penggunaan metode perturbasi homotopi pada … · metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode...
TRANSCRIPT
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
RISA SAWITRI
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI PADA
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN BUSA CAIR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2014
Risa Sawitri
NIM G54090062
ABSTRAK
RISA SAWITRI. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian
Persamaan Aliran Busa Cair. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI
KUSNANTO.
Aliran busa cair yang terjadi di dalam batas Plateau memengaruhi struktur
dari busa. Busa menjadi mudah pecah ketika busa mengering akibat berkurangnya
cairan yang mengalir di dalam batas Plateau. Distribusi aliran cairan di dalam
batas Plateau yang memengaruhi struktur dari busa dapat dideskripsikan secara
matematis dalam bentuk persamaan aliran busa cair. Dalam tulisan ini, persamaan
aliran busa cair diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode
perturbasi homotopi, penyelesaian persamaan ini dinyatakan dalam bentuk deret
pangkat. Dengan memberikan pendekatan awal yang tepat, penyelesaian
persamaan ini dapat mendekati penyelesaian eksak dengan tingkat kesalahan yang
kecil.
Kata kunci: batas Plateau, metode perturbasi homotopi, persamaan aliran busa cair
ABSTRACT
RISA SAWITRI. The Use of Homotopy Perturbation Method in Solving the
Aqueous Foam Drainage Equation. Supervised by JAHARUDDIN and ALI
KUSNANTO.
Aqueous foam drainage inside Plateau border affects the structure of foam.
Foam becomes fragile when it dries due to reduction of liquid flow. The
distribution of liquid flows inside Plateau border which affects the structure of
foam can be described mathematically in form of aqueous foam drainage
equation. In this paper, aqueous foam drainage equation is solved by homotopy
perturbation method. In homotopy perturbation method, the solution of this
equation assumed in the form of power series. By giving the exact initial
approach, the solution of this equation using homotopy perturbation method can
estimate the exact solution with a small error rate.
Keywords: Plateau border, homotopy perturbation method, aqueous foam
drainage equation
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI PADA
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN BUSA CAIR
RISA SAWITRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian
Persamaan Aliran Busa Cair
Nama : Risa Sawitri
NIM : G54090062
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-
Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Penggunaan Metode Perturbasi
Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair ini berhasil
diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin, MS dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing serta Bapak Drs Siswandi, MSi
selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan bantuannya selama
penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada
Bapak dan Ibu penulis yaitu, Manuriyanto dan Pudji Rahayu, kakak-kakak
tercinta Wissa Harry Pamudji dan Yeria Rayanti serta mbah dan bude Tris yang
selalu memberikan dukungan, doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga
disampaikan kepada dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas
semua ilmu dan bantuannya, teman-teman Matematika 46 atas bantuan dan
kebersamaannya, teman-teman Ginastri atas kebersamaannya dan Hafiyyan
Naufal atas dukungan dan bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2014
Risa Sawitri
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN ix
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 3
Persamaan Aliran Stokes 3
Persamaan Aliran Busa 6
Metode Homotopi Perturbasi 9
HASIL DAN PEMBAHASAN 11
Analisis Metode 11
Aplikasi Metode 12
SIMPULAN 16
DAFTAR PUSTAKA 16
LAMPIRAN 18
RIWAYAT HIDUP 24
DAFTAR TABEL
1. Galat antara metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak
persamaan (23) untuk 11
2. Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksaknya untuk dan 15
3. Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksaknya untuk dan 15
DAFTAR GAMBAR
1 Massa yang masuk dan massa yang keluar (dalam arah sumbu x) dalam
aliran fluida 3
2 Batas Plateau, node, dan film pada busa cair 7
3 Grafik perbandingan antara penyelesaian menggunakan metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak untuk 14
4 Grafik penyelesaian persamaan aliran busa cair pada saat 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair 18
2 Penurunan Persamaan (36)-(38) 19
3 Penyelesaian Persamaan (36)-(38) 22
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Busa adalah suatu zat yang terbentuk dari gabungan gas dengan material
lain, seperti air dan logam. Busa dapat ditemukan dalam kegiatan sehari-hari baik
dalam makanan, minuman, kebersihan maupun dalam kegiatan industri. Dalam
bidang industri sering kali keberadaan busa tidak diinginkan karena menjadi
penghambat dalam proses produksi dan juga dapat menurunkan kualitas produk,
seperti dalam industri bir. Beberapa contoh penggunaan busa yaitu untuk
memadamkan api yang bercampur dengan minyak, untuk memudahkan
pemisahan biji hidrofobik (seng, timah, emas) dari batu hidrofilik, dan untuk
dekontaminasi bahan bakar nuklir.
