Prof. David R. JacksonDept. of ECE

Notes 5

ECE 5317‐6351 Microwave Engineering

Fall 2011

Waveguides Part 2:Parallel Plate Waveguide 

1

2

2

2

2

z zx c z

c

z zy c z

c

z zx z

c

z zy z

c

E HjH kk y x

E HjH kk x y

E HjE kk x y

E HjE kk y x

ωε

ωε

ωμ

ωμ

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂−= ±⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂−= ± +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∓

∓

Summary

2 2ck ω με=

( )1/22 2c zk k k= −

Field Equations (from Notes 4)

These equations will be useful to us in the present discussion. 

2

Parallel‐Plate Waveguide

Both plates assumed PECw >> d, λ

0x∂

⇒ =∂

Neglect x variation,edge effects

The parallel‐plate stricture is a good 1ST order model for a microstrip line.

,ε μ

3

Parallel‐plate waveguide2 conductors ⇒ 1 TEM mode

To solve for TEM mode:

2 0 00

t x wy d

∇ Φ = ≤ ≤≤ ≤

for

Boundary conditions:

0( ,0) 0 ; ( , )x x d VΦ = Φ =

2 22

2 2 0t x y⎛ ⎞∂ ∂

⇒∇ Φ = + Φ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

TEM Mode

z ck j k k jkβ α ω με ′ ′′= − = = = −

c jσε εω

= −

kk

βα

′=′′=

4

where

0

( , )

( , ) ; 0

0

Vx y

x y

y x w

y

A y

dd

B

⇒

⇒Φ =

Φ = ≤

≤

+

≤

≤

0ˆ( , , ) ( , ) jkz jkzt

Vx y z e x y e y eEd

= = −⇒ ∓ ∓

0

@ 0

0

@

y

A

y d

VBd

=

⇒ =

=

⇒ =

2

2 0y∂

Φ =∂

( ) ( ) 0,0 0 & ,x x d VΦ = Φ =

( ) ˆ ˆ, ot t

Ve x y y yy d∂

= −∇ Φ = − Φ = −∂

z ck k ω με= =

TEM Mode (cont.)

c jσε εω

= −

5

Recall

( ) 0ˆ, , jkzVH x y z x edη

⇒ = ± ∓

For a wave prop. in + z direction

Time‐ave. power flow in + z direction:

( )2

*

20 2

* 20 0

22

0 *

1 ˆRe ( )2

1 ˆ ˆRe

1 1 1Re

)

2

2

s

w dk z

k z

P E H z dS

Vz z

V w

e dy

dd

dxd

eη

η

+

′′−

′′−

⎧ ⎫= × ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ⎜ ⎟⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎠⎩ ⎭

=

∫∫

∫ ∫

1 ˆ( )H z Eη

= ± ×

y

x

V0

EH

0ˆ( , , ) jkzVE x y z y ed

= − ∓

2 20 *

1 1Re2

k zwP V ed η

′′+ −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

TEM Mode (cont.)

6

Transmission line voltage0

0

ˆ( )

( ) jd

z

kz

ck k

V z

V z E y d

V e

y ω με= ⋅ = =

=

∫∓

Transmission line current

( )

0

0

0

( )

ˆ( ) , ,w

k

I

j zI z

I z H x d z x d

V e

x

wdη

=

=

±

⋅∫

∓

Characteristic Impedance

00

0

jkz

jkz

V eZI e

−

−=

Phase Velocity (lossless case)

pr r

cv ω ωβ ω με μ ε

= = = c = 2.99792458 ×108 m/s

x

d

I

I+

‐V

y

z

C , ,ε μ σ

w

(Assume + z wave)

0dZw

η=

TEM Mode (cont.)

7

ˆs

sz z

J n H

J H+

= ×

⇒ =

PEC :Note:

For wave propagating in + z direction

Time‐ave. power flow in +z direction: { }*

200

2 20 *

1 1

1 Re *2

1

e

e2

2

R

R

k z

k zwP V ed

P VI

V wV edη

η

+

′′

′−

−

′+

=

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎪⎩ ⎭

Recall that we found from the fields that:

2 20 *

1 1Re2

k zwP V ed η

′′+ −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

same

TEM Mode (cont.)

(calculated using the voltage and current)

This is expected, since a TEM mode is a transmission‐line type of mode, which is described by voltage and current. 

8

TEM Mode (cont.)

9

We can view the TEM mode in a parallel‐plate waveguide as a “piece” of a plane wave.

The PEC and PMS walls do not disturb the fields of the plane wave.

ˆ 0n E× =PEC : ˆ 0n H× =PMC :

y

PEC

PEC

PMCPMC , ,ε μ σ

x

E

H

Recall

( ), sin( ) cos( )

@ 0 0

@ 0,1,2,.... c

z c c

c

e x y A k y B k y

y B

y d k d n nkd

nπ π

= +

= ⇒ =

⇒= == ⇒ =

where12 2

2 2 2 22 2 0, [ ]c z c zk e k k k

x y⎛ ⎞∂ ∂

+ + = = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

subject to B.C.’s Ez = 0 @ y = 0, d

( , , ) ( , ) zjk zz zE x y z e x y e= ∓

TMz Modes (Hz = 0)

10

( ), sin 0,1,2,...zne x y A y ndπ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

sin zjk zz n

nE A y edπ⎛= ⎟

⎝ ⎠⇒ ⎞

⎜∓

Recall:

2 2

2 2

cos

cos

0 0 0

z

z

jk zc czx n

c c

jk zz z zy n

c c

x y z

j jE n nH A y ek y k d djk E jk n nE A y ek y k d d

E H H

ωε ωε π π

π π

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = =

∓

∓∓ ∓

2 2

22

z ck k k

nkdπ

= −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2ck ω με=

TMz Modes (cont.)

