és megoldÁsi ÚtmutatÓmattagn/pltarmo.pdf6 megoldások ... a példatár és megoldási útmutató...

TUZSON ÁGNES

PÉLDATÁR

és

MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ

a

MATEMATIKA

INFORMATIKUSOK ÉS MŰSZAKIAK RÉSZÉRE I.

c.

tankönyvhöz

2

Tartalomjegyzék

1 Bevezetés............................................................................................................................ 3

2 Végtelen numerikus sorozatok........................................................................................... 4

3 Egyváltozós valós függvények........................................................................................... 5

3.1 Ismétlés....................................................................................................................... 5

3.2 Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai ...................................................... 7

3.3 Határérték, folytonosság............................................................................................. 8

3.4 Elemi függvények ...................................................................................................... 9

4 Differenciálszámítás......................................................................................................... 12

4.1 Formális differenciálás............................................................................................. 12

4.2 A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 14

5 Integrálszámítás................................................................................................................ 16

5.1 A határozatlan integrál ............................................................................................. 16

5.2 A határozott integrál és alkalmazásai....................................................................... 20

6 Megoldások ...................................................................................................................... 24

3

1 Bevezetés

A feladatgyűjtemény a Matematika informatikusok és műszakiak részére I. (ISBN

963 661 576 4, Miskolci Egyetemi Kiadó, 2003) c. tankönyvben tárgyalt – az analízis

témakörébe tartozó – fejezetek sorrendjében és felépítésében tartalmazza a gyakorlásra

ajánlott feladatokat és kidolgozásukat.

Az egyes fejezetek követik a tankönyv fejezeteit, a feladatok számozása azonban folyamatos a

megoldások könnyebb beazonosítása érdekében. A Megoldások fejezet a szokásosnál

részletesebben, lépésenként mutatja be a feladatok megoldási menetét, remélhetőleg jól

segítve, de nem kiváltva a saját munkán alapuló alapos megértést.

A példatár és megoldási útmutató a TÁMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 projekt

támogatásával készült.

4

2 Végtelen numerikus sorozatok

Szükséges elméleti ismeretek: – a végtelen sorozat fogalma és tulajdonságai (monotonitás, korlátosság) – a sorozat határértékének és torlódási pontjának fogalma, megkülönböztetése – konvergencia-tételek – műveletek konvergens sorozatokkal – nevezetes konvergens sorozatok

1. Írja fel az alábbi – általános elemükkel adott – sorozatoknak az első három és a tizedik

elemét:

a.) 1

2

nan b.)

2

1

nan

c.)

1

2

n

nan

d.) 1

12

2

n

nan e.)

1

22

n

nan f.)

1

22

3

n

nan

g.) nna 2 h.) n

na 2

i.) nna 1

j.) nan cos k.) 2

sinn

an l.) n

n na

11

m.) n

nn

na9

63 2 n.)

n

nan

...321

o.)

páratlanha,

1párosha,

nn

nnan .

2. Vizsgálja meg az alábbi végtelen sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából:

a.) 1

2

nan b.)

2

1

nan

c.)

1

2

n

nan

d.) 1

12

2

n

nan e.)

1

22

n

nan f.)

1

22

n

nan

g.) nna 2 h.) n

na 2

i.) nna 1

j.) nan cos k.) 2

11

na n

n

l.) 15

15

n

n

na

m.) n

nan

...321

n.)

páratlanha,

1párosha,

nn

nnan

.

5

3. Ellenőrizze, hogy az n

an

11 általános elemű sorozatnak határértéke-e a

2

3A szám!

4. Vizsgálja meg a 2. feladatban szereplő sorozatokat konvergencia szempontjából. A konvergens sorozatoknak adja meg a határértékét. A divergens sorozatoknak adja meg a torlódási pontját/pontjait, ha van(nak)!

5. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét, ha létezik:

a.) nnn

nnan 1542

323

3

b.) nnn

nnan 1542

323

2

c.) nn

nnan 154

32

3

d.) 102

1011

103

26

n

nn

na

e.) n

n nn

na

1

112

12

2

.

6. Az alábbi sorozatok közül a konvergens sorozatokhoz keresse meg az 210 értékhez tartozó küszöbszámot:

a.) 1

2

nan b.)

2

1

nan

c.)

1

2

n

nan

d.) 1

12

2

n

nan e.)

1

22

n

nan f.)

1

22

n

nan

g.) nna 2 h.) n

na 2

i.) nna 1

j.) nan cos k.) 2

11

na n

n

l.) 15

15

n

n

na .

3 Egyváltozós valós függvények

3.1 Ismétlés

Szükséges elméleti ismeretek: – középiskolában tanult nevezetes függvények és tulajdonságaik – függvénytranszformációk

7. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb halmazát, ahol az alábbi függvények

értelmezettek:

6

a.) 1 xxxf b.) 12 xxf

c.) 12 xxf

d.) 21 xxf e.) 2

2

xxf f.)

4

22

x

xf

g.) 4

22

x

xf h.) xxf1

2

i.) xxxf

j.) 1

12

x

xf k.) x

xxf

sin l.) xxxf ln

m.) 1 xxxf n.) 1

1

2 xxf

o.) 1log 22 xxf

p.) xxf lnln q.) xxf sinln

r.) 42log21

xxf .

8. Függvénytranszformáció segítségével vázolja az alábbi függvények grafikonját.

a.) 2 xxxf b.) 652 xxxf

c.) 2 xxf d.) xxf 212

e.) 2

1

xxf f.) 224 xxf

g.) 2

1ln

xxf h.) xxf 2cos2

i.) 124

x

xf j.) 42 1log xxf , 1x .

7

3.2 Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai

Szükséges elméleti ismeretek: – korlátosság – monotonitás – invertálhatóság – párosság, páratlanság – periodicitás fogalma és vizsgálatának módszerei. 9. Vizsgálja meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e alsó vagy felső korlátja. Mely

függvények korlátosak?

a.) 0,2

xx

xxf b.) R

x

xxf ,

1

12

c.) 2,2 xxxf d.) 0,1

cos

x

x

xxf

e.) 3,2

1

x

xxf f.) xxxf 0,sinln

10. Az alábbi függvények közül melyik monoton?

a.) xxf 21 b.) 1,1

1

x

xxf

c.) 2 xxf d.) 01,1 2 xxxf

e.) xxxf ee f.) xxxf

2,sinln .

11. A 10. feladat mely függvényei invertálhatóak? Adja meg ezen függvények inverzét! 12. Az alábbi függvények közül melyik páros illetve páratlan?

a.) xxxf 2121 b.) xxxf 2cos

c.) 1ln 2 xxxf d.) xx

xxf sin

tg

2

.

8

13. Az alábbi függvények közül melyek periodikusak?

a.)

egyébként,2

11 ha,2

xf

xxxf

b.) xxf 2sin

c.) xxxf cos .

3.3 Határérték, folytonosság

Szükséges elméleti ismeretek: – határérték – folytonosság fogalma, tulajdonságai és vizsgálatának módszerei. 14. Számítsa ki az alábbi határértékeket, ha léteznek:

a.) 2

lim2 x

xx

b.) 2

lim x

xx

c.) 2

lim x

xx

d.) 2

lim2 x

xx

e.) 4

2lim

22

x

xx

f.) 4

2lim

22

x

xx

g.) 4

2lim

2

x

xx

h.) 4

44lim

2

2

2

x

xxx

i.) 32

2lim

2

2

1

xx

xxx

j.) 32

2lim

2

2

xx

xxx

k.) 32

2lim

3

2

xx

xxx

l.) 32

2lim

2

3

xx

xxx

9

m.) 25

12lim

25

x

xx

n.)

21 1

2

1

1lim

xxx

o.) xxxx

5lim 2 p.) x

xx 3

2sinlim

0

q.) x

xx cos1lim

2

0 r.)

x

xx tg

sinlim

0

s.) x

xx

sinlim

t.) x

xcoslim

u.) xx

xxx cos2

sin3lim

v.)

x

xx cos2

sin3lim

.

15. Számítsa ki az xxf1

2 függvény bal- és jobboldali határértékét az 00 x helyen.

16. Meghatározható-e úgy az a, b, c, d paraméter értéke úgy, hogy az alábbi függvények

értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak legyenek:

a.)

egyébként;,

0ha,

0 és ha,2

sin2

b

xa

xxxx

x

xf

b.)

.1ha,

0ha,

10/ha,1

23

23

xd

xc

,xxx

xxx

xf

R

3.4 Elemi függvények

Szükséges elméleti ismeretek: – részlegesen egyenes vonalú függvények – racionális egész- és törtfüggvények – trigonometrikus függvények és inverzeik – exponenciális és logaritmus függvények – hiperbolikus függvények és inverzeik tulajdonságai.

10

17. Vázolja az alábbi függvények grafikonját (végezzen azonos átalakításokat, ill. számítsa ki a határértéket is, ahol szükséges):

a.) xxxf 1sgn32 b.) x

xfsgn1

1

c.) x

xxf

2sgn d.)

1

1

x

xxf

e.) xxxf sgn1 2 f.) x

xxf

sgn

1 2

g.) 21 xxf h.) 11 2 xxxf

i.) 232 21 xxxxf j.) 11 232 xxxxf

k.) 1

1

xxf l.)

21

1

xxf

m.) 1

12

x

xf n.) 22

2

1

21

xx

xxxf

o.) 22

2

1

21

xx

xxxf p.)

2

3

x

xxxf

q.) 2

2

12

4

xx

xxf r.) 122

3

xx

xxf .

18. Vázolja a következő arkusz függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel egyszerűbb

alakban a függvényt):

a.) xxf 2arcsin b.) xxf 21arccos1

c.) 1arctg xxf d.) xxf arccoscos

11

e.) xxf cosarccos f.) xxf arccossin

g.) xxf arctgtg h.) xxf ctgarcctg .

19. Számítsa ki az alábbi kifejezések pontos értékét:

a.)

4

3arccos

4

1arccossin b.)

2arctg

4

1arccoscos

c.)

5

2arccos

5

4arcsintg .

20. Igazolja, hogy

a.) 2

arccosarcsin

xx b.) 2arcctg5

2arccos

5

4arcsin .

21. Vázolja az alábbi hiperbolikus és area függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel

egyszerűbb alakban a függvényt):

a.) xxf 2ch1 b.) 2cth22 xxf

c.) 1sh2 xxf d.) xxxf lnsh2

e.) xxf arch1 f.) 1arsh2 xxf

g.) 1arshsh xxf h.) xxf charch .