Terdapat berbagai macam jenis busa, di antaranya adalah busa cair, busa
polimer, dan busa logam. Busa cair merupakan busa yang sering ditemukan
dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam kebersihan dan makanan. Busa polimer
diaplikasikan pada bantal duduk dan pengemasan (contohnya stereofoam). Dalam
beberapa tahun terakhir, peneliti menaruh minat pada pencairan logam untuk
menghasilkan busa. Busa logam ini berguna dalam aplikasi mekanis, karena
struktur yang stabil dan beratnya yang sangat ringan. Busa logam juga telah
diaplikasikan dalam industri otomotif dan penggunaan pada pesawat luar angkasa
(Koehler et al. 2000).
Penelitian mengenai busa pertama kali dilakukan oleh seorang fisikawan
dari Belgia, Joseph Plateau pada abad ke-19. Plateau memformulasikan hukum
Plateau yang menjelaskan tentang struktur yang dibentuk pada busa. Dalam hal
ini, film merupakan lapisan tipis di antara gelembung busa yang terbuat dari
permukaan yang halus, rata-rata kelengkungan film konstan untuk semua film
pada setiap titik, pertemuan secara simetris dari tiga film dengan sudut 1200
membentuk saluran yang diberi nama batas Plateau, dan empat batas
Plateaubertemu disuatu titik pada sudut 109.470dan membentuk node (Hutzler et
al. 2005).
Sebagai ilustrasi, pada saat menuang minuman bersoda ke dalam gelas
terlihat gelembung-gelembung busa memenuhi bagian atas gelas. Namun,
gelembung-gelembung busa tersebut akan menghilang dari gelas. Hal ini dapat
dijelaskan dengan tiga topik dalam penelitian mengenai busa yaitu, pengaliran
(drainage), coarsening dan rheology. Coarsening adalah pengkasaran yang terjadi
pada gelembung busa akibat berkurangnya kandungan cairan di dalam busa.
Rheology adalah perubahan bentuk yang terjadi pada gelembung busa akibat
adanya coarsening dan pengaliran di dalam busa. Pada saat Coarsening, terjadi
penyebaran gas di dalam gelembung busa sehingga busa mulai kering dan mudah
pecah. Ketika pecah busa berubah bentuk (Rheology) menjadi cairan. Karya
ilmiah ini memfokuskan pada proses pengaliran dalam busa.
Aliran pada busa cair terjadi melewati tiga saluran, yaitu batas Plateau, film,
dan node antara gelembung. Aliran di dalam busa sangat mempengaruhi
kestabilan busa agar tidak berubah bentuk. Ketika busa mengering strukturnya
menjadi sangat rapuh, area film di antara gelembung menjadi tipis dan dapat
2
pecah sehingga mengakibatkan pecahnya batas Plateau dan node. Pecahnya film,
batas Plateau, dan node akan mengakibatkan hancurnya busa.
Aliran di dalam batas Plateau memiliki 2 tipe utama, yaitu aliran bebas dan
aliran paksa. Pada penelitian mengenai aliran pada busa, tipe aliran yang sering
digunakan adalah aliran paksa.
Dari busa yang baru terbentuk terdapat aliran yang mengalir melalui busa.
Aliran ini dinamakan aliran bebas. Dinamakan aliran bebas karena aliran di dalam
busa ini mengalir hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Pada aliran yang
mendekati bagian bawah busa, terbentuk gelembung-gelembung busa dengan
rasio volume cairan untuk tipe busa yang menyebar dalam satu arah
(monodisperse) mendekati 26%. Semakin mendekati bagian bawah busa, fraksi
volume cairan semakin mendekati 0% (Koehler et al. 1998). Hal ini menandakan
bahwa semakin ke bawah semakin berkurang volume fluida yang terdapat di
dalam busa. Sehingga hanya akan terdapat fluida tanpa gelembung-gelembung
busa.
