ChaosPavel CejnarÚstav částicové a jaderné fyziky MFF UK, Praha

FJDP 2017/18

a komplexita

Maxwellovyrovnice

rot 𝑬 = −𝜕𝑩

𝜕𝑡div 𝑫 = 𝜌

rot 𝑯 =𝜕𝑫

𝜕𝑡+ 𝒋 div 𝑩 = 0

Fyzika 1. druhu: „kódování“

Henri Poincaré(1854-1912)

Fyzika 2. druhu: „dekódování“

𝒓𝑖 = −𝐺

𝑗(≠𝑖)

𝑚𝑗(𝒓𝑗 − 𝒓𝑖)

𝒓𝑗 − 𝒓𝑖3

𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3}

problém 3 těles

Redukce

???

𝐴 = 0

Fyzika 2. druhu: „dekódování“→ Emergence → Komplexita

Mandelbrotova množina

–1 +1

–i

+i

Re c

Im c

FraktályGeometrické útvary, jejichž struktura je stejně složitá

při každé volbě škály…

hodnoty c , pro něž jekomplexní posloupnost

𝒛𝒏+𝟏 = (𝒛𝒏)𝟐 + 𝒄

omezená

Mandelbrotova množina

Fraktální dimenze D

Předpoklad

pro L → 0

počet □obsahujících objekt

počet □ podél jedné strany objektu

Pokrytí objektu d-dim mřížkou o straně L

L

X

hodnoty c , pro něž jekomplexní posloupnost

𝒛𝒏+𝟏 = (𝒛𝒏)𝟐 + 𝒄

omezená

–1 +1

–i

+i

Re c

Im c

FraktályGeometrické útvary, jejichž struktura je stejně složitá

při každé volbě škály…

objem

𝐿𝑑∝

lin. rozměr

𝐿

𝐷

𝑁 ∝ 𝑋𝐿

𝐷

ln𝑁 = 𝐷 ln 𝑋𝐿 + 𝐶

ln𝑁

ln 𝑋𝐿

Pierre FrançoisVerhulst (1804–49)

parametr, jenž zásadním způsobem ovlivňuje evoluci

zdroj: Wikipediazdroj: WolframMathWorld

pro r > 4 posloupnost xn

opouští povolený interval

Logistické mapySchematický model pro vývoj populace inspirovaný Verhulstovou rovnicí

z roku 1838. 𝑥𝑛 =𝑁

𝑁max∈ [0,1]Relativní populace n. generace:

populace (n+1).generace:

𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑟𝑥𝑛(1 − 𝑥𝑛) 𝑟 ∈ [0,4]

𝑥𝑛 𝑥𝑛

𝑥𝑛+1𝑥𝑛+1 𝑟 = 3.741 𝑥0 = 0.00079

a

a

b

b

c

c d

x

n n

n

n

x

x

x

d

Základy modelu - viz např.: http://student.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/logistic.pdf

r∞=3.56995…→ perioda=∞

⁞

Feigenbaumovakonstanta

ostrovy regularity

soběpodobnéstruktury

r0=1 → atraktor ≠0

r1=3 → perioda=2

r2=3.44949…→ perioda=4

r3=3.54409...→ perioda=8

Fraktální dimenze atraktoru v bodě r∞ je D = 0.538…

Logistické mapyAtraktor: množina hodnot xn , do nichž se systém vyvíjí při n→∞ z libovolné poč. hodnoty x0

(tyto hodnoty se pro velká n budou opakovat v periodických cyklech)

𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑟𝑥𝑛(1 − 𝑥𝑛)

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝒓𝒏 − 𝒓𝒏−𝟏𝒓𝒏+𝟏 − 𝒓𝒏

= 𝟒. 𝟔𝟔𝟗𝟐𝟎𝟏𝟔𝟎𝟗𝟏𝟎𝟐𝟗𝟗…

𝑥∗

𝑟𝑟 = 3.8

𝑟 = 3.5

𝑟 = 2 𝑟 = 3.2

Klasický determinismus

Hamiltonovy rovnice

vyjadřují tok po nadploše E=const ve fázovém prostoru (pro f =2 nadplocha 3D).