12

4 Differenciálszámítás

4.1 Formális differenciálás

Szükséges elméleti ismeretek: – a differencia- és a differenciálhányados fogalma, kiszámítása – elemi függvények deriváltja – differenciálási szabályok. 22. Differenciálja a következő függvényeket I.:

a.) 1523 232 xxaxf b.) 2

21

xxxxf

c.) xxxxf 234 2 d.) x

xxf2

23 4

e.) 232 xxxf f.) 125 xxxf

g.) xxxxf h.) 4 32

1x

xxf

i.) 3

2

3

1

x

xxf j.) xxxxf 2arctgcos2

k.) 2

tgsinsin 22 xxxxf l.) xxxf tgcos 22

m.) xxxf 2tgctg n.) x

xxf

2cos1

2cos1

o.) 12arctg xxxf p.) 21

1arccos

xxxf

q.) xxxf sinarc12 r.) xxxf sinarcctg

13

s.) aaxf x ln t.) x

xxf

ln

1

23. Differenciálja a következő függvényeket II.:

a.) xxf x 2ln22 b.) xxf x lncose2

c.) xxf 32 loglog d.) xx

xxf

cos

1ln

2

e.) xxxf f.) xxf xsin

g.) 1sh 2 xxf h.) x

xxf1

th2ch2

i.) x

xxf

2ch

ch1 2 j.) xxxf cth

k.) 2

1arsh

x

xxf

l.) xxxf arch1 2

m.) 2arth2arcth xxxf n.) )!!(!ln xxxf

24. Állítsa elő y -t a következő egyenletekből:

a.) 421 22 yx b.) yxxyy cos2

c.) yxyx 23 d.) 22arctg yxx

y

14

25. Hol differenciálhatók az alábbi függvények? Adja meg a deriváltat ezeken a helyeken!

a.) xxf ln b.)

1ha,

1ha,e22

1

xex

xxf

x

c.) 331 xxf d.) xxxf

26. Számítsa ki az alábbi magasabbrendű deriváltakat:

a.) ?ln xfxxf b.) ?arctg xfxxf

c.) ?

4cos16

xf

xxf d.) ?02 23 xyyxy

4.2 A differenciálszámítás alkalmazásai

Szükséges elméleti ismeretek: – a derivált geometriai jelentése – görbék érintkezése – a differenciálszámítás középértéktételei – Taylor- polinom – Bernoulli-L’Hospital szabály – teljes függvényvizsgálat 27. Adott az 642 xxxf függvény.

a.) Állítsa elő az f függvény 10 x abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét.

b.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő átmegy az origón? Ha igen, akkor adja meg e pont koordinátáit.

c.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő az x-tengely pozitív felével os-45 szöget zár be? Ha igen, akkor írja fel az érintő egyenletét.

28. Hányad rendben érintkeznek az alábbi görbék az 0x helyen?

0

6

sin

03

xx

xxg

xxf

29. Mekkora szög alatt metszi az xxf ln függvény görbéje az x-tengelyt? 30. Az a paraméter milyen értéke esetén érinti az 2axxf függvény görbéje a xxg ln

függvény görbéjét?

15

31. Vizsgálja meg, hogy teljesülnek-e a Rolle-tétel feltételei az

8x2ha,66

2x10-ha,2 xx

xxf

függvényre a 6,6 intervallumon. Ha igen, akkor keresse meg értékét/értékeit,

melye(ek)re 0f . 32. Írja fel a Lagrange-féle középértéktételt az 32 23 xxxf függvényre a 3,2

intervallumon. 33. Írja fel az alábbi függvények 0x helyhez tartozó n-edfokú Taylor-polinomját

a.) 5,1,ln 0 nxxxf b.) 2,0,1

sh0

nx

x

xxf

c.) 3,0,e 0

2

nxxf x

d.) 3,0,cossin 0 nxxxxf .

34. Számítsa ki az alábbi határértékeket a Bernoulli-L’Hospital szabály alkalmazásával

a.) 20

sintglim

x

xxx

b.) x

x

x 2sin

1elim

0

c.) 1

lnarctglim

1 x

xx

d.) . x

x

x 3cos

sin21lim

6

e.) 201 ln

2tg

limxx

x

x

f.)

xxx

arcsin2

loglim01

g.)

1lim

1

x

xex h.)

x

xx

2200

ctg1

lim

i.) xxx

5323lim

j.) x

xx tg

00lim

k.) x

xx

lim l.)

x

xx

arctg2

lim00

35. Végezzen teljes függvényvizsgálatot (értelmezési tartomány, zérushely(ek), párosság-

páratlanság, periodicitás, lokális szélsőérték(ek), monoton szakaszok, inflexiós pont(ok), konvex-konkáv szakaszok, határértékek, értékkészlet) az alábbi függvényeken, majd vázolja a függvény görbéjét

16

a.) 33 xxxf b.) xxxf 3

c.) 12

x

xxf d.)

1

12

x

xf

e.) 2

e xxf f.) xxxf ln

g.) 2ln xxf h.) x

xxf

ln

i.) xxxf cossin j.) xxxf e

36. Egy pozitív számhoz adjuk hozzá a reciprokát. Milyen szám esetén minimális ez az

összeg? 37. Hogyan kell adott V térfogat mellett a henger alakú konzervdoboz alapkörének sugarát és

magasságát megválasztani úgy, hogy a doboz felszíne a lehető legkisebb legyen? 38. A r sugarú félkörbe legfeljebb mekkora területű téglalap rajzolható?

5 Integrálszámítás

5.1 A határozatlan integrál

Szükséges elméleti ismeretek: – alapintegrálok – integrálási szabályok – nevezetes függvénytípusok integrálása 39. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat (végezzen azonos átalakításokat az

integrandusz függvényen, ha szükséges)

a.) dxxx

x11

b.) dxxx 3

c.) dxx

x

1

12

2

d.) dxxx 12 e2

17

e.) dxx2tg f.) dxxx

x22

2

cossin

2sin

g.) dxxx

xx

2

2

1

1 h.) dx

x

xx

3

i.) dxxx arccosarcsin j.) dxx

xx

x

1e

e

40. Számítsa ki a felsorolt integrálokat az

RR

R

baxfFCa

baxFdxbaxf

Cxf

dxxfxf

Cxfdxxf

xf

,0/ ésx ahol,***

1/ ha,1

**

ln*

1

formulák alkalmazásával

a.) dxxx

x

24

22

b.) dxxx

x

153

562

c.) xdxctg d.) dxx

x 2cos

2sin3

e.) dxx

x

ln f.) dx

xx ln

1

g.) dxx 23cos h.) dxxx 22

12

i.) dxxx 5 32 32 j.) dxxx e1e 1

k.) dxxx sin32cos l.) dxx

xx 2cos23

cossin

m.) dxx cos1 n.) dxx 12cos (!)

18

41. A következő integrálok kiszámításánál alkalmazza a parciális integrálás módszerét

a.) dxx x 1e32 b.) dxx x e2

c.) xdxx sin2 d.) dx arctgx

e.) xdxx arctg f.) dxx 2ln

g.) dxx arctg h.) dxx x 2

e3

i.) dxx arcsin j.) dxx

xx

21

arcsin

k.) xdxx sine l.) dxx

xx 3sin

cos

42. Az alábbi integrálok kiszámításánál alkalmazza a helyettesítés módszerét

a.) dxxx 3 1 b.) dxxx

x

ln

ln1

c.) dxxsin d.) dx

x

xx2

2

sin1

cossin

e.) dxxx 24 f.) dxx 24

g.) dxe x h.) dxxx

tgx cossin

ln

43. Integrálja az alábbi racionális törtfüggvényeket

a.) dxxx

x 121

b.) 21 x

dx

c.) dxxx

xx

11

3322

2

d.) 123 xxx

dx

19

e.) dxx

x 1

3

f.) 164x

dx

g.) dxxx

xx

34

2 14 h.) 46 xx

dx

i.) dxx

x 12

4

j.) dxxx

x

3

2

4

1

k.) dxxx

x

54

12

l.)

dxxx

x

54

22

44. Integrálja az alábbi trigonometrikus függvényeket

a.) xdxx 2cos2sin 33 b.) xdxx 22 cossin

c.)

dx

x

x

1sin23

1cos d.) dxx 12tg 2

e.) xdx4cos f.) dxx

x4

3

sin

cos

g.) dxxx 2cos3sin h.) dxx

x 2

4

cos

sin

i.) dxx

x

2

2

tg1

tg1 j.) dx

x

x 3

3

cos

sin

45. Integrálja az alábbi hiperbolikus és exponenciális függvényeket

a.) xdx2cth b.) xdxx 2chsh

c.) xdxx 22 chsh d.) xdx2cth

e.) dxx

x sh1

ch f.) xdx2ch

20

g.) dxx

x

2e1

e h.) dx

x

x

e1

e2

46. Integrálja az alábbi irracionális függvényeket

a.) 11 x

dx b.) dx

xx

x 3

c.) dxxx 216 d.) dxx 216

e.) 296 xx

dx f.) dxxx 1

g.) dxx cos1 h.) dxx

x

1

1

47. Alkalmas módszer választásával végezze el a kijelölt integrálásokat

a.) dxxx ee b.) dx

xx

xx

53

223

2

c.) dxxx ln2 2

e

d.) x

dx

cos1

e.) dxx

xx

22

3342 f.) dxxx 23 1

5.2 A határozott integrál és alkalmazásai

Szükséges elméleti ismeretek: – a Riemann-integrál fogalma – a Newton-Leibniz tétel – az improprius integrálok fogalma és kiszámításuk – geometriai alkalmazások 48. A Newton-Leibniz tétel és alkalmasan választott határozatlan integrálási eljárás

megválasztásával számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét.

a.)

0

sin xdx b.) 2

0

sin xdx

21

c.) 2

0

sin dxx d.) e

1

1dx

x

e.)

2

1

dxxx f.)

8

4

2 2sin

1dx

x

g.) 2

1

ln dxxx h.)

1

0221

1dx

x

i.)

3

021

dxx

x j.)

1

0

43 21 dxxx

k.) e2

1

ln xdxx l.)

100

0

cos1 dxx

m.)

2

3

2

sinsgn dxxx n.)

2

1

02

2

1dx

x

x

o.) 1

0

arctg xdxx p.) 1

0

21 dxxx

49. Melyik konvergens az alábbi improprius integrálok közül?

a.)

0

2

e dxx x b.)

0

e dxx x

c.)

1

1dx

x d.)

1421

1dx

x

e.)

0

2 22

1dx

xx f.)

dx

xx 22

12

g.)

0

2e1 dxx x h.)

0

cos xdx

i.)

0

121 x

dx j.)

1

2 1x

dx

22

k.) 2

1

02ln

1dx

xx l.)

e

12ln

1dx

xx

m.) 1

02ln

1dx

xx n.)

2

0 4 324dx

x

x

o.)

1

0 1

1dx

xx p.)

