1

หน่วยที ่หน่วยที่ 11กฎของคลูอมบแ์ละกฎกฎของคลูอมบแ์ละกฎ

ของเกาส ์ของเกาส ์ ประจ ุไฟฟ้า กฎของคลูอมบ ์ สนามไฟฟ้า ฟลักซ์ของสนามเวกเตอร ์ กฎของเกาส ์ การประย ุกต ์กฎของเกาส ์

2

ค.ศ. 1600 : William Gilbert พบอำานาจทาง ไฟฟ้าของประจ ุในแท่งอ ำาพ ัน (amber)

ความเปน็มาของไฟฟ้าความเปน็มาของไฟฟ้าและแม่เหล ็กและแม่เหล ็ก

ค.ศ. 1785 : Charles Coulomb เสนอกฎของคลูอมบ์

ค.ศ. 1819 : Hans Oersted พบเข็มท ิศเบ ี่ยงเบนเม ื่ออย ู่ใกลล้วดต ัวน ำาท ีม่ ีกระแสไฟฟ้า

ค.ศ. 1831 : Michael Faraday และ Joseph Henry พบวา่เม ื่อขดลวดหมุนต ัดเสน้แรงแม ่เหลก็จะเหนี่ยวน ำาให้เกดิกระแสไฟฟ้า

ค.ศ. 1873 : James Clerk Maxwell ค้นพบกฎของแม ่เหล ็กไฟฟ้า

3

ประจ ุไฟฟา้ ประจ ุไฟฟา้ (Electric (Electric Charges)Charges)

ประจ ุไฟฟ้าม ี 2 ชนิด ค ือ ประจ ุลบและประจ ุบวก ประจลุบ ค ือประจ ุท ี่ประกอบด้วยอ ิเลก็ตรอน

ประจ ุบวก ค ือประจ ุท ี่ประกอบด้วยโปรตอน

ประจ ุชน ิดเด ียวก ันจะผล ักกนัประจตุ ่างชนิดกนัจะดูดก ัน

หน่วยของประจ ุคอืคลูอมบ ์ (C): 1 C คอืประจขุองอ ิเล ็กตรอน หรือโปรตอนจำานวน 6.24x1018 อนภุาค หร ือประจขุองกระแส

ไฟฟ้า1 A ที่ไหลผ่าน 1 s

4

ภาพการสาธติแรงด ูดและแรงภาพการสาธติแรงด ูดและแรงผลักระหว ่างประจ ุผล ักระหว ่างประจ ุ

ภาพทางขวาคือแรงด ูดระหวา่งประจ ุตา่งชนดิกนั

ภาพทางซ้ายคือแรงผลักระหว ่างประจ ุชนดิเด ียวกนั

5

การอนุร ักษ ์และควอนไทเซชันการอนุร ักษ ์และควอนไทเซชัน ของประจ ุของประจ ุ

ในระบบทีอ่ย ู่โดดเด ี่ยวประจ ุจะเป ็นปร ิมาณที่อน ุร ักษ ์โดยไม่สามารถสร ้างข ึ้นใหม่ได ้หร ือส ูญหายไปไหน

ในว ัตถ ุใดๆ จำานวนประจุจะเปน็จ ำานวนเท่าก ับประจ ุอ ิเล ็กตรอน :

q = NeN คอื เลขจำานวนเต ็ม

e = 1.6 x 10-19 Cq = -e สำาหร ับอเิลก็ตรอน

q = +e สำาหร ับโปรตอน

6

ตัวน ำา ตัวน ำา / / ฉนวน ฉนวน / / สารกึ่งต ัวน ำาสารก ึ่งต ัวน ำา

ตวัน ำา ค ือว ัตถทุ ี่ประกอบด้วยอเิล ็กตรอนอสิระจ ำานวนมาก อเิลก็ตรอนไมถ่กูจ ำากดัใหอ้ย ู่ในอะตอมแต่สามารถเคล ือ่นท ีไ่ปได ้

อยา่งอสิระในวตัถ ุ เชน่ ในทองแดงและ อะลมูเินยีม

เม ือ่อ ัดประจ ุใหก้บัตวัน ำาณบร ิเวณหนึ่ง ประจ ุจะกระจายไปทั่วท ัง้กอ้น

ฉนวน คอืวสัดทุ ีม่อี เิลก็ตรอนทัง้หมดอย ูใ่นอะตอม

อ ิเลก็ตรอนไม่สามารถเคล ือ่นท ี่ได ้อย ่างอ ิสระเชน่ในแกว้และไม ้

เม ือ่ท ำาการอดัประจใุหก้บัฉนวนณบริเวณหนึง่ประจไุมส่ามารถกระจายไปยงับรเิวณอืน่

สารก ึง่ตวัน ำา คอืวสัดทุ ี่มคีณุสมบตั ิทางไฟฟา้อย ูร่ะหวา่งตวัน ำาและฉนวน เชน่ ซลิคิอน และเยอรม์าเนยีม

