petitjean julien 2010

N° d‟ordre : 4157

THÈSE

PRÉSENTÉE A

L’UNIVERSITÉ BORDEAUX 1

ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L‟INGENIEUR

Par Julien PETITJEAN

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : AUTOMATIQUE, PRODUCTIQUE, SIGNAL ET IMAGE

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Contributions au traitement spatio-temporel fondé sur un modèle autorégressif

vectoriel des interférences pour améliorer la détection de petites cibles lentes

dans un environnement de fouillis hétérogène Gaussien et non Gaussien.

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Soutenue le 6 Décembre 2010.

Devant la commission d‟examen formée de :

M. LE CHEVALIER François Professeur à l‟Université Delft Président

Mme MARCOS Sylvie Directrice de recherche au CNRS Rapporteur

M. FORSTER Philippe Professeur à l‟Université Paris X Rapporteur

M. BERTHOUMIEU Yannick Professeur à l‟IMS, Bordeaux Rapporteur de séance

M. NAJIM Mohamed Professeur à l‟IMS, Bordeaux

M. MONTIGNY Richard Chef de département DT de TSA

M. GRIVEL Eric MdC (HDR) à l‟IMS, Bordeaux Directeur de thèse

Sommaire

SOMMAIRE

Glossaire ............................................................................................................... 7

Notations ............................................................................................................... 9

Introduction ....................................................................................................... 13

Chapitre 1 : Domaine d’application : le radar ............................................... 17

1.1 Généralités sur le traitement radar et équations définissant le radar à

impulsions ........................................................................................................................... 17

1.1.1 Notations et configuration du système radar ...................................................... 17

1.1.2 Dimensions en distance et en mesure Doppler ................................................... 20

1.1.3 Dimension spatiale ............................................................................................. 25

1.2 Caractérisation et simulation des différentes composantes des données radar ......... 27

1.2.1 Cube de données ou « data cube » ..................................................................... 27

1.2.2 Caractérisation de la cible et du bruit thermique ................................................ 28

1.2.3 Caractérisation et simulation du fouillis ............................................................. 29

1.3 Conclusions : intérêt du STAP dans le domaine radar .............................................. 41

Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l’art ...... 43

2.1 Détection dite non adaptative .................................................................................... 43

2.1.1 Détection classique ............................................................................................. 43

2.1.2 Détecteurs non adaptatifs ................................................................................... 45

2.2 Etat de l‟art sur le STAP ............................................................................................ 47

2.2.1 Première technique dite SMI (Sample Matrix Inversion) .................................. 47

2.2.2 Détecteurs adaptatifs .......................................................................................... 49

2.2.3 Sélection des données d‟entraînement ............................................................... 51

2.2.4 Algorithmes permettant la réduction du domaine d‟entraînement ..................... 54

2.2.5 Algorithmes en milieu non Gaussien ................................................................. 61

2.2.6 Techniques de compensation des variations en distance du fouillis .................. 62

2.2.7 Utilisation de l‟information a priori : le KA-STAP ........................................... 63

2.2.8 Bilan ................................................................................................................... 63

Chapitre 3 : Contributions aux approches fondées sur la modélisation

autorégressive vectorielle des interférences .................................................... 65

3.1 Etat de l‟art sur les méthodes d‟estimations des paramètres AR ............................... 65

3.2 Etat de l‟art sur les méthodes d‟estimation des matrices AR .................................... 68

3.2.1 Techniques d‟estimation des matrices AR à partir d‟un processus VAR .......... 68

3.2.2 Techniques d‟estimation des matrices AR à partir d‟un processus VAR

perturbé par un bruit blanc vectoriel ............................................................................... 70

Sommaire

3.3 Commentaires sur la détermination de l‟ordre p du modèle...................................... 71

3.4 Contributions sur l‟estimation des matrices AR ........................................................ 72

3.4.1 Méthodes par bloc .............................................................................................. 72

3.4.2 Méthodes récursives ........................................................................................... 79

3.4.3 Bilan ................................................................................................................... 87

3.5 Implémentation et coût calculatoire .......................................................................... 87

3.5.1 Implémentation des algorithmes récursifs fondés sur une représentation du

système dans l‟espace d‟état ........................................................................................... 87

3.5.2 Implémentation réduisant le coût calculatoire du PAMF ................................... 89

3.5.3 Coût calculatoire du PAMF ................................................................................ 90

3.6 Etude comparative : résultats sur des données VAR synthétiques ............................ 92

3.6.1 En milieu Gaussien ............................................................................................. 93

3.6.2 En milieu non Gaussien .................................................................................... 100

3.7 Conclusions ............................................................................................................. 101

Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar ............................ 105

4.1 Application sur des données synthétiques ............................................................... 105

4.1.1 Présentation des données .................................................................................. 105

4.1.2 Cas Gaussien .................................................................................................... 106

4.1.3 Cas non Gaussien ............................................................................................. 109

4.2 Application sur des données semi-synthétiques fournies par le Celar .................... 111


4.2.2 Scénario 1 : cas Gaussien ................................................................................. 111

4.2.3 MTO de Lombardo [LOM03] .......................................................................... 116

4.2.4 Scénario 2 : cas non Gaussien .......................................................................... 118

4.3 Application sur des données réelles fournies par THALES .................................... 120


4.3.2 Filtrage et probabilité de détection ................................................................... 120

4.4 Conclusions ............................................................................................................. 122

Conclusions et perspectives ............................................................................ 123

Annexe A : Fonctionnement du système radar ............................................ 127

Annexe B : Bilan de liaison radar .................................................................. 130

Annexe C : Notion d’ambiguïté distance ...................................................... 131

Annexe D : Modèle GIT [HOR78] ................................................................. 132

Annexe E : Rappel sur les densités de probabilité ....................................... 134

Annexe F : Méthode EIV récursive ............................................................... 138

Sommaire

Références ........................................................................................................ 142

Glossaire

Glossaire

aBORD asymptotic Bayesian Optimum Radar Detector

ACE Adaptive Coherent Estimator

AESA Active Electronically Scanned Array

AMF Adaptive Matched Filter

ANMF Adaptive Normalized Matched Filter

AR AutoRegressif

BORD Bayesian Optimum Radar Detector

CA-CFAR Cell-Averaging Constant False Alarm Radar

CAN Convertisseur Analogique Numérique

CFAR Constant False Alarm Radar

CPI Coherent Processing Interval

CST Case Sous Test

DAP Démodulateur Amplitude Phase

DBU Derivative Based Updating

DSP Densité Spectrale de Puissance

GCM General Clutter Model

GIP Generalized Inner Product

GLRT Generalized Likelihood Ratio Test

IMC Intrinsic Clutter Motion

IP Inner Product

KA-STAP Knowledge-Aided Space Time Adaptive Processing

NMF Normalized Matched Filter

OGD Optimum Gaussian Detector

PAMF Parametric Adaptive Matched Filter

PAST Projection Approximate Subspace Tracking

PF Méthode du Point Fixe

PSD Power Selected Deemphasis

PST Power Selected Training

RSB Rapport Signal sur Bruit

RSBI Rapport Signal sur Bruit-plus-Interférences

SCM Sample Covariance Matrix

SER Surface Equivalente Radar

SIRV Spherically Invariant Random Vector

Glossaire

SMI Sample Matrix Inversion

STAP Space Time Adaptive Processing

STAR Space Time AutoRegressive

TFAC Taux de Fausses Alarmes Constant

TRVG Test du Rapport de Vraisemblance Généralisé

ULA Uniform Linear Array

VAR AutoRegressif Vectoriel

Glossaire

Notations

Paramètres du radar

Fréquence porteuse du radar

Longueur d‟onde émise par le radar

Ouverture angulaire en azimut de l‟antenne

Résolution angulaire du radar

Largeur de l‟impulsion émise

Largeur de bande du récepteur

Partie réelle de l‟impulsion émise

Enveloppe complexe de l‟impulsion émise

Signal réel reçu par un capteur élémentaire de l‟antenne

Enveloppe complexe du signal reçu

Période d‟échantillonnage à la sortie du récepteur radar

Résolution distance du radar

Durée entre deux impulsions

Température du radar

Facteur de bruit du circuit électronique du récepteur radar

Puissance crête de l‟émetteur radar

Gain en émission d‟un capteur élémentaire

Gain en réception d‟un capteur élémentaire

Pertes dites « hyper »

Paramètres du porteur et de l’obstacle

Altitude du porteur

Vitesse du porteur

Vitesse d‟un obstacle ponctuel

Vitesse radiale relative entre le porteur et l‟obstacle

Données radar

Nombre d‟impulsions comprises dans le temps de traitement cohérent

Nombre de capteurs élémentaires de l‟antenne

Nombre de voies à la sortie du récepteur radar

Nombre de cases distance pour une impulsion

Glossaire

Nombre de cases d‟entraînement

Nombre d‟éléments équi-répartis en azimut pour une case distance

donnée

Indice de la case distance sous test

Echantillon de la case distance reçu lors de l‟impulsion et capté par

le capteur .

Vecteur de taille regroupant les échantillons de la case distance

sous test

{ }

Vecteurs de taille regroupant les échantillons des données

d‟entraînement

Vecteur de taille représentant le bruit thermique (noise)

Vecteur de taille représentant le fouillis (clutter)

Vecteur de taille représentant l‟ensemble des interférences, à

savoir le bruit thermique et le fouillis

Matrice de covariance de taille de la cible

Matrice de covariance de taille du bruit thermique

Variance du bruit thermique

Matrice de covariance de taille du fouillis

Matrice de covariance de taille de l‟ensemble des

interférences

Coefficient de rétrodiffusion moyen

Paramètre de forme de la distribution K

Composante du SIRV appelée texture

Etalement angulaire d‟un élément du sol

Ecart en distance séparant deux échos de sol correspondant à deux

échantillons consécutifs du signal reçu

Paramètres et variables du STAP

Probabilité de détection

Probabilité de fausses alarmes

Fréquence Doppler

Fréquence spatiale

Vecteur de pointage Doppler

Vecteur de pointage spatial pour les capteurs élémentaires

Vecteur de pointage spatial pour les voies de réception

Glossaire

Vecteur de taille représentant la signature spatio-temporelle de

la cible

Réponse impulsionnelle finie du filtre non adaptatif de la case distance

sous test

Sortie du filtre adapté

Réponse impulsionnelle finie de la méthode SMI

Estimateur de la matrice de covariance des interférences, appelé Sample

Covariance Matrix

Estimateur de la matrice de covariance des interférences, appelé

Normalized Sample Covariance Matrix

Estimateur de la matrice de covariance des interférences à partir de la

méthode du point fixe

Configuration géométrique

Angle azimut

Angle élévation

Repère Doppler

Repère Antenne

Vecteur directionnel unitaire

Angle azimut de dépointage de l‟antenne

Modèle AR

Ordre du modèle

{ } Paramètres AR d‟un processus AR d‟ordre

Vecteur de taille regroupant les paramètres AR { } d‟un

processus AR d‟ordre

Processus générateur aléatoire Gaussien centré de variance dans le

modèle AR

Modèle VAR

Ordre du modèle

{ } Matrices AR d‟un processus AR d‟ordre

Matrice de taille regroupant les matrices AR { } d‟un

processus AR d‟ordre

Processus générateur vectorielle aléatoire Gaussien centré de matrice de

covariance dans le modèle VAR

Glossaire

Représentation dans l’espace d’état

Vecteur de taille regroupant les coefficients des matrices AR

Vecteur d‟état étendu de taille

Estimation du vecteur d‟état à l‟instant reposant sur observations

Matrice de covariance des erreurs d‟estimation a priori

Matrice de covariance des erreurs d‟estimation a priori

Gain de Kalman

Points sigma a priori

Points sigma a posteriori

Constantes

Vitesse de la lumière

Constante de Boltzmann

Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar

Introduction

A l‟origine, le radar, acronyme anglais de « RAdio Detection And Ranging », a été conçu

pour remplir deux fonctions : la détection d‟une cible et l‟estimation de la distance séparant le

radar de celle-ci. Son principe repose sur l‟émission d‟ondes électromagnétiques qui, après

réflexion sur tout obstacle, sont captées par un récepteur pour être traitées. Depuis de

nombreuses années, le radar est capable d‟estimer d‟autres paramètres liés à la cible tels que

sa vitesse radiale relative et sa localisation angulaire, à savoir l‟azimut et l‟élévation. Pour

cette raison, il est utilisé dans de nombreux domaines : la surveillance du trafic aérien ou

routier, la météorologie, l‟automobile, l‟astronomie, etc. Dans cette thèse, le radar est

employé pour des missions de surveillance maritime à partir d‟un porteur tel qu‟un avion de

surveillance, un avion d‟arme, un drone ou encore un hélicoptère.

Pour un radar aéroporté, le signal reçu par l‟antenne comprend le signal rétrodiffusé par des

cibles éventuelles noyé dans des interférences. Ces dernières sont composées du bruit

thermique lié au récepteur du système, des échos de terre et ceux de mer que l‟on appelle

fouillis1 et d‟éventuels brouilleurs que l‟on ne traite pas dans cette thèse. Ces interférences

viennent dégrader la fonction première du radar, c‟est-à-dire la détection. En particulier les

cibles dites lentes sont difficiles à dissocier du fouillis. Elles présentent une distance, une

vitesse relative ou une localisation proche de celle du fouillis. Il s‟agit donc de tenir compte

de plusieurs caractéristiques de la cible et de les distinguer suffisamment de celles des

interférences pour effectuer une détection « la plus robuste possible ». Les traitements spatio-

temporels adaptatifs ou STAP (Space-Time Adaptive Processing) entrent dans cette stratégie

de détection. Ils réfèrent à l‟ensemble des traitements adaptatifs appliqués à des signaux reçus

par un système radar et utilisant les paramètres de vitesse et de localisation angulaire

[KLE02].

Dans un cadre théorique où les interférences sont supposées connues, cette technique permet

au radar de détecter des cibles dont la vitesse est faible2. Cependant dans la pratique, les

caractéristiques statistiques des interférences doivent être estimées. Etant donné la nature du

fouillis (hétérogénéité ou non, Gaussianité ou non), cette étape d‟estimation est une difficulté

1 On parle aussi de « clutter », terme anglais signifiant fouillis. Ce dernier peut être aussi utilisé pour des échos

de pluie ou de l‟atmosphère. Cependant, ces types de fouillis ne sont pas traités dans cette thèse. 2 Pour des raisons de confidentialité, des ordres de grandeur ne sont pas donnés.


majeure à résoudre. Pour cette raison, le STAP a donné lieu à la publication de nombreux

articles visant à traiter ce problème [BRE73], [WAR94], [KLE04] et [MEL04]. De plus, en

France, le « club STAP », constitué d‟industriels et de chercheurs, forme un groupe de travail

qui se réunit plusieurs fois par an pour échanger sur les nouvelles techniques proposées sur ce

thème1.

Dans ce cadre, la thèse porte sur le développement d‟approches paramétriques fondées sur

une modélisation a priori des interférences.

Ce mémoire de thèse s‟organise de la manière suivante :

Le chapitre 1 est dédié aux principes du radar. Dans un premier temps, le fonctionnement

général de ce système est expliqué. La cible détectée étant définie par la distance la séparant

du radar, sa vitesse radiale relative et sa localisation, nous précisons les trois dimensions selon

lesquelles les mesures radar sont caractérisées : il s‟agit de la dimension en distance, celle en

mesure Doppler et celle spatiale. Enfin, les différentes composantes contenues dans les

données sont précisées. Deux types de fouillis sont décrits en détail : le fouillis de terre et

celui de mer.

Dans le deuxième chapitre, nous dressons un état de l‟art sur le STAP. En particulier, nous

décrivons la méthode dite optimale selon [KLE02], qui se décompose en deux phases : le

filtrage et la détection d‟une cible dans une zone géographique donnée. Comme cette méthode

présente une forte complexité calculatoire et nécessite la connaissance a priori d‟informations

sur les interférences, des méthodes sous-optimales ont été depuis développées. Elles

requièrent des données, dites d‟entraînement, qui correspondent à des zones géographiques

très voisines de la zone sous test dans laquelle la cible ne se trouve pas a priori. Outre la

méthode originelle fondée sur l‟inversion de la matrice de covariance des interférences

[REE74], de nombreuses techniques ont été proposées ces dernières années pour réduire la

complexité calculatoire et le nombre de données d‟entraînement2. On distingue les

algorithmes à dimension réduite [WAR94], ceux à rang réduit [HAI96], les techniques

utilisant des informations a priori tels que le KA-STAP [GUE06] et les algorithmes fondés

sur une modélisation autorégressive vectorielle (VAR) des interférences [ROM00].

Cependant, la principale difficulté de la méthode reposant sur une modélisation VAR des

interférences réside dans l‟estimation des matrices autorégressives (AR) à partir des données

d‟entraînement ; ce point constitue l‟axe de notre travail de recherche qui est décrit dans le

troisième chapitre. En particulier, notre contribution porte sur deux aspects.

D‟une part, dans le cas où l‟on suppose que le bruit thermique est négligeable devant le

fouillis supposé non Gaussien, nous proposons [PET10b] de modéliser le fouillis comme un

vecteur aléatoire invariant sphériquement [PAS06] pour lequel la composante gaussienne est

représentée par un processus VAR. Puis, nous utilisons la méthode du point fixe, initialement

développée par Gini et al. [GIN02], pour en déduire les matrices AR. Cette méthode permet

une estimation de la matrice de covariance des interférences tenant compte de la distribution

non Gaussienne du fouillis avec un traitement par bloc des données disponibles. Notre

approche présente l‟avantage d‟en réduire le coût calculatoire.

1 http://clubstap.free.fr/Club_STAP/Bienvenue.html

2 Des algorithmes sans donnée d‟entraînement ont été proposés [LEC06] et reposent sur une analyse spectrale

haute résolution de la zone sous test.


D‟autre part, nous proposons une nouvelle modélisation des interférences différenciant le

bruit thermique et le fouillis. Cette fois, le fouillis est supposé Gaussien ; il est modélisé par

un processus VAR qui est ensuite perturbé par le bruit blanc thermique. Ainsi, de nouvelles

techniques d'estimation des matrices AR sont traitées.

La première [PET10a] est une estimation par bloc reposant sur une technique à erreurs dans

les variables (EIV) et sur le schéma de Frisch en particulier [BEG90]. Cette méthode est dite

aveugle, c‟est-à-dire qu‟elle ne nécessite aucune information a priori sur les données. Elle

permet d‟estimer à la fois les matrices AR ainsi que les matrices de covariance des bruits de

mesure et du processus générateur. A partir de la matrice de covariance définie positive des

observations bruitées, il s‟agit de construire une matrice semi-définie positive compensée en

bruit. La recherche de son noyau permet alors d‟estimer les matrices AR. Cependant, cette

méthode souffre d‟une complexité calculatoire élevée liée à l‟inversion de la matrice de

covariance des interférences et au fait qu‟elle se fonde sur la recherche d‟un ensemble de

solutions potentielles.

Pour cette raison, nous proposons aussi d‟étudier des méthodes récursives. Elles sont fondées

sur une représentation du système dans l‟espace d‟état. Il s‟agit d‟estimer conjointement le

processus VAR et les matrices AR, ce qui conduit à des équations non linéaires. Comme le

problème d‟estimation ne présente pas de solution analytique, il faut recourir à des méthodes

sous-optimales. Ainsi, nous proposons d‟étudier des méthodes locales, à savoir le filtrage de

Kalman étendu (EKF) et le filtrage par points sigma (SPKF) [PET09c]. L‟EKF repose sur une

linéarisation des équations du système par développement de Taylor à l‟ordre 1 autour de la

dernière estimation du vecteur d‟état. Cependant, la précision de l‟estimation dépend de la

sévérité des non-linéarités. Concernant la famille des SPKF, on recense le filtrage de Kalman

non parfumé (UKF) [JUL95] et le filtrage par différence centrale (CDKF) [NOR00]1. Un jeu

de points, appelés points sigma, est choisi de manière déterministe pour approximer la

distribution du vecteur d‟état. Enfin, nous proposons [PET09b] d‟utiliser le filtre H∞, qui est

particulièrement exploité dans le domaine du « contrôle », mais dont les applications en

traitement du signal s‟avèrent peu nombreuses. Cette approche vise à minimiser la norme H∞

du système ayant pour entrées les bruits de mesure et comme sortie l‟erreur d‟estimation

désirée. Son intérêt dans le domaine radar réside dans le fait qu‟aucune hypothèse statistique

n‟est à formuler sur les entrées du système ; elles sont uniquement supposées à énergie finie.

Pour conclure le chapitre 3, nous proposons une structure du schéma de détection permettant

une réduction du coût calculatoire avant de comparer les différentes méthodes en termes de

précision d‟estimation des matrices AR pour des processus VAR synthétiques.

Dans le chapitre 4, une étude comparative des différentes méthodes proposées dans le chapitre

3 est menée dans un contexte de détection radar. Pour cela, des données synthétiques résultant

du modèle de Ward [WAR94], des données semi-synthétiques fournies par le CELAR et des

données réelles fournies par THALES sont utilisées. La performance des algorithmes est alors

établie en termes de probabilité de détection et de probabilité de fausses alarmes dans le cas

d‟un fouillis Gaussien et non Gaussien.

Enfin, conclusions et perspectives sont données. En outre, ce mémoire est complété par six

annexes dont l‟annexe F dédiée à une méthode EIV récursive pour l‟estimation des

paramètres AR à partir d‟observations bruitées [PET 10c].

1 En anglais, ces deux algorithmes sont appelés Unscented Kalman Filter (UKF) et Central Difference Kalman

Filter (CDKF).


Chapitre 1 : Domaine d’application : le radar

Ce chapitre introduit des généralités sur le radar, domaine d‟application de cette thèse. Après

une présentation du principe de fonctionnement du système, les composantes du signal reçu

sont décrites à savoir la cible, le bruit thermique et le fouillis. Ce dernier élément perturbateur

est caractérisé en détail en termes d‟amplitude, de distribution et du point de vue de ses

propriétés de corrélation et spectrales selon qu‟il est issu des échos de sol ou de mer. De plus,

des méthodes de simulation du signal reçu par le radar sont présentées.

1.1 Généralités sur le traitement radar et équations définissant

le radar à impulsions

1.1.1 Notations et configuration du système radar

Le radar est utilisé dans de nombreux domaines et se décline dans une large gamme de

systèmes. Dans cette thèse, le radar est supposé :

primaire car le signal reçu est le résultat de la réflexion de l‟onde émise par le radar

sur un objet ;

monostatique car l‟émission et la réception sont faites sur une antenne unique. Dans le

cas bistatique, l‟antenne permettant l‟émission et celle assurant la réception sont

physiquement séparées ;

de surveillance car le radar explore en continu une zone de couverture ;

haute résolution car sa résolution en distance est de l‟ordre de quelques mètres ;

à impulsions car il émet périodiquement des impulsions brèves. Certains radars,

notamment les radars de contrôle routier, fonctionnent en émettant une onde continue ;

cohérent car le radar est capable de mesurer l‟amplitude du signal reçu et de comparer

sa phase avec un oscillateur local. Les radars dits non cohérents n‟utilisent que

l‟information d‟amplitude.


Les composantes principales du système radar sont rappelées dans l‟annexe A.

Le radar opère alternativement en émission et en réception. Le radar à impulsions émet

périodiquement une impulsion à la fréquence ef . Cette fréquence d‟émission, ou porteuse, est

choisie selon les propriétés de propagation des ondes électromagnétiques, les objectifs

opérationnels, les volumes et les technologies disponibles. La plupart des radars aéroportés

émettent en bande X, c‟est-à-dire dans la gamme de fréquences allant de à .

La longueur de l‟onde radar, notée , satisfait :

⁄ (1.1)

où désigne la vitesse de la lumière.

Dans cette thèse, on considère que et d‟après l‟équation (1.1), il vient

.

Après avoir défini les différentes fonctionnalités du système radar, intéressons-nous aux

paramètres liés au porteur et à l‟antenne ainsi qu‟à la configuration géométrique utilisée.

1/ Quel que soit le porteur utilisé, il est caractérisé par son altitude h et sa vitesse . Pour ne

pas alourdir la présentation, l‟avion est supposé se diriger vers le Nord.

2/ Dans les radars modernes, le récepteur permet la construction de plusieurs voies. Il s‟agit

d‟une configuration dite SIMO : Single Input Multiple Output. Dans cette thèse, trois types

d‟antenne sont envisagés et décrits dans l‟annexe A, en particulier à la figure 60. Une des

caractéristiques principales d‟une antenne est sa directivité. En effet, elle correspond à

l‟ouverture angulaire à , notée , sous le gain maximal [LAC01]. Elle permet

d‟évaluer la résolution angulaire du radar et par voie de conséquence la localisation en

azimut de la cible. Une représentation des angles azimut et élévation dans un repère

quelconque est donnée dans la figure 1.

Figure 1 : Angles azimut et élévation .


3/ La configuration géométrique fait intervenir deux repères (Cf. figure 2) :

le repère Doppler noté est défini par les trois axes . Dans ce

cas, le vecteur étant colinéaire à la vitesse du porteur [

], est dirigé vers le

Nord. Etant donné la définition de , correspond au module du vecteur . En

outre, est à la verticale ;

le repère antenne noté est défini par les trois axes . Dans ce cas,

le vecteur est normal au plan antenne alors que appartiennent au

plan antenne.

Le sol est considéré plat et chaque point de ce celui-ci est caractérisé par deux couples

d‟angles : le couple ),( dopdop qui désignent respectivement l‟azimut et l‟élévation dans le

plan Doppler et ),( antant qui désignent respectivement l‟azimut et l‟élévation dans le plan

antenne.

Dans le repère Doppler , on peut introduire un vecteur directionnel unitaire dans la

direction défini comme suit :

*

( )

+ (1.2)

De manière équivalente, un vecteur directionnel unitaire est défini dans le repère antenne

:

*

+ (1.3)

Figure 2 : Configuration géométrique pour l‟antenne.

Antenne Antenne

Point identique du sol


Etant donné ces définitions physiques et géométriques du radar, introduisons à présent les

trois paramètres caractérisant une cible détectée : la distance la séparant du radar, sa vitesse

radiale relative et sa localisation, c‟est-à-dire sa position angulaire dans le repère antenne

. Ainsi, les mesures radar s‟organisent suivant trois dimensions : celle en distance, celle

en mesure Doppler et celle spatiale.

1.1.2 Dimensions en distance et en mesure Doppler

Dans ce paragraphe, considérons l‟émission d‟une seule impulsion élémentaire )(tue de

durée à la fréquence porteuse . Ce signal réel a pour expression mathématique :

(1.4)

L‟onde émise rencontre un obstacle ponctuel qui se déplace à la vitesse .

Afin d‟établir l‟expression du signal reçu par le radar, il convient de définir la vitesse radiale

relative entre le porteur et l‟obstacle. Elle est notée (Cf. figure 3). Pour cela, on se place

dans le repère Doppler .

Figure 3 : Vitesses du porteur et de l‟obstacle et vitesses radiales correspondantes.

étant le résultat de la différence entre les vitesses du porteur et de l‟obstacle projetées sur

l‟axe porteur-obstacle, son expression est donc :

(1.5)

où et désignent la valeur des vitesses radiales du porteur et de l‟obstacle

respectivement, c‟est-à-dire les modules des projetés de et de sur l‟axe porteur-obstacle.

Pour un obstacle fixe tel qu‟un bâtiment ou un véhicule immobile, l‟équation (1.5) se

simplifie. Etant donné (1.2), s‟écrit :

( ) (1.6)

Cet obstacle diffuse l‟onde dans toutes les directions ; notamment une partie est rétrodiffusée

vers le radar. Ce signal reçu par un capteur élémentaire s‟écrit :

(1.7)

avec

(

)

⁄ (1.8)

où A désigne l‟atténuation due à la propagation (Cf. Annexe B), est la distance séparant

l‟obstacle du radar à l‟instant et

est un terme de phase constant.

Obstacle se déplaçant

à la vitesse

Porteur se déplaçant

à la vitesse


L‟équation (1.8) fait apparaître une contraction du temps et un décalage fréquentiel : c‟est

l‟effet Doppler.

Dans le cas de cibles réelles, on fait l‟hypothèse que

. Ainsi l‟équation (1.8) se ramène

à :

(1.9)

De plus, lorsqu‟on opère en bande étroite, c‟est-à-dire et quand les temps de

traitement sont courts à savoir quelques millisecondes, on n‟observe pas de variations

« importantes » de la distance entre la cible et le porteur. Le retard

dû au trajet

aller-retour de l‟onde est donc considéré constant. L‟équation (1.9) s‟écrit alors :

(1.10)

où

(1.11)

est appelée fréquence Doppler.

Durant la phase de réception, il convient de mesurer le temps 0t (Cf. figure 4) puis de déduire

la distance radar-cible 0D :

(1.12)

Figure 4 : Information distance : émission-réception.

Sur la dimension distance, pour maximiser la puissance du signal d‟une cible par rapport à

celle du bruit thermique, un filtre adapté est mis en œuvre. Dans la pratique, ce filtrage adapté

est réalisé dans le récepteur. Etant donné la forme du signal émis, ce filtre est approximé par

un filtre passe-bande de largeur [LAC01]. A la sortie du récepteur, le signal est

échantillonné à une période inférieure à . La figure 5 présente la partie réelle du

signal reçu par le radar et le signal de sortie du filtrage adapté.

Réception Emission

Information distance :

Echo détecté

Onde émise


Le signal reçu présente les caractéristiques suivantes1 :

le signal est émis sur une fréquence porteuse ;

la longueur d‟impulsion ;

le signal reçu contient le signal rétrodiffusé par une cible avec un retard ;

le rapport signal sur bruit (RSB) est fixé à 10 dB.

Figure 5 : Partie réelle du signal non modulé en fréquence et sortie du signal du filtre adapté.

On peut alors déduire une valeur de la distance minimale séparant deux cibles de même

vitesse et de même amplitude pouvant être discriminées par le radar. Il s‟agit de la résolution

distance notée . Il existe plusieurs manières de la définir [LAC01]. L‟une d‟elles stipule

que est égale à la largeur du pic du signal filtré mesurée à 3 dB de son maximum comme

indiquée sur la figure 5. r est alors directement reliée à la bande comme suit :

22

impc

B

cr

(1.13)

D‟après (1.13), plus est grand, plus la valeur de la résolution distance est faible.

A présent, on peut définir la notion de case de résolution d‟un radar. C‟est une surface dont la

longueur vaut la résolution angulaire et la largeur correspond à la résolution distance .

