2 הקיסיפ - eng.biu.ac.ilsterne1/files/1/physics2/physics2_summary_tlv.pdf · bishoo 2009 © -...

© BiShOo 2009 - חשמל ומגנטיות – 2פיסיקה 1

2פיסיקה

:אלקטרוסטאטיקה

כאשר אומרים שלגוף יש כמות מטען מסוימת . בטבע יש כמות מטען אחת ויחידה שהיא המטען של האלקטרון

מטען בטבע לא נוצר ולא נעלם ולכן מערכות המשוואות .זה הכוונה שיש לו מכפלה במספר שלם של מטען

.שמתארות מטענים משמרות את המטען

:חוק קולון

:בהתאמה 2r - ו 1rשמרחקם מהראשית הם 2q -ו 1qנסתכל על שני מטענים

:שווה ל 2qמפעיל על 1qהכוח שמטען •

212

21

21 rr

qqKF ⋅

⋅=

:קבוע ששווה ל Kכאשר

0

2

29

4

1109

επ ⋅⋅=

⋅⋅=

C

mK

ראות שאם שני המטענים שווים הם דוחים אחד את השני ואם הם שונים אז הם למחוק קולון אפשר -

.מושכים אחד את השני

הכוח החשמלי הכולל הפועל על חלקיק טעון שווה לסכום הווקטורי של כל הכוחות הפועלים : הכללה לחוק קולון

.י החלקיקים הטעונים שמסביבו"עליו ע

:1 דוגמה

)נסתכל על אוסף מטענים שמפוזר בצפיפות מטען )rrρ נרצה לדעת מה הכוח שפועל על מטען , בגוש במרחב

q שנמצא במרחקrr

?מהראשית

:פתרון

,∂vנחלק את גוש המטענים לחלקיקים קטנים שכל אחד בעל נפח

)מכאן שהמטען שלו יהיה ) vrq ∂⋅=∂r

ρ והכוח שהוא יפעיל עלq

: יהיה( ) ( )'

2'

rrrr

vqrKFq

rr

rr

rr

−⋅−

∂⋅⋅=

ρ

:סכום הכוחות של כל חלקיק אזומאחר שהכוח הכולל הוא

( ) ( )'

2'

rrrr

vqrKFTotal

rr

rr

rr

−⋅−

∂⋅⋅= ∫

ρ

1rr

2rr

1221 rrrrrr

−=

'rr

rr

'rrrr

−


:השדה החשמלי

. שדה חשמלי בנקודה מסוימת הוא וקטור הכוח שהיה פועל על מטען יחידה סטטי אילו היה באותה נקודה

.כל מטען במרחב יוצר סביבו שדה חשמלי ועל מטען חשמלי שנמצא בשדה חשמלי תמיד יפעל כוח

rשנמצא בראשית על נקודה qהשדה החשמלי שיפעיל מטען •r

:הוא

rr

qKE ˆ

2⋅=

r

rבמרחק 2qמהגדרת השדה החשמלי על מטען r

:יפעל כוח ששווה

( ) ( )rEqrFrrrr

⋅= 2

בדיוק כמו בכוחות השדה החשמלי שמייצרים מספר מטענים בנקודה מסוימת הוא הסכום הווקטורי של השדות

.שיוצר כל מטען לחוד בנקודה זו

:2 דוגמה

נרצה לדעת מה השדה שיוצרת התפלגות מטען, נסתכל על הדוגמה הקודמת

rמסוימת בנקודה r

?

:פתרון

:ואז 1מטען בוחן בגודל qבדיוק כמו שעשינו עם הכוחות כאשר שמים במקום

( ) ( )'2

'rr

rr

vrKETotal

rr

rr

rr

−⋅−

∂⋅= ∫

ρ

:)דיפול חשמלי( 3דוגמה

.אחד מהשני נקראים דיפול חשמלי 2aמהראשית ובמרחק aשני מטענים שווים והפוכי סימן שנמצאים במרחק

המטען החיובי מייצר שדה בכיוון המתרחק ממנו והשלילי מייצר שדה בכיוון המתקרב אליו אבל הגודל של שני

.השדה הכללי כפי שלמדנו הוא הסכום הווקטורי של שניהם. השדות שווה

rr

q

'rr

rr

'rrrr

−

q+

q−

r

a

a

+Er

−Er

TotalEr

θθ


: הגודל של שני השדות הוא2221

ar

qKEE

+== אבל נשים לב שהחלקים האופקיים של שני השדות

:מבטלים אחד את השני ולכן גודל השדה החשמלי הכולל יהיה

( )23

22221

2sin2sin2

ar

aqK

ar

qKEE

+

⋅⋅⋅=⋅

+⋅=⋅⋅= θθ

r

qaPנגדיר את הדיפול החשמלי להיות ⋅⋅= : ואז2

( )23

22 ar

PKE

+

⋅=

r.

arאם שהשדה מתנהג כמו כלומר נקודת הבדיקה שלנו מאוד רחוקה מהדיפול נקבל <<3

1

r:

( )( )

( )3

2

322 r

PKrE

ar

PKrE ar ⋅

= →+

⋅= >>

:)שדה של טבעת טעונה( 3דוגמה

נרצה לדעת מה השדה בנקודה על ציר .המפוזר בצורה אחידה Qשטעונה במטען aנסתכל על טבעת ברדיוס

?ממנה zהסימטריה של הטבעת במרחק

:פתרון

:המטען שלה יהיה, ∂lנחלק את הטבעת ליחידות שטח קטנות באורך

ll ∂⋅

=∂⋅=∂a

Qq

πλ

2

תמיד ∂lמייצר כל חלקיק שדה שהאנכי של ההחלק מהסימטריה של הבעיה נשים לב ש, נסתכל על הציור

לכן מספיק לסכם רק את הרכיבים . ושממול ∂lי החלקיק "יתבטל על ידי החלק האנכי של השדה שנוצר ע

:השדות האופקיים של וקטורי

( ) 2/3222222222

cosaza

zQK

az

z

az

qK

az

qKEZ

+⋅⋅

∂⋅⋅⋅=

+⋅

+∂⋅

=+∂⋅

=∂π

θl

( ) ( ) ∫∫∫⋅

∂+⋅⋅

⋅⋅=

+⋅⋅

∂⋅⋅⋅=∂=⇒

a

Zz

aza

zQK

aza

zQKEE

π

ππ

2

0

2/3222/322 22l

l

z

a

θ

a


:על ציר הסימטריה שלה הוא rקיבלנו שהשדה שמפעילה טבעת טעונה על נקודה במרחק

( ) 2/322 az

zQKE

+

⋅⋅=

:)שדה של דסקה טעונה( 4דוגמה

מהו השדה החשמלי שהיא מייצרת בנקודה . אחיד Qדסקה בעלת התפלגות מטען אחידה טעונה במטען

?על ציר הסימטריה שלה zבמרחק

:פתרון

: צפיפות המטען השטחית במקרה זה היא2a

Q

⋅=

πσ.

עבור כל אחת מהטבעות אנו יודעים שהשדה שלה הוא בכיוון , ∂rועובי rנחלק את הדסקה לטבעות ברדיוס

.של הדסקה ציר הסימטריה לכן ניתן להגיד שזה גם כיוון השדה הכולל

rrשטח הטבעת הוא ∂⋅⋅π2 לכן המטען עליה יהיה

( ) ( )22

222

a

rrQrr

a

Qrrq

∂⋅⋅⋅=∂⋅⋅

⋅=∂⋅⋅⋅=∂ π

ππσ

):לפי הדוגמה הקודמת(ולכן התרומה של כל טבעת כזו לשדה תהיה

( ) ( ) 2/32222/322

2

rza

rzrQK

rz

zqKEZ

+⋅

∂⋅⋅⋅⋅⋅=

+

⋅∂⋅=∂

:ולכן השדה הכולל יהיה הסכום שלהם כלומר

( ) ( )∫∫∫+

∂⋅⋅⋅=

+⋅

∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂=

a

Z

rz

rr

a

zQK

rza

rzrQKEE

0

2/32222/3222

22

( )

+−

⋅=⇒

2/12221

2

az

z

a

QKE

z

a

r


>>1נסתכל על המקרה שבו a

z)כלומר )az :במקרה זה >>

0

2

0

2 24

22

εσ

επ ⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=a

Q

a

QKE

zaנסתכל על המקרה שבו כעת :במקרה זה >>

( )( ) 2/1

22/122

1

1

+

→+

= >>

z

aaz

zxf

az

לכן אם נסמן z

ax :אזי אם נפתח את הפונקציה לטור טיילור נקבל =

( )( )

( ) ...!2

111

1 2

21

2

21

2

+−=+=+

=− x

xx

xf

:נציב למשוואת השדה ונקבל

2

0

22

0

2

2

2

0 4

1

24

2

211

4

2

z

Q

za

aQz

a

a

QE

az ⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

−−⋅⋅

⋅ → >>

επεπεπ

.כלומר ההתנהגות של השדה החשמלי של דסקה במרחק מאוד גדול תהיה כמו של מטען נקודתי

:גאוסחוק

.במרחב לבין השדה החשמלי חוק גאוס נותן את הקשר בין התפלגות מטענים חשמליים

סכום המטענים בתוך נפח מסוים שווה לשטף של השדה החשמלי על השטח הסגור של מעטפת •

:0εהנפח כפול הקבוע

∫∑ ∂⋅⋅=Φ⋅= aEq Ein

rr

00 εε

.נסביר מה זה בעצם השטף של השדה החשמלי

. נחלק את המעטפת של הנפח שברצוננו לנתח לשטחים קטנים שמכסים את כל המעטפת

aי וקטור "מאחר ולכל שטח כזה יש גודל וכיוון נאפיין אותו עr

,שנקרא וקטור השטח , ∂

.שגודלו כגודל השטח וכיוונו ניצב לשטח החוצה מהנפח

aאם נכפיל סקלרית את הווקטור r

∂Aבווקטור השדה שעובר דרך השטח ∂ .סקלרנקבל

:כלומר, מוגדר להיות האינטגרל על כל השטח של סקלרים אלה השטף החשמלי

ar

∂

∫ ∂⋅=Φ aEE

rr


:קולון הקשר גאוס

.במרכזו qעם מטען rנסתכל על כדור ברדיוס

)משיקולי סימטריה השדה יהיה בכיוון הרדיאלי )rrEE ˆ=r

.

aמכיוון שגם r

:הוא גם תמיד בכיוון הרדיאלי מקבלים ∂

:ואז

∫∫∫ ∂⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅ arEaEaE )(000 εεεrr

qqrrE in ==⋅⋅⋅= ∑2

0 4)( πε

2

04)(

r

qrE

⋅⋅=⇒

επ

!קיבלנו את חוק קולון •

:כעת עבור אותו כדור נראה שאם חוק קולון מתקיים אז חוק גאוס נכון

r: מתקיים qכידוע אם חוק קולון מתקיים אז עבור המטען r

qrE ˆ

4)(

2

0

⋅⋅⋅

=επ

rr

:ואז,

∫∫∫∫ ∂⋅⋅

⋅=∂⋅⋅⋅

⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅ ar

qa

r

qaEaE

2

0

02

0

00044 επ

εεπ

εεεrr

qrr

q=⋅⋅

⋅⋅⋅= 2

2

0

0 44

πεπ

ε

!גאוסקיבלנו את חוק •

:נוכיח את המקרה הכללי, פרטיאבל כדור זה מקרה , הוכחנו את חוק גאוס עבור כדור

∑∫: עבור כדור זה מתקיים, נבנה כדור סביב המטען, נסתכל על מעטפת כללית ∂⋅⋅= aEqi

rr

0ε.

מעבירים מהמטען שני קרניים שיוצרים שני שטחים

. אחד על הכדור והשני על המעטפת: אינפידצמליים

Er

Er

Er

Er

Er

Er

ErE

r

q

aEaE ∂⋅=∂⋅rr

r

R

q

Er

Er

Ar

∂

ar

∂

θ


: נסתכל על היחס הבא( )( ) arE

ARE

∂⋅∂⋅

r

r

θcos2

2

⋅=

∂∂

r

R

a

A ,

( )( ) 2

2

R

r

rE

RE=r

r

:לכן

( )( )

1coscos22

22

=⋅⋅⋅

⋅=

∂⋅

∂⋅=

ΦΦ

θθRr

Rr

arE

ARE

Ball

Volumerrr

rrr

כלומר הם שווים וזה מה 1כפי שניתן לראות היחס בין השטף של הכדור לשטף של המעטפת הכללית הוא

.שרצינו להוכיח

: 1דוגמה

במקרה זה מאחר שווקטור השטח מצד אחד הפוך לזה , לנפח סגור כלשהו מחוץנסתכל על מטען שנמצא

:שבצד השני נקבל

( )( )

1−=∂⋅∂⋅

=Φ

Φ

aArE

ARE

down

up

rrr

rrr

כלומר כמות השטף שנכנסת מצד אחד שווה לכמות השטף

.שיוצאת מהצד השני

!לכן מטען שנמצא מחוץ למעטפת של גוף לא ישנה את השטף החשמלי שלה

:2דוגמה

?rמה השדה החשמלי שיוצר הכדור הזה בנקודה במרחק . Qטעון בצפיפות מטען אחידה במטען מלא כדור

:פתרון

:נחלק את הבעיה לשני מקרים

r<R:

:עבור כדור זה מתקיים, rנבנה כדור גאוסיאני שמרכזו הוא מרכז הכדור החיצוני ורדיוסו

( ) 2

0000 4 rrEaEaEaE ⋅⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅ ∫∫∫ πεεεεrrr

3

3

3

3

343

4

R

QrQ

R

rqin

⋅=⋅

⋅⋅

⋅⋅== ∑

π

π

מהמכפלה הסקלרית

העליונה

q

Er

Ar

∂

ar

∂

Er

Rr

Q

המטען בתוך הכדור הקטן היחס בין נפחי שני הכדורים


3: נקבל r<Rלכן עבור

04

1)(

R

rQrE

⋅⋅

=επ

r.

r<R:

:עבור כדור זה מתקיים, rנבנה כדור גאוסיאני שמרכזו הוא מרכז הכדור החיצוני ורדיוסו

( ) 2

0000 4 rrEaEaEaE ⋅⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅ ∫∫∫ πεεεεrrr

Qqin == ∑

2: נקבל r<Rלכן עבור

04

1)(

r

QrE

επ ⋅=

r.

:נראה את ההתנהגות של השדה בגרף הבא

:3דוגמה

?מהתיל rמה השדה החשמלי בנקודה במרחק , λאחידה אורכית תיל אינסופי טעון במטען בצפיפות

:פתרון

מהתיל יהיה ניצב השדה החשמלי שיוצר כל חלק , lואורך rנבנה סביב התיל גליל גאוסיאני בעל רדיוס

נשים לב שמאחר והתיל אינסופי בכל הנקודות עם אותו מרחק ממנו יהיה לשדה החשמלי . למעטפת של הגליל

.אותו גודל

Q R r

Qהמטען בפנים יהיה r>Rמחוץ לכדור הטעון אין מטען לכן לכל

r

2

1

r

2

04 r

Q

⋅⋅επ

R

)(rE

r

r

l


מזה ניתן להסיק שאין שטף דרך המעטפות הצדדיות של הגליל כי שם וקטור

.השדה ומכפלתם הסקלרית תהיה אפס השטח תמיד יהיה ניצב לווקטור

:לכן נוכל לסכם

( ) lrrr

⋅⋅⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅++=∂⋅⋅ ∫∫∫ rrEaEaEaE πεεεε 200 0000

( ) llr

⋅==⋅⋅⋅⋅⇒ ∑ λπε inqrrE 20

( )r

rEλ

επ⋅

⋅=⇒

02

1r

:מוליכים

.חומר שמכיל מטענים שחופשיים לנוע בתוכו: מוליך

).במצב הסטטי(בכל נקודה בתוך המוליך השדה החשמלי שווה אפס :1טענה

כוחות על המטענים אזי אם יש שדה חשמלי בתוך המוליך הוא יגרום ל, נכונה ל לא"נניח שהטענה הנ -

כידוע מטען מייצר שדה חשמלי . בכיוון או נגד כיוון השדהמטענים אלה יתחילו לנוע ,החופשיים בתוכו

לכן מטענים אלה ייצרו שדה חשמלי שיאפס את השדה בתוך המוליך ונגיע למצב שאין בו שדה באף

.נקודה

.המטען שלו נמצא רק על שטח הפנים שלו כלאם מוליך כלשהו טעון אז :2טענה

עד שיגיעו בסוף לצורה עם הטענה הזאת נובעת מזה שמטענים דומים תמיד ידחו אחד את השני -

.המרחק הכי גדול ביניהם

נסתכל על משטח טעון כלשהו ונבנה משטח גאוסיאני המקביל למשטח המקורי בכל הנקודות שלו

:לפי חוק גאוס עבור משטח זה יתקיים. המרחק ביניהם מאוד קטןכאשר

∑∫ =∂⋅⋅ inqaErr

0ε

שווה אפס שמאלולכן צד E=0ראינו שאין שדה בתוך המוליך כלומר 1ה נאבל לפי טע

∑=0ומזה נובע בהכרח ש inq לכן המטען יכול להצטבר רק על המעטפת החיצונית.