7

การอ ัดประจ ุโดยว ิธกีารการอ ัดประจ ุโดยว ิธกีารเหนี่ยวน ำาเหนี่ยวน ำา

การอดัประจ ุโดยการเหนี่ยวน ำาไม ่จ ำาเป ็นตอ้งม ีการส ัมผ ัสก ันระหว ่างว ัตถ ุ

ในวตัถ ุท ีเ่ป ็นโลหะทรงกลมที่เป ็นกลางทางไฟฟา้จะม ีประจ ุบวกและลบจำานวนเทา่กนั

เม ือ่น ำาแท่งยางที่มปีระจมุาใกลท้รงกลมประจใุนทรงกลมจะจดัเร ียงตวัใหม่

8

เม ื่อต ัดเส ้นลวดลงดินออกจะมีประจ ุบวกมากกว่าประจ ุลบในทรงกลมหร ือเก ิดการเหนี่ยวนำาประจ ุบวกขึน้ในทรงกลม

เม ือ่เคล ื่อนแท่งยางออกอเิล ็กตรอนจะเร ียงต ัวใหมโ่ดยทรงกลมยังมปีระจ ุส ุทธ ิเป ็นบวก

เม ื่อต ่อทรงกลมลงดนิอ ิเลก็ตรอนบางส ่วนจะหนลีงด ิน

9

กฎของคลูอมบ์กฎของคลูอมบ์

Charles Coulomb เป ็นผ ูเ้สนอกฎของคูลอมบ์ซ ึ่งกล ่าวถ ึงแรงกระทำาระหว ่างประจ ุด ังน ี้ แรงระหว ่างประจ ุจะเป ็นปฏิภาคโดยตรงกับขนาดของประจ ุแต ่เปน็

ปฏิภาคผกผนัก ับระยะทางระหว ่างประจ ุ

แรงระหวา่งประจ ุจะเปน็แรงด ูดถา้เปน็ประจ ุต ่างชนิดกนัและเป ็นแรงผลกัถา้เป ็นประจ ุชน ิดเด ียวกนั

10

ke คือ ค ่าคงต ัวของคูลอมบ์

1 2e e 2

q qF = k

r

ke = 8.9875 x 109 N.m2/C2 = 1/(4πeo)

eo คอื คา่สภาพยอมของสญุญากาศ

e0 = 8.8542 x 10-12 C2 / N.m2

สมการของแรงระหวา่งประจจุดุ (point charge) :

11

เวกเตอร ์ของแรงเวกเตอร ์ของแรงระหว ่างประจ ุระหว ่างประจ ุ

r̂1q 2q

เวกเตอร ์ของแรงระหว ่างประจ ุชน ิดเด ียวก ันจะมีท ิศออกจากกัน

เวกเตอร ์ของแรงระหว่างประจ ุต ่างชนิดก ันจะม ีท ิศเข ้าหากัน

แรงระหวา่งประจ ุจะเปน็ไปตามกฎข้อท ี่3 ของนวิต ันหร ือ

21 12F = -Fv v

เวกเตอร ์ของแรงจะอยู่ในแนวเช ื่อมต ่อระหว ่างประจดุ ังร ูป

12

หลักการหลักการซ้อนทับซ้อนทับ

แรงรวมของระบบที่ม ีหลายประจ ุจะเป ็นไปตามหลักการซ้อนทบั (principle of superpositon) หรือ

i ijj

F F= ∑v v

ถา้ประจ ุม ี 6 ประจุ ด ังร ูป 1.3 หนา้ 8 ของประมวล สาระว ิชาฟสิกิส ์ 2 จะเกดิแรงรวมมีค ่าเป ็น

1 12 13 14 15 16F F F F F F= + + + +v v v v v v

13

ตัวอย ่างต ัวอย ่าง ที ่ที่ 11

- วธิ ีท ำา จากกฎของคลูอมบ ์

จงหาขนาดแรงไฟฟ้าระหว ่างอเิล ็กตรอนและโปรตอนของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งอย ู่ห ่างก ัน

ประมาณ 5.3x10-11 m แลว้จงเปร ียบเท ียบก ับขนาดแรงดึงด ูดระหว ่างมวลของอนภุาคทั้งสอง1 2

2 e

q qF k

r=

- แทนคา่ด ้วย 19 111 2 1.6 10 , 5.3 10 q q e x C r x m− −= = = =

( ) ( )( )

