phase margin revisited: phase-root locus, bode plots, and phase shifters

Phase Margin Revisited: Phase-Root Locus, BodePlots, and Phase Shifters

Nội dung:

I. IntroductionII. Vector plots,root loci ,and stability marginIII. From the s-plane to the Bode plotIV. PM when resonances occurV. Validity of PM-damping ratio relations VI. PM defined for physical systemsVII. Approximate phase-shifting compensators(ước lượng bù

dịch pha)VIII. Design examplesIX. Conclusion

I.Introduction

Trong ñeà taøi naøy chuùng ta xem xeùt nhöõng vaán ñeà lieân quan ñeán ñoä döï tröõ pha (PM).Ñoä döï tröõ pha (PM) coù vai troø quan troïng khoâng keùm ñoä döï tröõ bieân trong thieát keá boä ñieàu khieån analog vaø boä ñieàu khieån soá .Đoä döï tröõ pha laø cô sôû quan troïng trong taát caû caùc öùng duïng phoå bieán nhö thieát keá boä sôùm, treã pha. Coøn nhöõng thieát keá coå ñieån ñöôïc öùng duïng rộng raõi trong caùc boä ñieàu khieån coâng nghieäp.

Từ RL , chúng ta có thể rút ra GM. Nhưng dường như không có cách nào để rút ra PM cả. Để có được tầm nhìn trực quan về PM và mối liên hệ giữa nó và các close loop poles khi pha được thêm vào hàm truyền vòng hở khái niệm PRL ( phase root locus ) ra đời.

I.Introduction

I.Introduction

Khoâng gioáng vôùi phöông phaùp Nyquist , ñònh nghóa naøy gôïi ra moät phöông phaùp thieát keá boä buø ñôn giaûn qua nhöõng boä dòch pha .

II. Vector Plots , Root Loci ,And Stability Margin

Giaû söû Km > 0 ñaïi dieän cho giaù trò m cuûa ñoä lôïi K cuûa voøng hoài tieáp thöù N cuûa voøng hôû G(s) trong moät thieát keá goàm nhieàu voøng hoài tieáp khoâng phaûi ñôn vò ( thay G(s) bôûi G(s).H(s) cho moät haøm hoài tieáp khoâng phai ñôn vò H(s) .

QÑNS ñöôïc ñònh nghóa laø taäp hôïp taát caû nhöõng ñieåm s , bao goàm N nhaùnh maø thoaû ñieàu kieän veà goùc :

[Ñieàu kieän goùc Root Locus] (1)

Vaø PRL laø taäp hôïp taát caû nhöõng ñieåm s , hình thaønh neân moät hoaëc nhieàu ñöôøng vieàn maø thoaû maõn ñieàu kieän veà ñoä lôùn:

[Ñieàu kieän ñoä lôùn Phase Root Locus]

leû) ( )( llsG 180

1 G(s)mK

II.Vector Plots , Root Loci ,And Stability Margin

Coâng thöùc hoài tieáp ñôn vò cho thaáy coù N cöïc xaûy ra khi: KmG(si(Km)) = -1 . Do ñoù ñeå si(Km) laø cöïc voøng kín thì chuùng khoâng chæ thuoäc RL maø coøn thuoäc PRL . RL laø taäp hôïp nhöõng ñöôøng vaïch ra bôûi caùc cöïc cuûa heä kín {si(K)} khi ñoä lôïi K trong khoaûng töø 0 ñeán ∞ khi khoâng coù pha ñöôïc theâm vaøo .Giaû söû : caùc cöïc cuûa heä kín ñöôïc giöõ khoâng ñoåi nhö giaù tri luùc thieát keá Km nhöng pha ñöôïc theâm vaøo KmG(s) bieåu hieän { } . PRL laø taäp hôïp nhöõng ñöôøng vaïch ra bôûi caùc cöïc { } cuûa heä kín khi K = Km ñöôïc giöõ khoâng ñoåi , vaø pha ñöôïc theâm vaøo G(s). Nhöõng cöïc cuûa heä kín ñöôïc xaùc ñònh taïi ñieåm giao nhau cuûa RL vaø PRL

