01 ljuske - draft.pdf

29

Click here to load reader

Upload: bahtir-hamidovic

Post on 09-Nov-2015

94 views

Category:

Documents


21 download

TRANSCRIPT

  • 375

    8. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

    8.1.8.1.8.1.8.1. UVODUVODUVODUVOD

    Ljuske su nosee konstrukcije formirane od zakrivljenih povri, koje prihvataju optereenje

    primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem,

    posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa

    malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni elementi kad je o utorku materijala

    re.

    U optem sluaju, ljuske mogu biti razliitih oblika povri koje karakterie Gauss-ova mera

    krivine, proizvod krivina glavnih pravaca ( i ):

    1K

    r r

    = =

    , ................................................................................................................ (8.1)

    gde su r i r poluprenici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 8/1):

    Eliptine povri imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba poluprenika

    glavnih krivina su sa iste strane povri. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez iste-

    zanja srednje povri, zbog ega su vrlo krute.

    Hiperbolike povri imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprenika

    glavnih krivina su na razliitim stranama povri. Karakteriu se pravim izvodnicama.

    Paraboline povri imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprenika glavne krivine

    im je beskonano velik.

    Sl. 8/1. Povrine razliite Gauss-ove krivine

    Kada je debljina ljuske (h) mala u poreenju sa poluprenikom krivine (r), ljuska se smatra

    tankom, a statiki tretman ovih elemenata moe biti baziran na teoriji tankih ljuski. Naelno,

    ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

    120

    hr

    . ...................................................................................................................................... (8.2)

    Osnovne pretpostavke tehnike teorije tankih ljuski su:

    Smatra se da prava vlakna upravna na srednju povr ljuske ostaju prava i upravna na

    deformisanu srednju povr, ne menjajui svoju duinu.

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    376

    Normalni naponi u pravcu normale na srednju povr su zanemarljivi u odnosu na ostale

    komponentalne napone.

    Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu povri ogranienom linijama gla-

    vnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreeni maksimalnim i minimalnim

    poluprenicima krivine. U optem sluaju, postoji deset sila u presenim povrima ljuske:

    normalne sile N i N, smiue sile N i N, transverzalne sile Q i Q, momenti savijanja M

    i M i momenti torzije M i M (Sl. 8/2). Ovih deset veliina, naelno, nije mogue odrediti

    samo iz uslova ravnotee (problem nije statiki odreen), nego se moraju postaviti i dopun-

    ske veze izmeu napona, deformacija i pomeranja ljuske.

    Sl. 8/2. Sile u presenim povrinama ljuske, opti sluaj

    Opti problem je, pod odreenim uslovima, mogue dekomponovati na nezavisne sluajeve

    membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

    Pretpostavljajui elastino ponaanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se moe analizirati

    na nain koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj povri, poput membrane koja

    ne prua nikakav otpor savijanju. Od presenih sila, javljaju se samo normalne sile N i N,

    smiue sile N i N, a ova vrsta naprezanja se naziva membransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuski, dok

    je odgovarajua teorija prorauna - membranska teorija (Sl. 8/3a). Membransko stanje nap-

    rezanja se moe analizirati i kod ljuski konane debljine pod sledeim uslovima:

    Granini uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile napreu ljusku samo u nje-

    noj srednjoj povri. Ovim, mogu biti spreena samo pomeranja u pravcu tangente na

    meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 8/3b).

    Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se lan z/r u izrazima datim na Sl. 8/2 moe

    zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i smiuih napona po visini

    h preseka postaje konstantna:

    N h = , N h = , N N h = = . ................................................................. (8.3)

    Srednja povr mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

    Optereenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisanih dejstava.

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    377

    Sl. 8/3. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

    Sada, kada je broj nepoznatih veliina samo tri, (8.3), ove se mogu odrediti samo iz uslova

    ravnotee.

    Konturni uslovi ljuske su najee takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku deforma-

    ciju kraja ljuske su po konturi obino kruto vezane (elastino ukljetene) za druge elemen-

    te (ljuske, ploe, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi rada na krajevima ljuske ne

    mogu biti ostvareni, nego su poremeeni fleksionim silama. Osim konturnih uslova, do

    pojave momenata savijanja dovode i nagle promene debljine ljuske, koncentrisana opteree-

    nja, skokovi u kontinualno promenljivom optereenju ili koncentrisana optereenja.

    Sl. 8/4. Fleksione sile

    Pored membranskih, u presenim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i torzije, te

    transverzalne sile (Sl. 8/4). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i deformacije ljuski

    ukljuujui i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila naziva se fleksiona teorija ljufleksiona teorija ljufleksiona teorija ljufleksiona teorija ljus-s-s-s-

    kikikiki.

    Nije ni potrebno posebno naglaavati da je danas uobiajen proraun uticaja u ljuskastim

    elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na primeni metode kona-

    nih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao poliedarske povrine formira-

    ne od povrinskih konanih elemenata, mogunost apliciranja proizvoljnog optereenja,

    mogunost uticaja na tanost rezultata gustinom mree, mogunost proraunskog obuhva-

    tanja realnih konturnih uslova... su samo neke od nespornih prednosti ovog naina prorau-

    na. Ipak, sa stanovita inenjerskog razumevanja problema, klasini pristup proraunu je od

    nemerljivog znaaja i dalje.

    8.2.8.2.8.2.8.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

    Rotacione (rotaciono-simetrine) ljuske su one ija je srednja povr rotaciona povr nastala

    obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 8/5). Koordinatne linije

    ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U ravni meridijalnih krivih

    meri se ugao , a u ravni krunica ugao . Poluprenici glavnih krivina su r i r151.