1

02

1dx

x

50. Számítsa ki az alábbi görbék által határolt véges síkrész területét (készítsen ábrát is!).

a.) 25 xy és 1y b.) xyx 422 és xy 22

c.) xy 42 és 42 xy d.) 2xy és xy 2

e.) xy sin , 0y , 0x és 2x

f.) x

xy

ln , 0y és ex

51. Számítsa ki az alábbi forgástest térfogatát.

a.) x

xy

ln , 0y és ex görbék által határolt tartomány forog az x-

tengely körül.

b.) Az 2xy és xy 2 görbék által határolt véges területű lemez forog az x-tengely körül.

c.) Az 12

2

2

2

b

y

a

x ( Rba, , állandó) egyenletű ellipszis forog az x-tengely

körül. 52. Számítsa ki az alábbi görbeívek hosszát.

a.) 40,2

3

xxy b.) 24

,sinln

xxy

23

c.) 21,1ln 2 xxxy

53.

a.) Számítsa ki az 30,122 xxy görbeív x-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest felszínét.

b.) Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét.

24

6 Megoldások

1.

a.) ...,11

2...,,

4

2,

3

2,1 b.) ...,

2

11...,,

2

4,

2

3,1 c.) ...,

11

12...,,

4

5,

3

4,

2

3

d.) ...,

101

99...,,

10

8,

5

3,0 e.) ...,

101

12...,,

10

5,

5

4,

2

3

f.) ...,

101

1002...,,

10

29,

5

10,

2

3

g.) ...,2...,,8,4,2 10 h.) ...,2

1...,,

8

1,

4

1,

2

110

i.) ...,1...,,1,1,1

j.) ...,1...,,1,1,1 k.) ...,0...,,1,0,1

l.) ...,10

11...,,

3

4,

2

3,2

1032

m.) Az általános tag átalakításával:

n

n

n

nn

na3

121

9

63 2

,

...,3

121...,,

27

1727,

9

143,

3

1110

10

n.)

A számtani sorozat összegképletének alkalmazásával: 2

12

1n

n

nn

an

,

...,2

11...,,2,

2

3,1

o.) ...,10...,,3

1,2,

1

1

2.

a.)

Monotonitás vizsgálat:

Nnaa

nnnnaa nnnn 11 0

12

2

1

2

2

2 szigorúan monoton csökkenő

Korlátosság vizsgálat

A sorozat szigorún monoton fogyó, ezért felülről korlátos: 11 aK

Alsó korlát keresése: 01

2

nan teljesül Nn -re, így a sorozat egy alsó korlátja pl. a 0k .

A sorozatnak létezik alsó és felső korlátja, ezért korlátos.

25

b.)

Monotonitás vizsgálat:

Nnaann

aa nnnn ,02

1

2

1

2

211 a sorozat szigorúan monoton növő

alulról korlátos: 11 ak .

Felső korlát keresése: a sorozat felülről nem korlátos, mert az Kn

an

2

1 egyenlőtlenség –

akármilyen nagy K esetén – sem teljesül minden n-re a sorozat nem korlátos.

c.) Monotonitás vizsgálat:

Nnaannnn

nnn

n

n

n

naa nnnn ,0

12

1

12

231

1

2

2

31

2

1 a

sorozat szigorúan monoton fogyó felülről korlátos: 2

3K .

Alsó korlát keresése:

Nnnn

n

n

nan ,1

1

11

1

11

1

2 1k .

A sorozat korlátos.

d.) Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.

e.) Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.

f.) Szigorúan monoton növő, nem korlátos.

g.) Szigorúan monoton növő, nem korlátos.

h.) Szigorúan monoton növő, korlátos.

i.) A sorozat konstans elemű, ezért egyidejűleg monoton növő és fogyó, korlátos.

j.) Az nn na 1cos átalakítással

párosha,2

páratlanha,21211 11

1 n

naa nnn

nn

a sorozat nem monoton.

N nan ,1 a sorozat korlátos: Kak n 11 .

k.) Nem monoton, korlátos: .1111

2Kak

na nn

26

l.) Monotonitás vizsgálat:

Nnaa

a

annn

n

nn

nn

n

n ,1155

15

155

5151

111 szigorúan monoton fogyó felülről

korlátos, 41 aK .

Alsó korlát keresése: 0,05

15

5

151

1

knan

n

n

n N korlátos.

m.) 1. n.) szerint 2

1 nan

; a sorozat megegyezik a 2. b.) feladatban szereplővel.

n.) Monotonitás vizsgálat:

páratlanha,0

párosha,0

páratlanha,1

párosha,1

1

páratlanha,1

párosha,1

1

2

2

1 n

n

nn

n

nn

nn

nn

n

nnnaa nn nem

monoton. Pozitív elemű a sorozat, ezért alulról korlátos: 0k . Felső korlátja a páros indexű elemek

miatt nem létezik, ezért a sorozat nem korlátos.

3. A határérték definícióját alkalmazva

21

21

2

1

2

11

2

311

2

n

nnn n,

ami ellentmondás, mert a 21

2

-nál nagyobb n-ek esetén a sorozat elemei kívül esnek a

2

3A -sugarú környezetén.

4. A konvergens sorozatokon végezhető műveletek felhasználásával:

a.) 01

01

1

12

lim

n

nn

, konvergens b.)

2

1

2

1lim nn

, divergens

c.) 11

1

11

2lim

n

nn

, konvergens d.) 111

1

111

lim

nn

nnn

, konvergens

27

e.) 01

1

21

lim

2

2

n

nnn

, konvergens f.)

n

nn

n 11

2

lim , divergens

g.)

n

n2lim , divergens h.) 0

2

1lim

n

n, konvergens

i.) 11lim

n

n, konvergens

j.) n

n

nna 1lim1

nem létezik, a

sorozat divergens; torlódási pontjai:

1,1 21 tt

k.) 01

1lim2

nn

n, konvergens l.) 5

5

15lim

1

n

n, konvergens

m.) 2

12

1

n

n

nn

an divergens

(lásd b.)

n.) A sorozat nem korlátos (lásd a páros indexű

elemeket) divergens; egy torlódási pontja

van: 0t .

5.

a.) 2

1154

2

31

lim1542

3lim

2

2

23

3

nn

nnnn

nnnn

b.) 0154

2

31

lim1542

3lim

2

2

23

2

nn

nnnnn

nnnn

c.)

n

nn

nn

nnnn 15

4

3

lim154

3lim

2

3

d.)

110

1

1100

102

1011

6

110

2

13

6

121

lim103

26lim

nn

n

nn

nn

n

28

e.)

e2

1

e

1

2

1

1

11

1

1

11

11

2

11

lim

1

111

12

11

lim1

112

1lim

1

2

2

2

2

2

2

nnn

n

n

n

n

nnn

n

nn

n

n

n

n

6.

a.)

0

11

2

lim

n

nn

konvergens.

A küszöbszám: *199100

1

1

2

100

10

1

2nn

nn

.

b.)

2

1lim

nn

divergens, nem létezik küszöbszám.

c.)

1

1

2lim

n

nn

konvergens.


1

1

3

100

11

1

2nn

nn

n

.

d.)

11

1lim

2

2

n

nn

konvergens.

A küszöbszám: .199100

1

1

2

100

11

1

1 *22

2

nnnn

n

e.)

0

1

2lim

2n

nn

konvergens.

A küszöbszám:

.95,10195,51502

79610100

0199100100

1

1

2

100

1

1

2

*4

2,1

222

nnn

nnn

n

n

n

f.) A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.

g.) A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.

29

h.)

0

2

1lim

n

n konvergens.

A küszöbszám: .64,6100log2100100

1

2

1 *2 nnn

n

i.)

11lim n

n konvergens.


111 nnn .

j.) n

n1lim

határérték nem létezik, a sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.

k.)

01

1lim2n

n

n konvergens.


10100100

1111 nn

nnn .

l.)

5

5

15lim

1n

n konvergens.

A küszöbszám:

*5

11

86,386,2100log1

100

1

5

1

100

15

5

15

nnn

nn

.

7.

a.) RfD b.) RfD c.) R xxxDf ,1:

d.) R xxxDf ,1: e.) 2/RfD f.) RfD

g.) 2,2/ RfD h.) 0/RfD i.) 0fD

j.) R xxxDf ,1: k.)

Z

R

k

xkπx:xD f

,, l.) ØfD

m.) RfD n.) 1/RfD o.) R xxxDf ,1:

p.) R xxxDf ,1: q.)

ZR kx

πkxkD f ,

,122 r.)

RxxxDf ,

2

52:

30

8. A megoldás során alkalmazott függvény transzformációk egymást követő függvényeinek képe

zöld, kék, lila színnel jelölt, míg a keresett függvény képe piros színű.

a.) 11112 22

22

12 yxfxyxyxxxxf

b.)

4

1

2

5

4

1

2

565 2

2

22

1

22

yxfxyxyxxxxf

c.) xfxyxxf 12

y1

y2

f(x)

31

d.)

33

21

222

1

2

1

2

122

yxfxy

xyxyxxf

e.) xf

xy

xxf

1

2

11

f.) xx

xf 24

24 átalakítással

32

g.)

22

1

2ln

ln2ln2ln1ln2

1ln

yxfxy

xyxxx

xf

h.)

33

21

22

2cos

2coscos

22cos2

yxfxy

xyxyxxf

i.) 11

12

4

122

4

14 yxfyxf xx

x

33

j.) 2

222124

2

4

1loglog1log41log

yxf

xyxyxxxf

9.

a.) kx

xx

02 0

és

101

2

21

2

220

xfKxx

xx

korlátos.

b.) kx

01

12

és

Kx

x

x

xx

xx

11

11

1

1

1

,0

2

2

2

22

2

R

10 xf

korlátos.

c.) kx 02 ; felülről nem korlátos, mert tetszőlegesen (nagy) pozitív K esetén minden

22 Kx mellett a Kx 2 egyenlőtlenség nem teljesül a függvény nem korlátos.

d.)

1111

1

1

cos

1

cos0

xfxx

x

x

xx

a függvény korlátos.

e.)

1112

1

2

13

xfxx x

a függvény korlátos.

f.) Az intervallumon 1sin0 x a logaritmusfüggvény a 1,0 intervallumon alulról

nem korlátos, felső korlátja azonban létezik: xfK 01ln .

10.

a.) Legyen 21 xx , ekkor 022121 211212 xxxxxfxf ,

ahonnan R xxfxf 12 esetén. A függvény szigorúan monoton fogyó.

34

b.) Legyen 121 xx , ekkor 0111

1

1

1

12

21

1212

xx

xx

xxxfxf .

A függvény szigorúan monoton csökkenő.

c.) Legyen 212 xx , ekkor

12

12

12

12

12

12

12121212

02222

22

22

222222

xfxfxx

xx

xx

xx

xx

xxxxxxxfxf

szigorúan monoton nő.

d.) Legyen 01 21 xx , ekkor

.nőmonotonszigorúan011

11

111111

1221

22

22

21

21

22

21

22

21

222

12212

xfxfxx

xx

xx

xxxxxxxfxf

e.) Legyen 21 xx , ekkor

21

121122

e

1

e

1eeeeee12 xx

xxxxxxxfxf

.0ee

11ee

ee

eeee 12

00

21

12

21

12

12

xfxfxx

xx

xx

xxxx

szigorúan

monoton nő.

f.) Legyen ,2 21

xx ekkor 21 sinsin xx és így 21 sinlnsinln xx , a függvény

szigorúan monoton csökken.