] N , [1 i , )(, Kmis

)(, Kmis

] N , [1 i , )(, Kmis

II.Vector Plots , Root Loci ,And Stability MarginVí duï: G(s)=(s+10)/{s(s2 + 3s + 402.2)}Voøng troøn lôùn laø : PRL vôùi Km=80Ñöôøng cong gaàn nhö thaúng ñöùng

laø : RLKyù hieäu “X” taïi s = -1.5Np/s +j20

rad/s laø moät cöïc cuûa heä hôû .Kyù hieäu “*” laø moät cöïc lieân heä

vôùi heä kín khi Km =80Nhöõng vector trong hình thay theá

cho giaù trò KmG(s) , chieàu daøi vector ñöôïc veõ taïo nhöõng ñieåm löôùi s=s1 laø

Goùc cuûa vetor ñöôïc ño töø phía beân phaûi laø : (Km > 0)

Nhöõng voøng troøn nhoû laø voøng troøn ñônvò

)G(s1mK

)G(s1mK

)( 1sG


Treân PRL , taïi vò trí ñænh vetor caét chính xaùc ñænh cuûa vector trong voøng troøn ñôn vò khoâng phuï thuoäc höôùng cuûa noù .

Treân RL , taïi vò trí : vector luoân chæ chính xaùc beân traùi khoâng phuï thuoäc chieøu daøi cuûa noù.

Taïi ñieåm cöïc cuûa heä kín ( ñieåm *) vector coù chieàu daøi baèng 1 vaø höôùn chính xaùc qua traùi

Treân truïc aûo :Vector bieåu dieãn caû bieân ñoâï vaø pha cuûa ñaùp öùng taàn soá .

Giao ñieåm RL vôùi truïc aûo taïi: , taïi taàn soá pha cuûa ñaùp öùng taàn soá baèng -1800

vaø chieàu daøi vetor laø 1/GM

Giao ñieåm PRL vôùi truc aûotaïi: , taïi taàn soá ñaùp öùng taàn soá baéng 1 hay 0 dB , vaø vetor coù chieàu daøi ñôn vò .

Trong phaàn IV seõ trinh baøy caùch xaùc ñònh ñoä döï tröõ pha döïa vaøo goùc cuûa vector

)( jGKm

1 G(s) mK

odd) ( 180)( 1 llsG G(s)mK

G(s)mK

pcjs pc

)( pcm jGK

gcjs gc )( gcm jGK

)( gcm jGK


Ta thaáy phía trong PRL caùc vector chieàu daøi >1 vì s gaàn ñieåm cöïc voøng hôû, coøn phia ngoaøi PRL caùc vector coù chieàu daøi < 1 vì s caùch xa ñieåm cöïc voøng hôû.

Töông töï ñoái vôùi RL , goùc cuûa vector lôùn hôn hay nhoû hôn -1800

Vaø khi ñi theo chieàu kim ñoàng hoà vector quay theo chieàu kim ñoàng hoà moät goùc: 3600 * (soá zero – soá cöïc) heä hôû ñöôïc bao

)G(jmK

G(s)mK

G(s)mK

III.From The s-Plane To The Bode Plot

III. From The s-Plane To The Bode Plot

Giaû söû kí hieäu si ñeå thay theá cho si (Km) vôùi RL hoaëc vôùi PRL

Tieâu chuaån oån ñònh cuûa heä kín laø: [ Tieâu chuaån oån ñònh trong mieàn s ]

Neáu KmG(s) laø coù pha cöïc tieåu thì qua coù theå töông ñöông RL vôùi tieâu chuaån Bode veà ñoä lôïi GM , vaø PRL töông ñöông vôùi tieâu chuaån Bode veà PM .