Penelitian mengenai aliran paksa pertama kali dijelaskan oleh Leonard dan
Lemlich pada tahun 1965 (Hutzler et al. 2005). Penelitian ini menggambarkan
penyebaran gelombang aliran yang melalui busa. Cairan surfaktan ditambahkan
secara konstan dan terus menerus ke atas busa yang sudah mulai mengering. Salah
satu contoh cairan surfaktan yang digunakan adalah SDS (sodium dodecyl
sulfate). Cairan SDS yang masuk ke dalam busa kemudian menyebar kontinu dari
atas ke bawah sepanjang ketinggian busa membentuk gelombang soliter dengan
kecepatan dan mempengaruhi busa yang sudah mulai mengering.
Aliran paksa terjadi ketika cairan ditambahkan di atas busa. Verbist dan
Weaire mengembangkan sebuah model persamaan aliran busa cair yang
merepresentasikan distribusi cairan di dalam batas Plateau dari waktu ke waktu.
Sejumlah penelitian mengenai aliran busa telah banyak dilakukan dalam sepuluh
tahun terakhir. Penyelesaian persamaan aliran busa cair dengan pendekatan
metode dekomposisi adomian (Helal dan Mehanna 2007) dan menggunakan
metode iterasi variasi (Dahmani dan Anber 2010). Dalam karya ilmiah ini akan
digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan aliran
busa.
Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik
untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Dalam metode ini, didefinisikan
suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk taklinear dari masalah
taklinear tersebut. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi dimisalkan dalam bentuk deret dari suatu parameter. Metode
ini telah banyak digunakan untuk menangani berbagai macam aplikasi di bidang
sains dan teknik. Penggunaan metode perturbasi homotopi untuk beberapa kasus
lebih akurat dibandingkan dengan penggunaan metode iterasi variasi dan metode
dekomposisi adomian (Fereidoon et al. 2011).
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah
a. menyelesaikan persamaan aliran busa cair dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi,
3
b. membandingkan penyelesaian yang diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan aliran Stokes yang
disarikan dari (Munson et al. 2002), penurunan persamaan aliran busa yang
disarikan dari (Koehler et al. 1998) dan konsep dasar metode perturbasi homotopi
yang disarikan dari (He 2000).
Persamaan Aliran Stokes
Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan
massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis
dari gerak partikel fluida dalam tiga dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya
posisi x, y, dan z yang merupakan fungsi dari waktu t. Aliran fluida ini
dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida
sepanjang waktu t. Peubah u, v, dan w masing-masing menyatakan komponen
kecepatan partikel dalam arah x, y, dan z. Sedangkan merupakan rapat massa
fluida.
Gambar 1 Massa yang masuk dan massa yang keluar (dalam arah sumbu x) dalam
aliran fluida
Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa laju perubahan massa adalah
selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar seperti pada
Gambar 1. Laju perubahan massa pada arah sumbu x adalah:
* ( )
+ *
( )
+
( )
pada arah sumbu y adalah:
* ( )
+ *
( )
+
( )
dan pada arah sumbu z adalah:
* ( )
+ *
( )
+
( )
4
Sehingga laju perubahan massa fluida adalah:
*
( )
( )
( )
+
Jika setiap ruas pada persamaan di atas dibagi dengan , maka diperoleh
persamaan kontinuitas atau persamaan kekekalan massa sebagai berikut:
( )
( )
( )
Dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai:
(1)
Jika diasumsikan fluida tak mampat,dengan kerapatan fluida konstan di seluruh
medan aliran, maka persamaan (1) memberikan persamaan berikut:
atau
(2)
Persamaan momentum dalam bentuk differensial dapat dinyatakan dalam
bentuk berikut:
(3)
dengan F adalah gaya resultan yang bekerja pada massa fluida, m adalah massa
yang diperlakukan sebagai sebuah konstanta dimana
dan a adalah percepatan sebuah partikel fluida. Secara umum terdapat dua gaya
yang dipertimbangkan dalam gerak fluida, yaitu gaya badan dan gaya permukaan.
Gaya badan yang menjadi perhatian adalah berat dari elemen yang dapat
dinyatakan sebagai:
atau dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z masing-masing adalah:
,
,
dengan menyatakan vektor dari percepatan gravitasi. Gaya permukaan
digambarkan dengan tegangan normal yang dinotasikan dengan dan tegangan
geser yang dinotasikan dengan .