Deux cibles sont discriminées par un radar si elles ne sont pas dans la même case de

résolution.

Etant donné l‟équation (1.12), il est possible de faire correspondre une distance à chaque

échantillon obtenu à la sortie du récepteur. Pour cette raison, les échantillons du signal reçus

par le radar sont abusivement appelées « cases distance ». En toute rigueur, une case distance

désigne l‟écart en distance entre deux échantillons successifs :

(1.14)

La forme du signal sortant du récepteur et utilisée lors de la phase de traitement du signal est

décrite en détail en annexe A. Le lecteur peut se référer à [LAC01] pour obtenir plus

d‟informations sur ce point.

Dans les radars actuels, est de l‟ordre de et est de l‟ordre de la dizaine de

. La résolution distance correspondante est alors de l‟ordre de la dizaine de mètres.

1 Ces caractéristiques ne correspondent pas exactement à celles d‟un radar opérationnel, mais permettent une

visualisation « aisée » des résultats.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

am

plit

ude

temps en s

0 5 10 15 20 25 30 35 40-25

-20

-15

-10

-5

0

puis

sance e

n d

B

temps en s

-3dB


Pour augmenter la puissance émise par le radar et donc améliorer la portée de celui-ci, deux

solutions sont envisageables : augmenter la durée de l‟impulsion au détriment de la

résolution distance ou augmenter la puissance crête de l‟émetteur, ce qui est limité par la

technologie. Les radars dits à compression d‟impulsion visent à pallier ce problème et

permettent d‟augmenter la portée sans détériorer la résolution distance. Le principe est

d‟émettre des impulsions de plus grande durée, mais modulée soit en fréquence, soit en phase.

La modulation en fréquence consiste à moduler linéairement la fréquence émise autour de ef

pendant la durée de l‟impulsion [CHE09]. Concernant la modulation en phase, les codages de

phase les plus utilisés sont les codages de Barker ou les codages de Franck [LAC01]. Lors de

la réception, la modulation inverse est appliquée au signal permettant la « compression » des

éventuels échos.

La figure 6 présente la partie réelle du signal reçu par le radar et le signal de sortie du filtrage

adapté. Le signal reçu présente les caractéristiques suivantes1 :

le signal est émis sur une fréquence porteuse balayant un intervalle de longueur

centrée sur ;

la longueur d‟impulsion ;

le signal reçu contient le signal rétrodiffusé par une cible avec un retard ;

le RSB est fixé à 10 dB.

Figure 6 : Partie réelle du signal modulé en fréquence et sortie du signal du filtre adapté.

Si l‟on considère à présent plusieurs impulsions émises avec une période de récurrence

R

RF

T1

, l‟écho éventuel est reçu pour chaque récurrence dans la même case distance,

comme le montre la figure 7. Cette répétition des impulsions entraîne deux phénomènes :

l‟ambiguïté distance2 et l‟ambiguïté vitesse [LAC01]. Les valeurs de que l‟on utilise

dépendent de ces deux notions et des objectifs opérationnels du radar. Pour les radars

aéroportés, elles peuvent être classées comme suit :

basse fréquence de récurrence (BFR) allant de à ;

moyenne fréquence de récurrence (MFR) allant de à ;

haute fréquence de récurrence (HFR) allant de à 30 .

1 Ces caractéristiques ne correspondent pas exactement à celles d‟un radar opérationnel, mais permettent une

visualisation « aisée » des résultats. 2 L‟annexe C présente la notion d‟ambiguïté distance. Pour plus d‟informations sur cette notion dans le domaine

radar, le lecteur peut se référer à [LAC01].

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

am

plit

ude

temps en s

0 5 10 15 20 25 30 35 40-25

-20

-15

-10

-5

0

puis

sance e

n d

B

temps en s

-3dB


On peut alors faire deux remarques :

comme , la dimension en distance est appelée « fast time » alors que la

dimension en mesure Doppler est dite « slow time » [MEL09] ;

le nombre de cases distance peut être estimé comme suit :

⁄ (1.15)

Figure 7 : Schéma de détection d‟un radar à impulsions.

Pour l‟impulsion avec ⟦ ⟧, la distance radar-cible peut s‟écrire comme suit :

(1.16)

où est l‟écart de distance radar-obstacle entre deux impulsions.

Le retard s‟écrit donc :

(1.17)

Etant donné (1.1), (1.16) et (1.17), le déphasage Doppler correspondant est égal à :

⏟

⏟

(1.18)

Ce déphasage fait ainsi apparaître une translation de fréquence qui s‟exprime en fonction de la

fréquence Doppler (1.11) :

(1.19)

Ainsi, la fréquence Doppler peut être estimée grâce au déphasage introduit au niveau du

signal reçu pour chaque impulsion émise.

Case distance

.

.

.

.

.

.

Echo détecté

Echo détecté

Echo détecté




Information Doppler :

Evolution de la cible entre chaque impulsion.


On construit donc le vecteur de pointage Doppler noté ),( dopdopdops [MEL09] :

(1.20)

où le temps de traitement cohérent, ou Coherent Processing Interval (CPI), comporte M

impulsions.

Le signal reçu pour un capteur élémentaire se décrit suivant deux dimensions : la dimension

en distance et la dimension en mesure Doppler. Cependant, une antenne est constituée de

plusieurs capteurs élémentaires qui reçoivent chacun le signal rétrodiffusé avec un déphasage

dit spatial. Ce point est traité dans la prochaine section.

1.1.3 Dimension spatiale

La réponse spatiale de l‟antenne dépend de sa structure. Dans un premier temps, le cas général

d‟une antenne à deux dimensions est décrit. Ensuite, le cas particulier de l‟antenne ULA

(Uniform Linear Array) est traité.

Pour une case distance donnée et une impulsion donnée, l‟écho éventuel est capté par les

différents capteurs élémentaires avec un déphasage spatial comme le montre la figure 8 pour

une antenne ULA.

Figure 8 : Déphasage spatial pour une antenne ULA.

Ce déphasage ne dépend que de l‟angle d‟arrivée du signal représenté par le couple

et la position des différents capteurs élémentaires. Considérons

les coordonnées du capteur élémentaire n de l‟antenne dans le plan

pour ⟦ ⟧. Etant donné un point de référence, le déphasage spatial

du

capteur élémentaire n lié à la propagation de l‟onde, considérée plane, est [MEL04] :

(1.21)

où

est le retard entre la réception de l‟onde au point de référence et celle au niveau du

capteur élémentaire n.

…

Plan d‟onde

Retard spatial


Puisque ce retard s‟exprime comme suit :

(1.22)

le vecteur spatial complet s‟écrit :

[

]

[

]

(1.23)

De plus, selon l‟antenne utilisée, on introduit la matrice P de taille qui permet la

formation de sous-réseaux. Les valeurs prises par les coefficients de la nième

ligne et de

jième

colonne de la matrice P sont :

si le capteur élémentaire n ne fait pas partie du sous-réseau j,

si le capteur élémentaire n appartient au sous-réseau j.

D‟une part, ce coefficient permet de pondérer l‟amplitude reçue. Cela influe sur la forme du

diagramme de rayonnement du sous-réseau et notamment sur l‟élargissement du lobe

principal et la réduction des lobes secondaires. D‟autre part, il peut ajouter un déphasage en

réception modélisant le dépointage électronique des antennes actives.

Ainsi, le vecteur de pointage spatial de taille est obtenu comme suit :

(1.24)

A présent, développons l‟équation (1.24) dans le cas particulier de l‟antenne ULA. Nous

supposons que l‟axe et l‟axe sont identiques. Cela signifie que le passage du repère

au repère se fait par rotation d‟angle , appelé angle de crab [KLE02] autour de

l‟axe . Les simplifications sont les suivantes :

; (1.25)

, ce qui signifie qu‟il n‟y a pas de formation de sous-réseaux ; (1.26)

avec ⟦ ⟧ et la distance séparant deux éléments. (1.27)

Le premier capteur étant le centre des repères et en combinant (1.3), (1.26) et (1.27),

l‟équation (1.23) devient :

[

]

(1.28)

En introduisant qui désigne la fréquence spatiale définie comme suit :

, (1.29)

le déphasage spatial pour un capteur n est égal à :

(1.30)


On peut donc réécrire le vecteur de pointage spatial de la manière suivante [MEL09] :

TfNifiantantspa

ss ees ]1[),()1(22

(1.31)

A présent que les trois dimensions caractéristiques du radar ont été introduites, la manière de

structurer les mesures, que l‟on appelle « data cube », peut être présentée. Les données de ce

cube comprennent le signal rétrodiffusé par une cible éventuelle, le fouillis et le bruit

thermique qu‟il est nécessaire de caractériser.

1.2 Caractérisation et simulation des différentes composantes

des données radar

1.2.1 Cube de données ou « data cube »

Le « data cube » représente l‟ensemble des données radar réparties suivant les trois

dimensions décrites précédemment (Cf. figure 9). Le nombre de cases distances est

inférieur à .

Figure 9 : Data cube radar.

Pour chaque case distance, le traitement STAP s‟effectue après le filtrage adapté ou la

compression d‟impulsion réalisée sur l‟axe distance. La Case Sous Test (CST) contient

échantillons de la case distance .

Dans la suite, l‟échantillon représente le signal relatif à la case distance reçue lors de

l‟impulsion et capté par l‟antenne . L‟ensemble des échantillons peut alors être concaténé

sous la forme d‟un vecteur noté :

[

] (1.32)

où [

] avec .

Dimension Doppler

Dimension

spatiale

Dimension

distance

Données

d‟entraînement

Données

d‟entraînement

Case Sous

Test (CST)


Les données dites d‟entraînement sont aussi regroupées sous la forme de vecteurs de taille

et sont notées { }

.

est un signal complexe résultant de trois composantes : le signal

1 rétrodiffusé par une

éventuelle cible ( ), le bruit thermique et le fouillis :

( ) ( ) (1.33)

où représente l‟ensemble des interférences plus bruit ; sa matrice de covariance est notée

. Il s‟agit d‟une matrice de taille qui est Toeplitz par bloc :

[

] (1.34)

où .

Il est à noter que le signal émis par un brouilleur n‟est pas traité dans cette thèse.

Les trois composantes sont caractérisées par deux grandeurs, à savoir l‟amplitude du signal et

la signature spatio-temporelle de taille . Leur calcul permet d‟évaluer la matrice de

covariance de chacune des composantes.

1.2.2 Caractérisation de la cible et du bruit thermique

D‟une part, concernant la cible, nous cherchons à expliciter son amplitude et sa signature

spatio-temporelle notée ( ).

Pour cela, la position de la cible par rapport au porteur est définie soit par le couple d‟angles

dans le repère , soit par le couple dans le repère . On

peut donc caractériser sa réponse au système radar par un vecteur Doppler d‟après

le paragraphe 1.1.2 et par un vecteur spatial d‟après le paragraphe 1.1.3. La

signature spatio-temporelle ( ) se déduit alors comme suit :

( ) ( ) ( ) (1.35)

où désigne le produit de Kronecker.

Le coefficient peut être relié au bilan de liaison radar (Cf. Annexe B) de la manière

suivante :

√

(1.36)

où désigne la surface équivalente radar (SER) de la cible et est la distance porteur-cible.

A noter que est souvent calculée suivant le modèle de Swerling [SWE60]. Cependant,

d‟autres modèles existent comme le modèle de Nakagami [NAK60].

1 Concernant les notations, dans ( ), l‟indice d désigne Doppler, s indique spatial et t désigne target (la

cible).


Ainsi, à partir de (1.35), on peut obtenir une expression de la matrice de covariance du

signal ( ) rétrodiffusé par la cible :

( ( ) ( )) ( ( )

( )) (1.37)

D‟autre part, le bruit thermique est dû à l‟agitation des électrons dans la partie récepteur du

radar. Il est indépendant de la case distance considérée. Il est supposé blanc dans le domaine

Doppler et dans le domaine spatial : il est décorrélé d‟impulsion à impulsion et d‟antenne à

antenne. C‟est un processus aléatoire Gaussien centré et de variance . Le signal étant

centré, correspond à la puissance du bruit thermique qui peut être calculée comme suit :

(1.38)

où est la constante de Boltzmann, la température en Kelvin et le facteur de bruit du

circuit électronique du récepteur radar. Ainsi, la matrice de covariance du bruit thermique

s‟écrit :

[ ] (1.39)

où désigne la matrice identité de taille .

Selon les dispositifs radar, tous les paramètres de l‟équation (1.38) peuvent être connus ; on

peut donc en déduire la variance et .

Afin d‟envisager des traitements éliminant le fouillis, il est nécessaire de le caractériser avec

précision. C‟est l‟objet de la section 1.2.3.

1.2.3 Caractérisation et simulation du fouillis

Comme le fouillis est la perturbation qui joue un rôle néfaste dans la détection radar, nous

proposons dans cette section de décrire un modèle de simulation et de détailler ses propriétés

en termes d‟amplitude et de distribution.

Le fouillis regroupe l‟ensemble des échos rétrodiffusés vers le radar qui ne sont pas dus à la

cible, mais à l‟environnement de celle-ci. Le fouillis peut provenir de l‟atmosphère, de la

pluie, du sol et de la mer. Lors des missions de surveillance maritime, les fouillis de sol et de

mer sont les éléments les plus perturbateurs.

Il est à noter que cette étude a donné lieu à la réalisation d‟un simulateur de fouillis sous

Matlab intégrant différents scénarios de surveillance maritime. Ce simulateur est utilisé dans

le chapitre 4 de cette thèse pour évaluer les performances des algorithmes STAP proposés.

1.2.3.1 Le modèle de Ward

Le modèle de fouillis de sol le plus utilisé est celui de Ward décrit dans [WAR94],

usuellement noté GCM (General Clutter Model). Pour une case distance donnée, le sol est

discrétisé en éléments équi-répartis en azimut comme le montre la figure 10. L‟étalement

angulaire de chaque élément est noté et vaut

⁄ .

Ainsi, un élément i de la jième

case distance ambigüe est vu par le porteur suivant le couple

d‟angles dans le repère Doppler permettant d‟obtenir une fréquence

Doppler et suivant le couple d‟angles dans le repère antenne

permettant d‟évaluer une fréquence spatiale .


De façon similaire à la cible, la signature spatio-temporelle caractérisée par le vecteur

fréquentiel et le vecteur spatial s‟exprime comme suit :

( ) ( ) ( ) (1.40)

Figure 10 : Discrétisation du sol selon le modèle de Ward.

Le fouillis est le résultat de la somme des contributions des éléments du sol de la case

distance non ambigüe et des éléments du sol des cases distances ambigües. Sa

matrice de covariance s‟écrit donc sous la forme :

∑ ∑ ( ( )

( )) ( ( ) ( ))

(1.41)

où désigne l‟amplitude du signal reçu lié à l‟élément du sol et l‟indice désigne la

case distance non ambigüe.

Cependant, dans l‟équation (1.41), on ne tient pas compte du mouvement intrinsèque du

fouillis (ou IMC pour Intrinsic Clutter Motion) traduisant l‟étalement du spectre Doppler du

fouillis. La sous-section suivante dresse un état de l‟art des modèles utilisés pour décrire

l‟enveloppe spectrale du fouillis. Le choix d‟un de ces modèles permet alors de modifier

l‟expression (1.41) de la matrice de covariance .

1.2.3.2 Prise en compte du mouvement intrinsèque du fouillis

Deux caractéristiques intéressent les radaristes : le pic Doppler, c‟est-à-dire la fréquence

Doppler centrale du fouillis, et son étalement spectral [CHA98]. Comme les équations (1.5) et

(1.11) permettent de prendre en compte le décalage du pic Doppler, nous décrivons à présent

la modélisation de l‟étalement spectral.

Pour le fouillis de sol, le pic Doppler est situé à la fréquence Doppler introduite par le porteur

caractérisant l‟ensemble des éléments fixes du sol (Cf. équation (1.6) et (1.11)). L‟étalement

spectral s‟explique, par exemple, par le mouvement de la végétation. Dans [LON01], Long

dresse un état de l‟art des différentes enveloppes spectrales proposées dans la littérature

permettant d‟approximer le spectre du fouillis de sol.

. . . . . . . . .

. . .

. . .

Case distance

non ambigüe Première case distance ambigüe


Elles sont définies par :

une loi Gaussienne dans [BAR49],

une loi en puissance (Power-Law) dans [FIS67],

une loi exponentielle dans [BIL96].

Pour éviter de caractériser les échos fixes par l‟une des trois lois précédentes, le laboratoire

Lincoln [BIL96] a développé un modèle spectral composite. L‟enveloppe finale ,

dépendant de la fréquence Doppler , est la somme pondérée d‟une composante quasi-

continue (appelée DC par analogie avec le courant) et une composante (appelée AC par

analogie avec le courant) :

(1.42)

où est l‟impulsion de Dirac et permet de régler l‟influence des deux composantes sur

la puissance totale. La composante est décrite par une loi en puissance dont l‟expression

est donnée en annexe E et comporte deux paramètres à savoir et . Son allure est

représentée sur la figure 11.

Pour le fouillis de mer, le mouvement intrinsèque traduit le mouvement relatif de la surface de

la mer par rapport au porteur. D‟une part, le pic Doppler est décalé. Chabah [CHA98] en

rappelle les causes : la vitesse de phase et orbitale des vagues, la dérive de Stoke et la dérive

du vent. L‟application numérique faite par l‟auteur montre une vitesse centrale de la mer

allant de 0.6 m/s à 3.1 m/s. D‟autre part, l‟élargissement du spectre de fouillis de mer est lié à

la dispersion en vitesse des différents éléments de la mer et à leur durée de vie limitée.

Trois lois, dont les définitions sont rappelées en annexe E, sont proposées pour décrire

l‟étalement spectral :

une loi Gaussienne permettant la représentation de la dispersion en vitesse des

éléments du fouillis de mer ;

une loi de Lorentz permettant la représentation de la durée de vie réduite des éléments

du fouillis de mer [LEE95a] ;

une loi Voightienne permettant la représentation conjointe de la durée de vie réduite

des éléments du fouillis de mer et leur dispersion en vitesse. Cette loi est obtenue par

convolution d‟une loi Gaussienne et d‟une loi Lorentzienne [LEE95b].

Figure 11 : Enveloppe de la composante AC de la Power-Law.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Densité s

pectr

ale

de p

uis

sance

frequences normalisees

n=3 fc=0.1

n=2 fc=0.1

n=3 fc=0.2

n=2 fc=0.2


Lorsque le vent forcit et que les vagues, prêtes à déferler, s‟intensifient, des réflecteurs rapides

apparaissent. Ces phénomènes n‟étant pas prépondérants, le spectre Doppler devient alors

asymétrique et s‟élargit. Dans [WAR06], Ward et al. proposent de représenter l‟enveloppe

spectrale par la somme de deux Gaussiennes, l‟une étant prépondérante par rapport à l‟autre.

Quant à Miller [MIL00], il suggère une enveloppe Gaussienne dont la fréquence centrale

varie selon une loi Gamma.

Tous les modèles que nous venons d‟énumérer s‟attachent à décrire les spectres rencontrés

dans la pratique, mais restent difficiles à paramétrer. Dans le cas du fouillis de mer, seul le

spectre Gaussien peut être relié à l‟environnement réel. Pour cela, on définit tout d‟abord une

matrice Toeplitz pour chaque élément du sol ou de la mer :

[

] (1.43)

avec

avec . L‟écart type en vitesse

de l‟étalement Doppler varie selon la vitesse du vent ou l‟état de mer sur l‟échelle de Douglas.

De manière générale, pour le fouillis de mer, est compris entre 0 et 2 m/s.

Puis, la matrice est incorporée au modèle GCM (1.41) comme suit :

∑ ∑ ( ( )

( )) ( ( ) ( ))

(1.44)

où est le produit d‟Hadamard, c‟est-à-dire le produit composante par composante.

Cependant, pour appliquer l‟équation (1.44), l‟amplitude d‟un élément du fouillis doit être

définie. C‟est l‟objet de la sous-section 1.2.3.3.

1.2.3.3 L’amplitude du fouillis

Tout d‟abord, l‟amplitude reçue par le radar provenant d‟un élément du fouillis est reliée au

bilan de liaison effectué en annexe B :

√

(1.45)

où désigne la distance qui sépare le porteur de la jième

case distance ambigüe et est la

SER de l‟élément.

Cependant, les échos provenant du sol ou de la mer sont issus de nombreux réflecteurs

compris dans une seule cellule de résolution radar. Pour pouvoir caractériser chaque type de

sol, Goldstein [GOL50] introduit une SER par unité de surface notée ne dépendant pas de

la surface de chaque cellule. Cette grandeur est aussi appelée coefficient de rétrodiffusion

moyen. Ainsi, la SER de l‟élément s‟écrit :

(1.46)

où représente l‟aire de la cellule du fouillis. Son expression est donnée par :

(1.47)


Ainsi, l‟équation (1.46) devient :

(1.48)

D‟après (1.48), diminuer défini par (1.14) permet d‟affaiblir l‟amplitude de fouillis reçue

par le radar. Pour cette raison, on cherche toujours à réduire dans les radars. De plus,

comme est inversement proportionnel au cosinus de l‟angle d‟élévation, plus la

configuration est rasante, c‟est-à-dire plus est faible, plus l‟amplitude du fouillis est

faible.

Pour obtenir , il est nécessaire de combiner les équations (1.45) et (1.48). Cependant, il

reste à préciser les différentes valeurs prises par selon les deux types de fouillis : celui de

sol et celui de mer.

Définition de la surface équivalente radar par unité de surface du fouillis de sol

Pour le sol, dépend principalement de deux paramètres : l‟angle d‟élévation et le type

de terrain.

Lombardo [LOM05] propose une généralisation pour tout type de terrain du modèle

constant initialement introduit par Clapp [CLA46]. s‟écrit :

(1.49)

où est une constante qui dépend du type de terrain ; le tableau 1 présente les valeurs de

pour cinq types de terrain.

Type de terrain (dB)

Ville -10.8

Montagne -21.6

Forêt -25.0

Campagne -28.8

Désert -42.0

Tableau 1 : Valeur de selon le type de terrain.

Définition de la surface équivalente radar par unité de surface du fouillis de mer

Le calcul théorique de reposant sur l‟étude d‟une réflexion électromagnétique d‟une onde

sur une surface non plane, des méthodes semi-empiriques ont été développées. Elles sont

issues d‟une association de modèles mathématiques et des données expérimentales. Les trois

approches les plus utilisées sont celles de Nathanson [NAT69], de Sittrop [SIT77] et celle du

Georgia Institute of Technology (GIT) [HOR78]. Pour obtenir le détail de ces trois méthodes,

le lecteur peut se référer à l‟article d‟Antipov [ANT98]. D‟autres modèles existent,

notamment celui développé par Technology Service Corporation [RYA90] et celui

qu‟Antipov appelle « hybride ». Cependant, ces deux modèles ne tiennent pas compte de la

vitesse du vent et ne sont donc pas étudiés dans cette thèse.

La méthode GIT1 [HOR78] est la plus populaire car elle repose sur une combinaison de

facteurs empiriques et du modèle physique de rétrodiffusion de l‟onde sur une surface marine.

1 Une description complète du modèle GIT est donnée en annexe D.


Pour ce modèle, dépend de l‟angle d‟élévation , de la hauteur moyenne des vagues, la

vitesse et de la direction du vent, la longueur d‟onde radar et de la polarisation.

Trois facteurs sont calculés :

un facteur d‟interférence lié à la théorie ;

un facteur de vitesse de vent lié aux données empiriques ;

un facteur de direction du vent.

Cette diversité des informations permet une modélisation plus fine des conditions de la mer.

De plus, une large gamme de fréquences allant de à peut être envisagée et

toutes les directions du vent sont traitées.

Si l‟on compare les coefficients de rétrodiffusion moyens du sol et de la mer, la surface

équivalente radar par unité de surface du sol est toujours plus élevée que celle de la mer quel

que soit le type de terrain. Ainsi, lors de missions de surveillance côtière, de fortes amplitudes

apparaissent et sont liées à la rétrodiffusion du sol.

1.2.3.4 Distribution du signal de fouillis

Après avoir expliqué la modélisation statistique à deux échelles, nous distinguons l‟étude du

fouillis de sol de celle du fouillis de mer en faisant le lien entre les deux chaque fois que cela

est possible.

Le signal réfléchi par une surface rugueuse peut être modélisé par une variable aléatoire

caractérisée par une densité de probabilité. Cette dernière influe sur le critère optimal de

détection de cibles.

A un déphasage constant près, Chabah [CHA98] explique que le champ électromagnétique

correspondant à une cellule de résolution est le résultat de la somme de réflecteurs

élémentaires. Chacun d‟eux est caractérisé par son amplitude et sa phase. Le théorème central

limite peut être appliqué si les trois conditions suivantes sont respectées :

1. est stationnaire et infiniment grand ;

2. les amplitudes du signal réfléchi par les réflecteurs sont indépendantes et

identiquement distribuées ;

3. les phases du signal réfléchi par les réflecteurs sont indépendantes et uniformément

réparties sur .

Contrairement au bruit thermique, les signaux expérimentaux du fouillis de terre ou de mer ne

sont pas forcément Gaussiens ; on parle alors de signaux « impulsionnels » en raison des pics

d‟amplitude. Cette non-Gaussianité peut s‟expliquer physiquement. D‟une part, le théorème

central limite ne s‟applique plus lorsque est faible car le nombre de réflecteurs par cellule

de résolution se réduit ne respectant plus la condition 1. D‟autre part, l‟angle d‟élévation

faible ou « rasant » fait ressortir les disparités du terrain (des rugosités pour la terre, des

vagues pour la mer). La condition 2 n‟est alors plus respectée.

On a vu précédemment que d‟après (1.48), diminuer la valeur des paramètres et

permet d‟affaiblir la puissance du fouillis reçue par le radar et une meilleure détection des

éventuelles cibles. Cependant, cette diminution entraîne une distribution non Gaussienne du

fouillis.


Distributions modélisant le fouillis de sol

Le signal réfléchi par le sol peut se décrire comme la multiplication de deux composantes

[LOM05] :

la première composante modélise le signal réfléchi par chaque réflecteur élémentaire

en mouvement au sein d‟une même cellule de résolution. Cette variation du signal

influence les gains de traitement du signal tels que la post-intégration et le filtrage

Doppler ;

la seconde composante modélise les fluctuations d‟amplitude du signal de cellule de

résolution à cellule de résolution sur une surface du sol (rugosité). Cette variation du

signal influence les traitements radar tels que la compression d‟impulsion et le

traitement TFAC (Taux de Fausses Alarmes Constantes).

D‟une part, pour la distribution temporelle, Lombardo [LOM05] propose la loi de Rayleigh.

Le paramètre de forme de cette loi permettant de prendre en compte les réflecteurs fixes et les

réflecteurs mobiles. Cependant, Keer [KEE51] opte plutôt pour la distribution de Rice qui

selon lui est plus adaptée à la somme des échos fixes et mobiles.

D‟autre part, la distribution spatiale étudiée par le laboratoire Lincoln grâce à de nombreuses

mesures d‟échantillons du fouillis de sol [BIL91] dépend du type de terrain et de l‟angle

d‟élévation. Pour des angles de plus faible élévation, c‟est-à-dire une configuration « rasante »

du radar, une distribution à queue lourde est nécessaire. Pour ces raisons, la loi log-normale

est considérée. Pour des angles d‟élévation compris entre et , la distribution spatiale peut

être approximée par une loi de Rayleigh. Ainsi, pour le cas général, les auteurs font le choix

d‟une distribution de Weibull. En effet, le paramètre de forme de cette loi permet d‟approcher

soit une distribution de Rayleigh, soit une distribution log-normale. Les chercheurs ayant

mené l‟étude déduisent les valeurs de ce paramètre suivant les types de terrain et les angles

d‟élévation.

Distributions modélisant le fouillis de mer

La statistique du fouillis de mer dépend de l‟angle d‟élévation, de la résolution azimut, de la

direction du vent et de la polarisation. Chronologiquement, trois modèles ont été les plus

utilisés pour modéliser la distribution du fouillis de mer :

la distribution log-normale [TRU70] ;

la distribution de Weibull [FAY77] ;

la distribution K [WAR81].

Tout d‟abord, Trunk et George [TRU70] ont utilisé la distribution log-normale en 1970. Sa

densité de probabilité à queue lourde permet de modéliser les fouillis de mer en configuration

rasante. Valenzuela et Laing [VAL71] expliquent l‟utilisation de cette loi par un modèle de

rétrodiffusion à deux échelles : la première représentant la rugosité de chaque réflecteur

élémentaire et la seconde modélisant la pente de ces réflecteurs.

Ensuite, Fay [FAY77] a introduit la loi de Weibull. Cela lui permet de modéliser de

nombreuses conditions opérationnelles et environnementales de fouillis de mer.


Enfin, Ward [WAR81] reprend le modèle composé de Valenzuela et différencie deux

composantes :

le speckle qui est une composante à fluctuations rapides. L‟autocorrélation de cette

composante s‟annule pour un écart supérieur à 10 ms en bande X. Il est modélisé par

une loi de Rayleigh ;

la modulation qui est une composante à fluctuations lentes. L‟autocorrélation de cette

composante s‟annule pour un écart supérieur à quelques secondes en bande X. Son

carré est modélisé par une loi Gamma.

Le produit de ces deux composantes constitue la rétrodiffusion sur la surface de mer. La

distribution finale est appelée distribution K en raison de l‟expression de sa densité de

probabilité faisant intervenir la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, notée

habituellement K.

Récemment, Watts [WAT08] précise que la texture de loi Gamma n‟a pas de justification

théorique connue, mais permet de synthétiser la plupart des signaux de fouillis de mer obtenus

en pratique. De plus, des modèles empiriques permettent de fixer le paramètre de forme

associé à la loi K dans de nombreuses conditions opérationnelles et environnementales

[WAR06]. Lorsque tend vers 0, l‟impulsivité du fouillis augmente ; lorsque les

conditions sont quasi gaussiennes. Ainsi, Ward et al. [WAR90] proposent de calculer grâce

à l‟équation suivante :

(1.50)

s‟obtient grâce à l‟équation :

. (1.51)

dépend de la polarisation ; pour une polarisation horizontale (respectivement verticale), k

est fixé à 1 (respectivement 1.7). est évalué suivant l‟angle entre la direction du vent et

le dépointage de l‟antenne [WAT90] :

(1.52)

Cependant, cette formule n‟est valable que pour :

la bande X ;

qui correspond à une résolution distance de .

