomaka ploče slobodno oslonjene na dva kraja. Funkcija pomaka mora biti takva da pomak u osloncima bude nula te da moment savijanja oko osi y u osloncima bude nula. Za opisivanje pomaka u uzdužnom


47

smjeru (y-y) odabiremo red sinusnih funkcija, a za opisivanje pomaka u poprečnom smjeru (x-x) odabiremo red polinoma. Na taj način, funkcija pomaka jedne konačne trake prima slijedeći oblik:

w(x,y) = l

ymsin)x(f

r

1mm

π⋅∑

=

=l

ymsin...)xaxaa( 2

r

1m210

π+++∑

=

(11)

Tu je r broj članova reda a a0, a1, a2, … su nepoznati koeficijenti koje treba odrediti.

Izmeñu dvije konačne trake sa zajedničkom čvornom linijom potrebno je osigurati kontinuitet. Iz tog se razloga koeficijenti a0, a1, a2, …izražavaju pomoću parametara pomaka, ovdje su to amplitude pomaka wim i wjm u dvijema čvornim linijama i i j:

wi = ∑=

π⋅

r

1mim l

ymsinw (12)

wj = ∑=

π⋅

r

1mjm l

ymsinw (13)

wi je pomak čvorne linije i a wim je amplituda pomaka te linije. Za dvije susjedne trake wim je jednak pa je stime osiguran uvjet da dvije susjedne trake imaju isti pomak duž zajedničke čvorne linije. Osim toga, izmeñu dvije konačne trake potrebno je osigurati i kontinuitet nagiba. To izražavamo putem amplituda poprečnog nagiba θim i θjm.

y

zx

w

w

i

j

θi

jθ

l

b

slika 4.

θi = ix

w

∂∂

= ∑=

π⋅θ

r

1mim l

ymsin (14)

θj = jx

w

∂∂

= ∑=

π⋅θ

r

1mjm l

ymsin (15)


48

Tako su definirana četiri parametra pomaka (amplitude pomaka): wim, wjm, θim i θjm. Funkcija pomaka u poprečnom smjeru mora biti stoga polinom četvrtog reda

fm(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x

3 (16)

i mora zadovoljavati slijedeće uvjete:

za x = 0, fm(0) = wim, x

)0(f m

∂∂

= θim

za x = b, fm(b) = wjm, x

)b(f m

∂∂

= θjm

Tako iz izraza (16) dobivamo:

a0 = wim

a1 = θim

a0 + a1 b + a2 b2 + a3 b

3 = wjm

a0 + a1 b + a2 b2 = θjm

Koeficijenti a0, a1, a2, a3 se nalaze rješavanjem gornjih jednažbi.

a0 = wim

a1 = θim

a2 = bb

2b

w3

b

w3 jmim

2

jm

2im

θ−

θ−+−

a3 = 2

jm

2im

3

jm

3im

bbb

w2

b

w2

θ+

θ+−

Izraz za polje pomaka:

w(x,y) =l

ymsin)xaxaxaa( 3

32

r

1m210

π+++∑

=

Uvrstimo li izraze za a0, a1, a2, a3 u izraz za polje pomaka ploče dobivamo:

w(x,y) = ∑=

π

θ

+−+

−

+θ

+−+

+

−

r

1m l

ymsin

b

x

b

xw

b

x2

b

x3

b

x

b

x2xw

b

x2

b

x31

jm2

32

jm

32

im2

32

im

32


49

w(x,y) = [ ]∑=

πθ⋅+⋅+θ⋅+⋅

r

1mjm4jm3im2im1 l

ymsin)x(Nw)x(N)x(Nw)x(N (17)

N1(x) = 1 – 3 X2 + 2 X2

N2(x) = x (1 – 2 X + X2) (18)

N3(x) = 3 X2 – 2 X3

N4(x) = x (X2 – X)

X = x / b

Napisano u matričnom obliku:

w(x,y) = [ ]l

ymsin

w

w

N,N,N,Nr

1m

jm

jm

im

im

4321

π

θ

θ∑

=

(19)

w(x,y) = [ ]{ }l

ymsinN m

r

1m

πδ∑

=

(20)

δm je vektor parametara pomaka (amplituda pomaka) a N je matrica poprečnih funkcija oblika.

Matrica krutosti i vektor opterećenja

U izrazu za pomak w(x,y) nepoznati su parametri pomaka δm u pojedinim čvornim linijama. δm pronalazimo energetskim pristupom.