Taêng daàn pha aâm ñöôïctheâm vaøo ñeán pha cöïc tieåu KmG(s) nhö yeâu caàu ñeå ñieàu khieån heä thoáng kín khoâng oån ñònh baèng caùch dòch chuyeån RL ñeå noù caét PRL treân truïc aûo . Nhö vaäy neáu ( moät ñieåm cöïc cuûa heä kín treân PRL) laø thuaàn aûo khi ñoù heä thoáng oån ñònh khi (töông ñöông ), vaø khoâng oån ñònh neáu

)(, Kmis

N][1, i , 0}Re{ ii si

0

)(, 0Kmis

gcKmi js )(, 0

0 0 0

Hôn nöõa : laø moät cöïc cuûa heä kín , pha thay ñoåi moät goùc -1800

taïi do ñoù .Vaäy ñeå oån ñònh

Vaø ñieàu kieän oån ñònh luùc ñaàu khi chöa theâm pha vaøo ( ) laø: [ñk pha cuûa tieâu chuaån Bode]

Pha cuûa heä ban ñaàu coù theå bò thay ñoåi neáu heä kín ban ñaàu , vaø löôïng pha ñeå traùnh heä maát oån ñònh laø .Ñoä döï tröõ pha ñöôïc xaùc ñònh laø: töùc laø:

PM(Km) laø löôïng pha vöôït quaù -1800 .

gcKmi js )(, 0

gcjs )(18000 gcm jGK )(1800

gcm jGK

00180)( gcm jGK

0)180()(180)()( 00 gcgcmm jGjGKKPM

)( gcjG


Xeùt ví duï:

Hình (a) öùng vôùi Km= 80

Kí hieäu ‘* ‘ laø giao ñieåm cuûa RL vaø PRL

Ta thaáy giao ñieåm cuûa RL vôùi truïc aûo chính taïi taàn soá caét pha

Giao ñieåm cuûa PRL vôùi truïc aûo taïi taàn soá caét bieân .

Giao ñieåm RL vaø PRL cuõng chính laø caùc cöïc cuûa heä kín .

)10)(10)(50(

)4.0)(30()(

22

sssss

sssG



Taêng Km =163

Khi Km taêng thì PRL cuõng lôùn hôn

Caùc cöïc cuûa heä kín cuõng dòch chuyeån ra xa ñieåm cöïc heä hôû theo RL tieán veà phía gaàn truïc aûo hôn .

Taïi Km =163 PRL caét RL taïi 1 ñieåm treân truïc aûo => Heä kín coù 1 cöïc treân truïc aûo neân heä ôû bieân giôùi oån ñònh ( GMdB= 0dB, PM =00 )

Tieáp tuïc taêng Km :

Giao ñieåm RL vaø PRL coù phaàn thöïc döông heä kín coù 1 cöïc döông

Heä khoâng oån ñònh .


IV. PM khi coäng höôûng xaûy ra

• PRL cuõng coù theå giuùp giaûi thích söï quyeát ñònh cuûa PM trong söï coäng höôûng ôû voøng hôû ,nhö xaûy ra trong hình 1 .

• Ví duï ,hình 4a cho thaáy bieåu ñoà Bode cuûa haøm ôû hình 1.3 taàn soá caét xuaát hieän ,caâu hoûi ñaët ra laø caùi naøo ñöôïc söû duïng ñeå xaùc ñònh PM .


• Hình 4b cho thaáy 1 söï quan saùt roõ (khoâng coù daïng vector ) cuûa RL vaø PRL hôn ôû hình1 .3 taàn soá caét töông öùng vôùi 3 ñieåm naèm treân truïc j caét cuûa PRL , ,

• Söï öôùc löôïng cuûa cho thaáy raèng ñoái vôùi laø cöïc voøng kín ,pha töông öùng caàn ñöôïc theâm vaøo laø

• .

,n gc ns j [1,3]n( )m nK G s

ns( )m nK G s

22.5 , 114.6 , 100.7o o o


Neáu pha aâm hôn ñöôïc theâm vaøo vôùi , vaø do ñoù cöïc voøng kín tröôït doïc theo PRL trong Fóg.4b vaø ñaït tôùi tröôùc (treân cuøng 1 voøng PRL ) hoaëc (treân voøng PRL taàn soá thaáp ) .

( )m nK G s80mK ns

1 ,1gcs j2s 3s


• Cuï theå thì khi ñöôïc theâm ,cöïc voøng kín treân PRL cao hôn ñöôïc dòch tôùi s1 ,trong khi PRL thaáp dòch doïc tôùi töø truïc thöïc aâm (khoâng coù pha theâm vaøo ) bôûi goùc chæ höôùng veà phía truïc aûo .

