deret fourier fismat

8/19/2019 Deret Fourier Fismat

1/22

y=f(x)

X1=a X2 X3 Xn=b

y

x

Gambar 7.1.1

DERET FOURIER

Deret Fourier yaituderet yang suku-sukunya adalah periodik. Karena fungsi

trigonometri merupakan fungsi periodic maka deret yang suku-sukunya fungsi trigonometri,

terutama sinus dan cosines dapat disebut deret Fourier. Dalam banyak hal deret Fourier ini

lebih bermanfaat dari pada deret pangkat yang telah kita pelajari, terutama untuk kasus-kasus

yang berhubungan dengan gerak periodic seperti vibrasi atau oscilasi (getaran periodik)

maupun gerak gelombang yang dideskripsikan oleh fungsi sinus dan atau cosinus.

.! "ilai #ata-rata Fungsi

Konsep tentang rata-rata sebuah fungsi adalah sesuatu yang sering digunakan. $ila kitamenghitung rata-rata satu set data, maka kita akanmenjumlah angka-angka dari data tersebut, lalu kita

bagi dengan banyaknya data. %emahaman ini akan kita gunakan untuk menghitung rata-rata sebuahfungsi. %erhatikan gambar grafik (.!.!)

#ata-rata f(&)pada (a,b) secara aproksimasi adalah'


2/22

f ( x1 )+f ( x 2 )+…+f ( xn)n (.!.!)

%endekatan nilai rata-rata f(&) akan semakin akurat jika n diperbanyak. ika persamaan (.!.!) pembilang dan penyebutnya kita kalikan *&, maka'

[ f ( x1 )+ f ( x 2 )+…+( xn ) ]∆ xn ∆ x (.!.+)

%adahal *&b-a, yaitu panjang interval yang kira rata-rata. ika n - dan *& -/,maka akandiperoleh'

"ilai #ata-rata f ( x)=∫

a

b

f ( x)dx

b−a(.!.0)

1ontoh.! '1arilah nilai rata-rata dari sin+n& dalam satu periode.

Karena sin+ n& 2 cos+n& ! maka'

∫−π

π

( si n2 nx+co s2 nx) dx=∫−π

π

dx=2π ∫−π

π

si n2nxdx=∫

−π

π

co s2

nxdx=π

3ehingga' rata-rata dari sin+n& rata-rata dari cos+n&

¿ 1

2 π ∫−π

π

sin2

nxdx= 1

2π ∫−π

π

co s2

nxdx= π

2π =

1

2 (.!.4)

Contoh :

!. sin x (0, π )

a5ab '

f ( x )=∫0

π

sin x dx

π −0

¿−cosx|0

π

π


3/22

¿1−(−1)

π

¿ 2

π

+.0,3π x¿cos¿

)

a5ab '

f ( x )=∫0

3π

cos x dx

π −0

¿ sinx|0

3 π

π

¿0−0

π

¿0

Soal sub bab 7.1

1arilah nilai rerata dari'

1.sin x+2sin2 x+3sin3 x (0,2π )

2.1−e− x (0,1 )

3. x−cos26 x(0, π 6 ) 4.sin 2 x ( π

6, 7 π

6 ) 5.∼ x+sin2 x(0,2π )


4/22

.+ 6kspansi Deret Fourier

3etiap fungsi apapun asal periodik dapat dinyatakan dalam sebuah deret yang disebut dengan

deret Fourier .

3ecara umum, jika fungsi tersebut f ( x) , maka'

f ( x )=1

2a

0+a1 cosx+a2cos2 x+…

+b1

sinx+b2sin2 x+b

3sin 3 x+… (.+.!)

f ( x )=1

2a

0+∑

n=1

∞

an cosnπ +∑n=1

∞

bn sinnπ

7danya koefisien1

2 pada a

0 ini untuk kemudahan penghitungan saja yang akan kita lihat pada

contoh nanti.

8ntuk menentukan nilai a0 , a1 , a2 , … , b1 , b2 , b3 , … diperlukan persamaan sebagai berikut.