Kod uspostave ravnoteže ukupna potencijalna energija trebala bi imati minimalnu vrijednost, dakle prva derivacija potencijalne energije po parametru pomaka mora biti jednaka nuli.

0w im

t =∂

Π∂


50

0im

t =θ∂Π∂

i = 1, …N’

N’ je ukupan broj čvornih linija (N’ = S + 1).

U matričnom obliku izraz za minimizaciju potencijalne energije poprima iblik:

{ } 0

tm

t =δ∂Π∂

Ukupna potencijalna energija sastoji se od potencijalne energije unutarnjih sila (deformacije) te potencijalne energije vanjskog opterećenja.

Unutarnja energija deformacije:

Ut = { } [ ] { }tmtm

r

1m

Ttm K

2

1δδ∑

=

Energija vanjskog opterećenja:

Wt = { } { }tm

r

1m

Ttm P∑

=

δ−

Ukupna potencijalna energija:

Πt = Ut + Wt = { } [ ] { } { } { }∑=

δ−δδ

r

1mtm

Ttmtmtm

Ttm PK

2

1

[K]tm je matrica krutosti (4 x 4) konačne trake a {p}tm vektor opterećenja (4 x 1).

[K]m =[ ] [ ][ ] [ ]

bjjT

bij

bijbii

KK

KK=

−−

−

−

2365

3154

6523

5431

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

k1 = 70

lb13km

4 Dy + b5

l12km

2 Dxy + b5

l6 km

2 D1 + 3b

l6Dx

k2 = 210

lb3

km4 Dy +

15

lb4km

2 Dxy + 15

lb2 km

2 D1 + b

l2Dx

k3 = 420

lb11 2

km4 Dy +

5

lkm

2 Dxy + 5

l3 km

2 D1 + 2b

l3Dx


51

k4 = 140

lb9km

4 Dy - b5

l12km

2 Dxy - b5

l6 km

2 D1 - 3b

l6Dx

k5 = 840

lb13 2

km4 Dy -

5

lkm

2 Dxy - 10

1 km

2 D1 - 2b

l3Dx

k6 = 280

lb3

− km4 Dy -

15

lbkm

2 Dxy - 30

lb km

2 D1 - b

lDx

Za jednoliko raspodjeljeno opterećenje Q0 po cijeloj konačnoj traci, vektor opterećenja glasi:

{p}m =

jm

jm

im

im

M

Z

M

Z

=

−12

b

2

b12

b

2

b

2

2

[1 – (-1)m] πm

lQ0

Uvrštavanjem izraza za ukupnu potencijalnu energiju u izraz za minimizaciju energije dobivamo niz linearnih jednažbi iz kojih je su nepoznati samo parametri pomaka δtm:

[K]tm {δ}tm = {P}tm

{δ}tm = [K]tm-1 {P}tm

Pomake dobivamo množenjem parametara pomaka sa funkcijama oblika:

w(x,y) = [ ]{ }l

ymsinN m

r

1m

πδ∑

=


52

Primjer

Pomoću programa Mathcad izračunata je ploča slobodno oslonjena na dva kraja i opterećena koncentriranom silom u sredini raspona. Proračun je izvršen preko jedne konačne trake te su rezultati usporeñeni sa teoretskim rješenjem.

Proračun slobodno oslonjene ploče preko 1 konačne trake (finite strip)

Geometrijske karakteristike ploče i karakteristike materijala (staklo)

E 71700 N/mm2

L 1000 mm

t 10 mm

ν 0.16

b 100 mm

GE

2 1 ν( ).

D xt3

12

E

1 ν2

.

D y D x D xy

t3

12G.

D 1 ν D y

.

D

D x

D 1

0

D 1

D y

0

0

0

D xy


53

Matrica krutosti

k m( )m π.

L m 1 50..

k 1 m( )13 L. b.

70k m( )4. D y

. 12 L.

5 b.k m( )2. D xy

. 6 L.

5 b.k m( )2. D 1

. 6 L.

b3D x.

k 2 m( )L b3.

210k m( )4. D y

. 4 L. b.

15k m( )2. D xy

. 2 L. b.

15k m( )2. D 1

. 2 L.

bD x.

k 3 m( )11 L. b2.

420k m( )4. D y

. L

5k m( )2. D xy

. 3 L.

5k m( )2. D 1

. 3 L.

b2

D x.

k 4 m( )9 L. b.

