bet. konstr. - 10 - ljuske

273

10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD

Ljuske su nosee konstrukcije formirane od zakrivljenih povri, koje prihvataju

optereenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske),

ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim

izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele-

menti kad je o utorku materijala re.

U optem sluaju, ljuske mogu biti razliitih oblika povri koje karakterie Gauss-

ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca ( i ):

1K

r r

= =

, .......................................................................... (10.1)

gde su r i r poluprenici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323):

Eliptine povri imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu-

prenika glavnih krivina su sa iste strane povri. Ove ljuske ne mogu menjati

svoj oblik bez istezanja srednje povri, zbog ega su vrlo krute.

Hiperbolike povri imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri

poluprenika glavnih krivina su na razliitim stranama povri. Karakteriu se

pravim izvodnicama.

Paraboline povri imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprenika gla-

vne krivine im je beskonano velik.

Sl. 323. Povrine razliite Gauss-ove krivine

Kada je debljina ljuske (h) mala u poreenju sa poluprenikom krivine (r), ljuska se

smatra tankom, a statiki tretman ovih elemenata moe biti baziran na teoriji tankih

ljuski. Naelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

120

hr

. ........................................................................................... (10.2)

Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

274

Osnovne pretpostavke tehnike teorije tankih ljuski su:

Smatra se da prava vlakna upravna na srednju povr ljuske ostaju prava i

upravna na deformisanu srednju povr, ne menjajui svoju duinu.

Normalni naponi u pravcu normale na srednju povr su zanemarljivi u odnosu

na ostale komponentalne napone.

Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu povri ogranienom lini-

jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreeni maksimal-

nim i minimalnim poluprenicima krivine. U optem sluaju, postoji deset sila u pre-

senim povrima ljuske: normalne sile N i N, smiue sile N i N, transverzalne

sile Q i Q, momenti savijanja M i M i momenti torzije M i M (Sl. 324). Ovih

deset veliina, naelno, nije mogue odrediti samo iz uslova ravnotee (problem nije

statiki odreen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeu napona, defor-

macija i pomeranja ljuske.

Sl. 324. Sile u presenim povrinama ljuske, opti sluaj

Opti problem je, pod odreenim uslovima, mogue dekomponovati na nezavisne

sluajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

Pretpostavljajui elastino ponaanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se moe

analizirati na nain koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj povri,

poput membrane koja ne prua nikakav otpor savijanju. Od presenih sila, javljaju

se samo normalne sile N i N, smiue sile N i N, a ova vrsta naprezanja se nazi-

va membransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskiiii, dok je odgovarajua teorija prorauna - mem-

branska teorija (Sl. 325a). Membransko stanje naprezanja se moe analizirati i kod

ljuski konane debljine pod sledeim uslovima:

Granini uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile napreu ljusku

samo u njenoj srednjoj povri. Ovim, mogu biti spreena samo pomeranja u

pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 325b).

Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se lan z/r u izrazima datim na Sl.

324 moe zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i

smiuih napona po visini h preseka postaje konstantna:

N h = , N h = , N N h = = . ...................................... (10.3)

10. Armiranobetonske ljuske

275

Srednja povr mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

Optereenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisa-

nih dejstava.

Sl. 325. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

Sada, kada je broj nepoznatih veliina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz

uslova ravnotee.

Konturni uslovi ljuske su najee takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku

deformaciju kraja ljuske su po konturi obino kruto vezane (elastino ukljetene)

za druge elemente (ljuske, ploe, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi

rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su poremeeni fleksionim

silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle pro-

mene debljine ljuske, koncentrisana optereenja, skokovi u kontinualno promenlji-

vom optereenju ili koncentrisana optereenja.

Sl. 326. Fleksione sile

Pored membranskih, u presenim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i tor-

zije, te transverzalne sile (Sl. 326). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i

deformacije ljuski ukljuujui i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila

naziva se fleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuski.

Nije ni potrebno posebno naglaavati da je danas uobiajen proraun uticaja u ljus-

kastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na prime-

ni metode konanih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao polie-

darske povrine formirane od povrinskih konanih elemenata, mogunost aplicira-

nja proizvoljnog optereenja, mogunost uticaja na tanost rezultata gustinom mre-

e, mogunost proraunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke

od nespornih prednosti ovog naina prorauna. Ipak, sa stanovita inenjerskog

razumevanja problema, klasini pristup proraunu je od nemerljivog znaaja i dalje.


276

10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

Rotacione (rotaciono-simetrine) ljuske su one ija je srednja povr rotaciona povr

nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 327).

Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U

ravni meridijalnih krivih meri se ugao , a u ravni krunica ugao . Poluprenici gla-

vnih krivina su r i r64.

Sl. 327. Rotaciona ljuska

Pretpostavljajui membrmembrmembrmembranski radanski radanski radanski rad, na elementarnom delu povrine rotacione ljuske

optereenom komponentama povrinskog optereenja u pravcima tangente na glav-

ne pravce, te normale na srednju povr (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnotee

(Sl. 328): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju

povr. Pretpostavljajui, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenja,

kada je px jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra ugla :

Sl. 328. Membransko stanje rotacionih ljuski

( )/zN r p N r = + , 0N = , ........................................................ (10.4) ( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C r = + + , ...................... (10.5) gde je sa r obeleen poluprenik krunice (paralele), a integraciona konstanta C se

odreuje iz konturnih uslova.