    151 Primetiti da r nije poluprenik krunice (paralele).

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    378

    Sl. 8/5. Rotaciona ljuska

    Pretpostavljajui membranski radmembranski radmembranski radmembranski rad, na elementarnom delu povrine rotacione ljuske optere-

    enom komponentama povrinskog optereenja u pravcima tangente na glavne pravce, te

    normale na srednju povr (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnotee (Sl. 8/6): dva po sumi

    sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju povr. Pretpostavljajui,

    dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenja, kada je px jednako nuli, svi uticaji

    postaju samo funkcije jednog parametra ugla :

    Sl. 8/6. Membransko stanje rotacionih ljuski

    ( )/zN r p N r = + , 0N = , ......................................................................................... (8.4) ( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C r = + + , .............................................. (8.5) gde je sa r obeleen poluprenik krunice (paralele), a integraciona konstanta C se odreuje

    iz konturnih uslova.

    Pod dejstvom rotaciono-simetrinog optereenja ljuska se deformie i take ljuske dobijaju

    odgovarajua pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pravcu normale na

    povr, w. Koristei se vezama izmeu napona i deformacija (), iz teorije tankih ljuski je

    poznato:

    ( )1 N NE h

    =

    , ( )1 N NE h

    =

    . ........................................................... (8.6)

    Nakon uvoenja veza izmeu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristina pomeranja

    izduenje poluprenika paralele, r, i promena ugla tangente na meridijalnu krivu, nai

    kao:

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    379

    ( )rr r N NE h

    = =

    ............................................................................................. (8.7)

    ( ) ( )cot 1r rdN N N N N NE h r r d E h

    =

    . ..................... (8.8)

    Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno sloenije od membran-

    skog. Za sluaj rotaciono-simetrinog optereenja polovina presenih sila je identiki jedna-

    ka nuli:

    0N N = = , 0M M = = , 0Q = . ............................................................................. (8.9)

    Sl. 8/7. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrino optereenih

    Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnotee na elementu povrine (Sl. 8/7).

    Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na povr, te suma

    momenata, respektivno, daju:

    ( ) cos 0yd r N r N r Q p r rd + = , .......................................................... (8.10) ( )sin 0zdr N r N r Q p r rd + + + = , i ......................................................... (8.11) ( ) cos 0d r M r M r r Q

    d

    = . ...................................................................... (8.12)

    Veze izmeu dilatacija i pomeranja su:

    1 dv

    wr d

    = +

    ,

    cotv wr

    += ,

    1 dwv

    r d

    =

    , ............................................ (8.13)

    a veze izmeu presenih sila i pomeranja su date sa:

    ( )1 cotdvN D w v wr d r

    = + + +

    , 21

    E hD

    =

    , ................................................. (8.14)

    ( )1 cotdvN D w v wr d r

    = + + +

    , ( )

    3

    212 1E hK

    =

    , ...................................... (8.15)

    1 1

    cotd dw dwM K v v

    r d r d r r d

    = +

    .................................................. (8.16)

    1 1

    cotd dw dwM K v v

    r d r d r r d

    = +

    .................................................. (8.17)

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    380

    Jednaine (8.10) do (8.17) predstavljaju sistem od deset jednaina sa deset nepoznatih: pet

    presenih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente deformacijskih veliina

    (, i ). Prkatina reenja e biti razmatrana na primeru pojedinih tipova ljuski.

    U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-simetrinim

    optereenjem, ostvaruje se u veem delu ljuske, osim, najee, u okolini konture. Ljuska je

    najee po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi element. Zato, zbog spreenosti mem-

    branskog deformisanja, na konturi se remeti membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji

    od savijanja (Sl. 8/8).

    Sl. 8/8. Ivini poremeaji cilindrine ljuske kruto spojene sa drugim elementima

    Sl. 8/9. Momenti savijanja podu izvodnice za dugu i kratku cilindrinu ljusku

    Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremeajni uticaji) su takvi da se relativno brzo prigu-

    uju za uobiajene dimenzije ljuski. Njihova veliina se (na makro-nivou posmatrano) sma-

    njuje sa udaljenjem od ivice. Ako se moe smatrati da se poremeajni uticaji na jednom kra-

    ju ljuske ne oseaju (ne utiu na deformaciju) na drugom kraju ljuske, takve ljuske nazivaju

    se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 8/9 su, za dugu i kratku cilindrinu, mem-

    branski oslonjenu na dnu, ljusku, optereenu radijalnim horizontalnim linijskim opteree-

    njem na obe ivice, prikazani oblici dijagrama momenata savijanja M.

    Presene sile kod rotaciono-simetrino optereenih rotacionih ljuski u sklopu sloenije

    konstrukcije mogu biti odreene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila odreuju se

    superpozicijom membranskog reenja i uticaja dobijenih fleksionom analizom ivinih pore-

    meaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju, konstrukcija se dekomponu-

    je, na nain da se pretpostavljaju membranski uslovi oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je

    formiran takozvani osnovni sistem, za koji je samo analizom uslova ravnotee mogue odre-

    diti membransko reenje. Na mestu raskinute veze uvode se dve statiki nepoznate veliine:

    horizontalna sila XH (linijsko optereenje, kN/m) i moment savijanja XM (linijsko optereenje,

    kNm/m) (Sl. 8/10).

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    381

    Sl. 8/10. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statiki nepoznate

    Veliine statiki nepoznatih veliina odreuju se iz uslova-pretpostavke da nema meusob-

    nog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meusobne promene nagiba

    tangente. Skraeno, krajevi ljuski spojenih u voru imaju jednako horizontalno pomeranje r

    i obrtanje . Uslovne jednaine virtualnog rada, kojima se sumiraju ovi uslovi imaju poznat

    oblik, a broj ovih jednaina, N, odgovara broju statiki nepoznatih veliina:

    1 11 2 12 10

    1 21 2 22 20

    1 1 2 2 0

    ... 0... 0

    ...

