115334622 deret fourier
TRANSCRIPT
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
1/40
download on www.enggar.tk
BAB 2
DERET FOURIER
2.1. Pendahuluan
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas
banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi
dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk
getaran atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu
tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas,
gelombang bunyi, arus listrik, dan lain sebagainya.
Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya dinamakan Deret
Fourier. Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang dinamakan
Koefisien Fourier.
Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dari suatu fungsi
Periodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Fourier, Interval Fourier, Deret
Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini
dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier.
Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret
Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier,
dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.
2.2. Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama
(berulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan :
f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
2/40
download on www.enggar.tk
Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya
Sin (t + 2) = Sin t
Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut :
f(t)
tT 2T 3T
P(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T T
S(t)
T 2T 3T
L(t)
T 2T 3T
Gambar 2.1. Fungsi periodik
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
3/40
download on www.enggar.tk
2.3. Kondisi Dirichlet
Suatu fungsi f(t) terdefinisi pada interval (-L, L), periodik dengan perioda 2L. f(t) dan
fl(t) kontinu dalam interval tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada
interval tersebut, misal pada titik t = 0, f(t)limf(t)lim0t0t , maka
2
)f(0)f(0f(0)
dimana :
)f(0
adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan
)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kiri
2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) yang periodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai
berikut :
n )f(x)f(x)f(x)f(xn321
Jika interval (a,b) dibagi kecil-kecil sebesar t sebanyak n, maka nilai rata-rata
menjadi :
tn
t)f(x)f(x)f(x)f(x n321
Untuk nilai n , maka t 0, sehingga nilai rata-rata fungsi periodik sepanjang
interval periodik (a,b) adalah :
ab
dtf(t)b
a
, atau
b
a
dtf(t)ab
1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
4/40
download on www.enggar.tk
Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik :
a. Sin tf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 0dttCos2
1dtSin t
2
1
b. tCostSinf(t) 22 , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 1dt21
dttCostSin2
1
22
c. tSinf(t)2 , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 1/2dttCos2
1dttSin
2
1
2
2
d. mtCosmtSinf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtntCosmtSin2
1
dt2
ee
2i
ee
2
1
intintimtimt
dt2i
ee
2i
ee
2
1
2
1
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
5/40
download on www.enggar.tk
Nilai rata-rata 0dtn)t-(mSinn)t(mSin
2
1
2
1
untuk semua m dan n
e. ntSinmtSinf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtntSinmtSin2
1
dt2i
ee
2i
ee
2
1
intintimtimt
dt2
ee
2
ee
2
1
2
1
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
dtn)t(mCos-n)t-(mCos
2
1
2
1
*) Untuk m n, maka
Nilai rata-rata 0dtqtCos-ptCos2
1
*) Untuk m = n 0, makaNilai rata-rata
21dtqtCos-1
21
21
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
6/40
download on www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, makaNilai rata-rata 0dt1-12
121
f. ntCosmtCosf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtntCosmtCos2
1
dt2
ee
2
ee
2
1
intintimtimt
dt2
ee
2
ee
2
1
2
1
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
dtn)t-(mCosn)t(mCos2
1
2
1
*) Untuk m n, maka
Nilai rata-rata 0dtqtCosptCos2
1
*) Untuk m = n 0, makaNilai rata-rata
2
1dt1ptCos
2
1
2
1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
7/40
download on www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, makaNilai rata-rata 1dt112
121
2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas
banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi
dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi
Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai perioda 2, merupakan fungsi dasar yang
nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin nt dan Cos nt. Dengan demikian
akan berlaku :
Sin n(t + 2) = Sin (nt + n2) = Sin nt
Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
1n
n1n
n0 ntSinbntCosa2
af(t)
ntCosa2tCosatCosa2
an21
0
ntSinb2tSinbSin tb n21
Dengan an dan bn merupakan koefisien- koefisien yang harus dirumuskan
menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Fourier.
2.6. Koefisien Fourier
Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku a0, an, dan bn
yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara
merumuskannya terlebih dahulu.
