pertemuan 12 deret fourier
TRANSCRIPT
Tim Kalkulus 2
Desember 2011
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku:
f(x+P) = f(x); P adalah konstanta positif
Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).
Fungsi Periodik
Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,… karena
sin (x+2) = sin (x+4) = sin (x+6) = … = sin x
Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n
Periode dari tan x adalah Fungsi konstan mempunyai periode
sembarang bilangan positif
Contoh:
a.
b.
Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik
f(x)
periode
periode
f(x)
x
x
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)
Kontinuitas
Contoh gambar kontinuitas
f(x)
x1 x2 x3 x4
x
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:
Definisi Deret Fourier
)1(...sincos2
)(1
0
nnn L
xnb
L
xna
axf
dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:
)3(......,3,2,1,0;sin)(1
)2(...)(1
;cos)(1
0
L
L
n
L
L
L
L
n
ndxL
xnxf
Lb
dxxfL
adxL
xnxf
La
Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).
)5(...2
...,3,2,1,0;sin)(1
2 2)4(...)(
10
;cos)(1
LC
Cndx
L
xnxf
Lnb
LC
C
LC
Cdxxf
Ladx
L
xnxf
Lna
Teorema: Jika
1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)
2.f(x) periodik dengan periode 2L
3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).
Syarat / Kondisi DirichletDeret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/
kondisi Dirichlet
maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :
1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)
2. jika x adalah titik diskontinu
2
)()( xfxf
Contoh:
Tentukan deret Fourier dari
dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)
10503
050)( periode
xuntuk
xuntukxf
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x) untuk setiap x.
Contoh:
1.Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
2. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka
aa
a
dxxfdxxf0
)(2)(
0)(
a
a
dxxf
a. Deret fourier dari fungsi genap:
Jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)
Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)
L
L
n
L
L
L
n
dxL
xnxf
Lb
dxL
xnxf
Ldx
L
xnxf
La
0sin)(1
cos)(2
cos)(1
0
b. Deret fourier dari fungsi ganjil:
Jika f(x) fungsi ganjil maka an=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)
Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)
LL
L
n
L
L
n
dxL
xnxf
Ldx
L
xnxf
Lb
dxL
xnxf
La
0
sin)(2
sin)(1
0cos)(1
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja.
Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.
Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi ganjil
b.
Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi genap
b.
L
nn dxL
xnxf
Lba
0
sin)(2
;0
0;cos)(2
0
n
L
n bdxL
xnxf
La
Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;
a. Deret sinus setengah jangkauan
b. Deret cosinus setengah jangkauan
Contoh
Theorema
Deret fourier f(x) diintegrasikan dari a sampai x dan menghasilkan deret yang akan konvergen seragam terhadap
yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L dimana a dan x berada pada interval tersebut
DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER
x
adxxf )(