219

9 2 2 8211

1.6 10 8.99 10 / 8.2 10

5.3 10e

x CF x N m C x N

x m

−−

−= × =

14

( ) ( ) ( )( )31 27

11 2 2211

9.11 10 1.67 10 6.67 10 /

5.3 10g

x kg x kgF x N m kg

x m

− −−

−= ×

473.6 10x N−=

839

47

8.2 102 10

3.6 10e

g

F x Nx

F x N

−

−∴ = =

จากกฎแรงโนม้ถ ่วงของนิวต ัน 1 22

g

mmF G

r=

แทนค่าด ้วย 31 27 9.11 10 , 1.67 10 e pm x kg m x kg− −= =

15

ตัวอยา่งต ัวอยา่ง ที ่ที่ 22

Cµ จงหาแรงล ัพธ ์ทางไฟฟ้าบนอนุภาค q3 ที่

กระทำาโดยอนุภาค q1 และ q2 ซึ่งวางอยู่ท ี่ม ุม ของสามเหล ีย่มด ังร ูป ก ำาหนดให้ q1=

q3=5.0 q2= 2.0 , a = 0.1 m (แสดงว ิธ ีท ำาในห้องเร ียน)

Cµ

Cµ

16

สนามสนามไฟฟา้ไฟฟา้ Faraday เป ็นผ ูเ้สนอแนวความคิดของสนามไฟฟ้าโดยกล่าวว ่าจะ

เก ิดสนามไฟฟ้าข ึ้นรอบๆ ว ัตถ ุท ี่ม ี ประจ ุซ ึ่งเร ียกว ่า ประจ ุตน้ก ำาเน ิด

(source charge ) ถ้าน ำาประจทุดสอบ (test charge ) q0เข ้ามาในบรเิวณทีม่ ีสนามไฟฟ้าจะเก ิดแรงกระทำาต ่อประจทุดสอบ

ขนาดของสนามไฟฟา้จะม ีคา่เทา่ก ับอตัราส ่วนของแรงท ีส่นามนัน้กระท ำากบัประจ ุทดสอบต่อหนึง่หนว่ยประจ ุทดสอบหร ือ

0 /eE F q=v v

17

ในความเป ็นจร ิงสนามไฟฟ้าเป ็นสมบัตขิองประจตุ ้นก ำาเน ิดไม ่จ ำาเป ็นต ้องอา้งถ ึงประจ ุทดสอบโดยประจ ุทดสอบตอ้งม ีขนาดเล ็กมาก

ทศิทางของสนามไฟฟ้าค ือทศิทางของแรงทีก่ระท ำาบนประจ ุทดสอบทีเ่ป ็นบวกดังรปู

สนามสนามไฟฟ้าไฟฟ้า((ต่อต ่อ))

18

เวกเตอร ์ของเวกเตอร ์ของสนามไฟฟา้สนามไฟฟา้ จากกฎของคูลอมบ์

oe e 2

qqF = k r

rˆ

v

ee 2

o

F qE = = k r

q rˆ

vv

จะเข ียนสมการของสนามไฟฟ้าได ้เปน็

ถ้าม ีประจ ุต ้นก ำาเน ิดมากกว่า 1 ประจ ุสนามไฟฟ้ารวมจะหาได้ โดยอาศ ัย หลักการซ้อนทับ :

ie i2i i

qE = k r

rˆ∑

v

19

เวกเตอร ์ของแรงและเวกเตอร ์ของแรงและสนามไฟฟ้าสนามไฟฟ้า

(a) แรงเนื่องจากประจุบวก

(b) สนามไฟฟ้าเน่ืองจาก ประจุบวก

(c) แรงเนื่องจากประจุลบ

(b) สนามไฟฟา้เนื่องจาก ประจุลบ

20

ตัวอยา่งท ี ่ตัวอยา่งท ี่ 33

ประจ ุ q1=7.0 ไมโครคู ลอมบ์ วางอยู่ท ีจ่ ุด

กำาเน ิดและประจ ุ q2= -5.0 ไมโครคูลอมบ์ วางอยู่ห ่างจากจ ุดก ำาเน ิด

เป ็นระยะ 0.3 เมตร บน แกน X ดังร ูป จงหาส

นามไฟฟ้าท ีจ่ ุด P ซึ่งม ี พิก ัดเป ็น (0,0.40)

เมตร(แสดงว ิธ ีท ำาในห้องเร ียน)

21

ตัวอยา่งท ี ่ตัวอยา่งท ี่ 1.4 (1.4 ( หน้า หน้า 17 17 ของของประมวลสาระฯประมวลสาระฯ ))

ถ้าประจ ุ q1 และ q2 วางอยู่บนแกน X ห่างก ันเป ็นระยะเทา่ก ับ L และถ ้าจ ุด P อยู่