המטענים על שפת המוליך מייצרים שדה חשמלי מסביב לשפה שכיוונו בכל :3טענה

.0εניצב לשפה וגודלו שווה לצפיפות המטען המשטחית המקומית לחלק ל נקודה

ar

∂

Er

r

+

-

Er

+ -

+ -

+ -

Er

2Er

⇒

+++

++

+ +

+

+

+

+

+

++

© BiShOo 2009 -חשמל ומגנטיות – 2פיסיקה 10

הרכיב שמקביל , אם השדה החשמלי לא מאונך לשפת המוליך אז ניתן לפרק אותו לשני רכיבים -

לנקודה עצמה יפעיל כוח על המטענים שמסביבו עד שהם יסתדרו ויצרו שדה חשמלי הפוך שיבטל

):גודל השדה(נוכיח את החלק השני של הטענה . אותו

:ון שלה יהיה בתוך המוליך והחצי השני מחוצה לונבחר מעטפת גאוסיאני גלילית כך שהחצי הראש

): מחוק גאוס נקבל ) ∑∫ =⋅=⋅++=∂⋅⋅ inqAAEaE σεε 0000

rr

:להוכיח וקיבלנו את מה שרצינו

0εσ

=⇒ E

Er

Er

++

++

+ +

+

+

אין שדה בתוך המוליך לכן

.אין שטף בפנים

השדה ווקטור

השטח על השפה

הצדדית ניצבים

לכן מכפלתם אפס

רק דרך שטח המכסה העליון

.של הגליל יש שטף


:1דוגמה

.והחיצוני לא טעון Q+הכדור הפנימי טעון במטען . כדור קטן מלא נמצא בתוך כדור חלול כאשר שניהם מוליכים

לכן, המטען על הכדור הפנימי יגרום למטען מושרה על הכדור החיצוני

כתוצאה מזה , Q–על השפה הפנימית של הכדור החיצוני יצטבר מטען

.Q+יצטבר מטען תחל תנועה של מטענים חיוביים ועל המעטפת החיצונית

:י המערכת בכל נקודה בעולם"נחשב את השדה הנוצר ע

r<R : המטענים מצטברים על השפה שלו ואיןהכדור הקטן מוליך לכן

.E=0לכן מחוק גאוס . בפנים מטען

1r<RR< : בדוגמה קודמת שהתנהגות השדה של כדור טעון היא לפי חוק קולוןראינו

r: לכןr

QE ˆ

4

12

0

⋅=πε

.

2r<R<1R : גם כאן אנחנו נמצאים בתוך מוליך לכןE=0.

r<2R : המטען בפנים שווה לסכום המטענים כלומרQ לכן השדה יהיה :rr

QE ˆ

4

12

0

⋅=πε

.

:2דוגמה

כל המטען על הכדור הפנימי יעבור לקליפה החיצונית , מהדוגמה הקודמת עם חוט מוליךנחבר את שני הכדורים

במקרה זה גם על הקליפה הפנימית של הכדור החיצוני לא , של הכדור הגדול והמטען על הכדור הקטן יתאפס

. יהיה מטען

הפנימית של על המעטפת Q-שוב מטען זה ישרה מטען , Q+כעת טוענים את הכדור הפנימי שוב במטען

.Q2כלומר יצטבר עליה מטען , נוסף על המעטפת החיצונית שלו Q+הכדור הגדול שתגרום להיווצרות מטען

אם מחברים שוב את שני הכדורים בחוט מוליך המטען של הכדור הפנימי יעבור לקליפה החיצונית של הכדור

זאת נוכל לטעון את הכדור החיצוני בכל אם נמשיך בצורה ה. על המעטפת החיצונית 2Q+החיצוני ונקבל מטען

.מטען שנרצה

:3דוגמה

?מה השדה החשמלי בכל נקודה בעולם. σלוח אינסופי טעון במטען בצפיפות משטחית

אבל הוא y -ו xבגלל הסימטריה של לוח אינסופי השדה לא תלוי ב

.zכן תלוי ב

.רק בסימן הפוך z-כלשהי שווה לשדה בנקודה z+נשים לב שהשדה בנקודה

.נבנה משטח גאוסיאני בצורת קובייה שהלוח חותך אותה באמצע

R

1R

2R

Q+

Q−

Q+

++

++

++

++

+

++

++

+

++

++

+

+

++

++

x

y

z


:לפי חוק גאוס

:הוא השדה של לוח אינסופילכן

.קו שהשדה משיק לו בכל נקודה ונקודה: קו שדה

:להלן מספר סקיצות של שדות חשמליים

++

+

++

++

+

++

++

+

++

++

+

++

++

+

++ ( )AEAEaE ⋅+⋅++++=∂⋅⋅ ∫ 000000 εε

rr

∑=⋅= inqAσ

האמצעיות השטף בפאות

מתאפס כי וקטור השדה

השטף בפאות הצדדיות .ניצב לווקטור השטח

ErE

r

02 εσ⋅

=⇒ E


:הפוטנציאל החשמלי

Aמהנקודה + 1כמות העבודה הנעשית כנגד כוחות השדה החשמלי הנדרשת להעביר מטען : הגדרה

.B - ל Aנקראת הפרש הפוטנציאלים בין Bלנקודה

ABאז ) BAW→<0(אם משקיעים עבודה - VV >.

ABאז ) BAW→>0(אם מקבלים עבודה - VV <.

: היחידות של הפרש הפוטנציאלים הם וולט

VoltColomb

Jaule

Q

WV ===

][

][][

:1דוגמה

אנחנו מקבלים B - ל Aבמעבר בין . qומטען B -ו Aנסתכל על שתי נקודות -

.BAW→>0לכן , B - ל Aשעובר מ + 1ידחוף את המטען qהמטען עבודה כי

הקרובה לנקודה Aונרצה לנוע כמו קודם מהנקודה q–כעת נניח שהמטען הוא -

B הפעם צריך להשקיע עבודה כי המטען . הרחוקה–q ימשוך את המטען שלנו.

כאשר שתיהן נמצאות על קשת באותו מרחק B -ל Aנרצה כעת לעבור מהנקודה -

מקבלים) כי יש להן אותו מרחק(מאחר והפוטנציאל בשתי הנקודות שווה . מהמטען

→=−=0ש ABBA VVW כלומר העבודה היא אפס.

מאחר והפרש פוטנציאלים חשמלי הוא הפרש בין שני גדלים אף פעם לא נתייחס אליו כערך : הערה •

כאשר אומרים שהפוטנציאל שווה לערך מסוים בנקודה מסוימת . מוחלט אלא כהפרש כהגדרתו

)(0ר מגדירים הכוונה היא להפרש הפוטנציאלים בין נקודה זו לאינסוף כאש =∞V.

:פוטנציאל חשמלי של כל נקודה בעולם

0

)(q

WrV r

rr →∞=

rמהאינסוף לנקודה + 1זה העבודה הנדרשת כדי להביא מטען r

.

כלומר , נשים לב שאפשר לדבר על הפרש פוטנציאלים רק בתנאי שהשדה החשמלי הוא שדה משמר •

.העבודה שצריך להשקיע במעבר מנקודה אחת לשנייה לא תלוי במסלולכמות

ABBA VV

q

W−=→

0

B•

A•q•

q+•

B•

A•

R

R


:נוכיח שהשדה החשמלי הסטטי הוא שדה משמר

.נסתכל על מסלול כללי כלשהו ונחלק אותו לחלקים אינפידצמליים

החלקים הקשתיים לא מבצעים , בכיוון השדה הולכים עם הקו ימינה בצורת קשת של מעגל ולמעלה בקו ישר

לכן לא משנה מה , רק החלקים של התנועה בקו ישר יבצעו עבודה. הכוח/הם ניצבים לכיוון השדהעבודה כי

כלומר כמו ללכת ( Bלקשת שעוברת ב Aלפי המרחק בין הקשת שעוברת ביהיה המסלול העבודה תמיד תהיה

.Bלרדיוס Aמרדיוס

:נמצא את הקשר בין הפוטנציאל לשדה

∫∫∞∞

→∞ ∂⋅⋅−=∂⋅==rr

r Eqq

Fqq

WrV l

rrlrrr r

0

000

11)(

∫∞

∂⋅−=⇒r

ErV lrrr

)(

∂⋅−−

∂⋅−=− ∫∫

∞∞

AB

AB EEVV lrr

lrr

∂⋅−

∂⋅−= ∫∫

∞

∞ A

B

EE lrr

lrr

∫∫∫ ∂⋅−=

∂⋅+∂⋅−=

∞

∞

B

AA

B

EEE lrr

lrr

lrr

B•

A•

Q•

Q•

∫ ∂⋅−=−⇒B

A

AB EVV lrr


כלומר כל שתי נקודות עליו הן זה משטח שיש לו את אותו השדה בכל נקודה עליו משטח אקוויפוטנציאלי

.בעלות אותו פוטנציאל חשמלי

.משטח כזה לא דורשת עבודה מעבר מנקודה אחת לשנייה על -

.משטח כזה תמיד ניצב לקווי השדה שלו -

:למשל

:2דוגמה

.על לוחות של קבל לוחות רגיל Bלנקודה Aנחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודה

.כלשהו Qנחשב את הפרש הפוטנציאלים של שתי נקודות שנמצאות על אותו קו יחסית למטען

משטח אקוויפוטנציאלי

B• A•

Er

l∂

d

∫∫ ∂⋅−−=∂⋅−=−B

A

B

A

AB EEVV llrr

dEE

B

A

⋅=∂⋅= ∫ l

d

VEdEV

∆=⇒⋅=∆

ABBA

AB VVq

WVV >⇒>=− → 0

0

ABBA

AB VVq

WVV <⇒<=− → 0

0

B•

A•

Q+•

∫∫ ∂⋅−=∂⋅−=−B

A

B

A

AB EEVV llrr

∫ ∂⋅

⋅−=

B

Ar

Ql

2

0

1

4 επ


rrB - ו Ar→∞אם נבחר בנקודה Qעושה מטען חשמלי בגודל אז נקבל את הפוטנציאל החשמלי ש =

:ממנו rבמרחק

הפוטנציאל שמספר מטענים עושים בנקודה מסוימת שווה לסכום הפוטנציאלים שכל מטען מהם •

.שה באותה נקודהעו

:3דוגמה

)נסתכל על צפיפות מטען כלשהי בעלת צפיפות מטען נפחית )rrρ . נרצה לדעת למה שווה הפוטנציאל בנקודה

?rכלשהי במרחק

)לכל נפח כזה יש מטען , ∂v'נחלק את הגוף לנפחים קטנים ) '' vrq ∂⋅=∂r

ρ.

:לכן

:4דוגמה

על ציר zמה הפוטנציאל החשמלי בנקודה במרחק . σ אחידה עם צפיפות מטען משטחית aברדיוס דסקית

?הסימטריה שלה

:פתרון

.∂rועובי rנחלק את הדסקית לטבעות ברדיוס

rrsq: המטען על כל טבעת כזו יהיה ∂⋅⋅⋅=∂⋅=∂ πσσ 2

: לכן תרומת כל טבעת לפוטנציאל תהיה

( ) 2/1220

2

4

1

zr

rrV

+

∂⋅⋅⋅⋅

=∂πσ

επ

( )( )zza

zr

rrVzV

a

−+⋅

=+

∂⋅⋅

=∂=⇒ ∫∫ 22

00

2/1220 22

)(ε

σε

σ

:באינסוף הדסקית תיראה כמו נקודה, נבדוק את התוצאה

: לפי התיאוריה

−

⋅=

⋅

=∂⋅

⋅⋅

−=− ∫AB

r

r

B

A

ABrr

Q

r

Q

r

QVV

B

A

11

4

1

4

1

4 00

2

0 επεπεπl

r

QrV

1

4)(

0επ ⋅=

r

( )∫∫ −

∂⋅⋅

=−∂

⋅=

|'|

''

4

1

|'|

'

4

1)(

00 rr

vr

rr

qrV rr

r

rrr ρ

επεπ'rr

rr

'rrrr

−

0

2

0

2

0 4

1

4

1

4)(

εσ

εππσ

επ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅

=∞→z

a

z

a

z

QzV


:לפי התוצאה

( )0

22

0

22

0 41

2

11

22)(

εσ

εσ

εσ

⋅⋅⋅

=

−

+⋅⋅

=−+⋅

=∞→⇒z

a

z

azzzazV

.ואכן קיבלנו את התוצאה שציפינו לה

:5דוגמה

טעון במטען r1כדור בעל רדיוס 0

1q וכדור שני בעל רדיוסr2 טעון במטען0

2q . שני הכדורים רחוקים מאוד אחד

המטען , מחברים את שני הכדורים עם חוט מוליך. מהשני0

1q 1הופך למטעןq והמטען0

2q הופך למטען

2q .ש מחוק שימור המטען ידוע- 21

0

2

0

1 qqqq +=+.

:מאחר והכדורים מחוברים הפוטנציאל של שניהם יהיה שווה לכן

2

20

2

10

11

44V

R

q

R

qV =

⋅⋅=

⋅⋅=

επεπ

2

2

22

1

2

11

2

2

1

1 44

R

R

R

R

R

q

R

q ⋅⋅=

⋅⋅⇒=⇒

πσπσ

1

2

2

1

R

R=⇒

σσ

.קיבלנו שצפיפות המטען החדשה על כל כדור תהיה פרופורציונאלית הפוכה לרדיוס שלו

:6דוגמה

?מהו הפרש הפוטנציאלים בין שניהם. Qנמצא בתוך כדור מוליך אחר שטעון במטען qכדור מוליך טעון במטען

נשים לב ששני הכדורים הם אקוויפוטנציאלים לכן נוכל לבחור כל שתי נקודות על שני הכדורים ולחשב את

.הפוטנציאלים בין שתיהןהפרש

: .מהתוצאה ניתן להסיק ש

טור טיילור של השורש

∫∫∫ ∂⋅⋅⋅

−=∂⋅−=∂⋅−=−B

A

r

r

B

A

B

A

ABr

qEEVV lll

rr

2

04 επQ

qB•

A•

−⋅

⋅=⋅

⋅=∂⋅

⋅−= ∫

AB

r

r

r

rrr

q

r

q

r

q B

A

B

A

11

4

1

4

1

4 00

2

0 επεπεπl

הכדור החיצוני לא עושה שדה בפנים לכן

.שמים רק את השדה של הכדור הפנימי

BAAB VVrr >⇒>


)()(ת המעבר מהשדה לפוטנציאל עד עכשיו למדנו איך לבצע א rVrErrr

ברור שכדי להגיע למעבר , →

)()(ההפוך כלומר למעבר rVrErrr

אבל השדה הוא וקטור . צריך לבצע פעולה מתמטית הפוכה ←

.∇הגרדיינט לפתרון בעיה זו נשתמש באופרטור שנקרא ... והפוטנציאל הוא סקלר

vVובאזור מאוד קרוב אליו יש קו דומה עם פוטנציאל Vנתון קו אקוויפוטנציאלי עם פוטנציאל ∆+.

על הקו הראשון יהיה בכיוון Aהשדה החשמלי בנקודה כלשהי

).כי הפוטנציאל על הקו העליון יותר גדול(החוצה

על הקו השני Bאם נרצה לעבור מנקודה זו לנקודה אחרת

:מהשדה אז העבודה שנצטרך לבצע תהיה θבזווית

:דרך אחרת לחישוב העבודה היא

:נשווה את שני הביטויים שקיבלנו ונקבל

ll

∂∆

=⋅⇒∆⋅=⋅∂⋅⋅v

EvqEq θθ coscos 00

θcos⋅E זה רכיב השדה החשמלי בכיוון ההליכה עם סימן מינוס לכן נוכל לסכם : l

l ∂∆

=−v

E.

נחלק את השדה לשלושת מרכיביו ונגזור אותם רכיב רכיב , x,y,zנסתכל כעת על מערכת קרטזית עם הצירים

:נסמן. zואז yכ "אח xקודם

x

VE x ∂

∂= ,

y

VE y ∂

∂= ,

z

VE z ∂

∂=

:את השדה נוכל לכתוב בצורה

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= zz

Vy

y

Vx

x

VrE ˆˆˆ)(rr

)()(: נסמן rVrErrrr

∇−=

z: כאשר הגרדיינט מוגדר להיותz

yy

xx

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

V

vV ∆+

Er

lr

∆θ B•A•

lrr

lrr

lrr

∂⋅⋅−=∂⋅⋅−=∂⋅=∆ EqEqFW 00 )(

θθπ cos)cos( 00 ⋅∂⋅⋅=−⋅∂⋅⋅−= ll EqEq

θθπ cos)cos( −=−

vqVvVqWWW AB ∆⋅=−∆+⋅=−=∆ 00 )()(

x

z

y


בדוגמה האחרונה ראינו את הקשר l∂

∆=⋅

vE θcos הערך הזה יכול , אקוויפוטנציאלים בין שני קווים

. כלומר אם כיוון ההליכה מקביל לשדה θ=0אם להיות מקסימאלי

.וקטורי שמצביע לכיוון שבו השדה הווקטורי הוא הכי חזק הגרדיינט של שדה סקלרי נותן שדה

במקרה , במקרה של סימטריה כדורית יותר קל להשתמש בקואורדינאטות כדוריות מאשר בקרטזיות: הערה

),,(כזה הפוטנציאל ϕθrV 0אבל נשים לב ש=∂∂

=∂∂

θϕVV

rrVולכן r

rV ˆ)(),,( ⋅∂∂

=∇ ϕθr

.

:דוגמה

נתון הפוטנציאל r

qKrV

⋅=)(

r ?מהו השדה החשמלי.