11. A 10. feladatbeli függvények mindegyike szigorúan monoton, ezért invertálható.

a.) 2

121 11 x

xfxfx

b.) 0,11

1

1 11

x

xxf

xfx .

c.) 0,22 211 xxxfxfx .

35

d.) .10,11 2121 xxxfxfx

e.)

2

4e01eeee

2

2,1

2 11111

xxxx xfxfxfxfxf gyökök

közül xf 1

e

pozitív volta miatt csak

2

4e

21

xxxf . Mindkét oldal logaritmusát véve

adódik, hogy R

xxx

xf2

2ln

21 .

f.) xx xfxfxfx esinsinesinln 1111 , ahol a 1sin szimbólum a

szinusz függvény

,2

intervallumbeli ágának inverzét jelöli.

12.

a.) 241 xxf és xfxfxxxf 22 4141 , a függvény páros.

b.) xfxfxxxxxf 2cos2cos , a függvény páratlan.

c.)

.páratlanfüggvénya,

01ln1ln1ln

1ln1ln

2222

22

xfxf

xxxxxxxfxf

xxxxxf

d.) ,sin

tgsin

tgsin

tg

222

xfxx

xx

x

xx

x

xxf

a függvény páratlan.

13.

a.) Periodikus, periódushossza 2.

b.) Periodikus, periódushossza π.

36

c.) Nem-periodikus.

14.

a.) 2

1

4

2

2lim

2

x

xx

b.) 11

21

1lim

2lim

xx

xxx

c.) 11

21

1lim

2lim

xx

xxx

d.) 2

lim2 x

xx

nem létezik, mert a jobb és bal oldali

határértékek különböznek:

2

lim2

lim0202 x

x

x

xxx

e.) 4

1

2

1lim

4

2lim

222

xx

xxx

f.) 2

1lim

4

2lim

222

xx

xxx

nem létezik, lásd d.)-t

g.) 04

1

21

lim4

2lim

2

2

2

x

xxx

xxx

h.) 02

2lim

4

44lim

22

2

2

x

x

x

xxxx

i.) 4

3

3

2lim

31

21lim

32

2lim

112

2

1

x

x

xx

xx

xx

xxxxx

j.) 132

2lim

2

2

xx

xxx

k.) 032

2lim

3

2

xx

xxx

l.)

32

2lim

2

3

xx

xxx

37

m.)

40

1

125

1lim

1255

14lim

12

12

25

12lim

25

12lim

5

52525

xx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

n.) 2

1

1

1lim

11

1lim

1

21lim

1

2

1

1lim

112121

xxx

x

x

x

xx xxxx

o.)

2

5

15

1

5lim

5

5lim

5

55lim5lim

2

2

222

xxxx

x

xxx

xxxxxxxxx

xx

xx

p.) 3

2

3

2

2

2sinlim

3

2sinlim

00

x

x

x

xxx

q.) 2

2sin

22lim

2sin2

limcos1

lim

2

02

2

0

2

0

x

x

xx

x

xxxx

r.) 1coslim

cos

sinsin

limtg

sinlim

000

x

x

xx

x

xxxx

s.) 0sin

lim x

xx

t.) xx

coslim

nem létezik

u.) 2

3cos

2

sin3

limcos2

sin3lim

x

xx

x

xx

xxxx

v.) x

xx cos2

sin3lim

nem létezik.

15.

xx

x

xx

x

xx

1lim

1

00

1lim

1

00

0000 22lim,022lim a függvénynek nem létezik határértéke

az 00 x helyen.

38

16.

a.) Azt kell megvizsgálni, hogy a függvény az origóban, illetve a és a helyen a két

paraméter alkalmas megválasztásával folytonossá tehető-e.

,02

1

2

1lim

sinlim

2

sinlim

20020af

xx

x

xx

xxxx

azaz az origóban folytonossá tehető

a függvény. Mivel 02

sinlim

20

xx

xx

és 02

sinlim

20

xx

xx

, azaz a két határérték

megegyezik, ezért 0b választással xf -nek nemcsak határértéke létezik a és a

helyen, hanem folytonos is e két helyen.

b.)

2

2

02

2

023

23

0

1lim

1

11lim

1lim

x

x

xx

xxx

xx

xxxxxx

a függvénynek az

origóban végtelen a határértéke, ezért itt nem tehető folytonossá.

41

lim1

11lim

1lim

2

2

12

2

123

23

1 x

x

xx

xxx

xx

xxxxxx

4d választással a

függvény a 0, és a ,0 intervallumon folytonos.

17.

a.)

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xxxf

1 ha,1

1 ha,3

12- ha,5

2 ha,1

1 ha,32

1 ha,3

12- ha,32

2 ha,32

1sgn32

39

b.)

0 ha,1

0 ha,2

1

sgn1

1

x

xx

xf (pozitív x értékekre a függvény nem értelmezett).

c.)

x

x

xx

x

xxf

0 ha1

0 ha,1

2sgn (az origóban a függvény határértéke zérus).

d.) 1,1,arccoscos xxxxf

40

e.)

0ha,1

0ha,0

0ha,1

sgn12

2

2

xx

x

xx

xxxf

f.)

0ha1

0ha,1

sgn

12

22

xx

xx

x

xxf , az 0x helyen nem értelmezett, egyébként

megegyezik az e.) feladat görbéjével.

g.) Racionális egészfüggvény:

22 ,szeres1,1

szeres1,1:kzérushelye111 xy

x

xxxxxf A

41

h.) 3

322

,szeres1,1

szeres2,1:kzérushelye

...1111

xyx

x

xxxxxxf

A

i.) 77232 ,

szeres2,2

szeres2,0

szoros3,1

:kzérushelye...21 xy

x

x

x

xxxxxf A

j.) 77232 ,szeres2,0

szoros3,1:kzérushelye...11 xy

x

xxxxxxf A

42

k.) Racionális valódi törtfüggvény:

0;szeres1,1:pólushelyenincs;zérushelye1

1

Ayx

xxf

l.)

0;szeres2,1:pólushelyenincs;zérushelye1

12

Ayxx

xf

m.) 0;páratlan,1

páratlan,1:ipólushelyenincs;zérushelye

11

1

1

12

Ayx

x

xxxxf

43

n.)

0;páros,1

páros,0:ipólushelye;

páratlan,2

páros,1:zérushelye

1

2122

2

Ayx

x

xx

xxxf

o.)

0;páratlan,1

páros,0:pólushelye;páros,2:zérushelye

1

2122

2

Ayx

x

xx

xxxf

p.)

xy

xx

xx

x

xx

x

xxxf

A

);(!páratlan,0:pólushelyenincs;:zérushelye1

22

2

2

3

44

q.)

0;

9

4

1

2lim

12

4lim;2:hézagpont

;páros,1:pólushelye;páratlan,2:zérushelye12

4

222

2

2

2

2

Axx

yx

x

xx

xx

xxx

xxf

r.)

0;01

lim1

lim;0:hézagpont

nincs;:pólushelye;nincs:zérushelye1

2022

3

0

22

3

Axx

yx

x

xx

xx

xx

xxf

18.

a.) xfxyxyxxf )arcsin(arcsin2arcsin 21

45

b.)

33

21

1

2

12arccos

2

1arccosarccos

2

12arccos

1

yxfxy

xyxyxxf

c.) 32321 1arctgarctg1arctg yxfyyxyxyxxf

d.) 1,1arccoscos xxxxf

46

e.)

,0,,2

,2coscoscosarccos y

Zllx

Zkkxyxyxyxf

f.)

1,1,1arccoscos1arccossin 22

,0arccos1,1

xxxxxf

xx

g.) Rxxxxf ,arctgtg

47

h.) ZR

ZR

llxylxy

xykkxxyxf

,/,,0,

ctgctg,/ctgarcctg

19.

a.)

16

7153

4

7

4

1

4

3

4

15

4

7cos1sin,

4

3cos

20

4

15cos1sin,

4

1cos

20

sincoscossinsin4

3arccos

4

1arccossin

2

2

b.)

54

1521

5

2

4

15

5

1

4

1

5

2

tg1

tgsin,

5

1

tg1

1cos

20

4

15cos1sin,

4

1cos

20

sinsincoscos2arctg4

1arccoscos

22

2

48

c.)

543

534

3

541

53

4

5cos1

1tg

20

3

4

sin1

sintg

20

tgtg1

tgtg

5

2arccos

5

4arcsintg

2

2

20.

a.) 2

arccosarcsin

xx , átrendezve az egyenletet: sin/arccos2

arcsin xx

xxxx arccossin2

cosarccoscos2

sin

az állítás igaz.

b.)

.igaz5

4

5

1

5

2

5

2

5

1

5

1

1

1sin,

5

2

1cos

20

5

1

5

41cos1sin,

5

2cos

20

sincoscossin5

4sin/2arcctg

5

2arccos

5

4arcsin

22

2

?

ctgctg

ctg

21.

a.) 3321 1,2ch,2ch,ch2ch1 yxfxyxyxyxxf

49

b.) 32321 2,2,2cth,cth2cth22 yxfyyxyxyxxf

c.) 1sh2 xxf

d.) 11

2

ee2lnsh2 2

lnln

0

x

xxxxxxxf

xx

x

50

e.) 1,arch1 xxxf

f.) 1arsh2 xxf

g.) R xxxxf ,11arshsh

h.) R xxxxf ,charch

51

22. Az alábbi feladatokban a differenciálás technikájának elsajátítása a fő cél. A differenciálandó

függvények és deriváltjuk értelmezési tartományát csak az elfajuló esetekben tüntetjük fel.

a.) 322 49 xxaxf

b.) 32

411

xxxf

c.) 849223423 22 xxxxxxxf

d.) xx

xxxxfxxxf2

1

3

4

2

2

3

42 32

3

3

1

2

1

3

4

e.) 32232

12

12

xxxxf

f.) 2

126242

12524 11521

2

115

xxxxxxxxxxf

g.)

2

12

1

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

11

2

11

2

1xxxxxxxfxxxxf

h.) 12

17

12

523

1

4

1

4 32 12

51

xxfxxxx

xf

i.) 3

4

3

2

3

1

3

1

3

1

3

23

2

33

1131

3

231

3

1

xxxxxfxxx

xxf

j.) 2

22

2

41

2sincos2cos2

21

1sincos2cos

xxxxx

xxxxxxf

k.) 2

1

2cos

1sinsin

2tg2coscossin2

2

222 x

xxx

xxxxxf

l.) 2

1

22

122

2

1

cos

1tg

2

12sincos2

x

xxxxxxf

m.) x

x

x

xxf

2cos

ctg2

sin

2tg22

52

n.) 2

2

1

2cos1

2sin22cos12cos12sin2

2cos1

2cos1

2

1

x

xxxx

x

xxf

o.)