140k m( )

4. D y. 12 L.

5 b.k m( )

2. D xy. 6 L.

5 b.k m( )

2. D 1. 6 L.

b3

D x.

k 5 m( )13 L. b2.

840k m( )4. D y

. L

5k m( )2. D xy

. L

10k m( )2. D 1

. 3 L.

b2D x.

k 6 m( )L b3.

280k m( )4. D y

. L b.

15k m( )2. D xy

. L b.

30k m( )2. D 1

. L

bD x.

K m( )

k 1 m( )

k 3 m( )

k 4 m( )

k 5 m( )

k 3 m( )

k 2 m( )

k 5 m( )

k 6 m( )

k 4 m( )

k 5 m( )

k 1 m( )

k 3 m( )

k 5 m( )

k 6 m( )

k 3 m( )

k 2 m( )

Vektor opterećenja za koncentriranu silu u sredini trake P 100 N

x0b

2 y 0

L

2

p m( )

1 3x0

b

2

. 2x0

b

3

.

x0 1 2x0

b.

x0

b

2

.

3x0

b

2

. 2x0

b

3

.

x0

x0

b

2x0

b.

P. sin k m( ) y 0..


54

Amplitude progiba

δm< >

K m( )1

p m( ).

δ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

0 3.4372 0 -0.04242 0 5.44168 10-3 0 -1.3752110-3 0

0 -2.6064710-4 0 2.053 10-5 0 -2.8457610-6 0 -8.3113510-7 0

0 3.4372 0 -0.04242 0 5.44168 10-3 0 -1.3752110-3 0

0 2.60647 10-4 0 -2.053 10-5 0 2.84576 10-6 0 8.31135 10-7 0

=

Progib konačne trake

N 1 x( ) 1 3x

b

2. 2

x

b

3. N 2 x( ) x 1 2

x

b. x

b

2. N 3 x( ) 3

x

b

2. 2

x

b

3. N 4 x( ) x

x

b

2 x

b.

w x y,( )

m

N 1 x( )

0

0

N 2 x( )

N 3 x( )

0

0

N 4 x( )δ

m< >. sin k m( ) y.( ).

n 10 i 0 n.. ∆xL

n

w 0 ∆x i.,( )0

t

2

wt

2∆x i.,

0

w t ∆x i.,( )0

t

2

∆x i. w t ∆x i.,( )0

∆x i., ∆x i. w t ∆x i.,( )0

,100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

10

0

10

Graficki prikaz deformacije uzduzno

w0

2

L

2,

3.48728

0=

w bL

2,

3.48728

0=

Teoretski progib proste grede


55

It3 b.

12

P L3.

48 E. I.3.48675=

Za broj članova reda m = 50, rezultati su zadovoljavajući: teoretski progib f1 = 3.48675 progib dobiven metodom k.t. f2 = 3.48727 Greška je tek 0.015%.

PLANE STRESS STRIP(RAVNINSKO STANJE NAPREZANJA)

56

PLANE STRESS STRIP (RAVNINSKO STANJE NAPREZANJA)

Analizirati će se ploča opterećena u svojoj ravnini. Sva naprezanja koja nastaju u smjeru debljine ploče su mala i zanemariva.

Postavka problema

Metodom konačnih traka potrebno je rješiti ploču koja je operećena u svojoj ravnini u dva smjera, x i y. Ploča je slobodno oslonjena na dva kraja.

xsl

obod

ni o

slon

ac

ysl

obod

ni o

slon

ac

v

uu=0σy=0=0σy

u=0py

px

slika 5.

Rješenje problema

Funkcija pomaka

Ploču ćemo podijeliti na S konačnih traka.

j

slob

odni

osl

onac

s+1

x, u

S

i

3

2

1liniječvorne

trake y, v

3

I

2

1

konačne

slob

odni

osl

onac

ji

Iuim , vim

u jm, vjm

=0σy

u=0

y=0u=0σ

slika 6.

Rubni uvjeti za slobodno oslonjenu ploču su:


57

u = 0, σy = 0 za y = 0, y = l

Da bi se zadovoljili navedeni rubni uvjeti, komponente pomaka u smjerovima x i y mogu

se izraziti na slijedeći način:

( )( )∑

=

++

++=

r

1m m10

m10

ykcos...xdd

yksin...xcc

v

u

Tu je km = mπ / l a c0, c1, d0, d1 … su nepoznati koeficijenti.