64 Primetiti da r nije poluprenik krunice (paralele).


277

Pod dejstvom rotaciono-simetrinog optereenja ljuska se deformie i take ljuske

dobijaju odgovarajua pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pra-

vcu normale na povr, w. Koristei se vezama izmeu napona i deformacija (), iz

teorije tankih ljuski je poznato:

( )1 N NE h

=

, ( )1 N NE h

=

. ................................. (10.6)

Nakon uvoenja veza izmeu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristina

pomeranja izduenje poluprenika paralele, r, i promena ugla tangente na meri-

dijalnu krivu, nai kao:

( )rr r N NE h

= =

............................................................ (10.7)

( ) ( )cot 1r rdN N N N N NE h r r d E h

=

. ..... (10.8)

Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno sloenije od

membranskog. Za sluaj rotaciono-simetrinog optereenja polovina presenih sila

je identiki jednaka nuli:

0N N = = , 0M M = = , 0Q = . ............................................... (10.9)

Sl. 329. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrino optereenih

Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnotee na elementu povrine (Sl.

329). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na povr,

te suma momenata, respektivno, daju:

( ) cos 0yd r N r N r Q p r rd + = , ................................. (10.10) ( )sin 0zdr N r N r Q p r rd + + + = , i ................................ (10.11) ( ) cos 0d r M r M r r Q

d

= . .......................................... (10.12)

Veze izmeu dilatacija i pomeranja su:


278

1 dv

wr d

= +

,

cotv wr

+= ,

1 dwv

r d

=

, .................... (10.13)

a veze izmeu presenih sila i pomeranja su date sa:

( )1 cotdvN D w v wr d r

= + + +

, 21

E hD

=

, ........................ (10.14)

( )1 cotdvN D w v wr d r

= + + +

, ( )

3

212 1E hK

=

, ................. (10.15)

1 1

cotd dw dwM K v v

r d r d r r d

= +

......................... (10.16)

1 1

cotd dw dwM K v v

r d r d r r d

= +

.......................... (10.17)

Jednaine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednaina sa deset nepo-

znatih: pet presenih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente

deformacijskih veliina (, i ). Prkatina reenja e biti razmatrana na primeru

pojedinih tipova ljuski.

U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-

simetrinim optereenjem, ostvaruje se u veem delu ljuske, osim, najee, u oko-

lini konture. Ljuska je najee po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi ele-

ment. Zato, zbog spreenosti membranskog deformisanja, na konturi se remeti

membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji od savijanja (Sl. 330).

Sl. 330. Ivini poremeaji cilindrine ljuske kruto spojene sa drugim elementima

Sl. 331. Momenti savijanja podu izvodnice za dugu i kratku cilindrinu ljusku

Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremeajni uticaji) su takvi da se relativno brzo

priguuju za uobiajene dimenzije ljuski. Njihova veliina se (na makro-nivou pos-

matrano) smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se moe smatrati da se poremeajni

uticaji na jednom kraju ljuske ne oseaju (ne utiu na deformaciju) na drugom kra-


279

ju ljuske, takve ljuske nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 331

su, za dugu i kratku cilindrinu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, optereenu

radijalnim horizontalnim linijskim optereenjem na obe ivice, prikazani oblici dija-

grama momenata savijanja M.

Presene sile kod rotaciono-simetrino optereenih rotacionih ljuski u sklopu sloe-

nije konstrukcije mogu biti odreene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila

odreuju se superpozicijom membranskog reenja i uticaja dobijenih fleksionom

analizom ivinih poremeaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju,

konstrukcija se dekomponuje, na nain da se pretpostavljaju membranski uslovi

oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji

je samo analizom uslova ravnotee mogue odrediti membransko reenje. Na mestu

raskinute veze uvode se dve statiki nepoznate veliine: horizontalna sila XH (linijsko

optereenje, kN/m) i moment savijanja XM (linijsko optereenje, kNm/m) (Sl. 332).

Sl. 332. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statiki nepoznate

Veliine statiki nepoznatih veliina odreuju se iz uslova-pretpostavke da nema

meusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meusobne

promene nagiba tangente. Skraeno, krajevi ljuski spojenih u voru imaju jednako

horizontalno pomeranje r i obrtanje . Uslovne jednaine virtualnog rada, kojima

se sumiraju ovi uslovi imaju poznat oblik, a broj ovih jednaina, N, odgovara broju

statiki nepoznatih veliina:

1 11 2 12 10

1 21 2 22 20

1 1 2 2 0

... 0... 0

...

... 0N N N

X XX X

X X

+ + + =

+ + + =

+ + + =

. ......................................................... (10.18)

Pri tome, svaki koeficijent ij ine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovara-

juih pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:

ij ij ij = + . .................................................................................. (10.19)

Koeficijenti i0 se odreuju kao odgovarajua pomeranja u osnovnom sistemu u pra-

vcu i smeru usvojenih statiki nepoznatih od spoljanjih optereenja. I oni predstav-

ljaju zbir odgovarajuih koeficijenata sa dva u voru vezana elementa.

Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreivanja statiki nepozna-

tih se znatno pojednostavljuje. Uvoenjem pretpostavke da se ivini poremeaji na


280

jednom kraju ljuske ne oseaju na drugom, ini odgovarajue ij koeficijente jed-

nakima nuli. Za posledicu, umesto jednog sistema jednaina, problem se dekompo-

nuje na vie manjih sistema jednaina (na primer, etiri puta statiki neodreen sis-

tem na Sl. 332, uz cilindrinu ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta

statiki neodreen nezavisno je mogue odrediti statiki nepoznate u gornjoj vezi

od onih u donjoj).

U sluaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) optereenja na ljusku, problem

se reava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 333. Pri tome je nebit-

no da li se samo optereenje pripisuje gornjoj ili donjoj ljuski, ili se deli. Slino se

postupa i u sluajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 334).

Sl. 333. Dekompozicija na mestu koncentrisanog optereenja

Sl. 334. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

Treba imati na umu da statiki nepoznate veliine izazivaju u presecima ljuske, ne

samo momente savijanja (M i M) i transverzalne sile (Q), nego i aksijalne sile N i

N, zbog ega se rezultujue aksijalne sile odreuju superpozicijom njihovih mem-

branskih i fleksionih vrednosti.

Ljuske se, u optem sluaju, dimenzioniu u dva ortogonalna glavna pravca na slo-

eno savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravou-

gaonog poprenog preseka jedinine irine (1m) na granine vrednosti uticaja M i

N, dok se meridijalna armatura odreuje iz odgovarajuih graninih uticaja M i N.

Pri tome, treba voditi rauna o razliitim statikim visinama u dva upravna pravca, te

o minimalnim koliinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploe.

10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)

Sferne kupole su najee konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine.

Primenu kao armiranobetonske pronalaze jo na poetku XX veka, uglavnom kao

krovne konstrukcije nad krunim osnovama, zahvaljujui sposobnosti da premoa-

vaju velike raspone sa malim debljinama. U pogledu utroka materijala ovo ih svrs-


281

tava u red najracionalnijih konstrukcija. Sa druge strane, racionalnost njihove pri-

mene je limitirana pogodnou i cenom izvoenja (skupa oplata i skela).

Najee, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala krune

osnove i veih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 335). U

konstrukcijama se javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim

nosaima, ploama, drugim ljuskama...

Sl. 335. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

Uobiajene debljine kupola su vrlo male za krovne konstrukcije su izmeu 5 i

14cm, a za raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnu-

ti, ovi elementi mogu biti podloni gubitku stabilnosti, zbog ega je preporuka

usvajati debljinu ljuske na nain da se membranskim radom iazazvani normalni

naponi ogranie na manju vrednost od doputenih (preporuka je 50% doputenih)65.

Jo jedna preporuka u pravcu obezbeenja od suvie malih debljina ljuske je ona

kojom bi debljinu valjalo ograniiti sa donje strane u funkciji poluprenika krivine na

sledei nain: / 0.0015d r (priblino 1/600!).

Sl. 336. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)

S obzirom da su kupole optereene uglavnom mirnim kontinualnim optereenjem

(sopstvena teina, izolacija, sneg, tenost...), to one rade preteno membranski.

Samo u podruju oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najee preko prste-

nastog nosaa) javljaju se fleksioni poremeaji. Mogue neravnomerno optereenje

vetrom redovno nije od velikog znaaja budui je malo u odnosu na ostala. Otud,

kupole se mogu priblino proraunavati kao rotaciono-simetrino optereene.

65 Doputeni naponi su zaostatak ranije primenjivane logike prorauna armiranobetonskih

konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktino validna.


282

esto se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 336). U tom

sluaju gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojaanje na koje se privruju elementi

svetlosne lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakterie fleksionim uticajima.

Kako su kod sferne ljuske poluprenici glavnih krivina jednaki:

r r a = = , sinr a = , .................................................................. (10.20)

to se presene sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):

( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d a = + , .................... (10.21) ( )zN a p N a = + . ..................................................................... (10.22) Karakteristina pomeranja su:

( )( )sin 1zar a p NE h

= + +

, i ................................................ (10.23)

( )1z ydpa pE h d

= +

............................................................. (10.24)

U nastavku je, u formi specifinog sluaja, analizirano membransko dejstvo sops-

tvene teine sferne kupole. Kako je:

sinyp g = i coszp g = ,

to se aksijalne sile dobijaju:

1 cos

a gN

=

+ i

1cos

1 cosN a g

= +

.

Raspored i veliina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 337. Primetiti da za ugao kupo-

le vei od 51.49 prstenaste sile N prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoe, intere-

santno je primetiti i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.

Sl. 337. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

Za ravnomerno podeljeno optereenje po osnovi, kakvo je optereenje snegom, na

primer, vai:

sin cosyp p = i 2coszp p = ,

te aksijalne sile u obliku (Sl. 338):

0.5N a p = , ( )0.5 cos 2N a p =


283

Sl. 338. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog optereenja po osnovi

Za karakteristine sluajeve optereenja (Sl. 339) izrazi za presene sile se obino

mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za karak-

teristina pomeranja.