Cette dernière condition étant trop restrictive, Ryan [RYA92] propose d‟introduire la

longueur d‟impulsion dans le calcul de comme suit :

(1.53)

où est exprimée en ns.

Les distributions de Weibull ou la distribution K intervenant dans la modélisation statistique

des fouillis, sont regroupés dans un modèle de distribution plus général appelé vecteur

aléatoire invariant sphériquement ou Spherically Invariant Random Vector (SIRV) présenté

dans la sous-section suivante.

SIRV

Ces modèles se caractérisent par la modulation aléatoire au cours du temps de la puissance

instantanée d‟un processus complexe Gaussien [PAS06]. Plus précisément, le SIRV noté est


le produit d‟une variable aléatoire , appelée texture qui est scalaire et positive, et d‟un

vecteur aléatoire complexe Gaussien appelé speckle. Pour la modélisation du fouillis de

mer, joue le rôle de la composante modulation [CON87]. est de dimension , centré

et de matrice de covariance .

√ (1.54)

La texture est choisie grâce au modèle de fluctuation appliqué au nombre de réflecteurs

élémentaires compris dans une case de résolution.

Ainsi, un modèle plus général peut être dérivé du SIRV [LOM05] comme suit :

√ (1.55)

où est un vecteur de taille et est le produit d‟Hadamard. Chaque élément de est

distribué selon une loi positive différente.

Cependant, sur la dimension Doppler et celle spatiale, on considère que est fixe, ce qui

explique que est un scalaire. Ce n‟est pas le cas sur la dimension distance. Si l‟on considère

la population des réflecteurs comme un processus de naissance-décès-immigration, varie

selon une loi binomiale négative [CHA98]. La texture associée suit alors la distribution

Gamma. Ainsi, d‟après (1.54), le signal est distribué selon une loi K [WAR81]. La loi de

Weibull est aussi un cas particulier du SIRV, mais la loi de la texture est inconnue [JAY03].

1.2.3.5 Corrélation spatiale du fouillis de mer

L‟étude de la fonction d‟autocorrélation du signal réel radar faite par Chabah [CHA98]

montre une structure à deux échelles de temps confirmant l‟existence des deux composantes

proposées par Ward [WAR81]. Il est donc nécessaire de distinguer une corrélation à court

terme introduite par le speckle et une à long terme due à la modulation.

De plus, cette corrélation peut être étudiée selon deux dimensions : la dimension distance et

celle Doppler. Cette dernière correspond au degré de ressemblance du signal en fonction de

l‟azimut pour une distance fixe.

Dans [ANT98], Antipov propose deux modèles empiriques pour chaque corrélation :

la corrélation Doppler peut être modélisée par deux fonctions :

|

| (1.56)

ou

(

)

(1.57)

avec et deux paramètres à déterminer ;

la corrélation en distance peut être modélisée par deux fonctions :

|

| (1.58)

ou

(

)

(1.59)

avec et deux paramètres à déterminer.


Antipov utilise les valeurs numériques suivantes :

;

.

Sur la dimension Doppler et pour des écarts couvrant le CPI, la corrélation de la texture reste

très proche de 1. Pour cette raison, la texture est supposée constante sur la dimension Doppler

comme nous l‟avons déjà évoqué dans la section 1.2.3.4.

Sur la dimension distance et en accord avec Tough et al. [TOU99], nous utilisons une

fonction d‟autocorrélation de la forme :

(1.60)

où et sont deux paramètres scalaires. Dans cette section, nous fixons et .

Figure 12: Fonction d‟autocorrélation (ACF) désirée,

du processus Gaussien et du processus Gamma.

Figure 13: Fonction d‟autocorrélation (ACF) désirée, modifiée,

du processus Gaussien modifié et du processus Gamma modifié.

Les propriétés de corrélation du fouillis influencent les performances du système radar

[WAT96]. La corrélation est donc un élément essentiel de la simulation synthétique du

fouillis. Or, déterminer la fonction d‟autocorrélation et la distribution non Gaussienne d‟un

processus n‟est pas une chose simple. Pour cette raison, Tough et Ward [TOU99] proposent

0 20 40 60 80 100 120 140-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ecart

Corre

lation

ACF desirée

ACF Gaussien

ACF Gamma = 0.6

0 20 40 60 80 100 120 140-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Retard

Corre

lation

ACF desirée

ACF Modifiée

ACF Gaussienne modifiée

ACF Gamma modifiée = 0.6


d‟utiliser une transformation non linéaire sans mémoire1 (MNLT). Ils partent de la

constatation suivante : lorsqu‟ils simulent un processus corrélé distribué selon une loi

Gamma à partir d‟un processus corrélé distribué suivant une loi Gaussienne, la fonction

d‟autocorrélation du processus n‟est pas la même que le processus . Ce phénomène est

illustré par la figure 12. Ils proposent donc d‟appliquer une transformation à la fonction

d‟autocorrélation initiale de afin d‟obtenir la fonction d‟autocorrélation souhaitée pour le

processus comme le montre la figure 13. La figure 14 décrit le processus corrélé distribué

selon une loi K obtenu grâce au processus .

Cependant, ces modèles ne réussissent pas à modéliser l‟ensemble des phénomènes de

« spikes » présents dans le fouillis de mer [WAT08]. Ces phénomènes sont décrits dans la

section 1.2.3.6. Ensuite, la distribution KA [MID99] permettant de les modéliser est

expliquée.

Figure 14: Processus aléatoire distribué selon une loi K avec

caractérisée par la fonction d‟autocorrélation Gamma désirée.

1.2.3.6 Spécificité du fouillis de mer : les spikes

Les « spikes » se caractérisent dans le signal radar par des pics d‟amplitudes. Physiquement,

ils peuvent être divisés en trois catégories [WAT08] :

les réflecteurs de Bragg : ils sont liés à des vagues de capillarité et modulés par la

houle. Leur coefficient de réflectivité moyen est plus élevé en polarisation verticale

qu‟en polarisation horizontale. Ils présentent un large étalement Doppler sans décalage

de la fréquence centrale ;

les réflecteurs liés à la crête des vagues : ils se produisent avant le déferlement de la

vague. Ce sont des réflexions spéculaires qui durent environ . Leurs

amplitudes sont plus importantes en polarisation horizontale qu‟en polarisation

verticale. L‟étalement Doppler est faible et la fréquence centrale est décalée

proportionnellement à la vitesse du haut de la vague ;

les réflecteurs whitecap : ils sont liés à la surface rugueuse qui suit le déferlement

d‟une vague. L‟amplitude présente un caractère moins « impulsif » que pour celle des

réflecteurs liés à la crête des vagues, mais l‟étalement Doppler est plus large.

1 Cette transformation s‟appelle en anglais « Memoryless Nonlinear Transformation » (MNLT).

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

echantillons

Puis

sance

= 0.6


La distribution K et le modèle de Ward [WAR81] sur lequel elle est fondée ne décrivent que

les réflecteurs de Bragg. Ainsi, la distribution KA a été proposée indépendamment par

Middleton [MID99] et par Ward [WAR02]. Elle a pour but de tenir compte de tous les types

de spikes. Dans les deux cas, le fouillis de mer est le résultat de la somme de deux

composantes : le bruit de fond et les interférences impulsives. Dans [VAL09], une

comparaison des deux méthodes de la loi KA est menée. Les auteurs montrent la pertinence

de la méthode de Middleton pour approcher la densité de probabilité de données réelles.

1.2.3.7 Modélisation électromagnétique

Une approche alternative à la modélisation statistique est la modélisation physique d‟un

environnement donné suivi d‟un « habillage » électromagnétique. Le fouillis de mer est

d‟ailleurs caractérisé avec succès grâce au modèle d‟écho composite [WAR06] pour des

angles de forte élévation. Ce dernier n‟est plus valable pour des angles faibles, c‟est-à-dire

inférieurs à où des propagations multi-trajet et des phénomènes de masquage sont à

prendre en considération. C‟est en utilisant cette approche qu‟un modèle électromagnétique a

permis d‟approcher les valeurs données par le modèle GIT. Récemment, des progrès ont été

faits dans l‟analyse des échos de spikes [MEL06].

Cette approche prometteuse peut permettre à terme de décrire des environnements particuliers

difficiles à traiter par une méthode statistique générale.

1.2.3.8 Hétérogénéité du fouillis

Les différents facteurs d‟hétérogénéité du fouillis peuvent être classés en trois groupes : la

non-homogénéité du sol [ARM93], la non-stationnarité sur l‟axe distance du lieu1 fréquentiel

du fouillis et la présence d‟autres cibles dans le domaine d‟entraînement.

Tout d‟abord, la non-homogénéité du sol peut donner lieu à une variation en amplitude et en

étalement spectral du fouillis. Une transition rapide du fouillis explique ces phénomènes :

dans le cas d‟une surveillance côtière, il y a du fouillis de mer et du sol ;

dans le cas d‟une surveillance du sol, il y a plusieurs types de terrain à prendre en

compte et qui sont cités dans le tableau 1.

La présence ou non d‟arbres et de champs peut expliquer la variation spectrale.

Ensuite, suivant la configuration du radar, le fouillis peut ne pas être stationnaire en distance.

Dans le cas où l‟angle de dépointage de l‟antenne est différent de 90°, le lieu du fouillis

décrit une ellipse [BEA08] et n‟est pas stationnaire en distance puisqu‟il dépend de l‟angle

d‟élévation .

La figure 15 présente le lieu du fouillis pour cinq distances différentes à savoir ,

, , et . Dans ce cas, l‟altitude du porteur est fixé à et

.

D‟après la figure 15, la non-stationnarité du fouillis en distance est importante pour les

distances faibles avec une grande variation des lieux du fouillis. Pour cette altitude du porteur

à savoir , il est possible de considérer que le fouillis est stationnaire en distance à

partir de 20 km.

1 On parle aussi de « clutter ridges », terme anglais signifiant lieux du fouillis.


Figure 15 : Non-stationnarité du fouillis en distance.

Enfin, des cibles supplémentaires peuvent être présentes dans la CST ou dans les données

d‟entraînement [MEL01]. Ce cas de figure se rencontre dans le cadre d‟une mission de

surveillance sur un large domaine.

1.2.3.9 Bilan

Dans la section 1.2.3, nous avons décrit l‟ensemble des propriétés des fouillis de mer et de sol

et avons présenté un modèle de simulation. De plus, nous avons dressé un état de l‟art des

différentes distributions permettant de synthétiser les variations d‟amplitude du signal reçu

par le radar issu de la rétrodiffusion du sol et de la mer. A présent, nous proposons de préciser

nos choix de modélisation dans le cadre de la thèse.

D‟une part, le signal rétrodiffusé par le sol est simulé grâce au modèle GCM [WAR94] sans

mouvement intrinsèque. Son amplitude suit une loi de Rayleigh pour des hypothèses

Gaussiennes et une loi log-normale sinon. Enfin, son coefficient de réflexion moyen obéit au

modèle du constant développé par Lombardo [LOM05].

D‟autre part, le signal rétrodiffusé par la mer est simulé grâce au modèle GCM [WAR94]

avec un mouvement intrinsèque représenté par une enveloppe Gaussienne. Son amplitude suit

une loi de Rayleigh pour des hypothèses Gaussiennes et une loi K sinon. Enfin, son

coefficient de réflexion moyen obéit au modèle de GIT [HOR78].

1.3 Conclusions : intérêt du STAP dans le domaine radar

Les interférences peuvent compromettre la détection d‟une cible à partir du signal radar. Pour

éliminer le fouillis, connaître ses propriétés est un atout. A titre d‟exemple plaçons-nous dans

le cas où l‟angle de dépointage du porteur est égal à 90°.

Si l‟on conserve les simplifications utilisées pour l‟antenne ULA, on peut faire les liens

suivants :

,

.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

fréquences Doppler normalisées

fréqu

ence

s sp

atia

les

norm

alis

ées

Dc = 4 km

Dc = 5 km

Dc = 10 km

Dc = 20 km

Dc = 30 km


Ainsi, les équations (1.10) et (1.29), donnant respectivement l‟expression de la fréquence

Doppler et de la fréquence spatiale, peuvent être réécrites en ne faisant intervenir que les

angles situés dans le repère :

( ) (1.61)

et

(1.62)

En prenant , on obtient une relation linéaire entre la fréquence Doppler et la

fréquence spatiale :

(1.63)

Le lieu du fouillis dans les dimensions spatio-Doppler est décrit par une droite de pente

indépendante de la distance, comme le montre la figure 16.

Figure 16 : Lieu du fouillis en configuration latérale et filtrage STAP.

Etant donné l‟équation (1.35), la cible est représentée, en théorie, dans le domaine dual de

fréquence spatio-Doppler par un Dirac. Bien que la détection d‟une cible rapide soit possible

dans le domaine fréquentiel Doppler, celle d‟une cible lente est plus délicate car elle possède

une vitesse relative et une localisation angulaire proches de celles du fouillis. La probabilité

de détection est donc dégradée pour des cibles ayant des fréquences Doppler faibles. De

plus, un filtrage monodimensionnel du fouillis soit dans la dimension Doppler, soit dans la

dimension spatiale ne permet pas d‟augmenter la probabilité de détection puisque cette

opération atténue fortement les amplitudes des cibles lentes. Une solution est le filtrage

bidimensionnel spatio-temporel qui permet l‟élimination du fouillis sans atténuation de la

cible. Ainsi, les traitements STAP présentent un grand intérêt dès lors que le radar possède

plusieurs voies de réception. Un état de l‟art de ces techniques est dressé dans le chapitre 2.

Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art

Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l’art

Le STAP vise à éliminer l‟influence du fouillis en vue de détecter une cible lente. Cependant,

en pratique, il requiert la connaissance du vecteur de pointage et l‟estimation de la matrice de

covariance des interférences. Cela a donné lieu à de nombreuses variantes du STAP tenant

compte de la taille des données d‟entraînement, de l‟hétérogénéité éventuelle et du caractère

Gaussien ou non du fouillis.

Après un rappel sur la théorie de la détection dans le cas non adaptatif, c‟est-à-dire lorsque la

matrice de covariance théorique des interférences et le vecteur de pointage sont connus, un

état de l‟art sur les traitements adaptatifs1 spatio-temporels est dressé. Il inclut une

présentation de la méthode originelle connue sous le nom de SMI [REE74] et des déclinaisons

qui ont été ensuite proposées. On s‟intéresse alors à des détecteurs adaptatifs [KEL86]

[ROB92] ainsi qu‟à l‟ensemble des méthodes permettant la réduction du domaine

d‟entraînement ou l‟estimation en milieu non Gaussien. Enfin, les méthodes de compensation

en distance et l‟approche appelée Knowledge-Aided STAP [WIC06] sont détaillées.

2.1 Détection dite non adaptative

2.1.1 Détection classique

Le problème de détection d‟une cible consiste à décider entre les deux hypothèses suivantes :

{

(2.1)

,

( )

(2.2)

où , , …, sont indépendants et identiquement distribués.

1 Le terme « adaptatif » désigne le fait que la matrice de covariance des interférences et le vecteur de pointage

ne sont pas connus et sont estimés grâce aux données d‟entraînement { }

.


Sous l‟hypothèse , la case sous test correspond uniquement à des interférences à savoir

du bruit thermique et du fouillis alors que les données d‟entraînement ne comprennent que des

interférences.

Sous l‟hypothèse , la case sous test correspond à la cible et des interférences alors que

les données d‟entraînement contiennent les interférences.

Soient la probabilité de détection et la probabilité de fausses alarmes qui constituent

des mesures de performances définies comme suit :

Le choix de l‟hypothèse se fait alors par application du critère de Neyman-Pearson [NEY33]

qui vise à maximiser la probabilité de détection étant donné une probabilité de fausses

alarmes fixée et égale à une valeur . En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, le test

optimal sous contrainte se ramène au test de rapport de vraisemblance (TRV) suivant :

( )

(2.3)

où est le seuil de détection. Si est supérieur à , la décision est prise ; sinon, on

opte pour la décision .

L‟équation (2.3) se simplifie en raison de l‟indépendance statistique de l‟ensemble des

observations :

( )

(2.4)

Il est à noter que pour une valeur de fixée à , le seuil de détection satisfait :

∫

(2.5)

Ensuite, la probabilité de détection se déduit de la manière suivante :

∫

(2.6)

Dans certains cas, des paramètres de l‟équation (2.4) ne sont pas connus ; il s‟agit notamment

de l‟amplitude de la cible et de la matrice de covariance des interférences . Elles sont

nécessaires pour définir et

.

Dans ce cas, on applique le test du rapport de vraisemblance généralisé (TRVG). La détection

s‟opère en deux étapes :

1/ le paramètre représentant ou , est estimé par exemple au sens du maximum de

vraisemblance pour les hypothèses et :

pour (2.7)

2/ le test du rapport de vraisemblance (2.4) est appliqué avec les paramètres estimés.


Cependant, dès qu‟un détecteur est défini à partir des données, il est important de vérifier si la

détection s‟opère à une probabilité de fausses alarmes constante. Cette propriété est connue

sous le nom de Taux de Fausses Alarmes Constant (TFAC)1. Dans ce cas, le seuil peut être

fixé uniquement en fonction de la désirée.

Pour un fouillis non Gaussien, cette propriété se décompose en deux catégories. Sous

l‟hypothèse , si la distribution du test statistique ne dépend pas de la matrice des

interférences (de la texture du fouillis respectivement), on dit que le test possède la

propriété matrix-CFAR (la propriété texture-CFAR respectivement).

Intéressons-nous à présent aux différents détecteurs non adaptatifs. Dans la sous-section 2.1.2,

on distingue deux situations selon que le fouillis est considéré Gaussien ou non.

2.1.2 Détecteurs non adaptatifs

Dans cette sous-section, on se place dans le cas non adaptatif, c‟est-à-dire que la matrice de

covariance théorique des interférences-plus-bruit et le vecteur de pointage

( ) sont connus.

2.1.2.1 Détection non adaptative en milieu Gaussien

Le détecteur appelé Optimum Gaussian Detector (OGD) [KAY98] est obtenu par application

du TRVG [PAS06]. Tout d‟abord, l‟amplitude de la cible est estimée au sens du

maximum de vraisemblance :

( )

( ) ( )

(2.8)

Ensuite, cet estimateur est intégré dans l‟équation (2.3) du TRV. Pour cela, on définit

et

:

‖ ‖ ( ( ))

( ( )) (2.9)

‖ ‖ ( )

( ) (2.10)

où ‖ ‖ désigne le déterminant.

On en déduit alors le détecteur OGD qui satisfait :

( )

| ( ) |

( ) ( )

(2.11)

où est le seuil de détection.

Afin de fixer ce seuil en fonction d‟une fixée à , il est nécessaire de déterminer la loi de

probabilité de sous l‟hypothèse . D‟après [KAY98], il décrit la loi suivante :

(2.12)

où est une loi du à 2 degrés de liberté.

1 Cette propriété est appelée Constant False Alarm Rate (CFAR) en anglais.


Ainsi, d‟après la définition (2.5) de la et celle de la loi du en annexe E, il vient :

(2.13)

Dans certains cas, la matrice de covariance des interférences est connue à un facteur

multiplicatif près :

(2.14)

où est une matrice hermitienne définie positive et est un facteur de puissance inconnue.

Dans ce cas, le test binaire est composite à la fois sous l‟hypothèse et sous l‟hypothèse

:

sous l‟hypothèse , l‟amplitude du signal est inconnue ;

sous les hypothèses et , la puissance est inconnue.

Comme pour l‟OGD, le détecteur qui en résulte s‟obtient par application du TRVG [SCH96] :

en estimant au sens du maximum de vraisemblance des paramètres inconnus et

;

en appliquant le test du rapport de vraisemblance généralisée.

Etant donné le second terme de normalisation apparaissant au dénominateur, ce test statistique

est appelé « Normalized Matched Filter » (NMF) :

| ( )

|

[ ( ) ( )]*

+

(2.15)


D‟après [PAI10], la loi de distribution du détecteur sous l‟hypothèse est :

(2.16)

où est une loi Beta de première espèce (Cf. Annexe E).

Ainsi, le seuil est fixé en fonction d‟une fixe égale à :

(2.17)

On peut noter que est insensible à un facteur d‟échelle arbitraire sur la CST .

2.1.2.2 Détection non adaptative en milieu non Gaussien

Les fouillis de terre et de mer ne sont pas nécessairement distribués selon une loi Gaussienne.

Ainsi, les performances en détection de l‟OGD se dégradent dès lors que l‟on est amené à

traiter un fouillis « impulsionnel ». Un détecteur adapté au modèle SIRV défini par (1.54)

permettant de modéliser les données des différents fouillis a été développé dans [GIN97].

Ce détecteur nécessite l‟estimation de la densité de probabilité de la texture . Pour cette

raison, Jay [JAY03] utilise un estimateur bayésien sur les K données d‟entraînement du

système (2.1)-(2.2). En injectant cette estimation dans le TRVG, il définit le Bayesian

Optimum Radar Detector (BORD).


Ce détecteur étant peu maniable mathématiquement, il est préférable d‟utiliser sa version

asymptotique, notée aBORD, lorsque K tend vers :

| ( )

|

[ ( ) ( )]*

+

(2.18)


Ce seuil est fixé en fonction d‟une fixe égale à comme suit :

√

√ (2.19)

où

est le seuil de détection du BORD original.

Il est à noter que ce détecteur est aussi connu sous l‟acronyme GLRT-LQ (Generalized

Likelihood Ratio Test-Linear Quadratic) [GIN97]. De plus, Sangston et al. [SAN99] ont

obtenu un détecteur semblable en considérant la texture du SIRV comme un paramètre

déterministe et en la remplaçant par son estimation au sens du maximum de vraisemblance

sous chacune des hypothèses.

Dans la pratique, la matrice de covariance et le vecteur de pointage ( ) sont

inconnus :

est remplacée par son estimation fondée sur les données d‟entraînement ;

un candidat est proposé comme vecteur de pointage, c‟est-à-dire que l‟on choisit une

fréquence Doppler et une fréquence spatiale pour une cible éventuelle afin de

construire un vecteur de pointage. Par souci de simplicité, ce dernier garde la même

notation dans la suite que le vecteur de pointage théorique : ( ).

2.2 Etat de l’art sur le STAP

Les traitements STAP réfèrent à l‟ensemble des traitements adaptatifs appliqués à des signaux

reçus par un système radar et utilisant les paramètres de vitesse et de localisation angulaire

[KLE02]. Après avoir rappelé les inconvénients de la méthode originelle, nous décrivons les

détecteurs adaptatifs présentant la propriété CFAR [PAI10]. Ensuite, nous dressons un état de

l‟art des techniques sélectionnant les données d‟entraînement et des traitements STAP

permettant une réduction des données d‟entraînement [MEL04] [KLE04]. Puis, les méthodes

développées sous des hypothèses non Gaussiennes sont décrites. Nous expliquons alors les

méthodes permettant de lutter contre la variation en distance du fouillis. Enfin, la technique

KA-STAP [GUE06] est présentée.

2.2.1 Première technique dite SMI (Sample Matrix Inversion)

La première technique du STAP, appelée Sample Matrix Inversion (SMI), est étudiée dans

[REE74]. Elle est obtenue en appliquant une estimation du filtre adapté théorique explicité

dans la sous-section suivante.

2.2.1.1 Filtre adapté

Le STAP a pour but de maximiser le rapport signal sur bruit-plus-interférences (RSBI). Pour

cette raison, un filtre de réponse impulsionnelle finie (RIF) est appliqué sur les

échantillons .


La sortie du filtre notée pour la case distance sous test satisfait :

(2.20)

Le RSBI s‟exprime comme le rapport entre la puissance du signal de sortie et des interférences

plus bruit à la sortie du filtre :

|

|

( ) ( )

| |

|

( )|

(2.21)

On introduit alors la matrice de covariance au numérateur comme suit :

| |

|

( )|

(2.22)

En appliquant l‟inégalité de Schwarz et en tenant compte du caractère hermitien de , le

RSBI est majoré de la manière suivante :

| | (

)( ( ) ( ))

| | ( ( )

( ))(2.23)

D‟après (2.23), le majorant du RSBI ne dépend pas de la réponse impulsionnelle du filtre ,

mais uniquement du vecteur de pointage ( ) et de la matrice de covariance du bruit

. De plus, le RSBI est égal à ce majorant quand

et

( ) sont

colinéaires, c‟est-à-dire :

( ) (2.24)

où est un scalaire quelconque.

L‟équation (2.24) conduit à l‟expression du filtre adapté suivant [BRE73] :

( ) (2.25)

D‟après (2.20)-(2.25), la sortie du filtre s‟exprime comme suit :

( )

(2.26)

Remarque : Dans le cas Gaussien, Klemm [KLE02] montre que ce filtrage peut être considéré

comme optimal suivant de nombreux critères : maximisation du RSBI, maximum de

vraisemblance, minimum de variance et minimisation de l‟erreur quadratique moyenne. Selon

les critères, la valeur de varie. Ainsi, défini en (2.11) peut être interprété comme la

puissance de sortie d‟un filtre adapté (2.26) où vaut :

√ ( ) ( )

(2.27)

2.2.1.2 Le SMI et ses inconvénients

Le principe du SMI [REE74] est d‟appliquer une estimation du filtre adapté décrit dans

l‟équation (2.25) au signal d‟entrée . est obtenu comme suit :

( ) (2.28)

où est l‟estimation de la matrice de covariance des interférences au sens du maximum

de vraisemblance sous hypothèse Gaussienne en utilisant des données d‟entraînement.


Dans la littérature, l‟estimateur est appelé Sample Covariance Matrix (SCM) et s‟exprime

comme suit :

∑

(2.29)1

Reed et al. [REE74] montrent que, si toutes les données d‟entraînement sont indépendantes et

identiquement distribuées, fixer le nombre de données d‟entraînement à permet

d‟obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport au filtrage non adaptatif

décrit dans l‟équation (2.25).

Cependant, le SMI présente quatre inconvénients majeurs :

la propriété CFAR du détecteur n‟est pas prise en considération ;

le nombre K de données d‟entraînement est trop important. En effet, en raison de

l‟hétérogénéité du fouillis présentée dans la section 1.2.3.8, 2NM cases distances

consécutives ne sont pas en pratique indépendantes et identiquement distribuées. De

plus, utiliser le SMI avec un domaine d‟entraînement réduit conduit à une dégradation

de la probabilité de détection ;

le coût calculatoire est élevé et est dû à l‟estimation de la matrice et à son

inversion [GOL96] ;

la robustesse de l‟estimation de la matrice et du détecteur à une distribution non

Gaussienne des interférences n‟est pas prise en compte.

Pour résoudre ces problèmes, de nombreux auteurs ont proposé des variantes du SMI et une

littérature abondante est disponible sur ce sujet. Dans la suite, nous détaillons les différents

détecteurs adaptatifs développés. Ils possèdent tous des propriétés CFAR en présence de

données d‟entraînement homogènes. Pour un fouillis hétérogène, des techniques de sélection

ou de compensation de données existent et sont décrites. Puis, diverses stratégies peuvent être

mises au point pour réduire le nombre de cases d‟entraînement. Enfin, certaines techniques

[GIN02] prennent en compte la distribution non Gaussienne du fouillis.

2.2.2 Détecteurs adaptatifs

Lorsque les interférences sont considérées Gaussiennes, trois détecteurs adaptatifs ont été

proposés : le test du rapport de vraisemblance généralisé ou GLRT de Kelly [KEL86],

l‟Adaptive Matched Filter (AMF) [ROB92] et l‟Adaptive Normalized Matched Filter

(ANMF). Ce dernier détecteur a aussi été obtenu pour d‟autres schémas de détection, en

particulier pour un fouillis modélisé par un SIRV.

1/ Le GLRT de Kelly est défini comme suit :

| ( ) |

[ ( ) ( )]*

+

(2.30)

où ∑

est, à un facteur multiplicatif près, l‟estimateur SCM et est le

seuil de détection.

1 La notation ∑

désigne une somme de vecteurs du data cube dont les indices sur la dimension

distance sont différents de .


Sous l‟hypothèse , la distribution du détecteur est la suivante [PAI10] :

(2.31)

Ainsi, le seuil est obtenu en fonction d‟une fixée à :

(2.32)

La distribution de et le seuil de détection étant indépendants de l‟estimation de

la matrice , le GLRT de Kelly est CFAR.

2/ L‟AMF est obtenu à partir du détecteur non adaptatif OGD où est remplacée par son

estimation de type SCM. On a donc :

| ( )

|

[ ( ) ( )]

(2.33)


Sous l‟hypothèse , la distribution du détecteur est donnée par [PAI10] :

(2.34)

où est la fonction hypergéométrique définie en annexe E.

Ainsi, le seuil est obtenu en fonction d‟une fixée à :

(2.35)

La propriété CFAR du GLRT de Kelly et l‟AMF sont mises en défaut sur des données réelles

[DEM06], [FAB03] où le niveau de puissance de la CST est supérieur à celui des données

d‟entraînement.

3/ Pour traduire une non-homogénéité du fouillis, Scharf [SCH96] a développé un détecteur

adaptatif fondé sur l‟hypothèse que les données d‟entraînement ne possèdent pas la même

puissance que celles issues de la case sous test :

,

, et .

Le détecteur résultant est connu sous le nom ACE (Adaptive Coherent Estimator) ou ANMF :

| ( )

|

[ ( ) ( )]*

+

(2.36)


Dans ce cadre Gaussien, la relation entre la et le seuil fait intervenir une fonction

hypergéométrique :

(2.37)

L‟équation (2.37) confirme la propriété CFAR du détecteur ANMF.


Kraut [KRA01] présente les performances de ce détecteur en milieu homogène et hétérogène.

L‟ANMF montre une grande capacité de réjection du fouillis lorsque celui-ci est vu par

l‟antenne avec un angle très supérieur à 1. Cependant, il est moins sensible lorsque

celui-ci est éclairé par l‟antenne avec un angle 2.

Ce détecteur correspond aussi au test du rapport de vraisemblance généralisé dans d‟autres

problèmes de détection :

la CST est corrompue par un signal interférant [BES07] ;

les interférences sont modélisées par un SIRV [PAS06].

Ces trois détecteurs nécessitent des données d‟entraînement homogènes. Une solution

envisagée pour lutter contre l‟hétérogénéité des données d‟entraînement est de les sélectionner

« au plus proche » de la CST [BOR95]. Cependant, une sélection adaptative peut être mise en

place prenant en compte un critère défini. Ces différentes stratégies sont décrites dans le

paragraphe 2.2.3.