Untuk memperoleh gaya, tegangan-tegangan dikalikan dengan luas
permukaan dimana gaya-gaya tersebut bekerja. Dengan menjumlahkan seluruh
gaya yang terjadi dalam arah x, diperoleh
[
]
Untuk arah y, diperoleh
[
]
5
Untuk arah z, diperoleh
[
]
Gaya permukaan resultan berkombinasi dengan gaya badan, menghasilkan gaya
resultan untuk arah x sebagai berikut:
*
+ (4)
gaya resultan untuk arah y sebagai berikut:
*
+ (5)
dan gaya resultan untuk arah z sebagai berikut:
*
+ (6)
Persamaan-persamaan (4), (5), dan (6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3)
diperoleh
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
Jika setiap ruas pada persamaan di atas dibagi dengan , maka diperoleh
persamaan gerak sebagai berikut:
*
+
*
+
*
+
(7)
Untuk fluida Newtonian tak mampat, tegangan normal dapat dinyatakan
sebagai berikut:
6
dan tegangan geser dinyatakan sebagai:
(
)
(
)
(
)
dimana p adalah tekanan. Dengan mensubstitusikan tegangan-tegangan tersebut
ke dalam persamaan (7) dan disederhanakan menggunakan persamaan (2)
diperoleh persamaan untuk arah x
(
)
(
)
untuk arah y
(
)
(
)
dan untuk arah z
(
)
(
)
Dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai:
(
) (8)
Persamaan (8) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes.
Aliran Stokes adalah tipe aliran fluida dimana pergerakan gaya inersia lebih
kecil dibandingkan gaya viskositas. Situasi ini menggambarkan kecepatan fluida
sangat lambat dan tingkat kekentalan fluida yang sangat tinggi. Untuk tipe aliran
ini diasumsikan gaya inersia diabaikan sehingga
Persamaan Navier-Stokes pada persamaan (8) menjadi
(9)
Persamaan (9) disebut persamaan Stokes.
Persamaan Aliran Busa
Busa merupakan material yang tidak beraturan. Busa dapat mengembang
untuk menampung cairan dan dapat menipis ketika cairan mengalir keluar. Pada
saat mengembang terjadi perbedaan tekanan yang mempengaruhi aliran di dalam
busa. Aliran pada busa terjadi di tiga bagian yang sangat rapuh. Ketiga bagian ini
7
antara lain, batas Plateau yaitu area pertemuan tiga gelembung, node dimana
empat batas Plateau bertemu dan film berupa lapisan tipis dimana dua gelembung
bertemu. Ketiga bagian tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 Batas Plateau, node, dan film pada busa cair
(sumber: www.ipc.uni-stuttgart.de)
Dinding pembatas antara ketiga bagian ini sulit untuk dibedakan. Film
memiliki perbedaan dengan node dan batas Plateau, karena film hanya terjadi
ketika busa dalam kondisi yang sangat basah. Aliran pada node sulit didefinisikan.
Oleh karena itu, teori pemodelan aliran pada busa lebih sering difokuskan pada
aliran di batas Plateau.
Pada batas Plateau, area penampang digunakan untuk mempermudah dalam
memodelkan aliran pada busa. Didefinisikan ( ̅ ) adalah area perpotongan
pada penampang batas Plateau dimana ̅ dan masing-masing menyatakan posisi
dan waktu. Untuk mempermudah memodelkan, aliran batas Plateau ditinjau hanya
dalam arah vertikal, ̅ ( ). Didefinisikan sebagai laju aliran fluida pada
batas Plateau. Fluida memiliki beberapa asumsi dasar, salah satunya fluida
memiliki sifat yang mengacu pada hukum kekekalan massa sehingga digunakan
persamaan kekekalan massa
(10)
Laju aliran dapat juga didefinisikan sebagai perkalian antara kecepatan
dengan luas area. Karena busa adalah material yang tidak beraturan dan batas
Plateau memiliki fisik yang panjang dan tipis sehingga untuk laju aliran fluida di
dalam batas Plateau digunakan kecepatan rata-rata sehingga persamaan (10)
menjadi
( ) (11)
Cairan yang mengalir di dalam batas Plateau memiliki tipe aliran Stokes,
dengan demikian persamaan yang digunakan adalah persamaan Stokes yang
didefinisikan pada persamaan (9)
Pergerakan cairan di batas Plateau dipengaruhi oleh kapilaritas, gaya
gravitasi dan kekentalan (viscosity). Efek dari kapilaritas mengakibatkan
terjadinya perbedaan tekanan di batas Plateau. Tekanan cairan di dalam batas
8
Plateau lebih rendah dibandingkan tekanan di luar, dengan perbedaan berdasarkan
Hukum Laplace Young sebagai berikut:
Persamaan Stokes menjadi
(
) (12)
Selanjutnya, diasumsikan busa memiliki sifat monodisperse dan kering
sehingga area penampang batas Plateau konstan, dengan adalah
konstanta, √
dan adalah jari-jari kelengkungan batas Plateau.