Sl. 339. Neki karakteristini sluajevi optereenja kupole

Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (10.10) do (10.17)

se, uz odreena zanemarenja malih veliina i konstatovanjem da je py = pz = 0,

svode na dve nezavisne diferencijalne jednaine oblika (k koef. priguenja):

4

44 4 0k

+ =

, 44 0Q k Q

+ =

, ( )23 1akh

= . ............. (10.25)

Sl. 340. Oznake uglova na ivicama kupole

Uz oznake kao na Sl. 340, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), reenje diferenci-

jalne jednaine se nalazi u obliku:

( )cosnk w nQ C e k w = + , .......................................................... (10.26) gde su C i integracione konstante odreene uslovima na konturi. Izrazi za sile u

presecima, te integracione konstante za sluajeve ivinog optereenja horizonztal-

nim silama i momentima, dati su na Sl. 341.


284

Sl. 341. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja

Dati izrazi se odnose na duge ljuske one kod kojih je zadovoljeno:

( )2 1 6k i 30n . .............................................................. (10.27) U praksi je, i za fleksione poremeaje, uobiajena primena tabulisanih izraza za sile

i pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo sluajeve prikazane na Sl. 341.

U najveem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom

delu svodi na analizu centrino pritisnutog ili centrino zategnutog pravougaonog

preseka jedinine irine. U ivinim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se

dimenzioniu na sloeno savijanje, prema M i N. U zoni prostiranja poremeajnih

uticaja obino se ljuska kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu

je najee prihvaen ve podeonom armaturom.

Sl. 342. Armiranje sferne ljuske (osnova)

Sl. 343. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske


285

Sl. 344. Armiranje ivinih delova kupole

Teme ljuske se, kao kod krunih ploa, armira ortogonalnom mreom. Ostatak ljus-

ke se armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne

armature poveava udaljavanjem od temena (smanjuje se povrina armature po

jedinici duine), to je neophodno (ak zbog odravanja neophodnog minimuma

armature ili doputenog razmaka izmeu ipki) polovljenje razmaka sve kraim ip-

kama (Sl. 342). Ljuska se u veem delu armira mreom u sredini debljine (za ljuske

debljine manje od 7cm) ili simetrinim mreama na oba lica (za debljine preko 7cm)

(Sl. 343). U zoni ojaanja, obostrano armiranje se u meridijalnom pravcu najee

postie ipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u obe zone ima karakter

podeone (Sl. 344).

Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivinim elementima (prstenom)

u cilju obezbeenja mogunosti prijema poremeejnih momenata savijanja (Sl. 344).

10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE

Konusne ljuske se najee koriste (Sl. 345) za levkove silosa i bunkera, kod rezer-

voarskih konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se

izvoditi kao klasine armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najee u

horizontalnom pravcu. Kod konusnih ljuski, glavni poluprenik krivine r ima besko-

nanu duinu, izvodnica u meridijalnom pravcu je prava linija.

Sl. 345. Primeri primene konusnih ljuski

Sl. 346. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

Uvoenjem veza (Sl. 346):


286

cotr y = , dy r d = , cosr y = , yN N , ............................ (10.28)

mogu se odrediti vrednosti presenih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:

( )cos sin cos

sin cosy z

y

p p y dyN

y

+ =

, ...................................... (10.29)

cotzN y p = , .......................................................................... (10.30)

( )cos cotz yyr y p NE h

= +

, ................................................. (10.31)

( )2cot coty z ydN y p y pE h dy = +

. .................................... (10.32)

Za sluaj dejstva sopstvene teine (Sl. 347), komponente optereenja su:

sinyp g = , coszp g = ,

a vrednosti presenih sila su:

( )/ 2 sinyN g y = , 2sin cotN g y = .

Sl. 347. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine

Za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi (Sl. 348) bie:

sin cosyp p = , 2coszp p = ,

1cot

2yN p y = ,

3cos

sinN p y

=

Sl. 348. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi

Sl. 349. Neki karakteristini sluajevi optereenja konusne ljuske

Za karakteristine sluajeve optereenja (poput onih datih na Sl. 349) izrazi za pre-

sene sile se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno

daju i izrazi za karakteristina pomeranja.

Neporemeeno membransko stanje je mogue samo ako je ivica ljuske oslonjena na

nain da reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske


287

zavrava obodnim prstenom, koji uzrokuje ivine poremeaje. Spoj ljuske i prstena

moe biti zgloban ili krut (Sl. 350).

Sl. 350. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

Sl. 351. Oznake na krajevima ljuske

Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (10.10) do (10.17)

se, uz odreena uproenja, svode na diferencijalnu jednainu etvrtog reda po

nepoznatoj promeni ugla obrtanja (k koef. priguenja):

4

44 4 0ky + =

, ( )2tan 3 1k

y h

=

........................................ (10.33)

Uz oznake kao na Sl. 351, reenje jednaine se moe napisati u obliku:

( )cosn nk d n nC e k d = + , .......................................................... (10.34) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti presenih sila i

karakteristinih pomeranja su date na Sl. 352. Izrazi vae za duge ljuske, kod kojih

je zadovoljeno:

( )2 1 6k y y ................................................................................ (10.35)


Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentrinim krugovima. Broj

ipki koje se pruaju po izvodnicama, po jedinici duine se smanjuje sa pribliava-

njem ivici, to valja nadomestiti ubacivanjem meu-ipki. Ljuske deblje od 8cm se


288

armiraju u dve zone celom povrinom. Uz prsten, ljuska se dimenzionie na ekscen-

trini pritisak u pravcu izvodnice.