2.2.3 Sélection des données d’entraînement

2.2.3.1 Sélection à structure fixe

Borsari [BOR95] développe deux classes de structure fixe3 pour la sélection des données

d‟entraînement : l‟entraînement local et l‟entraînement dit « gelé ».

Tout d‟abord, l‟entraînement local suppose que le fouillis a plus de chance d‟être homogène

dans des cases distance proches les unes des autres. Trois techniques sont présentées : la

fenêtre glissante, la segmentation en distance et le trou glissant. Pour Borsari [BOR95], cette

dernière technique décrite sur la figure 17 pallie les problèmes des deux premières, à savoir le

coût calculatoire élevé et la perte de la notion d‟entraînement local.

La matrice de covariance est calculée pour l‟ensemble des cases distance comme suit :

∑

(2.38)

Puis, on retire la contribution de la CST dans avant l‟application du filtre :

(2.39)

Ainsi, la matrice étant calculée qu‟une seule fois pour chaque région, cette méthode

réduit la complexité calculatoire de l‟algorithme.

Ensuite, l‟entraînement gelé décrit sur la figure 18, consiste à appliquer la stratégie du « trou

glissant » sur une région qui regroupe les premières cases distances et permet l‟estimation de

. Cette dernière est appliquée au reste des cases distance. Les premières cases distance

ayant une puissance plus forte selon le bilan de liaison radar (Cf. Annexe B), cela revient à

pratiquer sur les cases distance éloignées de l‟overnulling4.

1 Par abus de langage, les radaristes parlent dans ce cas de fouillis arrivant par les lobes secondaires de

l‟antenne. 2 Par abus de langage, les radaristes parlent dans ce cas de fouillis arrivant par le lobe principal de l‟antenne.

3 Dans ce cas, le terme « structure fixe » signifie que la stratégie de sélection des données d‟entraînement ne

dépend que de leur position par rapport à la case sous test et non de leur propriété d‟amplitude ou de phase. 4 L‟overnulling désigne l‟élargissement de l‟encoche de la réponse fréquentielle du filtre utilisé vis-à-vis du

filtre non adaptatif.


Néanmoins, toutes ces sélections à structure fixe ne permettent pas de lutter contre

l‟hétérogénéité du fouillis présent dans le domaine d‟entraînement. Pour cette raison, des

méthodes adaptatives1 ont été développées en effectuant une sélection des données

d‟entraînement à partir d‟un critère donné.

Figure 17 : Sélection à structure fixe par trou glissant2.

Figure 18 : Sélection à structure fixe par entraînement gelé.

1 Ici, le terme « adaptatif » désigne une adaptation de la sélection des données suivant leur propriété d‟amplitude

ou de phase. 2 Pour des raisons de simplicité, les dimensions Doppler et spatiale ont été regroupées sur la figure 17 au

contraire de la figure 9 présentant le data cube.

NM

1

Données

d‟entraînement

Données

d‟entraînement

Case sous test

1 Dimension distance

Cases

sous test

NM

1

Données

d‟entraînement

Données

d‟entraînement

Case sous test


NM

1

Données

d‟entraînement

Données

d‟entraînement

Case sous test



2.2.3.2 Sélection adaptative

Tout d‟abord, Rabideau et al. [RAB05] utilisent une stratégie adaptative de l‟overnulling. Le

principe est de sélectionner les données d‟entraînement ayant la plus forte puissance, on parle

alors de Power Selected Training (PST).

Lorsque le fouillis est hétérogène, ils démontrent l‟intérêt d‟inclure la CST dans le domaine

d‟entraînement :

(2.40)

où est un scalaire appartenant à .

D‟après les auteurs, cette méthode nommée Power Selected Deemphasis (PSD) permet de

lutter contrer les pics d‟amplitude isolés du fouillis. Cependant, le choix de reste un

problème ouvert. Ainsi, Rabideau et al. [RAB05] proposent de projeter la CST dans un espace

« presque orthogonal » au signal de la cible. Cette projection est établie grâce à des

informations a priori sur la localisation de la cible ou du fouillis. Ce pré-traitement permet de

fixer à 1 ; l‟expression (2.40) de devient :

(

)( ) (2.41)

où P désigne la matrice de projection de la case sous test dans l‟espace d‟une éventuelle cible.

D‟après les auteurs, les performances en termes de fausses alarmes sont nettement améliorées

sur des données réelles.

De plus, Kogon [KOG01] propose d‟améliorer la PST en excluant des données

d‟entraînement et les cases distance contenant des cibles. Ainsi, pour chaque case

d‟entraînement, une estimation de phase du signal est faite permettant une différenciation

entre une cible et un fort fouillis.

Ensuite, trois critères de non homogénéité ont été proposés par Melvin et Wicks [MEL97] : le

Inner Product (IP), le Generalized Inner Product (GIP) et le test statistique du SMI. Ils sont

définis respectivement par :

(2.42)

(2.43)

| ( )

| (2.44)

Selon les auteurs, les deux derniers critères donnent de meilleurs résultats en termes de

détection sur des données réelles que le critère IP.

Pour chaque critère, la valeur obtenue pour une case distance donnée est comparée à

l‟espérance mathématique du critère qui satisfait :

E[ (2.45)

E[ (2.46)

E[ ( ) ( ) (2.47)

Si celle-ci s‟en écarte, la case distance est exclue du domaine d‟entraînement. Néanmoins, la

connaissance a priori de la matrice requise par ces méthodes est un inconvénient majeur.

Enfin, Lombardo et Colone [LOM03] proposent une sélection des données a posteriori,

c‟est-à-dire après le traitement STAP. En particulier, les données d‟entraînement sont divisées

en J groupes donnant lieu à J filtres STAP appliqués à la CST.


Pour sélectionner la sortie des filtrages la plus « adaptée », deux stratégies sont proposées :

le Minimum Residual Power (MRP) conserve la sortie de plus petite puissance ;

le Median Test Output (MTO) illustrée par la figure 19, garde la valeur médiane des J

puissances des signaux de sortie.

Dans les deux cas, le but est d‟obtenir un détecteur robuste à la présence de cibles dans le

domaine d‟entraînement. Les auteurs montrent qu‟il est préférable d‟utiliser le MTO si l‟on

considère que les cibles ne perturbent pas plus que

groupes de cases d‟entraînement ;

dans le cas contraire, le MRP donne de meilleures performances de détection.

Dans la pratique, avec une sélection adaptative ou non, les cases distance homogènes et

identiquement distribuées nécessaires pour l‟algorithme SMI ne sont pas disponibles. Des

approches utilisant un domaine d‟entraînement réduit ont donc été proposées ; la section 2.2.4

en dresse l‟état de l‟art.

Figure 19 : Principe du MTO.

2.2.4 Algorithmes permettant la réduction du domaine d’entraînement

2.2.4.1 Algorithmes à dimension réduite

Le principe est de réduire la dimension des données utilisées pour le filtrage STAP. Pour cela,

une transformation fixe est appliquée aux données. Ward [WAR94] parle alors de traitements

partiellement adaptatifs et les décline en quatre catégories :

element-space pre-Doppler ;

beamspace pre-Doppler ;

element-space post-Doppler ;

beamspace post-Doppler.

NM

1

Groupe

d‟entraînement 2

Groupe

d‟entraînement 3

1

Dimension distance

Case sous test Groupe

d‟entraînement 1

Groupe

d‟entraînement 4

STAP 1

STAP 2

STAP 3

STAP 4

M

E

D

I

A

N

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|


Le terme « beamspace » signifie qu‟une transformation sur la dimension spatiale a été opérée

alors que le terme « post-Doppler » désigne le passage dans le domaine des fréquences sur la

dimension Doppler. La taxinomie des algorithmes à dimension réduite proposée par Ward

[WAR94] est décrite dans la figure 20.

Figure 20 : Taxinomie des algorithmes à dimension réduite selon Ward [WAR94] :

transformations appliquées aux données avant filtrage.

Bien que ces algorithmes soient théoriquement sous-optimaux, ils se révèlent très performants

en pratique en termes de détection ; ils approchent les résultats de l‟algorithme optimal. Les

méthodes post-Doppler sont les plus populaires par leur faible coût calculatoire puisqu‟après

une analyse spectrale, seuls échantillons de la dimension Doppler sont utilisés pour

le traitement STAP. Cependant, les méthodes pré-Doppler permettent d‟obtenir de meilleures

performances de détection en moyenne car elles ont à disposition plus de données

d‟entraînement. En effet, pour estimer la matrice de covariance des interférences avec un

nombre égal de cases distance :

les méthodes pré-Doppler utilisent les M échantillons de la dimension Doppler ;

les méthodes post-Doppler ne peuvent prendre en compte que les échantillons

concernés par le filtrage STAP.

Une approche hybride qui cumule les avantages des deux méthodes a été proposée par Savy

[SAV06]. Le principe est d‟estimer la matrice de covariance des interférences pré-Doppler et

de l‟appliquer grâce à une architecture post-Doppler particulière.

2.2.4.2 Algorithmes à rang réduit

Ces algorithmes reposent sur le rang r faible de la matrice de covariance du fouillis

[LIA00]. L‟objectif est d‟obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport

au filtrage non adaptatif décrit dans l‟équation (2.25) en utilisant cases

d‟entraînement au lieu des cases d‟entraînement utilisées pour le SMI. On

considère que les r vecteurs propres associés aux valeurs propres prédominantes de

Dimension Doppler

Dimension

Spatiale

Dimension Doppler

Dimension

Spatiale

Dimension Doppler

Dimension

Spatiale

Dimension Doppler

Dimension

Spatiale

Transformation

Doppler

Transformation

Doppler

Transformation

Spatiale

Transformation

Spatiale

Element-Space

Pre-Doppler Element-Space

Post-Doppler

Beam-Space

Post-Doppler

Beam-Space

Pre-Doppler

Transformation 2D

Spatio-Temporel


forment une base du sous-espace du fouillis alors que le reste des vecteurs propres de

caractérise le sous-espace du bruit thermique. Ainsi, une projection dans un espace orthogonal

au fouillis peut être faite.

Ce critère a donné lieu à plusieurs méthodes dont l‟eigencanceller [HAI96] et le Principal

Components Inverse [KIR94]. Une méthode alternative, appelée Cross Spectral Metric

[BER99], consiste à choisir les r vecteurs propres qui maximisent le RSBI. Cependant,

l‟estimation du rang de la matrice r pour toutes ces méthodes peut s‟avérer difficile en

pratique. Pour cette raison, Goldstein [GOL98] implémente le STAP comme un filtre de

Wiener multi-étages (FWME).

De plus, en raison de la décomposition en valeurs propres ou celle en valeurs singulières, ces

algorithmes ont un coût calculatoire élevé de l‟ordre de [GOL96]. Pour cette raison,

Belkacemi et al. [BEL06a] suggèrent l‟utilisation de l‟algorithme appelé Projection

Approximate Subspace Tracking (PAST) et ses variantes. Ainsi, ils étudient la pertinence

d‟une version rapide nommée Fast Approximate Power Iteration. Récemment, une approche à

coût calculatoire faible ( ) a été proposée par Beau [BEA10]. De plus, elle prend en

compte la variation en distance du lieu du fouillis.

Il est à noter que ces algorithmes à rang réduit ont été étudiés d‟un point de vue détection et

ont donné lieu au GLRT à rang réduit proposé par Kirsteins [KIR94].

2.2.4.3 Diagonal loading

La méthode dite du « diagonal loading » consiste à ajouter un poids sur les éléments de la

diagonale de la matrice de covariance estimée , comme suit :

(2.48)

Le conditionnement de la matrice est alors moins élevé que celui de , réduisant les

problèmes lors de son inversion. Dans [KIM98], Kim et al. développent une méthode

théorique pour fixer la valeur de et Ayoub et al. [AYO00] en déduisent le détecteur

Loaded-GLRT (L-GLRT). D‟après les auteurs, il s‟agit d‟une version modifiée du GLRT de

Kelly qui fournit de « meilleures » performances en détection.

2.2.4.4 Structure paramétrique des interférences : modèle autorégressif vectoriel

Ces méthodes reposent sur l‟hypothèse que l‟ensemble des interférences, c‟est-à-dire le

fouillis et le bruit thermique, peut être modélisé par un processus autorégressif vectoriel

(VAR). Le modèle VAR est la généralisation du modèle autorégressif (AR) dans le cadre d‟un

processus vectoriel.

Le modèle AR se définit par l‟équation suivante :

∑ (2.49)

où est le processus AR, p est l‟ordre du modèle, { } sont les paramètres AR

et est le processus générateur aléatoire Gaussien centré de variance .

C‟est un modèle simple qui peut s‟interpréter soit comme une prédiction linéaire1, soit comme

le filtrage à réponse impulsionnelle infinie d‟un processus générateur blanc. Ainsi, le modèle

AR d‟ordre permet de représenter la nature spectrale, notamment jusqu‟à résonnances,

d‟un signal à partir de peu de paramètres. Il est utilisé dans de nombreux domaines tels que le

1 ∑

est la prédiction de reposant sur les dernières valeurs de .

est alors l‟erreur de prédiction.


traitement de données sismiques, le traitement de la parole, les systèmes de communication

mobile, l‟économétrie, le sonar et le radar. Concernant ce dernier domaine, bien que la

modélisation AR ne repose sur aucun phénomène physique selon Abramovich et al. [ABR08],

elle a fait ses preuves dans plusieurs applications à savoir l‟identification de types de fouillis

de sol [HAY79] et la détection de petites cibles marines [WEN00] et [PET08]. Possédant

plusieurs voies de réception, c‟est « naturellement » que plusieurs auteurs ont utilisé le

modèle VAR pour traiter des problèmes de détection [MIC91], [ROM00], [LOM03] et

[ABR08].

Pour une case distance donnée, le modèle VAR suppose que le signal , vecteur de taille

, s‟exprime comme la somme d‟une combinaison linéaire des p vecteurs

{ }

et d‟une erreur :

∑ (2.50)

où p désigne l‟ordre du modèle, { } sont les matrices AR et représente le

processus générateur vectoriel ou le vecteur d‟erreur de prédiction. C‟est un vecteur aléatoire

de moyenne nulle et temporellement blanc. Sa matrice de covariance est donc diagonale

par bloc :

[

] (2.51)

où D est une matrice de taille et est la matrice nulle de taille .

Lorsque le Parametric Adaptive Matched Filter (PAMF) [ROM00] est appliqué, les matrices

AR sont de taille et est égal à la matrice identité. On peut établir un lien entre

cette technique et l‟AMF à partir de la décomposition LDU [THE92] de . En effet, la

matrice peut se décomposer comme suit :

(2.52)

où est une estimation de D et est une matrice triangulaire inférieure par bloc.

de taille s‟écrit :

[

]

(2.53)

Etant donné (2.52), l‟équation (2.33) peut se réécrire comme suit :

| ( )

|

[ ( ) ( )]

(2.54)

Roman [ROM00] propose alors de fixer l‟ordre . Cela signifie que pour tout

:

. (2.55)


Tenant compte de l‟équation (2.55), la matrice peut être déduite de l‟équation (2.53)

comme suit :

[

]

(2.56)

Cette matrice est de taille et permet l‟organisation des calculs par

sommation glissante. L‟équation (2.54) devient alors :

| ( )

|

[ ( )

( )]

(2.57)

Etant donné la structure de , l‟équation (2.57) peut se réécrire sous la forme suivante :

|∑

|

∑

(2.58)

où

∑

(2.59)

et

∑ . (2.60)

Les équations (2.59) et (2.60) peuvent être interprétées comme des « filtrages inverses ».

Ainsi, l‟algorithme PAMF nécessite l‟estimation des matrices AR et de la matrice de

covariance . Pour cela, Roman et al. [ROM00] utilisent deux algorithmes : le premier repose

sur une estimation au sens des moindres carrés et le second est une généralisation de

l‟algorithme de Burg [BUR67] au cas d‟un processus VAR. Nous revenons en détail sur ces

algorithmes dans le chapitre 3. Néanmoins, ces méthodes ne permettent pas une « bonne »

estimation de la matrice théorique . Il en résulte un filtrage spatial inadapté. Les auteurs

préconisent d‟effectuer le filtrage inverse caractérisé par l‟équation (2.59) sur l‟ensemble des

données d‟entraînement et d‟estimer la matrice à partir du signal résiduel de ce filtre

inverse :

∑

(2.61)

Deux estimations sont envisagées : soit la matrice est estimée pour un seul instant m

selon l‟équation (2.63), soit est obtenue en moyennant des matrices estimées pour chaque

instant m allant de 0 à selon l‟équation (2.62).

∑

(2.62)

avec

∑

( )

(2.63)

Selon Roman et al. [ROM00], opter pour favorise un comportement du détecteur

PAMF « proche » de la propriété CFAR alors que le choix de améliore la probabilité de

détection.


La figure 21 résume l‟ensemble de l‟algorithme PAMF.

Figure 21 : Schéma de principe du PAMF.

Le PAMF ne possède pas la propriété CFAR, mais présente de meilleures performances de

détection que l‟AMF quelle que soit la taille du domaine d‟entraînement. De plus, d‟après les

auteurs de [CAD04], il se montre très robuste lorsque les données d‟entraînement sont

contaminées par des cibles et le fouillis n‟est pas stationnaire en distance (ce qui correspond à

une configuration frontale du radar).

Pour des hypothèses non Gaussiennes, deux détecteurs paramétriques ont été proposés. Le

Normalized PAMF (NPAMF) [MIC00b] a pour expression :

|∑

|

*∑

+[∑ ( )

]

(2.64)

Selon les auteurs, il est l‟implémentation paramétrique du détecteur adaptatif ANMF décrit

par l‟équation (2.36).

Le NG-PAMF développé par Rangaswamy et Michels [RAN97] est quant à lui défini par :

(2.65)

avec

∑ ( )

, (2.66)

{ }

Estimation des matrices

AR { }

Filtre inverse

Estimation de la

matrice

{ }

Seuillage

Filtre inverse

Filtre inverse


|∑

|

∑

(2.67)

et

∫ (

)

. (2.68)

où est la densité de probabilité de la texture lorsque le fouillis est modélisé par un SIRV.

Le NG-PAMF résulte de la version logarithmique du TRVG avec une amplitude inconnue du

signal. Si le fouillis est Gaussien, et le NG-PAMF est équivalent au PAMF.

Cependant, ce test nécessite la connaissance des paramètres statistiques du fouillis, ce qui

n‟est pas le cas pour le NPAMF. Pour cette raison, seul le NPAMF est étudié dans cette thèse.

Les performances de ces deux détecteurs ont été étudiées par Michels et al. [MIC00c] pour un

fouillis Gaussien et non Gaussien. Le NPAMF et le NG-PAMF présentent de meilleures

performances de détection que l‟ANMF pour un ordre . De plus, le NPAMF a des

performances proches du détecteur non adaptatif NMF [MIC00a]. Selon les auteurs, le

NPAMF est « presque » texture-CFAR, mais n‟est pas matrix-CFAR.

Pour apporter la propriété CFAR au détecteur paramétrique, Parker et Swindlehurst [PAR03]

ont conçu le filtre Space-Time Autoregressive (STAR). Ils proposent de relaxer deux

contraintes du PAMF : les matrices AR sont rectangulaires de taille où et

n‟est plus égal à la matrice identité. Cependant, le choix de est délicat puisqu‟il est lié au

rang r de la matrice .

Lombardo et Colone [LOM03] proposent une autre approche fondée sur l‟application du

GLRT en deux étapes. Dans un premier temps, ils considèrent que l‟ordre du modèle p, les

matrices AR { } et la matrice D sont connus.

|∑

∑

|

(2.69)

Ce détecteur est intrinsèquement CFAR (Cf. chapitre 2 de [KLE04]).

Dans un second temps, les auteurs insèrent les estimations des matrices AR { }

et de la

matrice dans l‟équation (2.69). Comme pour le détecteur PAMF, Lombardo conclut que le

détecteur n‟est plus CFAR. Cela s‟explique par la non-connaissance a priori de l‟ordre du

modèle AR et par le fait que les interférences ne sont pas un processus VAR au sens strict.

Néanmoins, pour obtenir la propriété CFAR, il propose de diviser le numérateur de l‟équation

(2.69) par une estimation de la puissance des interférences après filtrage notée :

∑ (|

∑

∑

|

)

(2.70)

Selon lombardo, cet algorithme permet de diviser par quatre le nombre de cases distance du

domaine d‟entraînement pour des performances identiques en détection.

2.2.4.5 Algorithmes sans données d’entraînement

Dans les cas où le fouillis est très hétérogène, des solutions ont été proposées n‟utilisant pas

les données d‟entraînement. Les auteurs nomment cette technique « STAP sans référence de

bruit seul » [LEC03]. Deux méthodes haute résolution ont été utilisées pour établir une

analyse spectrale à deux dimensions (spatiale et Doppler) : le filtre adapté global [MAR06] et

le filtre de Capon [LEC06].


2.2.5 Algorithmes en milieu non Gaussien

Lorsque le fouillis a une distribution non Gaussienne, l‟estimation SCM n‟est plus optimale

au sens du maximum de vraisemblance. De plus, elle dépend de la texture du fouillis :

∑

∑ ( )

(2.71)

Le détecteur utilisé avec cet estimateur n‟est alors pas texture-CFAR.

Néanmoins, les autres estimateurs proposés sont généralement comparés au SCM car il

possède de bonnes propriétés statistiques, à savoir la consistance et l‟absence de biais.

Dans le contexte des modèles SIRV, le premier estimateur proposé dans la littérature est le

Normalized Sample Covariance Matrix (NSCM) [CON94]. Il ne dépend pas de la texture et

peut donc permettre au détecteur d‟être texture-CFAR :

∑

∑

(2.72)

Cependant, l‟estimateur NSCM est biaisé et non consistant [PAS08]. Pour cette raison,

l‟estimateur du point fixe (PF) a été développé. Il repose sur des résultats issus de la théorie

sur le maximum de vraisemblance appliqué au cas d‟un SIRV. En effet, si la texture est

considérée comme un paramètre inconnu déterministe, l‟estimateur PF est l‟estimateur au

sens du maximum de vraisemblance ; si est considéré comme une variable aléatoire

positive, l‟estimateur PF est une approximation de l‟estimateur au sens du maximum de

vraisemblance [GIN02]. Selon Pascal et al. [PAS08], l‟estimateur PF est l‟unique solution

de :

∑

∑

. (2.73)

Il ne dépend pas de la texture du SIRV ; il est non biaisé et consistant. De plus, l‟estimateur

PF est obtenu par un algorithme itératif qui converge quel que soit l‟initialisation. Le nom de

cet estimateur provient du fait que la solution est le point fixe de la fonction définie par :

{

∑

où { définie positive} avec est l‟ensemble des

matrices de taille dont les éléments appartiennent à .

Une version adaptative du détecteur aBORD utilisant l‟estimateur PF [PAS08] peut ainsi être

déduite :

| ( )

|

[ ( ) ( )]*

+

(2.74)

Dans ce cas, la fonction reliant la et le seuil est donnée par l‟équation suivante :

(2.75)

où

et

.


Récemment, Mahot et al. [MAH10b] ont réalisé une analyse statistique des estimateurs

NSCM et PF dans un contexte de perturbations : cases d‟entraînement sont

contaminées par une composante déterministe dont la puissance est élevée par rapport à celle

du fouillis. Ainsi, les biais introduit par les perturbations des deux estimateurs sont calculés

théoriquement.

2.2.6 Techniques de compensation des variations en distance du fouillis

La sélection des données d‟entraînement ou l‟utilisation d‟algorithmes d‟estimation à

domaine d‟entraînement réduit ne résout pas le problème de variation en distance du fouillis.

Ces variations de lieu du fouillis ont été mises en évidence en configuration non latérale du

radar. L‟ensemble des méthodes peut être classé en deux catégories :

une catégorie où une transformation est appliquée aux données d‟entraînement afin de

les rendre stationnaires en distance ;

une autre où le filtre STAP est construit de manière à évoluer selon la distance.

2.2.6.1 Pré-compensation des données d’entraînement

Ces méthodes consistent à effectuer un pré-traitement sur les données d‟entraînement.

Dans un premier temps, Kreyenkamp [KRE01] estime la fréquence Doppler centrale pour

chaque case distance afin d‟effectuer la compensation. Ainsi, on obtient une version

adaptative du Doppler Warping initialement proposé par Borsari [BOR98]. Pearson a étendu

la méthode en proposant une compensation Doppler pour une direction de visée donnée

[PEA01].

Ensuite, dans une configuration radar bistatique, Himed et al. [HIM02] ont proposé une

compensation non adaptative de la fréquence centrale sur les deux dimensions, Doppler et

spatiale. Une extension adaptative est proposée dans [MEL03].

Enfin, Lapierre et Verly compensent la totalité des fréquences du fouillis sur les deux

dimensions [LAP05]. Le périodogramme à deux dimensions est estimé pour chaque case

distance permettant l‟extrapolation des maxima des lieux du fouillis. Ils sont ensuite modifiés

pour ressembler au lieu de fouillis de la CST. La compensation est donc globale au prix d‟un

fort coût calculatoire.

2.2.6.2 Filtre évoluant en distance

Le « Derivative Based Updating » (DBU) est la méthode la plus répandue. Elle calcule la

réponse impulsionnelle du filtre de la case distance k à partir d‟un modèle de filtre linéaire

en distance :

(2.76)

Tout d‟abord développée pour une configuration d‟antenne tournante [HAY96a], cette

technique peut être utilisée dans toutes les configurations non latérales [BID07], mais aussi en

configuration bistatique [KOG00]. Elle repose sur un double domaine d‟entraînement pour

estimer et

. Pour cette raison, elle est utilisée avec un algorithme à domaine

d‟entraînement réduit : soit l‟algorithme post-Doppler [ZAT00], soit l‟algorithme pre-Doppler

[BID07]. Cette technique ne nécessite la connaissance d‟aucun paramètre radar, mais son coût

calculatoire reste un défaut majeur [BEA08].


2.2.7 Utilisation de l’information a priori : le KA-STAP

Dans de nombreux cas, des informations sur la configuration du radar et sur l‟environnement

que ce dernier éclaire sont disponibles. Les renseignements concernant le fouillis proviennent

de différentes sources : cartes de terrain, données GPS et de centrales inertielles, images SAR,

données d‟autres capteurs et données issues de précédents vols. Le principe du Knowledge-

Aided STAP (KA-STAP) est de tenir compte de ces informations a priori pour améliorer

l‟implémentation du filtre STAP [WIC06]. Guerci et al. [GUE06] établissent deux classes de

KA-STAP :

celle utilisant de manière indirecte des informations permettant de choisir l‟algorithme

STAP le plus adapté parmi ceux décrits dans les sections 2.2.3 et 2.2.4, le seuil de

détection et la forme d‟onde ;

celle incorporant des informations dans le filtrage.

La méthode d‟incorporation la plus utilisée est appelée Colored Loading (CL) [HIE02]. Elle

consiste à estimer la matrice de covariance des interférences comme la somme pondérée de la

matrice et d‟une matrice de covariance des interférences connue a priori :

(2.77)

où sont des nombres réels.

Une méthode simple pour construire la matrice repose sur le modèle GCM rappelé à

l‟équation (1.41). Elle peut être vue comme une étape de pré-blanchiment annulant la part

quasi-déterministe des interférences [BID08]. Le problème de la méthode CL réside dans le

choix du couple . Stoica et al. [STO08] proposent une méthode reposant sur la

minimisation de l‟erreur quadratique entre l‟estimation et la matrice de covariance

théorique . De Maio [DEM06] développe, quant à lui, une approche alternative permettant

d‟introduire l‟information a priori dans un cadre bayésien. La matrice est alors estimée par

une matrice aléatoire distribuée autour de . Bidon propose d‟y introduire un modèle

d‟hétérogénéité sur les données d‟entraînement [BID08].

Enfin, le KA-STAP peut être inséré au sein des techniques décrites dans la section 2.2.4

nécessitant un domaine d‟entraînement réduit. Récemment, Wang et al. [WAN10] utilisent le

modèle d‟hétérogénéité de Bidon [BID08] au sein d‟un détecteur PAMF afin de déterminer la

matrice de covariance de l‟erreur de prédiction . Ainsi, ils luttent contre la non-homogénéité

du domaine d‟entraînement réduit.

2.2.8 Bilan

Le chapitre 2 a permis de dresser un état de l‟art sur les traitements STAP. Les méthodes

effectuant une sélection des données d‟entraînement et celles compensant la variation en

distance des lieux du fouillis sont présentées. De plus, partant de la méthode SMI, les

algorithmes, utilisés en pratique et permettant de réduire le domaine d‟entraînement, sont

détaillés. Ils sont regroupés dans la figure 22. Pour obtenir une taxinomie et une structure

globale sur le STAP, le lecteur peut se référer à [DEG08].

Tout d‟abord, les algorithmes à dimension réduite consistent à appliquer une transformation

fixe aux données du data cube [WAR94]. Bien qu‟ils soient sous-optimaux, ils présentent des

performances en termes de probabilité de détection proches du filtrage non adaptatif. De plus,

de par leur coût calculatoire réduit, notamment avec une structure hybride proposée par Savy

[SAV06], ils sont très largement utilisés en pratique.


Ensuite, les algorithmes à rang réduit regroupent l‟ensemble des approches algébriques à

décomposition en sous-espaces. Ils exploitent le rang faible r de la matrice de covariance du

fouillis [BEL06b]. En pratique, la détermination de la valeur de r reste un problème ouvert

même si certaines méthodes comme le filtre de Wiener multi-étages sont relativement

robustes vis-à-vis du choix de r [GUE00].

Figure 22 : Ensemble des méthodes permettant la réduction du domaine d‟entraînement.

Puis, le diagonal loading est une méthode simple qui consiste à ajouter un poids à chaque

élément diagonal de la matrice de covariance estimée des interférences pour améliorer son

conditionnement.

Le KA-STAP permet de tenir compte d‟informations connues a priori sur la configuration du

radar ou la surface éclairée par celui-ci dans le schéma de détection. Cette méthode est très

prometteuse en termes de performance de détection, de robustesse à l‟hétérogénéité et de

réduction des données d‟entraînement. Cependant, l‟importance à accorder à l‟information a

priori reste un problème ouvert en pratique [BID08].

Récemment, Le Chevalier a proposé des algorithmes sans données d‟entraînement [LEC03]

permettant de lutter contre un fouillis très hétérogène. Cependant, ces traitements n‟éliminent

pas le fouillis et doivent donc être suivis par un traitement TFAC orienté dans le sens des

lieux du fouillis.