:פתרון

r: בקואורדינאטות כדוריותr

qKr

r

qK

rVE ˆˆ

2⋅

⋅=⋅

⋅∂∂

−=∇−=rr

: בקואורדינאטות קרטזיות

: קודם כל נעביר את הפוטנציאל לקואורדינאטות קרטזיות2/1222 )(

)(zyx

qKrV

++⋅

=r

( )( )zzyyxx

zyxqKz

z

Vy

y

Vx

x

VE ˆˆˆ

1ˆˆˆ

3222⋅+⋅+⋅

++⋅⋅=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=r

( )( ) r

rqKr

rqK ˆ

1123

⋅⋅=⋅⋅=r

.במקרה זה כי זה יותר קללמרות שקיבלנו את אותה התוצאה ברור שעדיף לעבוד עם קואורדינאטות כדוריות


:אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של מערכת מטענים היא העבודה שצריך לבצע כדי להביא את כל

. ף לנקודה שבה הם נמצאיםהמטענים במערכת מהאינסו

.האנרגיה הזאת אגורה במערכת ולכן אם נחזיר את המטענים לאינסוף נקבל בחזרה את כל העבודה שהשקענו

:נסתכל למשל על מערכת שני המטענים הבאה -

?מהי האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית האגורה במערכת

הבאת המטען, r1בהתחלה נביא את המטען הראשון מהאינסוף לנקודה

.ולכן אין פוטנציאל חשמלי הזה לא דורשת עבודה כי בהתחלה אין מטענים

בשלב זה כבר יש , r2בשלב השני נביא את המטען השני מהאינסוף לנקודה

לכן להבאת המטען השני מהאינסוף נצטרך, שיוצר פוטנציאל חשמלי q1מטען

:לסיכום האנרגיה החשמלית האגורה במערכת היא. הפוטנציאללהשקיע אנרגיה נגד

)(0 22 rVqUr

⋅+=

.סדר העברת המטענים החשמליים לא משנה ובכל סדר נקבל את אותה התוצאה: הערה

נרצה לחשב את האנרגיה . rnעד r1מטענים שיושבים על הווקטורים nכעת נסתכל על מערכת של -

.הפוטנציאלית של מערכת זו

[ ] [ ] ...)()()()()()(0 434241432313212 +++⋅++⋅++⋅+= rVrVrVqrVrVqrVqUrrrrrr

||:נסמן jiij rrrrrr

: ואז =−

∑∑∑≠

=≠

=>

=

⋅=⋅

⋅=

⋅

⋅=

n

jiji

iji

n

jiji ij

jin

jiji ij

jiVq

r

qq

r

qqU

1,1,01,0 2

1

4

1

2

1

4

1

επεπ

:1דוגמה

,qיש מטען aעל כל אחד מקודקודיו של משולש שווה צלעות בעל צלע

?מהי האנרגיה האגורה במערכת

:נחשב את האנרגיה בשתי שיטות

2q•

1q•

1rr

2rr

כל איבר חושב פעמיים j - שונה מ iבמעבר ל

.לכן מכפילים בחצי

q•

q•q•


):הבאת המטענים אחד אחד מהאינסוף( 1שיטה

a

q

a

q

a

qU

⋅⋅=

⋅⋅+

⋅+=

0

22

0

2

0 4

3

4

12

4

10

επεπεπ

):לפי הנוסחה האחרונה( 2שיטה

a

q

a

qq

a

qq

a

qq

a

qqVqU

n

jiji

iji ⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅+⋅+⋅⋅

⋅=⋅= ∑≠

= 0

2

001, 4

323

4

1

2

1222

4

1

2

1

2

1

επεπεπ

עבור כל התפלגות מטענים רציפה בעלת התפלגות מטען נפחית , מאחר ואינטגרל הוא סכום -

:להעביר את הסכום לאינטגרל ולקבל, נוכל לחלק אותה לנפחים אינפידצמליים

( )∫∑ ∂⋅⋅⇒⋅=

≠=

VrrVVqUn

jiji

iji

rrρ)(

2

1

2

1

1,

∫כלומר ∂= uU כאשרu∂ היא תרומת הנפח הקטןV∂ לאנרגיה הכללית של המערכת .

:2דוגמה

?מהי האנרגיה האגורה בכדור. בצורה אחידה Qטעון במטען Rכדור עם רדיוס

:פתרון

אז נבנה אותו כך, ∂rועובי rאפשר לחלק את הכדור לטבעות ברדיוס

.∂uשבכל פעם נביא טבעת כזו ונוסיף את התרומה שלה לאנרגיה

): המטען על כל טבעת הוא - )rr

R

QVq ∂⋅⋅⋅

⋅=∂⋅=∂ 2

3

4

3

4π

πρ

:כפי שראינו בדוגמה קודמת הוא rהמטען שכבר הצטבר בכדור ברדיוס -

( ) 3

3

R

rQQ r =

מטען שלישי מטען שני מטען ראשון

( )rrρ

R

r

r∂


:תהיה rלכן התרומה של הוספת כל טבעת ברדיוס

( ) rrR

Qrr

R

Q

rR

rQqVu r ∂⋅⋅

⋅⋅=

∂⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅=∂⋅=∂ 4

6

0

22

33

3

0 4

34

3

4

1

4

1

εππ

πεπ

5

3

454

3

4

3

0

2

0

5

6

0

2

0

4

6

0

2

⋅⋅⋅

=

⋅

⋅⋅=∂⋅⋅

⋅⋅=∂= ∫∫ R

Qr

R

Qrr

R

QuU

RR

επεπεπ

:דוורגנס

Fיהי . Vונפח Sנסתכל על משטח סגור במרחב בעל שטח מעטפת r

.שדה וקטורי כלשהו במרחב

Fנרצה לחשב את השטף של השדה r

.Sדרך השטח

∫: ל השטף של שדה וקטורי דרך מעטפת סגורה היא שראינו כבר שהנוסחה ∂⋅=Φ aFF

rr

.

בעזרת הדוורגנס , נגדיר פעולה חדשה שנקראת הדוורגנס שפועלת על שדות וקטורים ונותנת סקלר

:כלומר, נוכל להעביר את הנוסחה של השטף מאינטגרל משטחי לאינטגרל נפחי

( )∫∫ ∂⋅⋅∇=∂⋅=ΦVS

F VFaFrrrr

: נגדיר

( )zFyFxFz

zy

yx

xF zyxˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇rr

zyx Fz

Fy

Fx

F∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇rr

) :טענה )∫∫ ∂⋅⋅∇⋅=∂⋅⋅VS

VEaErrrr

00 εε

∫∑: לפי חוק גאוס ידוע ש =∂⋅⋅ inqaErr

0ε

): לכן ) ∫∑∫∫ ∂⋅==∂⋅⋅=∂⋅⋅∇⋅ VqaEVE in

SV

ρεεrrrr

00


) : מעבירים אגפים ) 00 =∂⋅−⋅∇⋅∫V

VE ρεrr

0ε :0נחלק את המשוואה ב 0

=∂⋅

−⋅∇∫

V

VEερrr

לכן אם נבחר כל נקודה בעולם ונבנה סביבה כדור גאוסיאני כלשהו אזי לכל כדור כזה תתקיים

0: ל ולכן בהכרח לכל נקודה בעולם יתקיים"התוצאה הנ0

=−⋅∇ερ

Err

.

: כלומר אם נתון השדה החשמלי בכל העולם ורוצים לדעת מהי התפלגות המטען שיצרה אותו אז

EqaE in

rrrr⋅∇⋅=⇔=∂⋅⋅ ∑∫ 00 ερε

:דוגמה

.Qטעון במטען אחיד Rכדור ברדיוס

:צפיפות המטען של כדור כזה היא

:והשדה החשמלי שלו הוא

r<R:

++

⋅⋅⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ )ˆˆˆ(4

ˆˆˆ3

0

zzyyxxR

Q

zz

yy

xxE

επ

rr

3

0

3

0

3

0

3

0 4

3

444 R

Q

R

Q

R

Q

R

Q

⋅⋅=

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅=

επεπεπεπ

: קיבלנו את חוק גאוס0003

11

3

4 ερ

ερ

επ=⋅=⋅

⋅=

R

Q

>

<⋅=

Rr

Rr

R

Q

r

,0

,

3

4)(

4πρr

>⋅⋅⋅

<⋅⋅

⋅⋅

=Rrr

r

Q

RrrR

rQ

rE

,ˆ4

1

,ˆ4

1

)(

3

0

3

0

επ

επrr


r>R:

( ) ( ) ( )

++∂∂

+++∂

∂+

++∂∂

⋅=⋅∇

2/32222/32222/322204 zyx

z

zzyx

y

yzyx

x

x

QE

επ

rr

−+−+−

⋅==

5

2

35

2

35

2

3

0

313131

4...

r

z

rr

y

rr

x

r

Q

επ

( )

−⋅

=

++−

⋅=

33

0

5

222

3

0

33

4

33

4 rr

Q

r

zyx

r

Q

επεπ

:משוואת פוואסון ולפלס

E: ראינו עד עכשיו שיש קשר בין השדה לצפיפות המטעןrr

⋅∇⋅= 0ερ.

)()(: ראינו גם שיש קשר בין השדה לפוטנציאל החשמלי rVrErrrr

∇−=.

:קשר זה הוא, הפוטנציאל החשמלי לצפיפות המטעןלכן חייב להיות קשר בין

( ) ( )0ερ

=⋅∇⋅∇−=⋅∇−⋅∇=⋅∇ VVErrrrrr

( )

⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇⋅∇− zz

Vy

y

Vx

x

V

zz

yy

xxV ˆˆˆˆˆˆ

rr

:ולכן נסכם

: משוואת פוואסון0

2

ερ

=⋅∇− V

ρ :(02=0אם ( משוואת לפלס =⋅∇ V

Vzyxz

V

y

V

x

V

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

לפלסיאן2∇


:)לתרגול עצמי( דוגמה

. V1 V2 V3הפוטנציאלים על הגופים הם . מוליכים טעונים ומבודדים אחד מהשני מונחים במרחב 3

?מהו הפוטנציאל בכל נקודה בעולם

:פתרון

02פותרים את המשוואה של לפלס =⋅∇ V 0עם תנאי השפה=∞Vו -

.

321 ,, VVV.

:2דוגמה

.בגוף מוליך יש נפח ריק בתוכו אז אם בתוך חלל זה אין מטענים אז גם אין שדה בפניםאם : טענה

:הוכחה

02בגלל שאין מטענים בתוך החלל משוואת לפלס חייבת להתקיים כלומר =⋅∇ V , כמו כן על

..V=V0=Constנניח , השפה הפנימית של מוליך הפוטנציאל תמיד יהיה קבוע

בתוך החלל הוא פתרון של משוואת לפלס אבל כידוע למשוואה זו יש תמיד פתרון V=V0נשים לב ש

.הוא פתרון יחיד V=V0אחד ויחיד לכן

VEאנו יודעים ש ⋅∇=rr

00: נציב ונקבל, =⋅∇= VErr

כלומר השדה בפנים הוא אפס וזה מה

.שרצינו להוכיח

:סיכום ביניים

V Er ρ

V2∇−

V∇−r

Err

∇⋅0ε

∫ ∂⋅− lrr

E גאוס/קולון

קולון


:קבלים

.-Qוהשני במטען + Qזה שני מוליכים מבודדים אחד מהשני כאשר אחד מהם טעון במטען :קבל

המשמעות שלה זה , קיבולתהיחס בין המטען על הקבל לבין הפוטנציאל בין שני המוליכים נקרא

.די ליצור הפרש פוטנציאלים מסוייםכמה מטען צריך לשים על הקבל כ

V

QC =

:יחידות

FaradVolt

Colomb

V

QC ===

][

][][

:1דוגמה

רוצים לדעת מה השדה שהוא . dקבל מורכב משני לוחות אינסופיים טעונים שהמרחק ביניהם הוא

?מייצר

:פתרון

.בונים משטח גאוסיאני בצורת קובייה שהלוח של הקבל חוצה אותה לשתיים

∫∑: לפי חוק גאוס =∂⋅⋅ inqaErr

0ε

AAE ⋅=⋅+++++⋅ σε )00000(0

: שדה חשמלי של קבל לוחות0ε

σ=E

dEEEV: ואז ⋅=∂⋅=∂⋅=∆ ∫∫ llrr

:נציב את השדה ונקבל

00 εεσ

⋅⋅

=⋅=⋅=∆A

dQddEV

d

AC

d

A

dQ

AQ

V

QC ⋅=⇒⋅=

⋅⋅⋅

=∆

= 000 εε

ε

בכל קבל המשוואה של הקיבולת תהיה מכפלה של ערך ביחידות אורך שתלוי : הערה

.0εבגיאומטריה של הקבל כפול

d


:2דוגמה

.כאשר שני המטענים שלהן שווים 2R - ו1Rקבל מורכב משתי קליפות כדוריות עם רדיוסים

r: השדה בין שני הכדורים הואr

QE ˆ

4

12

0

⋅⋅

=επ

r.

2

1

2

1

2

1

1

4

1

44

1

0

2

0

2

0

R

R

R

R

R

Rr

Qr

r

Qr

r

QEV ⋅

⋅=∂⋅

⋅=∂⋅

⋅=∂⋅=∆ ∫∫∫ επεπεπ

lrr

( )210

12

210 4

11

4 RR

RRQ

RR

QV

⋅⋅⋅−

=

−⋅

⋅=∆

επεπ

( ) ( )

−⋅⋅

⋅=−

⋅⋅⋅=

∆=

12

210

12

210 44

RR

RR

RR

RR

V

QC

πε

επ

.האחרונה מתקיימת עבור קבל זהניתן לראות שההערה -

21→∞מה יקרה עבור - ,RR?

d

A

d

RC

dRRRR

⋅=

⋅⋅ → =−

∞→⋅

0

2

0

412

21

επ

ε

!במקרה כזה נקבל את המשוואה של קבל לוחות אינסופי

:3דוגמה

?מהו הקיבול שלהם. טעונים מהווים קבל b -ו aשני גלילים אינסופיים ברדיוסים

:פתרון

:אז, נבנה משטח גאוסיאני גלילי שנמצא בין שני הגלילים


0ε

QrE =⋅⋅⋅⋅ lπε 20

l⋅⋅⋅=

r

QE

πε 20

)ln(2

)ln(2

1

22 0000 a

bQr

Qr

r

Qr

r

QEV

b

allll

lrr

⋅⋅=⋅

⋅⋅=∂⋅

⋅⋅=∂

⋅⋅⋅=∂⋅=∆ ∫∫∫ πεπεπεπε

⋅

⋅=∆

=⇒)ln(

20

a

bV

QC

lπε

2R

1R

a

b


:חיבור קבלים במקביל

:נחבר מספר קבלים במקביל

qqqq: המטען הכולל של המערכת שווה לסכום המטענים של כל אחד מהקבלים =++ 321

: הפוטנציאל החשמלי על כל אחד מהקבלים שווה לכן3

3

2

2

1

1

C

q

C

q

C

q==.

לפי הנוסחהi

i

iV

Cq :נוכל לרשום =

V

C

V

CCC

V

C

V

C

V

Cqqqq Total=

++=++=++= 321321

321

:כלומר בחיבור קבלים במקביל נוכל להחליף אותם בקבל אחד שהקיבול שלו הוא

321 CCCCTotal ++=

:בטורחיבור קבלים

:נחבר מספר קבלים בטור

VVVVהפעם המטען מתפזר על הקבלים באופן שווה ומתקיים גם =++ 321.

: מנוסחה זו נקבלTotalC

q

C

q

C

q

C

qV =++=

321

:הוא כלומר בחיבור קבלים בטור נוכל להחליף אותם בקבל אחד שהקיבול שלו

321

321111

11111

CCC

CCCCC

Total

Total ++⇔=++=

1q 2q 3q

1C 2C3C

q+

q−V

V

q+

q−V

V

1V 2V 3V

q

1C 2C3C

q q


:אלקטריים-חומרים די

הוא חומר שמכיל מטענים שקשורים לאטומים של החומר וחופשיים לנוע סביבם אלקטרי- חומר די

. בתנועות מקומיות

אלקטרי לחומר מוליך הוא שבמוליך המטענים לא קשורים לאטומים ולכן - ההבדל בין חומר די

.מיקרוסקופיות בחומר ולא רק סביב אטום מסויםחופשיים לנוע בתנועות

תמיד היחס בין הקיבול של הקבל בריק , אלקטרי בין שני לוחות של קבל- נכניס גוש אחיד של חומר די

:אלקטרי יקיים-לבין הקיבול שלו עם החומר הדי

1.._

.._ ≥= KC

C

EDwithout

EDwith

שהוא קבוע Kאלקטרי בין שני לוחות של קבל הקיבולת שלו תגדל בגודל -כלומר אם שמים חומר די

.אלקטרי- בסוג החומר הדי רקשתלוי

:לכן נוכל לסכם שהקיבולת של קבל כלשהו היא

⋅⋅=

_____

_____0 KC ε

?אלקטרי- עם הוספת חומר די הגדל קיבולתאז למה ה

אלקטרי להסתדר -השדה החשמלי של הקבל גורם לחלקיקים בחומר הדי

לכן ליד הלוח הטעון חיובית נוצרת שכבה של מטענים , שמאלכמו בציור מ

וליד הלוח הטעון שלילית נוצרת שכבה של מטען הטעון חיובית - qשליליים

q . +וחות הקבל נהיה יותר קטןכתוצאה מזה המטען האפקטיבי בין שני ל

VCQולכן הפרש הפוטנציאלים נהיה קטן יותר לכן מהנוסחה ⋅=

.הקיבולת חייבת לגדול

ערך במטרים

שתלוי

בגיאומטריה

של הקבל


:הוכחה

.אלקטרי- נסתכל על קבל לוחות כאשר פעם הוא בריק ופעם הוא מכיל חומר די

כאשר פאה אחת עוברת דרך המוליך ) הקווים המקווקווים(נבנה קופסאות גאוס כמוראה בציור

.אלקטרי-השנייה עוברת דרך החומר הדיוהפאה

∫∑: לפי חוק גאוס =∂⋅⋅ inqaErr

0ε

')00000(0 qqAE −=⋅+++++⋅⇒ ε

'0 qqAE −=⋅⋅⇒ ε

A

qqE

⋅−

=⇒0

'

ε

d: ואז הפרש הפוטנציאלים יהיהA

qqdEV ⋅

⋅−

=⋅=0

'

ε

00''

Cd

A

V

qq

V

q

V

q=

⋅=

−=−⇒

ε

)1(' 0

0C

CCCC

V

q−=−=⇒

)1

1('

KC

cq

q−=⇒

)1

1('K

qq −=

qq'אז K≤1 -מאחר ו - .כלומר המטען האפקטיבי קטן ≤

q+ q+

q− q−

V0V E

r

0Er

'q−

'q+

d

ראינו שזה שווה לקיבולת

קבל לוחות בריק

לפי הגדרה זוהי קיבולת

אלקטרי-הקבל עם חומר די

K

1


: ראינו שA

qqE

⋅−

=0

'

ε

K

E

KA

q

A

kq

A

q

qq

E 0

000

))1

1(1()'

1(

=⋅⋅

=⋅

−−=

⋅

−=

εεε

1≥K כלומר קיבלנו שהשדה החשמלי קטן פיK כלומר גםV מאחר והמטען החשמלי הכולל , קטן

VCqחייב לגדול כדי לשמור על היחס Cלא משתנה אזי בהכרח ⋅= .

אלקטרי הפוטנציאל יישאר קבוע אז אם -נניח שדאגנו לכך שגם אחרי הכנסת החומר הדי -

Kqqלהיות המטען בהתחלה נקבל שהמטען החדש הוא 0qנסמן ⋅= לכן בגלל . 0

שהפוטנציאל לא משתנה ומהנוסחה V

QC 0Cנקבל שאם הקיבולת בריק הייתה =

0CKהקיבולת החדשה תהיה V

qKC ⋅=

⋅=.

: אלקטרי מתקיים לפי חוק גאוס- ראינו שבמקרה של קבל עם חומר די

K

q

KqqqAE =−−=−=⋅⋅ ))

11(1('0ε

): כלומר ) qAEK =⋅⋅⋅0ε

0εε : נגדיר ⋅= K

:ואז נוכל לכתוב את חוק גאוס למקרה הכללי

∑∫ =∂⋅⋅⋅ inqaEKrr

0ε


ε

∑הכוונה פה ב inq המטענים החופשיים רקהם.