2121

112arctg

2

xxxxf

p.)

22

222

1

21

arccos11

1

1

x

xx

xxxxf

q.) A függvény csak az 1x és az 1x helyen értelmezett, tehát sehol sem differenciálható.

r.) xxx

xf cossin2

1

1

12

1

2

s.) aaxf x ln

t.)

xx

xxxf

2ln

11ln

23.

a.) 22

122ln2ln22 22

xxxf xx vagy

x

xxfxxf xxx 142ln4ln42lnln4

b.) x

xxxxf xx 1lnsinelncose2

22

c.) xxxxxf

33 log3ln2ln

1

3ln

1

2lnlog

1

d.)

x

x

xx

xxfxxxxf

cos

sin1

1

2

2

1coslnln1ln

2

12

2

e.) 1ln1lnee lnln xxxxfxf xxxxx

f.)

x

xxxxfxf xxxx

sin

cossinlnee sinlnsinln

53

g.) 1ch2 2 xxxf

h.)

22

11

ch

12sh2ch4

xx

xxxf

i.) x

x

x

xxxx

x

xxxxxxf

2ch

2sh3

2ch

2sh2ch32ch2sh

2ch

2sh2ch12chshch2222

2

Vagy, a függvény átalakításával:

x

x

x

xxfx

x

xxf

2ch

2sh3

2ch

2sh2

2

312ch3

2

1

2ch

2ch3

2

122

1

j.) xx

xx

xxxxxf

222

1

shcth2cth

sh

1cth

2

1cth

k.) 424

2

2

2

1

212

11

1

xxx

x

x

xxx

x

xxf

l.) 1

1

1

arch

1

1arch21

2

12

2

22

2

2

12

x

x

x

xx

x

xxxxxf

m.) Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.

n.) Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.

24. Mindkét oldalt differenciáljuk x szerint, majd a kapott egyenletet y -re feloldjuk

a.) 2

102212

y

xyyyx

b.) yxxy

yyyyxyyyxyyy

sin21

cossincos2

22

c.) 2ln21

13ln312ln23ln3

y

xyx yyy

54

d.)

22

22

222222222

22

1

1

yxyx

yxxyy

yx

yyx

yx

yyx

yx

yyx

x

yyx

x

y

25.

a.) 0\RfD ,

0ha,

1

0ha,1

0ha,1

0ha,1

0ha,ln

0ha,ln

xx

xx

xx

xxxf

xx

xxxf

b.)

1ha,e2e2

1ha,022 3 xxx

xxf xx

c.)

0ha,1

30ha,1

63ha,1

6ha,1

0ha,1

30ha,1

63ha,5

6ha,7

x

x

x

x

xf

xx

xx

xx

xx

xf

d.) xxx

xxxf

xx

xxxf 2

0ha,2

0ha,2

0ha,

0ha,2

2

26.

a.) 32

2,

1,

1

xxf

xxf

xxf

b.) 2221

2,

1

1

x

xxf

xxf

c.) xxfxxfxxfxxf 4cos4,...,4sin4,4cos4,4sin4 6632

d.) 0442333043 2222223 yyyyyyyxyyyyyyyxyy

yxy

yyyxyyy

43

6642

222

55

27.

a.) A keresett érintő meredeksége: 242110

x

xfm

Az érintési pont koordinátái: 3,10P

Az érintő egyenlete: 5212300 xyxyxxmxfy

b.) Az origón akkor halad át az érintő egyenes, ha az 00 xfmxmxy egyenletben

000 xfmx teljesül, azaz

6

6606442

02

01200

2000

x

xxxxxx .

Két ilyen pontja van a függvény görbéjének: 6412,601 P és 6412,602 P .

c.) Az érintő meredekségére vonatkozó előírás figyelembe vételével:

2

542145tg 00

0 xxm , és így az érintő egyenlete:

.4

1

2

5610

4

25

xyxy

28.

rendbennegyed010cos

rendbennegyedlegalább000sin

rendbenharmadlegalább111cos

rendbenmásodlegalább00sin

rendbenelsőlegalább112

1cos

rendbenad0legalább006

sin

05

0555

04

0444

00

00

00

2

00

3

pontosan

xgxfxgxxf

xgxfxgxxf

xgxfxgxxf

xgxfxxgxxf

xgxfx

xgxxf

xgxfx

xxgxxf

29. A függvény görbéje az x-tengelyt az 10ln 0 xxxf pontban metszi, ahol a

függvény meredeksége .4

1arctgahonnan,tg11

10

0

xxxf

30. Keressük azt az 00 x értéket, mely mellett a két függvény görbéje legalább első rendben

érintkezik, azaz 00 xgxf és 00 xgxf egyidejűleg teljesül. Az adódó

egyenletrendszer és megoldása:

56

ax

xax

axxxax

2

112

e2

1eln

2

1ln

00

0

00020

.

31. A függvény értékei az intervallum végpontjaiban megegyeznek: 666 ff . A

függvény két folytonos ágból áll, ezért a folytonosságot a 6,6 intervallumon csak az

20 x helyen kell külön vizsgálnunk:

22lim266limlim,lim222

2

020202

fxfxxxfxff

xxxx, tehát

folytonos az 20 x helyen is.

Hasonlóképpen a differenciálhatóságot a 6,6 intervallumon is csak az 20 x helyen kell

külön vizsgálnunk:

262limlim

11limlim

0202

0202

xxf

xf

xx

xx a két határérték nem egyezik meg, ezért a tétel

differenciálhatóságra vonatkozó feltétele nem teljesül. A Rolle-tétel nem alkalmazható.

32. A függvény a 3,2 zárt intervallumon folytonos, a 3,2 nyílt intervallumon

differenciálható, tehát teljesülnek a Lagrange-féle középértéktétel feltételei, így

létezik/léteznek olyan hely/helyek, ahol

4355

25

23

23 2fff , ahonnan

3

1921

és

3

1922

.

33.

a.)

54320

!

2424

66

22

11

11

0ln

54325

00

05

04

55

04

44

03

02

0

0

xxxxxxx

n

xfxT

xfx

xf

xfx

xf

xfx

xf

xfx

xf

xfx

xf

xfxxf

n

nn

57

b.)

2

22

00

02

04

2

02

0

!2

20

!

21

shch1121chsh1ch

11

shch1

01

sh

xxx

xxxn

xfxT

xfx

xxxxxxxxxxf

xfx

xxxxf

xfx

xxf

n

nn

c.)

23

03

02

0

0

1

0e8e8e4

2e4e2

0e2

1e

222

22

2

2

xxT

xfxxxxf

xfxxf

xfxxf

xfxf

xxx

xx

x

x

d.) A függvényt átírjuk egyszerűbb alakba: xxf 2sin2

1

33

0

0

0

0

!3

4

42cos4

02sin2

12cos

02sin2

1

xxxT

xfxxf

xfxxf

xfxxf

xfxxf

34.

a.) 02

0

2

sinsincos2lim

0

0

2

coscos

1

lim0

0sintglim

3

0'

2

0'20

xxx

x

xx

x

xxxLBxLBx

b.) 2

1

2cos2

elim

0

0

2sin

1elim

0'0

xx

x

xLB

x

x

c.)

11

ln1

1lim

0

0

1

lnarctglim

21'1

xxx

xxLBx

d.) 3

1

3

3

3sin3

cos2lim

0

0

02

121

3cos

sin21lim

6'

6

x

x

x

x

xLBx

58

e.)

2sin

2cos21

2cos2

21lim

2

0

0

2cos212

lim21

22

cos

1

limln

2tg

lim

201'

2

2

01

2

2

01'201

xxx

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

x

xLB

xxLBx

f.)

xx

xx

xxx

x

x

x

xLBxx

x

arcsin12lim

1arcsin1

1

2lim

0

0

ln

arcsin2

ln

limarcsin2

loglim

201

2

01'0101

g.) 1elim1

e1

lim0

01

1elim01elim

1

2

1

2

'

11

x

x

x

xLB

x

x

x

x

x

x

x

x

h.)

02

0

2cos22sin4sin2

2cos22sin4cos22cos2lim

0

0

2sinsin2

2sincos22sinlim

cossin2sin2

sincos2cos2cossin2lim

0

0

sin

cossinlimctg

1lim

22

22

00'

22

22

00

22

22

00'

22

222

00

2200

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxx

xx

xxxx

x

xLB

x

xLB

xx

i.)

xxxx

x

xx

xx

xx

xxxxxx

xLBxx

xx

532

5

232

23

lim5323

3lim

5323

5323lim

5323

53235323lim5323lim

'

0

j.)

1ee0

1

cossin2lim

0

0sinlim

sin

1

1

lim

ctg

lnlim0tglnlimeelim0lim

0tglnlim

00'

2

00

2

00'

0000

tglnlimtgln

00

0gt

00

00

00

xx

xLBxxLB

xx

xxxx

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxxx

59

k.) 1ee01

1

limln

limeelimlim 0ln

lim

'

lnlim

ln0

x

x

xLBx

x

x

x

x

x

x

x

xx xx

xx

l.)