Sehingga persamaan (12) menjadi
(13)
Jika viskositas yang terjadi di fluida sebesar – , maka persamaan (13)
menjadi
(14)
atau
(15)
Jika persamaan (15) disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka
diperoleh
(
) (16)
Misalkan didefinisikan variabel
( )
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (16) dan dibagi dengan
( ) ,
maka diperoleh
(√
) (17)
Persamaan (17) merupakan persamaan aliran busa cair yang akan
diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Penyelesaian eksak dari
persamaan aliran busa cair pada persamaan (17) adalah
( ) , (√ ( ))
dengan adalah kecepatan gelombang, dan masing-masing menggambarkan
koordinat posisi dan waktu.
9
Penurunan penyelesaian eksak persamaan aliran busa cair dapat dilihat pada
lampiran 1.
Metode Homotopi Perturbasi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi
berdasarkan pada (He 2000). Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan
diferensial taklinear sebagai berikut:
( ) ( ) (18)
dengan A merupakan suatu operator turunan taklinear, merupakan fungsi yang
akan ditentukan dan ( )merupakan fungsi yang diketahui. Didefinisikan suatu
operator linear L yang memenuhi:
( ) bila (19)
Secara umum operator A dapat dibagi menjadi dua, yaitu operator linear L
dan operator taklinear N. Persamaan (18) dapat ditulis:
( ) ( ) ( ) .
Misalkan u0(r) pendekatan awal yang memenuhi persamaan (18) dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real ( ) [ ] dan suatu
fungsi homotopi sebagai berikut:
( ) ( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] . (20)
Berdasarkan persamaan (20), maka untuk p = 0 memberikan persamaan
( ) ( ) ( )
dan untuk p = 1 memberikan persamaan
( ) ( ) ( )
Sehingga menurut persamaan (18) dan persamaan (19) diperoleh
( ) ( )
dan
( ) ( )
Dalam metode perturbasi homotopi, diasumsikan penyelesaian fungsi ( )
dinyatakan dalam bentuk deret terhadap p sebagai berikut:
( ) ( ) ∑ ( )
(21)
Berdasarkan persamaan (21) untuk p = 1 diperoleh
( ) ( ) ∑ ( )
Karena ( ) ( ), maka diperoleh
( ) ( ) ∑ ( )
(22)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan
(18) dengan pendekatan awal ( ) dan ( ), i = 1,2,... yang akan ditentukan
10
dengan menggunakan metode perturbasi. Persamaan (21) disubstitusikan ke dalam
persamaan (20), sehingga diperoleh dengan menyamakan koefisien
perpangkatan p.
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi yang telah dibahas,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh persamaan
diferensial berikut:
(23)
dengan syarat awal
( ) (24)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (23) dan (24) adalah
( ) Berikut ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan masalah nilai awal persamaan (23) dan (24). Didefinisikan
operator linear sebagai berikut:
[ ]
dan operator sebagai berikut:
[ ]
Sehingga berdasarkan persamaan (20), diperoleh persamaan berikut:
( ) [
] [
] (25)
Diasumsikan penyelesaian dari persamaan (25) dinyatakan dalam persamaan
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (26)
Jika persamaan (26) disubstitusikan ke dalam persamaan (25), kemudian
dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka memberikan persamaan
berikut:
(27)
Dengan memilih pendekatan awal ( ) ( ) , maka diperoleh
penyelesaian persamaan (27) sebagai berikut:
,
,
,
11
Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (23) dan (24) dengan metode
perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut:
( )
Dengan membandingkan penyelesaian eksak dengan penyelesaian menggunakan
metode perturbasi homotopi diperoleh galat yang ditunjukan pada Tabel 1.