:הערה

מסביב +. qאלקטרי אחיד ובתוכו יש מטען - נניח שאנחנו נמצאים בעולם הבנוי מחומר די -

.לכן השדה החשמלי יקטן qלמטען יושרה מטען שלילי לכן המטען נטו יהיה יותר קטן מ

: ואז24

1

r

qE ⋅

⋅=

επאלקטרי אחיד אז חוק - כלומר באופן כללי אם יש מטענים בחומר די

.0εשל החומר במקום εקולון יעבוד גם שם בתנאי שמשתמשים ב


D - ונסמנו ב ההעתק החשמלינגדיר שדה וקטורי חדש שנקרא r

:

EEKDrrr

⋅=⋅⋅= εε 0

:ואם נסתכל על חוק גאוס הכללי אז

( ) ∑∫∑∫ =∂⋅⋅⋅⇒=∂⋅⋅⋅Free

inin qaEKqaEKrrrr

00 εε

∑∫ =∂⋅Free

inqaDrr

:כמו כן אנו יודעים ש

FreeFree EKK

E ρεερ

=⋅∇⋅⋅⇒⋅

=⋅∇rrrr

0

0

FreeD ρ=⋅∇vr

:אלקטריים המונחים אחד מעל השני- נסתכל על שני גופים די

נבנה משטח גאוסיאני בצורת קופסה כך שהעובי של הדפנות

שטח הדפנות העליונה. הצדדיות מאוד קטן כך שאין שטף דרכן

.Aוהתחתונה הוא

אלקטריים אבל לא - אולי יש מטענים קשורים מחומרים הדי(מאחר ואין פה מטענים חופשיים

:אזי מקבלים) ם בהםמתחשבי

0==∂⋅ ∑∫Free

inqaDrr

021 =⋅−⋅ ⊥⊥ ADAD

( ) 021 =⋅− ⊥⊥ ADD

⊥⊥ = 21 DD

1K

2K

1Dr

2Dr


:כעת נסתכל על הלולאה המלבנית הסגורה הבאה

∫⋅∂=0: עבור לולאה זו מתקיים aErr

.כי זה מסלול סגור

של הלולאה שואפים לאפס) הצדדיים(בהנחה ששני הקטעים האנכיים

:ל יהיה נכון חייב להתקיים"אזי כדי שהתנאי הנ

0||2||1 =⋅−⋅ ll EE

( ) 0||2||1 =⋅− lEE

||2||1 EE =

Eשניצב לשטח נשמר והרכיב של Dאלקטרי אחד לשני הרכיב של - במעבר מחומר די: לסיכום

.שמקביל לשטח גם נשמר

:1דוגמה

2K -ו1Kאלקטריים -בין שני לוחות של קבל שמים שני חומרים די

?מהי הקיבולת החדשה של הקבל. אחד מעל השני

:פתרון

: הקבל הזה שקול למצב

: עים שאנו יוד21

111

CCC :נחשב את הקיבולות של כל אחד מהקבלים. =+

:ואז

+

⋅⋅=

+

⋅=

⋅⋅

+⋅

⋅=

2

121

102

2

1

1

02

2

0

1

1

0

11111

K

Kdd

KAK

d

K

d

AK

d

AK

d

AC εεεε

+

⋅⋅=

2

121

10

K

Kdd

KAC

ε

1K

2K

1Er

2Er

1K

2K

1d

2d

1K

2K

1C

2C

2

2

02

1

1

01

Kd

AC

Kd

AC

⋅⋅

=

⋅⋅

=

ε

ε


∑∫∑∫ =∂⋅⇒=∂⋅ inin qaDqaD 1

rr

110111 σεσ =⋅⋅⇒⋅=⋅ EKAAD

01

11 ε

σ⋅

=K

E

⊥⊥ראינו ש = 21 DD ולכן גם כיוונו של , אבל מכיוון שזהו קבל לוחות כיוון השדהDr

ניצב לשטח לכן ,

:מסיקים מזה ש

20210121 EKEKDD ⋅⋅=⋅⋅⇒= εε

1

2

12 E

K

KE ⋅=

:נבדוק את התשובה

( )2211

101

2211

1

dEdE

AEK

dEdE

A

V

QC

⋅+⋅⋅⋅⋅

=⋅+⋅

⋅==

εσ

( )

2

2

11

01

21

2

111

101

dK

Kd

AK

dEK

KdE

AEKC

⋅+

⋅⋅=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅⋅=

εε

.ואכן קיבלנו את אותו הביטוי לקיבולת

:2דוגמה

.אלקטריים אחד ליד השני-הפעם מניחים את החומרים הדי

:מקרה זה שקול לשני קבלים המחוברים במקביל

ב: לכן

1K 2K

2A1A

d

1K 2K1C

2C


:נחשב את הקיבולות של כל אחד מהקבלים

)( : ולכן 2211

0

2

20

1

10

21 KAKAd

Kd

AK

d

ACCC ⋅+⋅=⋅

⋅+⋅

⋅=+=

εεε

1||2||זהו קבל לוחות וראינו שעבורו מתקיים EE ומאחר ובקבל לוחות השדה ניצב לשטח אז =

21 EE =.

dE

AA

V

QC

⋅

⋅+⋅==

1

2211 σσ

:ת בצורה הבאהנבנה מעטפת גאוסיאני, נחשב את הצפיפויות

:ואז

AqaEK iini ⋅==∂⋅⋅⋅ ∑∫ σεrr

0

AAEK iii ⋅=⋅⋅⋅ σε 0

iii EK σε =⋅⋅0

1101 לכן EK ⋅⋅= εσ2202 - ו EK ⋅⋅= εσ.

:נציב במשוואה של הקיבולת

( ) ( ) ( )22110

1

22201110 AKAKddE

AEKAEK

V

QC ⋅+⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

==εεε

:אנרגיה חשמלית של קבל

משמעות האנרגיה הזו היא העבודה , U, לכן יש בו אנרגיה חשמלית אגורה Qקבל טעון מכיל מטענים

.לקבל Qשצריך לבצע כדי להביא מטען

:נראה למה שווה אנרגיה זו

qqמטענים על הקבל למצב של qונעבור מהמצב של ∂qבכל פעם נביא מטען .מטענים +∂

q: תרומת האנרגיה של כל מצב כזה היאC

qqVu ∂⋅=∂⋅=∂.

2

0

2

1

0

1

Kd

AC

Kd

AC

⋅⋅

=

⋅⋅

=

ε

ε

1K 2K

21 EE =


:Qכדי לקבל את האנרגיה הכוללת על הקבל נבצע אינטגרציה ממטען אפס עד

[ ] 2

2

22

0

2

02

1

2

11

2

11

2

1VC

C

QCQ

Cq

Cq

C

quU

QQ

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∂⋅=∂= ∫∫

:כלומר האנרגיה האגורה בקבל היא

22

2

1

2VC

C

QU ⋅⋅==

:אלקטרי לקבל ונסתכל על היחס בין האנרגיות נקבל- אם נכניס חומר די

KC

C

VC

VC

U

U 1

2

12

1

02

0

2

0

==⋅⋅

⋅⋅=

.האנרגיה החשמלית בקבל נמצאת באזור של השדה החשמלי -

.uבכל מקום בעולם שיש בו שדה חשמלי יש גם צפיפות אנרגיה -

:צפיפות האנרגיה החשמלית בין לוחות הקבלנחשב את

:צפיפות האנרגיה מוגדרת להיות כמות האנרגיה ליחידת נפח לכן

2

2

0

20

)(

2

)( 2

12

1

2

1

d

V

dA

Vd

A

V

VC

V

Uu

VolumeVolume

⋅⋅=⋅

⋅

⋅⋅

=⋅⋅

== ε

ε

2

2

02

1

d

Vu ⋅⋅= ε

!ל נכונה לכל אזור במרחב שמכיל שדה חשמלי"הנוסחה הנ: הערה חשובה

:דוגמה

.Qשטעון במטען Rנניח שיש לנו כדור מוליך ברדיוס

.נחשב את העבודה הדרושה כדי לטעון את הכדור בשיטות שונות -

:י הבאת המטענים אחד אחד"ע .1

q: שנביא היא ∂qתרומת האנרגיה של כל מטען R

qqVu ∂⋅⋅

⋅=∂⋅=∂

04

1

επ


:לכן R

Qqq

RuU

Q

⋅⋅=∂⋅⋅⋅

⋅=∂= ∫∫

0

2

00 8

1

4

1

επεπ

:לפי צפיפות המטען .2

R

QV

R

QVVVVU

⋅⋅=∂⋅⋅

⋅

⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅= ∫∫∫

0

2

0 84

1

2

1

2

1

2

1

επρ

επρρ

:ישירות לפי הנוסחה .3

( )R

Q

R

QRVCU

⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

0

22

0

0

2

84

14

2

1

2

1

επεπεπ

:לפי צפיפות האנרגיה .4

∫ ∂⋅= VuU


:זרמים והתנגדות

אבל אם נפעיל אנרגיה . זה נכון עבור המצב הסטטי, ראינו עד עכשיו שבתוך מוליך אין שדה חשמלי

.חשמלי בתוך המוליך שיגרום לתנועת אלקטרוניםחשמלית באופן ממושך על המוליך נקבל שדה

.תנועת מטען חשמלי בתוך מוליך: זרם חשמלי

.כמות המטען ליחידת זמן שעוברת דרך חתך זה נקרא הזרם. נסתכל על חתך של תיל מוליך

:היחידות של הזרם

AmperSec

Colomb

t

qi ===

][

][][

לא משנה איפה נמצא שטח החתך שמסתכלים דרכו או מהו השטח שלו תמיד נקבל את אותו : הערה

כל זה קורה בגלל חוק שימור המטען כי כל מטען שנכנס דרך חתך מסוים חייב לצאת דרך , הזרם

.חתך אחר

. וליך הוא כיוון תנועת המטענים החיובייםהכיוון של הזרם במ: הערה

מוגדרת להיות כמות , j, צפיפות הזרם הזורם דרך מוליך: הגדרה

:אם המוליך הוא בעל סימטריה אחידה אז. הזרם ליחידת שטח

:ובצורה הכללית

t

qi

∂

∂=

i ii

i

+−

i

A

ij =jAi ⋅=

∫ ∂⋅= ajirr


ם ינועו אזי למרות שעל המטענים במוליך יפעל כוח האם השדה שמפעילים בתוך מוליך הוא קבוע

מהירות זו של המטענים , )כי הם מתנגשים כל הזמן באטומים של המוליך(במהירות כמעט קבועה

:נחשב אותה. מהירות הסחףנקראת

.נסתכל על מוליך שדרכו זורם זרם כתוצאה משדה חשמלי שהפעלנו עליו

ואז כמות המטענים שיעברו דרך dvנסמן את מהירות הסחף ב

.הם המטענים שנמצאים בתוך הגליל האמצעי הקטן∂tבזמן Aהחתך

:לכן

entvAq d ⋅⋅∂⋅⋅=∂

envAt

entvA

t

qi d

d ⋅⋅⋅=∂

⋅⋅∂⋅⋅=

∂∂

=

dvenA

ij ⋅⋅==

en

j

enA

ivd ⋅

=⋅⋅

=⇒

:דוגמה

מהירות הסחף של מהי . 10Aזורם זרם של מ "ס 1ואורך של 2.5mmנניח שבחוט נחושת בעל קוטר

גרם נחושת יש מספר אבוגדרו של 64כלומר בכל 64המספר האטומי של נחושת הוא ? האלקטרונים

( אטומים23106 29וצפיפותו היא ) ⋅

cmgr=ρ.

22200

2

25.0

10

cmAmp

A

ij =

⋅

==

π

A

tvd ∂⋅

E

מטען האלקטרון

צפיפות האלקטרונים

נפח הגליל

צפיפות המטען


: מהנתונים של השאלה נחשב את צפיפות האלקטרונים23

23

1064

1069=

⋅⋅=n

sec: ולכן מהירות הסחף תהיה10

106.110

200 2

1923cm

en

jvd

−−

=⋅⋅

=⋅

=

100במקרה זה לוקח להם , כפי שניתן לראות מהירות הסחף של האלקטרונים מאוד נמוכה •

!שניות לעבור סנטימטר אחד

∫: כמות המטען שיוצא ליחידת זמן יהיה. נסתכל על מעטפת סגורה שדרכה יוצא מטען ∂⋅ ajrr

: מור המטען כל מטען שיוצא החוצה יחסר בפנים לכן מחוק שיt

qaj

∂∂

−=∂⋅∫rr

.

:נפתח את הנוסחה

( ) ∫∫∫∫ ∂⋅∂∂

−=∂⋅∂∂

−=∂∂

−=∂⋅∇=∂⋅ Vt

Vtt

qVjaj

VS

ρρ

rrrr

( ) ∫∫ ∂⋅∂∂

−=∂⋅∇⇒ Vt

VjV

ρrr

0=∂

∂∂

+⋅∇⇒ ∫V

Vt

jρrr

: זהו חוק שימור המטען המקומי0=

∂∂

+⋅∇t

jρrr

: וזאת הצורה האינטגראלית שלוt

qaj

∂∂

=∂⋅∫rr


:התנגדות

.זה היחס בין המתח לזרם של רכיב חשמלי מסוים: התנגדות

:נסתכל על המוליך הבא

:מוגדרת כ Bלנקודה Aההתנגדות שלו בין הנקודה

i

VR AB=

:ממה שלמדנו עד כה ניתן לרשום את ההתנגדות גם בצורה הבאה

∫∫

∂⋅

∂⋅==

aj

E

i

VR AB

vv

lrr

:היחידות של ההתנגדות

)(][

][][ Ω=== Ohme

Amp

Volt

i

VR

המתח וההתנגדות , ן הזרםבנוסף לקשר המיקרוסקופי ביi

VR בין ישנו גם קשר מקרוסקופי =

: קשר זה הוא, השדה החשמלי וההתנגדות הסגולית, צפיפות הזרםj

E=ρ.

:אז lאם נסתכל על מוליך אחיד באורך -

ll

l AR

i

AV

Ai

V

j

E⋅=

⋅⋅

===ρ

.ρוהתנגדות סגולית bוחיצוני aכעת נסתכל על גליל חלול בעל רדיוס פנימי

?מהי התנגדותו. מפעילים הפרש מתחים בין החלק הפנימי לחלק החיצוני של הגליל

r )braנבנה משטח גאוסיאני גלילי בעל רדיוס :ונחשב את השדה )>>

ABV

A

Bi

L

ab

V


0ε

∑∫∫ =⋅⋅⋅⋅=∂⋅⋅=∂⋅⋅ inqLrEaEaE πεεε 2000


: מהנוסחה האחרונה ניתן להסיק שהשדה החשמלי הוא מהצורה r

DE .קבוע כלשהו Dכאשר =

: Dנמצא את

:ולכן

:יתקיים rלכן במרחק

:ומפה ניתן ישר לחשב את ההתנגדות

⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅= ∫∫∫ a

bD

r

DEEV

b

a

b

a

b

a

ab lnlllrr

r

a

b

VE ab 1

ln

⋅

=

( )

ρρ ⋅⋅

==

ra

b

VEj abr

ln

( )Lr

ra

b

VAji ab ⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅= π

ρ2

ln

⋅

⋅⋅

=⇒ρ

π

a

b

VLi ab

ln

2

L

a

b

i

VR ab

⋅

⋅

==π

ρ

2

ln


:הספק חשמלי

הסוללה יוצרת הפרש פוטנציאלים קבוע, נסתכל על המעגל הבא

שביניהם מייצגת עומס" קופסה"כאשר ה Bלנקודה Aבין הנקודה

רוצים לדעת כמה אנרגיה הסוללה /...). קבל / מנורה / נגד (כלשהו

?מספקת או כמה אנרגיה העומס צורך

tiVqVU ABAB ∂⋅⋅=∂⋅=∆

:הוא כמות העבודה ליחידת זמן לכן ההספק

R

ViRiV

t

UP AB

22 =⋅=⋅=

∂∆

=

:יחידות ההספק

Sec

Jaul

Sec

Colomb

Colomb

JauliVP =⋅=⋅= ][][][

:ירכהוףקמעגלים חשמליים וחוקי

:מוסכמות של מעגלים חשמליים#

ובכך גורם εהוא מספק הפרש מתחים קבוע , )מ"כא( כוח אלקטרו מניעמקור מתח נקרא •

. לזרימה של זרם

.מ מההדק השלילי להדק החיובי"מסמנים את כיוון הפוטנציאל על הכא •

.מסמנים בכיוון תנועת המטענים החיובייםכפי שכבר ראינו את כיוון הזרם •

כי הזרימה היא (את הפרש המתחים על נגד מסמנים כהפוך מכיוון הזרם •

.כלומר מההדק החיובי להדק השלילי, )מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך

:חוק הלולאה של קירכהוף

.סכום המתחים סביב לולאה סגורה כלשהי הוא אפס -

כידוע סכום כל העבודה לאורך מסלול סגור כלשהו היא אפס לכן כדי שחוק שימור האנרגיה : הסבר

.הזה חייב להיות נכוןיתקיים החוק

.אם המתח בכיוון הזרם הוא נחשב חיובי ואם הוא הפוך מכיוון הזרם הוא נחשב שלילי: הערה

:במעגל המצויר משמאל לפי חוק הלולאה של קירכהוף

0)( =⋅−+ Riε

A

B

ABV

εR V

i


:חוק הזרמים של קירכהוף

.כמות הזרם שנכנסת לצומת שווה לכמות הזרם היוצאת ממנה -

321 iiii ++=

.חוק זה נובע ישירות מחוק שימור המטען: הסבר

:1 דוגמה

:עבור מעגל זה מתקיים, נסתכל על המעגל החשמלי הבא

0321 =−−− VVVε

( ) 0321 =++− RRRiε

321 RRRi

++=ε

:חיבור נגדים בטור

:אם נרצה להחליף את הנגדים המחוברים בטור בנגד אחד אקוויבלנטי אז

321 RRRREq ++=

.בטור ההתנגדות השקולה שווה לסכום ההתנגדויותכלומר בחיבור נגדים

:2 דוגמה

:נסתכל כעת על המצב שבו הנגדים מחוברים במקביל

:לפי חוק הזרמים של קירכהוף

ε

i

1R 1V

2R

3R

2V

3V

ε

i

1R 2R 3R1V 2V 3V

1i 2i 3i

i1i

2i

3i

321 iiii ++=

321

321RRR

iiiiReq

εεεε++=++==


:במקבילחיבור נגדים

:אם נרצה להחליף את הנגדים המחוברים במקביל בנגד אחד אקוויבלנטי אז

321

321111

11111

RRR

RRRRR

eq

eq ++=⇔++=

:3דוגמה

:נרצה לפתור את המעגל הבא

נסמן את כיווני הזרמים במעגל באופן שרירותי ונפתור לפי חוקי

אם זרם מסוים יוצא בסימן מינוס אז הכיוון, קירכהוף שלמדנו

.שלו הפוך מזה שבחרנו

:נכתוב את המשוואות ונפתור אותן

.קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים שאותן אנחנו יודעים לפתור