1ee01arctg2

2lim

0

0

arctg1lim

1arctg1

1

lim1

arctg2

ln

lim

0arctg2

lnlimeelim0arctg2

lim

0arctg

2ln

0lim

00'

2

2

00

2

2

00'00

00

arctg2

ln0

limarctg2

ln

00

0

00

0

0

xx

xLB

xxLBx

x

xxxx

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

xxx

35.

a.) f racionális egészfüggvény:

Értelmezési tartománya RfD

Zérushelyei:

egyszeres,3

egyszeres,3

egyszeres,0

03

3

2

12

x

x

x

xx

Párosság-páratlanság vizsgálat: xfxxxxxf 33 33 páratlan

Nem periodikus

Határértékek:

32

33 3lim,3

1lim3lim xxx

xxxxxx

Szélsőérték vizsgálat:

Szükséges feltétel:

1

1033

5

42

x

xxxf

Elégséges feltétel:

2,1maximum,lokális061

2,1minimum,lokális061

max

min

Pf

Pf

Monoton szakaszok:

fogy.maxnő.minfogy

00

,111,111,

f

f

x

Inflexiós pontok keresése:

Szükséges feltétel: 006 6 xxxf

60

Elégséges feltétel: 0,0pontja,inflexiósvan066 iPxf

Konvex-konkáv szakaszok:

.inf

0

,000,

f

f

x

Értékkészlet: RfR

b.) Értelmezési tartomány: R xxxD f ,0

Zérushelyek:

3

003

2

1

x

xxx

Sem páros, sem páratlan nem lehet, mert értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra

Nem periodikus

Határérték:

xxx

3lim


Szükséges feltétel: 101

2

31

2

3

2

33

x

x

x

xxxf

Elégséges feltétel: 2,1,minimum lokális02

3

2

1

2

1

2

3min3

3

P

xxxxf

x

61

Monoton szakaszok:

nő.minfogy

0

,111,0

f

f

x

Inflexiós pont:


fDxx

xxf 0

1

4

3n nem teljesül, nincs inflexiós pont


f

f

x

,0

Értékkészlet: R yyyR f ,2

c.) f racionális valódi törtfüggvény

RfD

Zérushely: 01 x (egyszeres); pólushelye, hézagpontja nincs

xfx

x

x

xxf

22 11 páratlan a függvény

Nem periodikus

Határérték:

0lim,0lim xfxf

xx



1

10

1

1

1

21

3

2

22

2

22

22

x

x

x

x

x

xxxf


62

2

1,1maximum, lokális0

2

12

1,1minimum, lokális0

2

1

1

32

1

4422

1

11412

max3

min2

32

2

32

33

42

2222

Pxf

Pxf

x

xx

x

xxxx

x

xxxxxxf

Monoton szakaszok:

fogymaxnőminfogy

00

,111,111,

f

f

x

Inflexiós pontok:


3

3

0

01

32

6

5

4

32

2

x

x

x

x

xxxf


4

3,30

4

48

4

3,30

4

48

0,006

1

3616

1

136166

346

245

14

42

224

62

2222322

i

i

i

Pxf

Pxf

Pxf

x

xxx

x

xxxxxxf


.inf.inf.inf

000

,333,000,333,

f

f

x

63

RyyyR f ,

2

1

2

1

d.) Racionális valódi törtfüggvény.

1,1- \RfD

Zérushelye nincs; pólushelyek:

rendűpáratlan 1

rendűpáratlan 1

2

1

x

x; hézagpontja nincs

xfxf , páros a függvény

Nem periodikus

Határérték:

0limlim xfxf

xx



001

2322

x

x

xxf


1,0021

26

1

1812max32

2

42

2222

3

3

P

x

x

x

xxxxf

x

x

Monoton szakaszok:

fogyfogymaxnőnő

0

,11,000,11,

f

f

x

64

Inflexiós pontok:


0

1

2632

2

x

xxf nincs inflexiós pont


f

f

x

,11,11,

0\RfR

e.) RfD

Zérushelye nincs

xfxf páros a függvény

Határértékek:

0

e

1lim

e

1lim 22 xxxx


Szükséges feltétel: 00e2 1

2

xxxf x

Elégséges feltétel: 1,002e4e2 max2

1

22

1Pxxf

x

xx

x

Monoton szakaszok:

fogy.maxnő

0

,000,

f

f

x

65

Inflexiós pontok:


2

12

1

0122

3

222

x

xxexf x


e

1,

2

10

e

1,

2

10

32e4424e2

13

12

33 22

i

i

xx

Pxf

Pxf

xxxxxxf


.inf.inf

00

,2

1

2

1

2

1,

2

1

2

1

2

1,

f

f

x

RfR

f.) RfD

Zérushely: 10ln 1 xxx

Nem páros, nem páratlan

Nem periodikus

Határértékek:

66

xx

x

x

x

x

xxx

x

xxLBxx

lnlim

0lim1

1

lim1

lnlim0lnlim

00

2

00'0000


Szükséges feltétel: e

101ln 2 xxxf


e

1,

e

10e

1min

2

2P

xxf

xx

Monoton szakaszok:

nőminfogy

0

,e

1

e

1

e

1,0

f

f

x

Inflexiós pontok:


xxf nincs inflexiós pontja

Konvex-konkáv szakaszok: miatt0 RfDxf mindenütt konvex

Ryy

eyR f ,

1

g.) 0\RfD

Zérushely:

1

10ln

2

12

x

xx

Párosság, páratlanság: xfxxxf 22 lnln páros a függvény

67

Nem periodikus

Határértékek:

222

0lnlimlnlim,lnlim xxx

xxx



xxf nincs lokális szélsőértéke

Monoton szakaszok:

nőfogy

,00,

f

f

x

Inflexiós pontok:


2xxf nincs inflexiós pontja

Konvex-konkáv szakaszok: 0xf mindenütt konkáv

RfR

h.) RfD

Zérushely: 10ln

1 xx

x

Nem páros, nem páratlan

Nem periodikus

Határértékek:

01

1

limln

lim,ln

lim00

xx

x

x

xxLBxx


68

Szükséges feltétel: e0ln1

22

x

x

xxf


e

1,e0

e

1ln12max34

2

2P

x

xxxxf

xx

Monoton szakaszok:

fogymaxnő

0

,eee,0

f

f

x

Inflexiós pontok:


3

34e0ln230

ln23

xx

x

xxxf


2

32

3

66

22

e2

3,e0

e

23ln232

3

3i

xx

Px

xxxxf


.inf

0

,eee,0 2

3

2

3

2

3

f

f

x

RyyyR f ,

e

1

69

i.) RfD

Zérushelyek: Z

kkxxx k ,4

3cossin

Párosság-páratlanság:

xf

xfxxxf cossin nem páros, nem páratlan

Periodikus: periódushossza 2

Határértékek: xxx

cossinlim

nem létezik

Szélsőérték vizsgálat: (a periodicitás miatt elegendő a 2,0 intervallumon vizsgálni)


4

540sincos

2

1

x

xxxxf


2,

4

502

2,4

02cossin

min2

max1

Pxf

Pxfxxxf

Monoton szakaszok: (a periodicitás miatt elegendő a 2,0 intervallumon vizsgálni)

nőminfogymaxnő

00

2,4

5

4

5

4

5,

444,0

f

f

x

Inflexiós pontok: (szintén a 2,0 intervallumon)


4

74

3

0cossin

4

3

x

xxxxf


0,4

702

0,4

302

sincos

24

13

i

i

Pxf

Pxfxxxf

70


.inf.inf

00

2,4

7

4

7

4

7,

4

3

4

3

4

3,0

f

f

x

R yyyR f ,22

j.) RfD

Zérushely: 00e 1 xx x

Párosság-páratlanság:

xf

xfxxf xe nem páros, nem páratlan

Nem periodikus

Határértékek:

0e

1lim

elim0elim,elim

xxLBxx

x

x

x

x

xxx


Szükséges feltétel: 101eee 2 xxxxf xxx


e

1,10

e

12e max2

2

Pxxfx

x

Monoton szakaszok:

fogymaxnő

0

,111,

f

f

x

71

Inflexiós pontok:

Szükséges feltétel: 202e 3 xxxf x


22 e

2,20

e

13e

33ix

x

xPxxf


.inf

0

,222,

f

f

x

Ry

eyyR f ,

1

36. Keressük az x

xxf1

függvény minimumát az 0x feltétel mellett. Szélsőérték ott

lehet, ahol az első derivált eltűnik: 1101

1 22

xxx

xf a feltétel

figyelembe vételével. Az elégséges feltétel is teljesül, mert 022

11

3

xxf , tehát

valóban minimumhelye van a függvénynek az 1x helyen.

37. Keressük az mrrrF 22 2 függvény minimumát adott mrV 2 térfogat ( 0r )

mellett. A feltétel figyelembe vételével: .2222 22

2

r

Vr

r

VrrrF

Szélsőérték ott

lehet, ahol 302 2

02

4

V

rr

Vr

dr

dF. Az elégséges feltétel is teljesül, mert

72

012844

400

32

2

rrrrr

V

dr

Fda függvénynek lokális minimuma van az 0r

helyen. A henger magassága: 32

00

4

V

r

Vm .

38.

.042sin4

és,4

02cos2

2sinsincos2

222

2

02

22

0

0

rrd

Td

rd

dT

rrabT

A T függvénynek 40

mellett lokális maximuma van, így

a keresett téglalap területe: 2max rT .

39.

a.) CxxxxCxxxdx

xxxdx

xxx

ln2

3

2ln2

3

2111 2

1

2

3

2

1

2

1

,

(a második tag miatt az integrandusz csak pozitív x értékekre értelmezett).

b.) Cxdxxdxxx 2

3

2

13

3

2

c.)

Cxxdxx

dxx

xdx

x

x

arctg21

21

1

21

1

122

2

2

2

d.) CCdxdxdx

xxxxxxxx

4ln1

e2

e4lne

e4e4

e

1e4

e

1e2

1212

e.) Cxxdxx

dxx

xdx

x

xdxx

tg1

cos

1

cos

cos1

cos

sintg

22

2

2

22

f.) Cxdxdxx

xdx

xx

x44

2sin4

12sin

cossin

2sin

2

2

22

2

g.) Cxxdx

xxdx

xx

xxdx

xx

xx

arctgln1

11

1

1

1

122

2

2

2

h.) Cxxdxxxdxxxdxx

xx

6

5

2

3

6

1

2

1

2

1

3

1

2

13

5

6

3

2

r

ra

b

0 φ

73

i.)

Cxdxdxxx22

arccosarcsin (lásd a 20. a.) feladatot)

j.) Cxdxx

dxx

x xxx

x

lnee

11e

e

1

e

e1

40.

a.) Cxxdxxx

xdx

xx

x

f

f

24ln2

1

24

42

2

1

24

2 2

~

22

b.) CxxCxxdxxxxdxxx

x

ff

1532153215356

153

56 22

12

~

2

12

2

2

1

c.) Cxdxx

xxdx

f

f

sinlnsin

cosctg

~

d.)

Cxdxxxdxx

x

ésff

2cos4

12cos2sin

2cos

2sin 2

***~

33

3

e.) Cx

dxxx

dxx

x

ff

2

lnln

1ln 2

~

f.)

Cxdxx

xdx

xx

f

f

lnlnln

1

ln

1

~

g.)

C

xdxx

2

23sin23cos

***

h.)

Cxdxx

dxxx

1arctg

11

1

22

1

***

22

i.) Cxdxxx

ff

5

63

~

5 32 3236

532

5

1

j.) Cdxdx x

ff

xxxx

2

3

~

2

11 e1

e3

2e1e

e

1e1e

2

1

74

k.) Cxdxxx

ff

2

3

~

sin329

2sin32cos

2

1

l.)

Cxdxxxdxx

xx

ésff

2

1

***~

2

1

2cos234

12cos232sin

2

1

2cos23

cossin

2

1

m.) Cx

dxx

dxx

dxx 2sin22

2cos2

2cos2cos1 2 (feltéve, hogy az integrációs

intervallumon 02

cos x

)

n.) Az integrandusz függvény csak az Z kkx , diszkrét helyeken értelmezett, nem létezik

primitív függvénye.