𝒒 = +𝜕𝐻

𝜕𝒑 𝒑 = −

𝜕𝐻

𝜕𝒒

Pierre-Simon Laplace

(1749–1827)

Intelekt, jenž by v jistém okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohybu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, … by v jediné formuli obsáhl pohyby největších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítomňovala budoucnost stejně jako minulost …

Rovnice klasické mechaniky jsou deterministické. Znalost všech souřadnic a rychlostí (hybností) v jediném čase umožňuje určení souřadnic a rychlostí v libovolné budoucnosti či minulosti.

1814:

Hamiltonovy rovnice

vyjadřují tok po nadploše E=const ve fázovém prostoru (pro f =2 nadplocha 3D).

f=2f=1

Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f integrálů

pohybu 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑓 v „involuci“: 𝐼𝑖 , 𝐼𝑗 = 0.

Trajektorie integrabilního systému ve fázovém prostoru leží na nadplochách topologicky ekvivalentních torům

Pro f =1 jsou všechny systémy integrabilní, „tory = kružnice“

Pro f =2 integrabilita vyžaduje existenci dodatečného integrálu pohybu

(Ne)integrabilní systémyUčebnice klasické mechaniky si všímají především tzv. integrabilníchsystémů (např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale naprostá většina skutečných systémů integrabilní není!

𝒒 = +𝜕𝐻

𝜕𝒑 𝒑 = −

𝜕𝐻

𝜕𝒒

t

Hamiltonovy rovnice zachovávajíobjem buňky fázového prostoru– představují tok „nestlačitelné kapaliny“. Tvar buňky fázového prostoru se ale může stávat velmikomplikovaným => možnost chaotických řešení vykazujících exponenciální citlivost k počátečním podmínkám…

„efekt motýlího křídla“

= exponenciální vzdalování některých trajektorií

t t

(Ne)integrabilní systémyUčebnice klasické mechaniky si všímají především tzv. integrabilníchsystémů (např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém), ale naprostá většina skutečných systémů integrabilní není! Hamiltonovy rovnice

vyjadřují tok po nadploše E=const ve fázovém prostoru (pro f =2 nadplocha 3D).

𝒒 = +𝜕𝐻

𝜕𝒑 𝒑 = −

𝜕𝐻

𝜕𝒒

Edward Lorenz(1917-2008)

Edward Lorenz (přednáška 1979)

“Predictability: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?”

t

Nestabilita dynamiky

t

„efekt motýlího křídla“

= exponenciální vzdalování některých trajektorií

t t

P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 268, 319 (1983)

Henri Poincaré(1854-1912)

Pierre-Simon Laplace

(1749–1827)

Existence chaotických řešení znamená faktický pád klasického determinismu

Příklad chaotického rozptylu 3 těles:

Problém 3 těles

V roce1888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let)

prací nazvanou „O problému tří těles a rovnicích dynamiky“. Komise soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 160 stránková práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti. Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 1890 publikuje novou práci v rozsahu 270 stránek na vlastní náklady >2500 korun (také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do té doby převážně skrytou bohatost řešení dynamických rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu. Pokládajízáklady pozdějšího studia chaosu…

Henri Poincaré(1854-1912)

Problém 3 tělesV roce 1885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II. u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž (ceny: zlatá medaile a 2500 zlatých korun) s cílem nalezení obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady) dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice.

z historie

Problém 3 těles zjednodušení

© Wikipedia

Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => 2 stupně volnosti

započtení odstředivé + Coriolisovy síly

Pohyb těles 1+2

Redukovaný problémnekonečně malá 3. hmotnost & rovinný pohyb

𝑚1 > 𝑚2 > 0, 𝑚3→ 0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥, 𝑦, 0)