Tabel 1 Galat antara metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak
persamaan (23) untuk
x |ueksak-umph|
0 0
0.1 5.34031 x 10-11
0.2 1.3653 x 10-8
0.3 3.49134 x 10-7
0.4 3.4766 x 10-6
0.5 2.06397 x 10-5
0.6 8.83161 x 10-5
0.7 3.01386 x 10-4
0.8 8.71343 x 10-4
0.9 2.21905 x 10-3
1 5.11226 x 10-3
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh galat yang sangat kecil. Hasil ini
menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dinilai akurat untuk
menyelesaikan persamaan (23) dan (24).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi
homotopi untuk menyelesaikan persamaan aliran busa. Hasil yang diperoleh
menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan penyelesaian eksak.
Analisis Metode
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode perturbasi
homotopi yang telah diuraikan pada tinjauan pustaka. Untuk itu diperlukan fungsi
( ) yang tidak hanya bergantung pada , tetapi juga bergantung pada
parameter . Misalkan fungsi dinyatakan sebagai berikut:
( ( ) ) ( ) [ ( ) ( )]
[ ( ( )) ( )] (28)
12
Selanjutnya misalkan fungsi ( ) merupakan penyelesaian dari
persamaan berikut:
( ( ) ))
atau
( ) [ ( ) ( )] [ ( ( )) ( )] (29)
Berdasarkan persamaan (29), maka untuk diperoleh
( ( ) ) [ ( ) ( )]
dan untuk diperoleh
( ( ) ) [ ( ( )) ( )]
Berdasarkan persamaan (18) dan persamaan (19), maka penyelesaian dari
persamaan ( ( ) ) dan ( ( ) ) masing-masing adalah
( ) ( )
dan
( ) ( )
Misalkan operator A dibagi menjadi dua, yaitu operator L dan operator taklinear
N sehingga persamaan (29) menjadi
( ) [ ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( )] atau
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (30)
Dalam metode perturbasi homotopi, dimisalkan penyelesaian persamaan (30)
dinyatakan dalam bentuk deret berikut:
( ) ( ) ∑ ( )
(31)
Karena ( ) ( ), maka
( ) ( ) ∑ ( )
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan
(18) dengan pendekatan awal ( ) dan ( ), yang akan
ditentukan. Persamaan untuk menentukan ( ), diperoleh dengan
menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (31) disubstitusikan ke dalam
persamaan (30). Dengan menyamakan koefisien dari derajat kepangkatan , maka
diperoleh penyelesaian dari persamaan (29) sebagai berikut
( )
Aplikasi Metode
Pada bagian ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan persamaan aliran busa berikut:
13
(√
) (32)
Misalkan
( ) ( ) maka persamaan (32) menjadi
(
)
(33)
Didefinisikan operator linear sebagai berikut:
[ ]
dan operator taklinear sebagai berikut:
[ ]
(
)
Berdasarkan persamaan (28) dan persamaan (33) diperoleh
(
(
)
) (34)
dengan [ ] suatu parameter dan ( ) merupakan pendekatan awal.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (34) dinyatakan dalam deret berikut:
( )
. (35)
Jika persamaan (35) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam
persamaan (34) dan dengan menyamakan koefisien dari derajat kepangkatan dari
p, maka koefisien memberikan persamaan sebagai berikut:
(36)
Koefisien memberikan persamaan
(
)
(37)
Koefisien memberikan persamaan
(38)
Penurunan persamaan (36)-(38) dapat dilihat pada lampiran 2.
Misalkan pendekatan awal diberikan sebagai berikut:
( ) √ (√ ) maka diperoleh penyelesaian persamaan (36), (37), dan (38) sebagai berikut:
14
√ ( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
Penyelesaian persamaan (36)-(38) dapat dilihat pada lampiran 3.
Berdasarkan persamaan (35), maka penyelesaian dari masalah nilai awal
pada persamaan (33) dapat ditulis :
( ) √ (√ )
(√ )
(√ )
(√ ) (39)
Dengan mentransformasikan kembali ( ) ( ) diperoleh
( ) ( √ (√ )
(√ )
(√ )
(√ ) )
(40)
Gambar 3 Grafik perbandingan antara penyelesaian menggunakan metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak untuk
Gambar 3 merupakan grafik terhadap yang menunjukkan perbandingan
antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak
untuk dan . Penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
menggunakan garis kontinu dan penyelesaian eksak menggunakan garis putus-
putus. Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak. Berikut
ini akan diberikan Tabel 2 dan 3 yang menjelaskan galat antara penyelesaian
eksak dengan penyelesaian menggunakan metode perturbasi homotopi untuk
.