ระหว ่างประจ ุท ั้งสองและห่างจากประจ ุ q1 เป ็นระยะ x แล้วท ำาให ้ผลรวมของสนาม

ไฟฟ้า ณ จุด P เป ็นศนูย ์ จงหาค่า x (ดูว ิธ ีท ำาในประมวลสาระฯ)

q1

q2

px L -

xL

22

ขั้วค ูไ่ฟฟา้ข ั้วค ูไ่ฟฟา้ ขั้วค ู่ไฟฟ้า (electric dipole)

ประกอบด้วยประจ ุ ±q ที่ม ีขนาดเท ่า กันวางห่างก ันเป ็นระยะ d ดังร ูป

เราต ้องการหาสนามไฟฟ้าของขั้วค ูไ่ฟฟ้า ณ จุด P ซึ่งจะม ีคา่เป ็น

E E E+ −= +v v v

( ) 22 20 0

1 1

4 4 / 2

q qE E

r x dπε πε+ −= = =+

เม ือ่

E−

r

E+

r

Er

q−

q+

θ

d

z

r

x

P

θθ

θx

r+

−

23

สนามไฟฟ้าของสนามไฟฟ้าของขั้วค ู่ไฟฟ้าข ั้วค ู่ไฟฟ้า

สนามไฟฟ้าของขั้วค ู่ไฟฟ้า ณ จุด P จะมีค ่าเป ็น

2 2

/ 2cos

( / 2) cos cos 2 cos ,

d

x dE E E E θθ θ θ+ − + =

+= + =

ถ้าให้ P=qd คือโมเมนต์ข ั้วค ู่ไฟฟ้า จะเข ียนสนามไฟฟ้าได ้เป ็น

2 2 3/ 22 2 2 20 0

1 1/ 2 2

( / 2)4 4 ( / 2) ( / 2)

qdq dE

x d x d x dπε πε= =

+ + +

÷ ÷ ÷

30

1

4

pE

xπε⇒ = x d>> ถ้า

( ) ( )( )

3

3/ 222 20 0

3 / 22

31 / 2

/

1 / 1

4 4 / 2

pd x

x

p xE

x x d xπε πε

− = + ⇒ =+

24

สนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุท ี่สนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุท ี่กระจายอยา่งต ่อเน ื่องกระจายอยา่งต ่อเน ื่อง

ถ้าระยะระหว่างประจ ุในว ัตถ ุด ังร ูปม ีค ่าน ้อยกว ่าระยะระหว่างกล ุ่มประจ ุหร ือน ้อยกว่าระยะจากประจ ุไปย ังจ ุดท ี่สนใจอย่างมากเราถ ือว ่าว ัตถ ุม ีการกระจายของประจ ุอย ่างต ่อเน ื่อง

เราสามารถหาคา่สนามไฟฟา้เน ื่องจากประจ ุ ดงักลา่วไดโ้ดยแบง่ประจ ุออกเปน็กล ุม่ๆ แตล่ะ

กลุม่มปีระจ ุเปน็ ดงัรปู

q∆

25

สนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุท ี่สนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุท ี่กระจายอยา่งต ่อเน ื่องกระจายอยา่งต ่อเน ื่อง

สนามไฟฟ้าเน ือ่งจากกลุม่ประจ ุจะม ีค ่าเป ็น

e 2

ΔqΔE = k r

rˆ

i

ie i e2 2Δq ®0

i i

Δq dqE = k lim r = k r

r r∑ ∫ˆ ˆ

สนามไฟฟ้ารวมจะหาค่าได ้จากการรวมกันของแต่ละสนาม

จำานวนชิ้นประจ ุ (dq) จะขึน้อย ูก่บัความหนาแนน่ ของการกระจายประจ ุในแต่ละแบบ หร ือ

เชงิปร ิมาตร : dq = ρ dV

เชงิพ ื้นท ี่ : dq = σ dA

เชงิเสน้ : dq = λ dℓ

26

ตวัอย ่าง ตวัอย ่าง 1.5 (1.5 ( หน้า หน้า 21 21 ของของประมวลสาระฯประมวลสาระฯ )) ประจ ุบวก q กระจายตัวอย ่างสมำ่าเสมอ

เป ็นร ูปวงแหวนบางมากมีร ัศม ี R จงหา ค่าของสนามไฟฟ้าท ี่จ ุด P ซึ่งอย ู่ห ่าง

จากจ ุดศ ูนย ์กลางของวงแหวนในทศิต ัง้ฉากกับระนาบของวงแหวนเป ็นระยะ

เทา่ก ับ z

dl

dEcosθ

dEr

θ

y

x

P

z

R

θ

(a)

ʹÒÁÃÇÁ

ʹÒÁ̈Ò¡ÊÇ蹫ÒéÂʹÒÁ̈Ò¡ÊÇè¹¢ÇÒ

«Òé ¢ÇÒ

(b)