Nepoznate koeficijente izraziti ćemo pomoću amplituda pomaka. Vrijednosti tih

koeficijenata pronaći ćemo analogno kao za ploču. Tu je funkcija pomaka za svaku

pojedinu komponentu pomaka, u i v, polinom drugog reda:

fmu(x) = c0 + c1 x

fmv(x) = d0 + d1 x

za x = 0, fmu(0) = uim

za x = b, fmu(b) = ujm

za x = 0, fmv(0) = vim

za x = b, fmv(b) = vjm

b je širina konačne trake.

c0 + c1 ⋅ 0 = uim ⇒ c0 = uim

c0 + c1 ⋅ b = ujm ⇒ c1 = b

uu imjm −


58

d0 + d1 ⋅ 0 = vim ⇒ d0 = vim

d0 + d1 ⋅ b = vjm ⇒ d1 = b

vv imjm −

Uvrstimo li ove koeficijente u izraz za pomake u i v dobivamo:

∑=

−+

−+

=

r

1m

mimjm

im

mimjm

im

ykcosxb

vvv

yksinxb

uuu

v

u

∑=

+

−

+

−

=

r

1m

mjmim

mjmim

ykcosvb

xv

b

x1

yksinub

xu

b

x1

v

u

( )

−

−=

∑=

jm

jm

im

im

r

m mm

mm

v

u

v

u

ykXykX

ykXykX

v

u

1 cos0cos10

0sin0sin)1(

[ ] { }m

r

1mmN

v

uδ=

∑=

X = x / b, [N]m je matrica funkcija pomaka, {δ}m je vektor parametara pomaka.


59


Za ravninsko stanje naprezanja izrazi za deformaciju i naprezanje su:

{ε} =

∂∂

+∂∂∂∂∂∂

=

γ

ε

ε

x

v

y

u

y

vx

u

xy

y

x

{σ} =

( )

γ

ε

ε

νν−

ν

ν

νν−=

τ

σ

σ

xy

y

x

xyyx

yyy

xxx

yx

xy

y

x

E100

0EE

0EE

1

1= [Dp] {ε}

U izraz za deformaciju i neprezanje možemo uvrstiti dobivenu funkciju pomaka:

{ε}= [ ] { }∑=

δr

1mmmB

{σ}= [ ][ ] { }∑=

δr

1mmmp BD


60

[B]m = ( )

( )

−−

−−−

−

ykcosb

1ykcosXkykcos

b

1ykcoskX1

yksinXk0yksinkX10

0yksinb

10yksin

b

1

mmmmmm

mmmm

mm

Izraz za unutarnju energiju deformacije je (Timoshenko i Goodier, 1970):

U = ∫ ∫ γτ+εσ+εσl

0

b

0xyxyyyxx dxdy)(

2

t= { } { }∫ ∫ σε

l

0

b

0

T dxdy2

t

Uvrstimo li izraze za deformaciju i naprezanje:

U = { } [ ] [ ][ ] { }∫ ∫∑ δδ=

l

0

b

0mmp

Tm

r

1m

Tm dxdyBDB

2

t

Energija vanjskog opterećenja se isto tako može izraziti pomoću parametara pomaka:


61

W = - [ ]∫ ∫

l

0

b

0 y

xdxdy

p

pv,u = { } [ ]∑ ∫ ∫

=

δ−r

1m

l

0

b

0 y

xTm

Tm dxdy

p

pN

px i py su komponente opterećenja u ravnini ploče.

Matrica krutosti i vektor opterećenja za jednu konačnu traku su:

[k]m = t [ ] [ ][ ]∫ ∫l

0

b

0

mpTm dxdyBDB

{p}m = [ ]∫ ∫

l

0

b

0 y

xTm dxdy

p

pN

Članovi matrice krutosti su:

[k]m = [ ] [ ][ ] [ ]

pjjT

pij

pijpii

KK

KK= t

−

−−

−

2356

3164

5623

6431

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

k1 = xy

2m

1 E6

lbkE

b2

l+ k4 = xy

2m

1 E12

lbkE

b2

l+−

k2 = 2

2m

xy E6

lbkE

b2

l+ k5 = 2

2m

xy E12

lbkE

b2

l+−

k3 = xym

1xm E

4

lkE

4

lk−ν k6 = xy

m1x

m E4

lkE

4

lk+ν


62

E1 = yx

x

1

E

νν− E2 =

yx

y

1

E

νν−

Primjer

Pomoću programa Mathcad izračunata je ploča slobodno oslonjena na dva kraja i opterećena koncentriranom silom u sredini raspona. Proračun je izvršen preko jedne konačne trake te su rezultati usporeñeni sa teoretskim rješenjem.