Enfin, les algorithmes reposant sur une structure paramétrique utilisent le modèle VAR pour

définir le filtre STAP [ROM00]. Ils requièrent un domaine d‟entraînement réduit et sont

robustes aux effets de transition du fouillis [LOM03]. Nos travaux de recherche s‟intègrent

dans cette famille d‟algorithmes et plus particulièrement portent sur l‟estimation des matrices

AR. Tout d‟abord, nous développons un modèle de représentation des interférences

distinguant le fouillis du bruit thermique. Puis, nous mettons en œuvre des techniques

d‟estimation des matrices AR en tenant compte des points suivants :

l‟estimation des matrices AR est, dans certains cas, totalement aveugle ;

une estimation récursive permet de réduire le coût calculatoire ;

le fouillis peut suivre une distribution non Gaussienne.

Nos contributions sont détaillées dans le chapitre 3.

Diagonal loading

[KIM98] et [AYO00]

Structures paramétriques

[ROM00] et [PAR03]

Algorithmes

sans données d‟entraînement

[LEC06] et [MAR06]

Sample Matrix Inversion (SMI)

[REE74]

Algorithmes à dimension réduite

[WAR94] et [SAV06]

Algorithmes à rang réduit

[GOL98], [GUE00] et [BEL06b]

Knowledge-Aided STAP

[GUE06] et [BID08]

Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences

Chapitre 3 : Contributions aux approches fondées sur la modélisation autorégressive vectorielle des interférences

Dans le cadre du STAP, une modélisation a priori des interférences peut être utile. Différents

cas peuvent être envisagés selon que l‟on se place dans des hypothèses Gaussiennes ou non.

Ce chapitre traite de choix de modélisation des interférences et des techniques d‟estimation

associées.

Dans un premier temps, ce chapitre dresse un état de l‟art de l‟estimation des paramètres AR

dans le cas d‟un processus AR non bruité puis bruité. Ensuite, nous présentons nos

contributions concernant la modélisation des interférences par un processus VAR. Nous

décrivons les techniques d‟estimation des matrices AR existantes dans le cas d‟observations

non bruitées puis perturbées par un bruit blanc. Puis, les différents algorithmes par bloc et

récursifs que nous avons proposés sont détaillés. Deux cas sont envisagés selon que le fouillis

suit une loi Gaussienne ou non. Une implémentation permettant une réduction du coût

calculatoire du PAMF est aussi exposée. Enfin, une étude comparative est menée permettant

d‟établir la performance des différentes approches en termes d‟erreur quadratique moyenne

d‟estimation sur des données générées à partir d‟un processus VAR.

3.1 Etat de l’art sur les méthodes d’estimations des paramètres

AR

Dans ce paragraphe, nous dressons un bref état de l‟art des différentes méthodes d‟estimation

des paramètres AR dans le cas d‟observations non bruitées puis perturbées par un bruit blanc

additif.

Considérons le processus AR noté :

∑ (3.1)

où p est l‟ordre du modèle, { } sont les paramètres AR inconnus et est le

processus générateur aléatoire Gaussien centré et de variance . La stabilité du système est

assurée si les pôles de la fonction de transfert

∑

sont à l‟intérieur du

cercle unité dans le plan complexe.


Intéressons-nous tout d‟abord aux méthodes d‟estimation des paramètres AR qui reposent sur

le traitement par bloc des échantillons disponibles.

Pour cela, introduisons le vecteur de taille suivant :

. (3.2)

Etant donné (3.1), on peut déduire aisément les équations de Yule-Walker (YW) :

(3.3)

où , et .

Des alternatives reposant sur un critère de type moindres carrés existent telles que la méthode

dite de corrélation et celle de covariance [NAJ06]. Elles ont donné lieu respectivement à deux

algorithmes rapides, l‟algorithme de Levinson pour la première et l‟algorithme proposé par

Morf et al. [MOR77] pour la seconde. En outre, Marple [MAR87] a proposé la méthode de

covariance modifiée où il minimise la demi-somme des erreurs de prédiction directe et

rétrograde1. Enfin, l‟algorithme récursif de Burg sur l‟ordre minimise la puissance des erreurs

de prédiction directe et rétrograde grâce aux coefficients de réflexion.

Des méthodes récursives peuvent être aussi envisagées pour estimer les paramètres AR tels

que le LMS [HAY96b], le RLS [HAY96b], le filtrage de Kalman et le filtrage H∞ [LAB05].

Parmi les variantes du RLS, le RLS avec facteur d‟oubli [NAJ06] permet de donner plus de

poids aux dernières observations. Cette technique est plutôt utilisée dans le cas d‟une

poursuite de paramètres AR variant dans le temps.

Dans un second temps, considérons le cas où le processus AR est bruité :

(3.4)

où est le processus observé et est un bruit blanc gaussien de variance .

L‟utilisation des méthodes décrites précédemment entraîne un biais dans l‟estimation des

paramètres AR dû au bruit. En effet, si l‟on résout les équations de Yule-Walker en utilisant

les observations , il vient :

(3.5)

où , et .

Or, on a :

(3.6)

et

(3.7)

D‟après les équations (3.6) et (3.7), l‟équation (3.5) peut se réécrire comme suit :

. (3.8)

Etant donné (3.3), il vient :

(3.9)

1 La notion d‟erreur de prédiction rétrograde n‟est pas présentée dans cette thèse. Le lecteur peut se référer à

[MAR87] pour obtenir des informations sur ce sujet.


soit encore

(

)

(3.10)

En appliquant le lemme d‟inversion matricielle à (

)

, on obtient :

( )

⏟

⏟

(3.11)

Pour cette raison, d‟autres techniques ont été proposées ; elles opèrent par bloc ou peuvent

être récursives.

1/ Concernant les méthodes effectuant un traitement par bloc, il est possible de réécrire les

équations de YW sans faire intervenir la fonction d‟autocorrélation du processus pour un écart

nul. On aboutit aux équations de YW modifiées [CHA80] que l‟on peut interpréter comme

une technique de variables instrumentales. D‟autre part, on peut aussi compenser le bruit de

mesure dans les équations de YW à condition de connaître a priori la variance du bruit

additif. Ainsi, les équations de YW compensées en bruit satisfont :

( )

(3.12)

Dans le cas contraire, quatre catégories d‟algorithmes se dégagent. Tout d‟abord, un

algorithme EM (Expectation-Maximisation) peut être utilisé [DER94]. La deuxième, qui

comprend la méthode de Davila [DAV98], consiste à voir les équations de YW dites

compensées en bruit comme un problème de décomposition en valeurs propres généralisées.

La troisième vise à estimer itérativement et alternativement l‟estimation des paramètres AR et

la variance du bruit. C‟est notamment le cas des méthodes de Zheng et al. [ZHE00]. Enfin,

une approche à erreurs dans les variables (EIV) estime non seulement les paramètres AR,

mais aussi les variances du bruit additif et du bruit de mesure. Pour cela, on tire profit du

schéma de Frisch [BEG90] pour estimer les variances des bruits du modèle qui rendent semi-

définie positive la matrice de covariance des observations compensée en bruit. Le noyau de la

matrice résultante permet d‟estimer les paramètres AR.

Remarque : on peut aussi envisager une approche fondée sur les statistiques d‟ordre supérieur,

en particulier sur les cumulants. On peut montrer que [THE92] :

∑

{

(3.13)

L‟équation (3.13) conduit à des équations de type YW fondées sur des cumulants :

[

]

[

] [

] (3.14)

Cependant, l‟application de l‟équation (3.14) mène à une « pauvre » estimation des

paramètres AR due au fait que les cumulants estimés présentent une forte variance. Des

approches alternatives ont été proposées dans [BAK94].

2/ Les méthodes récursives peuvent être classées en deux catégories : celles de type LMS qui

incluent le γ-LMS [TRE79], le ρ-LMS [WU97], le β-LMS [ZHA00] et le µ-LMS [SO01] et

celles fondées sur la représentation dans l‟espace d‟état du système. Dans ce cas, il s‟agit


d‟estimer conjointement le processus non bruité et les paramètres AR. On aboutit à une

représentation dans l‟espace d‟état non linéaire. Ainsi, le vecteur d‟état qui contient les

paramètres AR et les dernières valeurs du processus AR peut être estimé à partir d‟un

filtrage de Kalman étendu, d‟un filtrage de Kalman par points sigma regroupant le filtrage de

Kalman non parfumé (UKF) [JUL95] et le filtrage de Kalman par différence centrale (CDKF)

[NOR00], ou encore d‟un filtrage particulaire [DOU01]. Comme alternative aux filtrages EKF

ou SPKF, une structure par filtres couplés a été proposée par Labarre et al. [LAB06] et

s‟interprète comme une technique de variables instrumentales récursive. Une approche fondée

sur des filtres H∞ mutuellement interactifs a été aussi étudiée dans [LAB07].

Le tableau 2 récapitule l‟ensemble des méthodes permettant d‟estimer les paramètres AR dans

le cas d‟un processus AR. La section 3.2 dresse un état de l‟art sur les techniques d‟estimation

des matrices AR à partir d‟un processus VAR.

Méthodes par bloc Méthodes récursives

Processus AR

non bruité

Méthode de corrélation

Méthode de covariance

Méthode de covariance modifiée

Méthode de Burg

LMS

RLS

Filtrage de Kalman

Filtrage H∞ [LAB05]

Processus

AR

bruité

connue

Equations de YW

compensées en bruit

Méthode des corrélations

compensée en bruit

Méthode de la covariance

compensée en bruit

γ–LMS [TRE79]

ρ-LMS [WU97]

µ-LMS [SO01]

Filtrage EKF

Filtrage UKF [JUL95]

Filtrage CDKF [NOR00]

Filtrage particulaire [DOU01]

Filtrages couplés [LAB06] [LAB07]

est

imée

Algorithme EM [DER94]

Méthode de Davila [DAV98]

Méthode itérative de Zheng

[ZHE00]

EIV [BEG90]

β-LMS [ZHA00]

non

consi

dér

ée

Equations de YW modifiées

-

Tableau 2 : Méthodes d‟estimation des paramètres AR scalaires.

3.2 Etat de l’art sur les méthodes d’estimation des matrices AR

3.2.1 Techniques d’estimation des matrices AR à partir d’un processus

VAR

Dans cette section, on représente l‟ensemble des interférences, fouillis et bruit thermique, par

un modèle VAR. C‟est le modèle utilisé par tous les auteurs appliquant le STAP fondé sur une

modélisation VAR d‟ordre p [ROM00].


Il s‟exprime comme suit :

(3.15)

et

∑ (3.16)

où est le vecteur générateur Gaussien complexe centré ayant pour matrice de covariance

.

La stabilité du système est garantie si les racines { } du déterminant de sont

situées à l‟intérieur du cercle unité du plan complexe z. Le polynôme se construit

comme suit :

(3.17)

Les équations de Yule-Walker sont établies à partir de l‟équation (3.16) [MAR87] qui s‟écrit

de manière matricielle comme suit :

(3.18)

où et

Afin d‟établir une relation entre les matrices AR et la matrice de covariance de , on

applique à l‟équation (3.18) une post-multiplication par avant de prendre

l‟espérance mathématique . Le résultat obtenu est :

* + [ ] (3.19)

L‟équation (3.19) devient alors :

*

+ ⏟

(3.20)

où

est de taille est une portion de la matrice :

[

] (3.21)

et est la matrice de taille définie par bloc :

. (3.22)

L‟équation (3.20) est la version pour un processus VAR des équations de Yule-Walker. Leur

résolution permet de déduire les matrices AR comme suit :

( )

(3.23)

Des alternatives reposant sur un critère de type moindres carrés ont été développées telle que

la généralisation au cas VAR de la méthode de corrélation. Dans ce cas, la matrice est

Toeplitz par bloc ; il est donc possible d‟appliquer l‟extension de l‟algorithme de Levinson au

cas VAR développé par Wiggins et Robinson [WIG65]. Cet algorithme a pour avantage

d‟avoir un faible coût calculatoire ( ) et garantit la stabilité du modèle VAR.

Remarque : Roman et al. [ROM00] utilisent cet algorithme pour estimer les matrices AR lors

de l‟application du PAMF.


Si l‟on utilise uniquement la portion de signal disponible, c‟est-à-dire que l‟on cherche à

minimiser l‟erreur quadratique moyenne sur l‟intervalle , la méthode de covariance

est obtenue dans le cas d‟un processus VAR. La matrice utilisée lors du calcul n‟est alors plus

Toeplitz et l‟algorithme de Levinson ne peut pas être utilisé. Cependant, Morf et al. [MOR77]

ont proposé un algorithme permettant la résolution du problème avec un coût calculatoire en

( ). Ces différentes méthodes sont toutes fondées sur la minimisation de l‟erreur

quadratique de prédiction.

La méthode du maximum d‟entropie proposée par Burg a été étendue au cas d‟un processus

VAR par Nuttall [NUT76] et Strand [STR77]. Cet algorithme que l‟on appelle communément

maintenant Nutall-Strand (NS) permet une stabilité du filtre résultant et n‟impose pas de

fenêtrage au signal.

Remarque : Dans le domaine du STAP, Michels [MIC91] et Roman [ROM00] utilisent cette

méthode d‟estimation. Ainsi, les paramètres AR utilisés pour le PAMF sont la moyenne des

estimations des paramètres AR pour chaque case distance.

3.2.2 Techniques d’estimation des matrices AR à partir d’un processus

VAR perturbé par un bruit blanc vectoriel

A présent, on considère que seul le fouillis est modélisé par un modèle VAR d‟ordre p. Puis,

le bruit thermique vient perturber le processus VAR.

Il vient :

∑

(3.24)

(3.25)

où est le vecteur générateur Gaussien complexe centré ayant pour matrice de

covariance et représente le bruit thermique caractérisé dans la section 1.2.2. On

rappelle que sa matrice de covariance est diagonale avec les éléments diagonaux égaux à

.

Comme dans le cas d‟un processus AR, il est possible d‟établir l‟expression (3.9) du biais des

techniques d‟estimation des matrices AR dans le cas bruité.

Les matrices AR s‟obtiennent par :

( )

⏟

⏟

(3.26)

où [

].

Si la matrice de covariance du bruit est connue, il est possible d‟effectuer une

compensation en bruit à partir des équations de Yule-Walker :

[ ][

] (3.27)

Ainsi, la solution de l‟équation (3.27) devient :

[

]

(3.28)

Si la matrice de covariance n‟est pas connue, Hasan [HAS03] et Mahmoudi [MAH08],

[MAH10a] proposent trois méthodes itératives qui visent alternativement à estimer la matrice


de covariance du bruit et les matrices AR en résolvant un jeu de deux équations. Tout

d‟abord, Hasan [HAS03] estime les matrices AR grâce à l‟équation (3.28) et résout des

équations non linéaires avec l‟algorithme itératif de Newton-Raphson pour estimer la matrice

de covariance . Ensuite, Mahmoudi [MAH08] utilise la formulation du biais d‟estimation

de la solution au sens des moindres carrés pour estimer les matrices AR et une expression

théorique de la matrice de covariance généralisant ainsi les méthodes développées par

Zheng [ZHE00] dans le cas d‟un processus AR. Enfin, Mahmoudi [MAH10a] propose

d‟utiliser les équations de Yule-Walker avec des ordres inférieurs et supérieurs à p.

D‟après les simulations menées durant cette thèse, ces méthodes peuvent diverger et ne

garantissent pas la stabilité des matrices AR pour un RSB inférieur à 10 dB et avec un nombre

d‟échantillons disponibles inférieur à 1024.

Remarque : les équations (3.13) et (3.14) peuvent être généralisées au cas d‟un processus

VAR comme le suggèrent Swami et al. [SWA89]. On observe les mêmes difficultés de mise

en œuvre que dans le cas d‟un processus AR.

Comme pour les modèles AR, l‟un des problèmes fondamentaux des approches reposant sur

une modélisation VAR concerne le choix de l‟ordre p.

3.3 Commentaires sur la détermination de l’ordre p du modèle

Intéressons-nous dans un premier temps au cas d‟un processus AR d‟ordre 3. Ainsi, la figure

23 présente la densité spectrale de puissance (DSP) théorique de ce processus dont

l‟expression est donnée par :

| ∑

| (3.29)

où désigne la fréquence normalisée.

Comme le montre la figure 23, choisir un ordre trop faible revient à lisser le spectre alors que

choisir un ordre trop élevé conduit à introduire des résonnances supplémentaires.

Figure 23 : DSP théorique d‟un processus AR d‟ordre 3

et DSP estimées avec un ordre 2 et 12.

Dans le cas d‟un processus AR, deux méthodes classiques existent pour déterminer l‟ordre p à

savoir le Akaike Information Criterion (AIC) [AKA74] et le Minimum Description Length

(MDL) [RIS78].

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20

-10

0

10

20

30

40

frequence normalisee

DS

P

theorique, ordre 3

ordre 2

ordre 12


Pour l‟AIC, l‟ordre p choisi minimise :

( ) (3.30)

où est l‟estimation au sens du maximum de vraisemblance de la variance de l‟erreur de

prédiction à l‟ordre p.

Pour le MDL, l‟ordre p choisi minimise :

( ) (3.31)

Cependant, il est très difficile d‟estimer l‟ordre du modèle par ces critères notamment lorsque

le processus AR est bruité. Therrien [THE92] précise que ces procédures ne permettent que

d‟estimer l‟ordre d‟un processus AR strict, ce qui limite leur utilisation en pratique.

Dans le cadre d‟un modèle VAR, Roman et al. [ROM00] proposent de calculer la limite

supérieure de l‟ordre p. Ils définissent alors deux critères suivant qu‟ils utilisent l‟algorithme

de NS ou l‟algorithme des moindres carrés (MC) :

* √

+ (3.32)

*

+ (3.33)

Parker et Swindlehurst [PAR03] proposent quant à eux une généralisation des critères AIC et

MDL au cas VAR. Les critères (3.30) et (3.31) deviennent respectivement :

(‖ ‖) (3.34)

(‖ ‖) (3.35)

où ‖ ‖ représente ici le déterminant, est la matrice de covariance spatiale de l‟erreur de

prédiction pour un ordre p et est le nombre total de degrés de liberté pour un filtre STAR

de taille p est donné par l‟expression suivante :

(3.36)

Dans la pratique, pour des signaux radar réels, le choix de l‟ordre p est souvent empirique et

du ressort de l‟expertise : une procédure automatique et infaillible n‟existe pas. Sur des

données synthétiques représentant des scénarios réalistes de surveillance aéroportés, Michels

et al. [MIC00c] utilisent des ordres égaux à 2 ou à 3 alors que sur des données réelles avec

fouillis de sol et de mer, Lombardo [LOM03] suggère une modélisation VAR d‟ordre 3 ou 6.

Etant donné cet état de l‟art sur les techniques de détermination de l‟ordre p, nous présentons

dans ce qui suit nos contributions sur les méthodes d‟estimation des matrices AR.

3.4 Contributions sur l’estimation des matrices AR

3.4.1 Méthodes par bloc

Dans cette section, deux cas sont traités selon que le fouillis est Gaussien ou non.

Estimation aveugle par bloc par techniques EIV

Tout d‟abord, nous proposons une méthode aveugle visant à estimer non seulement les

matrices AR, mais aussi les matrices de covariance du bruit additif et du processus générateur


pour un fouillis Gaussien. Ainsi, cela étend au cas d‟un modèle VAR la méthode présentée

dans [BOB07] pour estimer les paramètres AR à partir d‟observations bruitées.

Le principe consiste à reformuler le problème d‟estimation des matrices AR à partir

d‟observations bruitées comme un problème à erreurs dans les variables (EIV), où les

matrices de covariance du bruit additif et du processus générateur deviennent des inconnues

du système. Dans le cas général, il s‟agit de déterminer l‟ensemble des n matrices { }

qui, étant donné un processus générique vectoriel décrit par n variables { } , satisfait la

relation linéaire suivante :

∑ . (3.37)

Cependant, la détermination de cet ensemble solution se fait à partir des observations bruitées

où les bruits additifs { } sont supposés non corrélés avec les variables

{ } et mutuellement non corrélés.

Pour cela, on tire profit du schéma de Frisch [BEG90]. Il repose sur la recherche du noyau

d‟une matrice qui se déduit de la matrice de corrélation des observations compensée en bruit.

Cette compensation est assurée par une matrice construite à partir des matrices de covariance

des bruits.

En utilisant les notations définies dans la section 3.2 et étant donné l‟équation (3.24), on a :

∑

(3.38)

Sous forme matricielle, l‟équation (3.38) devient :

[ ] (3.39)

où et .

Si l‟on applique une post-multiplication par avant de prendre l‟espérance

mathématique, l‟équation (3.39) devient :

[ ]

[

]

(3.40)

Ainsi, en introduisant

[

]

l‟équation (3.40)

peut s‟écrire :

[ ]

(3.41)

Il est à noter que la matrice

peut être exprimée en fonction de la matrice de covariance

de comme suit :

(3.42)


Etant donné l‟équation (3.41),

est une matrice définie semi-positive :

. (3.43)

Son noyau est caractérisé par les matrices AR.

Cependant, en pratique,

n‟est pas disponible directement et seule la matrice de

covariance

des observations bruitées peut être considérée. Etant donné (3.25), elle

satisfait l‟équation suivante :

⏟

(3.44)

Dès lors, les équations (3.42) et (3.44) permettent d‟expliciter

de la manière suivante :

([ ⏟

]) (3.45)

Par conséquent, les matrices de covariance et font partie des couples de matrices

telles que est définie semi-positive.

Selon [BEG90], le lieu des points admissibles pour l‟ordre p satisfaisant la condition de

l‟équation (3.45) est une hypersurface notée . Elle est concave et fait face à l‟origine

dans l‟espace .

Pour un ordre , une deuxième hypersurface concave peut être obtenue. Dès

lors en théorie, la solution que l‟on cherche appartient aux deux hypersurfaces. En effet,

lorsque l‟on traite un processus VAR strictement d‟ordre p :

les p premières matrices { }

estimées avec un ordre q sont identiques à

celles estimées avec un ordre p,

les q-p dernières matrices { }

estimées avec un ordre q sont des matrices

nulles.

Il est ensuite possible d‟estimer les matrices AR grâce aux équations de Yule-Walker

compensées en bruit (3.28).

A présent, expliquons comment déterminer le couple des deux matrices diagonales

définies comme suit :

[

] et [

]. (3.46)

avec

.

Avant de présenter les algorithmes, rappelons comment un point de peut être obtenu

[GUI95]. Soit dans l‟espace et une ligne droite allant de l‟origine au

point . intercepte la surface au point défini par

.

Ainsi, et sont colinéaires, c‟est-à-dire :

(3.47)

où est un scalaire.


Etant donné (3.45) et (3.47) et

de rang plein, nous obtenons :

([ ⏟

]) (3.48)

Il vient :

(

[ ⏟

] ) (3.49)

La décomposition en valeurs propres de la matrice

[ ⏟

] s‟écrit :

([ ⏟

]) (3.50)

où est une matrice unitaire et est une matrice diagonale.

regroupe sur sa diagonale les valeurs propres { } de la matrice

([ ⏟

]). D‟après (3.50), l‟équation (3.49)

peut se réécrire :

(

)

(

[

]

)

(3.51)

Ainsi, est nécessairement l‟une des valeurs propres { } de la matrice

([ ⏟

]).

De plus, d‟après (3.51), doit aussi satisfaire :

(3.52)

est donc la plus grande valeur propre de la matrice

.

Si , peut correspondre à un point du cercle unité dans . Puisque , les

coordonnées de sont égales à avec . Ensuite,

peut être déduite grâce à l‟équation (3.47) en faisant varier . Dans ce cas, la figure

24 décrit les hypersufaces ,

, et

. Comme attendu, les trois

dernières ont un point en commun pour

et

.


Figure 24 : Hypersurfaces ,

, et

obtenues pour un processus AR

d‟ordre 8 avec un processus générateur de variance

et un bruit de mesure de variance .

Si , peut être déduit, de manière similaire, à partir d‟une hypersphère de .

Comme nous l‟avons déjà précisé, les surfaces et

n‟ont pas de point en

commun dans la pratique. Nous proposons deux critères à minimiser sur la surface

fondés sur ceux proposés ces dernières années dans le cas d‟un processus AR. Pour plus

d‟informations, le lecteur peut se référer à [BOB07].

La première méthode vise à étudier le point de

et le point de

avec , tous les deux ayant été déduits du point . Les matrices AR qui

sont obtenues en traitant un processus VAR strictement d‟ordre p doivent correspondre au p

premières matrices AR qui satisfont les équations de YW à l‟ordre q compensées en bruit.

Le premier critère à minimiser sur est :

‖

‖

(3.53)

sont les matrices AR estimées avec le point . Les matrices et

sont déduites du point . Ce critère est la généralisation au cas d‟un processus

VAR du critère Shifted Relation (SR) proposé par Bobillet et al. dans [BOB07].

Le deuxième critère est obtenu en tirant profit des caractéristiques d‟un processus VAR. Il est

fondé sur les équations de Yule-Walker modifiées et surdéterminées. C‟est la généralisation

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5


du critère nommé Modified and Extended Yule-Walker (MEYW) à l‟origine proposé par

Bobillet et al. [BOB07].

Etant donné l‟équation (3.24), les matrices d‟autocorrélation du processus VAR sans bruit et

les observations bruitées satisfont, pour :

∑

∑

(3.54)

ou de manière équivalente avec :

( ) [

] (3.55)

Ainsi, le deuxième critère envisagé est :

‖ ( ) [

]‖

(3.56)

Il est à noter que le paramètre q est à régler par l‟utilisateur pour les deux critères.

Cet algorithme EIV permet une estimation aveugle par bloc. Cependant, son coût calculatoire

est élevé puisqu‟une recherche exhaustive des matrices et est nécessaire quel que soit le

critère utilisé.

Pour le réduire, notons que d‟après les équations (3.41) et (3.45), il vient :

[ ]

[ ] [

([ ⏟

])]

[ ] **

+ ([ ⏟

])+ (3.57)

[ ] [

([ ⏟

])] .

Il est possible de décomposer l‟équation (3.57) en deux équations :

(3.58)

(

([ ⏟

])) (3.59)

Si est connue, les matrices AR regroupées dans peuvent être déduites avec l‟équation

(3.59). On note alors

. Ensuite, peut être déduit de l‟équation

(3.58). Nous proposons donc un algorithme reposant sur les équations de Yule-Walker


d‟ordre supérieur pour estimer . Pour cette raison, définissons deux vecteurs de taille

avec :

On peut en déduire les matrices de covariance suivantes de taille :

[ (

)

] (

)

(3.60)

Etant donné (3.24), on obtient les équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur :

[ ]

(3.61)

Utilisant la relation (3.61), est la matrice qui minimise le critère :

‖[ ]

‖

(3.62)

Ce troisième algorithme nécessite la recherche exhaustive d‟une seule matrice . Il présente

un coût calculatoire plus faible que les algorithmes 1 et 2 reposant respectivement sur les

critères SR et MEYW. Il est appelé dans la suite de la thèse algorithme HOYW signifiant

High Order Yule-Walker.

Dans le cas d‟un processus AR, une approche récursive1 reposant sur le critère a été

développée dans [PET09a]. Elle est toujours fondée sur une technique EIV et permet une

estimation aveugle des paramètres AR. Cette approche a aussi été déclinée pour une

problématique de poursuite de paramètres AR dans le cas d‟un processus TVAR2 [PET10c].

Dans la sous-section suivante, le problème de la non-Gaussianité du fouillis est traité. Nous

proposons une méthode par bloc fondée sur la méthode du point fixe [GIN02].

Estimation par bloc reposant sur la méthode du point fixe

Le principe est de modéliser le speckle du fouillis non Gaussien comme un processus VAR

d‟ordre p. Pour une case distance fixe , d‟après (1.54), le fouillis s‟écrit alors :

√ [ ∑

]√ √

(3.63)

Comme pour le cas Gaussien (3.23), on établit les équations de YW :

(

)

(3.64)

Une estimation de

tenant compte des propriétés statistiques du fouillis permet d‟obtenir

et et d‟en déduire les matrices AR grâce aux équations (3.64) de Yule-Walker.

Si le fouillis est modélisé par un SIRV, l‟estimateur SCM défini dans le cas Gaussien ne peut

plus être utilisé théoriquement et dépend de la texture. Ainsi, nous proposons d‟utiliser

l‟estimateur PF pour estimer la matrice de covariance

. Comme nous l‟avons déjà dit

dans la section 2.2.5, cet estimateur ne dépend plus de la texture, il est non biaisé et

consistant. L‟estimateur NSCM est aussi testé afin d‟obtenir un point de comparaison.

1 L‟annexe F décrit en détail cette méthode.

2 L‟aspect TVAR suscite l‟intérêt de la communauté radariste, notamment Abramovich et al. [ABR08].


Les équations (3.23) de Yule-Walker ne nécessitant qu‟une matrice de covariance de taille

nommée

, les estimateurs SCM, NSCM et PF sont redéfinis,

respectivement comme suit :

∑ ∑

(3.65)

où

est un vecteur de taille .

∑ ∑

(3.66)

∑ ∑

(

)

(3.67)

On obtient alors une version de la méthode du point fixe à coût calculatoire réduit. En effet,

l‟approche nécessite l‟inversion d‟une matrice de taille au lieu d‟une matrice

et que . De plus, comme nous l‟avons déjà expliqué, le détecteur NPAMF

n‟utilise qu‟un domaine d‟entraînement réduit.

Nous avons proposé deux méthodes par bloc : celle reposant sur l‟EIV en milieu Gaussien et

celle fondée sur la méthode du point fixe en milieu non Gaussien. Une alternative repose sur

le filtre de Kalman et ses variantes. En effet, ces méthodes permettent une estimation

récursive des matrices AR et présentent un coût calculatoire plus faible que l‟EIV.

3.4.2 Méthodes récursives

Dans ce paragraphe, nous introduisons une représentation dans l‟espace d‟état du système

(3.24)-(3.25). Dans le cas Gaussien, nous présentons les méthodes du filtre de Kalman étendu

et du filtre de Kalman par points sigma. Enfin, le filtrage H∞ est suggéré pour un fouillis non-

Gaussien.

Estimation récursive par filtrage EKF et SPKF

Afin d‟établir la représentation dans l‟espace d‟état du système, considérons les équations

(3.24) et (3.25). L‟équation (3.24) peut se réécrire comme suit :

(3.68)

où

[

]

(3.69)

De plus, l‟équation d‟observation (3.25) peut s‟exprimer sous forme matricielle comme suit :

(3.70)

où .