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
8/40
download on www.enggar.tk
Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai
berikut :
a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat :
-
n21
-
0
-
dtntCosa2tCosatCosadt2
adtf(t)
-
n21 dtntSinb2tSinbSin tb
0022a0
dengan demikian didapat :
0 dtf(t)
1a
b) Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Sin nt, kemudian diintegrasikan,
akan didapat :
-
0
-
dtntSin2
adtntSinf(t)
-
n21 dtntSinntCosa2tCosatCosa
-
n21 dtntSinntSinb2tSinbSin tb
n
-
2n bdtntSinb
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
9/40
download on www.enggar.tk
dengan demikian didapat :
n dtntSinf(t)1b
c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Cos nt, kemudian diintegrasikan,
akan didapat :
-
0
-
dtntCos2
adtntCosf(t)
-
n21 dtntCosntCosa2tCosatCosa
-
n21 dtntCosntSinb2tSinbSin tb
n
-
2n adtntCosa
dengan demikian didapat :
n dtntCosf(t)
1a
koefisien-koefisien Fourier dirumuskan :
n dtntCosf(t)
1a , dan
n0 dtf(t)
10)(naa
n dtntSinf(t)
1b
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
10/40
download on www.enggar.tk
Tinjau f(t) seperti di bawah ini :
f(t)
1
-3 -2 - 2 3 4 t
Gambar 2.2 fungsi f(t)
Fungsi f(t) ini dapat dirumuskan :
t01,
0t0,f(t)
Kita hitung koefisien-koefisien Fourier :
0 dtf(t)1a
0
0
dt
1dt0
1
110
n dtntCosf(t)
1a
000dtntCos
1dtntCos0.
1
0
0
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
11/40
download on www.enggar.tk
n dtntSinf(t)
1b
0
0
dtntSin
1dtntSin0.
1
0
n
ntCos0
nCos1n
1
2Cos1
1b1
02Cos12
1b2
3
23Cos1
3
1b3
04Cos141
b4
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
ntCosa2tCosatCosa2
af(t) n21
0
ntSinb2tSinbSin tb n21
5tSin5
23tSin
3
2Sin t
2
2
1
5
5tSin
3
3tSin
1
Sin t
2
2
1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
12/40
download on www.enggar.tk
2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks
Jika kita ingat kembali bahwa :
2i
e-entSin
int-int
2
eentCos
int-int
ternyata komponen Sin nt dan Cos nt tersusun dari fungsi eksponensial bentuk
kompleks. Deret Fourier dapat dirumuskan ke dalam komponen fungsi eksponensial
bentuk kompleks eint
atau e-int
yang periodik dengan perioda 2, sama dengan perioda
fungsi Sin nt atau Cos nt.
Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
-n
intn eCf(t)
intni3t
3i2t
2it
10 eCeCeCeCC
int-n-i3t-3-i2t-2-it-1- eCeCeCeC
Koefisien-koefisien Cn dapat dihirung dengan cara sebagai berikut :
Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan denganint-e , kemudian diintegrasikan, akan
didapat :
-
int-intn
i2t2
it10
-
int-dteeCeCeCCdtef(t)
-
int-int-n-
i2t-2-
it-1- dteeCeCeC
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
13/40
download on www.enggar.tk
2CdteeCdtef(t)
-
nint-int
n
-
int-
Sehingga koefisien Fourier dapat dirumuskan :
-
int-n dtef(t)
2
1C
Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini :
t01,
0t0,
f(t)
Koefisien Fouriernya :
-
int-n dtef(t)
2
1C
0
int-0
-
int- dte
2
1dte0.
2
1
0
in
e
2
1int
inte1in2
1
21dt
21C
0
0
i
1e1
i2
1C
i1
, dan
i-
1e1
i2-
1C
i1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
14/40
download on www.enggar.tk
0e1i4
1C
i22
, dan 0e1
i4-
1C
i22
i3
1e1
i6
1C i33
, dan
i3-
1e1
i6-
1C i33
0e1i8
1C i44
, dan 0e1
i8-
1C i44
i5
1e1
i10
1C i55
, dan
i5-
1e1
i10-
1C i55
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
e
3
e
1
e
i
1
2
1f(t)
i5ti3tit
5-
e
3-
e
1
e
i
1i5t-i3t-it-
2i
ee
5
1
2i
ee
3
1
2
ee
2
2
1 i5i5i3ti3titit
i
5tSin
5
13tSin
3
1Sin t
2
2
1
2.8. Interval Fourier
Fungsiintent,Cosnt,Sin bersifat periodik dengan perioda 2, dan telah digunakan
dalam perumusan deret Fourier pada interval (-, ). Perumusan deret Fourier bisa
menggunakan interval lain sepanjang satu perioda, misalnya (0, 2), (, 3), dan
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
15/40
download on www.enggar.tk
seterusnya. Pada kebanyakan persoalan fisika mempunyai perioda 2L, misalnya
interval (-L, L). Pada interval tersebut fungsi
L
tnSin periodik dengan perioda
2, sehingga berlaku hubungan :
L
tnSin2n
L
tnSin2Lt
L
nSin
Hal ini berlaku juga untuk fungsiint
ent,Cos .