Proračun slobodno oslonjene ploče preko 1 konačne trake (finite strip)

PROGIB PROSTE GREDE PREKO 1 KONAČNE TRAKE (plane stress)

(FINITE STRIP)

1 UNOS PODATAKA

Karakteristike materijala E 71700 N/mm2 ν 0.16

GE

2 1 ν( ).

Geometrijske karakteristike grede L 1000 mm b 10 mm d 10 mm

k m( )m π.

L

2 PRORAČUN

DE

1 ν2

1

ν

0

ν

1

0

0

0

1 ν

2

.


63

članovi matrice krutosti:

k 1 m( )L

2 b.E.

L b. k m( )2.

6G.

k 4 m( )

L

2 b.E.

L b. k m( )2.

12G.

k 2 m( )L

2 b.G.

L b. k m( )2.

6E.

k 5 m( )

L

2 b.G.

L b. k m( )2.

12E.

k 3 m( )L k m( ).

4ν. E.

L k m( ).

4G.

k 6 m( )

L k m( ).

4ν. E.

L k m( ).

4G.

K m( ) d

k 1 m( )

k 3 m( )

k 4 m( )

k 6 m( )

k 3 m( )

k 2 m( )

k 6 m( )

k 5 m( )

k 4 m( )

k 6 m( )

k 1 m( )

k 3 m( )

k 6 m( )

k 5 m( )

k 3 m( )

k 2 m( )

.

K 1( )

3.58551 107

1.52628 105

3.58475 107

3.3283 105

1.52628 105

1.54644 107

3.3283 105

1.54467 107

3.58475 107

3.3283 105

3.58551 107

1.52628 105

3.3283 105

1.54467 107

1.52628 105

1.54644 107

=

vektor opterećenja za koncentriranu silu u sredini raspona: P 10 N x0 0

y 0L

2

p m( )

P 1x0

b. sin k m( ) y 0

..

0

Px0

b. sin k m( ) y 0

..

0

m 1 10.. amplitude progiba:

δm< >

K m( ) 1 p m( ).


64

δ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

0 3.43697 0 -0.0425 0 5.5244 10-3 0 -1.4446510-3 0 5.31915 10-4 0

0 0.05398 0 -1.9989210-3 0 4.31674 10-4 0 -1.5726510-4 0 7.39624 10-5 0

0 3.43697 0 -0.0425 0 5.52426 10-3

0 -1.4445110-3

0 5.31772 10-4

0

0 -0.05398 0 1.99941 10-3 0 -4.3196510-4 0 1.57473 10-4 0 -7.4123910-5 0

=

progib konačne trake:

u x y,( )

m

1x

bsin k m( ) y.( ).

0

0

1x

bcos k m( ) y.( ).

x

bsin k m( ) y.( ).

0

0

x

bcos k m( ) y.( ).

δm< >.

ub

2

L

2,

3.48696

0=

teoretski progib proste grede:

Ib3 d.

12

P L3.

48 E. I.3.48675=

n 10 i 0 n.. ∆xL

n

u 0 ∆x i.,( )0

b

2

ub

2∆x i.,

0

u b ∆x i.,( )0

b

2

∆x i. u b ∆x i.,( )1

∆x i., ∆x i. u b ∆x i.,( )1

,100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

10

0

10

20Graficki prikaz deformacije

naprezanja:


65

ε x y,( )

xu x y,( )

0d

d

yu x y,( )

1d

d

yu x y,( )

0d

d xu x y,( )

1d

d

σ x y,( ) D ε x y,( ).

σ 0L

2,

2.36868

14.77224

1.60454 10 13

= σ bL

2,

2.35843

14.77224

7.98414 10 14

=

teoretsko naprezanje σy na gornjem rubu u sredini raspona:

Wd b2.

6 M

P L.

4

M

W15= MPa

l 0 L.. k 1 L.. j 0 b.. x 0 b.. z l( ) b d k( ) 0

f j( )L

2

z l( )

d k( )

j

x

l k, f j( ), σ xL

2,

1

L

2,

100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

0

10

normalna naprezanja u sredini raspona

FLAT SHELL STRIP

66

FLAT SHELL STRIP

Shell elementi su opterećeni u svojoj ravnini i okomito na nju pa oni predstavljaju kombinaciju plate strip i plane stress strip elemenata.