15
Tabel 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksaknya untuk dan
Tabel 3 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksaknya untuk dan
|eksak( )-mph( )|
-10 1.68621 x 10-11
-8 5.38703 x 10-10
-6 1.72154 x 10-8
-4 5.55211 x 10-7
-2 0.0000229632
0 1.71743 x 10-11
Tabel 2 dan Tabel 3 menunjukkan keakuratan penyelesaian menggunakan
metode perturbasi homotopi. Perolehan galat lebih baik ketika bernilai lebih
besar. Berikut akan diberikan Gambar 4 yang merupakan grafik penyelesaian
persamaan aliran busa untuk .
Gambar 4 Grafik penyelesaian persamaan aliran busa pada saat
|eksak( )-mph( )|
10 6.66134 x 10-15
8 6.18883 x 10-12
6 6.31637 x 10-9
4 6.44681 x 10-6
2 0.00652784
0 0.00142588
16
Gambar 4 menunjukkan pergerakan area penampang batas Plateau terhadap
waktu dan koordinat posisi yang ditinjau pada posisi vertikal. Ketika
mendekati nol, area penampang batas Plateau mengecil. Ketika bernilai nol area
penampang batas Plateau sudah hancur. Hal ini menggambarkan sudah tidak ada
lagi distribusi aliran didalam batas Plateau sehingga busa menjadi kering dan
akhirnya pecah.
SIMPULAN
Aliran pada busa cair terjadi melewati tiga saluran, yaitu batas Plateau, film,
dan node antara gelembung. Fluida yang mengalir di dalam batas Plateau
memiliki dua tipe utama yaitu aliran bebas dan aliran paksa. Aliran bebas adalah
aliran yang mengalir mengikuti arah gaya gravitasi. Pada tipe aliran paksa cairan
SDS ditambahkan ke atas busa dan mengalir mengikuti gravitasi sepanjang
ketinggian busa. Penambahan cairan mengakibatkan terbentuknya gelombang.
Persamaan aliran busa cair menjelaskan tentang distribusi aliran di dalam
batas Plateau dari waktu ke waktu yang ditinjau dari area penampang batas
Plateau.Area penampang batas Plateau mengalami pergerakan yang dipengaruhi
oleh koordinat posisi dan waktu.Aliran di dalam batas Plateau ditinjau pada arah
vertikal. Batas Plateau bergerak memendek ke arah atas yang diikuti dengan
pengecilan area penampang batas Plateau. Hal ini menjelaskan terdapat
pengurangan cairan yang mengalir di dalam batas Plateau. Pengurangan distribusi
cairan yang mengalir mengakibatkan busa menjadi lebih kering. Semakin lama
batas Plateau semakin memendek dan area penampang batas Plateau semakin
kecil hingga akhirnya hancur. Kehancuran area penampang batas Plateau ini
menjelaskan bahwa sudah tidak ada lagi distribusi cairan didalam batas Plateau.
Sehingga busa menjadi kering dan akhirnya pecah.
Persamaan aliran busa cair diselesaikan dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi. Galat yang diperoleh dari penyelesaian eksak dengan
penyelesaian menggunakan metode perturbasi homotopi sangat kecil. Penggunaan
metode perturbasi homotopi dinilai akurat dalam menyelesaikan persamaan aliran
busa cair.
DAFTAR PUSTAKA
Dahmani Z, Anber A. 2010. The variational iteration method for solving the
fractional foam drainage equation. International Journal of Nonlinear Science.
10(1):39-45. doi: IJNS.2010.08.15/384.
Fereidoon A, Yaghoobi H, Davoudabadi M. 2011. Application of the homotopy
perturbation method for solving the foam drainage equation. International
Journal of Differential Equation.11:13. doi:10.1155/2011/864023.
17
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear
Mechanic. 1:37-43. doi: pii/S0020746298000857
Helal MA, Mehanna MS. 2007. The tanh method and adomian decomposition
method for solving the foam drainage equation. Applied Mathematics and
Computation. 190(1):599-609. doi:10.1016/j.amc.2007.01.055.
Hutzler S, Weaire D, Saugey A, Cox S, Peron N. 2005. The physics of foam
drainage.Sepawa Kongress Mit European Detergents Conference.Germany
Koehler SA, Stone HA, Brenner MP, Eggers J. 1998. Dynamics of foam
drainage. Physical Review E. 58(2):2097-2106. doi:47.55.Mh, 02.30.Jr,
83.70.Hq, 82.70.Rr
Koehler SA, Hilgenfeldt S, Stone HA. 2000. A generalized view of foam
drainage: experiment and theory. Langmuir. 16(15):6327-6341.
doi:10.1021/la9913147.