27

ตัวอยา่งท ี ่ตัวอยา่งท ี่ 1.6 (1.6 ( หน้า หน้า 23 23 ของของประมวลสาระฯประมวลสาระฯ ))

ประจ ุบวก q กระจายตัวอย ่างสมำ่าเสมอ เป ็นเส ้นตรงยาวมาก จงหาค่าสนาม

ไฟฟ้าท ีร่ะยะห่างจากเส ้นประจ ุเทา่ก ับ y

zdEr

ydEr

dEr

z

y

dz

x

r Pθ

z

28

เสน้สนามเสน้สนามไฟฟ้าไฟฟ้า

เส ้นสนามไฟฟ้าจะแสดงให้เราเห ็นภาพของสนามไฟฟ้าโดยเวกเตอร ์ของสนามไฟฟ้าจะเป ็นเส ้นส ัมผ ัสก ับเส ้นสนามไฟฟ้าในแต่ละจ ุด จำานวนของเส ้นสนามไฟฟ้าซึ่งผ ่านผิวท ี่ต ั้งฉากกับเส ้นสนาม

ไฟฟ้าจะเป ็น ปฎิภาคกับขนาดของสนามไฟฟ้า

จากรปูขนาดของสนามไฟฟ้าในระนาบ A จะ สูงกว ่าในระนาบ B

29

เสน้สนามเสน้สนามไฟฟ้าไฟฟ้า

เส ้นสนามไฟฟ้าจะออกจากประจ ุบวก และเข ้าส ู่ประจ ุลบ ดังร ูป

ประจ ุบวก ประจ ุลบ

30

เสน้สนามเสน้สนาม ไฟฟ้า ไฟฟ้า

สำาหร ับข ั้วค ู่ไฟฟ้าจ ำานวนเส ้นสนามไฟฟ้าท ี่ออกจากประจ ุบวกจะเทา่ก ับท ีเ่ข ้าส ู่ประจลุบ สำาหร ับประจ ุบวก 2 ประจ ุท ี่มขีนาดเท ่ากนั จ ำานวนเส ้นสนามไฟฟ้าท ี่

ออกจากแตล่ะประจ ุจะเท ่ากนั

31

การเคล ื่อนที่ของประจ ุการเคล ื่อนที่ของประจ ุในสนามไฟฟา้ในสนามไฟฟา้ เม ื่อวางประจ ุในบร ิเวณที่ม ีสนามไฟฟ้าจะ

เก ิดแรงกระทำาตอ่ประจแุล ้วท ำาใหป้ระจ ุ เคล ื่อนทีต่ามกฎข้อท ี่ 2 ของนิวต ัน

Fe = qE = ma

ถา้สนามไฟฟา้ม ีค ่าสม ำ่าเสมอประจ ุจะเคล ื่อนที่ ดว้ยความเร ่งคงต ัว ม ีค ่าเป ็น

a = qE /m

ทิศทางของการเคล ือ่นท ีข่องประจบุวกจะมที ิศเช ่น เด ียวก ันท ิศของสนามไฟฟา้ แตส่ ำาหร ับประจลุบจะมที ิศ

ตรงก ันขา้ม

32

ถ้าอเิล ็กตรอนเคล ื่อนที่ในแนวระดับ เข ้าไปในสนามไฟฟ้าสม ำ่าเสมอดังร ูป

จะม ีเส ้นทางการเคล ื่อนที่เป ็นร ูปพาราโบลา

การเคล ื่อนที่ของอ ิเล ็กตรอนในหลอดแคโทดจะเป ็นต ัวอย ่างของการเคล ื่อนที่ของประจ ุในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล ็ก

ตัวอยา่งของการเคล ื่อนที่ของต ัวอยา่งของการเคล ื่อนที่ของประจ ุในสนามไฟฟ้าประจ ุในสนามไฟฟ้า

33

ฟลักซ์ฟล ักซ์ไฟฟ้าไฟฟ้า

ฟลักซ์ไฟฟ้าจะเป ็นปฏิภาคกบัเส ้นสนามไฟฟ้าท ี่ผา่นพื้นผวิโดยมีค ่าเทา่ก ับผลคูณระหว ่างสนามไฟฟ้าและพื้นท ี่ผวิท ี่ต ัง้ฉากกับสนาม

ΦE = EA ถ้าเส ้นสนามไฟฟ้าท ำาม ุม ด ังร ูป

ก ับเส ้นต ั้งฉากกับพื้นผ ิวจะได ้θ

ΦE = EAcosθ

ฟลักซ์ไฟฟ้าจะม ีค ่าส ูงส ุดเม ื่อพ ื้นผ ิวต ั้งฉากกับสนาม ไฟฟ้า แต ่จะเป ็นศ ูนย ์ถ ้าพ ื้นผ ิวขนานกับสนาม