Néanmoins, les coefficients des matrices AR { }

, à savoir {

} avec ,

et , ne sont pas connus et doivent être estimés. Pour cette raison, nous

construisons le vecteur colonne de taille , qui contient les coefficients

{ }

, comme suit :

(3.71)

Nous supposons que satisfait :

(3.72)

où est un vecteur de bruit blanc centré de taille . Sa matrice de covariance est

notée .

Pour estimer le processus et les matrices AR { }

, on introduit le vecteur d‟état

étendu :

[

] (3.73)

Etant donné les équations (3.68), (3.72) et (3.73), le vecteur d‟état étendu est remis à

jour de la manière suivante :

*

+ (3.74)

L‟équation (3.74) peut se réécrire comme suit :

∑ (3.75)

où *

+,

⏟

⏟

,

*

+ et [

].

De manière condensée, l‟équation (3.75) s‟écrit :

(3.76)

où est une fonction non linéaire.

De plus, le vecteur d‟état étendu et le vecteur d‟observation sont reliés par :

(3.77)

où .


La représentation dans l‟espace d‟état du système (3.24)-(3.25) correspond donc aux

équations (3.76)-(3.77). Etant donné la fonction , cette représentation dans l‟espace d‟état

n‟est pas linéaire.

Dans la suite, notons les estimations du vecteur d‟état à l‟instant m reposant sur k

observations { }

.

Puisque l‟équation d‟observation (3.77) est linéaire, l‟estimation du vecteur d‟état, le gain de

Kalman optimal et la matrice de covariance de l‟erreur sont calculés récursivement comme

suit :

(3.78)

(3.79)

(3.80)

où et désignent les matrices de covariance des erreurs a priori et a

posteriori respectivement.

Puisque est de forme quadratique sur , nous proposons

d‟utiliser l‟EKF. Le principe est de réaliser une linéarisation de la fonction par

développement de Taylor à l‟ordre 1 autour de la dernière valeur estimée du vecteur d‟état, en

l‟occurrence .

Ainsi, la matrice de covariance de l‟erreur est mise à jour comme suit :

(3.81)

où

(3.82)

et

|

(3.83)

L‟équation (3.83) peut s‟écrire :

∑

(3.84)

Ainsi, l‟EKF consiste à approximer la distribution du vecteur d‟état par une distribution

Gaussienne et à propager ce vecteur aléatoire Gaussien à travers le système linéarisé.

Néanmoins, la précision de l‟estimation de et dépend de la sévérité des

non-linéarités. Cela peut mener parfois à la divergence du filtre. Puisque l‟approximation due

au développement de Taylor de la fonction non linéaire est précise sur le voisinage du point

de référence, elle ne traduit pas le comportement global de la fonction. Pour améliorer

l‟algorithme, les termes d‟ordre supérieur du développement de Taylor peuvent être pris en

compte. Cependant, pour un EKF d‟ordre secondaire, il est nécessaire de calculer la matrice

Jacobienne de la fonction pour l‟ordre 1 et la matrice Hessienne pour l‟ordre 2. Selon

Arasaratnam et al. [ARA07], ce calcul est parfois instable et toujours complexe


calculatoirement. De plus, rien ne certifie qu‟un EKF d‟ordre 2 ne divergera pas dans les cas

où un EKF d‟ordre 1 diverge.

Pour éviter ce problème, la méthode SPKF a été proposée par Wan et Van Der Merwe

[WAN01]. Cette méthode approxime la distribution du vecteur d‟état par une loi Gaussienne

définie, dans ce cas, par un jeu de points choisis de manière déterministe, appelés les points

sigma. Plus particulièrement, un premier point sigma correspond à la moyenne de la

distribution du vecteur d‟état ; ensuite, deux points sigma est définie pour chaque valeur

propre de la matrice de covariance du vecteur Gaussien et répartie à égale distance de la

moyenne. Ces points sigma sont propagés à travers le système non linéaire pour obtenir les

points sigma a posteriori. Une combinaison pondérée permet d‟estimer la moyenne et la

matrice de covariance du vecteur Gaussien a posteriori, c‟est-à-dire le vecteur aléatoire après

la transformation non linéaire. Il est à noter que les filtrages par points sigma ont été

interprétés par Lefebvre et al. [LEF02] comme une approche visant à mener une linéarisation

statistique pondérée de la transformation non linéaire.

Deux méthodes SPKF ont été tout particulièrement exploitées dans la littérature : l‟UKF

(Unscented Kalman Filter) et le CDKF (Central Difference Kalman Filter). Seule l‟estimation

de diffèrent dans les deux méthodes.

D‟une part, l‟UKF repose sur la transformation sans parfum proposée par Julier dans [JUL95]

et illustrée par la figure 25. Selon l‟interprétation de Lefebvre [LEF02], sous des hypothèses

Gaussiennes, cette méthode est équivalente à une linéarisation statistique pondérée au 3ème

ordre du développement de Taylor de la fonction non linéaire. Sous des hypothèses non

Gaussiennes, cette égalité est vraie jusqu‟au deuxième ordre. La démonstration est donnée

dans l‟annexe A de [WAN01].

Considérons la taille du vecteur d‟état . Dans ce cas, points

sigma sont stockés dans la matrice comme suit :

[

( √ )

( √ )

( √ )

( √ )

]

(3.85)

où . détermine l‟éloignement des points sigma vis-à-vis de

. est en outre un second paramètre d‟échelle.

{√ }

est égal à la ième

colonne de la matrice triangulaire inférieure du

facteur de Cholesky de la matrice de covariance des erreurs .

Ensuite, { } , la ième

colonne de , est propagée à

travers le système non linéaire caractérisé par l‟équation (3.76) pour obtenir les points sigma a

posteriori { } :

(3.86)


La moyenne et la matrice de covariance a priori sont obtenues comme suit :

∑

(3.87)

et

∑

(3.88)

où est définie dans l‟équation (3.82).

Figure 25 : Principe de la transformation non parfumée

dans le cas d‟un vecteur aléatoire de taille 2.

Les poids sont calculés comme suit :

Ces poids sont choisis afin d‟obtenir une égalité entre et et le

développement de Taylor à l‟ordre 3 des valeurs théoriques autour de

et respectivement autour de . est une

valeur optimale dans le cas d‟une distribution Gaussienne. Une explication détaillée est

donnée dans l‟annexe A de [WAN01].

D‟autre part, le CDKF regroupe deux approches à savoir celle développée par Norgaard

[NOR00] appelée « divided difference filter » et celle proposée par Ito [ITO00] dénommée

« central difference filter ». Il est fondé sur la formule d‟interpolation de Stirling autour de la

dernière estimation du vecteur d‟état. Considérons une fonction que l‟on approxime par un

développment de Taylor et par une interpolation de Stirling autour de . Selon Norgaard et

al. [NOR00], le développement de Taylor permet une « meilleure » approximation de dans

un intervalle proche de et l‟interpolation de Stirling approxime « mieux » la fonction

lorsqu‟on s‟éloigne de .

Cela donne lieu à une nouvelle expression pour l‟estimation de la moyenne et de la matrice de

covariance a posteriori.

Ainsi, les points sigma sont définis comme suit :

Transformation

non linéaire

Moyenne

points sigma

Moyenne Covariance

points sigma

a posteriori

Covariance


[

( √ )

( √ )

( √ )

( √ )

]

(3.89)

où correspond à la longueur de l‟intervalle centré sur la dernière estimation du vecteur

d‟état.

Selon Norgaard [NOR00], est choisi pour que soit le coefficient d‟aplatissement ou

kurtosis de la variable aléatoire où . Pour un vecteur aléatoire Gaussien,

√ .

Ensuite, de la même manière que pour l‟UKF, les points sigma a posteriori sont obtenus

comme suit :

(3.90)

La moyenne et la matrice de covariance a priori sont estimées ainsi :

∑

(3.91)

et

∑

(3.92)

où les poids sont donnés par [NOR00] :

(3.93)

Dans cette partie dédiée à l‟estimation des matrices AR en milieu Gaussien, deux méthodes

récursives ont été proposées à savoir l‟EKF et le SPKF. Leur coût calculatoire est inférieur à

celui des méthodes reposant sur les techniques EIV. Or, comme nous l‟avons vu dans le

chapitre 1, le fouillis de sol et de mer peuvent présenter une distribution non Gaussienne.

Nous proposons donc dans la sous-section suivante un algorithme récursif d‟estimation des

matrices AR où les hypothèses Gaussiennes sont relaxées. Cette méthode qui repose sur le

filtrage H∞ s‟effectue dans le cadre d‟une représentation du système dans l‟espace d‟état.

Estimation récursive par filtrage H∞

L‟approche H∞ est a priori séduisante car les hypothèses nécessaires à sa mise en œuvre sont

moins restrictives que celles d‟un filtre de Kalman. La théorie H∞ a été initialisée dans le

domaine du « contrôle » en 1981 par Zames et al. [ZAM81]. Les applications du filtre H∞ en

traitement du signal sont peu nombreuses et récentes.


1/ Dans le cas d‟une représentation dans l‟espace d‟état linéaire, Shen et al. [SHE99]

proposent deux filtres H∞ en série pour estimer un signal de parole modélisé par un modèle

AR. Le premier filtre permet l‟estimation des paramètres AR et le second filtre retrouve le

signal de parole. De plus, le filtrage H∞ a été étudié pour la conception de bancs de filtres de

synthèse du signal [VIK00] et pour un problème d‟égalisation en communication numérique

[ERD00]. Dans ces deux derniers travaux, les auteurs concluent que les approches H2 et H∞

donnent des résultats similaires en moyenne.

2/ Dans le cas d‟une représentation dans l‟espace d‟état non linéaire, Labarre et al. [LAB05]

optent pour une structure couplée de filtre H∞ pour le rehaussement du signal de parole. Les

auteurs n‟observent pas d‟améliorations significatives. Enfin, plus récemment, Poveda et al.

[POV09] proposent cette approche pour une estimation aveugle et récursive des décalages

Doppler d‟un système OFDMA en liaison montante et Giremus et al. [GIR09] testent la

pertinence du filtrage H∞ dans le domaine de la navigation GPS. Tous les deux opèrent par

linéarisation du 1er

ordre comme on le fait dans le cas de l‟EKF.

Ainsi, nous utilisons la même linéarisation que celle utilisée pour la méthode EKF fondée sur

un développement de Taylor au 1er

ordre de la fonction autour de la dernière estimation

disponible du vecteur d‟état, c‟est-à-dire .

Pour le filtrage H∞, la représentation dans l‟espace d‟état caractérisée par les équations

(3.76)-(3.77) est conservée : l‟équation de mise à jour (3.76) n‟est pas linéaire. De plus, on

s‟intéresse à une combinaison linéaire spécifique du vecteur d‟état étendu :

(3.94)

où ⏟

.

Contrairement au filtre de Kalman qui vise à minimiser la norme H2 de l‟erreur sur

l‟estimation du vecteur d‟état, cette approche vise à minimiser la norme H∞ du système décrit

par la figure 26 où les entrées sont les bruits de modèle et de mesure et la sortie est

.

Figure 26 : Système dont le filtrage H∞ minimise la norme H∞ de l‟erreur de sortie.

Le but est de minimiser les effets de et sur l‟estimation désirée dans le

pire des cas. De ce point de vue, d‟après Hassibi et al.[HAS99], l‟estimation H∞ semble plus

robuste que le filtre de Kalman vis-à-vis des perturbations. Il est à noter qu‟aucune hypothèse

statistique n‟est à formuler sur les bruits de modèle et le bruit de mesure si ce n‟est qu‟ils

doivent être à énergie finie.

Filtrage

H∞


Etant donné la représentation dans l‟espace d‟état caractérisée par les équations (3.76), (3.77)

et (3.94), le filtre H∞ a pour but de minimiser le critère :

∑

∑

(3.95)

où est l‟estimation de .

Dans le cadre du filtre H∞, les matrices et sont des matrices de pondération et sont

réglées par l‟utilisateur de l‟algorithme.

Selon Hassibi et al. [HAS99], une solution analytique de l‟estimation optimale du filtre H∞

n‟existe pas toujours. Une stratégie sous-optimale est le plus souvent considérée :

(3.96)

où désigne le niveau souhaité d‟atténuation des perturbations.

Ainsi, l‟estimation a priori du vecteur d‟état est obtenue grâce à l‟équation (3.76) :

(

) (3.97)

Etant donné un niveau d‟atténuation , l‟estimateur de vérifiant l‟équation

(3.96) existe si et seulement si :

(3.98)

La matrice vérifie la récursion de Riccati suivante :

(3.99)

et

* + (3.100)

où *

+ *

+ .

Le gain du filtre H∞ est défini comme suit :

(3.101)

Le vecteur d‟état a posteriori est obtenu ainsi :

(3.102)


3.4.3 Bilan

Nos contributions présentées dans cette section s‟articulent autour de cinq méthodes

permettant l‟estimation des matrices AR. Deux méthodes par bloc à savoir l‟EIV [PET10a] et

la méthode du PF [PET10b] sont présentées. La première est utilisée dans le cas Gaussien et

la seconde dans le cas non Gaussien. Des méthodes récursives alternatives sont proposées

reposant sur une représentation dans l‟espace d‟état du système (3.24)-(3.25). Sous des

hypothèses Gaussiennes, l‟EKF et le SPKF sont développés. Nous proposons d‟évaluer

l‟apport du filtrage H∞ dans le cas non Gaussien.

Durant cette thèse, notre attention s‟est aussi portée sur le coût calculatoire des détecteurs et

notamment le PAMF. Une implémentation particulière est déduite et est présentée dans la

section 3.5.

3.5 Implémentation et coût calculatoire

3.5.1 Implémentation des algorithmes récursifs fondés sur une

représentation du système dans l’espace d’état

Les algorithmes fondés sur une représentation du système dans l‟espace d‟état à savoir le

filtrage de Kalman, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et le filtrage H∞ sont récursifs. Nous précisons

dans la suite la façon dont les données d‟entraînement sont utilisées pour mettre à jour les

estimations.

Ainsi, lorsque l‟on dispose de K cases distance d‟entraînement, les algorithmes opèrent selon

le schéma synoptique de la figure 27. En particulier, une fois l‟analyse de la case

d‟entraînement terminée, le vecteur d‟état et la matrice de covariance

d‟erreur associée sont utilisées pour initialiser l‟algorithme pour la case

d‟entraînement .

Ainsi, il vient :

(3.103)

(3.104)

où est le vecteur d‟état estimé à l‟instant m avec tous les échantillons des cases

d‟entraînement de 1 à et les m échantillons de la case d‟entraînement k et est

la matrice de covariance d‟erreur estimée à l‟instant m avec tous les échantillons des cases

d‟entraînement de 1 à et les m échantillons de la case d‟entraînement k.


Figure 27 : Schéma d‟implémentation des algorithmes récursifs.

EKF/SPKF/H∞

Case d‟entraînement

{ }

EKF/SPKF/H∞


{ }

EKF/SPKF/H∞


{ }


3.5.2 Implémentation réduisant le coût calculatoire du PAMF

Pour réduire le coût calculatoire du PAMF, regardons en détail l‟équation (2.58). Pour cela,

considérons deux vecteurs

et de taille :

(3.105)

( ) ( ) ( ) (3.106)

De plus, les matrices AR sont regroupées dans la matrice :

(3.107)

D‟après les équations (2.59) et (2.60), l‟équation (2.58) devient :

|∑ *(

( ))

+ |

∑ *(

( ))

( )+

(3.108)

Or, d‟après (1.20) et (1.35), on a :

( )

(3.109)

Etant donné (3.109), l‟équation (3.108) peut s‟écrire :

|∑ [(

( )

)

] |

∑ [(

( )

)

( )

]

(3.110)

ou encore :

|(

( ))

( )|

(

( ))

( )

(3.111)

où

( ) ∑ *

+

. (3.112)

Si

est considéré comme un multiple de , le terme

( ) peut être

obtenu en effectuant transformées de Fourier rapide (FFT) puisque

est

de taille .

De plus, les FFT peuvent être regroupés en p+1 groupes et chaque groupe est calculé

récursivement comme le montre l‟équation (3.113).


( ) ∑ *

+

[

∑ *

+

∑ *

+

∑ *

+

∑ *

+

]

[

( )

( )

( )

( ) ]

[

( )

( )

( )

( ) ]

(3.113)

On obtient l‟expression récursive suivante pour i allant de 1 à p :

( )

( )

(3.114)

3.5.3 Coût calculatoire du PAMF

Dans cette section, nous comparons le coût calculatoire du PAMF selon qu‟il est implémenté

d‟après l‟expression (2.58) ou d‟après l‟expression (3.111).

Ils sont donnés dans les tableaux 3 et 4. Pour cela, voici les hypothèses prises en

considération :

le coût calculatoire est obtenu en nombre d‟opérations. Une addition (ou une

multiplication) vaut une opération ;

le nombre de fréquences Doppler testées lors du filtrage PAMF est noté ;

le nombre de fréquences spatiales testées lors du filtrage PAMF est noté ;

désigne le nombre de cases sous test utilisées ;

les nombres d‟opérations pour estimer les matrices AR { }

et l‟inverse de la

matrice ne sont pas pris en compte dans cette section.


Tâches Nombre d’opérations Nombre de répétitions

Résultat du filtre inverse

Résultat du filtre inverse

Calcul matriciel

Sommation ∑

Calcul du module

Calcul matriciel

Tableau 3 : Coût calculatoire du PAMF reposant sur (2.58).

Tâches Nombre d’opérations Nombre de répétitions

Calcul de

( )

Filtre inverse

( )

Filtre inverse ( )

Calcul matriciel

(

( ))

( )

Calcul du module

Calcul matriciel

(

( ))

( )

Tableau 4 : Coût calculatoire du PAMF reposant sur (3.111).

On obtient les coûts calculatoires et pour les implémentations reposant sur (2.58) et

reposant sur (3.111) respectivement :

[

]

(3.115)

[ ( )

] (3.116)

et sont donnés en GFlops. est égal au temps d‟acquisition du datacube qui vaut

secondes.

Pour les applications numériques, nous avons fixé les paramètres du radar comme décrit dans

le tableau 5.

2 64 2 0.0005 s 75000

Tableau 5 : Valeurs des paramètres lors des applications numériques.


Le tableau 6 présente les résultats pour différentes valeurs de et . Le gain entre

l‟implémentation reposant sur (2.58) et sur (3.111) respectivement est présenté sur la

figure 28 :

(3.117)

8 16 32 64 128 256

1 51 1 99 2 194 5 385 10 767 20 1530 41

2 99 2 194 4 385 9 767 18 1530 37 3057 75

4 194 4 385 9 767 18 1530 35 3057 71 6111 144

8 385 9 767 17 1530 35 3057 70 6111 140 12219 280

Tableau 6 : Valeurs des paramètres lors des applications numériques

Figure 28 : Gain en opérations de l‟implémentation reposant sur (3.111) du PAMF.

Quels que soient les algorithmes utilisés pour estimer les matrices AR { }

et la

matrice de covariance , l‟implémentation du PAMF proposée dans cette section réduit de

manière significative le coût calculatoire de ce détecteur. En effet, le gain en nombre

d‟opérations par rapport à une implémentation standard est de l‟ordre de 40. Ainsi, avec un

coût calculatoire de l‟ordre de la dizaine de Gflops, il serait envisageable d‟opter pour une

architecture de ce type dans un cadre applicatif.

3.6 Etude comparative : résultats sur des données VAR

synthétiques

Dans cette section, une étude comparative des différentes méthodes est établie sur des

processus VAR synthétiques Gaussiens et non Gaussiens.

8 16 32 64 128 25637

38

39

40

41

42

43

44

45

Gain

G

Nombre de fréquences Doppler

Nspa = 1

Nspa = 2

Nspa = 4

Nspa = 8


3.6.1 En milieu Gaussien

Nous avons réalisé de nombreuses simulations. Dans cette section, nous considérons le

processus proposé par Mahmoudi et al. dans [MAH08]. Ainsi, est un processus

VAR du deuxième ordre ( ) à deux voies ( ) :

(3.118)

où est un processus blanc Gaussien à deux voies de variance 1 sur chaque voie et les

matrices AR sont :

*

+ *

+ (3.119)

Dans ce cas, le polynôme a quatre racines :

, (3.120)

, (3.121)

, (3.122)

. (3.123)

Définissons le vecteur regroupant les pôles :

(3.124)

Dans toute cette section, est un processus blanc Gaussien à deux voies de variance 1 sur

chaque voie. Puis le processus est perturbé par un bruit blanc Gaussien pour

obtenir :

(3.125)

Onze approches sont comparées :

la méthode de corrélation ;

la méthode de corrélation compensée en bruit qui nécessite la connaissance a priori de

la matrice de covariance du bruit additif ;

la méthode de la covariance ;

la méthode de la covariance compensée en bruit qui nécessite la connaissance a priori

de la matrice de covariance du bruit additif ;

la méthode de Hasan [HAS03] qui estime de manière aveugle les matrices AR et les

matrices de covariance et ;

l‟ILSV [MAH08] qui estime de manière aveugle les matrices AR et les matrices de

covariance et ;

l‟EKF [WAN01] qui nécessite la connaissance a priori de et ;

l‟UKF [PET10a] qui nécessite la connaissance a priori de et ;

le CDKF [PET09c] qui nécessite la connaissance a priori de et ;

les deux méthodes EIV [PET10a] qui estiment de manière aveugle les matrices AR et

les matrices de covariance et . Elles reposent sur le critère SR et HOYW.

Pour toutes les simulations de cette section, les méthodes SPKF sont paramétrées comme

suit :

pour l‟UKF, , et [WAN01] ;

pour le CDKF, √ [NOR00].


Dans le cas d‟un processus AR caractérisés par les paramètres AR { } , on compare les

méthodes en utilisant des critères objectifs comme la distance d‟Itakura ou en étudiant l‟erreur

d‟estimation sur la position d‟un pôle de la fonction de transfert

∑

plutôt que

d‟analyser l‟erreur sur les paramètres AR. Nous conservons ce procédé dans le cas d‟un

processus VAR. Pour cette raison, nous analysons les performances des méthodes en termes

d‟erreur relative (ER) et de racine carré de l‟erreur quadratique moyenne normalisée

(EQMN), définies dans [XIA10] :

‖ ( ) ‖

‖ ‖

et √

∑

‖ ‖

‖ ‖

(3.126)

où ( )

∑

désigne la moyenne des estimations des pôles { } sur

l‟ensemble des réalisations.

Considérons dans un premier temps un RSB de 20 dB sur les deux voies et 1024 échantillons

disponibles. La figure 29 présente un exemple d‟estimation des pôles estimés pour chacune

des méthodes.

D‟après le tableau 7, les méthodes ne compensant pas le bruit de mesure à savoir la méthode

de corrélation, celle de la covariance et l‟algorithme de Kalman, effectuent une estimation

biaisée des matrices AR. En particulier, les pôles estimés sont décalés vers le centre du cercle

unité dans le plan complexe z. Les huit autres méthodes compensent le bruit de mesure et

donnent des résultats comparables en moyenne. Cependant, l‟algorithme de Hasan et l‟ILS

présentent des variances plus élevées.

De plus, ces deux algorithmes itératifs ne peuvent pas être utilisés pour un RSB inférieur à

ou pour un nombre d‟échantillons disponibles inférieur à 1024. Dans ces cas, soit ils

peuvent diverger soit les matrices AR estimées donnent lieu à un système instable. Pour

montrer ce phénomène, nous avons examiné deux cas à savoir l‟influence du RSB et

l‟influence du nombre d‟échantillons disponibles.

Pour le test 1, le nombre d‟échantillons disponibles est fixé à 1024 alors que le RSB décroit

en prenant les valeurs suivantes égales sur les deux voies : , , , , et

.

Pour le test 2, le RSB est fixé à sur la voie 1 et à sur la voie 2 alors que le nombre

d‟échantillons disponibles décroit avec les valeurs suivantes : 1024, 512, 256, 128 et 64. Pour

chacun d‟entre eux, réalisations sont effectuées.

Chaque réalisation où le jeu de matrices AR estimées ne donnent pas lieu à un système stable

ou lorsque les algorithmes divergent, le résultat de la réalisation est dit « rejeté ». D‟après le

tableau 8, ces deux méthodes obtiennent un pourcentage trop élevé de réjections dans ces

conditions et ne sont plus testées dans la suite de cette section. Néanmoins, comme le

montrent leurs auteurs, ces méthodes itératives [HAS03] et [MAH08] donnent de bonnes

performances pour des RSB supérieurs à 10 dB et un nombre d‟échantillons disponibles égal

à 4000.


Méthodes

Pôle Pôle

Moyenne Variance

Moyenne

Variance

théorique - -

Mét

hodes

« s

tandar

ds

» YW

Corrélation

YW

Covariance

Kalman

Mét

hodes

avec

com

pen

sati

on

YW

Corrélation

compensé

YW

Covariance

compensé

Hasan

ILSV

EKF

UKF

CDKF

H∞

EIV SR

EIV HOYW

Tableau 7 : Moyennes et variances des estimations des pôles1 pour chaque méthode

avec un RSB de 10dB sur chaque voie et 1024 échantillons disponibles.

Figure 29 : Estimations des pôles pour une réalisation

avec un RSB de 20dB sur chaque voies et 1024 échantillons.

1 Les résultats obtenus pour les pôles et ne sont pas indiqués car ils sont similaires à leur pôle conjugué à

savoir respectivement et .

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

YW corrélation

YW covariance

YW corrélation compensé

YW covariance compensé

hasan

mahmoudi ilsv

kalman

EKF

UKF

CDKF

H inf

eiv SR

eiv HOYW

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

x 10-3

-0.955

-0.95

-0.945

-0.94

-0.935

-0.93


Test

Nombre

d‟échantillons

disponibles

RSB sur les

deux voies

en dB

% des résultats rejetés

Méthode de

Hasan [HAS03]

Méthode ILSV

[MAH08]

1

1024 [10 10] 1.6 0

1024 [8 8] 39.4 0.4

1024 [6 6] 77.2 6.2

1024 [4 4] 81.8 34.8

1024 [2 2] 84 90.6

1024 [0 0] 88.4 99.6

2

1024 [10 8] 17 0

512 [10 8] 20 1

256 [10 8] 24 6

128 [10 8] 26.2 25.6

64 [10 8] 35.8 51

Tableau 8 : Pourcentage de résultats rejetés pour Hasan [HAS03] et d‟ILS [MAH08]

pour des RSB décroissants et 1024 échantillons disponibles.

Quel que soit le RSB et quel que soit le nombre d‟échantillons disponibles, les approches

autres que celles itératives donnent lieu à une estimation de matrices AR d‟un système stable.

A présent, regardons en détail les estimations obtenues des méthodes stables et compensant en

bruit. Sept méthodes sont donc comparées : la méthode de corrélation compensée en bruit, la

méthode de la covariance compensée en bruit, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et les deux méthodes

EIV SR et MOYW.

D‟après les figures 30-33, les méthodes de corrélation et de covariance présentent de

meilleures performances sauf lorsque le nombre d‟échantillons disponibles est inférieur à 256.

De même, les méthodes EIV montrent une très grande robustesse au bruit de mesure, mais

leurs performances se dégradent lorsque le nombre d‟échantillons disponibles diminue. Ces

deux familles d‟algorithmes nécessitent le calcul d‟une matrice de corrélation. Ainsi, le

manque d‟échantillons perturbe ce calcul et engendre une perte de précision dans l‟estimation

des matrices AR.

Figure 30 : Influence du RSB sur l‟erreur relative.

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

RSB

ER

covariance compensé

corrélation compensé

EKF

UKF

CDKF

Hinf

EIV SR

EIV HOYW


Figure 31 : Influence des échantillons disponibles sur l‟erreur relative.

A l‟inverse, les performances de l‟algorithme se dégradent fortement lorsque le RSB

diminue, mais l‟EQMN reste faible lorsque le nombre d‟échantillons disponibles diminue.

Globalement, malgré leur coût calculatoire, les algorithmes EIV présentent les meilleures

performances en termes de EQMN et d‟erreur relative sans connaissance a priori. De plus,

ces méthodes permettent d‟estimer les matrices de covariance et . Les estimations des

éléments diagonaux de ces matrices sont indiquées dans le tableau 9 pour les tests 1 et 2.

Figure 32 : Influence du RSB sur l‟EQMN.

64 128 256 512 10240

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

échantillons disponibles

ER



EKF

UKF

CDKF

Hinf

EIV SR

EIV HOYW

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

RSB

EQ

MN



EKF

UKF

CDKF

Hinf

EIV SR

EIV HOYW


Figure 33 : Influence des échantillons disponibles sur l‟EQMN.

Concernant les algorithmes nécessitant des informations a priori, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et

le filtrage H∞ présentent un EQMN proche, mais supérieur, à celui des méthodes compensées

en bruit.

Ensuite, le test 1 est reproduit, mais la valeur de la matrice de covariance du bruit est soit

majorée soit minorée. Ainsi, il vient :

(3.127)

où est la matrice donnée comme entrée des algorithmes et est un réel positif. C‟est dans

ce cas que les méthodes récursives ont un intérêt comme le montre le tableau 10.

Les résultats des méthodes compensées en bruit quant à elles peuvent être classés en deux

catégories :

soit la matrice utilisée pour compenser le bruit a, sur sa diagonale, des valeurs

supérieures à la matrice de covariance du bruit . Ainsi, la compensation peut faire

perdre à la matrice son caractère non négatif ;

soit la matrice utilisée pour compenser le bruit a, sur sa diagonale, des valeurs

inférieures à la matrice de covariance du bruit . Ainsi, la compensation en bruit

n‟est que partielle et un biais d‟estimation apparait comme dans le cas des méthodes

d‟estimation sans compensation.

Le tableau 10 ne présente pas les résultats de l‟algorithme CDKF car celui-ci présente des

résultats identiques à l‟algorithme UKF.