:4דוגמה

? Rנרצה לדעת מהי ההתנגדות שלו , גמה קודמתנסתכל על הגליל מדו

:פתרון

לכן נסתכל על, הזרם יהיה בכיוון הרדיאלי כי זהו כיוון מפל המתחים

.∂rועובי rהבעיה כאוסף של גלילים אחד בתוך השני עם רדיוס

במקרה זה הגלילים מחוברים כנגדים בטור לכן ההתנגדות הכוללת שלהם

: .שהיא ההתנגדות של כל הגליל היא סכום ההתנגדויות כלומר

:תהיהההתנגדות של כל גליל כזה

:לכן

.זוהי בדיוק אותה תוצאה שקיבלנו בפעם הקודמת

1ε

21 ii −

1R 2R

1i 2i

3R

2ε

0)( 321111 =⋅−−⋅− RiiRiε

0)( 321222 =⋅−−⋅− RiiRiε

L

ab

V

ρ

∫ ∂= RR

Lr

r

AR

⋅⋅∂

⋅=⋅=∂π

ρρ2

l

[ ]ba

b

a

rLLr

rRR )ln(

22⋅

⋅=

⋅⋅∂

⋅=∂= ∫∫ πρ

πρ

)ln(2 a

b

LR ⋅

⋅=

πρ


:5דוגמה

:נסתכל על המעגל הבא

המטען מצטבר על הקבל עד שאחרי זמן רב, סוגרים את המתג t=0ברגע

.מ"לא יהיה זרם כי הפרש הפוטנציאלים עליו יהיה שווה לכא

:ננתח את המעגל

משימור האנרגיה ההספק שהספק מספק למעגל שווה לאנרגיה על הקבל

:נתרגם זאת לנוסחה. בתוספת האנרגיה שהנגד צורך

:∆tאם נחלק ב

:להכדי לפתור אותה נמצא את תנאי ההתח, ר ליניארית"קיבלנו מד

)0(0: בהתחלה המטען על הקבל היה אפס לכן - ==tq.

CCVtq: לכן εבסוף המתח על הקבל יהיה - C ⋅=⋅=∞→ ε)(.

:הניחוש ר לפי"כעת יש לנו תנאי התחלה ונוכל לפתור את המד

:נציב במשוואה ונקבל

:ונקבל. ה.נציב את ת

ε

i

R

C

qC

qtRiq ∆⋅+∆⋅⋅=∆⋅ 2ε

האנרגיה שהספק מספק האנרגיה שהנגד צורך האנרגיה על הקבל

iC

qRii

t

q

C

qRi

t

q⋅+⋅=⋅⇒

∆∆

⋅+⋅=∆∆

⋅ 22 εε

C

qR

t

q

C

qRi +⋅

∂∂

=⇒+⋅=⇒ εε

)1()( teqtq α−∞ −=

C

eqeqR

tt )1( α

ααε−

∞−∞

−⋅+⋅⋅⋅=

)1

(C

RqeC

q t −⋅⋅+= ∞−∞ αε α

CqC

q⋅=⇒= ∞

∞ εε

RCCR

10)

1( =⇒=−⋅ αα RC

t

RC

t

eRt

qti

eCtq

−

−

⋅=∂∂

=⇒

−⋅⋅=⇒

ε

ε

)(

)1()(


:המטען והזרם על הקבל יהיווהגרפים של

:6דוגמה

,)פריקת קבל(נעבור כעת למעגל המשלים של המעגל הקודם

.2למצב 1אחרי שהקבל נטען במלואו מעבירים את המפסק ממצב

:מחוק קירכהוף על הלולאה הימנית מקבלים

:נרשום אותה בצורה אחרת, זוהי משוואה דיפרנציאלית

:כדי לפתור אותה נמצא את תנאי ההתחלה

)0(0: בהתחלה המטען על הקבל היה - qtq ==.

)(0: בסוף המטען על הקבל יהיה אפס לכן - =∞→tq.

:ר לפי הניחוש "כעת יש לנו תנאי התחלה ונוכל לפתור את המד

:ר ונקבל"נפתור את המד

:והגרפים יהיו

C⋅ε

R

ε

t t

)(ti)(tq

ε

R

1

2

0=⋅+ RiC

q

0=⋅∂

∂+ R

t

q

C

q

teqtq α−⋅= 0)(

RC

t

RC

t

eRC

q

t

qti

eqtq

−

−

⋅−=∂∂

=

⋅=

0

0

)(

)(

0q

R

ε

t

t

)(ti)(tq


:מגנטיות

:חוק לורנץ

בשדה החשמלי ובשדה , פועל כוח שתלוי במהירות שלו Vשנע במהירות qעל כל מטען חשמלי

. המגנטי שבהם הוא נע

: הנוסחה של כוח זה היא

:ובפרט גודל הכוח שהשדה המגנטי מפעיל על החלקיק הוא

:יחידות השדה המגנטי

KGauesGauesTesla: כאשר 10101 4 ==.

:1מה דוג

Bבאזור מסוים במרחב יש שדה מגנטי אחיד r

הניצב למשטח בכל הנקודות בכיוון פנימה אלקטרון נע

.vבמהירות

BveF: על האלקטרון יפעל כוח מגנטי ששווה לrrr

⋅⋅=.

נשים לב שלמרות שהמכפלה הווקטורית נותנת וקטור שכיוונו

המטעןהאמיתי של הכוח הוא כלפי מטה כי כלפי מעלה הכיוון

!של האלקטרון הוא שלילי

בגלל שהכוח שנוצר ניצב למהירות של האלקטרון אזי הוא לא

.אבל הוא כן ישנה את כיוונה, ישנה אותה

.לכן האלקטרון ינוע במקרה זה בתנועה מעגלית ברדיוס ומהירות קבועים

שהוא 1צנטריפוגלי וראינו בפיסיקה הכוח המגנטי במקרה זה הוא כוח

שווה לערך R

vme

2⋅ :ולכן

ω==⋅

⇒⋅

=⋅⋅⋅R

v

m

Be

R

vmBve

e

e

2

)90sin( o

BvqEqFrrrr

×⋅+⋅=

( )vBBvqF rr

,sinθ⋅⋅⋅=

Teslam

WebberB ==

2][

× × ×

× × ×

× × ×Fr

vr

e


הערך em

Bq ⋅=ω כפי שניתן לראות מהתוצאה , שחישבנו הוא המהירות הזוויתית של האלקטרון

.מהירות זו תלויה רק במטען ובמסה של החלקיק

.תדירות הציקלוטרוןמאפיינת כל חלקיק לפי תכונותיו והיא נקראת לכן תדירות זוויתית זו

נסתכל על קבל לוחות אינסופי כאשר הלוח העליון שלו טעון חיובית - בנקודה שנמצאת בחצי המרחק בין שני . והלוח התחתון טעון שלילית

.vמהירות התחלתית qהלוחות נותנים לחלקיק

אה מהשדה החשמלי של הקבל יפעל על החלקיק כוח כלפי מטהכתוצ .זוהי תנועה בליסטית לכן המטען ינוע בפרבולה,שיגרום לתאוצה כלפי מטה

כעת נפעיל שדה מגנטי בתוך הקבל בכיוון פנימה שניצב לכיוון השדה - :הכוח שיפעל על החלקיק במקרה זה הוא. החשמלי

יהיו , החשמלי והמגנטי, נרצה שהחלקיק ישמור על כיוון תנועתו ההתחלתי לכן נדרוש ששני הכוחות

:כלומר. שווים

בעזרת פילטר זה ניתן לייצר , ל הוא יצירת פילטר מהירויות לחלקיקים"שימוש חשוב של הנוסחה הנ

ים ומעבירים אותם דרך קבל כמו זה נותנים לחלקיקים תנע מסו. אלומת חלקיקים עם מהירות אחידה

מכוונים את השדה החשמלי והמגנטי כך שהיחס ביניהם ייתן את המהירות שרוצים , שראינו לעיל

קצה הקבל שמים מחיצה עם חור בנקודה שנמצאת מול נקודת היציאה של בו, עבור החלקיקים

.ולצאת מהמחיצה וכך רק חלקיקים עם המהירות שרצינו יוכלו להמשיך בקו ישר. החלקיקים

+ + + + + + +++

− − − − − − − − − −

Er

+ + + + + + +++

− − − − − − − − − −

Er× × ×

× × ×BvqEqFrrrr

×⋅+⋅=

( ) ( )yBvqyEqF ˆˆ ⋅⋅⋅−+⋅⋅=r

BE FBvqEqF =⋅⋅=⋅=

B

Ev =⇒

Er

× × ×

× × ×

××

B

Ev =


:תיל מוזרם בשדה מגנטי

ראינו שעל מטענים שנעים בתוך שדה מגנטי תמיד יפעל כוח לכן על תיל מוזרם שנמצא בשדה מגנטי

:נחשב את הכוח הזה. יפעל כוח כי יש בתוכו תנועה של מטענים

על כל חלקיק כזה, ∂lנחלק את התיל לחלקיקים קטנים

:המטען יהיה

:מהירות הסחף של האלקטרונים תהיה

∂lכל מה שנשאר זה להציב במשוואת הכוח שפועל על מטענים ולקבל את הכוח שפועל על כל חתך

.מבצעים אינטגרציה וכדי לקבל את הכוח הכללי שפועל על אורך מסוים של התיל פשוט

:1דוגמה

בכיוון פנימה וניצב Bימינה ונמצא בשדה מגנטי iשמוזרם בזרם Lמהו הכוח שפועל על תיל באורך

?לזרם

:פתרון

:כיוון הכוח לפי כלל יד ימין הוא כלפי מעלה וגודלו

iBr

l∂

A

l∂⋅⋅⋅=∂ Aenq

צפיפות המטענים נפח החתך

enA

i

en

jvd ⋅⋅

=⋅

=

( ) θsin⋅⋅

⋅⋅

⋅∂⋅⋅⋅=×⋅∂= BenA

iAenBvqF d l

rr

θsin⋅⋅∂⋅=⇒ BiF l

BiFr

lrr×∂⋅=∂⇒

LBiBiBiF

LLL

⋅⋅=∂⋅⋅=×∂⋅=∂ ∫∫∫000

lr

lrr

×

× × ×

×× Fr

iBr


:2דוגמה

?ח הפועל עליומהו הכו. נסתכל על התיל המוזרם הבא שנמצא בשדה מגנטי

:פתרון

:לפי הדוגמה הקודמת ניתן לראות שהכוחות הפועלים על שני החלקים הישרים של התיל הם

מהסימטריה ניתן לראות שהחלקים האופקיים של הכוחות שפועלים על . נעבור לחישוב החלק המעגלי

:כל חתך מתבטלים ולכן נוכל להסיק ש

:והכוח הכולל יהיה

את הסיבה לזה ! מתחת למעגל קיבלנו את אותו הכוח שהיה פועל על התיל אם הוא היה ישר -

.נראה בהמשך

:3דוגמה

.Bנכניס לולאה מלבנית מוזרמת לתוך שדה מגנטי

:ברור שמתקיים

.כלומר שקול הכוחות על הלולאה הוא אפס

i

Br

••

••

••

••

••

••

•••• ••

R

l l

zBiFF ˆ31 ⋅⋅⋅== lrr

∫∫∫ ⋅∂⋅⋅=⋅∂=∂= θθ sinsin2 lr

BiFFF z

θθθθ ∂⋅⋅⋅=∂⋅⋅⋅⋅= ∫∫ sinsin2 RBiRBiFr

zRBiF ˆ22 ⋅⋅⋅⋅=r

Rθ

zRBiFFFFTotalˆ)(2321 ⋅+⋅⋅⋅=++= l

rrrr

×

× × ×

××Br

× ×

×××

×

×

××

×

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

31 FFrr

−= 42 FFrr

−=

ab

i

BiShOo 2009 ©

.זה הזרם i - זה שטח הטבעת ו

. הכיוון של מומנט הדיפול המגנטי נקבע לפי כלל יד ימין לפי כיוון הזרם בלולאה

1Fr

3Fr

1Fr

3Fr

θ

θ 2b

2b

i

© BiShOo 2009 -חשמל ומגנטיות – 2פיסיקה

:נסתכל על הלולאה במבט מהצד

.כפי שניתן לראות מומנט הכוח של הלולאה אינו אפס

מה שיקרה פה זה שהכוח המגנטי יסובב את הלולאה עד שתהיה

.ניצבת לכיוון השדה

:נחשב את המומנט יחסית למרכז

:מומנט דיפול מגנטינגדיר גודל חדש שנקרא

זה שטח הטבעת ו A, )1במקרה שלנו זה (הוא מספר הליפופים

הכיוון של מומנט הדיפול המגנטי נקבע לפי כלל יד ימין לפי כיוון הזרם בלולאה

θτ sin2

1 +⋅⋅= Fb

F

( )τ2

2 ⋅⋅⋅⋅⋅=b

aiB

( )τ sin⋅⋅⋅⋅= baiB

( ) θτ sin⋅⋅⋅= AiB

AiA ˆ⋅⋅⋅=µr

µr

52

נסתכל על הלולאה במבט מהצד

כפי שניתן לראות מומנט הכוח של הלולאה אינו אפס

מה שיקרה פה זה שהכוח המגנטי יסובב את הלולאה עד שתהיה

ניצבת לכיוון השדה

נחשב את המומנט יחסית למרכז

נגדיר גודל חדש שנקרא

הוא מספר הליפופים Nכאשר

הכיוון של מומנט הדיפול המגנטי נקבע לפי כלל יד ימין לפי כיוון הזרם בלולאה

θsin2

2 ⋅⋅b

F

θsin

θ


:לכן נוכל לכתוב את משוואת המומנט בצורה הבאה

:ומכאן ניתן להסיק

µהמומנט יפעל עד ש -r

.יהיה בכיוון של השדה המגנטי

.הטבעת נמצאת במצב שווי משקל יציב: אם המצב הוא כזה -

.הטבעת נמצאת במצב שווי משקל לא יציב: אם המצב הוא כזה -

מעלות 180ל להסתובב ב במצב כזה כל הפרעה קטנה תגרום לתזוזה של הלולאה שתתחי

במצב הראשון האנרגיה הפוטנציאלית היא הכי נמוכה .עד שהיא תגיע למצב הקודם ותעצור

.ובמצב השני היא הכי גבוהה

אנרגיה פוטנציאלית תמיד (כעת נבחר את המצב הבא להיות המצב עם אנרגיה פוטנציאלית אפס

.θגיה של הטבעת עם שינוי הזווית ונראה מה יהיה השינוי באנר) נמדדת ביחס לנקודת אפס

BUלכן עבור המצב הראשון שראינו האנרגיה הפוטנציאלית תהיה B ⋅−= µ ועבור המצב השני

BUהאנרגיה הפוטנציאלית תהיה B ⋅= µ.

BBrr

×=⇒⋅⋅= µτθµτ sin

Br µ

r

Br

µr

θ

µr

Br

∫∫ ∂⋅⋅⋅=∂⋅=θθ

θθµθτoo 9090

sinBU

θµθµθ

coscos90

⋅⋅−=⋅⋅= BBU o

BU B

rr⋅−= µ


:אפקט הול

וביים תהיה בכיוון הזרם ותנועה של מטענים שליליים תהיה בכיוון ראינו שבזרם תנועה של מטענים חי

.ההפוך כאשר שני המקרים שקולים ולא משנה איזו הגדרה בוחרים

!נסתכל על האפקט הבא שבו הבחירה בכיוון הזרם כן משנה

ון באותו כיו Bשני המוליכים נמצאים בשדה מגנטי . בשני לוחות מוליכים זורם אותו זרם באותו כיוון

.ביחס לשניהם

י הגדרת הזרם בלוח הראשון כתנועת המטענים החיוביים "את ההבדלה בין שני המצבים נעשה ע

.י הגדרתו בלוח השני כתנועת המטענים השליליים בכיוון ההפוך לזרם"בכיוון הזרם ובשני ע

ן יפעל על המטענים החיוביים כוח ימינה והם יתחילו לזוז ימינה כך שמטען חיובי יצטבר במצב הראשו

ממצב זה נוצר .שלו השמאלי הצדכתוצאה מזה יצטבר מטען שלילי על , של הלוח הימני הצדעל

.הפרש פוטנציאלים בין שני הצדדים של הלוח מימין לשמאל

ימינה והם יתחילו לזוז ימינה ומטען שלילי מצטבר במצב השני גם יפעל על המטענים השליליים כוח

ממצב זה נוצר . כתוצאה מזה יצטבר מטען חיובי על הצד השמאלי שלו, על הצד הימני של הלוח

).הפוך מהמקרה הקודם(הפרש פוטנציאלים בין שני הצדדים של הלוח אבל משמאל לימין

. י שניצב לכיוון של הזרםכתוצאה מהפרשי הפוטנציאלים יפעל בתוך המוליך שדה חשמל

:ואז

:והמשוואה הווקטורית תהיה

מה שמיוחד פה שאם הופכים את כיוון הזרם אז גם הכיוון של השדה החשמלי של אפקט הול

.מתהפך

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−−

−−−−

−−−−

−−

−−

−

−−

−−−−

−−

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×××

)(I )(II

⊕ mF mF

dv

dv

ii−

Bvqd

VqEqF d

HH ⋅⋅=⋅=⋅=

BdvV dH ⋅⋅=⇒

BvqEq dH

rrr×⋅=⋅

BvE dH

rrr×=


:ל ונקבל"נציב במשוואה הנ, : ראינו ש

!פות המטען בתוך מוליךכלומר קיבלנו שיטה למציאת צפי

:חוק אמפר

שכיוונו נקבע לפי כלל יד סביב תיל מוזרם נוצר שדה מגנטי היקפי

.ימין

:חוק אמפר

המשיקים ∂lאם נחלק אותה לקטעים , עבור לולאה סגורה במרחב

:ללולאה בכל נקודה ונקודה אזי מתקיים

∑כאשר I היא סכום כל הזרמים שיוצאים מהלולאה בכיוון יד ימין ביחס

lלכיוון של r

- ו ∂Amp

mTesla ⋅⋅= −7

0 104πµ.