"ilai rerata sin nx sinmx= 1

2π ∫−π

π

sin nxsin mxdx=0

Dengan demikian '

!.1

2 π ∫−π

π

sin nx sinmxdx={0,untukm≠ndanm=n=01

2,untukm=n

(.+.+)

+.1

2 π ∫−π

π

cos nxcos mxdx={ 0,untukm≠n1

2,untukm=n

1,untuk m=n=0 (.+.0)

0.1

2 π ∫−π

π

sinnx cosmxdx=0 (.+.4)


5/22

%ersamaan (.+.4) dapat dibuktikan dengan mengubah sinnx dan cosmx dalam bentuk

bilangan kompleks.

conto h7.2: "yatakan sinyal di ba5ah ini dalam deret Fourier

f ( x)

9ambar +.!

$erdasarkan grafik tersebut,

f ( x )={0,untuk −π


6/22

a0=

1

2 π ∫−π

π

f ( x ) dx

8ntuk menentukan a1 , kalikan (.+.:) dengan cos1 x maka semua suku akan bernilai nol

kecuali suku untuk a1 , sehingga '

1

2 π ∫−π

π

f ( x ) cos xdx=a1

1

2π ∫−π

π

cos2 xdx

1

2 π ∫−π

π

f ( x ) cos xdx=a1

1

2

a1= 1

π ∫−π

π

f ( x ) cos xdx

Dengan cara yang sama, a2 , a3 , a4 , …an dapat diperoleh '

an=1

π ∫−π

π

f ( x )cosnxdx (.+.;)

3eperti halnya an , untuk menentukan bn kalikan kedua ruas pada persamaan (.+.:)

dengan sinnx , maka akan diperoleh '

b1=

1

π ∫−π

π

f ( x ) sin xdx (.+.)

Dari (.+.;) dan (.+.) diperoleh '

f ( x ) dx=¿ 1π [∫−π

π

0.dx+∫0

π

1.dx ]= 1π ( π )=1a0=

1

π ∫−π

π

¿


7/22

f ( x ) cos x dx=¿ 1π [∫−π

π

0.cos x dx+∫0

π

1.cos x dx ]= 1π sin x|π 0=1a1=

1

π ∫−π

π

¿

f ( x ) cos2 x dx=¿ 1π [∫−π

π

0.cos2 x dx+∫0

π

1.cos2 x dx ]= 1π 12 sin2 x|π 0=0a2=

1

π ∫−π

π

¿

Dan seterusnya di mana seluruh an=0 (kecuali a0 )

x

cos¿|π 0¿

f ( x ) sin x dx=¿ 1π [∫−π

π

0.dx+∫0

π

1.sin x dx ]= 1π ¿b

1=

1

π ∫−π

π

¿

x

cos2¿|π 0¿

f ( x ) sin2 x dx=¿ 1π [∫−π

π

0.dx+∫0

π

1.sin2 x dx ]= 1π ¿b2= 1

π ∫−π

π

¿

x

cos3¿|π 0¿

f ( x ) sin3 x dx=¿ 1π [∫−π

π

0.dx+∫0

π

1.sin3 x dx]=1π ¿b3=

1

π ∫−π

π

¿


8/22

b5=

2

5 π ; b

7= 2

7 π ; … bn=

2

nπ

f ( x )=1

2

+ 2

π

sin x+2

π

sin3 x

3

+ 2

π

sin5 x

5

+… (.+.ain

%ada sub bab .+ adalah fungsi periodik yang intervalnya dalam π . 8ntuk fungsi periodik yang

intervalnya bukan dalam bentuk π , ekspansi deret fouriernya hanya mengganti batas ? batas

intervalnya. 3ecara umum, jika sebuah fungsi f ( x) mempunyai interval sejauh 2l , maka

f ( x) dapat dideretkan sebagai

f ( x )= 12

a0+a1cos πx

l +a2cos

2πx

l +…

+b1 sin πx

l +b2sin

2 πx

l +b3 sin

3πx

l +…

f ( x )=1

2

a0+∑

n=1

∞

ann πx

l

+∑n=1

∞

bnn πx

l .... (.0.!)

Kembali ke contoh .+ tetapi intervalnya (−l , l ) seperti gambar 0.!