Postavka problema

Metodom konačnih traka potrebno je rješiti problem slobodno oslonjene ploče sa dvije strane i oprerećene okomito na svoju ravninu i u smjeru te ravnine.

x

slob

odni

osl

o nac

y

slob

odni

osl

onac

v

upy

px

x

y

x

y

x-x

y-y

slika 7.

Rješenje problema

Funkcija pomaka

Funkcija pomaka izračunata posebno za plate strip i plate stress strip, moze se sastaviti u jednu jedinu matricu koja predstavlja funkciju pomaka za shell elemente.

θ

w

v

u

=

( )( )

∑=

−

−

r

1m

ym

ksin)x(4

N000ym

ksin)x(2

N000

0ym

ksin)x(3

N000ym

ksin)x(1

N00

00ym

ksinX000ymkcosX10

000ymksinX000ymksinX1


Ukupna potencijalna energija shell elementa je algebarska suma potencijalne energije ravninske deformacije i deformacije savijanja.

Π = U + W = { } [ ] { } { } { }∑=

δ−δδ

r

1mm

Tmmm

Tm pk

2

1

FLAT SHELL STRIP

67

{δ}m je vektor pomaka: {δ}m = [uim, vim, wim, θim, ujm, vjm, wjm, θjm]T {p}m je vektor opterećenja: {p}m = [Xim, Yim, Zim, Mim, Xjm, Yjm, Zjm, Mjm]T [k]m je matrica krutosti:

[k]m =

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

bjjT

bij

pjjT

pij

bijbii

pijpii

K0K0

0K0K

K0K0

0K0K

Ivica Kožar Plošni nosači

3.predavanje 68

SPAJANJE ELEMENATA I UVJETI OSLANJANJA DUŽ ČVORNE LINIJE

Spajanje elemenata

Energija deformacije te potencijalna energija vanjskog opterećenja za cijelu

konstrukciju dobiva se zbrajanjem doprinosa svake pojedine konačne trake:

Ut = { } [ ] { }∑∑= =

δδS

1I

r

1mImIm

TIm k

2

1

Wt = { } { }∑∑= =

δ−S

1I

r

1mIm

TIm p

S je broj konačnih traka na koji je konstrukcija podjeljena, podznak I označava pojedinu

konačnu traku a podznak t predstavlja čitavu konstrukciju.

Zamjenom redosljeda zbrajanja dobivamo:

Ut = { } [ ] { }∑∑= =

δδr

1m

S

1IImIm

TIm k

2

1

Wt = { } { }∑∑= =

δ−r

1m

S

1IIm

TIm p


3.predavanje 69

Sastavljanje vektora opterećenja i matrice krutosti za cijelu konstrukciju vrši se tako da

se pojedine lokacije matrice – vektora ispunjavaju odgovarajućim koeficijentima a

ostale lokacije se ispunjavaju nulama.

Sastavljanje matrice krutosti konstrukcije

- matrica ima 4(n+1) stupaca i redova. n je broj konačnih traka na koje je konstrukcija podjeljena (n+1) je čvornih linija i 4 parametra pomaka za svaku čvornu liniju)

- članovi pojedinih konačnih traka sa zajedničkim čvornim linijama se zbrajaju


3.predavanje 70

prva KTdruga KT

treća KT

prva

KT

treć

a K

Tdr

uga

KT

n-ta KT

n -ta

KT

prva č.l. druga č.l. treća č.l. n+1-va č.l.

slika 8.

Nakon zbrajanja po konačnim trakama dobivamo:

Ut = { } [ ] { }∑=

δδr

1mtmtm

Ttm K

2

1

Wt = { } { }∑=

δ−r

1mtm

Ttm p

Minimizacijom ukupne energije dobivamo jednažbu za proračun pomaka.


3.predavanje 71

Uvjeti oslanjanja duž čvorne linije

U pojedinim slučajevima konstrukcija može biti duž čvorne linije slobodno oslonjena ili upeta.

Za slobodno oslonjenu čvornu liniju rubni uvjeti su: w = 0

Mx =

∂∂

+∂∂

−2

2

12

2

xy

wD

x

wD = 0

Najjednostavniji način da se zadovolje navedeni uvjeti je taj da se odgovarajućim

elementima u matrici krutosti konstrukcije zadaje beskonačno velika vrijednost (npr.

