8/18/2019 Parallel Plate Summary Sheet

1/2

Parallel Plate Waveguide Summary Sheet 

Parallel Plate Geometry and Boundary Conditions 

TEM (TM0) Mode 

TEm  (Transverse Electric) Modes 

TMm  (Transverse Magnetic) Modes 

Cutoff  

Frequency 

At the plate 

boundaries  (x= 

0 and x = a) 

E tangential  = 0

H normal  = 0 

This is 

because the 

plates are 

perfect 

conductors 

0

4

4

=

=

=

−

−

 z

t  j z

 x

t  j z

 y

 E 

eeC  j

 E 

eeC  H 

ω γ 

ω γ 

ωε 

γ 

The TEM mode is the lowest order 

mode and represents a plane wave 

with E in the  x direction going in 

between the plates “without 

reflections” 

C 4 is a constant that will depend 

on the field amplitudes.  The TEM 

mode is only mode without a 

cutoff  frequency. 

The TE modes are field 

configurations where the electric 

field is the  y direction only. 

TEm  m = 1, 2, 3, …. The value of  

m represents the mode number. C 1 

is a constant that will depend on 

the field amplitudes. 

t  j z

 x

t  j z

 z

t  j z

 y

ee xa

mC 

 j H 

ee xa

mC 

a j

m H 

ee xa

mC  E 

ω γ 

ω γ 

ω γ 

π 

ωμ 

γ 

π 

ωμ 

π 

π 

−

−

−

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −=

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −=

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

sin

cos

sin

1

1

1

The TM modes are field 

configurations where the magnetic 

field is the  y direction only. 

TMm  m = 1, 2, 3, …. The value of  

m represents the mode number. C 4 

is a constant that will depend on 

the field amplitudes. 

t  j z

 z

t  j z

 x

t  j z

 y

ee xa

mC 

a

 jm E 

ee xa

mC 

 j E 

ee xa

mC  H 

ω γ 

ω γ 

ω γ 

π 

ωε 

π 

π 

ωε 

γ 

π 

−

−

−

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

sin

cos

cos

4

4

4

με 

με 

π ω ω 

a

m f  f 

a

m

c

c

2=>

=>

In the above equations, the 

propagation term in the  z direction is: 

με ω π 

γ  22

−⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

a

m  

This term must be imaginary for 

propagation and not attenuation and 

puts a restriction on the cutoff  

frequency for each mode m 

For propagation of  mode m

(applies to both TE and TM

modes) 

We look for solutions 

propagating in the  z direction

with spatial variation:  ze   γ −

where 

με ω π γ  22

−⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

am  

8/18/2019 Parallel Plate Summary Sheet

2/2

TE and TM Modes as Superpositions of  Reflections of  Plane Wave TEM Modes 

It is often easier to think of  the higher TE and TM modes as a superposition of  multiple TEM modes.  In order for the superposition to

be able to satisfy the boundary conditions, the null of  one TEM ray must coincide with the crest of  the other TEM ray at the 

boundary so that they cancel out.  In the picture above the nulls and crests of  only one of  the rays have been drawn in.  For the 

geometry to work out: 

Cutoff  Wavelength 

The analysis above leads us to calculate a maximum wavelength for the given mode, this cutoff  wavelength will correspond to the 

cutoff  frequency of  the mode.  From the formula above we see that the maximum λwill occur for θ= 0. 

The physical interpretation of  the cutoff  frequency (or wavelength) from the geometric picture is that at this frequency the 

geometry is such that θ= 0, making the two rays are propagating up and down and not down the waveguide anymore. 

Guide Wavelength, Group Velocity, Phase Velocity 

 λ

null  crest null

a 

θm 

acos(θm) 

Crest (from bottom ray) and null 

(from top ray) cancel out at this point 

2)cos(   λ θ  ma m   =

This is the 

cutoff  

wavelength 

m

ac

2=λ με ω 

λ 

π  β    ==

2

με 

π 

με λ 

π ω 

a

m

c

c  ==2

m = 1, 2, 3, …. The value 

of  m represents

 the

 same

 

mode number for both TE 

and TM modes as 

discussed above. 

using

Which is the same value as we 

derived from the analytical approach 

before. 

We can solve 

for the cutoff  

frequency 

μελ θ 

af 

m

a

mm

22)cos(   ==

We can also use this 

relationship to

 calculate

 

the reflection angle of  

each mode as a function 

of  frequency and mode 

number 

λ 

The reflecting waves create a repetitive interference pattern in 

the  z direction that repeats on a scale of   λ   , note that this is 

different from  λ  , the free propagation wavelength 

2

21

sin⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −

==

a

mm   λ 

λ 

θ 

λ 

λ 

The phase velocity (  phv   ) is how fast the superposed λ  

pattern moves down the waveguide, the group velocity ( gv   )is 

how fast the individual rays move down the guide.  Energy and 

information travel at the group velocity. 

m

 ph

 f  f v

θ 

λ λ 

sin==

mg  f v   θ λ sin=