41.

a.) Cxdxxv

udxx xxxx

xv

x

u

11111

1 e2e32e2e32e

2e32

b.) Cxx

dxxxv

udxxx

v

xudxx

xxx

xxxx

v

x

u

xx

v

x

u

e2e2e

e2e2ee

2e2e

e

2e

2

222

c.)

Cxxxxxxdxxxxx

xv

udxxxxx

xv

xudxxx

vuvu

cos2sin2cossin2sin2cos

sin

2cos2cos

cos

2sin

22

22

d.) Cxxxdxx

xxx

xvx

udxxuv

22

2 1ln2

1arctg

1arctg1

1arctg1

e.)

Cxxxx

dxx

xx

dxx

xx

xx

v

xu

dxxxuv

arctg2

1

2

1arctg

2

1

11

2

1arctg

21

11

2

1arctg

22

1

1

arctg

2

2

2

2

22

2

2

f.)

Cxxxxx

dxxxxxxv

xudxxxx

xvx

xudxx

uvuv

2ln2ln

2ln2ln2

1ln2ln

ln2ln1

2

222

75

g.)

CxxxxCttxx

dtt

xxdtt

txxtdt

t

txx

tdtdx

txdx

x

xxx

xvxx

udxx

xt

uv

arctgarctgarctgarctg

1

11arctg

1

11arctg2

12

1arctg

212

1arctg12

1arctg1

22

2

2

2

h.) Cx

dxxx

v

xudxxx xxxx

x

v

x

u

2222

22

e2

1e

2ee

2e2

12

e22

2

i.) Cxxxdxxxxxxv

xu

dxxuv

22

122 1arcsin1arcsin1

1arcsin1

j.) Cxxxdxxx

xvx

udxx

x

x

u

v

arcsin1arcsin1

11

1

arcsin1

22

2

2

2

k.)

Cxx

xdx

Cxdxxx

xv

udxxx

xv

udxx

xx

xxx

x

vu

xxx

vu

x

2

cossinesine

:átrendezve egyenletet Az.sinesinecose

sin

ecosecose

cos

esine

*

l.) Cxx

xdx

xx

x

xv

udxxxx

vu

ctg2

1

sin2sin

1

2

1

sin2sin2

11

sincos222

2

3

42.

a.)

Cxx

Cttdtttdttttdttdx

txdxxx

3

4

3

7

473623

2

33

14

31

7

3

4

3

7

3331

3

11

b.)

1ln1ha,ln1arth2ln12

arth221

112

1

1122

12

ln1

ln

ln122

2

2

2

xCxx

Cttdtt

dtt

ttdt

t

ttdt

x

dxtx

dxxx

x

76

c.)

Cxxx

Cttttdttttv

udttt

tdtdx

txdxx

vu

sin2cos2

sin2cos2cos2cos2cos

2sin2

2sin

2

d.)

Cxx

Cttdtt

dtt

t

dtxdx

txdx

x

xx

sinarctgsin

arctg1

11

1cos

sin

sin1

cossin22

2

2

2

e.)

Cx

Ct

dtttdtxdx

txdxxx

3

4

322

44

2

323

222

2

f.)

)ésévelfeltételez0cosmonintervallu sintegráció Az(

442

arcsin2cossin22

2sin2

2cos12cos4cos2sin14cos2

sin24

2

222

t

Cxxx

CtttCt

t

dtttdttdtttdtdx

txdxx

g.) CxCtdttv

udtt

tdtdx

txdx xtttt

tv

t

u

x

1e2e2e2e2e2e

2e2

2e

2

h.) Cx

Ct

dtt

tdtdx

x

txdx

xx

xxdx

xx

x

2

tgln

2

lnln

cos

1tg

cossin

lntgcos

cossin

lntg 22

22

43. Az integrandusz függvényt – ahol szükséges – először résztörtekre bontjuk:

a.) 1

1

0

21112

121121

B

A

BA

BAxBxAx

x

B

x

A

xx

x

Cxxdxxx

dxxx

x

12ln2

11ln

12

1

1

1

121

b.) 2

12

1

1

0111

1111

1

1

12

B

A

BA

BAxBxA

x

B

x

A

xxx

Cxxdxxxx

dx

1ln1ln2

1

1

1

1

1

2

1

1 2

77

c.)

2

10

02

7

3:

21:

23:

0:

111133

11111

33

0

2

3

2222

2222

2

D

C

B

A

DBAx

DCBx

DCBAx

CBx

xDCxxxBxAxx

x

DCx

x

B

x

A

xx

xx

Cxx

dxxx

dxxx

xx

arctg2

1

1

1

2

7

1

1

2

1

1

1

2

7

11

332222

2

d.)

Cx

xxC

x

xx

dxxxx

dx

xxx

dxxxx

E

D

C

B

A

Ax

BAx

CBAx

ECBx

DCx

ExDxxxCxxxBxxxA

xx

EDx

x

C

x

B

x

A

xxx

3

12arctg

3

21

2

1

3

12arctg

2

3

3

41

2

1

13

12

1

3

41

2

1

43

21

111

1

1

1

0

0

1

1

1:

0:

0:

0:

0:

1111

11

1

22

2222323

0

2

3

4

342222

223

zérushelye valósnincs

23

e.) Az integrandusz függvény áltört, ezért racionális egész és tört összegére bontjuk:

1

11

12

3

xxx

x

x, és így

dx

xxxdx

x

x

1

11

12

3

Cxxxx

1ln23

23

78

f.)

Cx

xx

dxxxx

dxx

D

C

B

A

DBAx

CBAx

DBAx

CBAx

xDCxxxBxxA

x

DCx

x

B

x

A

xxxx

2arctg22ln2ln

32

1

12

1

32

1

2

1

32

1

2

1

32

1

16

18

10

32

132

1

4881:

4440:

220:

0:

442421

422422

1

16

1

24

0

2

3

222

224

g.)

2

2

3

1

1:

4:

1:

0:

1111411

14

0

2

3

322233

2

D

C

B

A

Ax

BAx

CBx

DCx

DxxCxxBxxAxxx

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Cxxxx

dxxxxx

dxxx

xx

1ln2ln23

2

1

1

2231

1

142233

2

h.)

1

0

0

1

0

1

1:

0:

0:

0:

0:

0:

11111

11

1

0

2

3

4

5

4232222

223424

F

E

D

C

B

A

Ax

Bx

CAx

DBx

FCx

EDx

xFExxDxxCxxBxxA

x

FEx

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

Cxxx

dxxxx

dxxx

arctg

1

3

1

1

111

1

1322424

i.) Cxxx

dxx

xdxx

x

arctg31

11

1

3

22

2

4

79

j.)

Cxxxdxxxx

dxxx

x

C

B

A

Ax

CBx

CBAx

xCxxBxxAx

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xx

x

12ln8

512ln

8

5ln

12

1

4

5

12

1

4

51

14

1

4

54

51

1:

0:

2241:

1212141

12121212

1

14

1

2

2

0

2

22

2

2

2

k.)

Cxx

dxxx

xdx

x

xdx

xx

x

2arctg12ln2

1

12

1

12

2

12

1

54

1

2

2222

l.) Cxxdxxx

xdx

xx

x

54ln

2

1

54

42

2

1

54

2 2

22

44.

a.)

Cxx

xdxxxxxdxxxxdxx

12

2cos

8

2cos

2cos2sin2cos2sin2cos2cos12sin2cos2sin

64

533233

b.)

Cx

xxdx

xdxxdxdxxx

xdxx

4

4sin

8

14cos1

8

1

2sin4

12cos1

4

1

2

2cos1

2

2cos1cossin 2222

c.)

Cxdxxxdx

x

x

2

1

2

1

1sin231sin231cos1sin23

1cos

d.)

Cxx

dxx

dxx

xdx

x

xdxx

12tg2

1

112cos

1

12cos

12cos1

12cos

12sin12tg

22

2

2

22

e.)

Cxx

x

dxx

xdxxxdxx

xdx

32

4sin

4

2sin

8

3

2

4cos12cos21

4

12cos2cos21

4

1

2

2cos1cos 2

24

f.) Cxx

xdxxxxxdxxxdxx

x 7

sin

5

sinsincossincossinsin1cos

sin

cos 756442

4

3

80

g.) A „szinuszos” addíciós-tétel alkalmazásával: 2

sin5sin2cos3sin

xxxx

Cxx

dxxx

dxxx2

cos

10

5cos

2

sin5sin2cos3sin

h.)

Cx

xx

dxx

xdxx

xdx

x

xdx

x

x

4

2sin

2

3tg

2

2cos12

cos

1cos2

cos

1

cos

cos1

cos

sin2

222

22

2

4

i.)

Cx

dxxdxxx

xxdx

x

x

2

2sin2cos

sincos

sincos

tg1

tg122

22

2

2

j.)

Cxx

dxxxxxdxxxxdxx

x

3

8

3

2

3

5

3

1

3

12

3

3

cos8

3cos

2

3

cossincossincoscos1sincos

sin

45.

a.)

Cxxdxx

dxx

xdx

x

xxdx cth1

sh

1

sh

sh1

sh

chcth

22

2

2

22

b.) Cx

xdxx 3

chchsh

32

c.)

Cxx

dxx

dxxdxxx

xdxx

832

4sh

12

14ch

4

112ch

4

1

2

12ch

2

12chchsh 222

d.) Cxdxx

xxdx 2shln

2

1

2sh

2ch2cth

e.) Cxdxxxdxx

x

sh12sh1chsh1

ch2

1

f.)

Cxx

dxx

xdx24

2sh

2

12chch 2

g.) CCtt

dt

dtdx

tdx x

x

x

x

x

arctgearctg

1e

e

e1

e22

81

h.)

C

Cttdtt

dtt

t

t

dt

t

t

dtdx

tdx

xx

x

x

x

x

e1lne

1ln1

11

1

11

1e

e

e1

e 22

46.

a.) CxxCttdttt

tdt

tdtdx

tx

x

dx

11ln121ln2

1

22

1

2

2

1

11

2

b.)

Cxxxxxxxxxx

Ctttttttttt

dtt

tttttttt

dtt

tdtt

tt

t

dttdx

txdx

xx

x

1ln23456789

1ln23456789

1

11

1

66

6

6633 26 56 73 43

23456789

2345678

95

23

6

5

6

3

c.) C

xC

tdtt

tdtxdx

txdxxx

3

16

322

1616

2

323

222

2

d.)

Cxxx

Cttt

tdttdttdtttdtdx

txdxx

161

44arcsin8cossin8

2cos18cos16cos4sin14cos4

sin416

2

222

e.)

Cxx

dx

xx

dx

13arcsin

3

1

13196 22

f.)

C

xx

Ctt

dttttdttttdtdx

txdxxx

5

12

3

12

5

2

3

22221

2

11

2

5

2

3

53422

2

g.) Cx

dxx

dxx

dxx2

sin222

cos22

cos2cos1 2

h.)