• PRL bieåu dieãn roõ raøng ñeå ñaït ñeán thì cöïc voøng kín ôû s1 seõ dòch nhö theá ,vaø neáu tieáp tuïc theâm pha thì cöïc voøng kín seõ naèm beân nöûa phaûi maët phaúng => heä khoâng oån ñònh .

22.05 (80)o PM

2 ,2gcs j

18.8o


• Moät caùch töông töï cöïc thaáp hôn ñaït tôùi RHP tröôùc khi cöïc cao hôn trôû laïi LHP .

• Söï phaân tích naøy chöùng minh raèng laø taàn soá caét chính xaùc cho söï tính toaùn PM bôûi laø truïc caét PRL ñaït tôùi ñaàu tieân khi pha aâm ñöôïc theâm vaøo .

1 ,1gcs j

1 ,1gcs j j( )m nK G s


Hình 2 b


• Cuoái cuøng ,chuù yù raèng ñoái vôùi hình 2(b) , nhö ñaõ trình baøy ,vì coù 1 cöïc voøng kín thuaàn aûo ,leänh “margin” cuûa Matlab cho giaù trò lôùn vôùi thaäm chí nhoû (hoaëc raát nhoû ) hôn , qua vieäc nhaäp giaù trò laøm troøn .

0dbPM GM

57.64OPM mK

0KOK

• Sinh vieân thöôøng caûm thaáy luùng tuùng khi thu ñöôïc 1 ñoä döï tröõ oån ñònh khaùc zero töø Matlab trong khi soá döï tröõ tính toaùn laø “zero “ .


• Söï luùng tuùng naøy ñöôïc giaûi quyeát laïi moät caùch deã daøng nhôø tham khaûo tôùi Fig2(b) ;neáu Km thaäm chí hôi nhoû hôn Ko=163 ,ñænh coäng höôûng Bode/PRL cao hôn khoâng toàn taïi caét truïc /0-dB ;vaø do ñoù PM ñöôïc xaùc ñònh töø PRL thaáp hôn (vaø giôø chæ noù toàn taïi ) giaù trò ;PM coù theå laø 1 haøm rôøi raïc cuûa Km .

jgc

V. Moái quan heä vöõng chaéc PM-heä soá taét

• Nhöõng tranh luaän tröôùc ñaõ ñònh vò ñöôïc söï chính xaùc cuûa vieäc öôùc löôïng PM söû duïng bieåu ñoà Bode hoaëc PRL .PM laø neàn taûng cuûa thuaät toaùn thieát keá boä buø treân cô sôû Bode ñôn giaûn vôùi muïc tieâu ñaït ñöôïc ñoä voït loá voøng kín qua moái lieân heä PM-heä soá taét .


• Ñoái vôùi haøm truyeàn baäc 2 chuaån taéc trong heä thoáng ñôn nhaát hoài tieáp aâm ,PM ñöôïc xaùc ñònh moät caùch chính xaùc nhôø tham soá trong bôûi tìm trong =1 ,ñaùnh giaù ,vaø roài söû duïng coâng thöùc :

• (5) • (6)

• vaø ñaûo ngöôïc cuûa chuùng ; trong moái quan heä chaët cheõ vôùi ñoä voït loá voøng kín ñoái vôùi haøm truyeàn .

2

2 ( )[ ( 2 )]

n

n

G ss s

2 ( )G s

gc 2 ( )G j 2( )gcjG

0 0( ) ( ) 180 ( ) ( 180 )m m gc gcPM K K G j G j 1

4 1/ 2 2 1/ 2

2tan

[(4 1) 2 ]PM

sin( )

[2 cos( )]

PM

PM

2 ( )G s


• Bieåu thöùc töông ñöông (7) coù theå hình aûnh hoaù baèng PRL .


• Phöông trình (6) töông ñöông PM=100 (7)

• cho 0< <0.7 . • Tuy nhieân ,Fòg5 (cho =0.4 ,

) chöùng toû söï raát khoâng ñaùng tin caäy cuûa coâng thöùc maëc duø cho neáu .