10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKE

Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera

krune osnove (Sl. 353). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kru-

nom ploom, koja je najee kruto spojena s cilindrom, ali je mogue i reenje sa

plivajuom varijantom. Sa gornje strane, cilindar se zatvara ili krunom ploom ili

ljuskom, preko krunog prstenastog nosaa. Kod vodotornjeva, cilindri se projektu-

ju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u cilju formiranja pogodne geometrije.

Kod silosa, elije krune osnove su dugaki cilindri u dnu najee vezani s konus-

nom ljuskom levka.

U svim ovim sluajevima, optereenje na povrinu cilindra je po pravilu rotaciono

simetrino (pritisak tenosti, zrnastog materijala ili tla).

Sl. 353. Primeni primene cilindrinih rotacionih ljuski

Kod cilindrine ljuske je glavni poluprenik r beskonane duine, a ugao je 90,

to meridijalnu krivu transformie u vertikalnu pravu izvodnicu.

Sl. 354. Membranski uslovi oslanjanja cilindrine ljuske i geometrijske oznake

Uvoenjem veza:

r a = , dy r d = , yN N , ........................................................ (10.36)

izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:

y yN p dy= , ................................................................................ (10.37) zN a p = (kotlovska formula), .................................................... (10.38)

( )z yar a p NE h = +

, ............................................................... (10.39)

z ydpa

a pE h dy

=

. ............................................................... (10.40)


289

Za sluaj delovanja sopstvene teine (Sl. 355a) bie:

yN g y= , 0N = , a g y

rE h

=

, a g

E h =

.

Sl. 355. Dejstvo sopstvene teine i tenosti

Za dejstvo tenosti (Sl. 355b) bie:

0yN = , p a yN

L

= , 2a p y

rE h L

=

, 2a p

E h L =

.

Za druge sluajeve optereenja (poput onih na Sl. 356) izrazi za presene sile i kara-

kteristina pomeranja se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata.

Sl. 356. Karakteristini sluajevi optereenja

Jednaine fleksione teorije se, uz (10.36) i:

yQ Q , yM M , .h const= , .................................................... (10.41)

svode na jednu diferencijalnu jednainu etvrtog stepena:

4

44 4 0

zpd w k wdy K

+ + = , ( )23 1

ka h

=

. ....................................... (10.42)

U optem sluaju, reenje je oblika:

( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky= + + + + , ............... (10.43) gde je w0 partikularno reenje, a integracione konstante se odreuju iz konturnih

uslova. Za duge ljuske, kod kojih je:

6k L , ........................................................................................ (10.44) ivini poremeaji se odreuju iz reenja homogenog dela diferencijalne jednaine,

koja se odnosi na ljusku bez povrinskog optereenja, a za optereenje samo po

konturi:

4

44 4 0

d w k wdy

+ = . .......................................................................... (10.45)

Reenje jednaine:

( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky= + + + ....................... (10.46)


290

predstavlja zbir dve priguene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jed-

nog kraja se ne prenose na drugi, pa se reenje svodi na oblik s dve integracione

konstante:

( )1 2cos sinkyw e C ky C ky= + . .......................................................... (10.47)

Sl. 357. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake sa Sl. 357, reenje se moe napisati u obliku:

( )cosnk d nw C e k d = + , ............................................................ (10.48) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i

karakteristinih pomeranja su date na Sl. 358.


Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:

22

Ha kC X

E h

=

, i 0 = , ............................................................... (10.49)

dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:

2 24

2 Ma kC X

E h

=

, 4pi = . .............................................................. (10.50)

Puno ukljetenje cilindrinog zida u temelj (Sl. 359a) rezultira veim poremeajnim

momentima My i manjim aksijalnim silama N u odnosu na sluaj elastinog uklje-

tenja dna cilindra (Sl. 359b).

Sl. 359. Puno i elastino ukljetenje dna cilindrinog zida


291

Sl. 360. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonakim elementima

Rotaciono simetrine cilindrine ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzioniu i

armiraju na centrini pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su optereeni

na sloeno savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).

Zateue prstenaste sile N se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravi-

lu, postavlja sa unutranje strane, budui da ne prihvata momente savijanja. U verti-

kalnom pravcu, krak unutranjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne arma-

ture kao spoljanja. Na Sl. 360 prikazan je detalj armiranja cilindra za sluaj punog i

elastinog ukljetenja.

10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI

Tanke ljuske se danas uspeno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona,

kod hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omoguava znaajno smanje-

nje teine. Mogu biti prizmatine (cilindrine), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti

ili naborane konstrukcije.

10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKE

Prizmatinim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po

dvema identinim voicama, najee u obliku elipse, parabole ili krunice. Gauss-

ova krivina ovih ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadrale oblik pod optereenjem,

moraju zavravati krutim dijafragmama (Sl. 361a). Kako su, iz uslova na konturi,

meridijalne sile N jednake nuli na podunim ivicama, to se optereenje ljuske moe

prenositi samo savijanjem.

Sl. 361. Elementi prizmatine krovne konstrukcije i membranske presene sile


292

Sl. 362. Popreni i poduni presek kroz prizmatinu ljuskastu krovnu konstrukciju

U podunom pravcu, grubo, ljuska se ponaa kao gredni element raspona l1, a

savojna krutost ovakve grede se uveava projektovanjem ivinih elemenata (Sl.