Problém 3 těles zjednodušení

Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => 2 stupně volnosti

započtení odstředivé + Coriolisovy síly

Redukovaný problémnekonečně malá 3. hmotnost & rovinný pohyb

𝑚1 > 𝑚2 > 0, 𝑚3→ 0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥, 𝑦, 0)

Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout:

a za předpokladu kruhového pohybu těles1+2 nabývají dynamické rovnice tvaru:

Existuje 1 integrál pohybu (Jacobiho energie):

L1

L4

m1 m2

L1, L2, L3, L4, L5 – Lagrangeovy body (nestabilní rovnováha tělesa 3)

© R.Moeckel

L5

L3 L2

Země-Měsíc:μ = 0.01215

𝑚1 = 1 − 𝜇 , 𝑥1 = −𝜇 & 𝑚2 = 𝜇 , 𝑥2 = 1 − 𝜇

𝑥 𝑦=

+2 𝑦 − 𝜕𝑥𝑈−2 𝑥 − 𝜕𝑦𝑈

𝑈 = −𝑥2 + 𝑦2

2−

1 − 𝜇

𝑥 + 𝜇 2 + 𝑦2−

𝜇

𝑥 + 𝜇 − 1 2 + 𝑦2

𝐸 = 12 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑈(𝑥, 𝑦)

𝜇 = 0.4𝑚1𝑚2

=23

Problém 3 těles vizualizacePoincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace dynamiky obec-ného systému pomocí zobrazení opakovaných průchodů trajektorií řezem fázového prostoru („stroboskopické zobrazení“, „návratová mapa“). Pro konzervativní (E=const) systém se 2 stupni volnosti je mapa 2-rozměrná…

Všechny trajektorie leží na 3D nadploše E=const ve 4D fázovém prostoru

• Existuje-li 2. integrál pohybu (pro

integrabilní systém), body patřící stejným trajektoriím leží v rovině řezu na křivkách (průsečíky s tory)

• Každý bod řezu protíná v 1 směru

právě 1 trajektorie (díky zachování E)

• Neexistuje-li 2. integrál pohybu

(neintegrabilní systém), může řez vypadat třeba takto:

𝑦 = 0

𝒙

𝒙

„ergodická mlha“

„tory“

rovina

řezu:

𝒚 = 𝟎

© Pavel Stránský

směr

průchodu

Země + Měsíc + družice

Problém 3 těles vizualizace

𝒙

𝒙

𝐸 = −1.59 = 𝐸𝐿1 − 𝜀μ =0.01215

Vladimir Arnold (1937-2010)

GeorgeBirkhoff(1884-1944)

JürgenMoser

(1928-1999)

Andrej Kolmogorov(1903-1987)

kanonická poruchová teorie, KAM teorie…

stabilita diferenciálních rovnic…

disipativní systémy, atraktory…

proudění, turbulence…

symbolická dynamika, diskrétní mapy…

ergodická teorie…

Vznik chaosu je úchvatný!Popis přechodu od integrability k chaosu je obtížný matematický problém

Vznik chaosu je úchvatný!Popis přechodu od integrability k chaosu je obtížný matematický problém

1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém(1954,63,62): racionální tory umírají nejdřív,silně iracionální tory přežívají nejdéle

horní mez

dolní mez

aproximace iracionálního čísla racionálním zlomkem

poměr frekvencípodél obou kružnic toru

𝜑 = 1 + 1

1+1

1+1

1+1

1+⋯

= 1+ 52 = 1.618⋯

zlatý řez má nejpomaleji konvergující řadu –tory s obdobným poměrem 𝜔 přežijí nejdéle

𝜔2

𝜔1= 𝜇

𝜔1

𝜔2

2D: 𝜇 − 𝑚1𝑚2

> const𝑚2

2+𝜀

podmínka přežití toru

𝑚2

𝜇 − 𝑚1𝑚2

∝ 1𝑚2

2+𝜀

∝ 1𝑚2

2

(const ∝ síla poruchy)

∀ 𝑚1,𝑚2

= 1,2,3, …ε > 0

1)

Vznik chaosu je úchvatný!Popis přechodu od integrability k chaosu je obtížný matematický problém