1 /n rad s

2( ) ( )G s G s 1mK

Hình 5


• Ñoái vôùi vôùi ,haøm truyeàn voøng hôû coù theå ñöôïc ñaët trong daïng chuaån taéc ñöôïc hình thaønh bôûi söï ñònh nghóa vaø vaø roài (6) aùp duïng chính xaùc cho ñöôïc thay bôûi .Do ñoù (6) höõu ích cho haøm truyeàn

• vôùi ñoä lôïi söû duïng chæ neáu trong (6) “ ” khoâng laø tham soá trong G(s) nhöng khaùc vôùi laø thöù thaät söï mong ñôïi ñeå thieát keá nhö moät moái lieân heä hôïp lyù giöõa vaø PM .

2( ) ( )m mK G s K G s 1mK 1mK

' 1/ 2{ }n n mK '

CL

mK

'

2

2 ( )[ ( 2 )]

n

n

G ss s

1mK

/CL mK


• Tuy nhieân ,thöôøng thì thaäm chí khoâng coù daïng cuûa ,vaø khoâng coù moái quan heä ñôn giaûn giöõa vaø tham soá trong (6) vaø (7) .

• Söï theâm vaøo cuûa moät boä buø toång quaùt baûo ñaûm raèng cho moïi , chæ cho .

( )mK G s

2 ( )mK G sCL

( )CG s2( ) ( ) ( )m CK G s G S G s

1


• Moät ñieàu khaùc coù gaéng thieát keá PM cho , söû duïng (6) vôùi hy voïng hoaøn thaønh mong muoán ,töø (6) aùp duïng nhö laø 1 moái lieân heä giöõa PM vaø chæ neáu

• .• Do ñoù noù coù theå xem giôùi haïn ñaùng

keå treân tính coù theå söû duïng ñöôïc cuûa (6) (7) .

( ) ( )m CK G s G s

CLCL

21*( ) ( )

[ ( 2 )]n

m CN

K G s G ss s


• Söï tranh luaän naøy neân phuïc vuï nhö laø 1 söï thaän troïng ñoái vôùi nhöõng sinh vieân khoâng söû duïng nhöõng coâng thöùc dôn giaûn tìm ñöôïc trong saùch vôû ngoaïi tröø ñieàu kieän cho tính hôïp leä cuûa chuùng ñaõ ñöôïc xaùc minh .

• Noù coù theå keát luaän raèng PM thích hôïp nhö laø 1 luaät thieát thöïc vaø nhö laø 1 söï ñònh tính ,khi khoâng caàn thieát tính toaùn ñònh löôïng ,vaø chæ thò ñoä voït loá .


• Baây giôø

• PM thöïc laø 70.550 ,nhöng caëp PM ñöïôc döï baùo tröôùc bôûi (6) vaø (7) cho laàn löôït laø 43.450 vaø 40.350 - hoaøn toaøn voâ duïng trong söï xaáp xæ naøy

2 2

7.140.4035

(7.14 16.19 )CL

" " CL

VI. PM DEFINED FOR PHYSICAL SYSTEMS

VI.PM DEFINED FOR PHYSICAL SYSTEMS

• Một câu hỏi được đặt ra là : độ lợi của một hệ thống vật lý làm sao có thể là một số phức và ý nghĩa vật lý của việc quay (trong biểu đồ Nyquist) là gì ?


• Trong cố gắng định nghĩa PM(Km) trên một nền tảng vật lý rõ nghĩa, đã có lý thuyết liên kết độ dự trữ pha với thời gian trễ , hệ thống có thể ổn định trước khi trở nên không ổn định.

• Sự töông öùng giöõa vaø PM khoâng ñi ñoâi vôùi söï töông öùng giöõa Km vaø GM


Để tránh kết thúc với một hàm chuyển đổi bất đối xứng , bất lý tính, độ dự trữ pha được định nghĩa là góc lớn nhất có thể thêm vào hàm truyền vòng hở KmG(s) và ít nhất là vòng kín hệ thống vẫn còn ổn định.


Định nghĩa PM ở trên , (phù hợp với định nghĩa PM

trong (5)),tương ứng với sự dịch chuyển đối xứng của cặp cực vòng kín liên hợp dọc theo PRL ,chỉ khi độ lợi được thêm vào tương ứng với sự dịch chuyển đối xứng của cặp cực vòng kín liên hợp dọc theo RL thông thường .