    ... 0N N N

    X XX X

    X X

    + + + =

    + + + =

    + + + =

    . ......................................................................................... (8.18)

    Pri tome, svaki koeficijent ij ine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovarajuih

    pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:

    ij ij ij = + . ........................................................................................................................... (8.19)

    Koeficijenti i0 se odreuju kao odgovarajua pomeranja u osnovnom sistemu u pravcu i

    smeru usvojenih statiki nepoznatih od spoljanjih optereenja. I oni predstavljaju zbir

    odgovarajuih koeficijenata sa dva u voru vezana elementa.

    Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreivanja statiki nepoznatih se

    znatno pojednostavljuje. Uvoenjem pretpostavke da se ivini poremeaji na jednom kraju

    ljuske ne oseaju na drugom, ini odgovarajue ij koeficijente jednakima nuli. Za posledi-

    cu, umesto jednog sistema jednaina, problem se dekomponuje na vie manjih sistema jed-

    naina (na primer, etiri puta statiki neodreen sistem na Sl. 8/10, uz cilindrinu ljusku

    usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta statiki neodreen nezavisno je mogue

    odrediti statiki nepoznate u gornjoj vezi od onih u donjoj).

    U sluaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) optereenja na ljusku, problem se rea-

    va formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 8/11. Pri tome je nebitno da li se samo

    optereenje pripisuje gornjoj ili donjoj ljuski, ili se deli. Slino se postupa i u sluajevima

    ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 8/12).

    Sl. 8/11. Dekompozicija na mestu koncentrisanog optereenja

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    382

    Sl. 8/12. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

    Treba imati na umu da statiki nepoznate veliine izazivaju u presecima ljuske, ne samo

    momente savijanja (M i M) i transverzalne sile (Q), nego i aksijalne sile N i N, zbog ega

    se rezultujue aksijalne sile odreuju superpozicijom njihovih membranskih i fleksionih vre-

    dnosti.

    Ljuske se, u optem sluaju, dimenzioniu u dva ortogonalna glavna pravca na sloeno savi-

    janje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravougaonog poprenog

    preseka jedinine irine (1m) na granine vrednosti uticaja M i N, dok se meridijalna arma-

    tura odreuje iz odgovarajuih graninih uticaja M i N. Pri tome, treba voditi rauna o raz-

    liitim statikim visinama u dva upravna pravca, te o minimalnim koliinama armature, koje

    kod ljuski odgovaraju onima za pune ploe.

    8.2.2.8.2.2.8.2.2.8.2.2. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)

    Sferne kupole su najee konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine. Primenu

    kao armiranobetonske pronalaze jo na poetku XX veka, uglavnom kao krovne konstrukcije

    nad krunim osnovama, zahvaljujui sposobnosti da premoavaju velike raspone sa malim

    debljinama. U pogledu utroka materijala ovo ih svrstava u red najracionalnijih konstrukcija.

    Sa druge strane, racionalnost njihove primene je limitirana pogodnou i cenom izvoenja

    (skupa oplata i skela).

    Najee, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala krune osnove

    i veih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 8/13). U konstrukcijama se

    javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim nosaima, ploama, drugim

    ljuskama...

    Sl. 8/13. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

    Uobiajene debljine kupola su vrlo male za krovne konstrukcije su izmeu 5 i 14cm, a za

    raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnuti, ovi elementi mogu

    biti podloni gubitku stabilnosti, zbog ega je preporuka usvajati debljinu ljuske na nain da

    se membranskim radom iazazvani normalni naponi ogranie na manju vrednost od dopute-

    nih (preporuka je 50% doputenih)152. Jo jedna preporuka u pravcu obezbeenja od suvie

    152 Doputeni naponi su zaostatak ranije primenjivane logike prorauna armiranobetonskih kons-

    trukcija, ali je data preporuka i dalje praktino validna.

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    383

    malih debljina ljuske je ona kojom bi debljinu valjalo ograniiti sa donje strane u funkciji

    poluprenika krivine na sledei nain: / 0 .0015d r (priblino 1/600!).

    Sl. 8/14. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)

    S obzirom da su kupole optereene uglavnom mirnim kontinualnim optereenjem (sopstvena

    teina, izolacija, sneg, tenost...), to one rade preteno membranski. Samo u podruju oslo-

    naca, zbog veze s drugim elementima (najee preko prstenastog nosaa) javljaju se fleksi-

    oni poremeaji. Mogue neravnomerno optereenje vetrom redovno nije od velikog znaaja

    budui je malo u odnosu na ostala. Otud, kupole se mogu priblino proraunavati kao rota-

    ciono-simetrino optereene.

    esto se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 8/14). U tom sluaju

    gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojaanje na koje se privruju elementi svetlosne lan-

    terne. Sada se i gornja ivica ljuske karakterie fleksionim uticajima.

    Kako su kod sferne ljuske poluprenici glavnih krivina jednaki:

    r r a = = , sinr a = , ....................................................................................................... (8.20)

    to se presene sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (8.4) i (8.5)):

    ( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d a = + , .......................................... (8.21) ( )zN a p N a = + . ......................................................................................................... (8.22) Karakteristina pomeranja su:

    ( )( )sin 1zar a p NE h

    = + +

    , i ................................................................................ (8.23)

    ( )1z ydpa pE h d

    = +

    ............................................................................................... (8.24)

    U nastavku je, u formi specifinog sluaja, analizirano membransko dejstvo sopstvene teine

    sferne kupole. Kako je:

    sinyp g = i coszp g = ,

    to se aksijalne sile dobijaju:

    1 cos

    a gN

    =

    + i

    1cos

    1 cosN a g

    = +

    .