1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém(1954,63,62): racionální tory umírají nejdřív,silně iracionální tory přežívají nejdéle

𝜔2

𝜔1= 𝜇2D: 𝜇 − 𝑚1

𝑚2> const

𝑚22+𝜀

podmínka přežití toru

∀ 𝑚1,𝑚2

= 1,2,3, …ε > 0

2)1)

Simulace M. Macek (ilustrativní příklad)

2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n stabilních, n nestabilních

Vznik chaosu je úchvatný!Popis přechodu od integrability k chaosu je obtížný matematický problém

1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém(1954,63,62): racionální tory umírají nejdřív,silně iracionální tory přežívají nejdéle

𝜔2

𝜔1= 𝜇2D: 𝜇 − 𝑚1

𝑚2> const

𝑚22+𝜀

podmínka přežití toru

∀ 𝑚1,𝑚2

= 1,2,3, …ε > 0

2)1)

2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n stabilních, n nestabilních

3) „Heteroklinická změť“(1890): stabilní a nestabil-ní nadplochy kolem ne-stabilní orbity vytvářejí komplikovaný propletenec

Simulace C.Simó (ilustrativní příklad)

A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI (2012) 45

3)

„Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku, který se zde ani neodvažuji nakreslit…“

Geometrický model(schematický popis jaderných vibrací)

Hénon-Heilesův model(schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)

Modelování chaosu

𝐻 = 12𝑀

𝑝𝑥2+𝑝𝑦

2

+𝐴 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐵 𝑥3 − 3𝑦2𝑥 + 𝐶

>0

𝑥2 + 𝑦2 2

0

E=23A=–0.84, B,C,M=1

E=1.42

E=24.4 A=–2.6, B,C,M=1

Potenciál pro A=–0.84, B,C,M=1Poincarého mapy

pro řez 𝑦 = 0

𝑥

𝑦

𝑥

𝑥

Geometrický model(schematický popis jaderných vibrací)

Hénon-Heilesův model(schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)

Modelování chaosu

𝐻 = 12𝑀

𝑝𝑥2+𝑝𝑦

2

+𝐴 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐵 𝑥3 − 3𝑦2𝑥 + 𝐶

>0

𝑥2 + 𝑦2 2

0

E=23A=–0.84, B,C,M=1

E=1.42

E=24.4 A=–2.6, B,C,M=1

Potenciál pro A=–0.84, B,C,M=1

𝑥

𝑦

𝑥

𝑥

x

Geometrický model(schematický popis jaderných vibrací)

Hénon-Heilesův model(schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)

Modelování chaosu

𝐻 = 12𝑀

𝑝𝑥2+𝑝𝑦

2

+𝐴 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐵 𝑥3 − 3𝑦2𝑥 + 𝐶

>0

𝑥2 + 𝑦2 2

0

B =

integrabilnílimita

A = –1, C,M =1E = 0 (energie lokálního maxima pro x,y = 0)

částečná regularita

celkový (2f −1)-dim.objem nadplochy E

objem regulární části nadplochy E

© Pavel Stránský

𝑓reg 𝐸 =Ωreg(𝐸)

Ωtot(𝐸)≡ ∈ [0,1]

𝑥

𝑥𝑦 = 0

Algoritmická složitostMinimální délka počítačového programu schopného vygenerovat danou binární sekvenci

𝐁𝑛 ≡ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, ⋯ , 𝑏𝑛 𝑏𝑖 ∈ {0,1}

„jednoduché“ sekvence: složitost např. program: for i=1 to n print 1

„složité“ sekvence: složitost výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }𝑆(𝐁𝑛)𝑛→∞

𝑛

𝑆 𝐁𝑛𝑛→∞

log2 𝑛

lim𝑛→∞

𝑆 𝐁𝑛

𝑛 = 0 jednoduché sekvence≠ 0 složité sekvence

19...85A308D3133.243F6A88

10...71693993757950288419462643383235897932383.14159265

1...101101000101000100001101010100000111111011.0010010

dvojková soustava

desítková soustava

šestnáctková soustava(A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)