Các cực vòng kín xuất hiện tại phần giao của GRL và PRL (GRL thật sự dịch chuyển khi pha được thêm vào); nếu là số phức , chúng sẽ là một cặp nghiệm liên hợp phức, như yêu cầu của một hệ thống vật lý. Và con đường dẫn đến sự không ổn định là dọc theo RL (khi tăng độ lợi) hay PRL (khi pha âm/dương)được thêm vào ½ mặt phẳng trên/dưới.


. Trái với nhận thức trực giác sai lầm rằng sự thay đổi độ lợi sẽ làm cho GM thay đổi mà không làm cho PM thay đổi , GM và PM hoàn toàn có liên hệ với nhau .



Tuy nhiên , nếu độ lợi của hàm truyền vòng hở được nhân nhiều lần thì chắc chắn 1/GM cũng được nhân lên nhiều lần. Và một sự thay đổi trong pha sẽ chuyển sang cùng một sự thay đổi trong độ dự trữ pha; đặc tính động của KmG(s) vì thế quyết định sự thay đổi của các độ dự trữ khác .

Hơn nữa với độ lợi phức sử dụng trong [8] quĩ đạo nghiệm số trở nên bất đối xứng. Độ lợi phức K trong [8] dịch cực vòng kín dọc

theo quĩ đạo pha nghiệm số theo hai hướng ngược nhau trong hai nửa mặt phẳng s. Ví dụ : nếu cực vòng kín trên nửa mặt phẳng trên dịch chuyển ra xa trục j thì cực vòng

kín trên nửa mặt phẳng dưới dịch chuyển về phía trục j

VI. PM DEFINED FOR PHYSICAL SYSTEMS


Khi pha thuần túy được thêm vào một cách liên hợp đối xứng, hàm truyền thu được sẽ có cùng cực/zero như trước, nhưng một độ dự trữ pha mới do sự dịch chuyển cực vòng kín dọc theo PRL sẽ xuất hiện.

VII.HIEÄU CHÆNH DÒCH PHA GAÀN ÑUÙNG

VII.HIEÄU CHÆNH DÒCH PHA GAÀN ÑUÙNGTrong lyù thuyeát thoâng tin, bieán ñoåi Hibert h(t)=1/(πt) ,vôùi moïi t taïo neân ñoä dòch pha -900 cuûa haøm sin .Bieán

ñoåi Fourier (FT) hai veá cuûa h(t):H(j) = -j.sgn() = 1-(π/2).sgn() (8) )sgn(.)(

)()(

)( jBAjBHAjG

jGjH PS

PS

.1)sgn(.1

• Vôùi s = j,Hps là bộ dịch pha thêm vào G(j ) được Gps(j ) {A2+B2}1/2 = 1, = -tan-1(B/A), A = cos(), B = -sin().

Hps(j) laøm taêng PM cuûa khaâu G(s), trong ñoù laø do . Töø bieán ñoåi Laplace ngöôïc LT-1 ta ñöôïc g(t):

• Ñaùp öùng xung cuûa khaâu dòch pha laø

)()sin(

)()cos()()(t

ttBhtAhps

N

lll

tl tteAsGLTtg l

1

1 0),cos()}({)(


)(10

)( a11

Ñaùp öùng xung gps(t) cuûa heä thoáng dòch pha laø:

• Trong ñoù (11c) chæ laø coâng thöùc xaáp xæ vaø vì theá chæ cho moät soá ñoái töôïng ñieàu khieån nhaát ñònh.