:1 דוגמה

?מתיל מוזרם אינסופי rנרצה לדעת מהו השדה המגנטי במרחק

:פתרון

r יהיה תלוי רק במרחק Bמהסימטריה . נבחר לולאה שמרכזה בתיל

.ונו יהיה משיקיולכן כיו

enA

i

en

jvd ⋅⋅

=⋅

=BenA

iBv

d

VE d

HH ⋅

⋅⋅=⋅==

eVA

Bdin

H ⋅⋅⋅⋅

=⇒

∑∫ ⋅=∂⋅ IB 0µlrr

l∂Br

irBBBB ⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ 02 µπlllrr

r

iB

⋅

⋅=⇒

πµ2

0

l∂

r


:2דוגמה

. זה מזה dשני תילים אינסופיים מוזרמים נמצאים במרחק

:פתרון

.כפי שראינו בדוגמה הקודמת כל תיל מייצר

מאחר שהשדה שכל אחד מהם מייצר מגיע גם לאזור בו נמצא התיל

.כוח בכיוון התיל הראשון השני יפעל עליו

:מאחר והתיל אינסופי נחשב כוח ליחידת אורך

נשים לב שאם כיווני . על שני התילים יפעל אותו כוח רק בכיוון הפוך ושניהם ימשכו אחד את השני

.הם היו דוחים אחד את השני דומיםהזרמים היו

:3דוגמה

מהו , רם זרם אחידזו bוחיצוני aבצינור אינסופי עם רדיוס פנימי

?השדה המגנטי שהוא יוצר בכל נקודה בעולם

:פתרון

.סביב הגליל ונפעיל עליה את חוק אמפר rנבנה טבעת אמפירית עם רדיוס

:מצבים 3- נחלק את הבעיה ל

ar <:

:לא עובר זרם לכן בחלק הפנימי של הצינור

bra <<:

r

iB

⋅

⋅=

πµ2

0r

r

iiBiF

⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=

πµ2

10

222 ll

1i

2i

1F 2F

r

ii

F

⋅

⋅⋅=

πµ2

10

2

2

l

×

×

×

×

×

×

×

×

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

ba

0000 =⇒⋅=⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ BiBBB µµlllrr

ba

r

ba

r

⋅

⋅−⋅⋅−⋅

=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ iab

arrBBBB

22

22

02ππππ

µπlllrr

( )

−⋅⋅−

⋅⋅=⇒22

22

02 abr

ariB

πµ

בהכפלת הזרם ביחס בין השטחים

מקבלים את הזרם דרך השטח עד

.rלרדיוס


br >:

!כפי שניתן לראות קיבלנו את הנוסחה של תיל אינסופי

?a→0מה יקרה אם -

brלעומת זאת השדה בפנים , במקרה זה השדה בחוץ לא ישתנה יהיה >

:וההתנהגות של השדה המגנטי תהיה

:אינסופיסליל

.נרצה לחשב את השדה המגנטי שיוצר סליל אינסופי

אם משתמשים בכלל יד ימין לכל לולאה אפשר , rתלוי רק ב Bמאחר ויש פה סימטריה גלילית לכן

. לראות שבמקרה שלנו הוא יהיה בכיוון החיובי של ציר הסימטריה

מהציר והחצי rבמרחק הסלילכדי לחשב מהו השדה נבנה טבעת מלבנית שחצי ממנה נמצא בתוך

.השני מחוץ לסליל ונשתמש בחוק אמפר

irBBBB ⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ 02 µπlllrr

r

iB

⋅

⋅=⇒

πµ2

0

ba

r

( ) 2

0

022

22

022 b

riB

abr

ariB

a ⋅

⋅⋅= →

−⋅⋅−

⋅⋅=→ π

µπ

µ

b

i

⋅

⋅

πµ2

0

B

r

r

r

1

b

i

zA B

D C


∫⋅∂=0נוכיח בהמשך שהשדה מחוץ לסליל הוא אפס לכן D

C

B lrr

:נפעיל את חוק אמפר,

:לסיכום

:השדה בתוך סליל

:שכבות Nהשדה בתוך סליל עם

:השדה הוא אפסנוכיח שמחוץ לסליל

:לסליל ונפעיל את חוק אמפררית שכולה מחוץ ינבנה טבעת אמפ

:לכן Zגם פה אם יש שדה הוא יהיה לאורך ציר

כלומר B∞=0אם נלך לאינסוף אז חייב להתקיים , כלומר קיבלנו שהשדה בחוץ לא תלוי במרחק

.rB=0בכל נקודה אחרת מחוץ לסליל

:טורואיד

.נחשב את השדה המגנטי שטורואיד יוצר, אם נסובב את הסליל ונסגור אותו נקבל טורואיד

.מאותם שיקולי סימטריה של סליל השדה המגנטי מחוץ לטורואיד הוא אפס -

גם בתוך הטורואיד השדה המגנטי הוא אפס כי אם נבנה טבעת אמפירית שם -

ולכן השדהעובר דרכה ולכן צד ימין של משוואת חוק אמפר יתאפס שום זרם לא

.הוא אפס

( )inBBBBBBB

B

A

A

D

D

C

C

B

B

A

⋅⋅⋅=⋅=∂⋅=∂⋅+∂⋅+∂⋅+∂⋅=∂⋅ ∫∫∫∫∫∫ lllrr

lrr

lrr

lrr

lrr

lrr

0µ

מספר הכריכות ליחידת אורך

מתאפסים כי השדה בהם

lניצב ל r

∂

inB ⋅⋅= 0µ

inB ⋅⋅⋅= 0µ

z

A B

D C

1Br

2Br

∫∫∫∫∫ ∂⋅+∂⋅+∂⋅+∂⋅=∂⋅A

D

D

C

C

B

B

A

BBBBB lrr

lrr

lrr

lrr

lrr

0 0( ) 002121 ⋅=⋅−=⋅−⋅= µlll BBBB

21 BB =⇒


:נחשב אותו, בין הסלילים של הטורואיד כן יש שדה -

' מס Nמהמרכז ואז אם rנבנה טבעת אמפירית במרחק

:הכריכות של הטורואיד

:סבר-חוק ביו

.מהתיל ∂lטע כלשהו נבחר ק. iנסתכל על תיל שדרכו זורם זרם

rנצייר וקטור r

.וראשו בנקודה כלשהי במרחב ∂lשזנבו באמצע הקטע

:השדה המגנטי שיוצר חלק זה של התיל בנקודה הזאת הוא

!וקטור יחידהבמשוואה הוא rלשים לב ש : חשוב

:1 דוגמה

?ממנו Rמהו השדה המגנטי במרחק , iבתיל אינסופי זורם זרם

:פתרון

irBBBB ⋅⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ 02 µπlllrr

r

iB

⋅

⋅⋅=⇒

πµ2

0

2

0ˆ

4 r

riB

×∂⋅

⋅=∂

lr

r

πµ

il∂

rr

i

rr

R

x

l∂

θπ −

θ2

0

2

0 sin1

4

ˆ

4 r

i

r

riB

θπ

µπ

µ ⋅⋅∂⋅

⋅=

×∂⋅

⋅=∂

llr

r

x

3

0

2

0

44 r

Ri

r

r

R

iB

⋅∂⋅

⋅=

⋅∂⋅

⋅=∂

ll

r

πµ

πµ

r

R=−= )sin(sin θπθ


!ואכן קיבלנו את אותה התוצאה שמצאנו מקודם לפי חוק אמפר -

:2דוגמה

.שלה ציר הסימטריהנקודה על נחשב את השדה המגנטי שמייצרת טבעת מוזרמת על

יוצרים מעגל כלומר יש ביניהם סימטריה כך שכל ∂lהתרומות לשדה של כל אחד מהקטעים

:נחשב אותו. xהרכיבים האנכיים מתבטלים והשדה הכללי יהיה בכיוון

:בלבד xנבצע אינטגרציה על החלקים בציר

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∂⋅+

⋅⋅

=∂⋅⋅⋅

=∂= l

l

lr

322

0

3

0

44 R

Ri

r

RiBB

πµ

πµ

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∂⋅

+

⋅⋅⋅

=∂⋅

+⋅

⋅⋅⋅

= l

l

l

l3

2

2

0

3

2

232

0

1

1

41

1

4

R

R

i

RR

RiB

πµ

πµ

R

i

R

i

R

R

iB

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

+

⋅⋅⋅

=

∞

∞−

πµ

πµ

πµ

22

41

4

00

2

2

0

l

l

x

R

ϕx x

rr

x

Br

∂

lr

∂ ⋅ ⋅

×

2

0

2

0 1

4

ˆ

4 r

i

r

riB

⋅∂⋅

⋅=

×∂⋅

⋅=∂

llr

r

πµ

πµ

r

R

r

i

r

iBx ⋅

∂⋅

⋅=⋅

∂⋅

⋅=∂

2

0

2

0

4sin

4

ll

πµ

ϕπ

µ

Rr

Ri

r

RiBB

R

xx ⋅⋅⋅⋅⋅

=∂⋅⋅⋅

=∂= ∫∫ ππ

µπ

µπ

244 3

0

2

0

3

0l


:קיבלנו

):הוא מומנט דיפול חשמלי µכאשר (מקבלים x→∞אם

:3דוגמה

.ליחידת שטח טבעות nנחשב את השדה המגנטי בנקודה על ציר הסימטריה של סליל בעל

כידוע סליל זה אוסף של טבעות צמודות לכן נוכל -

.להשתמש בתוצאה של הדוגמה הקודמת

:לשדה הכללי היא ∂zהתרומה של כל

:ואז נקבל L→∞במקרה של סליל אינסופי

!וזוהי בדיוק התוצאה שקיבלנו עבור סליל אינסופי

( ) 23

22

2

0

3

2

0

22 xR

Ri

r

RiBx

+⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=µµ

( )3

0

3

2

0

3

2

0

3

2

0

2222 xx

Ri

x

Ri

x

RiB

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

→π

µµππµ

ππµµ

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

⋅

×

z∂

L

a2

( )zn

za

aiBz ∂⋅⋅

+⋅

⋅⋅=∂

23

22

2

0

2

µ

( ) ( ) 22

02

2

23

22

2

0

22 La

Lni

za

znaiBB

L

L

zz

+

⋅⋅⋅=

+

∂⋅

⋅⋅⋅=∂= ∫∫

−

µµ

niL

LniB

L⋅⋅=⋅⋅⋅ →

∞→ 02

0 µµ


:אפס בדרך אחרתנוכיח שוב שהשדה המגנטי מחוץ לסליל הוא -

נבנה לולאה שחצי ממה בתוך הסליל והחצי השני מחוצה לו כך

.שהחלק הפנימי שלה נמצא על ציר הסימטריה

:נפעיל את חוק אמפר

:נוכיח שבכל נקודה בתוך הסליל יש את אותו השדה -

נבנה לולאה שכולה נמצאת בתוך הסליל ונפעיל עליה

:ה זרם לכןהלולאה לא מכיל, את חוק אמפר

:ביניים סיכום

A B

D C

( )llllrr

⋅⋅⋅=⋅=+⋅++⋅⋅⋅=∂⋅∫ niiBniB Out 000 00 µµµ

0=⇒ OutB

( ) 0000 2100 =+−⋅++⋅=∂⋅⇒⋅=⋅=∂⋅ ∫∫ lllrr

lrr

BBBiB µµ

21 BB =⇒

q , i

E B

סבר-ביו/ אמפר חוק גאוס/ חוק קולון

נראה בהמשך


:שדות משתנים בזמן

.תנועת מגנט בתוך טבעת סגורה גורמת לזרימת זרם מושרה בתוכה

מ מושרה"ניתן להגיד שהשינוי היחסי בין המגנט לטבעת גרם לכא

.שגרם לזרם מושרה בטבעת

:חוק פאראדי

.מ מושרה וזרם בלולאה"שבו נמצאת לולאה סגורה גורם לכאשינוי של השטף המגנטי באזור

דרך השטף של השדה המגנטי BΦ -מספר הליפופים ו N, הוא הזרם המושרה בלולאה εכאשר

∫הלולאה ∂⋅=Φ aBB

rr.

:יחידות

=0טי אז נשים לב שכאשר אין שינוי בשטף המגנ∂

Φ∂

t

B מ מושרה"ואין כא.

כלומר אם יש שינוי בשטף המגנטי , פה יש מערכת של פידבק שלילי ולכן יש מינוס בנוסחה -

הזרם הזה ייצר שדה מגנטי שינסה , מ מושרה שיוביל לזרימת זרם בלולאה"הוא יגרום לכא

. י שלוכלומר ינסה לחזור למצב ההתחלת, לבטל את הגורם שיצר אותו

:דוגמה

אם נקרב מגנט ללולאה השטף המגנטי בתוכה יגדל ולכן יזרום

לפי כלל יד ימין זרם זה ייצר שדה. זרם דרכה בכיוון המסומן בציור

.שדה שיצר אותושינוי במגנטי שמאלה שינסה להקטין את ה

)לוהשדה גדל והזרם ינסה להקטין אותו ולהחזירו לערך המקורי ש: כלומר(

t B

∂Φ∂

⋅−=ε

WebermTeslaABB =⋅=⋅=Φ 2][][][

VoltmEm

mEmB

t

B =⋅=⋅

⋅=

⋅=

Φ= ][

secsec

][

sec

][

][

][][

22

ε

=⇒=⇒=⇒=

sec

][][

][

][

sec][

][][

m

EB

B

EmB

Ev

B

Ev

i


כעת נסתכל על אזור במרחב עם שדה מגנטי אחיד פנימה

לולאה העשויה מחומר מוליך נמצאת ) כמו בציור משמאל(

.בחלקה בשדה המגנטי ונעה החוצה במהירות קבועה

השטח שנמצא בתוך אזור השדה המגנטי קטן עם הזמן ולכן

הזרם יזרום בצורהבמקרה הזה . השטף של השדה המגנטי קטן

כזאת שהשדה שהוא יוצר הוא בכיוון השדה המקורי כי השטף קטן

.)להגדיל אותו( עם הזמן והזרם ינסה להחזיר אותו לערך ההתחלתי

:השטף יהיה

:ולכן

:והזרם יהיה

.ותעליה כוח ועכשיו קיבלנו מצב של לולאה מוזרמת שנעה בתוך שדה מגנטי לכן יפעל

32 -נשים לב ש FFrr

.לכן הם מבטלים אחד את השני =−

כדי שהמהירות תישאר קבועה עם הזמן צריך להפעיל על הטבעת

.כוח ימינה שיבטל את הכוח השמאלי וימנע היווצרות תאוצה

:נחשב למה שווה הכוח הזה

?למה שווה ההספק של כוח זה

שמייצר זרם שגורם לחום ) אנרגיה חשמלית(מ מושרה בטבעת "ת לכאהאנרגיה הזאת של הכוח גורמ

:נראה שההספק של ההתנגדות שווה בדיוק לאנרגיה זו, בגלל ההתנגדות של הלולאה

× × ×× × ×× × ×× × ×× × ×× × ×

vl

x

xBaBaBaBB ⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅=Φ ∫∫∫ lrr

( ) vBxBtt

B ⋅⋅=⋅⋅∂∂

=∂Φ∂

= llε

R

vB

Ri

⋅⋅==

lε

× ××

× ×

2Fr

3Fr

1Fr

i

v

R

vB

R

vBBiBFF

⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅==

22

1

ll

ll

R

vBvFvFPF

222

1

⋅⋅=⋅=⋅=

l

FR PR

vBR

R

vBRiP =

⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅=

2222

2 ll


:1 דוגמה

.vקבועה לולאה מתרחקת מהתיל במהירות , iבתיל אינסופי זורם זרם

במקרה זה השדה המגנטי הולך וקטן ככל שמתרחקים

מהתיל לכן השטף בלולאה הולך וקטן ולכן הזרם

שנוצר ינסה להקטין את השינוי בשטף כלומר ינסה

להגדיל את השטף של השדה החשמלי וזה קורה רק

.אם הזרם יזרום בכיוון השעון

ככל שמתרחקים מהתיל השדה המגנטי נהיה יותר חלש

.המושרה ולזרם לקטון מ"לכן גם השטף שלו יקטן מה שיגרום לכא

:כעת נסתכל על הבעיה בצורה אחרת

,הפעם יש לנו מסילה מוליכה עם נגד ומוט מוליך שנע לאורכה

נשים לב שלמרות שהשטף הולך וגדל השינוי בשטף גם כאן

הולך וקטן כי ככל שמתרחקים מהתיל יש פחות

.לכן הזרם ילך ויקטן עם הזמן, קווי שדה

עם זאת הכיוון של הזרם במקרה הזה הוא

נגד כיוון השעון וזאת בגלל שהשטף של השדה

הולך וגדל עם הזמן כי כל הזמן נוסף שטח וכיוון

הזרם הפעם יהיה כך שינסה להקטין את השטף

.כלומר הוא יגרום לשדה מגנטי בכיוון הפוך לשדה המקורי

: ופי הואכפי שראינו השדה החשמלי של תיל אינסr

iB

⋅

⋅=

πµ2

:נחשב את השטף שלו, 0

v× ×× ×× ×

××

×

×

×

×× ××

l

x

a

×××

××

×

×

×

×× ××

x

a

R

i

i

v

'xl

'x∂

∫∫ ∂⋅=∂⋅=Φ aBaBB

rr

( )∫ ∂⋅⋅

⋅⋅

=x

a

xx

i'

'2

0 lπµ


v× ×× ×× ×

l

:מ המושרה יהיה"לכן הכא

:ומכאן הזרם בטבעת יהיה

:הערה

. בין הקצוות שלומ מושרה "כאשר תיל מוליך חותך קווי שדה שניצבים לו נוצר כא

) בשדה מגנטי של הלולאה הנעה(אם נסתכל שוב על הדוגמה הקודמת

vBראינו ש ⋅⋅= lε ,מ זה יפעל בין הקצוות של החלק השמאלי של "כא

.B -ו Aה כלומר בין הנקודות הלולא

בין הקצוות שלו יהיה ABשל הקטע ∂lכמו כן אם נסתכל על אלמנט קטן

∂=⋅⋅∂lהפרש פוטנציאלים של vBε.