Př. Ludolfovo číslo je algoritmicky jednoduchá sekvence

):-O

Existuje algoritmus umožňující jednotlivé cifry čísla π v šestnáctkové soustavě počítat nezávisle, tj. bez znalosti předchozích cifer…

(hlasováním zvolená nejošklivější formulka všech dob)

J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

Am. J. Phys. 60 (1992) 1086

Ludolph van Ceulen(1540–1610)

Algoritmická složitostMinimální délka počítačového programu schopného vygenerovat danou binární sekvenci

𝐁𝑛 ≡ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, ⋯ , 𝑏𝑛 𝑏𝑖 ∈ {0,1}

„jednoduché“ sekvence: složitost např. program: for i=1 to n print 1

„složité“ sekvence: složitost výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }𝑆(𝐁𝑛)𝑛→∞

𝑛

𝑆 𝐁𝑛𝑛→∞

log2 𝑛

lim𝑛→∞

𝑆 𝐁𝑛

𝑛 = 0 jednoduché sekvence≠ 0 složité sekvence

J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

Am. J. Phys. 60 (1992) 1086

Př. Bernoullieova transformace generuje algoritmicky složité sekvence

𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛mod1V binárním zápisu ciferný posun doleva o jedno místo:

𝑥𝑛 = 020

+𝑏𝑛(1)

21+𝑏𝑛(2)

22+𝑏𝑛(3)

23+𝑏𝑛(4)

24+⋯ 𝑥𝑛+1 = 0

20+𝑏𝑛(2)

21+𝑏𝑛(3)

22+𝑏𝑛(4)

23+𝑏𝑛(5)

24+⋯

≡020

+𝑏𝑛+1(1)

21+𝑏𝑛+1(2)

22+𝑏𝑛+1(3)

23+𝑏𝑛+1(4)

24+⋯

0 1½¼ ¾

1. cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,1]2. cifra ……………………………………… daného ½-intervalu

3. cifra ……………………………………… daného ¼-intervalu ............

0001001110010110110011101.0

0001101110010110110011101.0

0

0

x

x

Bernoulliova transformace generuje chaotické „trajektorie“!

Např. poč. podmínkydají ve 24. kroku body v opač-ných polovinách intervalu [0,1]

Algoritmická složitostMinimální délka počítačového programu schopného vygenerovat danou binární sekvenci

𝐁𝑛 ≡ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, ⋯ , 𝑏𝑛 𝑏𝑖 ∈ {0,1}

„jednoduché“ sekvence: složitost např. program: for i=1 to n print 1

„složité“ sekvence: složitost výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }𝑆(𝐁𝑛)𝑛→∞

𝑛

𝑆 𝐁𝑛𝑛→∞

log2 𝑛

lim𝑛→∞

𝑆 𝐁𝑛

𝑛 = 0 jednoduché sekvence≠ 0 složité sekvence

J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

Am. J. Phys. 60 (1992) 1086

Př. Klasický chaotický systém generuje algoritmicky složitá sekvence

#i0

#ik

Rozdělení fázového prostoru na očíslované buňky. Sledujeme sekvenci buněk#i0,#i1,…, #ik ,… kterými prochází trajektorie z definovaného počátečního bodu…

fázový prostor

t

Klasický indeterminismusMinimální délka počítačového programu schopného vygenerovat danou binární sekvenci

𝐁𝑛 ≡ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, ⋯ , 𝑏𝑛 𝑏𝑖 ∈ {0,1}

„jednoduché“ sekvence: složitost např. program: for i=1 to n print 1

„složité“ sekvence: složitost výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }𝑆(𝐁𝑛)𝑛→∞

𝑛

𝑆 𝐁𝑛𝑛→∞

log2 𝑛

lim𝑛→∞

𝑆 𝐁𝑛

𝑛 = 0 jednoduché sekvence≠ 0 složité sekvence

J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

Am. J. Phys. 60 (1992) 1086

Složité sekvence jsou z praktického hlediska

zcela „náhodné“!