1030) za krutost konstrukcije u smjeru okomito na slobodno oslonjeni rub.

Za upetu čvornu liniju rubni uvjeti su:

w = 0

θ = x

w

∂∂

= 0


3.predavanje 72

Primjer

Pomoću programa Mathcad izračunata je ploča slobodno oslonjena na sva četiri kraja i opterećena jednoliko rasporeñenim opterećenjem. Proračun je izvršen preko n konačnih traka te su rezultati usporeñeni sa teoretskim rješenjem za različite brojeve podjela ploče i različite brojeve članova reda.

PRORAČUN SLOBODNO OSLONJENE PLOČE SA SVE ČETIRI STRANE PO

METODI KONAČNIH TRAKA (FINITE STRIP)

1 UNOS PODATAKA Karakteristike materijala

E 71700 N/mm2 modul elastičnosti

ν 0.22 Poisson-ov koeficijent

GE

2 1 ν( ).

Geometrijske karakteristike ploče L 1000 mm dužina ploče B 1000 mm širina ploče t 10 mm debljina ploče n 50 broj podjela ploče nm 10 broj članova reda Opterećenje

q x 0 N/mm2 jednoliko raspodjeljeno opterećenje u ravnini ploče, smjer x

q y 0 N/mm2 jednoliko raspodjeljeno opterećenje u ravnini ploče, smjer y

q z 0.005 N/mm2 jednoliko raspodjeljeno opterećenje okomito na ravninu ploče, smjer z

Rezultati w 1 1 broj podjela trake po širini za prikaz rezultata (smjer x)

w 2 50 broj podjela trake po dužini za prikaz rezultata (smjer y)

2 PRORAČUN

bB

n

b 20= širina jedne konačne trake

D xt3

12

E

1 ν2

.

D y D x D xy

t3

12G.

D 1 ν D y

.

D

D x

D 1

0

D 1

D y

0

0

0

D xy

k m( )m π.

L


3.predavanje 73

članovi matrice krutosti pojedine konačne trake:

k 1 m( )L

2 b.E.

L b. k m( )2.

6G. t.

k 4 m( )

L

2 b.E.

L b. k m( )2.

12G. t.

k 2 m( )L

2 b.G.

L b. k m( )2.

6E. t.

k 5 m( )

L

2 b.G.

L b. k m( )2.

12E. t.

k 3 m( )L k m( ).

4ν. E.

L k m( ).

4G. t.

k 6 m( )

L k m( ).

4ν. E.

L k m( ).

4G. t.

k 7 m( )13 L. b.

70k m( )

4. D y. 12 L.

5 b.k m( )

2. D xy. 6 L.

5 b.k m( )

2. D 1. 6 L.

b3

D x.

k 8 m( )L b3.

210k m( )

4. D y. 4 L. b.

15k m( )

2. D xy. 2 L. b.

15k m( )

2. D 1. 2 L.

bD x

.

k 9 m( )11 L. b2.

420k m( )4. D y

. L

5k m( )2. D xy

. 3 L.

5k m( )2. D 1

. 3 L.

b2

D x.

k 10 m( )9 L. b.

140k m( )

4. D y. 12 L.

5 b.k m( )

2. D xy. 6 L.

5 b.k m( )

2. D 1. 6 L.

b3

D x.

k 11 m( )13 L. b2.

840k m( )4. D y

. L

5k m( )2. D xy

. L

10k m( )2. D 1

. 3 L.

b2

D x.

k 12 m( )L b3.

280k m( )4. D y

. L b.

15k m( )2. D xy

. L b.

30k m( )2. D 1

. L

bD x

.

K I m( )

k 1 m( )

k 3 m( )

0

0

k 4 m( )

k 6 m( )

0

0

k 3 m( )

k 2 m( )

0

0

k 6 m( )

k 5 m( )

0

0

0

0

k 7 m( )

k 9 m( )

0

0

k 10 m( )

k 11 m( )

0

0

k 9 m( )

k 8 m( )

0

0

k 11 m( )

k 12 m( )

k 4 m( )

k 6 m( )

0

0

k 1 m( )

k 3 m( )

0

0

k 6 m( )

k 5 m( )

0

0

k 3 m( )

k 2 m( )

0

0

0

0

k 10 m( )

k 11 m( )

0

0

k 7 m( )

k 9 m( )

0

0

k 11 m( )

k 12 m( )

0

0

k 9 m( )

k 8 m( )


3.predavanje 74

2.1 Progibi amplitude progiba:

δm< >

K m( )1

q m( ).