:2דוגמה

?O -ו Aמה יהיה הפרש הפוטנציאלים בין . Bבשדה מגנטי ωמסובבים מוט מוליך במהירות זוויתית

: בכל קטע של המוט יתקייםראינו ש

:לכן

( )

⋅⋅⋅

=∂

⋅⋅⋅

=∂⋅⋅

⋅⋅

=Φ ∫∫ a

xi

x

xix

x

ix

a

x

a

B ln2'

'

2'

'2

000

πµ

πµ

πµ ll

l

( ) ( )( )

⋅⋅⋅⋅

−=

−⋅⋅⋅

∂∂

−=∂Φ∂

−= vx

iax

i

tt

B 1

2lnln

2

00

πµ

πµ

εll

( )t

x

x

x

∂∂

⋅∂

∂ ln

xR

vi

R

vx

i

RtiLoop

1

2

1

2)( 0

0

⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

−==⇒π

µπµ

ε l

l

A

B

θL

×

××

× ×

×

× ×

×

l

l∂

ω

O

A

l∂⋅⋅=∂ vBε

( )∫∫∫ ∂⋅⋅⋅=∂⋅⋅=∂=LL

BvB00

lll ωεε

( ) 2

0

2

02

1

2LBBB

LL

⋅⋅=

⋅⋅=∂⋅⋅⋅= ∫ ωωωl

ll


:מ לפי השינוי בשטף החשמלי"י חישוב הכא"נראה שזה נכון ע

:ראטורגנ/ מודל של דינמו

כל קצה של , גנראטור חשמלי מורכב מלולאה שנמצאת בשדה מגנטי קבוע ומסתובבת סביב צירה

הלולאה מחובר לטבעת כך שאם מחברים את שתי הטבעות הלולאה נסגרת ומתקבל זרם כתוצאה

.מ המושרה"מהכא

:נחשב את הזרם המושרה שיזרום בנגד

:כלומר התנהגות הזרם תהיה

θπθ

π ⋅⋅=

⋅⋅⋅=∂⋅=∂⋅=Φ ∫∫ 22

2

1

2ll

rrBBaBaBB

ωθε ⋅⋅−=

⋅⋅∂∂

−=∂Φ∂

−= 22

2

1

2

1ll BB

tt

B

×

××

× ×

×

×

×

×ω

Ra

b

( )tbaBaBB ⋅⋅⋅⋅=∂⋅=Φ ∫ ωcosrr

( )( ) ( )tbaBtbaBtt

B ⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅∂∂

−=∂Φ∂

−= ωωωε sincos

( )tR

baB

Ri ⋅⋅

⋅⋅⋅−== ω

ωεsin

i

t


ל יכולנו לקבע את הלולאה ולשנות את השדה המגנטי בזמן ואז גם היינו מקבלים "כמובן שבמקרה הנ

.זרם בנגד כתוצאה מהשינוי בשטף של השדה המגנטי דרך הלולאה

:כעת נוכל לסכם

<0כלומר גדל עם הזמןמכיל שדה מגנטי אחיד אבל כעת נניח שיש אזור במרחב ש∂

∂

t

Bובתוכו

.Rלולאה ברדיוס תמונח

- ש נקבללפי חוק פראדיי t

B

∂

Φ∂−=ε כלומר בגלל השינוי בשטף

.מ מושרה מה שאומר שנוצר שדה חשמלי"המגנטי נוצר כא של השדה

.מלי יכול להיות או רדיאלי או משיקיבגלל הסימטריה השדה החש

נניח שהשדה החשמלי , נניח בתוך הגליל מעטפת גלילית סגורה

המעטפתהשדה החשמלי דרך לפי חוק גאוס השטף של, היה רדיאלי

אין מטען המעטפת הזאתשונה מאפס אבל אנו יודעים שבתוך הגלילית

טף של השדה החשמלי דרך המעטפת לכן השדה החשמלי הנוצר חייב להיות משיקי כי אז הש

.הגלילית יהיה אפס מה שמסתדר עם זה שאין מטענים בתוכו

q , i

E B

סבר-ביו/ אמפר חוק וסגא/ חוק קולון

חוק פראדיי

×

××

× ×

×

×

×

×r

R

E


:נחשב את השדה החשמלי

: אם נסתכל על הלולאה הקטנה אז

:מ המושרה יהיה"ולכן הכא

:אבל אנו יודעים כי

:נשווה בין שני הגדלים ונקבל

.ככל שמתרחקים בכיוון הרדיאלי גדלו השדה החשמלי שנוצר הולך כפי שניתן לראות

Rrנחשב את השדה החשמלי כאשר >:

:התנהגות השדה החשמלי תהיה

:נשים לב שאם נבחר שתי נקודות במרחב ונסתכל על הפרש הפוטנציאלים ביניהם אז

דה משמר כאשר ראינו כבר ששדה חשמלי שנוצר ממטענים סטטיים הוא ש

!אינו שדה משמרשדה חשמלי שנוצר כתוצאה משינוי בזמן של שדה מגנטי

.לכן אין טעם לדבר על הפרש פוטנציאלים בשדה כזה

2rBaBaBaBB ⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅=Φ ∫∫∫ πrr

t

Br

t

B

∂∂

⋅⋅−=∂Φ∂

−= 2πε

rEEEE ⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅= ∫∫∫ πε 2lllrr

t

BrErE

t

Br

∂∂

⋅⋅=⇒⋅⋅=∂∂

⋅⋅2

122 ππ

2RBB ⋅⋅=Φ π rEt

BR

t

B ⋅⋅=∂∂

⋅⋅=∂Φ∂

−= ππε 22

t

B

r

RE

∂∂

⋅⋅

=⇒2

2

t

BR

∂

∂⋅

2

E

r

r

r

1

R

∫ ∂⋅−=−B

A

BA EVV l

0=∂⋅∫ lE


גם ואזעם הזמן גם ישתנה השדה המגנטי שבתוכו הזרם דרכו עם הזמן אז אם ניקח סליל ונשנה את

לולאות של הסליל שיהיה הפוך בכיוונו לכיוון ב השטף של השדה המגנטי ישתנה ויגרום לזרם מושרה

.הזרם הנכנס אליו

:ננסח את חוק פראדיי כך שיתאים לסליל

: ראינו כבר שלפי חור פראדייt

B

∂

Φ∂⋅−=ε , מנוסחה זו מאחר והשדה המגנטי פרופורציונאלי

.מ המושרה יהיה פרופורציונאלי לזרם"לזרם אז גם הכא

: י הנוסחה"ע Lראות הטבעי של הסליל נגדיר את מקדם ההש

:ואז

: קיבלנו שני חוקים אקוויבלנטים

:יחידות

. יותר גדול הוא מעכב יותר את השינוי בזרם שעובר דרך הסליל L -ככל ש, : Lנסתכל על

ם ולכן הוא ייצר זרם בכיוון מ המושרה יהיה בכיוון הפוך לכיוון של השינוי בזר"כפי שניתן לראות הכא

.ההפוך

:דוגמה

.אורך' ליפופים ליח n-וlנרצה לחשב את מקדם ההשראות העצמית של סליל באורך

inBראינו כבר שהשדה בתוך הסליל הוא ⋅⋅= 0µ אם (לכןA הוא שטח החתך של לולאות הסליל: (

)משהו עם יחידות אורך: ( של סליל יהיה מהצורהתמיד מקדם ההשראות

iL B ⋅=Φ⋅

( ) ( )t

iL

t

iL

t

t BB

∂∂

⋅−=∂⋅∂

−=∂Φ⋅∂

−=∂Φ∂

⋅−=ε

t

iL

t B

∂∂

⋅−=⇔∂Φ∂

⋅−= εε

HenryAmp

SecVolt

i

tL =

⋅=

⋅=

][

][][][

ε

∂∂

=

t

iL

ε

ABaBaBaBB ⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅=Φ ∫∫∫rr

( ) ( ) iLiAnAinnABn B ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ⋅ lll2

00 µµ

l⋅⋅⋅=⇒ AnL 2

0µ

⋅= 0µL


:דוגמה

?Lמהו מקדם ההשראות העצמית שלו , נתון טורואיד עם חתך מלבני

:פתרון

braלפי חוק גאוס עבור <<:

כלשהו שונה rניתן לראות שהשטף של השדה המגנטי במרחק

וא את השטף דרך כללכן כדי למצ. מהשטף בנקודה במרחק אחר

:חתך מלבני של הטורואיד נבצע את האינטגרציה הבאה

:ואז

b

a

h

iBrBBB r ⋅⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ 02 µπlllrr

r

iBr ⋅

⋅⋅=⇒

πµ2

0

( ) ∫∫∫∫ ∂⋅⋅⋅⋅⋅

=∂⋅⋅

⋅⋅⋅

=∂⋅=∂⋅=Φb

a

b

a

B rr

hirh

r

iaBaB

1

22

00

πµ

πµrr

⋅⋅⋅⋅

=Φ⇒a

bhiB ln

2

0

πµ

iLia

bh B ⋅=⋅

⋅⋅⋅

=Φ⋅ ln2

2

0

πµ

⋅⋅

⋅=⇒a

bhL ln

2

2

0 πµ


:נסתכל על המעגל הבא

זורם זרם אם הסליל לא היה שם דרך הנגד היה -

ישיר לפי הנוסחה R

iε

=.

אחרי סגירת המפסק הסליל לא ייתן לזרם לעלות ישר כי

.ה בתוכו ינסה לעכב את השינוי בזרםמ המושר"הכא

:נכתוב את חוק קירכהוף עבור הלולאה הזאת

תנאי ההתחלה שלנו יהיו R

titiε

=∞→== :ואז )0(0,)(

:ר"נציב במד

:נציב את תנאי ההתחלה

:כלומר קיבלנו

:יותר גדול הסליל מעכב את הזרם יותר זמן L -כפי שניתן לראות ככל ש

ε

0=∂∂

⋅−⋅−t

iLRiε

Li

L

R

t

iRi

t

iL

εε =⋅+

∂∂

⇒=⋅+∂∂

⋅⇒

( )τ/1)( teiti −∞ −⋅=

( )L

eiL

Re

i tt ετ

ττ =−⋅⋅+⋅ −∞

−∞ // 1

R

L

L

Ri =⇒=

−⋅∞ ττ

01

Ri

Li

L

R εε=⇒=⋅ ∞∞

( )

−⋅=

−R

Lte

Rti

/1)(

ε

i

t

1L

2L

0=L

R

ε

021 >> LL


:אנרגיה חשמלית בסליל

בסליל מוזרם אגורה אנרגיה חשמלית2

2

1iLU ⋅⋅= .

: נוסחת השינוי בהספק של המעגל כאשר ההספק שמספק המקור הופך לחום בנגד ואנרגיה בסליל

inBראינו שבסליל כלשהו השדה המגנטי הוא ⋅⋅= 0µ וההשראות היאl⋅⋅⋅= AnL2

0µ .

) :נפתח את משוואת האנרגיה בסליל לפי נתונים אלה ) 22

02

1iAnU ⋅⋅⋅⋅⋅= lµ.

:צפיפות האנרגיה ליחידת נפח תהיה

( )( ) 2

0

2

0

0

22

0

2

11

2

12

1

BinA

iAn

נפח

UuB ⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅==

µµ

µ

µ

l

l

:בשיטה אחרת Lנשים לב שעכשיו ניתן למצוא את

בה לחישוב ל ומשתמשים "וממנו מחשבים את צפיפות האנרגיה לפי הנוסחה הנ Bמוצאים את

האנרגיה הכללית ואז משווים את התוצאה ל 2

2

1iLU .Lומחלצים את =⋅⋅

:דוגמה

.נסתכל על חתך של כבל שסביבו יש צינור כאשר שניהם מוזרמים באותו זרם רק בכיוונים הפוכים

:נבחר לולאה אמפירית עם רדיוס ואז

⋅⋅∂∂

+⋅=⋅ 22

2

1iL

tRiiε

×a

b

××× ×

××

×× ×

⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

arb >>

∑∫∫ ⋅=∂⋅=∂⋅ iBB 0µllrr

r

iBirB

⋅

⋅=⇒⋅=⋅⋅

πµ

µπ2

2 00

2

0

0

2

0 22

1

2

1

⋅⋅

⋅=⋅=r

iBuB π

µµµ

( )∫∫ ∂⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅=∂⋅=

b

a

BB rrr

iVuU lπ

πµ

µ2

22

12

0

0

π

µ

π

µ

πµ

2

)ln(

2

)ln(

2

1

4

02

02

0

ll

l

⋅⋅=⇒⋅

⋅⋅=

∂⋅

⋅= ∫ a

b

Lia

b

r

riU

b

a

B


:כעת נמצא את ההשראות של המערכת בשיטה הראשונה

ראינו ש r

iB

⋅⋅

=πµ2

: ולכן 0

.כפי שניתן לראות בשני המקרים קיבלנו את אותה התוצאה

:מעגלי תהודה

מ מושרה שהולך וגדל "כתוצאה מהזרם בסליל נוצר כא. ומחברים אותו לסליל Qטוענים קבל במטען

.כיוון ההפוך לכיוון הזרםב

:נסתכל על האנרגיה הכללית של המערכת

האנרגיה של המערכת מתחלפת בין חשמלית למגנטית אבל האנרגיה

:לכן) מחוק שימור האנרגיה(הכללית לא משתנה

:ל בצורה"נוכל לכתוב את המשוואה הנ

)cos(: שפתרונה הוא 0max ϕ+⋅⋅= twQq כאשרLC

w1

0 =.

!זוהי המשוואה של אוסילטור הרמוני

:נמצא את משוואת הזרם כתלות בזמן

לפי הנוסחה שפיתחנו ניתן לראות שאם המטען שנמצא בקבל מינימאלי הזרם בסליל יהיה מקסימאלי

הדבר הזה קורה בגלל שהזרם הוא . וכאשר המטען בקבל מקסימאלי הזרם בסליל יהיה מינימאלי

. tסינוס והמטען הוא פונקציה של קוסינוס ולשניהם יש את אותה פאזה ואותו מקדם של פונקציה של

∫∫∫ ∂⋅⋅⋅

⋅=∂⋅=∂⋅=Φ r

r

iaBaBB l

rr

πµ2

0

π

µ

πµ

2

)ln(

ln2

00

ll

⋅⋅=⇒⋅=

⋅⋅⋅

=Φ a

b

LiLa

biB

Lεi

Q+

Q−

22

2

1

2

1iLQ

CUUU BE ⋅⋅+⋅

⋅=+=

t

iiLQ

Ct

U

∂∂

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=∂∂

= 22

12

2

10

01

2

2

=⋅⋅

+∂∂

qCLt

q

)sin()sin()( 0max0max0 ϕϕ +⋅⋅−=+⋅⋅⋅−=∂∂

= twItwQwt

qti

)(cos2

1

2

10

2max

22 ϕ+⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

= twQC

qC

U E

)(sin2

1

2

10

2max

22 ϕ+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= twILiLU B

( ) )(sin2

1)(cos

2

10

22

max00

2max

2 ϕϕ +⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

=+= twQwLtwQC

UUU BE

BiShOo 2009 ©

:נראה זאת בגרף הבא

2

1 2⋅⋅

=+= QC

UUU BE

⋅⋅

=+=2

1max

2QC

UUU BE

( 2max

2 cos2

1Q

CU ⋅⋅

⋅=⇒

U

BU

EU

© BiShOo 2009 -חשמל ומגנטיות – 2פיסיקה

נראה זאת בגרף הבא. זוהי משוואת האנרכיה במקרה זה וכפי שניתן לראות היא קבועה

:מעגל תהודה מרוסן

יבוד של אנרגיה שמתבזבזת אם נוסיף למעגל הקודם נגד אזי יהיה א

≠0ואז ניתן להגיד ש . כהספק דרך הנגד∂

∂

t

U.

מאחר והאנרגיה קטנה בזמן אזי קצב השינוי באנרגיה לפי הזמן

t

U

∂

∂ .

.ר שתתאר את המערכת"ל ניתן להגיע למד"משתי המשוואות הנ

( sin)(cos2

00

2max

2 ϕ ⋅⋅⋅++⋅⋅ wCLtw

⋅⋅++⋅⋅

1)(cos

2

0

2max ϕ

LCCLtw

)0

2

0

2 )(sin)( Utwtw =⇒+⋅++⋅ ϕϕ

22

2

1

2

1iLQ

CUUU BE ⋅⋅+⋅

⋅=+=

75

זוהי משוואת האנרכיה במקרה זה וכפי שניתן לראות היא קבועה -

מעגל תהודה מרוסן

אם נוסיף למעגל הקודם נגד אזי יהיה א

כהספק דרך הנגד

מאחר והאנרגיה קטנה בזמן אזי קצב השינוי באנרגיה לפי הזמן

Ri: יהיה ⋅−= 2

כמו כן ראינו ש

משתי המשוואות הנ

))(sin 0

2 ϕ+⋅ tw

+⋅⋅ )(sin 0

2 ϕtw

max2

2

1Q

C⋅

⋅=

t

BE UUU +=

2


:מצבים של מעגל תהודה מרוסן ישנם שלושה -

כאשר קריטי-ריסון תת .1L

Rw

20 > :

כאשר ריסון קריטי .2L

Rw

20 = :

כאשר ריסון קריטי .3L

Rw

20 = :

:אילוץ במעגלי תהודה

ה אם תדירות האילוץ תהיה שוו. ימ סינוס"י כא"ל אילוץ ע"נוסיף למעגל הנ

.)רזוננס(תהודה נקבל מצב של ) 0ω(לתדירות העצמית של המעגל

cos(0(כלומר אם משוואת האילוץ היא למשל tw ⋅⋅= εε אזי המצב

ωωשל תהודה במערכת יתקיים כאשר =0.