64 128 256 512 10240

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

échantillons disponibles

EQ

MN



EKF

UKF

CDKF

Hinf

EIV SR

EIV HOYW


Nombre

d‟échantillons / RSB

sur les voies (en dB)

Valeurs théoriques Algorithme EIV SR Algorithme EIV

HOYW

1024 / [10 10] 1.06

1.02

0.45

0.47

0.95

0.96

0.42

0.43

0.99

0.28

0.42

0.44

1024 / [8 8] 1.03

1.04

0.71

0.75

0.95

0.95

0.66

0.69

0.99

0.27

0.66

0.70

1024 / [6 6] 1.02

0.96

1.08

1.10

0.96

0.94

1.04

1.10

1.00

0.32

1.04

1.11

1024 / [4 4] 1.00

1.02

1.72

1.82

1.00

0.94

1.63

1.73

0.99

0.42

1.63

1.76

1024 / [2 2] 1.00

1.01

2.53

2.72

1.06

0.98

2.58

2.71

0.90

0.59

2.58

2.80

1024 / [0 0] 1.01

1.01

4.53

4.87

1.26

1.12

4.01

4.21

0.80

0.73

3.95

4.39

1024 / [10 8] 0.99

0.93

0.43

0.68

0.95

0.95

0.42

0.70

1.00

0.08

0.41

0.70

512 / [10 8] 0.93

0.94

0.42

0.74

0.94

0.95

0.40

0.67

1.00

0.12

0.39

0.68

256 / [10 8] 0.82

1.01

0.42

0.71

0.97

0.95

0.36

0.64

1.01

0.21

0.37

0.67

128 / [10 8] 1.01

1.10

0.42

0.69

0.98

0.91

0.32

0.58

0.95

0.32

0.35

0.62

64 / [10 8] 1.04

1.09

0.46

0.73

0.97

0.91

0.25

0.46

0.84

0.38

0.29

0.52

Tableau 9 : Estimations des matrices et par les algorithmes EIV.

Nombre

d‟échantillons /

RSB sur les

voies (en dB)

Coefficient

EQMN

EKF UKF H∞

1024 / [10 8]

0.01 41.00 41.00 39.35

0.1 38.51 38.55 38.12

1 3.61 3.62 3.56

10 39.03 39.10 38.94

100 38.38 38.42 37.97

512 / [10 8]

0.01 56.71 56.79 54.50

0.1 57.06 57.17 55.85

1 8.27 8.32 8.01

10 54.46 54.58 53.78

100 55.86 56.06 54.87

256 / [10 8]

0.01 86.27 86.39 82.78

0.1 86.19 86.74 82.99

1 18.14 18.33 17.04

10 83.86 84.21 81.87

100 85.64 85.99 82.62


Nombre

d‟échantillons /

RSB sur les

voies (en dB)

Coefficient

EQMN

EKF UKF H∞

128 / [10 8]

0.01 146.02 152.87 153.64

0.1 143.65 137.25 129.9

1 71.18 72.01 72.04

10 129.84 131.66 121.07

100 145.95 160.09 142.30

64 / [10 8]

0.01 249.96 255.31 242.5

0.1 250.05 248.38 259.22

1 187.05 187.43 153.42

10 270.11 262.6 278.18

100 314.37 317.7 265.73

Tableau 10 : EQMN des méthodes récursives pour une matrice de covariance du bruit

connue à un facteur multiplicatif près.

3.6.2 En milieu non Gaussien

Pour modéliser un processus VAR non Gaussien, nous proposons de simuler K réalisations du

processus défini par l‟équation (3.118). De plus, une texture distribuée selon une loi Gamma

est appliquée sur chaque réalisation donnant lieu ainsi un signal distribué selon une loi K.

Pour chaque case k allant de 1 à K, il vient

√ (3.128)

Enfin, un bruit Gaussien est ajouté au processus pour aboutir au signal observé

comme le montre l‟équation (3.125). Les algorithmes SCM, NSCM et PF décrits dans

la section 3.3.2, sont alors directement applicables sur le signal bruité .

Comme nous l‟avons déjà vu, le filtrage H∞ ne nécessite aucune contrainte de Gaussianité sur

les signaux intervenant dans le système. L‟algorithme est donc testé pour estimer des matrices

AR avec des données non Gaussiennes. De plus, nous testons la robustesse du SPKF. En

effet, si les points sigma sont bien choisis, ils peuvent approximer tout type de distribution

non Gaussien, mais unimodal du vecteur d‟état.

Les résultats obtenus pour 1000 réalisations sont décrits dans le tableau 11 avec ,

et quatre densités de probabilité différentes à savoir une loi Gaussienne et une loi K

avec .

Méthodes EQMN avec un RSB à 20dB EQMN avec un RSB à 50dB

Gauss Gauss

SPKF 0.049 0.052 0.065 0.071 0.047 0.050 0.059 0.065

H∞ 0.070 0.072 0.081 0.083 0.075 0.076 0.080 0.118

SCM 0.044 0.047 0.057 0.063 0.038 0.039 0.050 0.057

NSCM 0.083 0.081 0.084 0.084 0.072 0.071 0.073 0.073

PF 0.051 0.051 0.052 0.053 0.044 0.044 0.046 0.046

Tableau 11 : EQMN des estimations des pôles en milieu non Gaussien.


D‟après le tableau 11, la méthode PF présente de meilleures performances en termes de

EQMN que la méthode NSCM quelle que soit la texture utilisée. L‟EQMN de l‟approche

SCM, méthode dédiée aux hypothèses Gaussiennes, augmente lorsque diminue. Concernant

les trois méthodes récursives à savoir l‟UKF, le CDKF et le filtrage H∞, la précision de

l‟estimation varie peu selon la texture utilisée ; les EQMN obtenues notamment pour les

méthodes SPKF restent très faibles même avec une valeur .

3.7 Conclusions

Figure 34 : Structure de l‟implémentation de l‟algorithme PAMF.

{ }


AR { }

Estimation de la

matrice

{ }

(3.111)

Seuillage

Filtre inverse

(2.61)

FFT (3.112)

+

Mise à jour

(3.114)

( )

Multiplication

par

Multiplication

par


Figure 35 : Structure de l‟implémentation de l‟algorithme NPAMF.

Dans ce chapitre, deux choix de modélisation ont été envisagés. Dans le premier cas, le bruit

thermique est négligé et le speckle du fouillis est modélisé par un processus VAR. Le second

cas consiste à modéliser le bruit thermique par un bruit blanc Gaussien et le speckle du

fouillis par un processus VAR. Nous avons alors proposé cinq méthodes d‟estimation des

matrices AR : une pour le modèle 1 et quatre destinées au modèle 2.

Dans le cas du modèle 1, une approche reposant sur la méthode du point fixe est déduite.

Cette dernière permet une estimation de la matrice de covariance tenant compte de la

distribution non Gaussienne du fouillis. Notre approche présente l‟avantage de réduire le coût

calculatoire.

Dans le cas du modèle 2, nous suggérons tout d‟abord une approche par bloc. Elle repose sur

une technique à erreurs dans les variables et permet une estimation aveugle des matrices AR,

c‟est-à-dire sans information a priori sur les données. Ensuite, des méthodes récursives ont

été étudiées. Les deux premières sont fondées sur une extension du filtrage de Kalman pour

traiter un problème d‟estimation dans le cas d‟équations non linéaires. Il s‟agit de l‟EKF et du

SPKF. La dernière méthode récursive suggérée est le filtrage H∞. Elle vise à minimiser la

{ }


AR { }

Estimation de la

matrice

{ }

(2.64)

Seuillage

Filtre inverse

(2.61)

FFT

(3.112)

+

Mise à jour

(3.114)

( )

Multiplication

par

Multiplication

par

Filtre

inverse

(2.59)


norme H∞ du système dont les entrées sont le bruit de modèle et le bruit de mesure et la sortie

est l‟erreur d‟estimation. Il est à noter qu‟aucune hypothèse statistique n‟est à formuler sur les

entrées du système ; elles sont uniquement supposées à énergie finie.

Les simulations du chapitre 3 sont réalisées sur des données synthétiques obtenues par la

génération d‟un processus VAR d‟ordre strict.

En milieu Gaussien, les méthodes EIV présentent le plus faible EQMN, mais ne sont pas

utilisées dans le chapitre 4 en raison de leur coût calculatoire élevé au contraire des méthodes

récursives telles que l‟EKF et l‟SPKF.

En milieu non Gaussien, la méthode PF permet au détecteur PAMF d‟être texture-CFAR,

propriété qu‟il faut confirmer sur des données réelles radar.

Dans le chapitre 4, nous comparons les algorithmes proposés avec des données radar, soit

synthétiques et issues d‟un simulateur, soit réelles et issues d‟un radar opérationnels. Pour

toutes ces simulations :

l‟algorithme PAMF reposant sur la structure décrite par la figure 34, est utilisé pour un

fouillis Gaussien;

l‟algorithme NPAMF reposant sur la structure décrite par la figure 35, est mis en

œuvre pour un fouillis non Gaussien.

Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar


Dans ce chapitre, nous étudions la pertinence des algorithmes décrits dans le chapitre 3

appliqués au STAP. Selon que le fouillis est Gaussien ou non, nous utilisons les algorithmes

PAMF et NPAMF décrits sur les figures 34 et 35. Tout d‟abord, ces méthodes sont utilisées

sur des données synthétiques obtenues à partir d‟un simulateur développé pendant la thèse

reposant sur le GCM [WAR94] (Cf. section 1.2.3.1). Ensuite, des données semi-synthétiques

fournies par le CELAR (Centre d‟ELectronique de l‟ARmement) et des données réelles

fournies par THALES permettent d‟évaluer les algorithmes dans un cadre opérationnel.

4.1 Application sur des données synthétiques

4.1.1 Présentation des données

La configuration géométrique et les paramètres du radar sont les suivants :

configuration non latérale avec ; antenne rectangulaire comportant capteurs élémentaires séparés chacun de

sur les deux axes. Ils sont répartis en deux sous-réseaux donnant lieu à

voies de traitement ;

impulsions ;

fréquence centrale ;

vitesse du porteur de ;

altitude du porteur de ;

fréquence de récurrence ;

le fouillis de mer est représenté avec une vitesse d‟ensemble de 5 m/s et un étalement

.

Une réalisation du signal reçu par le radar est donnée sur la figure 36. Le signal représenté est

issu de la somme des deux voies en réception pour un rapport de puissance de 20 dB entre les

le fouillis et le bruit thermique. Le signal présente trois zones caractéristiques. La zone

« claire » est composée de bruit thermique et d‟éventuelles cibles. La zone « fouillis 1 » est

composée de bruit thermique, d‟éventuelles cibles et principalement de fouillis de mer

provenant d‟échos de mer ayant des angles azimut et élévation faibles. La zone


« fouillis 2 » est composée de bruit thermique, d‟éventuelles cibles et de fouillis de mer dus à

des d‟échos de mer ayant des angles azimut et élévation élevés.

Figure 36 : Voie somme du signal reçu par le radar issu du simulateur.

Dans cette section, les différents traitements STAP sont réalisés pour des distances

supérieures à 20 km. On focalise ainsi l‟étude sur la zone « fouillis 1 ». Les performances des

différents algorithmes sont établies tout d‟abord sur un fouillis Gaussien puis non Gaussien.

4.1.2 Cas Gaussien

En milieu Gaussien, quatre méthodes d‟estimation des matrices AR sont comparées : la

méthode de corrélation, le filtrage de Kalman, l‟EKF et l‟UKF. Les méthodes EIV présentent

un coût calculatoire élevé ne permettant pas une utilisation en pratique ; elles ne sont pas

étudiées dans le chapitre 4.

Dans un premier temps, pour comparer les performances entre les différents algorithmes1, on

introduit un facteur de perte en RSBI [WAR94] défini comme suit :

(4.1)

où représente le rapport signal sur bruit plus interférences à la sortie du

filtrage utilisé et dénote le rapport signal sur bruit sans fouillis à la sortie du filtrage non

adaptatif.

1 Ce critère est appelé SINR loss en anglais [WAR94].

vitesse en m/s

dis

tance e

n k

m

-15 -10 -5 0 5 10

10

20

30

40

50

60

70

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Zone

« claire »

Zone

« fouillis 1 »

Zone

« fouillis 2 »


Le se définit comme suit :

( ) ( )

(4.2)

où est la puissance de la cible et dénote la réponse impulsionnelle du filtre estimé.

Ce critère permet d‟observer les pertes du filtrage des interférences, à savoir le fouillis et le

bruit thermique, par rapport à un filtrage non adaptatif uniquement en présence de bruit

thermique. Il y deux sources majeures de pertes : celle liée à la densité spectrale du fouillis et

celle liée à l‟estimation de la matrice de covariance [MEL09]. Dans cette section, tous les

facteurs de pertes sont estimés pour une fréquence spatiale nulle, c‟est-à-dire .

La figure 37 met en évidence la règle de Reed et al. [REE74]. L‟estimation SCM doit bien

être faite à partir données d‟entraînements indépendantes et identiquement

distribuées, pour obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport au

filtrage non adaptatif.

Figure 37 : Facteur de pertes en RSBI dans le cas non adaptatif et pour le filtrage avec

l‟estimateur SCM.

Figure 38 : Facteur de pertes en RSBI dans le cas non adaptatif et pour le filtrage avec les

estimateurs SCM, de la méthode de corrélation, de Kalman, de l‟EKF et de l‟UKF.

-15 -10 -5 0 5 10 15-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

vitesse m/s

filtrage non adaptatif

SCM

-15 -10 -5 0 5 10 15-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

vitesse m/s

filtrage non adaptatif

SCM

corrélation

kalman

EKF

UKF

Perte liée à l‟estimation de

la matrice de covariance.

Perte liée à la densité

spectrale du fouillis


D‟après la figure 38, les résultats des quatre méthodes d‟estimation des matrices AR semblent

relativement similaires. En tenant compte du tableau 12, l‟UKF présente de meilleures

performances.

Méthode d‟estimation EQMN

Estimateur SCM 88

Méthode de corrélation 28

Filtrage de Kalman 26

EKF 24

UKF 23

Tableau 12 : EQMN des facteurs pertes

vis-à-vis du facteur de perte avec filtrage non adaptatif.

Gardons la méthode d‟estimation UKF pour étudier l‟influence de l‟ordre du modèle et du

nombre de cases d‟entraînement K sur l‟EQMN. D‟après le tableau 13, l‟augmentation des

cases d‟entraînement K permet une diminution de l‟EQMN, c‟est-à-dire que le filtrage tend

vers le filtrage non adaptatif. De plus, l‟évolution de l‟ordre du modèle fait apparaître un

minimum pour . Dans le cas où la matrice de covariance théorique des interférences est

connue, l‟EQMN peut donc servir de critère pour choisir l‟ordre p à appliquer dans le

détecteur PAMF pour un datacube radar donné.

p / K EQMN de

l‟UKF

1 / 4 36

2 / 4 23

3 / 4 31

4 / 4 32

5 / 4 36

2 / 2 27

2 / 4 23

2 / 8 21

2 / 16 19

Tableau 13 : Influence de l‟ordre p et du nombre de cases d‟entraînement K sur l‟EQMN

avec la méthode d‟estimation UKF.

Dans un second temps, les courbes de probabilité de détection sont évaluées afin de comparer

les méthodes d‟estimation des matrices AR et les détecteurs PAMF et AMF. Pour cela, un

seuil de détection est estimé de manière empirique pour chaque détecteur PAMF et AMF pour

une . Il est à noter que pour le détecteur AMF avec une estimation SCM de la

matrice de covariance, le seuil obtenu en pratique corrobore le seuil théorique déduit de

(2.35).

Ensuite, une cible synthétique définie par (1.35) est ajoutée au signal présenté sur la figure 36.

Cette cible présente des angles azimut et élévation nuls, c‟est-à-dire . Néanmoins, elle est simulée pour toutes les vitesses allant de -15 m/s à 15 m/s. La figure 39


présente la probabilité de détection pour le détecteur AMF. Le domaine d‟entraînement est

constitué de cases.

Figure 39 : Probabilité de détection obtenue avec le détecteur AMF avec une estimation SCM

de la matrice de covariance et .

Figure 40 : Courbes de probabilités de détection à la vitesse de 10m/s obtenues pour l‟AMF

avec et le PAMF avec et une estimation des matrices AR

avec la méthode de corrélation, l‟EKF et l‟UKF.

D‟après la figure 40, pour un ordre et quelle que soit la méthode d‟estimation utilisée,

le PAMF présente de meilleures performances que l‟AMF en termes de probabilité de

détection. Dans notre cas et pour une vitesse de 10 m/s, le gain est de 2 dB.

La section 4.1.3 traite des performances des différents algorithmes d‟estimation pour un

fouillis synthétique non Gaussien.

4.1.3 Cas non Gaussien

Dans cette section, le fouillis est modélisé par un SIRV et plus particulièrement par une

distribution K. Ainsi, le paramètre de forme de la loi K permet de faire évoluer le caractère

impulsif du fouillis.

En milieu non Gaussien, trois méthodes d‟estimation des matrices AR sont comparées :

l‟UKF, le filtrage H∞ et la méthode du point fixe (PF).

vitesse m/s

RSB

-15 -10 -5 0 5 10

-20

-10

0

10

20

30

40 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RSB

pd

AMF

corrélation

EKF

UKF

RS

B

pd


D‟après la figure 41, la non-Gausiannité du fouillis entraîne une perte en RSBI supérieure à

3 dB vis-à-vis du filtrage non adaptatif et en moyenne égale à 4.5 dB pour l‟AMF avec SCM.

L‟approche UKF est la méthode qui permet d‟avoir les pertes en RSBI les plus faibles. A

l‟instar de l‟approche H∞, les pertes en RSBI de l‟UKF sont inférieures de 0.5 dB à celles du

filtrage non adaptatif alors que l‟utilisation de la méthode du point fixe permet d‟obtenir des

pertes en RSBI inférieures à 1.5 dB.

Figure 41 : Pertes en RSBI pour une estimation des matrices AR

par l‟UKF, H∞ et la méthode PF avec et .

Vérifions à présent que le NPAMF utilisant l‟estimation PF bénéficie de cette propriété.

D‟après le tableau 14, quelle que soit la texture utilisée, le seuil de détection varie peu pour

une donnée. Ces résultats de simulation permettent de confirmer que dans ce cas, le

NPAMF présente un comportement quasi texture-CFAR.

Seuil

UKF H∞ PF

10

Tableau 14 : Seuils de détection obtenus pour 4 et 4 valeurs du paramètres

avec les méthodes UKF, H∞ et PF.

-15 -10 -5 0 5 10 15-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

vitesse m/s

Filtrage non adaptaif

SCM

UKF

Hinf

PF


4.2 Application sur des données semi-synthétiques fournies par

le Celar

Les données synthétiques ne peuvent pas simuler l‟ensemble des phénomènes physiques

intervenant dans une mission de surveillance par un radar. Une première étape de simulation

vers les données réelles est l‟utilisation des données fournies par le Celar.


Dans cette section, nous traitons des données semi-synthétiques fournies par le CELAR. Ce

« datacube » STAP est obtenu à partir d‟une image SAR THR1 opérationnelle. Les différents

scénarios présentent les caractéristiques suivantes :

configuration latérale, à savoir ; antenne Linéaire Uniforme de voies séparées chacune de ;

impulsions et cases distance ;

fréquence centrale et largeur de bande ;

vitesse avion de ;

fréquence de récurrence .

4.2.2 Scénario 1 : cas Gaussien

Le premier scénario illustré sur la figure 42 présente trois cibles possédant les caractéristiques

suivantes :

Cible 1 : case distance , vitesse radiale relative ,

Cible 2 : case distance , vitesse radiale relative ,

Cible 3 : case distance , vitesse radiale relative .

Ces trois cibles sont dans l‟axe du radar ainsi et

et possèdent la même SER, à savoir

.

Le fouillis est issu d‟échos de sol ; il suit une distribution Gaussienne et possède un

coefficient de rétrodiffusion moyen . Le bruit thermique quant à lui a

une puissance inférieure de 20 dB à celle du fouillis de sol.

Le signal dû à certaines cibles peut s‟étaler sur plusieurs cases distances. Pour cette raison,

des cases distances dites cases de garde ne sont pas utilisées dans le domaine d‟entraînement.

Pour chaque case distance contenant une cible, nous optons pour 4 cases de garde, à savoir 2

cases distances de chaque côté de la case distance concernée.

Dans un premier temps, la case sous test est ; il s‟agit de la case distance contenant

la cible 2. Les cases distances des cibles 1 et 3 et les cases de garde correspondantes ne sont

pas comprises dans le domaine d‟entraînement. Ce dernier comprend donc cases

distances.

1 SAR THR signifie Synthetic Aperture Radar Très Haute Résolution. Le SAR est une technique utilisée en

radar qui permet d‟obtenir des images du sol éclairé. Pour plus d‟informations, le lecteur peut se référer à

[LAC01].


Les interférences étant Gaussiennes, nous utilisons le détecteur AMF défini par (2.33). Dans

ce cas, la matrice de covariance doit être estimée. La figure 43.a) présente les résultats

obtenus en utilisant une matrice identité dans le domaine spatio-Doppler. La figure 43.b)

décrit une coupe de la figure 43.a) pour un angle . Aucun filtrage n‟est alors

effectué et on peut distinguer le fouillis et la cible.

Figure 42 : Puissance du signal de la voie 1 du datacube avec la dimension Doppler

a) dans le domaine temporel et b) dans le domaine fréquentiel.

Le nombre K de case distances d‟entraînement disponibles est supérieur à , mais

inférieur à . Ainsi, l‟estimation SCM de la matrice de covariance des

interférences donne lieu à une matrice inversible, mais les pertes en performance du

traitement STAP sont supérieures en moyenne à 3 dB par rapport au filtrage non adaptatif

décrit dans l‟équation (2.25) [REE74]. D‟après la figure 44, le fouillis de sol est filtré et la

cible peut être détectée. Cependant, la figure 44.b) met en évidence la différence des

puissances du signal de la cible et la moyenne des puissances du signal où la cible n‟est pas

présente et dégrade la probabilité de détection. On pallie ce problème grâce

au diagonal loading (DL) [KIM98] comme le montre la figure 45. Avec fixée à en

dessous de la puissance du fouillis de sol, est égale à .

Figure 43 : Détecteur AMF avec une matrice identité

a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°

récurrences

ca

se

s d

ista

nce

10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

350

400

-155

-150

-145

-140

-135

-130

-125

-120

vitesseca

se

s d

ista

nce

-6 -4 -2 0 2 4 6

50

100

150

200

250

300

350

400

-130

-125

-120

-115

-110

-105

-100

-95

vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-150

-145

-140

-135

-130

-125

-120

-115

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-150

-145

-140

-135

-130

-125

-120

-115

-110

vitesse pour angle = 0°

Pu

issa

nce

Fouillis de sol Cible Fouillis de sol Cible

a) b)

a) b)


Figure 44 : Détecteurs AMF avec une matrice SCM


Afin de réduire les données d‟entraînement, modélisons les interférences et le bruit thermique

par un processus VAR et appliquons le détecteur PAMF. Il est à noter que des tests ont été

effectués pour déterminer l‟ordre du modèle à appliquer sur le scénario 1 des données

CELAR. Pour des performances de détection équivalentes, on opte pour l‟ordre le plus faible

à savoir . Dans un premier temps, les matrices AR sont estimées soit à partir de la

méthode de corrélation comme le suggèrent Roman [ROM00] et Lombardo [LOM03] avec

, soit avec l‟EKF et l‟UKF. D‟après les figures 47 et 48, le fouillis est filtré et la cible

est détectable.

D‟après le tableau 15, l‟UKF permet une meilleure détection.

Figure 45 : Détecteur AMF avec une matrice SCM et diagonal loading


vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pu

issa

nce

vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pu

issa

nce

a) b)

a) b)


Méthodes SCM avec DL Corrélation EKF UKF

Puissance en dB

Tableau 15 : Différence entre la puissance de la cible et la moyenne des puissances sans cible

à la sortie du filtre STAP.

Figure 46 : Détecteur PAMF

avec estimation des matrices par méthode de corrélation avec K=40


Figure 47 : Détecteur PAMF avec estimation des matrices par EKF avec K=40


vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pu

issa

nce

vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pu

issa

nce

a) b)

a) b)


Figure 48 : Détecteur PAMF avec estimation des matrices par UKF avec K=40


Figure 49 : Comparaison des sorties des détecteurs AMF et PAMF

avec estimation des matrices par méthode de corrélation, par EKF et par UKF avec K=4.

D‟après la figure 49, on peut encore réduire le nombre de cases distance utilisées dans le cas

du PAMF. Pour , le fouillis est filtré pour les trois méthodes et la cible reste détectable

même si sa puissance a diminué par rapport au traitement avec

Le tableau 16 présente les sorties du PAMF à la vitesse 4m/s pour les trois méthodes avec

K=4 sur les onze réalisations disponibles du scénario 1. Pour sept réalisations, la cible

présente une plus forte amplitude à la sortie du détecteur PAMF lorsque les matrices AR sont

estimées avec l‟UKF.

vitesse

an

gle

-6 -4 -2 0 2 4 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pu

issa

nce

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35


Pui

ssan

ce

SMI

diagonal loading

corrélation

EKF

UKF

a) b)


Réalisation Sortie en dB du PAMF pour une vitesse de 4m/s et un angle de 0°

Méthode de corrélation EKF UKF

1 26.4 25.3 25.2

2 26.9 27.0 27.0

3 27.9 28.6 28.7

4 29.0 30.5 30.5

5 29.9 30.9 31.0

6 31.0 30.6 30.7

7 30.7 30.9 30.8

8 30.6 31.7 31.8

9 29.7 29.0 29.1

10 26.6 27.1 27.1

11 25.1 26.2 26.3

Tableau 16 : les sorties du PAMF à la vitesse 4m/s pour les trois méthodes avec K=4

sur les onze réalisations disponibles du scénario 1.

4.2.3 MTO de Lombardo [LOM03]

Dans cette section, les cibles 1 et 3 ne sont pas écartées des données d‟entraînement. Nous

proposons alors d‟appliquer le PAMF avec la stratégie MTO de Lombardo [LOM03] pour

tenir compte de ces cibles qui perturbent les données d‟entraînement. La case sous test reste

celle de la cible 2, c‟est-à-dire . Les cinq groupes de données d‟entraînement décrits

dans la figure 50 sont de taille et permettent de réaliser cinq filtrages STAP.

D‟après la figure 51, le détecteur PAMF obtenu à partir du groupe 2 permet de détecter la

cible 2, mais l‟amplitude de celle-ci est moindre vis-à-vis des quatre autres détecteurs PAMF.

Cet effet s‟explique par la présence de la cible 1 dans le groupe 2 de données d‟entraînement

qui vient perturber la détection. Cependant, la cible 3 présente dans le groupe 3 ne perturbe

pas le détecteur PAMF ni pour la détection de la cible 2 ni avec l‟apparition de fausses

alarmes. D‟après la figure 52, le MTO permet une détection robuste aux perturbations des

données d‟entraînement avec .


Figure 50 : Sélection des cinq groupes de données d‟entraînement.

vitesse

ca

se

s d

ista

nce

-6 -4 -2 0 2 4 6

50

100

150

200

250

300

350

400

-130

-125

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puiss

ance

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puiss

ance

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puiss

ance

Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

Groupe 4

Groupe 5

Case sous test

Puis

sance

P

uis

sance

P

uis

sance

Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3


Figure 51 : Cinq Détecteurs PAMF

avec estimation des matrices par UKF sur cinq groupes avec K=40.

Figure 52 : Détecteur PAMF à la sortie du MTO

avec estimation des matrices par UKF sur cinq groupes avec K=40.

4.2.4 Scénario 2 : cas non Gaussien

Le second scénario utilisé présente 10 cibles sur la même case distance .

Ces 10 cibles sont dans l‟axe du radar ainsi et et possèdent la

même SER, à savoir . Cependant, ces cibles ont des vitesses allant de -4 m/s à

4 m/s comme le montre la figure 53.

Le fouillis présent est issu d‟échos de sol ; il n‟est pas Gaussien et possède un coefficient de

rétrodiffusion moyen . Le bruit thermique a une puissance inférieure de

20 dB à celle du fouillis de sol.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puiss

ance

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puiss

ance

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30


Puis

sanc

eP

uis

sance

P

uis

sance

Groupe 4

Groupe 5


Figure 53 : Puissance du signal de la voie 1 du datacube avec la dimension Doppler


Le fouillis étant non Gaussien, le détecteur NPAMF défini par (2.64) est utilisé.

Les méthodes d‟estimation comparées dans cette section sont l‟UKF, le filtrage H∞ et la

méthode PF. La méthode NSCM n‟est pas retenue en raison de son biais d‟estimation

[PAS08].

Figure 54 : Comparaison des sorties NPAMF avec estimation par l‟UKF, H∞

et la méthode du point fixe avec K=40.

D‟après la figure 54, le fouillis est filtré et les dix cibles sont détectables. Pour chaque cible,

la méthode donnant lieu à la plus forte puissance est le filtrage H∞, puis l‟UKF suivi de la

méthode PF avec un écart de 0.5 dB.

récurrences

cases d

ista

nce

10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

350

400

-155

-150

-145

-140

-135

-130

-125

-120

vitesse

cases d

ista

nce

-6 -4 -2 0 2 4 6

50

100

150

200

250

300

350

400

-130

-125

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5


Pu

issa

nce

UKF

Hinf

PF

a) b)


4.3 Application sur des données réelles fournies par THALES


Dans cette section, nous testons le détecteur PAMF sur des données réelles fournies par

THALES. Ce datacube STAP est obtenu lors d‟essais en vol au dessus de l‟océan atlantique.

Le fouillis de mer est considéré Gaussien. Les différents scénarios présentent les

caractéristiques suivantes :

configuration latérale à savoir ; antenne circulaire fournissant voies décrites dans l‟annexe A ;

impulsions ;

fréquence centrale ;

vitesse avion de ;

fréquence de récurrence ;

cases distance.

Figure 55 : Puissance du signal de la voie S du datacube avec la dimension Doppler


4.3.2 Filtrage et probabilité de détection

Dans un premier temps, intéressons-nous à la cible mise en évidence sur la figure 55

appartenant à la case distance . La figure 56 présente les 32 impulsions de la case

distance dans le domaine fréquentiel pour les trois voies.

Nous cherchons à filtrer le fouillis grâce aux matrices AR { }

et la matrice de

covariance . Pour cela, l‟estimation est réalisée sur quatre cases distance réparties de chaque

côté de avec la méthode de corrélation et l‟UKF. Six cases de garde sont utilisées. La

réponse impulsionnelle du filtre notée est définie par :

(4.3)

D‟après la figure 57, le fouillis est éliminé dans les deux cas, mais l‟UKF permet de conserver

une puissance de cible plus importante comme le montre le tableau 17.