Munson BR, Young DF, Okiishi TH. 2002. Mekanika Fluida. Harinaldi,
Budiarso, penerjemah; Hardani W, editor. Jakarta(ID): Penerbit Erlangga.
Terjemahan dari: Fundamentals of Fluid Mechanic. Ed ke-4.
18
Lampiran 1 Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair
Berikut ini akan diselesaikan persamaan aliran busa yang dinyatakan oleh:
(√
) (L.1)
Untuk itu, penyelesaian dinyatakan dalam bentuk gelombang berjalan dengan
( ) dengan
√ ( ) dengan dan masing-masing merupakan kecepatan gelombang, koordinat
posisi dan koordinat waktu. Jika diturunkan masing-masing terhadap dan ,
maka diperoleh
√
√
(L.2)
Jika persamaan (L.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (L.1), maka diperoleh
√
√
(
√
√
)
atau
√
√
(L.3)
Persamaan (L.3) dikalikan dengan
√ √ diperoleh
√ √ √
(L.4)
Jika kedua ruas persamaan (L.4) diintegralkan, maka diperoleh
(√
√ )
atau
( ) ( ) atau
( ) (√ ( ))
19
Lampiran 2 Penurunan persamaan (36)-(38)
Berdasarkan persamaan (30), diperoleh
( )( ( ) ) * ( )
+ (L.5)
Misalkan penyelesaian persamaan (34) dinyatakan dalam bentuk berikut
( )
(L.6)
Jika persamaan (L.6) diturunkan terhadap , maka diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
Jika persamaan (L.6) diturunkan terhadap , maka diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
Jika persamaan (L.6) diturunkan untuk yang kedua kalinya terhadap , maka
diperoleh
( )
( )
( )
( )
( )
Dengan mensubstitusikan persamaan (L.6) dan turunan-turunannya ke dalam
persamaan (L.5), maka diperoleh
( )
(
) (
)
(
)(
)
20
( )
( )
(
) (
( )
)
(
)
(
( )
) (
)
Koefisien memberikan persamaan
(L.7)
Koefisien memberikan persamaan
(
)
(L.8)
Koefisien memberikan persamaan
(L.9)
Koefisien memberikan persamaan
21
( )
(L.10)
Koefisien memberikan persamaan
(L.11)
Koefisien memberikan persamaan
( )
(L.12)
22
Lampiran 3 Penyelesaian Persamaan (36)-(38)
Misalkan dipilih √ (√ ), maka diperoleh
√ (√ ) (L.13)
Jika persamaan (L.13) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(√ )
Jika persamaan (L.13) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan
(L.8) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh
(√ ) (L.14)
Jika persamaan (L.14) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
Jika persamaan (L.14) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam
persamaan (L.9) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh
(√ )
(√ ) (L.15)
Jika persamaan (L.15) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
Jika persamaan (L.15) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam
persamaan (L.10) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh
(√ )
(√ )
(√ ) (L.16)
Jika persamaan (L.16) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Jika persamaan (L.16) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh
23
(√ )
(√ ) (√ )
(√ )
Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke
dalam persamaan (L.11) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ ) (L.17)
Jika persamaan (L.17) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Jika persamaan (L.17) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke
dalam persamaan (L.12) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Jadi, penyelesaian dari persamaan aliran busa dengan syarat awal
√ (√ ) hingga orde kelima dapat ditulis
( ) √ (√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
Dengan mentransformasi kembali ( ) ( ) diperoleh
( ) ( √ (√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ )
(√ ) )
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 November 1991 sebagai anak
ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Manuriyanto dan Pudji Rahayu.
Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu TK Tiara Midita lulus
pada tahun 1997, SD Negeri Gunung 01 Pagi lulus pada tahun 2003, SMP Negeri
19 Jakarta lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 3 Jakarta lulus pada tahun 2009
dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui
jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai sekretaris divisi
Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) pada tahun 2011 dan sebagai staf
divisi Math Event pada tahun 2012. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti
selama menjadi mahasiswi matematika.Selain itu, penulis pernah menjadi asisten
dosen untuk mata kuliah Kalkulus III pada semester ganjil tahun 2012