34

สมการของฟลักซ์สมการของฟลักซ์ไฟฟ้าไฟฟ้า

โดยทัว่ไปเราจะหาฟลักซ์ไฟฟ้าได ้โดยการอนิท ิเกรต

E i i i i iΔΦ = E ΔAcosθ = Δ×E A

iE i i

ΔA 0surface

Φ = lim Δ = d→

× ×∑ ∫E A E A

จากร ูปฟลกัซ ์ไฟฟ้าท ีผ่ ่านพืน้ผวิเล ็กๆ เน ื่องจากสนามไฟฟ้า จะม ีค ่าเปน็ iΔA

iEv

ฟลักซ์ไฟฟ้ารวมที่ผ ่านพื้นผ ิวท ัง้หมดจะเทา่ก ับผลรวมของฟลกัซ์ในแตล่ะพื้นผ ิว:

หนว่ยของฟลกัซไ์ฟฟา้คอื N-m2/C

35

ฟลักซ์ไฟฟา้ในฟลักซ์ไฟฟา้ในผิวป ิดผ ิวป ิด

จากE i i i i iΔΦ = E ΔAcosθ = Δ×E A

ตำาแหน่ง (1) : θ < 90 0⇒ ∆Φ >oE

ตำาแหน่ง (2) : θ = 90 0⇒ ∆Φ =oE

ตำาแหน่ง (3) : 0 <θ < 180 0E⇒ ∆Φ <o

ฟลักซ์ไฟฟ้าส ุทธ ิ (net flux) ที่ผ ่านผิวปดิใดๆ จะเท ่าก ับผลต่างระหว่างฟลักซ์ท ี่ออกจากผิวก ับฟลักซ์ท ีเ่ข ้าส ู่ผ ิว

ถ้าพ ื้นผวิปดิในบรเิวณที่ม ีสนาม ไฟฟ้าเปน็ด ังรปู ฟลกัซ์ไฟฟา้ ณ

ตำาแหนง่ตา่งๆ ของผิวปดิจะม ีค ่าแตกตา่งก ัน

36

กฎของกฎของเกาส ์เกาส ์

กฎของเกาส ์เป ็นกฎทีก่ล ่าวถ ึงความสัมพันธ ์ระหว ่างฟลักซ์ไฟฟ้าบนผวิป ิด

ใดๆ กับประจ ุส ุทธ ิท ี่อย ู่ในผิวป ิดน ั้น พื้นผ ิวด ังกล ่าวม ีช ื่อเร ียกวา่ ผ ิว

เกาสเ์ซ ียน (Gaussian surface)

ถ้าม ีประจ ุ q ณ จุดศูนยก์ลางของทรงกลม ร ัศม ี r สนามไฟฟ้า ณ ทุกจ ุดบนผิวทรงกลม

จะมีค ่าเป ็น

E=keq/r2

37

qin คือประจ ุส ุทธ ิภายในผิวป ิดและ E คือ สนามไฟฟ้า ณ จุดตา่งๆ บนผวิป ิด

ในทางทฤษฎีแล ้วกฎของเกาส์สามารถใช้ได ้ก ับท ุกชนดิของการกระจายของ ประจ ุ แต ่ความเป ็นจร ิงจะใช้ได ้เฉพาะกรณีท ี่มคีวามสมมาตร

จำานวนเส ้นสนามไฟฟ้าของสนาม E จะมีทศิช ีอ้อกและตั้งฉากกับผวิทรง กลม ณ ทกุๆ จ ุดและมีคา่เปน็

กฎของเกาส์ค ือ

กฎของเกาส ์กฎของเกาส ์((ต่อต ่อ ))

Φ =E ∫ ⋅

AdE

0

inq ε

=Φ =E ∫ ⋅

AdE

38

หลักการใชก้ฎหลักการใชก้ฎของเกาส ์ของเกาส ์

เร ิ่มต ้นต ้องท ำาการเล ือกพื้นผ ิวเกาส ์เซ ียนให้ครอบคลุมบร ิเวณทีม่ ีประจ ุท ี่เราสนใจ

พื้นผ ิวเกาส์เซ ียนควรเปน็พื้นผ ิวท ี่สามารถใช้ประโยชน์จากความสมมาตรซึ่งงา่ยต ่อ การหาคา่ของปรพิ ันธ ์เช ิงพ ื้นผ ิว (surface integral)

เราม ีอสิระในการเล ือกพื้นผวิเกาส ์เซ ียนซึ่งไมจ่ ำาเป ็นตอ้งเป ็นพื้น ผวิจร ิง แตค่วรเล ือกพืน้ผวิท ี่ท ำาให ้สนามไฟฟา้บนพื้นผวิม ีค ่า