Impulsions

cases d

ista

nce

5 10 15 20 25 30

200

400

600

800

1000

1200

-40

-30

-20

-10

0

10

20

vitesse en m/s

cases d

ista

nce

-15 -10 -5 0 5 10

200

400

600

800

1000

1200

5

10

15

20

25

30

35

40

Cible Fouillis

a) b)


Figure 56 : Impulsions de la case distance

dans le domaine fréquentiel pour les trois voies.

Figure 57 : Puissance de la sortie du filtre de la case distance dans le domaine

fréquentiel pour les trois voies a) avec la méthode de corrélation et b) avec l‟UKF.

Voie S Voie Voie

Méthode de corrélation 35.8 22.0 27.4

UKF 36.4 25 28.0

Tableau 17 : Puissance en dB de la cible à la sortie du filtre

pour la méthode de corrélation et l‟UKF.

A présent, le signal filtré est utilisé pour simuler une cible quasi réelle pour différents RSB.

La vitesse relative de cette cible à savoir -6 m/s est choisie pour que le signal soit perturbé par

le fouillis. Pour 1000 cases distance allant de 201 à 1200, cette cible est ajoutée au signal

illustré par la figure 55 et le PAMF est appliqué avec la méthode de corrélation et l‟UKF.

Chaque méthode nécessite 4 cases d‟entraînement séparées de la cible par 6 cases de garde.

D‟après la figure 58, le PAMF utilisé avec l‟UKF a de meilleures performances en termes de

détection. En effet, pour une probabilité de détection de 0.5 et de 0.9, le RSB est 1 dB plus

faible avec l‟UKF qu‟avec la méthode de corrélation.

-15 -10 -5 0 5 10 15

5

10

15

20

25

30

35

40

vitesse en m/s

Puiss

ance

en dB

voie S

voie e

voie a

-15 -10 -5 0 5 10 15

5

10

15

20

25

30

35

40

vitesse en m/s

Pui

ssan

ce e

n dB

voie S

voie e

voie a

-15 -10 -5 0 5 10 15

5

10

15

20

25

30

35

40

vitesse en m/s

Pui

ssan

ce e

n dB

voie S

voie e

voie a

Fouillis de mer Cible

Cible Cible

a) b)


Figure 58 : Courbes de probabilité de détection par application du PAMF

avec la méthode de corrélation et l‟UKF.

4.4 Conclusions

Quelles que soient les données testées synthétiques, semi-synthétiques ou réelles, le détecteur

PAMF donne de meilleures performances de détection que l‟AMF. Parmi les méthodes

d‟estimation des matrices AR utilisées, l‟UKF est celle qui permet obtenir les meilleures

performances. Dans le cas d‟un fouillis Gaussien, il admet une perte en RSBI équivalent aux

autres méthodes sur données synthétiques et une meilleure probabilité de détection sur

données réelles. De plus, il présente une « certaine » robustesse au fouillis non Gaussien et

permet au NPAMF d‟être quasi texture-CFAR à l‟instar du filtrage H∞. A noter que le filtrage

H∞ nécessite le choix contraignant par l‟utilisateur d‟un niveau d‟atténuation qui va

déterminer non seulement l‟existence d‟une solution mais aussi les performances de

l‟algorithme.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RSB

pd

corrélation

UKF

Conclusions et perspectives


Après avoir décrit les principes de fonctionnement du radar, nous avons présenté les

composantes reçues par celui-ci : un écho de cible éventuelle, le bruit thermique et le fouillis.

Une étude approfondie de ce dernier a donné lieu au développement d‟un simulateur sous

Matlab permettant de synthétiser des échantillons reçus par le radar et issus des échos de mer

pour des scénarios de surveillance maritime aéroportée. De plus, elle a permis d‟appréhender

le STAP, traitement éliminant le fouillis en vue d‟une meilleure détection des cibles lentes.

Le STAP nécessite une connaissance a priori des interférences, et notamment leur matrice de

covariance. Cependant, celle-ci n‟est pas disponible en pratique. Pour pallier ce problème, des

détecteurs adaptatifs ont été mis en œuvre et reposent sur l‟emploi de données d‟entraînement.

Parmi ceux permettant la réduction du domaine d‟entraînement, nous nous sommes focalisés

sur les approches STAP fondées sur la modélisation VAR des interférences. Plus

particulièrement, nous avons proposé de nouveaux algorithmes d‟estimation des matrices AR

visant à répondre à des objectifs opérationnels : coût calculatoire réduit, prise en compte

éventuelle de l‟hétérogénéité et de la non Gaussianité du fouillis.

Notre contribution porte sur trois aspects :

Tout d‟abord, dans le cas où l‟on suppose que le bruit thermique est négligeable devant le

fouillis non Gaussien, la matrice de covariance du fouillis est estimée en utilisant la méthode

du point fixe. Les matrices AR sont déduites par l‟application des équations de YW. Cette

méthode par bloc prend en compte la distribution non Gaussienne du fouillis. Dans le cas d‟un

processus VAR synthétique non Gaussien, elle a l‟avantage de fournir une estimation jugée

« précise » des matrices AR indépendamment du facteur de forme de la texture du processus.

Cependant, en pratique, le nombre d‟itérations nécessaires à l‟estimation de la matrice de

covariance des interférences fondée sur le point fixe est à choisir par l‟utilisateur.

Ensuite, nous avons proposé une nouvelle modélisation des interférences différenciant le bruit

thermique et le fouillis : le speckle du fouillis est considéré comme un processus VAR

Gaussien et le fouillis est perturbé par le bruit blanc thermique. De nouvelles techniques

d'estimation des matrices AR ont alors été étudiées.

La première est une estimation aveugle par bloc reposant sur la technique à erreurs dans les

variables. Dans le cas d‟un processus VAR synthétique bruité, cette méthode permet d‟obtenir


les meilleurs résultats en termes de précision d‟estimation des matrices AR. Elle a aussi

l‟avantage de fournir une estimation de la matrice de covariance du bruit de mesure.

Cependant, son coût calculatoire est élevé et empêche son utilisation dans des systèmes

embarqués.

Pour cette raison, des méthodes récursives ont été développées. Elles sont fondées sur des

approches du type Kalman (EKF, UKF et CDKF) et sur un filtrage de type H∞. Bien que

toutes sensibles à la valeur des matrices de covariance du bruit de modèle et de mesure ou la

valeur de matrices de pondération, elles présentent un bon compromis entre précision de

l‟estimation des matrices AR et coût calculatoire. Dans le cadre de la détection radar, elles

permettent un traitement avec un domaine d‟entraînement réduit à savoir cases

distance. Parmi toutes ces méthodes, on distingue l‟UKF et le CDKF pour les trois raisons

suivantes :

1/ Dans le cas Gaussien, appliqués au PAMF, l‟UKF et le CDKF donnent lieu à une perte en

RSBI plus faible que la méthode de corrélation, de covariance et que l‟EKF. Ils présentent une

meilleure détection des cibles sur les données semi-synthétiques fournies par le CELAR et

réelles fournies par THALES.

2/ Dans le cas non Gaussien, les approches par points sigma confèrent quasiment la propriété

texture-CFAR au NPAMF à l‟instar du filtrage H∞. Cependant, dans le cas du filtrage H∞,

l‟utilisateur doit opter pour un niveau d‟atténuation qui va déterminer non seulement

l‟existence de la solution mais aussi des performances de la méthode.

3/ D‟un point de vue implémentation, Wan et al. [WAN01] proposent une version

« square-root » de l‟UKF évitant le calcul du facteur de Cholesky pour chaque itération.

Enfin, nous avons développé une nouvelle structure du schéma de détection PAMF et

adaptable au NPAMF permettant une réduction du coût calculatoire. Ainsi, le gain en nombre

d‟opérations par rapport à une implémentation « standard » est de l‟ordre de 40.

Au vu des différents résultats présentés dans ce mémoire de thèse, plusieurs perspectives

d‟étude peuvent être envisagées.

Tout d‟abord, une étude comparative avec des approches à dimension réduite, à rang réduit et

sans données d‟entrainement permettrait de mettre en évidence les atouts de chaque famille.

Dans ce cadre, le « club STAP » a d‟ores et déjà pris l‟initiative de proposer la rédaction d‟un

numéro spécial dans la revue française Traitement du Signal présentant les différents

algorithmes testés sur des données synthétiques communes et les données semi-synthétiques

fournies par le CELAR. Nous participons à cette action.

Ensuite, dans la famille des approches bayésiennes, l‟EKF et le SPKF sont des méthodes

locales dans lesquelles la distribution de l‟état est Gaussienne. D‟autres approches locales

existent et permettent de s‟affranchir des hypothèses Gaussiennes. Notamment, les séries de

Gram-Charlier ou de Edgeworth peuvent être utilisées pour approximer des distributions

unimodales non Gaussiennes. Cependant, de nombreux termes des séries doivent être pris en

compte pour obtenir une approximation raisonnable ; le filtrage bayésien qui en résulte est

très sensible à cette troncature. Pour cette raison, deux alternatives pourraient être envisagées :

1/ La méthode de quadrature (QKF) de Gauss a été proposée dans [ITO00] et appliquée dans

un contexte de poursuite. Elle vise à traiter de l‟estimation dans le cas de systèmes non

linéaires comprenant des perturbations additives non Gaussiennes. Il serait intéressant de

comparer les performances de cette approche avec celles de l‟EKF et des SPKF pour

l‟estimation des matrices AR en détection radar.

2/ Le second axe de recherche consiste à approximer la distribution non Gaussienne par une


somme de distributions Gaussiennes. Ainsi, Alspach et Sorenson ont développé un filtre

appelé Gaussian-sum filter (GSF) dans un contexte d‟estimation avec des systèmes non

linéaires [ALS72]. L‟algorithme se présente comme un banc de filtres EKF s‟exécutant en

parallèle où le vecteur d‟état estimé est obtenu par une somme pondérée des différentes

sorties des filtres. La pondération est calculée grâce aux résidus de chaque EKF. Récemment,

Arasaratnam et al. [ARA07] ont proposé de combiner le GSF avec des filtres QKF en vue

d‟améliorer les performances d‟estimation du vecteur d‟état. Le nombre de filtres à utiliser

reste la principale difficulté dans la mise en œuvre de l‟approche GSF. Dans le contexte radar

de surveillance maritime, le filtre GSF pourrait prendre en compte la non-Gaussianité du

fouillis de mer.

D‟autre part, des approches dites globales visent à traiter de l‟estimation dans le cas de

systèmes non linéaires. Malgré leur coût calculatoire plus important, ces approches présentent

de meilleures performances de précision d‟estimation que les approches locales. Ainsi, les

méthodes de Monte Carlo séquentielles utilisent un jeu de particules choisies aléatoirement et

associées à des poids pour approximer la densité de probabilité [DOU01]. En particulier, des

travaux que nous avons initiés avec Audrey Giremus sont en cours sur l‟apport de

l‟échantillonnage d‟importance et le filtre Bootstrap pour estimer les matrices AR.

Enfin, nous avons vu que le fouillis est hétérogène. Lombardo [LOM03] a proposé des

stratégies de sélection des données a posteriori dont le MTO que nous avons testé dans le

chapitre 4. Le MTO s‟avère très efficace lorsque le domaine d‟entraînement est contaminé par

des cibles. Or, parmi les estimateurs robustes, les M-estimateurs [MYE76] qui reposent sur la

minimisation d‟une fonction non linéaire permettent d‟atténuer l‟influence des bruits

impulsifs. Ces techniques ont été adaptées dans le domaine de la navigation GPS à un

algorithme EKF [DEE04], [FAU10]. Leurs apports pourraient être étudiés en détection radar

avec les algorithmes EKF, SPKF et le filtrage H∞ pour limiter l‟influence des données

d‟entraînement contenant des cibles dans l‟estimation des matrices AR.

Annexes

Annexe A : Fonctionnement du système radar

Figure 59 : Système radar simplifié

Le système radar comprend en général six parties :

l‟antenne a pour rôle de concentrer l‟énergie émise par le radar dans un angle solide

déterminé et de capter le signal rétrodiffusé. Sa structure détermine la polarisation

horizontale ou verticale de l‟onde radar émise ;

le duplexeur est un aiguilleur électronique. D‟une part, il permet au signal émis d‟être

dirigé de l‟émetteur vers l‟antenne en minimisant les pertes et en isolant le récepteur.

D‟autre part, il permet au signal reçu d‟être dirigé de l‟antenne vers le récepteur en

minimisant les pertes et sans dérivation vers l‟émetteur ;

l‟émetteur engendre l‟impulsion hyperfréquence à la fréquence et à la puissance

désirée ;

le récepteur amplifie le signal reçu sans déformation, puis le démodule. Enfin, il

effectue la conversion analogique numérique ;

l‟exploitation regroupe l‟ensemble des traitements du signal et de l‟information. Elle

permet la détection des cibles et l‟estimation de leurs paramètres. Elle vise à former

l‟image radar présentée à l‟opérateur ;

le pilote génère par synthèse de fréquence toutes les ondes sinusoïdales de référence

nécessaires à l‟émission et à la réception ainsi qu‟aux autres composants du radar :

traitements, convertisseurs des alimentations, synchronisations, tests, etc.

Trois types d‟antenne sont utilisés et sont décrits dans cette annexe A :

une antenne circulaire, monopulse, plate, à fente et à balayage mécanique. Comme

l‟illustre la figure 60, l‟antenne est divisée en quatre cadrans notés A, B, C et D. Pour

chacun d‟entre eux, le signal reçu par les fentes est sommé. Puis, une voie somme et

deux voies écarts notées et sont construites comme suit :

(A.1)

Emetteur Récepteur

Pilote Exploitation

Duplexeur

Antenne

Visualisation

Annexes

(A.2)

(A.3)

Ainsi, la voie écart correspond à une différence des cadrans en azimut alors que la

voie écart correspond à une différence des cadrans en élévation ;

une antenne dite réseau à commande de phase, c‟est-à-dire à balayage électronique.

Cette antenne est appelée en anglais AESA pour Active Electronically Scanned Array.

Elle possède une structure linéaire uniforme (ULA pour Uniform Linear Array) ;

une antenne AESA rectangulaire, plate, à modules actifs et avec formation de voies

par sous-réseaux.

La directivité d‟une antenne est évaluée grâce à l‟ouverture angulaire à , notée ,

sous le gain maximal [LAC01]. Cette caractéristique est fondamentale car elle permet

d‟améliorer la résolution angulaire du radar et par voie de conséquence la localisation de

la cible. C‟est pour leur grande directivité, c‟est-à-dire pour des valeurs faibles, que les

antennes circulaires et rectangulaires sont utilisées en pratique. En effet, chaque capteur

élémentaire, fente ou patch, a des diagrammes de rayonnement larges avec . Pour

cette raison, des sous-réseaux sont formés pour lesquels le signal reçu est sommé. Cela a pour

effet d‟obtenir pour chaque sous-réseau un diagramme de rayonnement directif avec

.

Pour les trois configurations, le paramètre désigne le nombre de capteurs élémentaires de

l‟antenne et le paramètre le nombre de voies disponibles à la sortie du récepteur radar. Ces

N voies sont obtenues par sommation de N sous-réseaux composés de capteurs élémentaires

de l‟antenne.

Figure 60 : Configurations d‟antennes utilisées : a) circulaire, b) ULA et c) rectangulaire.

Le signal reçu par un capteur élémentaire est réel et s‟écrit :

(A.4)

Etant donné (A.4), le signal reçu peut s‟écrire comme suit :

(A.5)

où et représentent respectivement les composantes en phase et en quadrature.

Comme le montre la figure 61, après un filtrage passe-bas à la sortie des démodulateurs

amplitude phase (DAP), il est possible d‟obtenir les deux composantes et . Ces deux

signaux sont alors numérisés grâce à des convertisseurs analogiques numériques (CAN),

dernier élément du récepteur.

…

… …

A B

C D

a) Antenne circulaire b) Antenne ULA c) Antenne rectangulaire

Annexes

Ainsi, il est possible de modéliser le signal à la sortie du récepteur par un signal complexe en

bande de base issu des deux composantes discrétisées et [RIC10].

Figure 61 : Récepteur simplifié du système radar.

Filtre passe-bas

Filtre passe-bas

CAN

CAN

Annexes

Annexe B : Bilan de liaison radar

Dans cette annexe B, nous rappelons le bilan de puissance lié au phénomène de rétrodiffusion.

Ce mécanisme peut être décomposé en trois étapes : l‟émission du signal par le radar, la

réflexion de l‟écho et la réception par le radar du signal rétrodiffusé. Pour plus de détails, le

lecteur peut se référer à [LAC01].

La puissance émise eP par l‟antenne radar dans une direction donnée satisfait :

24

),(

D

GPP antantecr

e

(B.1)

où crP désigne la puissance crête de l‟émetteur radar, ),( antanteG est le gain à l‟émission

de l‟antenne, ),( antantrG est le gain en réception de l‟antenne et D est la distance

radar-cible.

Le signal réfléchi par un obstacle a une puissance notée refP . Elle est liée à la puissance

émise eP par la relation suivante :

24 D

PP e

ref (B.2)

où est la surface équivalente radar (SER).

Finalement, la puissance reçue rP par le radar est déduite du principe de réciprocité de

l‟antenne comme suit :

refantantr

r PG

P

4

),( 2

(B.3)

où ),( antantrG est le gain à la réception de l‟antenne ; il caractérise la puissance obtenue

par sommation des sous-réseaux de l‟antenne.

Ainsi, il est possible en combinant (B.1)-(B.3) d‟établir le bilan de liaison radar :

LD

GGPP antantrantantecr

r 43

2

)4(

),(),( (B.4)

où L représente les pertes dites « hyper ». En effet, les éléments se trouvant entre l‟émetteur

et l‟antenne d‟une part, et l‟antenne et le récepteur d‟autre part, introduisent des pertes dont il

faut tenir compte.

Annexes

Annexe C : Notion d’ambiguïté distance

La plupart des radars sont dits à impulsions et émettent un train d‟impulsions successives,

comme le montre la figure 62.

Figure 62 : Train d‟impulsions.

Un écho est détecté grâce à la rétrodiffusion par un obstacle de l‟onde émise. Le radar permet

d‟estimer le temps entre la dernière impulsion émise, à savoir l‟impulsion 2, et l‟écho

détecté. Cependant, il ne peut pas déterminer a priori à quelle impulsion est due la

rétrodiffusion du signal de l‟écho. La distance

est dite ambigüe. La distance réelle

radar-cible s‟écrit :

(C.1)

où .

Si , alors correspond réellement au temps de propagation aller-retour de l‟onde émise

entre le radar et l‟obstacle : est non ambigüe. La distance non ambigüe maximale est égale

à

. Pour plus d‟informations, le lecteur peut se référer à [LAC01].

Réception Emission

Impulsion 1

Echo détecté

Réception Emission

Impulsion 2

Annexes

Annexe D : Modèle GIT [HOR78] Le modèle de GIT permet d‟estimer les valeurs prises par le coefficient de rétrodiffusion

moyen du fouillis de mer.

Gamme de fréquences allant de à

Facteur d’interférence :

(D.1)

avec

(D.2)

où est la hauteur des vagues exprimée en mètre.

Facteur de vitesse du vent :

(

⁄)

(D.3)

avec

(D.4)

où est la vitesse du vent qui satisfait :

(D.5)

Facteur de direction du vent :

(D.6)

où est l‟angle entre la direction du vent et la direction de visée radar en radian.

En polarisation horizontale, le coefficient de rétrodiffusion moyen noté est égal à :

(D.7)

En polarisation verticale, le coefficient de rétrodiffusion moyen noté s‟exprime en

fonction de et est égal à :

Si :

(D.8)

Si :

(D.9)

Annexes

Gamme de fréquences allant de à

Facteur d’interférence :

(D.10)

avec

(D.11)

Facteur de vitesse du vent :

(

⁄)

(D.12)

avec (D.13)

Facteur de direction du vent :

(D.14)

En polarisation horizontale, est égal à :

(D.15)

En polarisation verticale, est égal à :

(D.16)

Annexes

Annexe E : Rappel sur les densités de probabilité

Loi Gaussienne ou normale réelle

Une variable aléatoire réelle suit une loi Gaussienne de moyenne m et de variance , notée

, si sa densité de probabilité s‟écrit :

√

(E.1)

Une vecteur aléatoire réel de taille suit une loi Gaussienne de moyenne et de

matrice de covariance si sa densité de probabilité s‟écrit :

‖ ‖

(E.2)

où ‖ ‖ désigne le déterminant.

Loi Gaussienne ou normale complexe

Une variable aléatoire complexe suit une loi Gaussienne de moyenne m et de variance ,

notée , si sa densité de probabilité s‟écrit :

(E.3)

Une vecteur aléatoire complexe de taille suit une loi Gaussienne de moyenne et de

matrice de covariance si sa densité de probabilité s‟écrit :

‖ ‖ (E.4)

Loi Rayleigh

Une variable aléatoire suit une loi de Rayleigh de paramètre si sa densité de probabilité

s‟écrit :

(E.5)

Loi exponentielle

Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre b si sa densité de probabilité

s‟écrit :

(E.6)

Loi de Laplace

Une variable aléatoire suit une loi de Laplace de paramètre de location et de paramètre

d‟échelle b si sa densité de probabilité s‟écrit :

(E.7)

La loi de Laplace est aussi appelée loi exponentielle bilatérale.

Annexes

Loi lognormale

Si une variable aléatoire réelle suit une loi normale alors la variable aléatoire

suit une loi lognormale définie par :

√

(E.8)

Loi de Lorentz ou de Cauchy

Une variable aléatoire suit une loi de Rice à deux paramètres et si sa densité de

probabilité s‟écrit :

*

+ (E.9)

Loi de Rice

Une variable aléatoire suit une loi de Rice à deux paramètres et si sa densité de


(E.10)

où est la fonction de Bessel modifiée de première espèce à l‟ordre 0.

Loi du centré

Une variable aléatoire suit une loi du centré à un paramètre si sa densité de probabilité

s‟écrit :

(E.11)

où désigne les degrés de liberté.

Loi Beta de première espèce

Une variable aléatoire suit une loi Beta de première espèce à deux paramètres et si sa

densité de probabilité s‟écrit :

(E.12)

où et .

Loi Gamma

Une variable aléatoire suit une loi Gamma à deux paramètres et si sa densité de


(E.13)

où est la fonction Gamma donnée par :

∫

(E.14)

Annexes

Loi K

Une variable aléatoire suit une loi K à deux paramètres et si sa densité de probabilité

s‟écrit :

(E.15)

où est la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce à l‟ordre .

Figure 63 : Distributions K pour différentes valeurs de et .

Loi de Weibull

Une variable aléatoire suit une loi de Weibull à deux paramètres et si sa densité de


(E.16)

Figure 64 : Distributions de Weibull pour différentes valeurs de et .

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

de

nsite

de

pro

ba

bilite

amplitude

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

de

nsite

de

pro

ba

bili

te

amplitude

Annexes

Loi de Voigt

Une variable aléatoire suit une loi de Voigt à deux paramètres et si sa densité de


√ (E.17)

avec

√ .

De plus, désigne la partie réelle et représente la fonction erreur complexe, appelée

aussi fonction de faddeeva, dont l‟expression est :

(E.18)

Fonction hypergéométrique

La fonction hypergéométrique est un cas particulier de la fonction

hypergéométrique généralisée avec et . C‟est la

première fonction hypergéométrique à avoir été étudiée car elle est la plus rencontrée dans les

problèmes physiques. Elle est aussi connue sous le nom de fonction hypergéométrique de

Gauss. Elle est définie par :

∫

(E.19)

Composante AC de la loi Power-Law

La composante AC modélisée par une loi Power-law décrit la fonction

suivante [LON01] :

(

) (E.20)

où est appelé l‟exposant de la Power-law et est la fréquence pour laquelle est 3dB en

dessous de sa valeur maximale.

Annexes

Annexe F : Méthode EIV récursive

Considérons un processus AR d‟ordre p noté et défini comme suit :

∑ (F.1)

où { } sont les paramètres AR et est un bruit blanc centré de variance .

Ce processus est perturbé par un bruit additif centré de variance :

(F.2)

Dans la suite, définissons les vecteurs suivants :

, (F.3)

, (F.4)

, (F.5)

et

⏟

(F.6)

Puis, introduisons le vecteur étendu des paramètres AR :

(F.7)

Le modèle (F.1)-(F.2) peut s‟exprimer de manière matricielle comme suit :

0)()(

mm T

u

T

x (F.8)

)()()( mmm bxy

En pré-multipliant (F.8) par

*

)()(

mm ux et en prenant l‟espérance E[.], il vient :

11

2**

, 000

p

p

uxux diagRR (F.9)

avec

)()( * nnER T

xxx .

Etant donné (F.9), *

,uxR est une matrice définie semi-positive et les paramètres AR

correspondent au noyau de *

,uxR . Cependant, dans tous les cas, *

,uxR n‟est pas directement

disponible et seule la matrice de corrélation yR des observations bruitées peut être

considérées. Elle satisfait la relation suivante :

1

2

pbxy IRR (F.10)

où désigne la matrice identité de taille p+1.

Annexes

Etant donné (F.9), (F.10) devient :

11

2222* 0

p

p

bbbuy diagR

(F.11)

Les variances admissibles 2

u et 2

b sont les valeurs qui rendent

2222*

bbbuy diagR définie semi-positive. Les paramètres AR peuvent alors être

estimés en résolvant les équations de Yule-Walker compensées en bruit (3.12).

Il est à noter que la matrice *

yR peut être partitionnée comme suit :

*

*2

*

y

T

y

yRr

rR

(F.12)

et en prenant en compte (F.7), l‟équation (F.11) peut être décomposée en deux équations :

0*222 T

buy r (F.13)

1

2* 0)( ppby IRr (F.14)

Si 2

b est connue, peut être déduit grâce à (F.14) et peut être noté )( 2

b . Ensuite, 2

u peut

être obtenue par (F.13). Dans la suite, nous proposons un algorithme récursif fondé sur les

équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur pour estimer 2

b . Pour cette raison, définissons

les deux vecteurs suivants de taille 1q où pq :

Th

x qpmxpmxpmxm

)()2()1()(

(F.15)

Th

y qpmypmypmym

)()2()1()(

(F.16)

et les matrices de corrélation de taille )1( pq associées :

)()()()( ** mmERmmER T

x

h

x

h

x

T

y

h

y

h

y (F.17)

Etant donné (F.1), on peut établir les équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur :

1

* 0)( q

h

yR (F.18)

En utilisant la relation (F.18), 2

b peut être estimée en minimisant la fonction coût )( 2

bJ

définie par:

)()()()()()( 2**22

2

*2

b

h

y

Th

y

T

b

h

yb RRRJ (F.19)

où

T

b

T

b

)(1)( 22 ,

2

max,

20 bb , et 2

max,b est la plus petite valeur propre de yR .

p

1

Annexes

Dans [GUI95]et [BOB07], une solution par bloc est considérée pour obtenir les variances des

bruits. Dans cette annexe, nous proposons d‟utiliser l‟algorithme de Newton-Raphson pour

aboutir à un algorithme récursif.

Pour cette raison, définissons la matrice :

*

*)()(T

h

y

Th

y

h RR (F.20)

Etant donné (F.7) et (F.20), le critère défini par (F.19) peut s‟exprimer comme suit :

))(()(

)()()()()(

2

2*2*22*2

b

b

T

b

T

bb

T

b

gff

J

(F.21)

où ***)( TTTf (F.22)

et rIRg pbyb

12*2 )()( (F.23)

En notant 22

22

)(

)(

b

bJ

pour ))(('' 2 nJ b , l‟algorithme de Newton-Raphson s‟implémente

comme suit :

))(ˆ(''

))(ˆ(')(ˆ)1(ˆ

2

2

22

mJ

mJmm

b

b

bb

(F.24)

où . désigne l‟estimation.

Ainsi, il vient :

))(ˆ('))(ˆ(''))(ˆ('

))(ˆ('))(ˆ(')(ˆ)1(ˆ

22

2

22

mgmfmg

mfmgmm

b

T

b

T

b

bb

(F.25)

où

ˆ)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ

)ˆ(' 1*12*

2

2

xpby

b

b RIRg

g (F.26)

)ˆˆˆ(2ˆ

)ˆ('

ff (F.27)

ˆ2

ˆ)ˆ(''

2

2

ff (F.28)

En remplaçant (F.26), (F.27) et (F.28) dans (F.25), on obtient :

)(ˆ)()ˆ)((ˆ))(ˆ)()ˆ((

))(ˆ)(ˆ)(ˆ())(ˆ)()ˆ(()(ˆ)1(ˆ

1*1*

1*

22

mmRmmmR

mmmmmRmm

x

T

x

T

x

bb

(F.29)

p

1

Annexes

L‟algorithme récursif proposé ici est le suivant :

1. Mise à jour de )(ˆ 2 mb en utilisant (F.29).

2. Mise à jour de )(ˆ mR y et )(ˆ mr :

1

)1()1()(ˆ

1)1(ˆ

*

pm

mmmR

pm

pmmR

T

yy

yy

1

)1()1()(ˆ

1)1(ˆ

*

pm

mmymr

pm

pmmr

y.

3. Calcul de 12*1* ))1(ˆ)1(ˆ())1(ˆ( pbyx ImmRmR .

4. Calcul de )1(ˆ))1(ˆ()1(ˆ 1* mrmRm x .

5. Mise à jour de )(ˆ 2 my :

1

)1(

)(ˆ1

)1(ˆ

2

22

pm

my

mpm

pmm yy .

6. Mise à jour de )(ˆ 2 mu :

)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ *222 mmrmmm T

byu

7. Mise à jour de )(ˆ mR h

y :

1

)1()1()(ˆ

1)1(ˆ

*

qpm

mmmR

qpm

qpmmR

T

y

h

yh

y

h

y

Calcul de )1( mh et récupération de )1(ˆ m et )1(ˆ m .

8. Retour à l‟étape 1.

Remarque : une variante de l‟algorithme peut être considérée pour éviter une éventuelle

divergence de l‟algorithme récursif en remplaçant l‟équation (F.29) par :

)(ˆ)()ˆ)((ˆ))(ˆ)()ˆ((

))(ˆ)(ˆ)(ˆ())(ˆ)()ˆ(()1()(ˆ)1(ˆ

1*1*

1*

22

mmRmmmR

mmmmmRmmm

x

T

x

T

x

bb

où )1( m est fixé la première fois à 1.

Cet algorithme a aussi été adapté dans le cadre d‟un suivi de paramètres TVAR [PET10c].

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