Perumusan deret Fourier menjadi :
1nn
1nn
0
L
tnSinb
L
tnCosa
2
af(t)
L
tnCosa
L
t2Cosa
L
tCosa
2
af(t) n21
0
L
tnSinb
L
t2Sinb
L
tSinb n21
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
L
L
0 dtf(t)L
1a
L
L-
n dtL
tnCosf(t)
L
1a
L
L-
n dtL
tnSinf(t)
L
1b
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
16/40
download on www.enggar.tk
Dan dalam bentuk kompleks :
-n
L
tn
in eCf(t)
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
L
L-
L
tni-
n dtef(t)2L
1C
Tinjau f(t) yang didefinisikan :
f(t)
1
-4L -3L -2L -L L 3L 3L t
Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)
2LtL1,
Lt00,f(t)
Koefisien Fouriernya :
2L
0
L
tni-
n dtef(t)L2
1C
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
17/40
download on www.enggar.tk
2L
L
L
tni-L
0
L
tni-
n dte
2L
1dte0.
2L
1C
2L
L
L
tni
L
ni
e
2L
1
inin2 ee2in
1
ine12in
1
2
1dt
2L
1C
2L
L
0
i1-
e12i
1
C
i
1
, dan i1
e1i2-
1
C
i
1
0e1i4
1C
i22
, dan 0e1
i4-
1C
i22
i3
1-e1
i6
1C i33
, dan
i3
1e1
i6-
1C i33
0e1i8
1C i44
, dan 0e1
i8-
1C i44
i5
1-e1
i10
1C i55
, dan
i5
1e1
i10-
1C i55
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
18/40
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
e
3
e
1
e
i
1
2
1f(t)
L
t5iL
t3iL
ti
5
e
3
e
1
e
i
1 L
t5i-
L
t3i-
L
ti-
2i
ee
5
1
2i
ee
3
1
2
ee
2
2
1 L
t5i
L
t5i
L
t3i
L
t3i
L
ti
L
ti
i
L
t5Sin
5
1
L
t3Sin
3
1
L
tSin
2
2
1
2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Perumusan fungsi genap adalah :
f(t)t)f(
Misal fungsi genap : ntCos,t2
, dan lainnya.
f(t) periodik mempunyai sifat :
L
L
L
0
f(t)dt2f(t)dt
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
19/40
download on www.enggar.tk
Perumusan fungsi ganjil adalah :
f(t)t)f(
Misal fungsi ganjil : ntSint, , dan lainnya.
f(t) periodik mempunyai sifat :
L
L
0f(t)dt
Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
0
0 dtf(t)2dtf(t)
1a
0
n dtL
tnCosf(t)
2a , karena
L
tnCosf(t) merupakan fungsi genap
0dtL
tnSinf(t)
1b
n
, karenaL
tnSinf(t) merupakan fungsi
ganjil
Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
0dtf(t)
1a
0
0dtL
tnCosf(t)
1a
n
, karenaL
tnCosf(t) merupakan fungsi
ganjil
n dtL
tnSinf(t)
2b , karena
L
tnSinf(t) merupakan fungsi genap
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
20/40
download on www.enggar.tk
Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut :
1t1/20,
2/1t01,f(t)
Jika f(t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa
f(t)
-2 -1 0 1 2
Gambar 2.4. Fungsi ganjil
n dt
L
tnSinf(t)
2b
1
2/1
1/2
0
dt1
tn0.Sin
1
2dt
1
tnSin
1
2
2/10tnCosn
2
2
nCos-1
n
2
0b,3
2b,
2
4b,
2b 4321
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
21/40
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
6
t62Sin
5
t5Sin
3
t3Sin
2
t22SintSin
2f(t)
Jika f(t) merupakan fungsi genap, maka f(t) berupa
f(t)
-2 -1 0 1 2
Gambar 2.5. Fungsi genap
1dt1
2
a
1/2
00
1
0
n dt1
tnCosf(t)
1
2a
1
2/1
1/2
0
dttn0.Cos2dttnCos2
2
nSin
n
2tnSin
n
2 2/10
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
22/40
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
t5Cos3
t3Cos
1
tCos
2
2
1f(t)
2.10. Teorema Parseval
Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi f 2 (t) dengan koefisien-koefisien deret
Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai
rata-rata fungsi.