คงตวั

39

ตัวอยา่งต ัวอยา่ง ที ่ที่ 11

เราสามารถใช้กฎของเกาส ์เพ ื่อ หาสนามไฟฟ้าท ีเ่ก ิดจากประจ ุ q

ได้เช ่นเด ียวกบักฎของคูลอมบ์

จงหาสนามไฟฟ้า เน ื่องจากจ ุดประจ ุ q ณ ตำา

แหน่งรอบๆ ประจ ุว ิธ ีท ำา

ทำาการเล ือกผิวเกาส ์เซ ียนเป ็นร ูป ทรงกลมให้ครอบคลุมประจ ุ q ดังร ูป

e2 2o

q qE = = k

4πε r r⇒

จากสมการ

Φ =E ∫ ⋅

AdE

∫ = EdA= in

o

q

ε

0

inqE dA

e=òÑ

( )2

0

4q

Eπr ε

=

40

สนามไฟฟา้ของประจ ุท ี่กระจายอยา่งสนามไฟฟา้ของประจ ุท ี่กระจายอยา่งสม ำ่าเสมอบนทรงกลมสมำ่าเสมอบนทรงกลม

( )2

o

QE 4πr =

ε

จงหาสนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุ Q ที่กระจายอย่างสมำ่าเสมอในทรงกลมตนั

ร ัศม ี a ณ จุดที่ r>a และ r<a สำาหร ับ r>a เข ียนผวิเกาส ์เซ ียนใหม้ ีร ัศม ี r ดังร ูป

เน ือ่งจากทกุจ ุดบนผวิเกาส ์เซ ียน สนามไฟฟ้าม ีค ่าคงตวั

2o

QE =

4πε r

จาก Φ =E ∫ ⋅

AdE

∫ = EdA= in

o

q

ε

∫ = dAE in

o

q

ε

41

สำาหร ับ r < a เข ียนผวิเกาส ์เซ ียนร ัศม ี r ภายในทรงกลมดังร ูป qin < Q และหาคา่ได ้จากสมการของความหนาแนน่ ρ

( ) ( )3 34 / 3 4 / 3inqQ

a rρ

π π= =

( ) 3 /inq Q r a∴ =

จากกฎของเกาส์

ine2 3

o

q QE = = k r

4πε r a⇒

จะได้ ( ) ( ) 3

2

0

/4

Q r aE rπ

ε=

กราฟของสนามไฟฟ้าของทรงกลม

Φ =E ∫ ⋅

AdE

∫ = EdA= in

o

q

ε

42

สนามไฟฟา้ของเสน้สนามไฟฟา้ของเสน้ประจ ุยาวอนันต ์ประจ ุยาวอนันต ์

λจงหาสนามไฟฟ้าของเส ้นประจ ุยาวอนันตท์ ี่ม ีความหนาแน่น

ประจ ุเช ิงเส ้น รอบๆ เส ้นประจ ุ ดังร ูป

( )o

λlE 2πrl =

ε

eo

λ λE = = 2k

2πε r r

ทิศทางของสนามจะต ั้งฉาก กับผ ิวของเส ้นประจ ุ

ดังร ูป

ว ิธ ีท ำาจาก

Φ =E ∫ ⋅

AdE

∫ = EdA= in

o

q

ε

43

สนามไฟฟ้าเน ื่องจากแผน่ประจ ุสนามไฟฟ้าเน ื่องจากแผน่ประจ ุขนาดอนันต ์ขนาดอนันต ์

σจงหาสนามไฟฟ้าเน ื่องจากแผ่นประจ ุขนาดอนนัต ์ท ีม่ ีความหนาแน่นประจ ุเช ิง

พื้นท ี่ ด ังร ูปว ิธ ีท ำา

• เข ียนผิวเกาส ์เซ ียนร ูปทรงกระบอกบน แผน่ประจ ุด ังร ูป• เน ื่องจากสนามไฟฟ้าม ีทศิต ัง้ฉากกับ แผ่นประจ ุด ังน ั้นฟลกัซ์ไฟฟ้าบนผิว ด้านข้างของผวิเกาส ์เซ ียนจะเป ็นศ ูนย ์• ฟลกัซ์ไฟฟ้าบนผวิห ัวท ้ายของผวิเกาส ์