• Khai trieån phaân soá töøng phaàn thaønh phaàn cöïc phöùc voøng hôû (PFE)

• (1/2)exp(jl)/(s-sl) vaø (1/2)exp(jl)/(s-sl*) trong ñoù

sl = -l + jl ,vaø trong (11c) ñöôïc nhaân töông öùng vôùi ej vaø e-j vôùi moïi s nhöng cöïc cuûa UCSPS thì ngöôïc laïi cho > 0 vaø < 0

)(*)()( thtgtg psps

N

lll

tl tteA l

1

0),cos(


(11b)

(11c)

• Do ñoù, neáu sl ôû nöûa maët phaúng treân thì (1/2)exp(jl)/(s-sl) khoâng coù zero ôû nöûa maët phaúng döôùi vaø ôû nöûa maët phaúng döôùi UCSPS ñöôïc nhaân vôùi e-j, traùi laïi (11c) ñöôïc nhaân vôùi ej treân toaøn maët phaúng. Haøm UCSPS thöïc 1./|| (vôùi moïi s = +j vaø baèng 1 khi = 0 )khoâng ñöôïc phaân tích vì goùc pha giaùn ñoaïn khi ñi ngang qua truïc thöïc.


• Do ñoù noù khoâng theå bieán ñoåi sang haøm höõu tyû neân khoâng theå aùp duïng ñònh lyù thaëng dö deå tìm LT-1 cuûa caùc thaønh phaàn trong (11c) Trong (10) khi s = j thì UCSPS gaàn gioáng nhö 1 bieán ñoåi Hibert (khi = 0 thì goùc pha khoâng thay ñoåi vaø hps(t) = (t)). Nhöõng loaïi dòch pha aûnh höôûng ñeán phaïm vi cuûa PM: PM bò dòch khi theâm moät goùc pha ñôn vaøo moãi voøng hôû thöïc


• Hôn theá nöõa, LT{h(t)} khoâng toàn taïi tröø khi s=j vaø noù laø giaù trò chính.

• Maëc duø khaâu UCSPS lí töôûng khoâng theå thöïc hieän,töø (11c) coù theå cho moät coâng thöùc xaáp xæ ñôn giaûn ñeå tính UCSPS ñoái vôùi moät khaâu ñeàu khieån nhaát ñònh.

• Thaønh phaàn thöù l trong (11a) coù theå vieát laïi laø Blexp(slt)+ Bl*exp(sl*t), trong ñoù Bl=(1/2)exp(jl). Thay Bl bôûi Blejthu ñöôïc (11c).


Cöïc thöïc cuûa G(s) caøng ít thì vuøng coäng höôûng caøng thu heïp ( vuøng laân caän cöïc troäi sl, coâng thöùc xaáp xæ UCSPS caøng ñuùng cho moïi s.Caøng gaàn truïc thöïc sai soá töông ñoái caøng lôùn, sai soá tuyeät ñoái coù theå lôùn hay nhoû phuï thuoäc vaøo G(s).Vôùi nhöõng s xa cöïc troäi , sai soá töông ñoái coù theå lôùn nhöng sai soá tuyeät ñoái thì nhoû vì thaønh phaàn PFE nhoû.


Tuy nhieân trong vuøng coäng höôûng nôi coù buø ñoäng hoïc thì thöôøng coù quaù ñoä nhaát ñònh; neân 11(c) coù theå laø moâ hình ñôn giaûn vaø höõu ích ñeå xem PM thay ñoåi nhö theá naøo.

Ñoä dòch pha cuûa heä thoáng thöïc teá thì thöôøng coù giôùi haïn gioáng nhau,…

Trong UCSPS ñoøi hoûi phaûi coù moät phöông phaùp hieäu chænh ñeå taêng PM, ví duï nhö khaâu hieäu chænh Gc(s)=töû soá khaâu dòch pha/töû soá khaâu G(s)


VIII.VÍ DUÏ THIEÁT KEÁ


Phöông phaùp thieát keá thöïc teá laø taêng PM.Tuyøthuoäc sai soá xaùc laäp ess theo yeâu

caàu maø ta tính ñöôïc Km ( duøng phöông phaùp Bode).Xem moät ví duï thieát keá trong hình 6.G(s)=3200(s+15)/[(s2+40s+500)(s2+4s+68)]

Caùc cöïc laø-2 j8,-20 ± j10, vôùi ess,step=0.05 tính ñöôïc Km=13.46. RL vaø PRL cuûa KmG(s) vaø KmG’(s) ñöôïc veõ trong hình 6(a), trong ñoù G’(s) tính theo coâng thöùc(12) vôùi UCSPS laø =300 vaø cöïc theâm vaøo cuûa KmG(j) ñöôïc choïn laø

s = -A = 10 gc vaø taïi s = A taàm taàn soá coäng höôûng laø cöïc tieåu.