Deret Fourier dirumuskan :
1n
n1n
n0 ntSinbntCosa2
af(t)
Nilai rata-rata dari f2(t) dalam interval (-, ) adalah :
Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)2
12
Nilai rata-rata dari koefisien Fourier adalah :
Nilai rata-rata dari
2
0a2
1
=
2
0a2
1
Nilai rata-rata dari 2n ntCosa = 2/1a2
n
Nilai rata-rata dari 2n ntSinb = 2/1b2
n
Jika f 2 (t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat hasil
perkalian nt,Sin.ba1/22.nt,Cos.aa1/22. n0n0 dan hasil perkalian (mn)
mtSinntCosb2.a nn yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
23/40
download on www.enggar.tk
Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi :
Nilai rata-rata f 2 (t) =
1n
2n1n
2n
2
0 )(b21)(a
21
2a
Untuk deret Fourier bentuk kompleks didapat :
Nilai rata-rata |f(t)|2=
n
2n |C|
Tinjau fungsi f(t) = t pada interval 1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier
bentuk kompleks.Koefisien-koefisien Fourier adalah :
1
1-
tin-n dtef(t)
2
1C
1
1-
tin- dtet2
1
1
1-
tin-1
1
tin-dt
in
e
2
1
in-
et.
2
1
1
12
tin-inin-
)(n
e
2
1
in
e
in
e-
2
1
2
in
2
in-
)(n
e
)(n
e
2
1nCos
in
1
nSin(nn
i
in
nCos
2
nCosn
i
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
24/40
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
-n
tinn eCf(t)
ti3-ti3ti2ti2-ti-ti e
3
1e
3
1e
2
1e
2
1ee
if(t)
Nilai rata-rata f2(t) pada interval (-1, 1) adalah :
Nilai rata-rata f2(t) =
3
1
3
x
2
1t
2
11
1
31
1
2
Dengan menggunakan teorema Parseval :
Nilai rata-rata f2(t) =
n
2n |C|
n
2
nCosn
i
9
1
9
1
4
1
4
111
1
2
9
1
4
11
2
2
Dari kedua persamaan diatas, dapat dibuat persamaan :
n222
n
1
291
411
231
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
25/40
download on www.enggar.tk
Dapat disimpulkan bahwa :
6
n1
2
n2
2.11. Contoh-contoh
(i). Uraikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier
5t03,
0t50,f(t)
Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval5 t 5, definisikan
kembali f(t)
Gambar sketsa f(t) adalah :
f(t)
3
t-15 -10 -5 0 5 10 15 20
perioda = 10
2L = 10, maka L = 5
1nn
1nn
0
L
tnSinb
L
tnCosa
2
af(t)
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
26/40
download on www.enggar.tk
L
L-
0 dtf(t)
L
1a
3dt35
1dt0.
5
15
0
0
5-
L
L
n dtL
tnCosf(t)
L
1a
5
0
0
5
dt5
tnCos3
5
1dt
5
tnCos0.
5
1
05
tnSin
n
5
5
35
0
L
L
n dtL
tnSinf(t)
L
1b
5
0
0
5
dt5
tnSin3
5
1dt
5
tnSin0.