361, Sl. 362).

Ovakve ljuske se najee projektuju kao vietalasne, reanjem jedne uz drugu na

nain da dve susedne imaju zajedniki ivilni element. Kod srednjih ivinih elemenata

ovo rezultira ponitavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila N. Kod sre-

dnjih ljuski je, ovim, savijanje u poprenom pravcu znaajno redukovano, a u podu-

nom pravcu raspodela normalnih sila Nx priblino odgovara onoj kod grednih ele-

menata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju sloeniji (momentni) proraunski tretman u

oba pravca. Alternativa je dodatno ukruenje krajnjih ljuski poprenim dijafragmama

u cilju smanjenja poprenih deformacija. Na Sl. 363, za jednorasponsku ljusku, pri-

kazan je uticaj poprenog ukruenja na deformaciju ljuske.

Sl. 363. Deformacija ljuske, optereene sopstvenom teinom, bez i sa poprenim ukruenjem

I u podunom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao vierasponske.

Specifian nain primene cilindrinih ljuski, kod ed krovova, prikazan je na Sl. 364.

Sl. 364. Primena cilindrinih ljuski kod ed krovova

Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika veeg dela povrine ljuske (bar

kad je o optereenjima od sopstvene teine ili snega re), na spoju ljuske sa dijafra-

gmama i ivinim elementima ono je neminovno narueno i, na ovim mestima, javlja-

ju se poremeajni uticaji. Njihovo proraunsko odreivanje je mogue samo

korienjem klasine momentne teorije ljusaka ili, danas je to uobiajena praksa,

primenom softvera baziranih na metodi konanih elemenata.


293

Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 vei od 1 (redovno izmeu 3 i 4) nazi-

vaju se dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podunom pravcu je blizak grednom elementu raspona

l1 i poprenog preseka koji formiraju ljuska i ivini elementi. Raspon dugih ljuski u

podunom pravcu je uobiajeno izmeu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visi-

nom ivinog elementa, usvaja se veom od desetine podunog i estine poprenog

raspona. Ivini elementi (Sl. 365; date su i uobiajene dimenzije) mogu biti projek-

tovani razliitih oblika, zavisno od intenziteta pojedinih uticaja, te potrebe prijema

horizontalnih i/ili vertikalnih optereenja s ljuske.

Sl. 365. Mogui oblici poprenog preseka ivinih elemenata

Oslonake dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosai, reetkasti, luni

(sa zategom) ili okvirni. Na Sl. 366 prikazani su neki oblici oslonakih dijafragmi i

popreni preseci ivinih elemenata vietalasnih ljuski.

Sl. 366. Dijafragme i ivini elementi vietalasnih ljuski

Priblini proraun dugih ljuski, za srednja polja vietalasnih dispozicija, moe odgo-

varati proraunu grednih elemenata iji popreni presek formiraju preseci ljuske i

ivinih elemenata. Poloaj neutralne linije odreuje se za ovako pretpostavljeni

homogen presek. Dodatna aproksimacija moe biti pretpostavka linearne raspodele

normalnih napona po visini preseka, kako je na Sl. 367 prikazano za presek ljuske

bez ivinih elemenata.

Sl. 367. Aproksimacija raspodele normalnih i smiuih napona po visini preseka ljuske

Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i hori-

zontalno i vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne moe biti efikasno primenjena.


294

Presek dugih ljuski se dimenzionie prema dijagramu normalnih napona x, glavnih

kosih napona po vrednosti jednakih smiuim x i napona od poremeajnih mome-

nata savijanja. Zateue normalne napone u celini prihvata armatura, ija se potreb-

na povrina odreuje iz rezultantne sile zatezanja. Za kruni cilindar Sl. 367, bie:

( )0 02 sinxgu gg

r hZ r r y

y

= . .......................................... (10.51)

Sl. 368. Optereenje dijafragme

Smiui naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se

odreuju iz globalne smiue sile, Tu, na poznat nain, usvajajui za irinu preseka

dvostruku debljinu ljuske (S statiki moment povrine preseka iznad teita):

2

ux

T SI h

=

. ................................................................................... (10.52)

Na dijafragme se optereenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju

povr ljuske (Sl. 368), a odreuju se iz smiuih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo,

dijafragme su, naravno, optereene i sopstvenom teinom.

Poduna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentrie u dno ivinog ele-

menta (na maksimalnom kraku) i, naelno, njena koliina opada od sredine raspona

ka osloncima (Sl. 369a). Ljuska se armira mreom, u podunom i poprenom prav-

cu, po celoj povrini, a ljuske debljine vee od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivine

elemente i uz dijafragme, potreba za armaturom se odreuje i na osnovu intenziteta

poremeajnih uticaja, kada je ljuska optereena na savijanje sa aksijalnom silom.

Prelaz od ljuske prema ivinom elementu esto (posebno u sluaju vrlo tankih ljuski)

treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa ivinim elementom debljina lju-

ske je 2 do 2.5 puta vea od one u sredinjem delu, a duina postepenog poveanja

debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 369b).