    Raspored i veliina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 8/15. Primetiti da za ugao kupole vei

    od 51.49 prstenaste sile N prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoe, interesantno je primetiti

    i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    384

    Sl. 8/15. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

    Za ravnomerno podeljeno optereenje po osnovi, kakvo je optereenje snegom, na primer,

    vai:

    sin cosyp p = i 2coszp p = ,

    te aksijalne sile u obliku (Sl. 8/16):

    0.5N a p = , ( )0.5 cos 2N a p =

    Sl. 8/16. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog optereenja po osnovi

    Za karakteristine sluajeve optereenja (Sl. 8/17) izrazi za presene sile se obino mogu

    pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za karakteristina pome-

    ranja.

    Sl. 8/17. Neki karakteristini sluajevi optereenja kupole

    Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (8.10) do (8.17) se, uz odre-

    ena zanemarenja malih veliina i konstatovanjem da je py = pz = 0, svode na dve nezavisne

    diferencijalne jednaine oblika (k koef. priguenja):

    4

    44 4 0k

    + =

    ,

    44 0Q k Q

    + = , ( )23 1ak h = . ...................................... (8.25)

    Sl. 8/18. Oznake uglova na ivicama kupole

    Uz oznake kao na Sl. 8/18, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), reenje diferencijalne

    jednaine se nalazi u obliku:

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    385

    ( )cosnk w nQ C e k w = + , ............................................................................................ (8.26) gde su C i integracione konstante odreene uslovima na konturi. Izrazi za sile u preseci-

    ma, te integracione konstante za sluajeve ivinog optereenja horizonztalnim silama i

    momentima, dati su na Sl. 8/19.

    Sl. 8/19. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Dati izrazi se odnose na duge ljuske one kod kojih je zadovoljeno:

    ( )2 1 6k i 30n . .................................................................................................. (8.27) U praksi je, i za fleksione poremeaje, uobiajena primena tabulisanih izraza za sile i pome-

    ranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo sluajeve prikazane na Sl. 8/19.

    U najveem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom delu svo-

    di na analizu centrino pritisnutog ili centrino zategnutog pravougaonog preseka jedinine

    irine. U ivinim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se dimenzioniu na sloeno savija-

    nje, prema M i N. U zoni prostiranja poremeajnih uticaja obino se ljuska kontinualno

    zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu je najee prihvaen ve podeonom armatu-

    rom.

    Sl. 8/20. Armiranje sferne ljuske (osnova)

    Sl. 8/21. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    386

    Sl. 8/22. Armiranje ivinih delova kupole

    Teme ljuske se, kao kod krunih ploa, armira ortogonalnom mreom. Ostatak ljuske se

    armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne armature pove-

    ava udaljavanjem od temena (smanjuje se povrina armature po jedinici duine), to je

    neophodno (ak zbog odravanja neophodnog minimuma armature ili doputenog razmaka

    izmeu ipki) polovljenje razmaka sve kraim ipkama (Sl. 8/20). Ljuska se u veem delu

    armira mreom u sredini debljine (za ljuske debljine manje od 7cm) ili simetrinim mreama

    na oba lica (za debljine preko 7cm) (Sl. 8/21). U zoni ojaanja, obostrano armiranje se u

    meridijalnom pravcu najee postie ipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u

    obe zone ima karakter podeone (Sl. 8/22).

    Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivinim elementima (prstenom) u cilju

    obezbeenja mogunosti prijema poremeejnih momenata savijanja (Sl. 8/22).

    8.2.3.8.2.3.8.2.3.8.2.3. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE

    Konusne ljuske se najee koriste (Sl. 8/23) za levkove silosa i bunkera, kod rezervoarskih

    konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se izvoditi kao kla-

    sine armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najee u horizontalnom pravcu.

    Kod konusnih ljuski, glavni poluprenik krivine r ima beskonanu duinu, izvodnica u meri-

    dijalnom pravcu je prava linija.

    Sl. 8/23. Primeri primene konusnih ljuski

    Sl. 8/24. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

    Uvoenjem veza (Sl. 8/24):

    cotr y = , dy r d = , cosr y = , yN N , ...................................................... (8.28)

    mogu se odrediti vrednosti presenih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    387

    ( )cos sin cos

    sin cosy z

    y

    p p y dyN

    y

    + =

    , .................................................................. (8.29)

    cotzN y p = , ................................................................................................................. (8.30)

    ( )cos cotz yyr y p NE h

    = +

    , ................................................................................. (8.31)

    ( )2cot coty z ydN y p y pE h dy = + . ................................................................ (8.32) Za sluaj dejstva sopstvene teine (Sl. 8/25), komponente optereenja su:

    sinyp g = , coszp g = ,

    a vrednosti presenih sila su:

    ( )/ 2 sinyN g y = , 2sin cotN g y = .

    Sl. 8/25. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

    Za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi (Sl. 8/26) bie:

    sin cosyp p = , 2coszp p = ,

    1cot

    2yN p y = ,

    3cos

    sinN p y

    =

    Sl. 8/26. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi

    Sl. 8/27. Neki karakteristini sluajevi optereenja konusne ljuske

    Za karakteristine sluajeve optereenja (poput onih datih na Sl. 8/27) izrazi za presene sile

    se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za kara-

    kteristina pomeranja.

    Neporemeeno membransko stanje je mogue samo ako je ivica ljuske oslonjena na nain da

    reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske zavrava obodnim

    prstenom, koji uzrokuje ivine poremeaje. Spoj ljuske i prstena moe biti zgloban ili krut

    (Sl. 8/28).

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    388

    Sl. 8/28. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

    Sl. 8/29. Oznake na krajevima ljuske

    Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (8.10) do (8.17) se, uz odre-

    ena uproenja, svode na diferencijalnu jednainu etvrtog reda po nepoznatoj promeni

    ugla obrtanja (k koef. priguenja):

    44

    4 4 0ky + =

    , ( )2tan 3 1k y h = ...................................................................... (8.33)

    Uz oznake kao na Sl. 8/29, reenje jednaine se moe napisati u obliku:

    ( )cosn nk d n nC e k d = + , ............................................................................................ (8.34) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti presenih sila i karakteristi-

    nih pomeranja su date na Sl. 8/30. Izrazi vae za duge ljuske, kod kojih je zadovoljeno:

    ( )2 1 6k y y ......................................................................................................................... (8.35)

    Sl. 8/30. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentrinim krugovima. Broj ipki koje

    se pruaju po izvodnicama, po jedinici duine se smanjuje sa pribliavanjem ivici, to valja

    nadomestiti ubacivanjem meu-ipki. Ljuske deblje od 8cm se armiraju u dve zone celom

    povrinom. Uz prsten, ljuska se dimenzionie na ekscentrini pritisak u pravcu izvodnice.