11No x variation

sin zjk zz n

nE A y edπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

Summary

22

2 2

cos

cos

0

; 0,1, 2,...

z

z

jk zzy n

c

jk zcx n

c

x y z

c

z

c

jk nE A y ek d

j nH A y ek d

E H H

nk nd

nk kd

k

π

ωε π

π

π

ω με

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

= =

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∓

∓

∓

Each value of n corresponds to a unique TM field solution or “mode.”

⇒ TMn mode

Note:0

0TEM

zn k kTM= ⇒ =

⇒ =

12

TMz Modes (cont.)

(In this case, we absorb the An coefficient with the kc term.) 

212

22

12 2 2

c

z

c

k

nk kd

k k

π⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

0,1,2,...n =

2 2

2

2

2 2 2

2

z

z c z c

c

j z

c

k z

k k k k j k k j

e

k k k k

e α

β α− −

⇒ = = − ⇒ = − − = −

⇒

<

=

>

⇒propagating mode

for for

Fields decay exponentially⇒ evanescent fields⇒ “cutoff” mode

Lossless Casecε ε ε ′= =

2 2k ω με=

13

TMz Modes (cont.)

Frequency that defines border between cutoff and propagation(lossless case): fc ≡ cutoff frequency

@ cnf f=c cn

nk kdπω με= ⇒ =

12cnnfd με

= cutoff frequency for TMn mode

3cf1cf 2cf

14

TMz Modes (cont.)

cε ε ε ′= =

Time average power flow in z direction (lossless case):

( )*

0 0

*

0 0

2 22

0

1 ˆRe2

1 Re2

Re{ } cos2

w d

TMn

w d

y x

d

z nc

P E H z dydx

E H dydx

nk A w y dyk dωε π

± ⎡ ⎤= × ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= ± ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫

22

; 0Re{ } 2

2 ; 00,1, 2,...

TMn z nc

d nP k A w

k d nn

ωε±⎧ ⎫>⎪ ⎪= ± ⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭=

Real for f > fcImaginary for f < fc 15

TMz Modes (cont.)

cε ε ε ′= =

Recall ( , , ) ( , ) zjk zz zH x y z h x y e= ∓

where

( )12 2

2 2 2 22 2 , 0, [ ]c z c zk h x y k k k

x y⎛ ⎞∂ ∂

+ + = = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

subject to B.C.’s Ex = 0 @ y=0, d

1 yzx

c

HHEj y zωε

∂⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

sin( ) cos( )@ 0 0

@ , 1,2,3,...

z c c

c c

h A k y B k yy A

y d k d n n nkd

π π

⇒ = +

= ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ =

TEz Modes

ˆ 0H n⋅ =PEC :

16

( ), cos 1,2,3,

co

.

s

..

zjk zz

n

n

z

nH

nh x y B y nd

B y ed

π

π

⎛

⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

Recall: 

2 2

2 2

sin

sin

0 0 0

z

z

jk zzx n

c c

jk zz z zy n

c c

x y z

Hj j n nE B y ek y k d djk H jk n nH B y ek y k d d

H E E

ωμ ωμ π π

π π

∂− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ± ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = =

∓

∓∓

2 2

22

z ck k k

nkdπ

= −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2ck ω με=

TEz Modes (cont.)

17No x variation

Summary

cos zjk zz n

nH B y edπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

TEn mode

Cutoff frequency1

2cnnfd με

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Each value of n corresponds to a unique TE field solution or “mode.”

22

2 2

sin

sin

0

; 1,2,...

z

z

jk zx n

c

jk zzy n

c

x y z

c

z

c

j nE B y ek d

jk nH B y ek d

H E E

nk nd

nk kd

k

ωμ π

π

π

π

ω με

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

± ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

= =

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∓

∓

18

TEz Modes (cont.)

For all the modes of a parallel‐plate waveguide, we have

12cnnfd με

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

The mode with lowest cutoff frequency is called  the “dominant” mode of the wave guide.

1 2 3

3cf1cf 2cf

321

All  Modes

19

cε ε ε ′= =

( )*

0 0

*

0 0

2 22

0

1 ˆRe2

1 Re2

Re{ } sin2

w d

TEn

w d

x y

d

z nc

P E H z dydx

E H dydx

nk B W y dyk dωμ π

± ⎡ ⎤= × ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= ± ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫

{ } ( )22 Re

4TEn z nc

P k B Wdkωμ± =

n = 1,2,…..

Power in TEz ModeTime average power flow in z direction (lossless case):

Real for f > fcImaginary for f < fc 20

cε ε ε ′= =

TEM

TM1

TE1

y

y

y

x

x

x

Field Plots

21