Sl. 369. Armiranje preseka ivinog elementa


295

KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podunim rasponom manjim od poprenog. Poduni rasponi

su uobiajeno u granicama izmeu 5 i 12m, popreni idu i do 30m, strela luka se

usvaja veom od sedmine poprenog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u grani-

cama izmeu 6 i 12cm.

Sl. 370. Kratka prizmatina ljuska

Ovakve ljuske prostorno prenose optereenje i aproksimacije komentarisane kod

dugih ljuski ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smiuih napona koji tan-

giraju srednju povr prenosi optereenje na dijafragme (samo 4-5% optereenja lju-

ske se na dijafragme prenese preko poprenih poremeajnih sila).

Priblino, zategnuta armatura u ivinim elementima moe se odrediti usvajanjem

kraka unutranjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:

( ) ( )2 2

2 1 2 118 2 0.55 9

u ua

v v v v

Z M q l l q l lAz f a f a

= = = =

+ +. ................ (10.53)

Ljuska se armira lakom mreom (na primer prenikom 6 na razmaku 12 ili 15cm),

a maksimalni razmak ica ne sme biti vei od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad

dijafragmi i na spoju ljuske sa ivinim elementima postavlja se dopunska armatura

za prijem momenata savijanja.

DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski optereena je smiuim silama koje deluju tangencijalno

na srednju povr ljuske. U tom, poprenom, pravcu, ljuska je pritiskujue napregnu-

ta, a za maksimalnu silu pritiska dovoljno je tano odrediti:

N q r = , .................................................................................... (10.54)

gde je q ukupno optereenje, a r poluprenik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila priti-

ska za krajnju i za srednju dijafragmu (poduni pravac) iznosi:

112

N q r l= , 1N q r l= . .............................................................. (10.55)

Kako ivini elementi ne mogu primiti pritiskujue sile poprenog pravca, N, to se

ove postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama.

Zakon ove promene se moe aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 371):


296

( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= . za krajnju, i .......................................... (10.56) ( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= , za srednju dijafragmu. ........................ (10.57)

Sl. 371. Kvadratna parabola

Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:

( )1 222

4 2xxdN q r lT l xdx l

= = . ........................................................ (10.58)

Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, bie:

1max

2

2 q r lTl

= , i 1max2

4 q r lTl

= . ................................................... (10.59)

Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optere-

enje dijafragme su slini, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:

1max

22q r lT

lpi

=

, i 1max

2

q r lTl

pi = . .................................................. (10.60)

10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI

Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojaane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola.

Rebra se pruaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tan-

kom ljuskom. Pri dnu kupole, rebra se spajaju pomou leinog prstena, koji prima

razupirue sile meridijalnih rebara. esto se izvode od montanih elemenata (Sl.

373).

Sl. 372. Rebraste kupole


297

Sl. 373. Montani element rebraste kupole i detalj spoja rebrom

Proraun rebrastih kupola je relativno komplikovan ve i za rotaciono simetrino

optereenje, zbog visokog stepena statike neodreenosti.

Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili krunice po

dvema voicama koje su takoe u obliku parabole, elipse ili krunice. Mogu se

zamisliti kao iseak kupole nad ne-krunom (pravougaonom, trougaonom...) osno-

vom. Poput ostalih ljuski s pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom

krutou, a optereenje prenose u dva smera. Otud, njihova primena je karakteristi-

na za velike raspone i povrine i u tom smislu su u prednosti nad prizmatinim

(izmeu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se nazivaju one ljuske kod kojih

odnos strele prema kraem rasponu nije vei od 1/5.

Mogu biti jednotalasne i vietalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podunom

pravcu najee naleu na dijafragme, a u poprenom na ivine elemente (Sl. 374a).

Krajevi ljuske, uz spoj sa oslonakim elementima, se postepeno zadebljavaju do

debljine 2 do 2.5 puta vee od one u sredinjem delu, na irini od priblino petna-

estine do desetine odgovarajueg raspona.

Sl. 374. Plitke ljuske

I eksperimentalna ispitivanja potvruju membranski rad sredinjeg dela ljuske

sredinji deo je izloen dvoosnom aksijalnom pritisku, to implicira konstruktivno

armiranje. Podune zateue sile, kao i momenti savijanja u poprenom pravcu, se

javljaju u zoni ivinih elemenata. Smiue sile su koncentrisane u uglovima ljuske i

prihvataju se ivinim ojaanjima.


298

Sl. 375. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske optereene sopstvenom teinom

Plitke ljuske se mogu proraunavati samo priblino po teoriji ljuski, ali se danas

uspeno proraunavaju primenom numerikih metoda (MKE). Problematinost

egzaktnog proraunskog tretmana posebno je izraena u aspektu kontrole izboa-

vanja, zbog ega ovde valja biti oprezan i konzervativan.

Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mreom koja se postavlja po

celoj povrini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.

Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voicama, od kojih

je prva prava, a druga je kriva. Kako kriva voica moe biti razliitih oblika, to je i

velik broj mogunosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje povrina najpo-

godnije su one konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiper-

bolini paraboloid, Sl. 376a) ili parabola (konoid, Sl. 376b).

Sl. 376. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolini paraboloid i konoid

Hiperbolini paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je kon-

veksan, drugi konkavan), to je ini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu,

ali se oplata moe formirati od pravih dasaka, to znaajno pojednostavljuje izvoe-

nje (Sl. 377).