9/22

$erdasarkan grafik tersebut ,

f ( x )={0,untuk −l


10/22

1

2 l∫−π

π

cos πx

l dx=a

1

1

2l

a1=

1

π ∫−π

π

cos

πx

l dx

Dengan cara yang sama, a2 , a3 , a4 ... an dapat diperoleh '

an=1

l∫−l

l

f ( x )cos nπx

l dx(7.3.3)

3eperti halnya an untuk menentukan bn kalikan kedua ruas pada persamaan (.0.+) dengan

sin nπx

l , maka akan diperoleh '

an=1

l∫−l

l

f ( x )sin nπx

l dx (7.3.4)

Dari (.0.0) dan (.4.4) diperoleh '

a0=

1

l∫−l

l

f ( x )=1

l [∫−l0

0dx+∫0

l

1dx]=1l ( l )=1

a1=

1

l∫−l

l

f ( x)cos πx

l dx=

1

l [∫−l0

0cos πx

l dx+∫

−l

0

1cos πx

l dx]=1l 1π sin πxl |l0=0

a2=1l∫−l

l

f ( x)cos 2πxl

dx=1l [∫−l

0

0cos 2 πxl

dx+∫−l

0

1cos 2 πxl

dx

]=1

l12π

sin 2 πxl |

l0=0

Dan seterusnya dimana seluruh an=0 kecualia0


11/22

b1=

1

l∫−l

l

f ( x)sin πx

l dx=

1

l [∫−l0

0sin πx

l dx+∫

−l

0

1sin πx

l dx]=1l 1π (−cos πxl )| l0=2π

b2=1l∫−l

l

f ( x)sin 2 πxl dx=1l [∫−l0

0sin 2 πxl dx+∫−l

0

1sin 2πxl dx]= 1l 12π (−

cos 2 πxl )|l0=0

b3=

1

l∫−l

l

f ( x)sin 3 πx

l dx=

1

l [∫−l0

0sin 3 πx

l dx+∫

−l

0

1sin 3 πx

l dx ]= 1l 13π (−cos 3 πxl )| l0= 23 π

b5=

2

5 π , b

7=

2

7 π , … .. , bn=

2

nπ

@aka,

f ( x )= 12+ 2

π sin

πx

l +

2

3 π sin

3 πx

3+ 2

5 π sin

5 πx

l +…

f ( x )= 12+ 2

π ∑n=1

∞1

nsin

nπx

l dengan n bilangan ganjil

Contoh :

1. Apabila kita gunakan periode 10 maka tentukan oe!ient fourier untuk

0 " #$ % x % 0


12/22

#1$ #100#$ $ 10 1$

f(x)

&(x)

3 " 0 % x % $

tentukan deret fourier ini.

penyele'aian

eriode 2 = 10→

= $

*nter+al di ambil dari , ke -2. adi dari = #$ ke - 2 = #$ - 10 = $

( )

( ) /sin0

)/sin(sin0

:sin

:.

:

0

:cos

:

0

:cos.0

:

!

:cos)/(

:

!

:cos)(:!cos!

:

/

:

/

/

:

:

/

:

:

==

−=

=

=

+=

==

∫

∫ ∫

∫ ∫

−

− −

π

π

π

π

π

π

π

π π

π

π

nn

nn

xn

n

dx xn

dx xn

dx xn

dx

xn

x f dx L xn x f

La

L

L

n

(n/≠

)


13/22

/ntuk n=0 maka a0 diitung 'endiri

a0 =

0A:

0/cos)(

:

! :/

:

/

==∫ xdx x f

bn =

∫ −

:

: :sin)(

:

!dx

xn x f

π

=

+∫ ∫

−

/

:

:

/ :

sin0:

sin/:

!dx

xndx

xn π π

=

− :/A

:cos:.0/

:! xn

n

π

π

=

( )!cos0

−−

π

π

nn

( )

( )( ).!!0

cos!0

n

n

nxn

−−=

−=

π

π

f(x) =

∑∞

=

++

!

/sincos

+ nnn

L

xnb

L

xna

a π π

=

( )

∑

∞

=

−+! :

sincos!0

+

0

n

xnn

n

π π

π

=

++++ .........

:

:sin

:

!

:

0sin

0

!