    8.2.4.8.2.4.8.2.4.8.2.4. CILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKE

    Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera krune

    osnove (Sl. 8/31). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara krunom ploom, koja

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    389

    je najee kruto spojena s cilindrom, ali je mogue i reenje sa plivajuom varijantom. Sa

    gornje strane, cilindar se zatvara ili krunom ploom ili ljuskom, preko krunog prstenastog

    nosaa. Kod vodotornjeva, cilindri se projektuju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u

    cilju formiranja pogodne geometrije. Kod silosa, elije krune osnove su dugaki cilindri u

    dnu najee vezani s konusnom ljuskom levka.

    U svim ovim sluajevima, optereenje na povrinu cilindra je po pravilu rotaciono simetrino

    (pritisak tenosti, zrnastog materijala ili tla).

    Sl. 8/31. Primeni primene cilindrinih rotacionih ljuski

    Kod cilindrine ljuske je glavni poluprenik r beskonane duine, a ugao je 90, to meri-

    dijalnu krivu transformie u vertikalnu pravu izvodnicu.

    Sl. 8/32. Membranski uslovi oslanjanja cilindrine ljuske i geometrijske oznake

    Uvoenjem veza:

    r a = , dy r d = , yN N , ......................................................................................... (8.36)

    izrazi za membranske sile i pomeranja postaju: y yN p dy= , ......................................................................................................................... (8.37)

    zN a p = (kotlovska formula), ............................................................................................. (8.38)

    ( )z yar a p NE h = +

    , .................................................................................................. (8.39)

    z ydpa

    a pE h dy

    =

    . .................................................................................................. (8.40)

    Za sluaj delovanja sopstvene teine (Sl. 8/33a) bie:

    yN g y= , 0N = , a g y

    rE h

    =

    , a g

    E h =

    .

    Sl. 8/33. Dejstvo sopstvene teine i tenosti

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    390

    Za dejstvo tenosti (Sl. 8/33b) bie:

    0yN = , p a yN

    L

    = , 2

    a p yr

    E h L =

    , 2

    a pE h L

    =

    .

    Za druge sluajeve optereenja (poput onih na Sl. 8/34) izrazi za presene sile i karakteristi-

    na pomeranja se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata.

    Sl. 8/34. Karakteristini sluajevi optereenja

    Jednaine fleksione teorije se, uz (8.36) i:

    yQ Q , yM M , .h const= , ..................................................................................... (8.41) svode na jednu diferencijalnu jednainu etvrtog stepena:

    44

    4 4 0zpd w k w

    Kdy+ + = ,

    ( )23 1k

    a h

    =

    . .................................................................... (8.42)

    U optem sluaju, reenje je oblika:

    ( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky= + + + + , .................................... (8.43) gde je w0 partikularno reenje, a integracione konstante se odreuju iz konturnih uslova. Za

    duge ljuske, kod kojih je: 6k L , ................................................................................................................................... (8.44)

    ivini poremeaji se odreuju iz reenja homogenog dela diferencijalne jednaine, koja se

    odnosi na ljusku bez povrinskog optereenja, a za optereenje samo po konturi:

    44

    4 4 0d w k wdy

    + = . ................................................................................................................. (8.45)

    Reenje jednaine:

    ( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky= + + + ............................................... (8.46) predstavlja zbir dve priguene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jednog kraja

    se ne prenose na drugi, pa se reenje svodi na oblik s dve integracione konstante:

    ( )1 2cos sinkyw e C ky C ky= + . ............................................................................................. (8.47)

    Sl. 8/35. Oznake na krajevima ljuske

    Uz oznake sa Sl. 8/35, reenje se moe napisati u obliku:

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    391

    ( )cosnk d nw C e k d = + , ............................................................................................... (8.48) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i karakteristi-

    nih pomeranja su date na Sl. 8/36.

    Sl. 8/36. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

    Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:

    22

    Ha kC X

    E h

    =

    , i 0 = , ..................................................................................................... (8.49)

    dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:

    2 242 Ma kC X

    E h

    =

    , 4pi = . ................................................................................................... (8.50)

    Puno ukljetenje cilindrinog zida u temelj (Sl. 8/37a) rezultira veim poremeajnim momen-

    tima My i manjim aksijalnim silama N u odnosu na sluaj elastinog ukljetenja dna cilindra

    (Sl. 8/37b).

    Sl. 8/37. Puno i elastino ukljetenje dna cilindrinog zida

    Sl. 8/38. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonakim elementima

    Rotaciono simetrine cilindrine ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzioniu i armiraju

    na centrini pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su optereeni na sloeno savi-

    janje (momenti My i aksijalne sile Ny).

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    392

    Zateue prstenaste sile N se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravilu, pos-

    tavlja sa unutranje strane, budui da ne prihvata momente savijanja. U vertikalnom pravcu,

    krak unutranjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne armature kao spoljanja. Na Sl.

    8/38 prikazan je detalj armiranja cilindra za sluaj punog i elastinog ukljetenja.

    8.3.8.3.8.3.8.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI

    Tanke ljuske se danas uspeno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona, kod

    hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omoguava znaajno smanjenje teine.

    Mogu biti prizmatine (cilindrine), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti ili naborane kons-

    trukcije.