Kvantový pořádek!

𝑑 𝜓1, 𝜓2 = 𝜓1 − 𝜓2 𝜓1 − 𝜓2 = 𝜓1 𝜓1 + 𝜓2 𝜓2 − 𝜓1 𝜓2 − 𝜓2 𝜓1

−2Re 𝜓1 𝜓22

Díky linearitě Schrödingerovy rovnice kvantová evoluce nevykazujeexponenciálnílní citlivost k počátečním podmínkám.

Vzdálenost 𝑑 𝜓1, 𝜓2 stavů | 𝜓1 a | 𝜓2 v Hilbertově prostoru během evoluce zůstává konstantní:

t

Hilbertův prostor

Kvantová mechanika je „algoritmicky jednoduchá“ (sic) !!!

Aproximace stavového vektoru v čase 0 na dané úrovni přesnosti umožňuje predikce pro libovolné časy t na stejné úrovni přesnosti !

tt t

Kvantové potlačení chaosuSvět je kvantový. Linearita kvantové evoluce by měla mít za následek potlačení klasického chaosu.

Hrubý odhad časové škály:

Vláda klasické mechaniky končí, jakmile detailní tvar oblasti vyvinuté z počáteční buňky fázového prostoru začne interferovat se škálou kvantových fluktuací.

ℏ𝑓

𝐿 𝑡 = 𝐿 0

Ω12𝑓

𝑒𝑡

𝑡chZvětšování lineárních rozměrů oblasti:

Oblast se skládá z kvantových buněk.

Kvantový čas 𝑡Q nastává když 𝐿(𝑡Q) ≈ 𝑁Q ℏ

𝑡Q ≈ 𝑡ch lnΩ

ℏ𝑓

1−12𝑓

𝑁Q =Ω

ℏ𝑓

⇒

tch ≈ 100 dnítQ ≈ 37 let!!!

M. Berry 2001, Chaos and the semiclassical limit of quantum mechanics (is the moon there when somebody looks?)

HyperionSaturnův satelit

Tato předpověď (naštěstí) neplatí díky interakci Hyperionu

s okolím, např. s „lázní“ slunečních fotonů: tdecoh ≈ 10–52 sec.

Kvantový chaos?

Niels Bohr (1936)

Eugene Wigner (1955)

energie po absorpci neutronu

156Gd

Spektrum atomového jádra

Přesto existují významné projevy chaosu na kvantové úrovni – korelace v diskrétních energetických spektrech vázaných kvantových systémů

Modelování spekter složitých kvantových (např. atomových jader… ) systémů pomocí náhodných matic splňujících jisté vlastnosti. Spektrum není určeno determi-nisticky, ale lze předvídat jeho korelační vlastnosti.

Oriol Bohigas et al. (1982)

Např. normovaná vzdálenost sousedních hladin:

𝑠 = ∆𝐸 ∆𝐸

rela

tivn

íče

tno

st

Kosmos = Sfairos + Chaosvýsledek Lásky výsledek Sváru

A tato věčná změna nikdy neustává,hned Láska všechno spojí v jednotu,hned se zas všecko rozkotá řáděním Sváru.Tak tedy vzniká jednota z mnohostia mnohost zase z trosek jednoty…

… nezáří ti tu do očíúdy hbitého slunceani hrubá síla země ani moře.

Tak spočívá v pevném skrytu Harmoniekulový Sfairos,jenž vládne s hrdostí v samotě vůkol…

… brzy se zase rozpadnou zásahem zlého Sváru.

Tak se vše trmácí —i ryby, jež v hlubinách sídlí,zvěř z hor i chocholaté potápky…

O PODSTATĚ SVĚTA(z řečtiny přeložil Jaroslav Pokorný, 1944)

Empedokles z Akragantu(cca 480-420 BC)

Tak se vše trmácí —i ryby, jež v hlubinách sídlí,zvěř z hor i chocholaté potápky…