Hình 6a Hình 6b

• Vôùi toác ñoä laáy maãu ñuû lôùn ñöôïc ñieàu khieån bôûi phaàn meàm hay phaàn cöùng kyõ thuaät soá trong heä thoáng ñieàu khieån laáy maãu döõ lieäu.

• Vôùi Gc(s) treân, GMdB thay ñoåi töø khoâng oån ñònh -18.1dB ñeán 36.2dB, vaø PM thay ñoåi töø -41.90 ñeán 43.00 (taêng lôùn hôn raát nhieàu so vôùi yeâu caàu laø 300).

• Trong hình 6(a) cöïc voøng hôû (khoâng oån ñònh) di chuyeån töø A ñeán B.

)15)(5.2245)(1.449(

)5.170636.56)(637.9(7.919)(

2

sss

ssssGc


•Bôûi vì 11(c) chæ laø coâng thöùc xaáp xæ neân PM ≠ (nhöng sgn(PM ) = sgn()) vaø PRL cuûa KmG’(s) thì khoâng ñoàng nhaát vôùi PRL cuûa KmG(s),chuùng hoaøn toaøn gioáng nhau trong vuøng cöïc voøng kín; nhö chöùng toû treân , chuùng khoâng töông ñoàng nhau trong vuøng gaàn truïc thöïc vaø xa vuøng coäng höôûng. Phaàn neùt ñöùt trong hình veõ laø RL cuûa ejPMG(s) ,trong ñoù PM =84.90 laø ñoä taêng PM.•Moät caùch lyù töôûng cho ñoä UCSPS thuaàn tuyù cuûa PM, cöïc voøng kín taïi ñieåm C toát hôn taïi ñieåm B .


• Tuy nhieân, trong quyõ ñaïo nghieäm soá ôû hình 6(a), ejPMG(s) khoâng coù lieân hôïp ñoái xöùng ( ejPM laø ñoä lôïi phöùc) vaø nhö theá noù khoâng mang tính vaät lyù vaø khoâng theå boå sung tröø khi khaâu dòch pha xaáp xæ töông öùng GC(s) ñöôïc theâm vaøo


• Hình 6(b) chæ ra keát quaû moâ phoûng cuûa heä voøng kín, thôøi gian leân laø ts = 0.27s, ñoä voït loá laø 35.8% vaø ess,step = 0.05 theo yeâu caàu cuõng ñöôïc thoaû maõn. Ñöôøng neùt ñöùt laø cho khaâu ñieàu khieån tæ leä vôùi cuøng giaù trò Km (keát quaû trong tröôøng hôïp khoâng oån ñònh).


• Thuaät toaùn sôùm treã pha baäc 1 ñöôïc söû duïng, tìm ñöôïc keát quaû thieát keá toát nhaát vôùi PMdesign töø 200 ñeán 800 moãi böôùc laø 1.20.

• Keát quaû laø khaâu hieäu chænh treã toát nhaát cho ts=6.3s vaø dao ñoäng vôùi bieân ñoä lôùn nhaát khoâng voït loá trong thôøi gian leân;khaâu hieäu chænh sôùm toát nhaát cho ts = 0.4s vôùi ñoä voït loá 71%.


• Trong ví duï thöù hai:• G(s) = (s+5)/[(s(s+9)(s2+4s+20)]• coù hai cöïc thöïc vaø laø voâ sai baäc 1

( ess,step=0 neáu heä oån ñònh) vaø Km = 3.6 neáu ess,ramp= 0.2

• PM thay ñoåi töø -6.60 ñeán +520 ( taêng 58.60 ) khi yeâu caàu ñoä dòch pha laø+700 .


• PRL tröôùc vaø sau khi dòch pha gioáng nhau trong vuøng coäng höôûng. PRL vaø ñoä dòch pha thay ñoåi tuyø heä thoáng, nhöng phöông phaùp hieäu chænh naøy cung caáp moät höôùng ñôn giaûn ñeå laøm taêng ñaùng keå ñoä döï tröõ pha.


IX. Conclusion

phase margin revisited: phase-root locus, bode plots, and phase shifters

Documents