    8.3.1.8.3.1.8.3.1.8.3.1. PRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKE

    Prizmatinim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po dvema

    identinim voicama, najee u obliku elipse, parabole ili krunice. Gauss-ova krivina ovih

    ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadrale oblik pod optereenjem, moraju zavravati krutim

    dijafragmama (Sl. 8/39a). Kako su, iz uslova na konturi, meridijalne sile N jednake nuli na

    podunim ivicama, to se optereenje ljuske moe prenositi samo savijanjem.

    Sl. 8/39. Elementi prizmatine krovne konstrukcije i membranske presene sile

    Sl. 8/40. Popreni i poduni presek kroz prizmatinu ljuskastu krovnu konstrukciju

    U podunom pravcu, grubo, ljuska se ponaa kao gredni element raspona l1, a savojna kru-

    tost ovakve grede se uveava projektovanjem ivinih elemenata (Sl. 8/39, Sl. 8/40).

    Ovakve ljuske se najee projektuju kao vietalasne, reanjem jedne uz drugu na nain da

    dve susedne imaju zajedniki ivini element. Kod srednjih ivinih elemenata ovo rezultira

    ponitavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila N. Kod srednjih ljuski je, ovim,

    savijanje u poprenom pravcu znaajno redukovano, a u podunom pravcu raspodela nor-

    malnih sila Nx priblino odgovara onoj kod grednih elemenata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju

    sloeniji (momentni) proraunski tretman u oba pravca. Alternativa je dodatno ukruenje

    krajnjih ljuski poprenim dijafragmama u cilju smanjenja poprenih deformacija. Na Sl. 8/41,

    za jednorasponsku ljusku, prikazan je uticaj poprenog ukruenja na deformaciju ljuske.

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    393

    Sl. 8/41. Deformacija ljuske, optereene sopstvenom teinom, bez i sa poprenim ukruenjem

    I u podunom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao vierasponske.

    Specifian nain primene cilindrinih ljuski, kod ed krovova, prikazan je na Sl. 8/42.

    Sl. 8/42. Primena cilindrinih ljuski kod ed krovova

    Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika veeg dela povrine ljuske (bar kad je o

    optereenjima od sopstvene teine ili snega re), na spoju ljuske sa dijafragmama i ivinim

    elementima ono je neminovno narueno i, na ovim mestima, javljaju se poremeajni uticaji.

    Njihovo proraunsko odreivanje je mogue samo korienjem klasine momentne teorije

    ljusaka ili, danas je to uobiajena praksa, primenom softvera baziranih na metodi konanih

    elemenata.

    Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 vei od 1 (redovno izmeu 3 i 4) nazivaju se

    dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podunom pravcu je blizak grednom elementu raspona l1 i poprenog

    preseka koji formiraju ljuska i ivini elementi. Raspon dugih ljuski u podunom pravcu je

    uobiajeno izmeu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visinom ivinog elementa, usvaja se

    veom od desetine podunog i estine poprenog raspona. Ivini elementi (Sl. 8/43; date su

    i uobiajene dimenzije) mogu biti projektovani razliitih oblika, zavisno od intenziteta poje-

    dinih uticaja, te potrebe prijema horizontalnih i/ili vertikalnih optereenja s ljuske.

    Sl. 8/43. Mogui oblici poprenog preseka ivinih elemenata

    Oslonake dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosai, reetkasti, luni (sa

    zategom) ili okvirni. Na Sl. 8/44 prikazani su neki oblici oslonakih dijafragmi i popreni

    preseci ivinih elemenata vietalasnih ljuski.

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    394

    Sl. 8/44. Dijafragme i ivini elementi vietalasnih ljuski

    Priblini proraun dugih ljuski, za srednja polja vietalasnih dispozicija, moe odgovarati

    proraunu grednih elemenata iji popreni presek formiraju preseci ljuske i ivinih elemena-

    ta. Poloaj neutralne linije odreuje se za ovako pretpostavljeni homogen presek. Dodatna

    aproksimacija moe biti pretpostavka linearne raspodele normalnih napona po visini prese-

    ka, kako je na Sl. 8/45 prikazano za presek ljuske bez ivinih elemenata.

    Sl. 8/45. Aproksimacija raspodele normalnih i smiuih napona po visini preseka ljuske

    Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i horizontalno i

    vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne moe biti efikasno primenjena.

    Presek dugih ljuski se dimenzionie prema dijagramu normalnih napona x, glavnih kosih

    napona po vrednosti jednakih smiuim x i napona od poremeajnih momenata savijanja.

    Zateue normalne napone u celini prihvata armatura, ija se potrebna povrina odreuje iz

    rezultantne sile zatezanja. Za kruni cilindar Sl. 8/45, bie:

    ( )0 02 sinxgu gg

    r hZ r r y

    y

    = . ...................................................................... (8.51)

    Sl. 8/46. Optereenje dijafragme

    Smiui naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se odre-

    uju iz globalne smiue sile, Tu, na poznat nain, usvajajui za irinu preseka dvostruku

    debljinu ljuske (S statiki moment povrine preseka iznad teita):

    2

    ux

    T SI h

    =

    . ............................................................................................................................ (8.52)

    Na dijafragme se optereenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju povr lju-

    ske (Sl. 8/46), a odreuju se iz smiuih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo, dijafragme su,

    naravno, optereene i sopstvenom teinom.

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    395

    Poduna zategnuta armatura (8.51) se, po pravilu, koncentrie u dno ivinog elementa (na

    maksimalnom kraku) i, naelno, njena koliina opada od sredine raspona ka osloncima (Sl.

    8/47a). Ljuska se armira mreom, u podunom i poprenom pravcu, po celoj povrini, a lju-

    ske debljine vee od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivine elemente i uz dijafragme, potreba

    za armaturom se odreuje i na osnovu intenziteta poremeajnih uticaja, kada je ljuska opte-

    reena na savijanje sa aksijalnom silom. Prelaz od ljuske prema ivinom elementu esto

    (posebno u sluaju vrlo tankih ljuski) treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa

    ivinim elementom debljina ljuske je 2 do 2.5 puta vea od one u sredinjem delu, a duina

    postepenog poveanja debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 8/47b).

