Phase Margin and Gain Margin

Yosa Adi Wardana (13212027)Fajar Bahari (13212030)

Aldi Faizal Dimara (13212031)Ariq Eka Prastya (13212040)

Rizka Risyad (13212043)Artha Tiara (13212047)

Syaiful Andy (13212050)Leonardus Andrew (13212055)

• Jika sebuah sistem diberikan dengan persamaan • Diperoleh plot Nyquist sebagai berikut:

• Untuk nilai K yang besar, sistem menjadi tidak stabil. Jika K diperkecil menuju sebuah nilai dan locus G(jω) melewati -1+j0 sistem akan berada pada ambang ketidakstabilan dan sistem mengalami osilasi. Untuk nilai K yang kecil, sistem akan stabil.

• Semakin dekat locus G(jω) dengan -1+j0, respon sistem semakin berosilasi. Kedekatan G(jω) dapat digunakan untuk indikasi margin dari stability.• Phase margin merupakan nilai penambahan phase lag pada gain

crossover frequency yang dibutuhkan untuk membuat sistem berada pada ambang ketidakstabilan. Gain crossover frequency merupakan frekuensi di mana |G(jω)|=1. Phase margin dirumuskan dengan persamaan berikut:

• Pada Nyquist plot, sebuah garis dapat digambarkan dari titik origin ke unit circle yang berimpit dengan locus G(jω). Jika garis berada di bawah sumbu real negatif, maka phase margin positif. Jika garis berada di atas sumbu real negaitf, maka phase margin negatif. Untuk minimumphase-system agar stabil, phase margin harus positif. Pada bode plot, phase margin dapat dilihat ketika gain (dB) menyentuh sumbu nol untuk mendapatkan gain crossover frequency. Lalu nilai frekuensi ini digunakan untuk melihat selisih fasa antara dengan fasa pada frekuensi tersebut.• Gain margin merupakan resiprokal dari magnitude |G(jω)| pada frekuensi saat

sudut fasa di bode plot. Phase crossover frequency merupakan frekuensi di mana sudut fasa dari fungsi transfer open-loop bernilai . Memberikan gain margin :

Dan dalam dB

• Gain margin dalam dB bernilai positif jika lebih dari 1 dan bernilai negatif jika kurang dari 1. Gain margin dalam dB bernilai positif untuk sistem stabil dan negatif untuk sistem tidak stabil. Pada sebuah sistem stabil, gain margin dapat menunjukkan seberapa besar gain dapat dinaikkan sampai sistem tidak stabil. Untuk sistem tidak stabil, gain margin menunjukkan seberapa besar gain harus diturunkan agar sistem stabil.• Gain margin pada Nyquist plot dapat dilihat ketika G(jω) menyentuh

sumbu real. Nilai frekuensi saat G(jω) merupakan phase crossover frequency. Berdasarkan nilai frekuensi tersebut dapat ditentukan letak (titik) saat G(jω) menyentuh sumbu real. Titik tersebut merupakan . Sehingga dapat diperoleh gain margin.

Soal-Soal dan Solusi

Soal 1

Obtain the phase and gain margins of the system shown below for the two cases where K = 10 , K = 100.

Soal 2

Consider the control system shown below.

Determine the value of gain K such that the phase margin is 60˚. What is the gain margin with this value of gain K?

The open-loop transfer functions is

Let us plot the Bode diagram of G(s) when K = 1.

Jawab:

From this diagram the require phase margin of 60˚ occurs at the frequency rad/sec. The magnitude of G(j) at this frequency is found to be 14.5 dB. Then, gain K must satisfy the following equation:

or

Nyquist plot of G(j) showing the phase margin is 60˚.

Soal 3

Soal 4

Soal 5

• Find the gain and phase margin for the system if K = 6.