Sl. 377. Konkavni i konveksni pravac hiperbolinog paraboloida i prave izvodnice

Moe biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru nie uglove, potrebno

je izmeu stubova projektovati zategu (Sl. 378b). Ako su poduprti vii uglovi, poe-

ljno je projektovati razupira, kako je pokazano na Sl. 378a.


299

Sl. 378. Hiperbolini paraboloid oslonjen na dva stuba

Krovnu konstrukciju je mogue formirati i kombinovanjem vie hiperbolinih para-

boloida (Sl. 379).

Sl. 379. Kombinovani krovovi od hiperbolinih paraboloida

Sl. 380. Proraunski model hiperbolinog paraboloida

Vertikalno optereen (ravnomerno po osnovi) hiperbolini paraboloid se moe jed-

nostavno proraunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak

nuli). Jednaina srednje povri je (Sl. 380):

z C x y= ...................................................................................... (10.61)

Smiue sile u presecima paralelnim s ivicama se odreuju prema:

( ) ( )2 2xyN Z C G C= = , za Z G= , .............................................. (10.62) a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:

0x yN N= = , 1 2 xyN N N= = . ........................................................... (10.63)

Na ivicama ljuske smiue sile moraju preuzeti ivini elementi ili dijafragme.

Hiperbolini paraboloidi su zbog svoje statike i konstrukcijske jednostavnosti, te

zbog vizuelnog efekta, vrlo provlane za primenu. Meutim, valja biti oprezan kad

su njihove mane u pitanju (negativna Gauss-ova krivina ini ove ljuske vrlo osetlji-

vim na promenljiva lokalna i na koncentrisana optereenja, kao i na promenne obli-

ka usled, na primer, izduenja zatege).


300

Armiraju se ortogonalnom mreom u jednom ili dva reda, a izmeu njih se postavlja

kosa armatura za prihvat smiuih sila.

Sl. 381. Iseak konoidne ljuske kao ed-krov

Konoid je racionalna ljuska preteno naprezana membranskim uticajima, a pogodna

za ed krovne konstrukcije (Sl. 381). U donjem delu konoida se javljaju zateue sile

i potreba za zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u podruju

pritiska, a u zategnutoj zoni se moe armirati jednostrukom mreom. Izmeu dva

sloja armature, u uglovima ploe treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glav-

nih kosih napona zatezanja.

10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE

Poliedarske povri se formiraju od tankih ravnih ploa monolitno vezanih pod izves-

nim uglom na nain da formiraju noseu strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju

susednih ploa. Zavisno od oblika pojedinih ploa (pravougaone, trapezne, trougao-

ne) razlikujemo prizmatine ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploe poliedara

su uglavnom napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savi-

janja i smiuim silama na ivicama: zbog monolitne veze izmeu noseih povrina,

podune deformacije u pravcu pruanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni

naponi, zbog ega po se ivici javljaju smiue sile. Proraun uticaja u presecima

povri je danas podrazumevan kao rezultat primene metode konanih elemenata.

Sl. 382. Neke mogunosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija

Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobiajeno dostiu raspone reda 20 do

30m, a kao prednapregnute i znatno vee (do 60m). Nabori se postavljaju u pop-

renim pravcima i oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 382). Zbog


301

jednostavnijeg izvoenja (jednostavnija oplata) mogu biti u znaajnoj prednosti u

odnosu na cilindrine ljuske (uprkos manjoj ekonominosti po pitanju utroka

materijala).

irina jednog poliedarskog elementa uobiajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju

se debljine, uobiajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeu

dvadesetine i desetine raspona. esto se izvode od montanih elemenata, a neki od

ee korienih oblika poprenih preseka su prikazani na Sl. 383. Mogu biti jedno-

rasponske ili vierasponske, a irina talasa, l2, je uobiajeno izmeu 10 i 12m.

Sl. 383. esto korieni preseci montanih elemenata poliedarskih krovova

Priblini proraun prizmatinih poliedarskih konstrukcija moe biti sproveden ana-

logno cilindrinim (Sl. 384).

Sl. 384. Proraunski model priblini proraun

Neki primeri sloenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploa su pri-

kazani na Sl. 385.

Sl. 385. Sloeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploa

atoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih

trapeznih i trougaonih ploa okrenutih vrhom nagore, najee oslonjene u uglovi-

ma na stubove (Sl. 386).

Sl. 386. atorasti krovovi

Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome mini-

malno armirane. Strele atora su uobiajeno u rasponima L/12 do L/8.


302

Na Sl. 387a prikazan je karakteristian detalj armiranja u poprenom preseku nabo-

ra. Ploe se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona slo-

ene ljuske (takasto prikazana armatura u ivinoj zoni), te poprenom armaturom

koja, naelno, obezbeuje popreni prenos optereenja sa ploa na ivine elemente

(ivice). U blizini ivice i dijafragme ploe se armiraju u dva reda radi prihvatanja

negativnih momenata savijanja. Dodatno, na spoju ploe i dijafragme se postavlja

armatura za prijem smiuih sila (Sl. 387b).

Sl. 387. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova

Za maksimalne doputene razmake ipki armature, te za minimalne procente armi-

ranja, vae iste odredbe kao i za pune ploe.

bet. konstr. - 10 - ljuske

Documents