    Sl. 8/47. Armiranje preseka ivinog elementa

    KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podunim rasponom manjim od poprenog. Poduni rasponi su

    uobiajeno u granicama izmeu 5 i 12m, popreni idu i do 30m, strela luka se usvaja veom

    od sedmine poprenog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u granicama izmeu 6 i 12cm.

    Ovakve ljuske prostorno prenose optereenje i aproksimacije komentarisane kod dugih ljuski

    ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smiuih napona koji tangiraju srednju povr

    prenosi optereenje na dijafragme (samo 4-5% optereenja ljuske se na dijafragme prenese

    preko poprenih poremeajnih sila).

    Sl. 8/48. Kratka prizmatina ljuska

    Priblino, zategnuta armatura u ivinim elementima moe se odrediti usvajanjem kraka unu-

    tranjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:

    ( ) ( )2 2

    2 1 2 118 2 0.55 9

    u ua

    v v v v

    Z M q l l q l lAz f a f a

    = = = =

    + +. .................................... (8.53)

    Ljuska se armira lakom mreom (na primer prenikom 6 na razmaku 12 ili 15cm), a mak-

    simalni razmak ica ne sme biti vei od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad dijafragmi i

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    396

    na spoju ljuske sa ivinim elementima postavlja se dopunska armatura za prijem momenata

    savijanja.

    DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski optereena je smiuim silama koje deluju tangencijalno na srednju

    povr ljuske. U tom, poprenom, pravcu, ljuska je pritiskujue napregnuta, a za maksimalnu

    silu pritiska dovoljno je tano odrediti:

    N q r = , ............................................................................................................................ (8.54)

    gde je q ukupno optereenje, a r poluprenik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila pritiska za

    krajnju i za srednju dijafragmu (poduni pravac) iznosi:

    112

    N q r l= , 1N q r l= . ................................................................................................. (8.55)

    Kako ivini elementi ne mogu primiti pritiskujue sile poprenog pravca, N, to se ove pos-

    tepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Zakon ove promene

    se moe aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 8/49):

    ( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= . za krajnju, i ........................................................................... (8.56) ( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= , za srednju dijafragmu. ......................................................... (8.57)

    Sl. 8/49. Kvadratna parabola

    Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:

    ( )1 222

    4 2xxdN q r lT l xdx l

    = = . ........................................................................................ (8.58)

    Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, bie:

    1max2

    2 q r lTl

    = , i 1max2

    4 q r lTl

    = . .................................................................................. (8.59)

    Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optereenje

    dijafragme su slini, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:

    1max22

    q r lTl

    pi =

    , i 1max2

    q r lTl

    pi = . ................................................................................. (8.60)

    8.3.2.8.3.2.8.3.2.8.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI

    Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojaane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola. Rebra se

    pruaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. Pri

    dnu kupole, rebra se spajaju pomou leinog prstena, koji prima razupirue sile meridijal-

    nih rebara. esto se izvode od montanih elemenata (Sl. 8/51).

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    397

    Sl. 8/50. Rebraste kupole

    Sl. 8/51. Montani element rebraste kupole i detalj spoja rebrom

    Proraun rebrastih kupola je relativno komplikovan ve i za rotaciono simetrino opteree-

    nje, zbog visokog stepena statike neodreenosti.

    Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili krunice po dvema

    voicama koje su takoe u obliku parabole, elipse ili krunice. Mogu se zamisliti kao iseak

    kupole nad ne-krunom (pravougaonom, trougaonom...) osnovom. Poput ostalih ljuski s

    pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom krutou, a optereenje prenose u

    dva smera. Otud, njihova primena je karakteristina za velike raspone i povrine i u tom

    smislu su u prednosti nad prizmatinim (izmeu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se

    nazivaju one ljuske kod kojih odnos strele prema kraem rasponu nije vei od 1/5.

    Mogu biti jednotalasne i vietalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podunom pravcu

    najee naleu na dijafragme, a u poprenom na ivine elemente (Sl. 8/52a). Krajevi ljuske,

    uz spoj sa oslonakim elementima, se postepeno zadebljavaju do debljine 2 do 2.5 puta

    vee od one u sredinjem delu, na irini od priblino petnaestine do desetine odgovarajueg

    raspona.

    Sl. 8/52. Plitke ljuske

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    398

    I eksperimentalna ispitivanja potvruju membranski rad sredinjeg dela ljuske sredinji

    deo je izloen dvoosnom aksijalnom pritisku, to implicira konstruktivno armiranje. Podune

    zateue sile, kao i momenti savijanja u poprenom pravcu, se javljaju u zoni ivinih eleme-

    nata. Smiue sile su koncentrisane u uglovima ljuske i prihvataju se ivinim ojaanjima.

    Sl. 8/53. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske optereene sopstvenom teinom

    Plitke ljuske se mogu proraunavati samo priblino po teoriji ljuski, ali se danas uspeno

    proraunavaju primenom numerikih metoda (MKE). Problematinost egzaktnog proraun-

    skog tretmana posebno je izraena u aspektu kontrole izboavanja, zbog ega ovde valja biti

    oprezan i konzervativan.

    Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mreom koja se postavlja po celoj

    povrini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.

    Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voicama, od kojih je prva

    prava, a druga je kriva. Kako kriva voica moe biti razliitih oblika, to je i velik broj mogu-

    nosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje povrina najpogodnije su one konoidne

    ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiperbolini paraboloid, Sl. 8/54a) ili

    parabola (konoid, Sl. 8/54b).