5
1
n
nCos-13
5
tnCos
n
5
5
35
0
Uraian deret Fourier :
1nn
1nn
0
L
tnSinb
L
tnCosa
2
af(t)
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
27/40
download on www.enggar.tk
1n 5
tnSin
n
nCos-13
2
3f(t)
5
t5Sin
5
1
5
t3Sin
3
1
5
tSin
6
2
3
Jika deret konvergen ke f(t) pada interval5 t 5 , maka f(t) didefinisikan kembali
menggunakan kondisi Dirichlet pada t = -5, t = 0, t = 5, menjadi :
5 t3/2,
5t03,
0 t3/2,
0t50,
5 t3/2,
f(t)
(ii). Uraikan fungsi f(t) = t2, 0 < t < 2ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan
Cosinus.
Bentuk sketsa fungsi f(t) = t2
f(t)
t
-6 -4 -2 0 2 4 6
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
28/40
download on www.enggar.tk
Perioda = 2 L = 2, atau L =
2L
0
n dtL
nCosf(t)L1a
2
0
2 dtntCost
1
2
0
32
2
n
ntSin-2
n
ntCos-2t-
n
ntSint
1
2n
4 , dimana n0
Untuk n = 0 , didapat :
2L
0
0 dtf(t)L
1a
3
8t
3
1dtt
122
03
2
0
2
dtL
tnSinf(t)
L
1b
2L
0
n
2
0
2dtntSint
1
2
032
2
n
ntCos2
n
ntSin-2t-
n
ntCos-t
1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
29/40
download on www.enggar.tk
Didapat, untuk : n 0
n
4-bn
Uraian deret Fourier :
1nn
1nn
0
L
tnSinb
L
tnCosa
2
af(t)
1n1n2
2
ntSinn
4-ntCos
n
4
3
4
(iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2.
a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil.
b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap.
a. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil :
f(t)
t-8 -4 0 2 4 6 8
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
30/40
download on www.enggar.tk
0an
L0
n dtL
tnSinf(t)L2b 2
0
dt2
tnSint22
2
022 2
tnSin
n
4--
2
tnCos
n
2-t
Sehinggan didapat :
nCosn4bn
Uraian deret Fourier adalah :
1n 2
tnSinnCos
n
4f(t)
2
t3Sin
3
1
2
t2Sin
2
1
2
tSin
4
b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap :
f(t)
t
-8 -4 0 2 4 6 8
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
31/40
download on www.enggar.tk
0bn
L0
n dtL
tnCosf(t)L2a
2
0
dt2
tnCost
2
2
2
0
22 2
tnCos
n
4--
2
tnSin
n
2t
1-nCosn
4
22 , dimana n0
Untuk n = 0 , didapat :
2dtt2
2dtf(t)
L
2a
2
0
L
0
0
1n22 2
tnCos1-nCos
n
41f(t)
2
t5Sin
5
1
2
t3Cos
3
1
2
tCos
81
222
(iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari deret deret :
44441n
4 4
1
3
1
2
1
1
1
n
1
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
32/40
download on www.enggar.tk
Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisien-koefisien
Fourier :
L
0
n dtL
tnCosf(t)
L
2a
1-nCosn
4
22 , n 0
Untuk n = 0, didapat :
2dtt2
2dtf(t)
L
2a
2
0
L
0
0
Dengan menggunakan teorema Parseval :
2n
1
2n
20
L2 )(b)(a
2
)(adt(t)f
L
1
nL
Dengan menggunakan hasil di atas didapat :
1
2n
20
2
2
22
2
2)(b
2
)(adtt
2
1dt(t)f
2
1
n
3
8t
3
1
2
1dtt
2
1 22
32
2
2
1
2
441
2
n
20
1-nCosn
4
2
4
)(b2
)(a
nn
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
33/40
download on www.enggar.tk
Dari kedua persamaan di atas dapat dibuat persamaan :
44444
1
244
71
51
31
11
6421-nCos
n42
38
n
atau
96
7
1
5
1
3
1
1
1 4
4444
Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :
4444
1n4 4
1
3
1
2
1
1
1
n
1
44444444 8
1
6
1
4
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
444444444 4
1
3
1
2
1
1
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
1n444444 n
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
Dengan melakukan perhitungan kecil akan didapat :
444441n
4 7
1
5
1
3
1
1
1
2
11
n
1
96
2
11
4
4
Jumlah deret adalah :
90
n
14
1n4
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
34/40
download on www.enggar.tk
2.12. Rangkuman
(i). Fungsi Periodik dirumuskan :
f(t) =f(t+T)
dengan perioda T
(ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik
ab
dtf(t)b
a
, atau
b
a
dtf(t)ab
1
(iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
L
tnCosa
L
t2Cosa
L
tCosa
2
af(t) n21
0
L
tnSinb
L
t2Sinb
L
tSinb n21
1n
n
1n
n0
L
tnSinb
L
tnCosa
2
a
(iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
0 dtf(t)
1a
n dtL
tnCosf(t)
1a
n dtL
tnSinf(t)
1b
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
35/40
download on www.enggar.tk
(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
-n
L
tn
in eCf(t)
Ltn
i
nL
t3i
3L
t2i
2L
ti
10 eCeCeCeCC
Ltn
i-
n-L
t3i-
3-L
t2i-
2-L
ti-
1- eCeCeCeC
Koefisien-koefisien Fourier Cn :
-
L
tni-
n dtef(t)2
1C
(vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
0
0 dtf(t)
2a
0
n dtL
tnCosf(t)
2a
0bn
(vii). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
0a0
0an
n dtL
tnSinf(t)
2b
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
36/40
download on www.enggar.tk
(viii). Teorema Parseval
Deret Fourier dirumuskan :
1n
n1n
n0 ntSinbntCosa2
af(t)
Nilai rata-rata dari f2(t) pada selang interval (-, ) adalah :
Nilai rata-rata f2(t) = dtf(t)
2
12
Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi :
Nilai rata-rata f2(t) =
1n
2n
1n
2n
20 )(b
2
1)(a
2
1
2
a
Dalam bentuk kompleks :
Nilai rata-rata |f(t)|2=
n
2n |C|
2.13. Latihan Soal
(i) Buktikan bahwa :
a). /2
0
2/2
0
2dttCosdttSin
dengan perubahan variabel :
x
2
t
b). ab2
1dtktCosdtktSin
b
a
2b
a
2
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
37/40
download on www.enggar.tk
(ii). Hitunglah nilai rata-rata dari :
a. tSinSin t
2
, pada selang interval 0,2
b. . 6tCost 2 , pada selang interval
6
0,
c. 3tSin32tSin2Sin t , pada selang interval
2
0,
d.te1 , pada selang interval 0,1
(iii). Hitunglah nilai integral dari :
a.
/34
0
2 dt2
3tSin
b.
2
1-
2 dt3
tSin
c.
/23
/2-
2 dt
2
tCos
d. /2
0
2 dttSin
(iv). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus :
a.
t00,
0t1,f(t)
b.
t/20,
/2t01,
0t,0
)(tf
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
38/40
download on www.enggar.tk
c.
t/21,
/2t0,f(t)
d.
t/21,
/2t1,-f(t)
e.
t/21,
/2t01,-
0t,0
)(tf
f.
t0t,
0t0,f(t)
g.
t0Sin t,
0t0,f(t)
h.
t0t,-
0t,tf(t)
i. tt,1f(t)
(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks :
a. t,tf(t)2
b. 2t0,tf(t)2
c. t,ef(t)t
d. 2t0,ef(t)t
e. 2t2,t2f(t)
f. 4t0,t2f(t)
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
39/40
download on www.enggar.tk
g. 2/1t2/1,tSinf(t)
h. 1t0,tSinf(t)
(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier :
a.
Lt01,
0tL-1,-f(t)
Hitunglah deret berikut :
222 7
1
5
1
3
11
b. 1/2t1/2,tf(t) 2
Hitunglah deret berikut :
444
4
1
3
1
2
11
c. tt,1f(t)
Hitunglah deret berikut :
222 4
1
3
1
2
11
2.14. Daftar Pustaka
1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New
Yook , 2 nd ed .,1970.
2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition, John Wily and sons, 1983 .
3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in thePhysical Sciences , John Wily and Sons, 1984.
4. DAzzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis
and Synthesis , second Edition , Mc GrawHill , 1966.
-
7/22/2019 115334622 Deret Fourier
40/40
5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall,
Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.
6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,Publishing Company , 1981.
7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John
Wiley and Sons , 1979.
8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and ModernEngineering , Mc GrawHill 2 nd ed . , 1966.
9. Wos pakrik , Hans J . , DasarDasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung ,
1993 .