:sin

;

+

0 x x x π π π

π

!. 6kspansikan ke dalam deret fourier f(&) [ ❑−88 ❑2


14/22

a0

1

L ∫− L

L

f ( x )dx

1

2 ∫0

2

8dx 2

1

2 ∫0

2

−8dx

=

1

2 8 x dx ] 2

0 +

1

2 8 x dx ] 4

2

= (12 .8.2− 12 .8.0)+(−12 .8.2−(−12 .8.0))

< 2 (-!;) 2 <

/

an 1

L ∫− L

L

f ( x )cos(nπx L )dx

1

2 ∫0

2

8cos( nπx2 )dx+1

2 ∫2

4

−8cos( nπx2 )dx

(nπx2 )disubtitusikanmisal t =(

nπx2 )

dt

dx= nπ

2

dx= 2

nπ dt

1

2 ∫0

2

8cos t 2

nπ dt +

1

2 ∫2

4

−8cos t 2

nπ dt

1

2.8 .

2

nπ ∫0

2

cos t dt + 12

. (−8 ) . 2nπ ∫

2

4

cost dt


15/22

nπx

2] 20−¿

8

nπ sin

nπx

2]42

8

nπ sin¿

8

nπ (sin nπ 22 −sin nπ 0

2 )− 8

nπ (sin nπ 42 −sin nπ 2

2 )

8

nπ (0 .0 )− 8

nπ (0.0 )

/

an 1

L ∫− L

L

f ( x )sin( nπx L )dx

¿ 1

2 ∫0

2

8sin( nπx2 )dx+1

2 ∫2

4

−8sin( nπ x2 )dx

¿

1

2 ∫0

2

8sin t 2

nπ

dt +1

2 ∫2

4

−8sin t 2

nπ dt

¿ 1

2.8 .

2

nπ ∫0

2

sin t dt +1

2. (−8 ) . 2

nπ ∫2

4

sin t dt

t ] 20−¿

8

nπ −cos t ] 4

2

8

nπ −cos¿

−8nπ (cos

nπ 2

2−cos

nπ 0

2 )+ 8nπ (cos nπ 4

2−cos

nπ 2

2 )

−8nπ

[ (−1 )n− (1 )n ]+ 8nπ

[ (1 )n− (−1)n ]

−16

nπ

(−1)n+16

nπ

(1 )n


16/22

F(&)

1

2

a0

2 ∑n=1a

n cos

( nπx

L

) 2bn

sin

(nπx

L

)

1

2.0 2 ∑

n=1

0 cos( nπx L ) 2 [−16nπ (−1 )n+ 16nπ (1 )n] sin( nπx L )

[−161 π (−1 )1+ 161π (1 )1]sin (1 πx2 ) 2 [−162 π (−1 )2+ 162 π (1 )2] sin(2πx2 ) 2

[16π +16π ] sin( πx2 ) 2 [−16nπ + 16nπ ] sin( 2πx2 )+…

32

π sin( πx2 )+0+

32

3 π sin (3 πx2 )+0+

32

5π sin(5πx2 )+0+…

+.

¿ x− x }0


17/22

¿2 2+

4

a0=

1

L

−ll

f ( x )cos nπx

L d&

1

4 4

0− x cosnπx

4dx+

1

4 0

4

& cosnπx

4 d&

intergal persial 'B

misal ' u-& dvBcos

dud& !misal : t : nπx

4

vBcosnπx

4dx

Bcos >4

nπ dt =sin nπx

4

4

nπx sin

nπx

x

(uv-Bv du)2(uv-Bvdu)

C-&4

nπ sin

nπx

4¿4

0− −40 4

nπx sin

nπx

4−dx¿+[ x

4

nπ sin

nπx

4¿0

4− 0

4 4

nπ sin

nπx

4dx]

C− x 4

nπ sin

nπx

4¿−40 + 4

nπ −4

0sin

nπx

4 d&2C4 x

nπ sin

nπx

4¿0

4− 4

nπ

0

4sin

nπx

4dx ¿

C(

( 4.4nπ sin nπx

4 )−(4.0

nπ sin

nπ .4

4 )− 4

nπ . 4

nπ −cos nπx

4

−04nπ

sin nπx

4¿−(−(−4 )4nπ sin

nπ (−4 )4 )+ 4nπ − 4nπ −cos nπx4 ¿−40 +¿

¿04

C 0+16−cos

nπ nπx

4¿−40 ¿+[0+

16

nπ cos

nπx

4¿04 ]


18/22

C(−16

nπ cos

−16nπ

nπ .0

4¿−¿

cos

16

nπ ¿

nπ (−4)4

¿¿+¿cos

16

nπ cos nn .0

nπ .4

4¿−¿

)