δ

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0.011 0 2.014 10-4 0 2.616 10-5 0 6.81 10-6

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0.213 0 4.007 10-3

0 5.158 10-4

0 1.327 10-4

0.011 0 1.983 10-4 0 2.511 10-5 0 6.316 10-6

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0.425 0 7.898 10-3 0 9.956 10-4 0 2.493 10-4

0.011 0 1.902 10-4 0 2.272 10-5 0 5.311 10-6

=

o 1 5, 4 n 1( ). 7.. p 8 12, 4 n 1( )... δ I o p,( ) submatrix δ o, p, 1, nm,( )

δ I 1 8,( )

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0.011 0 2.014 10-4 0 2.616 10-5 0 6.81 10-6 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0.213 0 4.007 10-3 0 5.158 10-4 0 1.327 10-4 0

0.011 0 1.983 10-4 0 2.511 10-5 0 6.316 10-6 0

=

funkcije oblika:

N 1 x( ) 1 3x

b

2. 2

x

b

3.

N 2 x( ) x 1 2x

b. x

b

2.

N 3 x( ) 3x

b

2. 2

x

b

3.

N 4 x( ) xx

b

2 x

b.

progibi:


3.predavanje 75

f bL

40, 1, 8,

3

0.018=

f bL

20, 4 n 1( ). 7, 4 n 1( ).,

3

0=

∆ xb

w 1

∆ yL

w 2

F zmax max F z

F zmax 3.12=

Analitičko rješenje za pravokutnu ploču

f amax 0.004062q z L4.

D x

.

f amax 3.235=

F z

010

2030

4050

0

10

20

30

40

50

0

1

2

3


3.predavanje 76

2.2 Momenti savijanja

M x y , o , p , ( ) D

m

1 b

sink m( ) y . ( ) .

0

1 x b

k m( ) . cosk m( ) y . ( ) .

0

1 x b

k m( ) . sink m( ) y . ( ) .

1 b

cosk m( ) y . ( ) .

2 x N 1 x ( ) d

d

2 sink m( ) y . ( ) .

k m( ) 2

N 1 x ( ) . sink m( ) y . ( ) .

2 k m( ) . x N 1 ( )

d

. cosk m( ) y . ( .

2 x N 2 x ( ) d

d

2 sin k m( ) y . ( ) .

k m( ) 2

N 2 x ( ) . sink m( ) y . ( ) .

2 k m( ) . x N 2 x ( ) d

d . cos k m( ) y . ( ) .

1 b

sink m( ) y . ( ) .

0

x b

k m( ) . cosk m( ) y . ( ) .

0

x b

k m( ) . sin k m( ) y . ( ) .

1 b

cosk m( ) y . ( ) .

2 x N 3 x ( ) d

d

2 sink m( ) y . ( ) .

k m( ) 2

N 3 x ( ) . sink m( ) y . ( ) .

2 k m( ) . x N 3 x ( ) d

d . cosk m( ) y . ( ) .

2 x N 4 x ( ) d

d

2 sink m( ) y . ( ) .

k m( ) 2

N 4 x ( ) . sink m( ) y . ( ) .

2 k m( ) . x N 4 x ( ) d

d . cosk m( ) y . ( ) .

δ I o p , ( ) m < > .

.

∆ xb

w 1 ∆ y

L

w 2

2.2.1 Momenti savijanja Mx

M xmax max M x

M xmax 220.644=

- Analitičko rješenje za pravokutnu ploču

M xamax 0.04789q z. L2.

M xamax 239.45=

M x

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

200

200200

150

150

150

150

150

100

100

100

100100

100

50

50

50

50

50


3.predavanje 77

2.2.2 Momenti savijanja My M ymax max M y

M ymax 217.402=


M yamax 0.04789q z. L2.

M yamax 239.45=

M y

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

200

200200

150

150

150

150

150

100100

100

100100

100

50

50

50

50

50

2.2.3 Momenti savijanja Mxy M xymax max M xy M xymax 176.737=

M xymin min M xy M xymin 176.737=


M xyamax 0.03246q z. L2.

M xyamax 162.3=

M xy

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

150

150

100

100

50

50

50

50

00

0

0 0

0

50

50

50

50

100

100

150

150

ploce i ljuske

Documents