เซ ียนจะม ีค ่าเป ็น 2EAจากกฎของเกาส ์จะได ้

in

o o o

q σA σ2EA = 2EA = E =

ε ε 2ε⇒ ⇒

44

สนามไฟฟ้าของประจ ุท ี่กระจายบนสนามไฟฟ้าของประจ ุท ี่กระจายบนทรงกลมกลวงทรงกลมกลวง

( )2

0

4q

Eπr ε

=2

0

1 ,

4

qE

πε r⇒ = Rr >

0,E ⇒ = Rr <

จงหาสนามไฟฟ้าเน ื่องจากประจ ุ q ที่กระจายอย่างสมำ่าเสมอบนผิวของทรง

กลมกลวงร ัศม ี Rว ิธ ีท ำา

เม ื่อใช ้กฎของเกาส ์ก ับต ำาแหน่งท ี่อย ู่นอก ทรงกลม (r>R) จะได้

เม ื่อใช ้กฎของเกาส ์ก ับต ำาแหน่งท ีอ่ย ู่ใน ทรงกลม (r<R) จะได้( )2

0

04 Eπr

ε= =

Φ =E ∫ ⋅

AdE

∫ = EdA= in

o

q

ε

∫ ⋅

AdE

45

โจทยแ์บบโจทยแ์บบฝึกหัดฝ ึกห ัด1. จากร ูปจงหาตำาแหน่งท ี่สนามไฟฟ้าเป ็นศนูย ์

a

-5q +2q

+q

-q

-2q

+2q

P

2. จงหาขนาดและทิศของสนาม ไฟฟ้าท ี่จดุ

ศูนย ์กลางส ี่เหล ี่ยมจ ัตรุ ัสยาว ด้านละ 5.0 cm

ดังร ูป

8 1.0 10q C−= ×

P2L

a

3. เส ้นพลาสตกิยาว 2L m มี ประจ ุไฟฟ้า

กระจายสมำ่าเสมอความ หนาแน่น C/m

จงหาสนามไฟฟ้าท ี่จ ุด P

λ

46

θθ

dθd

R

O

dE

x

y

4. เส ้นพลาสติกงอเป ็นคร ึ่งวงกลมร ัศม ีR จุดศ ูนย ์กลางค ือ O มีประจ ุกระจายสมำ่าเสมอตลอดเส ้นความ

หนาแน่นประจ ุ ค ูลอมบ์ตอ่เมตร จงหาสนามไฟฟ้าท ี่จ ุด O

σ

5. โลหะกลมเล ็กๆสองก ้อนแต่ละก ้อนมีมวล m และประจ ุ +q เหม ือนกัน ทัง้สองก ้อนห้อย

จากปลายเชือกทีจ่ ุดเด ียวก ัน โดยเชือก แต่ละเส ้นยาว l แรงผลักก ันของโลหะ

กลมทั้งสองทำาให ้แยกออกจากกันเป ็นม ุม60 องศาจงหาขนาดของประจ ุ q

47

6. แผ่นประจ ุขนาดอนันตส์องแผ่น แผ่นที่ 1 มีประจ ุบวก ซึ่งม ี ความหนาแน่น 2 วางอยู่ ณ ต ำาแหนง่ 5 cm และต ั้งได ้ฉาก กับแกน X แผ่นที่ 2 มีประจ ุลบและความหนาแน่นเท ่าก ับแผน่แรก วางอยู่ ณ ต ำาแหน่ง 15 cm ขนานกับแผน่แรก จงหาค่าสนามไฟฟ้า ณ ตำาแหน่ง x = 10 cm

0ε

7. ทรงกลมโลหะสองลกูร ่วมจ ุดศ ูนย ์กลางก ัน ล ูก ในเป ็นทรงกลมตันร ัศม ี a ลูกนอกเป ็นทรง

กลมกลวงร ัศม ีภายใน b และภายนอก c ถ้าใส ่ ประจ ุ +2q ที่ผวิล ูกในและประจ ุ +q ทีผ่ ิวล ูก

นอก จงหาสนามไฟฟ้าท ี่ก) r < a ข) a<r<b ค) b<r<c ง) r>c

48

8. โปรตอนถูกย ิงไปในแนวแกน +X สู่ บริเวณทีม่ ีสนามไฟฟ้า

เม ื่อ t=0 ปรากฏว่า โปรตอนเคล ื่อนที่ได ้ระยะทาง 7.0 cm

ก่อนหยุด จงหา ก) ความเร ่งของ โปรตอน ข) ความเร ็วตน้ของโปรตอน

ค) เวลาทีโ่ปรตอนใช้ก ่อนหยุด

5 ˆ6.0 10 /x i N C= −E

9. ถ้าม ีสนามไฟฟ้าขนาด 3.5 kN/C ชี้ในแนว แกน +X จงหาฟลกัซ์ไฟฟ้าซึ่งผา่นแผน่

สี่เหล ีย่มกว ้าง 0.35 m และยาว 0.7 m โดย สมมตวิ ่าแผ ่นส ี่เหล ี่ยม

ก) อยู่ในระนาบ yz ข) แผ่นส ี่เหล ี่ยมอยู่ในระนาบ xy ค) แผ่นส ี่เหล ีย่มบรรจ ุแกน y และเส ้นต ั้ง

ฉากกับแผน่ท ำาม ุม 45 ๐ กับแกน X