C-16

nπ +16

nπ ¿+ [1−1 ]

/2/ /

bni

l −l

lf ( x )sin

nπx

4dx

14

−40 − x sin nπx

l dx+ 1

4

04 x sin nπx

l dx

%arsial !u=− x E du -d& E tnπx

l

dusin dx ;"= sin nπx

4dx E d&

4

nπ dt

−4nπ

cos nπx4

(uvBv du)2(uv-Bv du)

C-&

x #−4nn

−4nn

cos nnx

4 ∫−4

0

−∫−4

0

−4nn

cos nnx

4 dx¿+¿

cosnnx

4¿0

4−∫0

4

−4nn cos

nnx

4

C4 x

nn cos

nnx

4¿−40 +

4

nn∫−4

0

cos nnx

4 d& 2 C−4 x

nn cos

nnx

4¿0

4+ 4

nn ∫0

4

cos nnx

4dx ¿


19/22

C(

nn .0

4

4−4nn¿

4.0nn

cos ¿−¿

)24

nn 4

nn sinnnx

4¿−40

2C(

nn.4

4

−4.4nn

cos ¿−(−4.0nn cos nn. o

4 )+ 4

nn # 4

nnsin

nnx

4¿0

4 ¿¿

C(

4

nn

−16

nn

¿+(16

nn

sin nn .0

4

−16

nn

sin nn (−4 )

4

)¿+(16

nn

+ 4

nn

)+¿

C−12

nn =(0−0)¿+[ 20

nn +(0−0)]

−12

nn +

20

nn=−8nn

f(G)⥤1

2 ao+∑n=1 ancos

nπx

l =bnsin

nπx

l

1

24+0+

8

nπ sinnπx

4

+28

nπ sin

nπx

4

f ( x )= x−π $0$ π

a0=

2

L∫0

L

f ( x ) dx

¿ 2

π ∫−π

π

x dx


20/22

¿ 2

π . 1

2 x

2{ π −π

¿ 2

π .

(1

2π

2−1

2(−π )2

)¿0

atau

a0=

2

L∫0

L

f ( x ) dx

¿ 2π [∫ % π

π

x dx−∫−π

π

x dx

]¿ 2

π .0

¿0

an=2 L∫0

L

f ( x ) cos nπx L dx

¿ 2

π ∫−π

π

x cosnx dx

parsial u= x d"=cosnxdx

du=dx "=1

nsinnx

¿ 2

π (u"−∫ " du )

¿ 2

π ( x . 1n sinnx { π −π −∫−π π

1

n sin nx dx )

¿ 2

π ( xn sin nx{ π −π −1n ∫−π π

sinnxdx )


21/22

@isal ' t =nx

dt =n dx

d x=dt n

¿ 2

π ( xn sin nx{ π −π −1n ∫−π π

sin t dt

n )

¿ 2

π ( xn sin nx{ π −π −1n . 1n∫ % π π

sint dt )

¿ 2

π ( xn sin nx{ π −π − 1n2−cos t { π −π )−π n (¿)

π

n sin nπ −

(−π )n

sin ¿

(¿+( 1n2 cosnπ − 1

n2 cos n ( π ))

]

¿ 2π ¿

¿ 2

π (0−0+( 1n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n))

¿ 2π ( 1n2 (−1 )n− 1n2 (

1 )n)¿ 2

π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )n

∴ f ( x )=a0

2+∑

n+1

an cos nπx

L =

2

π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )n cosnx+…


22/22

¿( 2π n2 (−1 )n−

2

π n2 (1 )ncos1 x)+( 2π n2 (−1 )

n− 2

π n2 (1 )n cos2 x)+( 2π n2 (−1 )

n− 2

π n2 (1 )ncos3 x )

¿

(2

n−

2

n cos

x

)+0+

(−2

9π −

2

9 π cos3

x

)+0+

…

¿−4

π cosx+0−

−49π

cos3 x+0. −425 π

cos5 x+0−…

Soal Sub Bab 7.3

1. f ( x ) = x " untuk 0< x < 2.2. f ( x ) = 2# x " untuk 0< x < 2.

0, #1%x% 0

3. f(x)=1" 0%x%3

x2 0%x%22. f(x)

1" 2%x%3

deret fourier fismat

Documents