Cxxx

Cttt

dtt

tdtt

tt

tdtdx

txdx

x

x

1ln22

1ln2

21

112

12

21

1 222

82

47.

a.) CCdtdtdx

tdxdx

xxx tt

x

xxx

eee eeee

eeee

b.) Cxxdxxx

xxdx

xx

xx

53ln

3

1

53

63

3

1

53

2 23

23

2

23

2

c.) Cdxxdxx

xxx

4

eee

2

22 2

2ln2

d.) Cx

xdx

x

dx

2tg

2cos2cos1 2

e.) Cxdxdxxx

x

xx

4

3ln

1

4

332

4

332

2

33422

f.) C

xxC

ttdttt

tdtxdx

txdxxx

3

1

5

1

351

22

11

2

322

5235

2222

23

48.

a.) 20coscoscossin 0

0

xxdx

b.) 00cos2coscossin 20

2

0

xxdx

c.) 41111coscossinsinsin 20

2

0

2

0

xxxdxxdxdxx

d.) 11lnlneln1 e

1

e

1

xdxx

e.) 402

02

2

0

0

1

2

1

xxdxxdxxxdxxx

f.) 2

101

2

1

2ctg

4ctg

2

12ctg

2

1

2sin

18

4

8

4

2

xdxx

83

g.)

8

32ln

8

1

2

12ln

82ln2

2ln

22

1

ln2

21

21

2ln

2

1

42

1

32

1

4

4

2

1

2

1

3

2

tdt

tt

tt

v

tu

dttt

t

x

tdtdxtx

dxxxuv

h.) 2

2arctg0arctg2arctg

2

12arctg

2

1

21

1

21

11

0

1

02

1

02

xdxx

dxx

i.) 2ln1ln4ln2

11ln

2

1

1

3

0

23

02

xdxx

x

j.) 13312

121

12

121

1

0

2

34

1

0

43

xdxxx

k.) 4

1ee2lne2

4e2lne2

2ln

22

1

ln 22

e2

1

e2

1

22

e2

1

2

2

e2

1

xdx

xx

xx

v

xu

dxxxuv

l.)

22000coscos2100

2cos2250

2sin250

2sin2

2sin2cos1

2

0

2

0

100

0

100

0

2100

0

x

dxx

dxx

dxx

dxx

m.) 428

9

8222sinsgn

22222232

2

223

2

23

2

xxxdxxdxdxxx

n.)

8

3

12

4

3

62

1cossin

2

1

2

2cos1cos

cos

sin

0

0

cossin

160

6

0

6

0

2

6

21

2

1

02

2

tttdtt

tdtt

t

t

x

tdtdxtx

dxx

x

o.)

2

1

41arctg1

2

1

8arctg

2

1

8

1

11

2

1

2

1arctg

12

1

2

arctg

2

1

1

arctg

10

1

02

1

02

21

0

2

2

21

0

xx

dxx

dxx

xxxx

v

xu

dxxxuv

p.) 1223

11

3

11

1

0

2

32

1

0

2

xdxxx

84

49.

a.)

2

11

e

1lim

2

1

e2

1limelime

22

22

000RR

R

xR

Rx

R

x dxxdxx konvergens

b.)

ávalalkalmazásszabályHospitalL'Bernoullia0e

1lim

elim:*ugyanis

konvergens11e

1

elime

elim

eelime

1elime

*

0

0

0

00

RRRR

RRR

RxRR

RxRx

Rx

R

v

x

uR

x

R

RR

dxxv

udxxdxx

c.)

1lnlnlimlnlim1

lim1

1

11

Rxdxx

dxx R

R

R

R

Rdivergens

d.)

6

11

21

1lim

6

121

6

1lim

21

1lim

21

13

1

3

14

14 R

xdxx

dxx R

R

R

R

R

konvergens

e.)

konvergens4

3

24

1arctg1arctglim1arctglim11

1lim

22

1 00

2

0

2

Rxdx

xdx

xx RRRR

R

f.)

221arctg1arctglim1arctglim

11

1lim

22

1

12

22

2

1

2

1

2

1

2

12

1

RRx

dxx

dxxx

RR

RR

RR

R

RRR

konvergens, mert a határérték minden 1R és 2R esetén létezik.

85

g.)

R

x

R

xxxx dxxdxxdxxdxxdxx1

21

0

2

1

21

0

2

0

2 e1lime1e1e1e1

Előkészítésként előállítjuk az integrandusz függvény határozatlan integrálját:

Cx

dxx

v

udxx xxx

x

v

x

u

2222

2 e4

21e

2

1e

2

1e

2

11

e1 , melyet felhasználva

.konvergens4

1

e2

1

e4

1

e8

2lim

4

1

e4

1

e4

1

e4

21lim

4

1

e4

1

e4

21lime

4

12e1lime1

2222222

1

21

0

2

1

21

0

2

RRRR

Rx

R

xR

x

R

x

R

xxdxxdxx

(A határérték kiszámításánál a Bernoulli-L’Hospital szabályt alkalmaztuk.)

h.) RxxdxxdxR

R

R

R

Rsinlimsinlimcoslimcos 0

00

, a határérték nem létezik, ezért az integrál

divergens.

i.)

2

1arcsin0arcsinlimarcsinlim1

lim1 0

01

0

0

120

0

12

xx

dx

x

dxkonv.

j.)

1lnlnlim1lnlim

1lim

1 0

12

0

1

20

1

2

xx

dx

x

dxdivergens.

k.)

2ln

1

ln

1

2

1ln

1lim

ln

1limln

1lim

ln

10

2

1

0

2

1

2

0

2

1

02 x

dxxx

dxxx

konvergens.

l.)

1ln

1

lne

1lim

ln

1lim

ln

1lim

ln

10

e

10

e

120

e

12 x

dxxx

dxxx

divergens.

m.) divergens.

ln

1

1ln

1lim

ln

1lim

ln

1lim

ln

1

1200

1

00

1

2

00

1

02

2

1

2

12

1

2

12

1

x

dxxx

dxxx

n.)

konvergens4244lim244lim2

424lim242lim4

lim4

444

0

44 2

0

44 2

0

2

0

4

12

0

2

0 4 32

2

004 32

xdxx

xdx

x

x

o.)

divergens

1lnln2lnlim1lnlnlim1

11lim

1

10

1

0

1

0

1

0

xxdx

xxdx

xx

86

p.)

1

1lim1

lim1

lim1

0

1

0

1

20

1

02 x

dxx

dxx

divergens

50.

a.)

Metszéspontok: 2,215 212 xxx

3

32

34415

2

2

32

2

22

2

2

xxdxxdxxT

A két görbe által közrezárt véges tartomány kétféleképpen is

értelmezhető: egyrészt a körön belüli és a parabolán „kívüli”,

másrészt a körön és a parabolán belüli rész.

Számítsuk ki a bevonalkázott tartomány területét!

Metszéspontok:

2

002

2

4

2

1

2

22

x

xxx

xy

xyx

0

20

cos2

sin2

2

3

24

2

214

2242242

2

2

0

2

32

0

2

2

0

22

0

2

t

x

tdtdx

tx

xdxx

dxxxdxxxxT

b.)

.3

162

3

16

24

3

16cossin4

3

162cos14

3

16cos8 0

2

0

2

0

2

2

tttdttdtt

A másik tartomány területe: 3

162

3

1624

TTkör .

87

c.) Metszéspontok:

xxxy

xy442

/42

4 2

2

2

4

1

2

35

2

16255

016204

2

12,1

2

x

xx

xx

A tartományt „felülről” határoló görbeív nem írható le

egyetlen kifejezéssel, ezért az 1x függőleges egyenessel

két résztartományra bontjuk. A keresett terület e két

résztartomány területének összege:

.93

441

3

321616

3

8

3

44

3

8

242424222

4

1

2

32

1

0

2

3

4

1

1

0

4

1

1

0

xxxx

dxxxdxxdxxxdxxxT

d.)

Metszéspontok:

1

001

2

134

2

2

x

xxxxx

xy

xy

A tartomány területe:

3

1

33

21

0

32

31

0

2

xxdxxxT .

88

e.)

2sin2cos2cos2cos2

cos

2sin2

0

0

2sin

0

0

0

00

2

2

2

ttdttt

tv

udttt

t

x

tdtdxtx

dxxTvu

f.)

4

1elnln

ln2

e1

e12

ln

2e

12

e

1

2e

1

t

tdtt

t

xtdtdx

tx

dxx

xT

Másként integrálva: 4

1

4

lnln

2

1e

1

2e

1

xdx

x

xT

51.

a.) A tartományt az 50./ f.) feladatban már megrajzoltuk.

123

ln

4

ln

4

1lne

1

3e

1

2e

1

2

xdx

x

xdx

x

xV

b.) A megforgatott tartományt az 50./ d.) feladatban már megrajzoltuk. A keletkező forgástest

térfogatát úgy kapjuk, hogy az xy görbe 1,0x darabja forgatásával adódó testből

„kifaragjuk” az 2xy görbe 1,0x darabja forgatásával keletkező testet:

.632

1

0

321

0

1

0

2

xxdxxxV

89

c.) A szimmetria miatt elegendő az ellipszis első

síknegyedbe eső darabját megforgatni az x-tengely

körül:

3

4

3212

2

02

32

02

22 ab

a

xxbdx

a

xbV

aa

.

Vegyük észre, hogy Rba esetben a formula az R

sugarú gömb 3

4 3RVgömb

térfogatát adja meg.

52.

a.) Az ívdarab hossza:

1101027

8

4

91

9

4

3

2

4

91

2

31

4

0

2

32

14

0

4

0

2

xdxxdxxI .

b.)

.8

tgln2

tgln2

sinln2

cosln

2sin2

2cos

2cos2

2sin

2cos

2sin2

2cos

2sin

sin

1

sin

1

sin

cossin

sin

cos1

2

4

2

4

2

4

2

4

222

4

2

4

2

4

2

222

4

2

xxxdx

x

x

x

x

dxxx

xx

dxx

dxx

dxx

xxdx

x

xI

c.) .3111

11

1

11

12

12

2

12

2

12

2

1

2

2

2

xdxx

xdx

xdx

xx

x

x

I

53.

a.)

.3

22822216

3

2

223

12222

12

11122

3

0

2

33

0

23

0

xdxxdx

xxF

a

b

x

y

90

b.) R sugarú gömböt egy R sugarú kör valamely átmérője körüli forgatásával nyerhetünk.

Helyezzük a kör középpontját a koordináta rendszer origójába, a forgatás tengelye pedig legyen

az x-tengely. Elegendő a „felső” félkört forgatnunk: 22 xRy .

2

22

222 42212 RxRRdxdx

xR

xxRF R

R

R

R

R

R

.

és megoldÁsi ÚtmutatÓmattagn/pltarmo.pdf6 megoldások ... a példatár és megoldási útmutató...

Documents