    Hiperbolini paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je konveksan,

    drugi konkavan), to je ini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu, ali se oplata

    moe formirati od pravih dasaka, to znaajno pojednostavljuje izvoenje (Sl. 8/55).

    Sl. 8/54. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolini paraboloid i konoid

    Sl. 8/55. Konkavni i konveksni pravac hiperbolinog paraboloida i prave izvodnice

    Moe biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru nie uglove, potrebno je izme-

    u stubova projektovati zategu (Sl. 8/56b). Ako su poduprti vii uglovi, poeljno je projekto-

    vati razupira, kako je pokazano na Sl. 8/56a.

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    399

    Sl. 8/56. Hiperbolini paraboloid oslonjen na dva stuba

    Krovnu konstrukciju je mogue formirati i kombinovanjem vie hiperbolinih paraboloida (Sl.

    8/57).

    Sl. 8/57. Kombinovani krovovi od hiperbolinih paraboloida

    Sl. 8/58. Proraunski model hiperbolinog paraboloida

    Vertikalno optereen (ravnomerno po osnovi) hiperbolini paraboloid se moe jednostavno

    proraunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak nuli). Jednaina sred-

    nje povri je (Sl. 8/58):

    z C x y= .............................................................................................................................. (8.61)

    Smiue sile u presecima paralelnim s ivicama se odreuju prema:

    ( ) ( )2 2xyN Z C G C= = , za Z G= , ............................................................................... (8.62) a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:

    0x yN N= = , 1 2 xyN N N= = . ............................................................................................ (8.63)

    Na ivicama ljuske smiue sile moraju preuzeti ivini elementi ili dijafragme.

    Hiperbolini paraboloidi su zbog svoje statike i konstrukcijske jednostavnosti, te zbog

    vizuelnog efekta, vrlo privlane za primenu. Meutim, valja biti oprezan kad su njihove mane

    u pitanju (negativna Gauss-ova krivina ini ove ljuske vrlo osetljivim na promenljiva lokalna i

    na koncentrisana optereenja, kao i na promenne oblika usled, na primer, izduenja zatege).

    Armiraju se ortogonalnom mreom u jednom ili dva reda, a izmeu njih se postavlja kosa

    armatura za prihvat smiuih sila.

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    400

    Sl. 8/59. Iseak konoidne ljuske kao ed-krov

    Konoid je racionalna ljuska preteno naprezana membranskim uticajima, a pogodna za ed

    krovne konstrukcije (Sl. 8/59). U donjem delu konoida se javljaju zateue sile i potreba za

    zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u podruju pritiska, a u zategnu-

    toj zoni se moe armirati jednostrukom mreom. Izmeu dva sloja armature, u uglovima

    ploe treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glavnih kosih napona zatezanja.

    8.3.3.8.3.3.8.3.3.8.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE

    Poliedarske povri se formiraju od tankih ravnih ploa monolitno vezanih pod izvesnim

    uglom na nain da formiraju noseu strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju susednih ploa.

    Zavisno od oblika pojedinih ploa (pravougaone, trapezne, trougaone) razlikujemo prizmati-

    ne ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploe poliedara su uglavnom napregnute u sop-

    stvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savijanja i smiuim silama na ivicama: zbog

    monolitne veze izmeu noseih povrina, podune deformacije u pravcu pruanja ivice

    moraju biti jednake, a time i normalni naponi, zbog ega po se ivici javljaju smiue sile.

    Proraun uticaja u presecima povri je danas podrazumevan kao rezultat primene metode

    konanih elemenata.

    Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobiajeno dostiu raspone reda 20 do 30m, a

    kao prednapregnute i znatno vee (do 60m). Nabori se postavljaju u poprenim pravcima i

    oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 8/60). Zbog jednostavnijeg izvoenja

    (jednostavnija oplata) mogu biti u znaajnoj prednosti u odnosu na cilindrine ljuske (uprkos

    manjoj ekonominosti po pitanju utroka materijala).

    Sl. 8/60. Neke mogunosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija

    irina jednog poliedarskog elementa uobiajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju se deb-

    ljine, uobiajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeu dvadesetine i

    desetine raspona. esto se izvode od montanih elemenata, a neki od ee korienih obli-

  • 8. Armiranobetonske ljuske

    401

    ka poprenih preseka su prikazani na Sl. 8/61. Mogu biti jednorasponske ili vierasponske, a

    irina talasa, l2, je uobiajeno izmeu 10 i 12m.

    Sl. 8/61. esto korieni preseci montanih elemenata poliedarskih krovova

    Priblini proraun prizmatinih poliedarskih konstrukcija moe biti sproveden analogno

    cilindrinim (Sl. 8/62).

    Sl. 8/62. Proraunski model priblini proraun

    Neki primeri sloenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploa su prikazani na

    Sl. 8/63.

    Sl. 8/63. Sloeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploa

    atoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih trapez-

    nih i trougaonih ploa okrenutih vrhom nagore, najee oslonjene u uglovima na stubove

    (Sl. 8/64).

    Sl. 8/64. atorasti krovovi

    Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome minimalno armi-

    rane. Strele atora su uobiajeno u rasponima L/12 do L/8.

    Na Sl. 8/65a prikazan je karakteristian detalj armiranja u poprenom preseku nabora. Ploe

    se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona sloene ljuske (takas-

    to prikazana armatura u ivinoj zoni), te poprenom armaturom koja, naelno, obezbeuje

    popreni prenos optereenja sa ploa na ivine elemente (ivice). U blizini ivice i dijafragme

    ploe se armiraju u dva reda radi prihvatanja negativnih momenata savijanja. Dodatno, na

    spoju ploe i dijafragme se postavlja armatura za prijem smiuih sila (Sl. 8/65b).

  • Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013

    402

    Sl. 8/65. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova

    Za maksimalne doputene razmake ipki armature, te za minimalne procente armiranja, vae

    iste odredbe kao i za pune ploe.