משוואות מקסוול

:משוואות מקסוול האינטגראליות

:)בתוספת שנלמד בהמשך( ם סיכום קצר של המשוואות שלמדנו עד כהנרשו

:חוק גאוס

:חוק פאראדי

:חוק אמפר

:נמצא שני הבדלים בולטים בין השדה החשמלי לשדה המגנטי 4 -ו 3, 1אם נסתכל על המשוואות

.אחת עם אינטגרל קווי והשנייה עם אינטגרל משטחי: משוואות 2לשדה החשמלי ישנם -

כלומר לשדה חשמלי יש מקורות . מטען במרחב מייצר שדה חשמלי וזרם מייצר שדה מגנטי -

.סטטיים ולעומתו לשדה מגנטי אין מקורות סטטיים

נוכל להסביר . זהו מקור תיאורטי ואין דבר כזה במציאות, כמקור סטטי של שדה מגנטי מונופול נגדיר

נשים לב שזה לא , ת של מונופולים בקצוות שלוי הצטברו"את השדה המגנטי שנוצר מסביב למגנט ע

, בטבע לא מוכרת אף תופעה שבה מטען נייח כלשהו יוצר שדה מגנטי. נכון כי אין דבר כזה במציאות

.יצירת שדה מגנטי מותנית בזרימה של מטענים

ה אז אם היינו שמים את המונופולים בשד, נניח שתיאוריית המונופולים המגנטיים כן הייתה נכונה

מגנטי יפעל עליהם כוח בכיוון השדה אבל מכלל יד ימין אנו יודעים ששדה מגנטי פועל בכיוון ניצב

!לקווי השדה כלומר תיאוריית המונופולים לא נכונה

?אז איך מגנט יוצר שדה מגנטי

גם בחומר לא . במגנט ישנם טבעות זרימה של אלקטרונים והן אלה שיוצרות את הקטבים המגנטיים

וגנט יש טבעות זרימה של אלקטרונים אבל במקרה זה הן לא מסודרות וקווי השדה המגנטי ממ

במגנט טבעות הזרימה מסודרות כמו בסליל ולכן הן . מפוזרים לכל הצדדים ולכן אין שדה מגנטי

.יוצרות דיפול מגנטי

:דיפול מגנטי

.דיפול מגנטי הוא המקביל במגנטיות של הדיפול החשמלי

.יוון שלו מתקבל לפי יד ימין כתלות בכיוון הזרימה של טבעות הזרימההכ

כי הוא מורכב מטבעות (נשים לב שתופעה זו קיימת גם בסליל סופי

).מוזרמות


0)1 ε

0)2 =∂⋅∫ aBrr

( )∑∫ +⋅=⋅=∂⋅ diiiB 00)4 µµlrr

tE B

∂Φ∂

−=∂⋅∫ lrr

)3

µr

i


ניתן לראות שחסרה לנו משוואה אחת שמטפלת בקשר בין השדה , נסתכל שוב על משוואות מקסוול

.Eלשדה החשמלי Bהמגנטי

. תיארנו את השדה החשמלי הזה באמצעות חוק גאוס, טטיים יוצרים שדה חשמליראינו שמקורות ס

לעומת זאת אנו יודעים , בקו ישר מהמקור) או פנימה(ראינו שקווי השדה החשמלי יוצאים החוצה

. שקווי השדה המגנטי יוצרים מסלול סגור כלשהו ושאין מקורות סטטיים שיוצרים אותו

∫⋅∂=0עות חוק גאוס באמצ Bנתאר את השדה המגנטי aBrr

כלומר השטף של שדה מגנטי ,

כ המקורות "ביצענו את ההשוואה לאפס במקרה זה כי סה. דרך משטח סגור כלשהו שווה לאפס

.הסטטיים בפנים הם אפס כי אין לשדה המגנטי מקור סטטי

הפוכה כלומר שינוי בטבע קיימת גם תופעה, ראינו ששינוי בשטף השדה המגנטי יוצר שדה חשמלי

נרצה לשנות את משוואות מקסוול כך שיוכלו לתאר לנו את . בשדה החשמלי יוצר שדה מגנטי

.התופעה הזאת

iB) חוק אמפר(ניקח את המשוואה הרביעית ⋅=∂⋅∫ 0µlrr

נוסיף איבר חדש . וננסה לשפר אותה

שתנה איבר זה מתאפס שתלוי בשטף של השדה החשמלי כך שכל עוד השדה החשמלי לא מ

: כלומר, והמשוואה הזאת נשארת נכונהt

iB E

∂Φ∂

⋅⋅+⋅=∂⋅∫ 000 εµµlrr

נשים לב ,

.)אמפר(שמבחינת יחידות אין בעיה בתוספת הזאת כי היחידות שלה הן יחידות של זרם

: זרם ההעתקהנסמן גודל חדש שנקרא t

i E

d ∂

Φ∂⋅= 0ε.

:דוגמה

כתוצאה . iזורם זרם קבוע Rשלוחותיו הם חלק מכדור בעל רדיוס דרך קבל לוחות אינסופי טעון

מהגדילה של כמות המטען השדה החשמלי הולך וגדל ולכן ייווצר שדה מגנטי מושרה שכיוונו יהיה

.משיקי

.בשחור ואת כיוון השדה המגנטי באדום בציור מימין ניתן לראות את כיוון השדה החשמלי

++

++++

−−−−−−

× ×× × ×

×× ×× × ×

×× ××

× ××

× ××

×

×

×

×

××

R

r


:הסבר

)נסתכל על חוק אמפר )diiB +⋅=∂⋅∫ 0µlrr

ובמקרה (מאחר ואין זרם שעובר דרך הקבל ,

נוכל לכתוב ) שלנו דרך לולאה כלשהי בקבלt

iB Ed ∂

Φ∂⋅⋅=⋅=∂⋅∫ 000 εµµl

rr

ומאחר ויש

.ה מגנטישינוי בשטף של השדה החשמלי הביטוי מימין לא מתאפס כלומר נוצר שד

אם הוא היה רדיאלי צד שמאל של המשוואה , השדה המגנטי שנוצר יכול להיות או משיקי או רדיאלי

?אבל לאיזה כיוון, היה מתאפס כי המכפלה הסקלרית הייתה אפס לכן הכיוון הוא בהכרח משיקי

מינוס לכן נניח עם ) 3(זו משוואה ) 4(נשים לב שמשוואה , )4( - ו) 3(נסתכל על משוואות מקסוול

שהשדה החשמלי היה שדה מגנטי שהולך וגדל אזי היה נוצר שדה חשמלי שכיוונו לפי חוק לנץ נגד

בגלל ההבדל במינוס בין שתי המשוואות הכיוון של השדה המגנטי בבעיה שלנו יהיה , כיוון השעון

:נמצא את גודל השדה. כלומר בכיוון השעוןהכיוון ההפוך

)(2 2

000 rEt

irBBBB d ⋅⋅∂∂

⋅=⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ πεµµπlllrr

t

ErB

t

ErrB

∂∂

⋅⋅

=⇒∂∂

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅2

2 002

00

εµπεµπ

?מה יקרה בנקודה שנמצאת מחוץ לקבל אבל בין שני הלוחות: שאלה -

גם אם נרחיב את החתך החוצה יהיה שינוי בשטף של השדה החשמלי דרכו לכן גם בנקודה כזאת

יהיה שדה מגנטי מושרה

:הזה נחשב את השדה במקרה

)(2 2

000 REt

irBBBB d ⋅⋅∂∂

⋅=⋅=⋅⋅=∂⋅=∂⋅=∂⋅ ∫∫∫ πεµµπlllrr

t

E

r

RB

t

ERrB

∂∂

⋅⋅⋅

=⇒∂∂

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅2

22

002

00

εµπεµπ

++

++++

−−−−−−

× ×

×

×××

×××

R

r


:ולסיכום התנהגות השדה המגנטי המושרה תהיה

?מהו גודל זרם ההעתק -

( ) it

q

A

qA

tA

tEA

tti Ed =

∂∂

=

⋅⋅

∂∂

=

⋅

∂∂

=⋅∂∂

=∂

Φ∂=

0

0

0

000 εε

εσ

εεε

)נשים לב שהגודל )dii !תמיד רציף +

i+0 0+id i+0

:דוגמה

:המרחק בין שני לוחות הקבל מתנדנד בצורה. V0מחובר למקור מתח aקבל עם שני לוחות ברדיוס

ישתנה עם הזמן ולכן השטף שלו דרך מאחר והמתח לא משתנה והמרחק כן משתנה השדה החשמלי

.השינוי בשטף ייצור שדה מגנטי שבמחזור הראשון יגדל ובשני יקטן. חתך כלשהו גם כן ישתנה

:נשתמש בחוק אמפר

t

ER

∂

∂⋅

⋅⋅

2

00 εµ

B

r

r

r

1

R

E ( ))cos(1)( 0 tdtd ωα ⋅+=

( ))cos(1)()(

0

00

td

V

td

VtE

ωα ⋅+==

( )t

iiirBB Edd ∂

Φ∂⋅=⋅=+⋅=⋅⋅=∂⋅∫ 00002 εµµµπl

rr


אם נסתכל על המשוואה שקיבלנו רואים שהסינוס במונה יהיה חיובי בחצי מהמחזור ושלילי בחצי

חיוביים אז זוהי גם ההתנהגות של השדה המגנטי וזוהי בדיוק מאחר ושאר האיברים הם, השני

!ההתנהגות שציפינו שתהיה

:נחשב את הזרם שיזרום בקבל

:נראה שזרם ההעתקה מקיים את אותה משוואה

:רוטור

:שפועל על וקטורים בצורה הבאה נגדיר גודל חדש שנקרא רוטור

:ים שנביא אותם ללא הוכחה ונשתמש בהם בהמשךלהלן שלושה קשרים מתמטי

( )t

tErrBtEr

trB

∂∂

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅∂∂

⋅=⋅⋅)(

2)(2 2

00

2

00 πεµππεµπ

⋅+∂∂

⋅⋅⋅⋅

=∂

∂⋅

⋅⋅=

)cos(1

1

2

)(

2 0

00000

ttd

Vr

t

tErB

ωαεµεµ

( )20

000

)cos(1

)sin(

2 t

t

d

VrB

ωαωωαεµ

⋅+

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅=

∂∂

⋅⋅⋅=∂∂

=⇒⋅⋅

=⋅=)(

1)(

)()()( 000

00

tdtVA

t

qtiV

td

AVtCtq ε

ε

∂∂

⋅⋅⋅=

∂∂

⋅⋅=⋅∂∂

⋅=∂

Φ∂⋅=

)(

1

)()( 00

0000

tDtVA

tD

V

tAAE

tti Ed εεεε

=×∇== uucurlurotrrrr

)()(

x y z

x∂∂

y∂∂

z∂∂

xu yu zu

( ) 0=×∇⋅∇ urrr

( ) 0=⋅∇×∇ ϕrr

( ) ( )uuurrrrrrrr

⋅∇⋅∇+⋅∇−=×∇×∇ 2


:חוק סטוקס

:י הנוסחה"ראינו שלפי חוק גאוס ניתן לעבור מאינטגרל משטחי לאינטגרל נפחי ע

אינטגרציה מסלולית של שדה לאורך השפה של הטבעת ניתנת להחלפה , עבור טבעת סגורה כלשהי

:כלומר. באינטגרציה משטחית על הרוטור של אותו שדה

:כעת ננסה לעבור מהצגה אינטגראלית להצגה מקומית של חוקי מקסוול

:נסתכל קודם על חוק גאוס

:קיבלנו את החוק הראשון בהצגה המקומית שלו

:ובאותו אופן נקבל את ההצגה המקומית של החוק השני

:נעבור למשוואה השלישית

( )∫∫∇

∂⋅⋅∇=∂⋅ aFaFs

rrrrr

( )∫∫ ∂⋅×∇=∂⋅S

aFFrrr

lrr

( ) ∫∑∫∫ ∂⋅==∂⋅⋅∇⋅=∂⋅⋅ VqVEaE in ρεεrrrr

00

( ) 000

0 =∂⋅

−⋅∇⇒=∂⋅−∂⋅⋅∇⋅ ∫∫∫ VEVVE

ερ

ρεrrrr

00

=−⋅∇⇒ερ

Err

0

)1ερ

=⋅∇ Err

0)2 =⋅∇ Brr

( ) ∫∫∫∫ ∂⋅∂∂

−=∂⋅∂∂

−=∂Φ∂

−=∂⋅×∇=∂⋅ss

B

S

at

BaB

ttaEE

rr

rrrrrlrr

טףמהגדרת הש סטוקס

( ) 0=∂⋅

∂∂

+×∇⇒ ∫S

at

BE

rr

rr


ם את ההצגה הנקודתית אזי עבור טבעת מאוד קטנה ניתן להגיד שהיא מהווה מאחר ואנחנו מחפשי

:נקודה ואז החוק השלישי בצורה הנקודתית יהיה

:נעבור למשוואה הרביעית

. זוהי המשוואה המקומית הרביעית של מקסוול

: הערה( )

t

E

A

ij

t

AE

ti d

dB

d ∂∂

⋅==⇒∂⋅∂

⋅=∂

Φ∂⋅=

rr

r

000 εεε

:1 דוגמה

נראה שהמשוואה שמתארת את . לם שימור מטען כלומר מטען לא נוצר ולא נעלםכפי שלמדנו יש בעו

.החוק הזה נובעת ממשוואות מקסוול

:נסתכל על שטח סגור כלשהו ונבדוק מהי כמות המטען שיוצאת ממנו ליחידת זמן

( ) ( )

∂⋅+∂⋅⋅=+⋅=∂⋅×∇=∂⋅ ∫∫∫∫

S

d

S

d

S

ajajiiaBBrrrrrrr

lrr

00 µµ

t

BE

∂∂

−=×∇

rrr

)3

סטוקס

( ) 0)(0 =∂⋅+⋅−×∇⇒ ∫S

d ajjBrrrrr

µ

)()4 0 djjBrrrr

+⋅=×∇ µ

t

qaj

S∂∂

−=∂⋅∫rr

כל המטען

שיוצא יחסר

בפנים לכן יש

לשים מינוס

כמות המטענים

שיוצאים ליחידת

זמן

כמות המטענים

שיחסרו בפנים

( ) ∫∫∫∫ ∂⋅∂∂

−=∂⋅∂∂

−=∂⋅⋅∇=∂⋅VVSS

Vt

Vt

Vjajρ

ρrrrr

נעבור לאינטגרל נפחי


:נראה שמשוואה זו נובעת ממקסוול

:עית ונבצע עליה דוורגנס משני הצדדיםנסתכל על המשוואה הרבי

!ואכן קיבלנו את חוק שימור המטען כפי שרצינו

:2דוגמה

.נראה שזה נובע ממשוואות מקסוול, יהיה גודל רציף i+id ראינו שתמיד מתקיים שהגודל

:עבור משטח זה יתקיים, נבחר משטח סגור כלשהו במרחב

:וואה הרביעיתנבצע דוורגנס על המש

.וקיבלנו את חוק רציפות הזרם ממשוואת מקסוול

00 =∂∂

+⋅∇⇒=∂⋅

∂∂

+⋅∇∫ tjV

tj

S

ρρ rrrr

( ) ( ) )()(0 00 dd jjjjBrrrrrrrrrr

⋅∇+⋅∇⋅=+⋅∇=×∇∇= µµ

זהות שראינו מקודם

( )0

000 ερ

εεεt

Ett

Ejj d ∂

∂⋅=⋅∇

∂∂

⋅=

∂∂

⋅⋅∇=⋅∇=⋅∇rr

rrrrrr

ל לכן ניתן "המקום והזמן הם בת

להפוך את הסדר

0=∂∂

+⋅∇⇒t

jρrr

( ) 0=∂⋅+∫ ajj d

rrr

( ) ( ) 0=∂⋅+⋅∇=∂⋅+ ∫∫V

dd Vjjajjrrrrrr

( ) 0=+⋅∇⇒ djjrrr

( ) ( ) ( )dd jjjjBrrrrrrrrr

+∇⋅=+⋅∇=×∇∇= 00 )(0 µµ

( ) 0=+⋅∇⇒ djjrrr


:סיכום משוואות מקסוול בהצגה המקומית

:כעת נבדוק מה יהיה משוואות מקסוול עבור נקודה בריק שבה אין מטענים ואין זרמים

. ואת השדה החשמלי ביחדקושרות את השדה המגנטי ) 4( - ו) 3(כפי שניתן לראות שתי המשוואות

.נרצה למצוא משוואות נפרדות לכל אחד מהם ללא קשר לשני

):3(נבצע רוטור על שני אגפי המשוואה

0

)1ερ

=⋅∇ Err

0)2 =⋅∇ Brr

t

BE

∂∂

−=×∇

rrr

)3

)()()4 000t

EjjjB d ∂

∂⋅+⋅=+⋅=×∇

rrrrrr

εµµ

0)1 =⋅∇ Err

0)2 =⋅∇ Brr

t

BE

∂∂

−=×∇

rrr

)3

t

EB

∂∂

⋅⋅=×∇

rrr

00)4 εµ

( )

∂∂

−×∇=×∇×∇t

BE

rrrrr

( ) ( )

∂∂

−×∇=⋅∇−=⋅∇⋅∇+⋅∇−=×∇×∇t

BEEEE

rrrrrrrrrrrr

22

לפי החוק הראשון

זה שווה אפס) 1(

( )2

2

0000t

E

t

E

tB

tt

B

∂∂

⋅⋅−=

∂∂

⋅⋅∂∂

−=×∇∂∂

−=

∂∂

−×∇=

rrrr

rr

εµεµ

2

2

00

2

t

EE

∂∂

⋅⋅=⋅∇

rrr

εµ


:)4( האוושמ לע הלועפה התוא תא עצבנ תעכ

!יטנגמה הדשה רובע םגו ילמשחה הדשה רובע םג האוושמה התוא תא ונלביק תוארל ןתינש יפכ

.םילגה תואוושמ תוארקנ הלא תואוושמ

( ) ( )t

EBBBB

∂∂

⋅⋅×∇=⋅∇−=⋅∇⋅∇+⋅∇−=×∇×∇

rrrrrrrrrrrr

00

22 εµ

( )

∂∂

−∂∂

⋅⋅=×∇∂∂

⋅⋅=∂∂

×∇⋅⋅=t

B

tE

tt

Er

rrr

r

000000 εµεµεµ

) 2( ינשהלפי החוק

זה שווה אפס

2

2

00

2

t

BB

∂∂

⋅⋅=⋅∇

rrr

εµ

)3( ישילשהלפי החוק

2 הקיסיפ - eng.biu.ac.ilsterne1/files/1/physics2/physics2_summary_tlv.pdf · bishoo 2009 © -...

Documents